774.нелинейные осцилляции заряженной капли монография

1

Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное агентство по образованию

Ярославский государственный университет им. П.Г. Демидова

А.И. Григорьев С.О. Ширяева А.Н. Жаров

Нелинейные осцилляции заряженной капли

Ярославль 2006

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

2

УДК 532.59:534.1 ББК В 253.322я73 Г 83

Рекомендовано Редакционно-издательским советом университета

в качестве научного издания. План 2006 года

Рецензенты: канд. физ.-мат. наук, А.С. Голованов;

кафедра прикладной математики и вычислительной техники Ярославского государственного технического университета

Г 83 Григорьев, А.И. Нелинейные осцилляции заряженной капли :

моногр. / А.И. Григорьев, С.О. Ширяева, А.Н. Жаров; Яросл. гос. ун-т. им. П.Г. Демидова. – Ярославль: ЯрГУ, 2006. – 280 с.

ISBN 5-8397-0464-4

В монографии с единой точки зрения в рамках аналитического

асимптотического моделирования рассмотрены нелинейные осцилляции заряженной капли идеальной несжимаемой жидкости как в вакууме, так и при наличии внешней несжимаемой диэлектрической среды ламинарно обтекающего каплю потока и осложняющего влияния внешних силовых полей и вязкости жидкости. Книга издана при финансовой поддержке грантов Президента

РФ МК-2946-2004-1 и МК-2209-2006-1, а также грантов РФФИ 03-01-00760 и 06-01-00066-а.

УДК 532.59:534.1 ББК В 253.322я73

ISBN 5-8397-0464-4

Ярославский государственный университет, 2006

А.И. Григорьев, С.О. Ширяева, А.Н. Жаров, 2006


3

1. Введение Совсем недавно, два с половиной десятилетия назад (первая

теоретическая статья [1] появилась 1983 году), начались регуляр-ные исследования нелинейных осцилляций капель [1 – 33]. И хотя самая первая публикация [1] была посвящена исследованию нели-нейных осцилляций незаряженной капли, во всех последующих работах [2 – 33] рассматривалась именно заряженная капля. Сле-дует отметить, что экспериментальные и теоретические исследо-вания устойчивости и динамики колебаний заряженных капель жидкости в линейном по амплитуде осцилляций приближении проводятся уже почти полтора столетия. Интерес к заряженной капле объясняется тем, что она является ключевым объектом в са-мых разнообразных академических, геофизических, технических и технологических явлениях и процессах. Например, с ней прихо-дится встречаться при электростатическом распыливании жидких топлив, инсектицидов, лакокрасочных материалов, в устройствах электрокаплеструйной печати, при исследовании проблем грозо-вого электричества, в капельной модели ядра атома, в жидкоме-таллических источниках ионов, в ионных коллоидных реактивных двигателях, при жидкометаллической литографии и эпитаксии, при получении порошков тугоплавких металлов и т.п. (см., на-пример, обзоры [34 – 46] и указанную в них литературу).

Начало теоретического изучения капиллярных колебаний и устойчивости заряженной капли в линейном приближении по ам-плитуде осцилляций связано с именем Рэлея [47 – 48] и относится к концу девятнадцатого века. Он представил каплю как колеба-тельную систему с бесконечным набором собственных частот ко-лебаний. В качестве отдельных мод осесимметричных колебаний поверхности рассматривались колебания, описываемые соответст-вующими полиномами Лежандра, при этом номер моды соответ-ствовал числу выпуклостей (или впадин) на поверхности капли. Рэлей рассчитал частоты капиллярных колебаний и нашел крити-ческие условия потери устойчивости сильно заряженной капли. Наименее устойчивой оказалась основная (вторая) мода капилляр-ных колебаний, критические условия потери устойчивости кото-рой и определяют устойчивость всей капли. Величину заряда на капле фиксированного радиуса с заданным коэффициентом по-


4

верхностного натяжения, при которой теряет устойчивость основ-ная мода, принято называть Рэлеевским пределом устойчивости заряженной капли. При превышении зарядом Рэлеевского предела капля неустойчива и у нее не существует равновесных сфериче-ских форм. Со времени появления работы Рэлея проделана масса исследований линейной устойчивости капель в различных услож-няющих вариантах, количество же публикаций, посвященных ли-нейным исследованиям, измеряется сотнями (см., например, обзо-ры [34 – 46] и указанную в них литературу).

В нижеследующем изложении сосредоточимся на исследова-ниях нелинейных осцилляций заряженных капель [2 – 32, 49 – 51]. Можно выделить три основных направления проведенных исследований: 1) нелинейный анализ эволюции амплитуды ка-пиллярных осцилляций поверхности капли в рамках методов тео-рии возмущений; 2) расчет равновесных форм заряженных ка-пель вблизи Рэлеевского предела и анализ характера бифуркаций решений, имеющих место в окрестности критического значения заряда; 3) исследование нелинейного взаимодействия между от-дельными модами колебаний заряженной капли.

Впервые классические методы теории возмущений (метод Линштедта-Пуанкаре) к исследованию осесимметричных капил-лярных колебаний конечной амплитуды, совершаемых поверхно-стью незаряженной капли несжимаемой невязкой жидкости, бы-ли применены в [1]. Это позволило получить квадратичные по амплитуде начальной деформации поправки к форме поверхно-сти капли, потенциалам скоростей и в третьем порядке малости к частотам колебаний. Расчеты проводились для трех типов на-чальных условий, определявшихся заданием начальной деформа-ции капли в виде виртуального возмущения n-й моды осцилляций для n = 2, 3, 4. При проведении экспериментальных исследований сдвига частоты при нелинейных колебаниях капли в условиях от-сутствия силы тяжести [32] получено хорошее согласие данных измерений с теоретическими предсказаниями работы [1].

В работе [29] на основе более подходящего для исследования многочастотных колебаний метода многих масштабов были ис-следованы осцилляции конечной амплитуды заряженной капли идеальной несжимаемой жидкости, вызванные начальным воз-буждением первых трех мод (n = 2, 3, 4), в ситуации когда заряд


5

капли не достигает Рэлеевского предела. Однако выяснилось, что при увеличении заряда до некоторого порогового зависящего от амплитуды осцилляций значения *Q , меньшего критической по Рэлею величины, найденные в [29] поправки к амплитудам гар-монических колебаний становятся несправедливыми, т.к. неогра-ниченно нарастают при Q ≥ *Q . Для устранения таких расходи-мостей в [32] на основе анализа асимптотического поведения ре-шений, полученных в [29], малый параметр масштабирования вводился таким образом, чтобы он характеризовал соотношение между амплитудой деформации и отклонением величины заряда на капле Q от критического ∗Q . Это позволило авторам [32] про-анализировать нелинейную динамику осесимметричных осцил-ляций поверхности невязкой заряженной капли вблизи Рэлеев-ского предела и получить с точностью до второго порядка мало-сти по величине решения, описывающие эволюцию формы капли, поля скоростей и электрического поля при начальном воз-буждении основной моды колебаний поверхности.

Нелинейный анализ неосесимметричных колебаний капли, несущей заряд, мало отличающийся от Рэлеевского предела, ма-тематическими методами, использованными в [32], предпринят и в [24], где получены динамические уравнения для амплитуд неосе-симметричных мод, описываемых сферическими функциями вто-рого порядка. Решения выведенных в [24] уравнений в зависимо-сти от величины начальной деформации капли и близости заряда к критическому значению проявляют тенденцию к стохастичности.

Нелинейная структура и устойчивость осесимметричных ста-тических форм поверхности идеально проводящей заряженной невязкой капли с зарядом, близким к Рэлеевскому пределу, при начальном возбуждении основной (n=2) моды рассматривались в [32]. В частности было показано, что Рэлеевский предел соответ-ствует точке транскритической бифуркации семейства статиче-ских сферических форм капли на семейства осесимметричных вытянутых и сплюснутых сфероидальных форм (этот результат был подтвержден численными расчетами [51]). Вытянутые фор-мы существуют при значениях заряда, меньших критического, и неустойчивы по отношению к малоамплитудным возмущениям поверхности. Сплюснутые статические формы согласно прове-денному анализу существуют при зарядах, больших Рэлеевского


6

предела (что стразу вызвало сомнение и впоследствии было оп-ровергнуто [24, 49 – 50]), причем cплюснутые статические формы оказались устойчивыми по отношению к малым осесимметрич-ным возмущениям. Кроме того, выяснилось, что при значениях заряда, немного меньших критического, устойчивость исходной сферической формы капли может быть нарушена колебаниями конечной амплитуды. Причем величина заряда, на которую сни-жается его критическое значение, пропорциональна амплитуде начального удлинения капли. Результаты аналитических вычис-лений в [32] подтверждаются численными расчетами статических форм поверхности капли при возбуждении первых трех мод. Численный анализ осесимметричных статических форм заряжен-ной капли вблизи Рэлеевского предела был продолжен в [25] с использованием интегральной формы уравнения Лапласа. В квадратичном по амплитудам мод приближении обнаружены не-симметричные относительно экваториальной плоскости формы капель, неустойчивые в линейном приближении. В работе [24] при анализе неосесимметричных колебаний капли получено, что сплюснутые сфероидальные формы капли, существующие со-гласно [32] и численным расчетам [51] при Q > *Q неустойчивы по отношению к неосесимметричным возмущениям (позднее аналогичный результат получен и в линейном анализе [49-50]). Таким образом, Рэлеевский предел соответствует точке абсолют-ной неустойчивости заряженной капли, совершающей осцилля-ции бесконечно малой амплитуды. Начальная стадия реализации неустойчивости заряженной капли проходит через последова-тельность удлиняющихся вытянутых сфероидов. При осцилляци-ях большой амплитуды критическая величина заряда, при кото-рой капля теряет устойчивость, снижается.

В [1, 12] был также подтвержден ранее отмеченный в [26 – 28] факт временной асимметрии осцилляций: при начальном воз-буждении основной моды, когда форма капли осциллирует меж-ду вытянутым и сплюснутым сфероидами, время нахождения ка-пли (пузыря) в состоянии вытянутого сфероида превышает время ее нахождения в сплюснутом состоянии, и эта тенденция усили-вается с увеличением амплитуды осцилляций. Но констатацией этого факта Тсамопулос и Браун и ограничились. Истолкование же ему дано в [52], где показано, что при нелинейных осцилляци-


7

ях капля совершает колебания не возле сферической формы, как было в линейном случае, но в окрестности фигуры, близкой к вы-тянутому сфероиду.

Вопросы взаимодействия различных мод капиллярных ос-цилляций заряженной поверхности капли рассматривались в ра-ботах [2, 29]. Найденные в [29] в расчетах второго порядка мало-сти квадратичные по малому параметру компоненты решений (деформации формы капли, потенциала поля скоростей течения жидкости в ней и электростатического потенциала в окрестности капли), а также поправки к частотам осцилляций, определяемые в расчетах третьего порядка малости, содержали в знаменателях множители вида ( )222

nm j ωω ⋅− , где mω и nω – частоты различных мод осцилляций капли, j – целое число. В некоторых ситуациях (при определенных значениях собственного заряда капли Q, ее радиу-са и величины коэффициента поверхностного натяжения) может выполниться соотношение ( ) 0222 =⋅− nm j ωω . Такие ситуации по ана-логии с возникающими при анализе вынужденных колебаний принято называть резонансными, поскольку в точках резонансов решения расходятся. В теории возмущений отработаны процеду-ры отыскания аналитических решений как в окрестностях, так и в самих точках резонансов [53 –55] путем введения параметра рас-стройки, величина которого может непрерывно изменяться. В физических задачах параметры расстройки вводятся на основе изменения физических параметров задачи, которые ранее прини-мались фиксированными. В итоге резонансные компоненты ре-шения сводятся к секулярным слагаемым, которые в свою оче-редь обрабатываются в стандартных математических процедурах.

В [29] в расчетах второго порядка малости был обнаружен резонанс между четвертой (n=4) и шестой (n=6) модами при за-ряде капли rQ , докритическом в смысле линейной устойчивости капли по отношению к собственному заряду (в смысле анализа устойчивости, проведенного Рэлеем), rQ < *Q , здесь *Q – критиче-ский заряд, при котором теряет устойчивость основная мода (n=2). Тсамопулос и Браун [29] ввели параметр расстройки на ос-нове варьирования заряда капли Q в малой окрестности rQ и по-строили решение, справедливое в самой точке резонанса и в его окрестности. Они показали, что в точке резонанса энергия полно-стью перекачивается из изначально возбужденной четвертой мо-


8

ды в шестую меньше чем за три периода осцилляций четвертой моды. Выяснилось, что максимальная амплитуда шестой моды достигается в положении точного резонанса (при равной нулю величине параметра расстройки) и что амплитуда шестой моды убывает по гиперболическому закону при увеличении абсолют-ной величины параметра расстройки.

В [29] также показано, что резонансное взаимодействие мод осцилляций реализуется и для незаряженной капли. В частности, такое взаимодействие для основной (n=2) и четвертой (n=4) мод обнаруживается в расчетах третьего порядка малости. Указанная степень малости приводит к существенному увеличению (на по-рядок) характерного времени обмена энергией между резонансно взаимодействующими модами.

Нелинейное резонансное взаимодействие пятой (n=5) и восьмой (n=8), а также десятой (n=10) и шестнадцатой (n=16) мод в незаряженной капле идеальной несжимаемой жидкости рассмотрено Натараньяном и Брауном в [3]. Само исследование проведено в рамках Лагранжева подхода, ранее использованного при изучении капиллярно гравитационных волн на поверхности воды. В выписываемый лагранжиан вводились в соответствии с идеей метода разных временных масштабов быстрое (характери-зующее решения первого порядка малости) и медленное (харак-теризующее решения второго порядка малости и в том числе не-линейное взаимодействие мод) времена. Начальная деформация задавалась суперпозицией пары взаимодействующих мод: 5-й и 8-й или 10-й и 16-й. Затем лагранжиан усреднялся по быстрому времени. Уравнения Эйлера-Лагража, соответствующие остав-шейся после усреднения части Лагранжиана, содержали лишь медленное время и описывали квадратичное по малому парамет-ру взаимодействие мод, определяющих начальную деформацию. Выяснилось, что параметры резонансного обмена энергией меж-ду взаимодействующими модами зависят от парциального вклада взаимодействующих мод в начальную деформацию.

В [3] показано, что если не ограничивать рассмотрение осе-симметричными модами осцилляций, то следует учесть, что с m-й осесимметричной модой связаны 2m+1 неосесимметричных мод с одинаковыми частотами и близкими величинами энергии их возбуждения. Оказалось, что осесимметричные моды неустойчи-


9

вы в смысле передачи своей энергии в связанные с ними неосе-симметричные моды. В итоге энергия, изначально заключенная в виртуально возбужденной в начальный момент времени в осе-симметричной m-й моде, «размазывается» по 2m+1 неосесиммет-ричным модам. При возбуждении в начальный момент двух ре-зонансно взаимодействующих мод с высокими номерами, коли-чество связанных с ними неосесимметричных мод оказывается весьма большим и обмен энергией между взаимодействующими неосесимметричными модами носит стохастический характер.

Внутреннее нелинейное резонансное взаимодействие мод, реализующееся в третьем порядке малости, выполненное с ис-пользованием Лагранжева формализма, изучено Натараньяном и Брауном в [4]. В экспериментах Тринча и Ванга [5], которые ис-следовали возбуждаемые акустическим полем осцилляции боль-шой амплитуды капель, подвешенных в акустическом подвесе, оказалось, что осцилляции большой амплитуды весьма трудно возбудить вследствие появления на поверхности капли неосе-симметричной бегущей волны, которая в конце концов приводи-ла к вращению капли как целого. Такой же эффект проявлялся и в экспериментах Якоби и др. [6] со свободно висящими в условиях невесомости каплями, осцилляции которых генерировались аку-стическим полем. Натараньян и Браун предположили, что такое поведение акустически возбуждаемых левитирующих капель свя-зано с реализацией в каплях резонанса третьего порядка с участи-ем неосесиметричных мод. Они указали, что, кроме резонанса третьего порядка между второй (n=2) и четвертой (n=4) модами, для которых выполняется условие 4 23 0ω ± ⋅ω = , о котором со-общалось ранее в [29], существуют резонансы третьего порядка между (2m+1) неосесиммтеричными модами, связанными с m-ой осесимметричной модой. Возбуждение таких резонансов и может привести к вращению капли как целого. В [4] в рамках Лагранже-ва метода исследованы резонансные взаимодействия между не-осесиммтеричными модами, связанными с третьей модой (m=3), а также между второй (n=2) и четвертой (n=4) модами с учетом влияния связанных с ними неосесимметричных мод. Показано, что при начальном возбуждении третьей осесимметричной моды (n=3, m=0) неосесимметричная тессеральная мода ∼ 2

3 ( , )P θ ϕ , (т.е. n=3, m=2) претерпевает неустойчивость, что в итоге может


10

привести к вращению капли как целого. Для ситуации начального возбуждения второй (n=2) и четвертой (n=4) мод, резонансно между собой взаимодействующих, претерпевает неустойчивость неосесимметричная тессеральная мода ∼ ),(2

4 ϕθP , (т.е. n=4, m=2), что также может привести к вращению капли как целого. Тем не менее результаты [4] вызывают сомнение, поскольку нелинейная поправка к частоте третьей моды, полученная в [4], отличается от найденной ранее в строгом гидродинамическом анализе [29], и сами авторы [4] говорят, что результаты их последнего расчета нуждаются в независимой проверке на предмет наличия ошибок. Сама идея возможности перекачки без постороннего силового воздействия энергии из осесимметричных мод капли в неосесим-метричные, сопровождающаяся понижением порядка симметрии реализующихся осцилляций, представляется сомнительной. Тем не менее для системы взаимодействующих точечных осциллято-ров (а также для многомодовых вторичных комбинационных ре-зонансов между модами осцилляций заряженной капли) перекач-ка энергии из высоких мод в низкие имеет место, и этот фен6омен даже получил специальное название «распадная неус-тойчивость». В экспериментах [5 – 6] направленное силовое воз-действие на каплю со стороны акустического поля имело место, и возникновение в итоге вращения капли как целого не представля-ется необычным, чего нельзя сказать о проводимом в [4] анализе.

Следует отметить, что сама идея возможности внутреннего резонансного взаимодействия мод осцилляций с различной сим-метрией не вызывает никаких возражений. Тщательного рассмот-рения требует вопрос о направлении перекачки энергии при реа-лизации внутреннего резонансного взаимодействия. Во всех вы-ше цитированных работах при упоминании о нелинейном внутреннем резонансном взаимодействии мод речь шла о так на-зываемом «вырожденном» трехмодовом резонансе, когда одна мода дважды взаимодействует с другой, но только лишь о факте существования такого взаимодействия. В реальности вырожден-ное внутреннее нелинейное резонансное взаимодействие мод об-ладает асимметрией и энергия, запасенная в модах, определяю-щих начальную деформацию капли, перекачивается только из мод с малыми номерами в моды с большими номерами. Обратная перекачка энергии из высоких мод в низкие идет лишь в рамках


11

той доли энергии, которая поступила из низких мод в высокие. Если же в реальности взаимодействуют три моды с различными номерами, то говорят уже о вторичном комбинационном резо-нансе, при котором возможна перекачка энергии из определяю-щих начальную деформацию капли мод с высокими номерами в моду с низким номером, отсутствующую в спектре мод, опреде-ляющих начальную деформацию.

Вопрос о направлении перекачки энергии между резонансно взаимодействующими модами осцилляций капли с различной симметрией до настоящего времени не исследовался, но такое ис-следование выполнено для волн на поверхности заряженной струи идеальной несжимаемой жидкости [30]. Выяснилось, что перекачка энергии из неосесимметричной моды в осесимметрич-ную может иметь место, но обратный перенос, соответствующий распадной неустойчивости, не реализуется, что совершенно не-понятно. Примерно таково же положение дел для резонансного обмена энергией между модами нелинейно-осциллирующей кап-ли, движущейся относительно среды [31]: распадная неустойчи-вость не имеет места.

Все аналитические исследования [2, 24 – 33] нелинейной ди-намики поверхности капли проводились в рамках модели идеаль-ной жидкости. Лишь в работе [23, 56] при расчетах численными методами было учтено влияние вязкости жидкости на осцилля-ции формы капли. В [23] получено, что даже наличие малой вяз-кости существенным образом сказывается на резонансном взаи-модействии отдельных мод колебаний. В [56] проведено деталь-ное численное исследование нелинейных осцилляций капли жидкости с произвольной вязкостью. Большая часть результатов, полученных в [56], была предсказуема из общефизических сооб-ражений. Широкому применению результатов численных анали-зов, как обычно, препятствует их малая общность, и вопрос о не-обходимости проведения аналитических расчетов нелинейных осцилляций заряженных капель остается на повестке дня.

Одним из интереснейших явлений, тесно связанных с осцил-ляциями и неустойчивостью заряженных капель, является воз-никновение огней св. Эльма (ОСЭ). В 93% случаев это зажигание ОСЭ обусловлено неустойчивостью капель и пленок воды в элек-трическом поле [57 – 58]. На нелинейной стадии этой неустойчи-


12

вости с поверхности жидкости начинается эмиссия сильно заря-женных высокодисперсных капелек, в окрестности которых за-жигается самоподдерживающийся за счет фотоионизации корон-ный разряд, что и объясняет наблюдающееся свечение. Интерес-но, что появление ОСЭ на самолетах, летящих в облаках, всегда сопровождается интенсивными радиопомехами. Из общефизиче-ских соображений можно выделить два источника радиоизлуче-ния ОСЭ: коронный разряд в окрестности эмиттированных ка-пель и капиллярные осцилляции капелек, несущих электрический заряд [59 –60]. Радиоизлучение коронного разряда изучено хоро-шо. Достаточно подробно разработана и теория электромагнит-ного излучения от линейно осциллирующей капли [60]. Поэтому в настоящем исследовании основное внимание будет уделено оценке интенсивности радиоизлучения, связанного с нелинейны-ми колебаниями заряженных капель.

Другой примечательный пример применения теории колеба-ний заряженной капли связан с исследованием взаимодействия звуковых волн с жидко-капельными системами. В этом случае, как правило, пренебрегают наличием у капель внутренних степе-ней свободы, связанных с капиллярными колебаниями капель, хотя хорошо известно, что частоты капиллярных колебаний ка-пель с размерами, характерными для жидко-капельных систем естественного происхождения (туманов, облаков, дождя), прихо-дятся на диапазоны частот звуковых волн и длинноволновых ультразвуковых (см., например, [45, 61 –62] и указанную в них литературу). Наличие на каплях электрического заряда, отклоне-ние формы капель от сферической, движение капель относитель-но внешней среды, учет их вязкости приводят к смещению спек-тра капиллярных колебаний в область более низких значений [45, 65 – 66], т.е. в область звуковых волн, воспринимаемых слухом.

Подводя итог вышесказанному, отметим, что, несмотря на обилие теоретических и экспериментальных исследований нели-нейных осцилляций заряженных капель, многие вопросы, с ними связанные, остались слабо освещенными. В этой связи представ-ляется необходимым и своевременным более детальное ознаком-ление с характерными постановками задач и математическими методами, используемыми при анализе нелинейных осцилляций заряженных капель.


13

2. Анализ нелинейных осцилляций заряженной капли идеальной жидкости

во втором порядке малости по амплитуде исходной деформации

2.1. Нелинейные осцилляции деформированной в начальный момент времени заряженной капли

1. Пусть в начальный момент времени t=0 равновесная сфе-рическая с радиусом R капля идеальной, несжимаемой идеально проводящей жидкости с плотностью ρ , коэффициентом поверх-ностного натяжения γ и электрическим зарядом Q, распределен-ным по ее поверхности, претерпевает виртуальное осесиммет-ричное возмущение фиксированной амплитуды, меньшей радиу-са капли. Зададимся целью исследовать эволюцию во времени формы поверхности такой капли, которая при t > 0 будет со-вершать нелинейные осцилляции в окрестности равновесной сферической формы.

Очевидно, что капля будет осесимметричной как в началь-ный, так и во все последующие моменты времени и уравнение, описывающее ее поверхность в сферической системе координат с началом в центре масс капли в безразмерных переменных, в ко-торых R 1ρ = = γ = , можно записать в виде

( ) ( )r , t 1 , tθ = + ξ θ ; | | 1ξ << . (1)

Движение жидкости в капле будем полагать потенциальным

с потенциалом поля скоростей движения жидкости в капле ( ),ψ r t ; само поле скоростей ( ),

V r t при этом определяется через

градиент потенциала ( ) ( )( ), ,= ψ

V r t grad r t . Принимая, что ско-

рости гидродинамических движений жидкости в капле много меньше скорости распространения электромагнитных взаимодей-ствий, электрическое поле заряда Q в окрестности капли будем считать электростатическим [59] и станем описывать его с помо-


14

щью потенциала ( ),Φ r t , с которым напряженность поля

E свя-

зана известным соотношением ( )= − ΦE grad .

Математическая формулировка решаемой задачи имеет вид:

Δψ ( t,r )= 0; )t,r(

ΔΦ ; (2)

r→0: ψ ( t,r ) → 0; (3)

r → ∞: ( )( )| , | 0grad Φ r t → ; (4)

r=1 + ξ(θ, t): 2

1;

t r r

∂ ∂ ∂= −∂ ∂ ∂ξ ψ ψ

θ

(5)

;ndiv)(8

1)(

2

1

tp 22 =∇+∇−

∂∂− Φ

πψψΔ (6)

Φ(r, θ, t) = const ; (7)

v

,ddsindrr πϕθθ3

42 =

v =[ ]πϕπθθξ 20010 ≤≤≤≤+≤≤ ,),t,(r (8)

0sin3 = ϕθθ dddrreV

r ; (9)

[ ]1( ) , 1 ( , ), 0 , 0 2 ;

4 s

n ds Q s r tξ θ θ π ϕ ππ

− ⋅∇Φ = = = + ≤ ≤ ≤ ≤

(10)

t=0: ∈

++=Ξ

μεμξμξθξi

ii1100 );(Ph)(P)(P)( ∈

=Ξi

i ;1h

( , )

0t

t

∂ =∂

ξ θ; cos=μ θ . (11)

Поскольку условия (8) – (9) должны выполняться в любой момент времени, в том числе и в начальный, то при t=0 они опре-


15

деляют амплитуды нулевой и первой мод в разложении началь-ного возмущения равновесной сферической формы поверхности капли ( )θξ в ряд по полиномам Лежандра, т.е. амплитуды нуле-вой и первой мод не могут быть произвольны, но будут зависеть от вида начальной деформации.

В выражениях (6)-(11) введены обозначения: pΔ – перепад постоянных давлений внутри и вне капли в состоянии равнове-сия; n

– единичный вектор нормали к поверхности (1); ε – без-размерная амплитуда начального возмущения формы поверхно-сти капли, являющаяся малым параметром задачи; ( )μiP – поли-номы Лежандра порядка i; ih – коэффициенты, определяющие парциальный вклад i-ой колебательной моды в суммарное на-чальное возмущение; Ξ – множество значений номеров изна-чально возбужденных колебательных мод; 0ξ и 1ξ – константы, определяемые из условий (8) и (9) в начальный момент времени и с точностью до слагаемых второго порядка малости по ε , равные:

( ) ( )3

1

22

0 12εεξ O

i

h

m

i ++

−≈ ∞

=; ( )( ) ( )

Ξ∈

− ++−

−≈i

ii Oii

hhi 3121 1212

9 εεξ . (12)

2. Для отыскания решения поставленной задачи воспользу-

емся методом многих масштабов, как это делалось в задачах это-го типа в [1,32]. Искомые функции ( )t,θξ , ( )tr ,

ψ , ( )tr ,Φ предста-

вим в виде рядов по степеням малого параметра ε и будем счи-тать зависящими не просто от времени t, а от разных его масштабов, определенных через малый параметр ε : tm

m ε≡Τ :

( ) ( )( )∞

==

110 ,...,,,

m

mm TTt θξεθξ ; ( ) ( )( )∞

==

110 ,...,,,,

m

mm TTrtr θψεψ ;

( ) ( )( )∞

=Φ=Φ

010 ,...,,,,

m

mm TTrtr θε . (13)

Ограничимся рассмотрением поставленной задачи в квадра-тичном по ε приближении, в рамках которого можно опреде-лить зависимость искомых величин от двух временных масшта-бов Т0 и Т1.

Подставляя разложения (13) в систему (2) – (11) и приравни-вая слагаемые, содержащие одинаковую степень параметра ε , получим набор краевых задач для определения функций ( )mξ , ( )mψ ,


16

( )mΦ . Очевидно, что линейным уравнениям (2) должна удовлетво-рять каждая из функций ( )mψ , ( )mΦ .

В нулевом порядке малости несложно найти выражение для электростатического потенциала в окрестности равновесной сфе-рической капли, обладающей зарядом Q :

( ) rQ /0 =Φ . Решения уравнений (2) для функций первого и второго по-

рядков малости, удовлетворяющие условиям ограниченности (3), (4), запишем в виде

( )( ) ( ) ( ) ( )

∞

=⋅⋅=

1010 1,,,,

nn

nmn

m PrTTDTTr μθψ , ( )2;1=m ;

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )∞

=

+− ⋅⋅=Φ0

1010 1,,,,

nn

nmn

m PrTTFTTr μθ . (14)

Последовательные поправки к равновесной поверхности кап-

ли также представим в виде разложений по полиномам Лежанд-ра:

( )( ) ( ) ( ) ( )∞

=⋅=

0010 1,,,

nn

mn

m PTTMTT μθξ ; ( )2,1=m . (15)

Подставляя решения (14), (15) при 1=m в систему граничных условий первого порядка малости, полученную из (5) – (7) после соответствующих преобразований, получим дифференциальные уравнения относительно коэффициентов ( )( )10

1 ,TTM n : ( ) ( ) ( )( ) 0,

,10

122

0

1012

=+∂

∂TTM

T

TTMnn

n ω ; ( )( )Wnnnn −+−= )2(12ω ; π4

2QW = . (16)

Решением уравнений (16) являются гармонические функции с коэффициентами, зависящими от времени 1T :

( ) ( ) ( ) .;.exp, 011

10)1( скTiTATTM nnn +⋅⋅⋅= ω )2( ≥n (17)

( ) ( ) ( )( )( )11

1)1(

11 exp TbiTaTA nnn ⋅⋅= .

Здесь и далее аббревиатура "к.с." обозначает слагаемые, ком-плексно сопряженные к выписанным; ( )1

)1( Tan и ( )11 Tbn – вещест-

венные функции, зависимость которых от времени 1T может быть


17

определена только при рассмотрении задачи следующего порядка малости.

Из условий (9), (10), записанных в линейном по малой вели-чине ε приближении, следует, что

( ) ( ) 0, 101

0 =TTM ; ( ) ( ) 0, 101

1 =TTM (18)

Отметим, что формально выражения (18) не противоречат уравнениям (16) для n=0 и n=1.

Удовлетворяя начальным условиям (11) в первом приближе-нии по ε , получим

( ) ii ha2

10)1( = ; ( ) 00)1( =ib ; ( )Ξ∈i ;

( ) 00)1( =na ; ( ) 00)1( =nb ; ( )Ξ∉n . (19)

Решения первого порядка (17), (18) и решения (14), (15) при m=2 подставим в найденную из (5) – (7) систему граничных ус-ловий второго порядка малости и после громоздких преобразова-ний получим уравнение относительно коэффициентов ( ) ( )10

2 ,TTM n : ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) +⋅⋅⋅⋅⋅−=+∂

∂0

1

11

1012

20

1022

exp2,,

TidT

TdAiTTM

T

TTMn

nnn

n ωωω

( ) ( ) ( ) ( )( )∞

=

∞

=

++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+1 2

011

11 exp

l mmlmlmnlmlmnl TiTATA ωωηωωγ

( ) ( ) ( ) ( )( )

+−⋅⋅⋅⋅⋅⋅−+ ..exp 011

11 скTiTATA mlmlmnlmlmnl ωωηωωγ ; (20)

+

++−−++−+++−=

2

Wn)3)7n2i2(i)1i(j()1)1j(j(n2)1in(K 2

iijnijn ωγ

+ ;2

Wn

i

1 2iijn

+ωα ;

21

11

2

++

+−=

j

n

ii

nK ijnijnijn αη

[ ] ;CK20n

0j0iijjn = .)1()1( 01)1(

000

nji

njiijjn CCjjii −++−=α

Здесь 01)1(

000

nji

nji CC − – коэффициенты Клебша – Гордана [64].

Они отличны от нуля, только если нижние индексы удовлетво-ряют следующим соотношениям:


18

( )jinji +≤≤− || ; ( ) gnji 2=++ . (21)

Поэтому во втором порядке малости будут возбуждаться ко-

лебания мод, номера которых удовлетворяют (21). 3. Из вида правой части (20) можно заметить, что если для

каких либо трех мод колебаний поверхности капли с номерами kqp ,, выполняется одно из соотношений

kqp ωωω =+ ; kqp ωωω =− , (22)

то в соответствии с общей идеологией метода многих масштабов эти моды вступают в резонансное взаимодействие, при этом го-ворят о вторичном (поскольку проявляется лишь во втором по-рядке малости) комбинационном резонансе.

Заметим, что согласно (16) значения частот собственных ко-лебаний поверхности капли nω зависят от величины заряда на ка-пле (от параметра W). Причем при значении Wcr = 4 частота коле-баний основной моды (с n=2) обращается в ноль, дальнейшее же увеличение W приводит к тому, что поверхность капли становит-ся неустойчивой по отношению к собственному заряду. Поэтому вторичные резонансы оказывают влияние на нелинейные осцил-ляции капли, и их имеет смысл исследовать только в том случае, если соотношения (22) выполняются при W < Wcr. В работе [29] был обнаружен один резонанс подобного типа, для случая когда

46 2ωω = , а в [65 – 66] показано, что общее количество резонансов при W < 4 весьма велико, и при 100,, <kqp их количество измеря-ется сотнями.

Пусть индекс n нумерует моды, возбуждающиеся за счет не-линейного взаимодействия во втором порядке малости, а индексы

qpk ,, нумеруют моды, связанные резонансным взаимодействием. Рассмотрим вначале случай qpkn ,,≠ , т.е. когда мода n не

связана никаким резонансным соотношением, а условие исклю-чения секулярных членов и членов с малыми знаменателями из решения уравнения (20) имеет простой вид:


19

( )11 0ndA T

dt= .

Из этого равенства, используя выражение для ( )11 TAn через

скалярные функции ( )1)1( Tan и ( )1

)1( Tbn (см. (18)) и требуя обращения в ноль действительной и мнимой частей, несложно получить

( ) ( )01

)1(1

)1(

==dt

Tdb

dt

Tda nn .

Эти равенства означают, что ( )1)1( Tan и ( )1

)1( Tbn не зависят от медленного времени T1 и в рамках рассмотрения задачи с учетом лишь второго порядка малости их можно считать константами, равными своим начальным значениям (19). Выражение (17) для коэффициентов первого порядка малости ( )tM n

)1( в разложении возмущения формы равновесной поверхности ( ) ( )t,1 θξ в ряд по полиномам Лежандра (15) примет вид

( ) ( )thtM iiinn ⋅⋅⋅= ωδ cos,

)1( ; qpkni ,,; ≠Ξ∈ , (23)

in,δ – дельта-символ Кронекера. Амплитуды поправок второ-

го порядка малости, получаемые при решении уравнения (19), в рассматриваемой ситуации примут вид

( )( ) ( ) ( ) ( ) +

⋅+−⋅

⋅++⋅⋅=

Ξ∈ Ξ∈

+

i jjinjinnjijin tthhtM ωωωωωωλ

2

1sin

2

1sin2

( ) ( ) ( )

⋅+−⋅

⋅−+⋅+ − tt jinjinnji ωωωωωωλ

2

1sin

2

1sin ;

( )2; , ,n n p q k≥ ≠

( ) ( ) ( )( ) 122i j n i j n i j i j n n i j

−± ≡ ± ⋅ ⋅ ⋅ − ±λ γ ω ω η ω ω ω (24)

Заметим, что из соотношений для ( )±njiλ следует, что выраже-

ние для амплитуды добавки второго порядка малости ( ) ( )tM n2 при

выполнении условия


20

( )22 0n i j− ± =ω ω ω (22a)

будет содержать малые знаменатели. Считая, что 0>nω , несложно увидеть, что это равенство эквивалентно (22), т.е. условию реали-зации внутреннего трехмодового комбинационного резонанса.

4. Выражения (23), (24), подставленные в (15), дают закон эволюции поверхности заряженной капли во времени, если ха-рактер взаимодействия между изначально возбужденными мода-ми не резонансный:

Ξ∈

∞

=Ο+++=

j nnnjj PMPMtr

0

3)2(2)1( )()()(1),( εμεμεθ ;

);tcos(hM ii)1(

i ω= ));t2cos(1()1i2(

h

2

1M i

i

i)2(0 ω

Ξ+

+−=

∈

);tcos()tcos()1i2)(1i2(

hih9M 1ii

i

i1i)2(1 −

∈

− +−−= ωω

Ξ

[ ] ;)tcos()(N)t(NM nnn)(

n ω02 −= n > 2;

( ) ( )

,

1( ) cos(( ) ) cos(( ) )

2n i j ijn i j ijn i ji j

N t h h t t+ −

∈Ξ

= + + − λ ω ω λ ω ω .

Анализ полученных соотношений показывает, что начальное возмущение (четной либо нечетной) одиночной моды m капил-лярных колебаний приводит к возбуждению во втором порядке малости только четных мод с номерами, лежащими в диапазоне [0; m]. Численный анализ по (24) показывает, что в противоречии с предсказаниями линейной теории независимо от вида началь-ной деформации равновесной сферической формы капли, несу-щей заряд, близкий к критическому, но меньший его, неустойчи-вость по отношению к собственному заряду может быть реализо-вана через быстрое нарастание амплитуды основной моды (n=2), возбуждающейся во втором порядке малости за счет нелинейного взаимодействия, даже если основная мода не входит в спектр мод, определяющих начальную деформацию. Этот вывод качест-венно согласуется с данными работы [51], посвященной числен-ному расчету нелинейных осцилляций заряженной капли. Когда


21

начальная деформация капли определена пятой модой, имеется и количественное согласие полученных выше временных зависи-мостей амплитуд мод, возбужденных во втором порядке малости с работой [2].

Расчеты показывают, что скорость увеличения амплитуды основной моды увеличивается с ростом номера моды, опреде-ляющей начальную деформацию. С увеличением номера моды, начальное возмущение которой определяет исходное возмущение равновесной сферической формы, растет и количество мод ка-пиллярных осцилляций заряженной капли, возбуждающихся за счет взаимодействия.

Когда начальное возмущение равновесной формы определе-но четными полиномами Лежандра, то образующая формы капли в любой момент времени строится из четных же полиномов Ле-жандра и имеет симметричный относительно начала координат вид. При достаточно большом значении времени t (лежащем на границе интервала равномерности решения по t) капля проявляет тенденцию к делению на две равные части. Если же начальное возмущение связано с нечетными полиномами Лежандра, то форма капли в любой последующий момент времени асиммет-рична относительно начала координат, несмотря на то что за счет взаимодействия мод во втором порядке малости по ε возбужда-ются только четные моды. При больших значениях времени t та-кая капля проявляет тенденцию к асимметричному делению.

Взаимодействие вырожденного резонансного типа возникает между модами во втором порядке малости, когда начальная де-формация капли определена одной модой, а частоты взаимодей-ствующих мод при некотором значении заряда Q удовлетворяют соотношению 222

nm j ωω ⋅= , где j – целое число, nm ≠ . В результате такого взаимодействия амплитуда одной из взаимодействующих мод растет со временем, а другой – уменьшается.

5. Расчеты показывают, что независимо от вида начальной деформации наиболее быстро растет амплитуда основной моды капиллярных колебаний. Поскольку использованная процедура расчета обеспечивает пригодность полученных выражений до тех пор, пока амплитуда мод, возбужденных во втором порядке мало-сти, не сравняется с амплитудой начального возмущения, то уве-личение амплитуды основной моды до величины порядка ε будет


22

соответствовать вытягиванию капли в сфероид с квадратом экс-центриситета 22 25.53 εε −≈e [67]. Несложно видеть, что даже при малых значениях ε ~ 0.1 это приведет к заметному удлинению ка-пли и к снижению критических условий реализации неустойчиво-сти капли по отношению к собственному заряду, которые для сфероидальной капли в линейном по 2e приближении имеют вид

( ) ( ) ( )( )7/25.432147/214 222* εε ⋅−−≈−= eeW .

Таким образом, если параметр Рэлея W капли близок к кри-тическому, то может реализовываться неустойчивость капли. Ес-ли капля характеризуется некоторым значением параметра Рэлея

+=WW , достаточно близким к критическому 4=W , но меньшим его, то из приведенного выражения для ( )2

* eW можно найти теку-щую безразмерную амплитуду основной моды 2a , при достиже-нии которой капля претерпит неустойчивость:

( )+⋅−⋅−≈ W...

a 1781178153

12 .

Так, при 6.3=W капля станет неустойчивой, когда безразмер-ная амплитуда основной моды достигнет величины 16.0≈a . При этом капля сбросит часть своего заряда путем эмиссии значи-тельного количества сильно заряженных высокодисперсных ка-пелек [42 – 45, 68].

2.2. Внутреннее нелинейное резонансное трехмодовое вырожденное и вторичное комбинационное

взаимодействие мод осцилляций заряженной капли

1. Внутреннее нелинейное резонансное взаимодействие мод осцилляций заряженной капли электропроводной несжимаемой жидкости среди прочих нелинейных эффектов, связанных с не-линейными осцилляциями капли, занимает в проводимых иссле-дованиях видное место: начиная с первых работ на эту тему, поя-вившихся двадцать лет назад [1, 3 – 4, 24, 29] и до настоящего времени [2, 19, 21 – 22, 69 – 77], более трех четвертей публикаций так или иначе его затрагивают. Причина такого интереса в том, что резонансное взаимодействие обеспечивает наиболее быстрое и эффективное перераспределение энергии начальной деформа-


23

ции капли между модами, возбуждающимися за счет нелинейно-го взаимодействия, и тем самым оказывает определяющее влия-ние как на закономерности реализации нелинейных осцилляций (и связанными с ними акустическим и электромагнитным излу-чениями [71, 73]), так и на закономерности распада капли, несу-щей заряд, близкий к критическому в смысле линейной устойчи-вости [2, 24, 29, 70, 74, 76]. Но, несмотря на значительное количе-ство публикаций, посвященных резонансному взаимодействию мод, на многие вопросы, с ним связанные, ответа пока не получе-но. Так, до сих пор не исследован вопрос о направлении перекач-ки энергии между модами при резонансном взаимодействии. Первыми были открыты и исследованы так называемые вырож-денные трехмодовые резонансы [1, 3, 29], в которых одна из двух взаимодействующих мод дважды взаимодействует с другой. В [69, 75] было показано, что в таких резонансах энергия перекачи-вается только в направлении от низких мод к высоким, что, во-обще говоря, не согласуется с представлениями о «распадной не-устойчивости» при трехмодовых взаимодействиях [78]. В работе [72] было обнаружено, что распадная неустойчивость может иметь место при истинно трехмодовых резонансах (вторичных комбинационных резонансах): было показано, что существует не-сколько резонансных ситуаций, в которых энергия перекачивает-ся из высоких мод в третью, но особенности такого взаимодейст-вия (характерное время взаимодействия и его глубина) исследо-ваны не были. В [72] было показано, что в четырехмодовых взаимодействиях энергия также может перекачиваться от высо-ких мод к низким, но с малой интенсивностью, поскольку эти взаимодействия реализуются только в третьем порядке малости. Исследование возможности перекачки энергии из высоких мод нелинейных осцилляций к низким (точнее говоря, к основной моде) представляет существенный интерес в связи с обсуждаю-щимся в научной литературе механизме инициировании разряда молнии коронным разрядом в окрестности крупной сильно заря-женной капли [74, 77].

В связи с вышесказанным в настоящей работе проводится ис-следование закономерностей перераспределения энергии между модами в вырожденных и во вторичных комбинационных резо-нансах при трехмодовом взаимодействии.


24

2. Рассмотрим эволюцию во времени формы поверхности не-линейно-осциллирующей капли идеальной, несжимаемой, иде-ально проводящей жидкости с плотностью ρ , коэффициентом поверхностного натяжения γ и электрическим зарядом Q , одно-родно распределенным по ее поверхности. В начальный момент времени t=0 равновесная сферическая форма капли с радиусом R претерпевает осесимметричное возмущение фиксированной ам-плитуды, существенно меньшей радиуса капли. Зададимся целью найти спектр возникающих капиллярных осцилляций капли (форму капли) при 0t > .

Примем, что форма капли осесимметрична как в начальный, так и во все последующие моменты времени, и уравнение, опи-сывающее ее поверхность, в сферической системе координат с началом в центре масс капли в безразмерных переменных, в ко-торых 1=== γρ R , имеет вид

( ) ( )ttr ,1, θξθ += ; 1|| <<ξ . (1)

Движение жидкости в капле будем полагать потенциальным с потенциалом поля скоростей движения жидкости в капле ( )tr ,

ψ ; само поле скоростей ( )trV ,

при этом определяется через градиент потенциала ( ) ( )( )trgradtrV ,,

ψ= . Принимая, что скорости гидроди-намических движений жидкости в капле много меньше скорости распространения электромагнитных взаимодействий, электриче-ское поле заряда Q в окрестности капли будем считать электро-статическим и станем описывать его с помощью потенциала ( )tr ,Φ , с которым напряженность поля E

связана известным со-

отношением ( )Φ−= gradE

. Математическая формулировка решаемой задачи имеет вид:

Δψ ( t,r )= 0; )t,r(

ΔΦ ; (2)

r→0: ψ ( t,r ) → 0; (3)

r → ∞: ( )( ) 0|,| →trΦgrad ; (4)

r=1 + ξ(θ, t): ;r

1

rt 2 θψψξ∂∂−

∂∂=

∂∂

(5)


25

2 21 1( ) ( )

2 8p div n

t

∂Δ − − ∇ + ∇Φ =∂

ψ ψπ

; (6)

Φ(r, θ, t) = const ; (7)

=V

,ddsindrrπ

ϕθθ3

42

[ ]πϕπθθξ 20010 ≤≤≤≤+≤≤= ,),t,(rV ; (8)

03 =⋅ ϕθθ ddsindrreV

r

; (9)

[ ]1( ) , 1 ( , ), 0 , 0 2 ;

4S

n ds Q S r t− •∇Φ = = = + ≤ ≤ ≤ ≤

ξ θ θ π ϕ ππ

(10)

t=0: Ξ∈

++=i

ii PhPP );()()()( 1100 μεμξμξθξ Ξ∈

=i

ih ;1 0),( =

∂∂

t

tθξ . (11)

Поскольку условия (8) – (9) должны выполняться в любой

момент времени, в том числе и в начальный, то при t = 0 они оп-ределяют амплитуды нулевой и первой мод в разложении на-чального возмущения равновесной сферической формы поверх-ности капли ( )θξ в ряд по полиномам Лежандра, т.е. амплитуды нулевой и первой мод не могут быть произвольны, но будут зави-сеть от вида начальной деформации.

В выражениях (6) – (11) введены обозначения: θμ cos= ; pΔ – перепад постоянных давлений внутри и вне капли в состоя-

нии равновесия; n

– единичный вектор нормали к поверхности (1); ε – амплитуда начального возмущения формы поверхности капли, являющаяся малым параметром задачи; ( )μiP – полиномы Лежандра порядка i; ih – коэффициенты, определяющие парци-альный вклад i-й колебательной моды в суммарное начальное возмущение; Ξ – множество значений номеров изначально воз-бужденных колебательных мод; 0ξ и 1ξ – константы, определяе-


26

мые из условий (8) и (9) в начальный момент времени, с точно-стью до слагаемых второго порядка малости по ε , равные

( ) ( )3

1

22

0 12εεξ O

i

h

m

i ++

−≈ ∞

=; ( )( ) ( )

∈

− ++−

−≈Ξ

εεξi

ii Oii

hhi 3121 1212

9. (12)

3. Для отыскания решения поставленной задачи воспользу-

емся методом многих масштабов, как это делалось в задачах это-го типа в [2, 19, 21, 24, 29, 69 – 77]. Искомые функции ( )t,θξ , ( )t,rψ , ( )t,r

Φ представим в виде рядов по степеням малого па-раметра ε и будем считать зависящими не просто от времени t, а от разных его масштабов, определенных через малый параметр ε : tm

m εΤ ≡ :

( ) ( ) ( )∞

==

110

m

mm ,...T,T,t, θξεθξ ; ( ) ( ) ( )∞

==

110

m

mm ,...T,T,,rt,r θψεψ ;

( ) ( ) ( )∞

==

010

m

mm ,...T,T,,rt,r θΦεΦ . (13)

Ограничимся рассмотрением поставленной задачи в квадра-тичном приближении, в рамках которого можно определить зави-симость искомых величин от двух временных масштабов 0T и 1T .

Подставляя разложения (13) в систему (2) – (11) и приравни-вая слагаемые, содержащие одинаковые степени параметра ε , получим набор краевых задач для определения функций ( )mξ ,

( )mψ , ( )mΦ . Очевидно, что линейным уравнениям (2) должна

удовлетворять каждая из функций ( )mψ , ( )mΦ . В нулевом порядке малости получим выражения для элек-

тростатического потенциала в окрестности равновесной сфериче-ской капли, обладающей зарядом Q : ( ) r/Q=0Φ .

Решения уравнений (2) для функций первого и второго по-рядков малости, удовлетворяющие условиям ограниченности (3), (4), запишем в виде

( ) ( ) ( ) ( ) ( )∞

=⋅⋅=

1010 1

nn

nmn

m PrT,TDT,T,,r μθψ , ( )1;2=m ;


27

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )∞

=

+− ⋅⋅=0

1010 1

nn

nmn

m PrT,TFT,T,,r μθΦ . (14)

Последовательные поправки к равновесной поверхности кап-ли также представим в виде разложений по полиномам Лежанд-ра:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )∞

=⋅=

0010 1

nn

mn

m PT,TMT,T, μθξ ; ( )21,m = . (15)

Подставляя решения (14), (15) при 1=m в систему граничных условий первого порядка малости, полученную из (5) – (7), после соответствующих преобразований получим дифференциальные уравнения относительно коэффициентов ( ) ( )10

1 T,TM n :

( ) ( ) ( ) ( ) 01012

20

101

=+∂

∂T,TM

T

T,TMnn

n ω ;

( )( )W)n(nnn −+−= 212ω ;

π4

2QW = . (16)

Решением уравнений (16) являются гармонические функции (для 2≥n ) с коэффициентами, зависящими от времени 1T :

( ) ( ) ( ) .;с.кTiexpTAT,TM n)(

n)(

n +⋅⋅⋅= 011

101 ω

( ) ( ) ( ) ( )( )11

11

11 TbiexpTaTA nn

)(n ⋅⋅= . (17)

Здесь и далее аббревиатура "к.с." обозначает слагаемые, ком-плексно сопряженные к выписанным; ( )1

1 Ta )(n и ( )1

1 Tb )(n – веще-

ственные функции, зависимость которых от времени 1T может быть определена только при рассмотрении задачи следующего порядка малости.

Из условий (9), (10), записанных в линейном по малой вели-чине ε приближении, следует, что

( ) ( ) 0101

0 =T,TM ; ( ) ( ) 0101

1 =T,TM (18)


28

Отметим, что формально выражения (18) не противоречат уравнениям (16) для n=0 и n=1.

Удовлетворяя начальным условиям (11) в первом приближе-нии по ε , получим

( ) i)(

i ha2

101 = ; ( ) 001 =)(

ib ; ( )Ξ∈i ;

( ) 001 =)(na ; ( ) 001 =)(

nb ; ( )Ξ∉n . (19)

Решения первого порядка (17), (18) и решения (14), (15) при m=2 подставим в полученную из (5) – (7) систему граничных ус-ловий второго порядка малости и после громоздких преобразова-ний получим уравнение относительно неизвестных коэффициен-тов ( ) ( )10

2 T,TM n : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )+⋅⋅⋅⋅⋅−=⋅+∂

∂0

1

11

1012

20

102

2 TiexpdT

TdAiT,TM

T

T,TMn

)(n

nnnn ωωω

( ) ( ) ( ) ( )( ) ∞

=

∞

=++⋅⋅⋅⋅⋅⋅++

2 201

11

1

l mml

)(m

)(lmnlmlmnl TiexpTATA ωωηωωγ

( ) ( ) ( ) ( )( )+−⋅⋅⋅⋅⋅⋅−+ .с.кTiexpTATA ml

)(m

)(lmnlmlmnl 01

11

1 ωωηωωγ ;

(20)

+

++−−++−+++−=

23722111212 W

n))ni(i)i(j())j(j(n)in(iijnKijn ωγ

+ ;W

niiijn

+

2

21ωα ;

j

n

iijn)i

nijnKijn

+++−=

21

11

2αη

[ ] ;njiCijnK

2000= .n

j)(iCnjiC)j(j)i(iijn

011

00011 −++−=α

Здесь 011

000

nj)(iC,n

jiC − - коэффициенты Клебша-Гордана. Они

отличны от нуля, только если нижние индексы удовлетворяют следующим соотношениям:

( )jin|ji| +≤≤= ; ( ) gnji 2=++ . (21)


29

Поэтому во втором порядке малости будут возбуждаться только колебания мод, номера которых удовлетворяют (21).

4. Из вида правой части (20) видно, что если для трех мод ко-лебаний поверхности капли с номерами kqp ,, выполняется одно из соотношений

kqp ωωω =+ ; kqp ωωω =+ , (22)

то в соответствии с общей идеологией метода многих масштабов эти моды вступают в резонансное взаимодействие, при этом го-ворят о вторичном (поскольку проявляется лишь во втором по-рядке малости) комбинационном резонансе.

Заметим, что согласно (16) значения частот собственных ко-лебаний поверхности капли nω зависят от величины заряда на ка-пле (от параметра W). Причем при значении 4=crW частота ко-лебаний основной моды (с n = 2) обращается в ноль, дальнейшее же увеличение W приводит к тому, что поверхность капли стано-вится неустойчивой по отношению к собственному заряду. По-этому вторичные резонансы оказывают влияние на нелинейные осцилляции капли, и их имеет смысл исследовать только в том случае, если соотношения (22) выполняются при crWW < . В ра-боте [29] был обнаружен резонанс подобного типа, для случая когда 46 2ωω = , а в [70, 72, 74] показано, что общее количество резонансов при 4<W весьма велико и при 100<k,q,p их количе-ство измеряется сотнями.

Пусть индекс n нумерует моды, возбуждающиеся за счет не-линейного взаимодействия во втором порядке малости, а индексы

qpk ,, нумеруют моды, связанные резонансным взаимодействием. 4а. Рассмотрим вначале случай q,p,kn ≠ , т.е. когда мода n

не связана никаким резонансным соотношением, а условие ис-ключения секулярных членов и членов с малыми знаменателями из решения уравнения (20) имеет простой вид:

( )01

1

=dt

T)(

ndA.


30

Из этого равенства, используя выражение для ( )11 TA )(

n через

скалярные функции ( )11 Ta )(

n и ( )11 Tb )(

n (см. (18)) и требуя обраще-ния в ноль действительной и мнимой частей, несложно получить

( ) ( )01

11

1== dt

T)(ndb

dt

T)(nda

.

Эти равенства означают, что ( )11

T)(

na и ( )11

T)(

nb не зависят от медленного времени 1T и в рамках рассмотрения задачи во вто-ром порядке малости их можно считать константами, равными своим начальным значениям (19). Выражение (17) для коэффици-

ентов первого порядка малости ( )t)(nM1 в разложении возмуще-

ния формы равновесной поверхности ( ) ( )t,θξ 1 в ряд по полино-мам Лежандра (15) примет вид

( ) ( )ticosihi,nt)(

nM ⋅⋅⋅= ωδ1; q,p,kn;i ≠∈ Ξ , (23)

i,nδ – дельта-символ Кронекера. Амплитуды поправок второ-

го порядка малости, получаемые при решении уравнения (20), в рассматриваемой ситуации примут вид:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) +

⋅−−⋅

⋅++⋅⋅=

∈ ∈

+

Ξ Ξωωωωωωλ

i jjinjinnjijin tsintsinhhtM

2

1

2

12

( ) ( ) ( )

⋅+−⋅

⋅−+⋅+ − tt jinjinnji ωωωωωωλ

2

1sin

2

1sin ; ( )k,q,pn;n ≠≥ 2

( ) ( ) ( )( ) 122 −± ±−⋅⋅⋅±≡ jinnjijinjinji ωωωηωωγλ . (24)

4b. При анализе уравнения (20) для мод с q,p,kn = , чтобы отразить близость комбинации частот qp ωω − к частоте kω , вве-

дем параметр расстройки ( )1O~σ , определяемый соотношением

( )kkqp ⋅+=− εωωω 1 . (25)

Отметим, что параметр расстройки можно связать с величи-ной собственного заряда капли (с величиной параметра W ), имея в виду, что, варьируя заряд капли, можно изменять частоту ос-цилляций, уводя ее от положения точного резонанса.


31

Если (25) подставить в (20), то в правой части уравнения (20) для рассматриваемых случаев появятся слагаемые, содержащие следующие сомножители:

( )( ) ( )( ) =⋅⋅⋅+⋅=⋅−⋅ 00 TiexpTiexp kkqp σωεωωω

( ) ( )01 TiexpTiexp kk ⋅⋅⋅⋅⋅⋅= ωωσ ;

( )( ) ( )( ) =⋅⋅⋅−⋅=⋅+⋅ 00 TiexpTiexp kpqk σωεωωω

( ) ( )01 TiexpTiexp pk ⋅⋅⋅⋅⋅⋅−= ωωσ ;

( )( ) ( )( ) =⋅⋅⋅+⋅=⋅−⋅ 00 TiexpTiexp kqkp σωεωωω

( ) ( )01 TiexpTiexp qk ⋅⋅⋅⋅⋅⋅= ωωσ ,

а условия исключения секулярных членов из решения уравнения (20) для qpkn ,,= запишутся в виде

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 02 11

11

11

1

=⋅⋅⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅− − TATATiexpdt

TdAi qpkkqp

)(k

k ωσΛω ;

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 02 11

11

11

1

=⋅⋅⋅⋅⋅−⋅+⋅⋅⋅− + TATATiexpdt

TdAi qkkpqk

)(p

p ωσΛω ;

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 02 11

11

11

1

=⋅⋅⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅− − TATATiexpdt

TdAi kpkqkp

)(q

q ωσΛω ;

(26)

( ) ( ) ( )nlmnmlmlnlmnmlnml ηηωωγγΛ +⋅⋅±+=± .

Приравнивая к нулю действительную и мнимую части выра-жений (26) и вводя новую функцию

( ) ( ) ( ) ( )11

111 TbTT kkk −⋅⋅= ωσβ , (27)

получим систему дифференциальных уравнений относительно вещественных функций ( ) ( )1

1 Tak , ( ) ( )11 Tkβ , ( ) ( )1

1 Ta p , ( ) ( )11 Tbp ,

( ) ( )11 Taq , ( ) ( )1

1 Tbq :


32

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )11

11

11

1

11

2 TsinTaTadT

Tdapqkqpkqp

kk ϕΛω ⋅⋅⋅=⋅ − ;

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) +⋅⋅=⋅⋅ σω

βω 1

12

1

11

11 22 Ta

dT

TdTa kk

kkk

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )11

11

11 TcosTaTa pqkqpkqp ϕΛ ⋅⋅⋅+ − ;

( )( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( )11

11

11

1

11

sin2 TTaTadT

Tdapqkqkpqk

pp ϕω ⋅⋅⋅Λ−=⋅ + ;

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )1

11

11

1

1

11

112 TcosTaTa

dT

TdbTa pqkqkpqk

ppp ϕΛω ⋅⋅⋅−=⋅⋅ + ;

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )11

11

11

1

11

2 TsinTaTadT

Tdapqkkpqkp

qq ϕΛω ⋅⋅⋅=⋅ − ;

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )1

11

11

1

1

11

112 TcosTaTa

dT

TdbTa pqkkpqkp

qqq ϕΛω ⋅⋅⋅−=⋅⋅ − ;

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )11

11

11

11 TbTbTT qpkpqk −+= βϕ . (28)

Начальными условиями для уравнений (28) служат соотноше-ния (19), причем из требования непротиворечивости системы (28) при t=0 получаем, что если какая либо из мод, k, p или q не при-сутствует в спектре изначально возбужденных мод Ξ , т.е. ее ам-плитуда в начальный момент времени равна нулю, то ее фаза при

0=t не произвольна, а равна / 2π . В итоге начальные условия для системы (28) можно записать в следующей компактной форме:

( ) ( ) 201 /ha jj,ij ⋅= δ ; ( ) ( ) ( ) 2101 /b j,ij πδ ⋅−±= ; q,p,kj;i =∈Ξ .

(29)

Коэффициенты первого порядка в разложении (15) для резо-нансно взаимодействующих мод qpk ,, запишутся в виде (см. (17))

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )ttcostatM kqp)(

k)(

k ⋅−⋅−⋅⋅⋅= εβωωε 111 2 ;

( ) ( ) ( ) ( )( )tbtcostatM pp)(

p)(

p ⋅+⋅⋅⋅⋅= εωε 111 2 ;

( ) ( ) ( ) ( )( )tbtcostatM qq)(

q)(

q ⋅+⋅⋅⋅⋅= εωε 111 2 , (30)


33

где коэффициенты ( ) ( )11 Tak , ( ) ( )1

1 Tkβ , ( ) ( )11 Ta p , ( ) ( )1

1 Tbp , ( ) ( )11 Taq ,

( ) ( )11 Tbq являются решениями системы уравнений (28) с начальны-

ми условиями (29). Отметим, что в используемом приближении (до второго порядка включительно) резонансное взаимодействие трех мод будет проявляться лишь в том случае, когда хотя бы две из них присутствуют в спектре мод, возбужденных в начальный момент Ξ , т.е. их амплитуды при 0=t должны быть отличны от нуля. Результаты расчета по соотношениям (28) – (30) при 30.=ε временной эволюции амплитуд первого порядка малости резо-нансно взаимодействующих при 649.1=W четвертой, пятой и седьмой мод, когда начальная деформация определена четвертой и седьмой модами, представлены на рис. 1. Видно, что возбужде-ние отсутствовавшей в спектре начального возмущения пятой моды происходит за счет резонансной перекачки энергии из наи-более высокой седьмой моды. Видно также, что часть энергии седьмой моды передается и четвертой, амплитуда которой увели-чивается синхронно с амплитудой пятой моды, т.е. имеет место передача энергии от высокой моды к более низким в соответст-вии с представлениями о распадной неустойчивости.

0 2 4 t

-0.2

-0.1

0

0.1

M4 1 , M 5

1 , M7 1

Рис. 1. Зависимости от безразмерного времени безразмерных амплитуд ( )1nM резонансно взаимодействующих четвертой, пятой и седьмой мод

нелинейных капиллярных осцилляций заряженной капли в положении точного резонанса 649.1=W . Седьмая мода приведена тонкой линией,

четвертая – тонкой штрих-пунктирной, пятая – полужирной


34

4c. Рассмотрим теперь случай вырожденного резонанса, ко-гда одна из мод дважды резонансно взаимодействует с другой, т.е. когда ks ωω 2= .

