คณิตศาสตรเต็มหนวย 1

อาจารยรตี โบจรัส

บทท่ี 8 ทฤษฎีกราฟเบื้องตน (Graph Theory) 8.1 กราฟ(Graphs)

กราฟ G ประกอบดวยเซตจํากดั V ที่มีสมาชิกซึ่งเรียกวา จุดยอด (vertices), เซตจํากัด E ที่มีสมาชิกซึ่งเรียกวา เสนเชือ่ม (edges) และฟงกชัน γ ที่กําหนดบนเสนเชื่อมแตละเสนของสับเซต { , }v w เมื่อ ,v w เปน

จุดยอด เราจะเขียนกราฟ = γ( , , )G V E ถา e เปนเสนเชื่อม และ γ =( ) { , }e v w แสดงวา e เปนเสนเชือ่ม

ระหวางจุดยอด v และ w เรียกจดุยอด v และ w วาจุดปลายของเสนเชื่อม e ถามีเสนเชื่อมระหวางจุดยอด v กับ w เพียงเสนเดียว เราจะเขยีน e ดวย { , }v w

ตัวอยาง 1 ให 1 2 3 4 5{1,2,3,4}, { , , , , }V E e e e e e= = และ γ นิยามดวย γ = γ =1 5( ) ( ) {1,2},e e

γ = γ = γ =2 3 4( ) {4,3}, ( ) {1,3}, ( ) {2,4}e e e แลว γ( , , )G V E เปนกราฟที่เขียนในรปู

โดยท่ัวไป เรามักแสดงกราฟดวยรูปภาพ โดยใหจุดแทนจุดยอด และเสนแทนเสนเชื่อม ดังตัวอยาง 1 และใชกราฟแทนขอมูลความสัมพันธระหวางส่ิงของที่เปนจุดยอด เชน เสนเชื่อมระหวาง iv และ jv ใช

แสดงความเชือ่มโยงระหวาง iv และ jv

ตัวอยาง 2 จากรูป แสดงกราฟ G ในตวัอยาง 1 ในรูปแบบอื่น

- ดีกรีของจุดยอด (the degree of a vertex) คือ จํานวนเสนเชื่อมที่มีจุดยอดนั้นเปนจุดปลาย กราฟอาจมีเสนเช่ือมจุดยอดเดียวท่ีเรียกวา loop ซ่ึงมีดีกรีของจุดยอดเปน 2

1 2

4 3

1 2

3 4

1 2 3 4

e2

e3

e1

e4

e5

คณิตศาสตรเต็มหนวย 2

อาจารยรตี โบจรัส

ตัวอยาง 3 พิจารณาดีกรีของแตละจดุยอดจากกราฟตอไปนี้ - จุดยอดที่มีดกีรีเปน 0 เรียกวา an isolated vertex (จุดยอดเอกเทศ) - จุดยอดที่มีเสนเชื่อมกันเรียกวา adjacent vertices (จุดยอดประชิด) จากตัวอยาง 3 รูป(3.2) จุดยอด e เปน an isolated vertex จุดยอด a และ b เปนจุดยอดประชิด แตจุดยอด a กับ d ไมเปนจุดยอดประชิด - ทางเดิน (path) π ในกราฟ G ประกอบดวยคู ,V Eπ π ของลําดับ เชน

ลําดับจุดยอด 1 2: , ,..., kV v v vπ และลําดับเสนเชื่อม 1 2 1: , ,..., kE e e eπ − เมื่อ

A B

C

D

E

p

q s

r

t

u

รูป (3.1)

จุดยอด ดีกรี

A B C D E

2 4 1 3 2

a b

c

d e

จุดยอด ดีกรี

a b c d e

4 2 3 1 0 รูป (3.2)

รูป (3.3)

