7. TEORIJSKE DISTRIBUCIJE - unizd.hr · PDF fileJosipa Perkov, prof., pred. 3 • Teorijske distribucije zadane su analiti čki • Svaka teorijska distribucija ima svoj zakon vjerojatnosti

Josipa Perkov, prof., pred. 1

7. TEORIJSKE DISTRIBUCIJE7. TEORIJSKE DISTRIBUCIJE7. TEORIJSKE DISTRIBUCIJE7. TEORIJSKE DISTRIBUCIJE7. TEORIJSKE DISTRIBUCIJE7. TEORIJSKE DISTRIBUCIJE7. TEORIJSKE DISTRIBUCIJE7. TEORIJSKE DISTRIBUCIJE


• Dosad smo spominjali distribucije koje su formirane grupiranjem

opažanja ili elemenata skupa prema nekom obilježju –

originalne, empirijske, opažene distribucije

• Nasuprot empirijskim distribucijama postoje distribucije koje se

mogu očekivati u skladu s iskustvom ili na temelju nekih

pretpostavki – teorijske distribucije

• pretpostavljaju se u nekom statističkom modelu ili ih se

postavlja kao hipotezu koju treba ispitati


• Teorijske distribucije zadane su analitički

• Svaka teorijska distribucija ima svoj zakon vjerojatnosti po

kojem su distribuirane vrijednosti slučajne varijable X

• Osim funkcije vjerojatnosti, te distribucije imaju: očekivanje,

varijancu, koeficijent asimetrije i koeficijent zaobljenosti


VRSTE TEORIJSKIH DISTRIBUCIJA

Normalna (Gaussova) distribucija

Studentova ili t-distribucija

Gama distribucija (χ2 test)

KONTINUIRANE

DISTRIBUCIJE

Binomna distribucija

Poissonova distribucija

Hipergeometrijska distribucija

DISKONTINUIRANE

DISTRIBUCIJE


Binomna distribucijaBinomna distribucijaBinomna distribucijaBinomna distribucija

• Najjednostavnija teorijska distribucija za alternativna obilježja

• Bernoullijev pokus je slučajan pokus:

◘ sa samo dva ishoda (uspjeh/neuspjeh)

◘ svakom ponavljanju pokusa vjerojatnost “uspjeha” jednaka je p i ne mijenja se u različitim pokušajima

◘ vjerojatnost ishoda neuspjeh je q = 1 − p

◘ pokusi su neovisni

◘ broj pokušaja = n


• Ako je n broj ponavljanja Bernoullijevog pokusa, p vjerojatnost

ishoda “uspjeh” (konstantna u svakom ponavljanju), a X broj

ishoda uspjeh, varijabla X je binomna slučajna varijabla, a

pripadajuća distribucija vjerojatnosti naziva se binomnom

distribucijom.

• Slučajna varijabla X ravna se prema binomnoj distribuciji ako je

njezina distribucija vjerojatnosti dana izrazom:

skraćeno B(n, p).

( ) , 0,1, 2,...,x n xn

p x p q x nx

− = =


KOEFICIJENT ZAOBLJENOSTI

KOEFICIJENT ASIMETRIJE

STANDARDNA DEVIJACIJA

OČEKIVANA VRIJEDNOST

BINOMNA DISTRIBUCIJABINOMNA DISTRIBUCIJA

( )E X n p= ⋅

npqσ =

3

q p

npq

−α =

4

1 63

pq

npq

−α = +

Ako je p = q = 0.5, binomna je distribucija simetrična


PRIMJER 1. Varijabla X ravna se po zakonu binomne

distribucije B(5,0.4)

a) Kako glasi funkcija vjerojatnosti?

b) Odredite njezine vrijednosti.

c) Kolika je vjerojatnost da slučajna varijabla poprimi

vrijednosti: X = 0, X ≤ 3, X > 3, 2 ≤ X ≤ 5, 3 < X ≤ 5?

