sistem satu derajat kebebasan sdof

BAB II TEORI DASAR

2.1 UMUM

Perencanaan konvensional bangunan tahan gempa adalah berdasarkan konsep

bagaimana meningkatkan kapasitas tahanan struktur terhadap gaya gempa yang

bekerja padanya. Misalnya dengan menggunakan shear wall, sistem rangka pemikul

momen khusus, sistem rangka dengan bracing dan sebagainya. Konsekwensinya,

pada bangunan dimana kekakuan lateralnya cukup besar akan mengalami percepatan

lantai yang besar, sedangkan pada bangunan fleksibel akan mengalami perpindahan

lateral yang cukup besar, sehingga bangunan akan mengalami kerusakan yang

signifikan pada peristiwa gempa kuat.

Dasar perencanaan bangunan tahan gempa adalah merencanakan suatu

komponen struktur yang boleh mengalami kelelehan. Komponen struktur yang leleh

tersebut merupakan komponen yang menyerap energi gempa selama gempa terjadi.

Sehingga komponen tersebut akan mengalami plastifikasi sedangkan elemen struktur

lainnya direncanakan masih dalam keadaan elastis. Hal ini yang diharapkan membuat

bangunan tersebut masih dapat berdiri walaupun menerima gaya gempa yang besar.

Filosofi perencanaan bangunan tahan gempa konvensional yang diadopsi oleh

hampir semua peraturan mengenai perencanaan bangunan tahan gempa yang

mengutamakan segi keselamatan jiwa dan segi ekonomis yang dikenal dengan

perencanaan kapasitas, mempunyai dasar sebagai berikut :

4. Struktur berperilaku elastis jika terjadi gempa kecil,

Jika gempa dengan intensitas percepatan tanah yang kecil dalam waktu ulang

yang besar mengenai struktur, disyaratkan tidak mengganggu fungsi bangunan,

Universitas Sumatera Utara

seperti aktivitas normal didalam bangunan dan perlengkapan yang ada. Artinya tidak

dibenarkan ada terjadi kerusakan pada struktur baik pada komponen struktur maupun

dalam elemen non-struktur yang ada. Dalam perencanaan harus diperhatikan

control dan batas simpangan (driff) yang dapat terjadi semasa gempa, serta menjamin

kekuatan yang cukup bagi komponen struktur untuk menahan gaya gempa yang

terjadi dan diharapkan struktur masih berprilaku elastis.

5. Bangunan akan mengalami kerusakan jika terjadi gempa sedang, namun

terbatas pada kerusakan structural atau non-struktural yang dapat diperbaiki.

Jika struktur dikenai gempa dengan waktu ulang sesuai dengan umur atau,

masa rencana bangunan, maka struktur direncanakan untuk dapat menahan gempa

sedang tanpa kerusakan pada komponen struktur namun pada komponen non-struktur

boleh terjadi kerusakan yang dapat diperbaiki, dan diharapkan struktur dalam batas

elastis

6. Bangunan tidak runtuh bila terjadi gempa besar.

Jika gempa kuat yang mungkin terjadi pada umur/ masa banunan yang

direncanakan membebani struktur, maka struktur direncanakan untuk dapat bertahan

dengan tingkat kerusakan yang besar tanpa mengalami kerusakan dan keruntuhan

(collapse). Tujuan utama dari keadaan batas ini adalah untuk menyelamakan jiwa

manusia.

Struktur portal baja tahan gempa sendiri pada saat ini terbagi atas tiga (3)

yaitu :

1. Sistem Rangka Pemikul Momen ( SRPM )

2. Sistem Rangka Berpengaku Konsentrik ( SRBK )


3. Sistem Rangka Berpengaku Eksentrik ( SRBE )

Pada saat ini telah banyak dikembangkan bahan bahan untuk struktur

bangunan yang digunakan untuk mereduksi gaya gempa pada suatu bangunan salah

satunya adalah Yielding Damper. Pendekatan desain ini bukan dengan cara

memperkuat struktur bangunan, tetapi adalah dengan mereduksi gaya gempa yang

bekerja pada bangunan.

Salah satu konsep pendekatan perencanaan yang telah digunakan banyak orang

adalah dengan menggunakan metalic yielding damper. Dapat berupa Added Damper

and Stiffness Damper (ADAS Damper) dan Reinforce Buckling Restrained Brace

Damper (RBRB Damper).

2.2 PRINSIP UMUM DESAIN MENGATASI GAYA LATERAL

Pemilihan struktur untuk bangunan tinggi didasarkan kepada faktor fungsi

yang dikaitkan dengan kebutuhan budaya, social, ekonomi, dan teknologi. Struktur

itu sendiri hanyalah satu diantara berbagai pertimbangan. Beberapa faktor yang

terutama berkaitan dengan perencanaan teknologi dari bangunan adalah :

1. Pertimbangan ekonomi

2. Kondisi tanah

3. Rasio tinggi lebar suatu bangunan

4. Pertimbangan fabrikasi dan pembangunan

5. Pertimbangan mekanis

6. Pertimbangan tingkat bahaya kebakaran

7. Pertimbangan setempat

8. Ketersediaan dan harga bahan konstruksi utama


Semakin tinggi suatu bangunan, pengaruh aksi gaya lateral menjadi semakin

berarti. Pada ketinggian tertentu ayunan lateral bangunan menjadi sedemikian besar

sehingga pertimbangan kekakuan, mutu bahan, menentukan rancangan. Dengan

demikian optimasi suatu struktur untuk kebutuhan ruang tertentu haruslah

menghasilkan kekakuan maksimum, tetapi dengan berat sekecil mungkin sehingga

akan dihasilkan struktur yang inovatif dan dapat diterapkan pada ambang ketinggian

tertentu. Struktur bangunan harus memiliki kemampuan untuk menahan berbagai

jenis gaya latereal seperti oleh angin atau gaya gempa. Gaya lateral gempa beresiko

cukup tinggi untuk mengakibatkan kegagalan struktur, seperti keruntuhan gedung

yang dapat mengakibatkan banyak korban jiwa.

