A MATEMATIKA I(treci kolokvij 23.01.2015.)

1. Funkcija y = y(x) je implicitno zadana jednadžbom

x2y = yx + 8.

Ako je y(3) = 1, korištenjem logaritamske derivacije odredite y′(3).(15 bodova)

2. Zadana je funkcija y =x

(ln x)2 .

a) Odredite domenu funkcije.b) Ispitajte ima li funkcija vertikane i horizontalne asimptote.c) Odredite intevale rasta i pada funkcije.

(20 bodova)

3.U polukružnicu radijusa r upisan je trapez (vidjeti sliku). Koliki je kut ϕ akoje površina trapeza maksimalna. Koliki je omjer x :r u tom slucaju?

(Uputa: izraziti površinu polutrapeza kao sumu površina dva trokuta.)rr

h

xx

(15 bodova)

4. Pocetna kultura bakterija sadrži 100 stanica i raste brzinom koja je proporcionalna njezinoj velicini. Nakon sat vremenaje bilo 420 bakterija.

a) Napišite formulu za broj bakterija nakon t sati.b) Odredite broj bakterija nakon 3 sata i brzinu rasta u tom trenutku.c) Kada ce broj bakterija biti 10 000?d) Skicirajte graf broja bakterija tijekom vremena.

(20 bodova)

5. Zadan je red:∞∑

n=0

(x − 1)n

(n + 1)!3n .

a) Napišite prva tri clana reda.b) Odredite radijus konvergencije reda i napišite interval konvergencije.

(15 bodova)

6.a) Koristeci se poznatim razvojima razvijte u red potencija funkciju f (x) =

ln(1 + x2)3 + x

. (Napišite prva cetiri clana).b) Ima li red sumu za x1 = 0.1, x2 = 1.4?c) Koliko iznosi f ′′(0) ?

(15 bodova)

OKRENI!

A MATEMATIKA I(Rješenje treceg kolokvija 23.01.2015.)

1.e2y ln x = ex ln y + 8

Deriviranjem

e2y ln x(2y′ ln x +

2yx

)= ex ln y

(ln y +

xy′

y

)tj.

x2y(2y′ ln x +

2yx

)= yx

(ln y +

xy′

y

)uz y(3) = 1

⇒ 9(2y′(3) ln 3 +

23

)= 3y′(3)

⇒ y′(3) = −2

6 ln 3 − 1

2.(a) D f = (0, 1) ∪ (1,+∞)(b) Kandidati za V.A.: x = 0, x = 1.Racunamo: lim

x→0+x

(ln x)2 = ( 0+∞

) = 0⇒ x = 0 nije V.A.

limx→1−

x(ln x)2 = lim

x→1+x

(ln x)2 = ( 10+ ) = +∞ ⇒ x = 1 je V.A. (obostrana)

H.A.:lim

x→+∞

x(ln x)2 =

(+∞

+∞

)L′H= lim

x→+∞

12 ln x

x

= limx→+∞

x2 ln x

L′H=

12

limx→+∞

11x

=12

limx→+∞

x = +∞

⇒ nema H.A.(c)

y′ =(ln x)2 − 2 ln x

(ln x)4 =ln x − 2

ln3 x= 0⇒ x = e2 ⇒

funkcija raste na (0, 1) ∪ (e2,+∞) pada na (1, e2).

3.

P = 2 · P1

P1 =h · x

2+

r · h2

=r2

2(sin(ϕ) cos(ϕ) + sin(ϕ))

=r2

2

(12

sin(2ϕ) + sin(ϕ))

d P1

dϕ=

r2

2(cos(2ϕ) + cos(ϕ))

d P1

dϕ= 0

⇒ cos(2ϕ) = − cos(ϕ) (= cos(π − ϕ))⇒ 2ϕ = π − ϕ; 0 ≤ ϕ ≤ π/2⇒ ϕ = π/3

ϕ 0 π/3 π/2P1 0 3

√3r2/8 ≈ 0.65r2 r2/2 = 0.5r2

Za ϕ = π/3 površina je maksimalna.xr=

r cos(π/3)r

= 1/2

4.

a) P(t) = P(0)ekt = 100ekt

P(1) = 100ek = 420 ⇒ ek =420100

⇒ k = ln(4.2)