Distribucija B(5,0.4) je binomna, za koju je n = 5 i p = 0.4.

Ona glasi:

( ) 55

0.4 0.6 , 0,1, 2,3, 4,5x xp x x

x

− = =


1.0000Ukupno

0.01025

0.07684

0.23043

0.34562

0.25921

0.07780

P(X)X


Tražene vjerojatnosti su:

P(0) = 0.0778

P(X ≤ 3) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3)

= 0.0778 + 0.2592 + 0.3456 + 0.2304 = 0.9130

P (X > 3) = 1 - P(X ≤ 3) = 0.0870

P(2 ≤ X ≤ 5) = P(X = 2) + P(X = 3) + P(X = 4) + P(X = 5)

= 0.3456 + 0.2304 + 0.0768 + 0.0102 = 0.6630

P(3 < X ≤ 5) = P(X = 4) + P(X = 5)

= 0.0768 + 0.0102 = 0.0870


PRIMJER 2. Revizor kontrolira točnost knjiženja knjigovodstvenih

zapisa. Na temelju iskustva, zapis je netočan u približno 5%

slučajeva. Ako se kontroli podvrgne 20 slučajno izabranih zapisa,

kolika je vjerojatnost: da su svi izabrani zapisi točni, da 3 zapisa od

njih 20 sadrže pogrešku knjiženja? Koliki je očekivani broj

pogrešnih zapisa i prosječno odstupanje od prosjeka?

• Bernoullijev pokus: dva su ishoda kontrole zapisa, vjerojatnost

netočnog zapisa je konstantna i iznosi 0.05, a opisani proces

kontrole odgovara zahtjevu neovisnosti pokusa

• Broj netočnih zapisa u danoj kontroli slučajna je varijabla koja

se ravna po zakonu binomne distribucije B(20, 0.05), tj.

( )20

0.05 0.95 , 0,1, 2,..., 20x n xp x x

x

− = =


• Vjerojatnost da su svi zapisi točni jednaka je vjerojatnosti da je

broj netočnih zapisa jednak nuli, tj.:

• Vjerojatnost da 3 zapisa od njih 20 sadrže pogrešku jest:

• Očekivani broj netočnih zapisa iznosi:

a standardna devijacija:

( ) 0 2020

0 0.05 0.95 0.35850

p

= =

( ) 3 1720

3 0.05 0.95 0.05963

p

= =

( ) 20 0.05 1E X np= = ⋅ =

20 0.05 0.95 0.9747npqσ = = ⋅ ⋅ =


POISSONOVA distribucijaPOISSONOVA distribucijaPOISSONOVA distribucijaPOISSONOVA distribucija

• koristi se za opis rijetkih događaja (događaji koji imaju veliki

uzorak i malu vjerojatnost)

• ako je p ≤ 0.1, a n ≥ 50, tada se binomne vjerojatnosti mogu

izračunati aproksimativno pomoću izraza:

gdje je λ ≈ np , e = 2.71828...

• Ta teorijska distribucija zove se Poissonova distribucija.

Granični je slučaj binomne distribucije.

( ) , 0 , 0,1, 2,...!

xe

p x xx

−λ ⋅λ= λ =f


KOEFICIJENT ZAOBLJENOSTI

KOEFICIJENT ASIMETRIJE

STANDARDNA DEVIJACIJA

OČEKIVANA VRIJEDNOST

POISSONOVA DISTRIBUCIJAPOISSONOVA DISTRIBUCIJA

Ako se u konkretnom slučaju ne može odrediti vjerojatnost a priori,

onda se eksperimentiranjem može saznati aritmetička sredina

empirijske distribucije frekvencija

σ = λ

3

1α =

λ

4

13α = +

λ

λµ ==)(XE


PRIMJER 3. Očekivana vrijednost Poissonove distribucije

iznosi 4.

Odredite:

a) standardnu devijaciju,

b) koeficijent asimetrije,

c) koeficijent zaobljenosti i

d) P(X ≤ 3).