2.3 KARAKTERISTIK STRUKTUR BANGUNAN

Pada persamaan difrensial melibatkan tiga properti utama suatu struktur yaitu

massa, kekakuan dan redaman. Ketiga properti struktur itu umumnya disebut

dinamik karakteristik struktur. Properti-properti tersebut sangat spesifik yang tidak

semuanya digunakan pada problem statik. Kekakuan elemen / struktur adalah salah

satu-satunya karakteristik yang dipakai pada problem statik, sedangkan karakteristik

yang lainnya yaitu massa dan redaman tidak dipakai.

2.3.1 Massa

Suatu struktur yang kontiniu kemungkinan mempunyai banyak derajat

kebebasan karena banyaknya massa yang mungkin dapat ditentukan. Banyaknya

derajat kebebasan umumnya berasosiasi dengan jumlah massa tersebut akan

menimbulkan kesulitan.


Hal ini terjadi karena banyaknya persamaan differensial yang ada. Terdapat dua

permodelan pokok yang umumnya dilakukan untuk mendeskripsikan massa struktur.

2.3.1.1 Model Lumped Mass

Model pertama adalah model diskretisasi massa yaitu massa diangggap

menggumpal pada tempat-tempat (lumped mass) join atau tempat-tempat tertentu.

Dalam hal ini gerakan / degree of freedom suatu join sudah ditentukan. Untuk titik

model yang hanya mempunyai satu derajat kebebasan / satu translasi maka nantinya

elemen atau struktur yang bersangkutan akan mempunyai matriks yang isinya hanya

bagian diagonal saja. Clough dan Penzien (1993) mengatakan bahwa bagian off-

daigonal akan sama dengan nol karena gaya inersia hanya bekerja pada tiap-tiap

massa. Selanjutnya juga dikatakan bahwa apabila terdapat gerakan rotasi massa

(rotation degree of freedom ), maka pada model lumped mass ini juga tidak akan ada

rotation moment of inertia. Hal ini terjadi karena pada model ini massa dianggap

menggumpal pada suatu titik yang tidak berdimensi (mass moment of inertia dapat

dihitung apabila titik tersebut mempunyai dimensi fisik). Dalam kondisi tersebut

terdapat matriks massa dengan diagonal mass of moment inertia sama dengan nol.

Pada bangunan gedung bertingkat banyak, konsentrasi beban akan terpusat pada tiap-

tiap lantai tingkat bangunan. Dengan demikian untuk setiap tingkat hanya ada satu

tingkat massa yang mewakili tingkat yang bersangkutan. Karena hanya terdapat satu

derajat kebebasan yang terjadi pada setiap massa / tingkat, maka jumlah derajat

kebebasan pada suatu bangunan bertingkat banyak akan ditunjukkan oleh banyaknya

tingkat bangunan yang bersangkutan. Pada kondisi tersebut matriks massa hanya

akan berisi pada bagian diagonal saja.


2.3.1.2 Model Consistent Mass Matrix

Model ini adalah model yang kedua dari kemungkinan permodelan massa

struktur. Pada prinsip consistent mass matrix ini, elemen struktur akan berdeformasi

menurut bentuk fungsi (shape function) tertentu. Permodelan massa seperti ini akan

sangat bermanfaat pada struktur yang distribusi massanya kontinu. Apabila tiga

derajat kebebasan (horizontal, vertikal dan rotasi) diperhitungkan pada setiap node

maka standar consistent mass matrix akan menghasilkan full-populated consistent

matrix artinya suatu matrix yang off-diagonal matriksnya tidak sama dengan nol.

Pada lumped mass model tidak akan terjadi ketergantungan antar massa (mass

coupling) karena matriks massa adalah diagonal. Apabila tidak demikian maka mass

moment of inertia akibat translasi dan rotasi harus diperhitungkan.

Pada bangunan bertingkat banyak yang massanya terkonsentrasi pada tiap-tiap

tingkat bangunan, maka penggunaan model lumped mass masih cukup akurat. .

Untuk pembahasan struktur MDOF seterusnya maka model inilah (lumped mass)

yang akan dipakai. Untuk menghitung massa baik yang single lumped mass maupun

multiple lumped mass dapat dipakai formulasi sederhana yaitu:

m=

(2.1)

dimana : m = massa struktur (kg dtk2/cm)

g = percepatan gravitasi ( 980 cm/ dtk2 )

2.3.2 Redaman

Redaman merupakan peristiwa pelepasan energi ( energi dissipation) oleh

struktur akibat adanya berbagai macam sebab. Beberapa penyebab itu antara lain


adalah pelepasan energi oleh adanya gerakan antar molekul didalam material,

pelepasan energi oleh gesekan alat penyambung maupun system dukungan,

pelepasan energi oleh adanya gesekan dengan udara dan pada respon inelastic

pelepasan energi juga terjadi akibat adanya sendi plastis. Karena redaman berfungsi

melepaskan energi maka hal ini akan mengurangi respon struktur. Secara umum

redaman atau damping dapat dikategorikan menurut damping system dan damping

types. Damping system yang dimaksud adalah bagaimana sistem struktur mempunyai

kemampuan dalam menyerap energi. Menurut sistem struktur yang dimaksud,

terdapat dua sistem disipasi energi yaitu :

2.3.2.1 Damping Klasik

Apabila dalam sistem struktur memakai bahan yang sama bahannya

mempunyai rasio redaman (damping ratio) yang relative kecil dan struktur damping

dijepit didasarnya maka sistem struktur tersebut mempunyai damping yang bersifat

klasik (classical damping). Damping dengan sistem ini akan memenuhi kaidah

kondisi orthogonal (orthogonality condition).

2.3.2.2 DAMPING NONKLASIK

Damping dengan sistem ini akan terbentuk pada suatu sistem struktur yang

memakai bahan yang berlainan yang mana bahan-bahan yang bersangkutan

mempunyai rasio redaman yang berbeda secara signifikan. Sebagai contoh suatu

bangunan yang bagian bawahnya dipakai struktur beton bertulang sedangkan bagian

atasnya memakai struktur baja. Antara keduanya mempunyai kemampuan disipasi

energi yang berbeda sehingga keduanya tidak bias membangun redaman yang klasik.

Adanya interaksi antara tanah dengan struktur juga akan membentuk sistem redaman


yang non-klasik, karena tanah mempunyai redaman yang cukup besar misalnya

antara 10-25 %, sedangkan struktur atasnya mempunyai rasio redaman yang relative

kecil, misalnya 4-7 %.

