รายงานฉบบัสมบรูณ การประยุกตใชเทคนิคการคํานวณทางคอมพวิเตอร (GTN

Model) เพื่อลดปญหาการเสียหายของชิ้นสวน

2553

สถาบันเหล็กและเหล็กกลาแหงประเทศไทย

กันยายน 2553

2

สารบัญ

เนื้อหา หนา

บทที่ 1 บทนํา ..................................................................................................................................................3

1.1 ความสําคัญและท่ีมาของของโครงการวิจัย.....................................................................................3

1.2 จุดประสงคของโครงการ ................................................................................................................4

1.3 สิ่งที่คาดวาจะไดรับ ........................................................................................................................4

1.4 ขอบเขตการดําเนินโครงการ ...........................................................................................................4

บทที่ 2 การศึกษาขอมูลเบื้องตน ......................................................................................................................5

2.1 Micromechanical Damage Model ..................................................................................................6

2.2 GTN Model (Gurson-Tvergaard-Needleman Constitutive Model) ...............................................7

2.3 Anisotropic Yield Function ............................................................................................................9

2.4 Barlat-Lain 3components Anisotropic Yield Function ................................................................10

บทที่ 3 ขั้นตอนการดําเนินงาน ......................................................................................................................12

บทที่ 4 ผลการดําเนินงาน ..............................................................................................................................14

4.1 การทดสอบชิ้นงานทั้งทางกล ทางเคมีและตรวจสอบโครงสรางจุลภาคและลักษณะการแตก .....14

4.2 การสรางแบบจําลองและปรับปรุงตัวแปรในการคํานวณดวยโปรแกรมคอมพิวเตอร ..................21

บทที่ 5 สรุปผลการดําเนินงาน.......................................................................................................................32

บทที่ 6 วิจารณผลการดําเนนิงาน ...................................................................................................................34

เอกสารอางอิง ................................................................................................................................................35

ภาคผนวก ......................................................................................................................................................36

ภาคผนวก ก. การคํานวณหาตวัแปรสมการ Power Law ..........................................................................37

3

บทที่ 1 บทนํา

1.1 ความสําคัญและที่มาของของโครงการวิจัย

การขึ้นรูปเหล็กแผนใหไดรูปรางตามตองการและไมมีรอยตําหนิใดๆ เกิดขึ้น ในการพยากรณความ

เสียหายโดยการใชโปรแกรมคอมพิวเตอรเขามาชวยในการคํานวณและพยากรณสิ่งที่อาจจะเกิดขึ้นกับการ

ขึ้นรูปชิ้นสวนไมวาจะเปนชิ้นสวนยานยนต หรือชิ้นสวนในอุตสาหกรรมอื่นๆ โดยเนนวาเปนวัสดุที่

สามารถนํามาขึ้นรูปไดโดยใชแมพิมพ ส่ิงที่มักจะพบคือการกําหนดเกณฑความเสียหายที่อาจจะเกิดขึ้นนั้น

โดยมากจะอางอิงกับคาความเคน ณ จุดคราก หรือความเคนที่เกิดขึ้นสูงสุด ซึ่งในความเปนจริงแลวความ

เคนที่นํามาใชเปนเกณฑความเสียหาย (failure criteria) ถือวาเปนเกณฑที่มีความถูกตองนอยมากแตสะดวก

ในการนําไปใชอางอิงทั่วไป และในการคํานวณโดยใชโปรแกรมคอมพิวเตอรยังแสดงใหเห็นอีกวา ผลความ

เคนที่เกิดขึ้นจากการคํานวณนั้นจะสูงขึ้นไปเรื่อยๆ ถึงแมวาจะเกินกวาคาความเคนสูงสุดไปแลว กําหนดคา

ความเคนความเครียดที่เปนสมบัติของวัสดุในโปรแกรม คาก็ยังคํานวณตอไป ซึ่งบางโปรแกรมก็ใชการ

ประมาณคานอกชวง (Extrapolation) หรือบางโปรแกรมก็ใชคาสุดทายของคาที่กําหนดในการคํานวณใน

ระหวางการรับแรงซึ่งจะทําใหการพยากรณแรงกระทําที่เกิดสูงกวาความเปนจริง โดยสามารถดูไดจาก รูปที่

1.1

รูปที่ 1.1 กราฟแสดงความเคนและความเครียดโดยเปรียบเทียบระหวางผลที่ไดจากการคํานวณและผลที่ได

จากการทดลองจริง (U. P. V. Uthaisangsuk) (U. P. V. Uthaisangsuk) (Vajragupta)

จากกราฟดังกลาว จะเห็นวามีความแตกตางกันคอนขางมากในชวงการเสียรูปอยางถาวร เหตุการณ

ดังกลาวจะเปนการทําใหการผลิตชิ้นสวนโดยอางอิงสภาวะการทํางานจากผลของการคํานวณยังพบวามี

ความเสียหายของชิ้นงานในเบื้องตนอยูและทําใหความนาเช่ือถือของการคํานวณลดลง

4

ดังนั้น การนําเอาการพยากรณความเสียหายดวยการคํานวณจากโปรแกรมไฟไนตเอลิเมนต จึงเปน

เครื่องมือชนิดหนึ่งที่มีประสิทธิภาพและเขามาชวยเพิ่มความมั่นใจในการเลือกตัวแปรที่ใชตัดสินใจในการ