P(t) = 100et ln(4.2) ⇒ P(t) = 100 · 4.2t

b) P(3) = 100 · 4.23 ≈ 7409 bakterija

dPdt= kP = ln(4.2)P ⇒ P′(3) = ln(4.2)P(3) = ln(4.2) · 100 · 4.23 ≈ 10.632 bakterija/h

c) P(t1) = 100 · 4.2t1 = 10000 ⇒ 4.2t1 = 100 ⇒ t1 =ln 100ln 4.2

≈ 3.2 h

d)

5. a)∞∑

n=0

(x − 1)n

(n + 1)!3n = 1 +x − 1

6+

(x − 1)2

54. . .

b) | an |=1

(n + 1)!3n , | an+1 |=1

(n + 2)!3n+1 R = limn→∞

1(n+1)!3n

1(n+2)!3n+1

= limn→∞

3(n + 2) = ∞

x ∈ 〈−∞,+∞〉

6. a)ln(1 + x2)

3 + x= ln(1 + x2) ·

13(1 + x/3)

=13

ln(1 + x2) ·1

1 + x/3

x2 −x4/2 x6/31 x2 −x4/2 x6/3−x/3 −x3/3 x5/6 −x7/9x2/9 x4/9 −x6/18 x8/27−x3/27 −x5/27 x7/54 x9/81x4/81 x6/81 −x8/162 x10/243

13

ln(1 + x2) ·1

1 + x/3=

x2

3−

x3

9+

1154

x4 + (1

18−

181

)x5 + . . .

b) R = 1, f (0.1) =ln(1.01)

3.1, f (1.4) nema

c) f ′′(0)2! =

13 , f ′′(0) = 2

3

3

A MATEMATIKA I(Završni zadaci)

1. Zadana su dva pravca

p1 . . . x = 2 − 3t, y = 6t, z = 3 + t

p2 . . . x = −1 + t, y = 2 − 2t, z = −t/3

a) Pokažite da su p1 i p2 paralelni.b) Nadite jednadžbu ravnine koja sadrži zadane pravce.

(25 bodova)

2. Nadite rješenje sustava linearnih jednadžbi iz njegove ešalonske forme:

a)

1 0 2 −1 30 3 0 2 10 0 1 0 40 0 0 −2 0

b)

1 1 0 4 −20 2 1 −1 30 0 0 0 0

(25 bodova)

3. Skicirajte graf funkcije y = f (x) za koju su poznati sljedeci podaci:

• limx→+∞ f (x) = +∞, limx→−∞ f (x) = 1

• limx→1+ f (x) = +∞, limx→1− f (x) = 3

• f ′(x) > 0, x ∈ (−∞, 1) ∪ (4,+∞), f ′(x) < 0, x ∈ (1, 4)

• f ′(4) = 0, f (4) = −1

(20 bodova)

4. a) Naditedydx

funkcije zadane implicitno: sin(3xy) − ln(2 + x2) = y√

y.

b) Nadite nagib u tocki t = 1 krivulje zadane parametarski: x =t − 4t3

2 + t2 , y =5

(t + 1)2 .

(30 bodova)

Tablica redova

ex = 1 + x +x2

2!+

x3

3!+

x4

4!+

x5

4!+ · · · , x ∈ R

sin x = x −x3

3!+

x5

5!−

x7

7!+

x9

9!−

x11

11!+ · · · , x ∈ R

cos x = 1 −x2

2!+

x4

4!−

x6

6!+

x8

8!−

x10

10!+ · · · , x ∈ R

sh x = x +x3

3!+

x5

5!+

x7

7!+

x9

9!+

x11

11!+ · · · , x ∈ R

ch x = 1 +x2

2!+

x4

4!+

x6

6!+

x8

8!+

x10

10!+ · · · , x ∈ R

ln(1 + x) = x −x2

2+

x3

3−

x4

4+

x5

5−

x6

6+ · · · , |x| < 1

11 − x

= 1 + x + x2 + x3 + x4 + x5 + · · · , |x| < 1

(1 + x)α = 1 + α x +(α

2

)x2 +

(α

3

)x3 +

(α

4

)x4 +

(α

5

)x5 + · · · , |x| < 1

B MATEMATIKA I(treci kolokvij 23.01.2015.)