Tabel 2.1: Rasio Redaman berdasarkan Jenis dan Kondisi Struktur

No Level tegangan (stress level) Jenis dan kondisi struktur Rasio redaman (damping ratio)

1 Tegangan elastik atau tegangan kurang 1/2

tegangan leleh

Struktur baja las, beton prestress, beton biasa retak rambut 2-3%

Beton biasa retak minor 3-5%

Struktur baja sambungan baut,keling,struktur kayu dengan

sambungan baut/paku 5-7%

2 Tegangan sedikit di

bawah leleh atau pada saat leleh

Struktur baja las, beton prestress tanpa loss of orestress secara total 5-7%

Beton prestress dengan tegangan lanjut 7-10% Beton biasa 7-10%

Struktur baja dengan samb.baut,keling,atau struktur kayu

dengan sambungan baut 10-15%

struktur kayu dengan sambungan paku 15-20% Sumber : Newmark N.M, Hall W.J (1982)

2.3.3 Kekakuan

Kekakuan adalah salah satu dinamik karakteristik struktur bangunan yang

sangat penting disamping massa bangunan. Antara massa dan kekakuan struktur akan

mempunyai hubungan yang unik yang umumnya disebut karakteristik diri atau

Eigenproblem. Hubungan tersebut akan menetukan nilai frekuensi sudut , dan

periode getar struktur T. Kedua nilai ini merupakan parameter yang sangat penting

dan akan sangat mempengaruhi respon dinamik struktur.

2.3.3.1 Kekakuan Kolom


h

d = y

Pada prinsip bangunan geser ( shear building ) balok pada lantai tingkat

dianggap tetap horizontal baik sebelum maupun sesudah terjadi pergoyangan.

Adanya plat lantai yang menyatu secara kaku dengan balok diharapkan dapat

membantu kekakuan balok sehingga anggapan tersebut tidak terlalu kasar. Pada

prinsip desain bangunan tahan gempa dikehendaki agar kolom lebih kuat

dibandingkan dengan balok, namun demikian rasio tersebut tidak selalu linear

dengan kekakuannya. Dengan prinsip shear building maka dimungkinkan pemakaian

lumped mass model. Pada prinsip ini, kekakuan setiap kolom dapat dihitung

berdasarkan rumus yang telah ada.

Pada prinsipnya, semakin kaku balok maka semakin besar kemampuannya

dalam mengekang rotasi ujung kolom, sehingga akan menambah kekuatan kolom.

Perhitungan kekakuan kolom akan lebih teliti apabila pengaruh plat lantai

diperhatikan sehingga diperhitungkan sebagai balok T.

Kekakuan kolom jepit-jepit dirumuskan sebagai berikut:

= dan = = + = +


= Karena K= dan P = H1, maka :

K= = (2.2)

Sedangkan kekakuan jepit-sendi dapat dihitung sebagai berikut:

M = dan H = = y

K = =

(2.3)

Dimana : K = kekakuan kolom (kg/cm)

E = elastisitas (kg/cm2)

I = inersia kolom (cm4)

h = tinggi kolom (cm)

Struktur bangunan umumnya didukung oleh beberapa kolom. Kolom kolom

tersebut fungsi utamanya adalah bersama sama menahan beban baik secara vertical

maupun horizontal. Kolom kolom tersebut berarti akan memperkuat satu sama lain

dalam menahan beban. Kolom pada bangunan dimodelkan sebagai pegas yang dalam

menahan beban dapat dianggap sebagai rangkaian seri maupun parallel tergantung

arah beban vertical atau horizontal. Ciri cirri rangkaian kolom parallel adalah

apabila kolom kolom tersebut berhubungan dengan massa secara bersamaan. Pegas

parallel menganut prinsip persamaan regangan, artinya seluruh pegas mengalami


regangan yang sama, sehingga kekakuan total yang merupakan kekakuan ekivalen

dapat dihitung menurut rumus :

Keq = (2.4) Pada rangkaian pegas seri, didapat kekakuan ekivalen menurut rumus,

= (2.5) Yang mana i = 1,2,3,n adalah jumlah kolom, Ki adalah kekakuan kolom I menurut

persamaan (2.2) atau persamaan (2.3).

2.3.3.2 Kekakuan Elemen Bresing

Untuk mengurangi terjadinya simpangan horizontal yang berlebihan, suatu

struktur kadang kadang dipasang sistem bresing, terutama pada struktur baja.

Dengan adanya sistem ini maka struktur akan menjadi kaku, karena bresing

mempunyai kekakuan yang cukup besar. Walaupun sistem bresing dibuat

bersilangan (dua arah), namun demikian sistem ini hanya akan bekerja dalam satu

arah saja yaitu arah tarik. Hal ini terjadi karena pada arah desak struktur, elemen

bresing akan mudah sekali mengalami tekuk (buckling).

Gambar 2.1 Struktur dengan bresing

L

uP

H

AE


Menurut prinsip mekanika, pada suatu batang tarik akan diperoleh hubungan,

P = !"# $, dimana $ = % cos ),dan H = P cos ), maka akan diperoleh H = P = !"# % *+, ) (2.6) Kekakuan merupakan gaya per perpindahan, yaitu k = -., maka

k = !"# *+, ) (2.7) 2.4. Model Struktur Sebagai Sistem Derajat-Kebebasan Tunggal

2.4.1 Sistem Derajat Kebebasan-Tunggal (SDOF) Tak Teredam

Dalam dinamika struktur, jumlah kordinat bebas,(independent coordinates)

diperlukan untuk menetapkan susunan atau posisi sistem setiap saat, yang

berhubungan dengan jumlah derajat-kebebasan (degrees of freedom). Pada umumnya

struktur berkesinambungan (continuous structure) mempunyai jumlah derajat

kebebasan (number of degrees of freedom) tak berhingga. Namun dengan proses

idealisasi atau seleksi, sebuah model matematis yang tepat dapat mereduksi jumlah

derajat kebebasan menjadi suatu jumlah disktrit dan pada beberapa keadaan dapat

menjadi berderajat-kebebasan-tunggal (SDOF). Pada analisa dinamis SDOF

dimodelisasikan sebagai sistem dengan koordinat perpindahan tunggal. Secara

matematis sistem berderajat kebebasan tunggal ini dapat dimodelkan pada

gambar 2.2 yang mempunyai elemen elemen sebabagai berikut:

1. Elemen massa m menyatakan massa dan sifat inersia struktur.


y

F(t)y

k

c

2. Elemen pegas k menyatakan kapasitas gaya balik elastic ( elastic restoring

force ) dan kapasitas energy potensial dari struktur.

