Upload
others
View
4
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
1
คู่มือคร ูชุดการสอน ชดุที่ 1 เรือ่ง ลมิิตของล าดับ
1. เอกสารและอุปกรณ์ประกอบการสอน ชุดการสอน ชุดการสอนชุดที่ 1 เรื่อง ลิมิตของล าดับ มีเอกสารและอุปกรณ์ท่ีครูจะต้องตรวจให้ ครบถ้วนดังนี้ 1) คู่มือครู 2) คู่มือนักเรียน 3) อุปกรณ์ประกอบการจัดกิจกรรมการเรียนการสอน 1.3.1 ใบความรู้ 1-3 1.3.2 เอกสารแนะแนวทาง 1-6 1.3.3 แบบฝึกทักษะ 1-9 1.3.4 เฉลยแบบฝึกทักษะ 1-9 1.3.5 แบบทดสอบก่อนเรียน จ านวน 10 ข้อ 1.3.6 แบบทดสอบหลังเรียน จ านวน 10 ข้อ 2. บทบาทของครูผู้สอน
1) ครูศึกษาเนื้อหาที่ต้องสอนให้ละเอียดและศึกษาชุดการสอนให้รอบคอบ 2) ก่อนสอนครูต้องเตรียมชุดการสอนให้เรียบร้อย และให้เพียงพอกับจ านวนนักเรียน ซึ่งนักเรียน
แต่ละคนจะได้รับคนละ 1 ฉบับ 3) ก่อนสอนครูต้องให้นักเรียนท าแบบทดสอบก่อนเรียนเสียก่อน ตรวจดูแบบทดสอบพร้อม
ทั้งกระดาษค าตอบให้เพียงพอกับจ านวนนักเรียน 4) ก่อนสอนครูต้องชี้แจงให้นักเรียนรู้เกี่ยวกับบทบาทของนักเรียนในการใช้ชุดการสอน 5) ทันทีท่ีนักเรียนทุกคนด าเนินการศึกษาชุดการสอน ครูไม่ควรพูดเสียงดัง หากมีอะไร จะพูด ต้อง
พูดเป็นรายบุคคล ต้องไม่รบกวนกิจกรรมของนักเรียนคนอ่ืน 6) ขณะที่นักเรียนศึกษาชุดการสอน ครูต้องเดินดูการท างานของนักเรียนแต่ละคนอย่างใกล้ชิด
หากมีนักเรียนคนใดมีปัญหา ครูควรจะเข้าไปให้ความช่วยเหลือจนปัญหานั้นคลี่คลาย 7) หลังจากสอนเรียบร้อยแล้ว ให้นักเรียนท าแบบทดสอบหลังเรียน
2
คู่มือนักเรียน ชุดการสอน ชดุที่ 1 เรือ่ง ลมิิตของล าดับ
1 .เอกสารและอุปกรณ์ประกอบการสอน ชุดการสอน ชุดการสอนชุดที่ 1 เรื่องลิมิตของล าดับ ใช้เวลาเรียน 5 ชั่วโมง มีเอกสารและอุปกรณ์ที่นักเรียนจะต้องตรวจให้ครบถ้วนดังนี้ 1.3.1 ใบความรู้ 1-3 1.3.2 เอกสารแนะแนวทาง 1-6 1.3.3 แบบฝึกทักษะ 1-9 1.3.4 เฉลยแบบฝึกทักษะ 1-9 1.3.5 แบบทดสอบก่อนเรียน จ านวน 10 ข้อ 1.3.6 แบบทดสอบหลังเรียน จ านวน 10 ข้อ 2. บทบาทของนักเรียน 1) นักเรียนต้องศึกษาคู่มือนักเรียนให้เข้าใจ 2) นักเรียนศึกษาชุดการสอนทีละข้ันตอน ตั้งแต่ใบความรู้ เอกสารแนะแนวทาง แบบฝึกทักษะ ตามล าดับโดยไม่ต้องรีบร้อน 3) ในแต่ละใบงานจะมีแบบฝึกหัดและแบบฝึกทักษะ ให้นักเรียนตอบค าถาม แบบฝึกทักษะทุกข้อ ห้ามขีดเขียนข้อความใด ๆ ลงในชุดการสอน 4) นักเรียนต้องตั้งใจปฏิบัติงานอย่างจริงจัง ไม่ก่อกวนผู้อื่นและไม่ชักชวนเพื่อนให้ออกนอกลู่นอกทาง 5) ก่อนท ากิจกรรมกลุ่มให้ท าการเลือกหัวหน้ากลุ่มเพ่ือท าหน้าที่รวบรวมผลงานของสมาชิก ส่งครูเมื่อเสร็จสิ้นการปฎิบัติกิจกรรมกลุ่มแต่ละกิจกรรม 3. ผลการเรียนรู้/ จุดประสงค์การเรียนรู้ ผลการเรียนรู้ นักเรียนสามารถหาลิมิตของล าดับอนันต์โดยอาศัยทฤษฎีบทเก่ียวกับลิมิตได้ จุดประสงค์การเรียนรู้ 1) นักเรียนสามารถอธิบายความหมายเกี่ยวกับล าดับอนันต์ 2) นักเรียนสามารถหาลิมิตของล าดับอนันต์โดยอาศัยกราฟของล าดับได้ 3) นักเรียนสามารถหาลิมิตของล าดับอนันต์โดยอาศัยทฤษฎีบทเกี่ยวกับลิมิตได้
3
รายวิชา คณิตศาสตร์เพิ่มเติม 5 ใบความรู้ 1 เร่ือง ล าดับอนันต์
รหัสวิชา ค30205
ล าดับอนันต์และอนุกรมอนันต์ ชั้นมัธยมศึกษาปีท่ี 6
อธิบายความหมายเกี่ยวกับล าดับอนันต์ บทนิยาม ล าดับ คือ ฟังก์ชันที่มีโดเมนเป็นเซต }...,,3,2,1{ n หรือ จ านวนเต็มบวก
เรียกล าดับที่มีโดเมนเป็นเซต }...,,3,2,1{ n ว่า ล าดับจ ากัด(finite sequence) และเรียกล าดับที่มีโดเมนเป็นเซตของจ านวนเต็มบวก ว่า ล าดับอนันต์(Infinite sequence)
การเขียนล าดับ
ก าหนดให้ a เป็นล าดับ เขียนล าดับ a เรียงตามล าดับได้ดังนี้ เรียก )1(a ว่า พจน์(term) ที่ 1 เขียนแทนด้วย 1a เรียก )2(a ว่า พจน์(term) ที่ 2 เขียนแทนด้วย 2a
เรียก )(na ว่า พจน์(term) ที่ n หรือ พจน์ทั่วไปของล าดับ เขียนแทนด้วย na
กรณี a เป็นล าดับจ ากัด เขียนแทนด้วย naaaa ,...,,, 321 กรณี a เป็นล าดับอนันต์ เขียนแทนด้วย ,...,...,,, 321 naaaa
จุดประสงค์การเรียนรู้
4
รูปแบบการก าหนดล าดับ
1) ก าหนดล าดับโดยการแจงพจน์ทั้งหมดของล าดับ ถ้าล าดับที่พิจารณาเป็นล าดับจ ากัดและมีพจน์ไม่มากนัก วิธีการเขียนแสดงล าดับจะใช้วิธีการเขียน
พจน์ทั้งหมดของล าดับ ตัวอย่างเช่น 1. 15,12,9,6,3
2. 7
6,
6
5,
5
4,
4
3,
3
2,
2
1
2) ก าหนดล าดับโดยเขียนพจน์เริ่มต้นจ านวนหนึ่งพร้อมกับสูตรพจน์ทั่วไปของล าดับ ถ้าล าดับที่พิจารณาเป็นล าดับจ ากัดและมีพจน์ไม่มากนัก วิธีการเขียนแสดงล าดับจะใช้วิธีการเขียน
พจน์ทั้งหมดของล าดับ ตัวอย่างเช่น 1) 25...,,52...,,11,9,7 n
2) 13
10...,,
3...,,
2
1,
5
2,
4
1
n
n
3) ก าหนดล าดับเริ่มต้นจ านวนหนึ่งพร้อมกับสูตรการหาพจน์ทั่วไปจากล าดับก่อนหน้า การก าหนดล าดับแบบนี้เรียกอย่างหนึ่งว่า การก าหนดโดยใช้ความสัมพันธ์เวียนเกิด (recurrence relation) ตัวอย่าง จงหา 5 พจน์แรกของล าดับเมื่อก าหนดล าดับ 31 a และ 51 nn aa เมื่อ 2n จาก 51 nn aa และ 31 a