ผลิต

คณะผูวิจัยจึงมีจุดมุงหมายเพื่อศึกษาตัวแปรที่ใชในการควบคุมการคํานวณใหมีความแมนยํามา

ยิ่งขึ้น และผลของการดําเนินงานวิจัยจะเปนฐานขอมูลทางดานวัสดุ และสรางเครื่องมือใหผูประกอบการที่

สามารถผลิตเหล็กหลอผสมฟอสฟอรัสสูงไดอยางมีประสิทธิภาพ

1.2 จุดประสงคของโครงการ

การประยุกตใช Damage Model ในการคํานวณดวยโปรแกรมจําลองการขึ้นรูปเพื่อคาดการณความ

เสียหายที่เกิดจากการขึ้นรูปเหล็กแผน

1.3 สิ่งที่คาดวาจะไดรับ

Damage Model สําหรับใชในการคํานวณเพื่อพยากรณความเสียหายที่เหมาะสม และมีความถูกตอง

มากกวา Model เดิมที่ใชอยู

สามารถออกลดระยะเวลาการทดลองแมพิมพขึ้นรูปและ/หรือสามารถลดของเสียท่ีเกิดจากการผลิต

ไดไมนอยกวา 10%

1.4 ขอบเขตการดําเนินโครงการ

การใช Damage Model แบบ GTN model เพื่อชวยกําหนดเกณฑความเสียหายในระหวางการใช

โปรแกรมจําลองการขึ้นรูปของเหล็กแผนที่มีการเสียหายในลักษณะของวัสดุที่มีความเหนียว

5

บทที่ 2 การศึกษาขอมูลเบื้องตน

การศึกษาเกี่ยวกับเกณฑความเสียหาย (failure criteria) จึงเปนเรื่องสําคัญ มีจุดประสงคเพื่อใชเปน

เกณฑการปองกันการเกิดความเสียหาย โดยปจจุบันมีหลายวิธีในการตั้งเกณฑความเสียหาย เชนการใชความ

เคน ณ จุดคราก หรือความเคนสูงสุด การหาเสนโคงการของการเสียหาย (damage curve) การใช forming limit

diagram (FLD) เขามาชวยในการพยากรณความเสียหายของชิ้นงานเมื่อไดรับความเครียด ซึ่งขอมูลที่นํามา

สราง FLD นั้นไดมาจากการทดลองในหองปฏิบัติการ (U' P' V. Uthaisangsuk) และในการนํามาใชงานนั้น

FLD เปนขอมูลที่ขึ้นกับประวัติการขึ้นรูปของชิ้นงานและเสนทางของการเกิดความเครียด ซึ่งจะเห็นไดวามี

ขอจํากัดในการนํามาใชงาน สําหรับเกณฑความเสียหายที่นาสนใจอีกแบบหนึ่งคือ micromechanical damage

model (P.J.Sanchez)ซึ่งก็เปนการตั้งเกณฑของการพยากรณเหตุการณที่อาจจะเกิดเชนกัน โดยในปจจุบันมี

การศึกษา micromechanical damage model อยางตอเนื่องและหลายแบบซึ่งแตละแบบจะมีความเฉพาะตัวใน

รูปแบบการเสียหายนั้นๆ

(1) Stress – Strain Curve และความเคน ณ จุดคราก และ

ความเคนสูงสุดของวัสด ุ

(2) เสนโคงการเสียหาย (damage curve)

(3) Forming Limit Diagram (FLD) (4) Micromechanical Damage Model

รูปที่ 2.1 แสดงเกณฑความเสียหายของวัสดใุนแบบตาง

6

2.1 Micromechanical Damage Model

สําหรับเหล็กกลาซึ่งโลหะที่มีความเหนียวและไดพัฒนาทั้งในดานความแข็งแรงและความเหนียว

อยางตอเนื่อง ความเสียหายที่เกิดขึ้นในระหวางการขึ้นรูปเหล็กเหนียวนั้น มักจะเกิดจากการฉีกขาดของเนื้อ

วัสดุที่ไดรับแรงกระทํา ซ่ึงสามารถอธิบายไดในรูปแบบของ Micromechanical ดังรูปที่ 2

(1) ขั้นตอนการเกิดความเสียหาย (2) ลักษณะการเชื่อมตอของ void ที่เกิดในเนื้อวัสด ุ

รูปที่ 2.2 แสดง การอธิบายการเกิดความเสียหายของวัสดุเหนียวดวย micromechanical model

ลักษณะการเกิดความเสียหายของวัสดุเหนียว (J.Jackiewicz) ซ่ึงสามารถอธิบายการเกิดความเสียหาย

ในรูปแบบของ micromechanical damage model ไดโดย วัสดุไดรับแรงกระทําที่ถึงระดับหนึ่งคาหนึ่งจะพบวา

ในเนื้อวัสดุจะมีการเกิดชองวาง (Void) อันอาจจะเกิดจากสารมลทิน (inclusion) หรือเปนโพรงในเนื้อวัสดุ ซึ่ง

จะเปนจุดออนของวัสดุที่เปนจุดที่ทําใหวัสดุเกิดความออนแอ หลังจากนั้นแรงที่กระทํายังทําให void ที่

เกิดขึ้นขยายขนาดจนกระทั่งชองวางหลายๆ สวนขยายตัวจนมารวมกัน (Coalesce) และเกิดเปนเสมือน

