เล่มท่ · 2018-06-27 · เล่มที่ 4 ล าดับเรขาคณิต ... ละคนได้รับจากการท าแบบทดสอบแต่ละเล่มมาหาค่าเฉลี่ย

แบบฝกทกษะคณตศาสตร เรอง ล าดบอนนตและอนกรมอนนต เลมท 5 ลมตของล ำดบ


2

ค าน า แบบฝกทกษะคณตศาสตร เรอง ล าดบอนนตและอนกรมอนนต ชนมธยมศกษาปท 6 เลมน จดท าขนตามหลกสตรแกนกลางการศกษาขนพนฐาน พทธศกราช 2551 กลมสาระการเรยนรคณตศาสตร ใชประกอบการจดกจกรรมการเรยนรควบคกบแผนการจดการเรยนรแบบกลมรวมมอเทคนค TAI เปนการเรยนทผสมผสานระหวางการจดการเรยนรแบบรวมมอ (Cooperative Learning) และการสอนรายบคคล (Individualization Instruction) เขาดวยกน โดยใหผเรยนไดลงมอท ากจกรรมในการเรยนไดดวยตนเอง ตามความสามารถของตน และสงเสรมความรวมมอภายในกลม มการแลกเปลยน ประสบการณการเรยนรและปฏสมพนธทางสงคม สมาชกในกลมประกอบดวยนกเรยนเกง ปานกลางและออน ใหนกเรยนศกษาแบบฝกทกษะทละเลม ตามล าดบของสาระทก าหนดไว ซงมทงหมด 8 เลม ประกอบดวย เลมท 1 ความหมายของล าดบ เลมท 2 รปแบบการก าหนดล าดบ เลมท 3 ล าดบเลขคณต

เลมท 4 ล าดบเรขาคณต เลมท 5 ลมตของล าดบ เลมท 6 อนกรมอนนต เลมท 7 ผลบวกของอนกรมอนนต เลมท 8 สญลกษณแทนการบวก

ผจดท าหวงเปนอยางยงวา แบบฝกทกษะคณตศาสตรเลมน จะชวยใหผเรยนมผลสมฤทธทางการเรยนทสงขน มเจตคตทดตอการเรยนวชาคณตศาสตร และจะเปนเครองมอทใชพฒนาผเรยนใหมผลการเรยนทกาวหนายง ๆ ขนไป ตลอดจนเปนแนวทางในการจดท าสอ/นวตกรรมแกครผสอนวชาคณตศาสตรและผสนใจทวไปทจะน าไปประยกตใชไดตามสมควร

อบล ชรตน



3

สารบญ

เรอง

หนา

ค าน า…………………………………………….…………………………...………..…………………………………………….. ก สารบญ……………………………………………………………………………………………………………………………….. ข ค าชแจงการใชแบบฝกทกษะคณตศาสตร……………….………….…………..……………………………….……… ค ค าแนะน าส าหรบคร............................................................................................................................ ง ค าแนะน าส าหรบนกเรยน…….…………..………….……………………………………………………………………….. สาระ มาตรฐานและตวชวดชวงชน.......................................................................................................... จดประสงคการเรยนร....................................................................................................................... .

จ ฉ 1

แบบทดสอบกอนเรยน………………………………………………….…………….….…………………………………... 2 ใบความรท 1…..……………………………………..………………...…………….…………………………………………. ใบความรท 2…..………………………………..………….………...…………….…………………………………………... แบบสรปเนอหา……………………………………………………………….………………........................................ แบบฝกทกษะท 1.1………………………………………………………………….…………………………………………. แบบฝกทกษะท 1.2……………………………………………………………….……………………………………………. แบบทดสอบหลงเรยนฉบบ A……………………………………….……..………..……………………………………… แบบทดสอบหลงเรยนฉบบ B ……………………………………….……..………..…………………………………….. เฉลยแบบทดสอบกอนเรยน...........………………………………………………………………………………………... เฉลยแบบสรปเนอหา………………………………………..…………………………………………………………………. เฉลยแบบฝกทกษะท 1.1……………………………………………………………………………………………………… เฉลยแบบฝกทกษะท 1.2…………………………………………………………………………………………………….. เฉลยแบบทดสอบหลงเรยนฉบบ A……………………………………….……..………..……………………………… เฉลยแบบทดสอบหลงเรยนฉบบ B……………………………………….……..………..……………………………… ตารางบนทกคะแนน...........................................................................................................................

5 10 18 20 23 25 28 31 31 33 36 38 38 39

บรรณานกรม……….…….………..…………..………………………….….…..……………………………………………… 40



4

แบบฝกทกษะคณตศาสตร เรอง ล าดบอนนตและอนกรมอนนต ชนมธยมศกษาปท 6 เลมท 5 ลมตของล าดบ ใชประกอบการจดการเรยนรแบบกลมรวมมอเทคนค TAI (Team Assisted Individualization) ในรายวชาคณตศาสตรเพมเตม รหสวชา ค33202 ไดจดสรางขนโดยก าหนดสาระการเรยนรตามหลกสตรการศกษาขนพนฐาน พทธศกราช 2551 ซงนกเรยนสามารถศกษาเนอหาและประเมนผลการเรยนไดดวยตนเองตามขนตอนทก าหนดไว มการเสรมแรงแกนกเรยนเปนระยะโดยใชคะแนนของกลมและความส าเรจของกลม ซงแบบฝกทกษะคณตศาสตร มทงหมด 8 เลม แตละเลมจะเสนอเนอหาและตวอยางทละเลกทละนอย ทละแบบฝกทกษะ มค าถามใหนกเรยนไดคดและท ากจกรรมหรอตอบค าถาม นกเรยนสามารถรบร ไ ด ดวย ตนเองตามความสามารถของแตละบคคล โดยมล าดบดงน

1. จดประสงคการเรยนร 2. ค าแนะน าในการใชแบบฝกทกษะคณตศาสตร 3. แบบทดสอบกอนเรยน 4. ใบความร/เนอหาสาระ 5. แบบสรปเนอหา 6. แบบฝกทกษะ 7. แบบทดสอบหลงเรยน ผจดกจกรรมควรใชแบบฝกทกษะคณตศาสตร ควบคกบแผนการจดการเรยนร

แบบกลมรวมมอเทคนค TAI (Team Assisted Individualization) โดยใหนกเรยนไดศกษา ท าความเขาใจเนอหา สรปเนอหา และท าแบบทดสอบทงกอนเรยนและหลงเรยนเพอประเมนและพฒนา การจดกจกรรมใหบรรลวตถประสงคของหลกสตรตอไป