3. Elemen redaman c yang menyatakan sifat geseran dan kehilangan energy

dari struktur.

4. Gaya pengaruh F(t) yang menyatakan gaya luar yang bekerja pada sistem

struktur.

Dengan mengambil model matematis pada Gambar 2.2 dianggap bahwa tiap

elemen dalam sistem menyatakan suatu sifat khusus, yaitu massa m yang hanya

dianggap menyatakan sifat khusus inersia bukan elastisitas dan redaman, pegas k

menyatakan elastisitas bukan inersia atau redaman, dan redaman c menyatakan

kehilangan energi.

Gambat 2.2 Model matematis untuk sistem berderajat kebebasan satu.

Pada sistem yang tak teredam elemen c dianggap tidak ada atau diabaikan

pada struktur tersebut. Sistem berderajat kebebasan satu tak teredam sering

dihubungkan dengan osilator sederhana tak teredam ( simple undamped oscillator )

yang selalu disajikan seperti gambar 2.3(a) atau gambar 2.3(b). Pada model ini

massa m dihambat oleh pegas k dan bergerak menurut garis lurus sepanjang satu

sumber koordinat. Karakteristik mekanis dari pegas digambarkan antara besar gaya

Fs yang bekerja pada ujung pegas dengan hasil perpindahan y seperti gambar 2.4

yang menunjukkan grafis tiga jenis pegas yang berbeda.


m y

ky

y

k

( a )

( b )( c )

z o n e E

F s

y

y

F s

( a ) ( b )

Gambar 2.3 Beberapa bentuk alternative dari model matematis sistem berderajat-

kebebasan-satu

Lengkungan ( a ) pada gambar 2.4 menyatakan sifat dari pegas kuat (hard

spring) dimana gaya harus memberikan pengaruh lebih besar dari pada suatu

perpindahan yang disyaratkan seiring dengan terdeformasinya pegas. Pegas kedua

(b) disebut pegas linear (linear spring), karena deformasinya selaras (proporsional)

dengan gaya dan gambaran grafisnya mempunyai karakteristik garis lurus. Konstanta

keselarasan (constant of proportionalitiy) antara gaya dan perpindahan [ kemiringan

garis (b) dari pegas linear disebut konstanta pegas (spring constant), yang biasanya

dinyatakan dengan huruf k. Sehingga, kita dapat menulis hubungan antara gaya dan

perpindahan pegas linier sebagai berikut. /, = 0. 2 (2.8)

Gambar 2.4 Hubungan gaya dan perpindahan (a) pegas kuat, (b) pegas linier, (c) pegas lemah


Pegas dengan karakteristik lengkungan (c) pada gambar 2.4 disebut pegas

lemah ( soft spring ). Untuk pegas jenis ini, pertambahan gaya untuk memperbesar

perpindahan cenderung mengecil pada saat deformasi pegas menjadi semakin besar.

Pegas linier adalah bentuk yang paling sederhana untuk dianalisa. Karena

karakteristik elastic dari sistem struktur pada dasarnya linear, atau mungkin karena

kemudahan dalam menganalisa, selalu diasumsikan sifa deformasi gaya dari sistem

adalah linier. Perlu dicatat bahwa dalam praktek banyak kondisi dimana perpindahan

akibat gaya luar struktur adalah kecil (zona E) jadi pendekatan linier sangan dekat

dengan sifat asli struktur.

2.4.2 Sistem Derajat Kebebasan-Tunggal (SDOF) Teredam

Pada osilator sederhana dengan kondisi ideal tak teredam akan tetap bergetar

dengan amplidtudo konstan pada frekuensi naturalnya. Pengalaman menyatakan

bahwa tidak ada suatu alat yang bergetar dengan kondisi yang ideal ini. Gaya gaya

yang dinyatakan sebagai gesekan (friction) atau gaya redam ( damping force ) selalu

ada pada tiap sistem yang bergerak. Gaya gaya ini melepaskan ( dissipate ) energy,

adanya gaya gaya geser yang tak dapat diabaikan, membentuk suatu mekanisme

energi mekanis, energi kinetic maupun energi potensial yang ditransformasikan ke

bentuk energy lain, misalnya panas.

Gambar 2.5 Model struktur sistem derajat kebebasan tunggal teredam


2.4.2.1 Redaman Liat ( Viscous Damping )

Dengan memperhitungkan gaya gaya redam ( damping force ) dalam

analisa dinamis struktur, dianggap bahwa gaya gaya ini selalu selaras dengan besar

cepatannya dan mempunyai arah gerak yang berlawanan. Bentuk redaman ini dikenal

sebagai redaman liat (viscous damping), ini adalah bentuk dari gaya redam (damping

force) yang dapat terjadi pada benda tertahan geraknya dalam cairan pekat.

Terdapat beberapa keadaan dimana anggapan redaman liat ( viscous damping

) benar nyata dan di dalam mana mekanisme pelepasan energy mendekati kondisi liat

(viscous). Namun, anggapan redaman-liat (viscous damping) ini sering dibuat tanpa

memperhatikan kenyataan karakteristik pelepasan dari sistem. Analisa matematik

yang relative sederhana, merupakan alasan utama penggunaan metode ini secara

luas.

2.4.2.2 Persamaan Gerak

Suatu sistem dianggap sebagai osilator sederana dengan redaman liat (viscous

damping) seperti pada gambar 2.2. Pada gambar tersebut m dan k adalah massa dan

konstanta pegas dari osilator dan c adalah koefisien redaman liat. Dengan cara seperti

ini pada kondisi osilator tak teredam, dengan menggambar diagram freebody (DFB)

dan menggunakan hukum Newton untuk mendapatkan persamaan diffrensial gerak.

Penjumlahan gaya gaya pada arah y memberikan persamaan diffrensial gerak.