จุดเริ่มตนของรอยราวและขยายตัวจนเปนรอยแตกราวที่สมบูรณจนทําใหเกิดความเสียหาย (Failure)

นอกจากชองวาง (void) ซึ่งเกิดขึ้นมาจากสารมลทินในเนื้อวัสดุเองแลว ยังพบวา การที่วัสดุรับแรงอยาง

ตอเนื่องจนความเครียดของการเสียรูปอยางถาวร (plastic strain) ในวัสดุสูงถึงระดับหนึ่งจะทําใหเนื้อวัสดุเกิด

แยกเปนโพรงซึ่งเปนการเกิดขึ้นเอง (void nucleation) ซึ่งจากการทดลองในหองปฏิบัติการ (A.L.Gurson)

พบวาความเคนแบบ Hydrostatic เปนสาเหตุหลักที่มีอิทธิพลอยางมากในการทําใหเกิดปรากฏการณดังที่ได

กลาวมาแลว จนกระทั่งเกิดความเสียหายกับชิ้นงาน และ micromechanical damage model ที่สําคัญที่ใชใน

การศึกษาคือ GTN model (Gurson-Tvergaard-Needleman Model)

เพื่อที่จะทําการสรางแบบจําลองทางคณิตศาสตรที่มีทั้งการเกิดการเสียรูปอยางถาวร (Plastic Flow)

และการเกิดความเสียหายแบบเหนียว (Ductile) ขึ้นกับแบบจําลอง Gurson ไดนําเสนอสมการที่จะนํามา

อธิบายการเกิดจุดครากสําหรับวัสดุที่มีความพรุน (Porous Material) โดยมีตัวแปรเกี่ยวกับการเกิดชองวางใน

ระดับโครงสรางของวัสดุ (Microscopic Void) และไดสรางสมการตัวแทนโดยพิจารณาจากความเคนแบบ

Hydrostatic หลังจากนั้น Tvergaard และ Needleman ไดทําการปรับปรุงพัฒนาสมการตัวแทนจากเดิมโดยเพิ่ม

ตัวแปรที่ใชในการปรับแกคาขึ้นอีก 3 ตัวแปร เพื่อใหสมการนํามาใชมีคาที่ไดใกลเคียงกับผลการทดสอบจรงิ

7

2.2 GTN Model (Gurson-Tvergaard-Needleman Constitutive Model)

การอธิบายทฤษฎีของ Plasticity ที่ไดพัฒนาขึ้นโดย Gurson สามารถนํามาใชอธิบายการสูญเสีย

ความสามารถในการรับแรงของวัสดุที่มีความพรุนแบบ Isotropic ซึ่งยังสามารถนํามาใชอธิบายเชิง

คณิตศาสตรเพื่ออธิบายการเกิดความเสียหายของวัสดุที่มีความเหนียว (Ductile) แตก็ยังไมสามารถใชในการ

อธิบายความเสียหายที่เกิดกับวัสดุที่เปนโลหะแผนที่มีความเปน Anisotropic ได

หลังจากนั้น Tvergaard และ Needleman ไดทําการปรับปรุงสมการของ Gurson ดังสมการที่ (1) โดย

� =��

��+ 2 × �� × �∗ × cosh �

�

�× �� ×

��

��� − (1 + �� × �∗�) = 0 (1)

โดยที ่ �� คือ Macroscopic Mises Equivalent Stress

�� = �32

������

��� คือ Deviatoric Component of Cauchy Stress

��� = ��� −1

3������

�� คือ matrix material yield stress

�� คือ hydrostatic stress components

�� =13

���

��, ��, �� คือ calibration coefficient

โดยทั่วไปแลวคาดังกลาวจะมคีา �� = 1.5, �� = 1.0, �� = ���

�∗ คือ total effective void volume fraction

�∗คือ ฟงกชั่นของ void volume fraction, � ในกรณีที่วัสดุไมเกิดความเสียหาย คา �∗จะมีคาเทากับศูนย

ดังนั้น Yield Function จะลดรูปเหลือเพียง Standard von Mises เทานั้น

คา �∗ สามารถเขียนเปนสมการไดเปน

8

�∗ = �� � ≤ ��

�� + �(� − ��) � > ��

�

โดยที ่

�� คือ Critical void volume fraction เมื่อเริ่มเกิด void coalescence

� คือ void growth acceleration factor ซึ่งกําหนดโดยคาความชันของแรงเกิดลดลงเมื่อหนาตัด

เกิดลดลงในระหวางการรับแรง

� =�� − ��

�� − ��

�� คือ void volume fraction ของชิ้นงานที่เกดิความเสียหาย

�� คือ ultimate value of void volume fraction เมื่อความสามารถในการรับความเคนลดลงเปน

ศูนย

�� =1

��

อัตราการเกิด void volume fraction จะเกิดขึ้นจากทั้งการขยายตัวของ void ที่เกิดขึ้นอยูแลว และที่เกิด

จาก void ที่เกิดขึ้นมาใหม

�� = �������� + ������������

เนื่องจาก Matrix ของวัสดุเปนแบบ Incompressible ดังนั้น การขยายตัวของ void ที่เกิดในเนื้อวัสดุจะ

มีความสัมพันธกับ hydrostatic component ของ Plastic Strain และสามารถจัดอยูในรูปของสมการดังนี้

