Upload
others
View
4
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
www.facebook.com/orendatutor 1
@orendatutor
www.youtube.com/orendatutor
www.theorendatutor .com
ระบบจ ำนวนจรง เซตของจ ำนวนจรง
1. เซตของจ ำนวนนบ (Counting Number) หรอ จ ำนวนธรรมชำต (Natural Number) หรอเซตของจ ำวนเตมบวก (Positive Integers) เขยนแทนดวย N หรอ I+ คอ
2. เซตของจ ำนวนเตม เขยนแทนดวย I โดยท เซตของจ ำนวนเตมประกอบดวย 2.1 เซตของจ ำนวนเตมบวก (Positive Integers) หรอ จ ำนวนนบ 2.2 เซตของจ ำนวนเตมลบ (Negative Integers) เขยนแทนดวย I- คอ I-= [-
1,-2,-3, 2.3 เซตของจ ำนวนเตมศนย (Non-negative Integer) เปนจ ำนวนทไมเปนจ ำนวน
เตมลบหรอไมเปนจ ำนวนเตมบวก เขยนแทนดวย {0}
3. เซตของจ ำนวนตรรกยะ (Rational Number) หมำยถง จ ำนวนทเขยนใหอยในรปเศษสวนได โดยทงทเศษและสวนเปนจ ำนวนเตม และสวนไมเปนศนย เขยนแทนดวย
และ เปนจ ำนวนเตม และ
โดยทเซตของจ ำนวนตรรกยะประกอบดวย
3.1 จ ำนวนเตม เนองจำกจ ำนวนเตมใดๆ สำมำรถเขยนในรปเศษสวนของจ ำนวนเตมได
เสมอ เชน
- -
ฯลฯ
3.2 จ ำนวนทเปนเศษสวนของจ ำนวนเตม โดยทสวนไมเทำกบ 0 เชน -
ฯลฯ
www.facebook.com/orendatutor 2
@orendatutor
www.youtube.com/orendatutor
www.theorendatutor .com
3.3 จ ำนวนทเปนทศนยมจบ หรอ ทศนยมไมรจบแบบซ ำ
4. เซตของจ ำนวนอตรรกยะ (Irrational Number) หมำยถง จ ำนวนทไมสำมำรถเขยนเปนเศษสวนของจ ำนวนเตมโดยทตวสวนไมเทำกบศนย แตสำมำรถเขยนเปนทศนยมไมรจบแบบไมซ ำได กำรค ำนวณทเกยวของกบจ ำนวนอตรรกยะ จะใชคำประมำณเทำนน
Ex. √ √
5. เซตของจ ำนวนจรง (Real Numbers) คอเซตของจ ำนวนตรรกยะ ยเนยนกบเซตของจ ำนวนตรรกยะ เขยนดวย R นนคอ
{ | เปนจ ำนวนตรรยะ หรอ เปนจ ำนวนอตรรยะ
ดงนน สำมำรถสรปเซตของจ ำนวนจรงโดยใชแผนภมน เซตของจ ำนวนจรง
เซตของจ ำนวนอตรรกยะ เซตของจ ำนวนตรรกยะ
เซตของจ ำนวนเตม เซตของจ ำนวนเศษสวนทไมเปนจ ำนวนเตม
เซตของจ ำนวนเตมบวก เซตของจ ำนวนเตมศนย เซตของจ ำนวนเตมลบ
www.facebook.com/orendatutor 3
@orendatutor
www.youtube.com/orendatutor
www.theorendatutor .com
คณสมบตกำรเทำกนของจ ำนวนจรง 1. สมบตกำรสะทอน ถำ a ∊ R แลว a=a
2. สมบตกำรสมมำตร ถำ a=b แลว b=a
3. สมบตกำรถำยทอด ถำ a=b และ b=c แลว a=c
4. สมบตกำรบวกดวยจ ำนวนทเทำกน ถำ a=b แลว a+c=b+c
5. สมบตกำรคณดวยจ ำนวนทเทำกน ถำ a=b แลว ac=bc สมบตของระบบจ ำนวนจรง เมอก ำหนดให a,b,c เปนจ ำนวนจรงใดๆ กำรบวก กำรคณ
สมบตปด ถำ a,b∊R แลว a+b∊R ถำ a,b∊R แลว ab∊R
สมบตกำรสลบท a+b = b+a ab = ba
