1

887110Introduction to discrete

structureบทท 7 เทคนคการนบขนสง

2

ภาพรวมของเนอหา• หลกการการเพมเขา ตดออก – (Inclusion-

Exclusion principle)• ฟงกชนกอกำาเนด (Generating

function)

3

หลกการการเพมเขา ตดออก – (INCLUSION-EXCLUSION PRINCIPLE)

4

หลกการการเพมเขา ตดออก –(Inclusion-Exclusion principle)

• สมมตวางานเลยงแหงหนง เจาภาพอยากทราบวามแขกทเปนผหญง หรอ ชาวตางชาตกคน

• ถาเราหาคำาตอบโดยการนบจำานวนแขกทเปนผหญง และ จำานวนแขกทเปนชาวตางชาตและนำามารวมกนเลย นนไมใชคำาตอบทถกตอง เพราะ ผหญงบางคนอาจเปนชาวตางชาตดวย ทำาใหจำานวนทเรานบไดเกนความเปนจรง

• ดงนน เราจะตองนำาจำานวนผหญงทเปนชาวตางชาตมาลบจากผลรวมดงกลาวกอน จงเปนคำาตอบทเราตองการ นคอทมาของหลกการเพมเขาตดออก

5

หลกการการเพมเขา ตดออก –(Inclusion-Exclusion principle)

• จำานวนเตมตงแต 1 ถง 20 ทหารดวย 2 หรอ 3 ลงตวมกจำานวน

• การแกปญหานเราอาจคดแยกเปน 2 กรณ คอ– ตวเลขทหารดวย 2 ลงตว ม 10 จำานวน

(2,4,6,8,10,12,14,16,18,20)– ตวเลขทหารดวย 3 ลงตว ม 6 จำานวน (3,6,9,12,15,18)

• สงเกตเหนวาม 3 จำานวน คอ 6, 12 และ 18 ถกนบในทง 2 กรณ

• ดงนนถาเราจะนบรวมทง 2 กรณเขาดวยกน เราตองนบ 6, 12 และ 18 เพยงกรณเดยว หรอ หกทงสามจำานวนออกจากผลรวมของการรวม 2 กรณเขาดวยกนจำานวนตวเลข 1 – 20 ทหารดวย 2 หรอ 3 ลงตว

= 10 + 6 – 3 = 13

6

หลกการการเพมเขา ตดออก –(Inclusion-Exclusion principle)

• จากปญหาดงกลาว สามารถแสดงเปนแผนภาพเวนนไดดงน โดย– A เปนเซตของจำานวนทหารดวย 2 ลงตว – B เปนเซตของจำานวนทหารดวย 3 ลงตว

• จากแผนภาพจะไดวา |AB| = |A| + |B| - |AB| ซงได 13 จำานวน

6, 12,18

2, 4, 8,10, 14,16, 20

3, 9,15

A B

U

1, 5, 7,11, 13,17, 19

7

ตวอยาง• ในชนเรยนวชาแคลคลสนสตทกคนอยสาขาวชา

คอมพวเตอร หรอ สาขาวชาคณตศาสตร หรอ ทงสองสาขาวชา – ถาจำานวนนสตทอยสาขาวชาคอมพวเตอรม 25 คน– จำานวนนสตทอยสาขาวชาคณตศาสตรม 13– จำานวนนสตทเรยนอยทง 2 สาขาวชาม 8 คน

• จงหาวาจำานวนนสตในชนเรยนนมกคน

8

วธทำากำาหนดให A แทนเซตของนสตทเรยนสาขา

คอมพวเตอร B แทนเซตของนสตทเรยนสาขา

คณตศาสตรแทนคาในสตร |AB| = |A| + |B| - |AB|

จะได |AB| = 25 + 13 – 8 = 30

ดงนน ในชนเรยนวชาแคลคลสมนสตทงหมด 30 คน

9

กจกรรมท 1• สมมตวานสตป 1 มทงหมด 1807 คน ในจำานวน

น 453 คนลงทะเบยนเรยนวชาภาษาไทย 567 คนลงทะเบยนเรยนวชาคณตศาสตร และ 299 คนลงทะเบยนเรยนทง 2 วชา จงหาวา มนสตกคนทไมไดลงทะเบยนเรยนทง 2 วชาน

10

หลกการการเพมเขา ตดออก –(Inclusion-Exclusion principle)