จะได้ 85355 1122 aaa
135855 2133 aaa 1851355 3144 aaa 2351855 4155 aaa
ดังนั้น 5 พจน์แรกของล าดับนี้คือ 23,18,13,8,3
4) ก าหนดล าดับโดยการบอกเงื่อนไขหรือสมบัติของพจน์ของล าดับ ถ้าไม่ทราบสูตรทั่วไปของล าดับ และไม่ทราบความสัมพันธ์เวียนเกิดของล าดับ การก าหนดล าดับจ าเป็นต้องใช้วิธีการบอกเง่ือนไขหรือสมบัติของพจน์ของล าดับ ตัวอย่างเช่น ...,23,19,17,13,11,7,5,3,2 คือ ล าดับ na เมื่อ na เป็นจ านวนเฉพาะตัวที่ n
วิธีท า
5
เอกสารแนะแนวทาง จากล าดับที่ก าหนดให้ต่อไปนี้ จงบอกว่าเป็นล าดับจ ากัดหรือล าดับอนันต์ โดยท าเครื่องหมาย ลงในช่อง พร้อมทั้งให้เหตุผลประกอบ
ล าดับ ชนิดของล าดับ เหตุผล 1) 10,8,6,4,2 ล าดับจ ากัด
ล าดับอนันต์
เพราะมีโดเมนเป็นจ านวนเต็มบวก 5 ตัวแรก
2) ...,5
1,
4
1,
3
1,
2
1,1 ล าดับจ ากัด
ล าดับอนันต์
เพราะมีโดเมนเป็นจ านวนเต็มบวก
3) 13,...,27,9,3,1 n ล าดับจ ากัด ล าดับอนันต์
เพราะมีโดเมนเป็นจ านวนเต็มบวก n ตัวแรก
4) ...,)1(
1,...,
12
1,
6
1,
2
1
nn ล าดับจ ากัด
ล าดับอนันต์
เพราะมีโดเมนเป็นจ านวนเต็มบวก
5) 1,0,1,0,1,0,1,0,1,0 ล าดับจ ากัด ล าดับอนันต์
เพราะมีโดเมนเป็นจ านวนเต็มบวก 10 ตัวแรก
เอกสารแนะแนวทาง 1
ไปท าแบบฝึกทักษะ
กันเถอะครับ
ค าสั่ง
6
ค าชี้แจง: จากล าดับที่ก าหนดให้ต่อไปนี้ จงบอกว่าเป็นล าดับจ ากัดหรือล าดับอนันต์ โดยท าเครื่องหมาย ลงในช่อง พร้อมทั้งให้เหตุผลประกอบ
เกณฑ์การให้คะแนน : บอกชนิดล าดับและบอกเหตุผลได้ถูกต้องให้คะแนนข้อละ 1 คะแนน คะแนนเต็ม 5 คะแนน
ล าดับ ชนิดของล าดับ เหตุผล 1) 11,8,5,2 ล าดับจ ากัด
ล าดับอนันต์
…………………………………………………………… ……………………………………………………………
2) ...,8,8,8,8 ล าดับจ ากัด ล าดับอนันต์
…………………………………………………………… ……………………………………………………………
3) ...,1,1,1,1 ล าดับจ ากัด ล าดับอนันต์
…………………………………………………………… ……………………………………………………………
4) 10
9,
8
7,
6
5,
4
3,
2
1 ล าดับจ ากัด ล าดับอนันต์
…………………………………………………………… ……………………………………………………………
5) 52,...,13,11,9,7 n ล าดับจ ากัด ล าดับอนันต์
…………………………………………………………… ……………………………………………………………
แบบฝึกทักษะ 1
7
ล าดับ ชนิดของล าดับ เหตุผล
1) 11,8,5,2 ล าดับจ ากัด ล าดับอนันต์
เพราะมีโดเมนเป็นจ านวนเต็มบวก 4 ตัวแรก
2) ...,8,8,8,8 ล าดับจ ากัด ล าดับอนันต์
เพราะมีโดเมนเป็นจ านวนเต็มบวก
3) ...,1,1,1,1 ล าดับจ ากัด ล าดับอนันต์
เพราะมีโดเมนเป็นจ านวนเต็มบวก
4) 10
9,
8
7,
6
5,
4
3,
2
1 ล าดับจ ากัด ล าดับอนันต์
เพราะมีโดเมนเป็นจ านวนเต็มบวก 5 ตัวแรก
5) 52,...,13,11,9,7 n ล าดับจ ากัด ล าดับอนันต์
เพราะมีโดเมนเป็นจ านวนเต็มบวก n ตัวแรก
เฉลยแบบฝึกทักษะ 1
8
เรื่อง ลิมิตของล าดับ จากล าดับที่ก าหนดให้ จงวาดกราฟของล าดับและใช้กราฟของล าดับตอบค าถามต่อไปนี้ 1) ถ้า n มีค่ามากขึ้นโดยไม่สิ้นสุดค่าของ na มีค่าเพ่ิมขึ้น ลดลง หรือคงตัว 2) na มีค่าเพ่ิมข้ึนหรือลดลง ในลักษณะเข้าใกล้จ านวนจริงใด หรือ เพ่ิมข้ึน ลดลงไม่สิ้นสุด
ล าดับ nan
1
n 1 2 3 4 5
na 1 2
1 3
1 4
1 5
1
ได้กราฟของล าดับดังนี้
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
n
1
2
na
จากกราฟ สรุปได้ว่า
1) ถ้า n มีค่ามากข้ึนโดยไม่มีที่สิ้นสุดแล้ว na มีค่าค่อยๆลดลง. 2) na มีค่าค่อยๆลดลงและเข้าใกล้ 0 แต่จะไม่เท่ากับ 0
เอกสารแนะแนวทาง 2
ตัวอย่าง 1
วิธีท า
ค าสั่ง
9
ล าดับ 2na
n 1 2 3 4 5 6 7 8
na 2 2 2 2 2 2 2 2
จะได้กราฟของล าดับดังนี้
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10n
1
2
na
จากกราฟ สรุปได้ว่า
1) ถ้า n มีค่ามากขึ้นโดยไม่มีที่สิ้นสุดแล้ว na มีค่าคงตัว 2) na มีค่าคงตัวเท่ากับ 2 เสมอส าหรับทุกค่าของ n
ล าดับ nan
n 1 2 3 4 5
na -1 -2 -3 -4 -5
ได้กราฟของล าดับดังนี้
na
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10n
-4
-5
-3
1
-2
-1
จากกราฟ สรุปได้ว่า
1) ถ้า n มีค่ามากขึ้นโดยไม่มีที่สิ้นสุดแล้ว na มีค่าลดลงเรื่อยๆ 2) na มีค่าลดลงเรื่อยๆ ไม่เข้าใกล้จ านวนใดจ านวนหนึ่ง
ตัวอย่าง 2
วิธีท า
ตัวอย่าง 3
วิธีท า
10
ค าชี้แจง จากล าดับที่ก าหนดให้ จงวาดกราฟของล าดับและใช้กราฟของล าดับตอบค าถามต่อไปนี้
1) ถ้า n มีค่ามากขึ้นโดยไม่สิ้นสุดค่าของ na มีค่าเพ่ิมข้ึน ลดลง หรือคงตัว 2) na มีค่าเพ่ิมขึ้นหรือลดลง ในลักษณะเข้าใกล้จ านวนจริงใด หรือ เพิ่มขึ้น ลดลงไม่สิ้นสุด
ล าดับ 2
12
nan
n 1 2 3 4 5
na
ได้กราฟของล าดับดังนี้
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
n
1
2
na
จากกราฟ สรุปได้ว่า 1) ……………………………………………………………………………………. 2) …………………………………………………………………………………….