1. Funkcija y = y(x) je implicitno zadana jednadžbom

xy = yx − 1.

Ako je y(2) = 3, korištenjem logaritamske derivacije odredite y′(2).(15 bodova)

2. Zadana je funkcija y =ln(x2)

x.

a) Odredite domenu funkcije.b) Ispitajte ima li funkcija vertikane i horizontalne asimptote.c) Odredite intevale rasta i pada funkcije.

(20 bodova)

3.U polukružnicu radijusa r upisan je trapez (vidjeti sliku). Koliki je kut α akoje površina trapeza maksimalna. Koliki je omjer d :r u tom slucaju?

(Uputa: izraziti površinu polutrapeza kao sumu površina dva trokuta.)

rr

h

dd

(15 bodova)

4. Izotop stroncij-90 ima vrijeme poluraspada 28 godina. (Ta tvar raspada se brzinom koja je proporcionalna kolicini tvariu danom trenutku.)

a) Ako je u pocetku bilo 50 mg tvari, napišite formulu za kolicine tvari koja ostaje nakon t godina.b) Koliko tvari ce ostati nakon 40 godina i kolika je brzina raspadanja u tom trenutku?c) Koliko je vremena potrebno da se raspadne 49 mg tvari?d) Skicirajte graf odgovarajuce kolicine tvari kroz vrijeme.

(20 bodova)

5. Zadan je red:∞∑

n=0

(x + 1)n

n!4n+1 .

a) Napišite prva tri clana reda.b) Odredite radijus konvergencije reda i napišite interval konvergencije.

(15 bodova)

6.a) Koristeci se poznatim razvojima razvijte u red potencija funkciju f (x) =

ln(1 − x2)4 − x

. (Napišite prva cetiri clana).b) Ima li red sumu za x1 = −0.1, x2 = −1.8?c) Koliko iznosi f ′′′(0) ?

(15 bodova)

OKRENI!

B MATEMATIKA I(Rješenje treceg kolokvija 23.01.2015.)

1.ey ln x = ex ln y − 1.

Deriviranjem

ey ln x(y′ ln x +

yx

)= ex ln y

(ln y +

xy′

y

)tj.

xy(y′ ln x +

yx

)= yx

(ln y +

xy′

y

)y(2) = 3⇒

8(y′(2) ln 2 +

32

)= 9

(ln 3 +

23

y′(2))

y′(2) =9 ln 3 − 128 ln 2 − 6

2.(a) D f = R \ {0}(b) Kandidat za V.A.: x = 0

limx→0−

ln(x2)x=

(−∞

0−

)= +∞

limx→0+

ln(x2)x=

(−∞

0+

)= −∞

x = 0 je V.A. (obostrana)H.A.:

limx→±∞

ln(x2)x

L′H= lim

x→±∞

2xx2

1= 0

⇒ y = 0 je H.A. (obostrana)(c)

y′ =2 − ln(x2)

x2 = 0⇔ x = ±e

funkcija pada na (−∞,−e) ∪ (e,+∞), raste na (−e, 0) ∪ (0, e).

3.

P = 2 · P1

P1 =h · d

2+

r · h2

=r2

2(sin(α) cos(α) + sin(α))

=r2

2

(12

sin(2α) + sin(α))

d P1

dα=

r2

2(cos(2α) + cos(α))

d P1

dα= 0

⇒ cos(2α) = − cos(α) (= cos(π − α))⇒ 2α = π − α; 0 ≤ α ≤ π/2⇒ α = π/3

α 0 π/3 π/2P1 0 3

√3r2/8 ≈ 0.65r2 r2/2 = 0.5r2

Za α = π/3 površina je maksimalna.dr=

r cos(π/3)r

= 1/2

4.

a) R(t) = R(0)ekt = 50ekt

R(28) = 50e28k = 50/2 ⇒ e28k =12⇒ k = −(ln 2)/28

R(t) = 50e−(ln 2)t/28 ⇒ R(t) = 50 · 2−t/28

b) R(40) = 50 · 2−10/7 mg

dRdt= kR = −(ln 2)R/28 ⇒ R′(40) = −(ln 2) · 50 · 2−4/3/28 = −25(ln 2)/(28

3√2) ≈ −0.49 mg/godina

c) R(t1) = 50e−(ln 2)t/28 = 50 − 49 = 1 ⇒ −(ln 2)t1/28 = ln(1/50) ⇒ t1 = 28ln 50ln 2