จุดยอด ดีกรี 1 2 3 4 5 6

2 2 2 2 2 2

1

2

3

6

4

5

คณิตศาสตรเต็มหนวย 3

อาจารยรตี โบจรัส

(i) แตละคู 1,i iv v + เปนจดุยอดประชิดใน G และเสนเชือ่ม ie มีจุดยอด iv กับ 1iv + เปนจดุปลาย สําหรับ 1,2,..., 1i k= −

(ii) ไมมีเสนเชื่อมใด ถูกกําหนดมากกวาหนึ่งคร้ังในลําดับเสนเชื่อม ดังนัน้เราอาจเริ่มจุดยอด 1v และมีเสนเช่ือม 1 2 1, ,..., ke e e − ไปยังจดุยอด kv โดยใชเสนเชื่อมแตละเสนเพียงครั้งเดียว

- วงจร (a circuit) คือทางเดินที่มีจุดเร่ิมตนและจดุปลายเปนจุดยอดเดยีวกัน ในบทที ่4 เราอาจเรียกทางเดินแบบนีว้า cycle แตในทฤษฎี กราฟจะเรียกวา วงจร (circuit) - ถาไมมีจุดยอดใดปรากฏในลําดับจุดยอดมากกวาหนึ่งคร้ังยกเวน ถา 1 kv v= จะเรียกวงจรอยางนี้วาวงจรอยางงาย (a simple circuit)

กราฟในรูป (3.1) เรานิยามทางเดิน 1π แทนดวยลําดับ 1

: , , , ,V A B E D Dπ และ 1

: , , ,E p r t uπ

นิยามทางเดิน 2π ดวยลําดับ 2

: , ,V A B Aπ และ 2

: ,E p qπ

สําหรับทางเดนิ 1π เราไมทราบเสนเชื่อมที่ชัดเจนระหวาง p หรือ q ท่ีเช่ือมจากจุด A ไปจุด B และในทางเดิน 2π เราไมทราบวาใชเสนเชื่อมใดกอนหลัง ถากําหนดลําดบัทางเดิน ,p q ใน 2π เราไมทราบวาลําดับจุดยอดเปน , ,A B A หรือ , ,B A B

ดังนั้น ถาจุดยอดของทางเดนิมีเสนเชื่อมเสนเดียวท่ีเช่ือมจุดยอดประชิดแตละคู ลําดับเสนเชื่อม จะทําใหพิจารณาลําดับจุดยอดได เชนกราฟในตวัอยาง 2 มีทางเดิน 3 :1,3,4,2π ในกรณีนี้ ไมจําเปนตองกําหนด

สัญลักษณของเสนเชื่อมแตละเสน ตัวอยาง 4

a) ถานิยามทางเดนิ 1π และ 2π ในกราฟรูป (3.1) ดังกลาวขางตน พบวาทางเดิน 1π ไมเปนทางเดนิอยางงาย เพราะจุดยอด D ปรากฏในลําดับ

1Vπ สองครั้ง แตทางเดิน 2π เปนวงจรอยางงาย เพราะมี

จุดยอดเดยีวท่ีปรากฏสองครั้งที่ลําดับตนและปลาย b) ทางเดิน 4 : , , ,π D E B C จากกราฟรูป (3.1) เปนทางเดนิอยางงายไมจําเปนตองพิจารณาลําดับเสน

เช่ือมเพิ่มเติม c) จากกราฟรูป (3.2) ทางเดิน 5 : , , ,π a b c a เปนวงจรอยางงาย แตทางเดนิ 5 : , , ,π d c a a ไมเปนวงจร

อยางงาย d) กราฟรูป (3.3) ลําดับจุดยอด 1, 2,3, 2 ไมเปนทางเดนิ เพราะวาเสนเชื่อมระหวางจุดยอด 2 และ 3

ปรากฏในลําดบัสองครั้ง - กราฟเชื่อมโยง (connected) คือกราฟที่มีทางเดินจากจุดยอดหนึ่งไปจุดยอดอื่นใดๆทัง้หมดในกราฟ