Проводя такой же анализ, как описано выше, получим для временных коэффициентов первого порядка малости в разложе-нии (15)

( ) ( ) ( ) ( )( )ttcostatM ss)(

s)(

s ⋅−⋅⋅⋅⋅⋅= εβωε 111 22 ;

( ) ( ) ( ) ( )( )tbtcostatM kk)(

k)(

k ⋅+⋅⋅⋅⋅⋅= εωε 111 22 , (31)

где вещественные функции ( )ta )(s ⋅ε1 , ( )t)(

s ⋅εβ 1 , ( )ta )(k ⋅ε1 ;

( )tk ⋅εβ )1( являются решениями системы дифференциальных урав-нений:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )112

11

1

11

4 TsinTadT

Tdakskskk

ss ϕΛω ⋅⋅=⋅ + ;

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )1

12

11

112

1

11

11 44 TcosTaTa

dT

TdTa kskskkss

sss ϕΛσωβω ⋅⋅+⋅⋅=⋅⋅ + ;

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )11

11

11

1

11

2 TsinTaTadT

Tdakskskks

kk ϕΛω ⋅⋅⋅−=⋅ − ;

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )1

11

11

1

1

11

112 TcosTaTa

dT

TdbTa kskskks

kkk ϕΛω ⋅⋅⋅−=⋅⋅ − ;

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )11

11

11 2 TbTT ksks ⋅+= βϕ ; ( ) ( ) ( ) ( )1

111

1 TbTT sss −⋅⋅= ωσβ . (32)


35

0 10 20 30 40 t-0.15

-0.1

-0.05

0

0.05

0.1

М4(1), М6

(1)

Рис. 2a

0 3 6 t− 0.15

− 0.1

− 0.05

0

0.05

0.1

M 4 (1) , M 6 (1)

Рис. 2б


36

0 3 6 9 t

− 0.1

− 0.05

0

0.05

0.1

M 4 (1), M 6(1)

Рис. 2в

0 3 6 t− 0.15

− 0.1

− 0.05

0

0.05

0.1

M 4(1), M 6

(1)

Рис. 2г


37

0 3 6 t− 0.15

− 0.1

− 0.05

0

0.05

0.1

M 4 (1) , M 6

(1)

Рис. 2д

Рис. 2. Зависимости от безразмерного времени безразмерных амплитуд резонансно взаимодействующих четвертой и шестой мод: a) в положении точного резонанса 666672.W = ; б) 51.W = ; в) 52.W = ; г) 3=W ;

д) 93.W = . Тонкая линия соответствует четвертой моде, толстая – шестой

Из соотношений (19) следует, что для системы (32) возмож-

ны следующие комбинации начальных условий:

Ξ∈],[ ks : ( )( ) 2/01ss ha = ; ( ) ( ) 001 =sβ ; ( )( ) 2/01

kk ha = ; ( )( ) 001 =kb ;

:,, Ξ∈Ξ∉ ks : ( )( ) 001 =sa ; ( ) ( ) 2/01 πβ =s ; ( ) ( ) 2/01kk ha = ; ( )( ) 001 =kb .

В ситуации, когда Ξ∉k , Ξ∈s (т.е.. когда ( ) ( ) 001 =ka ;

( ) ( ) 201 /ha ss = ), резонансное взаимодействие мод s и k в исполь-зуемом приближении иметь места не будет, т.к. из системы (32) при 0=t получим, что

( ) ( ) ( ) ( )

000

1

1

1

1

==dT

da

dT

da ks ,


38

т.е. амплитуды ( )1ka и ( )1

sa сохраняют свои начальные значения. На

рис.2a представлены временные зависимости амплитуд ( ) ( )tM 14 и

( ) ( )tM 16 резонансно взаимодействующих четвертой и шестой мод,

рассчитанные в положении точного резонанса 666672.Wr = при 3.0=ε , когда в начальный момент времени возбуждена только

четвертая мода, а шестая имеет нулевую амплитуду (при началь-ном возбуждении только шестой моды резонансная раскачка ам-плитуды четвертой моды места не имеет [69]). На рис. 2b – 2e приведены аналогичные зависимости, рассчитанные при различ-ных значениях параметра W (определяющего величину расстрой-ки σ ), отличных от rW .

Из сравнения зависимостей, приведенных на рис. 2, видно, что нелинейное взаимодействие мод имеет резонансный характер при любых значениях параметра 4=< crWW , что означает малость расстройки частоты при изменении W в указанном диапазоне; по мере увеличения абсолютной величины параметра расстройки уменьшается: a) характерное время резонансного взаимодействия мод, определяемое временем нарастания амплитуды моды до максимального значения; b) характерное время нахождения энер-гии в резонансно раскачиваемой моде; c) доля энергии, переда-ваемой изначально возбужденной модой резонансно раскачивае-мой моде, полная перекачка энергии между модами имеет место только в положении точного резонанса. К сказанному следует добавить, что при резонансной раскачке мода, имевшая в началь-ный момент времени нулевую амплитуду, приобретает амплиту-ду первого порядка малости, хотя само резонансное взаимодейст-вие мод обнаруживается и реализуется только во втором порядке малости.

5. Сказанное о слабой зависимости условий реализации резо-нанса от величины собственного заряда капли допускает обобще-ние на случай одновременной реализации нескольких резонанс-ных взаимодействий [79]. Пусть при 4<W какая-либо, например j-я, мода может быть вовлечена в резонансное взаимодействие в нескольких резонансных ситуациях, отличающихся наборами взаимодействующих мод и величинами W, соответствующими положениям точных резонансов. Например, пусть j-я мода участ-вует в двух резонансных ситуациях: j, i, k при 1CWr = и mn,j


39

при 2CWr = , где 421 <C,C . Тогда при начальном возбуждении j-й моды с ней будут резонансно взаимодействовать моды из обе-их существующих резонансных ситуаций: i-я, k-я, n-я и m-я. Ам-плитуды мод, резонансно раскачиваемых за счет взаимодействия с j-й в каждой из комбинаций, будут зависеть от величины пара-метра расстройки для данной ситуации (т.е. от отклонения ис-тинного значения параметра W от резонансных значений 1C и

2C ). Так, например, при рассмотрении только первых десяти мод четвертая мода может участвовать в следующих резонансных взаимодействиях: при 6120.W = четвертая мода резонансно взаимодействует с шестой и восьмой; при 6491.W = – с пятой и седьмой; при 666672.W = – дважды с шестой (случай вырожден-ного резонанса, рассмотренный выше); при 6233.W = – с третьей и пятой. Таким образом, виртуально возбужденная четвертая мо-да при любом W < 4 может резонансно взаимодействовать со всеми перечисленными выше модами, степень же взаимодейст-вия (доля передаваемой энергии) будет зависеть от величины расстройки в каждой из возможных комбинаций.

Проанализируем ситуацию, когда мода с номером k участву-ет одновременно в двух резонансных взаимодействиях: в одном вырожденном двухмодовом и одном невырожденном трехмодо-вом. Введем для обеих резонансных ситуаций параметры рас-стройки 1σ и 2σ :

( )11 σεωωω ⋅+=− kqp ; ( )212 σεωω ⋅+=⋅ sk .

Проводя анализ этого случая аналогично тому, как это дела-лось выше, получим, что амплитуды первого порядка малости для мод kqp ,, имеют вид (28), а для моды s получим:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )ttcostatM sqp)(

s)(

s ⋅−⋅−⋅⋅⋅⋅= εβωωε 111 22 .

Функции ( )( )ts ⋅εβ 1 из последнего выражения и ( )( )tk ⋅εβ 1 из (28) определены следующим образом:

( ) ( ) ( ) ( )11

1111 TbTT kkk −⋅⋅= ωσβ ;

( ) ( ) ( ) ( ) ( )11

11211 2 TbTT skss −⋅⋅⋅+⋅= ωσωσβ .


40

Система дифференциальных уравнений относительно веще-ственных функций ( ) ( )ta p ⋅ε1 , ( ) ( )tbp ⋅ε1 , ( ) ( )taq ⋅ε1 , ( )( )tbq ⋅ε1 ; ( ) ( )tas ⋅ε1 , ( ) ( )ts ⋅εβ 1 , ( ) ( )tak ⋅ε1 , ( ) ( )tk ⋅εβ 1 включает в себя третье,

четвертое, пятое и шестое уравнения системы (28), а также урав-нения

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( );TsinTaTaTsinTaTadT

Tdakskskksqpkqpkqp

kk 1

11

11

11

11

11

1

1

11

2 ϕΛϕΛω ⋅⋅−⋅⋅= −−

( )( )( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( )+⋅⋅⋅Λ+⋅⋅=⋅⋅ −

11

11

11

1112

1

11

11 cos22 TTaTaTa

dT

TdTa qpkqpkqpkk

kkk ϕσωβω

( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( )11

11

11 cos TTaTa kskskks ϕ⋅⋅⋅Λ+ − ;

( )( ) ( ) ( )( )( ) ( )( )( )112

11

1

11

sin4 TTadT

Tdakspskk

ss ϕω ⋅⋅Λ=⋅ + ;

( )( )( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )( ) ( )( )( );cos244 1

121

11

112

1

11

11 TTaTa

dT

TdTa kskskkskss

sss ϕωσωσωβω ⋅⋅Λ++⋅=⋅ +

( )( ) ( )( ) ( )( )11

11

11 2 TbTT kssk −= βϕ . (33)

Начальные условия для системы решаемых уравнений можно записать в виде (29), но , , , .=j k p q s

Результаты расчета по системе (33), дополненной третьим, четвертым, пятым и шестым уравнениями системы (28), времен-ных зависимостей резонансно взаимодействующих мод, а в том числе и резонансно раскачиваемых пятой и шестой мод при тех же начальных условиях, что и на рис.1 (в условиях точного резо-нанса четвертой, пятой и седьмой мод, когда начальная деформа-ция задается четвертой и седьмой модами) показывают, что имеет место перекачка энергии седьмой моды во все моды с меньшими номерами. Интересно, что шестая мода в вырожденном резонансе с четвертой модой раскачивается за счет энергии четвертой моды [69] (cм. также рис. 2), тем не менее в рассматриваемой ситуации амплитуда четвертой моды не только не уменьшается, а немного увеличивается синхронно с пятой и шестой модами. Иными сло-вами, перекачка энергии из седьмой моды в четвертую не только


41

полностью компенсирует затраты энергии четвертой моды на раскачку шестой, но и приводит к ее увеличению.

Результаты аналогичных расчетов, выполненных при 666672.W = , т.е. в условиях точного вырожденного резонанса

между четвертой и шестой модами с теми же начальными усло-виями, показывают, что в этом случае в отличие от предыдущей ситуации, энергию отдают и четвертая и седьмая моды, а сами временные зависимости амплитуд резонансно раскачиваемых пя-той и шестой мод становятся асимметричными.

6. В расчетах обнаружено различие в особенностях реализа-ции внутренних нелинейных трехмодовых вырожденных и ком-бинационных резонансов: в первых энергия, вложенная в началь-ную деформацию капли, переносится только от низких мод к вы-соким, а во вторых – в обоих направлениях. Оказалось, что вырожденные резонансы малочувствительны к значениям физи-ческих величин (например к величине электрического заряда), определяющих точные положения резонансов: отклонения от ре-зонансных значений сказываются лишь на доле энергии, участ-вующей в обмене между модами, и длительности характерного времени резонансного обмена энергией, само же взаимодействие остается резонансным.

При значениях параметра Рэлея, меньших критического для основной моды, т.е. при 4<W , расстройка частот возбуждающих-ся мод достаточно мала, чтобы нелинейное взаимодействие мод носило резонансный характер при любых W независимо от вели-чины резонансных значений rW в положениях точных резонан-сов. Величина расстройки отражается лишь на доле передаваемой энергии и характерных временах этого процесса.

Механизм распада нелинейно-осциллирующей заряженной капли при малой величине собственного заряда может быть свя-зан с нелинейной резонансной перекачкой энергии капиллярных осцилляций капли из высоких мод в низкие. Распадная неустой-чивость при трехмодовых резонансах реализуется только для комбинационных резонансов, а для вырожденных резонансов она места не имеет.


42

3. Анализ нелинейных осцилляций заряженной капли идеальной жидкости

в третьем порядке малости по амплитуде исходной деформации

3.1. Нелинейные осцилляции деформированной в начальный момент времени заряженной капли. Вывод выражений для нелинейных поправок

к частотам мод, определяющих начальную деформацию

1. Одной из первых работ, посвященных исследованию нели-нейных осцилляций поверхности заряженной капли идеальной жидкости является статья Тсамополуса и Брауна [1], в которой приведено решение задачи о нелинейных колебаниях поверхно-сти заряженной капли при одномодовой начальной деформации, когда начальная форма капли в сферической системе координат

),,( ϕϑr описывается уравнением

( ) ( )ϑεϑξ cosPcosPRr m++= 00 , где ε – произвольный малый параметр, определяющий амплиту-ду начальной деформации, ( )ϑcosPm – полином Лежандра поряд-ка m, 0ξ - константа, подобранная так, чтобы объем капли при указанной начальной деформации оставался равным объему сфе-рической капли радиуса R. В [1] аналитическое выражение для образующей капли, совершающей нелинейные осцилляции, было приведено с точностью до величин второго порядка малости по амплитуде начальной деформации. Кроме того, в [1] были рас-считаны аналитические выражения для нелинейных поправок к частотам осцилляций для фиксированных начальных деформа-ций, появляющиеся лишь в третьем порядке малости, хорошо со-гласующиеся с экспериментальными данными [14]. Однако все исследование было выполнено для ограниченного спектра на-чальных деформаций формы капли: когда начальная деформация


43

капли определялась второй ( 2=n ), третьей ( 3=n ) или четвертой ( 4=n ) модой.

Исследование, начатое в [1], было продолжено в [80], где во втором порядке приближений по ε была проанализирована си-туация с начальным возбуждением произвольной m -й моды. В [80] было также показано, что спектр мод, возбуждающихся во втором порядке малости за счет нелинейного взаимодействия, содержит только моды с четными номерами из диапазона [ ]0, 2m .

Так же выяснилось, что нелинейные осцилляции поверхности ка-пли происходят в окрестности фигуры типа вытянутого сферои-да, а не в окрестности сферы, как это следовало из линейного анализа.

Ситуация, когда начальная форма поверхности описывается выражением

( ) ( ) ( ) ( )( )ϑϑεϑξϑξ cosPhcosPhcosPcosPRr nnnn 22111100 ++++= ,

где 1ξ – константа, определяемая из условия неподвижности цен-тра масс капли при нелинейных осцилляциях,

1nh , 2nh – констан-

ты, учитывающие парциальный вклад каждой моды в начальную деформацию сферической поверхности, рассмотрена в квадра-тичном приближении по ε в работе [69]. В [69] исследованы также закономерности реализации нелинейного резонансного обмена энергией между модами, имеющего место при условии выполнения соотношения

212 nn ωω = ,

где ( )( )Wnnn)R/(n −+−= 213ρσω – частота n -й моды капил-

лярных колебаний капли, )R/(QW 32 4πσ= – параметр Рэлея. Случай, когда начальная деформация поверхности капли оп-

ределяется суперпозицией произвольного конечного числа мод, проанализирован в [81]. В такой ситуации начальная форма по-верхности капли описывается уравнением

( ) ( )

∈+++=

Ωϑεϑξϑξ

mmm cosPhcosP)(cosPRr 1100 ,


44

где Ω – множество номеров изначально возбужденных мод, mh – константа, учитывающая парциальный вклад m моды в формиро-вание начальной деформации сферической формы капли. Иссле-дования, выполненные в [81], были проведены с точностью до величин второго порядка малости по величине ε , что позволило получить аналитические выражения для нелинейных поправок к амплитудам мод. Анализ этих выражений показал, что спектр мод второго порядка малости может содержать как четные, так и нечетные моды. Так, например, при возбуждении двух мод с но-мерами 1n и 2n в спектре второго порядка малости будут содер-жаться только четные моды с номерами из диапазона

[ ]21 220 n,nmax, , если 1n и 2n имеют одновременно либо четные либо нечетные значения. Если же 1n четно, а 2n нечетно, то спектр второго порядка будет содержать четные моды с номера-ми [ ]21 220 n,nmax, и нечетные из диапазона [ ]2121 nn,nn +− .

В [82] расчет нелинейных осцилляций заряженной капли в третьем порядке малости по амплитуде начальной деформации был проведен при произвольной одномодовой начальной дефор-мации, получены аналитические выражения для образующей ка-пли и нелинейных поправок к частотам. В [83] указано на суще-ствование внутренних нелинейных резонансов, реализующихся в заряженной капле при четырехмодовом взаимодействии, когда начальная деформация капли определена суперпозицией не-скольких мод.

В настоящей работе, выполненной в развитие [82 – 83], пред-полагается изучить особенности реализации нелинейных осцил-ляций капли в третьем порядке малости по амплитуде начальной многомодовой деформации и найти в такой ситуации аналитиче-ские выражения для поправок к частотам осцилляций.

2. Пусть имеется капля радиуса R идеальной, идеально прово-дящей жидкости с плотностью ρ и коэффициентом поверхностно-го натяжения σ , несущая заряд Q. Движение жидкости в капле, связанное с ее капиллярными осцилляциями, примем потенциаль-ным с потенциалом скорости ψ . Потенциал электростатического поля собственного заряда в окрестности капли обозначим φ . Фор-му капли будем считать осесимметричной как в начальный, так и во все последующие моменты времени. Уравнение поверхности


45

капли в безразмерных переменных, в которых 1R = = =ρ σ , в произвольный момент времени t запишется в виде

01 =−−= )t,(r)t,,r(F ϑξϑ . (1)

Начальную деформацию формы капли зададим в виде супер-позиции нескольких мод:

:0=t ( ) ( )

Ω∈++=

mmmPhPP ϑεϑξϑξξ cos)(coscos 1100 , (2)

а начальную скорость всех точек на поверхности капли примем нулевой

0=t : 0=∂ ξt , (3) где знак t∂ означает частную производную по переменной t .

Полная математическая формулировка задачи о капиллярных

колебаниях заряженной капли, кроме уравнения поверхности ка-пли (1) и начальных условий (2), (3), содержит [84 – 85]: уравне-ния Лапласа для потенциалов скорости жидкости и электрическо-го поля

;0=ψΔ ;0=φΔ (4)

условия ограниченности потенциалов

:0→r 0→ψ ; (5)

:+∞→r 0→φ∇ ; (6)

кинематическое и динамическое граничные условия

:)t,(r ϑξ+=1 ;0=td

Fd (7)

( ) ;pppp атqt σψψ −−+=∇+∂ 2

2

1 (8)

условие неизменности объема капли

=V

;dddrsinr3

42 πϕϑϑ (9)


46

;;;r,,rV πϕπϑξϕϑ 20010 ≤≤≤≤+≤≤=

условие неподвижности центра масс

=V

;dddrsinrr 02 ϕϑϑ (10)

условие постоянства полного заряда

:)t,(r ϑξ+=1 ;QdSnS

πφ 4−=∇⋅ (11)

;;;r,,rS πϕπϑξϕϑ 2001 ≤≤≤≤+==

условие постоянства электрического потенциала вдоль поверхно-сти

:)t,(r ϑξ+=1 );t(Sφφ = (12)

в выражениях (4) – (12) p – давление внутри капли в равновесном состоянии; qp и σp – давление электрического поля и капилляр-

ное, атp – атмосферное давление; n – вектор нормали к поверх-ности капли; Sφ – электрический потенциал поверхности капли.

Для удобства записи дальнейших выражений расширим множество констант mh , дополнив его так, что при любых Ω∉m имеем 0≡mh .

3. Задачу (1) – (12) будем решать методом многих масштабов [53 – 54]. Для этого введем три различных временных масштаба

tT mm ε= , 210 ,,m = , а искомые величины задачи представим в

виде разложений:

( ) ( )3

( ) 40 1 2

0

( , , ) , , , ,n n

n

r t r T T T O=

= +φ ϑ ε φ ϑ ε ; (13)

( ) ( )3

( ) 40 1 2

0

( , ) , , ,n nS S

n

r t r T T T O=

= +φ ε φ ε ; (14)

( ) ( )3

( ) 40 1 2

1

( , , ) , , , ,n n

n

r t r T T T O=

= +ψ ϑ ε ψ ϑ ε ;


47

( ) ( )4210

3

1

ε+ϑξε=ϑξ =

OT,T,T,)t,( )n(

n

n , (15)

где (0) /Q r=φ ; (0)S Q=φ – решения нулевого порядка малости, т.е.

для равновесной сферической поверхности капли. Подставляя (13) – (15) в (1) – (12), получим задачи различных

порядков малости, которые для краткости изложения вынесены в «Приложение A».

Поскольку уравнение Лапласа (4) является линейным, то в каждом порядке малости потенциалы скорости жидкости и элек-трического поля будут являться решениями уравнений Лапласа (1А), (10А), (19А), и с учетом условий ограниченности их можно записать в виде

∞

=ϑ=ϑψ

1210210

nn

)m(n

n)m( );(cosP)T,T,T(Dr)T,T,T,,r( ;,,m 321=

(16)

∞

=+

ϑ=ϑφ0

1210

210n

nn

)m(n)m( );(cosP

r

)T,T,T(F)T,T,T,,r( 321 ,,m = .

(17) Заметим, что в выражении (16) суммирование начинается с 1=n , поскольку, как известно, потенциал определяется с точностью до произвольной функции времени, что позволяет принять

00 =)m(D . Функцию, описывающую отклонение формы поверхности

капли от сферической в произвольный момент времени, предста-вим в виде разложения по полиномам Лежандра:

∞

=ϑ=ϑξ

0210210

nn

)m(n

)m( );(cosP)T,T,T(M)T,T,T,( 321 ,,m = . (18)

Подстановка выражений (16) – (18) в уравнения (1А) – (9А) позволяет определить явные зависимости величин первого по-рядка малости от 0T :

( ) ( ) ( )( )211

0211

2101 T,TTcosT,TaT,T,TM )(

nn)(

n)(

n τ+ω= ; (19)


48

( ) ( ) n/T,T,TMT,T,TD )(nT

)(n 210

1210

10

∂= ; (20)

( ) ( )2101

2101 T,T,TMQT,T,TF )(

n)(

n = . (21)

В выражении (19) амплитудный множитель ( )211 T,Ta )(

n и не-

линейная поправка к частоте ( )211 T,T)(

nτ - функции, зависящие только от времен 1T и 2T .

При решении задачи с точностью до величин первого поряд-ка малости по величине начальной деформации поверхности кап-ли функции ( )21

1 T,Ta )(n и ( )21

1 T,T)(nτ следует считать постоянны-

ми, значения которых определяются из начальных условий (9А). Они имеют вид

nn ha = , 01 =τ )(n , Ω∈n . (22)

Из выражений (22) следует, что величины )T,T(a )(n 211 от-

личны от нуля, только когда Ω∈n . При решении задачи с точностью до величин третьего поряд-

ка малости по величине начальной деформации зависимости ( )21

1 T,Tan

)( и ( )21 T,TnωΔ от 1T и 2T определяются из требования обращения в ноль секулярных членов в задачах второго и третье-го порядков малости соответственно при учете начальных усло-вий (9А).

Подставляя выражения (16) – (21) в уравнения (13А) – (18А) и исключая секулярные члены, найдем, что функции ( )21

1 T,Ta )(n

и ( )211 T,T)(

nτ не зависят от временного масштаба 1T . Явные зави-симости величин второго порядка малости от временного мас-штаба 0T с учетом (22) можно записать в виде

( ) ( )Ω∈ +

ω−=

m

m)(

m)(

m

Tcosa)T(M

120

221

02

0 ;

( ) ( )Ω∈

++ ωωχ=m

mm)(

m)(

mm)( TcosTcosaa)T(M 010

11

10

21 ;

( ) ( )( )+τ+ω= 12

012

102 TTcosTa)T,T(M )(

nn)(

n)(

n


49

( )( ) ( )( )( )Ω∈

−+ ω−ωλ+ω+ωλ+m,l

ml)(

lmnml)(

lmn

)(m

)(l TcosTcos

aa00

11

2; (23)

;F )( 020 = += )T,T(MQ)T,T,T(F )(

n)(

n 102

2102

( ) ( )Ω∈

ωω+m,l

ml)(

m)(

llmn TcosTcosaaKlQ 0011 ; 1≥n (24)

+∂= )T,T(Mn

)T,T(D )(nT

)(n 10

210

20

1

( )( ) ( ) ( )

ωωω

α−−+ Ω∈m,l

ml)(

m)(

ll

lmnlmn TcosTsinaal

Kll 00111 1≥n ,

(25)

где mχ , )(lmn+λ , )(

lmn−λ , Klmn, lmnα – коэффициенты, определенные в

«Приложении B». Выражения для )(nа

2 и 2nτ , удовлетворяющие

начальным условиям (18А), имеют вид

( )Ω∈

−+ λ+λ−=m,l

)(lmn

)(lmn

ml)(n

hha

22 , 02 =τ )(

n . (26)

Подставляя (16) – (21), (23) – (25) в систему уравнений

(22А) – (28А) и исключая из решений секулярные слагаемые, на-ходим, что функции ( )2

1 Ta )(n , ( )1

2 Ta )(n и ( )1

2 T)(nτ не зависят от

временных масштабов 1T и 2T и равны своим начальным значе-

ниям (22) и (26). Для функции ( )21 T)(

nτ справедливо выражение

( ) ( )

−+

Ξ+ω−+

+Ξ

ω==τ

Ω∈ )n(

)n(h

)k(

hTbTT nnn

k

nk

nn

)(n 124

12

1222

2222

221

( )−β+βχ

− −−−

+−−

−− )(n,n,,n,n

)(n,n,,n,n

nn h 2111

2111

211

4


50

( )−β+βχ

− +++

−++

)(n,n,,n,n

)(n,n,,n,n

nnh 2111

1111

2

4

[ +++− −−+++−

Ω∈ ))((

knkn))((

knkn))((

nkknk

k HHHh 221

2

4

( )( )]))((2))((2))((11 −−+++− ++δ− nkknkknnkknnkn HHH , (27)

а коэффициенты разложений (16)-(18) определяются выражения-ми

( ) −ω+

−= Ω∈k

kkk Thk

TMTM 0

0)2(

0)3(

0 cos12

)(2)(

( ) ( ) ( )00,,

0 coscoscos)12(3

TTTl

hhhKlm

lmkk

lmkkml ωωω+

− Ω∈

;

( )−ω−= 0220)2(

10)3(

1 cos)(5

6)( ThTMTM

( )−ω− Ω∈

∞

=m kmmkkm ThTMK

000

)2(1 cos)(3

( ) ( ) ( )ttthhhKK lmg lmk

klmkglkmg ωωω− ∞

= Ω∈coscoscos

0 ,,1 ;

( )( ) ( )( ) ( )( )

Ω∈−ω−ω+ω

ω+ωω+Ξ−ωω−−=

knkn

knk

nknknn TT

k

nhhTM 00

2

0)3( cos2cos

)12(16

)1(2)(

( )( )( ) ( )( ) ( )( )

Ω∈+ω−ω−ω

ω−ωω+Ξ+ωω−δ−

−k

nknknk

nknnkkn TTk

nhh00

2

cos2cos)12(16

)1(21

( ) ( )( )( )( )

+

−= Ω∈ +

+++

+++ +

ω+ω+ω−ω

ω−ψβχ+

1

12

12

00))((1,,

)(1,,1,1,1

coscos

4

n

nk l llkn

nllknllkllklTThhh


51

( ) ( )( )( )( ) +

ω−ω+ω−ω

ω−ψβ+

+

−+++

−+

21

2

00))((1,,1,

)(1,,1,1, coscos

llkn

nllknllknllk TTD

( ) ( )( )( )( ) +

ω−ω−ω−ω

ω−ψβ+

+

−−++−

++

21

2

00))((1,,1,1,

)(2,,1,1, coscos

llkn

nllknllk

klnlnllk TTDD

( ) ( )( )( )( ) −

ω+ω−ω−ω

ω−ψβ+

+

−++−

−+

21

2

00))((,1,1,

)(2,,1,1, coscos

llkn

nllkkl

nlnllk TTD

( ) ( )( ) ( )( )( )

∞

= Ω∈

+−+

+ω+ω−ω

ω−ω+ωλ+λ−

2 ,,22

00)(0)()( coscos

4g lmk gkn

ngkkgnlmglmglmk TTHhhh

( )( ) ( )( )( ) +

ω−ω−ω

ω−ω−ω+

−

22

00)(0 coscos

gkn

ngkkgn TTH

( ) ( )( )( )

Ω∈

++−+

+ω+ω+ω−ω

ω−ψ+

lmk mlkn

nklmnkmllmkTTHhhh

,,22

00))(())((1 coscos

4

( ) ( )( )( )

+ω−ω+ω−ω

ω−ψ+

−++−

22

00))(())((1 coscos

mlkn

nklmnl

kmknlmnkml TTDDH

( ) ( )( )( )

+ω−ω−ω−ω

ω−ψ+

−−++

22

00))(())((2 coscos

mlkn

nklmnl

kmmnklnkml TTDDH

( ) ( )( )( )

ω+ω−ω−ω

ω−ψ+

−+−−

22

00))(())((2 coscos

mlkn

nkmlknml

mnklnkml TTDDH

; (28)

( ) ( ) ( )00,,

00)3(

0 coscoscos2

)1(

12

1)( TTThhhK

kk

l

kQTF lm

lmkklmkkmlkml ωωω

+−α

++=

Ω∈

;


52

( ) Ω∈

∞

=+ω++=

m kmmkkmnnn ThTFKkTQMTF

100

)2(0

)3(0

)3( cos)()1()()(

( ) ( )−ω−+ Ω∈

∞

=k mkkmkmn ThTMKkQ

000

)2( cos)(1

( ) ( ) ( )000 ,,

0 coscoscos2

)3(TTThhhKK

kkQ lm

g lmkklmknglkmg ωωω

∞

= Ω∈

+− ; 1≥n ,

(29)

( ) Ω∈

∞

=−−−−−∂=

m kkmnnnn

nnTn Kkk

nTbh

nTM

nTTD

10

10

)3(20

)3( )1((1

sin1

)(1

),(0

ωδ

+ωα− )cos()() 00)2( ThTD mmkkmn

( ) ( )+ωωα−−+ Ω∈

∞

=k mkkkmkmn ThTMkk

n 000

)2( sin)()1(1

Ω∈

∞

=×−

−−+

lmk gkmgkmg kK

kk

n ,, 0

)2(2

)1(1 α

( ) ( ) ( )000 coscossin TTThhhK lmklmkkngl ωωωω× ; 1≥n , (30)

где nΞ , )(1 ±β nkmgl , )(2 ±β nkmgl , )(0 ±kgnH , ))((1 ±±

nkmlH , ))((2 ±±nkmlH , ))(( ±±ψ kml , kn

lmD – ко-

эффициенты, вынесенные в «Приложение B», knδ – символ Кро-некера.

Подставляя (18) в (1), найдем выражение для образующей капли в виде

( ) ( ) ( )(1)

0 2 0 2, , 1 , cosn nn

r T T M T T P∈Ω

= + +ϑ ε ϑ

( ) ( )( ) ( )2 (2) (3)0 0

0

cosn n nn

M T M T P∞

=+ +ε ε ϑ (31)

4. Для анализа выражения (31) заметим, что амплитуды от-клонения поверхности капли от равновесной сферической формы пропорциональны следующим выражениям (см. выражения (23) и (28)):


53

Ω∈mk

kmgg KM,

)2( ~ , ∞

= Ω∈0 ,,

)3( ~g lmk

nglkmgn KKM ,

где коэффициенты kmgK отличны от нуля, только если

mkgmk +≤≤− и gmk ++ – четное число.

Таким образом, если изначально возбуждается только одна мода, то есть 1n=Ω , то во втором порядке малости возбужда-ются только четные моды с номерами из диапазона 120 ng ≤≤ , а в третьем порядке при четном 1n возбуждаются четные моды из диапазона 130 nn ≤≤ , а при нечетном 1n возбуждаются нечетные моды из диапазона 131 nn ≤≤ . Таким образом, при четном 1n по-верхность капли формируется четными модами из диапазона [ ]13,0 n , а при нечетном 1n – всеми модами из диапазона [ ]12,0 n и нечетными из диапазона [ ]11 3,12 nn + .

Если изначально возбуждаются две моды с номерами 1n и

2n , т.е. 21, nn=Ω , то множество мод, вовлеченных в формиро-вание поверхности капли, еще более расширяется.

Так если 1n и 2n – четные числа, то спектр мод второго по-рядка содержит только четные моды с индексами из диапазона

21 2,2max0 nng ≤≤ , а спектр третьего порядка формируется четными модами из диапазона 21 3,3max0 nnn ≤≤ , то есть сум-марная поверхность капли формируется четными модами из диа-пазона [ ]21 3,3max,0 nn .

Если номера изначально возбужденных мод 1n и 2n являются нечетными, то во втором порядке малости возбуждаются четные моды с номерами из диапазона 21 2,2max0 nng ≤≤ , а в третьем порядке малости участвуют в формировании поверхности только нечетные моды с номерами, удовлетворяющими условию

21 3,3max1 nnn ≤≤ , т.е. поверхность формируется всеми модами из диапазона [ ]21 2,2max,0 nn и нечетными с номерами из промежут-ка [ ]2121 3,3max,12,12max nnnn ++ .

Если же номера изначально возбужденных мод таковы, что

1n – четное, а 2n – нечетное, то спектр второго порядка малости содержит моды с четными номерами из диапазона

21 2,2max0 nng ≤≤ и нечетные с номерами


54

2121 nngnn +≤≤− . Спектр же третьего порядка малости со-

держит четные моды с номерами из диапазона 211 2,3max0 nnnn +≤≤ и нечетные с номерами 212 2,3max1 nnnn +≤≤ . В итоге суммарная поверхность капли

формируется четными модами из диапазона [ ]211 2,3max,0 nnn + и нечетными с номерами из промежутка [ ]212 2,3max,1 nnn + . Видно, что учет величин третьего порядка

малости по величине начальной деформации приводит к сущест-венному расширению спектра мод, вовлеченных в формирование поверхности капли.

Учет величин третьего порядка малости приводит к нелиней-ному сдвигу частот изначально возбужденных мод, пропорцио-нальному квадрату амплитуды начальной деформации 2ε . Знак поправки к частоте всегда отрицателен, а ее величина существен-но зависит от спектра мод, вовлеченных в формирование поверх-ности капли в начальный момент времени, и от величины заряда капли. Так, если изначально возбуждаются две моды, одна из ко-торых основная 2=n , то наблюдается увеличение поправок к час-тотам по сравнению с ситуацией одномодовой начальной дефор-мации поверхности капли, исследованной в [1]. На рис. 1 приве-дены зависимости поправок к частотам различных пар мод, возбужденных в начальный момент времени, от величины без-размерного параметра W. Из рисунка видно, что величина по-правки к частоте основной моды зависит от того, какая из мод возбуждается вместе с ней в начальный момент времени: с рос-том номера моды, возбуждающейся одновременно с основной, величина поправки к частоте основной моды увеличивается. Если вспомнить, что критические условия реализации неустойчивости капли определяются требованием перехода с ростом параметра W квадрата частоты основной моды через ноль (см. [43, 82]), то ста-новится ясно, что учет нелинейной поправки к частоте основной моды приводит к снижению критического значения параметра W в соответствии с выражением [82]: 2 2

2 22 0bω ε+ ⋅ ⋅ = , (см. рис. 2). Вытекающая из этого соотношения нелинейная поправка к кри-тическим условиям реализации неустойчивости капли тем замет-нее, чем более высокая мода возбуждается в начальный момент времени одновременно с основной.


55

Рис. 1. Зависимости коэффициента mb от параметра Рэлея ( )π= 4/2QW . Номер кривой совпадает с номером изначально возбужденной моды

Рис. 2. Зависимости квадрата частоты 2mω основной моды 2=m

от параметра Рэлея W : 1 – с учетом поправки mb2ε для 3.0=ε ; 2 – без учета поправки


56

Рис. 4. То же, что на рис. 3, применительно к амплитудам мод второго порядка малости

На рис. 3 – 4 приведены временные зависимости нелинейно возбуждающихся мод: видно, что в поправках второго порядка максимальной величины достигает амплитуда основной моды, а в поправках третьего порядка максимальную амплитуду может иметь и мода, отличная от m-й с более высоким номером.

Рис. 3. Зависимости от времени t поправок к амплитудам мод третьего порядка малости при 2.2=W и начальном возбуждении третьей моды. Номер у кривой совпадает с номером изначально возбужденной моды


57

Численный анализ выражения (31) указывает на то, что наи-большим отклонениям от равновесного состояния подвергаются элементы поверхности капли, располагающиеся в окрестности оси симметрии (см. рис.5). Это связано с тем, что только при уг-лах ϑ , близких к 0=ϑ и π=ϑ , наблюдается суммирование коле-баний отдельных мод. Вдали от этих значений ϑ формируется более гладкая волнообразная поверхность. Указанная тенденция тем выше, чем больше значение номеров изначально возбужден-ных мод. Напряженность электростатического поля на свобод-ной поверхности капли определяется выражением

( ) ( ) ( )∞

=Ω∈ϑε+ε+ϑε+=

0

)3()2(2)1()0( coscosn

nnnn

nnn PEEPEEE ; (32)

WQEn π== 2)0( ; )1()1( )1( nn MnQE −= ;

+−+= )2()2()2( 2)1( nnn QMFnE

( )[ ] ( ) ( )Ω∈

ωωα+++−+mk

mkmkkmnkmn TThhKmmQ,

00 coscos2/)2)(1(3 ;

+−+= )3()3()3( 2)1( nnn QMFnE

( ) ( ) −ω++−α+ ∞

=Ω∈0

)2(0cos)2)(1(

mk

mkkkmnkmn FThKmm

( ) +ω−+− ∞

Ω∈=

km

mkkkmn MThKkkQ0

)2(0cos)1)(4(

( )[∞

Ω∈=

−−++++

nmkg

kmgKkkkQ

,,0

42/)3)(2)(1(

( ) ] ( ) ( ) ( )000 coscoscos12/)1( TTThhhKkl lmklmknglkmg ωωωα+++− .

Согласно данным расчетов по (32) напряженность поля соб-ственного заряда в окрестности нелинейно-осциллирующей кап-ли существенно возрастает на полюсах капли при ее вытягивании


58

(рис. 5), что может привести к зажиганию у поверхности капли коронного разряда. Это обстоятельство представляет интерес в связи проблемой инициирования разряда молнии [86 – 87]. Со-гласно существующим представлениям разряд молнии может на-чаться с коронного разряда в окрестности падающей в облаке об-водненной градины или крупной капли. Признанию такого меха-низма инициирования разряда молнии препятствует то, что собственные заряды капель, регистрируемые при натурных изме-рениях в грозовых облаках, слишком малы для того, чтобы ко-ронный разряд мог зажечься в окрестности невозмущенной капли [88]. Обнаруженный факт значительного усиления электростати-ческого поля у вершин нелинейно-осциллирующей капли позво-ляет посмотреть на обсуждаемую проблему с новых позиций.

Рис. 5. Контур образующей капли при начальном возбуждении четвертой (a) и девятой моды (b). Для четвертой моды 3.0=ε , 5.2=W , 0=t (1); 5.0 (2); 9.0 (3); 1.1 (4). Для девятой моды 3.0=ε , 2.2=W , 0=t (1); 1.0

(2); 2.0 (3); 3.0 (4).

Расчеты, проиллюстрированные рис. 2 – 5, выполнены для

случая отсутствия резонансного взаимодействия мод, которое требует отдельного детального рассмотрения [73]. Тем не менее возможность резонансного обмена энергией между модами суще-ствует.


59

Из выражений (28) для нелинейных поправок третьего по-рядка малости к амплитудам осцилляций )()3( tM n несложно ви-деть, что они имеют резонансный вид: содержат знаменатели, об-ращающиеся при определенных условиях в нуль. Все новые по сравнению с квадратичным приближением [1, 81 – 82] (см. разде-лы 2.1 – 2.2) резонансы соответствуют четырехмодовому взаимо-действию капиллярных осцилляций капли, когда частоты резо-нансно взаимодействующих мод связаны друг с другом одним из соотношений:

.0=ω±ω±ω±ω mlkn

Среди множества реализующихся в заряженной капле внут-ренних нелинейных резонансов наибольший интерес в связи с проблемой инициирования разряда молнии в грозовых облаках [86 – 87] представляют такие, в которых основная мода (n = 2) увеличивает свою амплитуду за счет перекачки энергии из более высоких мод при докритических в смысле устойчивости по от-ношению к собственному заряду значениях параметра Рэлея W < 4. Согласно данным расчетов, проведенных во втором по-рядке малости [73, 75, 80 – 81], когда реализуются только трех-модовые резонансы, наинизшая мода, способная приобретать энергию у высоких мод за счет резонансного взаимодействия, есть третья. В расчетах третьего порядка малости, когда реализу-ется четырехмодовое взаимодействие, появляется возможность резонансной раскачки и второй моды. Так, если ограничиться ус-ловиями

;0=ω−ω−ω+ω mlkn 4≤W ,

то в диапазоне номеров мод 30,,,2 ≤≤ mlkn реализуются более десятка резонансных четырехмодовых ситуаций, в семи из кото-рых участвует вторая мода.

5. Учет величин третьего порядка малости по амплитуде на-чальной многомодовой деформации капли позволяет получить нелинейные поправки к частотам капиллярных колебаний капли, которые существенно зависят от величины заряда капли и от спектра изначально возбужденных мод и приводят к появлению нелинейных поправок к критическому для реализации неустой-чивости капли значению параметра Рэлея. Учет величин третьего


60

порядка малости по амплитуде начальной многомодовой дефор-мации при расчете образующей нелинейно осциллирующей кап-ли позволяет проследить тенденцию к вытягиванию капли вдоль оси симметрии. Это косвенно указывает на то, что эмиссионные выступы капли формируются наложением большого числа высо-ких мод [89]

6. ПРИЛОЖЕНИЕ A. Выделение задач различного порядка

малости. После подстановки разложений (13) – (15) в систему уравне-

ний (1) – (12), выделяя слагаемые пропорциональные 1ε , неслож-но получить задачу первого порядка малости

;0)1( =ψΔ ;0)1( =φΔ (1A)

:0→r 0)1( →ψ ; (2A)

:+∞→r 0)1( →φ∇ ; (3A)

:1=r ;)1()1(0

ψ∂=ξ∂ rT (4A)

( ) )1()1()0()1()1()0()1( 24

10

ξΔ+ξ+φ∂ξ+φ∂φ∂π

=ψ∂ ΩrrrrT ; (5A)

−

=ϑξ1

1

)1( ;0)(cosd −

=ϑξ1

11

)1( ;0)(cosdP (6A)

( ) −

=ϑφ∂+φ∂ξ+φ∂1

1

)0()0()1()1( ;0)(cos2 drrrr (7A)

);()1()0()1()1( tSr φ=φ∂ξ+φ (8A)

:0=t )(cos)1( ϑε=ξ Ω∈

mm

m Ph ; .0)1(0

=ξ∂T (9A)

Слагаемые, пропорциональные 2ε , определяют задачу второ-го порядка малости, которая имеет вид

;0)2( =ψΔ ;0)2( =φΔ (10A)


61

:0→r 0)2( →ψ ; (11A)

:+∞→r 0)2( →φ∇ ; (12A)

:1=r ;)1()1()1()1()2()1()2(10

ψ∂ξ∂−ψ∂ξ+ψ∂=ξ∂+ξ∂ ϑϑrrrTT (13A)

( ) ( )0 1 0

2 2(2) (1) (1) (1) (1) (1)1 1

2 2T T rT r∂ + ∂ + ∂ + ∂ + ∂ =ϑψ ψ ξ ψ ψ ψ

(2) (0) (0)12

8 r rr= ∂ ∂ξ φ φπ

( ) ( ) +

φ∂φ∂+φ∂ξ+ )0()0(2)0(2)1(

rrrrrr

( ) ( ) ( )2 2(1) (1) (2) (0) (1 (0) (1) (1) (0)2 2r r r rr r rr r+ ∂ + ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ϑφ φ φ φ ξ φ φ φ φ

(2) (2)2 Ω+ + Δξ ξ ( )2(1) (1) (1)2 2 ;Ω− − Δξ ξ ξ (14A)

( )−

=ϑ

ξ+ξ

1

1

2)1()2( ;0)(cosd

( )−

=ϑ

ξ+ξ

1

11

2)1()2( ;0)(cos32 dP (15A)

( ) ( )−

+φ∂+φ∂ξ+φ∂+φ∂ξ+φ∂1

1

)0()0()2()1()1()1()2( 22 rrrrrrr

( ) ;0)(cos22

1 )1()1()0()0()0(2)1( =ϑφ∂ξ∂−

φ∂+φ∂+φ∂ξ+ ϑϑ drrrrrr

(16A)

( ) );(2

1 )2()0(2)1()0()2()1()1()2( tSrrrr φ=φ∂ξ+φ∂ξ+φ∂ξ+φ (17A)

:0=t ( ) ( )

Ω∈Ω∈ϑ−

+ϑ

−=ξml

lmmlm

m PKhhm

Ph

,11

0)2( cos2

3

12

cos;

0)1()2(10

=ξ∂+ξ∂ TT . (18A)


62

Задача третьего порядка малости определяется слагаемыми, пропорциональными 3ε , и имеет вид

;0)3( =ψΔ ;0)3( =φΔ (19A)

:0→r 0)3( →ψ ; (20A)

:+∞→r 0)3( →φ∇ ; (21A)

:1=r =ξ∂+ξ∂+ξ∂ )1()2()3(210 TTT

(3) (2) (1) (1) (2)r∂ − ∂ ∂ − ∂ ∂ +ϑ ϑ ϑ ϑψ ξ ψ ξ ψ

( )( ) ( )2(2) (1) (1) (1) (1) (1) (2) (1) (1)12

2rr r rr rrr+ ∂ + ∂ ∂ − ∂ + ∂ + ∂ϑ ϑ ϑξ ψ ξ ξ ψ ψ ψ ξ ψ ;

(22A)

+ψ∂ξ+ψ∂+ψ∂+ψ∂ )1()1()2()1()3(1120 rTTTT

+ψ∂ξ+ψ∂ψ∂+ψ∂ψ∂+ ϑϑ)1()2()2()1()2()1(

0rTrr

( )( ) ( ) )1(2)1()1()1()1()1()1()2()1(00 2

1 ψ∂ξ+ψ∂ψ∂+ψ∂−ψ∂ψ∂+ψ∂ξ+ ϑϑϑ rrTrrrrrT

( ) +

φ∂φ∂+φ∂φ∂ξ+φ∂φ∂ξ

π= )0()0()0()0(3)1()0()0()3(

3

12

8

1rrrrrrrrrrrrr

( )( )+φ∂φ∂ξ+φ∂φ∂+φ∂+φ∂ξφ∂+φ∂φ∂+ ϑϑ)1()0()2()3()0()2()0()2()1()2()1(2 rrrrrrrrr

( ) ( ) +φ∂−φ∂φ∂+φ∂φ∂+

φ∂φ∂+φ∂ξξ+ ϑϑϑ

)1()1()1()2()0()0()0(2)0()2()1(2 rrrrrrrrrr

) ( ) ( ) +φ∂φ∂+φ∂φ∂+φ∂φ∂ξ+φ∂φ∂+φ∂φ∂+ )1()0()1()0()1()0(2)1()2()0()1()1( 2 rrrrrrrrrrrrrrrrrr

( ) ( ) ( ) ( ) −ξΔξ+ξΔξ−

ξΔ+−ξξ+ξΔ++ ΩΩΩΩ

)1(2)1()1()2()2(2)1()1()3( 32222

( ) ( ) )1(2)1()1(2)1(

2

1 ξΔξ∂−ξ∂ξ∂− Ωϑϑϑϑ ; (23A)


63

( ) ( )−

=ϑ

ξ+ξξ+ξ

1

1

3)1()2()1()3( 0cos63 d ; (24A)

( ) ( ) ( )−

=ϑϑ

ξ+ξξ+ξ

1

11

3)1()2()1()3( 0coscos3 dP ; (25A)

( ) ( )+φ∂+φ∂ξ+φ∂+φ∂ξ+φ∂−

)1()1(1

1

)2()0()0()3()3( 22 rrrrrrr

( ) ( ) +

φ∂+φ∂+φ∂ξ+

φ∂+φ∂+φ∂ξ+ )1()1()1(2)1()0()0()0(3)1( 2

2

1

6

1rrrrrrrrrrrrrrr

( )( )−φ∂ξ∂−φ∂+φ∂+φ∂+φ∂+φ∂ξξ+ ϑϑ)1()1()2()2()0()0()0()2()1( 224 rrrrrrrrrr

0)(cos)2()1()1()2( =ϑφ∂ξ∂−φ∂ξ∂− ϑϑϑϑ d ; (26A)

( ) +φ∂ξ+φ∂ξ+φ∂ξ+φ∂ξ+φ )1(2)1()0()3()1()2()2()1()3(

2

1rrrrr

( ) )(6

1 )3()0(3)1()0()2()1( tsrrrrr φ=φ∂ξ+φ∂ξξ+ ; (27A)

:0=t −ϑ+

−=ξ Ω∈lmk

kmllmk PK

l

hhh

,,0

)3( )(cos)12(3

)(cos5

91

0 ,,1

,12 ϑ

+−

∞

= Ω∈Ω∈PKKhhhKhhh

g lmkglkmglmk

mkkmmk ;

0)1()2()3(210

=ξ∂+ξ∂+ξ∂ TTT , (28A)

где ( )2000

nlmnlm CK = , а 0

00n

lmC – коэффициенты Клебша-Гордана

[64]. 7. ПРИЛОЖЕНИЕ B. Выражения для коэффициентов задачи:

∞

=

−∞

=

−∞

=

++−+ μ+μ+λβ=0

)(0

1

)(1

2

)()(1))((1

gnlgmk

gnlgmk

ggmlnlgmknlmkH ;


64

∞

=

+∞

=

+∞

=

−−+− μ+μ+λβ=0

)(0

1

)(1

2

)()(1))((1

gnlgmk

gnlgmk

ggmlnlgmknlmkH ;

∞

=

+∞

=

+∞

=

++++ μ+μ+λβ=0

)(0

1

)(1

2

)()(2))((2

gnlgmk

gnlgmk

ggmlnlgmknlmkH ;

∞

=

−∞

=

−∞

=

−−−− μ+μ+λβ=0

)(0

1

)(1

2

)()(2))((2

gnlgmk

gnlgmk

ggmlnlgmknlmkH ;

( )( ))()(2210)(0 −++ λ+λωΠ−ωωΠ−Π= mmgmmggmgngmmgnmgnmgnH ;

( )( ))()(2210)(0 −+− λ+λωΠ−ωωΠ+Π= mmgmmggmgngmmgnmgnmgnH ;

( ) ( )2210)(1mlkgnmlkkgnkgnnlgmk ω+ωΠ−ω+ωωΠ−Π=β + ;

( ) ( )2210)(1mlkgnmlkkgnkgnnlgmk ω−ωΠ−ω−ωωΠ−Π=β − ;

( ) ( )2210)(2mlkgnmlkkgnkgnnlgmk ω+ωΠ−ω+ωωΠ+Π=β + ;

( ) ( )2210)(2mlkgnmlkkgnkgnnlgmk ω−ωΠ−ω−ωωΠ+Π=β − ;

kmnlgmknlgmknlgmk ωωΓ−Λ=μ − 11)(1 ; kmnlgmknlgmknlgmk ωωΓ+Λ=μ + 11)(1 ;


−+ω−++−+α=Λ 4(())2(2))2(23(((2

1 220 knKkWkllknKk kmgkkmgnglnkmgl

−−++−−−++−++− )))22)3(23()9()2)(1(2()1(6 23 Wmmnknkmmkkk

=ν

ν−+ν−α−ω−−−−]2/[

1,2,

2 )142(2)))2()1(l

nlgkmgk Klknnkkk

( )( ) +ωα−−α−−−=Λ 21 /)1(/)1( mkmgkmgnlgnlgnlgmk mKmgKng

( ) kmgnlgnlg KKgnlgWnk α+−−+++ )2)(1( ;


65

( )( ) +α−+−−+−−=Γ nlgkmgkmgnlgmk KkmmnmkKnkk )/())(1(2/))1(2)(1(0

( ) gmnglkglk KkkKkk /)2(2/)2)(1( α−−−−+ ;

( )( )( )−α−−α+−−−−=Γ mKmkgknKng lmglmggkngknnlgmk /)1()/()1(1

( )( )mKmgKng kmgkmgnlgnlg /)1(/)1( α−−α−−−− ;

( +−+++++−ω=Π nmmnkknknkkmn 4)1(2)1(2)1(20

( )) ( ) kmnkkmn WnkKmnkmkknWn α+ω+−−+++−−−+ /)2)(1()1)(5( 2 ;

( ) )/()2(1 mkmknKnkm kmnkmnkmn α++−−−+=Π ;!»

mKnm kmnkmnkmn /)1(2 α−−−=Π ;

Wkkkkkkk )1(54)1(2 22 −−−++ω=Ξ

lmkkml ω+ω+ω=ψ ++ ))(( ; lmkkml ω−ω+ω=ψ −+ ))(( ;

lmkkml ω−ω−ω=ψ −− ))(( ;

( ) ( )22)( )(/ lmnnlmlmnlmnlm ω±ω−ωηωω±γ=λ ± ;

;)1()1(01)1(

000 ++−=α − llmmCC n

lmn

lmnlm

[ −++−+++−ω=γ )1(()1)1((2)1(2 mlllnmnK mnlmnlm

] [ ];2//2/)3)722( 2 nWmnWnmm mnlm +ωα+++−−

( ) ( ) mlnmnK nlmnlmnlm /)2/(112/ +α++−=η ; knlmknlmD δδ−=1 .


66

3.2. Нелинейное резонансное четырехмодовое взаимодействие

капиллярных осцилляций заряженной капли идеальной жидкости

1. Некоторые вопросы нелинейных осцилляций заряженной капли, представляющие значительный интерес для теории грозо-вого электричества, остались за рамками ранее проведенных ис-следований [1, 29, 52, 69, 71, 80, 82]. Это, в частности, относится к исследованию возможности резонансной раскачки амплитуды основной моды капли за счет перекачки в нее энергии из высоких мод. Данная проблема имеет принципиальное значение для тео-рии грозового электричества в связи с обсуждающимся механиз-мом инициирования разряда молнии коронным разрядом в окре-стности заряженной крупной капли или обводненной градины в грозовом облаке [86 – 87]. Несмотря на очевидную привлека-тельность такого механизма, пока нет доказательств возможности его реализации: согласно данным натурных измерений [88] соб-ственные заряды крупных капель и градин в облаках слишком малы для того, чтобы в их окрестности мог зажечься коронный разряд или реализоваться неустойчивость заряженной поверхно-сти капли. В то же время, очевидно, что при вытягивании капли в фигуру, близкую к сфероиду, напряженность поля у ее вершин существенно увеличивается. Одной из возможностей вытягива-ния капли в сфероид является возбуждение основной моды ее ос-цилляций при резонансной перекачке энергии из высоких мод осцилляций в основную [65, 73, 75]. Однако проведенные расче-ты [73, 75] (см. разделы 2.1 – 2.2) показывают, что при трехмодо-вом нелинейном резонансном взаимодействии осцилляций капли наинизшей модой, в которую возможна перекачка энергии из вы-соких мод, является третья. Только в расчетах третьего порядка малости по амплитуде начальной деформации капли, когда про-являются четырехмодовые резонансы, основная (вторая) мода включается в резонансное взаимодействие с высокими модами [82 – 83]. Заметим, что трехмодовые резонансы, проявляющиеся в расчетах второго порядка малости, приводят при реализации к эффекту первого порядка малости: амплитуда моды, раскачи-вающейся за счет перекачки энергии из высоких мод, имеет пер-


67

вый порядок малости [73] и может превышать амплитуды изна-чально возбужденных высоких мод. В этой связи возникает и чисто академический вопрос теории нелинейного взаимодействия мод осцилляций: каким порядком малости будет характеризо-ваться мода, раскачивающаяся за счет резонансной перекачки энергии при четырехмодовом взаимодействии, проявляющемся лишь в третьем порядке малости? С целью отыскания ответов на поставленные вопросы и решалась приведенная ниже задача.

2. Рассмотрим каплю радиуса R , обладающую зарядом Q , идеальной несжимаемой идеально проводящей жидкости с плот-ностью ρ и коэффициентом поверхностного натяжения γ в усло-виях отсутствия внешней среды и гравитации. Пусть в начальный момент времени равновесная сферическая форма поверхности капли претерпела возмущение малой амплитуды. Зададимся це-лью проследить временную эволюцию формы поверхности капли и проанализировать закономерности её колебаний под действием капиллярных и электрических сил. Учитывая, что движение жид-кости в капле вызвано малыми колебаниями её поверхности, можно провести рассмотрение в рамках модели потенциального движения, когда поле скоростей характеризуется потенциалом ψ . Потенциал электрического поля в окрестности капли обозначим φ. Форму капли будем считать осесимметричной как в началь-ный, так и во все последующие моменты времени. Уравнение по-верхности капли в сферической системе координат, связанной с её центром масс, в безразмерных переменных, в которых 1=ρ ,

1=R , 1=γ , запишем в виде

( , , ) 1 ( , ) 0,F r t r t≡ − − =ϑ ξ ϑ (1)

где ϑ,r – сферические координаты, ),( tϑξ – функция, описы-вающая отклонение формы капли от сферической ( 1),( <<ϑξ t ).

Математическая формулировка задачи содержит: уравнения Лапласа для потенциалов скорости жидкости и электрического поля

;0=ψΔ ;0=φΔ (2)


68

условия ограниченности

:0→r 0→ψ∇ ; (3)

:+∞→r 0→φ∇ ; (4)


:),(1 tr ϑξ+= ;0=∇⋅ψ∇+∂ξ∂

− Ft

(5)

( ) ;2

1 2σ−−+=ψ∇+

∂ψ∂

ppppt атq (6)


π=ϕϑϑ

V

dddrr ;3

4sin2

;20;0;10,, π≤ϕ≤π≤ϑ≤ξ+≤≤ϕϑ= rrV (7)

условие неподвижности центра масс

=ϕϑϑV

dddrrr ;0sin2 (8)


;4 QdSnS

π−=φ∇⋅ ;20;0;1,, π≤ϕ≤π≤ϑ≤ξ+=ϕϑ= rrS (9)

условие постоянства электрического потенциала вдоль поверхно-сти

:),(1 tr ϑξ+= );(tSφ=φ (10) начальные условия

:0=t ( ) );(cos)(coscos 1100 ϑε+ϑξ+ϑξ=ξ Ω∈

kk

k PhPP ;0=∂ξ∂t

(11)


69

в выражениях (2) – (11) атp , p , qp , σp – атмосферное давление,

гидродинамическое давление в равновесном состоянии, давления

электрического поля и капиллярное соответственно; n – вектор нормали к поверхности капли; Sφ – электрический потенциал ка-пли; ε – амплитуда начальной деформации, являющаяся малым параметром задачи; Ω – спектр мод, определяющих начальную деформацию; kh – парциальный вклад k -й моды в начальную

деформацию ( )1(~ Ohk

kΩ∈

); )(cosϑkP – полином Лежандра по-

рядка k ; 0ξ , 1ξ – величины, определенные так, чтобы интеграль-ные условия (7) и (8) выполнялись в начальный момент времени.

Для удобства записи дальнейших выражений расширим множество констант kh , дополнив его так, что 0≡kh при любых

Ω∉k . 3. Будем решать краевую задачу (2) – (11) методом многих

масштабов с точностью до третьего порядка малости по амплиту-де начального возмущения ε , представляя все искомые величины в виде разложений по степеням ε и полагая, что они зависят не просто от времени t , но от разных его масштабов tT j

j ε= ,

)2,1,0( =j . Производная по времени t в этом случае выражается через производные по временным масштабам jT следующим об-

разом:

2

2

10 TTTt ∂∂ε+

∂∂ε+

∂∂=

∂∂

.

Подставляя разложения

);( 4)3(3)2(2)1( ε+ξε+ξε+εξ=ξ O (12)

);( 4)3(3)2(2)1( ε+ψε+ψε+εψ=ψ O (13)

);( 4)3(3)2(2)1()0( ε+φε+φε+εφ+φ=φ O (14)

)( 4)3(3)2(2)1()0( ε+φε+φε+εφ+φ=φ OSSSSS , (15)

в краевую задачу (2) – (11) и собирая слагаемые при одинаковых степенях ε , получим задачи различных порядков малости, кото-рые для краткости изложения вынесены в «Приложение A». В


70

разложениях (14), (15) rQ /)0( =φ ; QS =φ )0( – решения нулевого порядка малости, т.е. для равновесной сферической поверхности капли.

Очевидно, что в силу линейности уравнений Лапласа функ-ции )(kψ и )(kφ являются решениями уравнений, аналогичных (2). Учитывая условия ограниченности (3), (4), можно записать

∞

=ϑ⋅⋅=ψ

1

)()( );(cos)(n

nk

nnk PtDr )3,2,1( =k ; (16)

∞

=+

ϑ=φ0

1

)()( );(cos

)(

nnn

knk Pr

tF )3,2,1( =k . (17)

Функцию, описывающую отклонение формы поверхности капли от сферической, представим в виде аналогичного разложе-ния по полиномам Лежандра:

∞

=ϑ⋅=ξ

0

)()( );(cos)(n

nk

nk PtM )3,2,1( =k . (18)

Отметим, что в рамках рассмотрения задачи с точностью до третьего порядка малости мы можем определить зависимость временных коэффициентов первого порядка в (16) – (18) от трех масштабов времени: ),,,( 210

)1( TTTM n ),,,( 210)1( TTTFn

),,( 210)1( TTTDn ; зависимость коэффициентов второго порядка –

от двух масштабов ),,( 10)2( TTM n ),,( 10

)2( TTFn ),( 10)2( TTDn ; а за-

висимость коэффициентов третьего порядка – только от 0T :

),( 0)3( TM n ),( 0

)3( TFn )( 0)3( TDn .

Последовательно используя решения (16) – (18) для разных значений 3,2,1=k , из систем граничных условий первого, второ-го и третьего порядков малости получим дифференциальные уравнения, которым должны удовлетворять коэффициенты

)()( tM kn , характеризующие временную эволюцию формы поверх-

ности капли.


71

4. При решении задачи первого порядка (см. «Приложение А») для коэффициентов )t(M )(

n1 получим гармоническое уравне-

ние по времени 0T

;0)()( )1(2

20

)1(2

=⋅ω+∂

∂tM

T

tMnn

n (19)

где )2)(1(2 Wnnnn −+−=ω – собственная частота n-й моды коле-

баний поверхности капли, )4/(2 π= QW – параметр Релея, харак-теризующий устойчивость капли по отношению к собственному заряду. Общее решение этого уравнения содержит произвольные функции: одну комплексную либо две действительные, завися-щие от временных масштабов 21, TT :

( ) [ ] =+ω⋅= .).(exp),( 021)1()1( скTiTTAtM nnn

( )),(cos),(2 21)1(

021)1( TTbTTTa nnn +ω⋅= . (20)

Здесь и далее (к.с.) означает слагаемые, комплексно сопря-женные к выписанным; [ ]),(exp),(),( 21

)1(21

)1(21

)1( TTbiTTaTTA nnn ⋅= –

комплексные амплитуды; ),( 21)1( TTan и ),( 21

)1( TTbn – действитель-ные функции, характеризующие амплитуду и фазу колебаний. Вид функций ),( 21

)1( TTAn , ),( 21)1( TTan , ),( 21

)1( TTbn определяется при анализе задач следующих порядков малости.

5. При рассмотрении задачи второго порядка малости (см. «Приложение А») для эволюционных коэффициентов )()2( tM n получим неоднородное дифференциальное уравнение

[ ]+ω∂

∂ω−=⋅ω+

∂

∂0

1

21)1(

)2(22

0

)2(2

exp),(

2)()(

TiT

TTAitM

T

tMn

nnnn

n

[ ] ∞

=

∞

=⋅⋅η⋅ω⋅ω+γ+

2 221

)1( ),(k m

kkmnmkkmn TTA

( )[ ]+ω+ω⋅⋅ 021)1( exp),( TiTTA mkm


72

[ ] ( )[ ] ..).(exp),(),( 021)1(

21)1( скTiTTATTA mkmkkmnmkkmn +ω−ω⋅⋅η⋅ω⋅ω−γ+

(21)

Константы kmnkmn ηγ , определены в «Приложении B». Для того чтобы решение уравнения (21) не содержало секу-

лярных слагаемых, необходимо из его правой части исключить слагаемые, зависимость которых от времени 0T определяется вы-ражением [ ]0exp Ti nω . Это требование позволяет выяснить зависи-мость функций )T,T(A )(

n 211 (или )T,T(a )(

n 211 и )T,T(b )(

n 211 ) от времен-

ного масштаба 1T . В простейшем случае такое условие имеет вид

0),(

1

21)1(

=∂

∂T

TTAn (22)

и означает, что )1(nA , )1(

na и )1(nb не зависят от 1T .