แบบฝึกทักษะ 2
1)
วิธีท า
11
ล าดับ 2nan
n 1 2 3 4
na 1 4
9
16
ได้กราฟของล าดับดังนี้
1 2 3 4 5 6 n
na
2
4
6
8
10
12
14
16
-27
จากกราฟ สรุปได้ว่า
1) ……………………………………………………………………………………. 2) …………………………………………………………………………………….
2)
วิธีท า
12
ล าดับ 2
12
nan
n 1 2 3 4 5
na 1 4
7 9
17 16
31 25
49
ได้กราฟของล าดับดังนี้
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
n
1
2
na
จากกราฟ สรุปได้ว่า 1) ถ้า n มีค่ามากข้ึนโดยไม่มีที่สิ้นสุดแล้ว na มีค่าค่อยๆเพ่ิมขึ้น 2) na มีค่าค่อยๆเพ่ิมขึ้น เข้าใกล้ 2 แต่ไม่เท่ากับ 2
เฉลยแบบฝึกทักษะ 2
1)
วิธีท า
13
ล าดับ 2nan
n 1 2 3 4
na 1 4
9
16
ได้กราฟของล าดับดังนี้
1 2 3 4 5 6 n
na
2
4
6
8
10
12
14
16
-27
จากกราฟ สรุปได้ว่า
1) ถ้า n มีค่ามากข้ึนโดยไม่มีที่สิ้นสุดแล้ว na มีค่าเพ่ิมมากขึ้นเรื่อยๆ 2) na มีค่าเพ่ิมมากข้ึนเรื่อยๆ ไม่เข้าใกล้จ านวนใดจ านวนหนึ่ง
2)
วิธีท า
14
รายวิชาคณิตศาสตร์เพิ่มเติม 5 ใบความรู้ 2 เร่ือง ลิมิตของล าดับ 1
รหัสวิชา ค30205
ล าดับอนันต์และอนุกรมอนันต์ ชั้นมัธยมศึกษาปีท่ี 6
ใช้กราฟของล าดับหาลิมิตของล าดับได้
ก าหนด na เป็นล าดับอนันต์ เมื่อ n มีค่าเพ่ิมข้ึน ไม่สิ้นสุด พจน์ที่ n มีค่าเข้าใกล้
หรือเท่ากับจ านวนจริง เพียงจ านวนเดียวเท่านั้นแล้ว เรียก ว่า ลิมิตของล าดับ (limit of a sequence) แล้วกล่าวว่าล าดับนั้นมีลิมิตเท่ากับ เรียกล าดับอนันต์ที่มีลิมิตว่า ล าดับลู่เข้า (convergent sequence) เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ Lan
n
lim (อ่านว่า ลิมิตของล าดับ
na เมื่อ n มีค่ามากขึ้นไม่สิ้นสุด มีค่าเท่ากับ ) เรียกล าดับอนันต์ที่ไม่ใช่ล าดับลู่เข้าว่าล าดับลู่ออก (divergent sequence) เขียนแทนด้วย n
na
lim หาค่าไม่ได้
ขั้นตอนในการหาลิมิตของล าดับจากกราฟสามารถท าได้ตามข้ึนตอนต่อไปนี้ 1) หาค่าของล าดับ 2) น าค่าท่ีได้มาลงจุดบนกราฟ 3) สังเกตลักษณะจุดบนกราฟ 4) สรุปว่าล าดับที่ก าหนดลู่เข้าหรือลู่ออก
เข้าใจแล้วมาศึกษา
ตัวอย่างเลยนะครับ
พ่ี
จุดประสงค์การเรียนรู้
15
ให้นักเรียนแสดงวิธีท าเพ่ือหาลิมิตของล าดับ
ล าดับ nan
1
n 1 2 3 4 5 6
na 1 2
1
3
1
4
1
5
1
6
1
ได้กราฟของล าดับดังนี้
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
n
-1
-2
1
na
จากกราฟ สรุปได้ว่า ถ้า n มีค่าเพ่ิมข้ึนโดยไม่มีที่สิ้นสุด แล้ว na มีค่าค่อยๆ เพิ่มข้ึนและเข้าใกล้ 0
ดังนั้น ล าดับ n
an
1 ลู่เข้าและมีลิมิตเท่ากับ 0
เอกสารแนะแนวทาง 3
ตัวอย่าง 1
วิธีท า
ค าสั่ง
16
จงวาดกราฟของล าดับ n
na )1(
n 1 2 3 4 5 6 7 8
na -1 1 -1 1 -1 1 -1 1
ได้กราฟของล าดับดังนี้
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10n
1
-1
-1
na
จากกราฟ สรุปได้ว่า เมื่อ n เป็นจ านวนคี่ พจน์ที่ n มีค่าเป็น -1 และเมื่อ n เป็นจ านวนคู ่ พจน์ที่ n มีค่าเป็น 1 ซึ่งไม่ได้เข้าใกล้จ านวนจริงเพียงจ านวนเดียว ดังนั้น ล าดับ n
na )1( มีเป็นล าดับลู่ออก
ตัวอย่าง 2
วิธีท า
เรียกล าดับลู่ออกที่มลีักษณะของกราฟขึ้นและลงสลับกันโดยไม่เขา้
ใกล้จ านวนใดจ านวนหนึ่งเช่นนี้วา่ ล าดับแกว่งกวัด (oscillating sequence)
17
ค าชี้แจง ให้นักเรียนแสดงวิธีท าเพ่ือหาลิมิตของล าดับจากการกราฟของล าดับ เกณฑ์การให้คะแนน หาลิมติของล าดับจากการวาดกราฟได้ถูกต้อง ได้ข้อละ 3 คะแนน
คะแนนเต็ม 9 คะแนน ใช้เวลา 10 นาที
ล าดับ n
an
13
n 1 2 3 4 5 6
na
น าคู่อันดับจากตารางมาเขียนกราฟ
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
n
-1
na
-2
1
-3
จากกราฟ สรุปได้ว่า
……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………
แบบฝึกทักษะ 3
1)
วิธีท า
18
ล าดับ
n
na 2
n 1 2 3 4
na
น าคู่อันดับจากตารางมาเขียนกราฟ
1 2 3 4 5 6 n
na
2
4
6
8
10
12
14
16
-27
จากกราฟ สรุปได้ว่า ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………
2)
วิธีท า
19
ล าดับ n
na
2
1
n 1 2 3 4 5
na
น าคู่อันดับจากตารางมาเขียนกราฟ
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10n
0.5
-0.5
na
1
-1
จากกราฟ สรุปได้ว่า ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………
3)
วิธีท า
20
ล าดับ n
an
13
n 1 2 3 4 5
na 2 2
5
3
8
4
11
5
14
น าคู่อันดับจากตารางมาเขียนกราฟ
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
n
-1
-2
1
-3
na