ได ถากราฟไมเช่ือมโยง (disconnected) ประกอบดวยกราฟเชื่อมโยงแตละสวน เรียกแตละสวนนี้วา component (สวนประกอบ)

คณิตศาสตรเต็มหนวย 4

อาจารยรตี โบจรัส

ตัวอยาง 5 กราฟในตวัอยางที่ 1 และรูป (3.1) ในตวัอยางที่ 3 เปนกราฟเชื่อมโยง แตกราฟรูป (3.2) และ (3.3) เปนกราฟไมเช่ือมโยง และกราฟรูป (3.3) มีสองสวนประกอบ (component) ตัวอยาง 6 พิจารณาวากราฟใดเปนกราฟเชื่อมโยง

กราฟ G1 กราฟ G2 กราฟ G3

กราฟ G1 เปนกราฟเชื่อมโยง แตกราฟ G2 และ G3 เปนกราฟไมเช่ือมโยง (not connected กราฟในรูปแบบอื่น

1. สําหรับแตละจํานวนเต็ม 1n ≥ ให nU แทนกราฟที่มีจุดยอด n จุด แตไมมีเสนเชื่อม เราเรียก nU วา discrete graph บน n จุดยอด ดังรูปแสดง 2U และ 5U

2U 5U 2. สําหรับแตละจํานวนเต็ม 1n ≥ , ให nK เปนกราฟที่มีจุดยอด { }1 2, , , nv v v… และเสนเชื่อม { },i jv v

เช่ือมจุดยอด ,i jv v สําหรับทุก ,i j เรียก nK วา complete graph (กราฟสมบูรณ) บน n จุดยอด ถาแตละจดุยอดมีดีกรีเทากนัทกุจุด เรียกกราฟนี้วา regular สําหรับ nU เปน regular เชนกนั

3. สําหรับแตละจํานวนเต็ม 1n ≥ , ให nL เปนกราฟที่มีจุดยอด n จุด คือ { }1 2, , , nv v v… และเสนเช่ือม { }1,i iv v + สําหรับ 1 i n≤ < เรียก nL วา linear graph (กราฟเชิงเสน) บน n จุดยอด

ตัวอยาง 7 กราฟ nK และ nL ท้ังหมดเปนกราฟเชื่อมโยง แต nU เปนกราฟไมเช่ือมโยงเมื่อ 1n > และ nU มีสวนประกอบ n สวน

และ

3K 4K 5K

2L 4L

คณิตศาสตรเต็มหนวย 5

อาจารยรตี โบจรัส

• กราฟยอยและ Quotient graphs (Subgraphs and Quotient graphs) ให ( , , )G V E γ= เปนกราฟ เลือกสับเซต ของเสนเชื่อมใน 1E ของเสนเชื่อมใน E และสับเซต

1V ของจุดยอดใน V ซ่ึง 1V มีสมาชิกอยางนอยเปนจุดปลายทัง้หมดของเสนเชื่อมใน 1E ดังนัน้

1 1 1( , , )H V E γ= เปนกราฟที่มี 1γ คือ γ ซ่ึงนิยามบนเสนเชื่อมใน 1E และ H เปนกราฟยอย(subgraph) ของ G เรามักใชกราฟยอยมาวิเคราะหคุณสมบัติตางๆ ของกราฟ ตัวอยาง 8 กําหนดกราฟ G ในรูป (8.1) กราฟยอยแตละแบบของกราฟ G แสดงในรูป (8.2) – (8.4)

รูป (8.1) กราฟ G รูป (8.2) กราฟยอยของ G รูป (8.3) กราฟยอยของ G รูป (8.4)

- ถา ( , , )G V E γ= เปนกราฟ และ e E∈ แลว eG เปนกราฟยอยท่ีไมมีเสนเชื่อม e จาก E แตยังมีจุดยอดเหมือนเดิมทั้งหมด ถา G เปนกราฟดงัรูป (8.1) และ { , }e a b= แลว eG เปนกราฟดังรูป (8.4)

