الثاني الفصل الخطية البرمجة

Linear Programming

1

Linear Programmingالخطي�ة الب�رمجة

آن حيث ، العشرين القرن منت�صف إنجازات أكب�ر من الخطي�ة الب�رمجة تعت�بر حل في دانزنج جورج الدكتور طورها التي( Simplex) السمبلكس طريقة

من للعديد العم�ل ساعات ومن األموال من الماليي�ن وفرت المسائل ه�ذه بحوث فروع من الفرع له�ذا المستخدمة اإلنتاجية والمنشآت الشركات على المحدودة الموارد توزيع مشاكل الخطي�ة الب�رمجة وتع�الج ، العمليات في جلية بصورة المشاكل هذه وتب�رز ، المنشأة داخل المتنافسة األنشطةالمختلفة. بأنواعه�ا والنقل اإلنتاج ش�ركات

optimization problems األمثلية مش�اكل

قيم�ة أص�غر أو أكب�ر عن فيه�ا نبحث الت�ي المش�اكل تلك هي األمثلية مشاكل objective الهدف بدالة الدالة هذه وتسمى متغيرات أو متغير على تعت�مد لدالة

function تربط متب�اينات أو معادالت في متمثلة قي�ود إلى الدالة ه�ذه وتخضع الت�الي: المثال في كما بالبعض، بعض�ها المتغي�رات وتحكم

1 مثال 2 س3 + 1 س5= ه� الهدف لدالة قيمة أكب�ر أوج�د

: لآلتي ط�بق�ا 3 ≥ 2 - س 1س

4 ≤ 2س ،Decision Variables القرار بمتغي�رات2س ،1س المتغي�رات على ونطلق

الهدف. دالة لتعظيم قيمها عن نبحث الت�ي وهيProgramming Problems البر�مجة مش�اكل

Optimal األمثل الت�وزيع إيجاد تتط�لب الت�ي المش�اكل هي الب�رمجة مشاكل

Allocation( لت�حقيق ،الخ أموال ، مكائن ، مواد )عمالة، المحدودة للموارد معي�نة. أهداف

Linear Programming Problems الخطية البر�مجة مش�اكل

2

طبق�ا خطي�ة هدف لدالة قيمة أصغر أو اكب�ر إيجاد تتطلب الت�ي المشاكل وهي هي بالبعض بعضها المتغي�رات بين تربط الت�ي العالقة أن خطي�ة. بمعنى لقيود (.1= األس األولى، الدرجة من معادالت أو ) متباينات خطي�ة عالقة

2 مثال حيث من درج��تي�ن على الخ��ام ويفصل مناجم، ثالثة بتشغي�ل تعدين شركة تقوم

الي�ومي�ة اإلنتاجية الطاقة اآلتي الج��دول وي��ب�ين الش��حن قبل الن�وعية الج��ودةالي�ومية الت�كلفة وكذلك للمناجم

اإلنتاج طاقةالمنجم عالي خام من

الجودة

اإلنتاج طاقة قليل خام من

الجودة

تكلفة التشغيل)

ريال/يو1000م(

20 4 4 فاط�م�ة22 4 6 ط�يب�ة18 6 1 تبوك

من طن65 و الجودة عالي الخام في طن54 بتسليم الشركة الت�زمت وقد األيام عدد تحديد والمطلوب ، أسبوع كل نهاية في الجودة قليل الخام

بأن علما الشركة بالتزام للوفاء منجم كل من فيها العمال تشغيل المطلوب؟ األسبوع أيام طوال يعملون ال العمالكالت�الي: القرار متغيرات أفت�رضأسبوعيا فاطمة منجم في العمال يعملها الت�ي األيام = عدد 1س أسبوعيا طيب�ة منجم في العمال يعملها الت�ي األيام = عدد 2س أسبوعيا تبوك منجم في العمال يعملها الت�ي األيام = عدد 3س

لتلبي�ة وذلك للمناجم تشغيل تكلفة اقل عن نبحث أننا نري المسألة ومن: كاآلتي تمث�يله�ا يمكن المس�أل�ة أن أي ، الشركة الت�زامات

3 س18 + 2 س22 + 1 س20= ه� أقل أوجد اآلتي�ة للقي�ود ط�بق�ا

3

54 ³ 3 + س 2 س6 + 1 س4 الجودة عالي إنتاج إجمالي 65 ³ 3 س6 + 2 س4 + 1 س4 الجودة قليل إنتاج إجمالي 6 ³ 1س فاطمة منجم في العمل ق�يد 6 ³ 2س طيب�ة منجم في العمل ق�يد 6 ³ 3س تبوك منجم في العمل ق�يد 0 £ 3 & س 2 & س 1س السالبية ع�دم ق�يد