Внимательный анализ функции неоднородности уравнения (21) показывает, что если для каких-либо трёх мод капиллярных осцилляций с номерами n, p и q выполняется одно из соотноше-ний qpn ω±ω=ω , то условия исключения секулярных слагаемых

из решений аналогичных уравнений (записанных для мод n, p и q) будут иметь вид системы трех связанных дифференциальных уравнений, определяющих зависимость от временного масштаба

1T взаимосвязанных функций ),( 21)1( TTAn , ),( 21

)1( TTAp и

),( 21)1( TTAq . В таком случае принято говорить о внутреннем

трёхмодовом резонансном взаимодействии капиллярных осцил-ляций капли, рассмотрению которого посвящены работы [73, 75].

Общее решение уравнения (21) также содержит произволь-ные функции: одну комплексную )2(

nA либо две действительные

( )2(na и )2(

nb ), но зависящие только от временного масштаба 1T . В случае отсутствия трёхмодовых резонансных взаимодействий решение уравнения (21) для колебательных мод (n > 2) имеет вид

[ ]+ω⋅= 01)2()2( exp)()( TiTAtM nnn

( )[ ]+ω+ω⋅⋅⋅λ+ ∞

=

∞

=

+0

)1(

2 2

)1()( exp TiAA mkmk m

kkmn (23)


73

( )[ ] .).(exp 0)1()1()( скTiAA mkmkkmn +ω−ω⋅⋅⋅λ −

Выражения для констант )(+λ kmn и )(−λ kmn приведены в «Прило-

жении В». Вид функций )( 1)2( TAn , )( 1

)2( Tan и )( 1)2( Tbn (где

[ ])(exp)()( 1)2(

1)2(

1)2( TbiTaTA nnn ⋅⋅= ) может быть определен лишь в

третьем порядке малости. 6. Остановимся более подробно на анализе неоднородного

дифференциального уравнения для эволюционных коэффициен-тов )()3( tM n , получающегося при рассмотрении системы гранич-ных условий третьего порядка (см. «Приложение А»):

=⋅ω+∂

∂)(

)( )3(22

0

)3(2

tMT

tMnn

n

[ ]+ω

⋅+

∂∂

+∂∂

ω−= 0)1(

2

)1(

1

)2(

exp2 TiAGT

A

T

Ai nnn

nnn (24)

[ ]( )+⋅ω+ω⋅Η+ ∞

=

+ )2()1(0

2,

)(0 )(exp gkgkgk

kgn AATi

[ ]( ))2()1(0

)(0 )(exp gkgkkgn AATi ⋅ω−ω⋅Η+ − +

[ ]( ) ( )[ ] −ω+ω⋅Ξ−ω⋅ω⋅−+

+ ∞

=0

2)1(

2

2exp)1(2)12(

1TiAn

k knknknk

[ ]( ) ( )[ ] +ω−ω⋅Ξ+ω⋅ω⋅−δ−− )1(

0

2)1(

, 2exp)1(2)1( nknknknkn ATiAn

( )[ ]⋅Η⋅+β⋅χ⋅δ+δ⋅δ+ +−−+−+

))((1,,,

,,

)(1,,1,,1,1,1,

,, nlmk

mlnknlmklnknklm

nlmk DD

( )( )( ) (1) (1), , 0exp k l m l mi T A A+ − ⋅ Ψ ⋅ +

( )[ ]⋅Η+β⋅χ⋅δ+δ⋅δ⋅⋅+ ++++−+

))((2,,,

)(2,,1,,1,1,1,

,,

,, nlmknlmklnknklm

nmlk

nlmk DD


74

[ ]( )+⋅Ψ⋅ −− )1()1(0

))((,,exp mlmlk AATi

( ), 2( ) , 2( )( ), , 1 , 1 , 1 , ,1, , , , , ,

m n l mk l m l k n k n l k m l n k n k m l nD D− − −

+ − + + ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅Η ⋅ δ δ δ χ β

( )( )( ) (1) (1) (1), , 0exp k l m l m ki T A A A− + ⋅ ⋅Ψ ⋅ ⋅ ,

где mlkmlk ω±ω±ω≡Ψ ±± ))((,, , а ji,δ – дельта-символ Кронекера.

Выражения для коэффициентов, использованных в (24), вы-несены в «Приложение В». Для краткости при записи (24) в пра-вой его части комплексно сопряженные слагаемые опущены.

Аналогично тому, как это описано выше, условие исключе-ния секулярных членов из решения уравнения (24), позволяет оп-ределить вид функций )T(A )(

n 21 и )T(A )(

n 12 . В простейшем случае

отсутствия каких-либо резонансных взаимодействий между ко-лебательными модами это условие имеет вид

0)()()(

2 2)1(

2

2)1(

1

1)2(

=⋅+

∂∂

+∂

∂ω TAG

T

TA

T

TAi nn

nnn ,

откуда несложно получить, что

22)1(

2)( T

GTb

n

nn ω

= (25)

в то время как )1(na не зависит от времени 2T , а )2(

na и )2(nb – от

времени 1T . Выражение (25) определяет поправки 2-го порядка малости к собственным частотам nω капиллярных осцилляций капли (см.(20)).

Решение уравнения (24) (из правой части которого исключе-ны слагаемые, приводящие к появлению секулярных членов) по-сле удовлетворения начальным условиям (11) может быть запи-сано в виде

[ ]( ) ( )( ) ( )[ ]

∞

Ξ∈+

ω−ω+ωω+ωω+Ξ−ωω−

−=ki

nknknk

nknnkn tсostсos

k

nhhtM 2

)12(

)1(2

16)(

2)3(


75

[ ]( ) ( )( ) ( )[ ] +

ω−ω−ωω−ωω+Ξ+ωω−

δ−+ tсostсosk

nnkn

knk

nknkn 2

)12(

)1(2)1( ,

( ) [ ] ( ) ( )[ ]∞

Ξ∈=

+−+ +ω−ω+ω

ω+ω−ω

Ηλ+λ−

mlkg

ngkgkn

kgngmlgml

kml tсostсoshhh

,,2

22

)(0)(

,,)(

,, )()(4

[ ] ( ) ( )[ ] +

ω−ω−ωω−ω−ω

Η+

−

tсostсos ngkgkn

kgn )()( 22

)(0

( )[ ]( )

( ) ( )[ ]+

ω−Ψ

Ψ−ω

Η+β⋅χδ+δδ+

∞

Ξ∈

++

++

−+++−+

mlknmlk

mlkn

nlmknlmklnknklmkml tсostсoshhh

,,

))((,,2))((

,,2

))((1,,,

)(1,,1,,1,1,1,

4

( )[ ]( )

( ) ( )[ ]+ω−Ψ

Ψ−ω

Η+β⋅χδ+δδ+ −+

−+

+−−+−+

tсostсosDD

nmlk

mlkn

nlmkmlnknlmklnknklm

nlmk ))((

,,2))((,,

2

))((1,,,

,,

)(1,,1,,1,1,1,

,,

( )[ ]( )

( ) ( )[ ]+ω−Ψ

Ψ−ω

Η+β⋅χδ+δδ+ −−

−−

++++−+

tсostсosDD

nmlk

mlkn

nlmknlmklnknklmnm

lknlmk ))((

,,2))((,,

2

))((2,,,

)(2,,1,,1,1,1,

,,

,,

( )[ ]( )

( ) ( )[ ] .))((,,2))((

,,2

))((2,,,

,,

)(2,,1,,1,1,1,

,,

ω−Ψ

Ψ−ω

Η⋅+β⋅χδ+δδ+ +−

+−

−−−+−+

tсostсosDD

nmlk

mlkn

nlmkmlnknlmklnknklm

nmlk

Из вида функции неоднородности уравнения (24) несложно заметить, что помимо трёхмодового резонансного взаимодейст-вия, проявившегося при анализе задачи второго порядка малости (см. (21)), появляется дополнительная возможность четырёхмо-дового резонансного взаимодействия, когда для собственных час-тот мод с различными номерами n, p, q и s выполняется какое-либо из соотношений вида nsqp ω=ω−ω±ω (см. тройную сум-

му в функции неоднородности уравнения (24)). Возможна также ситуация, когда одна из мод участвует в резонансном взаимодей-ствии дважды, что соответствует случаю вырожденного резонан-са. Кроме того, в рассматриваемом приближении третьего поряд-


76

ка малости возможно трёхмодовое резонансное взаимодействие, при котором происходит обмен энергией между модами первого порядка малости, определяющими спектр начальной деформации капли, и модами, возбуждающимися во втором порядке малости (см. двойную сумму в функции неоднородности уравнения (24)). Взаимодействия указанных видов в ранее выполненных расчётах третьего порядка малости обнаружены не были (см. [29]).

Рассмотрим четырёхмодовое взаимодействие более подроб-но.

7. Чтобы отразить близость комбинации частот sqp ω−ω±ω

к частоте nω , введём параметр расстройки σ ~ )1(Ο , определяе-мый соотношением

( )σε+ω=ω−ω±ω 21nsqp . (26)

Выписывая в дополнение к (24) аналогичные уравнения для мод p, q, s и исключая из их правых частей слагаемые, приводя-щие к появлению секулярных членов в решениях, получим сис-тему связанных дифференциальных уравнений относительно функций )(i

jA (где sqpnji ,,,;2,1 == ). Для примера приведём вид

такой системы для случая, когда реализуется первая из резонанс-ных ситуаций (26) ( )σε+ω=ω−ω+ω 21nsqp :

−⋅+∂

∂ω=∂

∂ω− )()()(

2)(

2 2)1(

22

2)1(

1

1)2(

TATGT

TAi

T

TAi nn

nn

nn

[ ]22)1(

2)1(

2)1()( exp)()()( TiTATATAY nsqpn ⋅σ⋅ω⋅⋅⋅⋅− + ;

−⋅+∂

∂ω=

∂∂

ω− )()()(

2)(

2 2)1(

22

2)1(

1

1)2(

TATGT

TAi

T

TAi pp

pp

pp

[ ]22)1(

2)1(

2)1()( exp)()()( TiTATATAY nsqnp ⋅σ⋅ω⋅−⋅⋅⋅⋅− + ;

−⋅+∂

∂ω=

∂∂

ω− )()()(

2)(

2 2)1(

22

2)1(

1

1)2(

TATGT

TAi

T

TAi qq

qq

qq


77

[ ]22)1(

2)1(

2)1()( exp)()()( TiTATATAY nspnq ⋅σ⋅ω⋅−⋅⋅⋅⋅− + ;

−⋅+∂

∂ω=∂

∂ω− )()()(

2)(

2 2)1(

22

2)1(

1

1)2(

TATGT

TAi

T

TAi ss

ss

ss

[ ]22)1(

2)1(

2)1()( exp)()()( TiTATATAY nqpns ⋅σ⋅ω⋅⋅⋅⋅⋅− + . (27)

Выражения для всех использованных здесь обозначений при-ведены в «Приложении В». При рассмотрении второй резонанс-ной ситуации ( )σε+ω=ω−ω−ω 21nsqp система уравнений имеет

вид, аналогичный (27). Систему (27) необходимо дополнить условиями исключения

секулярных членов из решений дифференциальных уравнений для амплитуд второго порядка малости мод n, p, q и s (см. (21)). Предположим, что моды n, p, q и s ни в каких других резонансах, кроме резонансов вида (26), не участвуют. Это означает, что для функций )1(

nA , )1(pA , )1(

qA и )1(sA при анализе задачи второго поряд-

ка малости следует записать соотношения, аналогичные (22), со-гласно которым )1(

nA , )1(pA , )1(

qA и )1(sA не зависят от времени 1T . В

результате получим, что в уравнениях (27) слева от знаков равен-ства стоят функции временного масштаба 1T , а справа – функции, зависящие только от 2T . Поскольку в методе многих масштабов

1T и 2T рассматриваются как независимые переменные, то следу-ет отдельно левые и правые части уравнений (27) положить рав-ными константе, например, нулю.

Для функций )2(jA (где sqpnj ,,,= ) получим 0

)(

1

1)2(

=∂

∂T

TAj,

откуда следует, что )2(jA , )2(

ja и )2(jb являются постоянными вели-

чинами, равными своим начальным значениям, которые неслож-но получить из (11), используя разложения (12), а также учитывая

(18), (20), (23): ( ) mkk m

kmjkmjj hha ⋅⋅λ+λ−= Ω∈ Ω∈

−+ )()()2(

4

1; 0)2( =jb . В

результате выражение для амплитуд второго порядка малости (23) примет вид


78

( )( ) ( )[ ]+ω−ω+ωλ= ∞

=

∞

=

+ tсostсostM nmkk m

kmnn2 2

)()2( )(

( )( ) ( )[ ] .2

)( mknmkkmn

hhtсostсos

⋅ω−ω−ωλ+ − (28)

Для функций )1(jA (где sqpnj ,,,= ) получим комплексные

уравнения, приравнивая к нулю действительные и мнимые части которых, запишем следующую систему для определения функций

)1(ja и )1(

jb ( sqpnj ,,,= ):

−

+

σω−

∂β∂

ω )()(

2)( 22

2)1(

2)1( TG

T

TTa nn

nnn (29)

[ ] 0cos)()()( ))()((,,,2

)1(2

)1(2

)1()( =ϕ⋅⋅⋅⋅− ±+−±qpsnsqpn TaTaTaY ;

[ ] 0sin)()()()(

2 ))()((,,,2

)1(2

)1(2

)1()(

2

2)1(

=ϕ⋅⋅⋅⋅−∂

∂ω ±+−±

qpsnsqpnn

n TaTaTaYT

Ta;

+

−

∂∂

ω )()(

2)( 22

2)1(

2)1( TG

T

TbTa p

ppp

( ) (1) (1) (1) ( )( )( )2 2 2 , , ,( ) ( ) ( ) cos 0p n q s n s p qY a T a T a T± − + ± + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ϕ ;

[ ] 0sin)()()()(

2 ))()((,,,2

)1(2

)1(2

)1()(

2

2)1(

=ϕ⋅⋅⋅⋅+∂

∂ω ±+−±

qpsnsqnpp

p TaTaTaYT

Ta;

+

−

∂∂

ω )()(

2)( 22

2)1(

2)1( TG

T

TbTa q

qqq

( ) (1) (1) (1) ( )( )( )2 2 2 , , ,( ) ( ) ( ) cos 0q n s p n s p qY a T a T a T± − + ± + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ϕ = ;


79

[ ] 0sin)()()()(

2 ))()((,,,2

)1(2

)1(2

)1()(

2

2)1(

=ϕ⋅⋅⋅⋅±∂

∂ω ±+−±

qpsnpsnqq

q TaTaTaYT

Ta;

+

−

∂∂

ω )()(

2)( 22

2)1(

2)1( TG

T

TbTa s

sss

[ ] 0cos)()()( ))()((,,,2

)1(2

)1(2

)1()( =ϕ⋅⋅⋅⋅ ±+−±qpsnpqns TaTaTaY ;

[ ] 0sin)()()()(

2 ))()((,,,2

)1(2

)1(2

)1()(

2

2)1(

=ϕ⋅⋅⋅⋅−∂

∂ω ±+−±

qpsnpqnss

s TaTaTaYT

Ta;

)()( 2)1(

22)1( TbTT nnn −⋅σ⋅ω=β ;

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2)1(

2)1(

2)1(

2)1(

2))()((

,,, TbTbTbTT qpsnqpsn ±+−β≡ϕ ±+− .

Начальные условия для системы (29) также несложно полу-чить из исходных условий (11), учитывая (12), (18), (20). Отме-тим, что из вида уравнений (29) следует, что четырёхмодовый ре-зонанс может проявляться лишь в том случае, если амплитуды хотя бы трёх из взаимодействующих мод в начальный момент времени отличны от нуля. Рассмотрим для примера ситуацию, когда моды p, q и s присутствуют в спектре, определяющем на-чальную деформацию капли, а мода n возбуждается в результате межмодового взаимодействия (т.е. Ω∉Ω∈ nsqp ;,, ). Система уравнений (29) в этом случае должна быть дополнена следующи-ми начальными условиями:

2)0(;0)0( )1()1( π±=β= nna ; 0)0(;

2)0( )1()1( == j

jj b

ha ; (j=p, q, s). (30)

Решения системы (29) с начальными условиями (30) опреде-ляют зависимость от медленного временного масштаба tT 2

2 ε=

амплитуд 1-го порядка малости )t(M )(j1 (см.(20)) для мод, связан-

ных резонансным взаимодействием ( n,s,q,pj = ). 8. На рис. 1 представлены результаты численных расчётов,

выполненных для резонансной ситуации 2302117 ω=ω−ω+ω , реа-лизующейся при значении безразмерного параметра W=0.460245


80

(параметр W характеризует величину заряда капли 32 4/ RQW γπ= ). Предполагалось, что начальное возмущение

определяется 17-й, 21-й, и 30-й модами, парциальные вклады ко-торых в амплитуду этого возмущения ( 1.0=ε ) равны между собой ( 3/1302117 === hhh ). Поскольку наибольший интерес представляет раскачка моды, отсутствующей в спектре начального возмуще-ния, то на рис. 1 (и всех последующих) приводятся только ре-зультаты, полученные для второй (основной) моды. Из представ-ленных графиков видно, что для данной моды, раскачиваемой за счет 4-модового резонансного взаимодействия, эволюционный коэффициент первого порядка малости )()1(

2 tM (см. разложения (12), (18)) может достигать лишь весьма незначительных ампли-туд (на порядок меньших соответствующих амплитуд 17-й, 21-й и 30-й мод) и не превышает величин второго порядка малости. Увеличение относительной амплитуды начального возмущения ε приводит лишь к уменьшению периода резонансного взаимодей-ствия, практически не сказываясь на амплитуде )()1(

2 tM (см. рис. 2, где представлены результаты аналогичных расчетов при

3.0=ε ). Естественно предположить, что в реальности форма началь-

ного возмущения поверхности капли определяется более широ-ким спектром мод (а не только 17-й, 21-й, и 30-й), тогда парци-альный вклад интересующих нас мод уменьшится. На рис. 3 при-ведены результаты расчетов, выполненных для случая, когда

12/1302117 === hhh , а 1.0=ε . Как и следовало ожидать, умень-шение парциального вклада резонансно взаимодействующих мод приводит к пропорциональному уменьшению амплитуды раска-чиваемой основной моды. При этом значительно увеличивается период резонансного взаимодействия.


81

Рис. 1. Временная зависимость эволюционного коэффициента первого порядка малости в разложении в ряд по амплитуде начального возмущения

амплитуды раскачиваемой основной (второй) моды капиллярных |колебаний поверхности капли. Значение параметра W соответствует положению точного резонанса: 46.0=W , 1.0=ε , 3/1302117 === hhh

Рис. 2. Те же зависимости, что на рис. 1, рассчитанные при 3.0=ε


82

Рис. 3. Те же зависимости, что на рис. 1, рассчитанные при 12/1302117 === hhh

Рис.4. Те же зависимости, что на рис. 1, рассчитанные при 0=W


83

Изменение величины заряда капли (величины параметра W) приводит к увеличению параметра расстройки в соотношении (26), т.е. к ухудшению условий резонансной перекачки энергии из высоких мод в низкую – основную. На рис. 4 и 5 изображены зависимости, рассчитанные при значениях заряда капли, больших и меньших резонансного: W=0 и W=0.87 соответственно. Пара-метры расстройки в этих случаях практически одинаковы, но имеют разные знаки. Несложно заметить, что следствием изме-нения заряда капли является уменьшение как амплитуды резо-нансно раскачиваемой моды, так и периода резонансного взаимо-действия. Отметим, что при увеличении заряда снижение ампли-туды основной моды менее значительно, поскольку в обычных условиях (при отсутствии резонансов) увеличение заряда ведёт к росту амплитуд колебательных мод.

Рис. 5. Те же зависимости, что на рис. 1, рассчитанные при 87.0=W

Численные расчеты проводились также и для второй четы-

рёхмодовой резонансной ситуации ( )σε+ω=ω−ω−ω 21nsqp

(см. (26)), реализующейся, например, для 34-й, 30-й, 10-й и 2-й мод при значении параметра W = 0.983454. Однако полученные


84

результаты полностью аналогичны представленным на рис. 1 и здесь не приводятся.

Расчёт обычными методами теории нелинейных осцилляций [1, 29, 52, 69, 71, 80 – 81], возникающей за счёт нерезонансного межмодового взаимодействия поправки 2-го порядка малости

)()2(2 tM к амплитуде основной моды (см. (12), (18), (28)), показы-

вает, что она достигает величины, сравнимой с )t(M )1(

2 . Это вы-звано тем, что выражение для поправки второго порядка к ампли-туде n-й моды )()2( tM n содержит коэффициенты

( )( ) 1( ) ~kmn n k m n k mλ ω ω ω ω ω ω −− − + + − , причём индексы k и m

пробегают значения номеров мод из спектра начального возму-щения. Очевидно, что когда k и m принимают одинаковые значе-

ния, 2

)( 1~

nkkn ω

λ − . Поскольку частота второй моды существенно

меньше всех возможных частот колебательных мод, то величины коэффициентов )(

2−λ kk , а следовательно, и поправки )()2(

2 tM значи-

тельно больше, чем аналогичные поправки )()2( tM n для высоких мод. В результате вклад нерезонансной поправки второго поряд-ка в суммарную амплитуду основной моды (равный )()2(

22 tM⋅ε )

сравним с вкладом, вносимым эволюционным коэффициентом первого порядка ( )()1(

2 tM⋅ε ), появляющимся вследствие резонан-са. Данное обстоятельство в сочетании с требованием равномер-ности асимптотического разложения для амплитуды раскачивае-мой основной моды фактически накладывает ограничение сверху на величину малого параметра ε.

9. При асимптотическом расчете нелинейных капиллярных осцилляций заряженной капли идеальной несжимаемой жидкости выяснилось, что в третьем порядке малости по амплитуде много-модовой начальной деформации имеет место четырехмодовое внутреннее резонансное взаимодействие мод, обеспечивающее раскачку основной моды даже при отсутствии ее в спектре мод, возбужденных в начальный момент времени. Однако амплитуда основной моды, раскачиваемой при резонансной перекачке в неё энергии из возбужденных в начальный момент времени высоких мод, хотя формально имеет первый порядок малости, тем не ме-


85

нее не превышает величины поправки второго порядка малости, появляющейся за счет нерезонансного нелинейного взаимодейст-вия. Это делает возможность применения результатов проведен-ных расчетов к истолкованию проблемы инициирования разряда молнии достаточно проблематичной.

В том же третьем порядке малости проявляется трехмодовое резонансное взаимодействие амплитуд мод первого порядка, воз-бужденных в начальный момент времени, с поправками к ампли-тудам, имеющим второй порядок малости.

10. ПРИЛОЖЕНИЕ A. Краевые задачи различных порядков малости.

Подставляя разложения (12) – (15) в краевую задачу (2) – (11) и собирая слагаемые при одинаковых степенях ε , получим задачи различных порядков малости. В нижеследующем изложении для частных производных (например, по переменной x ) используется обозначение x∂ .

Выделяя слагаемые с 1ε , получим задачу первого порядка малости:

;0)1( =ψΔ ;0)1( =φΔ

:0→r 0)1( →ψ ;

:+∞→r 0)1( →φ∇ ;

:1=r ;)1()1(0

ψ∂=ξ∂ rT

( ) )1()1()0()1()1()0()1( 24

10

ξΔ+ξ+φ∂ξ+φ∂φ∂π

=ψ∂ ΩrrrrT ;

−

=ϑξ1

1

)1( ;0)(cosd −

=ϑξ1

11

)1( ;0)(cosdP

( ) −


1

)0()0()1()1( ;0)(cos2 drrrr

);()1()0()1()1( tSr φ=φ∂ξ+φ


86

:0=t )(cos)1( ϑε=ξ Ω∈

kk

k Ph ; .0)1(0

=ξ∂T

Слагаемые, содержащие 2ε , определяют задачу второго по-рядка малости:

;0)2( =ψΔ ;0)2( =φΔ

:0→r 0)2( →ψ ;

:+∞→r 0)2( →φ∇ ;

:1=r ;)1()1()1()1()2()1()2(10

ψ∂ξ∂−ψ∂ξ+ψ∂=ξ∂+ξ∂ ϑϑrrrTT

( ) ( )0 1 0

2 2(2) (1) (1) (1) (1) (1)1 1

2 2T T rT r∂ + ∂ + ∂ + ∂ + ∂ϑψ ψ ξ ψ ψ ψ

(2) (0) (0)12

8 r rr= ∂ ∂ +ξ φ φπ ( ) ( )( )2 2(1) (0) (0) (0)

rr rrr r∂ + ∂ ∂ +ξ φ φ φ

( ) ( ) (2 2(1) (1) (2) (0) (1) (0) (1)2 2r r r rr r+ ∂ + ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ +ϑφ φ φ φ ξ φ φ

)(1) (0)rr r+∂ ∂ +φ φ (2) (1) (2)2 Ω+ Δ −ξ ξ ξ ( )2(1) (1)2 2 Ω− Δξ ξ ;

( )−

=ϑ

ξ+ξ

1

1

2)1()2( ;0)(cosd ( )−

=ϑ

ξ+ξ

1

11

2)1()2( ;0)(cos32 dP

( ) ( )−

+φ∂+φ∂ξ+φ∂+φ∂ξ+φ∂1

1

)0()0()2()1()1()1()2( 22 rrrrrrr

( ) ;0)(cos22

1 )1()1()0()0()0(2)1( =ϑφ∂ξ∂−


( ) );(2

1 )2()0(2)1()0()2()1()1()2( tSrrrr φ=φ∂ξ+φ∂ξ+φ∂ξ+φ


87

:0=t ( ) ( )

Ω∈Ω∈ϑ−

+ϑ

−=ξmk

kmmkk

k PKhhk

Ph

,11

0)2( cos2

3

12

cos;

0)1()2(10

=ξ∂+ξ∂ TT .

Задача третьего порядка малости определяется слагаемыми, содержащими 3ε :

;0)3( =ψΔ ;0)3( =φΔ

:0→r 0)3( →ψ ;

:+∞→r 0)3( →φ∇ ;

:1=r +ψ∂ξ∂−ψ∂ξ∂−ψ∂=ξ∂+ξ∂+ξ∂ ϑϑϑϑ)2()1()1()2()3()1()2()3(

210 rTTT

( )( ) ( ) )1(2)1()2()1()1()1()1()1()2(

2

12 ψ∂ξ+ψ∂+ψ∂−ψ∂ξ∂ξ+ψ∂ξ+ ϑϑϑ rrrrrrrr ;

+ψ∂ψ∂+ψ∂ψ∂+ψ∂ξ+ψ∂+ψ∂+ψ∂ ϑϑ)2()1()2()1()1()1()2()1()3(

1120 rrrTTTT

( )( )+ψ∂ψ∂+ψ∂−ψ∂ψ∂+ψ∂ξ+ψ∂ξ+ ϑϑϑ)1()1()1()1()1()2()1()1()2(

00 rrrrrTrT

( ) ( ) +


π=ψ∂ξ+ )0()0()0()0(3)1()0()0()3()1(2)1(

3

12

8

1

2

10 rrrrrrrrrrrrrrrT


( )( ) ( )( +φ∂−φ∂φ∂+φ∂φ∂+φ∂φ∂+φ∂ξξ+ ϑϑϑ)1()1()1()2()0()0()0(2)0()2()1(2 rrrrrrrrrr

) ( ) ( ) +φ∂φ∂+φ∂φ∂+φ∂φ∂ξ+φ∂φ∂+φ∂φ∂+ )1()0()1()0()1()0(2)1()2()0()1()1( 2 rrrrrrrrrrrrrrrrrr

( ) ( ) ( )( ) ( ) −ξΔξ+ξΔξ−ξΔ+−ξξ+ξΔ++ ΩΩΩΩ)1(2)1()1()2()2(2)1()1()3( 32222

( ) ( ) )1(2)1()1(2)1(

2

1 ξΔξ∂−ξ∂ξ∂− Ωϑϑϑϑ ;


88

( ) ( )−

=ϑ

ξ+ξξ+ξ

1

1

3)1()2()1()3( 0cos63 d ;

( ) ( ) ( )−

=ϑϑ

ξ+ξξ+ξ

1

11

3)1()2()1()3( 0coscos3 dP ;

( ) ( )+φ∂+φ∂ξ+φ∂+φ∂ξ+φ∂−

)1()1(1

1

)2()0()0()3()3( 22 rrrrrrr

( ) ( ) +

φ∂+φ∂+φ∂ξ+

φ∂+φ∂+φ∂ξ+ )1()1()1(2)1()0()0()0(3)1( 2

2

1

6

1rrrrrrrrrrrrrrr


0)(cos)2()1()1()2( =ϑφ∂ξ∂−φ∂ξ∂− ϑϑϑϑ d ;

( ) +φ∂ξ+φ∂ξ+φ∂ξ+φ∂ξ+φ )1(2)1()0()3()1()2()2()1()3(

2

1rrrrr

( ) )(6

1 )3()0(3)1()0()2()1( tsrrrrr φ=φ∂ξ+φ∂ξξ+ ;

:0=t −ϑ+

−=ξ Ω∈lmk

kmllmk PK

l

hhh

,,0

)3( )(cos)12(3

)(cos5

91

0 ,,1

,12 ϑ

+−

∞

= Ω∈Ω∈PKKhhhKhhh

g lmkglkmglmk

mkkmmk ;

:0=t 0)1()2()3(210

=ξ∂+ξ∂+ξ∂ TTT ,

где ( )2000

nmknmk CK = , а 0

00n

mkC – коэффициенты Клебша-Гордана.

ПРИЛОЖЕНИЕ B. Использованные обозначения.

[ −++−+++−ω=γ )1(()1)1((2)1(2 kmmmnknK kmnknmk

] 2(2 2 7) 3) / 2 / / 2kmn kk k n nW k nW − − + + + + α ω ;


89

( ) ( ) kmnknK nkmnmknmk /)2/(112/ +α++−=η ;

( )2000

nmknmk CK = ; ;)1()1(0

1)1(0

00 ++−=α − mmkkCC nmk

nmknkm

( ) ( )22)( )(/ mknnmkmknkmnmk ω±ω−ωηωω±γ=λ ± ;

( )( ))()(2210)(0 −++ λ+λωΠ−ωωΠ−Π= kkgkkggkgngkkgnkgnkgnH ;

( )( ))()(2210)(0 −+− λ+λωΠ−ωωΠ+Π= kkgkkggkgngkkgnkgnkgnH ;

( )( )( ++++−++−ω=Π )1()2(12)1(20 ggkknknkkgn

( ) ( )( )) ( ) kgnkkgn WnkKgkngknkWn α+ω++−−−+−−+ /333 2 ;

( ) )/()2(1 gkgknKnkg kgnkgnkgn α++−−−+=Π ;

gKng kgnkgnkgn /)1(2 α−−−=Π ; ( )Wnnnn )1(3 2 −−ω=Ξ ;

( )( )( )3212

19

+++

−=χll

ll ;





∞

=

−∞

=

−∞

=

++−+ μ+μ+λβ=0

)(0

1

)(1

2

)()(1))((1

gnlgmk

gnlgmk

ggmlnlgmknlmkH ;

∞

=

+∞

=

+∞

=

−−+− μ+μ+λβ=0

)(0

1

)(1

2

)()(1))((1

gnlgmk

gnlgmk

ggmlnlgmknlmkH ;


90

∞

=

+∞

=

+∞

=

++++ μ+μ+λβ=0

)(0

1

)(1

2

)()(2))((2

gnlgmk

gnlgmk

ggmlnlgmknlmkH ;

∞

=

−∞

=

−∞

=

−−−− μ+μ+λβ=0

)(0

1

)(1

2

)()(2))((2

gnlgmk

gnlgmk

ggmlnlgmknlmkH ;



( )[ −++−+−ω−α=Λ 4(())13)2(2()2(2(2

1 20 knKllWkknkKk kmgkkmgnglnkmgl

−−++−−−++−++− )))22)3(23()9()2)(1(2()1(6 23 Wmmnknkmmkkk

] =ν

ν−+ν−α−ω−−−−]2/[

1,2,

2 )142(2))2()1(l

nlgkmgk Klknnkkk ;

( )( ) +ωα−−α−−−=Λ 21 /)1(/)1( mkmgkmgnlgnlgnlgmk mKmgKng

( ) kmgnlgnlg KKgnlgWnk α+−−+++ )2)(1( ;

( )( ) +α−+−−+−−=Γ nlgkmgkmgnlgmk KkmmnmkKnkk )/())(1(2/))1(2)(1(0

( ) gmnglkglk KkkKkk /)2(2/)2)(1( α−−−−+ ;

( )( )( )−−−+−−−−= mKmkgknKng lmglmggkngknnlgmk /)1()/()1(1 ααΓ

( )( )mKmgKng kmgkmgnlgnlg /)1(/)1( α−−α−−−− ;

( )[ ]− Ξ+ω−δ+Ξ

+≡

∞

=2

2, )1(22

)12(

1

kkkknnn k

kG

( ) [ ]−β+βχδ+δ− −+δ−+− +

)(1,,1,,

)(2,,1,,1,1, 1, nnkknnkkknknk nk

( )[ +λδ−+λβδ−δ−− ∞

=

+++

0

)(,

)()(2,,,,1,0, )1()1)(1(

gnkgnkkngnngkkgg


91

( ) ]+λΠδ−+λ+λβ+ −−−− )(0,

)()()(1,,,, )1(2 kkgngnnknkgkngnngkk

[ ] ( ))1()1(0,,

1,,0,, )1()2( kkngkngkgnk AAZZ +δ−δ−+ ;

inkgnk

inkgkn

inngkk

ingkZ ,,,,,,,,

)(,,,,,, Λ+Λ+μ≡ + (i = 0;1);

mlnkmlnkD ,,

,, 1 δδ−≡ ;

( )( ) +βχδ+χδδ+δ= −+++−

+ )(1,,1,,1,1,1,1,

,,

)(nqspssqqqsnpnp

spnqn DY

( )( ) +βχδ+χδδ+δ+ −+++−

)(1,,1,,1,1,1,1,

,, npsqsspppsnqnqsqnpD

( )( )[ +βχδ+χδδ+δ+ ++++−

)(2,,1,,1,1,1,1,

,,

,, nqpsqqpppqnsns

sqnp

spnq DD

]))((2,,,

))((2,,,

))((2,,,

))((2,,,

))((1,,,

))((1,,,

++++−−−−+−+− ++++++ nqpsnpqsnspqnsqpnpsqnqsp HHHHHH ;

( )( ) +βχδ+χδδ+δ= −+++−

− )(1,,1,,1,1,1,1,

,,

)(nqpsppqqqpnsns

spnqn DY

( )( ) +βχδ+χδδ+δ+ −+++−

)(1,,1,,1,1,1,1,

,, nspqppssspnqnq

pqnsD

( )( )[ +βχδ+χδδ+δ+ ++++−

)(2,,1,,1,1,1,1,

,,

,, nqspqqsssqnpnp

pqns

spnq DD

]))((2,,,

))((2,,,

))((2,,,

))((2,,,

))((1,,,

))((1,,,

++++−−−−+−+− ++++++ nqspnsqpnpsqnpqsnspqnqps HHHHHH ;

( )( ) +βχδ+χδδ+δ= −+++−

+ )(1,,1,,1,1,1,1,

,,

)(psqnqqsssqpnpn

spnqp DY

( )( ) +βχδ+χδδ+δ+ −+++−

)(1,,1,,1,1,1,1,

,, pnqsqqnnnqpspssqnpD

( )( )[ +βχδ+χδδ+δ+ ++++−

)(2,,1,,1,1,1,1,

,,

,, pnsqssnnnspqpq

spnq

sqnp DD

]))((2,,,

))((2,,,

))((2,,,

))((2,,,

))((1,,,

))((1,,,

++++−−−−+−+− ++++++ psnqpnsqpqnspqsnpnqspsqn HHHHHH ;

( )( ) +βχδ+χδδ+δ= ++++−

− )(1,,1,,1,1,1,1,

)(psqnqqsssqpnpnpY

( )( ) +βχδ+χδδ+δ+ ++++−

)(1,,1,,1,1,1,1, pnqsqqnnnqpsps


92

( )( ) +βχδ+χδδ+δ+ ++++−

)(1,,1,,1,1,1,1, pnsqssnnnspqpq

))((1,,,

))((1,,,

))((1,,,

))((1,,,

))((1,,,

))((1,,,

−+−+−+−+−+−+ ++++++ psnqpnsqpqnspqsnpnqspsqn HHHHHH ;

( )( ) +βχδ+χδδ+δ== −+++−

−+ )(1,,1,,1,1,1,1,

,,

)()(qspnppssspqnqn

sqnpqq DYY

( )( ) +βχδ+χδδ+δ+ −+++−

)(1,,1,,1,1,1,1,

,, qnpsppnnnpqsqs

spnqD

( )( )[ +βχδ+χδδ+δ+ ++++−

)(2,,1,,1,1,1,1,

,,

,, qnspssnnnsqpqp

spnq

sqnp DD

]))((2,,,

))((2,,,

))((2,,,

))((2,,,

))((1,,,

))((1,,,

++++−−−−+−+− ++++++ qsnpqnspqpnsqpsnqnpsqspn HHHHHH ;

( )( ) +βχδ+χδδ+δ= −+++−

+ )(1,,1,,1,1,1,1,

,,

)(sqnpnnqqqnspsp

sqnps DY

( )( ) +βχδ+χδδ+δ+ −+++−

)(1,,1,,1,1,1,1,

,, spnqnnpppnsqsq

spnqD

( )( )[ +βχδ+χδδ+δ+ ++++−

)(2,,1,,1,1,1,1,

,,

,, sqpnqqpppqsnsn

spnq

sqnp DD

]))((2,,,

))((2,,,

))((2,,,

))((2,,,

))((1,,,

))((1,,,

++++−−−−+−+− ++++++ sqpnspqnsnpqsnqpspnqsqnp HHHHHH ;

( )( ) +βχδ+χδδ+δ= −+++−

− )(1,,1,,1,1,1,1,

,,

)(sqpnppqqqpsnsn

sqnps DY

( )( ) +βχδ+χδδ+δ+ −+++−

)(1,,1,,1,1,1,1,

,, snpqppnnnpsqsq

pqnsD

( )( )[ +βχδ+χδδ+δ+ ++++−

)(2,,1,,1,1,1,1,

,,

,, sqnpqqnnnqspsp

pqns

sqnp DD

]))((2,,,

))((2,,,

))((2,,,

))((2,,,

))((1,,,

))((1,,,

++++−−−−+−+− ++++++ sqnpsnqpspnqspqnsnpqsqpn HHHHHH .


93

4. Нелинейные осцилляции заряженной капли в несжимаемой материальной диэлектрической внешней среде

4.1. О расчете амплитуды трансляционной моды при нелинейных осцилляциях капли во внешней среде

1. Теоретическое аналитическое исследование нелинейных осцилляций капель и пузырей началось сравнительно недавно. Методика и идеология решения таких задач еще не стала тради-ционной, и многие частные вопросы до сих пор освещены весьма поверхностно, что иногда приводит к ошибкам. В частности, ска-занное относится к вопросу о возбуждении трансляционной моды нелинейно-осциллирующей капли, обнаруживающимся при рас-четах второго и третьего порядков малости [1, 22, 71, 81, 90]. Сам факт возбуждения трансляционной моды нелинейно-осцилли-рующей в вакууме капли несжимаемой жидкости вытекает из требования неподвижности центра масс капли. Когда в спектре мод, определяющих начальную деформацию капли, имеются две и более моды с последовательно возрастающими номерами, то требование неподвижности центра масс приводит к тому, что среди мод, возбуждающихся за счет нелинейного взаимодейст-вия, появляется трансляционная мода [71]. Иными словами, воз-буждение трансляционной моды компенсирует смещение центра масс капли, появляющееся вследствие несимметричного относи-тельно центра равновесной сферической капли распределения массы при начальной деформации, в спектре мод которой имеют-ся моды с последовательными номерами. Причем зависимость амплитуды трансляционной моды от времени имеет периодиче-ский характер, что при рассмотрении осцилляций капли в газовой атмосфере превращает каплю в источник акустического излуче-ния дипольного типа [61, 71, 91]. Если же капля заряжена, то она становится источником электромагнитного излучения дипольно-го типа [59, 71, 92].

Аналитическое выражение для амплитуды трансляционной моды капли, нелинейно-осциллирующей в вакууме, при расчетах второго порядка малости можно получить как из условия непод-


94

вижности центра масс, так и из системы гидродинамических гра-ничных условий на свободной поверхности капли. В обоих случаях оно будет иметь один и тот же вид [71]. Ситуация меняется, если рассмотреть осцилляции капли во внешней среде (или же пузыря в жидкости): аналитические выражения для амплитуды трансляци-онной моды, получаемые из условия неподвижности центра масс и системы граничных условий на межфазной границе, в этом случае оказываются вроде бы различными [90]. В действительности же в [90] условие неподвижности центра масс используется некоррект-но. Тем не менее в [90] на основе проделанных расчетов делается глобальный вывод о поступательном движении капли (пузыря) с некоторой фиксированной скоростью в результате возбуждения поверхностных осцилляций (в результате перекачки энергии из по-верхностных мод в трансляционную, амплитуда которой содержит независящее от времени слагаемое). Этот вывод в совокупности с неверной трактовкой наблюдений, проведенных в экспериментах [93], где исследовались закономерности кавитации, привел к появ-лению еще одной теоретической работы [22], в которой на базе не-верного перехода к неинерциальной системе отсчета получено вы-ражение для скорости поступательного движения пузыря в жидко-сти в отсутствие действия внешних сил только за счет поверхностных осцилляций. Приведенные факты делают актуаль-ным решение проблемы правильного использования условия не-подвижности центра масс при расчетах нелинейных осцилляций капель несжимаемой жидкости в несжимаемой идеальной внешней среде при многомодовой начальной деформации.

Отметим, что в экспериментах [93] наблюдалось образова-ние, движение и кавитационное исчезновение микропузырьков в жидкости в окрестности вибрирующего на частоте 7.5 кГц метал-лического образца. Количество образующихся пузырьков было весьма велико: они образовывали облачко в окрестности образца. Большая часть пузырьков образовывалась и схлопывалась в ма-лой окрестности образца, приводя к его кавитационной эрозии. Однако некоторые из пузырьков вдруг переходили в быстрое хаотическое движение. Это наблюдение и послужило основой для рассуждений [22, 90] о направленном движении пузырьков при нелинейных осцилляциях. На наш взгляд, интерпретация на-блюдений [93], данная в [22, 90], далека от корректной, посколь-


95

ку очевидно, что поле скоростей течения жидкости в окрестности вибрирующего металлического образца при наложении на поля скоростей хаотически ориентированных интенсивных гидроди-намических течений в окрестности кавитирующих пузырьков [94], при одновременном действии поля сил тяжести и архимедо-вых выталкивающих сил могут обеспечить сколь угодно сложное хаотическое движение отдельных пузырьков. Направленного же движения пузырьков в неподвижной жидкости в отсутствии на-правленных внешних сил только за счет возбуждения поверхно-стных осцилляций, насколько известно авторам настоящего рас-смотрения, никто в экспериментах не наблюдал.

2. Пусть заряженная капля радиуса R идеальной несжимае-мой электропроводной жидкости с массовой плотностью ρ1 по-мещена во внешнюю среду, которую будем моделировать иде-альной несжимаемой диэлектрической жидкостью с диэлектри-ческой ε* проницаемостью ρ1 и массовой плотностью ρ2. Коэффициент поверхностного натяжения границы раздела двух сред обозначим σ, а полный заряд капли – Q.

Рассмотрим капиллярные колебания межфазной поверхно-сти, вызванные малым начальным возмущением ее равновесной сферической формы. Ограничиваясь рассмотрением только осе-симметричных искажений границы раздела, запишем уравнение ее поверхности в сферической системе координат с началом в центре масс капли в виде

[ ] ( )1/,),(1),(),,( <<ξθξ+−≡θ−≡θ RtRrtrrtrF , (1)

где ξ(θ,t) – безразмерная функция, описывающая деформацию сферической поверхности, связанную с ее осцилляциями.

Малость амплитуд осцилляций капли позволяет провести анализ задачи в рамках модели потенциального движения обеих сред с потенциалами полей скоростей течения жидкости ),(1 tr

Ψ и ),(2 tr

Ψ внутри и вне капли соответственно. Проводимость капли будем принимать достаточно высокой,

чтобы характерное время перераспределения заряда по ее по-верхности было много меньше характерных гидродинамических временных масштабов задачи, чтобы электрическое поле в окре-стности капли можно было считать электростатическим в любой момент времени и характеризовать его потенциалом Φ.


96

Уравнения, описывающие движения жидкости, возникающие в рассматриваемой системе, имеют вид

( );),(0,01 trr θ<≤=ΔΨ

( )),(,0,02 trr θ>=ΔΦ=ΔΨ , (2)

с условиями на границе раздела, описываемой уравнением (1):

;21

nn ∂Ψ∂

=∂Ψ∂

;01 =∇⋅Ψ∇+∂∂

Ft

F

( ) +Ψ∇ρ

−∂Ψ∂

ρ−− 21

111 2t

PP exin

( ) ;8

)(

2

2*2

222

2 ndivt

σ=πΦ∇ε

+Ψ∇ρ

+∂Ψ∂

ρ+

);(),( tt SΦ=θΦ

=Φ∇⋅πε

−S

QdSn ;)(4

*

π≤φ≤π≤θ≤

θξ+==

;20

;0

)];,(1[ tRr

S (3)

Здесь Pin и Pex – давление внутри и вне капли в равновесном состоянии; n

– орт внешней (направленной во внешнюю среду)

нормали к границе раздела (1); Φs(t) – постоянное вдоль межфаз-ной границы значение электростатического потенциала Φ(θ,t).

Начальными условиями являются вид начальной деформации поверхности раздела и задание нулевой начальной скорости ее движения:

);()()()0,( 1100 θε+θξ+θξ==θξ Ξ∈

CosPhCosPCosPt ki

i

.0)0,( =

∂=θξ∂

t

t (4)


97

Здесь ε – амплитуда начального возмущения, являющаяся малым параметром задачи; Pi(Cosθ) – полином Лежандра i-го по-рядка; hi – парциальный вклад i-й колебательной моды в форму начального возмущения

Ξ∈

=i

ih ,1

ξ0 и ξ1 – константы, определяемые условиями неизменности объ-ема капли (и среды) при осцилляциях границы раздела

Ω

θ

π≤ϕ≤π≤θ≤=Ωϕθθ≡Ω

π=Ω20;0

;;

3

4 3),(

0

2 ddSindRddrr

tr

(5)

и неподвижности центра масс всей системы

0

),(

22

),(

0

21

),(

22

),(

0

21

=Ωρ+Ωρ

Ω⋅ρ+Ω⋅ρ

Ω Ω θ

θΩ Ω θ

θ

L

tr

tr

L

tr

tr

ddrrddrr

ddrrrddrrr

(6)

соответственно. Условия (5) и (6) должны выполняться в любой момент времени, в том числе и в начальный. В (6) L – характер-ный линейный размер пространства внешней среды, причем L >> R (внешняя среда заполняет весьма большой объем, бесконечно большой не в математическом, а в физическом смысле).

3. Нелинейный анализ задачи (2) – (4) может быть проведен методом многих масштабов [53 – 54] аналогично тому, как это делалось для капли в вакууме [1 – 3, 24, 71 – 77, 80 – 82]. Подоб-ное исследование позволяет определить функцию ξ(θ,t), пред-ставленную в виде ряда по полиномам Лежандра и описываю-щую временную эволюцию межфазной границы:

[ ]∞

=θε+ε+ε=θξ

0

3)2(2)1( ).()()()(),(n

nnn CosPOtMtMt (7)

При рассмотрении задачи об осцилляциях поверхности капли в вакууме (ρ2 = 0) условия (5) и (6) накладывали дополнительные ограничения на амплитуды нулевой (объемной) и первой (транс-ляционной) мод в разложении (7) соответственно, причем эти ог-


98

раничения согласовались с системой (2) – (4) (т.е., например, вы-ражение для амплитуды трансляционной моды, получаемое из условия неподвижности центра масс, совпадало с получаемым из системы граничных условий). Для случая капли, помещенной во внешнюю среду, роль условия (5) сохраняется (и связано это с модельными предположениями о несжимаемости обеих сред), в то время как использование условия (6) требует более внима-тельного анализа.

Прежде всего заметим, что, беря проекции интеграла от век-торной функции вида Ω⋅ ddrrr 2

на орты декартовой системы

координат, можно получить эквивалентную систему трех скаляр-ных интегралов:

Ωϕθ ;3 ddrCosSinr Ωϕθ ;3 ddrSinSinr

Ωθ ddrCosr 3 ,

комбинируя которые, несложно привести эту систему к компакт-ной записи

−=Ωϕθ ),1;0;1(,),(13 mddrYr m

где )exp(~),(11 ϕ±θϕθ± iSinY ; θϕθ CosY ~),(0

1 – сферические функции.

Учитывая сказанное, условие неподвижности центра масс для капли в среде (6) запишем в виде

0

),(

),(

1),(

22

),(

0

21

1),(

32

),(

0

31

=

Ωϕθ

ρ+Ωρ

Ωϕθ

ρ+Ωρ

Ω θ

θ

Ω θ

θ

dYdrrddrr

dYdrrddrr

mL

tr

tr

mL

tr

tr

.

Проводя интегрирование по радиальной координате, полу-чим


99

0

),(),(

)(3

),(),(

)(4

13

3

212

14

4

212

=Ωϕθ

θρ−ρ+ρ

Ωϕθ

θρ−ρ+ρ

Ω

Ω

dYL

trL

dYL

trL

m

m

.

Заметим далее, что знаменатель этого выражения есть конеч-ная величина, поскольку (см.(5))

33 4),(;4 Rdtrd π=Ωθπ=Ω ΩΩ

,

а первый интеграл в числителе равен нулю в силу известного свойства сферических функций:

.0),(1 =ΩθΩ

dtY m

В результате условие неподвижности центра масс системы капля-среда можно записать в виде

.0d),(YL

)t,(r

L

R)(16

)(3 m13

4

3

3

212

21 =

−+

−Ω

Ωϕθθ

ρρρπ

ρρ (8)

Очевидно, что, выбирая достаточно большим линейный раз-мер внешней среды L, равенство (8) можно сделать справедли-вым со сколь угодно большой степенью точности для произволь-ной функции r(θ,t).

Таким образом, в задаче об осцилляциях поверхности капли, находящейся во внешней среде достаточно большого, но конеч-ного объема, условие неподвижности центра масс такой системы выполняется автоматически. Следовательно, амплитуда трансля-ционной моды в разложении (7) должна определяться из гранич-ных условий (2) – (4). Сам факт возбуждения трансляционной моды сохраняет компенсационный смысл, т.е., как и для капли в вакууме возбуждение трансляционной моды, компенсирует сме-щение центра масс капли, вносимое колебательными поверхно-стными модами [71].

Отметим, что переход в выражении (8) к случаю отсутствия внешней среды (ρ2 = 0) приводит к условию


100

,0),(),(

16

313

4

=Ωϕθθπ Ω

dYR

tr m

справедливость которого уже не очевидна, и поэтому данное ус-ловие должно учитываться в полной формулировке задачи о по-верхностных колебаниях капли в вакууме, что обычно и делается [1 – 3, 71 – 76].

4. При решении задач о расчете нелинейных осцилляций ка-пель несжимаемой идеальной жидкости в несмешивающейся с ней несжимаемой идеальной среде условие неподвижности центра масс удовлетворяется автоматически, поэтому расчет амплитуды трансляционной моды следует проводить на основе системы гид-родинамических граничных условий на границе раздела фаз.

4.2. Нелинейные осцилляции заряженной капли во внешней несжимаемой диэлектрической среде

1. Исследование нелинейных осцилляций заряженной капли несжимаемой жидкости во внешней несжимаемой среде пред-ставляет значительный интерес, так как в большинстве реальных ситуаций, в которых приходится сталкиваться с каплей, как пра-вило, всегда присутствует и среда, сжимаемая при исследовании взаимодействия осцилляций капли с акустическим излучением [61 – 62, 91] либо несжимаемая при рассмотрении задачи о лами-нарном обтекании капли медленным потоком газа или жидкости [63]. Очевидно, что наличие внешней для капли среды должно сказаться на спектре ее осцилляций и на положении внутренних нелинейных резонансов. Изучение влияния плотности окружаю-щей жидкости на величину поправок к частотам до настоящего времени также не проводилось.

2. Пусть имеется сферическая капля радиуса R, имеющая за-ряд, равный Q, идеальной несжимаемой идеально проводящей жидкости с плотностью )(iρ и коэффициентом поверхностного

натяжения σ , находящаяся в идеальной несжимаемой жидкости плотности )(eρ с диэлектрической проницаемостью dε в условиях

отсутствия гравитации. Движение жидкости в капле и внешней среде примем потенциальным с потенциалами скоростей )(iψ и


101

)(eψ соответственно. Потенциал электрического поля в окрестно-

сти капли обозначим φ. Форму капли будем считать осесиммет-ричной как в начальный, так и во все последующие моменты времени. Уравнение границы раздела сред в безразмерных пере-менных, в которых 1)( =ρ i , 1=R , 1=σ , в любой момент времени

t запишется в виде

).,(1 tr ϑξ+= (1)

Начальную деформацию сферической формы поверхности капли выберем в виде

:0=t ( ) ( )Ω∈

ϑε+ϑξ=ξm

mmPhP coscos00 ; (2)

0=ξ∂ t , (3)

где ε – малый параметр, характеризующий амплитуду начально-го возмущения; ( )ϑcosmP – полином Лежандра порядка m; 0ξ – константа, подобранная так, чтобы объем капли в начальный мо-мент времени совпадал с объемом равновесной сферы; знак t∂ означает частную производную по переменной t; Ω – множество индексов изначально возбужденных мод; hm – константы, учиты-вающие вклад m-й моды в формирование начальной формы кап-ли, такие что 1=

Ω∈mmh .

Полная математическая формулировка задачи о капиллярных колебаниях заряженной капли, кроме уравнения поверхности ка-пли (1) и начальных условий (2), (3), содержит:

уравнения Лапласа для потенциалов скорости жидкости и электрического поля

;0)( =ψΔ i ;0)( =ψΔ e ;0=φΔ (4)

условия ограниченности потенциалов

:0→r 0)( →ψ i ; (5)

:+∞→r 0)( →ψ e ; 0→φ∇ ; (6)



102

:),(1 tr ϑξ+= ξ∂ψ∂−ψ∂=ξ∂ψ∂−ψ∂=ξ∂ ϑϑϑϑ )(2)()(2)(11

eeriirtrr

; (7)

( ) ( ) σ∞ −+−=

ψ∇+ψ∂ρ−ψ∇+ψ∂ pppp qeeteiit 0

2)()()(

2)()( 2

1

2

1 ; (8)


π=ϕϑϑ

V

dddrr ;3

4sin2 (9)

;20;0;10,, π≤ϕ≤π≤ϑ≤ξ+≤≤ϕϑ= rrV


;4 QdSnS

π−=φ∇⋅ ;20;0;1,, π≤ϕ≤π≤ϑ≤ξ+=ϕϑ= rrS (10)

условие постоянства электрического потенциала вдоль поверхно-сти границы раздела сред

:),(1 tr ϑξ+= ( );S tφ φ= (11)

в выражениях (4) – (11) ∞p , 0p , qp , σp – давления внешней сре-

ды на бесконечности, жидкости в центре капли, электрического поля и капиллярное соответственно; n

– вектор нормали к по-

верхности капли; Sφ – электрический потенциал поверхности ка-пли.

3. Решение задачи (1) – (11) проведем методом многих мас-штабов [53 – 54]. В частности, все потенциалы и уравнение обра-зующей формы поверхности будем считать функциями от трех различных временных масштабов tT m

m ε= , 2,1,0=m и предста-вим рядами по малому параметру ε :

( ) );(,,,,),,( 4210

)(3

0

ε+ϑφε=ϑφ =

OTTTrtr m

m

m (12)

( ) );(,,,),( 4210

)(3

0

ε+φε=φ =

OTTTrtr mS

m

mS (13)

( ) );(,,,,),,( 4210

)()(

3

1)( ε+ϑψε=ϑψ

=OTTTrtr m

im

mi (14)


103

( ) );(,,,,),,( 4210

)()(

3

1)( ε+ϑψε=ϑψ

=OTTTrtr m

em

me (15)

( ) ),(,,,),( 4210

)(3

1

ε+ϑξε=ϑξ =

OTTTt m

m

m (16)

где ( )rQ dε=φ /)0( ; dS Q ε=φ /)0( – решения задачи нулевого по-рядка малости, т.е. для равновесной сферической поверхности капли.

Подставляя (12) – (16) в (1) – (11) получим задачи различных порядков малости, которые ради краткости изложения вынесены в “Приложение А”.

Поскольку уравнение Лапласа (4) является линейным, то в каждом порядке малости потенциалы скорости жидкости и элек-трического поля будут являться решениями уравнений Лапласа (17А), (26А), (35А). Решение этих уравнений с учетом условий ограниченности (18А), (19А), (27А), (18А), (36А), (37А) можно записать в виде

∞

=ϑ=ϑψ

1210

)()(210

)()( );(cos),,(),,,,(

nn

mni

nmi PTTTDrTTTr ;3,2,1=m (17)

∞

=+

ϑ=ϑψ0

2101

)()(

210)(

)( );(cos),,(),,,,(n

nn

mnem

e PTTTr

DTTTr ;3,2,1=m (18)

∞

=+

ϑ=ϑφ0

1210

)(

210)( );(cos

),,(),,,,(

nnn

mnm P

r

TTTFTTTr 3,2,1=m . (19)

Заметим, что в выражении (17) суммирование начинается с 1=n , так как потенциал определяется с точностью до произволь-

ной функции времени, что позволяет принять 0)(0)( =m

iD .

Функцию, описывающую отклонение формы поверхности капли от сферической, представим в виде разложения по полино-мам Лежандра:

∞

=ϑ=ϑξ

0210

)(210

)( );(cos),,(),,,(n

nm

nm PTTTMTTT 3,2,1=m . (20)


104

Отметим, что решение сформулированной задачи в третьем по-рядке малости позволяет выявить зависимость коэффициентов первого порядка малости (m=1) в разложениях (17) – (20) от трех временных масштабов 210 ,, TTT ; коэффициентов второго порядка малости (m=2) – от двух временных масштабов 10 , TT ; коэффици-ентов третьего порядка малости (m=3) – только от времени 0T .

Подставляя выражения (17) – (20) в уравнения (20А) – (25А), найдем явные зависимости всех коэффициентов первого порядка малости от временного масштаба 0T :

( ) ( ) ( )( )21)1(

021)1(

210)1( ,cos,,, TTTTTaTTTM nnnn τ+ω= ; (21)

( ) ( ) nTTTMTTTD nTni /,,,, 210)1(

210)1()( 0

∂= ; (22)

( ) ( ) )1/(,,,, 210)1(

210)1()( 0

+−∂= nTTTMTTTD nTne ; (23)

( ) ( )210)1(

210)1( ,,,, TTTMQTTTF nn = . (24)

В выражении (21) ( )21)1( ,TTan и ( )21

)1( ,TTnτ – функции, зави-сящие только от временных масштабов 1T , 2T и удовлетворяю-щие начальным условиям (25А):

0=t : mnnn ha ,)1( δ⋅= , 0)1( =τn , Ω∈m , (25)

где mn,δ – символ Кронекера.

Подставляя разложения (17) – (20) и решения (21) – (24) в уравнения (29А) – (34А) и исключая секулярные члены, найдем, что функции ( )21

)1( ,TTan и ( )21)1( ,TTnτ не зависят от временного

масштаба 1T , а зависят только от масштаба 2T и что явные зави-

симости коэффициентов )2()( niD , )2(

)( neD , )2(nF , )2(

nM в разложениях

(17) – (20) от временного масштаба 0T с учетом (25) можно запи-сать в виде

( ) ( )Ω∈ +

ω−=

m

mm

m

TaTM

12

cos)( 0

22)1(

0)2(

0 ;

( ) ( )( )+τ+ω= 1)2(

01)2(

10)2( cos),( TTTaTTM nnnn


105

( )( ) ( )( )( )Ω∈

−+ ω−ωλ+ω+ωλ+ml

mllmnmllmnml TT

aa

,0

)(0

)()1()1(

coscos2

; 1≥n

(26) ;0)2(

0 =F += ),(),( 10)2(

10)2( TTMQTTF nn

+ ( ) ( )Ω∈

ωωml

mlmllmn TTaaKlQ,

00)1()1( coscos ; (27)

+∂= ),(1

),( 10)2(

10)2(

)( 0TTM

nTTD nTni

( )( ) ( ) ( )

ωωωα−−+ Ω∈ml

mlmlllmnlmn TTaalKl,

00)1()1( cossin/1 1≥n (28)

+∂+

−= ),()1(

1),( 10

)2(10

)2()( 0

TTMn

TTD nTne

( ) ( ) ( )

ωωω+−+α+ Ω∈ml

mlmlllmnlmn TTaaKll,

00)1()1( cossin)2()1/( ;

0≥n , (29)

где коэффициенты )(±λ nlm , nlmK , nlmα , nχ вынесены в “Приложе-

ние В”, )2)(1()1( Wnnnnnn −++−χ=ω – частота капиллярных

колебаний, а ( )1)2( Tan и ( )1

)2( Tnτ функции временного масштаба 1T , удовлетворяющие начальным условиям (34А):

0=t : ( )Ω∈

−+ λ+λ−=ml

lmnlmnml

nhh

a,

)()()2(

2, 0)2( =τn . (30)

Подставляя выражения (17) – (20) и решения (21) –(24), (26) – (29) в систему уравнений (38А) – (43А) и исключая из нее секу-лярные слагаемые, находим, что функции ( )2

)1( Tan , ( )1)2( Tan и

( )1)2( Tnτ не зависят от временных масштабов 1T и 2T , и потому их

значения вполне определяются начальными условиями (25) и (30), а для функции ( )2

)1( Tnτ справедливо выражение

( ) ( )( )

−+Ξ

++

Ξ−Ξω+Ξω

==τ Ω∈k

nknnnnn

nnn k

h

n

hTbTT

)12(2)12(4

22

2

02212022

22)1(


106

( )( )[ ]

++δ−+++−Ω∈

−−+++−−−+++−

knkknkknnkknnknknknknknnkkn

k HHHHHHh ))((2))((2))((1))((2))((2))((1

2

14

. (31)

Коэффициенты )3()( niD , )3(

)( neD , )3(nF , )3(

nM разложений (17) –

(20) определяются выражениями

( )−ω+

−= Ω∈k

kkk Thk

TMTM 0

0)2(

0)3(

0 cos12

)(2)(

( ) ( ) ( )00,,

0 coscoscos)12(3

TTTl

hhhKlm

lmkk

lmkkml ωωω+

− Ω∈

;

( )( ) ( )( ) ( )

Ω∈−ωω+ω

ω+ωω+ωΞ−ωωΞ−Ξ

−=k

kknknk

knknnnknn TT

k

hhTM 00

22102

0)3( sinsin

)12(8

42)(

( )( )( ) ( )( ) ( )

Ω∈−ωω−ω

ω−ωω+ωΞ−ωωΞ+Ξδ−

−k

kknknk

knknnnnkkn TTk

hh00

22102

sinsin)12(8

421

( ) ( )( ) ( )( )( )

∞

= Ω∈

+−+

+ω+ω−ω

ω−ω+ωλ+λ−

1 ,,22

00)(0)()( coscos

4g lmk gkn

ngkkgnlmglmglmk TTHhhh

( )( ) ( )( )( ) +

ω−ω−ω

ω−ω−ω+

−

22

00)(0 coscos

gkn

ngkkgn TTH

( ) ( )( )( )

Ω∈

++−+

+ω+ω+ω−ω

ω−ψ+

lmk mlkn

nklmnkmllmkTTHhhh

,,22

00))(())((1 coscos

4

( ) ( )( )( )

+ω−ω+ω−ω

ω−ψ+

−++−

22

00))(())((1 coscos

mlkn

nklmnl

kmknlmnkml TTDDH

( ) ( )( )( )

+ω−ω−ω−ω

ω−ψ+

−−++

22

00))(())((2 coscos

mlkn

nklmnl

kmmnklnkml TTDDH


107

( ) ( )( )( )

ω+ω−ω−ω

ω−ψ −+−−

22

00))(())((2 coscos

mlkn

nkmlknml

mnklnkml TTDDH

; 1≥n (32)

Ω∈

+−α

++=

lmkkmlkml K

kk

l

kQTF

,,0

)3(0 2

)1(

12

1)( ( )0cos Thhh klmk ω ×

× ( ) ( )00 coscos TT lm ωω ;

( ) Ω∈

∞

=+ω++=

m kmmkkmnnn ThTFKkTQMTF

100

)2(0

)3(0

)3( cos)()1()()(

( ) ( )−ω−+ Ω∈

∞

=k mkkmkmn ThTMKkQ

000

)2( cos)(1

( ) ( ) ( )000 ,,

0 coscoscos2

)3(TTThhhKK

kkQ lm

g lmkklmknglkmg ωωω

+−

∞

= Ω∈;

1≥n (33)

( )0

(3) (3) 1( ) 0 0 0

11( ) ( ) sinn

i n T n n n nD T M T h b Tn n

−= ∂ − −δ ω

1

1( ( 1) kmn

m k

k k Kn

∞

∈Ω =− − +ωα− )cos()() 00

)2( ThTD mmkkmn

( ) ( ) Ω∈

∞

=ωωα−−+

k mkkkmkmn ThTMkk

n 000

)2( sin)()1(1

+

Ω∈

∞

=×−

α−−+

lmk gkmgkmg kK

kk

n ,, 0

)2(2

)1(1

( ) ( ) ( )000 coscossin TTThhhK lmklmkkngl ωωωω× ; 1≥n (34)

( ) ( )( ) ( )+ω+

δ−δ−+∂+

−= 010

0)3(

0)3()( sin

1

11

1

1)(

0Tbh

nTM

nTD nnn

nnnTne

( ) ( )−ωω

+α

−++

+ Ω∈

∞

=0

)2(

0

sin1

21

1ThM

kKk

n kkkmk m

kmnkmn


108

Ω∈

∞

=−α

+−

k mkmnn 0

(1

1 ( )+ω++ 0)2( cos))2)(1( ThDKmm kkmkmn

Ω∈

∞

=×+

+−+

α+

+lmk g

kmgkmg

kKk

kn ,, 0

)3(2

2

11

1

( ) ( ) ( )000 coscossin TTThhhK lmklmkkngl ωωωω× ; 0≥n , (35)

где коэффициенты ))((1 ±nlmkH , ))((2 ±±

nlmkH , 0nΞ , 1

nΞ , 2nΞ , )(0 ±

mgnH , )(1 ±β nlgmk , )(2 ±β nlgmk , ))(( ±±ψ kml вынесены в “Приложение В”, knlm

knlmD δδ−=1 , где

knδ – символ Кронекера. Подставляя (20) в (1), запишем выражение для образующей

капли в виде

( ) ( ) ( ) +ϑε+=ϑ Ω∈n

nn PTTMTTr )cos(,1,, 20)1(

20

( ) ( )( ) ( )∞

=ϑε+ε+

00

)3(0

)2(2 )cos(n

nnn PTMTM . (36)

4. Анализируя выражения (26), (32) и (36), заметим, что ам-плитуды второго и третьего порядков малости в отклонении по-верхности капли от сферической формы, как и в случае отсутст-вия внешней среды, пропорциональны выражениям

Ω∈mk

kmgg KM,

)2( ~ , ∞

= Ω∈0 ,,

)3( ~g lmk

nglkmgn KKM ,

где коэффициенты kmgK отличны от нуля, только если

mkgmk +≤≤− и gmk ++ – четное число. Таким образом,

наличие внешней среды не приводит к расширению спектра мод, формирующих поверхность заряженной капли.