5

เมอครผสอนไดน าแบบฝกทกษะคณตศาสตรชดนไปใชในการจดกจกรรมการเรยนการสอน ควรปฏบตดงน 1. ศกษาแบบฝกทกษะคณตศาสตรใหเขาใจกอนน าไปจดกจกรรมการเรยนการสอน 2. ควรใชคกบแผนการจดการเรยนรแบบกลมรวมมอเทคนค TAI 3. ชแจงขนตอนการท ากจกรรมโดยใชแบบฝกทกษะคณตศาสตรนใหนกเรยนเขาใจ 4. ทดสอบความรกอนเรยนของนกเรยนโดยใชแบบทดสอบกอนเรยน เพอวดความรพนฐาน ของนกเรยนแตละคน 5. ใหนกเรยนศกษาใบความรและตวอยางแลวสรปเนอหาพรอมท าแบบฝกทกษะ ขณะปฏบตกจกรรมควรดแลนกเรยนอยางใกลชด 6. ใหนกเรยนชวยเหลอกนภายในกลม และซกถามเนอหาทยงไมเขาใจ ครอธบายเพมเตม 7. เมอนกเรยนสรปเนอหาและท าแบบฝกทกษะเสรจเรยบรอยแลว ใหหวหนากลมรวบรวม สงครผสอน เพอตรวจสอบความรและกระบวนการทางคณตศาสตร แจงผลใหนกเรยนทราบในชวโมงตอไป 8. ทดสอบความรหลงเรยนของนกเรยน โดยใชแบบทดสอบหลงเรยน เพอน ามาประเมนผลความกาวหนาและน ามาเฉลยเปนคะแนนกลม 9. คะแนนกลมและความส าเรจของกลมในขนสดทาย ครผสอนรวบรวมคะแนนกลมซงไดจากคะแนนทสมาชกแตละคนไดรบจากการท าแบบทดสอบแตละเลมมาหาคาเฉลยของกลมโดยกลมทไดคะแนนสงสด 3 กลมแรกจะไดรบใบประกาศเกยรตคณและถงผาใสของคนละ 1 ถง ดงน กลมทไดคะแนนสงเปนอนดบท 1 จะเปน “Super team” คอ กลมยอดเยยม กลมทไดคะแนนสงเปนอนดบท 2 จะเปน “Great team” คอ กลมเกงมาก กลมทไดคะแนนสงเปนอนดบท 3 จะเปน “Good team” คอ กลมเกง 10. การศกษาแบบฝกทกษะคณตศาสตรเลมนจะไมบรรลผลส าเรจ ถานกเรยนขาดความมวนยในการเรยนและความซอสตยในการท าแบบฝกทกษะคณตศาสตร



6

แบบฝกทกษะคณตศาสตร เรอง ล าดบอนนตและอนกรมอนนต ชนมธยมศกษาปท 6 เลมท 5 ลมตของล าดบ ใชประกอบการจดการเรยนรแบบกลมรวมมอเทคนค TAI (Team Assisted Individualization) นกเรยนควรปฏบต ดงน 1. นกเรยนแบงกลม ๆ ละ 4 - 5 คน ประกอบดวย นกเรยนเกง ปานกลาง และออน สมาชกแตละกลมท าการจบคกนเพอตรวจสอบซงกนและกน 2. ศกษาจดประสงคการเรยนร สาระส าคญของการเรยนใหเขาใจ 3. ท าแบบทดสอบกอนเรยน เปนขอสอบปรนยชนดเลอกตอบ จ านวน 10 ขอ ใชเวลา 15 นาท คะแนน 10 คะแนน เสรจแลวตรวจค าตอบจากเฉลยทายเลมดวยตนเอง โดยครคอยก ากบ แนะน าการตรวจ ใหชดเจน ถกตองตรงตามเฉลย นกเรยนตองมความซอสตยตอตนเอง หามเปดดเฉลยกอนท าแบบทดสอบกอนเรยน นกเรยนบนทกคะแนนลงในตารางบนทกคะแนน หากมขอสงสยใหขอค าแนะน าจากครผสอน 4. ศกษาใบความร ตวอยาง แลวสรปเนอหาและท าแบบฝกทกษะตามล าดบขนตอนทครชแจง 5. เมอสรปเนอหาและท าแบบฝกทกษะในแตละหวขอทก าหนดเสรจแลว ใหหวหนากลมรวบรวมสงคร เพอตรวจใหคะแนนตามเกณฑการประเมน บนทกและแจงผลใหนกเรยนทราบในชวโมงตอไป ถาพบวานกเรยนไมผานเรองใด กลมจะตองชวยกนอธบายใหเขาใจ ถายงไมเขาใจใหขอค าอธบายเพมเตมจากคร 6. เมอนกเรยนทงกลมท ากจกรรมตามขอ 4 และขอ 5 ครบถวนและถกตองแลวใหนกเรยน ท าแบบทดสอบหลงเรยนฉบบ A เสรจแลวใหหวหนากลมเปนผตรวจค าตอบตามเฉลยทายเลม โดยครคอยก ากบการตรวจใหถกตองตรงตามเฉลย ถาไมผานรอยละ 70 ใหสมาชกในกลมชวยกนอธบายแกไขขอบกพรองแลวจงท าแบบทดสอบหลงเรยนฉบบ B จนผานรอยละ 70 7. เมอนกเรยนท าแบบทดสอบหลงเรยนเสรจแลว ใหหวหนากลมบนทกคะแนนลงในแผนสรปผลประจ ากลมและน าคะแนนไปเปรยบเทยบกบคะแนนฐานของแตละบคคลและของแตละกลมตอไป 8. คะแนนกลมและความส าเรจของกลมในขนสดทาย ครผสอนจะรวบรวมคะแนนกลมซงไดจากคะแนนทสมาชกแตละคนไดรบจากการท าแบบทดสอบแตละเลมมาหาคาเฉลยของกลม โดยกลมทไดคะแนนสงสด 3 กลมแรกจะไดรบใบประกาศเกยรตคณและถงผาใสของคนละ 1 ถง ดงน



7

กลมทไดคะแนนสงเปนอนดบท 1 จะเปน “Super team” คอ กลมยอดเยยม กลมทไดคะแนนสงเปนอนดบท 2 จะเปน “Great team” คอ กลมเกงมาก กลมทไดคะแนนสงเปนอนดบท 3 จะเปน “Good team” คอ กลมเกง 9. การศกษาแบบฝกทกษะคณตศาสตรเลมนจะไมบรรลผลส าเรจ ถานกเรยนขาดความมวนย ในการเรยนและความซอสตยในการท าแบบฝกทกษะคณตศาสตร