จากกราฟ สรุปได้ว่า ถ้า n มีค่ามากข้ึนโดยไม่มีที่สิ้นสุดแล้ว na ลดลงและเข้าใกล้ -3
แต่จะไม่เท่ากับ -3
ดังนั้น ล าดับ n
an
13 ลู่เข้าและลิมิตเท่ากับ 3
1)
วิธีท า
เฉลยแบบฝึกทักษะ 3
21
ล าดับ n
na 2
n 1 2 3 4
na 2 4
8
16
น าคู่อันดับจากตารางมาเขียนกราฟ
1 2 3 4 5 6 n
na
2
4
6
8
10
12
14
16
-27
จากกราฟ สรุปได้ว่า ถ้า n มีค่ามากข้ึนโดยไม่มีที่สิ้นสุดแล้ว n
na 2 มีค่ามากข้ึนและไม่เข้าใกล้ จ านวนใดจ านวนหนึ่ง
ดังนั้น ล าดับ n
na 2 ลู่ออก
2)
วิธีท า
22
ล าดับ n
na
2
1
n 1 2 3 4 5
na 2
1
4
1 8
1
16
1 32
1
น าคู่อันดับจากตารางมาเขียนกราฟ
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10n
0.5
-0.5
na
1
-1
จากกราฟ สรุปได้ว่า ถ้า n มีค่ามากขึ้นโดยไม่มีที่สิ้นสุดแล้ว na มีค่าเข้าใกล้ 0 แต่จะไม่เท่ากับ 0
ดังนั้น ล าดับ n
na
2
1 ลู่เข้าและมีลิมิตเท่ากับ 0
3)
วิธีท า
23
ชื่อ………………………………………………………..ชั้น…………เลขที…่…….กลุ่ม……………. ค าชี้แจง จงหาลิมิตของล าดับเมื่อก าหนดกราฟของล าดับดังต่อไปนี้ เกณฑ์การให้คะแนน หาลิมติของล าดับได้ถูกต้อง ได้ข้อละ 2 คะแนน
คะแนนเต็ม 4 คะแนน ใช้เวลา 5 นาที
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10n
2
-1
1
-2
na
จากกราฟ สรุปได้ว่า
…………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10n
2
1
na
3
-1
จากกราฟ สรุปได้ว่า
…………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………
1)
2)
แบบฝึกทักษะ 4
24
1) จากกราฟ สรุปไดว้่า ถ้า n มีค่ามากข้ึนโดยไม่มีที่สิ้นสุดแล้ว na มีค่าขึ้นและลงสลับกันโดยไม่เข้าใกล้
จ านวนใดจ านวนหนึ่ง ดังนั้น ล าดับ na ลู่ออก
2) จากกราฟ สรุปไดว้่า ถ้า n มีค่ามากข้ึนโดยไม่มีที่สิ้นสุดแล้วถึงแม้ค่าของล าดับ na ใน 4 พจน์แรก มีค่าเพ่ิมข้ึน แต่เมื่อถึงพจน์ที่ 5 เป็นต้นไปค่าของล าดับ na ค่อยๆลดลงเรื่อยๆเข้าใกล้ 2 แต่ไม่เท่ากับ 2
ดังนั้น ล าดับ na ลู่เข้าสู่ 2
เฉลยแบบฝึกทักษะ 4
25
รายวิชา คณิตศาสตร์เพิ่มเติม 5 ใบความรู้ 3 เร่ือง ลิมิตของล าดับ 2
รหัสวิชา ค30205
ล าดับอนันต์และอนุกรมอนันต์ ชั้นมัธยมศึกษาปีท่ี 6
หาลิมิตของล าดับโดยอาศัยทฤษฎีบทเกี่ยวกับลิมิตได้ การหาลิมิตของล าดับต่างๆ นอกจากจะหาโดยตรงจากการพิจารณากราฟของล าดับแล้ว
อาจหาได้โดยทฤษฎีบทเกี่ยวกับลิมิต ดังต่อไปนี้ ทฤษฎีบท 1 ให้ r เป็นจ านวนจริงบวกใดๆ จะได้ว่า
1) 01
lim rn n
หรือ ล าดับ rn
na
1 ลู่เข้าสู่ 0
2) r
nn
lim หาค่าไม่ได้ หรือ r
n na ลู่ออก
จงหาลิมิตของล าดับต่อไปนี้
1) ล าดับ nan
1
เนื่องจาก ล าดับ 1
11
nnan เมื่อ 01r
ดังนั้น ล าดับn
an
1 ลู่เข้าสู่ 0
ตัวอย่าง 1
วิธีท า
จุดประสงค์การเรียนรู้
26
2) ล าดับ n
an
1
เนื่องจาก ล าดับ 2
1
11
nn
an เมื่อ 02
1r
ดังนั้น ล าดับn
an
1 ลู่เข้าสู่ 0
3) ล าดับ 4nan
เนื่องจาก ล าดับ 4nan เมื่อ 04 r ดังนั้น ล าดับ 4nan ลู่ออก
4) ล าดับ nan
เนื่องจาก ล าดับ 2
1
nnan เมื่อ 02
1r
ดังนั้น ล าดับ nan ลู่ออก
วิธีท า
วิธีท า
วิธีท า
27
ทฤษฎีบท 2 ให้ r เป็นจ านวนจริงใดๆ จะได้ว่า 1) ถ้า 1|| r แล้ว 0lim
n
nr หรือ ล าดับ n
n ra ลู่เข้าสู่ 0
2) ถ้า 1|| r แล้ว n
nr
lim หาค่าไม่ได้ หรือ ล าดับ n
n ra ลู่ออก
จงหาลิมิตของล าดับต่อไปนี้
1) ล าดับ n
na
2
1
เนื่องจาก ล าดับ n
na
2
1 มี 12
1
2
1r
ดังนั้น ล าดับn
na
2
1 ลู่เข้าสู่ 0
2) n
na
3
1
เนื่องจาก ล าดับ n
na
3
1 มี 13
1
3
1r
ดังนั้น ล าดับn
na
3
1 ลู่เข้าสู่ 0
3) n
na 2
เนื่องจาก ล าดับ n
na 2 เมื่อ 122 r
ดังนั้น ล าดับ n
na 2 ลู่ออก
4) n
na
3
8
เนื่องจาก ล าดับ n
na
3
8 เมื่อ 13
8
3
8r
ดังนั้น ล าดับn
na
3
8 ลู่ออก
ตัวอย่าง 2
วิธีท า
วิธีท า
วิธีท า
วิธีท า
28
ค าชี้แจง จงหาลิมิตของล าดับต่อไปนี้ เกณฑ์การให้คะแนน : บอกลิมิตของล าดับได้ถูกต้อง ได้คะแนนข้อละ 1 คะแนน คะแนนเต็ม 6 คะแนน
1) 2
1
nan
……………………………………………………………….…… ……………………………………………………………….…… ……………………………………………………………….…… ……………………………………………………………….…… ……………………………………………………………….…… ……………………………………………………………….…… 3)
3 nan ……………………………………………………………….…… ……………………………………………………………….…… ……………………………………………………………….…… ……………………………………………………………….…… ……………………………………………………………….…… ……………………………………………………………….…… ……………………………………………………………….……
5) nna 26.0 ……………………………………………………………….…… ……………………………………………………………….…… ……………………………………………………………….…… ……………………………………………………………….…… ……………………………………………………………….…… ……………………………………………………………….……