Из выражений (21) и (31) видно, что любая изначально возбу-жденная мода первого порядка малости имеет сдвиг частоты, про-порциональный квадрату амплитуды начального возмущения по-верхности капли 2ε , существенно зависящий от множества изна-


109

чально возбужденных мод Ω и плотности окружающей среды

)(eρ .

Для иллюстрации зависимости ( )Ωnb рассмотрим ситуацию свободной капли в вакууме ( 0)( =ρ e ). В этом случае поправки к

частотам при начальном возбуждении только одной m -й моды, то есть, когда m=Ω и :0=t ( ) ( )ϑε+ϑξ=ξ coscos00 mPP , можно представить в виде полинома по степеням параметра Рэлея

)4/(2 π=QW [45]. Так, при начальном возбуждении только одной второй, третьей или четвертой мод величина mb , характеризую-щая поправку к частоте соответствующей моды, может быть представлена выражениями

( )=ω−ωωω−=

4

0

)2(22

24

24

32

24

1

245

4

i

ii WAb ;

( )( )=ω−ωω−ωωωωω=

6

0

)3(23

26

23

22

26

243

22

344

1

11011

144

i

ii WAb ; (37)

( )( )( )=ω−ωω−ωω−ωωωωω−=

8

0

)4(24

28

24

26

24

22

28

26

34

22

4444

1

2433431

1244160

i

ii WAb ,

где коэффициенты )(miA 4,3,2=m приведены в “Приложении С”.

В случае начального возбуждения нескольких мод капилляр-ных колебаний поверхности капли при условии отсутствия окру-жающей среды, величину mb , характеризующую нелинейный сдвиг частот капиллярных колебаний капли, можно также пред-ставить в виде полинома по параметру Рэлея, но с другими чи-словыми коэффициентами. Так, например, если изначально воз-буждается 2 и 3 моды капиллярных колебаний поверхности кап-ли, когда 3;2=Ω и

:0=t ( ) ( ) ( )( )ϑ+ϑε+ϑξ=ξ coscos2

cos 3200 PPP ,

то величины mb , характеризующие поправки к частотам 2 и 3 мод, имеют вид


110

( )( ) ( )( ) ( )( )=ω−ω+ωω−ω−ωω−ωω−ωωω=

7

0

)2(25

232

25

232

22

24

23

22

24

32

244

1

2695

8

i

ii WBb ;

( )( )( )×ω−ωω−ωω−ωωωωω−=

23

26

23

24

23

22

26

243

22

3444

1

11011

20736b (38)

( )( ) ( )( )=ω−ω+ωω−ω−ω×

9

0

)3(25

232

25

232

1

i

ii WB ,

где коэффициенты )(miB 3,2=m приведены в “Приложении С”.

Отметим, что поправки (37) и (38) к частотам капиллярных колебаний поверхности капли не только зависят от множества из-начально возбужденных мод Ω , но и имеют резонансный харак-тер. Так, если один из множителей, стоящих в знаменателе выра-жений (37) или (38), будет близок к нулю, то поправка к частоте может стать значительной. Из вида знаменателей выражений (37) и (38) следует наличие двух и трехмодовых резонансов. Сами же выражения (37) и (38) в резонансной ситуации будут непригодны.

Выписанные выражения (37) и (38) весьма сильно изменяют-ся в условиях, когда заряженная капля находится во внешней среде. В этом случае поправки к частотам капиллярных колеба-ний поверхности капли можно представить двойным рядом по параметру Рэлея W и плотности окружающей жидкости )(eρ . При

этом коэффициенты данного ряда оказываются зависящими от множества изначально возбужденных мод Ω .

Так, если изначально возбуждается только одна m мода, ко-гда m=Ω и :0=t ( ) ( )ϑε+ϑξ=ξ coscos00 mPP , то величину mb , харак-теризующую нелинейный сдвиг частот для 2, 3 или 4 мод, можно представить в виде

= =

ρω−ωωωρ+ρ+

−=3

0

4

0)(

)2(22

24

24

32

2)(

5)(

2)4()45()23(49

108

i j

jieji

ee

WAb ;

×ρ+ρ+ρ+ρ+

−=2

)(2

)(6

)(2

)(3

)67()45()34()23(1573

311040

eeee

b

= =

ρω−ωω−ωω−ωωωωω

×5

0

7

0)(

)3(23

26

23

24

23

22

26

243

22 )4()4()4(

1

i j

jieji WA ; (39)


111

×ρ+ρ+ρ+ρ+

−=2

)(2

)(7

)(2

)(4

)89()67()45()23(347633

7558272000

eeee

b

= =

ρω−ωω−ωω−ωωωωω

×5

0

8

0)(

)4(24

28

24

26

24

22

28

26

34

22 )4()4()4(

1

i j

jieji WA ,

где коэффициенты )(mjiA 4,3,2=m приведены в “Приложении С”.

Если же изначально возбуждаются несколько мод капилляр-ных колебаний поверхности капли, находящейся в среде, то по-правки к частотам любых изначально возбужденных мод можно представить в виде рядов типа (39), но с другими численными ко-эффициентами и знаменателями.

Так, например, если изначально возбуждается 2 и 3 мода ка-пиллярных колебаний поверхности капли, то есть когда 2; 3Ω = и

:0=t ( ) ( ) ( )( )ϑ+ϑε+ϑξ=ξ coscos2

cos 3200 PPP ,

то величины mb , характеризующие поправки к частотам 2 и 3 мод, можно представить в виде рядов

( )( ) ( ) ( ) ( ) ×ρ+ρ+ρ+ρ+ρ+

=2

)(2

)(5

)(8

)()(2

564534232

1

539

1944

eeeee

b

( )( ) ( )( ) ( )( )= =ρ

ω−ω+ωω−ω−ωω−ωω−ωωω×

11

0

7

0)(

)2(25

232

25

232

22

24

23

22

24

32 44

1

i j

jieji WB ;

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ×ρ+ρ+ρ+ρ+ρ+ρ+

−=2

)(2

)(2

)(8

)(5

)()(3

67564534232

1

1573

559872

eeeeee

b

( )( )( )×ω−ωω−ωω−ωωωωω×

23

26

23

24

23

22

26

243

22 444

11 (40)

( )( )( )( )= =

ρω−ω+ωω−ω−ω

×11

0

9

0)(

)3(

25

232

25

232

1

i j

jieji WB ,

где коэффициенты )(mjiB 3,2=m приведены в “Приложении С”.

Численные расчеты, проведенные по (39), указывают на весьма сильную зависимость поправок к частотам от плотности


112

окружающей жидкости. В частности, как видно из рис. 1, при увеличении плотности окружающей жидкости )(eρ поправки к

частотам увеличиваются (за исключением малых окрестностей возможных резонансных ситуаций). Из выражений (39), (40), рис. 1 хорошо видно, что присутствие внешней жидкости не ме-няет резонансного характера поправок к частотам капиллярных колебаний капли.

Рис. 1. Зависимости коэффициента nb от плотности окружающей жидкости )(eρ при начальном возбуждении n -й моды, когда 0=W (a),

1=W (b), 2=W (c), 3=W (d). Номер кривой совпадает с номером изначально возбужденной моды


113

Как известно, наличие поправок к частотам капиллярных ко-лебаний поверхности капли приводит к изменению критических условий реализации неустойчивости m-й моды по отношению к собственному заряду капли [82]. Это связано с тем, что при уве-личении заряда квадрат частоты капиллярных колебаний умень-шается и при некотором критическом значении параметра Рэлея Wcr обращается в нуль. Дальнейшее увеличение заряда капли ве-дет к переходу квадрата частоты в область отрицательных значе-ний, то есть приводит к появлению мнимых частот и экспоненци-альному росту амплитуд капиллярных колебаний поверхности капли и, как следствие, к ее неустойчивости. Критическое усло-вие реализации неустойчивости m-й моды с учетом нелинейной поправки к частоте можно записать в виде

( ) ( ) 02 42222 =ε+ωε+ω=ε+ω Obb mmmmm . Но, как видно из рис. 1, при увеличении плотности окру-

жающей жидкости поправки к частотам увеличиваются по абсо-лютной величине, оставаясь отрицательными (за исключением резонансных ситуаций). В итоге увеличение плотности окру-жающей жидкости )(eρ приводит к увеличению критического

значения параметра Рэлея Wcr. Так, например, при возбуждении одной только второй моды, при начальном отклонении поверхно-сти 3.0=ε критическое значение параметра Рэлея для капли в ва-кууме равно Wcr = 3.54, а в случае наличия окружающей среды при условии 4)( ≥ρ e становится равным Wcr = 3.57. Однако при

учете влияния внешней среды на критические условия неустой-чивости заряженной капли необходимо принимать во внимание то обстоятельство, что коэффициент межфазного поверхностного натяжения обычно заметно меньше (в несколько раз) коэффици-ента поверхностного натяжения свободной поверхности жидко-сти, граничащей с вакуумом [95]. Величина коэффициента меж-фазного натяжения σ может быть определена через коэффициен-ты поверхностного натяжения контактирующих жидкостей

21, σσ на основе правила Антонова [95]: 21 σ−σ≡σ . В итоге

наличие внешней среды является дестабилизирующим фактором в смысле реализации капиллярной неустойчивости заряженной поверхности капли, поскольку параметр Рэлея, выраженный че-


114

рез размерные величины, имеет вид σπ= 32 4/ RQW и наличие внешней среды приводит к его существенному росту за счет сни-жения σ.

Интересно отметить, что амплитуды отклонения поверхно-сти, связанные с различными модами )3(

nM , сильно зависят от плотности окружающей жидкости и некоторые из них имеют весьма значительные экстремумы (см. рис. 2), что может привес-ти к существенному искажению формы поверхности капли и, как следствие, к локальному увеличению напряженности поля собст-венного заряда капли [77].

Рис. 2. Зависимости амплитуд мод третьего порядка малости )3(nM

от плотности жидкости )(eρ при W = 1, t = 3 и начальном возбуждении вто-

рой моды. Номер кривой совпадает с номером моды

Например, при начальном возбуждении одной только второй

моды амплитуда осцилляций капли в среде уменьшается по срав-нению с амплитудой ее осцилляций в вакууме. Это видно из рис. 3, где представлены формы образующей капли в вакууме (рис. 3а) и в среде (рис. 3b) примерно в одинаковых фазах для слу-


115

чая максимального (кривая 2) и минимального (кривая 3) удлине-ний капли вдоль оси симметрии, а также в момент минимальности характерного линейного размера перетяжки между двумя дочер-ними каплями (кривая 4). Хорошо видно, что наличие внешней жидкости уменьшает максимальное удлинение капли вдоль оси симметрии (кривая 2) с 1.7 до 1.5, минимальное удлинение (кривая 3) – с 0.48 до 0.42, а удлинение капли вдоль оси симметрии при минимальности перетяжки (кривая 4) – с 1.42 до 1.37.

Рис. 3. Контур образующей капли в крайних фазах осцилляций при начальном возбуждении второй моды: 1=W , 5.0=ε , а) 0)( =ρ e ,

46.0=t (2); 1.52 (3); 3.3 (4), b) 8)( =ρ e , 04.1=t (2); 4.3 (3); 8.6 (4).

Цифрой (1) отмечен контур невозмущенной капли

Тенденция к уменьшению степени удлинения для капли в

среде наблюдается не только при начальном возбуждении низких мод, а и при возбуждении высоких мод капиллярных колебаний. В этом случае на капле образуются два или один зарождающиеся эмиссионные выступы (см. рис.4). Максимальный продольный размер таких выступов и их минимальный поперечный размер уменьшаются при увеличении плотности окружающей жидкости. Так, на рис. 4 максимальное отклонение поверхности при 0=ϑ составляет соответственно 79.1 и 47.1 .


116

Рис. 4. Контур образующей капли при начальном возбуждении девятой моды: 3=W , 3.0=ε , а) 0)( =ρ e , 01.0=t (1); 0.06 (2); 0.26 (3);

0.27 (4), b) 100)( =ρ e , 1.0=t (1); 0.4 (2); 1.1 (3); 1.2 (4)

Рис. 5. Контур образующей капли при начальном возбуждении седьмой и восьмой мод, когда 5.087 == hh , 3=W , 3.0=ε , а) 0)( =ρ e , 01.0=t (1);

0.075 (2); 0.22 (3), b) 5)( =ρ e , 02.0=t (1); 0.14 (2); 0.525 (3)


117

Отметим, что наиболее заметное уменьшение линейных раз-меров выступов на поверхности капли, находящейся во внешней среде, по сравнению с каплей в вакууме наблюдается в тех местах поверхности капли, где ее скорость является высокой и инерци-онные свойства внешней среды являются преобладающими. Это хорошо видно, например, из рис. 4 и рис. 5, где форма капли при значении угла ϑ отличного от 0 и π мало меняется для капли в среде и в вакууме, поскольку скорость поверхности в этом месте мала. Для значений же углов 0=ϑ и π=ϑ скорость поверхности капли составляет значительную величину и, как следствие, дав-ление внешней среды в данном месте поверхности является ощу-тимым.

5. Учет наличия окружающей среды, моделируемой несжи-маемой жидкостью, существенно сказывается на величине попра-вок к частотам капиллярных колебаний. Наличие нелинейных поправок к частотам приводит к незначительному росту крити-ческого значения собственного заряда капли, при котором она претерпевает неустойчивость.

ПРИЛОЖЕНИЕ A. Выделение задач различного порядка ма-лости.

Задача первого порядка малости, полученная после подста-новки (12) – (16) в (1) – (11), имеет вид

;0)1()( =ψΔ i ;0)1(

)( =ψΔ e ;0)1( =φΔ (1A)

:0→r 0)1()( →ψ i ; (2A) :+∞→r 0)1(

)( →ψ e ; 0)1( →φ∇ ; (3A)

:1=r ;)1()(

)1()(

)1(0 erirT ψ∂=ψ∂=ξ∂ (4A)

( ) )1()1()0()1()1()0()1()()(

)1( 24

100

ξΔ+ξ+φ∂ξ+φ∂φ∂πε

=ψ∂ρ−ψ∂ Ωrrrrd

eTeT ; (5A)

−

=ϑξ1

1

)1( ;0)(cosd (6A)

( ) −


1

)0()0()1()1( ;0)(cos2 drrrr (7A)


118

);()1()0()1()1( tSr φ=φ∂ξ+φ (8A)

:0=t )(cos)1( ϑε=ξ Ω∈

mm

m Ph ; .0)1(0

=ξ∂T (9A)

Задача второго порядка малости имеет вид:

;0)2()( =ψΔ i ;0)2(

)( =ψΔ e ;0)2( =φΔ (10A)

:0→r 0)2()( →ψ i ; (11A)

:+∞→r 0)2()( →ψ e ; 0)2( →φ∇ ; (12A)

:1=r =ψ∂ξ∂−ψ∂ξ+ψ∂=ξ∂+ξ∂ ϑϑ)1()(

)1()1()(

)1()2()(

)1()2(10 iirrirTT

)1()(

)1()1()(

)1()2()( eerrer ψ∂ξ∂−ψ∂ξ+ψ∂= ϑϑ ; (13A)

( ) ( ) (0 1 0 0

2 2(2) (1) (1) (1) (1) (1) (2)( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1 1

2 2T i T i rT i r i i e T e∂ + ∂ + ∂ + ∂ + ∂ − ∂ +ϑψ ψ ξ ψ ψ ψ ρ ψ

( ) ( ) +φ∂φ∂ξπε

=ψ∂+ψ∂+ψ∂ξ+ψ∂+ ϑ

)0()0()2(2)1()(

2)1()(

)1()(

)1()1()( 2

8

1

2

1

2

101 rrr

deererTeT

( ) ( )( ) ( ) ( )2 2 2 2(1) (0) (0) (0) (1) (1) (2) (0)2rr rrr r r r r+ ∂ + ∂ ∂ + ∂ + ∂ + ∂ ∂ +ϑξ φ φ φ φ φ φ φ

( ) ( ) ;2222 )1()1(2)1()2()2()0()1()1()0()1( ξΔξ−ξ−ξΔ+ξ+φ∂φ∂+φ∂φ∂ξ+ ΩΩrrrrrr (14A)

( )−

=ϑ

ξ+ξ

1

1

2)1()2( ;0)(cosd (15A)

( ) ( )−

+φ∂+φ∂ξ+φ∂+φ∂ξ+φ∂1

1

)0()0()2()1()1()1()2( 22 rrrrrrr

( ) ;0)(cos22

1 )1()1()0()0()0(2)1( =ϑφ∂ξ∂−


(16A)


119

( ) );(2

1 )2()0(2)1()0()2()1()1()2( tSrrrr φ=φ∂ξ+φ∂ξ+φ∂ξ+φ (17A)

:0=t ( )

Ω∈ +

ϑ−=ξ

m

m

m

Ph

12

cos0)2( ; 0)1()2(10

=ξ∂+ξ∂ TT . (18A)

Задача третьего порядка малости имеет вид:

;0)3()( =ψΔ i ;0)3(

)( =ψΔ e ;0)3( =φΔ (19A)

:0→r 0)3()( →ψ i ; (20A)

:+∞→r 0)3()( →ψ e ; 0)3( →φ∇ ; (21A)

:1=r +ψ∂ξ∂−ψ∂ξ∂−ψ∂=ξ∂+ξ∂+ξ∂ ϑϑϑϑ)2()(

)1()1()(

)2()3()(

)1()2()3(210 iiirTTT

( )( ) ( ) =ψ∂ξ+ψ∂+ψ∂−ψ∂ξ∂ξ+ψ∂ξ+ ϑϑϑ)1()(

2)1()2()(

)1()(

)1()(

)1()1()1()(

)2(

2

12 irrrirririirr

(3) (2) (1) (1) (2) (2) (1)( ) ( ) ( ) ( )r e e e rr e= ∂ − ∂ ∂ − ∂ ∂ + ∂ +ϑ ϑ ϑ ϑψ ξ ψ ξ ψ ξ ψ

( )( ) ( )2(1) (1) (1) (1) (2) (1) (1)( ) ( ) ( ) ( )

12

2e r e rr e rrr e+ ∂ ∂ − ∂ + ∂ + ∂ϑ ϑ ϑξ ξ ψ ψ ψ ξ ψ ; (22A)

+ψ∂ξ+ψ∂+ψ∂+ψ∂ )1()(

)1()2()(

)1()(

)3()( 1120 irTiTiTiT

(1) (2)( ) ( )i i∂ ∂ +ϑ ϑψ ψ

+ (1) (2)( ) ( )r i r i∂ ∂ψ ψ (

0 0

(2) (1) (1) (2) (1)( ) ( ) ( )rT i rT i i+ ∂ + ∂ + ∂ϑξ ψ ξ ψ ψ

( ) ) ( )0

2(1) (1) (1) (1) (1) (1)( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1

2r i i r i rr i rrT i∂ − ∂ + ∂ ∂ + ∂ −ϑ ϑψ ψ ψ ψ ξ ψ

(0 2 1

(3) (1) (2)( ) ( ) ( ) ( )e T e T e T e− ∂ + ∂ + ∂ +ρ ψ ψ ψ +ψ∂ψ∂+ψ∂ξ+ ϑϑ

)2()(

)1()(

)1()(

)1(1 eeerT

(0 0

(1) (2) (2) (1) (1) (2) (1)( ) ( ) ( ) ( ) ( )r e r e rT e rT e e∂ ∂ + ∂ + ∂ + ∂ϑψ ψ ξ ψ ξ ψ ψ

( ) )(1) (1) (1) (1)( ) ( ) ( ) ( )r e e r e rr e∂ − ∂ + ∂ ∂ +ϑ ϑψ ψ ψ ψ ( )

0

2(1) (1)( )

1

2 rrT e∂ =

ξ ψ


120

( ) +


πε= )0()0()0()0(3)1()0()0()3(

3

12

8

1rrrrrrrrrrrrr

d


( )( )2(1) (2) (0) (0) (0) (0) (2)2 rr r rrr rr r+ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ +

ξ ξ φ φ φ φ φ

( ) ) ( )2(1) (1) (1) (1) (1) (0) (2) (1)r r rr r rr+∂ ∂ − ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ +ϑ ϑ ϑφ φ φ φ φ φ φ ξ

( ) ( )(0) (1) (0) (1) (0) (1) (3)2 2rrr r rr rr r rrr Ω∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ + + Δ +φ φ φ φ φ φ ξ

( ) ( )( )2(1) (1) (2)2 2 Ω+ − + Δ −ξ ξ ξ ( )2(2) (1) (1) (1)2 3Ω ΩΔ + Δ −ξ ξ ξ ξ

( ) ( ) )1(2)1()1(2)1(

2

1 ξΔξ∂−ξ∂ξ∂− Ωϑϑϑϑ ; (23A)

( ) ( )−

=ϑ

ξ+ξξ+ξ

1

1

3)1()2()1()3( 0cos63 d ; (24A)

( ) ( )+φ∂+φ∂ξ+φ∂+φ∂ξ+φ∂−

)1()1(1

1

)2()0()0()3()3( 22 rrrrrrr

( ) +

φ∂+φ∂+φ∂ξ+ )0()0()0(3)1(

6

1rrrrrrrrr

( ) +

φ∂+φ∂+φ∂ξ+ )1()1()1(2)1( 2

2

1rrrrrr


0)(cos)2()1()1()2( =ϑφ∂ξ∂−φ∂ξ∂− ϑϑϑϑ d ; (25A)

( ) +φ∂ξ+φ∂ξ+φ∂ξ+φ∂ξ+φ )1(2)1()0()3()1()2()2()1()3(

2

1rrrrr

( ) )(6

1 )3()0(3)1()0()2()1( tsrrrrr φ=φ∂ξ+φ∂ξξ+ ; (26A)


121

:0=t Ω∈

ϑ+

−=ξlmk

kmllmk PK

l

hhh

,,0

)3( )(cos)12(3

;

:0=t 0)1()2()3(210

=ξ∂+ξ∂+ξ∂ TTT ; (27A)

где ( )2000

nlmnlm CK = , а 0

00n

lmC – коэффициенты Клебша-Гордана

[64].

ПРИЛОЖЕНИЕ B. Выражения для коэффициентов разложе-

ний

( ) ∞

=

−∞

=

−++−+ μ+μ+λβ=0

)(0

1

)(1)()(1))((1

gnlgmk

gnlgmkgmlnlgmknlmkH ;

( ) ∞

=

+∞

=

+−−+− μ+μ+λβ=0

)(0

1

)(1)()(1))((1

gnlgmk


( ) ∞

=

+∞

=

+++++ μ+μ+λβ=0

)(0

1

)(1)()(2))((2

gnlgmk


( ) ∞

=

−∞

=

−−−−− μ+μ+λβ=0

)(0

1

)(1)()(2))((2

gnlgmk


( )( ))()(2210)(0 −++ λ+λωΠ−ωωΠ−Π= mmgmmggmgngmmgnmgnmgnH ;

( )( ))()(2210)(0 −+− λ+λωΠ−ωωΠ+Π= mmgmmggmgngmmgnmgnmgnH ;







122


++−−+−αωχ+=Λ )2/)2)(1(/)2(()1( 20kmgkmgnglknnkmgl KknkkkKn

++α−++α−−+ωχρ+ ))1/()2))((1/()1(((2)( kKkgKngn kmgkmgnglnglkne

))2/)2)(2()1/()3(( nglkmgkmg KKknkkk −−+++α++ +

−χ++ 3((()1( kWKnn ngln −−−++ )9()2)(1(2 2 nkmm

−−++− kmgKnmmk ))223)3(2( −α+− 2/))2(2 kmgk

nglkmgkmg KllKkk )2/)1()2)1(3(( α+−−+− +

( )[ ]

))142(2/

1,,2

2 =ν

ν−+ν−−α+l

nglgnlkmg KlKl ;

+α++−−+χ+=Λ ))2)(1(()1(1gnlgnlkmgnnlgmk KnglgKkWnn

2)))1(/)()1(/(()1( mkmgkmggnlgnln KmmKgngn ω−+α−++αχ++ ;

+α−−−χ+=Γ )/2/)1(()(2(()1(0 kKkKkn kmgkmgnglnnkmgl

)/(()1())/2/)1(( mkKknkKkK kmgnglgklgklmgn α−−α−−+ +

))1/()2((()) )( +α−+χρ−+ gKgnK mgnmgnnekmg

)3())1/()2(( +++α−+ kkKk gklgkl ( /( 1)mgn klgK k + −α

( 2) / 2) (( 2)klgk K g− + + + )2))((1/( ++α− kgK nglngl

/( 1)) ( 3) ( /( 1)kmg kmg gln kmgK k k K k− + + + + −α α

( 2) / 2)kmgk K− + ( 1)(( /(( 1)( 1))mgnn m g− + + + +α

+ )(( 2) /( 1))mgn klg klgK k K k+ − + +α /( 1))kmg k− + −α


123

(( 2)gln kmgK k K+ + − )))2)())1)(1/((( nglkmgkmg KkKmk ++++α− ;

))1(/(()1(1gnlgnlnnlgmk Kgngn −++αχ+=Γ +α−− )/)1(( mKm kmgkmg

))/)1)(()1()/()(( mKmKgngknk gmlgmlkgnkgn α−−−++α++ ;

++++−χ+=Π ))1()2)(1((2(()1(0 mmkknKn kmnnkmn

+ kknkW kmn /())5)(1( α+−−− )))1( 2kkmnKkn ω−++ –

++α+−−ωχρ− ))1/()1((2)( kKknn kmnkmnkne

))2)(1(()1( kmnkmnn KmnkmWnn α+−−++χ++ ;

+α++−−−+χ+=Π ))/()()2(()1(1 mkmknKnmkn kmnkmnnkmn

)))1)(1/(()3()3(()( ++α++++−−−χρ+ kmnmkKmknn kmnkmnne ;

2( )( 1) (( 1) / ) (( 1) /( 1))kmn n kmn kmn e n kmn kmnn m n K m n n m K mΠ = + − − − + − − + +χ α ρ χ α ;

)524)(1()1(20 Wnnnn nnn −+−χ++ω=Ξ ;

nen nnn χρ−−+=Ξ )3)1)(1(( )(1 ; nen nn χ−ρ=Ξ )1()(

2 ;

lmkkml ω+ω+ω=ψ ++ ))(( ; lmkkml ω−ω+ω=ψ −+ ))(( ;

lmkkml ω−ω−ω=ψ −− ))(( ; knlmknlmD δδ−=1


;)1()1(01)1(

000 ++−=α − llmmCC n

lmn

lmnlm

))1/()1(1(()1( )(2 +−−ρ−+−ωχ+=γ nmnnmnKn emnmlnnlm +


124

2 ( ( 1) 1) ( ( 1) (2 2 7) 3) / 2)n l l l m m m n nW+ + − + + − − + + +

( 1) ((1/n mlnn m+ + χ α )2/)))1)(1/(( 2)( nWmnn me +ω++ρ− ;

++−+ρ++−χ+=η )))1(2/()32(12/()1( )( nnmnmnKn enmlnnlm

)))1)(1)(1(2/()32()( +++++ρ− nlmlnn e ;

( ) 1)( )1(1 −ρ++=χ en n ; )2)(1()1( Wnnnnnn −++−χ=ω .

ПРИЛОЖЕНИЕ С. Значения численных коэффициентов для поправок к частотам.

Таблица коэффициентов )(miA

m i

2 3 4

0 6606528 4214241024000 55735591155609600 1 - 4961440 - 4128178176000 - 77949491906388480 2 1419804 1682216124000 45351373912349312 3 - 177168 - 362825358328 - 14555386948486656 4 7945 43303979512 2840187292166640 5 ___ -2679419780 - 345863703031648 6 ___ 66094721 25619763735024 7 ___ ___ - 1049270108016 8 ___ ___ 18006768899 Таблица коэффициентов )(m

iB для поправки к частотам m i

2 3

0 28507064560128 5478617683875840 1 - 31524733738560 - 7819057467750912 2 15054864474528 4925997961586016 3 - 4000146404140 - 1794842151186848 4 634385531392 415673928885262 5 - 59666243685 - 63222887884663 6 3064663192 6287045064547 7 - 66028600 - 392114665003 8 ___ 13835223520 9 ___ - 208973864


125

Таблица коэффициентов )2(jiA

i j

0 1 2 3

0 64 × 4645215 64 × 7062426 64 × 5046448 64 × 1507136

1 -96 × 2325675 -96 × 3487186 -96 × 2616248 -96 × 819616

2 4 × 15972795 4 × 23556618 4 × 18378864 4 × 5935648

3 -8 × 5935648 -8 × 1414089 -8 × 1133192 -8 × 373424

4 357525 464946 374928 124576

Таблица коэффициентов )3(jiA

i j

0 1 2

0 960000 × 629326659584 960000 × 1983408150528 960000 × 27122460808961 - 8000 × 92856752701440 - 8000 ×

289533317285888 - 8000 ×

396031820341120 2 400 × 972791023411200 400 × 2999075394326528 400 × 41002989923869443 - 40 × 2807631731351552 - 40 × 8538676163356672 - 40 ×

11634727972545728 4 2 × 9605859672657920 2 × 28671363515022336 2 × 38689881616678592 5 -3 × 645378748456960 -3 × 1872016310675456 -3 × 2470970580690368 6 32 × 3297054503680 32 × 9124083418880 32 × 11489572520672 7 -4 × 592208700160 -4 × 1507906405696 -4 × 1707665679216 i j

3 4 5

0 960000 × 2061912758832 960000 × 862494305220 960000 × 153319441275 1 - 8000 ×

304727092678800 - 8000 ×

129734419287384 - 8000 × 23437700153415

2 400 × 3189974081262768 400 × 1379743042615128 400 × 252718279917453 3 - 40 × 9125310799251600 - 40 × 3998375748074412 - 40 × 740549126229705 4 2 × 30423104453043120 2 × 13451299310165652 2 × 2512567396279269 5 -3 × 1928538595397616 -3 × 855641056887444 -3 × 160764059925333 6 32 × 8719177625952 32 × 3843268025499 32 × 724042258758 7 -4 × 1190325182124 -4 × 506557263330 -4 × 94989141585

Таблица коэффициентов )4(

jiA i j

0 1 2

0 2764800 × 1322934089115625

2764800 × 4614839816039500

2764800 × 6807052318263600

1 - 23040 × 222024106178678125

- 23040 × 757301895008626500

- 23040 × 1106228391650769200

2 384 × 7750478940098759375

384 × 25941718371282427500

384 × 37652477054961494800


126

3 - 512 × 1865619665028196875

- 512 × 6131134506449743750

- 512 × 8841970685535035200

4 16 × 11649205690527234375

16 × 37502380729932297500

16 × 53536654328692102800

5 - 32 × 709290797232871875

- 32 × 2223032342251267500

- 32 × 3112803543724853600

6 16 × 105081062194434375

16 × 316698999015302500

16 × 426967575505092800

7 - 16 × 4303646927409375

- 16 × 12184316425980000

- 16 × 15205018812313400

8 1181694208996875 2999546960427500 3126793665757200 i j

3 4 5

0 2764800 × 5553451626253376

2764800 × 2509695611457536

2764800 × 484147691814912

1 - 23040 × 903633663255048128

- 23040 × 410913465860444160

- 23040 × 79705136823156736

2 384 × 30919302553593321280

384 × 14202326231749251072

384 × 2777978728682921984

3 - 512 × 7301559137768652960

- 512 × 3389390045560944128

- 512 × 668777032767583232

4 16 × 44307163388333263680

16 × 20739614218685581312

16 × 4123401945443536896

5 - 32 × 2560672383079338560

- 32 × 1202842747455597824

- 32 × 240493962612197376

6 16 × 343281924045307200

16 × 160381146213516032

16 × 32163463331921920

7 - 16 × 11485079526504640

- 16 × 5226886014537856

- 16 × 1046883289309184

8 1927439719822400 779373860226048 153211941490688

4.3. Резонансное взаимодействие мод осцилляций нелинейно-осциллирующей во внешней среде заряженной капли

1. Весьма часто в многочисленных приложениях приходится иметь дело с осцилляциями капли (пузырька), взвешенной или движущейся в другой несмешивающейся с ней жидкости [21, 40, 45, 61, 90 – 91, 96 – 97]. Тем не менее исследований влияния внешней среды на физические закономерности резонансного взаимодействия мод осцилляций нелинейно-осциллирующей за-ряженной капли пока не проведено.

2. Рассмотрим каплю радиуса R идеальной несжимаемой иде-ально проводящей жидкости, взвешенную в идеальной несжи-


127

маемой диэлектрической жидкости с плотностью ρ2 и диэлектри-ческой проницаемостью *ε , занимающей бесконечный объем. Ко-эффициент поверхностного натяжения на границе раздела среда-капля примем равным σ, а полный заряд капли – Q. Пусть в на-чальный момент времени t=0 равновесная сферическая форма капли претерпела виртуальное осесимметричное возмущение фиксированной амплитуды, существенно меньшей радиуса кап-ли, пропорциональное одной из мод капиллярных осцилляций системы. Зададимся целью найти аналитическое выражение для формы образующей нелинейно-осциллирующей капли в любой момент времени t > 0.

В сферической системе координат с началом в центре масс капли уравнение границы раздела сред, возмущенной осесиммет-ричным капиллярным волновым движением, имеет вид

.1/)],,(1[),(),,( >>ξθξ−−≡θ−≡θ RtRrtrrtrF

Движения жидкости в капле и среде будем полагать потенци-альными, т.е. примем, что поля скоростей волнового движения жидкости в капле ),( trV

ψ∇= и в среде ),( trU

ϕ∇= определя-

ются функциями потенциалов скорости капли ),( trψ и среды

),( trϕ . Система уравнений, описывающих эволюцию поверхности

раздела, в изложенной формулировке будет состоять из системы уравнений Лапласа для потенциалов скоростей ),( tr

ψ и ),( trϕ и

электростатического потенциала )t,r(Φ :

;0),( =ΦΔ tr

;0),( =ψΔ tr

;0),( =ϕΔ tr

и граничных условий: в центре капли

:0→r 0),( →ψ tr

;

на бесконечности

:∞→r ;0),( →Φ tr

;0),( →ϕ tr

на границе раздела сред: кинематического

:1 ξ+=r ;12 θ∂

ξ∂θ∂ψ∂−

∂ψ∂=

∂ξ∂

rrt


128

равенства нормальных компонент скоростей движения жидкости в капле и в среде

;1122 θ∂

ξ∂θ∂ϕ∂−

∂ϕ∂=

θ∂ξ∂

θ∂ψ∂−

∂ψ∂

rrrr

динамического

( ) ( ) ;22

222

211 exEin P

tPPP

t+ϕ∇

ρ−

∂ϕ∂ρ−=−++ψ∇

ρ−

∂ψ∂ρ− σ

;8

)( 2*

πΦ∇ε

=EP ;ndivPσ=σ

постоянства электрического потенциала поверхности капли

).(),( ttr SΦ=Φ

В выписанных математических соотношениях Pin и Pex соот-ветственно давления в кале и среде; PE – давление электрическо-го поля на границу раздела сред; Pσ – лапласовское давление, n

– единичный вектор положительной нормали к поверхности капли; ΦS(t) – постоянный вдоль поверхности капли электростатический потенциал.

Кроме выше перечисленных граничных условий, следует учесть также условия:

неизменности электрического заряда

=Φ∇⋅πε

−S

QdSn ;)(4

*


θξ+==

;20

;0

)];,(1[ tRr

S

неизменности объема капли

π=φθθ1

;3

4 32

V

RddSindrr


θξ+≤≤=

;20

;0

)];,(1[0

1

tRr

V (1)


129

неподвижности центра масс капли

;0

21

21

2211

2211

=ρ+ρ

ρ+ρ

VV

VV

dVdV

dVrdVr


∞≤≤θξ+=

.20

;0

;),(1[

2

rtR

V (2)

Начальные условия к поставленной задаче сформулируем в

виде задания начальной осесимметричной деформации равновес-ной сферической формы капли и равенства нулю начальной ско-рости движения поверхности

);2();()()()0,( 1100 ≥θε+θξ+θξ==θξ kCosPCosPCosPt k

.0)0,( =

∂=θξ∂

t

t

Здесь ε – амплитуда начального возмущения, являющаяся малым параметром задачи; Pk(Cos θ) – полином Лежандра k-го порядка; ξ0 и ξ1 – константы, определяемые условиями (1) и (2), соответственно с точностью до второго порядка малости.

Следует отметить, что условия (1) и (2) должны выполняться в любой момент времени, в том числе и в начальный. Несложно показать, что если в начальный момент времени возбуждена только одна мода, то условия (1) и (2) выполняются автоматиче-ски, а выражения для констант ξ0 и ξ1 имеют вид

);()12(

1 320 ε+

+ε−=ξ O

k .01 =ξ

3. Чтобы упростить решение задачи будем использовать без-размерные переменные, в которых R = σ=ρ1 =1.

При решении поставленной задачи в квадратичном по ампли-туде осцилляций приближении воспользуемся известным мето-дом многих масштабов [53 – 54]. Для этого искомые функции

),( tθξ , ),( trψ , ),( tr

ϕ , ),( trΦ представим в виде рядов по степе-

ням малого параметра ε подобно тому, как это было сделано в предыдущем параграфе и будем считать их зависящими не про-


130

сто от времени t, а от разных его масштабов Tm , определенных через Tm= ε tm:

;...),,,(...),,,(),(0 0

10)(

010

∞

=

∞

=

∞

=θ⋅ε=θξ⋅ε=θξ

m n

mn

m

m

mm TTMTTt

;...),,,(...),,,(),(0 0 0

10)(

10 ∞

=

∞

=

∞

=θ⋅ε=θψ⋅ε=ψ

m m n

mn

mmm TTDTTtr

;...),,,(...),,,(),(0 0

10)(

010

∞

=

∞

=

∞

=θ⋅ε=θϕ⋅ε=ϕ

m n

mn

m

m

mm TTGTTtr

....),,,(...),,,(),(0 0 0

10)(

10 ∞

=

∞

=

∞

=θ⋅ε=θΦ⋅ε=Φ

m m n

mn

mmm TTFTTtr

Сформулированная задача отличается от задачи о расчете не-линейных колебаний заряженной капли электропроводной жид-кости в вакууме, подробно разобранной во второй и третьей гла-вах, только учетом внешней несжимаемой идеальной диэлектри-ческой среды, что приводит к появлению в математической формулировке задачи еще одного уравнения Лапласа для потен-циала поля скоростей среды, соответствующего ему граничного условия для потенциала скорости на бесконечности, дополни-тельному условию равенства нормальных компонент скоростей среды и капли на границе раздела сред, а также некоторому из-менению динамического условия на границе раздела сред. В этой связи опустим описание математической процедуры решения за-дачи подобной разобранной в предыдущем разделе, а сразу вы-пишем выражение для образующей формы заряженной капли идеальной несжимаемой жидкости, нелинейно-осциллирующей в идеальной несжимаемой диэлектрической среде:

[ ]+ ω+

+ε−θωε≈θξ )2(1

)12(

1

2

1)()(),( 2 tCos

kCosPtCost kkk


131

( )=

+−

ωλ+λ+

k

jjjkkjkk tCos

12

)(2,,

)(2,, )(

( ) ).()()2( 32

)(2,,

)(2,, tOCosPtCos jkjkkjkk ε+

θ

ωλ+λ +− (3)

];)2)[(1(2 Wnnnnn −+−χ=ω ;1

11−

+ρ+=χ

n

nn ;

4 *

2

πε= Q

W

[ ];

])([ 22lnln)(

lnlmn

mlnmm ω±ω−ω

ηωω±γ=λ ± ;

2

1

ρρ=ρ

+−++

+−−ρ−+−ωχ≡γ ]1)1([2

1

)1(12

lnln llnn

mnnmnK mmnm

+++−−++ ]3)722()1([

2nmmml

nW

;2)1)(1(

12ln

+

++

ρ−ωαχ+ nW

mn

n

mmmn

+

+−+ρ++−χ≡η)1(2

)32(1

2lnln n

nmnm

nKmnm

;)1)(1)(1(2

)32(

2

2ln

+++++ρ−+αχ+

nlm

lnn

ml

nlmn

[ ] ;2000

lnln mm CK ≡ ;)1()1( 110ln

000lnln

−++−≡α mmm CCllmm

Здесь 000lnmC и 011

ln−mC – коэффициенты Клебша-Гордана [64].

Из (3) видно, что начальное возмущение любой k-й (четной, либо нечетной) одиночной моды капиллярных колебаний приво-


132

дит к возбуждению во втором порядке малости только четных мод с номерами, лежащими в диапазоне [0÷2k].

4. На рис. 1а – 1д приведены рассчитанные по (3) при раз-личных значениях отношения плотностей среды и капли времен-ные зависимости амплитуд некоторых из мод, )()2( tM n , возбуж-дающихся во втором порядке малости, когда начальная деформа-ция определена виртуальным возбуждением пятой (k = 5) моды, при W=1. Пунктирная линия соответствует ρ = 0.1; тонкая сплошная линия соответствует ρ = 1; сплошная линия соответст-вует ρ = 10: а) вторая мода, n = 2; б) четвертая мода, n = 4; в) шестая мода, n = 6; г) восьмая мода, n=8; д) десятая мода n =10. Из рис. 1 видно, что с увеличением отношения плотностей ρ растет амплитуда восьмой моды, а амплитуды всех остальных мод, кроме нулевой (которая остается неизменной), убывают. То, что амплитуда нулевой моды капли при изменении ρ остается по-стоянной, связано с тем, что во втором порядке малости нулевая мода в нелинейном взаимодействии не участвует. Зависимость амплитуды нулевой моды от ρ появится лишь при расчетах третьего порядка малости.

Расчеты по (3), проиллюстрированные рис. 1, выполнены при значении параметра Рэлея W=1, т.е. при W, далеком как от кри-тического значения Wcr = 4 (при котором становится неустойчи-вой основная (вторая) мода), так и от резонансных значений Wr (Wr ≈ 0.118 при ρ = 0.1; Wr ≈ 0.641 при ρ = 1; Wr ≈ 1.159 при ρ = 10), при которых реализуется вырожденное трехмодовое взаимо-действие пятой и восьмой мод. Тем не менее из рис. 1г видно, что в рассмотренной при расчетах ситуации резонанс пятой и вось-мой мод имеет место: амплитуда восьмой моды существенно (в несколько раз) превышает амплитуды всех мод, возбуждающихся за счет нелинейного взаимодействия, хотя, казалось бы, при W=1 (при W ≠ Wr) резонансная перекачка энергии из пятой моды в восьмую не должна реализовываться. Причем, согласно рис. 1г, при ρ =10 имеет место резонансная раскачка восьмой моды с ли-нейным ростом амплитуды осцилляций. Для остальных значений ρ из использованных в расчетах также наблюдается резонансная раскачка с безразмерными периодами колебаний T ≈ 11 для ρ = 0.1 и T ≈ 9 для ρ = 1.


133

Рис. 1a

Рис. 1б


134

Рис. 1в

Рис. 1г


135

Рис. 1д

Рис. 1. Зависимости безразмерных амплитуд мод )()2( tM n , возбуждающихся

во втором порядке малости, при начальной деформации, определяющейся пятой модой, при W=1. Пунктирная линия соответствует ρ = 0.1;

тонкая сплошная линия соответствует ρ = 1; сплошная линия соответствует ρ = 10:

а) вторая мода, n = 2; б) четвертая мода, n = 4; в) шестая мода, n = 6; г) восьмая мода, n=8; д) десятая мода n =10.

Отметим, что возможные в рассматриваемой системе резо-

нансные ситуации связаны с появлением в выражении (3) малых знаменателей: когда при определенных соотношениях между частотами нелинейно взаимодействующих мод (при

22 )( lmn ω±ω=ω ) один из знаменателей в коэффициентах )(ln

±λm ,

через которые выражаются амплитуды поправок второго порядка малости, обращается в ноль. Стандартная процедура устранения подобной ситуации связана с введением малого отклонения час-тоты одной из мод от резонансной с последующим разложением по степеням такого малого отклонения и исключением секуляр-ных членов, как это было описано во второй и третьей главах. Условие проявления вырожденного резонанса между пятой и


136

восьмой модами имеет вид 25

28 4ω=ω и реализуется при ρ = 10, ко-

гда Wr ≈ 1.159. Если W=1, то при ρ = 10 несложно найти по (13) 2 28 550.97, 12.86,ω ω≈ ≈ 2 2

8 54 0.462,ω ω− ≈ − что более чем в сто

раз меньше 28ω . Следовательно, отношение разности 2

528 4ω−ω к

28ω может служить малым параметром, а отклонение 2

528 4ω−ω от

нуля может считаться малым. Иными словами, при W=1 соотно-шение частот восьмой и пятой мод достаточно близко к резо-нансному, чтобы в расчетах проявилась резонансная раскачка восьмой моды за счет отбора энергии у изначально возбужденной пятой. Указанное обстоятельство интересно тем, что резонанс наблюдается при достаточно большом отклонении параметра W от Wr, и позволяет предположить, что наличие значительного за-ряда на капле совсем не обязательно для получения резонансной раскачки одной из мод. Другие расчетные примеры по обсуждае-мому вопросу можно найти в [98].

Учтем, что согласно сказанному в предыдущем разделе ко-личество резонансных ситуаций, в которых в резонансное взаи-модействие наряду с высокими модами включены и низкие, весьма велико (измеряется сотнями при n, m, l ≤ 100). Принимая во внимание обнаруженную слабую зависимость условий реали-зации нелинейного резонансного обмена энергией между модами от величины собственного заряда капли (параметра W), можно ожидать, что в естественных условиях, например в грозовом об-лаке, в свободно падающих каплях будут реализовываться все ре-зонансные ситуации, допустимые при заданном наборе начально-возбужденных мод, даже если заряд капли далек от резонансного. Это обстоятельство представляется важным в связи с необходи-мостью моделирования до сих пор непонятного механизма заро-ждения разряда молнии в грозовом облаке, который, согласно существующим представлениям, может начаться с коронного разряда в окрестности крупной свободно падающей градины. По-скольку электрические заряды, обнаруживаемые при натурных измерениях на облачных каплях, не превышают одной трети от критического по Рэлею, а внутриоблачные электрические поля много меньше необходимых для начала коронного разряда, то наиболее вероятной причиной начала коронного разряда в окре-стности обводненной градины или капли является неустойчи-


137

вость ее заряженной поверхности, сопровождающаяся эмиссией большого количества высокодисперсных сильно заряженных ка-пелек, у поверхности которых уже может зажечься коронный разряд [45, 77, 87].

Резонансная раскачка амплитуды осцилляций основной (n=2) моды слабо заряженной (в смысле устойчивости по отношению к собственному заряду) облачной капли, соответствующая вытяги-ванию капли в фигуру, близкую к вытянутому сфероиду, может привести к реализации неустойчивости ее поверхности в окрест-ности вершин сфероида вследствие увеличения там поверхност-ной плотности собственного и поляризационного заряда за счет его перераспределения по поверхности капли при ее удлиннении [45, 89, 97]. Проблема заключается в том, что в расчетах второго порядка малости для нелинейно осциллирующей в вакууме капли идеальной жидкости строгий резонанс, в котором бы участвовала основная мода, отсутствует. Такие резонансы появляются, если учесть реальную вязкость жидкости, однако такой учет пока можно провести лишь на качественном уровне, поскольку задача о нелинейных осцилляциях капли вязкой жидкости еще не реше-на ввиду ее сложности.

Как отмечалось выше, резонансные ситуации характеризуют-ся соотношениями между частотами взаимодействующих мод капиллярных осцилляций типа 22 )( lmn ω±ω=ω . Согласно (3) в анализируемой задаче исследования осцилляций заряженной ка-пли во внешней среде величина частоты ωj , кроме номера моды j, определяется безразмерным параметром W и безразмерной плотностью ρ. Сказанное означает, что положение резонансов в пространстве номеров мод будет зависеть от величин параметров W и ρ, тогда как для осцилляций капли в вакууме оно зависело только от W. Несложные расчеты показывают, что появление еще одной степени свободы, связанной с изменением ρ, приводит к существенному увеличению количества резонансных ситуаций и к изменению положений (в смысле изменения величины W), ра-нее известных для капли в вакууме (при ρ = 0). Общее количест-во резонансов при m, l ≤ 100 и W < 4 измеряется тысячами, а по-тому перечислять их не имеет смысла.

Результаты расчетов по (3), приведенные на рис. 1, получены для трех различных значений отношения плотностей среды и ка-


138

пли ρ: ρ = 0.1, ρ = 1, ρ = 10. Такие значения выбраны для иллюст-рационных расчетов из тех соображений, что при ρ < 0.1 и ρ > 10 изменения ρ весьма мало сказываются на величине частот ка-пиллярных осцилляций рассматриваемой системы. Малые значе-ния в пределе ρ → 0 соответствуют ситуации осцилляций капли жидкости в газовой среде, большие значения ρ в ρ → ∞ пределе соответствуют осцилляциям газового пузыря в жидкой среде.

Рис. 2. Зависимости безразмерной амплитуды основной моды )()2(2 tM ,

возбуждающейся во втором порядке малости, при начальной деформации, определяющейся пятой модой, при ρ = 1.

Пунктирная линия соответствует W=1; тонкая сплошная линия соответствует W=2; сплошная линия соответствует W = 3

На рис. 2 приведены зависимости безразмерной амплитуды основной моды )()2(

2 tM , возбуждающейся во втором порядке ма-лости, при начальной деформации, определяющейся пятой мо-дой, при фиксированном ρ = 1 и различных докритических зна-чениях параметра W. Пунктирная линия соответствует W=1; тон-кая сплошная линия соответствует W=2; сплошная линия соответствует W = 3. Следует отметить, что в параметре W соб-раны важные для обсуждаемого феномена физические величины: коэффициент межфазного натяжения, диэлектрическая прони-


139

цаемость среды, заряд капли и ее радиус. В размерной форме па-раметр W имеет вид W=Q2/4πσR3ε*. Отметим, что величина коэф-фициента межфазного натяжения σ связана с коэффициентами поверхностного натяжения чистых фаз σ1 и σ2 известным прави-лом Антонова 21 σσσ −≈ [95], где σ1 и σ2 – коэффициенты по-верхностного натяжения фаз, контактирующих с общим газом. Как правило, величина σ существенно меньше коэффициентов поверхностного натяжения чистых фаз, что позволяет в некото-рых случаях наблюдать неустойчивость границы раздела по от-ношению к собственному заряду. Из рис. 2 видно, что с увеличе-нием W (с приближением к критическому для реализации неус-тойчивости капли по отношению к собственному заряду значению Wcr = 4) амплитуда основной моды заметно растет.

5. При нелинейных осцилляциях капли идеальной несжимае-мой электропроводной жидкости в диэлектрической идеальной несжимаемой среде с ростом отношения плотностей среды и кап-ли максимум энергии в спектре нелинейно-возбужденных мод смещается к наиболее высокой моде независимо от того, какой из мод задается начальная деформация капли. Учет наличия внеш-ней среды проявляется как в изменении при варьировании отно-шения плотностей среды и капли количества резонансных ситуа-ций, так и в изменении величины собственного заряда капли, при котором реализуется резонанс. Выяснилось, что нелинейные ос-цилляции могут иметь резонансный вид даже при зарядах капли, далеких от соответствующих точным положениям резонансных ситуаций, что объясняется относительно слабым влиянием собст-венного заряда капель (при докритических по Рэлею для основ-ной моды его значениях) на частоты высоких мод осцилляций. Именно это обстоятельство обеспечивает высокие значения ам-плитуды нелинейно возбуждающейся основной моды капли при задании начальной деформации модами, с номерами более высо-кими, чем номер основной моды (n=2).


140

4.4. Влияние спектра мод, определяющих начальную деформацию заряженной капли, на критические

условия реализации ее неустойчивости по отношению к собственному заряду

1. Критические условия реализации неустойчивости изолиро-ванной капли электропроводной идеальной несжимаемой жидко-сти по отношению к собственному заряду теоретически вывел в конце девятнадцатого века Рэлей в виде соотношения

( ) 44 32 ≥πσ= RQW , где R , Q и σ – радиус капли, ее заряд и ко-эффициент поверхностного натяжения жидкости соответственно [47, 48]. В течение двадцатого века и в начале двадцать первого этот критерий неоднократно экспериментально проверялся в раз-личного вида лабораторных установках: в вертикальном электро-статическом поле между плоскими пластинами (т.е. в электроста-тическом подвесе типа использованного Милликеном в экспери-ментах по определению заряда электрона) [99,100]; в неоднород-ном, периодически изменяющемся во времени электрическом поле между электродами сложной геометрии (комбинация колец, цилиндрических и сферических поверхностей) [101]; в комбини-рованном электрическом подвесе с электростатическим и перио-дически изменяющимися электрическими полями между тремя плоскими электродами [102], в воздушном потоке [103]; в элек-тродинамическом подвесе на основе двух кольцевых электродов [104]. Эксперименты были проведены с каплями широкого диапа-зона размеров: сотни микрометров в работах [100, 103], десятки микрометров в работах [101, 102] и единицы микрометров в ис-следовании [104] (следует, однако, отметить, что физические ме-ханизмы сброса избыточного заряда заряженной каплей диамет-ром в сотню микрометров и в один микрометр качественно раз-личны и подробно описаны в работах [45, 87, 89, 105 – 107]). Во всех случаях справедливость критерия Рэлея была подтверждена. Причем наибольшая точность экспериментов была достигнута в исследовании [102], где критерий Рэлея был подтвержден с точно-стью до 4%, и в работе [104], где точность была около 5%.

C началом нелинейных исследований осцилляций и устойчи-вости заряженной капли выяснилось, что при расчетах третьего порядка малости по амплитуде начальной деформации появляют-


141

ся квадратичные по амплитуде поправки к частотам осцилляций, а поскольку критические условия реализации неустойчивости капли по отношению к собственному заряду определяются из требова-ния прохождения квадрата частоты основной моды осцилляций через ноль в область отрицательных значений, то и критическое значение параметра Рэлея crWW = оказывается зависящим от квадрата начальной деформации равновесной сферической фор-мы. Область применимости этого результата ограничивается лишь применимостью асимптотических разложений, лежащих в основе анализов [2, 29, 32, 82]. На величину нелинейной поправки к кри-тическому значению параметра Рэлея накладывается только тре-бование ее малости по сравнению с четверкой. Другими словами, в зависимости от условий проведения эксперимента (в зависимо-сти от амплитуды начальной деформации капли) можно ожидать отклонения измеряемой в эксперименте критической величины параметра Рэлея от предсказываемого линейной теорией значения

4=crW на 10÷20 %. В связи со сказанным, результаты измерений исследований [102, 104] вызывают сомнения, так как и в том и в другом случаях в силу особенностей экспериментальных устано-вок амплитуда основной моды капли была сильно возбуждена. Для выяснения этого обстоятельства и было сформулировано на-стоящее исследование, которое, однако, проводилось в несколько более общем виде, с учетом наличия в реальных экспериментах внешней для капли среды, моделируемой идеальной несжимаемой диэлектрической жидкостью, т.е. в рамках математической моде-ли, использованной в предыдущем разделе.

2. Пусть имеется сферическая капля радиуса R, имеющая за-ряд Q, идеальной несжимаемой идеально проводящей жидкости с плотностью ρ(i), окруженная идеальной несжимаемой жидкостью плотности ρ(e) с диэлектрической проницаемостью εd в условиях отсутствия гравитации. Коэффициент межфазного поверхностно-го натяжения обозначим σ. Движение жидкости в капле и внеш-ней среде примем потенциальным с потенциалами скоростей ψ(i) и ψ(e) соответственно. Потенциал электрического поля в окрест-ности капли обозначим φ. Форму капли будем считать осесим-метричной как в начальный, так и во все последующие моменты времени. Уравнение границы раздела сред в безразмерных пере-


142

менных, в которых 1)( =ρ i , 1=R , 1=σ , в любой момент времени

t запишется в виде

).,(1 tr ϑξ+=

Математическая формулировка задачи о расчете нелинейных капиллярных колебаний заряженной капли имеет вид

;0)( =ψΔ i ;0)( =ψΔ e ;0=φΔ

:0→r 0)( →ψ i ;

:∞→r 0)( →ψ e ; 0→φ∇ ;

:),(1 tr ϑξ+= ξ∂ψ∂−ψ∂=ξ∂ψ∂−ψ∂=ξ∂ ϑϑϑϑ )(2)()(2)(11

eeriirtrr

;

( ) ( )2 2

( ) ( ) ( ) ( ) 0

1 1

2 2t i i t e e qp p p pσψ ψ ρ ψ ψ ∞ ∂ + ∇ − ∂ + ∇ =

− + − ;

);(tSφ=φ

π=ϕϑϑ

V

dddrr ;3

4sin2

;20;0;10,, π≤ϕ≤π≤ϑ≤ξ+≤≤ϕϑ= rrV

;4 QdSnS

π−=φ∇⋅ ;20;0;1,, π≤ϕ≤π≤ϑ≤ξ+=ϕϑ= rrS

:0=t ( ) ( )Ω∈

ϑε+ϑξ=ξm

mm PhP coscos00 ; 0=ξ∂ t .

В выписанных уравнениях ∞p и 0p – давление во внешней среде на бесконечности и постоянное давление в капле; qp и

σp – давление электрического поля и сил поверхностного натя-жения соответственно; n

– вектор нормали к поверхности капли;

Sφ – электрический потенциал поверхности капли; ( ))()( ie ρρ=ρ ;

ε – малый параметр, характеризующий амплитуду начального


143

возмущения; ( )ϑcosmP – полином Лежандра порядка m; 0ξ - кон-станта подобранная так, чтобы объем капли в начальный момент времени совпадал с объемом равновесной сферы; знак t∂ означа-ет частную производную по переменной t; Ω – множество индек-сов изначально возбужденных мод; hm – константы, учитываю-щие вклад m-й моды в формирование начальной формы капли, такие что 1=

Ω∈mmh .

3. Решение сформулированной задачи методом многих мас-штабов, проведенное в параграфе 4.2 (см., также [108]), приводит в расчетах третьего порядка малости к выражению для образую-щей нелинейно-осциллирующей в диэлектрической несжимаемой среде заряженной капли электропроводной несжимаемой жидко-сти:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )∞

=Ω∈ϑ⋅ε+ε+ϑ⋅ε+=ϑ

0

)3()2(2)1( )coscos1,n

nnnn

nn PtMtMPtMtr ;

(1)

( )tbthtM nnnn2)1( cos)( ε+ω⋅= ;

ρ++−+−=ω)1(1

)2()1( 22

n

Wnnnn ;

( )32 4 RQW dσπε≡ ; ( )( )

−+Ξ

++

Ξ−Ξω+Ξω

= Ω∈k

nknnnnn

nn k

h

n

hb

)12(2)12(4

22

2

1 0221202

( )( )[ ]

++δ−+++−Ω∈

−−+++−−−+++−

knkknkknnkknnknknknknknnkkn

k HHHHHHh ))((2))((2))((1))((2))((2))((1

2

14

,

где коэффициенты ))((1 ±nlmkH , ))((2 ±±

nlmkH , 0nΞ , 1

nΞ , 2nΞ , вынесены в

Приложение DD, knδ – символ Кронекера. Аналитические выра-

жения для коэффициентов )2(nM и )3(

nM , имеющие громоздкий вид, здесь не приводятся, поскольку они не представляют интере-са для настоящего рассмотрения, посвященного анализу критиче-ских условий реализации неустойчивости капли по отношению к собственному заряду, связанных непосредственно с нелинейными поправками к частотам осцилляций.


144

3а. Как отмечалось выше, наличие поправок к частотам ка-пиллярных колебаний поверхности капли приводит к изменению критических условий реализации неустойчивости m-й моды по отношению к собственному заряду капли. Известно, что при уве-личении заряда квадрат частоты капиллярных колебаний умень-шается и при некотором критическом значении параметра Рэлея Wcr обращается в нуль. Дальнейшее увеличение заряда капли ве-дет к переходу квадрата частоты в область отрицательных значе-ний, то есть к появлению мнимых частот и экспоненциальному росту амплитуд капиллярных колебаний поверхности капли и, как следствие, к ее неустойчивости. Критическое условие реали-зации неустойчивости n-й моды с учетом нелинейной поправки к частоте можно записать в виде

( ) ( ) 02 2222 =ε+ε+ω≈ε+ω Obb nnnn . (2)

В этом выражении должно выполняться условие 2n nb>>ω ε .

Подставляя в (2) выражения для частоты nω и для коэффициента bn , можно в принципе получить весьма громоздкое выражение, связывающее критическое значение параметра Рэлея Wcr со спек-тром изначально возбужденных мод и их амплитудами, выражен-ными через квадрат малого параметра ε . Однако некоторые ре-зультаты можно получить и из анализа соотношения (2).

Из (2) можно заметить, что в расчетах второго порядка мало-сти по ε критическая величина параметра Рэлея Wcr с ростом ам-плитуды начальной деформации (с ростом 2ε ) при bn < 0 будет снижаться (по сравнению с полученным в линейной теории зна-чением Wcr = 4), а при bn > 0 увеличиваться. В работе [108] в ка-честве примера анализировались различные ситуации с одномо-довыми начальными деформациями и было показано, что bn < 0 везде, кроме малых окрестностей значений частот, соответст-вующих внутренним нелинейным резонансам. Тем самым был подтвержден вывод работ [2, 29, 32, 108] о снижении критическо-го значения параметра Рэлея Wcr с ростом амплитуды начальной деформации. Однако в действительности знак коэффициента bn сложным образом зависит от спектра мод, определяющих на-чальную деформацию, от величины безразмерной плотности ок-ружающей среды ρ , параметра Рэлея W и не всегда отрицателен.