�������� = (1 − �)���: �

โดยที ่� คือ second order unit tensor

Void nucleation สามารถเกิดขึ้นไดโดยทั้ง Plastic Stress และ Strain แตในที่นี้จะใช Plastic Strainที่ทํา

ใหเกิด void nucleation อัตราการเกิด nucleation สามารถจัดในรูปของสมการดังนี้

������������ = � ∙ ���̅��

9

� =�

�

���2���� �−

12

���̅

��− ��

���

2

�

โดยที่

� คือ อัตราการเกิด Nucleation ของ void volume fraction

�� คือ volume fraction ของ void nucleation particles

�� คือ mean plastic strain ที่ void nucleation

�� คือ คาเบี่ยงเบนมาตรฐาน (Standard deviation)

แตเดิมนั้นวัสดุที่ไดจากการสรางแบบจําลองของ GTN Model เปนวัสดุแบบ Isotropic material แต

หากพิจารณากระบวนการรีดที่เกิดขึ้นภายหลังเพื่อใหไดโลหะแผนจะทําใหสมบัติของวัสดุที่เกิดขึ้น มีความ

แตกตางทั้งในแนวการรีด แนวตั้งฉากการรีดและแนวเฉียงทํามุม 45 องศากับการรีด ซึ่งเปนสมบัติแบบ

Plasticity Anisotropic ดังนั้น การพิจารณาสมบัติของวัสดุโดยเฉพาะเหล็กแผน (CHEN Zhi-ying) (Chen

Zhiying) จึงควรจะตองรวมผลการเกิด Anisotropic เขามาในการคํานวณดวย ซึ่งจะพิจารณาเปนตัวแปรของ

equivalent stress

2.3 Anisotropic Yield Function

โดยทั่วไปแลว เหล็กแผนจะมีความเปน Anisotropic หลังจากที่ผานกระบวนการรีดมาแลว

แบบจําลองที่ใชในการอธิบายความเปน Anisotropic มีหลายแบบ ซ่ึงจะในการศึกษาครั้งนี้จะนํามาใช 2 แบบ

คือ

1. Hill Anisotropic Yield Function

2. Barlat-Lain 3component Anisotropic Yield Function

Hill Anisotropic Yield Function

สมการที่ Hill ใชอธิบาย Yield Function สามารถเขียนไดดังนี้

Φ����� = �(��� − ���)� + �(��� − ���)� + (��� − ���)�

+2����� + 2����

� + 2����� − ��� = 0

โดยที่ F, G, H, L, M และ N คือ ตัวแปรของ Hill Anisotropic

� =��

���(�� + 1)

� =1

(�� + 1)

10

� =��

(�� + 1)

� =(�� + ���)(1 + 2���)

2���(1 + ��)

โดยที่ ��, ��� และ ��� คือสัมประสิทธ์ิของ Lankford เมื่อทําการทดสอบกับชิ้นงานที่ตัดตามแนวการรีดทั้ง 0,

45 และ 90 องศา ตามลําดับ แตสําหรับตัวแปร L และ M ไมสามารถหาไดจากการทดสอบแรงดึงแบบ

Uniaxial ดังนั้นจึงกําหนดให L=M=N

2.4 Barlat-Lain 3components Anisotropic Yield Function

สมการของ Barlat สามารถนํามาใชอธิบาย Planar Anisotropic Plastic ของการขึ้นรูปเหล็กแผนได

โดย

� = �|�� + ��|� + �|�� − ��|� + �|2��|� = 2���

�� =��� + ℎ���

2

�� = ����� − ℎ���

2�

�

+ ������

� = 2 − �

� = 2 − 2���

1 + ��×

���

1 + ���

ℎ = ���

1 + ��×

1 + ���

���

�(�) =2����

���

����+

������

� ���

− 1 − ���

11

โดยที่ a, c, h และ p คือคาคงที่ของวัสดุที่ขึ้นอยูกับสัมประสิทธิ์ของ Lankford ในทิศทาง 0, 45 และ 90 องศา

และคา ��, �� คือคา Plane Stress Tensor สําหรับคายกกําลัง (Exponent) ซึ่งจะมีคาเทากับ 6 และ 8 เมื่อผลึก

ของวัสดุเปน Body Centered Cubic หรือ Face Centered Cubic ตามลําดับ (MSC.Marc)

12

บทที่ 3 ข้ันตอนการดําเนนิงาน

การดําเนินโครงการฯ เพื่อใหไดผลดังที่ตั้งจุดประสงคไว ผูดําเนินโครงการจึงไดวางแผนการดําเนนิ

โครงการตามขั้นตอนตางๆ โดยขั้นตอนการดําเนินงานแบงออกเปน 5 ขั้นตอนดังนี้

1. การทดสอบชิ้นงานทั้งทางกล ทางเคมีและตรวจสอบโครงสรางจุลภาคและลักษณะการแตก

2. การปรับปรุงตัวแปรในการคํานวณดวยโปรแกรมคอมพิวเตอร

3. การจําลองกระบวนการขึ้นรูปชิ้นงานดวยตัวแปรที่เหมาะสม

4. แนะนําปรับปรุงกระบวนการขึ้นรูปชิ้นงาน

5. สรุปผลการดําเนินงาน

1. การทดสอบชิ้นงาน

การทดสอบชิ้นงานโดยมีรายการทดสอบเพื่อเปนการตรวจวิเคราะหวัสดุที่ตองการนํามาดําเนินใน