8

สาระท 4 พชคณต มาตรฐานการเรยนร ค 4.1 : เขาใจและวเคราะหแบบรป (pattern) ความสมพนธ และฟงกชน ตวชวดชวงชน ค 4.1ม.4-6/3 มความคดรวบยอดเกยวกบ ความสมพนธและฟงกชน เขยนแสดง ความสมพนธและฟงกชนในรปตาง ๆ เชน ตาราง กราฟ และสมการ สาระท 6 : ทกษะและกระบวนการทางคณตศาสตร มาตรฐานการเรยนร ค 6.1 : มความสามารถในการแกปญหา การใหเหตผล การสอสาร การสอความหมายทางคณตศาสตร และการน าเสนอ การเชอมโยงความรตาง ๆ ทางคณตศาสตรและเชอมโยงคณตศาสตร กบศาสตรอน ๆ และมความคดรเรมสรางสรรค ตวชวดชวงชน ค 6.1 ม.4-6/1 ใชวธการทหลากหลายแกปญหา ค 6.1 ม.4-6/2 ใชความร ทกษะและกระบวนการทางคณตศาสตร และเทคโนโลย ในการแกปญหาในสถานการณตาง ๆ ไดอยางเหมาะสม ค 6.1 ม.4-6/3 ใหเหตผลประกอบการตดสนใจ และสรปผลไดอยางเหมาะสม ค 6.1 ม.4-6/4 ใชภาษาและสญลกษณทางคณตศาสตรในการสอสาร การสอความหมาย และการน าเสนอไดอยางถกตองและชดเจน ค 6.1 ม.4-6/5 เชอมโยงความรตาง ๆ ในคณตศาสตร และน าความร หลกการ กระบวนการทางคณตศาสตรไปเชอมโยงกบศาสตรอน ๆ ค 6.1 ม.4-6/6 มความคดรเรมสรางสรรค

สาระ มาตรฐานการเรยนร และตวชวดชวงชน



9

แบบฝกทกษะคณตศาสตร เลมท 5

เรอง ลมตของล าดบ

สาระส าคญ

ล าดบอนนต เมอ n มคามากขนโดยไมมทสนสด และพจนท n มคาเขาใกลหรอเทากบจ านวนจรง L เพยงจ านวนเดยวเทานน เรยก L วา ลมตของล าดบ (limit of a sequence) และ

กลาววา ล าดบนนมลมตเทากบ L เขยนแทนดวย nxlim a

= L

จดประสงคการเรยนร นกเรยนสามารถ

1. หาลมตของล าดบอนนต โดยการพจารณาจากกราฟได 2. หาลมตอนนต โดยอาศยทฤษฎบทเกยวกบลมตได 3. บอกล าดบอนนตทเปนล าดบลเขาหรอลออกได

ค าแนะน าในการใชแบบฝกทกษะ

ใหนกเรยนปฏบตตามขนตอน ดงน 1. ท าแบบทดสอบกอนเรยน เสรจแลวตรวจค าตอบจากเฉลยทายเลมดวยตนเอง 2. ศกษาบทนยาม ทฤษฎ หลกการทเกยวของ พรอมศกษาตวอยางจากใบความร แลวอภปรายภายในกลมเพอสรางความเขาใจ หากมขอสงสยใหสอบถามเพอนสมาชกในกลม 3. สรปเนอหาและท าแบบฝกทกษะดวยตนเองอยางตงใจ หากมขอสงสยใหปรกษาเพอน ในกลม หามเปดดเฉลยทายเลม นกเรยนตองมความซอสตยตอตนเอง เมอท าเสรจแลวหวหนากลมรวบรวมสงครเพอตรวจสอบ บนทกผลและแจงผลตอไป 4. เมอท าแบบฝกทกษะเสรจเรยบรอยแลว ใหท าแบบทดสอบหลงเรยนฉบบ A ดวยตนเอง เสรจแลวใหหวหนากลมตรวจค าตอบตามเฉลยทายเลม แลวบนทกคะแนนลงในแบบบนทกคะแนน เพอเกบคะแนนสะสมเปนคะแนนกลม ถาสมาชกในกลมคนใดไมผานเกณฑรอยละ 70 ตองกลบไปศกษาเนอหาอกครงและท าแบบทดสอบคขนานฉบบ B จนกวาจะผาน 5. สมาชกในกลมรวมกนสรปเนอหา โดยครเปนผคอยแนะน าและเพมเตมความรในเนอหา ใหสมบรณยงขน



10

แบบทดสอบกอนเรยน เรอง ลมตของล าดบ

ค าชแจง 1. ใหนกเรยนเลอกค าตอบทถกตองทสดเพยงขอเดยวจากตวเลอก ก, ข, ค หรอ ง แลวเขยนเครองหมาย X ลงใน ( ) ของกระดาษค าตอบ 2. แบบทดสอบเปนแบบปรนยชนดเลอกตอบจ านวน 10 ขอ คะแนนเตม 10 คะแนน ใชเวลา 15 นาท

ขอ 1. ล าดบในขอใดเปนล าดบลเขา

ก. n

n3

a2

ข. n 101

an

ค. nna 3 ง.

n

n

5a

3

ขอ 2. ล าดบในขอใดเปนล าดบลออก

ก. n

7a

n 1

ข.

5

n

3na

5

ค. n

n

1 1a

n

ง. n 3

9a

n

ขอ3. กราฟของล าดบในขอใดเปนล าดบลออก ก. ข.

ค. ง.

ขอ4. จงหาลมตของล าดบ n 3

2a 5

n

ก. 7 ข. 5 ค. 2 ง. 0

ขอ 5.จงหาลมตของล าดบ

2

n 29 3n 5n

b3n 4

ก. 5

3 ข. 5

3

ค. 3 ง. 0

an

n

n

n

n

an

an

an



11

ขอ 6. จงหาลมตของล าดบ

3 3

n 227n 3n

C4n 2

ก. 0 ข. 3

4

ค. 2

3 ง. หาคาไมได


n 1

n n 1 n 15 3n 1

a3 5

ก. 3 ข. 5 ค. 15 ง. 25

ขอ 8. จงหาลมตของล าดบ5

n 44n 2n 1

b6 5n

ก. 4

5 ข. 4

5

ค. 0 ง. หาคาไมได

ขอ 9. จงหาลมตของล าดบ 2

4n 2

64n 3nb

4n

ก. 1 ข. 2 ค. 3 ง. 4 ขอ 10. จงหาลมตของล าดบ

n25n 9

a4n 25n

ก. 0 ข. 8

7

ค. 5

7 ง.

5

2



12

เลมท 5 เรอง ลมตของล าดบ ชอ-สกล ชน ม.6/ เลขท .