Canonical Form الخطية البر�مجة لمسائل العامة الصورة

ن × س ن + ر… + 2 × س2 + ر1 × س1= ر ( ه� ) أقل أكب�ر أوج�دلآلتي طبق�ا

1 ب ³ ن س ن1 + أ000 + 2س 21 + أ 1 س11أ 2 ب ³ ن ن× س2 + ... + أ2× س22 + أ1 × س12ا

ب³ ن × س ن م + أ000 + 2 س ×2م + أ 1 س ×1مأ

م صفر£ ر س ... ، ،2س ،1س

: كاآلتي مص�فوفات ص�وره في ذلك كتابه ويمكن

س× ر= ه�( ) أقل أكب�ر أوجدلآلت�ي ط�بق�ا

ب³ س× أ 0 £ س

4

اله�دف دالة في المتغي�رات معامالت : مصفوفة ر أن ح�يث

القيود في للمتغيرات المعامالت : مصفوفة أ المجاهي�ل : مصفوفة س األيسر : الطرف ب

الب�ياني��ة بالطريقة الخطي�ة الب�رمجة مسائل لحل سن�تعرض الب�اب هذا وفي ( )الجداول الس�مبلكس ( ولطريقة األول الفصل فقط، متغيرين حالة ) في

الث�اني الفص�ل في

5

– 3 مث�ال ربح الش�ركة وقدرت ، ج� و ، ب ، أ منت�جات ثالث كهربائية أدوات شركة تنت�ج بثالثة المنتجات وتمر الترتيب.1، على90 ،120 ،150 كاآلتي وحدة كل

اآلتي والجدول ، الجودة اختبار و التجميع ، التص1نيع وهي مراحل ، المنتجات هذه من واحدة وحدة إلنتاج الالزمة الساعات عدد يوضح

الخطية؟ للبرمجة العامة الصورة في السابقة المسألة ض1عالجودةالت�جميعالت�صنيعالمنتج

1 3 2 أ 75, 2 3 ب 75, 2 4ج� الوقت

المتاح

450 370 200

: الح1لأ المنتج من اإلنتاج = كمي�ه1س أن أفت�رض

ب المنتج من اإلنتاج = كمي�ه 2س ج� المنتج من اإلنتاج = كمي�ه3س

: كاآلتي اله�دف دالة تص�بح بذلك و 3 س90 + 2 س120 + 1 س150= ه� أكب�ر أوج�د

لآلتي ط�بق�ا الت�ص�ن�يع وقت قي�د450 ³ 2 س4 + 2 س3 + 1 س2 الت�جميع وقت قي�د370 ³ 3 س2 + 2 س2 + 1 س3

الجودة اختبار وقت قي�د200 ³ 3 س0,75 + 2 س75,+ 1س السالبية عدم قي�د0 £ 3س ، 2س ، 1س

4 مثال الس�اخن�ة المشروبات توفر عن لزبائنه اإلعالن للتسويق األمل مركز يريد

ألف60 إلى اإلعالن يصل أن ويريد فروعه، جميع في الخفيفة والمأكوالت

6

ذلك في مستخدما جدة محافظة في األقل على امرأه ألف40 و رجل 6 إلى الصحيفة في اإلعالن يصل أن توقع وق�د ، المحلي�ة واإلذاعة الصحف

4 و رجل ألفين إلى اإلذاعة في اإلعالن يص�ل وأن امرأة ألفين و رجل آالف وفي الواحدة للمرة ريال450 الصحيفة في اإلعالن تكلفة امرأة. وتبلغ آالف

تكلفة بأقل إجرائها المطلوب اإلعالنات ع�دد . أحس�ب ريال260 اإلذاعة المسألة ضع إلي�ه.، الوصول المطلوب العدد إلى اإلعالنات تصل لكي ممكن�ةالخطي�ة؟ للبرمجة العامة الصورة في السابقة

الصحيفة في اإلعالنات = ع�دد 1س أن أفت�رض اإلذاعة في اإلعالنات = ع�دد 2س

اله�دف دالة وتص�بح

2 س260 + 1 س450= ه� أق�ل أوج�د : لآلتي ط�بق�ا

60 £ 2 س2 + 1 س6 40 £ 2 س4 + 1 س2 0 £ 2س ، 1س

7

البي1اني1ة بالطريقة الحل المسألة كانت إذا( الب�ياني )الرسم بياني�ا الخطي�ة الب�رمجة مسألة حل يمكن

أي قرار متغيرا لها حل يمكن و ، ذلك من ألكثر المتباينات رسم لتعذر ( وذلك2س ،1) س

: كالت�الي المسألة )المنطقةالممكنة الحلول منطقة إيجاد و المتباينات : رسم أوال

.( واحد آن في القيود جميع القرار متغيرات فيها تحقق التي ) إيجاد الممكنة الحلول لمنطقة األركان نقاط : تحديد ثاني1ا

(. النقاط ه1ذه إحداثيات النقطة واختيار الهدف دالة في األركان بنقاط : التعويض ثالث1ا ( قيمة أضغر أو الهدف لدالة قيمة ) أكبراألمثل الحل تعط1ي التي

. 5 مثال

2 س4 + 1 س6= ه� لآلت�ي ط�بق�ا

(1 �����������)30 ³ 2 س5 + 1 س5 (2 �����������)4 -£ 2 - س 1س

(3 �����������)2 £ 2س (4 �����������)0 £ 2 & س 1س

الممكنة الحلول منطقة : إيجاد أوال

السالبية عدم ش�رط ( فت�مثل4) المتباينة أم�ا ( ،3) ( إلى1) المتباينات رس�ممتب�اينة. لكل فق�ط الموجب األول الربع في الن�قاط خذأ أي ،

