Preliminares

1 Conjuntos: notaciones y terminología

Definición: un conjunto es una colección (o familia) de objetos bien

definidos y diferenciados entre sí, a los cuales llamaremos elementos del con-

junto. Si es un elemento de un conjunto , se denotará ∈ En caso

contrario, esto es, si no es un elemento de se pondrá ∈ Si el conjunto

está formado por un número finito de elementos 1 2 se escribirá

= {1 2 }, siendo indiferente el orden de colocación de los elementosentre las llaves. Dos conjuntos son iguales si tienen los mismos elementos.

La relación ⊂ significa que cada elemento de es un elemento de y

se dice que es un subconjunto de . Si ⊂ y ⊂ se cumple que =

Por ejemplo, los conjuntos de números naturales, enteros, racionales, reales y

complejos verifican N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R ⊂ CObservación: se admite por convenio que existe un conjunto ∅ que carece

de elementos, al que se llama conjunto vacío.

Observación: para indicar cuáles son los elementos que forman un con-

junto, se puede enumerar cada uno de dichos elementos, o bien se pueden definir

los mismos mediante propiedades que los caractericen.

1.1 Operaciones con conjuntos

Unión e intersección de conjuntos

Dados dos conjuntos y , se denotará por ∪ el conjunto denominado

unión de y y definido como el conjunto formado por todos los elementos

que pertenecen, por lo menos, a uno de los dos conjuntos o Se llama

intersección de y , y se denotará por ∩, al conjunto formado por todoslos elementos que pertenecen simultáneamente a los dos conjuntos y Se dice

que y son disjuntos si no tienen elementos comunes, esto es, si ∩ = ∅

Complementario de un subconjunto

Si es un subconjunto de , se llama complementario de respecto de al

conjunto formado por los elementos de que no pertenecen a y se denotará

por { o simplemente por { o cuando no haya lugar a confusión. Si

consideramos subconjuntos de un cierto conjunto dado , que se toma como

referencial fijo o como conjunto universal, y denota el complementario de

respecto del conjunto universal , entonces se cumple:

1

1. ∪ = ; ∩ =

2. ∪ = ; ∩ = ∅

3. ( ∪) = ∩ ; ( ∩) = ∪ (Leyes de Morgan)

Diferencia de conjuntos

Dados dos conjuntos cualesquiera y se llama diferencia− al conjunto

− = { ∈ ∈ }

Proposición: para cualesquiera que sean los conjuntos , y , se verifica:

1. ∪∅ = ; ∩∅ = ∅2. ∪ = ∩ =

3. ∪ = ∪ ; ∩ = ∩4. ∪ ( ∪ ) = ( ∪) ∪ ; ∩ ( ∩) = ( ∩) ∩ 5. ∪ ( ∩ ) = ( ∪)∩ ( ∪) ; ∩ ( ∪) = ( ∩)∪ ( ∩ )

Producto cartesiano de conjuntos

Si e son dos conjuntos (que pueden ser iguales) se llama producto

cartesiano de y , y se denotará por × al conjunto cuyos elementos son

todas las parejas ordenadas ( ) con ∈ y ∈ :

× = {( ) ∈ ∈ }

En general, el producto cartesiano 1× · · ·× es el conjunto formado por

todas las -tuplas ordenadas (1 ) tales que ∈ para 1 ≤ ≤ El

producto cartesiano × )· · · × se suele escribir

2 Aplicaciones ( o funciones)

Cuando se diga "sea una aplicación ( o función ) definida en y que toma

valores en " se nos están dando tres características de cualquier aplicación:

1. Un conjunto que es el campo de definición o dominio de la aplicación

(o función)

2. Un conjunto que es el conjunto de llegada

3. Una regla de asignación que asocia a cada elemento ∈ un único

elemento ∈ , que se llama la imagen por de y se denota por

= ()

2

Para indicar una tal aplicación se usa la notación

: −→ 7−→ =()