145

3b. На рис. 1a – d приведены зависимости ),(22 ρ= Wbb в диапазонах изменения параметров 150,9.30 ≤ρ≤≤≤W . Гра-фики рассчитанны для различных видов начальных деформаций, определенных суперпозицией основной моды (n = 2) и одной из более высоких мод с номером m > 2, т.е. для двухмодовых на-чальных деформаций равновесной сферической формы капли с парциальными вкладами 25.0,75.02 == mhh . Как показывают расчеты, в ситуациях, когда 11≤m , коэффициент b2 в нелинейной поправке к частоте основной моды отрицателен. Согласно рис. 1b при 12≥m на множестве значений параметров W, ρ появляется область, в которой 02 ≥b . Из рис. 1a – d видно, что при 12≥m с увеличением номера m размеры области значений параметров W, ρ , на которой 02 ≥b , растет. Согласно рис. 1с при 14≥m перед-няя граница этой области выходит на плоскость 0=ρ , физически соответствующую нулевой плотности окружающей среды, т.е. капле, осциллирующей в вакууме. При 30≥m и 0=ρ и любых значениях 8.3<W коэффициент b2 положителен (см. рис. 1d), что согласно вышесказанному означает увеличение критического значения параметра Рэлея Wcr с ростом амплитуды осцилляций. Иными словами, в ситуации, когда начальная деформация капли определяется суперпозицией основной моды и одной из мод с номером 30≥m , сильно заряженная капля с 8.3≤W не может претерпеть неустойчивость даже при весьма значительной (в рамках асимптотической теории) амплитуде ее нелинейных ос-цилляций. Из сказанного следует, что при указанной начальной деформации отклонение критического значения параметра Рэлея от четверки не может превысить пяти процентов принципиально. По-видимому, именно это обстоятельство и объясняет результаты вышеупомянутых экспериментов [102, 104], в которых вероятнее всего имело место возбуждение основной моды в совокупности с несколькими более высокими модами.


146

Рис. 1. Зависимости коэффициента ( )ρ= ,22 Wbb , определяющего величину нелинейной поправки к частотам основной моды, от параметра Рэлея W

и безразмерной плотности внешней среды ρ , рассчитанные для различных видов начальных деформаций, определенных суперпозицией основной

моды (n = 2) и одной из более высоких мод с номером 2>m : a) 11=m ; b) 12=m ; c) 14=m ; d) 30=m и 75.02 =h , 25.0=mh

На рис. 2 приведена зависимость величины коэффициента b2

в поправке к частоте основной моды от парциальных вкладов h2 и hm, с которыми основная мода (n = 2) и высокая мода с номером m (на рисунке m = 20) формируют начальную деформацию капли. Несложно видеть, что зависимость b2 от hm гораздо более силь-ная, чем от h2 , а знаки вкладов в величину b2 у основной моды и высокой моды различны. На рис. 3a – b приведены результаты расчетов величины коэффициента b2 в более сложной ситуации, когда начальная деформация капли определена суперпозицией не


147

двух мод, а трех: основной (n = 2) и двух более высоких. Парци-альный вклад основной моды 75.02 =h такой же, как и на рис. 1a-d. Сумма парциальных вкладов двух более высоких мод дает ве-личину 25.0=+ km hh , т.е. такую же, как и для одной высокой моды на рис. 1. Качественное и количественное сходство данных, при-веденных на рис. 1 и рис. 3, очевидно.

Рис. 2. Зависимость величины коэффициента b2 в поправке к частоте основной моды от парциальных вкладов h2 и hm , с которыми основная мода (n = 2) и двадцатая мода (m = 20) формируют

начальную деформацию капли, рассчитанные при 1=W , 1.0=ρ

Интересно отметить, что согласно рис. 1d и рис. 3b для более общего случая нелинейных осцилляций капли во внешней среде с

1.0≥ρ возможность рэлевского распада капли при начальном воз-буждении в паре с основной модой одной или нескольких более высоких мод с номерами 30>m при докритических в смысле ли-нейной теории значениях параметра Рэлея вообще сомнительна.


148

3с. Физический смысл обнаруженного феномена повышения

устойчивости капли при возбуждении высоких мод осцилляций связан с физическим механизмом реализации неустойчивости сильно заряженной капли, подробно рассмотренным в работах [89, 97, 107]. Согласно исследованиям [89, 97, 107] при достиже-нии параметром Рэлея критического значения теряет устойчи-вость основная мода капли, в результате чего капля начинает вы-тягиваться в фигуру, близкую к вытянутому сфероиду. При вытя-гивании капли заряд перераспределяется по ее поверхности и его концентрация на вершинах капли достигает такой величины, что возбуждаются более высокие моды. Это приводит к дальнейшему увеличению кривизны вершин капли и возбуждению еще более высоких мод. В итоге на вершинах капли образуются эмиссион-ные выступы, с вершин которых начинается сброс избыточного заряда путем эмиссии весьма мелких сильно заряженных капелек. Если же на поверхность капли с возбужденной основной модой (т.е. на слабо сфероидальную поверхность) наложить более высо-кую моду, то гладкая поверхность сфероида покроется мелко-

Рис.3. Зависимости коэффициента ( )ρ= ,22 Wbb от параметра Рэлея W и безразмерной плотности внешней среды ρ , рассчитанные для трехмодовых начальных деформаций, определенных суперпозицией основной моды с 75.02 =h и парой более высоких мод с номерами

2, >km : a) 14=m ; 20=k ; 15.014 =h ; 1.020 =h , b) 17=m ; 34=k ; 1.017 =h ; 15.034 =h


149

масштабным рельефом – «морщинами» (см. рис.4), на гребнях которых вследствие их большой кривизны увеличится поверхно-стная плотность электрического заряда. Это приведет к тому, что на вершинах сфероида в силу неизменности полного заряда кап-ли его средняя концентрация уменьшится, что ухудшит условия нарастания амплитуды основной моды.

Рис. 4. Контур образующей капли, рассчитанный при 1=W , 0=ρ , 3.0=ε для трех моментов времени: 0=t – тонкая линия; Tt 25.0= – толстая ли-ния; Tt 5.0= – линия средней толщины, где T – период осцилляций ос-новной моды. a) при начальном возбуждении только основной моды;

b) при начальном возбуждении основной моды и двадцать четвертой моды при 75.02 =h , 25.024 =h

Номера мод, определяющих начальную деформацию капли, выбирались из следующих соображений. Во-первых, хорошо из-вестно из данных натурных измерений [28], что для облачных ка-пель характерно возбуждение основной моды с амплитудой по-рядка десятков процентов от радиуса капли, причиной которого является реальное турбулентное обтекание капли, подвешенной в восходящем потоке. С тем же феноменом мы имеем дело и в экс-периментах [107]. В экспериментальных работах [102, 104] воз-буждение основной моды обеспечивалось переменной компонен-той электрического поля подвеса, а в работе [104] особо подчер-кивалось наблюдаемое возбуждение основной моды. Возбуж-


150

дение высоких мод для крупных (диаметром ~ 200 µm) капель грозовых облаков обеспечивается столкновениями с существенно более мелкими капельками (диаметром ~ 10 µm), концентрация которых в облаках максимальна [109]. В экспериментах [100 – 104] возбуждение высоких мод можно объяснить взаимодействи-ем капли с потоком испаряющегося с ее поверхности пара и кла-стеризованных заряженных молекул, т.к. во всех случаях [100 – 104] капли изначально большого радиуса с не очень большим за-рядом (по сравнению с критическим по Рэлею) испарялись для достижения критической величины параметра Рэлея.

Подводя итог сказанному, отметим, что величина и знак не-линейной поправки к частоте основной моды существенно опре-деляется спектром мод, определяющих начальную деформацию капли: ( )Ω= nn bb . Вследствие этого нелинейные поправки к кри-тическим условиям реализации неустойчивости заряженной кап-ли (к критическому значению параметра Рэлея) также зависят от вида начальной деформации капли ( )Ω= crcr WW .

5. Критическое для реализации неустойчивости капли по от-

ношению к собственному заряду значение параметра Рэлея W за-висит от амплитуды осцилляций капли в рамках ограничений, накладываемых на величину нелинейной поправки к W вкладами каждой из мод, определяющих начальную деформацию капли.


151

5. Нелинейные осцилляции заряженной капли в ламинарно обтекающей

ее несжимаемой диэлектрической материальной среде

5.1. Нелинейные капиллярные колебания и устойчивость заряженной капли, движущейся относительно среды

1. В разнообразных задачах технической физики, геофизики и технологии приходится сталкиваться с заряженными каплями, движущимися относительно среды [109]. Данная задача пред-ставляет также значительный интерес и для проблемы грозового электричества в связи с исследованием физического механизма инициирования разряда молнии [86 – 87]. Так, согласно сущест-вующим качественным представлениям зарождение разряда ли-нейной молнии связано с зажиганием коронного разряда в окре-стности крупной капли или обводненной градины (с реализацией неустойчивости заряженной поверхности капли воды). Тем не менее такие представления не находят подтверждения в натур-ных измерениях в грозовых облаках. Максимальные величины измеряемых собственных зарядов капель и внутриоблачных элек-трических полей [88] много меньше необходимых для реализации неустойчивости поверхности капли по отношению к собственно-му и индуцированному зарядам [110]. По всей видимости, при построении физической модели инициирования разряда молнии упускается какой-то важный фактор, например аэродинамическое давление в окрестности падающей капли, которое согласно [111 – 112] приводит к снижению критических условий реализации не-устойчивости свободной поверхности капли.

Хотя исследованию дробления свободно падающих капель в атмосфере посвящено весьма значительное число работ (см. об-зор [109]), эти работы носят в основном экспериментальный ха-рактер. Строгое аналитическое решение задач, связанных с дви-жением капли в среде, из-за громоздкости теоретических выкла-


152

док решены в только линейном приближении по величине де-формации ее сферической формы [113 – 116].

Нелинейный анализ устойчивости поверхности заряженной капли, движущейся относительно среды, до сих пор не предпри-нимался. В этой связи и проведено настоящее рассмотрение.

2. Пусть идеальная несжимаемая диэлектрическая среда с плотностью ρ2 и диэлектрической проницаемостью *ε , занимаю-

щая бесконечный объем, движется с постоянной скоростью 0U

относительно неподвижной капли радиуса R идеальной несжи-маемой идеально проводящей жидкости. Коэффициент поверхно-стного натяжения на границе раздела среда-капля примем рав-ным σ, а полный заряд капли – Q. Будем полагать, что в началь-ный момент времени t = 0 равновесная сферическая форма капли претерпела виртуальное осесимметричное возмущение фиксиро-ванной амплитуды, существенно меньшей радиуса капли, про-порциональное одной из мод капиллярных осцилляций системы. Целью задачи ставилось найти аналитическое выражение для формы образующей нелинейно-осциллирующей капли в любой момент времени t > 0.

Для упрощения расчетов в нижеследующих рассуждениях будем пользоваться безразмерными переменными, в которых R = σ=ρ1 =1, ρ2/ρ1 ≡ ρ.

В сферической системе координат с началом в центре масс капли уравнение границы раздела сред, возмущенной осесиммет-ричным капиллярным волновым движением, имеет вид

.1),,(1 <<ξθξ+= tr

Согласно [117 – 119] сферическая капля, ламинарно обду-ваемая аэродинамическим потоком, деформируется вдоль потока к равновесной форме сплюснутого сфероида. Однако величина эксцентриситета равновесного сфероида для капель грозовых об-лаков c R ~ 10-2 см, которые представляют основной интерес в плане проводимого исследования, не превышает величины e2 ~ 10-3 и в расчетах второго порядка малости по амплитуде не-линейных осцилляций, составляющих согласно данным наблю-дений десятки процентов от радиуса капли (так что малый пара-метр, по которому будет проводиться разложение, станет изме-няться от 0.1 до 0.3) может не приниматься во внимание.


153

Движения жидкости в капле и среде будем полагать потенци-альными, т.е. примем, что поля скоростей волнового движения жидкости в капле ),( trV

ψ∇= и в среде ),( trU

ϕ∇= определя-

ются функциями потенциалов скорости капли ),( trψ и среды

),( trϕ . Математическая формулировка задачи расчета нелинейных

осцилляций границы раздела сред состоит из системы уравнений Лапласа для потенциалов скоростей ),( tr

ψ и ),( trϕ и электро-

статического потенциала ),( trΦ :

;0),( =ΦΔ tr

;0),( =ψΔ tr

;0),( =ϕΔ tr

(1)

и граничных условий к ним: в центре капли

:0r → 0),( →ψ tr

; (2)

на бесконечности :∞→r ;0),( →Φ tr

;),( 0Utr

→ϕ∇ (3) на границе раздела сред: кинематического

:1 ξ+=r ;12 θ∂

ξ∂θ∂ψ∂−

∂ψ∂=

∂ξ∂

rrt (4)

равенства нормальных компонент скоростей движения жидкости в капле и в среде

;1122 θ∂

ξ∂θ∂ϕ∂−

∂ϕ∂=

θ∂ξ∂

θ∂ψ∂−

∂ψ∂

rrrr (5)

динамического

( ) ( ) ;22

1 22exEin P

tPPP

t+ϕ∇ρ−

∂ϕ∂ρ−=−++ψ∇−

∂ψ∂− σ (6)

;8

)( 2*

πΦ∇ε=EP ;ndivP

=σ

постоянства электрического потенциала на поверхности капли

).(),( ttr SΦ=Φ (7)

В выписанных математических соотношениях Pin и Pex – со-ответственно давления в капле и среде; PE – давление электриче-


154

ского поля на границу раздела сред; Pσ – лапласовское давление, n

– единичный вектор положительной нормали к поверхности капли; ΦS(t) – постоянный вдоль поверхности капли электроста-тический потенциал.

Кроме выше перечисленных граничных условий, следует учесть также условия:

неизменности электрического заряда

=Φ∇⋅πε−

S

QdSn ;)(4

*

π≤ϑ≤π≤θ≤θξ+=

=;20

;0

);,(1 tr

S (8)

неизменности объема капли

π=ϑθθ1

;3

42

V

ddSindrr

π≤ϑ≤π≤θ≤

θξ+≤≤=

;20

;0

);,(10

1

tr

V (9)

неподвижности центра масс капли

;0

21

21

21

21

=ρ+

ρ+

VV

VV

dVdV

dVrdVr


∞≤≤θξ+=

.20

;0

;),(1

2

rt

V (10)

Начальные условия к поставленной задаче сформулируем в виде задания начальной осесимметричной деформации равновес-ной сферической формы капли и равенства нулю начальной ско-рости движения поверхности

);2();()()0,( 00 ≥θε+θξ==θξ kCosPCosPt k (11)

.0)0,( =

∂=θξ∂

t

t (12)

Здесь ε – безразмерная амплитуда начального возмущения, являющаяся малым параметром задачи; Pk(Cos θ) – полином Ле-жандра k-го порядка; ξ0 и ξ1 – константы, определяемые усло-виями (9) и (10) соответственно с точностью до второго порядка малости.


155

Следует отметить, что условия (9) и (10) должны выполнять-ся в любой момент времени, в том числе и в начальный. Неслож-но показать, что если в начальный момент времени возбуждена только одна мода, то условие неизменности объема капли (9) и неподвижности центра масс системы капля-среда дают следую-щие значения констант ξ0 и ξ1 из (11):

);()12(

1)0,( 32

0 ε++

ε−==θξ Ok

t ).(0)0,( 31 ε+==θξ Ot (13)

Кроме того, следует учитывать, что условие неподвижности центра масс системы капля-среда (10) выполняется автоматиче-ски при достаточно больших линейных масштабах внешней сре-ды (см. параграф 4.1), поэтому расчет амплитуды трансляцион-ной (первой) моды, как и для более высоких мод, следует произ-водить на основе системы гидродинамических и электростатических условий на границе раздела фаз.

3. При решении поставленной задачи (1) – (12) в квадратич-ном по амплитуде осцилляций приближении использовался из-вестный метод многих масштабов [53 – 54]. Для этого искомые функции ),( tθξ , ),( tr

ψ , ),( trϕ , ),( tr

Φ представлялись в виде рядов по степеням малого параметра ε и рядов по полиномам Лежандра и считались зависящими не просто от времени t, а от разных его масштабов Tm, определенных через Tm= εm t:

;...),,,(),(0

10)(

∞

=θξ⋅ε=θξ

m

mm TTt

;...),,,,(),(0

10)(

∞

=θψ⋅ε=ψ

m

mm TTrtr

;...),,,,(),(0

10)(

∞

=θϕ⋅ε=ϕ

m

mm TTrtr

....),,,,(),(0

10)(

∞

=θΦ⋅ε=Φ

m

mm TTrtr

(14)

Производные по времени будем вычислять, имея в виду пол-ный набор различных его масштабов, по правилу:


156

).( 3

2

2

10

ε+∂∂ε+

∂∂ε+

∂∂=

∂∂

OTTTt

Подставляя разложения (14) в краевую задачу (1) – (10) и приравнивая в каждом из уравнений слагаемые одного порядка малости, несложно получить набор краевых задач для последова-тельного определения неизвестных функций

,,,, )()()()( mmmm Φψϕξ где m = 0, 1, 2,.... 4. Постановка задачи (1) – (10) в нулевом порядке малости по

ε (при m = 0) сводится к следующему виду:

;0)0( =ΦΔ ;0)0( =ψΔ ;0)0( =ϕΔ

:0→r 0)0( →ψ ;

:∞→r ;0)0( →Φ ;0)0( U

→ϕ∇

:1=r ;0)0(

=∂ϕ∂

r ;

22

8

2)0(2)0(*

exin Pdr

dP +

θ∂

ϕ∂ρ−=−

Φπε+

.4

;2

0 0

)0(*)0()0( QddSin

dr

dS

=ϑθθΦπε−Φ=Φ

π π (15)

Из задачи (15) несложно получить решения нулевого поряд-ка, описывающие равновесное состояние системы:

;2

1...),,,(;0...),,,(

210)0(

10)0( θ

+≡θϕ≡θψ Cos

rrUTTTT (16)

....),,,(;...),,(;0...),,,(*

10)0(

*10

)0(10

)0(

r

QTT

QTTTT

S ε≡θΦ

ε≡Φ≡θξ

5. Каждая из функций )()()( ,, mmm Φψϕ в разложениях (14) при m ≥ 1 в силу линейности уравнений (1) – (3) будет им удовле-творять. Потому представим решения системы (1) – (3) в виде

);(...),,(...),,,,(0

10)(

10)( θ=θψ

∞

=CosPrTTETTr n

n

n

mn

m


157

;)(...),,(...),,,,(0

110

)(10

)( ∞

=

−− θ=θϕn

nnm

nm CosPrTTGTTr

.)(...),,(...),,,,(0

110

)(10

)( ∞

=

−− θ=θΦn

nnm

nm CosPrTTFTTr (17)

В виде рядов по полиномам Лежандра будем искать и после-довательные поправки ξ(m) к выражению, определяющему форму поверхности капли:

.)(...),,(...),,,(0

10)(

10)(

∞

=θ=θξ

nn

mn

m CosPTTMTT (18)

В первом порядке малости по ε для определения коэффици-ентов )1(

nG , )1(nE , )1(

nF , )1(nM в решениях (17), (18) (при m=1) сис-

тема граничных условий (4) – (12) с учетом (13) преобразуются к виду

:1=r ;)1(

0

)1(

rT ∂ψ∂=

∂ξ∂

;)1()0(

2

)0(2)1(

)1()1(

θ∂ξ∂

θ∂ϕ∂−

∂ϕ∂ξ+

∂ϕ∂=

∂ψ∂

rrr

( ) =ξΔ++

Φξ+∂Φ∂Φ

πε+

∂ψ∂− Ω

)1(2

)0(2)1(

)1()0(*

0

)1(

24 dr

d

rdr

d

T

;)1()0(2)0(

)1(

0

)1(

θ∂ϕ∂

θ∂ϕ∂−

θ∂

ϕ∂ξ+∂ϕ∂−ρ=T

;)1()1()0(

)1(Srd

d Φ=ξΦ+Φ

;020

)1()0(

2

)0(2)1(

=θθ

ξ

Φ+Φ+∂Φ∂

π

dSinrd

d

rd

d

r

t=0: )()1( θ=ξ CosPk ; ;00

)1(

=∂ξ∂T


158

;00

)1( =θθξπ

dSin (19)

Здесь ΩΔ – угловая часть оператора Лапласа. Как уже гово-рилось ранее, условие для неподвижности центра масс выполня-ется автоматически, и поэтому здесь и далее оно не приводится.

Подставляя разложения (17), (18) (при m = 1), а также реше-ния нулевого порядка малости (16) в систему граничных условий (19), можно получить бесконечную систему дифференциальных уравнения для нахождения неизвестных коэффициентов

,...),( 10)1( TTGn , ,...),( 10

)1( TTEn , ,...),( 10)1( TTFn , ,...),( 10

)1( TTM n :

;0,...),(;0,...),( 10)1(

110)1(

0 ≡≡ TTMTTM

+∂

∂+∂

∂+ −

− 20

10)1(2

0

10)1(1)1(

10)1(2

)1( ,...),(,...),(,...),(

T

TTM

T

TTMBTTMA nn

nnn

0,...),(,...),(

,...),( 10)1(2

)1(

0

10)1(1)1(

10)1(2 =+

∂∂

+ω+ ++ TTMD

T

TTMCTTM nn

nnnn ;

;2≥n

;,...),(1

,...),(0

10)1(

10)1(

T

TTM

nTTE n

n ∂∂=

+∂

∂+

−=0

10)1(

10)1( ,...),(

1

1,...),(

T

TTM

nTTG n

n

;,...),()32(

,...),()12(3

210

)1(110

)1(1

+

−−

+ +− TTMn

nTTM

n

nU nn

;0,...);,(,...),( 10)1(

*10

)1( ≡Φε

= (1)Snn TTM

QTTF

)12)(32(

)2)(1()(

4

9 22)1(

−−−−ρχ=

nn

nnnnUAn ; )(

2

3)1( nnUBn χρ= ;


159

++−+−+ρ−−+−χ=ω

)32)(12)(12(

)3)1)(12((

2

9)2)(1()(

2222

nnn

nnnUWnnnnn ;

)52)(32(

)2)(1()(

4

9;

32

)12()(

2

3 22)1()1(

++++ρχ=

++ρχ=

nn

nnnnUD

n

nnnUC nn ;

1

11)(

−

+ρ+=χ

n

nn ;

*

2

4πε= Q

W . (20)

Система (20) позволяет определить зависимость коэффици-ентов разложений только от временного масштаба T0. Их зависи-мости от других временных масштабов определяются в следую-щих порядках малости.

Несложно видеть, что при U=0, т.е. в случае неподвижной среды, линейное взаимодействие мод, определяемое (20), исчеза-ет. Система связанных дифференциальных уравнений (20) распа-дается на совокупность несвязанных дифференциальных уравне-ний второго порядка с постоянными коэффициентами, опреде-ляющих гармонические осцилляции отдельных мод. Таким образом, причиной появления линейного по малому параметру взаимодействия мод является наличие движения внешней среды. При этом согласно (20) n-я мода взаимодействует с четырьмя ближайшими: с (n-2)-й, (n-1)-й, (n+1)-й, (n+2)-й. Ранее взаимо-действие мод в линейном приближении по малому параметру было обнаружено в случае плоской границы раздела несмеши-вающихся между собой идеальных несжимаемых сред, одна из которых поступательно движется параллельно границе раздела [120], т.е. в ситуации, когда граница раздела способна претерпе-вать неустойчивость Кельвина-Гельмгольца. В [113 – 115] было показано, что в случае обтекания капли потоком идеальной жид-кости поверхность капли вовлекается в колебательное движение, характерное для этой неустойчивости.

Отметим также еще один эффект взаимодействия капли с об-текающим ее потоком идеальной жидкости, обнаруживаемый в линейном приближении: согласно сказанному выше капля сплю-щивается вдоль потока в сфероид с эксцентриситетом, зависящим от скорости потока и величины заряда капли. Возможные осцил-ляции капли будут происходить в окрестности равновесной сфе-


160

роидальной формы. Однако степень сфероидальности при разум-ных скоростях (пока течение обтекающей каплю среды можно считать ламинарным) как правило, весьма мала. Согласно [117] амплитуда обсуждаемой сфероидальной деформации

( )σρ= 163 22

)1(2 RUM мала, и, например, при расчетах обтекания

капли с R=100 μm потоком воздуха, когда 2ρ ≈0.001 cmg / , при любых разумных скоростях потока (пока ( ) 20Re ≤ν⋅= UR , где ν – кинематическая вязкость среды) ею можно пренебрегать в расчетах второго порядка малости.

Чтобы завершить рассмотрение задачи в линейном по ε при-ближении, величины ),( 10

)1( TTM n можно положить независящими от временного масштаба T1, т.е. представить в виде

)()(),( 10)1(

10)1( TOTMTTM nn +≈ . При этом для возмущения по-

верхности получается оценка:

( ) )(,),( )1( tOtt ε⋅ε+θξ⋅ε=θξ . (21)

Это разложение равномерно пригодно при )( 1−ε≤ Ot . Для

значений )( 1−ε≥ Ot данное разложение становится непригодным. Таким образом, выражение (20) справедливо на временном ин-тервале )1(Ot ≤ , в этом случае ошибка составляет величину ~ ε2. Однако при исследовании тенденций движения поверхности ис-пользовать (20) можно и на временных интервалах )( 1−ε≥ Ot при выполнения условия сравнимости решения первого порядка с ве-личиной начальной деформации

6. Для определения поправок второго порядка малости, т.е. для отыскания функций ,...),( 10

)2( TTGn , ,...),( 10)2( TTEn ,

,...),( 10)2( TTFn , ,...),( 10

)2( TTM n , выпишем систему граничных усло-вий (4)-(12), сохраняя в (13) слагаемые второго порядка малости по ε , получим уравнения:

:1r = ;rrTT

)1()1(

2

)1(2)1(

)2(

1

)1(

0

)2(

θψ

θξψξψξξ

∂∂

∂∂−

∂∂+

∂∂=

∂∂+

∂∂

+∂

∂∂

∂−∂

∂+∂

∂=∂

∂∂

∂−∂

∂+∂

∂θ

ϕθ

ξϕξϕθ

ψθξψξψ )1()1(

2

)1(2)1(

)2()1()1(

2

)1(2)1(

)2(

rrrr


161

( ) ;2r2

1

r

)0()1()1(

)0()2(

3

)0(32)1(

2

)0(2)2(

θϕ

θξξ

θϕ

θξϕξϕξ

∂∂

∂∂+

∂∂

∂∂−

∂∂+

∂∂+

+

∂∂+

∂∂−

∂∂∂−

∂∂−

∂∂−

2)1(2)1(

0

)1(2)1(

1

)1(

0

)2(

r2

1

TrTT θψψψξψψ

+∂

∂∂

∂

+

∂

∂+

∂

∂+∂

∂∂

∂+2

)0(2)0()2(

2)1(2)1()2()0(*

rr2

rrr2

8

ΦΦξθ

ΦΦΦΦπε

( )(0) 2 (1) 2 (0) (1) (0) 3 (0)2(1) (1)

2 2 32

r r rr r r

∂Φ ∂ Φ ∂ Φ ∂Φ ∂Φ ∂ Φ+ ξ + + ξ + ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂

22 (0)

2r

∂ Φ + + ∂ ( ) ( )(2) (1) (1)2 2 1Ω Ω + Δ ξ − ξ + Δ ξ =

−

∂∂+

∂∂−

∂∂∂−

∂∂−

∂∂−=

2)1(2)1(

0

)1(2)1(

1

)1(

0

)2(

r2

1

TrTT θϕϕϕξϕϕρ

( ) −

∂∂+

∂∂

∂∂−

∂∂−

2)0()2(

)1(

2

)0(2)1(

2

2

)0(22)1(

rrr2

1

θϕξϕϕξϕξ

( ) +∂∂

∂∂−

∂∂∂

∂∂+

∂∂−

θϕ

θϕ

θϕ

θϕ

θϕξ

)2()0(

2

)0(3)0(2)0(2)1(

r3

2

1

;r

2)1(2)0()1()0(

)1(

∂∂

∂∂∂−

∂∂

∂∂+

θϕ

θϕ

θϕ

θϕξ

( ) ;rd

d

2

1

rrd

d )2(2

)0(22)1(

)1()1(

)0()2()2(

SΦΦξΦξΦξΦ =+

∂∂++

+

++

∂

∂+∂

∂+

∂

∂π ΦΦξΦΦξΦ

0

)0(

2

)0(2)2(

)1(

2

)1(2)1(

)2(

rd

d2

rd

d

r2

rr


162

( ) ;0dSinrdrd

d

rd

d2

rd

d

2

1 )1()1()0(

2

)0(2

3

)0(32)1( =

∂∂

∂−

+++ θθξ

θΦΦΦΦξ

t=0: ;)1k2(

1)2(

0 +−=ξ ;0

TT 1

)1(

0

)2(

=∂∂+

∂∂ ξξ

( ) ;0dSin0

2)1()2( =

+

πθθξξ (22)

Подставляя разложения (17), (18) (при m=2), а также решения (16) и (20) в систему граничных условий (22), можно получить систему дифференциальных уравнений для нахождения неизвестных коэффициентов ,...),( 10

)2( TTGn , ,...),( 10)2( TTEn ,

,...),( 10)2( TTFn , ,...),( 10

)2( TTM n . Исключая из получившегося реше-

ния слагаемые пропорциональные 1

10)1( ,...),(

T

TTM m

∂∂

, которые при-

водят к появлению секулярных членов, получим, что амплитуды разложения )1(

mM не зависят от временных масштабов T1. Таким образом, в дальнейшем будем полагать, что амплитуды разложе-ния )1(

mM зависят только от временных масштабов T0 или

)()(,...),( 20)1(

10)1( TOTMTTM mm +≈ . На основе вышесказанного сис-

тема дифференциальных уравнений для отыскания коэффициен-тов )2(

nG , )2(nE , )2(

nF , )2(nM сведется к следующему виду:

( ) ;)(12

1,...),(

2

2

0)1(

010)2(

0 ∞

= +=

n

TMn

TTM

+∂

∂+∂

∂+ −

− 20

10)2(2

0

10)2(1)2(

10)2(2

)2( ,...),(,...),(,...),(

T

TTM

T

TTMBTTMA nn

nnn

(2)2 (2) (2) 1 0 1

0 10

( , ,...)( , ,...) n

n n n

M T TM T T C

T+∂+ω + +∂

);()(,...),( 010)2(2

)2( TfnTTMD nnn χ=+ + ;1≥n


163

−

∂∂=

0

10)2(

10)2( ,...),(1

,...),(T

TTM

nTTE n

n

∂∂

α−−−

∞

=

∞

=)(

)()1( 0

)1(

0

0)1(

2 2

,,,, TM

T

TM

mKm l

m

m l

nlmnlm ;

−+

−−

= +− ,...),()32(2

3,...),(

)12(2

3,...),( 10

)2(110

)2(110

)2( TTUMn

nTTUM

n

nTTG nnn

×

++

α−

++−

∂∂

+−

∞

=

∞

=2 2

,,,,

0

10)2(

)1)(1(1

2,...),(

1

1

m l

nlmnlm

n

mnK

n

m

T

TTM

n

+

++

−−+∂

∂× − nlmlmlm K

mn

mmTMTUMTM

T

TM,,1

2

0)1(

0)1(

0)1(

0

0)1(

)12)(1(

)1()()(

2

3)(

)(

;)1m2)(1n(

)1m(

)1m2)(1n(

)1m(K

)1m2)(1n(

)2m()1m( n,l,1mn,l,1mn,l,1m

2

++

−+

+++

−+++++ −+

+αα

( ) ;)()(,...),(,...),(2 2

0)1(

0)1(

,,10)2(

*10

)1(

+ε

= ∞

=

∞

=m llmnlmnn TMTMmKTTM

QTTF

;0≡Φ(2)S ;;;; )1()2()1()2()1()2()1()2(

nnnnnnnn DDCCBBAA ≡≡≡≡

[ ]( ∞

=

∞

=+−+=

2 2,,0

)1(0

)1(0 1)1(2)()()(

m lnlmlmn llnKTMTMTf

[ ] +

+−−+ρ+++−−++

)32)(12(

)799(3)722()1(

2

22

mm

mmnUnmmml

nW

[ −−+−

−ρ+α+ −− 1,,122

,, )1()12)(12(4

)1(9

2 nlmnlm Kmmmn

nnU

nW

]−α++α−−++− −+−−−+ 1,,11,,11,,12 )1()1()2()1( nlmnlmnlm mmKmm

[ −−−++++

+ρ+ +−++ 1,,12

1,,122 )1()2()1(

)12)(32(4

)1(9nlmnlm KmmKmm

mn

nnU


164

] +

+−

+ρ−α−+α+− −+−++ nlmnlmnlm K

m

mm

m

nUmm ,,2

21,,11,,1 12

)1(

)12(8

9)1()1(

−

−++ρ+

++++ −

+ 12

)()(

)12(4

)1(9

32

)2)(1( 0)1(

0)1(

12,,2 m

TMTM

m

mmnUK

m

mm lmnlm

[ ]++−+−

+− −+

+nlmnlm

lm KmmKmmm

TMTM,,1,,1

0)1(

0)1(

1 )5()2)(1(32

)()(

[ ] ×

+−

−α+++ρ+ +−

32

)(

12

)()1)(1(

8

9 0)1(

10)1(

1,,,,

2

m

TMm

m

TMmKlmnU mm

nlmnlm

[ ]×α+++ρ+

+−

−× +−

nlmnlmll KlmnUl

TMl

l

TMl,,,,

0)1(10

)1(1 )1)(1(

4

3

32

)(

12

)(

+

∂∂

−−

∂∂

++× −+

0

0)1(

0)1(

1

0

0)1(

0)1(

1 )(

12

)()(

32

)(

1 T

TM

m

TM

T

TM

m

TM

l

m lmlm

+

−∂∂−

−

+∂∂

++ −+

12

)()(

32

)()(

10

)1(1

0

0)1(

0)1(1

0

0)1(

l

TM

T

TM

l

TM

T

TM

m

l lmlm

×

+

α−+−

+ρ−

α−−−+

1)1(

1)1( ,,

,,,,

,, mKnm

n

n

mKnm nlm

nlmnlm

nlm

+α+−

−−+

∂∂× nlmnlml

m

ml

lnK

nmTM

T

TM,,,,0

)1(

0

0)1(2

2

2

21)(

)(

+∂

∂∂

∂

++α++

+−−+

ρ+0

0)1(

0

0)1(

,,,,

)()(

)1)(1(

)32()32(

)1(2 T

TM

T

TM

lm

lnKmn

n

n lmnlmnlm

+

++++++

∂∂ρ+ − nlml

m Kmn

mmnmnmTM

T

TMnU ,,1

2

0)1(

0

0)1(

)12)(1(

)354()(

)(

2

3


165

−−+−+

+++−++++ −+ 1,,,,1

2

12

)2)(1(

)12)(1(

)2)(2(nlmnlm K

n

mnK

mn

mmnmnm

+−+

α−−

++α−

++++− −−

+ )12)(1(

)1(

)12)(1(

)1(

32

)2)(1( 1,,,,11,, nm

n

mn

mK

n

mn nlmnlmnlm

×++

ρ+

++

α+−

++α+

+ ++

)12)(1(2

3

)12)(1(

)1(

)32)(1(

)1( ,,11,,

mn

nU

mn

n

nm

n nlmnlm

[ +α+−−−++× +−+ nlmnlmnlm mKmmKmm ,,1,,12

,,12 )1()1()2()1(

] +∂

∂α−+ −

0

0)1(

0)1(

,,1)(

)()1(T

TMTMm l

mnlm

−∂∂

−+∂

∂+ρ+ −+

12

)()(

32

)()()1(

2

3 0)1(

0

0)1(

10)1(

0

0)1(

1,, m

TM

T

TM

m

TM

T

TMKmmnU lmlm

nlm ;

[ ] ;2000

lnln mm CK ≡ ;)1()1( 110ln

000lnln

−++−≡α mmm CCllmm (23)

Здесь 000

lnmC и 011ln

−mC – коэффициенты Клебша-Гордана.

Рассмотрение задачи в квадратичном по ε приближении по-зволяет определить зависимость коэффициентов ),( 10

)2( TTM n только от временного масштаба 0T . При этом можно записать,

что )()(),( 10)2(

10)2( TOTMTTM nn +≈ , и для возмущения поверхно-

сти получить следующую оценку:

( ) ( ) )(,,),( 3)2(2)1( tOttt ε+θξ⋅ε+θξ⋅ε=θξ . (24)

Выражение (24) справедливо на временном интервале )1(Ot ≤ с ошибкой ~ 3ε . На временном интервале )()1( 1−ε≤≤ OtO

величина погрешности становится сравнимой со вторым слагае-мым (с поправкой второго порядка малости), и, следовательно, в разложении (23) справедливым останется лишь первый член, со-ответствующий линейному приближению. Таким образом, при-


166

ближенное решение линейной задачи (20) применимо (равномер-но пригодно) на временном интервале )( 1−ε≤Ot .

7. Численное решение системы дифференциальных уравне-ний (19) в одном из существующих пакетов аналитических сим-вольных вычислений относительно )()( 0

)1()1( TMtM nn ≡ (при огра-ничении количества вовлеченных в расчет мод первыми пятью: n=2;3;4;5;6), показывает, что при малых в смысле устойчивости капли по отношению к собственному заряду величинах скорости внешней среды U заметный вклад в спектр капиллярных колеба-ний капли вносит только изначально возбужденная мода (n=k) и (при k≠2) основная мода, которая для капли в потоке возбуждает-ся автоматически за счет взаимодействия с потоком (в результате перераспределения гидродинамического давления по поверхно-сти капли [117]). Отметим, что критические для реализации неус-тойчивости капли значения скорости определяются условием

022 =ω :

,0 nnn

nnnUWnnn =

++−+−+ρ−−+−

)32)(12)(12(

)3)1)(12((

2

9)2)(1(

222 при n = 2

(24) Вклад остальных мод (n≠k), определяющийся линейным

межмодовым взаимодействием согласно (20), мал. При этом по-верхность капли совершает близкие к гармоническим колебания, соответствующие суперпозиции k-й (изначально возбужденной) моды и основной моды, в окрестности равновесной формы. Если скорость внешней среды близка к критической, при которой кап-ля становится неустойчивой ( 02

2 <ω ), вклад в формирование формы осциллирующей капли остальных мод, возбуждающихся за счет линейного взаимодействия, становится более заметным. При этом моды, более близкие по номеру (по n) к изначально возбужденной k-й, имеют большую величину амплитуды колеба-ний, которая с ростом n убывает.

Отметим, что в использованных безразмерных переменных скорость обезразмеривается на ( ))( 1ρ⋅σ R , т.е. безразмерной скорости U=1 соответствует размерная скорость ( ))1(R U ρ⋅σ= . Так, при U=1 для капли воды с радиусом R=100 μm, обдуваемой


167

потоком воздуха, размерная скорость потока будет scm /84≈ . Число Рейнольдса ( )ν⋅= RURe для такой капли ≈ 5, а течение воздуха в окрестности капли будет ламинарным.

Согласно численным расчетам с ростом скорости среды рас-тут и величины амплитуд колебаний мод, возбуждающихся за счет линейного взаимодействия. Так, при малых значениях ско-рости величины амплитуд изначально невозбужденных мод ока-зываются на несколько более порядков меньше амплитуды изна-чально возбужденной моды. Незначительное увеличение скоро-сти приводит к также незначительному росту амплитуд изначально невозбужденных мод. И только при приближении U к критическим значениям по отношению к распаду капли амплиту-ды изначально невозбужденных мод становятся сравнимы с ам-плитудой изначально возбужденной моды. Причем, как уже го-ворилось ранее, моды, более близкие по номеру (по n) к изна-чально возбужденной k-й, имеют большую величину амплитуды колебаний, которая с ростом n убывает.

При достижении критического значения скорости U для реа-лизации неустойчивости капли, определяемого выражением (24), становится неустойчивой не только вторая мода, но и при изна-чально неустойчивой второй моде за счет межмодового взаимо-действия становятся неустойчивыми и несколько ближайших мод, связанных с ней согласно (19) линейным взаимодействием, хотя при принятых в расчетах значениях U, W, ρ эти моды долж-ны сохранять устойчивость в смысле линейной теории т.к. для них 02

2 >ω ≠n . Следует отметить, что при этом величина скорости лишь немного превышает критическое значение, при котором ка-пля становится неустойчивой. Интересно, что при дальнейшем росте скорости потока величина инкремента неустойчивости третьей моды будет превышать величину инкремента основной и основную роль в реализации неустойчивости начинает играть третья мода [113]. Результаты расчета амплитудных коэффициен-тов мод, возбуждающихся за счет линейного взаимодействия, ко-гда начальная деформация определена третьей модой, показыва-ют, что амплитуда основной моды, определяющейся в описанной ситуации и действием гидродинамического давления, и взаимо-действием с изначально возбужденной третьей модой, может


168

быть сравнима с амплитудой изначально возбужденной моды и даже превышать ее. При приближении скорости U к критическо-му значению, при котором капля становится неустойчивой, воз-буждается основная (вторая) мода. А при дальнейшем увеличе-нии скорости инкремент неустойчивость третьей моды превыша-ет инкремент неустойчивости второй моды.

Из проведенного численного анализа получено также, что при прочих равных условиях и начальном возбуждении более высокой моды, чем основная, имеет место снижение скорости обдувающего потока, критического для реализации неустойчиво-сти основной моды значения. Так, расчеты показывают, что при начальном возбуждении третьей моды основная мода становится неустойчивой уже при U=4.1 (k=3, W=1, ρ=0.1,). Иначе говоря, наличие межмодового взаимодействия приводит к снижению ве-личин параметров U, W, ρ, при которых капля становится неус-тойчивой.

Рост плотности внешней среды ρ приводит к снижению ско-рости внешней среды U, при которой капля становится неустой-чивой. При этом в целом, кроме увеличения периода колебаний, картина развития неустойчивости мало меняется.

Численное решение систем дифференциальных уравнений (20) и (23) относительно )( 0

)2( TM n – амплитуд мод, возбуждаю-щихся во втором порядке приближений за счет нелинейного взаимодействия (для мод от нулевой до шестой), показывает, что при малых величинах скорости внешней среды U, аналогично тому, как это было в линейном приближении, наибольшую ам-плитуду имеют моды, которые возбуждались бы в отсутствии движения внешней среды [98, 115, 121], т.е. моды с номерами n=2j, где j=0,1,…,k. Движение внешней среды приводит к возбу-ждению во втором порядке малости дополнительных мод, появ-ление которых связано с наличием в спектре первого порядка ма-лости мод, отличных от изначально возбужденной, появившихся только за счет линейного взаимодействия. Амплитуды таких до-полнительно возбужденных мод весьма малы, и их вклад в фор-мирование рельефа осциллирующей капли весьма незначителен.

При неподвижной внешней среде при изначально возбуж-денной основной моде (k=2) во втором порядке малости возбуди-лись бы только нулевая, вторая и четвертая моды, а при изна-


169

чально возбужденной третьей моде (k=3) во втором порядке ма-лости возбудились бы только нулевая, вторая, четвертая и шестая моды. Наличие же движения внешней среды привело к дополни-тельному возбуждению первой, третьей, пятой, шестой мод при изначально возбужденной второй моде и первой, третьей, пятой мод при изначально возбужденной третьей моде, хотя при малых значениях скорости величины амплитуд этих мод весьма малы. С ростом скорости растут и амплитуды мало возбужденных мод, тем не менее что амплитуды мод, возбуждающихся при отсутст-вии внешней среды, остаются максимальными, пока значение скорости внешней среды не приблизится к критическому, при ко-тором капля дробится на дочерние под действием аэродинамиче-ских сил.

Вместе с модами, неустойчивость которых реализуется в ли-нейном приближении, становятся неустойчивыми и моды, возбу-ждающиеся во втором порядке малости, причем сама неустойчи-вость мод более высоких, чем основная, имеет колебательный ха-рактер. Интересно, что при 3≥n амплитуды одинаковых мод в первом и втором приближении имеют противоположные знаки.

8. Наличие диэлектрической среды, которая может быть мо-делирована идеальной несжимаемой жидкостью, обтекающей за-ряженную идеально проводящую каплю, приводит к появлению взаимодействия мод как в первом, так и во втором порядках ма-лости, следствием чего является возбуждение мод, отсутствую-щих в спектре мод, определяющих начальную деформацию кап-ли. С увеличением скорости потока растут и амплитуды колеба-ний изначально невозмущенных мод. Наличие относительного движения капли и среды, а также взаимодействия мод приводит к снижению критических для реализации неустойчивости капли величин собственного заряда, скорости и плотности внешней среды.


170

5.2. О раскачке в нелинейных вторичных комбинационных резонансах осцилляций

основной моды движущейся относительно среды заряженной капли

1. С заряженными каплями, движущимися относительно сре-ды, приходится сталкиваться в многочисленных академических, технических и технологических приложениях: например, кучевые облака, являющиеся источниками гроз, представляют собой мно-жество заряженных капель воды в восходящих потоках воздуха и не падают на землю только благодаря силе гидродинамического сопротивления. Исследование электростатической устойчивости поверхности заряженной капли в такой системе представляет ин-терес, как выше уже отмечалось, и в связи с исследованием фи-зического механизма инициирования разряда молнии. В соответ-ствии с существующими представлениями зарождение разряда линейной молнии связано с зажиганием во внутриоблачном элек-трическом поле коронного разряда в окрестности крупной капли или обводненной градины, свободно падающей в грозовом обла-ке (см., например, [77, 86 – 87, 122], где анализируются критиче-ские условия зажигания коронного разряда в окрестности вершин нелинейно-осциллирующих облачных капель). Однако макси-мальные величины измеряемых в грозовых облаках собственных зарядов капель и электрических полей [88] много меньше необ-ходимых для реализации неустойчивости поверхности капли по отношению к собственному и индуцированному зарядам [115, 117] и лишь при больших амплитудах сфероидальных осцилля-ций могут привести к зажиганию коронного разряда у вершин капли [87, 77, 122 – 123].

Мало впечатляющие (несмотря на многочисленные попытки) успехи исследования физического механизма зажигания разряда молнии, инициированного коронным разрядом в окрестности кап-ли, вероятнее всего указывают на то, что при исследовании устой-чивости по отношению к поверхностному заряду движущейся от-носительно среды капли упускается некий важный фактор. Таким упущенным фактором может быть взаимодействие поверхности капли с обдувающим ее потоком, который при реально фиксируе-мых скоростях движения капель (пока скорости движения капель


171

много меньше скорости звука в среде) также можно моделировать несжимаемой жидкостью. В модели идеальных жидкостей на гра-нице раздела сред будет иметь место тангенциальный скачок поля скоростей, который приведет к реализации колебательной неус-тойчивости границы раздела сред, именуемой для плоской грани-цы раздела несмешивающихся несжимаемых жидкостей неустой-чивостью Кельвина-Гельмгольца [124 – 125]. Реализация неустой-чивости Кельвина-Гельмгольца приведет к качественному изменению физической картины проявления неустойчивости гра-ницы раздела сред и, в частности, к снижению критических усло-вий реализации неустойчивости капли и по отношению к поверх-ностному заряду [115, 117]. В связи со сказанным и сформулиро-вано настоящее исследование особенностей нелинейного резо-нансного перераспределения энергии начальной деформации между модами нелинейно-осциллирующей капли в ламинарно об-текающем ее потоке газа и анализа критических условий реализа-ции неустойчивости границы раздела сред в такой системе.

Следует отметить, что нелинейные осцилляции заряженной капли в обдувающем ее потоке внешней среды ранее исследова-лись [116], но, ввиду громоздкости полученных результатов, они анализировались численно и до анализа закономерностей резо-нансного обмена энергией между модами дело не дошло. Вырож-денные нелинейные резонансы в обсуждаемой системе были про-анализированы в [126], где было выяснено, что в подобных резо-нансах энергия перекачивается только от низких мод к высоким. Перекачка энергии из высоких мод в низкие характерна для мно-гомодовых комбинационных резонансов [73, 76]. Однако для за-ряженной капли в окружающей ее идеальной диэлектрической несжимаемой среде наинизшая мода, которую можно было воз-будить в трехмодовых вторичных комбинационных резонансах, оказалась лишь третьей [98, 108]. Возможность резонансной рас-качки основной моды, представляющая основной интерес для по-строения механизма инициирования разряда молнии [77, 86 – 87, 122], была обнаружена при исследовании нелинейных четырех-модовых комбинационных резонансов [76]. Но сам обнаружен-ный в [76] в расчетах третьего порядка малости по амплитуде на-чальной деформации эффект для основной моды осцилляций ока-зался весьма слабым и не мог объяснить результатов натурных


172

наблюдений [28, 127], где были зафиксированы сфероидальные осцилляции падающих в атмосфере капель с амплитудой, пре-вышающей половину радиуса капли.

2. Пусть идеальная несжимаемая диэлектрическая среда с плотностью ρ2 и диэлектрической проницаемостью ε∗, занимаю-щая бесконечный объем, движется с постоянной скоростью 0U

относительно неподвижной капли радиуса R идеальной несжи-маемой идеально проводящей жидкости с плотностью ρ1. Коэф-фициент поверхностного натяжения границы раздела сред обо-значим σ, а полный заряд капли Q. Примем, что в начальный мо-мент времени t=0 равновесная сферическая форма капли претерпела виртуальную осесимметричную деформацию конеч-ной амплитуды, много меньшей, однако, радиуса капли. Поле скоростей течения жидкости в капле в начальный момент време-ни положим тождественно равным нулю и станем исследовать нелинейные осцилляции капли при t > 0.

Для упрощения нижеследующих расчетов сразу введем без-размерные переменные, в которых R = σ=ρ1 =1. Тогда в сфериче-ской системе координат ϑθ,,r с началом в центре масс капли уравнение границы раздела сред, возмущенной осесимметрич-ным капиллярным волновым движением, запишется в виде

1 ( , ), 1.r t= + ξ θ ξ << Движения жидкости в капле и среде будем

полагать потенциальными, т.е. примем, что поля скоростей вол-нового движения жидкости имеют вид в капле ),( trV

ψ∇= , в

среде ),( trU

ϕ∇= . Математическая формулировка задачи расчета нелинейных

осцилляций границы раздела сред в описанной системе состоит из уравнений Лапласа для потенциалов скоростей ),( tr

ψ и ),( tr

ϕ и электростатического потенциала ),( trΦ :

;0),( =ΦΔ tr

;0),( =ψΔ tr

;0),( =ϕΔ tr

и граничных условий к ним:

:0→r 0),( →ψ tr

;

:∞→r ;0),( →Φ tr

;),( 0Utr →ϕ∇


173

:1 ξ+=r ;12 θ∂

ξ∂θ∂ψ∂−

∂ψ∂=

∂ξ∂

rrt ;

1122 θ∂

ξ∂θ∂ϕ∂−

∂ϕ∂=

θ∂ξ∂

θ∂ψ∂−

∂ψ∂

rrrr

( ) ( ) ;22

1 22exEin P

tPPP

t+ϕ∇ρ−

∂ϕ∂ρ−=−++ψ∇−

∂ψ∂− σ

;8

)( 2*

πΦ∇ε=EP ;ndivP

=σ ).(),( ttr SΦ=Φ

=Φ∇⋅πε−

S

QdSn ;)(4

*

π≤ϑ≤π≤θ≤θξ+=

=;20

;0

);,(1 tr

S

π=ϑθθ1

;3

4sin2

V

dddrr


θξ+≤≤=

;20

;0

);,(10

1

tr

V

t=0: Ξ∈

με+μξ=θξi

ii PhPt );()(),( 00

Ξ∈

=i

ih ;1 0),( =

∂θξ∂t

t;

( ) ( )2

2 30 2 1

i

i

hO

i∈Ξξ ≈ −ε + ε

+ . (1)

Здесь ε – амплитуда начальной деформации, являющаяся малым параметром задачи; Pi(μ) – полином Лежандра i-го поряд-ка; θ≡μ cos ; Pin и Pex – давления в капле и среде соответственно; PE – давление электрического поля собственного заряда капли на границу раздела сред; Pσ – лапласовское давление; n

– единич-

ный вектор положительной нормали к поверхности капли; ΦS(t) – постоянный вдоль поверхности капли электростатический потен-циал; ρ≡ρ2/ρ1; ih – коэффициенты, определяющие парциальный вклад i-й колебательной моды в суммарное начальное возмуще-


174

ние; Ξ – множество значений номеров изначально возбужденных колебательных мод, определяющих форму начальной деформа-ции капли; 0ξ – константа, определяемая из условия постоянства объема капли в начальный момент времени. Гидродинамические скорости считаем на много порядков меньшими скорости распро-странения электромагнитного сигнала в вакууме, в связи с чем уравнения Максвелла для расчета электрического поля в окрест-ности нелинейно-осциллирующей капли сводятся к уравнениям электростатики.

Кроме приведенных граничных и начальных условий, следу-ет учесть также условие неподвижности центра масс системы, которое, согласно разделу 4.1, при достаточно больших харак-терных линейных масштабах внешней среды выполняется авто-матически, а расчет амплитуды трансляционной (первой) моды, как и более высоких мод, следует производить на основе системы граничных гидродинамических условий на границе раздела.

3. Решение сформулированной задачи в квадратичном по ма-лому параметру ε приближении будем проводить асимптотиче-ским методом многих масштабов, когда искомые функции

),( trψ , ),( tr

ϕ , ),( trΦ , а также функция образующей формы ка-

пли в любой момент времени ),( tθξ считаются зависящими не от

обычного времени t, но от разных его масштабов Tm= tm ⋅ε в со-ответствии с наличием в колебательной системе быстро и мед-ленно протекающих процессов. Аналитические асимптотические выражения для ),( tθξ , ),( tr

ψ , ),( trϕ , ),( tr

Φ будем искать в ви-де асимптотических разложений по степеням малого параметра ε и рядов по полиномам Лежандра:

( )0 1

1

( , ) ( , , , ...)m m

m

t T T∞

=ξ θ = ε ⋅ξ θ ;

( )0 1

1

( , ) ( , , , , ...)m m

m

r t r T T∞

=ψ = ε ⋅ψ θ

;

( )0 1

0

( , ) ( , , , , ...)m m

m

r t r T T∞

=ϕ = ε ⋅ϕ θ

;


175

∞

=θΦ⋅ε=Φ

010

)( ...),,,,(),(m

mm TTrtr

, (2)

где ( ) ( )0 1 0 1

0

( , , , ...) ( , , ...) ( )m mn n

n

T T M T T P∞

=ξ θ = ⋅ μ ;

( ) ( )0 1 0 1

0

( , , , , ...) ( , , ...) ( )m m nn n

n

r T T E T T r P∞

=ψ θ = ⋅ ⋅ μ ;

( ) ( ) 10 1 0 1

0

( , , , , ...) ( , , ...) ( )m m nn n

n

r T T G T T r P∞

− −

=ϕ θ = ⋅ ⋅ μ ;

( ) ( ) 10 1 0 1

0

( , , , , ...) ( , , ...) ( )m m nn n

n

r T T F T T r P∞

− −

=Φ θ = ⋅ ⋅ μ . (3)

Производные по времени t будем вычислять, имея в виду полный набор различных его масштабов, по правилу:

).( 2

10

ε+∂∂ε+

∂∂=

∂∂

OTTt

(4)

Подставляя разложения (2) – (4) в задачу (1) и приравнивая в каждом из уравнений слагаемые одного порядка малости, не-сложно получить набор краевых задач для последовательного оп-ределения (в нулевом, первом и втором порядках по ε) неизвест-ных коэффициентов разложений (2)-(3):

...),,(...),,,(...),,,(...),,,( 10)(

10)(

10)(

10)( TTFTTGTTETTM m

nm

nm

nm

n .

Нижеследующее изложение ввиду конечности объема статьи ограничим расчетом коэффициентов ),( 10

)( TTM mn , определяющих

форму нелинейно-осциллирующей капли как функцию времени. Остальные коэффициенты разложений (2) – (3) согласно [116] достаточно легко, но громоздко выражаются через ),( 10

)( TTM mn .

4. В первом порядке малости по ε для определения неиз-вестных коэффициентов ),( 10

)1( TTM n получается бесконечная система связанных дифференциальных уравнений:

;0,...),(;0,...),( 10)1(

110)1(

0 ≡≡ TTMTTM


176

:2≥n +⋅ − ,...),( 10)1(2 TTMA nn

+∂

∂+∂

∂+ −

20

10)1(2

0

10)1(1 ,...),(,...),(

T

TTM

T

TTMB nn

n +⋅ω ,...),( 10)1(2 TTM nn

0,...),(,...),(

10)1(2

0

10)1(1 =⋅+∂

∂+ +

+ TTMDT

TTMC nn

nn ; (5)

)12)(32(

)2)(1()(

4

9 2

−−−−χ⋅=

nn

nnnnWeAn ; )(

2

3nnWeBn χρ= ;

)52)(32(

)2)(1()(

4

9;

32

)12()(

2

3 2

++++χ⋅=

++χ⋅ρ=

nn

nnnnWeD

n

nnnWeC nn ;

++−+−+−−+−χ=ω

)32)(12)(12(2

)3)1)(12((9)2)(1()(

222

nnn

nnnWeWnnnnn ;

*

2

4πε= Q

W ; 1

11)(

−

+ρ+=χ

n

nn ; ;2

0UWe ⋅ρ≡ .0≡Φ(1)S

Несложно видеть, что при U0=0 система связанных диффе-ренциальных уравнений (5) распадается на совокупность несвя-занных дифференциальных уравнений второго порядка с посто-янными коэффициентами, определяющих гармонические осцил-ляции отдельных мод (как это и было получено ранее [83, 98] для ситуации осцилляций заряженной капли несжимаемой жидкости, покоящейся относительно несжимаемой диэлектрической среды). Таким образом, причиной появления линейного по малому пара-метру взаимодействия мод является наличие движения внешней среды. При этом согласно (5) n-я мода взаимодействует с че-тырьмя ближайшими: с (n-2)-й, (n-1)-й, (n+1)-й, (n+2)-й. Ранее взаимодействие мод в линейном приближении по малому пара-метру было обнаружено в случае плоской границы раздела не-смешивающихся между собой идеальных несжимаемых сред, од-на из которых поступательно движется параллельно границе раз-дела [124 – 125], т.е. в ситуации, когда граница раздела способна претерпевать неустойчивость Кельвина-Гельмгольца. В [115] бы-


177

ло показано, что в случае обтекания капли потоком идеальной жидкости поверхность капли вовлекается в колебательное дви-жение, характерное для этой неустойчивости.

Отметим также еще один эффект взаимодействия капли с об-текающим ее потоком идеальной жидкости, обнаруживаемый уже в линейном приближении: согласно [117, 119] капля сплю-щивается вдоль потока в сфероид с эксцентриситетом, зависящим от скорости потока и величины заряда капли. Возможные осцил-ляции капли должны происходить в окрестности равновесной сфероидальной формы. Однако степень сфероидальности при ра-зумных скоростях (пока течение обтекающей каплю среды мож-но считать ламинарным) как правило, невелика. Согласно [117] амплитуда обсуждаемой сфероидальной деформации

( )163)1(2 WeM ⋅= весьма мала, и, например, при расчетах обтека-

ния капли с R=100 μm потоком воздуха, когда 2ρ ≈0.001 3/ cmg , при скоростях потока U0≤ 100 cm/s ею можно пренебрегать при расчетах во втором порядке малости.

5. Для определения поправок второго порядка малости (для отыскания коэффициентов )2(

nM (T0) получим систему связанных неоднородных дифференциальных уравнений гармонического типа

( ) ;)(12

1)(

2

2

0)1(

0)2(

0 ∞

= +=

nn TM

nTM

+⋅ω+∂

∂+∂

∂+⋅ −

− )()()(

)( 0)2(2

20

0)2(2

0

0)2(1

0)2(2 TM

T

TM

T

TMBTMA nn

nnnnn

+∂

∂+ +

0

0)2(1 )(

T

TMC n

n );()()( 00)2(2 TfnTMD nnn ⋅χ=⋅ + 1≥n (6)

с нулевыми начальными условиями. Функции неоднородности )( 0Tfn определяются через коэффициенты )1(

nM , являющиеся решениями системы (5), и имеют вид

+⋅⋅= Ξ∈ Ξ∈m l

lmn TMTMGTf )()()( 0)1(

0)1(

10


178

+

+⋅

−

−⋅

⋅+ +−

32

)()(

12

)()( 0)1(

0)1(

10)1(

0)1(

12 m

TMTM

m

TMTMG lmlm

+

+−

−

+−

−⋅+ +−+−

32

)(

12

)(

32

)(

12

)( 0)1(10

)1(10

)1(10

)1(1

3 l

TMl

l

TMl

m

TMm

m

TMmG llmm

+

∂∂⋅

−−

∂∂⋅

++⋅+ −+

0

0)1(

0)1(

1

0

0)1(

0)1(

14

)(

12

)()(

32

)(

1 T

TM

m

TM

T

TM

m

TM

l

mG lmlm

+

−⋅

∂∂

−

+⋅

∂∂

++ −+

1l2

)T(M

T

)T(M

3l2

)T(M

T

)T(M

1m

l 0)1(

1l

0

0)1(

m0)1(

1l

0

0)1(

m

+∂∂⋅

∂∂+

∂∂⋅+

0

)1(

0

)1(

60)1(

20

0)1(2

5 )()(

T

M

T

MGTM

T

TMG lm

lm

+∂

∂⋅+

∂∂⋅+

0

0)1(

0)1(

80)1(

0

0)1(

7)(

)()()(

T

TMTMGTM

T

TMG l

mlm

−⋅

∂∂

−+

⋅∂

∂⋅+ −+

12

)()(

32

)()( 0)1(

0

0)1(

10)1(

0

0)1(

19 m

TM

T

TM

m

TM

T

TMG lmlm ; (7)

[ ]( +−+≡ 1)1(2,,1 llnKG nlm

[ ] +

+−−+⋅+++−−+⋅+

)32)(12(

)799(3)722()1(

2

2

mm

mmnWenmmml

nW

[ −−+−

−⋅+α⋅+ −− 1,,12

,, )1()12)(12(4

)1(9

2 nlmnlm Kmmmn

nnWe

nW

]−α++α−−++− −+−−−+ 1,,11,,11,,12 )1()1()2()1( nlmnlmnlm mmKmm

[ −−−++++

+⋅+ +−++ 1,,12

1,,12 )1()2()1(

)12)(32(4

)1(9nlmnlm KmmKmm

mn

nnWe


179

] +

+−

+⋅−α−+α+− −+−++ nlmnlmnlm K

m

mm

m

nWemm ,,21,,11,,1 12

)1(

)12(8

9)1()1(

++++ + nlmK

m

mm,,232

)2)(1(;

[ ]nlmnlm KmmKmmm

mmnWeG ,,1,,12 )5()2)(1(

)12(4

)1(9−+ +−+−

++⋅≡ ;

[ ]nlmnlmKlmnWeG ,,,,3 )1)(1(8

9 α+++⋅≡ ; 34

4

3

GG

U≡ ;

, , , ,5 , , , ,( 1) ( 1)

1 1m l n m l n

m l n m l n

nG m n K m n K

m n m

α α ρ≡ − − − − − + − + + ;

+−−+

ρ+α+

−−−

≡ nlmnlmnlm Kmn

n

n

ml

lnnmKG ,,

,,,,6 )32((

)1(22

)2(

2

)22(

))1)(1(

)32( ,,

++α++

+lm

ln nlm ;

+

++++++⋅ρ≡ − nlmK

mn

mmnmnmnWeG ,,1

2

7 )12)(1(

)354(

2

3

−−+−+

+++−++++ −+ 1,,,,1

2

12

)2)(1(

)12)(1(

)2)(2(nlmnlm K

n

mnK

mn

mmnmnm

+−+

α−−

++α−

++++− −−

+ )12)(1(

)1(

)12)(1(

)1(

32

)2)(1( 1,,,,11,, nm

n

mn

mK

n

mn nlmnlmnlm

++

α+−

++α+

+ ++

)12)(1(

)1(

)32)(1(

)1( ,,11,,

mn

n

nm

n nlmnlm ; ×++

⋅ρ≡)12)(1(2

38 mn

nWeG

[ −−−++× −+ nlmnlm KmmKmm ,,12

,,12 )1()2()1(

]nlmnlm mm ,,1,,1 )1()1( −+ α−+α+− ;


180

nlmKmnmWeG ,,9 )1(2

3 +⋅ρ≡ ; (8)

;)1()1( 011

000ln

nlm

nlmm CCllmm −⋅++−≡α [ ]20

00lnn

lmm CK ≡ .

