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第十章
应用
10.1 图形与网络
最近这几年我常常看到一个模型，我发现它很基本很有用，所以我经常把它放在
前面。这个模型包含由边连接的节点，称为图形(graph)。
图形通常是显示类型的函数 f(x)，点-边类型的图形产生矩阵。本段落主要讨
论图形的“关联矩阵(incidence matrix，也有翻译成入射矩阵)”这个告诉我们
n个节点如何用 m个边连接。通常 m > n，边比节点多。
对于 mn矩阵，有两个基础子空间在/�，有两个在/0，他们是 A与 AT的行
空间与零空间。他们的维度是 r, n r与 r, m r，来自线性代数最重要的定理，
定理的第二部分是行空间与列空间的正交性。我们的目的是展示图形的例子来阐
述线性代数的基础定理。
当我建立一个图形与它的关联矩阵，子空间的维度很容易观察，但是我们想
要子空间本身正交性有很大帮助。把子空间与图形的来源结合起来是非常重要
的，利用特殊化的关联矩阵，线性代数的法则变成基尔霍夫法则。不要被“电流”
与“电压”分心，这些矩形矩阵是最佳的。
关联矩阵的每个单元是 0或 1或1，在消元法过程仍然会维持。所有的枢轴
与乘数是1，因此 A = LU的两个因子也只包含 0, 1, 1，零空间矩阵也是如此！
全部 4个子空间的基底向量有意想不到的简单分量。这些矩阵不是教科书捏造出
来的，他们来自一个在纯数学与应用数学都是绝对重要的模型。
关联矩阵
图 10.1显示一个 m = 6个边与 n = 4个节点的图形，这个 64矩阵 A告诉我们哪
些点被哪些边连接。第一行的1, 1, 0, 0显示第一个边从节点 1到节点 2(节点 1
的1表示箭头往外，节点 2的 1表示箭头往内。
A的行数字是边的数字，列数字 1, 2, 3, 4是节点的数字。
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图 10.1：m = 6个边与 n = 4个节点的完整图形：64的关联矩阵 A。
观察图形你就可以写出矩阵。第二个图形有相同的 4 个点但是只有 3 个边，
它的关联矩阵 B是 34。
图 10.1*：3个边与 4个节与没有回圈的树，则 B有独立的行。
第一个图形是完整每个节点配对都有一个边相连，第二个图形是一个树(tree)
图形没有闭回圈(closed loop)，这是两个极端。边的最大个数是 n(n 1)/2 = 6以及
最小保持连接的个数是 n 1 = 3。
消元法把每个图形简化成树，回圈产生 A的相关行以及在阶梯形式 U与 R的
零行。检视第一个图形中由边 1, 2, 3构成的大回圈，会产生 U的一个零行：
0000
0110
0011
0110
0110
0011
0110
0101
0011
这些是典型的步骤，当边 1与 2共享节点 1时，消元法得到没有节点 1的“捷径
(shortcut)边”。如果图形已经有这个捷径边制造出回圈，则消元法得到一整行的
零。当灰尘清除我们看到树。
浮现一个概念： 当边形成回圈，行是相关。无关的行来自树，这是行空间的
关键。我们假设图形是连接的，箭头可以两边前进。在一个边，顺着箭头的流动
是“正”，反方向的流动是负。这个流动可能是电流或信号或力量甚至是油或
是煤气或是水。
节点
边
边 1 边 2
边 3
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当 x1, x2, x3, x4是节点的电压，Ax给出电压差：
34
24
14
23
13
12
4
3
2
1
1100
1010
1001
0110
0101
0011
xx
xx
xx
xx
xx
xx
x
x
x
x
Ax (1)
让我再说一次，关联矩阵 A是差分矩阵，输入向量 x给出电压，输出向量 Ax
给出电压差(沿着边 1到边 6)。如果电压相等，差是零，这个就是 A的零空间。
1 零空间包含 Ax = 0的解，全部 6个电压差都是零，表示：全部 4个电压都相
等。每个零空间中的 x是一个常数向量：x = (c, c, c, c)。A的零空间是/�的一条
直线它的维度是 n r = 1。
第二个关联矩阵 B有相同的零空间，它包含(1, 1, 1, 1)：
0
0
0
1
1
1
1
1100
0110
0011
Bx
我们可以把所有的电压增加或降低相同的量 c 而不会改变之间的差，电压存
在一个“任意常数”。把这个跟相同的函数叙述相比，我们可以对函数增加或降
低 C而不会改变导数。
微积分在不定积分加一个“+C”，图形原理把(c, c, c, c)加到向量 x，线性代
数把零空间中的任意向量 xn加到 Ax = b的一个特定解。
当定积分从一个已知点开始，微积分的“C+”消失。同理当我们设定 x4 = 0，
零空间消失，未知数 x4被移除，而且矩阵 A与 B 的第四列也消失(这些列用来乘
x4)。电工程师会说节点 4被“接地”了。