Cuando, refiriéndose a una aplicación o función : −→ , se diga

que es la variable, se quiere señalar que representa a un elemento cualquiera,

genérico, del dominio de la función. También se dice que es la "variable

independiente" y que = () es la "variable dependiente" ya que depende del

valor que se le asigne a

En relación con la función : −→ , se tienen las siguientes definiciones:

1. Se llama Gráfica de : −→ , y se denota por (), al conjunto

() = {( ()) ∈ } = {( ) ∈ , = ()}

que es un subconjunto del producto cartesiano ×

Observación: cuando : ⊆ R −→ R es una función real de variablereal definida en el dominio se tiene que la Gráfica de es una curva en

el espacio R2 Obviamente, no toda curva de R2 viene dada por la gráficade una función real.

2. La Imagen de una función : −→ , denotada por Im , es el conjunto

de los elementos de que provienen de alguno de , esto es,

Im = { ∈ = () para algún ∈ } == {() ∈ } = ()

La imagen inversa (o fibra) de un elemento ∈ , denotada por −1(),es

−1() = { ∈ () = } Observación: Nótese que, en general, la correspondencia recíproca −1

no es función ya que un elemento ∈ puede no ser imagen de ningún

∈ , puede ser imagen de un ∈ o puede ser imagen de varios

elementos ∈

3. Dadas las funciones : −→ y : −→ , donde ⊂ , se

llama composición de con a la función ◦ : −→ definida por

( ◦ ) () = (())

4. Una aplicación : −→ se dice que es inyectiva si elementos distin-

tos de tienen imágenes distintas en Esto es, es inyectiva si para

cualesquiera 1 2 ∈ con 1 6= 2 se verifica que (1) 6= (2), o

equivalentemente, si (1) = (2) =⇒ 1 = 2

5. Una aplicación : −→ se dice que es epiyectiva (o sobreyectiva)

si todo elemento de es imagen de algún elemento de , esto es, si

Im =

3

6. Una aplicación : −→ se dice que es biyectiva (o biunívoca) si es

inyectiva y epiyectiva, esto es, si todo elemento ∈ es imagen de un, y

sólo un, elemento = −1() de

Observación: Si : −→ es biyectiva, entonces tiene o admite

función inversa que es la función −1 : −→ que a cada ∈

le asigna el único = −1() de tal que = () Nótese que si

es biyectiva entonces −1(()) = y (−1()) = para cualesquiera

∈ e ∈ Dicho de otro modo, si es biyectiva se verifica que

−1 ◦ = y ◦ −1 = ,

donde (resp. ) denota a la aplicación identidad en (resp. en

), que transforma todo ∈ (resp. ∈ ) en sí mismo, () =

(resp. () = ).

Observación: nótese que si : −→ es inyectiva, entonces la función

: −→ () es biyectiva y, por tanto, admite inversa −1 : () −→. Nótese que (−1) = Im

3 Funciones reales de variable real

1. Una función real de variable real es toda función : ⊆ R −→ R, donde = , esto es, el conjunto de los ∈ R para los cuales está definida

2. Si denotamos por F(R) el conjunto de las funciones de en R, en esteconjunto se define la suma, el producto y el producto por un escalar real

mediante las relaciones:

( + )() = () + ()

()() = ()()

()() = ()

3. En F(R), se tiene la siguiente relación de orden ≤:

≤ ⇐⇒ () ≤ () para todo ∈

Nótese que si ≤ , entonces la gráfica de está situada, toda ella, por

debajo de la de

4. Una función real : ⊆ R −→ R se dice acotada si () es un conjuntoacotado. Esto equivale a decir que : ⊆ R −→ R está acotada si existe ∈ R tal que |()| para todo ∈ Se llaman supremo, ínfimo,

máximo y mínimo de a los de (), si existen. Esto es,

sup = sup () ; inf = inf () ; max = max () ; min = min ()

4

5. Una función real de variable real : ⊆ R −→ R se dice que es estricta-mente monótona creciente (resp. estrictamente monótona decreciente) en

si, siempre que 1, 2 ∈ sean tales que 1 2, entonces se verifica

que (1) (2) (resp. (1) (2)). Si este último signo (resp.

