8_Rotacija_krutog_tijela

8.

Rotacija krutog tijelaPrethodni su zadaci obuhvaali iskljuivo translacijsko gibanje, a dimenzije i oblik tijela bili su zanemareni. U ovom poglavlju pojavljuju se zadaci s rotacijom krutog tijela. Rotacija je gibanje koje izvode planeti, svrdlo builice, propeler zrakoplova, kazaljke na satu, vrtuljak, rotor elektromotora, kotai,... Pod pojmom kruto tijelo podrazumijeva se tijelo koje nije podlono deformaciji, odnosno sve estice od kojeg je nainjeno tijelo imaju uvijek jednaku udaljenost od osi rotacije. U suprotnom bi raun bio znatno sloeniji.

8.1. Djevojica se vrti na vrtuljku sjedei, udaljena 1 m od osi rotacije, a jedan puni okret naini za 3 s. Kolika je kutna brzina, obodna brzina i centripetalno ubrzanje djevojice?podsjetnik...

Kutna brzina je promjena kuta rotacije u jedinici vremena t:

=

; t

=

2 ; T

= 2 f .

T period ili ophodno vrijeme f frekvencija kruenja Mjerna jedinica SI za kutnu brzinu je radijan po sekundi (rad s1). Radijan: 1 rad = 360 = 57, 3. 2

Ako tijelo rotira stalnom kutnom brzinom: za kutnu brzinu vrijedi jednadba: v = , r za centripetalno ubrzanje acp: acp = r 2 v obodna brzina tijela r udaljenost tijela od osi rotacije.

90

8.rjeenje... poznato r=1m T=3s nepoznato =? v=? acp = ?

rotacija krutog tijela

Kutna brzina djevojice na vrtuljku jest:

=

2 T 2 3,14 = = 2,1 rad s 1. 3s

Obodna brzina djevojice na vrtuljku jest: v = r = 2,1 rad s 1 1 m = 2,1 ms 1. Centripetalno ubrzanje djevojice jest: acp = r 2 acp = 1 m ( 2,1 rad s 1 ) = 4, 41 ms 2 .2

8.2. Propeler zrakoplova iz mirovanja postigne kutnu brzinu 100 rad s1 za 10 sekundi. Koliko je kutno ubrzanje propelera?podsjetnik...

Kutno ubrzanje je promjena kutne brzine u jedinici vremena t:

=

. t

Mjerna jedinica SI za kutno ubrzanje je radijan po sekundi na kvadrat (rad s2). Pri jednolikom kutnom ubrzanju tijela vrijedi jednadba za tangencijalno ubrzanje: a=r a tangencijalno ubrzanje tijela r udaljenost tijela od osi rotacije.rjeenje... poznato nepoznato =?

= 100 rad s1t = 10 s

Kutno ubrzanje propelera jest:

=

100 rad s 1 = = 10 rad s 2 . t 10 s

91

8.3. Kvaka na vratima udaljena je 65 cm od osi rotacije vrata i povlai se srednjom silom 30 N. a) Koliki moment sile nastaje pri otvaranju vrata ako kvaku povlaimo silom koja je okomita prema vratima (slika 8.1)? b) Koliki moment sile nastaje pri otvaranju vrata ako se kvaka povlai silom koja je pod kutom 30 prema povrini vrata (slika 8.2)?podsjetnik...

Moment sile je djelovanje sile okomito na krak poluge. Moment sile uzrokuje rotaciju tijela. M=Fr F sila r udaljenost hvatita sile od osi rotacije Mjerna jedinica SI za moment sile je njutnmetar (N m).rjeenje... poznato F = 30 N r = 0,6 m = 30 nepoznato a) M = ? b) M = ?Slika 8.1

a) Sila koja djeluje okomito na krak stvara moment sile: M = F r M = 30 N 0, 6 m = 18 N m. b) Komponenta sile koja djeluje okomito na krak F sin stvara moment sile: M = F r sin M = 30 N 0, 6 m sin 30 = 9 N m. 8.4. Molekula kisika sastoji se od dva atoma kisika meusobno udaljenih 1,2 1010 m, a masa svakog atoma kisika iznosi 2,6 1026 kg. Atomi se rotiraju oko osi koja prolazi okomito kroz sredite spojnice tih dvaju atoma (slika 8.3). Koliki je moment tromosti molekule?podsjetnik...