≈ 158 godina

d)

5. a)∞∑

n=0

(x + 1)n

n!4n+1 =14+

x + 116+

(x + 1)2

128. . .

b) | an |=1

n!4n+1 , | an+1 |=1

(n + 1)!4n+2 R = limn→∞

1n!4n+1

1(n+1)!4n+2

= limn→∞

4(n + 1) = ∞

x ∈ 〈−∞,+∞〉

6. a)ln(1 − x2)

4 − x= ln(1 − x2) ·

14(1 − x/4)

=14

ln(1 − x2) ·1

1 − x/4

−x2 −x4/2 −x6/31 −x2 −x4/2 −x6/3

x/4 −x3/4 −x5/8 −x7/12x2/16 −x4/16 −x6/32 −x8/48x3/64 −x5/64 x7/128 −x9/172

x4/256 −x6/256 −x8/512 −x10/768

14

ln(1 − x2) ·1

1 − x/4= −

x2

4−

x3

16−

964

x4 + (−1

32−

1256

)x5 + . . .

b) R = 1, f (−0.1) =ln(0.99)

4.1, f (−1.8) nema

c) f ′′′(0)3! = −

116 , f ′′(0) = − 3

8

7

B MATEMATIKA I(Završni zadaci)

1. Zadana su dva pravca

p1 . . . x = −1 − 2t, y = t/2, z = 1 − t

p2 . . . x = 2 + 8t, y = 3 − 2t, z = 4t

a) Pokažite da su p1 i p2 paralelni.b) Nadite jednadžbu ravnine koja sadrži zadane pravce.

(25 bodova)

2. Nadite rješenje sustava linearnih jednadžbi iz njegove ešalonske forme:

a)

1 0 −1 3 30 1 0 −2 10 0 2 0 40 0 0 −3 0

b)

1 1 0 2 20 3 −2 1 −30 0 0 0 0

(25 bodova)

3. Skicirajte graf funkcije y = f (x) za koju su poznati sljedeci podaci:

• limx→+∞ f (x) = 3, limx→−∞ f (x) = −∞

• limx→2+ f (x) = 1, limx→2− f (x) = −∞

• f ′(x) > 0, x ∈ (−∞,−1) ∪ (2,+∞), f ′(x) < 0, x ∈ (−1, 2)

• f ′(−1) = 0, f (−1) = 2

(20 bodova)

4. a) Naditedydx

funkcije zadane implicitno: y√

y + cos(4xy) = ln(x3 + 2).

b) Nadite nagib u tocki t = 2 krivulje zadane parametarski: x =3

(2 + t)2 , y =2t − t3

t2 − 1.

(30 bodova)

Tablica redova

ex = 1 + x +x2

2!+

x3

3!+

x4

4!+

x5

4!+ · · · , x ∈ R

sin x = x −x3

3!+

x5

5!−

x7

7!+

x9

9!−

x11

11!+ · · · , x ∈ R

cos x = 1 −x2

2!+

x4

4!−

x6

6!+

x8

8!−

x10

10!+ · · · , x ∈ R

sh x = x +x3

3!+

x5

5!+

x7

7!+

x9

9!+

x11

11!+ · · · , x ∈ R

ch x = 1 +x2

2!+

x4

4!+

x6

6!+

x8

8!+

x10

10!+ · · · , x ∈ R

ln(1 + x) = x −x2

2+

x3

3−

x4

4+

x5

5−

x6

6+ · · · , |x| < 1

11 − x

= 1 + x + x2 + x3 + x4 + x5 + · · · , |x| < 1

(1 + x)α = 1 + α x +(α

2

)x2 +

(α

3

)x3 +

(α

4

)x4 +

(α

5

)x5 + · · · , |x| < 1

C MATEMATIKA I(treci kolokvij 23.01.2015.)

1. Funkcija y = y(x) je implicitno zadana jednadžbom

arctg y = xy +π

4− ey.