โครงการดังนี้

1.1. การทดสอบทางกล เปนการทดสอบแรงดึง เพื่อหาคาความตานทานแรงดึงทั้งในแนวขนาน (ทํามุม

0 องศากับแนวการรีด) ตั้งฉาก (ทํามุม 90 องศากับแนวการรีด) และทํามุม 45 องศากับแนวการรีด

ของวัสดุ โดยผลที่ตองการจากการทดสอบนี้คือ กราฟ Stress-Strain Curve (คา Young Modulus คา

Yield Strength คา Tensile Strength) คา K, n และ r (r0, r45 และ r90) โดยจะนําไปคํานวณหาคา �̅ และ ∆�

1.2. การทดสอบวิเคราะหสวนผสมทางเคมีของวัสดุในโครงการ ดวยเครื่อง Optical Emission

Spectrometer (OES)

1.3. การวิเคราะหโครงสรางทางจุลภาคดวย Scanning Electron Microscope (SEM) ของตัวอยางที่เกิด

ความเสียหาย (ตัวอยางที่ผานการทดสอบทางกล)

2. การสรางแบบจําลองและปรับปรุงตัวแปรในการคํานวณดวยโปรแกรมคอมพิวเตอร

2.1 สรางแบบจําลองเพื่อจําลองกระบวนการทดสอบ

2.2 การปรับตัวแปรที่ใชในการคํานวณทั้งหมด โดยเริ่มจากการสรางแบบจําลองการทดสอบแรงดึง

โดยจําลองชิ้นงานแรงดึงและกําหนดระยะดึงที่สอดคลองกับการทดสอบ

3. การจําลองกระบวนการขึ้นรูปชิ้นงานดวยตัวแปรที่เหมาะสม

3.1 สรางแบบจําลองกระบวนการขึ้นรูปเหล็กแผน

4. แนะนําปรับปรุงกระบวนการขึ้นรูปชิ้นงาน

5. สรุปผลการดําเนินงาน

13

แผนการดําเนนิโครงการ

ศึกษาตัวแปรในการคํานวณ

ดวยโปรแกรม Simulation

โรงงานในโครงการฯ

เตรียมช้ินงานตัวอยาง

จําลองการทดสอบแรงดึง

ของช้ินงานตัวอยาง

รวบรวมขอมูลในการ

ออกแบบการผลิต

ทดสอบทางกล

(Tensile Test) เปรียบเทียบผลการทดสอบและ

การจําลอง

จําลองกระบวนการผลิต

ชิ้นงานที่เกิดความเสียหาย

เปรียบเทียบช้ินงานจากการที่

เสียหายและการจาํลอง

แนะนํากระบวนการ

ออกแบบในโรงงาน

สรุปผลการดําเนินงาน

14

บทที่ 4 ผลการดําเนินงาน

ผลการดําเนินงานตามขัน้ตอนกิจกรรม

4.1 การทดสอบชิน้งานทั้งทางกล ทางเคมีและตรวจสอบโครงสรางจุลภาคและลักษณะการแตก

จัดหาแผนตัวอยางงานเพื่อตัดเตรียมชิน้งานการทดสอบทางกลและเคม ี

รูปที่ 4.1 แผนสเตนเลสเพื่อเตรียมตัวอยางงานทดสอบ

ตัดเตรียมตวัอยางในการทดสอบ

รูปที่ 4.2 รูปแบบการวางชิ้นงานทดสอบ โดยมีชิ้นงานทั้ง 3 แนว คือ แนวขนานการรดี แนวตั้งฉากการรีด

และทํามุม 45 องศากับแนวรดี

15

ชิ้นงานการทดสอบทางกล (ทดสอบแรงดึง)

รูปที่ 4.3 ชิ้นงานทดสอบทางกลท้ังสามแนว โดยทําการทดสอบแนวละ 3 ชุด

ทําการทดสอบหาสวนประกอบทางเคม ี

รูปที่ 4.4 ชิ้นงานทดสอบสวนประกอบทางเคม ี

16

ผลการทดสอบวัสด ุ

ผลการทดสอบแรงดึงของชิ้นงานทั้ง 3 แนว โดยทําการวิเคราะหและหาคาเฉลี่ยของท้ังคา K, n และ r

ผลแรงดึงแนวขนานกับทิศทางการรดี (ทํามุม 0 องศากับแนวการรีด)

รูปที่ 4.5 ตัวอยางการวิเคราะหผลแรงดึงชิ้นที่ 0-1

0

200

400

600

800

1000

1200

1400

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6

Str

ess

Strain

Stress Strain Curve Comparison

Stress Mpa

True stress Mpa

Cal.Stress Mpa

Range

Stress=1619Strain

17

ผลแรงดึงแนวตั้งฉากกับทิศทางการรีด (ทํามุม 90 องศากับแนวการรีด)

รูปที่ 4.6 ตัวอยางการวิเคราะหผลแรงดึงชิ้นที่ 45-1

ผลแรงดึงแนวทํามุม 45 องศากับทิศทางการรีด (ทํามุม 45 องศากับแนวการรีด)

