Upload
others
View
1
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
1
บทที่ 2
ระบบพิกัดเชิงขั้ว (Polar Coordinates)
1. ระบบพิกัดเชิงขั้ว
แกนเชิงขั้ว
r
θ
2. กราฟของสมการเชิงขั้ว (Polar Curves)
3. จุดตัดของกราฟเชิงขั้ว
4. พื้นที่ในพิกัดเชิงขั้วr = f(θ)
Area
r = f(θ)
Area
2
ระบบพิกัดเชิงขั้ว
แกนเชิงขั้ว(polar axis)ขั้ว
(pole)
r
θ
(r, θ)
แตละจุด กำหนดมุมไดหลายคาจุด (r, θ) มีตำแหนงเดียวกับจุด (r, θ + 2nπ)
(r, θ), (r, θ ± 2π), (r, θ ± 4π), . . .
การกำหนดจุด เมื่อ r < 0
จุด (−r, θ) ไดจากสะทอนจุด (r, θ) ผานขั้ว
(r, θ)
(−r, θ)
3
จุด (r, θ) แตละจุด จะมีพิกัดทั้งหมดในรูป(r, θ + 2nπ
),
(− r, θ + (2n− 1)π
)หรืออาจเขียนในรูป (
(−1)nr, θ + nπ)
ตัวอยางจงหาพิกัดเชิงขั้ว (r, θ) ของจุด (2, 480◦) เมื่อ1. r > 0 และ 0◦ ≤ θ < 360◦
2. r < 0 และ 0◦ ≤ θ < 360◦
3. r > 0 และ −720◦ ≤ θ < −360◦
4. r < 0 และ −720◦ ≤ θ < −360◦
4
ความสัมพันธระหวางพิกัดเชิงขั้วกับพิกัดฉาก
r
θx
y
x = r cos θ
y = r sin θและ
r2 = x2 + y2
tan θ =y
x
5
ตัวอยางจงหาสมการคารทีเซียนของสมการเชิงขั้วตอไปนี้1. r = 2
2. θ = π3
3. r = 2 cos θ
4. r = 4 sin θ
5. r = cos θ + 2 sin θ
6. r = 1
2 cos θ + 3 sin θ
6
7. r = 1
2 + sin θ
8. r = sec θ tan θ
9. r2 = 2a2 cos 2θ
7
10. r2 = 2a2 sin 2θ
11. r2 = 2a2 tan 2θ
12. r = a
1 + e cos θ
8
ตัวอยางจงหาสมการเชิงขั้วของสมการคารทีเซียนตอไปนี้1. x = a
2. y = b
3. ax + by = c
4. x2 + y2 = a2
5. x2 + y2 + ax + by + c = 0
6. x2
a2+y2
b2= 1
9
7. y2 = 4cx
8. x2
a2− y2
b2= 1
9. xy = a
10. x4 + 2x2y2 + y4 = x2 − y2
11. x4 + 2x2y2 + y4 = 2xy
12. x4 − y4 = 2xy
10
กราฟเชิงขั้ว (Polar Curves)
ตัวอยาง
r = 2 r = −2
θ = π3 θ = −π
3
11
ตัวอยางกราฟ r = 2 cos θ
กราฟ r = 2 sin θ
12
ตัวอยางกราฟ r = 1 + sin θ
π2
π 3π2
2π
0.5
1
1.5
2
13
ตัวอยางกราฟ r = cos 2θ
π4
π2
3π4
π 5π4
3π2
7π4
2π
14
สมมาตรของกราฟเชิงขั้ว
1. กราฟ f (r, θ) = 0 มีสมมาตรเทียบกับแกนเชิงขั้ว เมื่อ• f (r,−θ) = 0 หรือ f (−r, π − θ) = 0 หรือ• มีจำนวนเต็ม n ซึ่ง f (r, 2nπ − θ) = 0 หรือ• มีจำนวนเต็ม n ซึ่ง f (−r, (2n + 1)π − θ) = 0
ตัวอยาง
จงตรวจสอบสมมาตรเทียบกับแกนเชิงขั้ว1. r = cos θ
2. r2 = sin θ
3. r = |θ| + |4π − θ|
15
2. กราฟ f (r, θ) = 0 มีสมมาตรเทียบกับเสนตรง θ = 90◦ เมื่อ• f (r, π − θ) = 0 หรือ f (−r,−θ) = 0 หรือ• มีจำนวนเต็ม n ซึ่ง f (r, (2n + 1)π − θ) = 0 หรือ• มีจำนวนเต็ม n ซึ่ง f (−r, 2nπ − θ) = 0
ตัวอยาง
จงตรวจสอบสมมาตรเทียบกับเสนตรง θ = 90◦
1. r = sin θ