كالت�الي: كتابتها فيمكن( 1) للمتب�اينة وبالنس�بة 30 > 2 س5 + 1 س5 30 = 2 س5 + 1 س5

8

مستقيم خط معادلة هذه تمثل 30 = 2 س5 + 1 س5 الت�ساوي حالة فيكالت�الي: المستقيم الخط على تقعان نقطتين بمعرفة رسمه يمكن

س5 ( + 0) 5 أن نجد السابقة المعادلة في وبالتعويض0 = 1س قيمة ضع المستقيم على ( تقع6 ،0) الن�قطة أن أي ،6 = 2س أن أي 30 = 2

30 = 2 س(0) + 1 س5 أن نجد السابقة المعادلة في 0 = 2س وبوضع. المستقيم على ( تقع0 ،6) الن�قطة أن أي ،6 = 1س أن أي

30 > 2 س5 + 1 س5 بالمتراجحة الممثلة المساحة تقع أين نحدد ولكي ونعوض يساره على أو المستقيم الخط يمين على عشوائي�ة نقطة بأخذ نقوم الن�قطة جهة في الت�ي المساحة فإن المتراجحة تحققت فإن الن�قطة هذه بقيمة

هي المقابلة فالمساحة المتراجحة تتحق لم وإن المطلوبة المساحة هي في عوضن�ا ( و1،1) الن�قطة المثال سب�يل على أخذنا المطلوبة. فإذا المساحة

أن نجد المتراجحة الخط يسار على المساحة فإن وبالتالي30 > 10( = 1)5( +1)5

30 > 2 س5 + 1 س5 المتراجحة تمثل المستقيم

س1

س2

(6 ، 0)

(0 ، 6)

9

س1

2س

(6 ، 0)

(0 ، 6)

(1،1 )

10

( 2) 4 -£ 2 - س 1س لمتباينةل الت�قاطع نقاط نحدد وبالمث��ل المستقيم أن دنجف 2س ،1س المحاور مع

( ،0 ،4)- ( والنقطة4 ،0) بالنقطتين مري 4 -= 2 - س 1س

)الربع األول الربع في األول المستقيم مع يتقاطع حتى المستقيم امتداد ونأخذدوما. الموجب أو السالبية عدم قيد يمثل الموجب( الذي

1س لمح�ور الموازي2 = 2س بالمستقيم ( تحد3) والمتب�اينة موضح هو كما المظلل�ة المنطقة على نحصل مع�ا المتباينات جميع وبرس�م

(1الش�كل) في

1س

2س

-(4،0)

(0،4)

س1

س2

-(4،0)

(0،4)

(6،0)

(0،6)

11

ء ، ج� ، ب ، أ األركان نقاط : لمعرفة ث�اني�ا(2) ( مع1) المس�تقي�م تقاطع نقطة هي أ الن�قطة أن نالح�ظ أي ، معا المعادلتين بحل ( نقوم2) ( مع1) المس�تقي�م تقاطع نقطة لمعرفةو

4 = -2 - س1س مع30 = 2 س5 + 1 س5 ( ، 2س من األولى)للتخلص المعادلة مع ونجمعها5 في الث�انية المعادلة نضرب

على فنحصل 30 = 2 س5 + 1 س5 20 = - 2 س5 - 1 س5

أن نجد معادلة أي في وبالتعويض ،1 = 1س أي ،10 = 1 س10 5 = 2س

(5 ،1= ) أ الت�قاطع نقطة أن أي ح�ل ( أي3) ( مع1) المس�تقي�م تقاط�ع هي ب الن�قطة فان وبالمث�ل

2 = 2س مع30 = 2 س5 + 1 س5 أن نجد األولى المعادلة في 2س بقيمة المباشر وبالتعويض20 = 1 س5 أن أي30( = 2 )5 + 1 س5

4 = 1س ( .2 ،4= ) ب الت�قاطع نقطة أن أي 2س المحور على فتقعا ء و ج� الن�قطت�ين أما (4 ،0= ) ء الن�قطة ( و2 ،0= ) ج� الن�قطة أن أي

12

(1) الشكل

اله1دف دالة في األركان بنق1اط : التعوي1ض ثالث1ا

س4 + 1 س6= ه� األركان نقاط2

26( = 5)4( + 1)6 ( 1،5) أ 32( = 2)4( + 4)6 ( 4،2) ب

8( = 2)4( + 0)6 ( 0،2) ج�16( = 4)4( + 0)6 ( 0،4) ء

وهي قيمة أكب�ر ( هي 2 ، 4) ب الن�قطة عند الهدف دالة قيمة أن يالحظ ب الن�قطة إيجاد ( . يمكن الممكن�ة الحلول ) أفضل األمثل الحل تمث�ل

: كالت�الي أخرى بطريقة: اله�دف دالة رس�م طريقة

الح�لول منطقة في تقع ( التي3 ،1) الن�قطة المث�ال س�بي�ل على ( خ�ذ1): ه�ي الن�قطة ه�ذه عن�د ر اله�دف دالة وقيمة ، الممكن�ة

18 = 12 + 6( = 3)4( + 1 )6= ه� 18 = 2 س4 + 1 س6 المستقيم اآلن ( ولنرس�م2)