สมบตกำรเปลยนกลม (a+b)+c = a+(b+c) (ab)c = a(bc)
สมบตกำรมเอกลกษณ 0 เปนเอกลกษณกำรบวก
0+a = a = a+0
1 เปนเอกลกษณกำรคณ
1 a = a = a 1
สมบตกำรมอนเวอรส -a เปนอนเวอรสกำรบวกของ
(-a) + a = 0 = a + (-a)
เปนเอกลกษณกำรคณ
เมอ
สมบตกำรแจกแจง a(b+c) = ab+ac
www.facebook.com/orendatutor 4
@orendatutor
www.youtube.com/orendatutor
www.theorendatutor .com
สมบตกำรไมเทำกนของจ ำนวนจรง 1. สมบตกำรถำยทอด ถำ a>b และ b>c แลว a>c 2. สมบตบวกดวยจ ำนวนทเทำกน ถำ a>b และ a+c > b+c 3. สมบตกำรคณดวยจ ำนวนทเทำกน ถำ a>b และ c>0 แลว ac > bc
ถำ a>b และ c<0 แลว ac < bc 4. สมบตกำรตดออกส ำหรบกำรบวก ถำ a+c > b+c แลว a>b 5. สมบตกำรตดออกส ำหรบกำรคณ ถำ ac > bc และ c>0 แลว a>b ถำ ac > bc และ c < 0 แลว a<b สมบตไตรวภำค ก ำหนด a,b ∊ R ควำมสมพนธระหวำง a กบ b จะเกดขนเพยงกรณเดยวเทำนนใน 3 กรณตอไปน
1. a>b 2. a<b 3. a=b
www.facebook.com/orendatutor 5
@orendatutor
www.youtube.com/orendatutor
www.theorendatutor .com
ชวง
นยำม ก ำหนด a,b ∊ R และ a < b
ชวงจ ำกด
( ) { | a b
[ ] { | a b
( ] a b
[ ) a b
ชวงอนนต
(- ) a
(- ) a
( ) a
[ ) { | } a
(- ) { | ∊ } a
www.facebook.com/orendatutor 6
@orendatutor
www.youtube.com/orendatutor
www.theorendatutor .com
แบบฝกหด 1 1. จงเขยนเซตตอไปนในรปชวง และรปของเสนจ ำนวน
1) { ∊ - }
2) { ∊
}
3) { ∊ - และ } 4) { ∊ หรอ }
2. ก ำหนดให A=[-7,4] , B=[-3,8) , C=(-8,0] , D=(1,3) จงหำเซตในขอตอไปนในรปชวง 1) A∩B 2) A∪B 3) B∩D 4) C-D 5) A-C 6) B-A
www.facebook.com/orendatutor 7
@orendatutor
www.youtube.com/orendatutor
www.theorendatutor .com
สมกำร
สมกำรเชงเสนตวแปรเดยวทมก ำลงสอง 1. รปมำตรฐำน คอ ax2 + bx + c = 0
1.1 วธกำรแยกตวประกอบ
Ex. x2 – 3x -40 = 0
(x-8)(x+5) = 0
x=8, -5
Ex. จงหำคำ x จำกสมกำร
-
-
www.facebook.com/orendatutor 8
@orendatutor
www.youtube.com/orendatutor
www.theorendatutor .com
2. วธกำรท ำเปนก ำลงสองสมบรณ จำกสมกำร
(น ำส.ป.ส.หนำ x2 หำรตลอด);
(ยำยขำง
ไปทำงขวำ);
-
น ำ ส.ป.ส.ของ x มำหำรดวย 2 แลวยกก ำลงสองบวกทงสองขำง ;
[
]
[
]
[ ]
[ ] √
√
√
www.facebook.com/orendatutor 9
@orendatutor
www.youtube.com/orendatutor
www.theorendatutor .com
Ex. จงหำค ำตอบของสมกำร (3x-8)(x+5)=(5x-2)(x-2)
www.facebook.com/orendatutor 10
@orendatutor
www.youtube.com/orendatutor
www.theorendatutor .com