Ako je y(e) = 1, korištenjem logaritamske derivacije odredite y′(e).(15 bodova)

2. Zadana je funkcija y =2x − 2−x

4x − 4−x .

a) Ispitajte ima li funkcija vertikane asimptote.b) Ispitajte ima li funkcija horizontalne asimptote.c) Nadite intervale rasta i pada funkcije.

(20 bodova)

3.

U polukružnicu radijusa r upisan je pravokutnik (vidjeti sliku). Koliki je kutϕ ako je površina pravokutnika maksimalna. Koliki je omjer x : y u tomslucaju?

r y

x

(15 bodova)

4. Kultura bakterija raste brzinom koja je proporcionalna njezinoj velicini. Nakon 2 sata bilo je 400 bakterija, a nakon 6sati bilo ih je 25 600.

a) Odredite pocetni broj bakterija.b) Napišite formulu za broj bakterija nakon t sati.c) Kada ce broj bakterija biti 50 000?d) Skicirajte graf broja bakterija tijekom vremena.

(20 bodova)

5. Zadan je red: 1 −x + 22! · 5

+(x + 2)2

3! · 52 −(x + 2)3

4! · 53 +(x + 2)4

5! · 54 −(x + 2)5

6! · 55 + . . . .

a) Napišite opci clan reda i zapišite red pomocu∑

.b) Odredite radijus konvergencije reda i napišite interval konvergencije.

(15 bodova)

6.a) Koristeci se poznatim razvojima razvijte u red potencija funkciju f (x) =

sh(2x)2 + x

. (Napišite prva cetiri clana).b) Ima li red sumu za x1 = 0.2, x2 = 3.4?c) Koliko iznosi f ′′(0) ?

(15 bodova)

OKRENI!

C MATEMATIKA I(Rješenje treceg kolokvija 23.01.2015.)

1.arctg y = ey ln x +

π

4− ey

⇒y′

1 + y2 = xy(y′ ln x +

yx

)− eyy′

⇒y′(e)

2= e

(y′(e) +

1e

)− ey′(e)

y′(e) = 2

2.(a) 4x − 4−x = 0⇒ x = 0, D f = R \ {0} ⇒ kandidat za V.A. je x = 0.

limx→0−

2x − 2−x

4x − 4−x =

(00

)L′H= lim

x→0−

(2x + 2−x) ln 2(4x + 4−x) ln 4

=12

Isto

limx→0+

2x − 2−x

4x − 4−x =12⇒ x = 0 nije V.A.

(b)

limx→+∞

2x − 2−x

4x − 4−x

/ : 4x

/ : 4x = limx→+∞

2−x − 8−x

1 − 16−x =0 − 01 − 0

= 0

limx→−∞

2x − 2−x

4x − 4−x

/ · 4x

/ · 4x = limx→−∞

8x − 2x

16x − 1=

0 − 00 − 1

= 0

y = 0 je H.A. asimptota (obostrana)(c) 4x − 4−x = (2x + 2−x)(2x − 2−x)⇒

y =1

2x + 2−x

⇒ y′ =−(2x − 2−x) ln 2

(2x + 2−x)2 = 0⇒ x = 0 < D f

⇒ funkcija raste na (−∞, 0), pada na (0,∞).

(Funkcija je parna pa se racun može skratiti!)

3.

P = 2 · x · y= 2r2 sin(α) cos(α)= r2 sin(2α)

d Pdα

= 2r2 cos(2α)

d Pdα

= 0

⇒ cos(2α) = 0; 0 ≤ α ≤ π/2⇒ 2α = π/2⇒ α = π/4

α 0 π/4 π/2P 0 r2 0

Za α = π/4 površina je maksimalna.xy=

r sin(π/4)r cos(π/4)

= 1

4.

a) P(t) = P0ekt

P(2) = P0e2k = 400, P(6) = P0e6k = 25600 ⇒ e4k =25600

400= 64 = 26 ⇒ k =

14

ln 64 = 3 ln(2)/2

P(t) = P0e3t ln(2)/2 ⇒ P(2) = P0e6 ln(2)/2 = 8 · P0 = 400 ⇒ P0 = 50

b) P(t) = 50e3t ln(2)/2 = 50 · 23t/2

c) P(t1) = 50 · 23t1/2 = 50000 ⇒ 23t1/2 = 1000 ⇒ t1 =23

ln 1000ln 2

=2 ln 10

ln 2≈ 6.6 h

d)