- ถา ( , , )G V E γ= เปนกราฟ และ R เปนความสัมพันธสมมูลบนเซต V แลว quotient graph RG สรางจาก (i) กําหนดจุดยอด RG เปน equivalence classes ของ V ท่ีเกิดจาก R (ii) ถา [ ]v และ [ ]w เปน equivalence classes ของจุดยอด v และ w ของ G แลว จะมีเสนเชื่อม

ใน RG จาก [ ]v ไปยัง [ ]w ก็ตอเมื่อ จุดยอดบางจดุใน [ ]v เช่ือมโยงกับจุดยอดบางจุดใน [ ]w

a b

c d

i f

g h c d

i f

g h

c d

i f

g h

b a b

c d

i f

g h

คณิตศาสตรเต็มหนวย 6

อาจารยรตี โบจรัส

ในกราฟ G (อาจกลาววา เราสราง RG จากการรวมจุดยอดทุกจดุที่อยูใน class เดียวกันเปนจดุยอดเดยีวกัน)

ตัวอยาง 9 ให G เปนกราฟดังรูป (9.1) (ไมมีเสนเชื่อมซอน) และ R เปนความสัมพันธสมมูลบน V ท่ีมีผลแบงกั้น { }{ , , },{ , , },{ , , },{ , , }a m i b f j c g k d h l แลว RG แสดงในรูป (9.2) รูป (9.1) กราฟ G รูป (9.2) กราฟ RG ถา S เปนความสัมพันธสมมูลบน V ท่ีมีผลแบงกั้น { }{ , , , },{ , },{ , , },{ },{ },{ }i j k l a m f b c d g h แลวรูป (9.3) แสดง quotient graph SG รูป (9.3) กราฟ SG ถา e เปนเสนเชือ่มระหวางจุดยอด v และ w ในกราฟ ( , , )G V E γ= แลว เราพิจารณาความสัมพันธสมมูลท่ีมีผลแบงกั้น { , }v w และ { }iv สําหรับแตละ ,i iv v v w≠ ≠ นั่นคือ เรารวมจุดยอด v และ w และใหจุดยอดอื่นเปนจดุยอดเดียว จะได quotient graph eG ถา G เปนกราฟในรูป (9.1) และ { , }e i j= แลวรูป (9.4) แสดงกราฟ eG

รูป (9.4) กราฟ eG

[ ]a [ ]b

[ ]c [ ]d

[ ]a [ ]b

[ ]i

[ ]d [ ]h [ ]g

a b

c d

m f

g h

i

k

j

l

a b

c d

m f

g h

[ ]i

k l

คณิตศาสตรเต็มหนวย 7

อาจารยรตี โบจรัส

Exercise 8.1 In exercise 1-4 (Figure (i)-(iv)), give V, the set of vertices, and E, the set of edges, for the graph G=(V, E,γ ). 1. 2.

Figure (i) Figure (ii)

3. 4.

Figure (iii) Figure (iv) 5. Give two subgraphs with three vertices for the graph shown in Figure (iii). 6. Give three subgraphs with four vertices and four edges for the graph shown n Figure (iv). 7. Draw a picture of the graph G=(V, E,γ ), where { } { }1 2 3 4 5 6, , , , , , , , , , ,V a b c d e E e e e e e e= = and

( ) ( ) { } ( ) { } ( ) { }1 5 2 3, , , , , ,e e a c e a d e e cγ γ γ γ= = = = ( ) { }4 ,e b cγ = and

( ) { }6 ,e e dγ = . 8. Draw a picture of the graph G=(V, E,γ ), where

{ } { }1 2 9, , , , , , , , , , ... , ,V a b c d e f g h E e e e= = and

( ) { } ( ) { } ( ) { } ( ) { }1 2 3 4, , , , , , ,e a c e a b e d c e b dγ γ γ γ= = = = , ( ) { }5 , ,e e aγ =

( ) { }6 , ,e e dγ = ( ) { } ( ) { }7 8, , ,e f e e e gγ γ= = and ( ) { }9 ,e f gγ = . 9. Give the degree of each vertex in Figure (i). 10. Give the degree of each vertex in Figure (iii).