18 ( ��� ،0) الن�قطة نج�د أوال0 = 1س بوض�ع

4 (0 ،3) الن�قطة نج�د0 = 2س وبوض�ع

13

في كما الس�ابقتي�ن بالنقط�ت�ين المار المستقيم علي سن�حصل وبالتالي ( : 6 -2) الش�كل

على نحصل حتى ، الس�ابق المس�تقي�م مع متوازية مس�تقيمات ( بأخ�ذ3) حالتنا وفي ، الممكن�ة الحلول منطقة في نقطة أقصى يمس الذي المستقيم

. األمثل الحل نقطة هي ب الن�قطة فان (. وبالتالي2 ،4) ب الن�قطة ه�ذه(2) الش�كل

6 مث�ال؟ بيانيا اآلتية المشكلة ح�ل

2 س3 + 1 س8= ه� أكب�ر أوج�د اآلتي�ة للقي�ود ط�بق�ا

(1 �������������������)35 ³ 2 س5 + 1 س5 (2 �������������������)4 ³ 2 - س1س

(3 ��������������������)4 ³ 2س 0 £ 2س ،1س

الممكنة الحلول منطقة لمعرف1ة السابقة المتراجحات : رسم أوالFeasible Region

كالت�الي األولى المتراجحة كتابة يمكن35 > 2 س5 + 1 س5

14

35 = 2 س5 + 1 س5 أي ولرسم ، مستقيم خط معادلة عن عبارة الث�انية المعادلة أن ويالحظعلي�ه تقعا نقطتين إلى نحتاج مستقيم

أي ،7 = 2س أي35 = 2 سÜ 5 المعادلة في0 = 1س بوضع (7 ،0) الن�قطة على نحصل

35 = 1 سÜ 5 الث�انية المعادلة في0 = 2س نضع وبالمث�ل (0 ،7) الن�قطة على نحصل أي ،7 = 1س أي

(0 ،7 ( & ) 0،7) بالنقطتين المار المستقيم رسم يمكن وبالتالي نقطة نفترض ،35 > 2 س5 + 1 س5 المتراجحة ولرسم

السابقة المتراجحة في ( والتعويض1،1) ولتكن عشوائي�ة5( 1 + )5( 1 = )10 < 35

في كما ،35 = 2 س5 + 1 س5 المستقيم يسار إلى المستوى نأخذ أي(.6 - 3الشكل) 4 ³ 2 - س1س ( ،2) للمتراجحة بالنسبة وبالمث�ل

4 > 2 - س1س 4 = 2 - س1س

) ( ،4- ،0) الن�قطت�ين على نحصل4 = 2 - س1س المستقيم ولرسم4، 0)

تتحقق أنها نجد المتراجحة في والتعويض السابقة العشوائية الن�قطة وبأخذالشكل) في كما ،4 = 2 - س1س الم�تقيم يسار على المستوى فنأخ�ذ

3-6. ) 4 ³ 2س ( ،3) للمتراجحة بالنسبة وبالمث��ل

2س محور ويقطع1س محور يوازي مست�قيما4 = 2س المستقيم يمثل حيث

تحت الواقع المستوى هي4 > 2س المتراجحة وتكون ( ،0،4الن�قطة) في 4 = 2س المستقيم

(6 - 3) الش�كل 15

. الممكن�ة الحلول منطقة تمثل المظللة المنطقة فان السابق الشكل من

األركان نقاط : تعيين ث1اني1اس و35 = 2 س5 + 1 س5 المستقيمي�ن تقاطع هي أ الن�قطة أن الحظ

2 = 4 (2)5 + 1 س5 أن نج�د األولى المعادلة في4 = 2س بقيمة بالتعويض و

=35 (4 ،5) هي أ الن�قطة أن أي ،5 = 5 ÷ 25 = 1س أن أي

4 = 2 - س1س مع35 = 2 س5 + 1 س5 تقاط�ع هي ب والنقطة على نحصل األولى المعادلة مع وجمعها5 في الث�انية المعادلة بضرب و

: الت�الي 20 = 2 س5 - 1 س55,5 = 1 سÜ 55 = 1 سÜ 10 35 = 1 س5 + 1 س5

=2 س5 ( + 5,5 ) 5 أن نجد األولى المعادلة في 1س بقيمة وبالتعويض35 1,5 = 5 ÷ 7,5 = 2 سÜ 7,5 = 27,5 - 35 = 2 س5 أن أي (1,5 ،5,5) هي ب الن�قطة أن أي

16

4 ،0) هي ه� والنقطة (،0 ،0هي) د والنقطة (،0 ،4) فهي ج� الن�قطة اما )

ثالثا : التعويض بالنقاط في دالة اله1دف ر الهدف دالةالنقاط

2 س3 + 1 س8= ه� 52( = 4 )3( + 5) 8 (4 ،5) أ ( =1,5 )3( +5,5 )8(1,5 ،5,5) ب

48,5 32( = 0 )3 ( + 4 ) 8 ( 0 ،4) ج� 0 ( 0 ،0) د 12( = 4 )3( + 0 ) 8 ( 4 ،0) ه�

52= ه� ح�يث ( ،4 ،5) أ الن�قطة عند األمثل الحل ويكون

17

تمارين

وه�وائيات كراسي إطارات بتصن�يع تقوم يومنلأللمو السعودي ( شركة1) في وساعة األنابي�ب ح�ني جهاز في ساعة نصف الهوائي ويت�طلب ، تلفزيونات