Slika 8.2

Moment tromosti je zika veliina koja kazuje kako masa i njezin raspored oko osi rotacije utjeu na tromost tijela. I = m r 2 = m1r12 + m2 r22 + m3r32 + ... m1, m2, m3,... mase estica krutog tijela r1, r2, r3, ... udaljenost estica krutog tijela od osi rotacije Mjerna jedinica SI za moment tromosti je kg m2.Slika 8.3

92

8.rjeenje... poznato d = 1,2 10 m m = 2,6 1026 kg10


nepoznato I=?

Moment tromosti molekule kisika jest: d d I = m = 2 m 2 2 I = 2 2, 6 1026 2 2

1, 2 1010 m 46 2 kg = 1, 87 10 kg m . 2

2

8.5. Puni valjak mase M = 0,5 kg i polumjera r = 0,05 m moe rotirati oko horizontalne osovine. Oko valjka je namotan konopac zanemarive mase, a na slobodnom kraju konopca visi uteg mase m = 0,05 kg (slika 8.4). Koliko je ubrzanje utega pri padu?podsjetnik...

Drugi Newtonov zakon za rotaciju krutih tijela: M = I . Pod djelovanjem stalnog momenta sile M kruto tijelo momenta tromosti I rotirat e se jednoliko ubrzano stalnim kutnim ubrzanjem .rjeenje... poznato M = 0,5 kg r = 0,05 m m = 0,05 kg nepoznato a=?Slika 8.4

Sile koje djeluju na obod valjaka jesu: teina utega Fg = m g i napetost niti T. Jednadba gibanja utega jest: m a = m g T. Na valjak koji se rotira oko nepomine osi djeluje moment sile M = I = T r. a 1 Uzevi u obzir da je = i da je moment tromosti valjka I = M r 2, iz momenta sile dobije se napetost r 2 niti: I = T r, 1 a M r 2 = T r, r 2 1 T = M a. 2

93

1 Pomou jednadbe gibanja utega m a = m g T i jednadbe za napetost niti T = M a dobije se 2 jednadba za ubrzanje utega: a= mg M m+ 2 0, 05 kg 9, 81 ms 2 = 1, 635 ms 2 . 0, 5 kg 0, 05 kg + 2

a=

8.6. Mjesec rotira oko svoje osi kutnom brzinom = 2,66 106 rad s1. Masa Mjeseca je MM = 7,35 1022 kg, a srednji polumjer Mjeseca je RM = 1 738 km. Kolika je rotacijska kinetika energija Mjeseca zbog rotacije oko svoje osi?podsjetnik...

Rad i energija rotacije krutog tijela. Rad W krutog tijela pri rotaciji za kut oko osi rotacije: W=M. Kinetika energija Ek rotacije krutog tijela: Ek =rjeenje... poznato MM = 7,35 1022 kg RM = 1 738 km = 2,66 106 rad s1 nepoznato Ek = ?

I 2 . 2

Mjesec je oblika pune kugle pa se moment tromosti Mjeseca odreuje iz jednadbe za moment tromosti kugle: 2 2 2 2 I = M M RM = ( 7, 35 1022 kg ) (1 738000 m ) = 8, 88 1034 kg m 2 . 5 5 Rotacijska kinetika energija Mjeseca jest:2 6 34 I 2 8, 88 10 kg m ( 2, 66 10 ) = Ek = = 5,14 1023 J. 2 2 2

8.7. Djeak vrti malu kuglicu privrenu za jedan kraj nerastezljive niti zanemarive mase u horizontalnoj ravnini stalnom kutnom brzinom 1 = 10 rad s1. Udaljenost kuglice od osi rotacije je r1 = 1 m. Kolika je brzina kuglice nakon to djeak trenutano privue kuglicu na udaljenost r2 = 0,8 m od osi rotacije?podsjetnik...

Kutna koliina gibanja (zamah) L krutog tijela momenta tromosti I, koje se rotira kutnom brzinom , jest: L = I .94

8.Mjerna jedinica SI za kutnu koliinu gibanja je kg m2 s1. L = konst.rjeenje... poznato 1 = 10 rad s1 r1 = 1 m r2 = 0,8 m nepoznato 2 = ?


Zakon ouvanja kutne koliine gibanja kae da e ukupna kutna koliina gibanja u izoliranom sustavu ostati nepromijenjena:

Primjenom zakona ouvanja kutne koliine gibanja dobije se da je: L1 = L2, I11 = I22, m r12 1 = m r22 2 ,

2 = 2 =

r12 1 r22

( 0, 8 m )

(1m )

2 2

10 rad s 1 = 12, 5 rad s 1.