0

00n

lmC и 011

nlmC − – коэффициенты Клебша-Гордана. Присутст-

вие коэффициентов Клебша-Гордана обеспечивает существова-ние лишь конечного количества отличных от тождественного ну-ля функций неоднородности )( 0Tfn . Так, при начальном возбуж-дении m-й моды будут отличны от нуля коэффициенты Клебша-Гордана (и функции неоднородности) с номерами от 0 до 2m+2.

6. Проводимое рассмотрение ориентировано в основном на исследование нелинейных осцилляций крупных капель воды в грозовых облаках. Примем для определенности, что радиус капли R=100 μm, тогда скорость ее свободного падения в облаке U0=72 cm/s, а число Рейнольда для нее Re=9.61 [128]. Это означает, что течение воздуха в окрестности капли будет ламинарным, т.е. ис-пользуемые при формулировке модели условия выполнены. Чис-ло Вебера для такой капли будет весьма малым: We ≈ 3107.0 −⋅ . Такой же порядок малости будет иметь и безразмерная плотность ρ, входящая в определение функций неоднородности (7) – (8). В системах (5) – (6) коэффициенты nnnn DCBA ,,, содержат сомно-жителями числа Вебера We и их комбинации с безразмерной плотностью ρ вида Weρ . В определения функций неоднородно-сти (7) и коэффициентов jG в различные слагаемые входят со-

множителями We, ρ и Weρ . Из сказанного о численных величи-

нах ρ и We ясно, что величины We, ρ и Weρ имеют один поря-док малости (причина такого положения дел в том, что безразмерная скорость капли U0 при принятых значениях физи-ческих величин имеет величину порядка единицы) и решения систем (5) – (6) можно искать в виде асимптотических разложе-ний по ним.

Безразмерный параметр Рэлея W, характеризующий устойчи-вость капли по отношению к собственному заряду, в рассматри-ваемой задаче может изменяться в пределах от 0 до 4. Согласно


181

[88] собственные заряды на каплях в грозовых облаках невелики, и для максимально наблюдаемых их значений величина парамет-ра Рэлея не превышает десятых долей единицы. Тем не менее в асимптотических расчетах с параметром W будем обходиться как с величиной нулевого порядка малости.

6а. Примем для определенности, что начальная деформация капли определена суперпозицией j-й и k-й мод, при этом j > k,

4≥− kj . Тогда в первом порядке малости по We, ρ и Weρ ре-

шения системы (5) с начальными условиями

T0=0: ;0;0;;0

)1(

0

)1()1()1( =

∂∂

=∂∂

==T

M

T

MhMhM kj

kkjj

knjnT

MM n

n ≠≠=∂∂= ;;0;0

0

)1()1(

имеют вид

)]cos()[cos( 020022

20

2)1()2( TT

hDM gg

gg

ggg ⋅ω−⋅ω⋅

ω−ω

⋅= −

−

−− ;

)];sin()sin([ 00011

02

120

01)1()1( TT

hCM gg

g

g

gg

gggg ⋅ω+ω⋅

ωω

−⋅ω−ω

ω⋅⋅= −

−−

−−

)cos( 0)1( ThM ggg ω⋅= ;

)];sin()sin([ 00011

020

21

01)1()1( TT

hBM gg

g

g

gg

gggg ⋅ω+ω⋅

ωω

−⋅ω−ω

ω⋅⋅= +

++

++

)];cos()[cos( 000220

22

2)1()2( TT

hAM gg

gg

ggg ⋅ω−⋅ω⋅

ω−ω

⋅= +

+

++ =j;k, (9)

где частоты nω определяются из уравнения

++−+−+−−+−χ=ω

)32)(12)(12(2

)3)1)(12((9)2)(1()(

222

nnn

nnnWeWnnnnn , (10)


182

имеющего смысл дисперсионного уравнения задачи, выписанно-го в линейном по We, Weρ и ρ приближении, но без учета взаи-модействия мод. Это можно сделать, поскольку влияние взаимо-действия мод на тангенциальном разрыве поля скоростей на гра-нице раздела сред на вид дисперсионного уравнения проявится лишь в квадратичном по We, Weρ и ρ приближении. Частоты

n0ω определяются из уравнения (10) при We=0.

Таким образом, при 4≥− kj рядом с каждой g-й модой

(g=j;k), входящей в спектр мод, определяющих начальную де-формацию, за счет гидродинамического взаимодействия на гра-нице раздела сред, на которой имеет место скачок поля скоро-стей, будут возбуждены еще по четыре моды: g-1, g-2, g+1 и g+2. Однако амплитуды таких мод будут иметь первый порядок мало-сти по малым параметрам We, ρ и Weρ . Если не задаваться ус-

ловием 4≥− kj , то в силу линейности системы (5) вид ее реше-

ний изменится незначительно: решения будут представлять собой линейные комбинации функций входящих в (9).

6b. По найденным решениям (1)nM выпишем выражения для

функций неоднородности (7) системы (6). Учитывая сказанное выше о порядках малости мод, определяющих начальную дефор-мацию, и мод, возбуждаемых за счет линейного взаимодействия вследствие тангенциального скачка поля скоростей, несложно видеть, что определяющую роль в нелинейном, квадратичном по ε , взаимодействии будут играть моды, определяющие исходную деформацию равновесной формы капли. Поскольку исходной це-лью проводимого рассмотрения является исследование возмож-ности резонансной раскачки основной моды за счет перекачки в нее энергии высоких мод, определяющих начальную деформа-цию капли, то дальнейшие рассуждения ограничим качественным анализом решения системы (6) – (7), в пренебрежении взаимо-действием мод за счет тангенциального разрыва поля скоростей на границе раздела сред. Бесконечная система связанных неодно-родных уравнений (6) – (7) в этом случае превратится в систему несвязанных неоднородных уравнений гармонического типа с нулевыми начальными условиями для всех мод, а функция неод-нородности, определяемая (7), которую выпишем в уравнений в


183

нулевом порядке малости по We, ρ и Weρ , существенно упро-стится. Полученная система в реальности будет описывать нели-нейные осцилляции неподвижной заряженной капли в среде. На-личие обдувающего каплю потока проявится лишь в изменении частоты осцилляций капли, которая определится дисперсионным соотношением (10). В итоге получим, что в используемом при-ближении квадратичные по малому параметру ε поправки к об-разующей формы нелинейно-осциллирующей капли будут иметь вид [98, 108]

( ) ( )+ωλ+λ−= Ξ∈

−+0

,

)()(10

)2( cos2

),( Thh

TTM nml

lmnlmnml

n

( )( ) ( )( )( )Ξ∈

−+ ω−ωλ+ω+ωλ+ml

mllmnmllmnml TT

hh

,0

)(0

)( coscos2

; (11)


+−+++−−ρ−+−ωχ=γ )1)1((2))1/()1(1(( 2 llnnmnnmnK mnmlnnlm

−αχ+++−−++ mnWnmmml nmln /1(()2/)3)722()1((

)2/)))1)(1/(( 2 nWmnn m +ω++ρ− ;

++−+ρ++−χ=η )))1(2/()32(12/(( nnmnmnK nmlnnlm

)))1)(1)(1(2/()32(/))2/(1((( +++++ρ−+αχ+ nlmlnnmlnnmln .

7. Несложно видеть, что при выполнении соотношения 22 )( lmn ω±ω=ω знаменатели некоторых компонент решения (11)

обращаются в ноль, а само выражение (11) расходится, или, ина-че говоря, найденные поправки второго порядка малости стано-вятся асимптотически непригодными. Такая ситуация в теории нелинейных осцилляций интерпретируется как резонансная и должна анализироваться отдельно, иными математическими ме-тодами [83, 98, 108]. С физической точки зрения наличие нели-нейной резонансной ситуации означает, что в окрестности резо-нанса волна с частотой nω интенсивно обменивается энергией с


184

двумя волнами с частотами mω и lω (в этом случае говорят о вторичном комбинационном резонансе) или при m=l дважды взаимодействует с одной волной частоты mω = lω (что интерпре-тируется как вырожденный резонанс) [83, 98, 108]. Ранее в [126] было показано, что в рассматриваемой системе при реализации вырожденного резонансного взаимодействия мод энергия пере-качивается только из низших мод в более высокие. Во вторичных комбинационных резонансах энергия может переноситься в обо-их направлениях, как от низких мод к высоким, так и обратно [83, 98, 126]. Единственное, что портит общую картину в этом случае для заряженной капли нелинейно-осциллирующей в неподвиж-ной диэлектрической среде, так это невозможность во втором по-рядке малости по амплитуде осцилляций вовлечения в резонанс-ный обмен энергиями основной моды (n=2). Иначе говоря, для неподвижной заряженной капли, осциллирующей в диэлектриче-ской среде, невозможно перекачать энергию из высоких мод в основную за счет вторичного комбинационного резонанса, по-скольку соотношение 22

2 )( lm ω±ω=ω не выполняется ни для ка-ких m и l. В случае же капли, движущейся относительно среды, частоты ее осцилляций определяются соотношением (11), т.е. дисперсионное соотношение содержит слагаемое пропорцио-нальное числу Вебера We, и вследствие этого появляется воз-можность резонансной раскачки основной моды. В самом деле, введем обозначение

222 )( nlmn ω−ω±ω≡ωΔ , (12)

где ),,,,(22 WeWnlmnn ωΔ=ωΔ и для различных значений n (для не-скольких первых мод, в которые перекачивается энергия из более высоких мод) построим зависимости ),(22 lmnn ωΔ=ωΔ , пересечен-

ные плоскостью 02 =ωΔ n , при фиксированных значениях пара-метров Рэлея W и Вебера We (см. рис.1). Аналогично построим зависимости ),(22 WeWnn ωΔ=ωΔ при фиксированных парах значе-ний номеров мод m и l, определяющих начальную деформацию (см. рис. 2). На приведенных рисунках условия резонансного об-мена энергией строго выполняются на прямых, по которым пере-секаются поверхности. Зависимости ),(22 lmnn ωΔ=ωΔ для второй,


185

третьей и четвертой мод, проиллюстрированные рис. 1a – c, ука-зывают на широкие возможности перекачки энергии из высоких мод в низкие. Тем не менее следует указать, что на прямых, по которым пересекаются поверхности на рис. 1, только конечное количество точек соответствует целочисленным значениям номе-ров мод m и l (при построении рис. 1 дискретные переменные m и l условно приняты меняющимися непрерывно). Остальные точ-ки прямых пересечения поверхностей лишь указывают на бли-зость к положениям точных резонансов. Но само нелинейное внутреннее резонансное взаимодействие мод, как об этом писа-лось выше, малочувствительно к малым отклонениям опреде-ляющих физических параметров от значений, соответствующих положениям точных резонансов (см. главу 4).

Рис. 1a Рис. 1b

Рис. 1c

Рис. 1. Зависимость от номеров мод m и l величины квадратичной формы 2

nωΔ , определенной соотношением (12),

пересеченная плоскостью 02 =Δ nω при W=0.1 и We=0.001:


186

a) n=2; b) n=3; c) n=4

Сказанное означает, что резонансное взаимодействие мод будет иметь место и в некоторых окрестностях геометрического места точек, составляющих прямые на рис. 1 – 2, только его ин-тенсивность (доля передаваемой резонансным образом энергии и характерное время нахождения переданной энергии в раскачи-ваемой низкой моде) будет несколько меньшей.

Согласно проведенным расчетам основная мода строго резо-нансно взаимодействует только с третьей модой при условии, что и основная и третья мода присутствуют в спектре мод, опреде-ляющих начальную деформацию (именно эта ситуация проиллю-стрирована рис. 2а). Как видно из рис. 2а, точные значения пара-метров Рэлея и Вебера, при которых реализуется резонансное взаимодействие, измеряются десятыми долями единицы и не-сколько превышают принятые при модельном расчете, которые были оценены исходя из параметров облачной капли радиусом 100 μm. Чтобы согласовать результаты проведенного анализа с реалиями грозового облака, можно использовать следующие ар-гументы: а) можно увеличить радиус капли, что приведет к увели-чению скорости ее падения, величины параметра Вебера и к при-ближению его значения к данным рис. 1а; б) можно принять во внимание слабую зависимость частоты осцилляций от величин параметров Релея и Вебера при малых их значениях и учесть вы-шесказанное о малой чувствительности резонансного взаимодей-ствия к незначительным отклонениям определяющих физических параметров от точных резонансных значений. Можно также ском-бинировать первый и второй подходы. Во всяком случае, из ска-занного следует, что параметры крупных капель в грозовых обла-ках (W∼0.1, We ≤ 0.5) таковы, что в каплях возможна перекачка энергии из возбужденной третьей моды осцилляций в возбужден-ную вторую моду. Более конкретное и детальное исследование ре-зонансной перекачки энергии между указанными модами требует отдельного рассмотрения. Пока же можно считать установленным факт возможности перекачки энергии из третьей моды во вторую. Энергия же третьей моды может восполняться за счет резонансной перекачки энергии из более высоких мод (см. рис. 1b).

Расчеты показывают, что по сравнению со второй модой тре-тья мода может резонансно обмениваться энергией уже с сущест-


187

венно большим количеством высоких мод – от четвертой до три-надцатой. Однако наименьшим значениям параметров Рэлея и Вебера (малость зарядов капель и скоростей их движения, харак-теризуемых параметрами Рэлея и Вебера, является необходимым условием для согласования результатов проводимых модельных расчетов с условиями грозового облака) соответствует ее резо-нансное взаимодействие с двенадцатой и тринадцатой модами (см. рис. 2b). Для четвертой моды спектр резонансно с ней свя-занных мод еще более расширяется (от пятой до тридцать пер-вой), но оптимальными возможностями в смысле малости пара-метров Рэлея и Вебера обладает проиллюстрированное рис. 2c ее взаимодействие с тридцатой и тридцать первой модами.

Рис. 2a Рис. 2b

Рис. 2c Рис. 2d


188

Рис. 2. Зависимость от величин параметров Рэлея W и Вебера We

величины квадратичной формы 2nωΔ , определенной соотношением (12),

пересеченная плоскостью 02 =Δ nω при: a) n=2; m=2, l=3; b) n=3, m=12, l=13; c) n=4, m=30, l=31; d) n=4, m=6, l=8

На рис. 2а – с рассмотрены ситуации резонансного взаимо-действия n-й моды с двумя соседними модами m-й и l-й ( 1=−ml ) с более высокими, чем n, номерами. С увеличением

номера n расширяются возможности разброса номеров m-й и l-й мод, связанных резонансным взаимодействием с n-й модой. На рис. 2d приведена иллюстрация такой возможности для номеров

.8,6,4 === lmn С ростом номера n моды, принимающей энергию от более

высоких m-й и l-й, увеличивается и количество номеров мод m и l, связанных с n-й резонансным взаимодействием. В итоге скла-дывается следующая возможная картина резонансного переноса энергии между модами: в основную моду энергия поступает из третьей, в третью моду энергия поступает из мод с четвертой по тринадцатую, в четвертую моду – из мод с пятой по тридцать первую и т.д. Можно предположить, что в движущейся относи-тельно среды нелинейно-осциллирующей заряженной капле су-ществует направленный к основной моде поток энергии из спек-тра более высоких мод, обязанный своим существованием вто-ричному комбинационному резонансному взаимодействию мод. Результатом переноса энергии из высоких мод (которые регуляр-но возбуждаются за счет столкновения рассматриваемой крупной капли с более мелкими и медленнее движущимися в облаке ка-пельками) в основную будет раскачка амплитуды осцилляций ос-новной моды до наблюдаемой в натурных условиях величины (сравнимой с радиусом капли [28, 127]). Следует, однако, отме-тить, что одновременно в капле будет существовать встречный поток энергии из низших мод в более высокие, поддерживаемый вырожденным резонансным взаимодействием мод. Физические закономерности взаимодействия этих встречных потоков энергии в рассматриваемой колебательной системе не очевидны и долж-ны составить предмет отдельного исследования.


189

Проведенное исследование положений внутренних нелиней-ных резонансов в заряженной капле идеальной несжимаемой жидкости, ламинарно обдуваемой потоком идеальной несжимае-мой диэлектрической среды малой плотности, на нелинейной стадии осуществлено в пренебрежении взаимодействием мод на тангенциальном скачке поля скоростей на границе раздела сред, а функция неоднородности (7) выписывалась в нулевом приближе-нии по параметрам We, ρ и Weρ . Если отказаться от этих пред-положений, то в решении задачи появятся дополнительные сла-гаемые первого и второго порядков малости по We, ρ и Weρ , но резонансные слагаемые в решении сохранятся. Учет взаимодей-ствия мод на тангенциальном разрыве поля скоростей приведет к появлению квадратичных по We, ρ и Weρ поправок к точным положениям резонансов, но основные выводы данной работы со-хранятся неизменными.

8. Наличие относительного движения заряженной капли и среды приводит к существенному расширению спектра внутрен-них нелинейных резонансов, реализующихся в нелинейно-осциллирующей капле. В крупной заряженной капле в грозовом облаке принципиально возможен резонансный перенос энергии из высоких мод осцилляций в основную, реализующийся уже во втором порядке малости по амплитуде деформации и приводя-щий к раскачке сфероидальных осцилляций капли, наблюдаемых в естественных условиях.


190

6. Нелинейные осцилляции заряженной капли во внешних силовых полях

1. Исследование нелинейных осцилляций заряженной капли, начатое два десятилетия назад и продолжающееся до настоящего времени, связанное с большим количеством академических, тех-нических и технологических приложений, в которых приходится сталкиваться с заряженной каплей, позволило выявить много фи-зически значимых особенностей реализации осцилляций и неус-тойчивости капель по отношению к собственному заряду. К сожа-лению, того же нельзя сказать об исследовании нелинейных ос-цилляций заряженной капли во внешнем электростатическом поле, физическом объекте, также встречающемся в значительном количестве приложений. Это связано с тем, что аналитическое асимптотическое исследование данного объекта существенно бо-лее громоздко по сравнению с просто заряженной каплей, ввиду наличия нескольких малых параметров (здесь уместно отметить, что математическая громоздкость необходимых расчетов является основной трудностью расчетов нелинейных осцилляций конечных объемов жидкости с подвижной границей). На сегодняшний день выполнено лишь два нелинейных аналитических асимптотиче-ских исследования осцилляций и устойчивости незаряженной кап-ли в однородном внешнем электростатическом поле: в квадратич-ном приближении по амплитуде осцилляций [129] и в приближе-нии ∼5\2 [122]. За исключением [122, 129], все работы по расчету осцилляций сфероидальных незаряженных капель и заряженных капель в однородном внешнем электростатическом поле выполне-ны лишь в линейном приближении по амплитуде осцилляций [130 – 133]. Причина такого положения дел в громоздкости уже линейной по амплитуде осцилляций задачи, содержащей два неза-висимых малых параметра. Эксцентриситет e равновесной в одно-родном внешнем электростатическом поле сфероидальной формы электропроводной капли, характеризующий отклонение от равно-великой по объему сферы, может рассматриваться в качестве пер-вого малого безразмерного параметра. Отношение амплитуды на-чальной виртуальной деформации равновесной сфероидальной


191

формы к радиусу равновеликой сферы образуют второй малый параметр ε. Наличие гравитационного поля и собственного заряда капли еще более усложняют задачу.

В настоящей работе проводится рассмотрение нелинейных осцилляций заряженной капли, неподвижно висящей в суперпо-зиции коллинеарных гравитационного поля и внешнего однород-ного электростатического поля с сохранением слагаемых 2eε ⋅

и 2ε . Следует отметить, что именно такие подвесы наряду с ус-ложняющими картину дополнительными устройствами, создаю-щими аэродинамические или электромагнитные поля, использу-ются экспериментаторами для проверки критерия устойчивости капли по отношению к собственному заряду [100 – 104].

2. Для проведения корректных расчетов в указанном порядке малости на первом этапе определим равновесную форму поверх-ности капли идеально электропроводной несжимаемой идеальной жидкости, имеющей заряд Q (который для определенности при-мем положительным), помещённой в однородное внешнее элек-тростатическое поле напряженностью 0Е

. Для того чтобы систе-

ма координат, связанная с центром масс капли, сохраняла свою инерциальность, необходимо наличие в пространстве гравитаци-онного поля g

||- 0Е

, обеспечивающего неподвижность капли (так, чтобы сила тяжести gm

уравновешивалась противоположно на-

правленной силой 0ЕQ

). Примем, что жидкость имеет плотность ρ, коэффициент поверхностного натяжения на границе с вакуу-мом σ и в отсутствие электростатического и гравитационного по-лей капля имеет сферическую форму с радиусом R. Все рассмот-рение проведем в безразмерных переменных, в которых

1==σ=ρ R . Ограничим проводимое рассмотрение анализом осесиммет-

ричных начальных деформаций капли и будем искать равновес-ную форму поверхности капли в сферических координатах в виде разложения по полиномам Лежандра

( ) ( ) ( )1 10

r f a Pn nn

θ θ μ∞

= + = + =

; cos( )μ θ≡ . (1)


192

Малые )1( <<na амплитуды мод na должны быть определе-

ны из условия баланса давлений на искомой равновесной поверх-ности

0eq eq eq eq

atm EQ gp p p pp σ− + + =( ) ( ) ( ) ( ) . (2)

Здесь 0eqp( ) – давление жидкости внутри равновесной капли,

patm – атмосферное давление, EQeqp( ) , eqpg

( ) и eqp( )σ – давления на

поверхность (1): электрическое, гравитационное и сил поверхно-стного натяжения соответственно.

Помимо условия (2), необходимо потребовать выполнения условий неизменности объёма капли и неподвижности её центра масс:

( ) 42230 0

rdV r dr d

V

θππ θ θ π= =

( )sin ;

( )3

0 0

2 0rV

rr dV e r dr d

θππ θ θ= =

( )sin .

Используя разложение (2.1) и вычисляя необходимые интегралы, получим, что амплитуды нулевой и первой мод в нём определя-ются соотношениями

( ) ( )2

23

0 2 1k

aka akk=

∞≈ − +Ο

+;

( )( )( ) ( )31

12

9 1

2 1 2 3k k

kk

k a aa a

k k

∞ +

=

+≈ − + Ο

+ + , (3)

т.е. амплитуды нулевой и первой мод имеют более высокий по-рядок малости, чем амплитуды колебательных мод (с n ≥ 2).

Поскольку давление электрического поля pE приводит к ис-кажению равновесной сферической формы капли, то, следова-тельно, оно должно иметь тот же порядок малости, что и вызван-ное им искажение. Введём формально параметр α, характери-зующий величину отклонения равновесной формы капли от сферы, т.е. ( ) ( )~ ~ 2nf a nθ α ∀ ≥ . В силу сказанного выше полу-

чим 20~ ~Ep E α и, следовательно,

12

0 ~E α (а значит, такой же по-рядок малости будет иметь и потенциал электрического поля по-ляризационного заряда). Поскольку заряд не нарушает сферично-сти равновесной формы капли в отсутствие внешнего


193

электрического поля, то 0~Q α . Гравитационное поле в свою оче-редь должно удерживать центр масс капли в неподвижном со-

стоянии, поэтому 12

0~ ~g Q E α⋅ . Кроме того, из соотношений (3)

следует, что ( )20 1, ~a a αΟ .

Выпишем выражения для входящих в (2) гравитационного давления и давления сил поверхностного натяжения:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )3/ 20 1eqgp g r r gθ μ μ α= − ≈ − +Ο ; (4)

( ) ( )( ) ( ) ( )22 2

0

2 1eqn nR R

n

p n n a Pσ σσ μ α

∞

=

≈ − − + + Ο . (5)

Для того чтобы выписать аналогичное разложение для давле-ния электрических сил на равновесную поверхность капли

( )2( ) ( )

( )

1

8eq eq

EQr r

p=

= ∇Φθπ , следует решить электростатическую

задачу: ( ) 0eqΔΦ = ; r →∞ : ( )

0eq E r μΦ → − ; ( )r r θ= : ( )eq constΦ =

( ) ( )( )

( )0

2 sin 4eq

r rn d Q

π

θπ θ θ π

=⋅∇Φ = −

.

Представляя искомый потенциал электростатического поля в окрестности равновесной поверхности в виде ряда по полу целым степеням параметра α

( )( ) ( ) ( ) ( )312 2

1 32 2

( ) 20 1

eq eq eq eqeq α α α αΦ ≈ Φ + Φ + Φ + Φ +Ο

и решая последовательно соответствующие краевые задачи раз-личных порядков малости, найдем

( )( ) ( 1)0 3

2

11eq n

n nn

QE r Q a r P

r rμ μ

∞− +

=

Φ ≈ − − + +

(6)

( )( )( ) ( ) ( )( 1) 22

0 1 122

123

5 2 1 2 3n

n n nn

na nE a a r P

r n nμ μ α

∞− +

− +=

++ + + ⋅ + Ο − +

.


194

В результате давление электрического поля ( )eqEQp на равновесную

поверхность капли с точностью до слагаемых α~ запишется в виде

( ) ( ) ( ) ( )322 2 2 2

0 02

16 9 2 1

8eq

EQ n nn

p Q QE E Q a n Pμ μ μ απ

∞

=

≈ + + + − +Ο .

Подставим данное выражение, а также выражения (4) и (5) в условие баланса давлений (2) и приравняем слагаемые одинако-вого порядка малости по α. В нулевом порядке получим равенст-во, описывающее баланс давлений на поверхности заряженной сферической капли в отсутствии внешних полей. Приравнивая слагаемые, имеющие порядок малости 2

1α~ , получим необходи-мое условие неподвижности центра масс заряженной капли в электрическом и гравитационном полях:

03

4g Q E

π= ⋅ . (7)

Рассмотрение слагаемых первого порядка малости по α по-зволяет определить амплитуду второй моды в разложении (1), в то время как амплитуды всех остальных мод имеют более высо-кий порядок малости. В результате с точностью до слагаемых α~ искомая равновесная форма поверхности капли запишется в виде

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )23 302 2

2

32 2 216

1 1 E

Qr a P P

πθ μ α μ α

−≈ + +Ο ≈ + +Ο (8)

Сравним это выражение с разложением в ряд по эксцентриситету e в сферических координатах уравнения вытянутой сфероидаль-ной поверхности

( ) ( ) ( )2 41231sphr e P eθ μ≈ + +Ο

и получим, что равновесную форму поверхности заряженной ка-пли в гравитационном и слабом электростатическом полях (при

12 <<e ) можно считать вытянутым сфероидом с точностью до слагаемых 2~ e , квадрат эксцентриситета которого связан с заря-дом капли и напряженностью электростатического поля соотно-шением


195

( ) ( )2

2 02

9 36

416

E we

WQπ≡ ≡

−−;

2

4

QW

π≡ ;

20

16

Ew

π≡ (9)

Для нижеследующих расчетов нелинейных осцилляций капли в порядке малости ~ε · е2 знания равновесной формы капли с точ-ностью до слагаемых ~е2 достаточно. Согласно (9) величина экс-центриситета равновесной сфероидальной формы капли опреде-ляется двумя параметрами: W – параметром Рэлея, характери-зующим устойчивость поверхности капли по отношению к собственному заряду, и w – параметром Тейлора, характеризую-щим устойчивость поверхности электропроводной капли по от-ношению к внешнему электростатическому полю, т.е. по отно-шению к индуцированному заряду.

Отметим, что если в (6) использовать для равновесной по-верхности капли вместо исходного выражения (1) полученное выражение (8), то потенциал )(eqΦ можно записать в виде

( ) ( ) ( ) ( )2 2

( ) 2 2 202 3 3 2

1 2 3, 1 1 3 1 1 3 5

6 5 4

eq Q e er E r

r r r r rθ μ μ μ αΦ = − − − − − − − + Ο

.

(10) Таким образом, равновесный потенциал в окрестности заряжен-ной слабо сфероидальной капли, находящейся во внешнем одно-родном электростатическом поле, представляет собой суперпози-цию потенциала заряженного сфероида в отсутствии внешнего электростатического поля и потенциала незаряженного сфероида в электростатическом поле.

3. Для того чтобы исследовать нелинейные осцилляции по-верхности капли, примем, что в начальный момент времени t=0 равновесная слабо сфероидальная форма капли с эксцентрисите-том e претерпевает осесимметричное возмущение ( ),tξ θ фикси-рованной конечной амплитуды ε , много меньшей, однако, радиу-са капли (ε << 1). Зададимся целью найти спектр возникающих капиллярных осцилляций капли (форму капли) при 0>t , полагая, что форма капли осесимметрична как в начальный, так и во все последующие моменты времени. Запишем уравнение её поверх-ности в виде: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 21

23, , 1 , 1 ,r t r t e P t e h tθ θ ξ θ μ ξ θ θ ξ θ= + = + + ≡ + + .

(11)


196

Движение жидкости в капле, вызванное начальной виртуаль-ной деформацией равновесной слабо сфероидальной поверхно-сти, будем полагать потенциальным с потенциалом поля скоро-стей ( ),r tψ

. Естественно принять, что потенциал ψ и поле скоро-

стей ( ) ( )( ), ,V r t grad r t= ψ являются величинами того же порядка

малости, что и возмущение ( ),tξ θ , т.е. ψ, V~ε. Поскольку скоро-

сти гидродинамических движений жидкости в капле много меньше скорости распространения электромагнитных взаимодей-ствий, будем считать электрическое поле в окрестности капли электростатическим, описываемым потенциалом ( )tr ,

Φ так, что для напряженности поля будем иметь ( )Φ−= gradE

.

Математическая формулировка решаемой задачи имеет вид

( , ) 0r tψΔ = ( , ) 0r tΔΦ = ; (12)

r → 0: ( , ) 0r tψ → (13)

r → ∞ : 0( , )r t E r μΦ →− ; (14)

r=r(θ)+ ξ(θ, t): 2

1

t r r

ξ ψ ξ ψθ θ

∂ ∂ ∂ ∂= −∂ ∂ ∂ ∂

(15)

21( )

2 EQ gp p p pt

∂Δ − − ∇ + + =∂ σψ ψ (16)

( , ) ( )Sr t tΦ =Φ (17)

2 4sin

3V

r dr d d =πθ θ ϕ , ( )0 ( , ), 0 , 0 2V r r t= ≤ ≤ + ≤ ≤ ≤ ≤ θ ξ θ θ π ϕ π (18)

3 sin 0r

V

e r dr d dθ θ ϕ⋅ = (19)

2( ) sin 4S

n r d d Qθ θ ϕ π•∇Φ = −

( ) ( , ), 0 , 0 2S r r tθ ξ θ θ π ϕ π= = + ≤ ≤ ≤ ≤ (20)

t=0: ( ) ( ) ( )0 0 1 1( , ) i ii

t P P h Pξ θ ξ μ ξ μ ε μ∈Ξ

= + +


197

( , )0

t

t

ξ θ∂ =∂

; 1ii

h∈Ξ

= . (21)

В выражениях (16) – (21) введены обозначения: pΔ – перепад постоянных давлений внутри и вне капли в состоянии равновесия;

21( )

8EQp = ∇Φπ – давление электрического поля на равновесной

поверхности капли; ( ) ( )( ) ( ) ( )( )0

, ,gp r t r t g=

= + − + ⋅ θθ ξ θ θ ξ θ μ – дав-

ление гравитационного поля; Sp div n= σ – давление сил поверх-

ностного натяжения (divs – поверхностная дивергенция); n

– еди-ничный вектор нормали к поверхности (11); ( )S tΦ – постоянное вдоль поверхности капли значение электрического потенциала; ε – амплитуда начального возмущения формы поверхности капли, являющаяся малым параметром задачи; ( )iP μ – полиномы Ле-

жандра порядка i; ih – коэффициенты, определяющие парциаль-ный вклад i-й колебательной моды в суммарное начальное возму-щение; Ξ – множество значений номеров мод, определяющих на-чальную деформацию; 0ξ и 1ξ – константы, определяемые из условий (18) и (19) в начальный момент времени, зависящие от вида начальной деформации и с точностью до слагаемых порядка малости ∼ 2e⋅ε и ∼ 2ε , равные

( ) ( )2

2 2 2 30 0 ,2

2

2 1 15i

i ii

he h O

iξ ε ξ ε ε δ ε

∈Ξ

≡ ≈ − + ⋅ ⋅ + +

;

( )( ) ( )2 2 2 311 1 ,3

9 9

2 1 2 1 35i i

i ii

i h he h O

i iξ ε ξ ε ε δ ε−

∈Ξ

≡ ≈ − + ⋅ ⋅ + − +

.

Задача (11) – (21) содержит два малых параметра: e – эксцен-триситет равновесной слабо сфероидальной формы капли и ε – амплитуду начальной деформации ξ равновесной формы. Кор-ректное рассмотрение такой задачи невозможно без предвари-тельного определения соотношения величин этих двух парамет-ров. Очевидно, что первичный анализ нелинейного взаимодейст-вия возбужденных колебательных мод как между собой, так и с отклонением равновесной формы капли от сферы, как минимум, требует учёта в разложениях слагаемых, имеющих порядок мало-


198

сти ~ξ 2 и ~е2 · ξ. При этом пренебрежение слагаемыми порядка ~ξ 3, ~е2 · ξ2 и ~е4 · ξ наиболее естественно, если сделано предпо-ложение, что е2~ ξ (т.е. 2 ~e ε ), обеспечивающее фактически пе-реход от двух малых параметров к одному. В таком случае, по-скольку сфероидальность равновесной формы капли связана с наличием внешнего электрического поля и его давлением на по-верхность капли, будем полагать, что 2 2

0 ~E e (см. (9)) и, следова-

тельно, 1

20 ~E ε . Кроме того, имея в виду соотношение (7), при-

мем 1

20~ ~g E ε .

Введём формальные параметры ( ), , ~ 1e E gβ β β Ο в соответст-

вии со следующими равенствами: 1

20 EE β ε= ,

12

gg β ε= , 2

ee β ε= . Эти параметры нужны только для того, чтобы выделить в явном виде порядки малости в рассматриваемой задаче и в ко-нечном решении легко вернуться к величинам 0E , g и 2e .

4. Будем решать сформулированную задачу в рамках теории возмущений методом многих масштабов. Искомые функции ( )t,θξ , ( ),r tψ , ( ),r tΦ представим в виде разложений по степеням

малого параметра ε . Однако, в отличие от ранее рассматривав-шихся задач о нелинейных осцилляциях заряженных капель в от-сутствии внешних силовых полей, теперь разложение необходи-мо проводить не только по целым, но и по полуцелым степеням параметра ε . Это позволит учесть влияние на осцилляции капли гравитационного давления (т.к. 1 2~g ε ) и перекрёстных слагае-

мых электрического давления ( 1 20~ ~Q E ε⋅ ). В рамках расчетов

указанного порядка малости будем в соответствии с основной идеей метода многих временных масштабов считать все искомые величины зависящими не просто от времени t, а от трёх его мас-штабов, определенных через малый параметр ε : m

mT tε≡

( )0;1 2; 1m = . В итоге получим

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 3 2 23 2 2 5 20 1 2 1 0 1 2 0, , , , , , ,t T T T T T T Oξ θ εξ θ ε ξ θ ε ξ θ ε= + + + ;

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 3 2 23 2 2 5 20 1 2 1 0 1/ 2 0, , , , , , ,r t r T T T r T T r T Oψ εψ ε ψ ε ψ ε= + + + ;


199

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

1 3/ 23/ 20 1 2 1 0 1 2

22 5/ 20

, , , , , ,

,

eqr t r r T T T r T T

r T O

ε ε

ε ε

Φ = Φ + Φ + Φ +

+ Φ +, (22)

где ( )eqΦ определяется (10). Для входящих в динамическое граничное условие (16) давле-

ний электрического EQp и гравитационного gp полей, а также

сил поверхностного натяжения pσ примем следующие разложе-ния:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 3 2 23 2 2 5 2eq

EQ EQ EQ EQ EQp p p p p Oε ξ ε ξ ε ξ ε= + + + + ;

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 3 2 23 2 2 5 2eq

g g g g gp p p p p Oε ξ ε ξ ε ξ ε= + + + + ;

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 3 2 23 2 2 3eqp p p p p Oσ σ σ σ σε ξ ε ξ ε ξ ε= + + + + , (23)

где компоненты ( )eqEQp , ( )eq

gp , ( )eqpσ являются давлениями на равно-

весной слабо сфероидальной поверхности капли и определяют ее равновесную форму.

Используя разложения (22), (23), из системы (11) – (21) мож-но получить набор краевых задач разных порядков малости для определения функций ( )mξ , ( )mψ и ( )mΦ ( )1; 3 2; 2m = .

Каждая из функций ( )mψ и ( )mΦ является решением соответ-ствующего уравнения Лапласа (12) с граничными условиями (13) в силу линейности (12), (13). Поправки ( )mΦ к равновесному по-тенциалу ( )eqΦ , связанные с осцилляциями поверхности капли, должны стремиться к нулю по мере удаления от поверхности. Поэтому необходимые решения, удовлетворяющие нулевым ус-ловиям либо в центре капли, либо на бесконечности, для функций различных порядков малости при ( )1; 3 2; 2m = запишем в виде

( ) ( ) ( ) ( ) ( )1

, ,m m nn n

n

r t D t r Pψ θ μ∞

=

= , ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1

0

, ,m m n

n nn

r t F t r Pθ μ∞

− +

=

Φ = .

(24) В виде аналогичных разложений по полиномам Лежандра

представим и последовательные поправки к форме образующей поверхности капли:


200

( ) ( ) ( ) ( ) ( )0

,m m

n nn

t M t Pξ θ μ∞

=

= , ( )1; 3 2; 2m = . (25)

5. Коэффициенты ( ) ( )1

nD t , ( ) ( )1

nF t , ( ) ( )1

nM t , определяющие

временную эволюцию решений первого порядка малости для ис-кажения формы поверхности капли ( ) ( )1 ,tξ θ , гидродинамическо-

го ( ) ( )1 , ,r tψ θ и электростатического ( ) ( )1 , ,r tθΦ потенциалов, на-

ходятся из системы уравнений, получающейся из (14) – (21) группировкой слагаемых, содержащих первую степень параметра ε и связанных с искажением равновесной формы капли. Подста-вим в эту систему решения (24), (25) для случая m = 1 и выразим

( ) ( )1

nD t и ( ) ( )1

nF t через эволюционные коэффициенты ( ) ( )1

nM t :

( )1n∀ ≥ ( ) ( )(1)(1)

0

1 nn

M tD t

n T

∂=

∂ ; ( ) ( )(1) (1)

n nF t Q M t= ;

( )(1)0 0D t = ; ( )(1)

0 0F t = ; ( )(1)0 0M t = ; ( )(1)

1 0M t = . (26)

Для определения ( ) ( )1

nM t при 2n ≥ получим дифференциаль-

ное уравнение ( ) ( ) ( ) ( )12

12

20

0nn n

M tM t

Tω

∂+ =

∂; ( )( )2 1 2n n n n Wω = − + − , (27)

где nω – частоты собственных осцилляций поверхности заряжен-ной капли. Решениями уравнения (27) являются функции, гармо-нически зависящие от времени 0T , при этом амплитуда и фаза этих колебаний могут зависеть от других временных масштабов

1 2T и 1T :

( ) ( ) ( )(1) (1)1 2 1 0, exp ( . .)n n nM t A T T i T к сω= + ;

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )1 1(1)1 2 1 1 1 2 11 2, , exp ,n n nA T T a T T i b T T= . (28)

Здесь и далее аббревиатура "(к.с.)" обозначает слагаемые, комплексно сопряженные к выписанным. Зависимость вещест-венных функций ( ) ( )1

1 2 1,na T T и ( ) ( )11 2 1,nb T T от времён 1 2T и 1T мо-


201

жет быть определена только при рассмотрении задач следующего порядка малости.

Система уравнений порядка малости 3/2 для определения функций ( ) ( )3 2

nD t , ( ) ( )3 2

nF t , ( ) ( )3 2

nM t , получающаяся из (14) – (21)

группировкой слагаемых при ε3/2 после подстановки туда реше-ний (24), (25), будет содержать слагаемые, учитывающие взаимо-действие возмущения ( ),tξ θ с гравитационным и электростати-

ческим полями. Учитывая решения первого порядка (26), (28), получим выражения для ( ) ( )3 2

nD t и ( ) ( )3 2

nF t в виде

( )1n∀ ≥ ( ) ( ) ( )(3 2) (1)(3 2)

0 1 2

1 n nn

M t M tD t

n T T

∂ ∂= +

∂ ∂

;

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )(3 2) (3 2) (1) (1)1 1

13

2 1 2 3n n E n n

n nF t Q M t M t M t

n nβ − +

+= + +

− +

;

( )(3 2)0 0D t = ; ( )(3 2)

0 0F t = ; ( )(3 2)0 0M t = ; ( )(3 2)

1 0M t = . (29)

Зависимость эволюционных коэффициентов ( ) ( )3 2

nM t при

2n ≥ от времени 0T определяется из решения неоднородного дифференциального уравнения:

( ) ( ) ( ) ( )3 22 (1)

3 2202

0 1 2

2 exp( )n nn n n n

M t AM t i i T

T Tω ω ω

∂ ∂+ = − +

∂ ∂

( ) ( ) ( )2

(1)1 1 0

32 3 exp( )

4 2 1E g n n

Q nn A t i T

nβ β ω

π − −+ − − +−

( ) ( )( ) ( ) ( )(1)

1 1 0

132 1 exp( ) . .

4 2 3E g n n

n nQn A t i T к с

nβ β ω

π + +

++ − − +

+

. (30)

Чтобы решение этого уравнения не содержало секулярных членов, необходимо потребовать обращения в ноль слагаемых в функции неоднородности, пропорциональных ( )0exp ni Tω , описы-

вающих внешнее воздействие с частотой nω , равной частоте соб-


202

ственных колебаний n-й моды. Записывая необходимое условие

( )(1)1 2 0ndA dT = , получаем, что решения первого порядка малости

(26), (28) не зависят от временного масштаба 1 2T , а общее реше-

ние уравнения (30) может быть представлено в виде ( ) ( ) ( )3 2 (3 2)

1 2 0exp( )n n nM t A T i Tω= +

( ) ( ) ( )2

(1)1 1 02 2

1

1 32 3 exp( )

4 2 1E g n n

n n

Q nn A i T

nβ β ω

πω ω − −−

+ − − +−−

( ) ( ) ( )( ) ( )(1)

1 1 02 21

11 32 1 exp( ) . .

4 2 3E g n n

n n

n nQn A i T к с

nβ β ω

πω ω + ++

++ − − +

+−

; (31)

( ) ( ) ( )( )(3 2) (3 2) (3 2)1 2 1 2 1 2expn n nA T a T ib T= .

Здесь ( )(3 2)1 2na T , ( )(3 2)

1 2nb T – действительные функции, зави-

симость которых от 1 2T может быть определена лишь при реше-

нии задачи второго порядка малости. Параметры ( ), , ~ 1E g eβ β β Ο вводятся в соответствии с равенствами

1 20 EE β ε= , 1 2

gg β ε= , 2ee β ε= , для того чтобы была возмож-

ность различать в полученных решениях вклады, порожденные действием внешних электрического и гравитационного полей и происходящие из-за стационарной деформации равновесной формы капли. Так, из (31) видно, что в приближении 3/2ε~ ста-ционарная сфероидальная деформация е~ β на форме поверхно-сти капли и согласно (4.4) на поправках к полю скоростей и элек-трическому полю не сказывается.

6. Подставим в (14) – (21) решения (24), (25) с индексом 2m = и, группируя слагаемые при 2ε , получим систему уравне-

ний второго порядка малости для отыскания функций ( ) ( )2

nD t , ( ) ( )2

nF t , ( ) ( )2

nM t . Из получившейся системы, используя решения

более низких порядков малости (26), (28), (29), (31), выразим ко-эффициенты ( ) ( )2

nD t и ( ) ( )2

nF t через эволюционные коэффициен-

ты ( ) ( )m

nM t ( )1; 3 2; 2m = :


203

( )1n∀ ≥ ( ) ( ) ( ) ( )(2) (3 2) (1)(2)

0 1 2 1

1 n n nn

M t M t M tD t

n T T T

∂ ∂ ∂= + + −

∂ ∂ ∂

( ) ( )( )( )

( ) ( ) ( )( )( )

( )2 (1) (1)2

0 0

1 2 1 1

2 2 3 2 5 3 2 1 2 3n n

e

n n M t n n n M t

n n T n n Tβ ++ + ∂ − + ∂

− + −+ + ∂ − + ∂

( )( )( )( )

( )(1)2

0

3 1

2 2 1 2 3n

e

n n n M t

n n Tβ −− − ∂

− −− − ∂

( )( ) ( ) ( )(1)(1)

, , , ,0 0 0

11 m

k m n k m n kk m

M tm mK M t

m Tα

∞ ∞

= =

∂− − −

∂

;

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )(2) (3 2) (3 2) (3 2)1 1

13

2 1 2 3n n E n n

n nF t QM t M t M t

n nβ − +

+= + + +

− +

( )( )( ) ( ) ( )( )

( )( ) ( )2

(1) (1)2

1 1 2

2 2 3 2 1 3 2 1 2 3e n n

n n n n nQ M t M t

n n n nβ −

− + ++ + +

− − − +

( )( )( )( )( ) ( ) ( ) ( )(1) (1) (1)

2 , ,0 0

1 2 4

2 2 3 2 5e n k m n k m

k m

n n nQ M t Q mK M t M t

n nβ

∞ ∞

+= =

+ + ++ +

+ +

;

( )(2)0 0D t = ; ( )(2)

0 0F t = ;

( ) ( ) ( )( ) ( )2(2) (1) (1)0 2

0

1 2

2 1 15k e

k

M t M t M tk

β∞

=

= − −+ ;

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )(2) (1) (1) (1)1 1 3

0

9 9

2 1 2 1 35k k e

k

kM t M t M t M t

k kβ

∞

−=

= − −− + .

Для отыскания эволюционных коэффициентов второго по-рядка малости ( ) ( )2

nM t получим неоднородное дифференциальное

уравнение: ( ) ( ) ( ) ( )2

2202

0

nn n

M tM T

Tω

∂+ =

∂


204

( ) ( ) ( )(3 2)(1)1 2(1)1

1 0

1 1 2

2 1( ) 2 exp( )nn

n n n n

dA TdA Ti G n A T i i T

dT dTω ω ω= − + − +

(1) (1)2 2 0 2 2 02( ) exp( ) 3( ) exp( )n n n nG n A i T G n A i Tω ω+ + − −+ ⋅ + +

(3 2) (3 2)1 1 0 1 1 04( ) exp( ) 5( ) exp( )n n n nG n A i T G n A i Tω ω+ + − −+ + +

( ) ( ) (1) (1)0

0 0

1exp( [ ] )

2k mn mkn k m k mn mkn k m k m

k m

A A i Tγ γ ω ω η η ω ω∞ ∞

= =

+ + + + + +

( ) ( ) ( )(1) (1)0exp( [ ] ) . .k mn mkn k m k mn mkn k m k mA A i T к сγ γ ω ω η η ω ω+ + − + − + ;

(32)

( )( )( )

( )( ) ( )( )

( )

2 22

2 2 1 2 3 191 1

2 1 2 3 1 4 2 1n E

e

n n nnG n n

n n n n n

ω ββ

π− + −

≡ + + + +− + − +

( )( )

( ) ( ) ( )23

2 21

11 32 3

2 1 2 1 4E g

n n

n n Qn

n nβ β

πω ω−

−+ − − +

− +−

( )( )

( ) ( ) ( )2

2 21

311 3

2 12 1 2 3 4

E g

n n

n n Qn

n nβ β

πω ω+

++ − −

+ +−

;

( )( )( )( )

( ) ( ) ( )22

28 7 31 2 19

2( ) 42 3 2 5 4 2

E e

n nn n n nnG n n W

n n nβ β

π− −+ + −

≡ − + + − −+ +

( )( ) ( ) ( )

2 21 2

1 3 32 1 2 1

4 4E g E g

n n

n Q Qn nβ β β β

π πω ω+ +

+− − − + −

−

;

( )( )( )

2 13( )

2 3 2 1

n nG n

n n

−≡ ×

− −

( ) ( ) ( )( )2 2 29 1 12 12 11 3 9 5

4 2E en n n n n n W

nβ β

π× − − − + − − − + − +


205

( )( ) ( ) ( )

2 21 2

1 3 32 3 2 5

4 4E g E g

n n

n Q Qn nβ β β β

π πω ω− −

−− − − −

−

+

;

( )( ) ( )1 3

4( ) 2 12 3 4

E g

n n QG n n

nβ β

π+

≡ − −+

;

( ) ( )2 3

5 2 32 1 4

E g

n QG n

nβ β

π≡ − −

−

;

( ) ( ) ( ) ( )( )2 21 2 1 3 1 2 2 72

k

nK n k n k k W m k k k n

kmn kmnγ ω= − + + + − + + + − − + +

21

2kmn k

nW

kα ω+ +

; 1

1 12 2

kmn kmn kmn

n nK k

k mη α= − + + +

200 0

nkmn k mK C= ; ( ) ( ) ( )

0 00 0 1 11 1 n n

kmn k m k mk k m m C Cα −= − + + ,

где ( )0 00 0 1 1,n n

k m k mC C − – коэффициенты Клебша-Гордана.

Необходимость исключения из решений уравнения (32) секу-лярных слагаемых приводит к требованию, чтобы первая квад-ратная скобка в функции неоднородности (правой части (32)) об-ращалась в ноль. Этого можно добиться, если положить

( ) ( )(1)

(1)11

1

2 1( ) 0nn n

dA Ti G n A T

dTω− + = ,

( )(3 2)1 2

1 2

0ndA T

dT= . (33)

Согласно второму из этих уравнений амплитуды порядка ма-лости 3/2 от временного масштаба 1 2T не зависят, следовательно,

в (4.6) (3 2)na и (3 2)

nb – константы, для определения которых необ-ходимо учесть начальные условия. Первое из уравнений (33) по-зволяет определить зависимость амплитуд первого порядка мало-сти от медленного временного масштаба 1T . Выражая в нём

( )(1)1nA T через действительные функции ( )(1)

1na T , ( )(1)1nb T и требуя

обращения в ноль действительной и мнимой частей уравнения, несложно получить

( )(1) (0)1n na T a= , ( )(1) (0)

1 1

1( )

2n nn

G nb T T b

ω= − + , (34)


206

где (0)na и (0)

nb – константы, определяемые из начальных условий.

Величины ( )(1)1nb T определяют поправки к частотам собст-

венных колебаний поверхности капли, связанные с отклонением её равновесной формы от сферической и наличием в окружаю-щем пространстве электростатического и гравитационного полей. С учётом (34) амплитуды колебательных мод первого порядка малости ( )(1)

nM t вместо (4.3) запишутся в виде

( ) ( ) ( )0 0(1) 1( )2 cos

2n n n n

n

G nM t a t bω ε

ω= − +

. (35)

Выражения для амплитуд второго порядка малости ( )(2)0nM T

)2( ≥n получим, решая уравнение (32) с учётом соотношений (33):

( )(2) (2) (1) (1)0 2 2 2 0 2 2 2 0exp( ) exp( ) exp( )n n n n n n n n nM t A i T A i T A i Tω χ ω χ ω+ + + − − −= + + +

(3 2) (3 2)1 1 1 0 1 1 1 0exp( ) exp( )n n n n n nA i T A i Tχ ω χ ω+ + + − − −+ + + (36)

( ) ( ) ( )(1) (1) (1) (1)0 0

0 0

exp( [ ] ) exp( [ ] ) . .k mn k m k n k mn k m k nk m

A A i T A A i T к сλ ω ω λ ω ω∞ ∞

+ −

= =

+ + + − + ;

( )2 2 22

2( )n

n n

G nχω ω+

+

=−

; ( )2 2 22

3( )n

n n

G nχω ω−

−

=−

; ( )1 2 21

4( )n

n n

G nχω ω+

+

=−

( )1 2 21

5( )n

n n

G nχω ω−

−

=−

; ( ) ( ) ( )( )( )22

1

2

k mn mkn k m k mn mkn

kmn

n k m

γ γ ω ω η ηλ

ω ω ω±

+ ± +=

− ±

.

Принятое ограничение точности данного рассмотрения вто-рым порядком малости позволяет определить зависимость коэф-фициентов (2)

nM лишь от временного масштаба 0T . В связи с этим

в (36) следует принять ( ) ( )( )2 2(2) expn n nA a i b= ⋅ ⋅ , ( ) ( )( )0 0(1) expn n nA a i b= ⋅ ⋅ ,

а действительные константы ( )2na и ( )2

nb , так же как и ( )0na , ( )0

nb , ( )3 2na , ( )3 2

nb , определятся из начальных условий.


207

7. Начальные условия (21) подстановкой в них разложения (22) для возмущения ( ),tξ θ превращаются в систему начальных

условий для функций разных порядков малости:

0 :t = ( )(1)i i

i

h Pξ μ∈Ξ

= ; (1)

0

0T

ξ∂=

∂; (3 2) 0ξ = ;

(3 2) (1)

0 1 2

0T T

ξ ξ∂ ∂+ =

∂ ∂;

( ) ( )(2)0 0 1 1P Pξ ξ μ ξ μ= + ;

(2) (3 2) (1)

0 1 2 1

0T T T

ξ ξ ξ∂ ∂ ∂+ + =

∂ ∂ ∂.

Учёт (25) и полученных в ходе решения соотношений (1)

1 2 0ndM dT = и (3 2)1 2 0ndM dT = позволяет привести данную сис-

тему к виду

0 :t = ( )(1),n i i nM t h δ= ;

( )(1)

0

0nM t

T

∂=

∂; ( )(3 2) 0nM t = ;

( )(3 2)

0

0nM t

T

∂=

∂; ( )(2)

0 ,0 1 ,1n n nM t ξ δ ξ δ= + ; ( ) ( ) ( ) ( )2 1

0 1

0n nM t M t

T T

∂ ∂+ =

∂ ∂,

где ,i∈Ξ ,i jδ – дельта-символ Кронекера.

Подставим в систему начальных условий решения (31), (35), (36) и после определения действительных констант ( )0

na , ( )0nb ,

( )3 2na , ( )3 2

nb , ( )2na , ( )2

nb получим в окончательном виде

( )2n ≥ ( ) ( )[ ](1), cosn i i n n nM t h tδ ω εδ= − ; 1( ) 2n nG nδ ω≡ ;

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )3 2

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1cos cos cosn n n n n n n n n n n nM t h h t h t h tχ χ ω χ ω χ ω− − + + − − − + + += − + + + ;

( )( )

( )( )( ) ( )( )( )( )2 2

1 1

(2) 2 3 1 2 1 12 1

n

n nn

hn n n n

n nM t χ χ+ −+ + + − − +

+= −

( )( )( )( ) ( )( )2 2 1 2 2

1 2

1

1 22 1

2 5n n n E g

n n

n nh Q n

nχ χ β β

ω ω+ + ++ +

+ ++ − + − +

− +

( )( )( )

( )( ) ( )2

2 2 1 12 21 2

12 5 cos

2 3n n n E g n

n n

nh Q n t

nχ χ β β ω

ω ω− − −− −

−+ − − − +

− −

( ) ( )2 2 2 2 2 2cos cosn n n n n nh t h tχ χω ω+ + + − − −+ + +


208

( ) ( )( )

( ) ( )( )( )( )

( )2 111 12 2

1 2

2 2 12 3cos

2 1 2 51 n E gn n

n n

n n

h n Q nn ht

n n nn

β βχχ ω

ω ω++

+ ++ +

+ + −++ − +

+ − +

+

( ) ( )( )

( )( )( )( )

( )2

1 1 12 2

1 2

1 2 52 1cos

2 1 2 31

( 1)n E g

n n n n

n n

h Q nnh t

n n nn

n β βχ ω

ω ωχ −

− − −

− −

− −−+ − +

+ − −−

−

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) cos cos cos cos2

i j

ijn i j n ijn i j n

i j

h ht t t tλ ω ω ω λ ω ω ω+ −

∈Ξ ∈Ξ

+ + − + − − ;

1

3

4

QQ

π≡ ; ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1

0 1 0 1

3 2 3 2 0M t M t M t M t= = = = ;

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )2

22

0 2 2

2cos cos

2 1 15i

i ei

hM t t h t

iω β ω

∈Ξ

= − −+ ;

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )2 11 1 3 3

9 9cos cos cos

2 1 2 1 35i i

i i ei

i h hM t t t h t

i iω ω β ω−

−∈Ξ

= − −− + .

(37) Таким образом, окончательно для формы поверхности ос-

циллирующей заряженной капли, находящейся во внешнем одно-родном электрическом и гравитационном полях, запишем сле-дующее выражение:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )12123

0

, 1 n nn

r t e M t PPθ μ ε μ∞

=

= + + +

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )3 2 23 2 2 5 2

0 0n n n n

n n

M t P M t P Oε μ ε μ ε∞ ∞

= =

+ + + , (38)

в котором амплитуды ( ) ( ) ( )1; 3 2; 2i

nM t i = определяются по фор-

мулам (37). 8. Особенностью проведенных расчетов и финальных выра-

жений (37) – (38) является то, что основные физические парамет-ры задачи не независимы, а связаны между собой соотношением неподвижности центра масс (7) и выражением для эксцентриси-тета равновесной сфероидальной формы капли (9). В итоге экс-центриситет заряженной капли, подвешенной в электростатиче-ском и гравитационном полях, в области малых зарядов будет уменьшаться с ростом заряда W , а в области зарядов, близких к критическому по Рэлею значению, – увеличиваться [134]. В об-


209

ласти величин зарядов, соответствующих значениям параметра Рэлея 1 ≤ W ≤ 3 эксцентриситет практически не меняет своего значения, по-видимому, увеличение поверхностной плотности собственного заряда капли компенсируется уменьшением по-верхностной плотности заряда, индуцированного внешним элек-тростатическим полем.

Нелинейные поправки к частотам ε · δn появляются в рас-сматриваемой задаче не из-за нелинейного взаимодействия мод, как при исследовании нелинейных осцилляций заряженной кап-ли, а благодаря отличию равновесной формы капли от сфериче-ской, гравитации и взаимодействию заряда капли с электростати-ческим полем [134]. Они имеют первый порядок малости по ам-плитуде отклонения, зависят от величины заряда капли, наличия электрического и гравитационного полей и приводят к уменьше-нию частот, следствием чего является снижение критических ус-ловий реализации неустойчивости капли по отношению к супер-позиции собственного и индуцированного заряда в соответствии с соотношением 2 2

2 2 2 2( ) 2 0− ≈ − =ω εδ ω εδ . Причем данный эф-фект будет существенен как при малых собственных зарядах ка-пель и больших напряженностях электростатического поля, так и наоборот – при больших зарядах и малых напряженностях.

Количество и положения внутренних нелинейных резонан-сов, характеризующихся слагаемыми в (37), пропорциональными коэффициентам ( )

kmn±λ , стремящимися к бесконечности при выпол-

нении условий 2 2( )n k m= ±ω ω ω , в использованном порядке при-ближений не зависят от наличия внешних полей, определяются только зарядом капли и не отличаются от ранее проанализиро-ванной ситуации свободной заряженной капли.

Результаты численных расчетов по (37) – (38) форм нелиней-но-осциллирующих заряженных капель, подвешенных в гравита-ционном и электростатическом полях, в различные моменты вре-мени показывают [134], что при нелинейных осцилляциях заря-женных капель, подвешенных в электростатическом и гравита-ционном полях, а именно такого типа устройства используются для проверки справедливости критерия Рэлея, с вершины капли с большой кривизной может начаться сброс избыточного заряда (см. сказанное выше о снижении критических условий реализа-


210

ции неустойчивости), что приведет к искажению получаемых в экспериментах данных [100 – 104].

Нелинейные поправки к амплитудам нулевой (2)0 ( )M t и пер-

вой (трансляционной) (2)1 ( )M t мод содержат слагаемые, пропор-

циональные косинусам частот основной (второй) и третьей мод соответственно, обращающиеся в ноль при отсутствии номеров этих мод в спектре, определяющем начальную деформацию. В ситуации нелинейно-осциллирующей заряженной капли такие слагаемые отсутствовали, и их появление связано с наличием стационарной деформации капли в электрическом поле.

Появление в анализируемой задаче по сравнению со случаем свободных заряженных капель в форме образующей (38) слагае-мого 3/ 2 ε , связанно с присутствием гравитационного и электро-статического полей. При 0 0E → 0g → , обсуждаемое слагаемое обращается в ноль.

Спектр нелинейно-осциллирующих мод в рассматриваемой ситуации совпадает со спектром мод нелинейно-осциллирующей свободной капли, однако сами реализующиеся осцилляции в рас-сматриваемой ситуации имеют другие амплитуды и более слож-ную структуру.

9. Нелинейные осцилляции заряженной капли, подвешенной в коллинеарных гравитационном и однородном электростатиче-ском полях, обладают рядом особенностей, не встречающихся при нелинейных осцилляциях свободной заряженной капли. В частности, изменяется форма образующей капли, а нелинейные поправки к частотам появляются уже в расчетах второго порядка малости, обязаны своим происхождением равновесной деформа-ции капли во внешних силовых полях и приводят к снижению ус-тойчивости капли по отношению к поверхностному заряду.


211

7. Влияние вязкости жидкости на нелинейные осцилляции

заряженной капли

7.1. Временная эволюция формы поверхности деформированной в начальный момент времени

заряженной капли вязкой жидкости в линейном приближении

1. Задача аналитического расчета нелинейных осцилляций заряженной капли до сих пор решалась лишь в приближении иде-альной жидкости [1, 29, 52, 69, 71, 73, 82 – 83], нелинейные ана-лизы осцилляций вязких капель до сих пор выполняются лишь численными методами [9 – 11]. Попытка аналитического асим-птотического расчета нелинейных осцилляций капли с произ-вольной вязкостью, предпринятая в [135], привела к весьма гро-моздким выражениям на финальной стадии анализа и трудностям чисто математического плана. Представляется, однако, что в пре-дельных ситуациях весьма большой и весьма малой вязкости от-меченные в [135] трудности удастся обойти. В этой связи в на-стоящем рассмотрении решается задача об исследовании времен-ной эволюции формы заряженной капли вязкой жидкости, деформированной в начальный момент времени, в линейном по амплитуде осцилляций приближении, и получаются асимптотики большой и малой вязкости. Следует отметить, что в ранее прове-денных рассмотрениях линейных осцилляций заряженной капли вязкой жидкости основным результатом линейной теории явля-лось дисперсионное уравнение задачи, анализ которого позволял судить о режимах осцилляций и об устойчивости капли [45, 136 – 138], а начальные условия вообще не входили в постановку зада-чи. Исследования временной эволюции формы осциллирующей капли сводились к выписыванию асимптотических выражений для декрементов затухания. В связи со сказанным проводимый в настоящей работе анализ представляет качественно иной подход к анализу осцилляций капли вязкой жидкости в рамках линейной теории, являясь, по сути, линейной стадией решения задачи о расчете нелинейных осцилляций вязкой капли.


212

2. Пусть сферическая капля радиуса r0 идеально проводящей несжимаемой вязкой жидкости с плотностью ρ , кинематической вязкостью v, коэффициентом поверхностного натяжения σ несет электрический заряд Q. Поле скоростей течения жидкости в кап-ле обозначим ( , , )U r t

ϑ , поле давлений – ( , , )P r tϑ , потенциалы

электрического поля в окрестности капли и на ее поверхности обозначим ( , , )r tφ ϑ и ( )S tφ соответственно. Уравнение поверхно-сти капли, совершающей осесимметричные осцилляции, в любой момент времени t запишем в сферической системе координат r, ϑ , φ в виде

),(),,( 0 trrtrF ϑξ−−=ϑ ; (1)

с начальным условием

:0=t ( ), cosm mm

h P∈Ω

= ≡ξ ε μ μ ϑ , (2)

где ε – малый параметр, характеризующий амплитуду начального возмущения; ( )mP μ – полином Лежандра порядка m; Ω – множе-ство индексов изначально возбужденных мод; hm – константы, учитывающие парциальный вклад m-й моды в формирование на-чальной формы капли, такие что (1)m

m

h O∈Ω

= .