2) n
na
3
2
……………………………………………………………….…… ……………………………………………………………….…… ……………………………………………………………….…… ……………………………………………………………….…… ……………………………………………………………….…… ……………………………………………………………….……
4) nna 2 ……………………………………………………………….…… ……………………………………………………………….…… ……………………………………………………………….…… ……………………………………………………………….…… ……………………………………………………………….…… ……………………………………………………………….…… 6)
3 nan ……………………………………………………………….…… ……………………………………………………………….…… ……………………………………………………………….…… ……………………………………………………………….…… ……………………………………………………………….…… ……………………………………………………………….……
แบบฝึกทักษะ 5
29
1) 2
1
nan
วิธีท า ล าดับ 2
1
nan มี 02 r
จากทฤษฎีบท 1 ข้อ 1
ดังนั้น ล าดับ 2
1
nan ลู่เข้าสู่ 0
3)
3 nan
วิธีท า ล าดับ 3
3 1
nnan มี 03 r
จากทฤษฎีบท 1 ข้อ 1 ดังนั้น ล าดับ
3 nan ลู่เข้าสู่ 0
5) nna 26.0
วิธีท า ล าดับ nna 26.0 มี 126.026.0 r จากทฤษฎีบท 2 ข้อ 1
ดังนั้น ล าดับ nna 26.0 ลู่เข้าสู่ 0
2) n
na
3
2
วิธีท า ล าดับ n
na
3
2 มี 13
2
3
2r
จากทฤษฎีบท 2 ข้อ 1
ดังนั้น ล าดับn
na
3
2 ลู่เข้าสู่ 0
4) nna 2
วิธีท า ล าดับ nna 2 มี
1414.12 r
จากทฤษฎีบท 2 ข้อ 2
ดังนั้น ล าดับ nna 2 ลู่ออก 6)
3 nan
วิธีท า ล าดับ 31
3 nnan มี 03
1r
จากทฤษฎีบท 1 ข้อ 2 ดังนั้น ล าดับ
3 nan ลู่ออก
แบบฝึกทักษะ 5
30
รายวิชาคณิตศาสตร์เพิ่มเติม 5 ใบความรู้ 4 เร่ือง ลิมิตของล าดับ 3
รหัสวิชา ค30205
ล าดับอนันต์และอนุกรมอนันต์ ชั้นมัธยมศึกษาปีท่ี 6
หาลิมิตของล าดับโดยอาศัยทฤษฎีบทเก่ียวกับลิมิตได้
ทฤษฎีบท 3 ก าหนดให้ A B และ c เป็นจ านวนจริงใดๆ ถ้า na nb และ nt เป็นล าดับของจ านวนจริง โดยที่ Aan
n
lim และ Bbn
n
lim จะได้ว่า
1) ถ้า ctn แล้ว cctn
nn
limlim
2) cAacca nn
nn
limlim
3) BAbaba nn
nn
nnn
limlim)(lim
4) BAbaba nn
nn
nnn
limlim)(lim
5) ถ้า 0nb ทุกๆจ านวนเต็มบวก n และ 0B แล้ว B
A
b
a
b
a
nn
nn
n
n
n
lim
limlim
6) mm
nn
mn
nAaa
limlim เมื่อ m เป็นจ านวนเต็มที่มากกว่าหรือเท่ากับ 2
จงหาลิมิตของล าดับ 1) 2na
เนื่องจาก -2 เป็นค่าคงตัว จะได้ว่า 2limlim
nn
na
2 ดังนั้น 22lim
n
วิธีท า
ตัวอย่าง 1
จุดประสงค์การเรียนรู้
31
2) 2
3
nan
2
3limlim
na
nn
n
2
1lim3
nn )0(3 0
ดังนั้น
03
lim2
nn
3) n
an
12
na
nn
n
12limlim
nnn
1lim2lim
02 2
ดังนั้น
21
2lim
nn
4)
6
3
11
2
1n
nn
a
6
3
11
2
1limlim
n
nn
n na
6
3
1lim
1
2
1lim
n
nn n
6lim
3
1lim
1lim
2
1lim
n
n
nnn n
6002
1
3
ดังนั้น
363
11
2
1lim
n
n n
วิธีท า
วิธีท า
วิธีท า
32
5)
12
17
2
4
n
nan
12
17
limlim
2
4
n
na
nn
n
12
lim
17lim
2
4
n
n
n
n
1lim2
lim
1lim7lim
2
4
nn
nn
n
n
10
07
7
ดังนั้น
7
12
17
lim
2
4
n
n
n
6) 32
81
nan
32
81
limlim n
an
nn
32
81
lim
nn
32
8lim1
lim
nn n
3 80
3 8
2
ดังนั้น
281
lim 32
nn
วิธีท า
วิธีท า
33
ค าชี้แจง : จงหาลิมิตของล าดับต่อไปนี้ เกณฑ์การให้คะแนน : บอกลิมิตของล าดับได้ถูกต้อง ได้คะแนนข้อละ 2 คะแนน คะแนนเต็ม 8 คะแนน
1) 534
nan
……………………………………………………………………. ……………………………………………………………………. ……………………………………………………………………. ……………………………………………………………………. ……………………………………………………………………. ……………………………………………………………………. ……………………………………………………………………. ……………………………………………………………………. …………………………………………………………………….
3)
23 2
1
10
35
1
nnan
……………………………………………………………………. ……………………………………………………………………. ……………………………………………………………………. ……………………………………………………………………. ……………………………………………………………………. ……………………………………………………………………. ……………………………………………………………………. ……………………………………………………………………. ……………………………………………………………………. …………………………………………………………………….
2)
43
16n
an
……………………………………………………………………. ……………………………………………………………………. ……………………………………………………………………. ……………………………………………………………………. ……………………………………………………………………. ……………………………………………………………………. ……………………………………………………………………. ……………………………………………………………………. …………………………………………………………………….
4)
34
2
15
5n
a
n
n
……………………………………………………………………. ……………………………………………………………………. ……………………………………………………………………. ……………………………………………………………………. ……………………………………………………………………. ……………………………………………………………………. ……………………………………………………………………. …………………………………………………………………….