8.8. Geodeti esto kutove mjere i izraavaju gradima. etvrtini punoga kruga odgovara 100 gradi. Koliko gradi ima jedan radijan? 8.9. Za svaki navedeni kut odredite ekvivalent u radijanima: a) 80; b) 2,5 puna okreta. 8.10. 8.11. 8.12. 8.13. Skaui sa skakaonice u vodu, skaka naini trostruki salto unazad. Koliki je njegov kutni pomak (u radijanima i stupnjevima)? Pulsar je zvijezda koja brzo rotira i emitira impulse radio valova svakih 30 ms, odnosno za svaki puni okret. Kolika je srednja kutna brzina pulsara? Plivaica u sinkronom plivanju radi kolutove unaprijed. Za 4,5 okreta potrebno joj je 1,9 s. Kolika je srednja kutna brzina plivaice? Duljina trajanja glazbe na jednom CD-u je 60 minuta. Kada glazba zapone, CD se vrti kutnom brzinom 480 okretaja u minuti. Pri zavretku glazbe, vrti se brzinom 210 okreta u minuti. Kolika je srednja kutna akceleracija tog CD-a?

95

8.14.

Flakserica je alat za koenje trave i niskog raslinja, koji rabi debelu najlonsku nit (aks ili krenu) duljine 25 cm. Najlonska nit rotira oko osi, koja prolazi njezinim krajem, brzinom 600 okr. s1. a) Koliko e vremena akserica kositi travu dok nit napravi kut 0,7 rad? b) Koliki je put za to vrijeme preao vrh najlonske niti ako joj se duljina ne mijenja? Bubanj perilice rublja vrti se pri centrifugiranju stalnom kutnom brzinom 3,5 rad s1. Bubanj je postigao tu brzinu iz mirovanja, ubrzavajui se kutnim ubrzanjem 4 rad s2. Koliko je vrijeme ubrzavanja bubnja? Rotor elektromotora rotira se stalnom kutnom brzinom. Tijekom 1,8 s kutna brzina mu se smanjila na 84 rad s1. Kutno usporenje rotora je 40 rad s2. Kolika je poetna kutna brzina rotora? Dva paralelna kartonska diska, razmaknuta su d = 1 m i rotiraju na zajednikoj osovini kutnom brzinom 100 rad s1. Puano zrno najprije prolazi kroz lijevi, a potom kroz desni disk (slika 8.5). Kutni pomak izmeu dvije rupe na kartonskim diskovima je 0,3 rad. Kolika je brzina zrna?

8.15. 8.16. 8.17.

Slika 8.5

8.18. 8.19. 8.20.

Helikopter je sletio na heliodrom i gasi motore. Poetna kutna brzina stranjeg propelera je 2000 rad s1, a zaustavljanje propelera traje 2 minute. Koliki je kutni pomak propelera do zaustavljanja? Konobar vrti pladanj na vrhu prsta. Kutna brzina pladnja se pritom smanjuje s 20 rad s1 na 15 rad s1, a pladanj naini kutni pomak 90 rad. Koliko traje usporavanje pladnja? Zamanjak konstantno usporava kutnim usporenjem 3 rad s2, a poetna kutna brzina mu je 300 rad s1. a) Koliki je kutni pomak zamanjaka do zaustavljanja? b) Koliko vrijeme mu je potrebno da se zaustavi? Kutna brzina ventilatora u automobilskom motoru poraste sa 150 rad s1 na 200 rad s1 nakon 14 punih okretaja. Koliko je kutno ubrzanje ventilatora? Kutna brzina rotora elektromotora poraste s 400 rad s1 na 1400 rad s1 tijekom 4 s. a) Koliki je kutni pomak rotora? b) Koliko je kutno ubrzanje rotora? Rulet usporava i nakon 10 s kutna brzina mu se smanjila na 1,9 rad s1. Za to vrijeme rulet je nainio kutni pomak 45 rad. Koliko je kutno ubrzanje ruleta? Ribi tapom za ribolov povlai ribu stalnom brzinom 0,2 m s1. Na jednom kraju najlonske niti (krene, aksa) vezani su udica i olovo, a drugi kraj niti namotan je oko koloture promjera 8 cm. Kolika je kutna brzina koloture?

8.21. 8.22.

8.23. 8.24.

96

8.8.25. 8.26. 8.27.