คณิตศาสตรเต็มหนวย 8

อาจารยรตี โบจรัส

11. List all paths that begin at a in Figure (ii). 12. List three circuits that begin at 5 in Figure (iv). 13. Draw the complete graph on seven vertices. 14. Consider nK , the complete graph on n vertices. What is the degree of each vertex? 15. Which of the graphs in Exercise 1 through 4 are regular? 16. Give an example of a graph on five vertices with exactly two components. For Exercise 17 -18, use the graph G in Figure (v).

Figure (v)

17. If R is the equivalence relation defined by the partition { } { } { }{ }, , , , ,a f e b d c , find the quotient

graph, RG . 18. If R is the equivalence relation defined by the partition { } { } { } { }{ }, , , , ,a b e d f c , find the

quotient graph, RG . 19. Let

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ 1,1 , 2, 2 , 3, 3 , 4, 4 , 5, 5 , 6, 6 , 7, 7 , 8, 8 , 9, 9 , 10,10 , 11,11 , 12,12 ,R = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )13,13 , 14,14 , 15,15 , 16,16 , 1,10 , 10,1 , 3,12 , 12, 3 , 5,14 , 14, 5 , 2,11 , 11, 2 ,

( ) ( )4,13 , 13, 4 , ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) }6,15 , 15, 6 , 7,16 , 16, 7 , 8, 9 , 9, 8 . Draw the quotient graph RG .

20. Let ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ 1,1 , 2, 2 , 3, 3 , 4, 4 , 5, 5 , 6, 6 , 7, 7 , 8, 8 , 9, 9 , 10,10 , 11,11 , 12,12 ,R =

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )13,13 , 14,14 , 15,15 , 16,16 , 1, 2 , 2,1 , 3, 4 , 4, 3 , 5, 6 , 6, 5 , 7, 8 , 8, 7 , 9,16 , 16, 9 ,

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) }10,11 , 11,10 , 12,13 , 13,12 , 14,15 , 15,14 . Draw the quotient graph RG .

a b

c d

e f

คณิตศาสตรเต็มหนวย 9

อาจารยรตี โบจรัส

8.2 วงจรและทางเดินออยเลอร (Euler Paths and circuits) - ทางเดินในกราฟ G จะเปนทางเดินออยเลอร (an Euler Path) ถาทางเดินนั้นประกอบดวยเสนเชื่อมทุกเสนในกราฟ G ท่ีผานเสนเชื่อมแตละเสนเพียงคร้ังเดียว - วงจรออยเลอร (an Euler circuit) คือ ทางเดินออยเลอรท่ีมีจุดเร่ิมตนและจุดปลายเปนจุดเดียวกนั ทางเดินออยเลอรและวงจรออยเลอรเกิดจากการแกปญหาสะพานโคนิกสเบอรก (the K onigsberg Bridge problem) ท่ีนักคณิตศาสตรชาวสวิส ช่ือ Leonhard Euler เปนผูพิสูจนคําตอบได ตัวอยาง1 ทางเดินออยเลอรจากรูป (1.1) คือ : , , , , ,E D B A C Dπ

วงจรออยเลอรจากรูป (1.2) คือ :5,3,2,1,3,4,5π

แตกราฟในรูป (1.3) ไมสามารถหาทางเดินออยเลอรได เพราะเหตใุด

รูป (1.3)

E

D

C

A

B

รูป (1.1)

2 4

3

1 5 รูป (1.2)

1

2

3

6

4

5

คณิตศาสตรเต็มหนวย 10

อาจารยรตี โบจรัส

การพิจารณากราฟ G วามีทางเดินออยเลอรหรือวงจรออยเลอรไดหรือไม จากตัวอยาง1 รูป(1.1) เสนเชื่อม { , }D E ตองถูกเลือกเปนเสนเร่ิมตนหรือสุดทาย เพราะไมมีวิธีอ่ืนใด