• สำาหรบกรณจำานวนสมาชกของการยเนยนของเซต 3 เซต จะเทากบ

|ABC) = |A| + |B| + |C| - |AB| - |AC| - |BC| + |ABC|

11

ตวอยาง• จากขอมลตอไปน– 1232 คน เรยนวชาภาษาสเปน – 879 คน เรยนภาษาฝรงเศส– 114 คน เรยนภาษารสเซย– 103 คน เรยนทงภาษาสเปนและภาษาฝรงเศส– 23 คน เรยนทงภาษาสเปนและภาษารสเซย– 14 คน เรยนทงภาษาฝรงเศษและรสเซย

• ถานกเรยน 2092 คนเรยนอยางนอย 1 ภาษา จะมนกเรยนกคนทเรยน ทง 3 ภาษา

12

วธทำากำาหนดให S แทนเซตของนกเรยนทเรยนภาษาสเปน

F แทนเซตของนกเรยนทเรยนภาษาฝรงเศส R แทนเซตของนกเรยนทเรยนภาษารสเซย

จากโจทย ไดขอมลมาดงน|S| = 1232 , |F| = 879 , |R| = 114|SF| = 103 , |SR| = 23 , |FR| = 14 , |S F R| = 2092

เมอแทนคาในสตร ไดดงน2092 = 1232 + 879 + 114 – 103 – 23 – 14 + |

SFR|= 7

13

การประยกตใชงานหลกการเพมเขาตดออก

• สามารถนำามาประยกตใชงานไดหลากหลายประเภท– การนบจำานวนคำาตอบของสมการซงมขอจำากดของ

ตวแปร– การนบจำานวนฟงกชนทวถง(onto function) จาก

เซตหนงไปยงอกเซตหนง– การนบจำานวนเฉพาะซงมคานอยกวาคาทกำาหนดให– การเรยงยายตำาแหนง (derangement)

14

ตวอยางจงหาจำานวนคำาตอบของสมการ x1 + x2 + x3 = 10 โดยท x1, x2 และ x3 เปนเลขจำานวนเตม และ 0x13 , 0x24 และ 0x36วธทำา สมการนเปนสมการทมขอจำากดของคาตวแปร เราจะเรมกำาหนดเซตของคำาตอบทฝาฝนขอจำากดแตละขอทกำาหนด จากนนใชหลกการเพมเขาตดออก

15

ตวอยางกำาหนดให A1, A2 และ A3 แทนเซตคำาตอบซง x1 4, x2 5, x3 7 ตามลำาดบ จะได

N = จำานวนคำาตอบกรณท xi 0, i = 1,2,3 = C(3+10-1,10) = 66N(A1) = จำานวนคำาตอบท x1 4 = C(3+6-1,6) = 28 N(A2) = จำานวนคำาตอบท x2 5 = C(3+5-1,5) = 21 N(A3) = จำานวนคำาตอบท x3 7 = C(3+3-1,3) = 10 N(A1A2) = จำานวนคำาตอบท x1 4 และ x2 5 = C(3+1-1,1) = 3 N(A1A3) = จำานวนคำาตอบท x1 4 และ x3 7 = 0 N(A2A3) = จำานวนคำาตอบท x2 5 และ x3 7 = 0 N(A1A2A3) = จำานวนคำาตอบท x1 4, x2 5 และ x3 7 = 0

ดงนน N(A1A2A3) = N – N(A1) – N(A2) – N(A3) + N(A1A2) + N(A1A3) + N(A2A3) - N(A1A2A3) = 66 – 28 -21 -10 + 3 + 0 + 0 -0 = 10 คำาตอบ

16

กจกรรมท 2• จงหาวามจำานวนเฉพาะทงหมดกตวทมคาไมเกน

40

17

ฟงกชนกอกำาเนด (GENERATING FUNCTION)

18

ฟงกชนกอกำาเนด (Generating function)

• กำาหนดให gn แทนลำาดบของตวเลข {g0, g1, g2, … }

• ถาตองการบรรยายลำาดบของตวเลข gn = {0,1,3,6,10,…} ทำาไดหลายวธ– เขยนแบบแจกแจงไปเลยวามอะไรบาง ปญหา จะตอง