แบบฝึกทักษะ 6
34
1) 534
nan
วิธีท า
5
3limlim
4na
nn
n
5lim3
lim4
nn n
50 5
ดังนั้น 553
lim4
nn
3)
23 2
1
10
35
1
nnan
วิธีท า
23 2
1
10
35
1limlim
nna
nn
n
23 2
1
10
3lim5
1lim
nn nn
23 2
1lim
10
3lim5lim
1lim
nn nnnn
0
10
350
10
35
2
3
ดังนั้น 2
31
10
35
1lim
23 2
nnn
2)
43
16n
an
วิธีท า 43
16limlimn
an
nn
42
316lim
nn
43
lim16limnnn
4 016
4 16
2
ดังนั้น 23
16lim 4 nn
4)
34
2
15
5n
a
n
n
วิธีท า
34
2
15
limlim
5n
a
n
nn
n
3lim4
lim
2
1lim5lim
5 nn
n
nn
n
30
05
3
5
ดังนั้น 3
5
34
2
15
lim
5
n
n
n
เฉลยแบบฝึกทักษะ 6
35
เอกสารแนะแนวทาง
ให้นักเรียนแสดงวิธีท าเพ่ือหาลิมิตของล าดับต่อไปนี้
1) 55
13
n
nan
เนื่องจาก
nn
nn
an5
5
13
n
n
55
13
n
na
nn
n 55
13
limlim
n
n
nn
nn
5lim5lim
1lim3lim
05
03
5
3
ดังนั้น 5
3
55
13lim
n
n
n
2) 54
23
n
nan
เนื่องจาก
54
23
2
1
2
1
n
nan
2
12
1
2
12
1
54
23
n
n
n
n
2
1
2
1
54
23
n
n
2
1
2
1
54
23
limlim
n
na
nn
n
2
1
2
1
5lim4lim
2lim3lim
n
n
nn
nn
04
03
4
3
ดังนั้น 4
3
54
23lim
n
n
n
วิธีท า วิธีท า
เอกสารแนะแนวทาง 4
ค าสั่ง
36
3) nn
nan
33
323
2
เนื่องจาก
2
3
3
3
33
32
nn
nnn
an
2
3
33
32
n
nn
nn
na
nn
n 33
32limlim
3
2
2
3
33
32
lim
n
nn
n
2
3
3lim3lim
3lim
2lim
n
nn
nn
nn
03
00
0
ดังนั้น 033
32lim
3
2
nn
n
n
4) n
nnan
52
4323 4
เนื่องจาก
n
nnan
52
432 2
1
3
4
3
1
3
4
3
4
3
4
6
5
3
4
52
432
nn
n
nn
n
3
1
3
4
3
4
6
5
52
432
nn
nn
3
1
3
4
3
4
6
5
52
432
limlim
nn
nna
nn
n
3
1
3
4
3
4
6
5
5lim
2lim
4lim
3lim2lim
nn
nn
nn
nnn
00
002
0
2 หาค่าไม่ได้
ดังนั้น ล าดับ n
nnan
52
4323 4
ลู่ออก
วิธีท า วิธีท า
37
ค าชี้แจง ให้นักเรียนแสดงวิธีท าเพ่ือหาลิมิตของล าดับที่โจทย์ก าหนดให้ เกณฑ์การให้คะแนน หาลิมติของล าดับได้ถูกต้อง ได้ข้อละ 2 คะแนน คะแนนเต็ม 8 คะแนน
1) 28
322
2
n
nan
………………………………………………………………………
………………………………………………………………………
………………………………………………………………………
………………………………………………………………………
………………………………………………………………………
………………………………………………………………………
………………………………………………………………………
………………………………………………………………………
………………………………………………………………………
………………………………………………………………………
………………………………………………………………………
………………………………………………………………………
………………………………………………………………………
………………………………………………………………………
………………………………………………………………………
………………………………………………………………………
………………………………………………………………………
………………………………………………………………………
………………………………………………………………………
2) 54
253
3
n
nan
………………………………………………………………………
………………………………………………………………………
………………………………………………………………………
………………………………………………………………………
………………………………………………………………………
………………………………………………………………………
………………………………………………………………………
………………………………………………………………………
………………………………………………………………………
………………………………………………………………………
………………………………………………………………………
………………………………………………………………………
………………………………………………………………………
………………………………………………………………………
………………………………………………………………………
………………………………………………………………………
………………………………………………………………………
………………………………………………………………………
………………………………………………………………………
แบบฝึกทักษะ 7
38
3) n
nan
71
96
………………………………………………………………………
………………………………………………………………………
………………………………………………………………………
………………………………………………………………………
………………………………………………………………………
………………………………………………………………………
………………………………………………………………………
………………………………………………………………………
………………………………………………………………………
………………………………………………………………………
………………………………………………………………………
………………………………………………………………………
………………………………………………………………………
………………………………………………………………………
………………………………………………………………………
………………………………………………………………………
………………………………………………………………………
………………………………………………………………………
………………………………………………………………………
4) 32
234
932
1625
nn
nnnan
………………………………………………………………………
………………………………………………………………………
………………………………………………………………………
………………………………………………………………………
………………………………………………………………………
………………………………………………………………………
………………………………………………………………………
………………………………………………………………………
………………………………………………………………………
………………………………………………………………………
………………………………………………………………………
………………………………………………………………………
………………………………………………………………………
………………………………………………………………………
………………………………………………………………………
………………………………………………………………………
………………………………………………………………………
………………………………………………………………………
………………………………………………………………………
39
5) 457
)42)(1(2
nn
nnan
………………………………………………………………………
………………………………………………………………………
………………………………………………………………………
………………………………………………………………………
………………………………………………………………………
………………………………………………………………………
………………………………………………………………………
………………………………………………………………………
………………………………………………………………………
………………………………………………………………………
………………………………………………………………………
………………………………………………………………………
………………………………………………………………………
………………………………………………………………………
………………………………………………………………………
………………………………………………………………………
………………………………………………………………………
………………………………………………………………………
………………………………………………………………………
6 ) )12(
)23)(5(3
2
nn
nnan
………………………………………………………………………
………………………………………………………………………