Математическая формулировка задачи о расчете капилляр-ных колебаний заряженной капли, форма которой определяется (1)-(2), вязкой несжимаемой электропроводной жидкости имеет вид [136 – 137]:

( ) UpgradUUUt Δν+ρ

−=∇⋅+∂ 1; 0=Udiv ; 0=φΔ ;

0=t : 0=U ;

0→r : ∞<U ;

+∞→r : 0→φ∇ ;

( )trr ,0 ϑξ+= : )(tSφ=φ ; ( ) 0=∇⋅+∂ FUFt ;


213

( ) ( ) 0=∇⋅τ⋅+∇⋅⋅τ UnUn ; ( ) 02 =+−∇⋅⋅νρ+− σppUnnp Q ;

QdSnS

π−=φ∇⋅ 4 ; π≤ϕ≤π≤ϑ≤ξ+=ϕϑ= 20;0;,, 0rrrS ;

π=ϕϑϑ

V

rdddrr 30

2

3

4sin ;

π≤ϕ≤π≤ϑ≤ξ+≤≤ϕϑ= 20;0;0,, 0rrrV ;

=ϕϑϑ→

V

dddrrr 0sin2 ,

где символ t∂ означает частную производную по переменной t; n

и τ – единичные вектора нормали и касательной к поверхности капли; pσ и pQ – давления сил поверхностного натяжения и элек-трического поля собственного заряда определяются выражениями

( )28

1 φ∇π

=Qp , ( )np ⋅∇σ=σ .

3. Поскольку выписанная система уравнений является нели-нейной, то для отыскания ее решения в рамках метода прямого разложения [53-54] все искомые величины задачи представим в виде рядов по малому параметру ε :

( ) ( ) ( )2)1( ,, ε+ϑξε=ϑξ Ott ;

( ) ( ) ( ) ( )2)1()1( ,,,,,, ε+ϑε+ϑε=ϑ ϑϑ OetrUetrUtrU rr ;

( ) ( ) ( ) ( )2)1()0( ,,,,,, ε+ϑε+ϑ=ϑ Otrptrptrp ;

( ) ( ) ( ) ( )2)1()0( ,,,,, ε+ϑφε+φ=ϑφ Otrtrtr ;

( ) ( ) ( ) ( )2)1()0( ε+φε+φ=φ Ottt SSS .

3а. Подставляя эти разложения в выписанную систему урав-нений и приравнивая коэффициенты при нулевой степени малого параметра, получим систему уравнений нулевого порядка малости

0)0( =φΔ ;


214

:+∞→r 0)0( →φ∇ ;

0rr = : ( ) Qdr r 2cos1

1

)0(20 −=ϑφ∂

−

; )()0()0( tSφ=φ ;

0)0()0()0( =+−− σppp Q ,

решая которую, найдем

r

Q=φ )0( ; 0

)0(

r

QS =φ ;

04

0

2)0( 2

8 rr

Qp

σ=π

+ . (3)

3b. Выделяя слагаемые, содержащие малый параметр в пер-вой степени, и учитывая векторное тождество

( ) ( )UrotrotUdivgradU −=Δ ,

получим задачу первого порядка малости, которая будет иметь вид

( ) −∂ϑ+∂ν+∂

ρ−=∂ ϑϑϑ

)1(2

)1(2

)1()1( 11rrrrt U

r

ctgU

rpU

( ) ( )ϑ−∂−∂ϑ−∂− ϑϑϑϑϑϑ

)1(2

)1(2

)1()1( 11U

r

ctgU

rU

r

ctgU

r rr ;

∂−∂+∂ν+∂

ρ−=∂ ϑϑϑϑϑ

)1()1()1()1()1( 1211rrrrrt U

rU

rUp

rU ;

( )0

12 )1()1()1()1( =ϑ+∂++∂ ϑϑϑ Ur

ctgU

rU

rU rrr ; 0)1( =φΔ

0=t : ( )Ω∈

με=ξm

mmPh)1( ; 0)1(=U ;

0→r : ∞<)1(

U ; +∞→r : 0)1( →φ∇ ;

0rr = : )1()1(rt U=ξ∂ ; 0

11 )1()1()1( =−∂+∂ ϑϑϑ Ur

Ur

U rr ;


215

( )−φ∂ξ+φ∂φ∂π

−∂νρ+− )0()1()1()0()1()1(

4

12 rrrrrr Up

– ( ) 02 )1(2

0

=ξΔ+σΩ

r;

( )( ) ( ) 021

1

)0()0(0

)1()1(0 =μφ∂+φ∂ξ+φ∂

−

drr rrrr ;

)()1()0()1()1( tSr φ=φ∂ξ+φ ;

−

=μξ1

1

)1( ;0)(d ( )−

=μμξ1

11

)1( 0)(dP , (4)

где ΩΔ – угловая часть оператора Лапласа. 4. В системе (4) выполним преобразование Лапласа по вре-

мени, то есть от функций перейдем к их изображениям [139]:

( ) ( ) ( ) tdtStfSF −= ∞+

0

exp ; )1(rUf = ; )1(

ϑ=Uf ;

)1(pf = ; )1(ξ=f ; )1(φ=f ; )1(Sf φ= .

Изображения Лапласа разложим по бесконечному набору по-линомов Лежандра:

( ) ( ) ( )∞+

=μ=ϑ

0

)1()1( ,,,n

nnrr PSrUSrU ; ( ) ( ) ( )∞+

=ϑϑϑ μ∂=ϑ

0

)1()1( ,,,n

nn PSrUSrU ;

( ) ( ) ( )∞+

=μξ=ϑξ

0

)1()1( ,n

nn PSS ; ( ) ( ) ( )∞+

=μφ=ϑφ

0

)1()1( ,,,n

nn PSrSr ;

( ) ( ) ( )∞+

=μ=ϑ

0

)1()1( ,,,n

nn PSrpSrp ; (5)

В результате чего система (4) примет вид

( ) ( )+∂ρ

−= SrpSrUS nrnr ,1

, )1()1(


216

( ) ( ) ( ) ( )

−+∂+ν+ ϑϑ SrU

rSrU

rSrU

rnn nrnnr ,

1,

1,

11 )1(

2)1(

2)1( ; (6)

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

∂−∂+∂ν+

ρ−= ϑϑϑ SrU

rSrU

rSrUSrp

rSrUS nrrnrnrrnn ,

1,

2,,

1, )1()1()1()1()1( ;

(7)

( ) ( ) ( ) ( ) 0,1

,2

, )1()1()1( =+−+∂ ϑ SrUr

nnSrU

rSrU nnrnrr ; (8)

0→r : ( ) ∞<SrU nr ,)1( ; ( ) ∞<ϑ SrU n ,)1( ; (9)

0rr = : ( ) )1()1(nrnn UhSS =−ξ ; (10)

( ) ( ) ( ) 0,1

,1

, )1()1()1( =−+∂ ϑϑ SrUr

SrUr

SrU nnrnr ; (11)

( ) ( ) ( ) ( )( )+φ∂ξ+φ∂φ∂π

−∂νρ+− )0()1()1()0()1()1( ,41

,2, rrnnrrnrrn SSrSrUSrp

( )( ) ( ) 012 )1(2

0

=ξ−+σ+ Snnr

n ; (12)

( ) ( ) −

∞+

==μμξ

1

1 0

)1( ;0)(dPSn

nn ( ) ( ) ( ) −

∞+

==μμμξ

1

11

0

)1( ;0)(dPPSn

nn (13)

( ) ( ) ( ) 0,)1(,2

, )1()1()1( =φ+−φ∂+φ∂ SrnnSrr

Sr nnrnrr ; (14)

+∞→r : ( ) 0,)1( →φ∂ Srnr ; ( ) 0,)1( →φ Srn ; (15)

0rr = : ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) 02,1

1 0

)0()0(0

)1()1(0 =μμφ∂+φ∂ξ+φ∂

−

∞+

=dPrSSrr n

nrrrnnr ;

(16)

( ) ( ) ( ) 0)1()0()1()1( , nSrnn SSSr δφ=φ∂ξ+φ , (17)

где 0nδ – символ Кронекера.


217

Решение системы (6) – (17) начнем с решения уравнений (13), которые с учетом условия ортогональности полиномов Лежандра приводят к условиям ( ) ( ) 0)1(

1)1(

0 =ξ=ξ SS . Используя эти условия и решение нулевого порядка малости, (3) нетрудно найти решение системы уравнений (14)-(17), которое имеет вид

( ) 0)1( =φ SS ; ( ) ( )Sr

r

r

QSr n

n

n)1(

10

20

)1( , ξ

=φ

+

. (18)

Для того чтобы найти поля скоростей жидкости и давления в капле, из уравнения неразрывности (8) выразим ( )SrU n ,)1(

ϑ :

( ) ( ) ( ) ( )

+∂

+=ϑ SrU

rSrU

nn

rSrU nrnrrn ,

2,

1, )1()1()1( , (19)

а из уравнения (7) ( )Srpn ,)1(

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

∂−∂+∂νρ+ρ−= ϑϑϑ SrU

rSrU

rSrUrSrUrSSrp nrrnrnrrnn ,

1,

2,,, )1()1()1()1()1( .

(20)

Выражения (19) и (20) подставим в (6), после чего оно при-мет вид [18]

( )( ) ( )( ) ( ) 0,214214 )1(

22 =

ν−+−−∂+∂

+−−∂+∂ SrU

S

r

nn

rr

nn

r nrrrrrrr .

(21)

Решение уравнения (21), удовлетворяющее условиям ограни-ченности (9), имеет вид

( ) ( ) ( )

ν

+= − rS

jr

SBrSASrU nnn

nnr1

, 1)1( , (22)

где ( )SAn , ( )SBn – произвольные постоянные, nj – модифициро-ванная сферическая функция Бесселя первого рода порядка n.

Подставляя (22) в (19) и (20), найдем ( )SrU n ,)1(ϑ и ( )Srpn ,)1( :

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

∂+

++

+= − r

SjSBr

Sj

rSBrnSA

nnSrU nrnnn

n

nn ννϑ

11

1

1, 1)1( ;

(23)


218

( ) ( ) nnn r

n

SSASrp

ρ−=,)1( . (24)

Подставив теперь (3), (18), (22) – (24) в уравнения (10) – (12) получим систему трех уравнений для отыскания зависимостей

( )SAn , ( )SBn , ( )Sn)1(ξ :

( )( ) ( ) ( ) ( )χ+=−ξ nnn

nnn jSBrSAhSSr 0)1(

0 ;

( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) 021112 20 =χ∂χ+χ+−++− χχ nnnn

n jjnnSBrnnSA ;

( ) ( ) ( )( )SrnnrSASr nnnn

200

)1(30

2 12 +−ν+ξω

( ) ( ) ( )( ) 02 =χ−χ∂χν+ χ nnn jjSBn ; (25)

0rS

ν=χ ; ( )

πσ−+−

ρσ=ω

30

2

30

2

421

r

Qnnn

rn .

Используя рекуррентные соотношения для модифицирован-ных сферических функций Бесселя [140]

( ) ( ) ( )χχ

+χ=χ∂ +χ nnn jn

jj 1 ; ( ) ( ) ( )χχ+−χ=χ∂ −χ nnn j

njj

11 ;

( ) ( ) ( ) ( )χχ

−χ

χ−+=χ∂ +χχ 12

211 nnn jj

nnj

из системы (25) найдем функции ( )Sn)1(ξ , ( )SAn , ( )SBn и, под-

ставляя их в выражения (22) – (24), получим

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )SD

h

j

j

rnn

rnnSS

n

n

n

nn

χχχ−ν+−+ν+−+=ξ

−

+

1

12

0

22

0

)1(

211121212 ;

( ) ( ) ( )( )

−

χχ

χ

ν+−=

+1

2

112,

1

202)1(

n

nnr j

jSrnSrU ×

×( )( ) ( )

1

0

21

121

−−

+

ω

χχχ−

n

n

nn

n

n

r

r

SD

h

j

j+


219

( ) ( )( ) ( ) ( )

νχ

νω

χχ

χ−−+

−+ r

Sj

rSD

h

jSrj

jn n

n

n

n

n

n

n 12112

0

2112 ;

( ) ( ) ( )( )

( )( )

12

(1) 2 0

1 1

1, 2 1 1 1

2 2n n

nn n

j jr SU r S n

j j

−

ϑ+ +

χ χχ= − + − − ν χ χ χ ×

×( ) ( ) ( )

( )

1121

0

22 1 1

n

nn n

n n

jh rn

n D S r j

−−+ χ ω + − − χ χ ( ) ( )

2

0

n n

n n

h

r S j n D S

ω νχ

νν

+

ν

++ r

Sj

Sr

Sj

r

nnn 1

1;

( ) ( ) ( )( )

−

χχ

χ

ν

+−−=+

12

112,

1

202)1(

n

nn j

jSrnSrp ×

×( )( )

1

1

12

n

n

j

j

−

+

χχ− χ ( )2

10

nn n

nn

S h r

n D S r −ρω

; (26)

( ) ( )( ) +ν+−+=2

0

2 1212r

SnnSSDn

( ) ( ) ( )( )

21

12

0

2

21112 n

n

n

j

j

r

Snn ω+

χχχ−ν+−

−

+.

Из вида выражений (26) видно, что они имеют особые точки,

положение которых определяется условием ( )( ) 0kn nD S = . Уравне-

ние же ( )( ) 0kn nD S = представляет собой дисперсионное уравнение

задачи и имеет бесконечное число решений, в каждом из которых

функция ( )( )1 ( )kn nD S имеет полюс первого порядка. Кроме того,

каждое из выражений (26) при S →∞ стремится к нулю, что по-зволяет в формуле обратного преобразования Лапласа

( ) ( ) ( )∞+γ

∞−γπ=

i

i

SdtSSFi

tf exp2

1


220

интеграл вдоль прямой ReS = γ заменить контурным интегралом, охватывающим всю левую часть комплексной плоскости, и при-менить к этому интегралу теорему о вычетах. В результате фор-мула обращения примет вид

( ) ( ) ( )[ ]∞+

=⋅=

1

,expk

kStSSFВычtf . (27)

Подставляя (26) в (5), используя формулу обращения (27) и начальные условия, найдем выражения для отклонения поверх-ности капли от равновесной сферической и полей давления и скоростей течения жидкости в капле:

( ) ( ) ( )Ω∈

μξ=ϑξn

nnn Phtt )1()1( , ;

( ) ( ) ( )Ω∈

μ=ϑn

nnnrr PhtrUtrU ,,, )1()1( ;

( ) ( ) ( )Ω∈

ϑϑϑ μ∂=ϑn

nnn PhtrUtrU ,,, )1()1( ;

( ) ( ) ( )Ω∈

μ=ϑn

nnnn Phtrptrp ,,, )1()1( , (28)

где ( ) ( ) ( )∞+

=ξ=ξ

1

)()1( expk

kn

knn tSSat ;

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

∞+

=

−

ηη+

=

1

)(

0)(

)(1

0

)()1( exp1

,k

knk

nn

knnk

n

nk

nnr tSrj

rj

rSb

r

rSatrU ;

( ) ( ) ( ) ( )( )

( )( )

∞+

=

+−

ϑ

ηη

+η

+ηη

+

=

1 0)(

)(1

)(

0)(

)()(

1

0

)()1(

1

1,

kk

nn

knn

kn

knn

knnk

n

nk

nnrj

rj

nrj

rj

rSb

r

rSatrU

( )n

tS kn

)(exp ;

;1)()( −ν≡η kn

kn S ( ) ( ) ( )( )

(1) ( ) ( )0

1 0

exp ,

n knk k

n n nk

S trp r t r a S S

r n

+∞

=

= − ρ

;

(29)


221

( ) ( )( ) ( ) ( )

ν+−+ν+−+=ξ 20

22

0

)()( 1121212r

nnr

nnSSa kn

kn

( )( )

χχχ−

−

+

1

121

n

n

j

j

( ))(

1k

nnS SD∂;

( ) ( ) ( )( )

−

χχ

χ

ν+−=

+1

2

112

1

)(202)(

n

nk

nkn j

jSrnSa

( )( ) ( ))(

21

121

knnS

n

n

n

SDj

j

∂ω

χχχ−

−

+;

( ) ( ) ( )( ) ( ))()(

0

2112)( 2

112k

nnSk

n

n

n

nkn

SDSrj

jnSb

∂νω

χχ

χ−−=

−+ ;

( ) ( )( ) +ν+−+=∂2

0

)()( 12122r

nnSSD kn

knnS

( ) ( ) ( ) ( )( )

( )( )

χχ−χ+

χχχ++ν+−+

++

2

1

2

12

0

2 122

12211

n

n

n

n

j

j

j

jn

rnn

( )( )

2

121

−

+

χχχ−

n

n

j

j .

Отметим, что в выражениях (29), определяющих коэффици-

енты разложений (28) ( )tn)1(ξ , ( )trU nr ,)1( , ( )trU n ,)1(

ϑ , ( )trpn ,)1( , сум-

мирование ведется по бесконечному набору корней уравнения ( )( ) 0k

n nD S = . 5. Рассмотрим случай маловязкой жидкости, т.е. ситуацию, в

которой вязкость жидкости является настолько малой, что аргу-мент сферической модифицированной функции Бесселя прини-мает достаточно большие значения, чтобы было справедливо асимптотическое разложение [140]

( ) ( ) ( ) ( )( )

χ+

χ+−+

χ+−

χχ=χ

32

2 1

8

21

2

11

2

expO

nnnnnjn ; ∞→χ .

(30)


222

Выпишем выражения для ( ))(knSaξ , ( ))(k

nSa , ( ))(knSb , ( ))(k

nn SD ,

ограничиваясь двумя первыми слагаемыми в ряде (30):

( ) ( )( ) ( ) ( ))(2/3

20

)()( 11212

knnS

kn

kn

SDO

rnnSSa

∂

ν+ν+−+=ξ ;

( ) ( ) ( ) ( ))(

22/3

)(20

2)( 121k

nnS

nk

n

kn

SDO

SrnSa

∂ω

ν+ν−+−= ;

( ) ( ) ( ) ( ))(

22/3

)(0

2)( 12k

nnS

nk

n

kn

SDO

SrnSb

∂ω

ν+ν−= ;

( ) ( ) ( )( ) ( )2/322

0

)(2)()( 1212 ν+ω+

ν+−+= O

r

SnnSSD n

knk

nk

nn . (31)

Из (31) видно, что в приближении малой вязкости дисперси-онное уравнение ( )( ) 0k

n nD S = имеет только два комплексно со-

пряженных корня n n nS i+ = −δ + ω и n n nS i− = −δ − ω , где

( )( ) 201 2 1 /n n n v rδ = − + , поэтому в выражениях (29) вместо беско-

нечных сумм будем иметь сумму по двум значениям (1)n nS S += и

(2)n nS S −= . При этом коэффициенты (29) примут более простой

вид:

( ) ( ) ( ) ( )tttt nnn

nnn δ−

ω

ωδ

+ω=ξ expsincos)1( ;

( ) ( ) ( ) ( ) ( )−δ−

ων−−ωω

−=

−

ttr

ntr

rtrU nnnn

n

nr expcos12sin,2

0

21

0

)1(

( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )ttirSj

rSjti

rSj

rSj

rrn nn

nn

nnn

nn

nn δωννω

ννν −

+−−−

−+

−+

−−

−−

expexpexp10

1

1

0

1

1

0

2 ;

( ) ( )

δ−−=

−

ϑ

1

0

)1( exp,

nn

n r

r

n

ttrU ( ) ( ) ( ) +

ων−−ωω t

rnt nnn cos12sin

20

2


223

( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) +

ω

ν

ν+ω−

ν

νν−+−+

−+

−−

−−

tirSj

rSjtiExp

rSj

rSj

rrn n

nn

nnn

nn

nn exp10

1

1

01

1

0

2

( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) +

+−−−+

−+

−++

−−

−−+ tii

rSj

rSjtii

rSj

rSj

rn n

nn

nnn

nn

nnn ωνν

ωνννω

expexp10

1

1

1

0

1

1

1

0

( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( )

ω

ν

ν+ω−

ν

νν−+−+

−++

−−

−−+ ti

rSj

rSjti

rSj

rSj

rn n

nn

nnn

nn

nn expexp120

1

11

01

11

20

;

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

ω

ων−

+ωδ−

ωρ= t

r

nt

n

t

r

rrtrp n

nn

nn

nn sin1

cosexp

,2

000

2)1( .

(32)

Можно видеть, что в выписанных выражениях оставлены от-ношения сферических цилиндрических функций, а не заменены согласно (30). Это обстоятельство связано с тем, что в центре ка-пли при 0r → аргументы сферических цилиндрических функ-ций, стоящих в (32) числителях, не будут малыми и асимптотиче-ское разложение (30) будет несправедливо.

Отметим, что выражения (32) при стремлении вязкости жид-кости к нулю переходят в хорошо известные выражения, спра-ведливые для идеальной жидкости:

( ) ( )tt nn ω=ξ cos)1( ; ( ) ( )tr

r

n

rtrp n

nn

n ω

ωρ= cos,

0

02

)1( ;

( ) ( )tr

rtrU nn

n

nr ωω

−=

−

sin,1

0

)1( ;

( ) ( )tnr

rtrU n

nn

n ωω

−=

−

ϑ sin,1

0

)1( .

6. Рассмотрим случай умеренно вязкой жидкости, когда в разложении модифицированной сферической цилиндрической функции [140]


224

( ) ( ) ( ) ( )( )

+

++⋅⋅χ+

+⋅⋅χ+

+χ=χ ...

52322!2322!11

!!12 2

4

1

2

nnnnj

n

n

(33)

ее аргумент χ достаточно мал, чтобы в выражении, стоящем в скобках, каждый последующий член ряда был меньше предыду-щего и выполнялось условие 2Re 0χ < так, чтобы ряд был знако-переменным, его можно было оборвать на нескольких первых слагаемых и вместе с тем вязкость такова, что еще существуют периодические осцилляции капли.

Ограничиваясь в (33) первыми двумя слагаемыми, можно найти выражения для коэффициентов ( ))(k

nSaξ , ( ))(knSa , ( ))(k

nSb и

для ( ))(knn SD в виде

( ) ( )( ) ( )

( )( )( )

3 2 2

( ) ( )2 2 ( )

0

3 4 8 6 3 2 1 2 4 3 1 1;

2 12 1 2 5

k kn n k

S n n

n n n n n na S S O

n r D Sn nξ

+ + + − + + ν = + + + ν ∂ + +

( ) ( ) ( )( )( )

( ))(

2

2

0

)(

2

2

23)( 1

12

3212

5212

922248k

nnS

n

k

n

k

n SDO

rSn

nn

nn

nnnSa

∂

+

++−+

+++++−= ω

νν ;

( ) ( )( )( ) ( ) ( ))(

2

0

)(2

0

2)( 1

325212

2

12

12k

nnS

n

k

n

k

n SD

rO

Srn

nnn

nSb

∂

++−

+++−−= ω

νν ;

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )

++

+++−+

+++++=

νων 1

12

34212

5212

36843 2

2

0

)(22)(

2

23)( O

r

S

n

nnnS

nn

nnnSD n

k

nk

n

k

nn .

(34)

Из выражения (34) хорошо видно, что дисперсионное урав-нение ( ) 0)( =k

nn SD в случае умеренной вязкости жидкости, как и для случая малой вязкости, имеет только два комплексно сопря-женных корня:

nnn iS γ+δ−=+ ; nnn iS γ−δ−=− ;

12

240

20

−νω

βνα=γ nnnn

r

r;

20r

nνα=δ ;


225

( )( )( )( )( )36843

3421521223

2

+++++−++=α

nnn

nnnnnn

( )( )( ) ( )222

23

342152

36843

++−+

+++=βnnnn

nnnn . (35)

Поэтому в выражениях (29) вместо бесконечной суммы бу-дем иметь сумму по двум значениям += nn SS )1( и −= nn SS )2( . Учи-тывая это, а также разложения (33) и (34) несложно получить асимптотические выражения для отклонения поверхности капли от равновесной сферической формы и полей скоростей и давле-ний жидкости в капле:

( ) ( ) ( ) ( )

γ

γνα

+γ⋅δ−=ξ tr

ttt nn

nnnn sincosexp

20

)1( ;

( ) ( ) ( ) ( )ttrn

nnr

r

r

nn

n

rtrU nn

n

n

nnnr γδ

γωα

sinexp1

2

342

1, 2

02

2

1

0

22

0

2)1( −

−+−

++

+=−

;

( ) ( )1

022

0

2)1(

342

3,

−

ϑ

+++

γωα

=n

n

nnn r

r

nnn

n

rtrU ×

×( )

( )( ) ( ) ( )ttrnn

nnr nn γδ−

+−

+− sinexp31

2 20

2 ;

( ) ( ) ( )×δ−

++++++

γωρ

= tr

r

nnnn

nnnrtrp n

n

n

nn exp

36843

922248,

023

230

2)1(

( )( )( )( ) ( ) ( )

γγ+γδ

++++++++++

× ttnnnnn

nnnnnnnnn cossin

922248342

9203428834232

234

.

(36)


226

7. Наконец, можно выделить область больших значений вяз-кости (таких, что ( ) nnr β>>ων 24

02 / ), когда периодические движе-

ния жидкости исчезают и капля может совершать только аперио-дические движения. Воспользовавшись, как и в предыдущем слу-чае, разложением (33), можно найти, что два корня дисперсионного +

nS и −nS определятся выражениями

( )( ) νω

++−+−=+

220

2 34212

12 nn

r

nnn

nS ;

20

2r

Snνα−≅−

и в широком диапазоне значений вязкости для них будет спра-

ведливо соотношение −nS >> +

nS (см. рис. 1). В такой ситуации

при построении асимптотического решения можно вообще огра-ничиться лишь одним корнем, тем, величина которого убывает с ростом вязкости, +

nS . В этом случае выражения (36) примут вид

( ) ( )tSt nn+=ξ exp)1( ;

( ) ( )( )( ) ( )tS

r

r

nnn

nnrtrp n

n

nn+

++++ωρ= exp

342

321,

020

2)1( ;

( ) ( ) ( )tSrn

nnr

r

r

nn

ntrU n

nn

nr+

−

−+−

+++

νω

= exp1

2

342

1

2, 2

022

1

02

2)1( ;

( ) ( )( )

( )( ) ( )tSrnn

nnr

r

r

nnn

ntrU n

nn

n+

−

ϑ

+−

+−

+++

νω

= exp31

2

342

3

2, 2

02

1

02

2)1( .

(37)

Отметим, что выражения (37) хорошо согласуются с точным ре-шением (29) только в те моменты времени, для которых будет вы-

полнено соотношение 1>>− tSn . При малых же временах, когда

величина tSn− сравнима с единицей, получающиеся решения для


227

компонент поля скорости ( ( )trU nr ,)1( , ( )trU n ,)1(ϑ ) очень сильно от-

личаются от своих истинных значений и пользоваться (37) нельзя.

Рис. 1. Зависимость отношения второго )2(nS и первого )1(

nS корней

дисперсионного уравнения ( ) 0)( =knn SD от безразмерной вязкости ν ,

рассчитанная для области большой вязкости, когда периодические движения в капле исчезают, при 1=W , 2=n

8. Для удобства численного анализа полученного решения

задачи о капиллярных колебаниях заряженной осесимметричной вязкой капли перейдем к безразмерным переменным, принимая

10 ==σ=ρ r . Тогда все физические величины задачи будут вы-ражаться в своих характерных масштабах. Так, масштабами дли-ны, плотности, времени, частоты, скорости, давления и кинема-тической вязкости будут соответственно величины

0r ; ρ ; σρ 3

0r ; 3

0rρσ

; 0rρσ

; 0r

σ;

ρσ 0r .

Примем, что радиус капель меняется в пределах от r0=10-4cm до r0=10-1cm. Поверхностное натяжение и плотность жидкостей в среднем составляют σ = 50 dyne/cm и ρ = 1 g/cm3. При принятых значениях физических параметров характерный масштаб измере-ния времени составит 5 · 10–7 s ÷ 10–3 s, масштаб измерения часто-ты 2 · 102 s–1 ÷ 107 s–1, масштаб измерения скорости 20 cm/s ÷


228

700 cm/s, масштаб давления 5 · 102 dyne/cm ÷ 5 · 10 5 dyne/cm, масштаб вязкости 7 · 10–2 cm2/s ÷ 2 cm/s.

При использованном обезразмеривании все величины задачи будут зависеть от параметра W = Q2/(4π), характеризующего ус-тойчивость капли по отношению к собственному заряду; безраз-мерной кинематической вязкости жидкости v; малого параметра ε; множества значений индексов изначально возбужденных мод Ω и констант hn(n∈Ω), учитывающих парциальный вклад n-й мо-ды в формирование начальной формы капли.

Численный анализ точного дисперсионного уравнения (см. (26)) ( ) 0)( =k

nn SD , проведенный при использованном обез-размеривании, указывает на то, что оно имеет бесконечное число корней. Среди корней дисперсионного уравнения при малой и умеренной вязкости v и 4<W имеются два комплексно сопря-женных корня (1)

nS и (2)nS с отрицательной вещественной частью,

мнимая часть ( ) ( ))1()2( ImIm nn SS −= которых определяет частоту колебаний поверхности капли (см. выражения (29)), а веществен-ная ( ) ( ))2()1( ReRe nn SS = – декремент затухания. Остальные корни

)(knS уравнения ( ) 0)( =k

nn SD с 3≥k являются отрицательными вещественными и определяют декременты затухания.

Вещественные части корней )1(nS и )2(

nS при увеличении вяз-кости жидкости увеличиваются по абсолютной величине, а мни-мые уменьшаются до полного исчезновения периодического движения при 65.0≈ν (см. рис. 2). При ν > 0.65 корни )1(

nS и )2(nS

становятся чисто вещественными отрицательными, один из кото-рых убывает по абсолютной величине, асимптотически прибли-жаясь к оси абсцисс с ростом ν (как показано на рис. 2), а другой увеличивается по модулю, асимптотически стремясь к линейному росту с увеличением вязкости (см. рис. 2 и рис. 3). Корни )(k

nS с более высокими номерами k с увеличением вязкости жидкости быстро уменьшаются по линейному закону (см. рис. 2).


229

Рис. 2. Зависимости вещественной ( ))(Re knS (a) и мнимой ( ))(Im k

nS (b)

компонент корней уравнения ( ) 0)( =knn SD от безразмерной вязкости ν ,

рассчитанные при 1=W , 2=n и различных k . Номер у кривой совпадает с номером корня k. Сплошная кривая – точное решение, пунктир – приближение маловязкой жидкости, штриховая – приближение умеренно вязкой жидкости

Рис. 3. Зависимости вещественных ( ))(Re knS компонент корней

точного дисперсионного уравнения ( ) 0)( =knn SD от безразмерной вязкости

жидкости v, рассчитанные при 1=W , 2=n и различных k. Номер у кривой совпадает с номером корня k


230

На основе рис. 2б можно провести разграничение между приближениями малой, умеренной и большой вязкостей. Из рис. 2б видно, что при ν > 0.1 различие между точным решением дисперсионного уравнения и приближением умеренной вязкости весьма мало (порядка толщины линии). При v < 0.05 частота ос-цилляций вязкой капли лучше аппроксимируется приближением маловязкой жидкости, тогда как приближение умеренной вязко-сти дает заниженное значение частоты в пределе v → 0. Прибли-жение большой вязкости естественно обозначится условием ис-чезновения периодических решений ν > 0.65.

Численные расчеты (см. табл. 1), указывают, что при увели-чении номера k корня дисперсионного уравнения ( ) 0)( =k

nn SD

коэффициенты ( )( )kna Sξ , ( )( )k

na S , ( )( )knb S , определяющие форму

поверхности осциллирующей капли, поля скоростей и давления в ней (см. (28) – (29)), быстро стремятся к нулю. Причем скорость их стремления к нулю зависит от вязкости жидкости.

Отметим также, что согласно (29) коэффициенты ( )( )kna Sξ ,

( )( )kna S , ( )( )k

nb S экспоненциально уменьшаются со временем,

причем декременты затухания, равные ( )( )Re knS , с увеличением

номера k быстро увеличиваются (см. табл. 1). Поэтому члены ря-дов (29) с большими номерами k весьма быстро стремятся к нулю с ростом времени, и определяющими становятся члены, соответ-ствующие первым двум корням уравнения ( ) 0)( =k

nn SD , имею-щие минимальные величины декрементов затухания. В итоге имеется хорошее численное согласие точных выражений (28) с приближенными, полученными в асимптотиках малой (32) и уме-ренной (36) вязкостей жидкости (см. рис. 4).

Представляется, что для дальнейшего нелинейного анализа целесообразно использовать приближение умеренной вязкости, которое в приближениях второго и третьего порядков малости по амплитуде начальной деформации приведет к вполне разрешае-мым неоднородным задачам.


231

Таблица 1

Величины безразмерных значений корней )(k

nS дисперсионного уравнения

( ) 0)( =k

nn SD и коэффициентов ( ))(k

nSaξ , ( ))(k

nSa , ( ))(k

nSb , вычисленные

при 2=n , 1=W и различных значениях безразмерной вязкости ν

k )(k

nS ( ))(k

nSaξ ( ))(k

nSa ( ))(k

nSb

01.0=ν1

i44660.2

04721.0

++−

i00936.0

50072.0

−−

i22244.1

03201.0

++

i00305.0

03274.0

++−

2 i44660.2

04721.0

−−−

i00936.0

50072.0

++

i22244.1

03201.0

−−

i00305.0

03274.0

−−−

3 28228.0− 00061.0− 01319.0 01301.0−4 78440.0− 00039.0− 00350.0 00319.0−5 47743.1− 00024.0− 00164.0 00129.0−6 36657.2− 00012.0− 00083.0 00055.0−7 45262.3− 00005.0− 00041.0 00024.0−8 73585.4− 00002.0− 00020.0 00011.0−9 21638.6− 00010.0 00005.0−10 89426.7− 00005.0 00003.0−11 76952.9− 00003.0 00001.0−12 84215.11− 00002.0

1.0=ν1

i36952.2

39951.0

++−

i07524.0

50799.0

−−

i12760.1

36731.0

++

i10615.0

39198.0

++−

2 i36952.2

39951.0

−−−

i07524.0

50799.0

++

i12760.1

36731.0

−−

i10615.0

39198.0

−−−

3 91160.2− 01548.0− 09730.0 05222.0−4 87661.7− 00045.0− 00671.0 00317.0−5 78764.14− 00003.0− 00099.0 00048.0−6 67140.23− 00023.0 00011.0−7 52866.34− 00007.0 00004.0−8 35961.47− 00003.0 00001.0−9 16433.62− 00001.0

1=ν1 90254.0− 16747.1 81096.8 86465.9−2 21851.6− 16697.0− 43380.0− 47210.1 3 93916.29− 00050.0− 02192.0 00703.0−4 80501.78− 00078.0 00035.0−5 88167.147− 00010.0 00005.0−6 71521.236− 00002.0 00001.0−


232

Рис. 4. Зависимость обезразмеренного коэффициента )1(nξ от безразмерного

времени t , построенная при 1=W , 2=n . Сплошная кривая – точное реше-ние, пунктир – приближение малой вязкости, штриховая – приближение умеренно вязкой жидкости. Когда пунктир или штриховая кривая не про-

сматриваются, они совпадают со сплошной линией: a) 01.0=ν ; b) 1.0=ν ; c) 4.0=ν


233

9. Проведенный в первом порядке малости по амплитуде на-чальной деформации анализ решений задачи о расчете временной эволюции капиллярных осцилляций заряженной капли вязкой не-сжимаемой электропроводной жидкости показал, что в исполь-зуемом приближении форма капли как функция времени, а также поля скоростей и давлений жидкости в ней представлены беско-нечными рядами по корням дисперсионного уравнения и конеч-ными суммами по номерам изначально возбужденных мод. В асимптотиках малой, умеренной и большой вязкости бесконеч-ные ряды по корням дисперсионного уравнения можно асимпто-тически корректно заменить конечным числом слагаемых и найти компактные, удобные для дальнейшего анализа аналитические выражения, которые могут быть использованы для отыскания приближений более высоких порядков малости по амплитуде на-чального отклонения

7.2. Нелинейные осцилляции заряженной капли вязкой жидкости

1. Результаты, полученные в параграфе 7.1, дают основания полагать, что нелинейные осцилляции заряженной капли вязкой жидкости, несмотря на свою громоздкость, вполне доступны для аналитического анализа в рамках асимптотического метода раз-ложения по амплитуде начальной деформации. Этой проблеме и посвящено настоящее рассмотрение.

2. Пусть имеется сферическая капля радиуса r0 идеально про-водящей несжимаемой вязкой электропроводной жидкости с плотностью ρ, коэффициентами кинематической вязкости v и по-верхностного натяжения σ, несущая электрический заряд Q. Поле скоростей течения жидкости в капле обозначим ( , , )U r tϑ

, поле

давлений – p(r, ϑ , t), потенциалы электрического поля в окрест-ности капли и на ее поверхности обозначим φ(r, ϑ , t) и ( )s tφ со-ответственно. Уравнение поверхности капли, совершающей осе-симметричные колебания, в любой момент времени t запишем в сферической системе координат r, ϑ , φ в виде

0),(),,( 0 =ϑξ−−≡ϑ trrtrF . (1)


234

Начальную деформацию капли зададим в виде суперпозиции мод:

:0=t ( )Ω∈

με=ϑξm

mm Ph)( ; 1=Ω∈m

mh ; ϑ≡μ cos , (2)

где ε – малый параметр, характеризующий амплитуду начального возмущения; ( )mP μ – полином Лежандра порядка m; Ω – множе-ство индексов мод, суперпозиция которых определяет начальную деформацию равновесной сферической формы капли.

Математическая формулировка задачи о расчете нелинейных осесимметричных капиллярных колебаний такой капли, форма которой в начальный момент времени определяется (1) – (2), имеет вид

( ) UpgradUUUt Δν+ρ

−=∇⋅+∂ 1; 0=Udiv ; 0=φΔ

0=t : 0=U ; 0→r : ∞<U ;

+∞→r : 0→φ∇ ; ( )trr ,0 ϑξ+= : )(tSφ=φ ;

( )trr ,0 ϑξ+= : ( ) 0=∇⋅+∂ FUFt ;

( ) ( ) 0=∇⋅τ⋅+∇⋅⋅τ UnUn ;

( ) ( ) 08

12 2 =σ+φ∇

π−∇⋅⋅νρ+− ndivUnnp ;

QdSnS

π−=φ∇⋅ 4 ; π≤ϕ≤π≤ϑ≤ξ+=ϕϑ= 20;0;,, 0rrrS ;

π=ϕϑϑ

V

rdddrr 30

2

3

4sin ;

π≤ϕ≤π≤ϑ≤ξ+≤≤ϕϑ= 20;0;0,, 0rrrV ;

=ϕϑϑ→

V

dddrrr 0sin2 . (3)


235

Символ t∂ означает частную производную по переменной t; τ и n

-орты касательной и внешней нормали к свободной поверх-

ности капли, определяемой соотношением (1). 3. Выписанная система уравнений является нелинейной, и ее

решение будем искать методом прямого разложения по малому параметру ε , для чего все искомые величины представим в виде асимптотических разложений по ε:

( ) ( ) ( ) ( )3)2(2)1( ,,, ε+ϑξε+ϑξε=ϑξ Ottt ;

( ) ( ) ( ) +ϑε+ϑε=ϑ rrrr etrUetrUtrU ,,,,,, )2(2)1(

( ) ( ) ( )3)2(2)1( ,,,, ε+ϑε+ϑε+ ϑϑϑϑ OetrUetrU ;

( ) ( ) ( ) ( ) ( )3)2(2)1()0( ,,,,,,,, ε+ϑε+ϑε+ϑ=ϑ Otrptrptrptrp ;

( ) ( ) ( ) ( ) ( )3)2(2)1()0( ,,,,,,, ε+ϑφε+ϑφε+φ=ϑφ Otrtrtrtr ;

( ) ( ) ( ) ( ) ( )3)2(2)1()0( ε+φε+φε+φ=φ Otttt SSSS , (4)

где re

, eϑ

– орты сферической системы координат. Подставляя данные разложения в выписанную систему урав-

нений и приравнивая коэффициенты при различных степенях ма-лого параметра ε, разделим исходную нелинейную задачу на со-вокупность связанных между собой линейных неоднородных за-дач.

3a. В нулевом порядке малости получим задачу

0)0( =φΔ ; :+∞→r 0)0( →φ∇ ; 0rr = : )()0()0( tSφ=φ ;

0)0()0()0( =+−− σppp Q ; ( ) Qdr r 2cos1

1

)0(20 −=ϑφ∂

−

,

решение которой имеет вид

r

Q=φ )0( ; 0

)0(

r

QS =φ ;

04

0

2)0( 2

8 rr

Qp

σ=π

+ . (5)

3b. Собирая слагаемые, содержащие малый параметр в пер-вой степени и учитывая векторное тождество


236

( ) ( )UrotrotUdivgradU −=Δ , (6)

выделим задачу первого порядка малости ( )

−∂ϑ+∂ν+∂

ρ−=∂ ϑϑϑ

)1(2

)1(2

)1()1( 11rrrrt U

r

ctgU

rpU

( ) ( )ϑ−∂−∂ϑ−∂− ϑϑϑϑϑϑ

)1(2

)1(2

)1()1( 11U

r

ctgU

rU

r

ctgU

r rr ;

∂−∂+∂ν+∂

ρ−=∂ ϑϑϑϑϑ

)1()1()1()1()1( 1211rrrrrt U

rU

rUp

rU ;

( )0

12 )1()1()1()1( =ϑ+∂++∂ ϑϑϑ Ur

ctgU

rU

rU rrr ;

0=t : 0)1(=U ; ( )

Ω∈με=ξ

mmm Ph)1( ; 0→r : ∞<

)1(U ;

0)1( =φΔ ; +∞→r : 0)1( →φ∇ ; 0rr = : )()1()0()1()1( tSr φ=φ∂ξ+φ ;

( )( ) ( ) 021

1

)0()0(0

)1()1(0 =μφ∂+φ∂ξ+φ∂

−

drr rrrr ;

−

=μξ1

1

)1( ;0)(d ( )1

(1)1

1

( ) 0P d−

ξ μ μ = ;

)1()1(rt U=ξ∂ ; 0

11 )1()1()1( =−∂+∂ ϑϑϑ Ur

Ur

U rr ;

( ) ( ) 0241

2 )1(2

0

)0()1()1()0()1()1( =ξΔ+σ−φ∂ξ+φ∂φ∂π

−∂νρ+− Ωr

Up rrrrrr ,

(7)

где ΩΔ – угловая часть оператора Лапласа в сферических коор-динатах.

Решение системы (7), с учетом (5), согласно предыдущему параграфу (см. также [141]) можно представить в виде

( ) ( ) ( )Ω∈

μξ=ϑξn

nn Ptt )1()1( , ; ( ) ( ) ( )Ω∈

μ=ϑn

nnrr PtrUtrU ,,, )1()1( ;


237

( ) ( ) ( )(1) (1), , ,n nn

U r t U r t Pϑ ϑ ϑ∈Ω

ϑ = ∂ μ ; ( ) ( ) ( )(1) (1) , , ,n nn

p r t p r t P∈Ω

ϑ = μ ;

( ) ( ) ( )(1) (1) , , ,n nn

r t r t P∈Ω

φ ϑ = φ μ , (8)

где ( ) ( ) ( )+∞

=ξ=ξ

1

)()()1( expj

jn

jnnn tSSat ; ( ) ( )t

r

r

r

Qtr n

n

n)1(

10

20

)1( , ξ

=φ

+

;

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

∞+

=

−

χχ

+

=

1

)(

0)(

)()(

1

0

)()1( exp1

,j

jnj

nn

jnnj

nn

nj

nnnr tSrj

rj

rSb

r

rSatrU ;

( ) ( ) ( )∞+

=

−

ϑ

+

=

1

)(1

0

)()1( ,j

jnn

nj

nnn Sbr

rSatrU ×

×( )( )

( )( )

χ

χ

+

χ+

χ

χ +

0)(

)(1

)(

0)(

)(

1

1

rj

rj

nrj

rj

r jnn

jnn

jn

jnn

jnn ( )

n

tS jn

)(exp;

( ) ( )( ) ( )

−+ν+−+=ξ

22

0

)()( 121212 nr

nnSSa jn

jnn ×

×( ) ( ) ( ))(20

)()(,1

1j

nnS

nj

nn SD

h

rn

jn

∂

χην+ ;

( ) ( ) ( ) ( )( )

−

χχ

χ

χ+−=

+

12

112

0)(

1

0)(

0)(

2)(0

2)(

rj

rj

rrnSa

jnn

jnn

jn

jn

jnn ×

× ( ) ( ))(

2

)()(,1 j

nnS

nj

nn

n

SD

h

jn

∂ω

χη;

( ) ( ) ( )( ) ( ))()(

0

21

0)(

0)(

1

0)(

2)(

)(

2112

jnnS

jn

nnj

nn

jnn

jn

jnn

SDSr

h

rj

rj

rnSb

jn

∂νω

χχ

χ−−=

−+ ;

ν=χ

)()(

jnj

nS

;


238

( ) ( )( ) ( ) ( ) ×ν+−+ν+−+=∂2

0

22

0

)()( 1112122)(r

nnr

nnSSD jn

jnnS j

n

( ) ( )( )

( ) ( )( )

χχ

−χ

+χχχ+

+×++

2

0)(

1

0)(2

0)(

0)(

1

0)(

0)(

122

122

rj

rjr

rj

rjrnj

nn

jnn

jn

jnn

jnn

jn

( )( )

1

1, jn nη χ

;

( ) ( ) ( )( ) +ν

+−+=2

0

)(2)()( 1212

r

SnnSSD

jnj

nj

nn

( ) ( ) ( )2

20

)(

)(2

,1112 nj

nn

jn

r

Snn ω+

χην+−+ ;

( )( )Wnnnr

n −+−ρσ=ω 21

30

2 ; 3

0

2

4 r

QW

πσ= ;

( ) ( )( )0

)(1

0)()(

0)(

2,

rj

rjrj

nn

jnn

jnj

nnχχχ

−τ=χτη+

.

)( jnS – корень дисперсионного уравнения ( ) 0)( =j

nn SD , а

( )0)( rj j

nn χ – модифицированная сферическая функция Бесселя первого рода порядка n.

3с. Во втором порядке малости получим задачу

( ) )2(2)1()1()1()1()1()2( 111pU

rUU

rUUU rrrrrrt ∂

ρ−=−∂+∂+∂ ϑϑϑ +

( ) ( ) −∂ϑ−∂−∂ϑ+ +∂ν+ ϑϑϑϑϑϑ

)2()2()2(2

)2(2

11U

r

ctgU

rU

r

ctgU

rrrrr

( )ϑ−∂− ϑϑϑ

)2(2

)2(2

1U

r

ctgU

r;

=+∂+∂+∂ ϑϑϑϑϑϑ)1()1()1()1()1()1()2( 11

UUr

UUr

UUU rrrt

∂−∂+∂ν+∂

ρ−= ϑϑϑϑ

)2()2()2()2( 1211rrrrr U

rU

rUp

r;

( )0

12 )2()2()2()2( =ϑ+∂++∂ ϑϑϑ Ur

ctgU

rU

rU rrr .


239

0=t : 0)2(=U ; ( ) ( )

( )( ) ( )μ++

+−μ

+−=ξ

Ω∈

+

Ω∈1

1

00

2

0

)2(

3212

19

12

1P

mm

hhm

rP

m

h

r m

mm

m

m ;

0→r : ∞<)2(

U ;

0)2( =φΔ ; +∞→r : 0)2( →φ∇ ;

0rr = : ( ) )(2

1 )2()1()1()0(2)1()0()2()2( tSrrrr φ=φ∂ξ+φ∂ξ+φ∂ξ+φ ;

( ) ( )−

+φ∂+φ∂ξ+φ∂+φ∂ξ+φ∂

1

1

)0()0(0

)2(0

)1()1(0

)1(0

)2(20 22 rrrrrrr rrrrr

( ) ( ) 022

1 )1()1()0()0(0

)0(20

2)1( =μ

φ∂ξ∂−

φ∂+φ∂+φ∂ξ+ ϑϑ drr rrrrrr ;

( )−

=μ

ξ+ξ

1

1

2)1()2(0 0)(dr ; ( ) ( )

−

=μμ

ξ+ξ

1

11

2)1()2(0 0)(32 dPr ;

01 )1()1(

0

)1()1()2()2( =ξ∂−ξ∂++ξ∂− ϑϑUr

UU rrrt .

+−∂+∂ ϑϑϑ)2(

0

)2()2(

0

11U

rUU

r rr(1) (1) (1)

20 0

1 1r r r rrU U U

r rϑ ϑ ϑ

∂ − ∂ + ∂ −

(1) (1) (1)2

0 0

1 1rU U

r rϑ ϑ

− ∂ + ξ

0111

2 )1()1(

0

)1(2

0

)1(2

0

=ξ∂

∂−+∂− ϑϑϑ rrr U

rU

rU

r;

( ) ( ) −ξΔ+ξσ+ξΔ+σ−− ΩΩ)1()1(

30

)2(2

0

)2( 12

2rr

p

( ) ( ) +

φ∂φ∂+φ∂ξ+φ∂φ∂ξ

π− )0()0(2)0(2)1()0()0()2(2

8

1rrrrrrrrr


240

( ) ( ) (2 2(1) (1) (2) (0) (1) (0) (1)2

0

12 2r r r rr rr ϑ+ ∂ φ + ∂ φ + ∂ φ ∂ φ + ξ ∂ φ ∂ φ +

)(1) (0)rr r

+∂ φ ∂ φ + ( )(2) (1) (1) (1)2 2r r r rr rU p Uρν ∂ − ∂ − ρν∂ ξ −

0111

2 )1()1(

20

)1(

0

)1(

20

=ξ∂

−∂+∂νρ− ϑϑϑϑ U

rU

rU

rrr . (9)

Подставим в систему (9) решения (5) и (8) задач нулевого и первого порядков малости и получим систему линейных неодно-родных дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка относительно величин (2)

rU , (2)ϑU , (2)p , (2)ξ , (2)φ .

Для решения полученной системы выполним преобразование Лапласа по времени

( ) ( ) ( ) ( )[ ]tftdtStfSf ℑ=−= ∞+

0

exp ;

;;;; )2()2()2()2()2( φξ= ϑ pUUf r .

Изображения Лапласа величин второго порядка малости раз-ложим в ряды по полиномам Лежандра (в силу осесимметрично-сти задачи) и по их первым производным по полярному углу [142]:

( ) ( ) ( )∞+

=μ=ϑ

0

)2()2( ,,,n

nnrr PSrUSrU ; ( ) ( ) ( )∞+

=ϑϑϑ μ∂=ϑ

1

)2()2( ,,,n

nn PSrUSrU ;

( ) ( ) ( )∞+

=μξ=ϑξ

0

)2()2( ,n

nn PSS ; ( ) ( ) ( )∞+

=μφ=ϑφ

0

)2()2( ,,,n

nn PSrSr ;

( ) ( ) ( )∞+

=μ=ϑ

0

)2()2( ,,,n

nn PSrpSrp . (10)

Учтем, что в первом порядке малости проекции поля скоро-стей течения жидкости на орты сферической системы координат связаны уравнением неразрывности:


241

( ) ( ) ( ) ( )

+∂

+=ϑ trU

rtrU

nn

rtrU nrnrrn ,

2,

1, )1()1()1( .

Тогда система (9) примет вид

( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]+∂∂ℑ++

α−

Ω∈trUtrUr

mmkkSrUS mrrkrr

mk

kmnnr ,,

11, )1()1(

,

)2(

( )( ) ( ) ( ) ( )[ ]+∂ℑ

++α−+

++ Ω∈

trUtrUmmkk

kkK mrrkr

mk

kmnkmn ,,

11

4 )1()1(

,

2

( )( )( ) ( ) ( ) ( )[ ]=ℑ

++α+−

+ Ω∈

trUtrUrmmkk

mmmrkr

mk

kmn ,,1

11

212 )1()1(

,( )(2)1

,r np r S− ∂ +ρ

( ) ( ) ( ) ( )

−+∂ν++ ϑϑ SrU

rSrU

rSrU

rnn nrnnr ,

1,

1,1 )2()2()2( ; 0≥n ; (11)

( ) ( ) ( ) ( )[ ]+∂ℑ+

Γ+

Ω∈ϑ trUtrUr

mmSrUS mrrrkr

mk

kmnn ,,

1, )1()1(

,

)2(

( ) ( ) ( ) ( )[ ]+∂∂ℑ++

α+

Ω∈trUtrUr

mmkk mrrkrrmk

kmn ,,112

)1()1(

,

( ) ( ) ( ) ( )[ ]+∂ℑ

+

α+Γ

++

Ω∈trUtrU

kkmm mrrkrmk

kmnkmn ,,

12

1

2 )1()1(

,

( ) ( ) ( ) ( )[ ]=ℑ

+

α+Γ

++

Ω∈trUtrU

rkkmm mrkrmk

kmnkmn ,,

1

11

2 )1()1(

,

( ) ( ) ( ) ( )

∂−∂+∂ν+

ρ−= ϑϑ SrU

rSrU

rSrUSrp

r nrrnrnrrn ,1

,2

,,11 )2()2()2()2( ;

1≥n ; (12)

( ) ( ) ( ) ( ) 0,1

,2

, )2()2()2( =+−+∂ ϑ SrUr

nnSrU

rSrU nnrnrr ; 0≥n ; (13)

0→r : ∞<)2(nrU ; ∞<ϑ

)2(nU ; (14)


242

( ) ( ) ( ) 0,)1(,2

, )2()2()2( =φ+−φ∂+φ∂ SrnnSrr

Sr nnrnrr ; 0≥n ; (15)

+∞→r : ( ) 0,)2( →φ∂ Srnr ; ( ) 0,)2( →φ Srn ; (16)

0rr = : ( ) ( ) ( ) ( )[ ] 0)2(

,

)1()1(30

)2(2

0

)2( )(, nSmk

mkkmnnn SttmKr

QS

r

QSr δφ=ξξℑ−ξ−φ

Ω∈

;

0≥n ; (17)

( ) ( ) ( ) ( )[ ] +

−

∞+

= Ω∈

−ξξℑ++φ∂

1

1 0 ,

)1()1(2

0

)2(20 1,

n mkmkkmnnr ttKmm

r

QSrr

( ) ( )[ ] ( ) ( ) 0,

)1()1(2

0

=μμ

ξξℑα−

Ω∈dPtt

r

Qn

mkmkkmn ; (18)

( ) ( ) ( )[ ] ( ) +

−

∞+

= Ω∈=μμ

ξξℑ+ξ

1

1 0

)1()1(

,

)2(0 0)(

nnmk

mkkmnn dPttKSr ; (19)

( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) +

−

∞+

= Ω∈=μμμ

ξξℑ+ξ

1

1 01

)1()1(

,

)2(0 0)(32

nnmk

mkkmnn dPPttKSr ;

(20)

( ) ( )( )( ) +δ

+++

−δ+

−ξ− Ω∈

+

Ω∈1

1

00

2

0

)2(

3212

19

12

1n

m

mmn

m

mn mm

hhm

rm

h

rSS

( ) ( ) ( ) ( )[ ]−∂ξℑ

+

α−++

Ω∈trUt

mmKSrU mrrk

mk

kmnkmnnr ,

1, )1()1(

,

)2(

( ) ( ) ( )[ ] 0,1

1

2 )1()1(

0,

=ξℑ+

α−

Ω∈trUt

rmm mrkmk

kmn ; 0≥n ; (21)

( ) ( ) ( ) +−∂+ ϑϑ SrUr

SrUSrUr nnrnr ,

1,,

1 )2(

0

)2()2(

0


243

( ) ( ) ( )(1) (1)0

,

,1

kmnk rrr r m

k m

r t U r tm m∈Ω

Γ + ℑ ξ ∂ + ( ) ( ) ( )[ ]+∂ξℑ+

Γ+ Ω∈

trUtmm mrrrk

mk

kmn ,1

3 )1()1(

,

( ) ( ) ( ) ( )(1) (1)

, 0

2 2 12 ,

1 1kmn kmn

kmn mkn k r r mk m

t U r tm m m m r∈Ω

Γ Λ + Γ + Γ − − ℑ ξ ∂ + + +

( ) ( ) ( ) ( )[ ] 0,1

1

42

1

2 )1()1(

,2

0

=ξℑ

+

Λ−Γ−Γ−

+Γ

+ Ω∈

trUtrmmmm mrk

mk

kmnmknkmn

kmn ;

1≥n ; (22)

( ) ( )( ) ( )(2) (2)2

0

, 1 2n np r S n n Sr

σ− + − + ξ ( )( ) ( ) ( )[ ]+ξξℑ−+σ− Ω∈

ttkkKr

mkmk

kmn)1()1(

,3

0

112

( ) ( ) ( ) ( )[ ]

−ξξℑα−ξ+φ∂

π+

Ω∈tt

r

QS

r

QSr

r

Qmk

mkkmnnnr

)1()1(

,6

0

2)2(

50

2)2(

20

4,

2

8

1

( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )[ ] +

ξξℑ++−+++−

Ω∈ttKmmmk

r

Qmk

mkkmn

)1()1(

,6

0

2

4121110

( ) ( ) ( ) ( )[ ]−∂ξℑ

+

α−νρ+∂νρ+

Ω∈trUt

mmKSrU mrrrk

mk

kmnkmnnrr ,

12,2 )1()1(

,

)2(

( ) ( )(1) (1)

,

,kmn k r mk m

K t p r t∈Ω

− ℑ ξ ∂ ( ) ( ) ( )[ ]+∂ξℑ+

ανρ−

Ω∈trUt

mmr mrrkmk

kmn ,1

212 )1()1(

,0

( ) ( ) ( )[ ] 0,1

212 )1()1(

,2

0

=ξℑ

α−

+α

νρ+ Ω∈

trUtmmr

mrkmk

kmnkmn ; 0≥n , (23)

где коэффициенты kmnK , kmnα , kmnΓ , kmnΛ определены соотно-шениями [142]:

)1()1(01)1(

000 ++⋅⋅−=α − mmkkCC n

mkn

mknmk ;

( )2000

nmknmk CK = ; ( ) )12(1

)12(

+α

⋅++=Γ

knn

n nmkkmn ; kmnmknkmn K=Γ+Γ ;


244

( )

α+α

+−

++=Λ

=−

]2/[

12,,

2

121

12 m

jjmknnkmkmn m

m

nn

n;

kmnmknkmn α=Λ+Λ ;

000

nmkC , 0

1)1(n

mkC − – коэффициенты Клебша-Гордана.

3d. Решение системы (11) – (23) начнем с уравнений (19) и (20), откуда найдем выражение для коэффициентов ( )t)2(

0ξ и

( )t)2(1ξ :

( ) ( )( )2)1(

0

)2(0 12

11t

mrt m

m

ξ+

−=ξ Ω∈

;

( ) ( )( )( ) ( ) ( )tt

mm

m

rt mm

m

)1(1

)1(

0

)2(1 3212

19+

Ω∈ξξ

+++−=ξ . (24)

Из системы уравнений (15)-(18) найдем потенциал поверхно-сти капли и потенциал электростатического поля в окрестности капли:

( )( )2)1(30

)2(

12

1)( t

m

m

r

Qt m

mS ξ

+−=φ

Ω∈; (25)

( ) 0,)2( =φ Srn ; 0=n ;

( ) ( ) ( ) ( )[ ]1

0

,

)1()1(

0

)2(2

0

)2( 1,

+

Ω∈

ξξℑ+ξ=φ

n

mkmkkmnnn r

rttmK

rS

r

QSr ;

1≥n . (26)

Из уравнения неразрывности (13) выразим проекцию скоро-сти ( )SrU n ,)2(

ϑ

( ) ( ) ( ) ( )( )SrUSrUrnn

SrU nrnrrn ,2,1

1, )2()2()2( +∂

+=ϑ (27)

и подставим в (12), откуда получим


245

( ) ( ) ( ) ( )( )++∂+

ρ−= SrUrSrUr

nn

SSrp nrnrrn ,2,

1, )2()2(2)2(

( ) ( ) ( ) ( )( )−∂+∂+∂+νρ+ SrUSrUrSrUr

nn nrrnrrrnrrrr ,6,6,1

)2()2()2(2

( )−∂νρ− SrU nrr ,)2(

( ) ( ) ( )2 (1) (1)

,

[ , , ]1

kmnr k rr r m

k m

r U r t U r tm m∈Ω

ρ Γ ℑ ∂ −+

( ) ( ) ( ) ( ) −∂∂ℑ++

αρ−

Ω∈],,[

112)1()1(2

,

trUtrUrmmkk mrrkrr

mk

kmn

( ) ( ) ( ) ( ) −∂ℑ

+

α+Γ

+ρ

− Ω∈mk

mrrkrkmn

kmn trUtrUrkkmm,

)1()1( ],,[1

21

2

( ) ( ) ( ) ( )],,[11

2 )1()1(

,

trUtrUkkmm mrkr

mk

kmnkmn ℑ

+

α+Γ

+ρ

− Ω∈

. (28)

Наконец, подставляя выражения для ( )SrU n ,)2(ϑ и ( )Srpn ,)2( в

уравнение (11), получим обыкновенное неоднородное дифферен-циальное уравнение четвертого порядка для отыскания функции

( )SrU nr ,)2( :

( )( ) ( )( ) ( ) =

ν−+−−∂+∂

+−−∂+∂ SrU

S

r

nn

rr

nn

r nrrrrrrr ,214214 )2(

22

( ) ( )Ω∈ν

+=mk

kmn Srfnn

,

,1

; (29)

( ) ( ) ( ) ( ) +∂ℑ+

Γ= ],,[

1, )1()1( trUtrU

mmSrf mrrrrkr

kmnkmn

( ) ( ) ( ) ( ) +∂∂ℑ

+

α+Γ

++ ],,[

11

1 )1()1( trUtrUkkmm mrrrkrrkmn

kmn

( ) ( ) ( ) ( ) +∂ℑ

+

α+Γ

++ ],,[

1

13

1

2 )1()1( trUtrUrkkmm mrrrkr

kmnkmn


246

( ) ( ) ( ) ( ) +∂∂ℑ

+

α+Γ

++ ],,[

1

11

4 )1()1( trUtrUrkkmm mrrkrr

kmnkmn

( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( ) −∂ℑ

++α−+

−−+

Γ+

+Γ

+ ],,[1

11

10

1

2

1

6 )1()1(2

2

trUtrUrmmkk

kkK

kkmm mrrkrkmn

kmnmknkmn

( )( ) ( )

( ) ( ) ( )],,[1

1

21

1

2 )1()1(3

trUtrUrmm

mm

kk mrkrkmn ℑ

++−

+α

− .

Однородное уравнение (29) имеет четыре линейно независи-мых решения:

( ) 1)2( , −= nnr rSrU ; ( )

2)2( 1

,+

=nnr

rSrU ;

( )

ν= r

Sj

rSrU nnr

1,)2( ; ( )

ν= r

Sy

rSrU nnr

1,)2( , (30)

где )(zjn и )(zyn – модифицированные сферические функции Бесселя первого и второго рода.

Определитель Вронского системы (30) записывается ком-пактно:

( ) ( )2/3

2/3

821 12

11

,1

,1

,ν

+−=

ν

ν+− S

r

nr

Sy

rr

Sj

rrrW n

nnnn ,

а частное решение уравнения (29) можно выписать в виде

( ) ( )( ) +τ

ττν

+−= −

− df

rSn

SrUr

nn

nr0

21(*))2(

12

1,

( ) ( ) +τττν+

+ ++ df

rSn

rn

n0

32

1

12

1

( ) ( ) −ττ

τ

ντ

νν−+ df

Syr

Sj

rS

r

nnn

0

311

( ) ( ) ττ

τ

ντ

νν−− df

Sjr

Sy

rS

r

nnn

0

311 .