แจกแจงกตวดผเหนจงรบรธรรมชาตของลำาดบตวเลขน– เขยน gn ในรปแบบปด จากตวอยาง จะได gn =

n(n+1)/2 นนคอ อยากรตวทเทาไหร กแทนคาลงในสตร– วธสดทาย คอ การแทนทงลำาดบ gn ดวยอนกรมกำาลงท

เรยกวา ฟงกชนกอกำาเนด (generating function)

19

ฟงกชนกอกำาเนด (Generating function)

• เราเรยกฟงกชน G(x) = วาเปนฟงกชนกอกำาเนดของ gn โดยแทนลำาดบของตวเลขดวยอนกรมกำาลงทมตวเลขเหลานเปนสมประสทธตางๆ

• เราอาจจะสงสยวา เราจะวนวายแทนลำาดบตวเลขดวยอนกรมกำาลงทำาไม ??– สมมตวา gn คอจำานวนวธการทอนเงน n บาท ถามเหรยญ 1, 5, 10 จำานวน

มากมาย– ถาเราอยากรวาจะทอนเงน 138 บาท (g138 ) อยางไร หรออยากรรปแบบทวไป

ของการทอนเงน n บาท (gn ) จะทำาอยางไร• เราคงไมนงลยเขยนวธการทอนเงน 138 บาทแลวนบจำานวนเอาวาทำาไดกวธ

– ปญหาการนบแบบนสามารถเขยนบรรยายไดดวยฟงกชนกอกำาเนด – จากนนแปลงฟงกชนนใหอยในรปของอนกรมกำาลง – ทำาการหาคาของสมประสทธของพจนทตองการ และไดคำาตอบออกมา

xg n

nn

0

20

การเขยนฟงกชนกอกำาเนดการเขยนตวฟงกชนกอกำาเนดจากปญหาการนบทตองการแกไขตวอยาง จำานวนวธของการเลอกของ 2 ชนจากของ 3 ชนท

แตกตางกนวธทำา ถาใชวธจดหม เราสามารถแกปญหาน ไดอกวธหนง ดงนสมมตวาของ 3 ชนของเรา คอ วธการเลอกของกชนกไดจาก 3 ชนน คอ 1 + + + + + + + = 8 วธเมอ 1 แทนการไมเลอกของชนใดเลย

คำาตอบคอ C(3,2) = 3

21

การเขยนฟงกชนกอกำาเนด1 + + + + + + + ถาเราแทนสญลกษณของสงของตาง ๆ ดวย x จะไดเปน1 + x + x + x + xx + xx + xx

+ xxx1 + x + x + x + x2 + x2 + x2 +

x3

1 + 3x + 3x2 + x3

จากโจทย เราตองการเลอกของทงหมด 2 ชน คำาตอบคอ สมประสทธหนา x2 นนคอ จำานวนวธในการเลอก = 3 วธเราเรยกฟงกชนของตวแปร x ทเขยนขนนวา ฟงกชนกอกำาเนด

22

ตวอยางจงหาจำานวนวธการเลอกของ 5 ชนจากของ 4 ประเภท ()โดยทม อย 6,2,3 และ 3 ชน ตามลำาดบ มขอบงคบในการเลอกวาจะตองเลอก และ ประเภทละหนงชน แตหามเลอก เกน 2 ชนวธทำา เราสามารถแกปญหาน โดยการแทนรปแบบการเลอกไดดงนรปแบบการเลอกปากกา (1 + +2) //ไมเลอกเลย, เลอก 1 แทง, เลอก 2 แทงรปแบบการเลอกกรรไกร (1 + + 2) รปแบบการเลอกโทรศพท ( + 2 + 3) รปแบบการเลอกนาฬกา ( + 2 +3)คำาตอบของการเลอก เราสามารถเลอกไดหลายประเภท ดงนน คำาตอบ คอ (1 + +2) (1 + + 2) ( + 2 + 3) ( + 2 +3)

23

ตวอยาง(1 + +2) (1 + + 2) ( + 2 + 3) ( + 2 +3)แทนสญลกษณของสงของดวย x จะได(1 + x + x2 ) (1 + x + x2) (x + x2 + x3 ) ( x + x2 + x3)(1 + x + x2)2 (x + x2 + x3 )2

โดยสมประสทธของ x5 คอคำาตอบ

24

กจกรรมท 3 จงหาจำานวนวธในการทอนเงนมลคา k บาทดวยเหรยญ 1, 5

และ 10 บาท