) se sustituye por ≤ (resp. ≥) se dice que es monótona creciente (resp.decreciente).

Una función : ⊆ R −→ R se dice que es creciente o decreciente en unsubconjunto 1 ⊂ si la restricción de a 1 es creciente o decreciente.

Nótese que una función puede ser creciente en un subconjunto 1 ⊂ y

decreciente en otro 2 ⊂

6. Sea : ⊂ R −→ R una función en la que = R o, en general, ⊂ Res simétrico respecto del origen, es decir, tal que ( ∈ ) =⇒ (− ∈ )

Se dice que es una función par (resp. impar) si, para todo ∈ , se

verifica que () = (−) (resp. (−) = −()). Nótese que la gráficade una función par es simétrica respecto del eje de abscisas 0 mientras

que la gráfica de una función impar es simétrica respecto del origen de

coordenadas.

7. Se dice que una función : R −→ R es periódica y que su periodo es

0 si se verifica que ( + ) = () para todo ∈ R. En este

caso, también se verifica que () = ( + ) para todo ∈ R y paratodo ∈ N Para conocer la función es suficiente con conocerla en un

intervalo de amplitud , como por ejemplo el intervalo [0 ]. La grafica

de se obtiene trasladando a derecha y a izquierda, sucesivas veces, la

grafica de correspondiente al intervalo [0 ].

4 Estructuras algebraicas

Dado un conjunto 6= ∅ se llama operación interna o ley de composición

interna definida en a toda aplicación ∗, del siguiente tipo:

×∗−→

() 7→ ∗

Se dice que ∗ es el resultado de operar con

Un conjunto y una o varias operaciones internas ∗ ◦ definidas en

forman lo que se llama una estructura algebraica, que se denota por ( ∗ ◦).Tal estructura se caracterizará atendiendo a las propiedades que satisfagan los

elementos de respecto a las operaciones definidas en

Estructura algebraica de grupo

Definición: Un conjunto y una operación interna definida en él ∗, se diceque forman un grupo ( ∗) si se verifican las siguientes propiedades:

5

1. ( ∗ ) ∗ = ∗ ( ∗ ) para cualesquiera , ∈ (propiedad asociativa)

2. Existe un ∈ tal que ∗ = ∗ = , para todo ∈ . El elemento

se llama el elemento neutro de

3. Para cada ∈ existe un un 0 ∈ tal que ∗ 0 = 0 ∗ = . El

elemento 0 se llama el elemento simétrico de

4. Si además se verifica que ∗ = ∗ para todo ∈ (propiedad

conmutativa), se dice que ( ∗) es un grupo abeliano o conmutativo.

Estructura algebraica de cuerpo

Sea K un conjunto en el cual están definidas dos operaciones, que llamaremossuma y producto y denotaremos por + y · respectivamente. Entonces K se

dice que es un cuerpo respecto a estas operaciones si verifica las propiedades

siguientes:

1. Cierre: Para todo ∈ K, la suma + y el producto · están definidosunívocamente y pertenecen a K

2. Leyes asociativas: para todo ∈ K se verifica

+ (+ ) = (+ ) + y · ( · ) = ( · ) ·

3. Leyes conmutativas: para todo ∈ K se verifica

+ = + y · = ·

4. Leyes distributivas: para todo ∈ K se verifica

· (+ ) = ( · ) + ( · ) y (+ ) · = ( · ) + ( · )

5. Elementos neutros: el conjunto K contiene un elemento neutro aditivo,

denotado por 0, tal que para todo ∈ K se verifica

+ 0 = 0 + =

También el conjunto K contiene un elemento neutro multiplicativo, deno-tado por 1, tal que para todo ∈ K se verifica

· 1 = 1 · =

6

6. Elementos inversos : para cada ∈ K, las ecuaciones

+ = 0 y + = 0

tienen una solución ∈ K, llamada el inverso aditivo de y denotada por−Para cada elemento no nulo ∈ K, las ecuaciones

· = 1 y · = 1

tienen una solución ∈ K, llamada el inverso multiplicativo de y deno-tada por −1

Además, si el producto es conmutativo, esto es, · = · , se dice queel cuerpo es conmutativo. Todos los cuerpos que usaremos serán conmutativos.