2 行空间包含全部 6个行的组合，它的维度当然不是 6。方程式 r + (n r) = n
必须是 3 + 1 = 4。我们从消元过程看到秩 r = 3，3个边之后我们开始形成回圈！
新的行不是无关。
我们如何分辨 v = (v1, v2, v3, v4)是否在行空间中？慢的方法是组合行，快的方
法是利用正交性：
v在行空间中 若且唯若 它与零空间中的(1, 1 , 1, 1)垂直。
向量 v = (0, 1, 2, 3)测试失败它的分量总和是 6。向量 v = (6, 1, 2, 3)在行空间中：
6 + 1 + 2 + 3 = 0，这个向量等于 6(行 1)+5(行 3)+3(行 6)。
每个 A的行的总和是零，对于行空间中的每个向量必须是成立的。
一维零空间：
对应相同的树
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3 列空间包含全部 4个列的组合，我们期待有 3个无关列，因为它有 3个无关
行。A的前 3列无关(任意 3列都是)，但是加上第四列得到零向量，再次说明(1, 1,
1, 1)在零空间。我们如何分辨一个特定向量 b是否在关联矩阵的列空间中？
第一个答案：尝试求解 Ax = b，这样会错失所有的内在。像以前一样，正交性给
出较好的答案。我们现在来到基尔霍夫电路原理的两个著名法则电压法则与电
流法则(KVL 与 KCL)。他们是线性代数“法则”的自然表述，很高兴在这里看
到左零空间的关键角色。
第二个答案： Ax是电压差 xi xj的向量，如果我们沿着图形的一个封闭回圈把
所有的差相加，他们抵消之后留下零。环绕边 1, 3, 2(箭头与边 2的箭头反向)形
成的大三角形，这些差会抵消：
差的总和是 0 (x2 x1) + (x3 x2) (x3 x1) = 0
基尔霍夫电压法则：Ax = b的分量，环绕每个回圈的总和是零。
环绕大三角形： b1 + b3 b2 = 0
测试每个回圈，电压法则决定 b是否在列空间。只有在 b的分量与 A的行一样满
足所有相同的相关性时，Ax = b才有解，消元法得到 0 = 0，而且 Ax = b是一致。
4 左零空间包含 ATy = 0的解，它的维度是 m r = 6 3：
电流法则 ATy =
0
0
0
0
111000
100110
010101
001011
6
5
4
3
2
1
y
y
y
y
y
y
(2)
真实的方程式个数是 r = 3不是 n = 4，理由：4个方程式的总和得到 0 = 0，第 4
个方程式自动来自前 3个方程式。
这些方程式代表什么? 第 1个方程式说y1 y2 y4 = 0，进入节点 1的净流量
是零。第 4个方程式说 y4 + y5 + y6 = 0，进入节点 4的流量减去离开的流量是零。
方程式 ATy = 0非常著名而且很基本：
这个法则值得排在应用数学的第一位，它表述了“守恒”与“连续”与“平衡”，
没有流失也没有获得。当电流或是力量平衡时，要求解的方程式是 ATy = 0。注意
这个美丽的事实，平衡方程式中的矩阵是关联矩阵 A的转置。
基尔霍夫电流法则：ATy = 0 在每个节点，流进等于流出。
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ATy = 0的真正解是什么？电流本身必须平衡，最简单的方法是环绕一个回圈
流动。如果一个单位的电流环绕大三角形前进(前向边 1与 3，反向边 2)，这 6个
电流是 y = (1, 1, 1, 0, 0, 0)，这个满足 ATy = 0。每个回圈的电流是电流法则的解，
在每个节点的流进等于流出。一个较小的回圈是前向边 1，前向边 5，反向边 4，
则 y = (1, 0, 0, 1, 1, 0)也在左零空间。
我们预期 3个无关 y’s: m r = 6 3 = 3，图形中的 3个小圈是无关。大三角
形看起来是第 4 个 y，但是这个流量是较小圈流量的总和，环绕 3 个小圈的流量
是左零空间的一组基底。
关联矩阵 A来自有 n个节点与 m个边的连接图形，行空间与列空间有维度
r = n 1，A与 AT的零空间有维度 1与 m n + 1：
N(A) 常数向量(c, c, ..., c)构成 A的零空间：维度 = 1。
C(AT) 任意树的边给出 A的 r个无关行：维度 r = n 1。
C(A) 电压法则：环绕所有回圈的 Ax的分量总和是零：维度 = n 1。
N(AT) 电流法则：A
Ty = (流进) (流出) = 0，利用回圈电流求解。
对于平面的每个图形，线性代数得到欧拉公式：拓扑学第一定理！
(节点个数) (边个数) + (小圈个数) = 1
这是 (n) (m) + (m n + 1) = 1。我们例子中的图形是 4 6 + 3 = 1。
一个单一的三角形有(3个节点) (3个边) + (1个回圈)，在一个 9边 10节点
无回圈的图形，欧拉计数是 10 9 + 0。所有的平面图形都会得到答案 1.