32.. + *2 . + 02 = 0 (2.9)

Dapat dibuktikan bahwa solusi coba coba (trial solution) y = A sin 5 t atau y = B cos 5 t tidak akan memenuhi persamaan (2.9). Namum fungsi eksponensial y =


6 789 memenuhi persamaan ini. Dengan mensubstitusikan fungsi ini pada persamaan (2.9) didapat persamaan

3 6:789 + * 6: 789 + 0 6 789 = 0 Dimana setelah menghilangkan faktor yang sama, didapatkan persamaan yang

disebut persamaan karakteristik untuk sistem, yaitu

m: + *: + 0 = 0 (2.10) Akar akar dari persamaan kuadarat adalah

p1,2 = ; < =

Dimana Ccr menyatakan harga redaman kritis ( critical damping value ). Karena

frekuensi natural frekuensi natural dari sistem tak teredam dinyatakan oleh 5 = J BA , maka koefisien redaman kritis yang diberikan oleh persamaan (2.14) dapat juga

dinyatakan dengan notasi

Ccr = 2 mw = 2 B5 (2.15) Harga harga persamaan karakteristik dari sistem redaman kritis, adalah sama dan

bersasal dari persamaan (2.11) yaitu,

p1=p2 = - 6*K23 (2.16) Karena kedua akar tersebut sama, maka solusi umum yang diberikan oleh persamaan

(2.12) mempunyai konstanta integrasi, sebab itu terdapat satu solusi independen

yaitu,

y1(t) = C1 7;LF

v o

y o

y (t)

t

2.4.2.4 Sistem Redaman Super Kritis

Pada sistem redaman superkritis ( overdamped sistem ), koefisien

redamannya lebih besar dari koefisien redaman dari sistem redaman kritis, yaitu C >

Ccr. Oleh karena itu besaran dibawah tanda akar persamaan (2.11) adalah positif,

jadi kedua akar persamaan karakteristik adalah riel dan solusinya diberikan oleh

persamaan (2.12). Perlu diperhatikan bahwa, untuk sistem redaman superkritis dan

redaman kritis, gerakan yang terjadi bukan osilasi, namun besar osilasi mengecil

secara eksponensial dengan waktu menuju nol. gambar 2.6 menyatakan grafik

respons dari osilator sederhana dengan redaman kritis pada gambar 2.6, tetapi

diperlukan lebih banyak waktu untuk kembali ke posisi netral bila redaman

bertambah.

Gambar 2.6 Respon getar bebas dengan redaman kritis

2.4.2.5 Sistem Redaman Subkritis

Bila harga koefisien redaman lebih kecil dari hargai kritis ( C < Ccr ), yang

mana akan terjadi bila besaran di bawah tanda akar negative, maka harga akar akar

dari persamaan karakteristik (2.11) adalah bilangan kompleks, jadi,

p1,2 =

dimana i = 1 adalah unit imajiner. Untuk hal ini perlu digunakan persamaan Euler yang menghubungkan fungsi fungsi exponensial dengan trigonometric yaitu,

7O = cos P + sin P 7;O = cos P sin P

(2.21)

Dengan mensubstitusikan akar akar p1 dan p2 dari persamaan (2.20) ke dalam

persamaan (2.12) dengan mengunakan persamaan (2.21) akan memberikan bentuk

solusi umum dari sistem redaman subkritis (underdamped system)

y(t)= 7;E S?TH9 (A cos 5 Dt + B sin 5 Dt) (2.22)

dimana A dan B adalah konstanta integrasi dan wD adalah frekuensi redaman dari

sistem yang diberikan oleh,

5 D = J BA E

y(t)= 7;W9( yo cos wDt + XY=ZY 55[ sin 5\] ) (2.27)

Alternatif penulisan persamaan ini adalah,

y(t)= 7;W9 cosL5\] ) N (2.28)

Dimana C = J2Y + LXY=ZY ^N? ^_? (2.29) Dan tan = LXY=ZY ^N ^_ ZY (2.30) Periode redaman getaran ( damped period of vibration ) dan diberikan oleh

persamaan (2.29)

TD = `5_ = `5J;V? (2.31)

Harga dari koefisien redaman untuk struktur adalah jauh lebih kecil dari koefisien

redaman kritis dan biasanya antara 2 sampai dengan 20 % dari harga redaman kritis.

Substitusi harga maksimum = 0,20 pada persamaan (2.24)

5 D = 0,98 5 (2.32)

Dapat dilihat bahwa frekuensi getaran suatu sistem dengan 20% ratio redaman

(damping ratio) adalah hamper sama dengan frekuensi natural sistem tak teredam.

Jadi dalam praktek, frekuensi natural dari sistem teredam dapat diambil sama dengan

frekuensi natural sistem tak teredam.


Gambar 2.7 Grafik simpangan terhadap waktu dari getaran kritis,super kritis,dan

sub kritis

2.5 Model Struktur Sebagai Sistem Derajat-Kebebasan Banyak

2.5.1 Persamaan Difrensial Struktur MDOF

2.5.1.1 Matriks Massa, Matriks Kekakuan dan Matriks Redaman

Untuk menyatakan persamaan diferensial gerakan pada struktur dengan

derajat kebebasan banyak maka dipakai anggapan dan pendekatan seperti pada

struktur dengan derajat kebebasan tunggal SDOF. Anggapan seperti prinsip shear

building masih berlaku pada struktur dengan derajat kebebasan banyak (MDOF).

Untuk memperoleh persamaan diferensial tersebut, maka tetap dipakai prinsip

keseimbangan dinamik (dynamic equilibrium) pada suatu massa yang ditinjau. Untuk

memperoleh persamaan tersebut maka diambil model struktur MDOF.


L L

h

h

h

P 3 (t)

P 2 (t)

P 1 (t)

k 1

c 1

m 1

k 1

c 1

m 1

k 1

c 1

m 1P1 (t) P2 (t)P 3 (t)

k 1y 1

c 1y '1

k 2(y 2 - y 1)

m 1y1" m 2y2" m 3y 3"

k 3(y 3 - y 2)

c 2(y '2 - y '1) c 3(y '3 - y '2)

a) S truktur dengan 3 D O F

c) Free body d iagram

b) m odel m atem atik

Gambar 2.8 Struktur 3-DOF, Model Matematik dan Free Body Diagram

Struktur bangunan gedung bertingkat 3, akan mempunyai 3 derajat

kebebasan. Sering kali jumlah derajat kebebasan dihubungkan secara langsung

dengan jumlahnya tingkat. Persamaan diferensial gerakan tersebut umumnya disusun

berdasarkan atas goyangan struktur menurut first mode atau mode pertama seperti

yang tampak pada garis putus-putus. Masalah mode ini akan dibicarakan lebih lanjut

pada pembahasan mendatang. Berdasarkan pada keseimbangan dinamik pada free

body diagram. maka akan diperoleh :

m1%a 1 + c1%b 1+ k1u1 - k2 (u2 u1) - c2 (%b 2 + %b 1) - F1(t) = 0 (2.33) m2%a 2 + c2 (%b 2 %b 1) + k2 (u2 - u1) - k3(u3 - u2) - c3 (%b 3 - %b 2) - F2(t) = 0 (2.34) m3%a 3 + c3 (%b 3 %b 2) + k3 (u3 - u2) - F3(t) = 0 (2.35)