، ج�هاز كل على ساعة نصف إلى يحتاج الكرسي وإطار ، الت�ثقي�ب ج�هاز لجهاز س�اعات6 و األنابي�ب حني لجه�از ساعات4 الشركة لدى وتت�وفر

لكل ريال24 و ريال36 ه�وائي لكل الربح صافي كان فإذا ، يومي�ا الت�ثقي�ب؟ الربح لتعظيم والهوائيات الكراسي من يوميا الشركة تنت�ج فكم ، إطار

، للحج خيام ، الخيام من أنواع ثالثة بصناعة للخي�ام األصالة مصنع ( يقوم2) القطع هي الت�والي على مراحل بثالثة الخيام وتمر ، لألطفال وخي�ام للرحالت

لدى المتوفرة البيانات يمثل التالي والجدول ، الت�غلي�ف ثم الخياطة ثم المصنع

خيامحج خيامالمرحلةرح1الت

خيامأط1فال

الوقت المتاحش1هريا

2118000القطع23116000الحياكة1117000التغليف ربحيةالمنتج

30020090

يمكن حتى الخطي�ة الب�رمجة لمسائل العامة الصورة في السابقة المسألة ضع؟ ممكن ربح أكب�ر يعطي الذي المنوع اإلنتاج إيجاد

طائرات األلعاب من نوعين بصناعة الخشبية لأللعاب باخشب مصنع ( يقوم3 الطائرة وتكلف ريال84 القط�ار و ريال110 ب� الطائرة تباع ، قط�ارات و

ريال25 القط�ار ويكلف للعمالة ريال40 و األولية للمواد ريال30 المص�نع الن�جارة قس�م في ساعة الطائرة وتت�ط�لب ، للعمالة ريال30 و األولية للمواد

كان فإذا ، قس�م كل في ساعة القطار ويت�طلب الت�هي�ئة قس�م في وس�اعتين 100 و الن�جارة قس�م في أسبوعيا ساعة80 ه�و األلعاب له�ذه المتاح الوقت

18

بين�ما محدد غ�ير القطارات على والطلب ، الت�هي�ئة قس�م في أسبوعيا ساعة في المسألة فض�ع ، أسبوعيا طائره40 عن يزيد ال الطائرات ع�لى الطلب؟ الربح لتعظ�ي�م الخطي�ة للبرمجة العامة الصورة

، الحاسب شاشات من نوعين بصناعة للحاسب اإللكت�رون شركة ( تقوم4 األولية المواد هبطت قد و ، عادية ملونة والثاني�ة الوضوح عالية ملونة األولى

وكان ، نوع كل من وحدة100 لصناعة يكفي بما الشهر لهذا المستودع في: كالتالي التكلفة جدول

عاليةالبندالوضوح

عادية

800500البيع سعر تكلفةالعمالة

200120

تكلفةالمواد

12090

القادم الشهر بداية في لديها يكون أن الضروري من أنه الشركة قدرت وقد ال أن وقدرت ، األقل على ريال15,000 قدرها المبيعات من نقدية سي�ولة

في السابقة المسألة ضع ، الشهر لهذا ريال28,000 عن العمالة تكلفة تزيد يعطي الذي المنوع اإلنتاج إيجاد يمكن حتى الخطي�ة للبرمجة العامة الصورة

؟ الشركة متطلبات ويحقق ممكن ربح أكب�ر و الحبوب من مصنع كالهما ، المواشي غذاء من نوعين تنت�ج غ�ذاء ( شركة5

على يحوي والثاني الحبوب % من80 على يحتوي األول الصن�ف ، الدهون 5 ب� والثاني للكي�لو رياالت6 ب� األول الصن�ف يباع ، الدهون % من60

حتى ريال2 بس�عر الح�بوب كيلوجرام الشركة وتشتري ، للكي�لو رياالت 800 حتى للكي�لو بريال والدهن ، إنتاج فترة كل في كي�لوجرام1000

الصورة في السابقة المسألة فض� محدد غير الطلب كان فإذا ، كيلوجرام يعطي الذي المنوع اإلنتاج إيجاد يمكن حتى الخطي�ة الب�رمجة لمسائل العامة