下个图形显示一个具有电流源的网络，基尔霍夫电流法则从 ATy = 0变成 A
Ty
= f，目的在平衡来自外界的源 f。每个节点的流进仍然等于流出，这 6个边有电
导(conductance) c1, ..., c6，以及电流源流进节点 1。电流源从节点 4流出来保持整
体的平衡(入=出)。问题是：求出 6个边上的电流 y1, ..., y6。
网络中的流量现在引导我们从关联矩阵 A到拉普拉斯矩阵 ATA。
3个小圈 大圈
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电压与电流与 ATAx = f
我们从节点电压 x = (x1, ..., xn)开始，目前为止我们有 Ax求出沿着边的差 xi xj，
我们也有电流法则 ATy = 0来求出边的电流 y = (y1, ..., ym)。如果网络中所有的电阻
是 1，欧姆法则会适配 y = Ax，则 ATy = A
TAx = 0。我们还未到达但是已经接近。
如果没有电流源，Ax = 0的解会是无流量：x = 0且 y = 0。我可以看到 3种方法
产生 x 0与 y 0。
1 指定固定电压 xi到一个或多个节点。
2 在一个或多个边加入电池(电压源)。
3 进入一个或多个节点加入电流源，如图 10.2。
图 10.2：从节点 4到 1有一个电流源 S的网络电流 y1到 y6。
范例 图 10.2引入一个从节点 4到 1的电流源 S，这个电流最终会通过网络回流
到节点 4。某个电流 y4直接在边 4 前进，其他电流会走比较远的路程，比如从 1
到 2到 4，或是从 1到 3到 4。利用对称，我预期从节点 2到 3没有电流(y3 = 0)，
求解网络方程式会确认这个推论。这些方程式的矩阵是 ATA，就是图形拉普拉斯
矩阵：
1100
1010
1001
0110
0101
0011
111000
100110
010101
001011
3111
1311
1131
1113
A
TA
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拉普拉斯矩阵不可逆！因为(1, 1, 1, 1)在 A与 ATA的零空间中，我们无法求解
全部 4个电势(potential)。有一个节点必须接地，令 x4 = 0移除第 4行与第 4列，
剩下一个 33可逆矩阵。现在我们针对未知电势 x1, x2, x3求解 ATAx = f，其中电
流源 S进入节点 1：
电压 ATAx = f
4
4
2
0
0
311
131
113
3
2
1
3
2
1
S/
S/
S/
x
x
x
S
x
x
x
得到
电压 y = Ax
4
4
2
0
4
4
0
4
4
2
1100
1010
1001
0110
0101
0011
6
5
4
3
2
1
S/
S/
S/
S/
S/
S/
S/
S/
y
y
y
y
y
y
半数的电流直接在边 4前进，这是 y4 = S/2。从节点 2到 3没有电流，对称性指出
y3 = 0并且现在得到证明。
承认错误。我记得电流从高电压流向低电压，这个产生 y = Ax中的负号。当边
的电阻不再全部是 1时，欧姆法则的正确形式应该是 Ry = Ax。电导比电阻简洁：
C = R1
= 对角矩阵。我们现在提出欧姆法则是 y = CAx。
网络与 ATCA
在实际的网络中，沿着边的电流是两个数的乘积，一个是边的两个端点电势 x之
间的差，电压是 Ax推动电流。另一个数是 c是“电导”量测流量通过的难易。
在物理与工程中，c由材料决定。对电流来说，金属的 c很高，塑胶的 c很低。
对超级导体来说，c接近无限大。在经济学，c量测一个边的容量或成本。
整理一下，从关联矩阵 A可以得知图形，告诉我们节点-边的连接。网络更深
入，会指定每个边一个电导 c，这些数字 c1, ..., cm进入电导矩阵 C对角矩阵。
对于电阻网络，电导是 1/(电阻)，除了基尔霍夫法则对应整体的电流系统之外，