Pada persamaan-persamaan tersebut diatas tampak bahwa keseimbangan

dinamik suatu massa yang ditinjau ternyata dipengaruhi oleh kekakuan, redaman dan

simpangan massa sebelum dan sesudahnya. Persamaan dengan sifat-sifat seperti itu

umumnya disebut coupled equation karena persamaan-persamaan tersebut akan

tergantung satu sama lain. Penyelesaian persamaan coupled harus dilakukan secara

simultan artinya dengan melibatkan semua persamaan yang ada.


Pada struktur dengan derajat kebebasan banyak, persamaan diferensial

gerakannya merupakan persamaan yang dependent atau coupled antara satu dengan

yang lain.

Selanjutnya dengan menyusun persamaan-persamaan di atas menurut parameter yang

sama (percepatan, kecepatan dan simpangan) selanjutnya akan diperoleh :

m1%a 1 + %b 1(c1 + c2) c2%b 2 + u1 (k1+ k2) k2u2 = F1(t) (2.36) m2%a 2 c2 %b 1+ (c2 + c3) %b 2 - c3 %b 3 - k2 u1 + (k2+k3) u2 k3 y3 = F2(t) (2.37)

m3%a 3 - c3%b 2 + c3%b 3 - k3u2 - k3u3 = F3(t) (2.38) Persamaan-persamaan di atas dapat ditulis dalam bentuk matriks sebagai berikut:

c3 0 00 3 00 0 3de f%a%a%da g + c

* + * * 0* * + *d *d0 *d *d e f%b%b%db g + c

0 + 0 0 00 0 + 0d 0d0 0d 0d e f%%%dg = h

/L]N/L]N/dL]Ni (2.39)

(Pers. 2.4.14 dapat ditulis dalam matriks yang lebih kompak,

[M]{Ua } + [C]{kb } + [K]{U} = {F(t)} (2.40) Yang mana [M], [C] dan [K] berturut-turut adalah mass matriks, damping matriks

dan matriks kekakuan yang dapat ditulis menjadi,

(2.41) Sedangkan {}, {} dan {Y} dan {F(t)} masing-masing adalah vektor percepatan,

vektor kecepatan, vektor simpangan dan vektor beban.


(2.42)

(2.

42)

Struktur bangunan bertingkat sebagai suatu sistem berderajat kebebasan

banyak dapat dianggap sebagai bangunan geser. Bangunan geser dapat didefenisikan

sebagai struktur dimana tidak terjadi rotasi ( putaran ) pada penampang horizontal

bidang lantainya. Balok balok pada struktur dianggap memiliki kekakuan tak

terhingga dibandingkan dengan kolom sehingga rotasi yang nyata pada bagian atas

kolom dapat ditahan. Dalam hal ini bangunan akan berkelakuan seperti balok terjepit

yang dibebani oleh gaya geser.

Untuk mencapai keadaan tersebut pada bangunan, harus dianggap bahwa :

Massa total dari struktur terpusat pada bidang lantai

Balok pada lantai kaku tak hingga dibandingkan dengan kolom

Deformasi dari struktur tidak dipengaruhi oleh gaya aksial pada kolom

2.5.2 Getara Bebas Pada Struktur MDOF

Pada umumnya, suatu struktur akan bergoyang apabila memperoleh

pembebanan dari luar, misalnya akibat beban angin, getaran akibat putaran mesin (

beban harmonic ) ataupun akibat beban gerakan tanah/gempa. Getaran yang

demikian dikelompokkan sebagai getaran yang dipaksa ( force vibration ). Dalam

pembahasan getaran bebas pada struktur akan diperoleh beberapa karakter struktur

yang penting dan sangat bermanfaat. Karakter karakter itu adalah frekuensi sudut

w, periode getar T dan frekuensi alami f.


Pada getaran bebas di struktur yang mempunyai derajat kebebasan banyak (

MDOF), maka matrix persamaan diffrensial gerakannya adalah:

lmn%a o + l6mn%b o + lmn%o = 0 (2.43)

Frekuensi sudut pada struktur dengan frekuensi redaman (damped frequency) wd

nilainya hampir sama dengan frekuensi sudut pada struktur yang dianggap tanpa

redaman. Sehingga diperoleh nilai damping ratio yang relatif kecil. Sehingga jika

kita masukkan kedalam persamaan 2.43) maka C = 0, sehingga persamaan akan

menjadi :

lmn%a o + lmn%o = 0 (2.44)

Karena persamaan 2.44) adalah persamaan diffrensial pada struktur MDOF yang

dianggap tidak mempunyai redaman, maka sebagaimana penyelesaian persamaan

diffrensial yang sejenis pada pembahasan pembahasan di depan, maka

penyelesaian persamaan tersebut diharapkan dalam fungsi harmonic menurut bentuk,

U = {}I sin (5 t) kb = - 5 {}i cos (5 t) ka = - 5 2 {}i sin (5 t) (2.45) Yangmana {}I adalah suatu ordinat massa pada mode yang ke i. Substitusi pers.