ขอ ก ข ค ง

1

2

3

4

5

6

8

9

10

กระดาษค าตอบ ทดสอบกอนเรยน

ท าแบบทดสอบกอนเรยนแลวศกษาเนอหากน



13

ใบความรท 1

เรอง ลมตของล าดบ โดยการพจารณาจากกราฟ

จดประสงคการเรยนร

1. นกเรยนสามารถหาลมตของล าดบอนนต โดยการพจารณาจากกราฟได 2. นกเรยนสามารถหาลมตของล าดบอนนต โดยอาศยทฤษฎบทเกยวกบลมตได 3. นกเรยนสามารถบอกล าดบอนนตทเปนล าดบลเขาและล าดบลออกได

สาระส าคญ ล าดบอนนต เมอ n มคามากขนโดยไมมทสนสด และพจนท n มคาเขาใกลหรอเทากบจ านวนจรง L เพยงจ านวนเดยวเทานน เรยก L วา ลมตของล าดบ (limit of a sequence) และ

กลาววา ล าดบนนมลมตเทากบ L เขยนแทนดวย nxlim a

= L

ลมตของล าดบ พจารณาล าดบอนนต an เมอ n มคามากขนโดยไมมทสนสด และพจนท n มคาเขาใกลหรอเทากบจ านวนจรง L เพยงจ านวนเดยวเทานน เรยก L วา ลมตของล าดบ (limit of a

sequence) และกลาววา ล าดบนนมลมตเทากบ L เขยนแทนดวย nxlim a

= L

ล าดบอนนตทมลมต เรยกวา ล าดบลเขา (Convergent Sequence) สวนล าดบอนนตทไมมลมต เรยกวา (Divergent Sequence)



14

พจารณาล าดบ an = n1

2

n 1 2 3 4 5 6 7 …. an 1

2

1

1

1

1

1

2

1

1

12 ….

รปท 1 จากกราฟรปท 1 จะเหนวา เมอ n มคามากขนโดยไมมทสนสดแลว an มคาลดลงเขาใกล

0 แตไมเทากบ 0 จงกลาววาล าดบ an = n1

2 มลมตเทากบ 0 หรอ n

xlim a 0

และ an เปน

ล าดบลเขา พจารณาล าดบ bn = 2n -1

n 1 2 3 4 5 6 7 …. bn 1 3 5 7 9 11 13 ….

n

an

n

an

รปท 2



15

จากกราฟรปท 2 จะเหนวา เมอ n มคามากขนโดยไมมทสนสดแลว bn ไมเขาใกลหรอเทากบจ านวนใดจ านวนหนงเลย จงกลาวไดวาล าดบ bn = 2n -1 ไมมลมต หรอ n

xlim b

หาคาไมได

และ bn เปนล าดบลออก

พจารณาล าดบ Cn = n 11

n 1 2 3 4 5 6 7 …. cn 1 -1

1

-1

1

-1

1 ….

จากกราฟรปท 3 จะเหนวา เมอ n มคามากขนโดยไมมทสนสดแลว Cn ไมเขาใกลหรอเทากบจ านวน

ใดจ านวนหนงเลย จงกลาวไดวาล าดบ Cn = n 11 ไมมลมต หรอ

nxlim C หาคาไมได และ

Cn เปนล าดบลออก จากตวอยางท 3 เราจะเรยกล าดบลออกทมลกษณะของกราฟขนและลงสลบกนโดยไมเขาใกลหรอเทากบจ านวนใดจ านวนหนงเชนนวา ล าดบแกวงกวด (Oscillating sequence )

พจารณาล าดบ an =

n1

1n

n 1 2 3 4 5 6 7 …. an 0 3

2

2

3

5

4

4

5

7

6

6

7 ….

n

an

รปท 3



16

จากกราฟรปท 4 จะเหนวา เมอ an มคากวดแกวงแตลดลงเขาใกล 1 เมอ n มคามากทสดโดยไมมท

สนสดแลว จงกลาวไดวาล าดบ an =

n( 1)

1n

มลมต หรอ

nxlim a = 1 และ an เปนล าดบล

เขา

สรป

พจารณาลมตของล าดบ (Limit of sequence ) ไดดงน 1. ล าดบทจะน ามาพจารณาลมตนนตองเปนล าดบอนนต 2. ถากลาววา L เปนลมตของล าดบทมพจนท n เปน an หมายถง เมอ n มากกขนโดยไมมท

สนสด พจนท n ของล าดบจ าเขาใกลหรอเทากบจ านวนจรง L ( อานวา ลมตของล าดบ an เมอ n มากขนโดยไมมทสนสด เทากบ L )

3. ล าดบอนนตทมลมตเรยนวา ล าดบลเขาสวนล าดบอนนตทไมมลมตเรยกวา ล าดบลออก 4. การพจารณาวาล าดบใดจะมลมตหรอไมนน อาจท าไดโดยการพจารณาจากกราฟของล าดบ

เมอ n มากขน โดยไมมทสนสดเปนล าดบอนนต เมอ n มคามากขนโดยไมมท สนสด

n

an

รปท 4



17

ใบความรท 2

เรอง ลมตของล าดบ โดยอาศยทฤษฎบทเกยวกบลมต

จดประสงคการเรยนร

1. นกเรยนสามารถหาลมตของล าดบอนนต โดยการพจารณาจากกราฟได 2. นกเรยนสามารถหาลมตของล าดบอนนต โดยอาศยทฤษฎบทเกยวกบลมตได 3. นกเรยนสามารถบอกล าดบอนนตทเปนล าดบลเขาและล าดบลออกได

สาระส าคญ ล าดบอนนต เมอ n มคามากขนโดยไมมทสนสด และพจนท n มคาเขาใกลหรอเทากบจ านวนจรง L เพยงจ านวนเดยวเทานน เรยก L วา ลมตของล าดบ (limit of a sequence) และ

กลาววา ล าดบนนมลมตเทากบ L เขยนแทนดวย

nxlim a L

ลมตของล าดบ พจารณาล าดบอนนต an เมอ n มคามากขนโดยไมมทสนสด และพจนท n มคาเขาใกลหรอเทากบจ านวนจรง L เพยงจ านวนเดยวเทานน เรยก L วา ลมตของล าดบ (limit of a

sequence) และกลาววา ล าดบนนมลมตเทากบ L เขยนแทนดวย

nxlim a L

ล าดบอนนตทมลมต เรยกวา ล าดบลเขา (convergent Sequence) สวนล าดบอนนตทไมมลมต เรยกวา (divergent Sequence)



18

เรอง ลมตของล าดบ โดยอาศยทฤษฎบทเกยวกบลมต จากการหาลมตของล าดบโดยพจารณาจากกราฟ นกเรยนจะเหนวาคอนขางยงยากเพราะตองแทนคาและน าไปลงกราฟ ซงอาจจะตองแทนคาหลายพจนเพอดแนวโนมของกราฟหาคาลมต แตตอไปนจะเปนการหารลมตของล าดบโดยอาศยทฤษฎบทเกยวกบลมตดงน