؟ ممكن ربح أكب�ر؟ الب�ياني�ة بالطريقة اآلتية المسألة ( ح�ل6

19

2 س5 + 1 س7= ه� أكب�ر أوج�د لآلتي ط�بق�ا

30 £ 2 س5 + 1 س6 0 ³ 2 - س1س

8 ³ 2س 0 £ 2س ،1س

2 س5 + 1 س3= ه� الهدف لدالة قيمة اكب�ر ( أوج�د7لآلتي طبق�ا

4 ³ 1س 12 ³ 2 س2

18 ³ 2 س2 + 1 س3 0 £ 2س ،1س

2 + س1 س2= ه� الهدف لدالة قيمة اكب�ر ( أوج�د8 لآلتي طبق�ا

10 ³ 2س 60 ³ 2 س5 + 1 س2

18 ³ 2 + س1س 44 ³ 2 + س1 س3

0 £ 2س ،1س 2 س2 + 1 س3= ه� الهدف لدالة قيمة اكب�ر ( أوجد9

لآلتي طبق�ا

22 ³ 2 س4 + 1 س2 ³10 2 س4 + 1- س

20

³ 7 2 - س1 س2 1 ³ 2 - س1س

0 £ 2س ،1س 2 س2,50 + 1 س1,50= ه� الهدف لدالة قيمة اصغر ( أوجد10

لآلتي طبق�ا3 £ 2 س3 + 1س 2 £ 2 + س1س

0 £ 2س ،1س 2 س3 + 1 س7= ه� اكب�ر ( أوج�د11

لآلتي ط�بق�ا 55 ³ 2 س5 + 1 س5

5 - £ 2 - س1س 3 £ 2س

0 £ 2 & س1س

21

ا�لس�مبلكس ( (Simplex Methodطريقة من ألكر الخطي�ة الب�رمجة ( لمسائل بالجداول )الحل السمبلكس طريقة تعت�بر

حاسب ب�رامج وضع أمكن فقد ، الس��ابق الق�رن إنج�ازات أفضل من متغيرين برمجة مس��ائل حل للدارس��ين أمكن وبالت��الي للحل الطريقة هذه لتطب�يق آلي

ه��ذه ومن ، ث��وان ظ��رف في المتغ��ي�رات من أل��وف أو مئ��ات ع��ده من خطي�ة LP, LINDO الب�رامج

الرياضي لألس��اس الت�ع��رض دون السمبلكس طريق سن�شرح الفصل هذا في وم��تي آلخر جدول من االنتقال وكيفية بالجداول الحل ألسلوب وإنما ذلك خلف

( األمثلية ) اختبار نتوقفالسمبلكس1 طريقة على مالحظات

محدبة منطقة الرياضي�ة الن�احية من الممكن�ة الحلول منطقة تمث�ل.1

Convex Region ( set) . للمسألة أمث�ال حال هناك كان إذااألركان .2 نقاط من محدودا عددا هناك منطقة Extreme Pointsيوج�د ف�ي

، أمثال حال هناك كان إذا الممكنة األمثل فإن الحلول أح�د يقع الح�ل في

األركان .نقاط ثم .3 ومن الممكنة الحلول منطقة في األركان نقاط جمي�ع إيجاد إن

األمثل ( ( الحل اله�دف لدال�ة المثلى القيمة تعط�ي التي الن�قطة اختيار

من فمسألة ، عملي�ا ممكن�ا غير أمرا قي�ود 8يعت�ب�ر أربع تح�ت متغيرات

عدد حل األمر أي 4توافيق 8يتط�لب محاول�ة 70 !( = 2 ! × 4! ÷ ( 8،

ال هذه الحل عملي�ه أن كما ، متغيرات أربعة في آني�ة معادالت أربعة لحل

. نهائية غير حلوال لها المس�أل�ة أن إلى تشير أن أو أمثل حال وجود تضمنفهي .4 ؛ األمثل الحل إيجاد في منتظ�م�ة بخطوات السمب�لكس طريقة تسير

ركن ( ( ( نقطة آخر حل إلى تنتقل ثم ركن نقطة أولي أساسي بحل تبدأ

الح�ل ( يكون بحيث السابق فيهامجاورة من ركن أفضل أى من وأفضل

مجاورة ركن خطوة( –نقطة كل في تت�حسن الهدف جدول دالة ويتم (كل ،

األمثل ( للحل بعد تصل لم أننا األمث�لية إختب�ار أظهر كلما الخطوة هذه تكرار

التحسين ( يمكن

22

طريقة .5 وتش�ير ، معدودة خطوات في األمثل الحل على الحصول يتم

أمثل حل بدون المسأل�ة كانت إذا في�ما الحلول نوعية إلى أوالسمبلكس

مت�عددة حلوال لها .أن

مثال

ه1 = اكبر 3س 120 + 2س 80 + 1س 50أوجد

لآلت1ي طبق1ا 90 ³ 3س 2 + 2س + 1س 3

60 ³ 3س 2 + 2س + 1س 2

20 ³ 2س + 1س 2

0 £ 3س & 2س & 1س

موجبا األيسر الطرف يكون أن يجباألولى : تساوي ) الخطوة ح1ال1ة معادالت إلى المتباينات تح1ويل

) =ل ) إضافية متغيرات بإضافة ذلك ل 1ويتم كاآلتي ( 3،ل 2،

90 =1ل + 3س 2 + 2س + 1س 3

60 = 2ل + 3س 2 + 2س + 1س 2

20 = 3ل + 2س + 1س 2

ولذلك ، قيمتها من يغير ال للمعادالت أصفار إضافة أن الح1ظكالتالي : السابقة المعادالت كتابة يمكن

)90 = 3ل( 0 + )2ل( 0 + )1ل + 3س 2 + 2س + 1س 3 11111)

)60 = 3ل( 0 + )2ل + 1ل( 0+ ) 3س 2 + 2س + 1س 2 11112)