2.45) kedalam persamaan 2.42) akan diperoleh,

- 5 2lm{}i sin (5 t) + lm{}i sin (5t) = 0 (-5 2lm+ lm) {}I = 0 (2.46)


persamaan ini akan ada nilainya apabila determinan dari matrix yang merupakan

koefisien dari vector {} adalah nol, sehingga

|lm 5lm| = 0 (2.47) Jumlah mode pada struktur dengan derajat kebebasan banyak biasanya dapat

dihubungkan dengan jumlah massa. Mode adalah jenis/pola/ragam

getaran/goyangan/suatu struktur bangunan. Mode ini hanya berupakan fungsi dari

massa dan kekakuan tingkat pada bangunan dan bebas dari pengaruh waktu dan

frekuensi getaran. Dengan adanya hubungan antara jumlah mode dengan jumlah

massa struktur, maka bangunan yang mempunyai 5 tingkat misalnya, akan

mempunyai 5 derajat kebebasan dan akan mempunyai 5 jenis mode gerakan dan

akan mempunyai 5 nilai frekuensi sudut yang berhubungan langsung dengan jenis

modenya. Apabila jumlah derajat kebebasan adalah n, maka persamaan 2.45) akan

menghasilkan suatu polynomial pangkat n yang selanjutnya akan menghasilkan wi2

untuk i = 1,2,3 n. Selanjutnya substitusi masing masing frekuensi wi kedalam

persamaan 2.44) akan diperoleh nilai 1, 2, n.

2.5.2.1 Frekuensi Sudut (w) dan Normal Modes

Dalam menghitung frekuensi sudut untuk struktur MDOF, dianggap bahwa

struktur tersebut dianggap tidak mempunyai redaman atau C = 0. Untuk struktur

dengan dua DOF atau tingkat dua sama seperti persamaan diffrensial SDOF namun

dengan pemisalan 2 buah massa dengan 2 kekakuan dan 2 perpindahan, diperoleh :

m1%a 1 + k1u1 - k2 (u2 u1) = 0 m1%a 2 + k2 (u2 u1) = 0 (2.48)


Dalam persamaan yang lebih sederhana,

m1%a 1 +( k1 + k2 )u1 - k2 u2 = 0 m1%a 2 - k2 u1 + k2u2 = 0 (2.49)

Persamaan 2.49) dapat ditulis ke dalam persamaan matriks yaitu,

q3 00 3r s%a %a t + qL0 + 0N 00 0 r %% = 00 (2.50) Persamaan Eigenproblem dari persamaan 2.50) adalah

qL0 + 0N w3 00 0 w3 r st = 00 (2.51) Seperti persamaan 2.47) yaitu persamaan tersebut akan memiliki nilai jika |lm wlm| = 0, maka, qL0 + 0N 53 00 0 53 r = 0 (2.52) Nilai determinannya adalah

335@ nL0 + 0N3 03o5 + L0 + 0N0 0 = 0 (2.53)

Jika dimasukkan nilai2 nilai dari m1,m2,k1 serta k2, maka akan di dapat nilai dari

w1 dan w2 dan dengan demikian akan diperoleh nilai periode getar T tiap tiap mode

yaitu,

T1 = `^ dan

T2 = `^ (2.54)


2.6 DAKTAILITAS

Pengertian dasar dari daktilitas adalah kemampuan dari material atau struktur

untuk menahan t e ga n g a n p l as t i s t a np a pe n u ru n an ya n g d r a s t i s d a r i

t e ga n ga n . D ak t i l i t a s ya n g s a n ga t berpengaruh pada struktur dapat

tercapai pada panjang tertentu pada salah satu bagian d a r i s t ru k tu r

t e r s e bu t . Daktilitas dapat ditinjau dari segi tegangan (strain), lengkungan

(curvature),dan lendutan (displacement ).

a. Daktilitas Tegangan (Strain Ductility)

Daktilitas tegangan merupakan daktilitas yang dimiliki oleh material yang

digunakan. J i ka t e gan ga n in e l as t i k d i ba t as i de n ga n pa n j an g ya n g

s a n ga t pendek, maka akan terjadi penambahan yang besar pada daktilitas

tegangan. Jadi daktilitas tegangan bergantung pada mutu material dari

suatu struktur.

b. Daktilitas Lengkungan (Curvature Ductility)

Pada umumnya sumber yang paling berpengaruh dari lendutan

struktur inelastis adalah rotasi pada sambungan plastis yang paling potensial.

Sehingga, ini sangat berguna untuk m e n ghu b un gk an r o t a s i p e r un i t

p a n j a n g ( curvature) d e n ga n mo m ent b en d in g u ju n g . Daktilitas

lengkungan maksimum dapat ditunjukan sebagai berikut,

= Av (2.55)

d im an a , m adalah lengkungan maksimum yang akan timbul, dan

y adalah lengkungan p a d a s a a t l e l e h .


c. Daktilitas Lendutan (Displacement Ductility)

D a k t i l i t a s l e nd u t an b i as an ya d i gu na k a n pa d a e va lua s i

s t ru k tu r ya n g d i b e r ik a n ga ya ge m p a . D a k t i l i t a s d id e f i n i s ikan

o l eh r as i o d a r i t o t a l l e nd u t an ya n g t e r j ad i de n ga n lendutan pada

awal titik leleh (yield point) uy. = wwv > 1 (2.56)

Pada struktur, ketika respon gempa yang terjadi melebihi beban

rencana maka keadaan d e f o rm a s i i n e l a s t i s h a r us t e r c ap a i .

K e t i k a s t ru k t u r ma m pu un t uk m e r esp o n k e ad a an inelastis

tanpa penurunan kemampuan yang drastis, maka hal ini akan disebut

dalam keadaan daktail. Keadaan daktail yang sempurna terjadi pada saat

ideal elastic atau disebut juga perfectlyplastic (elastoplastic).

2.7 SIMPANGAN ANTAR LANTAI

2.7.1 Simpangan Inelastis Maksimum

Menurut SNI 03-1726-2003 pasal 8.1, kinerja batas layan struktur bangunan

gedung ditentukan oleh simpangan antar-tingkat akibat pengaruh Gempa Nominal,

yaitu untuk membatasi terjadinya pelelehan baja dan peretakan beton yang

berlebihan, disamping untuk mencegah kerusakan non-struktur. Simpangan antar-

tingkat ini harus dihitung dari simpangan struktur bangunan gedung tersebut akibat

pengaruh Gempa Nominal yang telah dikalikan dengan faktor skala.

Simpangan antar lantai dihitung berdasarkan respons simpangan inelastis

maksimum, M, dihitung sebagai berikut :

M = 0,7 R s (2.57)


(Untuk struktur gedung tidak beraturan)

Dengan, R adalah faktor modifikasi respons

S adalah respons statis simpangan elastic struktur yang terjadi di titik-titik

kritis akibat beban gempa horizontal rencana.

Simpangan antar tingkat (s) = ( 0.03*Tinggi Tingkat / R) atau maksimum

30 mm, bergantung yang mana yang nilainya terkecil.