ท่ีจะเดนิทางไปยังจุด E หรือออกจากจดุ E แสดงวาถากราฟ G มีจุดยอดที่มีดกีรี 1 กราฟนั้นจะไมเปนวงจรออยเลอร และถามีทางเดินออยเลอรจะตองเร่ิมตนหรือส้ินสุดที่จุดยอดนี้ ทฤษฎีบท1 (a) ถากราฟ G มีจุดยอดซ่ึงมีดกีรีเปนจํานวนคี่ จะไมมีวงจรออยเลอรในกราฟ G (b) ถา G เปนกราฟเชื่อมโยงและจดุยอดทุกจุดมีดีกรีเปนจํานวนคู แลวจะมวีงจรออยเลอรใน

G พิสูจนดูจากเอกสารอางอิง [1] หนา 298-299 ทฤษฎีบท2 (a) ถากราฟ G มีจุดยอดมากกวาสองจุดที่มีดกีรีเปนจํานวนคี่ แลวจะไมมีทางเดิน

ออยเลอรใน G (b) ถา G เปนกราฟเชื่อมโยงและมีเพียงสองจุดยอดเทานั้นท่ีมีดกีรีเปนจํานวนคี่ แลวจะมี

ทางเดินออยเลอรใน G ทางเดนิออยเลอรใดๆ ใน G จะตองเร่ิมตนที่จุดยอดหนึ่งที่มีดีกรีเปนจํานวนคีแ่ละส้ินสุดที่อีกจุดยอดหนึ่งทีมี่ดีกรีเปนจํานวนคี ่

ตัวอยาง2 พิจารณากราฟรูป (2.1) - (2.3) รูป (2.1) แตละจุดยอดมีดีกรี 3 จากทฤษฎีบท1 และ 2 กราฟ (2.1) ไมมีท้ังทางเดินออยเลอรและวงจรออย

เลอร รูป (2.2) จุดยอดที่มีดีกรีเปนจํานวนคี่มีเพยีงสองจุด จากทฤษฎีบท2 (b) จะมีทางเดินออยเลอรในกราฟรูป

(2.2) แตไมมีวงจรออยเลอร

รูป (2.1) รูป (2.2) รูป (2.3)

6

7 1 5

8 9

4 2

10 3

เร่ิม

คณิตศาสตรเต็มหนวย 11

อาจารยรตี โบจรัส

รูป (2.3) จุดยอดทุกจุดมดีีกรีเปนจํานวนคู จากทฤษฎีบท1 (b) จะมีวงจรออยเลอรในกราฟนี ้ ตัวอยาง3 พิจารณาแผนผังในบานหลังหนึง่ที่มีจํานวน 3 หอง ( , , )A B C และมีประตู 10 ชองทาง

( , , ,..., )a b c j จะเปนไปไดหรือไมท่ีเร่ิมเดินทางจากหองใดหองหน่ึงหรือดานนอกบาน โดยตองผานประตูทุก

บานเพียงครั้งเดียว

วิธีทํา จากแผนผังเขียนเปนกราฟโดยใหหองและดานนอกบานแทนดวยจุดเสนเชื่อมแทนประตแูตละบาน พิจารณากราฟในรูป 3.2 จะมีทางเดินออยเลอรหรือไม จากทฤษฎีบท2 (b) จุดยอด D มีดีกรี 7 และจดุยอด C มีดีกรี 5 ซ่ึงเปนจุดยอดเพียงสองจดุที่มีดีกรีเปนจํานวนคี่ ดังนั้นกราฟรูป (3.2) จะมีทางเดินออยเลอร : , , , , , , , , ,V C D C A D A B D B Cπ และ : , , , , , , , , ,E i h f c a d b e g jπ

รูป (3.1)

รูป (3.2)