Motocikl vozi po krunoj stazi stalnom brzinom 160 km h1. Jedan puni krug po stazi naini za 20 s. a) Kolika je srednja kutna brzina motocikla? b) Koliki je polumjer staze? Svrdlo na builici, polumjera 1 mm, rotira brzinom 9 104 rad s1. Kolika je tangencijalna brzina toke na rubu svrdla? Drveni tap rotira stalnim kutnim ubrzanjem 10 rad s2 oko okomite osi koja prolazi jednim njegovim krajem. Koliko je od osi rotacije udaljena toka na tapu koja ima linearno ubrzanje jednako ubrzanju sile tee? Kota bicikla promjera 1 m okree se kutnom brzinom 10 rad s1. Koliki put prijee kota za jedan sat ako se tijekom cijelog puta giba stalnom brzinom? Bickl prevali udaljenost od 500 m. Koliko okretaja pritom naine kotai ako im je promjer 0,8 m? Polumjer automobilskog kotaa je 35 cm. Os rotacije kotaa giba se linearnom brzinom v = 60 km h1. a) Kolika je kutna brzina kotaa? b) Kolika je linearna brzina toke udaljene od osi kotaa 18 cm? U uputama proizvoaa automobila pie da vijak na kotau treba zategnuti momentom sile 50 N m. Kolikom silom pritom treba djelovati okomito na kraj kljua duljine 25 cm? Sila 120 N djeluje okomito na lijevi rub pravokutnika (slika 8.6). a) Koliki je moment sile oko osi rotacije koja prolazi tokom A, okomito na ravninu pravokutnika? b) Koliki je moment sile oko osi rotacije koja prolazi tokom B, okomito na ravninu pravokutnika?Slika 8.6

8.28. 8.29. 8.30.

8.31. 8.32.

8.33.

Dva radnika u brodogradilitu zakreu horizontalnu elinu gredu koja visi na uetu dizalice. Radnici guraju gredu svaki sa svoga kraja silom 20 N okomito prema gredi, kao to prikazuje slika 8.7. Pod djelovanjem sila greda se zarotirala za 180. Kolikim momentom sile svaki radnik okree gredu ako je duljina grede 6 m?

Slika 8.7

8.34.

Kota automobila ima polumjer 35 cm. Motor automobila djeluje na kota zakretnim momentom od 300 N m. Kota ne klizi po cesti, a sila trenja izmeu kotaa i ceste stvara moment suprotnog smjera pa se automobil giba stalnom brzinom. Kolika je sila trenja?

97

8.35. 8.36.

Glinena vaza nalazi se na kotau koji rotira. Na nju djeluje moment sile 12 N m, a njezino kutno ubrzanje je 10 rad s2. Koliki je ukupni moment tromosti vaze na kotau? Na krajevima ipke dugake 8 m privrene su kuglice jednakih masa po 2 kg. ipka moe slobodno rotirati oko osi koja prolazi njezinim sreditem okomito prema ravnini rotacije. Na jednu od kuglica djeluje sila od 16 N, kao to je prikazano na slici 8.8. Masa ipke je zanemariva prema masi kuglica. Odredite poetno kutno ubrzanje ipke.

Slika 8.8

8.37.

Na kojoj udaljenosti od osi rotacije tijela treba djelovati okomito silom od 15 N da bi moment sile iznosio 3 N m?

8.38.

Automobil se giba brzinom 100 km h1. Polumjer svakog njegova kotaa je 35 cm, a moment tromosti 0,9 kg m2. Ukupna masa automobila, zajedno s kotaima, jest 1400 kg. a) Kolika je translacijaska kinetika energija automobila? b) Kolika je rotacijska kinetika energija njegova etiri kotaa zajedno? c) Kolika je ukupna kinetika energija automobila? uplja kugla tankih stijenki mase 1 kg kotrlja se po podlozi srednjom brzinom 1 m s1. a) Kolika je rotacijska kinetika energija kugle? b) Kolika je ukupna kinetika energija? Teniska loptica se poinje kotrljati niz padinu iz mirovanja, kao to je prikazano na slici 8.9. Na kraju staze uzlijee pod kutom od 45 prema horizontali. Lopticu promatrajte kao uplju kuglu tankih stijenki. Koliki je domet D loptice?Slika 8.9

8.39.

8.40.

8.41.