ให r เปนจ านวนจรงบวกใดๆ จะไดวา

rx

1lim 0

n และ nr หาคาไมได

จงหาคาลมตของล าดบ n 7

1a

n จากทฤษฎบทท 1 จะได

7x

1lim 0

n

จงหาคาลมตของล าดบ 10na n จากทฤษฎบทท 1 จะได

10

xlim n หาคาไมได

จงหาคาลมตของล าดบ

n 3

1a

n 2n 10 จากทฤษฎบทท 1

จะได

3x

1

n 2nl m

1i 0

ให r เปนจ านวนจรง

- ถา r < 1 แลว

n

xlim r 0

- ถา r > 1 แลว

n

xlim r หาคาไมได

จงหาลมตของล าดบ an = 5n เนองจาก 5 = 5 >1 จากทฤษฎบทท 2 จะไดวา

n

xlim 5 หาคาไมได

จงหาลมตของล าดบ an =

n3

5 เนองจาก

3

5 =

3

5 < 1 จากทฤษฎบทท 2

จะไดวา x

n3( )

5lim

= 0

จงหาลมตของล าดบ an = n5


5

4= 5

4 > 1 จากทฤษฎบทท 2

จะไดวา n

x

5lim

4 หาคาไมได



19

จงหาลมตของล าดบ an = n8


n8

7=

n7

8 และ

7 7

8 8= 7

8 < 1 จากทฤษฎบทท 2 จะไดวา

x

n8( )lim7

= 0

ให an ,bn เปนล าดบของจ านวนจรง A,B เปนจ านวนจรง และ c เปนคาคงตวใดๆ

โดยท nxlim a A

และ nxlim b B

จะไดวา

( 1 ) nlim c c

( 2 ) n nn nlim ca c lim a cA

( 3 ) n n n nn n nlim (a b ) lim a lim b A B

( 4 ) n n n nn n nlim (a b ) lim a lim b A B

( 5 ) n n n nn n nlim (a b ) lim a lim b AB

( 6 ) ถา bn 0 ทกจ านวนเตมบวก n และ B 0 vแลว

n

nn

nn n

n

lim aa Alim ( )

b lim b B

(7) ถา an เปนล าดบของจ านวนจรงทมากกวาหรอเทากบ 0 และให m เปนจ านวนเตมท

มากกวาหรอเทากบ 2 แลว

mm mn nn xlim a lim a A โดยท m A หาคาได

จงหาลมตของล าดบ an = 10 จากทฤษฎบทท 3 ขอ 1 จะไดวา

xlim 10 10

จงหาลมตของล าดบ an = 5

7 จากทฤษฎบทท 3 จะไดวา

x

5 5lim ( )

7 7


5

n

วธท า

6x

5lim

n =

6x

15lim

n

= 5(0) = 0



20

ดงนน

6x

5lim

n = 0


3

4n 3n

2n

วธท า

3

3x

4n 3nlim

2n =

3

3 3x

4n 3nlim

2n 3n

= 2x

3lim 2

2n

=

2x x

3 1lim 2 lim

2 n

= 2 + 3

(0)2

= 2

ดงนน

3

3x

4n 3nlim

2n = 2


2

3

5n 3n

2n 1

วธท า

2

3x

5n 3nlim

2n 1 =

32

x 33

5 3n

n nlim1

n 2n

=2

x3

5 3n nlim 12

n

=

2x x

3x x

5 3lim lim

n n1

lim 2 limn

=

0 0

2 0

= 0



21

ดงนน

2

3x

5n 3nlim

2n 1 = 0


2

2

3 2n 6n

2n n 7

วธท า

2

2x

3 2n 6nlim

2n n 7 =

22

x 22

3 2n 6

n nlim1 7

n 2n n

=

2

x2

3 26

n nlim 1 72

n n

=

2x x x

2x x x

3 2lim lim lim 6

n n1 7

lim 2 lim limn n

=

0 0 6

2 0 0

= -3

ดงนน

2

2x

3 2n 6nlim

2n n 7 = -3


3 2

2

7n 3n n 4

n 2n

วธท า

3 2

2x

7n 3n n 4lim

n 2n =

32 3

x 32

3 1 4n 7

n n nlim1 2

nn n

=

2 3x x x x

2x x

3 1 4lim 7 lim lim lim

n n n1 2

lim limn n

=

7 0 0 0

0 0

= 7

0



22

ดงนน

3 2

2x

7n 3n n 4lim

n 2n = หาคาไมได


2 3

2

n n

n 1 n 3

วธท า

2 3

2x

n nlim

n 1 n 3 =

2 2 3

2x

n (n 3) n (n 1)lim

(n 1)(n 3)

=

4 2 4 3

3 2x

n 3n n nlim

n 3n n 3

=

2 3

3 2x

3n nlim

n n 3n 3

=

3

x 32 3

3n 1

nlim1 3 3

n 1n n n

=

x x

2 3x x x x

3lim ( ) lim 1

n1 3 3

lim 1 lim lim lim )n n n

=

0 1

1 0 0 0

= -1

ดงนน

2 3

2x

n nlim

n 1 n 3 = -1


25

2

243n 4n

32n 3n

วธท า

2

2x

243n 4nlim

32n 3n =

2

x 2

4n 243

nlim3

n 32n



23

=

x

4243

nlim 332

n

=

x x

x x

4lim 243 lim

n3

lim 32 limn

=

243 0

32 0

= 243

32

ดงนน

25

2x

243n 4nlim

32n 3n = 5

243

32=

3

2


n 1 n

n 1

5 5 3

5 1

วธท า

n 1 n

n 1x

5 5 3lim

5 1 =

n n

nx

5 5 5 3lim

51

5

= n

n

x nn

35 5 1

5lim 1 15 ( )

5 5

=

nx x

nx x

1lim 4 3 lim

51 1

lim lim5 5

=

4 01

05

= 20



24

ดงนน

n 1 n

n 1x

5 5 3lim

5 1 = 20


n 2 n 1

n 1 n 2

2 3 1

2 3

วธท า

n 2 n 1

n 1 n 2x

2 3 1lim

2 3 =

n n

n nx

4 2 3 3 1lim

2 2 9 3

=

nn

n

nx n

2 13 4 3

3 3lim

23 2 9

3

=

n

nx x xn

x x

2 14 lim lim 3 lim

3 32

2 lim lim 93

=

4 0 3 0

2 0 9

= 3

9

= 1

3

ดงนน

n 2 n 1

n 1 n 2x

2 3 1lim

2 3 =

1

3



25

สรป การหาลมตของล าดบ มขนตอนดงน พจารณาลมตของล าดบ (Limit of sequence ) ไดดงน

1. ล าดบทจะน ามาพจารณาลมตนนตองเปนล าดบอนนต 2. ถากลาววา L เปนลมตของล าดบทมพจนท n เปน an หมายถง เมอ n มากกขนโดยไมมท