5. a) an = (−1)n 1(n + 1)! · 5n ,

∞∑n=0

(−1)n (x + 2)n

(n + 1)! · 5n

b) | an |=1

(n + 1)! · 5n , | an+1 |=1

(n + 2)! · 5n+1 R = limn→∞

1(n+1)!·5n

1(n+2)!·5n+1

= limn→∞

5(n + 2) = ∞

x ∈ 〈−∞,+∞〉

6. a)sh(2x)2 + x

= sh(2x) ·1

2(1 + x/2)=

12

sh(2x) ·1

1 + x/2

2x 4/3x3 4/15x5

1 2x 4/3x3 4/15x5

−x/2 −x2 −1/3x4 −2/15x6

x2/4 x3/2 x5/3 x7/15−x3/8 −x4/4 −x6/6 −x8/30x4/16 x5/8 x7/12 x9/60

12

sh(2x) ·1

1 + x/2= x −

x2

2+

1112

x3 −7

24x4 + . . .

b) R = 2, f (0.2) =sh(0.4)

2.2, f (3.4) nema

c) f ′′(0)2! = −

12 , f ′′(0) = −1

11

C MATEMATIKA I(Završni zadaci)

1. Zadana su dvije ravnine

π1 . . . 4x − 2y + 6z + 7 = 0π2 . . . − 2x + y − 3z + 1 = 0

a) Pokažite da su π1 i π2 paralelne.b) Nadite jednadžbu ravnine koja je okomita na zadane ravnine i sadrži pravac r(t) = (−1, 0, 3) + t(2, 3,−1).

(25 bodova)

2. Nadite rješenje sustava linearnih jednadžbi iz njegove ešalonske forme:

a)

1 0 −1 3 10 −2 1 0 −20 0 0 0 0

b)

1 0 0 −2 30 4 1 0 10 0 −1 0 40 0 0 2 0

(25 bodova)

3. Skicirajte graf funkcije y = f (x) za koju su poznati sljedeci podaci:

• limx→+∞ f (x) = 2, limx→−∞ f (x) = −∞

• limx→1+ f (x) = +∞, limx→1− f (x) = −3

• f ′(x) < 0, x ∈ (−1, 1) ∪ (1,+∞), f ′(x) > 0, x ∈ (−∞,−1)

• f ′(−1) = 0, f (−1) = 3

(20 bodova)

4. a) Nadite nagib u tocki T (2, 1) krivulje zadane implicitno: 3xy2 − x3 + 3y =y√

y.

b) Naditedydx

krivulje zadane parametarski: x = ln(4t2 + 1), y =sin(2t)1 − t3 .

(30 bodova)

Tablica redova

ex = 1 + x +x2

2!+

x3

3!+

x4

4!+

x5

4!+ · · · , x ∈ R

sin x = x −x3

3!+

x5

5!−

x7

7!+

x9

9!−

x11

11!+ · · · , x ∈ R

cos x = 1 −x2

2!+

x4

4!−

x6

6!+

x8

8!−

x10

10!+ · · · , x ∈ R

sh x = x +x3

3!+

x5

5!+

x7

7!+

x9

9!+

x11

11!+ · · · , x ∈ R

ch x = 1 +x2

2!+

x4

4!+

x6

6!+

x8

8!+

x10

10!+ · · · , x ∈ R

ln(1 + x) = x −x2

2+

x3

3−

x4

4+

x5

5−

x6

6+ · · · , |x| < 1

11 − x

= 1 + x + x2 + x3 + x4 + x5 + · · · , |x| < 1

(1 + x)α = 1 + α x +(α

2

)x2 +

(α

3

)x3 +

(α

4

)x4 +

(α

5

)x5 + · · · , |x| < 1

D MATEMATIKA I(treci kolokvij 23.01.2015.)

1. Funkcija y = y(x) je implicitno zadana jednadžbom

ln(1 + y + y2) = xy+1 − x.