13

1 2 12

3

4

11 10 5

9

6 7 เร่ิม

ปลาย

คณิตศาสตรเต็มหนวย 12

อาจารยรตี โบจรัส

ทฤษฎีบท1 และ 2 เปนทฤษฎีบทที่แสดงวากราฟใดมีทางเดินออยเลอร, วงจรออยเลอรในที่นี้จะแสดงการสรางทางเดินออยเลอรและวงจรออยเลอร จากกราฟเชื่อมโยงท่ีไมมีจุดยอดใดมีดีกรีเปนจํานวนคี่ ถาลบเสนเช่ือมที่เปนสะพาน (a bridge) ในกราฟเชื่อมโยง G จะทําใหเปนกราฟไมเช่ือมโยง เชน Fleury’s algorithm (ข้ันตอนวิธีของฟรอยร่ี) ใชหาวงจรออยเลอรในกราฟ = γ( , , )G V E ท่ีเปนกราฟเชื่อมโยงและดีกรีของจุดยอดทุกจุดไมเปน

จํานวนคี ่1. เลือกจุดยอดเริม่ตน V ใดๆ ใน G 2. เลือกเสนเชื่อมจาก V ตามเสนเชื่อมของ G หามเลือก bridge จนกวาจะไมมีทางเลือกอ่ืน (bridge คือ

ดานของ G ท่ีเมื่อถูกลบออกจะทําให G เปนกราฟไมเช่ือมโยง) 3. ลบเสนเชื่อมที่ใชแลวและลบจุดยอดที่มีดีกรี 0 4. ทําซํ้าข้ันที่ 2 และ 3 จนใชเสนเชื่อมหมดทกุเสน

ตัวอยาง4 จงใช Fleury’s algorithm สรางวงจรออยเลอรของกราฟรูป (4.1)

- เลือกจุดยอด A เปนจุดเร่ิมตน (เลือกจดุใดเปนจุดเร่ิมตนได)

รูป (4.1)

คณิตศาสตรเต็มหนวย 13

อาจารยรตี โบจรัส

อยางไรก็ตามอาจสรางวงจรออยเลอรแบบอื่นได

คณิตศาสตรเต็มหนวย 14

อาจารยรตี โบจรัส

Exercise 8.2 In 1-8, determine whether the graph has an Euler circuit, an Euler path but no Euler circuit, or neither. Give reasons for your choice. 1. 2.

3. 4.

5. 6.

7. 8.

คณิตศาสตรเต็มหนวย 15

อาจารยรตี โบจรัส

In 9-10, determine whether it is possible to trace the figure without lifting the pencil. Explain the reasoning. 9. 10.

11. Use Fleury’s algorithm to produce an Euler circuit for the graph

12. Use Fleury’s algorithm to produce an Euler circuit for the graph

คณิตศาสตรเต็มหนวย 16

อาจารยรตี โบจรัส

8.3 วงจรและทางเดินแบบแฮมิลตัน ( Hamiltonian Paths and Circuits) - ทางเดินแบบแฮมิลตัน คือ ทางเดินที่ผานจุดยอดแตละจดุเพียงหนึ่งคร้ัง - วงจรแฮมิลตัน คือ วงจรทีผ่านจุดยอดแตละจุดเพยีงหนึง่คร้ัง ยกเวนท่ีจุดยอดเริ่มตนที่เปนจุดปลายดวย ช่ือทางเดินนี้เกิดจากการพฒันาเกมที่มีรูปรางเปนทรง 12 หนา (dodecahedron) ของนักคณิตศาสตรชาว Irish ช่ือ William Hamilton

รูปทรง 12 หนา ใน 3 มิติ และ 2 มิติ

- เราจะพิจารณาเฉพาะกราฟที่ไมมี loop และเสนเชื่อมขนาน (multiple edges) หาวงจรแบบแฮมลิตัน ตัวอยาง 1 พิจารณากราฟจากรูป(i) พบวา ทางเดิน a, b, c, d, e เปนทางเดินแบบแฮมลิตัน เพราะทางเดินนี้ผานจุดยอดแตละจุดเพยีงครัง้เดียว แตไมมีวงจรแบบแฮมลิตัน

