~ 1 ~

พาราโบลา 1. สมการพาราโบลา

จงหาค่าของ ,a b และ c จากสมการต่อไปนี้ เมื่อเปรียบเทียบกับสมการพาราโบลาที่อยู่ในรูปทั่วไป 2 0ax bx c เมื่อ , ,a b c เป็นค่าคงตัว

สมการพาราโบลา a b c 1. 2 6y x x

2. 22y x

3. 29y x

4. 22 4y x x

5. 2

3y x

6. 2

1

2y x

1) สมการในแต่ละข้อต่อไปนี้ เป็นสมการพาราโบลาหรือไม่

สมการ สมการพาราโบลา

เป็น ไม่เป็น 1. 2y x

2. 3 5y x

3. 2 2 1y x x

4. 26 2y x x

5. 6y

ชื่อ-สกุล…………………………………………………………………………………………………..เลขที่………………..ชั้น ม.3/………….

สมการ 2y ax bx c เมื่อ ,x y เป็นตัวแปร , ,a b c เป็นค่าคงตัว และ 0a เรียกว่า สมการพาราโบลา

แบบฝึกหัด ที่ 1

ลักษณะกราฟพาราโบลา

~ 2 ~

2. พาราโบลาที่ก าหนดด้วยสมการ 2y ax เมื่อ 0a จากสมการของพาราโบลา 2y ax bx c เมื่อก าหนดให้ 0, 0,a b c c จะได้ 2y ax เราจะ

พิจารณากรณี 0a และ 0a ต่อไปนี้

x -3 -2 -1 0 1 2 3

y

x -3 -2 -1 0 1 2 3 y

กรณี 0a

จงเขียนกราฟสมการ 21

4y x พร้อมทั้งตอบค าถามต่อไปนี้

ตัวอย่างที่ 1

1) ลักษณะกราฟเป็นกราฟพาราโบลา

2) แกนสมมาตรของกราฟ คือ แกน

3) กราฟมีจุด สุด ที่จุด

กรณี 0a

จงเขียนกราฟสมการ 2y x พร้อมทั้งตอบค าถามต่อไปนี้

ตัวอย่างที่ 2

1) ลักษณะกราฟเป็นกราฟพาราโบลา

2) แกนสมมาตรของกราฟ คือ แกน

3) กราฟมีจุด สุด ที่จุด

กราฟพาราโบลา เมื่อ 0a มีจุด ที่จุด มีแกน Y เป็นแกนสมมาตร

กราฟพาราโบลา เมื่อ 0a มีจุด ที่จุด มีแกน Y เป็นแกนสมมาตร

จากสมการพาราโบลา 2y ax สรุปได้ว่า

~ 3 ~

x -3 -2 -1 0 1 2 3 25

2y x

25

3y x

จงเขียนกราฟสมการ 25

2y x และ 25

3y x โดยใช้แกนคู่

เดียวกันแล้วตอบค าถามต่อไปนี้

ตัวอย่างที่ 3

1) กราฟทั้งสองมีเส้นตรง หรือแกน เป็นแกนสมมาตร

2) ค่าต่ าสุดหรือสูงสุดของ y เป็น

3) จุดต่ าสุดหรือสูงสุดของแต่ละกราฟ คือ จุด

~ 4 ~

แบบฝึกหัดที่ 2

1. ในตารางแต่ละข้อต่อไปนี้ ให้นักเรียนเติมค่า y ตามค่า x ที่ก าหนดแล้วเขียนกราฟ 1)

2)

x -3 -2 -1 0 1 2 23

2y x

x -3 -2 -1 0 1 2 22

3y x

~ 5 ~

2. จงเขียนกราฟของสมการ 24y x และ 21

4y x โดยใช้แกนคู่เดียวกัน แล้วตอบค าถามต่อไปนี้

3. จงพิจารณาสมการ 2 22 , 4y x y x และ 25y x แล้วตอบค าถาม 1) กราฟของสมการทั้งสามเป็นพาราโบลาหงายหรือพาราโบลาคว่ า พิจารณาได้จากค่าใด

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. 2) กราฟทั้งสามมีเส้นตรงใดเป็นแกนสมมาตร

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. 3) กราฟทั้งสามมีจุดสูงสุดหรือต่ าสุด

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..