Ako je y(e) = 0, korištenjem logaritamske derivacije odredite y′(e).(15 bodova)

2. Zadana je funkcija y =3x − 3−x

9x − 9−x .

a) Ispitajte ima li funkcija vertikane asimptote.b) Ispitajte ima li funkcija horizontalne asimptote.c) Nadite intervale rasta i pada funkcije.

(20 bodova)

3.

U polukružnicu radijusa r upisan je pravokutnik (vidjeti sliku). Koliki je kutα ako je površina pravokutnika maksimalna. Koliki je omjer a : b u tomslucaju?

r b

a

(15 bodova)

4. Radioaktivni cezij-137 ima vrijeme poluraspada 30 godina. (Ta tvar raspada se brzinom koja je proporcionalna kolicinitvari u danom trenutku.)

a) Ako je u pocetku bilo 100 mg tvari, napišite formulu za kolicine tvari koja ostaje nakon t godina.b) Koliko tvari ce ostati nakon 100 godina i kolika je brzina raspadanja u tom trenutku?c) Koliko je vremena potrebno da se raspadne 99 mg tvari?d) Skicirajte graf odgovarajuce kolicine tvari kroz vrijeme.

(20 bodova)

5. Zadan je red: 1 −x − 2

3+

(x − 2)2

2! · 32 −(x − 2)3

3! · 33 +(x − 2)4

4! · 34 −(x − 2)5

5! · 35 + . . . .

a) Napišite opci clan reda i zapišite red pomocu∑

.b) Odredite radijus konvergencije reda i napišite interval konvergencije.

(15 bodova)

6.a) Koristeci se poznatim razvojima razvijte u red potencija funkciju f (x) =

ch(3x)3 − x

. (Napišite prva cetiri clana).b) Ima li red sumu za x1 = −0.2, x2 = 4.4?c) Koliko iznosi f ′′′(0) ?

(15 bodova)

OKRENI!

D MATEMATIKA I(Rješenje treceg kolokvija 23.01.2015.)

1.ln(1 + y + y2) = e(y+1) ln x − x

y′ + 2yy′

(1 + y + y2)2 = xy+1(y′ ln x +

y + 1x

)− 1

y′(e) = e(y′(e) +

1e

)− 1

⇒ y′(e) = 0

2.(a) 9x − 9−x = 0⇒ x = 0, D f = R \ {0} ⇒ kandidat za V.A. je x = 0.

limx→0−

3x − 3−x

9x − 9−x =

(00

)L′H= lim

x→0−

(3x + 3−x) ln 3(9x + 9−x) ln 9

=12

Isto

limx→0+

3x − 3−x

9x − 9−x =12⇒ x = 0 nije V.A.

(b)

limx→+∞

3x − 3−x

9x − 9−x

/ : 9x

/ : 9x = limx→+∞

3−x − 27−x

1 − 81−x =0 − 01 − 0

= 0

limx→−∞

3x − 3−x

9x − 9−x

/ · 9x

/ · 9x = limx→−∞

27x − 3x

81x − 1=

0 − 00 − 1

= 0

y = 0 je H.A. asimptota (obostrana)(c) 9x − 9−x = (3x + 3−x)(3x − 3−x)⇒

y =1

3x + 3−x

⇒ y′ =−(3x − 3−x) ln 3

(3x + 3−x)2 = 0⇒ x = 0 < D f

⇒ funkcija raste na (−∞, 0), pada na (0,∞).

(Funkcija je parna pa se racun može skratiti!)

3.

P = 2 · a · b= 2r2 sin(α) cos(α)= r2 sin(2α)

d Pdα

= 2r2 cos(2α)

d Pdα

= 0

⇒ cos(2α) = 0; 0 ≤ α ≤ π/2⇒ 2α = π/2⇒ α = π/4

α 0 π/4 π/2P 0 r2 0

Za α = π/4 površina je maksimalna.ab=

r sin(π/4)r cos(π/4)

= 1

4.