………………………………………………………………………
………………………………………………………………………
………………………………………………………………………
………………………………………………………………………
………………………………………………………………………
………………………………………………………………………
………………………………………………………………………
………………………………………………………………………
………………………………………………………………………
………………………………………………………………………
………………………………………………………………………
………………………………………………………………………
………………………………………………………………………
………………………………………………………………………
………………………………………………………………………
………………………………………………………………………
………………………………………………………………………
40
1) 28
322
2
n
nan
เนื่องจาก
2
2
2
2
28
32
nn
nn
an
2
2
28
32
n
n
2
2
28
32
limlim
n
na
nn
n
2
2
2lim8lim
3lim2
lim
n
n
nn
nn
08
30
8
3
ดังนั้น 8
3
28
32lim
2
2
n
n
n
2) 54
253
3
n
nan
เนื่องจาก 54
25
3
1
3
1
n
nan
3
1
3
1
3
1
3
1
54
25
n
n
n
n
3
1
3
1
54
25
n
n
3
1
3
1
54
25
limlim
n
na
nn
n
3
1
3
1
5lim4lim
2lim5lim
n
n
nn
nn
04
05
4
5
ดังนั้น 4
5
54
25lim
3
3
n
n
n
เฉลยแบบฝึกทักษะ 7
วิธีท า วิธีท า
41
3) n
nan
71
96
เนื่องจาก
71
96
2
1
nn
nn
n
71
96
2
1
n
nn
71
96
limlim2
1
n
nn
an
nn
7lim1
lim
9lim
6lim
2
1
2
1
nn
nn
n
nn
70
00
0
ดังนั้น
071
96lim
n
n
n
4) 32
234
932
1625
nn
nnnan
nnnn
nnnn
an932
1625
24
4
42
4
nnn
nnn
932
1625
24
42
nnn
nnna
nn
n 932
1625
limlim
24
42
nnn
nnn
nnn
nnnn
9lim
3lim
2lim
1lim
6lim
2lim5lim
24
42
00
0005
0
5 หาค่าไม่ได้
ดังนั้น 32
234
932
1625
nn
nnnan
ลู่ออก
วิธีท า วิธีท า
42
5) 457
)42)(1(2
nn
nnan
457
2242
2
nn
nnan
2
2
2
2
457
224
nnn
nnn
2
2
457
224
nn
nn
2
2
4lim
5lim7lim
2lim
2lim4lim
lim
nn
nna
nnn
nnn
nn
007
004
7
4
ดังนั้น 7
4
457
)42)(1(lim
2
nn
nn
n
6) )12(
)23)(5(3
2
nn
nnan
34
23
2
101523
nn
nnnan
nn
nnnnn
12
101523
4
432
4
n
nnnn
12
101523432
n
nnnna
nn
nnnn
nn 1
lim2lim
10lim
15lim
2lim
3lim
lim432
02
0000
0
ดังนั้น
0)12(
)23)(5(lim
3
2
nn
nn
n
วิธีท า วิธีท า
43
ให้นักเรียนแสดงวิธีท าเพ่ือหาลิมิตของล าดับที่โจทย์ก าหนดให้
1) 52
3
23
22
n
n
n
nan
52
3
23
22
n
n
n
nan
5223
23352 22
nn
nnnn
10196
69522
2323
nn
nnnn
10196
72
23
nn
nn
32
3
3
10196
17
nnnn
nn
32
10196
17
nnn
n
32
10lim
19lim
6lim
1lim7lim
lim
nnn
na
nnn
nn
nn
000
07
0
7 หาค่าไม่ได้
ดังนั้น ล าดับ 52
3
23
22
n
n
n
nan
ลู่ออก
2) 1
14 2
n
nan
1
14 2
n
nan
2
2
1
14
n
n
22
1
14
n
n
12
142
2
nn
n
2
2
2
2
121
14
nnn
nn
2
2
121
14
nn
n
2
2
1lim
2lim1lim
1lim4lim
lim
nn
na
nnn
nn
nn
001
04
4
2
ดังนั้น
21
14lim
2
n
n
n
เอกสารแนะแนวทาง 5
วิธีท า วิธีท า
ค าสั่ง
44
ค าชี้แจง ให้นักเรียนแสดงวิธีท าเพ่ือหาลิมิตของล าดับที่โจทย์ก าหนดให้ เกณฑ์การให้คะแนน หาลิมติของล าดับได้ถูกต้อง ได้ข้อละ 2 คะแนน คะแนนเต็ม 4 คะแนน
1) 1212
2 2
2
3
n
n
n
nan
………………………………………………………………………
………………………………………………………………………
………………………………………………………………………
………………………………………………………………………
………………………………………………………………………
………………………………………………………………………
………………………………………………………………………
………………………………………………………………………
………………………………………………………………………
………………………………………………………………………
………………………………………………………………………
………………………………………………………………………
………………………………………………………………………
………………………………………………………………………
………………………………………………………………………
………………………………………………………………………
………………………………………………………………………
………………………………………………………………………
………………………………………………………………………
2)
3 3 18
2
n
nan
………………………………………………………………………
………………………………………………………………………
………………………………………………………………………
………………………………………………………………………
………………………………………………………………………
………………………………………………………………………
………………………………………………………………………
………………………………………………………………………
………………………………………………………………………
………………………………………………………………………
………………………………………………………………………
………………………………………………………………………
………………………………………………………………………
………………………………………………………………………
………………………………………………………………………
………………………………………………………………………
………………………………………………………………………
………………………………………………………………………
………………………………………………………………………
แบบฝึกทักษะ 8
45
1) 1212
2 2
2
3
n
n
n
nan
1212
121222
223
nn
nnnn
1224
22423
2434
nnn
nnnn
1224
2223
234
nnn
nnn
4324
4
2
4
1224
122
nnnnn
nnn
4324
2
1224
122
nnnn
nn
4324
2
1lim
2lim
2lim
4lim
1lim
2lim2lim
lim
nnnn
nna
nnnn
nnn
nn
0000
002
0
2 หาค่าไม่ได้
ดังนั้น ล าดับ 1212
2 2
2
3
n
n
n
nan ลู่ออก
2) 3 3 18
2
n
nan
3 3
3 3
18
2
n
n
3 3
3 23
18
8126
n
nnn
3
3
23
18
8126
n
nnn
3
3
3
32
3
18
81261
nn
nnnn
3
32
1lim8lim
8lim
12lim
6lim1lim
lim
n
nnna
nn
nnnn
nn
3
08
0001
3
8
1
2
1
ดังนั้น ล าดับ
3 3 18
2
n
nan
ลู่เข้าสู่
2
1
เฉลยแบบฝึกทักษะ 8
46
ให้นักเรียนแสดงวิธีท าเพ่ือหาลิมิตของล าดับที่โจทย์ก าหนดให้
1) nn
nn
na23
23 2
nn
nn
na23
2332
nn
nn
23
239
n
nn
n
nn
3
213
3
293
n
n
n
n
3
21
3
29
n
n
3
21
3
29
nn
nn
nn
na
23
23limlim
2
n
n
n
3
21
3
29
lim
n
nn
n
nn
3
2lim1lim
3
2lim9lim
01
09
9
ดังนั้น ล าดับ nn
nn
na23
23 2
ลู่เข้าสู่ 9
3) )1( nnan
)1(
)1()1(
nn
nnnnan
)1(
))1()(( 22
nn
nn
)1(
))1((
nn
nn
)1(
1
nn
)1(
1limlim
nna
nn
n