Ejemplos de cuerpos son los conjuntosQ, R, C de los números racionales,reales y complejos, con las operaciones suma y producto usuales. Sin embargo,

el conjunto de los números enteros Z no es cuerpo.

5 El espacio vectorial R

Vectores en R2 y R3 : la noción algebraica

Definición: Un vector v en R2 es simplemente un par ordenado de númerosreales y puede ser escrito como v = (1 2). Por ejemplo, v = (1 2) o v =

( 33) De igual manera, un vector v en R3 es una terna ordenada de númerosreales y puede ser escrito como v = (1 2 3). Por ejemplo, v =

¡

√2¢

Por tanto,

R2 = R×R = {( ) ∈ R}R3 = R×R×R = {( ) , ∈ R}

Notación: Usaremos letra negra fuerte para denotar vectores y evitaremos

poner una flecha encima de ellos para no recargar la notación. Es importante

distinguir entre el vector v ( o −→v ) y el número real ( o escalar ) .

Definición: Dos vectores u = (1 2) y v = (1 2) en R2 son igualessi sus correspondientes componentes son iguales, esto es, si 1 = 1 y 2 = 2

De igual modo, dos vectores u = (1 2 3) y v = (1 2 3) son iguales si

1 = 1, 2 = 2 y 3 = 3

A continuación, estudiamos las operaciones de suma de vectores y multipli-

cación de un escalar por un vector. Para ello, se considerarán sólo vectores de

R3 ya que los mismos resultados son válidos para vectores de R2 si ignoramossimplemente la última componente.

7

Definición de suma de vectores: Sean u = (1 2 3) y v = (1 2 3)

dos vectores de R3. Entonces, el vector suma u+ v es el vector de R3 definidocomo

u+ v = (1 + 1, 2 + 2, 3 + 3)

Ejemplo: en R2 se tiene: (1 3) +¡√2

¢=¡1 +√2, 3 +

¢y en R3 :

(1 0, 3) + (5 − 4 2) = (6 − 4 5) Propiedades de la suma de vectores: se tiene

1. La suma de vectores es una operación interna, esto es, a+ b ∈R3 paratodo a b ∈R3

2. a+ b = b+ a para todo a b ∈R33. a+ (b+ c) = (a+ b) + c para todo a b, c ∈R34. un vector especial, denotado por 0 = (0 0 0) y llamado vector nulo, con

la propiedad a+ 0 = 0+ a = a para todo a ∈R3

Definición de multiplicación escalar: Sea v = (1 2 3) un vector de

R3 y sea ∈ R un escalar. Entonces, el producto del escalar por el vector ves el vector

v = (1 2 3)

Propiedades de la multiplicación escalar: para todos vectores a y b

de R3 y escalares y se tiene

1. (+ )a = a+ a

2. (a+ b) = a+b

3. (a) = ()a = (a)

Vectores en R2 y R3 : la noción geométrica

Como es bien sabido, es frecuente representar el cuerpo de los números

reales R por medio del conjunto de puntos de una recta en la que se ha definidoun sistema de abscisas (un origen, un sentido y una unidad de medida). Esta

representación nos permite identificar gráficamente cada número real con un

punto de la recta y considerar cada punto de la recta como la imagen gráfica

de un número real. También resulta familiar la representación de R2 = R ×R como el conjunto de los puntos de un plano en el que se ha definido un

sistema de coordenadas cartesianas. En este caso, se identifican pares ordenados

de números reales ( ) con puntos del “plano real”. De igual manera, se

puede identificar ternas ordenadas de números reales ( ) con puntos de

un espacio tridimensional R3 = R×R×R en el que se haya definido un sistemade coordenadas cartesianas, entendiendo por tal tres rectas, perpendiculares

entre sí dos a dos, en las que se han definido tres sistemas de abscisas que tienen

en común el punto origen y la unidad de medida.

8