3. ล าดบอนนตทมลมตเรยนวา ล าดบลเขา สวนล าดบอนนตทไมมลมตเรยกวา ล าดบลออก

4. การพจารณาวาล าดบใดจะมลมตหรอไมนน อาจท าไดโดยใชทฤษฎบทดงน

ทฤษฎบทท 1 ให r เปนจ านวนจรงบวกใดๆ จะไดวา

rx

1lim 0

n และ nr หาคาไมได

ทฤษฎบทท 2 ให r เปนจ านวนจรง

- ถา r < 1 แลว

n

xlim r 0

- ถา r > 1 แลว

n

xlim r หาคาไมได

ทฤษฎบทท 3 ให an ,bn เปนล าดบของจ านวนจรง A,B เปนจ านวนจรง และ c เปนคาคงตวใดๆ

โดยท

nxlim a A และ

n

xlim b B จะไดวา

(1)

nlim c c

(2)

n nn nlim ca c lim a cA

(3)

n n n nn n nlim (a b ) lim a lim b A B

(4)

n n n nn n nlim (a b ) lim a lim b A B

(5)

n n n nn n nlim (a b ) lim a lim b AB

(6) ถา bn 0 ทกจ านวนเตมบวก n และ B 0 แลว

n

nn

nn n

n

lim aa Alim ( )

b lim b B

(7) ถา an เปนล าดบของจ านวนจรงทมากกวาหรอเทากบ 0 และให m เปนจ านวน

เตมทมากกวาหรอเทากบ 2 แลว

mm mn nn xlim a lim a A โดยท m A หาคา

ได



26

แบบสรปเนอหา เรอง ลมตของล าดบ

ค าชแจง ใหนกเรยนสรปเนอหาเรองลมตของล าดบตามหวขอตอไปน

1. จงหาลมตของล าดบ an = 2

3

n 1 โดยการเขยนกราฟ

n 1 2 3 4 5 6 7 …. an

……………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………

n

an



27


3

n 1 ทฤษฎบทเกยวกบลมตของล าดบ

……………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………… 3. การหาลมตของล าดบ มขนตอนดงน ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………

สรปผลการเรยน …………………………………….คะแนน

ลงชอ..............................ผประเมน วนท............../................./................



28

แบบฝกทกษะท 5.1 เรอง ลมตของล าดบโดยการพจารณาจากกราฟ

ค าชแจง จงเขยนกราฟเพอตรวจสอบดวาล าดบตอไปนเปนล าดบลเขาหรอลออกพรอมทงหารลมตของล าดบ

1. n

1a

n 1

ตอบ………………………………………………………………………………………………………………………………

2. nna n 1 1

ตอบ………………………………………………………………………………………………………………………………

n 1 2 3 4 5 6 7 …. an

n 1 2 3 4 5 6 7 …. an

n

an

an

n



29

3. n

n

3a

2

ตอบ………………………………………………………………………………………………………………………………

4. n

n

2a

3

ตอบ………………………………………………………………………………………………………………………………

n 1 2 3 4 5 6 7 …. an

n 1 2 3 4 5 6 7 …. an

an

n

n

an



30

5. n n

1a 3

2

ตอบ………………………………………………………………………………………………………………………………

n 1 2 3 4 5 6 7 …. an

สรปผลการเรยน

…………………………………….คะแนน

ลงชอ..............................ผประเมน วนท............../................./................

n

an



31

แบบฝกทกษะท 5.2 เรอง ลมตของล าดบ

โดยอาศยทฤษฎบทเกยวกบลมต

ค าชแจง จงใชทฤษฎบทเกยวกบลมตของล าดบเพอตรวจสอบวาล าดบตอไปน เปนล าดบลเขาหรอลออก พรอมทงหาลมตของล าดบ

1. n

7a

9 เปนล าดบ...............................

x

7lim

9 = ……………………

2. n

10a

3n เปนล าดบ................................

x

10lim

3n = …………………

3. nna 1 1 เปนล าดบ................................

n

nxlim a 1 1

= ………………

4. n

n

1a

n

เปนล าดบ.................................

n

x

1lim

n

= ……………….

5. n

n

7a

5

เปนล าดบ................................

n

x

7lim

5

= ……………………

6. n

n

2a

2

เปนล าดบ.................................

n

x

2lim

2

= …………………

7. n 1

n n 2

3a

5

เปนล าดบ..................................

n 1

n 2x

3lim

5

= …………………

8. n 3

1a 5

n เปนล าดบ..................................

3x

1lim 5

n = …………………

9. n

6n 2a

3n

เปนล าดบ..................................

x

6n 2lim

3n

= ………………

10. n

n 2a

3

เปนล าดบ..................................

x

n 2lim

3

= …………………

11. 5

n 6 5

6 7na

4n 3n

เปนล าดบ................................

5

6 5x

6 7nlim

4n 3n

= …………………

12. 3 2

n 3

8n 2n 5a

6n 5n 3

เปนล าดบ.....................

3 2

3x

8n 2n 5lim

6n 5n 3

= ……………………



32

13. 3

n 3

7 4na

5 2n n

เปนล าดบ............................

3

3x

7 4nlim

5 2n n

= ………………

14. n 2

n n

3 3a

3 2

เปนล าดบ...........................

n 2

nx

3 3lim

3 2

= …………………

15. n 1 n 1

n n 1

5 2 1a

5 3

เปนล าดบ.....................

n 1 n 1

n 1x

5 2 1lim

5 3

= ………………

16. n 2 n 1

n n n 1

6 2 4a

2 3 2

เปนล าดบ......................

n 2 n 1

n n 1x

6 2 4lim

2 3 2

= ………………

17. n

8n 1a

1 2n

เปนล าดบ........................

x

8n 1lim

1 2n

= ……………

18. 2

3n 2

72n 3na

9n 1

เปนล าดบ..........................

23

2x

72n 3nlim

9n 1

= ………………

19. n

4n 1a

n 1

เปนล าดบ...........................

x

4n 1lim

n 1

= …………………

20. 2 2

n

n na

2n 1 2n 1

เปนล าดบ...........................

2 2

x

n nlim

2n 1 2n 1

= ……………

สรปผลการเรยน …………………………………….คะแนน

ลงชอ..............................ผประเมน วนท............../................./................



33

แบบทดสอบหลงเรยน ฉบบ A เรอง ลมตของล าดบ ค าชแจง 1. ใหนกเรยนเลอกค าตอบทถกตองทสดเพยงขอเดยวจากตวเลอก ก, ข, ค หรอ ง แลวเขยนเครองหมาย X ลงใน ( ) ของกระดาษค าตอบ 2. แบบทดสอบเปนแบบปรนยชนดเลอกตอบจ านวน 10 ขอ คะแนนเตม 10 คะแนน ใชเวลา 15 นาท


ก. n

7a

n 1

ข.