)20 = 3ل + 2ل( 0) + 1ل( 0+) 3س 0 +2س + 1س 2 11113)

كالتالي : الهدف دالة وتصبح3ل( 0 + )2ل( 0 + )1ل( 0 + )3س 120 + 2س 80 + 1س 50ه1 =

كالتالي : المصفوفات بطريقة ذلك كل كتابة ويمكنأكبر س . ر = ه1 أوج1د

23

للت1الي ط1بق1اب = س . أ

0 س

أن المتغيرات ( 0 0 0 120 80 50 = ) ر حيث معامالت تمثلالهدف دالة في

المجاهيل / مصفوفة (3ل 2ل 1ل 3س 2س 1س = ) س

األيسر (20 60 90 = ) ب الطرف 3 1 2 1 0 0

0 1 0 2 1 2 = أ 2 1 0 0 0 1

المعامالت أ وتس1مي مصفوفةقيمة إيجاد قي�مة س والمط�لوب أكبر لتحقي�ق المص�فوفات معادلة في

اله�دف لدالة . ه�ممكنة

الثانية : هو الخطوة كما االبت�دائي الج�دول في السابقة المعامالت تفريغ

االبت�دائي الج�دول في مبي�نأن لرالح�ظ

الهدف $ دالة في الح�ل قاع�دة في المتغيرات معامالت هيالمبدئي الج1دول

5080120000ل1ر

قاعدةالحل

س2س1س3

ل1رب3ل2ل1ل$

1312100900ل

2212010600ل

3210001200ل

0000000

0000000لظ

0000000

ظ – ل1ر 50801200000لمج

الخارج المتغير24

مالحظات :المصفوفة( 1( من مكون المبدئي الجدول أن أ و ب الحظهو( 2( المبدئي األساسي الحل (20 60 90 0 0 0 ( = ( 3ل 2ل 1ل 3س 2س 1س = ( س

للمتغيرات بالنس�بة األصل نقطة في س�يكون المبدئي الح�ل أن أي

األساسيةل ( باالخ�تص�ار ل 1أو ل 2، في ( 20، 60، 90 ( = ( 3، المت�غيرات وهي

يع�ط�ي . الح�ل ه�ذا أن نج�د اله�دف دالة في وبالتعويض الح�ل =ه�قاعدة

بحيث ، 0 الح�ل قاعدة ليدخل األساسية المت�غيرات أح�د اختيار والمط�لوب

المتغيرات أح�د عن بدال وذلك ربح�ا قاعدة االضافي�ة يح�قق في الموجودة

. حالي�ا الح�لعن 0 0 0 0 0 0 0= ل ظ وفالصف( 3( عبارة هو

لر = ه� ( أ ( .× $ ب :

ضرب ( االبتدائي ( (ب: أ ( × 0 0 0أي الجدول فير( 4( ظ – لالصف الص�ف ل مج ط�رح عن عبارة ظ هو الص�ف لمج من

الصفوف .ر األول مجموع تعني مج أن لظ حيث

ر( 5( الص�ف في ننظر القاعدة س�يدخ�ل الذي المتغي�ر ظ – لوالختيار لمج

موجب�ة ونخ�تار قيمة بذلك أكب�ر س 120وهي المتغي�ر يقابل .2وه�ذا

تحت( 6( المعامالت نقس�م القاعدة س�يغادر الذي المتغير في بالخت�يار

س تح�ت المعامالت على الداخل ( (3الج�دول الج1دول المتغي�ر في

كالتالي : 45 2 ÷ 90 ط1

= 1111111 60 ÷ 2 = 30 0 ÷ 20 3س

نخ�تار القيم ه�ذه موج1ب1ة وم�ن قيمة الحالة أص1غر ه�ذه في 30وهي

ل الص�ف في ذلك ل 2ويقابل يكون وبه�ذا من 2، س�يخرج الذي هو

الحل قاعدة

25

في�ه( 7( الذي والعم�ود الخ�ارج المتغير في�ه الذي الص�ف أن يالح�ظ

الرقم ( ( فيه�ا واح�دة خ�لية في يت�قاط�عان الداخ�ل ويس�مي( ( 2المتغي�ر

أحيان�ا ( (. المفتاح بالق�ط�ب العنص�ر ه�ذاالثالثة : الج�دول الخطوة باس�تخدام األول الج�دول في األرقام حس�اب

كاآلت�ي : المبدئيالمالحظة ( س( 4من المت�غير أن بدال ( ( 2وج�دنا الحلول القاعدة س�يدخ�ل

ل 2من

26

األول الجدول

5080120000ل1ر

قاعدةالحل

ل1رب3ل2ل1ل3س2س1س$

10300-11001ل

311/2101/2030120س

3210001200ل

0000000

1206012006003600لظ

0000000

ظ – ل1ر 6003600-702000-لمج

الداخل المتجهالجدول : حساب في مالحظات

الجديد( 1) الجدول في العناصر حساب باستخداماالول) ( يمكنكاآلتي الس1ابق الجدول عناصر

القديمة = – القيمة للخلية الجديدة في )القيمة المقابلة القيمةالقطب × ÷ العمود في المقابلة القيمة (الصف

