8. Granične Vrednosti Funkcije

GRANIČNA VREDNOST FUNKCIJE

• Zašto nam trebaju granične vrednosti?• Naprimer, kada želimo da odredimo vrednost funkcije f(x)= 2x+3 za vrednost x=2,

mi ćemo zadatu vrednost zameniti u funkciju i izračunati da je f(2)=7.• Međutim, ako želimo da odredimo vrednost funkcije u tačkama u kojima je funkcija

prekinuta ili je u beskonačnosti, to ne možemo da učinimo na isti način.

• Ako posmatramo funkciju , funkcija nije definisana u tački x=0, pa samim tim ne postoji f(0).

• Da bismo ipak ispitali kako se funkcija ponaša u okolini te tačke, jedino možemo da u se beskonačno približavamo sa leve i desne strane tački x=0 i pratimo ponašanje funkcije.

1( )f x

x

Sa slike vidimo, da kada se približavamo nuli sa leve stane funkcija teži u minus

beskonačno, a kada se približavamo sa desne strane funkcija teži u plus

beskonačno.

Sa druge strane, kada se promenljiva x u beskonačno uvećava, ili smanjuje, funkcija teži nuli.

x

y 1( )f x

x

Ako posmatramo funkciju takođe možemo da zaključimo da ne

postoji vredost f(1), jer je to prekid funkcije.

Međutim, kada se sada približavamo vrednosti x=1, sa leve i desne strane, dobijamo 2, mada f(1) ne postoji.

2 1( )

1

xf x

x

x

y

2 1( )

1

xf x

x

1

2


Definicija granične vrednosti funkcije.

Broj A je granična vrednost funkcije f(x) kada ako za svaki

broj postoji broj takav da za

je ispunjena nejednakost i pišemo

x a

0 0 x a

f x A

limx a

f x A


Navedenu definiciju možemo zapisati i na sledeći način:

0 0 , ,x x a a f x A A

a a a

A

A A

y f x

x

y

• U prvom primeru funkcija nema graničnu vrednost kada x teži nuli, jer je

a imamo kada teži u beskonačno jer je

• U drugom primeru funkcija ima graničnu vrednost kada x teži 1, jer je

1lim 0x x

2

1 0

1lim 2

1x

x

x

0

1limx x

• Funkcije koje imaju graničnu vrednost u nekoj tački nazivaju se konvergentne funkcije.

• Funkcije koje nemaju graničnu vrednost u nekoj tački nazivaju se divergentne funkcije.

OSOBINE GRANIČNIH VREDNOSTI FUNKCIJA

• Ako funkcije i imaju granične vrednosti kad argument

tj. , tada je:

f x g x x a

limx a

f x A

limx ag x B

limx a

f x g x A B

limx a

f x g x A B

limx a

f x A

g x B 0, 0g x B

Primer 1: ( tip 1)Izračunati graničnu vrednost funkcije

Rešenje:

1lim .

2 1x

x

x

Primer 1: ( tip 1)Izračunati graničnu vrednost funkcije

Rešenje:

11 lim 111 1lim lim

1 12 1 22 lim 2

x

x x

x

x xxx

x x

1lim .

2 1x

x

x

Primer 2:Izračunati graničnu vrednost funkcije

Rešenje:

2

3

2 3 1lim .

2x

x x

x x


Rešenje:

2

3

2 3 1lim .

2x

x x

x x

2 2 3

3

2

2 3 12 3 1

lim lim 022 1

x x

x x x x xx x

x


Rešenje:

3

2

2 3 1lim .

2x

x x

x x


Rešenje:

3

2

2 3 1lim .

2x

x x

x x

3 2 3

2

2

3 122 3 1

lim lim1 22x x

x x x xx x

x x

Primer 4: ( tip 2 )Izračunati graničnu vrednost funkcije

Rešenje:

2lim 1x

x x

Primer 4: ( tip 2 )Izračunati graničnu vrednost funkcije

Rešenje:

2lim 1x

x x

22 2 2 2

2

2 2

2 2

2 2

1 1 1lim 1 lim lim

1 1

1 1lim lim 0 .

1 1

x x x

x x

x x x x x xx x

x x x x

x x

x x x x

Primer 5:Izračunati graničnu vrednost

Rešenje:

2limx

x

x x x

Primer 5:Izračunati graničnu vrednost

Rešenje:

2

2 2 2

2 2

2 222

2

lim lim

lim lim

1 1lim lim 1 1

x x

x x

x x

x x x xx

x x x x x x x x x

x x x x x x x x

xx x x

x x x

x x x

2limx

x

x x x

Primer 6:Izračunati sledeće granične vrednosti

Rešenje:

2

2

1) lim

2x

xa

x

2 2 1) lim ,

2 1x

x xb

x

2

2 1) lim

2 1x

xc

x x


Rešenje:

2

2

1) lim

2x

xa

x

2 2 1) lim ,

2 1x

x xb

x

2

2 1) lim

2 1x

xc

x x

2 2

2

2

111

) lim lim 122 1

x x

x xax

x

2 2

2

2 112 1

) lim lim2 12 1x x

x x x xbx

x x

2

2

2

2 12 1

) lim lim 02 12 1 1

x x

x x xcx x

x x


Rešenje:

2) lim 1x

a x x

21

3 2) lim

1x

xb

x


Rešenje:

21

3 2) lim

1x

xb

x

2) lim 1

xa x x

2 2

1 1 1) lim lim

1 11 1

lim lim 0 .1 1

x x

x x

x x x x x xa

x x x xx x

x x x x

2

2 21 1

21 1

3 43 2 3 2) lim lim

1 3 2 1 3 2

1 1 1lim lim .