0 ดังนั้น ล าดับ )1( nnan ลู่เข้าสู่ 0
เอกสารแนะแนวทาง 6
ค าสั่ง
วิธีท า วิธีท า
47
ค าชี้แจง ให้นักเรียนแสดงวิธีท าเพ่ือหาลิมิตของล าดับที่โจทย์ก าหนดให้ เกณฑ์การให้คะแนน หาลิมติของล าดับได้ถูกต้อง ได้ข้อละ 2 คะแนน คะแนนเต็ม 8 คะแนน
1) 1
1
53
53
nn
nn
na
………………………………………………………………………
………………………………………………………………………
………………………………………………………………………
………………………………………………………………………
………………………………………………………………………
………………………………………………………………………
………………………………………………………………………
………………………………………………………………………
………………………………………………………………………
………………………………………………………………………
………………………………………………………………………
………………………………………………………………………
………………………………………………………………………
………………………………………………………………………
………………………………………………………………………
………………………………………………………………………
………………………………………………………………………
………………………………………………………………………
………………………………………………………………………
2) )12( nnan ………………………………………………………………………
………………………………………………………………………
………………………………………………………………………
………………………………………………………………………
………………………………………………………………………
………………………………………………………………………
………………………………………………………………………
………………………………………………………………………
………………………………………………………………………
………………………………………………………………………
………………………………………………………………………
………………………………………………………………………
………………………………………………………………………
………………………………………………………………………
………………………………………………………………………
………………………………………………………………………
………………………………………………………………………
………………………………………………………………………
………………………………………………………………………
แบบฝึกทักษะ 9
48
1) 1
1
53
53
nn
nn
na
nn
nn
na553
533
55
35
15
335
n
n
n
n
55
3
15
33
n
n
55
3
15
33
limlimn
n
nn
na
5lim5
3lim
1lim5
33lim
n
n
n
n
n
n
50
1)0(3
5
1
ดังนั้น ล าดับ 1
1
53
53
nn
nn
na ลู่เข้าสู่
5
1
2) )12( nnan
))12(
))12()12(
nn
nnnnan
)112(
))1()2(( 22
nn
nn
)12(
))1()2((
nn
nn
)12(
1
nn
)12(
1limlim
nna
nn
n
0 ดังนั้น ล าดับ )12( nnan ลู่เข้าสู่ 0
เฉลยแบบฝึกทักษะ 9
วิธีท า วิธีท า
49
แบบทดสอบก่อนเรียน/หลังเรียนประจ าชุดการสอนที่ 1 เรื่อง ลิมิตของล าดับ
ค าชี้แจง 1) ให้นักเรียนท าเครื่องหมายกากบาท (X) ลงในช่อง ก ข ค หรือ ง ที่เห็นว่าถูกต้องที่สุด เพียงข้อเดียวในกระดาษค าตอบ 2) เวลาในการท าแบบทดสอบ 15 นาที
1)ข้อใดกล่าวถูกต้อง
ก) ล าดับ ...,5
1,
4
1,
3
1,
2
1,1 เป็นล าดับจ ากัดเพราะมีโดเมนเป็นจ านวนเต็มบวก 5 ตัวแรก
ข) ล าดับ 12,...,8,4,2,1 n เป็นล าดับอนันต์เพราะมีโดเมนเป็นจ านวนเต็มบวก
ค) ล าดับ ...,)2(
1,...,
15
1,
8
1,
3
1
nn เป็นล าดับอนันต์เพราะมีโดเมนเป็นจ านวนเต็มบวก
ง) ล าดับ 1,1,1,1,1,1,1,1,1,1 เป็นล าดับอนันต์เพราะมีโดเมนเป็นจ านวนเต็มบวก 2) จากกราฟของล าดับที่ก าหนดข้างล่าง ข้อใดกล่าวถูกต้อง
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 n
1
na
2
3
4
5
-1
-2
ก) ล าดับลู่เข้าสู่ 0 ข) ล าดับลู่เข้าสู่ -2 ค) ล าดับลู่เข้าสู่ 5 ง) ล าดับลู่ออก 3) ล าดับในข้อใดลู่ออก
ก) 2
1
nan ข) 1
10
n
nan
ค) n
na 2 ง) n
na
10
1
4) ลิมิตของล าดับ 2
2
3
432
n
nnan
เท่ากับข้อใด
ก) -2 ข) 2
1 ค)
2
1 ง) หาค่าไม่ได้
5) ลิมิตของล าดับ 2
2
3
22
n
n
n
nan เท่ากับข้อใด
ก) -2 ข) 1 ค) 1 ง) หาค่าไม่ได้
6) ก าหนดให้ 12
22
n
nan แล้ว n
na
lim เท่ากับข้อใดต่อไปนี้
ก) 2
1 ข) 2
1 ค) 1 ง) หาค่าไม่ได้
50
7) ล าดับในข้อใดเป็นล ำดับลู่เข้ำ
ก) 1
2
n
nan
ข) n
na )1(1
ค) 1022 nnnan ง) 1
42
2
2
n
nan
8) ล าดับในข้อใดลู่เข้ำ
ก) n
nn
na3
25
ข)
25
36
n
n
na
ค) n
n
na 33
2
ง) 5
3
1
n
na
9) ถ้า 3
1
2
11
14
15lim
2
2
n
nkn
n โดยที่ k เป็นจ านวนจริงใดๆ แล้ว k เท่ากับข้อใดต่อไปนี้
ก) 3
10 ข) 3
8
ค) 4 ง) 1
10) ก าหนดให้
nA
n
12lim ,
nn
nn
nB
34
34lim
1
แล้ว BA เท่ากับข้อใดต่อไปนี้
ก) 4 ข) 6 ค) 10 ง) 12
เฉลยแบบทดสอบชุดที่ 1 เรือ่งลิมิตของล าดับ
ข้อ เฉลย ข้อ เฉลย 1 ค 6 ก
2 ก 7 ค 3 ค 8 ง
4 ก 9 ก
5 ข 10 ข
51
ข้อ ก ข ค ง
1 2
3 4
5
6 7
8
9 10
กระดาษค าตอบแบบทดสอบ ชุดการสอนที่ 1 เรื่อง ลิมิตของล าดับ
52
กนกวรี อุษณกรกุล และรณชัย มาเจริญทรัพย์. (2548). แบบฝึกหัดและประเมินผลการเรียนรู้
คณิตศาสตร์เพิ่มเติม ม.6 เล่ม 2. กรุงเทพฯ : ส านักพิมพ์เดอร์บุคส์ เจริญรัฐ การพิมพ์. กวิยา เนาวประทีป. (2555). เทคนิคการเรียนคณิตศาสตร์ ล าดับและอนุกรม. กรุงเทพฯ :
ส านักพิมพ์ฟิสิกส์เซ็นเตอร์. จ ารัส อินสม. (2547). คู่มือคณิตศาสตร์เพิ่มเติม ช้ันมัธยมศึกษาปีท่ี 6 ภาคเรียนที่ 2. กรุงเทพฯ : ส านักพิมพ์ แม็ค. ธนวัฒน ์(สันติ) สนทราพรพล. คู่มือรายวิชาคณิตศาสตร์พื้นฐานและเพิ่มเติมเล่ม 6. นนทบุรี : ส านักพิมพ์ธรรมบัณฑิต. ฝ่ายวิชาการ ส านักพิมพ์ดอกหญ้าวิชาการ. (2549). แบบฝึกเสริมทักษะ กลุ่มสาระการเรียนรู้เพิ่มเติม
วิชาคณิตศาสตร์ชั้นมัธยมศึกษาปีท่ี 6 (ช่วงชั้นที่ 4) เล่ม 2. กรุงเทพฯ : ส านักพิมพ์ดอกหญ้าวิชาการ.
สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี. (2554). คู่มือครูรายวิชาเพิ่มเติมคณิตศาสตร์ เพิ่มเติม เล่ม 6 ชั้นมัธยมศึกษาปีท่ี 4 - 6. กรุงเทพฯ : โรงพิมพ์ สกสค. ลาดพร้าว.
. (2557). หนังสือเรียนรายวิชาเพิ่มเติม คณิตศาสตร์ เล่ม 6 ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 4 - 6. กรุงเทพฯ : โรงพิมพ์ สกสค. ลาดพร้าว.
บรรณานุกรม