5

n

3na

5

ค. n

n

1 1a

n

ง. n 3

9a

n


ก. n

n3

a2

ข. n 101

an

ค. nna 3 ง.

n

n

5a

3

ขอ3. กราฟของล าดบในขอใดเปนล าดบลออก ก. ข. ขอ 6. จงหาลมตของล าดบ

ค. ง.

ขอ4. จงหาลมตของล าดบ

2

n 29 3n 5n

b3n 4

ก. 5

3 ข. 5

3

ค. 3 ง. 0

ขอ 5. จงหาลมตของล าดบ n 3

2a 5

n


an

n

n

n

n

an

an

an



34

n 1

n n 1 n 15 3n 1

a3 5


3 3

n 227n 3n

C4n 2

ก. 0 ข. 3

4

ค. 2


n25n 9

a4n 25n

ก. 0 ข. 8

7

ค. 5

7 ง.

5

2


5

n 44n 2n 1

b6 5n

ก. 4

5 ข. 4

5

ค. 0 ง. หาคาไมได ขอ 10. จงหาลมตของล าดบ

24

n 264n 3n

b4n

ก. 1 ข. 2 ค. 3 ง. 4



35



1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

กระดาษค าตอบ ทดสอบหลงเรยนฉบบ A

ไมยากอยางทคด เลยใชไหม



36

แบบทดสอบหลงเรยน ฉบบ B เรอง ลมตของล าดบ ค าชแจง 1. ใหนกเรยนเลอกค าตอบทถกตองทสดเพยงขอเดยวจากตวเลอก ก, ข, ค หรอ ง แลวเขยนเครองหมาย X ลงใน ( ) ของกระดาษค าตอบ 2. แบบทดสอบเปนแบบปรนยชนดเลอกตอบจ านวน 10 ขอ คะแนนเตม 10 คะแนน ใชเวลา 15 นาท


ก. n

n3

a2

ข. n 101

an

ค. nna 3 ง.

n

n

5a

3


ก. n

1a

2n 1

ข. 5

na n

ค. n

1a

n ง. n 3

9a

n

ขอ3. กราฟของล าดบในขอใดเปนล าดบลออก ก. ข.

ค. ง.

ขอ4. จงหาลมตของล าดบ n 3

2a

n

ก. 7 ข. 5 ค. 2 ง. 0

ขอ 5.จงหาลมตของล าดบ

3

n 49 3n 5n

b3n 4

ก. 5

3 ข. 5

3

ค. 3 ง. 0

an

n

n

n

n

an

an

an



37

ขอ 6. จงหาลมตของล าดบ 3 3

n8n 3n

C2n 1

ก. 0 ข. 1

ค. 2


ขอ 7. จงหาลมตของล าดบ n 1 n 1

n n 1 n 15 3

a3 5

ก. 1 ข. 5 ค. 15 ง. 25

ขอ 8. จงหาลมตของล าดบ5

n 44n 2n 1

b6 5n

ก. 4

5 ข. 4

5

ค. 0 ง. หาคาไมได

ขอ 9. จงหาลมตของล าดบ 2

4n 2

4n 3nb

4n


n25n 9

a4n 25n

ก. 0 ข. 8

7

ค. 5

7 ง.

5

2



38



1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

กระดาษค าตอบ ทดสอบหลงเรยนฉบบ B

ตงใจ มสมาธ มงมน เราทกคนท าได



39

เฉลยแบบทดสอบกอนเรยน เรอง ลมตของล าดบ

เฉลยแบบสรปเนอหา เรอง ลมตของล าดบ

ใหนกเรยนสรปเนอหาเรองลมตของล าดบตามหวขอตอไปน


3

n 1 โดยการเขยนกราฟ

n 1 2 3 4 5 6 7 …. an 3

2

3

5

3

10

3

17

3

26

3

37

3

50

จากกราฟ จะเหนวา เมอ n มคามากขนโดยไมมทสนสดแลว an มคาลดลงเขาใกล 0 แตไมเทากบ 0

จงกลาววาล าดบ an = 2

3

n 1 มลมตเทากบ 0 หรอ n

xlim a 0

และ an เปนล าดบลเขา


3

n 1 ทฤษฎบทเกยวกบลมตของล าดบ

เฉลยแบบทดสอบกอนเรยน 1) ง 2) ข 3) ค 4) ข 5) ก 6) ก 7) ง 8) ง 9) ข 10) ค

n

an



40

วธท า 2x

3lim

n 1 =

22

2x 22 2

3n

nlimn 1

nn n

= 2x

2x x

13 lim

n1

lim 1 limn

= 3(0)

1 0

= 0

1

= 0

ดงนน 2x

3lim

n 1 = 0

3. การหาลมตของล าดบ มขนตอนดงน

สรป การหาลมตของล าดบ มขนตอนดงน

1. ล าดบทจะน ามาพจารณาลมตนนตองเปนล าดบอนนต 2. ถากลาววา L เปนลมตของล าดบทมพจนท n เปน an หมายถง เมอ n มากขนโดยไมมท


3. ล าดบอนนตทมลมตเรยนวา ล าดบลเขาสวนล าดบอนนตทไมมลมตเรยกวา ล าดบลออก 4. การพจารณาวาล าดบใดจะมลมตหรอไมนน อาจท าไดโดยใชทฤษฎบท



41

an

เฉลยแบบฝกทกษะท 5.1 เรอง ลมตของล าดบโดยการพจารณา จากกราฟ

ค าชแจง จงเขยนกราฟเพอตรวจสอบดวาล าดบตอไปนเปนล าดบลเขาหรอลออก พรอมทงหาลมตของล าดบ

1. n

1a

n 1

ตอบ……………ล าดบลเขาและลมต an = 0 …………………………………………………………………………

n 1 2 3 4 5 6 7 …. an 1

2

1

3 1

4

1

5

1

6

1

7

1

8 …

n



42

2. nna n 1 1

ตอบ……………………ล าดบลออก…………………………………………………………………………………………

3. n

n

3a

2

n 1 2 3 4 5 6 7 …. an 0 3 2 5 4 6 5

n 1 2 3 4 5 6 7 …. an 3

2

9

4

27

8

81

16

243

32

729

64

2187

128

….