我们与欧姆法则对应每个电流。欧姆法则联结边 1的电流 y1与电压差 x2 x1：
欧姆法则：沿着边的电流 = 电导乘电压差
对于所有 m个电流的欧姆法则是 y = CAx，向量 Ax给出电势差，然后左乘电导
C。结合欧姆法则与基尔霍夫电流法则 ATy = 0，我们得到 A
TCAx = 0。
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这个几乎是网络流动的中心方程式，唯一有问题的是右侧的零！网络需要外接的
能量一个电压源或是电流源才能发生一些事情。
符号的注解 我把电路理论的 Ax改成Ax，从高电势流向低电势，当 x1 x2是正
数时，有(正)电流从节点 1到节点 2Ax的建立方式是 x2 x1。在物理学与电工
程的负号，在力学工程与经济学中是正号。Ax对比Ax一直是头痛的问题，但是
不是无法避免的。
应用数学的注解 每个新的应用有它自己的欧姆法则形式，对弹簧来说它是胡克
法则，应力 y是(弹力 C)乘(拉伸 Ax)。对于热传导来说，Ax是温度梯度。对油流
量来说它是一个压力梯度。对统计学的最小平方递归(第十二章)C1是协方差矩阵。
我的教科书：应用数学与计算科学与工程(Wellesley-cambridge Press)实际建立
在 ATCA，这是矩阵以及微分方程式平衡的关键。应用数学比表面看起来还要有
组织！新的问题中我学习了关注 ATCA。
问题集 10.1
问题 1-7与 8-14有关这些图形的关联矩阵。
1 写出三角形图形的 33关联矩阵 A，第一行有1在列 1以及+1在列 2。什么
向量(x1, x2, x3)在它的零空间中？你如何知道(1, 0, 0)不在它的行空间中？
2 写出三角形图形的 AT，求出零空间中的向量 y。y 的分量是边上的电流环
绕这个三角形的电流为何？
3 从第3个方程式消去 x1与 x2得到阶梯矩阵U，什么树对应到U的两个非零行？
x1 + x2 = b1
x1 + x3 = b2
x2 + x3 = b3
边 1
边 3
边 2
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4 选择一个向量(b1, b2, b3)使得 Ax = b有解，然后另一个向量 b得到无解。这些
b’s与(1, 1, 1)的关系为何？
5 选择一个向量(y1, y2, y3)使得 ATy = f有解，然后另一个向量 f得到无解。这些
f ’s与(1, 1, 1)的关系为何？方程式 ATy = f是基尔霍夫______法则。
6 计算矩阵乘积得到 ATA。选择一个向量 f使得 A
TAx = f有解，求出 x。把这些
电势 x与电流 y = Ax以及电流源 f放进三角图形中，电导是 1因为 C = I。
7 电导 c1 = 1与 c2 = c3 = 2，计算乘积 ATCA。的 f = (1, 0 1)，求出 A
TCAx = f
的解。把电势 x与电流 y = CAx放进三角图形中，此时电流源 f从节点 3出，
进入节点 1。
8 方形图形有两个回圈，写出对应的 54关联矩阵 A。求出 Ax = 0的一个解以
及 ATy = 0的两个解。
9 找出 b’s的两个要求使得 5个差 x2 x1, x3 x1, x3 x2, x4 x2, x4 x3等于 b1, b2,
b3, b4, b5。你已经发现在图形中环绕两个______的基尔霍夫_____法则。
10 简化 A得到阶梯形式 U，三个非零行得到哪个图形的关联矩阵？在方形图形
中你发现一个树找出其他 7个树。
11 计算矩阵乘积得到 ATA，从图形猜测它的单元为何:
(a) ATA的对角线说明有多少_____进入美国节点。
(b) 非对角线的1或 0说明哪些节点配对是_____。
12 为什么每个叙述对于 ATA都是正确的？答案是针对 A
TA不是 A。
(a) 它的零空间包含(1, 1, 1, 1)，它的秩是 n 1。