Zemlja se zarotira oko svoje osi za 23,92 h. Polumjer Zemlje je 6380 km. a) Kolika je obodna brzina toke na ekvatoru? b) Na kojoj je geografskoj irini iznos obodne brzine jednak etvrtini obodne brzine na ekvatoru? Podaci snimljeni na CD-u oitavaju se jednakom obodnom brzinom na bilo kojemu dijelu diska. Kutna brzina toke udaljene 5 cm od sredita CD-a je 3,35 okr./s. a) Kolikom se obodnom brzinom oitavaju podaci? b) Kolika je kutna brzina toke udaljene 2 cm od sredita CD-a?

8.42.

98

8.8.43. 8.44.


Prilikom izvoenja servisa, tenisa zamahne reketom srednjim kutnim ubrzanjem 150 rad s2. Kad se reket nalazi u vertikalnom poloaju, odnosno u najvioj toki putanje, ima kutnu brzinu 15 rad s1. Koliko je ukupno ubrzanje u toj toki ako je ona od ramena igraa udaljena 1,8 m? U kinoprojektoru vrpca se povlai brzinom 0,4 m s1. a) Koristei se podacima sa slike 8.10, odredite kutnu brzinu role. b) Nakon 60 minuta rola je gotovo puna, kao to je prikazano na slici 8.11. Koliko je srednje kutno ubrzanje role?

Slika 8.10

Slika 8.11

8.45. 8.46.

Lopta polumjera 25 cm kotrlja se po horizontalnoj povrini terase. Brzinom 3,8 m s1 nailazi na rub terase i pada s visine 2,5 m na tlo. Koliko okretaja oko svoje osi naini lopta kroz zrak? Kutna brzina podloge gramofonske ploe je 33 okretaja u minuti. Nakon to je iskljueno napajanje gramofona, treba joj 60 s do zaustavljanja. Masa podloge je 0,5 kg, a polumjer 10 cm. Koliki je moment sile potreban za zaustavljanje podloge? Kvadrat stranice 50 cm moe rotirati oko osi koja prolazi okomito kroz njegovo sredite. Na kvadrat djeluje sila 20 N koja lei u ravnini kvadrata. Koliki najvei moment sile moe proizvesti ta sila? Sile F1 i F2 djeluju na tanku vrstu ipku, kao to je prikazano na slici 8.12. Koliki moment sile stvaraju te sile oko osi rotacije ako je os okomita na papir?

8.47. 8.48.

Slika 8.12

8.49.

Homogeni vrsti disk mase 25 kg i polumjera 33 cm rotira oko osovine bez trenja. Na njega djeluju sile od 95 i 130 N, kao to prikazuje slika 8.13. a) Koliki je moment sile oko osi rotacije? b) Kolika je kutno ubrzanje diska?

Slika 8.13

99

8.50.

Kota bicikla ima polumjer 35 cm, a sastoji se od obrua mase 1,4 kg i 50 ica od kojih svaka ima masu 0,01 kg. a) Koliki je moment tromosti obrua? b) Koliki je moment tromosti bilo koje ice, s pretpostavkom da je to tanka dugaka ipka koja moe rotirati oko jednog svoga kraja? c) Koliki je ukupni moment tromosti kotaa (ukljuujui obru i sve ice)? Gramofonska ploa polumjera 16 cm rotira kutnom brzinom 3,5 rad s1. Gramofon se iskljuio, a ploa se nakon 16 s zaustavila zbog djelovanja momenta sile od 0,007 N m. Kolika je masa krune ploe? Zamanjak momenta tromosti 150 kg m2 pone rotirati pod djelovanjem momenta sile 50 N m. a) Nakon koliko vremena zamanjak postigne kutnu brzinu 20 rad s1? b) Koliko okretaja naini zamanjak dok ne postigne kutnu brzinu 20 rad s1?

8.51. 8.52.

8.53. 8.54.

Kugla i valjak jednakih masa i jednakih polumjera puteni su niz kosinu da se kotrljaju bez klizanja. Koje e tijelo prije stii do dna kosine? Kako se odnose njihove brzine? Jednostavan sustav za podizanje vode iz bunara sastavljen je od horizontalnog valjka oko kojega je namotan konopac i kante koja visi na drugom kraju konopca. Valjak ima masu 15 kg i promjer 30 cm i moe rotirati oko osi uz zanemarivo trenje. Kanta ima masu 6 kg i nalazi se na visini 5 m od povrine vode u bunaru. Odredite brzinu kojom e kanta udariti o vodu. Valjak mase 5 kg i polumjera 20 cm vezan je za krajeve uzdune osi pomou niti zanemarive mase. Nit je prebaena preko koloture, a na njezinu kraju visi uteg mase 15 kg, kao to prikazuje slika 8.14. Kad se sustav pusti iz mirovanja, uteg poinje padati i vue valjak po horizontalnoj podlozi. a) Koliko je ubrzanje utega? b) Kolika je kutna brzina valjka nakon to se uteg spustio za 2 m?Slika 8.14

8.55.