3. วธกำรใชสตร จำกสมกำร
- √ -
Ex. จงแกสมกำร 9x2 -12x -1 = 0
www.facebook.com/orendatutor 11
@orendatutor
www.youtube.com/orendatutor
www.theorendatutor .com
สมกำรเชงเสนตวแปรเดยวทมก ำลงมำกกวำสอง หำรสงเครำะห
Ex. x3 + x2 -10x + 8 = 0
www.facebook.com/orendatutor 12
@orendatutor
www.youtube.com/orendatutor
www.theorendatutor .com
แบบฝกหด 2 จงหำค ำตอบของสมกำร
1) ( ) -
2) -
www.facebook.com/orendatutor 13
@orendatutor
www.youtube.com/orendatutor
www.theorendatutor .com
สมกำร 2 ตวแปร ทมก ำลงเปนหนง 1. วธพชคณต : กำรก ำจดตวแปรตวใดตวหนงไปกอน โดยท ำ ส.ป.ส. หนำตวแปรให
เทำกน หรอใชวธแทนคำ โดยเลอกมำสมกำรหนง หำคำควแปรหนงไดแลวน ำไปแทนอกสมกำรหนง
Ex. จงแกสมกำร 5x-3y = 31
x+6y = 4
www.facebook.com/orendatutor 14
@orendatutor
www.youtube.com/orendatutor
www.theorendatutor .com
2. กฎกำรคณไขว : ท ำโดยยำยพจนทงหมดมำไวซำยมอ ใหขวำมอเปน 0 แลวล ำดบใหพจนทม x เปนพจนท 1 พจนทม y เปนพจนท 2 ตำมพจนอสระ
Ex.
ยกเอำ ส.ป.ส. ของ x,y และพจนอสระ พรอมเครองหมำยมำเขยนเรยงล ำดบ ดงน
ส.ป.ส. ของ y พจนอสระ ส.ป.ส.ของ x ส.ป.ส. y
b1 c1 a1 b1
b2 c2 a2 b2
จะไดสดสวน
-
-
-
Ex. จงแกสมกำร 3y – x = 6
3x + 5y – 38 = 0
www.facebook.com/orendatutor 15
@orendatutor
www.youtube.com/orendatutor
www.theorendatutor .com
3. วธ r m r’s rul จำกสมกำร
ให |
| -
ให |
| -
ให |
| -
จะได
Ex. จงแกสมกำร 2x + y = 1
3x - 2y = 4
www.facebook.com/orendatutor 16
@orendatutor
www.youtube.com/orendatutor
www.theorendatutor .com
สมกำร 2 ตวแปร และมก ำลงมำกกวำ 1 1. แทนคำ
Ex. จงแกสมกำร 2x-3y = 4
2x2 -3xy -2y2 = 12
www.facebook.com/orendatutor 17
@orendatutor
www.youtube.com/orendatutor
www.theorendatutor .com
2. ใชวธก ำลงสองสมบรณ หรอ ก ำลงสำมสมบรณ สตรกำรแยกตวประกอบ
ก ำลงสองสมบรณ
(น+ล)2 = น2+2นล+ล2
(น-ล)2 = น2-2นล+ล2
ผลตำงก ำลงสอง
น2+ล2 = (น+ล)(น-ล)
ก ำลงสำมสมบรณ
(น+ล)3 = น3+3น2ล+3นล2+ล3
(น-ล)3 = น3-3น2ล+3นล2-ล3
ผลตำงก ำลงสำม
น3+ล3 = (น+ล)(น2-นล+ล2)
น3-ล3 = (น-ล)(น2+นล+ล2)
www.facebook.com/orendatutor 18
@orendatutor
www.youtube.com/orendatutor
www.theorendatutor .com
Ex. จงแกสมกำร x2 + y2 = 73
xy = 24
www.facebook.com/orendatutor 19
@orendatutor
www.youtube.com/orendatutor
www.theorendatutor .com
3. ถำสมกำร 2 สมกำรทก ำหนดมำใหมตวประกอบรวมกนอยใหใชวธหำร
Ex. จงแกสมกำร - -