ل للمتغير المقابلة األول الصف عناصر المثال سبيل في 1فعلى

كالتالي : حسبت األول الجدول 60 × 2 2 × 2 1 × 2

30 = 90 - ، 1111111 = 3 - ، 111110 = 1 - 1111 2 2 2

30 = 90 - 60 ،1 = 3 - 2 ،0 = 1 - 1

2 × 2 1 × 0 1 × 2 0 = 2 - ، 1111 = 1- - ، 111111 = 0 - 11111

2 2 2 0 × 0

0 = 0 - 111111 2

27

ل المقابل الثالث الصف عناصر حساب يمكن وذلك 3وبالمث1ل

كالتالي :20 = 20 ( - 60 × 0 ÷ ) 2 ،2 = 2 ( - 2 × 0 ÷ ) 2 ،2 = 2( - 2 × 0 ÷ ) 2 0 = 0( - 2 × 0 ÷) 2 ،0 = 0 ( - 0 × 0 ÷ ) 2 ،0 = 0 ( - 1 × 0 ÷ ) 2 1 = 1 ( - 0 × 0 ÷ ) 2 عناصر( 2) نقسم فإننا الخارج للمتجه المقابل الصف عناصر أما

كالتالي : القطب على الصف30 = 60 ÷ 2 ،1 = 2 ÷ 2 ،0,50 = 1 ÷ 2 ،1 = 2 ÷ 2 ،0 = 0 ÷ 2

0,50 = 1 ÷ 2 ،0 = 0 ÷ 2 س( 3) المتغير أن القاعدة 2الحظ دخل قد األول الجدول في

س القيمة 2بمعامل وهي الهدف دالة تحت 120في والظاهرة

Sك

نستمر( 4) الحالة ه1ذه وفي جدول من أكثر المسألة تتطلب ق1دوشرط ، التوقف شرط على نحصل حتى الج1داول حساب في

سالبة - . أعداد أو أصفار على ر ك الصف في الحصول التوقفالهدف( 5) لدالة قيمة أصغر إيجاد هي المسألة كانت ماذا حالة في

كالتالي) ( : تكبير مسألة إلى تحويلها يمكن فانه تصغيره1 نض1ع ، ه1 أص1غر ه1 = - *إليجاد

تم1ام1ا كالس1ابق ونح1ل ، ه1 أكبر نوج1د وبالتاليه1 = - أكبر ه1 أص1غر فان األمثل الح1ل إيجاد *وعن1د

الصف في رقم أكبر أن نرى الس1ابق الج1دول ظ – ل1رمن لمج

س 20ه1و 1المقابل

عناص1ر قس1مة ح1اص1ل في موجبة قيمة عناص1ر بوأص1غر علىكالتالي ) ( : ه1ي الداخ1ل المتغير العمود

30 ÷ 1 30 30 ÷ 1/2 = 60 20 ÷ 1 20

ل ه1و الخ1ارج المتج1ه أن 3أي28

التالي : الج1دول نج1د س1بق ما وبتكرار

29

الثاني الج1دول5080120000ل1ر

قاعدةالحل

ل1رب3ل2ل1ل3س2س1س$

10300-11001ل

3001101/220120س

22100012080س

0000000

001201200602400لظ

16080000801600

ظ – ل1ر 1404000-1200-11000-لمج

السابق الجدول من الصف ويالحظ في موجب رقم يوجد ال ل1رأنه

ظ – التوقف ) ( لمج هذا قاعدة في الحل ويكون نتوقف وبذلك ، كالتالي : وهو أمثل الجدول

س 30 = 1ل س 20 = 3، ،2 = 20 ر = الهدف دالة 4000قيمة

30

تماري�نو( 1) ، ،أفران مكيفات ، كهربائية منتج1ات ثالث ش1رك1ه تنتج

كاآلتي وحدة كل ربح الشركة وقدرت على 70، 100، 300مجففاتو. التجميع ، التص1نيع وهي مراحل بثالث المنتجات وتمر الترتيب

إلنتاج الالزمة الس1اعات عدد يوضح اآلتي والجدول ، الجودة اختبارالمنتجات ه1ذه من واحدة وح1ده

التصنيع مراحل اختبارالتجميعالتصنيعالمنتج

الجودة341مكيفات

220.50أفران20.750.50مجففات

الوقتالمتاح

400350200

الخطية للبرمجة العامة الصورة في المسألة المسألة ،ضع حل ثمالسمبلكس طريقة مستخدما

السمبلكس( 2) بطريقة اآلتية المس1ألة حلس = ه1 أكبر 3س 5 + 2س 6 + 1أوج1د

لآلت1ي طبق1ا

24 ³ 3س 3 + 2س 6 + 1س 4

2 ³ 3س 6 + 2س 3 + 1س 2

12 ³ 2س + 1س 3

0 £ 3س & 2س & 1س

ر( = 3) أكبر 7 + 3س + 2س 4 + 1س 3أوج1د

لآلت1ي ط1بق1ا7 ³ 4س + 3س 4 + 2س 3 + 1س 8

3 ³ 4س 5 + 3س + 2س 6 + 1س 2

31

8 ³ 4س 2 + 3س 5 + 2س 4 + 1س

س 1س س 2، س 3، ،4 £ 0

32