รูปที่ 4.7 ตัวอยางการวิเคราะหผลแรงดึงชิ้นที่ 90-1

0

200

400

600

800

1000

1200

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6

Str

es

s

Strain

Stress Strain Curve Comparison

Stress Mpa

True stress Mpa

Cal.Stress Mpa

Range

Stress=1452Strain

0

200

400

600

800

1000

1200

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6

Str

ess

Strain

Stress Strain Curve Comparison

Stress Mpa

True stress Mpa

Cal.Stress Mpa

Range

Stress=1527Strain

18

ผลการคํานวณหาคา K, n และ r (r-bar, delta-r)

ตารางที่ 4.1 แสดงผลการคํานวณ คา K, n และ r (r-bar, delta-r) เพื่อนําไปใชในโปรแกรมคํานวณทาง

วิศวกรรม

รูปที่ 4.8 กราฟแสดงแรงทีใ่ชในการดึงชิ้นงานจนกระทั่งเกดิความเสียหาย

ตารางที่ 4.2 ผลการทดสอบหาสวนประกอบทางเคม ีElement C Mn P S Si Cr Ni

%Content

TensileTesting Result

Sample No Direction Yield Ultimate n K r Avg.n Avg.K Avg.r

1 0 308.111 732.642 0.465 1618.958 0.925

2 0 296.443 733.929 0.466 1625.532 0.917

3 0 297.036 734.092 0.466 1626.524 0.939

4 45 281.638 664.767 0.458 1452.390 1.113

5 45 282.395 669.733 0.465 1471.904 1.140

6 45 282.967 674.352 0.465 1480.666 1.154

7 90 291.756 695.465 0.472 1527.411 0.846

8 90 293.358 696.127 0.474 1538.202 0.872

9 90 292.400 707.364 0.476 1538.863 0.846

R-bar 1.0132375

Delta-R -0.245005

0.927

1.136

0.855

0.466

0.462

0.474

1623.671

1468.320

1534.825

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

0 10 20 30 40 50 60

For

ce, k

N

Stroke, mm

Force vs. Stroke

0-1

0-2

0-3

45-1

45-2

45-3

90-1

90-2

90-3

19

การตรวจวดัรองรอยความเสียหายที่เกิดจากการดึงดวยเครือ่ง Scanning Electron Microscope (SEM)

รูปที่ 4.9 ตรวจสอบรองรอยความเสียหายของชิ้นงานทดสอบแรงดึง

รูปที่ 4.10 รอยแตกของชิ้นงานทดสอบแรงดึง (กําลังขยาย 100 เทา)

20

รูปที่ 4.11 รอยแตกของชิ้นงานทดสอบแรงดึง (กําลังขยาย 500 เทา)

รูปที่ 4.12 รอยแตกของชิ้นงานทดสอบแรงดึง (กําลังขยาย 1000 เทา)

จากการวิเคราะหดวยภาพที่ไดจาก Scanning Electron Microscope (SEM) พบวารอยแตกที่เกิดขึ้นนั้น

เปนแบบวัสดุเหนียว ซึ่งพิจารณาจากรอยที่เปนลักษณะหลุมลึก ซึ่งเปนรอยเฉพาะของการแตกเสียหายแบบ

21

เหนียว ดังนั้น จึงเหมาะในการนําเอา GTN Damage Model เขามาทําการศึกษาและทําการวิเคราะหดวย

โปรแกรม Finite Element

4.2 การสรางแบบจําลองและปรับปรงุตัวแปรในการคํานวณดวยโปรแกรมคอมพิวเตอร

การสรางแบบจําลองในการคํานวณดวยโปรแกรมการคํานวณทางวิศวกรรม

แบบจําลองที่ทําการสราง เปนการจําลองการทดสอบแรงดึงของชิ้นงานทดสอบ โดยทําการทดสอบ

การคํานวณทั้งในสวนที่ไมกําหนด Damage model และกําหนด Damage Model ลงไปในการคํานวณดวย

มิติของแบบจําลอง ชิ้นงานทดสอบแรงดึงตามมาตรฐาน JIS ความหนา 1มม. โดยทําการสราง

แบบจําลองเพียงแค 1 ใน 4 ของชิ้นงานแรงดึงจริง เนื่องจากลักษณะการรับแรงเปนแบบสมมาตร เพื่อเปน

การลดระยะเวลาในการคํานวณและสามารถสรางใหแบบจําลองมีความละเอียดมากขึ้นได

รูปที่ 4.13 แบบจําลองขนาด 1 ใน 4 ของชิ้นงานทดสอบจริง

การกําหนดสมบัติของวัสดุ (Material Properties) [10]

การกําหนดสมบัติพื้นฐานในการคํานวณของวัสดุ โดยอางอิงจากขอมูลที่ไดจากการทดสอบทางกล

ซึ่งไดทําการวิเคราะหและไดคาตางๆ ที่กําหนดดังนี้

Young Modulus (MPa) = 181300

Poisson ration = 0.33

Yield Stress (MPa) = 1623x(εp)0.466

Density (kg/m3) = 8000

แสดงสมมาตรของวัสดุ

22

รูปที่ 4.14 การกําหนดสภาวะขอบของแบบจําลอง

รูปที่ 4.15 การกําหนดสภาวะขอบของแบบจําลอง

การกําหนดสภาวะขอบ (boundary condition)

แบบจําลองไดถูกกําหนดสภาวะขอบของแบบจําลองเสมือนกับสภาพจริงในระหวางการใชงานโดย

ขอบดานซายของแบบจําลองถูกยึดไว ไมสามารถเคลื่อนที่ไดในแนว X (Ux=0)