รูป(i) กราฟรูป (ii) มีทางเดิน a, b, c, b, a เปนวงจรแบบแฮมิลตัน

a

b

c

d

e

a b

c d รูป (ii)

คณิตศาสตรเต็มหนวย 17

อาจารยรตี โบจรัส

กราฟรูป (iii) ไมมีทางเดินแบบแฮมิลตัน เพราะไมมีสะพาน (bridge)

กราฟรูป (iv) ไมมีทางเดินแบบแฮมิลตัน

ตัวอยาง 2 กราฟสมบูรณ (Complete graph) Kn ใดๆ มีวงจรแฮมิลตัน เชน

1

2

3 4

5

6 รูป (iii)

รูป (iv)

A B

C

D

E

K3 K4 K5

คณิตศาสตรเต็มหนวย 18

อาจารยรตี โบจรัส

- ถากราฟ G (ท่ีมีจุดยอด n จุด) มีวงจรแบบแฮมิลตันแลว G จะมีเสนเชื่อมอยางนอย n ดาน ทฤษฎีบท 1 ให G เปนกราฟเชื่อมโยงที่มีจุดยอด n จุด (n>2) และไมมี loop หรือเสนเชื่อมขนาน, G จะมีวงจรแฮมิลตัน ถาจุดยอดสองจุด u, v ใดๆของ G (ท่ีไมใชจุดยอดประชิดกัน) มีผลรวมดีกรีของจดุยอด u และจุดยอด v มากกวาหรือเทากบั n

“G จะมวีงจรแฮมิลตัน ถา deg(u)+deg(v) ≥ n” เมื่อ u, v ไมเปนจุดยอดประชิดกนั บทแทรก 1

G มีวงจรแฮมลิตัน ถาจุดยอดแตละจุดมีดกีรีมากกวาหรือเทากับ2n

ทฤษฎีบท 2

ถา G มีจํานวนเสนเชื่อม m เสน แลว G จะมวีงจรแฮมิลตัน ถา ( )21 3 62

m n n≥ − + เมื่อ n เปน

จํานวนจุดยอด ตัวอยาง 3 บทกลับของทฤษฎีบท 1 และ 2 ไมจริง พิจารณาจากกราฟ n คือ จํานวนจดุยอดของกราฟ เทากับ 8 ดีกรีแตละจุดยอด คือ 2 และ deg(u)+deg(v) = 4 สําหรับแตละจุดยอด u, v ท่ีไมเปนจดุยอดประชิดทุกคู และจํานวนเสนเชื่อม ท้ังหมด คือ 8 ดังนั้น จากทฤษฎีบท 1 และ 2, deg(u)+deg(v) ≥ n แตกราฟนี้มีวงจรแฮมิลตัน

B

A

C

D

E

F

G

H

คณิตศาสตรเต็มหนวย 19

อาจารยรตี โบจรัส

Exercise 8.3 In 1-6, determine whether the graph has a Hamiltonian circuit, a Hamiltonian path but no Hamiltonian circuit, or neither. If the graph has a Hamiltonian circuit, give the circuit.

1. 2.

3. 4.

5. 6.

7. Give two Hamiltonian circuits in 5K that have no edges in common. In exercise 8-11, find a Hamiltonian circuit for the graph given. 8. 9.

คณิตศาสตรเต็มหนวย 20

อาจารยรตี โบจรัส

10. 11.

In exercise 12-13, find a Hamiltonian circuit of minimal weight for the graph represented by the given figure. 12. Figure in exercise 9. 13. Figure in exercise 11. เอกสารอางอิง [1] Kolman, Busby amd Ross, Discrete Mathematical Structures, 5th Ed.,Prentice Hall , International, 2004.

[2] Kenneth H. Rosen, Discrete Mathematics and Its Applications, 4th Ed., McGraw-Hill, 1999.