2. r = θ
3. r = |θ| + |3π − θ|
16
3. กราฟ f (r, θ) = 0 มีสมมาตรเทียบกับขั้ว เมื่อ• f (r, π + θ) = 0 หรือ f (−r, θ) = 0 หรือ• มีจำนวนเต็ม n ซึ่ง f (r, (2n + 1)π + θ) = 0 หรือ• มีจำนวนเต็ม n ซึ่ง f (−r, 2nπ + θ) = 0
ตัวอยาง
จงตรวจสอบสมมาตรเทียบกับขั้ว1. r2 = θ
2. r = sin 2θ
3. r = sinθ
2
17
Limaçon and CardioidLimaçon ไดจากรอยของจุดบนแนวรัศมีของวงกลมวงหนึ่งที่กลิ้งไปตามรอบนอกของวงกลมอีกวงที่มีรัศมีเทากันถาจุดที่สรางรอยอยูบนเสนรอบวงพอดี จะได Cardioid
r = a + b sin θ หรือ r = a + b cos θ
กรณี |a| = |b| กรณี |a| < |b| กรณี |a| > |b|
r = 1 + sin θ r = 1 + 2 sin θ r = 2 + sin θ
18
Lemniscateกำหนดจุดตรึง F1 และ F2
Lemniscate เปนเซตของจุด P ใด ๆซึ่ง |PF1| |PF2| = a2 เปนคาคงตัว
r2 = 2a2 cos 2θ r2 = 2a2 sin 2θ
19
Rose Curve (เสนโคงกุหลาบ)r = a cosnθ
n = 1 n = 2 n = 3 n = 4 n = 5 n = 6
r = a sinnθ
n = 1 n = 2 n = 3 n = 4 n = 5 n = 6
กราฟ r = sinnθ เมื่อ n ไมใชจำนวนเต็ม
n = 12 n = 3
2 n = 13 n = 2
3 n = 45 n = π
20
ภาคตัดกรวยr =
a
1− e sin θ
1. เมื่อ e = 0 จะได วงกลม
2. เมื่อ 0 < e < 1 จะได วงรี
e = 0.5
3. เมื่อ e = 1 จะได พาราโบลา
4. เมื่อ e > 1 จะได ไฮเพอรโบลา
e = 1.5
21
จุดตัดของกราฟเชิงขั้ว
ตัวอยางจงหาจุดตัดทั้งหมดของเสนโคง r = 2 cos 2θ กับ r = 1
22
ตัวอยางจงหาจุดตัดทั้งหมดของเสนโคง
r = 1 + sin θ กับ r = 1− sin θ
23
พื้นที่ในพิกัดเชิงขั้วr
θพื้นที่ = 1
2r2θ
θ = a
θ = b
r = f (θ)θ = θi−1
θ = θi
r = f(θ∗i )
∆Ai ≈1
2(f (θ∗i ))
2∆θ
A =n∑
i=1
1
2(f (θ∗i ))
2∆θ
limn→∞
n∑i=1
1
2(f (θ∗i ))
2∆θ =
ˆ b
a
1
2(f (θ))2 dθ
A =1
2
ˆ b
a(f (θ))2 dθ
24
ตัวอยางจงหาพื้นที่ภายในวงกลม r = 2a cos θ
25
ตัวอยาง
พิจารณาเสนโคงกลีบกุหลาบr = sinnθ
n = 2 n = 3
จงหาพื้นที่ของบริเวณตอไปนี้• บริเวณภายในกลีบใดกลีบหนึ่งของเสนโคงกลีบกุหลาบ
• บริเวณทั้งหมดที่ปดลอมดวยเสนโคงกลีบกุหลาบ
26
ตัวอยางจงหาพื้นที่ของบริเวณที่ปดลอมดวยlemiscate r2 = 2a2 cos 2θ
27
พื้นที่ระหวางเสนโคง
θ = a
θ = br = f (θ)
r = g(θ)
A =1
2
ˆ b
a
[(f (θ))2 − (g(θ))2
]dθ
28
ตัวอยางให A เปนบริเวณภายในวงกลม r = 3 sin θ
B เปนบริเวณภายใน cardioid r = 1 + sin θ
1. จงหาพื้นที่สวนที่อยูภายใน A แตอยูภายนอก B
2. จงหาพื้นที่สวนที่อยูภายใน B แตอยูภายนอก A
3. จงหาพื้นที่สวนที่อยูภายใน A และ B
29
ตัวอยางพิจารณา limaçonr = 1 + 2 sin θ
จงหาพื้นที่ของบริเวณตอไปนี้1. บริเวณภายในวงใหญของ limaçon
2. บริเวณภายในวงเล็กของ limaçon
3. บริเวณที่อยูภายในวงใหญแตอยูภายนอกวงเล็กของ limaçon