E(X) = 4 ⇒ λ = 4

3

4

4 2

1 10.5

2

1 13 3 3.25

4

σ = λ = =

α = = =λ

α = + = + =λ

P(X ≤ 3) = P(0) + P(1) + P(2) + P(3)

= 0.01832 + 0.07326 + 0.14653 + 0.019537 =

= 0.43348


PRIMJER 4. U jednoj banci u prosjeku 5 stranaka po satu zahtijeva

usluge oročavanja depozita. Pretpostavi li se da stranke prispijevaju

u banku neovisno i po satima u radnom vremenu s istom

vjerojatnosti, kolika je vjerojatnost da se pred šalterom za oročavanje

nađu: tri stranke, više od sedam stranaka?

• Broj stranaka koje u jednom satu za radnog vremena bilo kojeg

dana dolaze neovisno i s istom vjerojatnošću u banku pred šalter

za oročavanje depozita diskretna je slučajna varijabla koja

pripada Poissonovoj razdiobi s parametrom λ = 5

3 55(3) 0.1403

3!

ep

−⋅= =

7

0

( 7) 1 ( ) 0.1334x

p x p x=

= − =∑f


• Najvažnija statistička distribucija – model mnogih empirijskih

pojava

• Teorijska distribucija kontinuirane slučajne varijable

• Normalna distribucija N (µ ,σ2 ) je dvoparametarska funkcija

vjerojatnosti, s parametrima µ i σ2 (očekivana vrijednost i

varijanca):

Normalna (Normalna (Normalna (Normalna (gaussovagaussovagaussovagaussova) distribucija) distribucija) distribucija) distribucija

( )2

221

( )2

x

f x e

− −µ

σ=σ π


• Zvonasta je oblika, simetrična s točkama infleksije kojima su

apscise µ ± σ

µ-3σ µ-2σ µ-σ µ µ+σ µ+2σ µ+3σ

68.26%

95.44%99.74%

Očekivana vrijednost, mod i medijan poprimaju jednaku vrijednost. Sve mjere

asimetrije za tu distribuciju jednake su nuli. Koeficijent zaobljenosti normalne

distribucije jednak je 3.


• Svaka se normalna distribucija može svesti na standardiziranu

(aritmetička sredina standardiziranih obilježja jednaka je 0, a

standardna devijacija 1) ako se obilježje X linearno

transformira u X = µ + zσ tako da se umjesto varijable X dobiva

standardizirano obilježje z

• Formula za standardiziranu normalnu distribuciju:

2

21

( ) , 2

z

f z e z−

= − ∞ +∞π

p p


• Jedinična normalna distribucija je tabelirana. U tablici

distribucije vjerojatnosti navedene su površine koje predočuju

vjerojatnost da slučajna varijabla Z poprimi vrijednost iz

intervala 0 ≤ Z ≤ z

• U predstupcu te tablice nalaze se vrijednosti standardiziranog

obilježja z izražene s brojevima s jednom decimalom.

Druga decimala označena je u zaglavlju tabele.

Te vrijednosti označuju udaljenost standardiziranog obilježja

od aritmetičke sredine uzduž apscise.


• Ako se, npr., spuštamo brojevima u predstupcu do 1.9, pa

onda nastavimo udesno do stupca s oznakom 0.6 u zaglavlju,

tada ta vrijednost predstavlja udaljenost od 1.96 standardnih

devijacija od AS.

Broj koji se nalazi na tom mjestu znači proporciju 0.4750

ukupne površine (koja je jednaka jedan) što se nalazi između

ordinate podignute na mjestu AS i ordinate podignute u točki

1.96 standardnih devijacija na apscisi

• Normalna distribucija je simetrična, pa su tablične vrijednosti

dane samo za pozitivne vrijednosti varijable Z


PRIMJER 5. Slučajna varijabla X normalno je distribuirana s

očekivanjem 15 i standardnom devijacijom 3.

Odredite:

a) P(12 ≤ X ≤ 17),

b) P(X ≤ 20),

c) P(X ≤ 13).