81 3 2 1 3 2

x x

x x

xx xb

x x x x

x

x x x x

Primer 8: ( tip 3 )Izračunati sledeće granične vrednosti

Rešenje:

2

21

1) lim

2 1x

xa

x x

2

22

5 6) lim

3 2x

x xb

x x

Primer 8: ( tip 3 )Izračunati sledeće granične vrednosti

Rešenje:

2

22 2 2

3 25 6 3) lim lim lim 1

3 2 1 2 1x x x

x xx x xb

x x x x x

2

21

1) lim

2 1x

xa

x x

2

221 1 1

1 11 1) lim lim lim .

2 1 11x x x

x xx xa

x x xx

2

22

5 6) lim

3 2x

x xb

x x

BROJ e

Granična vrednost funkcije kada promenljiva teži u

beskonačno je broj e.

Broj e je matematička konstanta čija je vrednost

11

x

yx

2,718281e

1lim 1

x

xe

x

Primer 9: ( tip 4 )

Naći graničnu vrednost funkcije

Rešenje:

Ako uvedemo smenu za dobijamo da

3lim 1

x

x x

3 13x t

x t x t

3333 1 1

lim 1 lim 1 lim 1x t t

x t te

x t t

Primer 10: Naći graničnu vrednost funkcije

Rešenje:

Napomena: U ovom primeru je korišćena osobina da je

3lim 1

x

x x

1

lim 1

f x

xe

f x


Rešenje:

Napomena: U ovom primeru je korišćena osobina da je

3lim 1

x

x x

33

3 333 3 3

lim 1 lim 1 lim 1

x xx

x x xe

x x x

1

lim 1

f x

xe

f x


Rešenje:

Dakle možemo koristiti da je

1lim 1 .

x

x x


Rešenje:

Dakle možemo koristiti da je

1lim 1 .

x

x x

11 1 1lim 1 lim 1

x t

x te

x t e

11 1lim 1

x

xe

x e


Rešenje:

23lim

x

x

x

x


Rešenje:

23lim

x

x

x

x

3

2 32 3

23 3

lim lim 1

x x

x x

xe

x x

ASIMPTOTE FUNKCIJE

• Vertikalna asimptota. Prava x=a je vertikalna asimptota funkcije y=f(x)

ako je

Ako je ili onda govorimo o desnoj ili

levoj vertikalnoj asimptoti.

limx a

f x

limx a

f x

limx a

f x

x

y

ASIMPTOTE FUNKCIJE

Horizontalna asimptota.

Prava y=b je horizontalna asimptota funkcije y=f(x) ako je

limx

f x b

x

y

ASIMPTOTE FUNKCIJE

Kosa asimptota.

Prava y=kn+n je kosa asimptota funkcije y=f(x) ako je

lim , limx x

f xk n f x kx

x

x

y

Primer 13: Odrediti asimptote funkcije

Rešenje:

3

1f x

x


Rešenje:Kako funkcija ima prekid za x= 1, ta prava može da bude vertikalna asimptota

funkcije.

Kako je

Funkcija ima jednu vertikalnu asimptotu, pravu x=1.

Pošto je , funkcija ima horizontalnu asimptotu,

x - osu, tj pravu y=0.

3

1f x

x

1 0 1 0

3 3 3 3lim , lim ,

1 1 0 1 1 1 0 1x xx x

3lim 0

1x x


Rešenje:

2

2

3

1

xf x

x


Rešenje:Kako funkcija ima prekide za x=-1 i x= 1, te prave mogu da budu vertikalne asimptote

funkcije.

Kako je

Funkcija dakle ima dve vertikalne asimptote.

Pošto je funkcija ima horizontalnu

asimptotu pravu y=3.

2

2

3

1

xf x

x

2 2

21 0 1 0

2 2 2

2 2 21 0 1 0 1 0

3 3 3lim lim ,

1 1 1 1 0 1 2

3 3 3lim , lim , lim

1 1 1

x x

x x x

x x

x x x

x x x

x x x

2

2

2

3 3lim lim 3

11 1x x

x

xx


Rešenje:

23

1

xf x

x


Rešenje:Kako funkcija ima prekid za x= 1, ta prava može da bude vertikalna asimptota

funkcije.

Kako je

Funkcija dakle ima vertikalnu asimptotu.

Pošto je funkcija nema horizontalnu i može da

ima kosu.

23

1

xf x

x

2 2

1 0 1 0

3 3 3lim , lim ,

1 1 0 1 1x x

x x

x x

2

2

3 3lim lim 0

1 11x x

x

xx x

2

2 2

2

33 31lim lim 3, lim 3 3

1

3 3

x x x

xx xxk n x

x x x x

y x

Zadaci za vežbanje

1. Izračunati granične vrednosti

2. Odrediti asimptote funkcija

2

21

2lim

1x

x x

x

21

lim 13

x

x x

23

limx

x

x

x

2 2

2

1 3 2 1 2 1, , ,2 3 1 1

x x xy y y y

x x x x

0

1 1lim

4x

x x

x

2

2

2lim

1x

x x

x

Documents

8. Granične Vrednosti Funkcije