247

Таким образом, решение уравнения (29) с учетом условий ог-раниченности (14) будет иметь вид

( ) ( ) ( ) ( )SrUrS

jr

SBrSASrU nrnnn

nnr ,1

, (*))2(1)2( +

ν+= − , (31)

где ( )SAn , ( )SBn – произвольные постоянные. Подставляя (31) в (27) и (28), используя рекуррентное соот-

ношение [140]

( ) ( ) ( )χχ

+χ=χ∂ +χ nnn jn

jj 1 ; rS

ν≡χ (32)

найдем функции ( )SrU n ,)2(ϑ и ( )Srpn ,)2( :

( ) ( ) ( )( ) ( ) +

νν+

ν+

++= +

−ϑ r

Sjr

Sr

Sjn

rnn

SBr

n

SASrU nn

nnnn 1

1)2( 11

1,

( ) ( ) ( )( )SrUSrUrnn nrnrr ,2,

1

1 (*))2((*))2( +∂+

+ ; (33)

( ) ( ) −ρ−= nnn r

n

SSASrp ,)2(

( ) ( ) ( )( )2 (2)(*) (2)(*), 2 ,1 r r n r n

Sr U r S r U r S

n n

ρ ∂ + ++

( ) ( ) ( ) ( )( )−∂+∂+∂+νρ+ SrUSrUrSrUr

nn nrrnrrrnrrrr ,6,6,1

)(*)2()(*)2()(*)2(2

( ) ( ) ( ) ( ) −∂ℑ+

Γρ−−∂νρ−

Ω∈mkmrrrkr

kmnnrr trUtrUr

mmSrU

,

)1()1(2)(*)2( ],,[1

,

( ) ( ) ( ) ( ) −∂∂ℑ++

αρ−

Ω∈],,[

112)1()1(2

,

trUtrUrmmkk mrrkrr

mk

kmn

( ) ( ) ( ) ( ) −∂ℑ

+

α+Γ

+ρ

− Ω∈mk

mrrkrkmn

kmn trUtrUrkkmm,

)1()1( ],,[1

21

2

( ) ( ) ( ) ( )],,[11

2 )1()1(

,

trUtrUkkmm mrkr

mk

kmnkmn ℑ

+

α+Γ

+ρ

− Ω∈

. (34)


248

3e. Подставляя выражения (31), (32), (33) в граничные усло-вия (21)-(23) и учитывая (26), (32) и рекуррентное соотношение [140]

( ) ( ) ( )χχ+−χ=χ∂ −χ nnn j

njj

11

перепишем граничные условия (21) – (23) в виде

( ) ( ) ( ) =ξ−

ν

+ SrSrS

jSBrSA nnnn

n)2(

000

( ) ( )−−

δ

+++δ

+=

Ω∈+ SrUrh

m

mh

m

hnr

mnmnm

m ,32

19

12 0(*))2(

0110

( ) ( ) ( )[ ]+∂ξℑ

+

α−−

Ω∈trUtr

mmK mrrk

mk

kmnkmn ,

1 0)1()1(

,0

( ) ( ) ( )[ ]trUtmm mrk

mk

kmn ,1

20

)1()1(

,

ξℑ+

α+

Ω∈; 0≥n ; (35)

( ) ( )( ) ( )2 2

0 0 0

12 2 1

1nn

n n

B Sn S SA S r n r j r

n n n

− + − + + ν ν

=

νν

− + 0102 rS

jrS

n ( )0

1

r

n n−

+

( ) ( )( 2 (2) (*) (2) (*)0 0 0 0, 2 ,rr r n r r nr U r S r U r S∂ + ∂ + ( )( ) ( ))(2) (*)

01 2 ,r nn n U r S− + −

( ) ( ) ( ) ( )( )[ ]−∂+∂ξℑ+

Γ−

Ω∈trUtrUrtr

mm mrrrmrrrrkmk

kmn ,3,1 0

)1(0

)1(0

)1(20

,

( ) ( ) ( ) ( )[ ]−∂ξℑ

+

Λ−

+Γ

−Γ+Γ− Ω∈

trUtrmmmm mrrk

mk

kmnkmnmknkmn ,

1

2

1

22 0

)1()1(0

,

( ) ( ) ( ) ( )[ ]trUtmmmm mrk

mk

kmnmknkmn

kmn ,1

42

1

20

)1()1(

,

ξℑ

+

Λ−Γ−Γ−

+Γ

− Ω∈

;

1≥n ; (36)


249

( ) ( ) +

−ν+ 1

22

00 n

rn

SrSA n

n

( ) ( ) +

νν

+

ν

−ν+ + 010020

12

rS

jS

rrS

jnSBr

nnn

( ) ( ) ( ) ( )( )++∂+

−=ξω

+ SrUSrUrnn

rSS

n

rnrnrrn

n ,2,1 0

)(*)2(0

)(*)2(0

0)2(2

0

( ) ( ) ( )( −∂+∂+ν+ SrUrSrUr

nn nrrrnrrrr ,6,1 0

)(*)2(00

)(*)2(20

( )( ) ( ))−∂+−− SrUnn nrr ,213 0)(*)2(

( ) ( ) ( )[ +∂Γℑ+

− Ω∈

trUtrUmm

rmrrrkrkmn

mk

,,1 0

)1(0

)1(

,

20

( ) ( ) ( )

∂∂

+α

+ trUtrUkk mrrkrrkmn ,,

12 0)1(

0)1(

( ) ( ) ( ) ( )Ω∈

+

∂ℑ

+

α+Γ

+−

mkmrrkr

kmnkmn trUtrUr

kkmm,0

)1(0

)1(0 ],,[

12

1

2

( ) ( ) ( ) ( )( )Ω∈

+−+ρσ+

ℑ

+

α+Γ+mk

kmnmrkrkmn

kmn kkKr

trUtrUkk ,

30

0)1(

0)1( 112],,[

1

( ) ( )( )( ) ( ) ( )[ ]−ξξℑα++++−−+ ttKmkmnm

Wmkkmnkmn

)1()1(317222

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) −

∂

+α−∂

+

α−ξℑν− Ω∈mk

mrrkmn

mrrrkmn

kmnk trUmmr

trUmm

Kt,

0)1(

00

)1()1( ,1

21,

12

( ) ( ) ( ) ( )Ω∈

∂

ρ−

α−

+αν

ξℑ−mk

mrkmnmrkmnkmn

k trpKtrUmmr

t,

0)1(

0)1(

20

)1( ,1

,1

22 ;

1≥n . (37)

Система уравнений (35) – (37) представляет собой систему линейных неоднородных алгебраических уравнений относитель-но величин ( )SAn , ( )SBn , ( )Sn

)2(ξ . Подставляя в эту систему ре-шение задачи первого порядка малости (8), после громоздких вы-числений найдем выражение для коэффициента ( )Sn

)2(ξ в виде


250

( ) ( )( ) ( )

Ω∈

∞+

= −−

ς=ξ

mk gl ng

ml

k

gm

lk

glkmn

nSDSSS

SSSS

, 1,)()(

)()()2( ,,

; 2≥n ; (38)

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )

( )( )

×χ+

+

χηχ−η

−++−+χ=ς0

02

0

220

)()(

12

12

,1

,121131,,

r

n

ngm

lk

glkmn

rn

nnnnnnrSSS

( ) ( ) ( )( ) ( )( )

χη++−−++χ−

×

−

,1

1213122

0

20

n

nn

nnnrr

r×

× ( ) ( ) ( )( )

02 0

1 0

2 1 1 22

n

n

j rrn n n n n

j r+

χχ + − + − + × χ ×

×( )

3

2002 1

nn r

rn r

+ + χ

( ) ( )( ) ( ) ( )( )

−+−+χ

χηχ+− 2142,1

1 20

0 nnnrrj

nnn

n

( ) ( )( )( ) ( )( )

( ) ( ) ( )( )

2 0 30 0 3

1 0 0

1 12 1 2 1

1,

nn

nn n

j r n nr r n n r y r

j r r+

χ − +−χ χ + − + χ +χ η χχ

×

× ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( )( )(( 2 20 0 01 4 1 2 2 1 2 1n r n n n r r n n+ χ + − + − χ χ + − + ×

× ( )( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )20 0 30 0 1 0 3

1 0 1 0 0

11

nn n

n n nn n

j r j ry r n r y r r j r

j r j r r++ +

χ χ − χ − − χ × χ χ χ χ χ ×

× ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ,

, , 2 11,

nlg l gkmn k m

n

nf r S S dr n n

η χ+ + × η χ

( ) ( ) ( )( ) ( ) ×

−−α

χνω−−

−−Γ−+Λ× kmn

kmnnnkmn

kmnkmn Kmm

rSDKm

m

m12

222

20

2

( ) ( )( ( ))++ν× ξ)(

0)()(

40

gmm

gmm

lkk SbrSaSa

r

( ) ( ) ( )( ) ×

−−+χ−

α−+ kmn

gm

kmn Kmmrm

m122

14 20

)( ( ) ( )( ) ( )3

0

l gk k m m

na S a S

r ξν +


251

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

×

−−+χ−

+α

−+χ+ 122

1

212

2

0)(22

0)( mmr

mmmr g

mkmng

m

( )( )

( )( )( ) ( ) ( ) ( )+ν

Γχ+−+

χηχη

−× ξ)()(

40

2

0)(

1

21

,1

, gmm

lkkkmn

gm

n

nkmn SbSa

r

nr

mm

mnnK

( )(( +−+ρσ+ 14

22

40

kkr

n ( )( ( ))×−−+++ 72213 mnmmk

) ) ( ) ( ) ( )( )

×

χηχη+α+× ξξ ,1

,)()(

n

ngmm

lkkkmnkmn

nSaSaWKW

( ) ( ) ( ) ( )−+

+Γ

+χ

−

−+

Λ× 1

14

12

2

0)( nn

mmrK

mmkmng

mkmnkmn

( )( )( )

−+

αχνω−−

122

20

2

mm

rSD kmnnn ) ( )4 2

1kmn

kmn kmnK n Km m

α+ − + ×

× ( ) ( ) ( )( ) ×

α+−

χχχν +

ξ kmK

rj

rj

rSbSa kmn

kmngmm

gmm

gmg

mml

kk0

)(0

)(1

30

)()()(

( ) ( ) ( ) ( )2( ) ( ) ( )0

02 1l g gkmn kmn

k k m m kmn m

na S a S K r

r m m km

Γ α× − + χ + + ×

× ( ) ( )( ) ( )2

0

l gk k m m

na S b S

r−

( ) ( )2( )0

1

2 1gkmn kmn

kmn mK rkm m m

α Γ + + χ + ×

× ( ) ( )( ) ( )3

0

l gk k m m

nb S b S

r−

( )( )

20 1

gkmn mn

km mr

α χ ×+

( ) ( ) ( ) ( )( )( )

( )( )0

)(0

)(1

0)(

0)(

1)(

0)()(0

)(

121

rj

rj

rj

rj

k

rSbSarSb

gmm

gmm

lkk

lkk

lkl

kkl

kkg

mmχχ

χ

χ+χ

++× ++ ;


252

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) +χχ

χ+

Γ= +

−

−

0)(

)(1

10

2)()(3)()()(

1,,

rj

rj

r

rSbSa

mmSSrf

gmm

gmm

k

kg

mml

kkg

mkmng

ml

kgl

kmn

( )( ) ( ) ( ))(2)(

1g

mmg

mkmnkmn Sb

mkm

kkm χ+

α+Γ++ ×

× ( ) ( ) ( )( )

( )( )+χχ

χχ

+−

−

0)(

)(

0)(

)(

3)(

10

3)( 1

rj

rj

rj

rj

rSb

r

rSa

gmm

gmm

lkk

lkkl

kkk

kl

kk

( )( )

( )( ) ( ) ( )

χ

++α+Γ+

++χΓ

+2)(

2)(

11

1

1l

kkmnmkn

gmkmn

mmkk

mm

mm×

× ( ) ( ) ( )( )

( )( )0

)(

)(1

0)(

)(

2)()()( 1

rj

rj

rj

rj

rSbSb

gmm

gmm

lkk

lkkg

mml

kkg

m χχ

χχ

χ + .

Из вида выражения (38) видно, что оно имеет устранимую особую точку 0=S и бесконечное счетное число особых точек, которые определяются из условий ( ) 0=SDn и 0)()( =−− g

ml

k SSS и являются простыми полюсами. Кроме того, выражение (38) при

∞→S стремится к нулю, что позволяет в формуле обратного преобразования Лапласа воспользоваться леммой Жордана для левой полуплоскости и теоремой о вычетах. В итоге формула об-ращения примет вид

( ) ( ) ( )( )∞+

=

∞+γ

∞−γ⋅=⋅

π=

1

)()( exp)exp()(2

1

j

jn

jn

i

itSSFresdStSSF

itf , (39)

где суммирование ведется по всем корням уравнений ( ) 0=SDn и

0)()( =−− gm

lk SSS . Применяя формулу (39) для вычисления коэффициента ( )Sn

)2(ξ , найдем

( ) ( )( ) ( ) ( )+

∂−−

ς=ξ

Ω∈

∞+

=tS

SDSSS

SSSt j

nmk jgl

jnnS

gm

lk

jn

gm

lk

jn

glkmn

nj

n

)(

, 1,,)()()()(

)()()()2( exp

,,

)(

( )( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ), , 1

, ,exp

lg l g l gkmn k m k m l g

k ml gk m l g n k m

S S S SS S t

D S S

+∞

∈Ω =

ς ++ +

+ ; 2≥n ,

(40)


253

где )( jnS – корень дисперсионного уравнения ( ) 0)( =j

nn SD . Подставляя выражения (40) и (24) в (10) найдем явный вид

коэффициента ( )t,)2( ϑξ . Подставляя найденное таким образом

выражение для ( )t,)2( ϑξ , а также выражение для коэффициента ( )t,)1( ϑξ , которое определяется выражением (8), в (4) несложно

найти явный вид функции ( )t,ϑξ и определить форму образую-щей нелинейно осесимметрично осциллирующей капли вязкой несжимаемой электропроводной жидкости как функцию времени и полярного угла:

( ) ( ) ( ) ( ) −με+=ϑ Ω∈

∞+

=ξ

nn

j

jn

jnn PtSSartr

1

)()(0 exp,

( ) ( ) ( )( ) ( )−μ++

ε− Ω∈

∞+

=

ξξ0

1,

)()()()(

0

2

exp12

PtSSm

SaSa

r m gl

gm

lm

gmm

lmm

( ) ( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )+μ+

+++ε−

Ω∈

∞+

=+

++ξξ1

1,

)(1

)()(11

)(

0

2

exp3212

19PtSS

mm

SaSam

r m gl

gm

lm

gmm

lmm

( )( ) ( ) ( )

∞+

= Ω∈

∞+

=

+∂−−

ςε+

2 , 1,,

)()()()()(

)()()(2 exp

,,

)(n mk jgl

jnj

nnSg

ml

kj

n

gm

lk

jn

glkmn tS

SDSSS

SSS

jn

( )( ) ( )( ) ( )μ

++

+ς+

∞+

=n

gm

lk

glg

ml

kn

gm

lk

gm

lk

glkmn PtSS

SSD

SSSS )()(

1,)()(

)()()()(

exp,,

. (41)

Переходя в выражении (41) к пределу идеальной жидкости (используя асимптотическое представление модифицированных сферических функций при больших значениях аргумента при

0→ν ), несложно прийти к выражению для образующей нелиней-но-осциллирующей заряженной капли идеальной жидкости.

4. Рассмотрим случай сильно вязкой жидкости (когда ( ) 1)( 2/1

02/1 ≥σρ⋅ν r [107]). Тогда в выражениях для асимптоти-

ческого представления модифицированных сферических функ-


254

ций Бесселя первого и второго рода при малых значениях аргу-мента [140]:

( ) ( ) ( )( )

( )( )

+

++χ+

+χ+

+χ=χ ...

5232!2

2/

32!1

2/1

!!12

222

nnnnj

n

n ; 0→χ ;

( ) ( )( ) ( )

( )( )( )

+

−−χ+

−χ+

χ−−=χ

+...

2321!2

2/

21!1

2/1

1

!!12222

1 nnn

ny

nnn ; 0→χ

можно ограничиться несколькими первыми слагаемыми. В итоге получим:

( ) ( )( )( )( )( )( ) ( )( ) ν++++−

+++−≅ξ

)(20)(

322521212

332223 jnn

nj

nn

Shr

nnnnn

nnnhSa ;

( ) ( )( )( )( ) +ω

++++−≅

)(

2)(

322

321j

n

nnjnn

S

h

nn

nnSa

( ) ( )( )( )( )( )( ) ( )( )

2 2 20

2

4 3 2 2 4 6 5 9

2 1 2 1 2 5 2 2 3

n nn n n n n r h

n n n n n

+ + + + + ων− + + + +

;

( ) ( )( )( )( )

2( ) 0

( )

1 2 3

2 2 3j n n

n n jn

n n r hb S

n n S

+ + ω≅+ +

( ) ( )( )( )( )( )( )( ) ( )( ) ν

ω++++−+++++−

230

232252121

213514113421 nnhr

nnnnn

nnnnn ;

( ) ( )( )( )( ) ( )

( )

ωβτ+

ντ+

+++++≅ 22

20

)(2)(2

)( 25212

332223nnn

njn

jn

jnn

rSS

nn

nnnSD ;

( )( )( )( )( )36843

3421521223

2

+++++−++=τ

nnn

nnnnnn

; ( )( )( ) ( )222

23

342152

36843

++−+

+++=βnnnn

nnnn

.

Дисперсионное уравнение ( ) 0)( =jnn SD теперь имеет всего

два корня:

2

240

20

20

)1( 1νω

β−ντ+ντ−= nnnnn

r

rrS ;

2

240

20

20

)2( 1νω

β−να−να−= nnnnn

r

rrS . (44)


255

Если вязкость жидкости будет настолько большой, что будет вы-полнено соотношение 24

02

nn r ωβ>>ν , тогда корни (44) можно записать в виде

νω

βτ−≅2

220)1( n

nnnr

S ; 2

0

)2( 2r

S nnνα−≅ . (45)

Несложно видеть, что )2()1(nn SS << , и потому в выражении

(40) слагаемые, содержащие второй корень )2(nS , будут быстро

затухать со временем. Временная эволюция деформированной в начальный момент времени капли определится слагаемыми, со-держащими первый корень )1(

nS . Тогда из (40) с учетом выписан-

ных выше разложений для коэффициентов ( ))( jnn Saξ , ( ))( j

nn Sa ,

( ))( jnn Sb можно получить

( ) ( ) ×

ν

ωβτ−−

ν

ωβτ+ωβτ−=ξ Ω∈mk

nnnmmmkkkn tr

tr

t,

202

2022)2(

2exp

2exp

( ) ( )( ) ( )( )

+−+

ρσ×

ωβτ−ωβτ−ωβτ×

++−+× 112

3221

124

0222

kkKr

nhh

nnn

nkmn

mmmkkknnn

mk

( ) ( )( ) ×ω

α+−αρσ+

−+−+++

0

2

40 222

22713r

n

mkK

r

nWWnmmmk kkmn

kmnkmn

( )( )( )( )( ) ( )( )( ) −+++−

++−+×123221

321112

mkkk

mmmk ( )( )((0

16 2 1 1

2km k m

kmr+ − +

( )((20 2 3m k k k+ − + ( ) ( )) )2 1 2 16 5 7 2m m n× + − + + + ×

× ( )(( ( )( )) )7 6 3 2 3 2 1 11m k m k k m+ + − + + + ( )( ) )2 34 2 1 1n k m n− + − ×

× ( ) ( )(3 2 1 2 1kmnK m n n+ + + − ( ) ( )32 2 1 2 1k m n n+ + +

( )((23 2 2 4 5k n n m n− + + + ( ) ) )(( 22 2 2 2 1 3 9k n m m n n+ + − − + −


256

) )) ( )2 3 12 6 2 1kmnm k k n+ − − α + + ×

( ) ( )( )( ))( )( ) ( )( )( )( )

+++−+ωΛ+Γ−−+

×12322112

34121 2

nmmmk

mmmn mkmnkmn ; 2≥n . (46)

Выражения (24) с учетом (8) в данном приближении можно записать в виде

( )

νωβτ−

+−=ξ

Ω∈t

r

m

h

rt m

mmm

m22

0

0

)2(0 exp

12

1;

( ) ( )( )( )

νωβτ−

νωβτ−

+++−=ξ +

++Ω∈

+ tr

tr

mm

hhm

rt m

mmm

mmm

mm

2exp

2exp

3212

19 21

20

11

2201

0

)2(1 .

5. Численные расчеты по выражению (40) в безразмерных переменных, в которых 10 ==σ=ρ r , указывают на различную сходимость рядов по бесконечному набору корней дисперсион-ного уравнения для различных значений вязкости жидкости v, параметра Рэлея W и номера моды n, возбужденной во втором порядке малости. В частности, для малых вязкостей корни дис-персионного уравнения ( ) 0nD S = располагаются плотно один к другому и потому суммирование нужно проводить по весьма большому набору корней дисперсионного уравнения (см. табл. 1). Увеличение параметра Рэлея W приводит к улучшению сходимо-сти ряда (40). Следует также указать на резонансный вид нели-нейного слагаемого (41), однако анализ резонансных ситуаций для капли вязкой жидкости пока представляет известные трудно-сти, и пока получены лишь предварительные результаты, указы-вающие на несомненное влияние вязкости жидкости на положе-ния резонансов [143].

Сравнение численных значений коэффициентов (2) ( )n tξ для случая вязкой жидкости и для идеальной жидкости указывает на то, что в маловязкой жидкости значения коэффициента (2) ( )n tξ могут более чем в два с половиной раза превышать соответст-вующее значение для идеальной жидкости, см. рис. 1 и рис. 2, т.е. вязкость способствует усилению нелинейного взаимодействия мод. Из рис. 1 и рис. 2 видно, что в вязкой жидкости доля


257

энергии, перекачиваемой за счет нелинейного взаимодействия из моды, определяющей начальную деформацию, в нелинейно с ней взаимодействующие, передается не мгновенно, как было в иде-альной жидкости, но этот процесс занимает конечный интервал времени: амплитуды нелинейно возбуждающихся мод вначале растут от нулевого значения, а затем экспоненциально затухают за счет влияния вязкости. В маловязких жидкостях это происхо-дит колебательным образом (см. рис. 1 и рис. 2), а сильно вязких апериодически (см. рис. 3). Наибольшее расхождение между ко-эффициентами ( )tn

)2(ξ , вычисленными для случая маловязкой жидкости и идеальной жидкости, наблюдаются для второй моды

2=n . Это связано с присутствием в маловязкой жидкости эле-ментарных вихрей, которые для малых значений n медленно за-тухают и потому оказывают существенное воздействие на грани-цу капли, искривляя ее поверхность.

Таблица 1

Минимальные значения индексов l, g, j, необходимые для удовлетворительной сходимости ряда, определяющего

( )tn)2(ξ , при 2== mk 12 =h и различных значениях безразмерной

вязкости жидкости капли v, параметра W и n

ν

2=n 4=n 0=W 2=W 3=W 5.3=W 0=W 2=W 3=W 5.3=W

0.02 16 12 9 6 48 28 22 18

0.03 10 8 7 5 30 18 12 10

0.05 8 6 5 4 16 10 8 6

0.07 6 5 4 3 12 8 6 4

0.1 4 4 3 3 10 6 4 4

0.2 3 3 3 3 6 4 3 3

0.5 3 3 3 2 4 3 2 2

1.5 2 2 2 2 3 2 2 2

2.0 2 1 1 1 3 2 1 1


258

Рис. 1. Зависимости безразмерного коэффициента )2(nξ

от безразмерного времени t , построенные при 2== mk , 2=n , 1=W , 12 =h . Сплошная кривая построена по выражению (40), а точечная по вы-

ражению, справедливому для идеальной жидкости: a) 01.0=ν ; b) 1.0=ν


259

Рис. 2. Зависимости безразмерного коэффициента )2(nξ от безразмерного

времени t , построенные при 2== mk , 12 =h , 4=n и различных значениях параметра 3=W (1); 3.8 (2); 3.9 (3).

Сплошные кривые построены по выражению (40), а точечные по асимптотическому выражению (46)

Рис. 3. Зависимости линейной суперпозиции решений первого и второго порядков малости )2()1(

nn ξε+ξ для безразмерной амплитуды основной моды от безразмерного времени t , построенные при 2== mk , 2=n , 1=W ,

02.0=ν , 3.0=ε . Сплошная кривая построена по выражению (40), а точечная по выражению, справедливому для идеальной жидкости


260

В случае сильно вязких жидкостей, так же как и в случае маловязких жидкостей, наибольшие численные значения коэф-фициента ( )tn

)2(ξ наблюдаются при n = 2 (см рис. 3). При этом максимальное значение данного коэффициента сильно увеличи-вается с увеличением параметра W. Отметим также, что в случае сильновязких жидкостей точность асимптотического выражения (46) зависит от параметра W. Так, при W = 0 асимптотическая формула (46) плохо приближает реальное значение коэффициен-та ( )tn

)2(ξ . С увеличением же параметра W точность асимптоти-ческого выражения увеличивается, что связано с тем, что оно справедливо только в том случае, когда 24

02

nn r ωβ>>ν , с ростом

же W уменьшается 2nω .

Отметим также, что выражения (40) и (41) справедливы и для закритических значений электрического заряда на капле:

2+> nW . А потому на их основе можно проанализировать неус-тойчивость поверхности вязкой заряженной капли.

Для сильно вязкой жидкости при W < 4, когда основная мода, а значит, и вся капля устойчивы по отношению к собственному заряду, (46) определяет временной закон возвращения формы кап-ли к равновесной сферической (см. рис. 3). Видно, что амплитуды мод, определяющих начальную деформацию, равно как и ампли-туды нелинейно возбудившихся мод, убывают экспоненциально со временем. Причем показатели экспонент быстро растут с уве-личением номера моды. При 4< W < 5, когда основная мода (n=2) теряет устойчивость, а все более высокие моды ее сохраняют, кар-тина временной эволюции формы капли усложняется. Показатели экспонент, в которые входит квадрат частоты основной моды, ме-няют свой знак, поскольку его при W < 4< 5 меняет квадрат часто-ты 2

2ω , и соответствующее слагаемое начинает экспоненциально со временем возрастать, тогда как остальные компоненты выра-жения (41), (46) продолжают уменьшаться со временем (см. рис. 4). И по прошествии некоторого интервала времени исходная деформация капли исчезнет, а ее форма определится основной мо-дой, т.е. капля будет эволюционировать к фигуре, близкой к вытя-нутому сфероиду.


261


времени t , построенные при 3== mk , 13 =h , 1.0=ν и различных n . Номер у кривой совпадает с номером нелинейно-возбужденной моды n .

а) 3=W ; b) 01.4=W


262

Рис. 5. Зависимости безразмерного коэффициента )2(

nξ от безразмерного времени t , построенные при 3== mk , 13 =h , 01.4=W ,

1=ν и различных n . Номер у кривой совпадает с номером нелинейно возбужденной моды n

Степень удлинения заряженной капли электропроводной

жидкости за счет увеличения амплитуды основной моды будет ограничена началом полевой эмиссии зарядов при достаточном увеличении напряженности поля собственного заряда на ее вер-шинах при увеличении кривизны вершин связанном с вытягива-нием капли, как это было описано ранее в [107], или делением капли на две части сравнимых размеров [46, 144]. Неустойчи-вость основной моды будет иметь место независимо от того, вхо-дила ли основная мода в спектр мод, определивших начальную деформацию, поскольку во втором порядке малости основная мода за счет нелинейного взаимодействия возбуждается всегда при любом виде начальной деформации [80, 82, 116]. Если же ве-личина параметра W будет лежать в диапазоне 5 < W < 6, то неус-тойчивой будет и третья мода (n=3). Но приведет ли ее неустой-чивость к деформации сфероидальной формы, будет зависеть от того, присутствует ли третья мода в спектре мод, определяющих начальную деформацию, или в спектре мод, возбудившихся за счет нелинейного взаимодействия. Если третьей моды нет ни в одном из упомянутых наборов мод, то согласно (46) она не по-


263

влияет на форму капли (если абстрагироваться от осцилляций ис-чезающе малой амплитуды тепловой природы).

6. Нелинейные осцилляции капель вязких жидкостей можно аналитически исследовать классическими асимптотическими ме-тодами. В пределе большой вязкости получающиеся аналитиче-ские выражения достаточно компактны. Анализ найденного вы-ражения для временной эволюции формы сильно деформирован-ной капли сильно вязкой жидкости позволяет проследить за временной эволюцией каждой моды.


времени t , построенные при 4== mk , 14 =h , 01.4=W , и различных вязкостях ν . Номера у кривых соответствуют различным вязкостям 05.0=ν (1); 0.1 (2); 1 (3). Сплошные кривые построены

по выражению (40). Точечная кривая построена при 1=ν по выражению (46)


264

Литература 1. Tsamopoulos, J.A. Nonlinear oscillation of inviscid drops and

bubles / J.A. Tsamopoulos, R.A. Brown // J. Fluid Mech. – 1983. – V. 127. – P. 519–537.

2. Feng, Z. Instability caused by the coupling between non-resonant shape oscillation modes of a charged conducting drop / Z. Feng // J. Fluid Mech. – 1997. – V. 333. – P. 1–21.

3. Natarajan, R. Quadratic resonance in the three-dimensional os-cillation of inviscid drops with surface tension / R. Natarajan, R.A. Brown // Phys. Fluids. – 1986. – V. 29, 9. – P. 2788–2797.

4. Natarajan, R. Third-order resonance effects and the nonlinear stability of drops oscillations / R. Natarajan, R.A. Brown // J. Fluid Mech. – 1987. – V. 183. – P. 95–121.

5. Trinch, E. Large amplitude free and driven drop-shape oscilla-tions: experimental observations / E. Trinch, T.G. Wang // J. Fluid Mech. – 1982. – V. 122. – P. 315–338.

6. Jakobi, N. Acoustically induced oscillations and rotation of a large drop in Space / N. Jakobi, A.P. Croonquist, D.D. Elleman, T.G. Wang // Proc. 2-nd Int. Colloq. on Drop and Bubbles. – Pasade-na, 1982. JPL Publication 82-7. – P. 31–38.

7. Brown, R.A. The shape and stability of rotating liquid drop / R.A. Brown, L.E. Scriven // Proc. R. Soc., London. – 1980. – V. A371. – P. 331–357.

8. Patzek, T.W. Nonlinear oscillations of inviscid free drops / T.W. Patzek, R.E. Benner, O.A. Basaran, L.E. Scriven // J. Coputa-tional Physics. – 1991. – V. 97. – P. 489–515.

9. Basaran, O.A. Nonlinear oscillations of viscous drops / O.A. Basaran // J. Fluid Mech. – 1992. – V. 241. – P. 169–198.

10. Lundgren, T.S. Oscillation of drops in zero gravity with weak viscous effects / T.S. Lundgren, N.N. Mansour // J. Fluid Mech. – 1988. – V. 194. – P. 479–510.

11. Becker, E. Nonlinear dynamics of viscous droplets / E. Becker, W.J. Hiller, T.A. Kowalewski // J. Fluid Mech. – 1994. – V. 258. – P. 191–216.

12. Baker, G.R. Generalized vortex methods for free-surface flow problems / G.R. Baker, D.I. Merion, S.A. Orzag // J. Fluid Mech. – 1982. – V. 123. – Р. 477–501.


265

13. Becker, E. Experimental and theoretical investigation of large amplitude oscillations of liquid droplets / E. Becker, W.J. Hiller, T.A. Kowalewski // J. Fluid Mech. – 1991. – V. 231. – P. 189–210.

14. Wang, T.G. Oscillations of liquid drops: results from USML-1 experiments in Space / T.G. Wang, A.V. Anilkumar, C.P. Lee // J. Fluid Mech. – 1996. – V. 308. – P. 1–14.

15. Azuma H., Yoshinara S. Three-dimensional large-amplitude drop oscillations: experiments and theoretical analysis // J. Fluid Mech. – 1999. – V. 393. – P. 309–332.

16. Inculet, I.I. Breakup of large water droplets by electric fields / I.I. Inculet, R. Kroman // IEEE Transactions on Ind. Appl. – 1992. – V. 28, 5. – P. 945–948.

17. Inculet, I.I. Dynamic of water droplets in electric fields / I.I. Inculet, J.M. Floryan, R.J. Haywood // IEEE Transactions on Ind. Appl. – 1989. – V. 25, 5. – P. 1203–1209.

18. Jong-Wook Ha. Deformation and breakup of Newtonian and non- Newtonian conducting drops in an electric field / Jong-Wook Ha, Seunng-Man Yang // J. Fluid Mech. – 2000. –V. 405. – P. 131–156.

19. Feng, Z.C. On energy transfer in resonant bubble oscillations / Z.C. Feng, L.G. Leal // Phys. Fluids. – 1993. – V. A5, 4. – P. 826–836.

20. Feng, Z.C. Bifurcation and chaos in shape and volume oscilla-tions of a periodically driven bubble with two-to-one internal resonans / Z.C. Feng, L.G. Leal // J. Fluid Mech. – 1994. – V. 266. – P. 209–242.

21. Feng, Z.C. Translational instability of a bubble undergoing oscillations / Z.C. Feng, L.G. Leal // Phys. Fluids. – 1995. – V. 7, 6. – P. 1325–1336.

22. Feng, Z.C. Numerical simulation of the translational and shape oscillations of a liquid drop in an acoustic field / Z.C. Feng, Y.H. Su // Phys. Fluids. – 1997. – V. 9, 3. – P. 519–529.

23. Lundgren, T.S. Oscilllation of drops in zero gravity with weak viscous effects / T.S. Lundgren, N.N. Mansour // J. Fluid Mech. – 1988. – V. 194. – P. 479–510.

24. Natarayan, R. The role of three-dimensional shapes in the break-up of charged drops / R. Natarayan, R.A. Brown // Proc. Roy. Soc., London. – 1987. – V. A410. – P. 209–227.


266

25. Pelekasis, N.A. Equilibrium shapes and stability of charged and conducting drops / N.A. Pelekasis, J.A. Tsamopoulos, G.D. Ma-nolis // Phys. Fluids. – 1990. – V. A 2, 8. – P. 1328–1340.

26. Foote, G.B. A numerical method for studying simple drop be-havior: simple oscillation / G.B. Foote // J. Comp. Phys. 1973. – V.11. – P. 507–530. Р. 17–25.

27. Trinch, E. Large amplitude drop oscillations / E. Trinch, T.G. Wang // Proc. 2-nd Int. Colloq. on Drop and Bubbles. Pasadena: 1982. JPL Publication 82-87.

28. Beard, K.V. Oscillation model for predicting raindrop axis and backscattering ratios / K.V. Beard // Radio Sci. – 1984. – V. 19, 1. – P. 67–74.

29. Tsamopoulos, J.A. Resonant oscillations of inviscid charged drop / J.A. Tsamopoulos, R.A. Brown // J. Fluid Mech. – 1984. – V. 147. – P. 373–395.

30. Ширяева, С.О. Нелинейный аналитический асимптотиче-ский анализ осцилляций неосесимметричных мод заряженной струи идеальной жидкости / С.О. Ширяева, А.И. Григорьев, Т.В. Левчук // ЖТФ. – 2004. – Т. 74, вып. 8. – С. 6–14.

31. Коромыслов, В.А. Нелинейные осцилляции и устойчи-вость заряженной капли, движущейся относительно диэлектриче-ской среды / В.А. Коромыслов, С.О. Ширяева, А.И. Григорьев // ЖТФ. – 2004. – Т. 74, вып. 9. – С. 23–31.

32. Tsamopoulos, J.A. Dynamic of charged drop break-up / J.A. Tsamopoulos, T.R. Akylas, R.A. Brown // Proc. Roy. Soc., London. – 1985. – V. A401. – P. 67–88.

33. Wang, T.G. Oscillations of liquid drops: results from USML-1 experiments in Space / T.G. Wang, A.V. Anilkumar, C.P. Lee // J. Fluid Mech. – 1996. – V. 308. – P. 1–14.

34. Габович, М.Д. Жидкометаллические источники ионов (об-зор) / М.Д. Габович // УФН. – 1983. – Т. 140, 1. – С. 137–151.

35. Baily, A.G. Electrostatic atomization of liquids (rev.) / A.G. Baily // Sci. Prog., Oxf. – 1974. – V. 61. – P. 555–581.

36. Коженков, В.И. Электрогидродинамическое распыление жидкости (обзор) / В.И. Коженков, Н.А. Фукс // Успехи Химии. – 1976. – Т. 45, 12. – С. 2274–2284.

37. Bogy, D.B. Drop formation in a circular liquid jet / D.B. Bogy // Ann. Rev. Fluid Mech. – 1979. – V. 11. – P. 207–228.


267

38. Bailey, A.G. The Theory and Practice of Electrostatic Spray-ing (revue) / A.G. Bailey // Atomization and Spray Technology. – 1986. – V. 2. – P. 95–134.

39. Дудников, В.Г. Электрогидродинамические источники ионных пучков (обзор) / В.Г. Дудников, А.Л. Шабалин // Пре-принт 87-63 ИЯФ СО АН СССР. – Новосибирск, 1987. – 66 с.

40. Ширяева, С.О. Электростатическое монодиспергирование жидкостей как метод получения двухфазных систем (обзор) / С.О. Ширяева, А.И. Григорьев, Ю.В. Сыщиков // ЖПХ. – 1989. – Т. 62, 9. – С. 2020–2026.

41. Fenn, J.B. Electrospray ionization for mass spectrometry of large biomolecules (revue) / J.B. Fenn, M. Mann, C.K. Meng et al. // Science. – 1989. – V. 246, 4926. – P. 64–71.

42. Григорьев, А.И. Неустойчивости заряженных капель в электрических полях (обзор) / А.И. Григорьев // ЭОМ. – 1990. – 6. – С. 23–32.

43. Григорьев, А.И. ЭГД неустойчивости в дисперсных сис-темах (обзор) / А.И. Григорьев, С.О. Ширяева, С.И. Шевченко // Научное приборостроение. – 1991. – Т. 1, 3. – С. 25–43.

44. Шевченко, С.И. ЭГД распыление жидкости (обзор) / С.И. Шевченко, А.И. Григорьев, С.О. Ширяева // Научное при-боростроение. – 1991. – Т. 1, 4. – С. 3–21.

45. Григорьев, А.И. Капиллярные неустойчивости заряжен-ной поверхности капель и электродиспергирование жидкостей (обзор) / А.И. Григорьев, С.О. Ширяева // Изв. РАН. МЖГ. – 1994. – 3. – С. 3–22.

46. Белоножко, Д.Ф. Деление заряженных капель во внеш-нем электрическом поле на части сравнимых размеров (обзор) / Д.Ф. Белоножко, А.И. Григорьев // ЭОМ. – 2000. – 4. – C. 17–27.

47. Rayleigh. On the equilibrium of liquid conducting masses charged with electricity / Rayleigh // Phil. Mag. – 1882. – V. 14. – P. 184–186.

48. Hendricks, C.D. Stability of conducting droplet under the in-fluence of surface tension and electrostatic forces / C.D. Hendricks, J.M. Schneider // Amer. Phys. – 1963. – V. 1, 6. – P. 450–453.

49. Григорьев, А.И. Критические условия неустойчивости сплюснутой сфероидальной сильно заряженной капли


268

/ А.И. Григорьев, С.О. Ширяева // ЖТФ. – 1999. – Т. 69, вып. 7. – С. 10-14.

50. Щукин, С.И. Устойчивость заряженной капли, имеющей форму трехосного эллипсоида / С.И. Щукин, А.И. Григорьев // ЖТФ. – 1998. – Т. 68, вып. 11. – С. 48–52.

51. Basaran, O.A. Axisymmetric shapes and stability of isolated charged drops / O.A. Basaran, L.E. Scriven // Phys. Fluids A. – 1989. – V. 1, 5. – P. 795–798.

52. Белоножко, Д.Ф. Нелинейные колебания заряженной кап-ли / Д.Ф. Белоножко, А.И. Григорьев // ЖТФ. – 2000. – Т. 70, вып. 8. – С. 45–52.

53. Найфе, А.Х. Методы возмущений / А.Х. Найфе. – М: Мир, 1976. – 455 с.

54. Найфе, А.Х. Введение в методы возмущений / А.Х. Най-фе. – М: Мир, 1984. – 535 с.

55. Коул, Дж. Методы возмущений в прикладной математике / Дж. Коул. – М: Мир, 1972. – 274 с.

56. Basaran, O.A. Nonlinear oscillations of viscous drops / O.A. Basaran // J. Fluid Mech. – 1992. – V. 241. – P. –169–198.

57. Григорьев, А.И. О возможном механизме возникновения огней ''св. Эльма'' / А.И. Григорьев, О.А. Синкевич // ЖТФ. – 1984. – Т. 54, вып. 7. – С. 1276–1283.

58. Григорьев, А.И. Параметры электростатического распы-ливания жидкости / А.И. Григорьев, С.О. Ширяева // Изв. АН СССР. МЖГ. – 1988.– 2. – С. 5–13.

59. Григорьев, А.И. Электромагнитное излучение осцилли-рующей заряженной капли конечной проводимости / А.И. Гри-горьев, С.О. Ширяева // Изв. РАН МЖГ. – 2002. – 5. – С. 74–80.

60. Калечиц, В.И. О возможном механизме радиоизлучения конвективных облаков / В.И. Калечиц, И.Е. Нахутин, П.П. Полу-эктов // ДАН СССР. – 1982. – Т. 262, 6. – С. 1344–1347.

61. Гаибов, А.Р. Об акустическом излучении нелинейно ко-леблющейся заряженной капли / А.Р. Гаибов, А.И. Григорьев // ЖТФ. – 2003. – Т. 73, вып. 7. – С. 13–20.

62. Trinh, E.H. The dynamics of ultrasonically levitated drops in an electric field / E.H. Trinh, R.G. Holt, D.B. Thiessen // Phys. Fluids. – 1996. – V. 8, 1. – P. 43–61.


269

63. Григорьев, А.И. Неустойчивость заряженной сферической вязкой капли, движущейся относительно среды / А.И. Григорьев, В.А. Коромыслов, С.О. Ширяева // ЖТФ. – 2000. – Т. 70, вып. 7. – С. 26-34.

64. Варшалович, Д.А. Квантовая теория углового момента / Д.А. Варшалович, А.Н. Москалев, В.К. Херсонский. – Л.: Наука. 1975. – 439 с.

65. Ширяева, С.О. Аналитическое исследование нелинейных осцилляций заряженной капли, движущейся относительно среды: препринт 34 / С.О. Ширяева, А.И. Григорьев, В.А. Коро-мыслов и др // ИМ РАН. – Ярославль, 2005. – 35 с.

66. Ширяева, С.О. Об условиях реализации внутреннего не-линейного резонанса при осцилляциях заряженной капли / С.О. Ширяева, Д.Ф. Белоножко А.И. Григорьев // Письма в ЖТФ. – 2002. – Т. 28, вып. 22. – С. 45–51.

67. Ширяева, С.О. Характерное время развития неустойчиво-сти сильно заряженной капли / С.О. Ширяева, А.И. Григорьев // ЖТФ. – 1995. – Т. 65, вып. 9. – С. 39–45.

68. Григорьев, А.И. Электродиспергирование жидкости при реализации колебательной неустойчивости ее свободной поверх-ности / А.И. Григорьев // ЖТФ. – 2000. – Т. 70, вып. 5. – С. 22–27.

69. Ширяева, С.О. Асимметрия нелинейного резонансного взаимодействия мод капиллярных осцилляций заряженной кап-ли / С.О. Ширяева // Письма в ЖТФ. – 2000. – Т. 26, вып. 22. – С. 76–83.

70. Ширяева, С.О. О росте амплитуды осцилляций основной моды заряженной капли при внутреннем нелинейном резонансе / С.О. Ширяева, А.И. Григорьев, Д.Ф. Белоножко // Письма в ЖТФ. – 2003. – Т. 29, вып. 6. – С. 69–75.

71. Ширяева, С.О. Нелинейные осцилляции заряженной кап-ли при начальном возбуждении соседних мод / С.О. Ширяева // ЖТФ. – 2002. – Т. 72, вып. 4. – С. 15–22.

72. Ширяева, С.О. Об условиях реализации внутреннего не-линейного резонанса при осцилляциях заряженной капли / С.О. Ширяева, Д.Ф. Белоножко, А.И. Григорьев // Письма в ЖТФ. – 2002. – Т. 28, вып. 22. – С. 45–51.


270

73. Ширяева, С.О. О внутреннем резонансе мод нелинейно-осциллирующей объемно заряженной диэлектрической капли / С.О. Ширяева // ЖТФ. – 2003. – Т. 73, вып. 2. – С. 19–30.

74. Ширяева, С.О. О росте амплитуды осцилляций основной моды заряженной капли при внутреннем нелинейном резонансе / С.О. Ширяева, А.И. Григорьев, Д.Ф. Белоножко // Письма в ЖТФ. – 2003. – Т. 29, вып. 6. – С. 69–75.

75. Ширяева, С.О. О влиянии собственного заряда нелиней-но-осциллирующей капли на внутреннее резонансное взаимодей-ствие мод / С.О. Ширяева // Письма в ЖТФ. – 2003. – Т. 29, вып. 17. – С. 28–35.

76. Ширяева, С.О. О некоторых особенностях нелинейного резонансного четырехмодового взаимодействия капиллярных ос-цилляций заряженной капли / С.О. Ширяева, А.Н. Жаров, А.И. Григорьев // ЖТФ. – 2004. – Т. 74, вып. 1. – С. 10–20.

77. Григорьев, А.И. О возможности зажигания коронного разряда в окрестности нелинейно-осциллирующей слабо заря-женной капли / А.И. Григорьев, С.О. Ширяева, М.В. Волкова // ЖТФ. – 2003. – Т. 73, вып. 11. – С. 31–36.

78. Рабинович, М.И. Введение в теорию колебаний и волн / М.И. Рабинович, Д.И. Трубецков. – М.: Наука. – 1984. – 432 с.

79. Бреховских, Л.М. Введение в механику сплошных сред / Л.М. Бреховских, В.В. Гончаров. – М: Наука, 1982. – 439 с.

80. Ширяева, С.О. Нелинейные капиллярные колебания и ус-тойчивость сильно заряженной капли при одномодовой началь-ной деформации большой амплитуды / С.О. Ширяева // ЖТФ. – 2001. – Т. 71, вып. 2. – С. 27–35.

81. Ширяева, С.О. Нелинейные осцилляции заряженной капли при многомодовой начальной деформации равновесной формы / С.О. Ширяева // Изв. РАН. МЖГ. – 2001. – 3. – С. 173–184.

82. Жаров, А.Н. Нелинейные колебания заряженной капли в третьем порядке малости по амплитуде многомодовой начальной деформации / А.Н. Жаров, С.О. Ширяева, А.И. Григорьев // ЖТФ. – 2003. – Т. 73, вып. 12. – С. 9–19.

83. Жаров, А.Н. О внутреннем нелинейном четырехмодовом взаимодействии капиллярных осцилляций заряженной капли / А.Н. Жаров, А.И. Григорьев, С.О. Ширяева // Письма в ЖТФ. – 2003. – Т. 29, вып. 9. – С. 75–82.


271

84. Ландау, Л.Д. Электродинамика сплошных сред / Л.Д. Лан-дау, Е.М. Лифшиц. – М.: Наука, 1982. – 620 с.

85. Ландау, Л.Д. Гидродинамика / Л.Д. Ландау, Е.М. Лиф-шиц. – М.: Наука, 1986. – 733 с.

86. Дьячук, В.А. Коронный разряд с обводненной градины, основной механизм инициирования молнии / В.А. Дьячук, В.М. Мучник // ДАН СССР. – 1979. – Т. 248, 1. – С. 60–63.

87. Grigor’ev, A.I. The possible physical mechanism of initiation and growth of lightning / A.I. Grigor’ev, S.O. Shiryaeva // Physica Scripta. – 1996.– V. 54. – P. 660–666.

88. Мазин И.П., Хргиан А.Х., Имянитов И.М. Облака и об-лачная атмосфера : справочник / И.П. Мазин, А.Х. Хргиан, И.М. Имянитов. – Л.: Гидрометеоиздат, 1989. – 647 с.

89. Григорьев, А.И. Закономерности рэлеевского распада за-ряженной капли / А.И. Григорьев, С.О. Ширяева // ЖТФ. – 1991. –Т. 61, вып. 3. – С. 19–28.

90. Benjamin, T.B. Self propulsion of asymmetrically vibrating bubbles / T.B. Benjamin, A.T. Ellis // J. Fluid Mech. – 1990. – V. 212. – P. 65–80.

91. Гаибов, А.Р. О некоторых особенностях акустического излучения капли, связанного с ее нелинейными осцилляциями / А.Р. Гаибов, А.И. Григорьев // ЖТФ. – 2003. – Т. 73, вып. 10. – С. 23–28.

92. Григорьев, А.И. Капиллярные осцилляции излучающей заряженной вязкой капли конечной проводимости / А.И. Григорьев, С.О. Ширяева, В.А. Коромыслов // ЖТФ. – 2002. – Т. 72, вып. 6. – С. 19–27.

93. Kornfeld M., Suvorov L. 1944. // J. Appl. Phys. – V. 15. – P. 495–506.

94. Диденкулов, И.Н. Влияние вязкости на Рэлей-Тейлоров-скую неустойчивость в сферических течениях жидкости / И.Н. Диденкулов, Д.А. Селивановский, В.Е. Семенов, И.В. Со-колов // Изв. ВУЗов. Радиофизика. – 1999. – Т. 42. Т. 2. – С. 183–197.

95. Рид Р., Шервуд Т. Свойства газов и жидкостей / Р. Рид, Т. Шервуд. – Л: Химия, 1971. – 702 с.

96. Жаров, А.Н. Заряженные пузырьки в жидкости (обзор) / А.Н. Жаров, С.О. Ширяева // ЭОМ. – 1999. – 6. – С. 9–21.


272

97. Григорьев, А.И. О механизме неустойчивости заряженной проводящей капли / А.И. Григорьев // ЖТФ. – 1985. – Вып. 7. – С. 1272–1278.

98. Рыбакова, М.В. О внутреннем нелинейном резонансе ка-пиллярных осцилляций заряженной капли в диэлектрической среде при многомодовой начальной деформации границы раздела сред / М.В. Рыбакова, С.О. Ширяева, А.И. Григорьев // ЖТФ. – 2004. – Т. 74, вып. 1. – С. 24–31.

99. Курчатов, И.В. Электронные явления / И.В. Курчатов, Д.Н. Наследов, Н.Н. Семенов, Ю.Б. Харитон. – Л: ОНТИ. Химте-орет, 1935. – 388 с.

100. Doyle, A. Behavior of evaporating electrically charged drop-lets / A. Doyle, D.R. Moffet, B. Vonnegut // J. Colloid Sci. – 1964. – V. 19. – P. 136–143.

101. Berg, T.G.O. Stable, unstable and metastable charged drop-lets / T.G.O. Berg, R.J. Trainor, U. Vaughan // J. Atmosph. Sci. – 1970. – V. 27, 11. – P. 1173–1181.

102. Schweizer, J.W. Stability limit of charged drops / J.W. Schweizer, D.N. Hanson // J. Coll. Int. Sci. – 1971. – V. 35, 3. – P. 417–423.

103. Roulleau, M. Study of evaporation and instability of charged water droplets / M. Roulleau, M. Desbois // J. Atmosph. Sci. – 1972. – V. 29, 4. – P. 565–569.

104. Duft, D. Shape oscillations and stability of charged micro-droplets / D. Duft, H. Lebius, B.A. Huber et al. // Phys. Rev. Lett. – 2002. – V. 89, 8. – P. 1–4.

105. Grigor'ev, A.I. Mechanism of electrostatic polydispersion of liquid / A.I. Grigor'ev, S.O. Shiryaeva // J. Phys. D: Appl. Phys. 1990. – V. 23, 11. – P. 1361–1370.

106. Grigor’ev, A.I. The theoretical consideration of physical re-gularities of the electrostatic dispersion of liquids as aerosols / A.I. Grigor'ev, S.O. Shiryaeva // J. Aerosol Sci. – 1994. – V. 25, 6. – P. 1079–1091.

107. Григорьев, А.И. О некоторых закономерностях реализа-ции неустойчивости сильно заряженной вязкой капли / А.И. Гри-горьев // ЖТФ. – 2001. – Т. 71, вып. 10. – С. 1–7.

108. Жаров, А.Н. О нелинейных поправках к частотам осцил-ляций заряженной капли в несжимаемой внешней среде


273

/ А.Н. Жаров, С.О. Ширяева, А.И. Григорьев // ЖТФ. – 2004. – Т. 74, вып. 7. – С. 19–26.

109. Гонор, А.Л. Динамика капли / А.Л. Гонор, В.Я. Ривкинд // Итоги науки и техники : сб. Сер. Механика жидкости и газа. – М: ВИНИТИ, 1982. – Т. 17. – С. 98–159.

110. Григорьев, А.И. Критические условия реализации неус-тойчивости заряженной капли в электростатическом поле / А.И. Григорьев, С.О. Ширяева, С.И. Щукин // ЖПХ. – 1999. – Т. 72, вып. 1. – С. 117–120.

111. Григорьев, А.И. Неустойчивость заряженной сфериче-ской вязкой капли, движущейся относительно среды / А.И. Григорьев, В.А. Коромыслов, С.О. Ширяева // ЖТФ. – 2000. – Т. 70, вып. 7. – С. 26–34.

112. Коромыслов, В.А. Неустойчивость сферической заря-женной капли, движущейся параллельно внешнему электроста-тическому полю / В.А. Коромыслов, А.И. Григорьев // ЖТФ. – 2002. – Т. 72, вып. 9. – С. 21–28.

113. Григорьев, А.И. Неустойчивость заряженной сфериче-ской капли, движущейся относительно среды / А.И. Григорьев, В.А. Коромыслов, С.О. Ширяева // ЖТФ. – 1999. – Т. 69, вып. 5. – С. 7–14.

114. Григорьев, А.И. Неустойчивость заряженной сфериче-ской вязкой капли, движущейся относительно среды / А.И. Гри-горьев, В.А. Коромыслов, С.О. Ширяева // ЖТФ. – 2000. – Т. 70, вып. 7. – С. 26–34.

115. Коромыслов, В.А. Неустойчивость сферической заря-женной капли, движущейся параллельно внешнему электроста-тическому полю / В.А. Коромыслов, А.И. Григорьев // ЖТФ. – 2002. – Т. 72, вып. 9. – С. 21–28.

116. Коромыслов, В.А. Нелинейные осцилляции и устойчи-вость заряженной капли, движущейся относительно диэлектриче-ской среды / В.А. Коромыслов, А.И. Григорьев, С.О. Ширяева // ЖТФ. – 2004. – Т. 74, вып. 9. – С. 23–31.

117. Григорьев, А.И. Равновесная форма и устойчивость за-ряженной капли, обдуваемой потоком газа в электростатическом поле / А.И. Григорьев // ЖТФ. – 2002. – Т. 72, вып. 7. – С. 41–47.

118. Григорьев, А.И. О форме заряженной капли в скрещен-ных электрическом и гидродинамическом полях / А.И. Гри-


274

горьев, В.А. Коромыслов, М.В. Рыбакова // ЭОМ. – 2002. – 6. – С. 22–25.

119. Григорьев, А.И. О равновесной форме капли, движущей-ся относительно среды / А.И. Григорьев, В.А. Коромыслов, М.В. Рыбакова, С.О. Ширяева // ЭОМ. – 2002. – 1. – С. 41–45.

120. Ширяева, С.О. Линейное взаимодействие волн на заря-женной границе раздела сред при наличии тангенциального раз-рыва поля скоростей / С.О. Ширяева // ЖТФ. – 2001. Т. 71, вып. 3. – С. 9–16.

121. Коромыслов, В.А. Нелинейные капиллярные колебания заряженной капли в диэлектрической среде при одномодовой на-чальной деформации формы / В.А. Коромыслов, С.О. Ширяева, А.И. Григорьев // ЖТФ. – 2003. – Т. 73, вып. 9. – С. 44–51.

122. Григорьев, А.И. О возможности зажигания коронного разряда в окрестности нелинейно-осциллирующей во внешнем электростатическом поле электропроводной капли / А.И. Гри-горьев, С.О. Ширяева, М.В. Волкова // ЖТФ. – 2005. – Т. 75, вып. 7. – С. 40–47.

123. Щукин, С.И. Локальное увеличение напряженности од-нородного электростатического поля вблизи вершин сфероидаль-ной капли / С.И. Щукин, А.И. Григорьев // ЖТФ. – 1999. – Т. 69, вып. 8. – С. 49–54.

124. Григорьев, А.И. Неустойчивость заряженной плоской границы раздела сред по отношению к тангенциальному разрыву на ней зависящего от времени поля скоростей / А.И. Григорьев // ЖТФ. – 2000. – Т. 70, вып. 1. – С. 24–26.

125. Григорьев, А.И. Деформации и перекрытия зон неустой-чивости уравнения Матье-Хилла / А.И. Григорьев, А.С. Голо-ванов // ПЖТФ. – 1999. – Т. 25, вып. 20. – С. 13–18.

126. Григорьев, А.И. О нелинейных осцилляциях заряженной капли в аэродинамическом потоке / А.И. Григорьев, В.А. Коро-мыслов, С.О. Ширяева, М.В. Волкова // ЭОМ. – 2004. – 6. – С. 25–31.

127. Beard, K.V. 1987. // Rev. Geophys. – V. 25. – 3. – P. 357–370.

128. Мазин, И.П. Облака. Строение и физика образования / И.П. Мазин, С.М. Шметер. – Л: Гидрометеоиздат, 1983. – 160 с.


275

129. Ширяева, С.О. Нелинейные осцилляции незаряженной электропроводной капли в однородном внешнем электростатиче-ском поле / С.О. Ширяева, А.И. Григорьев, М.В. Волкова // ЖТФ. – 2005. – Т. 75, вып. 3. – С. 36–44.

130. Cheng, K.J. Capillary oscillations of a drop in an electric field / K.J. Cheng // Phys. Lett. – 1985. – V. A112, 11. – P. 392–396.

131. Григорьев, А.И. К механизму развития неустойчивости капли жидкости в электростатическом поле / А.И. Григорьев, О.А. Синкевич // Изв. АН СССР. МЖГ. – 1985. – 6. – С. 10–15.

132. Feng, Z.C. Small-amplitude oscillation of electrostatically levitated drops / Z.C. Feng, K.V. Beard // Proc. R. Soc., London. – 1990. – V. 430. – P. 133–150.

133. Ширяева, С.О. Об устойчивости капиллярных колебаний слабо сфероидальной заряженной капли / С.О. Ширяева // ЖТФ. – 1996. – Т. 66, вып. 9. – С. 12–20.

134. Ширяева, С.О. Нелинейные осцилляции заряженной ка-пли, подвешенной в гравитационном и электростатическом полях / С.О. Ширяева // Изв. РАН. МЖГ. – 2006. – 2. – С. 17–30.

135. Ширяева, С.О. Формулировка задач об аналитическом расчете нелинейных движений вязкой жидкости со свободной по-верхностью: препринт 31 / С.О. Ширяева, Д.Ф. Белоножко, В.Б. Световой, А.И.Григорьев // ИМ РАН. – Ярославль. 2001. – 87 с.

136. Григорьев, А.И. Об одном методе решения уравнения На-вье-Стокса в криволинейных системах координат / А.И. Григорьев, А.Э. Лазарянц // ЖВММФ. – 1992. – Т. 32, 6. – С. 929–938.

137. Ширяева, С.О. Метод скаляризации векторных краевых задач: препринт 27 / С.О. Ширяева, А.Э. Лазарянц, А.И. Гри-горьев и др. // ИМ РАН – Ярославль, 1994. – 128 с.

138. Левачева Г.А., Маныкин Э.А., Полуэктов П.П. // Изв. АН СССР. МЖГ. – 1985. – 2. – С. 17–22.

139. Диткин, В.А. Операционное исчисление / В.А. Диткин, А.П. Прудников. – М.: Высшая школа, 1975. – 408 с.

140. Абрамовиц, М. Справочник по специальным функциям / М. Абрамовиц, И. Стиган. – М.: Наука, 1979. – 832 с.

141. Жаров, А.Н. О временной эволюции формы поверхно-сти, деформированной в начальный момент заряженной капли


276

вязкой жидкости / А.Н. Жаров, А.И. Григорьев // ЖТФ. – 2005. – Т. 75, 1. – С. 22–31.

142. Жаров, А.Н. О некоторых свойствах разложений по про-изводным от полиномов Лежандра, проявляющихся при исследо-вании нелинейных осцилляций капли вязкой жидкости / А.Н. Жаров, А.И. Григорьев, С.О. Ширяева // ЖТФ. – 2005. – Т. 75, 9. – С. 20–26.

143. Жаров, А.Н. О влиянии вязкости жидкости нелинейно-осциллирующей заряженной капли на положения внутренних ре-зонансов / А.Н. Жаров, А.И. Григорьев, С.О. Ширяева // ЖТФ. – 2005. – Т. 75, вып. 7. – С. 19–28.

144. Белоножко, Д.Ф. О делении на две части сильно заря-женной капли при нелинейных колебаниях / Д.Ф. Белоножко, С.О. Ширяева, А.И. Григорьев // ПЖТФ. – 2000. – Т. 26, вып. 19. – С. 16–23.


277

Оглавление 1. Введение................................................................................................ 3

2. Анализ нелинейных осцилляций заряженной капли идеальной жидкости во втором порядке малости по амплитуде исходной деформации ............................................ 13

2.1. Нелинейные осцилляции деформированной в начальный момент времени заряженной капли.................. 13

2.2. Внутреннее нелинейное резонансное трехмодовое вырожденное и вторичное комбинационное взаимодействие мод осцилляций заряженной капли............. 22

3. Анализ нелинейных осцилляций заряженной капли идеальной жидкости в третьем порядке малости по амплитуде исходной деформации............................................. 42

3.1. Нелинейные осцилляции деформированной в начальный момент времени заряженной капли. Вывод выражений для нелинейных поправок к частотам мод, определяющих начальную деформацию .......................................................... 42

3.2. Внутреннее нелинейное резонансное четырехмодовое взаимодействие мод осцилляций заряженной капли идеальной жидкости ............................................................... 66

4. Нелинейные осцилляции заряженной капли в несжимаемой ма-териальной диэлектрической внешней среде ............................... 93

4.1. О расчете амплитуды трансляционной моды при нелиней-ных осцилляциях капли во внешней среде ............................... 93

4.2. Нелинейные осцилляции заряженной капли во внешней среде ...................................................................... 100

4.3. Резонансное взаимодействие мод нелинейно-осциллирующей во внешней среде заряженной капли ........... 126

4.4. Влияние спектра мод, определяющих начальную деформацию заряженной капли, на критические условия реализации ее неустойчивости по отношению к собственному заряду ............................................................ 140

5. Нелинейные осцилляции заряженной капли в ламинарно обтекающей ее несжимаемой диэлектрической материальной среде ........................................................................ 151

5.1. Нелинейные капиллярные колебания и устойчивость заря-женной капли, движущейся относительно среды ............... 151


278

5.2. О раскачке в нелинейных вторичных комбинационных ре-зонансах осцилляций основной моды движущейся отно-сительно среды заряженной капли ........................................ 170

6. Нелинейные осцилляции заряженной капли во внешних силовых полях ................................................................................. 190

7. Влияние вязкости жидкости на нелинейные осцилляции заря-женной капли .................................................................................. 211

7.1. Временная эволюция формы поверхности деформирован-ной в начальный момент времени заряженной капли вяз-кой жидкости в линейном приближении ........................... 211

7.2. Нелинейные осцилляции заряженной капли вязкой жидкости ................................................................................. 233

8. Литература ........................................................................................... 264

9. Оглавление ........................................................................................... 193


279

Научное издание

Григорьев Александр Иванович Ширяева Светлана Олеговна Жаров Алексей Николаевич

Нелинейные осцилляции заряженной капли

Редактор, корректор Л.Н. Селиванова Компьютерная верстка И.Н. Ивановой

Подписано в печать 11.09.2006 г. Формат 60×84/16. Бумага тип. Печать офсетная. Усл. печ. л. 16,3. Уч.-изд.л. 13,5. Тираж 150 экз.

Оригинал-макет подготовлен в редакционно-издательском отделе ЯрГУ Ярославский государственный университет

150000 Ярославль, ул. Советская, 14

Отпечатано ООО «Ремдер» ЛР ИД 06151 от 26.10.2001.

г. Ярославль, пр. Октября, 94, оф.37, тел.(4852) 73-35-03


280


Documents

774.нелинейные осцилляции заряженной капли монография