8.56.

Profesor zike je stavio hlae u perilicu rublja. Kad je ukljuio perilicu, moment sile 13 N m zarotirao je bubanj perilice iz mirovanja do kutne brzine 35 rad s1 za 7 s. U tom trenutku profesor se sjetio da je u hlaama ostavio vozaku dozvolu. U elji da je spasi, iskljuuje perilicu, a bubanj se zaustavio za 18 s. Koliko se puta okrenuo bubanj prije zaustavljanja? Djeak je pustio uplju loptu promjera 26 cm i mase 220 g iz mirovanja s vrha breuljka visokog 8 m. Lopta se bez klizanja kotrlja niz brdo. Kolika je kutna brzina lopte na dnu brda? Klizaica na ledu je nainila piruetu poetnom kutnom brzinom 0. Klizaica u jednom dijelu piruete skuplja ruke i noge i na taj nain smanjuje moment tromosti svog tijela za polovinu. Kolika je njezina konana kutna brzina? Hoe li se njezina kinetika energija poveati ili smanjiti i za koliko? Klizaica rotira oko vertikalne osi kutnom brzinom 2 rad s1. U ispruenim rukama dri utege jednakih masa iznosa 2 kg. Udaljenosti utega od osi rotacije jednake su i iznose 0,7 m. U takvu poloaju ukupni moment tromosti klizaice i oba utega je 2,5 kg m2. Odredite kutnu brzinu klizaice s rukama privuenim tijelu, tako da su utezi na zanemarivoj udaljenosti od osi rotacije.

8.57. 8.58.

8.59.

100

8.8.60. Na homogeni cilindar mase m i polumjera r namotano je ue. Ue je privreno tako da cilindar pada vertikalno prema dolje, kao to prikazuje slika 8.15. a) Kolika je napetost ueta? b) Koliko je ubrzanje centra mase cilindra?Slika 8.15


8.61.

Tri jednaka tijela masa m postavljena su u vrhove jednakostraninog trokuta duljine stranice l (slika 8.16). a) Odredite koordinate centra mase. b) Koliki je moment tromosti oko osi koja prolazi kroz centar mase, okomito prema ravnini u kojoj lei trokut? c) Koliki je moment tromosti oko osi koja prolazi jednim od tijela, okomito prema ravnini u kojoj lei trokut? Automobil ukupne mase m kree iz mirovanja i u vremenu t postigne brzinu v. Njegova etiri kotaa imaju jednak polumjer r i moment tromosti I oko osi rotacije. Kotai rotiraju bez klizanja. a) Koliko je srednje kutno ubrzanje kotaa? b) Koliki srednji moment sile djeluje na svaki kota? c) Koliki je moment koliine gibanja svakoga kotaa nakon vremena t? d) Kolika je ukupna kinetika energija automobila u trenutku t? Na slici 8.17 prikazana je vertikalna osovina na kojoj se nalaze dva diska koja rotiraju oko nje uza zanemarivo trenje. Donji disk ima moment tromosti I1 i rotira oko osovine stalnom kutnom brzinom 0, a gornji disk ima moment tromosti I2 i miruje. Kada gornji disk padne na donji, oba diska se rotiraju jednakom kutnom brzinom . a) Kolika je zajednika kutna brzina diskova ? b) Za koliko se promijenila ukupna kinetika energija?Slika 8.18

8.62.

Slika 8.16

8.63.

Slika 8.17

8.64.

Puni valjak mase m1 = 25 kg i polumjera r = 0,3 m moe rotirati oko svoje horizontalne osi uza zanemarivo trenje. Oko valjka namotan je konopac zanemarive mase na ijem kraju visi kanta s vodom mase m2 = 12 kg (slika 8.18). a) Kolikim ubrzanjem pada kanta? b) Koliko je kutno ubrzanje valjka? Djeak mase m stoji na vrhu ljestava duljine l i zanemarive mase nagnutih za kut prema horizontalnoj podlozi (slika 8.19). Koliki mora biti najmanji faktor trenja izmeu ljestava i podloge da ljestve ne skliznu? Trenje izmeu ljestava i glatkog zida na koji su naslonjene je zanemarivo.Slika 8.19

8.65.