ขอบดานลางของแบบจําลองถูกยึดไว ไมสามารถเคลื่อนที่ไดในแนว Y (Uy=0)

ขอบดานลางและดานซาย บริเวณผิวลางของแบบจําลองถูกยึดไว ไมสามารถเคล่ือนที่ไดในแนว Z

(Uz=0)

23

ขอบดานขวาของแบบจําลองถูกกําหนดใหสามารถเคลื่อนที่ไดในแนว X เปนระยะทางทั้งหมด 28

มม. (Ux=28) ระยะทาง 28 มม. กําหนดจากผลการทดสอบแรงดึงที่ทําใหวัสดุเกิดความเสียหายอยาง

ถาวร (ขาด)

การตรวจสอบความละเอียดของแบบจําลองที่เหมาะสมในการคํานวณ (Mesh dependent)

กอนจะทําการคํานวณเพื่อเปรียบเทียบผลการคํานวณกับผลการทดสอบ จะตองทํา mesh dependent

ระหวางจํานวนของเอลิเมนตในแบบจําลองกับผลที่สามารถคํานวณได เพื่อเปนสรางความมั่นใจวาจํานวน

ของเอลิเมนตไมมีผลกระทบตอผลการคํานวณของแบบจําลอง

ลักษณะการคํานวณเพื่อทํา mesh dependent นั้นคือ การดึงชิ้นงานโดยไมกําหนด Damage Model และ

เปรียบเทียบผลของแรงกระทําที่เกิดที่จุดจับยึดชิ้นงาน (Reaction) เปน criteria โดยเปลี่ยนความละเอียดของ

แบบจําลอง โดยหลังจากที่ไดทําการ mesh dependent พบวาเอลิเมนตที่ไมทําใหผลการคํานวณตางออกไปอยู

ที่ประมาณ 2500 เอลิเมนต

รูปที่ 4.16 ผลการทํา mesh dependent เพื่อเลือกขนาดของเอลิเมนตที่ตองการ

200

220

240

260

280

300

320

340

360

1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000

Cri

teri

a F

orce

, N

Number of Elements

Criteria vs. No. of Elements

24

รูปที่ 4.17 การสราง mesh เพื่อใหชิ้นงานมีความละเอียดเพื่อแสดงผลที่แมนยําและใชเวลาในการคํานวณไม

มากเกินไป

การกําหนด damage model ของ GTN model นั้น มีตัวแปรที่ตองสนใจอยูทั้งหมด 8 ตัวแปร โดยใน

ขั้นแรก ทําการศกึษาวา ผลของ damage model กับคา Yield Criteria มีความสัมพันธกันแบบใด โดยจะ

กําหนดคาตัวแปรโดยอางอิงจากเอกสารอางอิงที่เกี่ยวของกับเหล็ก (Vajragupta) คือ

1st Yield Surface Mutiplier (q1) = 1.5

2nd Yield Surface Multiplier (q2) = 1

Initial Void Volume Fraction (fi) = 0.000

Critical Void Volume Fraction (fc) = 0.0422

Failure Void Volume Fraction (ff) = 0.300

Mean Strain for Nucleation (eN) = 0.21

Standard Deviation (SN) = 0.1

Volume Fraction for Void Nucleation (fN) = 0.003

25

การคํานวณเปรยีบเทียบระหวางแรงดึงของชิ้นงานทดสอบวัสดุ กับแรงดึงทีไ่ดจากการคํานวณดวย

โปรแกรมคอมพิวเตอร

รูปที่ 4.18 แสดงผลของ void fraction ที่เกิดและขยายตัวภายในชิ้นงานจําลองการทดสอบ

รูปที่ 4.19 แสดงผลของความเคน 1st principal stress ของชิ้นงานจําลองการทดสอบ

26

รูปที่ 4.20 เปรียบเทียบแรง reaction force ที่จุดจับยึดชิ้นงานระวางผลการคํานวณจากแบบจําลองและการ

ทดสอบจริง

ผลการคํานวณดวยการใช Yield Criteria Model ของ Hill, Barlat และ von Mises รวมกับ การใช

damage model ของ GTN model

ทําการเปรียบเทียบแรง reaction force จากการจําลองการดึงชิ้นงานดวย Yield Criteria แบบตางๆ

รูปที่ 4.21 การเปรียบเทียบแรง reaction force จากการจําลองการดึงชิ้นงาน

แสดงรูปความเสียหายจากการจําลองการดึงทั้ง Yield criteria ทั้ง Hill, Barlat และ von Mises

27

รูปที่ 4.22 แสดงความเสียหายของชิ้นงาน เมื่อใช Yield criteria ของ Hill model

รูปที่ 4.23 แสดงความเสียหายของชิ้นงาน เมื่อใช Yield criteria ของ Barlat model

28

รูปที่ 4.24 แสดงความเสียหายของชิ้นงาน เมื่อใช Yield criteria ของ von Mises model

เมื่อพิจารณาจากภาพความเสียหายของชิ้นงานที่เกิดขึ้นจริง ตามรูปที่ 4.9 จะพบวา การคํานวณโดย

ใช Yield criteria แบบ Hill และ Barlat ไมสามารถนํามาใชในการทํานายผลของความเสียหายได เนื่องจากไม

มีการเกิดรอยคอด (necking) ที่บริเวณที่เกิดความเคนสูงสุด ซึ่งทําใหชิ้นงานไมเกิดความเสียหายขึ้น ดังนั้น