P(12 ≤ X ≤ 17) = ?

12 15 17

P1 P2

1 2

11

22

12 151.00

3

17 150.67

3

0.34134 0.24857 0.58991z z

xz

xz

P P P

− µ −= = =

σ

− µ −= = =

σ

= + = + =


P(X ≤ 20) = ?

15 20

0.5

20 151.67

3

0.5 0.5 0.45254 0.95254

z

z

P P

xz

P P

= +

− µ −= = =

σ

= + = + =


P(X ≤ 13) = ?

13 15

0.5

13 150.67

3

0.5 0.5 0.24857 0.25143

z

z

P P

xz

P P

= −

− µ −= = =

σ

= − = − =


PRIMJER 6. Slučajna varijabla X distribuirana je po normalnoj

distribuciji N (µ ,σ2 ). Odredite vjerojatnost da varijabla poprimi

vrijednost iz intervala:

(1) µ < X < µ + σ , µ < X < µ + 2σ , µ < X < µ + 3σ,

(2) µ − σ < X < µ , µ − 2σ < X < µ , µ − 3σ < X < µ ,

(3) µ − σ < X < µ + σ , µ − 2σ < X < µ + 2σ , µ − 3σ < X < µ + 3σ

(4) µ − σ < X < µ + 2σ

(5) µ − 3σ < X < µ + 1.96σ


µ µ+σ

(1)

P (µ < X < µ + σ) = P (0 < Z < 1) = P ( z = 1) = 0.3413

P (µ < X < µ + 2σ) = P (0 < Z < 2) = P ( z = 2) = 0.4772

P (µ < X < µ + 3σ) = P (0 < Z < 3) = P ( z = 3) = 0.4987


(2)

P (µ −σ < X < µ) = P(−1 < Z < 0) = P( z = −1) = P( z = 1) = 0.3413

P (µ −2σ < X < µ) = P(−2 < Z < 0) = P( z = −2) = P( z = 2) = 0.4772

P (µ −3σ < X < µ) = P(−3 < Z < 0) = P( z = −3) = P( z = 3) = 0.4987

(3)

P(µ −−−− σ < X < µ + σ) = P (−1 < Z < 1) = 2P( z = 1) = 0.6826

P(µ −−−− 2σ < X < µ + 2σ) = P (−2 < Z < 2) = 2P( z = 2) = 0.9544

P(µ −−−− 3σ < X < µ + 3σ) = P (−3 < Z < 3) = 2P( z = 3) = 0.9974


(4)

P(µ − σ < X < µ + 2σ) =

= P(−1 < Z < 0) + P(0 < Z < 2) =

= P( z = 1) + P (z = 2) =

= 0.3413 + 0.4772 = 0.8185

0.3413 + 0.4772 = 0.8185

−1 0 2 z

(5)

P(µ − 3σ < X < µ + 1.96σ) = P(−3 < Z < 0) + P(0 < Z < 1.96) =

= P( z = 3) + P (z = 1.96) = 0.4987 + 0.4750 = 0.9737



PITANJA ZA USMENI DIO ISPITA:PITANJA ZA USMENI DIO ISPITA:PITANJA ZA USMENI DIO ISPITA:PITANJA ZA USMENI DIO ISPITA:

1.1.1.1. Binomna distribucijaBinomna distribucijaBinomna distribucijaBinomna distribucija

2.2.2.2. PoissonovaPoissonovaPoissonovaPoissonova distribucijadistribucijadistribucijadistribucija

3.3.3.3. Normalna (Normalna (Normalna (Normalna (GaussovaGaussovaGaussovaGaussova) distribucija) distribucija) distribucija) distribucija

Documents

7. TEORIJSKE DISTRIBUCIJE - unizd.hr · PDF fileJosipa Perkov, prof., pred. 3 • Teorijske distribucije zadane su analiti čki • Svaka teorijska distribucija ima svoj zakon vjerojatnosti