1 2 3 4 5 6 7

1 2 3 4 5 6 7

n

an

n

an



43

ตอบ……………………ล าดบลออก……………………………………………………………………………………

4. n

n

2a

3

ตอบ………………………ล าดบลเขาและลมต an = 0………………………………………………………………

5. n n

1a 3

2

ตอบ………………… ล าดบลเขาและลมต an = 3 ……………………………………………………………………

n 1 2 3 4 5 6 7 …. an 2

3

4

9

8

27

16

81

32

243

64

279

128

2187

….

n 1 2 3 4 5 6 7 …. an 5

2

11

4

23

8

47

16

95

32

191

64

383

128

….

n

an

n

an



44

แบบฝกทกษะท 5.2 เรอง ลมตของล าดบ

ค าชแจง จงใชทฤษฎบทเกยวกบลมตของล าดบเพอตรวจสอบวาล าดบตอไปน เปนล าดบลเขาหรอลออก พรอมทงหาลมตของล าดบ

1. n

7a

9 เปนล าดบ.....ลเขา..............

x

7lim

9 =

7

9

2. n

10a

3n เปนล าดบ.....ลเขา................

x

10lim

3n = 0

3. nna 1 1 เปนล าดบ....ลออก...............

n

nxlim a 1 1

= หาคาไมได

4. n

n

1a

n

เปนล าดบ......ลเขา.................

n

x

1lim

n

= 0

5. n

n

7a

5

เปนล าดบ.......ลออก..............

n

x

7lim

5

= หาคา

ไมได

6. n

n

2a

2

เปนล าดบ.......ลเขา..............

n

x

2lim

2

= 0

7. n 1

n n 2

3a

5

เปนล าดบ........ลเขา.................

n 1

n 2x

3lim

5

= 0

8. n 3

1a 5

n เปนล าดบ.......ลเขา.................

3x

1lim 5

n = 5

9. n

6n 2a

3n

เปนล าดบ.......ลเขา.................

x

6n 2lim

3n

= 2

10. n

n 2a

3

เปนล าดบ........ลออก................

x

n 2lim

3


11. 5

n 6 5

6 7na

4n 3n

เปนล าดบ.......ลเขา..............

5

6 5x

6 7nlim

4n 3n

= 7

3



45

12. 3 2

n 3

8n 2n 5a

6n 5n 3

เปนล าดบ...ลเขา..........

3 2

3x

8n 2n 5lim

6n 5n 3

= 4

3

13. 3

n 3

7 4na

5 2n n

เปนล าดบ......ลเขา...........

3

3x

7 4nlim

5 2n n

= 4

14. n 2

n n

3 3a

3 2

เปนล าดบ....ลเขา...........

n 2

nx

3 3lim

3 2

=9

15. n 1 n 1

n n 1

5 2 1a

5 3

เปนล าดบ...ลเขา.........

n 1 n 1

n 1x

5 2 1lim

5 3

=

1

25

16. n 2 n 1

n n n 1

6 2 4a

2 3 2

เปนล าดบ...ลเขา.........

n 2 n 1

n n 1x

6 2 4lim

2 3 2

= 12

17. n

8n 1a

1 2n

เปนล าดบ..ลออก...........

x

8n 1lim

1 2n


18. 2

3n 2

72n 3na

9n 1

เปนล าดบ...ลเขา..............

23

2x

72n 3nlim

9n 1

= 2

19. n

4n 1a

n 1

เปนล าดบ...ลเขา................

x

4n 1lim

n 1

= 2

20. 2 2

n

n na

2n 1 2n 1

เปนล าดบ......ลเขา..........

2 2

x

n nlim

2n 1 2n 1

= 1

2



46

รวมมอชวยเหลอกน เปนความส าเรจ ของกลมนะคะ

เฉลยแบบทดสอบหลงเรยนฉบบ A เรอง ลมตของล าดบ

เฉลยแบบทดสอบหลงเรยนฉบบ B เรอง ลมตของล าดบ

เฉลยแบบทดสอบหลงเรยน 1) ข 2) ง 3) ค 4) ก 5) ข 6) ง 7) ก 8) ค 9) ง 10) ข

เฉลยแบบทดสอบหลงเรยน 1) ข 2) ข 3) ค 4) ง 5) ง 6) ข 7) ก 8) ง 9) ก 10) ค



47

ตารางบนทกคะแนน

แบบฝกทกษะคณตศาสตร เลมท 5 เรอง ลมตของล าดบ *************

ชอ–สกล …………………………………………………………………………..ชน…………..….……เลขท…………………….

รายการ คะแนนเตม คะแนนทได ผบนทกคะแนน แบบทดสอบวดผลสมฤทธ กอนเรยน เรอง ล าดบอนนตและอนกรมอนนต

แบบทดสอบกอนเรยนแบบฝกทกษะ เลมท 5 เรอง ลมตของล าดบ

แบบสรปเนอหา แบบฝกทกษะท 1.1 แบบฝกทกษะท 1.2 แบบทดสอบหลงเรยนแบบฝกทกษะ เลมท 5 เรอง ลมตของล าดบ

ลงชอ

(นางสาวอบล ชรตน) ครผสอน



48

บรรณานกรม

กระทรวงศกษาธการ. (2551). หลกสตรแกนกลางการศกษาขนพนฐาน พทธศกราช 2551. กรงเทพฯ: โรงพมพชมนมสหกรณการเกษตรแหงประเทศไทย. กระทรวงศกษาธการ. (2555). หนงสอเรยนสาระการเรยนรเพมเตมคณตศาสตร เลม 6. กรงเทพฯ: โรงพมพ สกสค. ลาดพราว. จกรนทร วรรณโพธกลาง. (2551). คมภรคณตศาสตร ม 4-5-6. กรงเทพฯ: โรงพมพเพมทรพย การพมพ. จระ เจรญสขวมลและวนจ วงศรตนะ. (ม.ป.ป). สรปสตรคณตศาสตร ม.6 เลม 5-6. กรงเทพฯ: ไฮเอดพบลชชง. เทพฤทธ ยอดใส และคณะ. (2556). กญแจคณตศาสตรเพมเตม ม.4-6 เลม 6. กรงเทพฯ: พ.ศ.พฒนา. ธนกาญจน ภทรากาญน. (2552). คณตสาระ ม.ปลาย : แคลคลส. กรงเทพฯ: ส านกพมพแหง จฬาลงกรณมหาวทยาลย. สมย เหลาวานชย. (ม.ป.ป.). คมอเตรยมสอบคณตศาสตร ม 4-5-6 สาระการเรยนรเพมเตม. กรงเทพ: ไฮเอดพบลชชง. สมย เหลาวานชยและพวพรรณ เหลาวานชย. (ม.ป.ป.). คณตศาสตร ม.6 เลม 5 ค 015. กรงเทพฯ: ไฮเอดพบลชชง. ทาบอ. โรงเรยน. (2559). หลกสตรสถานศกษา โรงเรยนทาบอ ปรบปรง ปการศกษา 2559. หนองคาย: งานบรหารวชาการ.

Documents

เล่มท่ · 2018-06-27 · เล่มที่ 4 ล าดับเรขาคณิต ... ละคนได้รับจากการท าแบบทดสอบแต่ละเล่มมาหาค่าเฉลี่ย