101

8.66.

Kugla za kuglanje, mase m, kotrlja se bez klizanja po horizontalnoj povrini. Faktor statikog trenja izmeu kugle i podloge je s, faktor dinamikog trenja k, a ubrzanje sile tee g. Kolika sila trenja djeluje na kuglu? Kugla mase m = 2 kg kotrlja se bez klizanja niz kosinu kuta = 30. Kolika sila trenja djeluje na kuglu? Kugla mase m = 2 kg i polumjera r = 0,1 m kotrlja se bez klizanja niz kosinu kuta = 30. Koliki je zakretni moment u toki dodira kugle s podlogom? tap duljine l = 1 m, zanemarive mase, postavljen je horizontalno s oba kraja na osloncima. Na udaljenosti a = 0,25 m od lijevog oslonca objeen je uteg mase m = 2 kg, kao to je prikazano na slici 8.21. Kolikom silom desni oslonac djeluje na tap?

8.67. 8.68. 8.69.

Slika 8.20

8.70.

Homogena pravokutna ploa mase m = 4 kg dugaka je a = 0,5 m i iroka b = 0,25 m. Ploa rotira u horizontalnoj ravnini oko vertikalne osi koja prolazi jednim vrhom pravokutnika, kao to je prikazano na slici 8.21. Koliki je moment tromosti oko te osi? Bat zvona sastoji s od tanke ipke mase m1 = 10 kg, duljine l = 1,2 m na ijem kraju se nalazi vrsta kugla mase m2 = 2m1 polumjera 1 R = l. Bat je puten iz horizontalnog poloaja. Odredite: 2 a) moment tromosti bata, b) kutnu brzinu centra mase kugle pri prolasku bata kroz vertikalni poloaj. Kocka duljine brida a = 0,5 m i mase m = 10 kg poloena je na horizontalnu podlogu (slika 8.22). Horizontalna sila djeluje na sam vrh kocke i prevre kocku preko njezina brida. Faktor trenja izmeu kocke i podloge dovoljno je velik da sprijei klizanje kocke. a) Odredite iznos sile F. b) Koliki mora biti najmanji faktor trenja da kocka ne otklie?Slika 8.21

8.71.

8.72.

Slika 8.22

8.73.

Kolotur prikazan na slici 8.23 rotira oko osovine uza zanemarivo trenje. Moment tromosti kolotura je 50 kg m2, a sile koje djeluju na kolotur iznose: F1 = 100 N, F2 = 200 N i F3 = 250 N. Polumjeri zakrivljenosti iznose: R1 = 60 cm, R2 = 42 cm i R3 = 28 cm. Koliko je kutno ubrznje kolotura?Slika 8.23

102

8.8.74. Disk polumjera 2 m i mase 30 kg rotira oko osi u horizontalnoj ravnini, stalnom kutnom brzinom 4 rad s1. Komad plastelina mase 250 g padne na plou i zalijepi se na udaljenosti 1,8 m od sredita diska (slika 8.24). a) Kolika je kutna brzina diska nakon to je na njega pao plastelin? b) Kolika je energija izgubljena u tom neelastinom sudaru?Slika 8.24


8.75.

Yoyo je nekad bila vrlo popularna igraka. Moment tromosti yoyoa sa slike je I. Jedan kraj niti se pridrava prstima, a drugi kraj niti je namotan oko njegova unutranjeg dijela polumjera r (slika 8.25). Koliko je ubrzanje sredita mase yoyoa?

8.76.

Slika 8.25

Hula hop mase 0,25 kg vrti se oko djevojke koja miruje, kao to je prikazano na slici 8.26. Promjer hula hopa iznosi 1,2 m, a promjer djevojke 0,5 m. Kolika je kinetika energija hula hopa ako je vrijeme jednog okreta 1 s?

8.77.

Cilindrina limenka mase 0,5 kg i polumjera 5 cm putena je s vrha kosine visoke 1 m (slika 8.27). Kad limenka doe na dno kosine, nastavlja se kotrljati stalnom brzinom po balkonu visine 2 m. Limenka padne s ruba balkona na pod 2 m od ruba balkona. Odredite: a) brzinu limenke na dnu kosine, b) moment tromosti limenke. c) Je li limenka puna ili prazna? Objasnite odgovor!

Slika 8.26

Slika 8.27

8.78.