Dalam melakukan perhitungan simpangan tersebut pengaruh translasi dan

rotasi bangunan harus diperhitungkan. Simpangan elastis struktur juga dapat dihitung

menggunakan analisis dinamis.

2.7.2 Batasan Simpangan Antar Lantai

Simpangan antar lantai yang dihitung tidak boleh melebihi 2,5 % dari jarak

antar lantai untuk suatu struktur dengan waktu getar dasar lebih kecil daripada atau

sama dengan 0,7 detik. Untuk struktur bangunan dengan waktu getar dasar lebih

besar daripada 0,7 detik, simpangan antar lantai tersebut tidak boleh melebihi 2,0 %

dari jarak antar lantai.

m ijin= 0.02 x tinggi tingkat yang bersangkutan (2.58)

2.8 DESAIN GEMPA

Untuk menghindari keruntuhan akibat gempa besar, elemen struktur harus

memiliki kemampuan yang cukup untuk menyerap dan mendissipasi energy melalui

deformasi inelastisnya. Biasanya kemampuan ini dinyatakan dalam daktilitas.

Bebarapa karakteristik dari gempa bumi yang dibutuhkan untuk mendesain

struktur tahan gempa:


1. Nilai maksimum gerakan gempa, yaitu nilai maksimum percepatan gempa,

nilai maksimum kecepatan gempa, dan nilai maksimum perpindahan tanah.

2. Lama waktu rerjadinya gempa (durasi gempa), dan

3. Rentang frekuensi gempa.

Setiap karakteristik gempa di atas berpengaruh pada respon (reaksi) struktur.

Nilai maksimum gerakan gempa berpengaruh pada amplitudo dari vibrasi struktur.

Durasi gempa berpengaruh pada besarnya pemindahan energi dari vibrasi tanah ke

energy struktur (energy dissipation). Gempa dengan percepatan sedang dan durasi

yang lama menyebabkan kerusakan lebih besar dibandingkan dengan gempa yang

memiliki percepatan besar namun durasi waktu yang singkat. Rentang frekuensi

gempa yang berdekatan dengan frekuensi struktur akan mengakibatkan resonansi

atau pembesaran respon struktur yang dikenal dengan istilah factor amplikasi

struktur. Percepatan gempa akan menimbulkan gaya inersia yang menyebabkan

struktur berespon relatif terhadap tanah. Pergerakan struktur terutama

perpindahannya menimbulkan gaya pegas yang harus dipikul oleh struktur terutama

elemen struktur vertikal seperti kolom dan dinding geser struktur.

2.8.1 Analisa Time History

Untuk perencanaan struktur bangunan gedung melalui analisis dinamik linier

riwayat waktu terhadap pengaruh pembebanan gempa nominal, percepatan muka

tanah asli dari gempa masukan harus diskalakan ke taraf pembebanan gempa

nominal tersebut, sehingga nilai percepatan puncak A menjadi:

y = !YO z{ (2.59)


Dimana: Ao =Percepatan puncak muka tanah (dari peta hazard gempa Indonesia

2010)

R =Faktor reduksi gempa representatif dari struktur bangunan gedung

I =Faktor keutamaan

Tabel 2.2. Faktor Keutamaan Gedung

2.8.2 Penentuan Percepatan Puncak di Permukaan Tanah

Besarnya percepatan puncak di permukaan tanah diperoleh dengan

mengalikan faktor amplifikasi untuk PGA (FPGA) dengan nilai PGA yang diperoleh

dari Gambar 2.9, Gambar 2.10, atau Gambar 2.11. Besarnya FPGA tergantung

dari klasifikasi site yang didasarkan pada Tabel 2.3 dan nilainya ditentukan sesuai

Tabel 2.4.

Tabel 2.3. Klasifikasi site didasarkan atas korelasi penyelidikan tanah

lapangan dan laboratorium (SNI-2002, UBC-97, IBC-2009, ASCE 7-10,)


Tabel 2.4: Faktor amplifikasi untuk PGA (FPGA) (ASCE 7-10)

Keterangan:

SPGA = Nilai PGA di batuan dasar (SB) mengacu pada Peta Gempa Indonesia 2010

(Gambar 2.9, Gambar 2.10, atau Gambar 2.11).

SS = Lokasi yang memerlukan investigasi geoteknik dan analisis respon

spesifik.

Percepatan puncak di permukaan tanah dapat diperoleh dengan menggunakan

persamaan berikut:

PGAM = FPGA x SPGA (2.60)

dimana:


PGAM = nilai percepatan puncak di permukaan tanah berdasarkan klasifikasi

site.

FPGA = faktor amplifikasi untuk PGA.

Untuk mengkaji perilaku pasca-elastik struktur bangunan gedung terhadap

pengaruh gempa rencana, harus dilakukan analisis respons dinamik non-linier

riwayat waktu, dimana percepatan muka tanah asli dari gempa masukan harus

diskalakan, sehingga nilai percepatan puncaknya menjadi sama dengan AoI.

Akselerogran gempa masukan yang ditinjau dalam analisis respons dinamik

linier dan non-linier riwayat waktu, harus diambil dari rekaman gerakan tanah akibat

gempa yang didapat di suatu lokasi yang mirip kondisi geologi, topografi dan

seismotektoniknya dengan lokasi tempat struktur bangunan gedung yang ditinjau

berada.

Untuk mengurangi ketidak-pastian mengenai kondisi lokasi ini, paling sedikit

harus ditinjau empat buah akselerogram dari empat gempa yang berbeda, salah

satunya harus diambil akselerogram Gempa El-centro N-S yang telah direkam pada

tanggal 15 mei 1940 di California. Perbedaan keempat akselerogram tersebut harus

ditunjukkan dengan nilai maksimum absolut koefisien korelasi silang antara satu

akselerogram terhadap lainnya yang lebih kecil daripada 10%. Berhubung gerakan

tanah akibat gempa pada suatu lokasi tidak mungkin dapat diperkirakan dengan

tepat, maka sebagai gempa masukan dapat juga dipakai gerakan tanah yang

disimulasikan. Parameter-parameter yang menentukan gerakan tanah yang

disimulasikan ini antara lain terdiri dari waktu getar predominan tanah, konfigurasi

spectrum respons, jangka waktu gerakan dan intensitas gempanya.


Documents

sistem satu derajat kebebasan sdof