a) R(t) = R(0)ekt = 100ekt

R(30) = 100e30k = 100/2 ⇒ e30k =12⇒ k = −(ln 2)/30

R(t) = 100e−(ln 2)t/30 ⇒ R(t) = 100 · 2−t/30

b) R(100) = 100 · 2−100/30 ≈ 9.92 mg

dRdt= kR = −(ln 2)R/30 ⇒ R′(100) = −(ln 2) · 100 · 2−10/3/30 = −5(ln 2)/(12

3√2) ≈ −0.23 mg/godina

c) R(t1) = 100e−(ln 2)t1/30 = 100−99 = 1 ⇒ −(ln 2)t1/30 = ln(1/100) ⇒ t1 = 302 ln 10

ln 2= 60

ln 10ln 2

≈ 199.3 godina

d)

5. a) an = (−1)n 1n! · 3n ,

∞∑n=0

(−1)n (x − 2)n

n! · 3n

b) | an |=1

n! · 3n , | an+1 |=1

(n + 1)! · 3n+1 R = limn→∞

1n!·3n

1(n+1)!·3n+1

= limn→∞

3(n + 1) = ∞

x ∈ 〈−∞,+∞〉

6. a)ch(3x)3 − x

= ch(3x) ·1

3(1 − x/3)=

13

ch(3x) ·1

1 − x/3

1 9/2x2 27/8x4

1 1 9/2x2 27/8x4

x/3 x/3 3/2x3 9/8x5

x2/9 x2/9 x4/2 3/8x6

x3/27 x3/27 x5/6 x7/8x4/81 x4/81 x6/18 x8/24

13

ch(3x) ·1

1 − x/3=

13+

x9+

8354

x2 +83162

x3 + . . .

b) R = 3, f (−0.2) =ch(−0.6)

3.2, f (4.4) nema

c) f ′′′(0)3! =

83162 , f ′′′(0) = 83

27

15

D MATEMATIKA I(Završni zadaci)

1. Zadana su dvije ravnine

π1 . . . − x + 2y + 3z − 4 = 0π2 . . . 3x − 6y − 9z + 1 = 0

a) Pokažite da su π1 i π2 paralelne.b) Nadite jednadžbu ravnine koja je okomita na zadane ravnine i sadrži pravac r(t) = (3,−1, 0) + t(1,−3, 2).

(25 bodova)

2. Nadite rješenje sustava linearnih jednadžbi iz njegove ešalonske forme:

a)

1 0 3 1 −30 4 −2 0 10 0 0 0 0

b)

1 0 0 2 30 −1 3 0 10 0 2 0 40 0 0 3 0

(25 bodova)

3. Skicirajte graf funkcije y = f (x) za koju su poznati sljedeci podaci:

• limx→+∞ f (x) = +∞, limx→−∞ f (x) = 2

• limx→2+ f (x) = 4, limx→2− f (x) = −∞

• f ′(x) < 0, x ∈ (−∞, 2) ∪ (2, 4), f ′(x) > 0, x ∈ (4,+∞)

• f ′(4) = 0, f (4) = −1

(20 bodova)

4. a) Nadite nagib u tocki T (−1, 1) krivulje zadane implicitno: x4 + 2y + 2xy2 =

√y

y.

b) Naditedydx

krivulje zadane parametarski: x =cos(3t)2t3 − 1

, y = ln(1 + 3t2).(30 bodova)

Tablica redova

ex = 1 + x +x2

2!+

x3

3!+

x4

4!+

x5

4!+ · · · , x ∈ R

sin x = x −x3

3!+

x5

5!−

x7

7!+

x9

9!−

x11

11!+ · · · , x ∈ R

cos x = 1 −x2

2!+

x4

4!−

x6

6!+

x8

8!−

x10

10!+ · · · , x ∈ R

sh x = x +x3

3!+

x5

5!+

x7

7!+

x9

9!+

x11

11!+ · · · , x ∈ R

ch x = 1 +x2

2!+

x4

4!+

x6

6!+

x8

8!+

x10

10!+ · · · , x ∈ R

ln(1 + x) = x −x2

2+

x3

3−

x4

4+

x5

5−

x6

6+ · · · , |x| < 1

11 − x

= 1 + x + x2 + x3 + x4 + x5 + · · · , |x| < 1

(1 + x)α = 1 + α x +(α

2

)x2 +

(α

3

)x3 +

(α

4

)x4 +

(α

5

)x5 + · · · , |x| < 1