www.facebook.com/orendatutor 20
@orendatutor
www.youtube.com/orendatutor
www.theorendatutor .com
สมกำร 3 ตวแปรทมก ำลงเปนหนง 1. ใชวธพชคณต
Ex. จงแกสมกำร 7x + 5y -7z = -8 4x+ 2y - 3z = 0 5x -4y + 4z = 35
www.facebook.com/orendatutor 21
@orendatutor
www.youtube.com/orendatutor
www.theorendatutor .com
2. กฎกำรคณไขว สมกำรตองอยในรป (1)
(2)
(3)
เรยง ส ป ส ของ ดงน ส.ป.ส. ของ y ส.ป.ส.ของ z ส.ป.ส.ของ x ส.ป.ส. y
b1 c1 a1 b1
b2 c2 a2 b2
จะไดสดสวน
-
-
- คำคงท
แลวน ำรำกของสมกำรทไดแทนใน (3) เพอตรวจค ำตอบ
Ex. จงแกสมกำร 4x – 7y – 5z = 0
2x + y – z = 0
x – y – z = 0
www.facebook.com/orendatutor 22
@orendatutor
www.youtube.com/orendatutor
www.theorendatutor .com
3. วธ Cr m r’s rul จำกสมกำร
ให |
|
ให |
|
ให |
|
ให |
|
จะได
www.facebook.com/orendatutor 23
@orendatutor
www.youtube.com/orendatutor
www.theorendatutor .com
Ex. จงแกสมกำร 7x + 5y -7z = -8 4x + 2y – 3z = 0 5x – 4y + 4z = 35
www.facebook.com/orendatutor 24
@orendatutor
www.youtube.com/orendatutor
www.theorendatutor .com
อสมกำรอยำงงำย 1. จงแกอสมกำร
1)
2) ( )( - )( )
( - )( - )
www.facebook.com/orendatutor 25
@orendatutor
www.youtube.com/orendatutor
www.theorendatutor .com
3)
-
4) ( ) ( ) ( )
www.facebook.com/orendatutor 26
@orendatutor
www.youtube.com/orendatutor
www.theorendatutor .com
อสมกำรอยำงยำก
คำสมบรณ
นยำม ถำ x เปนจ ำนวนจรงใดๆ คำสมบรณ x เขยนแทนดวยสญลกษณ |x| โดยมควำมหมำย
ดงน | | { - }
สมบตของคำสมบรณ เมอ x, y เปนจ ำนวนจรง
1. | | |- | 2. | | | || |
3. |
| | |
| | เมอ
4. | - | | - | 5. | | 6. | | | | | | 7. | - | | |-| |
8. √ | | 9. เมอ a เปนจ ำนวนจรงบวกใดๆ
| | หมำยถง
| | หมำยถง 10. เมอ a เปนจ ำนวนจรงบวกใดๆ
| | หมำยถง หรอ
| | หมำยถง หรอ
www.facebook.com/orendatutor 27
@orendatutor
www.youtube.com/orendatutor
www.theorendatutor .com
11. ถำ แลว | | | | 12. ถำ แลว | | | | 13. ถำ | | | | แลว
14. เมอ a เปนจ ำนวนจรงแลว -| | | |
www.facebook.com/orendatutor 28
@orendatutor
www.youtube.com/orendatutor
www.theorendatutor .com
แบบฝกหด 3
1. จงหำเซตค ำตอบของอสมกำร
1) |
|
2) | - | | |
www.facebook.com/orendatutor 29
@orendatutor
www.youtube.com/orendatutor
www.theorendatutor .com
2. จงหำเซตค ำตอบของอสมกำร
1) | - |
- -
2) | |
| |