(b) 它是正半定不是正定。
(c) 它的 4个固有值是实数且他们的符号是_____。
13 电导 c1 = c2 = 2与 c3 = c4 = c5 = 3，计算矩阵乘积 ATCA。求出 A
TCAx = f = (1, 0,
0, 1)的解。把在节点与边的电势 x与电流 y = CAx放进方形图形中。
14 矩阵 ATCA不可逆，什么向量 x在它的零空间中？为什么 A
TCAx = f 有一个
解若且唯若 f1 + f2 + f3 + f4 = 0？
15 一个 7节点 7边的连接图形有多少回圈？
16 对于 4节点 6边 3回圈的图形加上一个新节点，如果你把它连接到一个旧节
点，欧拉公式变成( ) ( ) + ( ) = 1。如果你把它连接到两个旧节点，
欧拉变成( ) ( ) + ( ) = 1。
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17 假设 A是来自一个连接图形(但是未知)的 129关联矩阵，
(a) A有多少无关列？
(b) 对于 f什么样的条件使得 ATy = f有解？
(c) ATA的对角线单元给出进入每个节点的边的个数，这些对角线单元的总和
为何？
18 为什么一个完整的 6节点图形有 15个边？一个连接 6个点的树有几个边？
注解 化学计量矩阵(stoichiometric)是化学中相当重要的“广义”关联矩阵，它
的单元显示每个化学片段(每个列)如何进入每个反应(每个行)。
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10.2 工程中的矩阵
这个段落展示工程问题如何产生对称矩阵 K(通常 K 是正定)，对称与正定的“线
性代数理由”是它的形式 K = ATA与 K = A
TCA。“物理理由”是½u
TKu的叙述
代表能量能量永远不是负数。矩阵 C，通常是对角线，包含正的物理常数，例
如电导或是刚度或是扩散率。
我们的最佳范例来自机械与土木与航空工程，K 是刚度矩阵，K1
f 是对应外
界力量 f的结构反应。段落 10.1转至电工程矩阵来自网络与电路，我会继续跟
上与化学工程有关的练习题！经济学与管理学与工程设计会在本章的后面来到(关
键是最佳化(optimization))。
工程有两个方式引导至线性代数，直接与间接：
直接方式 物理问题只有有限个数的片段，联结他们的位置或速度的法则是
线性(移动不会太大或太快)，利用矩阵方程式来表述法则。
间接方式 物理系统是“连续”，不是个别的质量，质量密度与力量与速度
是 x或 x, y或 x, y, z的函数。利用微分方程式来表述法则。要找到精确的解，
我们利用有限的差方程式或无限的元素方程式来近似。
两种方式都产生矩阵方程式与线性代数，我真正相信没有矩阵你是无法处理
现代的过程。
此处我们表述平衡方程式 Ku = f，加入运动，Md2u/dt
2 + Ku = f变成动态，然
后我们利用来自 Kx = Mx的固有值，或是有限差分(finite difference)。
微分方程式到矩阵方程式
微分方程式是连续的，我们的基础范例是 d2u/dt
2 = f(x)。矩阵方程式是离散的，
我们的基础范例是 K0u = f。利用第二导数到第二差的步骤，你在一个非常短的空
间会看到一个大图。从两个端点 x = 0与 x = 1的固定边界条件(fixed boundary
condition)开始：
固定-固定边界值问题 12
2
dt
ud，其中 u(0) = 0与 u(1) = 0 (1)
这个微分方程式是线性，一个特定解是 up = ½x2(则 d
2u/dx
2 = 1)，我们可以
加上任意“零空间中”的函数。我们不是求解 Ax = 0 的一个向量 x，而是求解
d2u/dx
2 = 0的一个函数 un(x)。(重点：右侧是零。)
零空间的解是 un(x) = C + Dx (对应一个二阶微分方程式的 2维零空间)，完整
解是 up + un：