4. จงพิจารณาสมการ 2 22 , 4y x y x และ 25y x แล้วตอบค าถาม 1) กราฟของสมการทั้งสามเป็นพาราโบลาหงายหรือพาราโบลาคว่ า พิจารณาได้จากค่าใด

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. 2) กราฟทั้งสามมีเส้นตรงใดเป็นแกนสมมาตร

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. 3) กราฟทั้งสามมีจุดสูงสุดหรือต่ าสุด

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..

x -3 -2 -1 0 1 2 3 24y x

21

4y x

1) กราฟทั้งสองมีเส้นตรง หรือแกน เป็นแกนสมมาตร

2) ค่าต่ าสุดหรือสูงสุดของ y เป็น

3) จุดต่ าสุดหรือสูงสุดของแต่ละกราฟ คือ จุด

~ 6 ~

3. พาราโบลาที่ก าหนดด้วยสมการ 2y ax k เมื่อ 0a

หัวข้อที่ผ่านมาได้กล่าวถึงพาราโบลาก าหนดด้วยสมการ 2y ax เมื่อ 0a ในหัวข้อนี้จะศึกษาเกี่ยวกับพาราโบลาที่

ก าหนดด้วยสมการ 2y ax k เมื่อ 0a

ถ้า 0k จะได้สมการ 2y ax ซึ่งนักเรียนได้เรียนมาแล้วในหัวข้อ 4.2 จากสมการของพาราโบลา 2y ax k เราจะพิจารณากรณี 0a และ 0a ต่อไปนี้

x 0 1 2 25 4y x

x 0 1 2 23 2y x

จงเขียนกราฟสมการ 25 4y x พร้อมทั้งตอบค าถามต่อไปนี้

ตัวอย่างที่ 4

1) กราฟเป็นพาราโบลา...............................

2) จุด ............... สุด คือ ...............................

4) แกน ............... เป็นแกนสมมาตร

3) หาจุดต่าง ๆ ที่อยู่บนข้างเดียวกันของแกนสมมาตร

กรณี 0a

จงเขียนกราฟสมการ 23 2y x พร้อมทั้งตอบค าถามต่อไปนี้

ตัวอย่างที่ 5

1) กราฟเป็นพาราโบลา...............................

2) จุด ............... สุด คือ ...............................

3) แกน ............... เป็นแกนสมมาตร

4) หาจุดต่าง ๆ ที่อยู่บนข้างเดียวกันของแกนสมมาตร

กรณี 0a

~ 7 ~

แบบฝึกหัดที่ 3

1. จงเขียนกราฟสมการ 212

3y x พร้อมทั้งตอบค าถามต่อไปนี้

2. จงเขียนกราฟสมการ 211

4y x พร้อมทั้งตอบค าถามต่อไปนี้

x 0 1 2 21

23

y x

1) กราฟเป็นพาราโบลา...............................

2) จุด ............... สุด คือ ...............................

3) แกน ............... เป็นแกนสมมาตร

4) หาจุดต่าง ๆ ที่อยู่บนข้างเดียวกันของแกนสมมาตร

1) กราฟเป็นพาราโบลา...............................

2) จุด ............... สุด คือ ...............................

3) แกน ............... เป็นแกนสมมาตร

4) หาจุดต่าง ๆ ที่อยู่บนข้างเดียวกันของแกนสมมาตร

~ 8 ~

3. จงพิจารณาว่าพาราโบลา 1 2 3, ,c c c และ 4c เป็นกราฟของสมการใด ต่อไปนี้

1) 215

3y x 2) 21

14

y x

3) 23 5y x 4) 2 1y x

1c เป็นกราฟของสมการ

2c เป็นกราฟของสมการ

3c เป็นกราฟของสมการ

4c เป็นกราฟของสมการ

~ 9 ~

4. พาราโบลาที่ก าหนดด้วยสมการ 2

y a x h k เมื่อ 0a

จากสมการ 2

y a x h k เมื่อ 0a ถ้าให้ 0h และ 0k จะได้สมการ 2y ax ซึ่งนักเรียนได้

เรียนมาแล้วในหัวข้อ 4.2 ดังนั้นเราจะพิจารณากราฟของสมการ 2

y a x h k เมื่อ 0a ถ้าให้ 0h

x 2 1 0 1 2 22y x

2

2 1y x

2

2 1y x

นักเรียนไดเ้รียนมาแล้วในหัวข้อ 4.2 ดังนั้นเราจะพิจารณากราฟของสมการ 2

y a x h k เมื่อ 0a ถ้าให้

0h

x 2 1 0 1 2

22 1y x

2

2 1 2y x

2

2 1 2y x

กรณี 0k และ 0h จากสมการ 2

y a x h k จะได้ 2

y a x h

กรณี 0k และ 0h จากสมการ 2

y a x h k

ตัวอย่างที่ 6 ให้นักเรียนพิจารณาสมการ 222 , 2 1y x y x และ

22 1y x เมื่อก าหนดค่า x และหาค่า y ใน

แต่ละสมการ จะได้ดังในตาราง

ตัวอย่างที่ 7 ให้นักเรียนพิจารณาสมการ 2 2

2 1 , 2 1 2y x y x และ 2

2 1 2y x เมื่อก าหนดค่า x และหาค่า y ในแต่ละสมการ จะได้ดังในตาราง

~ 10 ~

แบบฝึกหัดที่ 4

1. จงเขียนกราฟสมการต่อไปนี้

x

21

1 23

y x

x

21 3y x

1) กราฟเป็นพาราโบลา...............................