Vrtlar povlai za sobom valjak polumjera 45 cm i mase 70 kg draem privrenim za njegovu osovinu (slika 8.28). Sila kojom vrtlar povlai valjak iznosi 600 N, a dra je pod kutom 45 prema horizontali. Valjak se kotrlja bez klizanja, a faktor trenja izmeu valjka i staze je 0,75. a) Koliko je ubrzanje valjka? b) Kolika sila trenja djeluje na valjak? c) Kolikom silom vrtlar mora povlaiti valjak da valjak klie po stazi?

Slika 8.28

103

8.79.

Djeji auti mase M = 0,6 kg ima etiri kotaa, svaki mase m = 0,1 kg. Kotai imaju oblik diska, a svaki kota na sebe preuzima jednu etvrtinu teine autia. Auti je puten niz kosinu kuta 25 i giba se bez proklizavanja kotaa. a) Koliko je ubrzanje autia? b) Koliki bi trebao biti kut kosine pod kojim bi kotai autia klizili ako je faktor trenja izmeu kotaa i kosine 0,25? Tanki homogeni drveni tap mase M = 1 kg i duljine l = 1 m moe rotirati oko osi koja prolazi jednim njegovim krajem uza zanemarivo trenje. tap je postavljen verikalno, a zrno mase m = 0,05 kg udara brzinom v = 25 m s1 horizontalno u drugi kraj tapa, kao to prikazuje slika 8.29. Zrno se zabije u tap i oni se zajedno otklone. a) Kolika je kutna brzina tapa neposredno nakon sudara? b) Koliki je najvei kut otklona tapa?Slika 8.29

8.80.

8.81.

Lopta mase M lei na kosini kuta , kao to je prikazano na slici 8.30. Izmeu lopte i podloge postoji trenje. Lopta je s gornje strane privrena horizontalnom niti za kosinu. a) Napiite jednadbe koje uvjetuju translacijsku ravnoteu. b) Napiite jednadbu koja uvjetuje rotacijsku ravnoteu oko sredita lopte. c) Napiite jednadbu koja uvjetuje rotacijsku ravnoteu oko toke u kojoj je nit privrena za kosinu. Neka je L duljina niti. Bakreni valjak polumjera 40 cm i visine 10 cm ima kruni izrez polumjera 20 cm, kao to prikazuje slika 8.31. Koliki je moment tromosti valjka oko njegove uzdune osi? Sustav dvaju tijela ini tijelo mase m koje je povezano s drugim tijelom jednake mase nerastezljivom niti preko kolotura (slika 8.32). Kolotur ima polumjer r, a masa kolotura je jednaka masama tijela. Jedno tijelo se nalazi na horizontalnom dijelu podloge, a drugo tijelo na dijelu koji je nagnut pod kutom prema horizontali. Izmeu oba tijela i podloge postoji faktor trenja . a) Napiite jednadbe koje uvjetuju translacijsku ravnoteu za oba tijela u svim koordinatama. b) Napiite jednadbu koja uvjetuje rotacijsku ravnoteu. c) Izraunajte akceleraciju sustava.

Slika 8.30

8.82.

8.83.

Slika 8.31

Slika 8.32

104

8.8.84.


Nerastezljiva nit je namotana oko valjka i prebaena preko kolotura, kao to prikazuje slika 8.33. Valjak i kolotur imaju jednak polumjer R = 0,3 m. Moment tromosti valjka je I1 = 0,25 kg m2, a moment tromosti kolotura je I2 = 0,2 kg m2. Na drugom kraju niti visi uteg mase m = 2 kg. Odredite ubrzanje utega.

Slika 8.33

8.85.

Kalem (pula) s koncem ima masu m, unutarnji polumjer R1, 2 vanjski polumjer R2 i moment inercije I = mR2 , gdje je broj manji od 1. Konac je namotan oko unutarnjeg dijela kalema, a napetost niti je T (slika 8.34). Izraunajte ubrzanje centra mase kalema?Slika 8.34

8.86.

Na slici 8.35 prikazan je sustav dvaju utega koji su povezani nerastezljivom niti preko kolotura 1 i cilindra 2. Uteg A ima masu 10 kg, a uteg B masu 6 kg. Kolotur 1 polumjera 12 cm ima masu 0,55 kg, a cilindar 2 polumjera 8 cm ima masu 0,28 kg. Nit ne klizi po koloturima. Koliko je ubrzanje utega i kutno ubrzanje kolotura?Slika 8.35

105

Documents

8_Rotacija_krutog_tijela