2) จุด ............... สุด คือ...............................

3) แกน ............... เป็นแกนสมมาตร

4) หาจุดต่าง ๆ ที่อยู่บนข้างเดียวกันของแกนสมมาตร

21

1 23

y x

1) กราฟเป็นพาราโบลา...............................

2) จุด ............... สุด คือ...............................

3) แกน ............... เป็นแกนสมมาตร

4) หาจุดต่าง ๆ ที่อยู่บนข้างเดียวกันของแกนสมมาตร

2

1 3y x

~ 11 ~

x

23 1 3y x

x

21

2 25

y x

1) กราฟเป็นพาราโบลา...............................

2) จุด ............... สุด คือ...............................

3) แกน ............... เป็นแกนสมมาตร

4) หาจุดต่าง ๆ ที่อยู่บนข้างเดียวกันของแกนสมมาตร

2

3 1 3y x

1) กราฟเป็นพาราโบลา...............................

2) จุด ............... สุด คือ...............................

3) แกน ............... เป็นแกนสมมาตร

4) หาจุดต่าง ๆ ที่อยู่บนข้างเดียวกันของแกนสมมาตร

21

1 23

y x

~ 12 ~

2. จงพิจารณาว่าพาราโบลา 1 2 3, ,c c c และ 4c เป็นกราฟของสมการใด ต่อไปนี้

1) 2

6 1y x 2) 2

4 1y x

3) 2

4y x 4) 2

2y x

1c เป็นกราฟของสมการ

2c เป็นกราฟของสมการ

3c เป็นกราฟของสมการ

4c เป็นกราฟของสมการ

~ 13 ~

5. พาราโบลาที่ก าหนดด้วยสมการ 2y ax bx c เมื่อ 0a ในการเขียนสมการกราฟ 2y ax bx c เมื่อ , ,a b c เป็นค่าคงตัว ให้อยู่ในรูป

2y a x h k วิธีนี้เป็นการ

ท าบางส่วนเป็นก าลังสองสมบูรณ์

เขียนกราฟของสมการ 2 6 8y x x ได้ดังนี้

x 3 2 1

23 1y x

ตัวอย่างที่ 8 จงเขียนกราฟของสมการ 2 6 8y x x

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..………....………...………...………...………...………...………...………...………...………...…………...………...………...………...………...………...………...………...……...………...………...………...………...………...………...………...……….

พิจารณากราฟของสมการ

1) กราฟเป็นพาราโบลา..............................................................

2) จุด .................... สุด คือ .....................................................

3) เส้นตรง ............................. เป็นแกนสมมาตร

4) หาจุดต่าง ๆ ที่อยู่บนข้างเดียวกันของแกนสมมาตร

~ 14 ~

เขียนกราฟของสมการ 2 4 2y x x ได้ดังนี้

x 3 2 1 2 4 2y x x

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..………....………...………...………...………...………...………...………...………...………...…………...………...………...………...………...………...………...………...……...………...………...………...………...………...………...………...………....………...………...………....………...………...………......………...………...………....………...………...………....………...………...………....……….

พิจารณากราฟของสมการ

2) กราฟเป็นพาราโบลา..............................................................

3) จุด .................... สุด คือ .....................................................

4) เส้นตรง ............................. เป็นแกนสมมาตร

5) หาจุดต่าง ๆ ที่อยู่บนข้างเดียวกันของแกนสมมาตร

ตัวอย่างที่ 9 จงเขียนกราฟของสมการ 2 4 2y x x

~ 15 ~

แบบฝึกหัดที่ 5

จงพิจารณาสมการต่อไปนี้แล้วตอบค าถามโดยไม่ต้องเขียนกราฟ

1) 22 5 2y x x a. กราฟเป็นพาราโบลาคว่ าหรือพาราโบลาหงาย

………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. b. จุดต่ าสุดหรือจุดสูงสุดของกราฟเป็นจุดใด

………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. c. ค่าต่ าสุดหรือค่าสูงสุดของ y เป็นเท่าใด

………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. d. เส้นตรงใดเป็นแกนสมมาตร

………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. e. กราฟตัดแกน X ที่จุดใด

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………..

2) 2 6 4y x x a. กราฟเป็นพาราโบลาคว่ าหรือพาราโบลาหงาย

………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. b. จุดต่ าสุดหรือจุดสูงสุดของกราฟเป็นจุดใด

………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. c. ค่าต่ าสุดหรือค่าสูงสุดของ y เป็นเท่าใด

………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. d. เส้นตรงใดเป็นแกนสมมาตร

………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. e. กราฟตัดแกน X ที่จุดใด

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………..