ตอไปนี้จะพิจารณาเพียง Yield criteria ของ von-Mises เทานั้น เพื่อทําการปรับปรุงตัวแปรของ GTN model ที่

สําคัญ

การปรับปรุงตัวแปรที่สําคัญคือ

Initial Void Volume Fraction (fi)

Critical Void Volume Fraction (fc)

Failure Void Volume Fraction (ff)

Mean Strain for Nucleation (eN)

Volume Fraction for Void Nucleation (fN)

29

รูปที่ 4.25 แสดงผลการคํานวณแรง reaction force เมื่อเปล่ียนคาของ Initial void volume fraction

รูปที่ 4.26 แสดงผลการคํานวณแรง reaction force เมื่อเปล่ียนคาของ Critical void volume fraction

30

รูปที่ 4.27 แสดงผลการคํานวณแรง reaction force เมื่อเปล่ียนคาของ Failure void volume fraction

รูปที่ 4.28 แสดงผลการคํานวณแรง reaction force เมื่อเปล่ียนคาของ Volume fraction for void nucleation

31

รูปที่ 4.29 แสดงผลการคํานวณแรง reaction force เมื่อเปล่ียนคาของ Mean Strain for nucleation

หลังจากที่ไดทําการปรับปรุงตัวแปรในการคํานวณพบวา GTN Parameter สําหรับวัสดุที่เปน

Stainless Steel 304 (SUS304) คือ

1st Yield Surface Mutiplier (q1) = 1.5

2nd Yield Surface Multiplier (q2) = 1

Initial Void Volume Fraction (fi) = 0.001

Critical Void Volume Fraction (fc) = 0.007

Failure Void Volume Fraction (ff) = 0.2

Mean Strain for Nucleation (eN) = 0.3

Standard Deviation (SN) = 0.1

Volume Fraction for Void Nucleation (fN) = 0.05

32

บทที่ 5 สรุปผลการดําเนินงาน

ผลการดําเนินงานสามารถอธิบายไดจากผลการทดสอบและคํานวณโดยที่พิจารณาจากผลการ

คํานวณและจําลองกระบวนการผลิต จะเปนวา การเลือกใช Yield Criteria Model ของวัสดุ (SUS304) นั้น ตาง

ก็มีความสําคัญกับผลที่ได ซึ่งจากผลของ Anisotropic properties ของวัสดุ ที่ทําการทดสอบ เนื่องจากคาที่

ทดสอบออกมานั้น แสดงใหเห็นวา วัสดุดังกลาวยังมีความเปน Isotropic อยู ดังนั้น จึงไมจําเปนตองทําการ

คํานวณดวย model ที่รองรับสมบัติของวัสดุแบบ Anisotropic

สําหรับการเปลี่ยนแปลงตัวแปรในสมการของ GTN damage model นั้น ตางมีความสัมพันธซึ่งกัน

และกัน ดังจะเห็นไดวา ตัวแปรของ initial void volume fraction, critical void volume fraction และ failure void

volume fraction ซึ่งตางก็ขึ้นอยูกับสมบัติของวัสดุที่กําหนดใหในครั้งแรก ซึ่งการกําหนด initial void volume

fraction ตามรูปที่ ... หากกําหนดมากไป จะทําใหวัสดุการความสามารถในการรับแรงของวัสดุลดลงมาก

เกินไป แตหากไมมีกําหนดคาดังกลาว (fi=0) ความสามารถในการรับแรงของวัสดุจะลดลงโดยขึ้นอยูกับ void

nucleation factor ที่เหลือ ตามรูปที่ ... อีกทั้งหากกําหนด critical void volume fraction มากเกินไป จะทําใหวัสดุ

ไมสูญเสียความสามารถในการรับแรง ซึ่งจะกลายเปนวัสดุไมเกิดความเสียหาย แตหากกําหนดนอยเกิน

ความสามารถในการรับแรงก็จะนอยลงกวาความเปนจริงซึ่งจะมีแนวโนมคลายคลึงกับตัวแปร failure void

volume fraction ตามรูปที่...

ดังนั้นจะเปนไดวา ตัวแปรที่ทําการปรับเปล่ียนไปนั้น จะขึ้นอยูกับวัสดุชนิดนั้นๆ ที่นํามาทําการทดลอง และ

สามารถนําไปใชไดไมวาจะเปนการขึ้นรูปชิ้นงานดวยวัสดุนี้ (SUS304) ที่ความหนาใดก็ตาม

จากผลการดําเนินงาน เมื่อนําคาที่ไดจากการคํานวณนี้ไปเปนแนวทางในการออกแบบการสราง

แมพิมพเพื่อขึ้นรูปชิ้นงานแบบพับ (Bending Die) จะสามารถลดระยะเวลาในการทดลองผลิต (Trial & Error)

ในระหวางกระบวนการผลิตลงไดแตทั้งนี้จะเปนการเพิ่มระยะเวลาในการออกแบบแมพิมพเพื่อลดปญหา

การเกิดของเสียลง แตทั้งนี้แมพิมพท่ีออกแบบมาอยางเหมาะสมสามารถลดของเสียที่จะเกิดขึ้นจากการขึ้น

รูปแบบพับ (Bending) ซึ่งจะทําใหบริษัทไมสูญเสียชิ้นงานที่เกิดการแตกราวจากการขึ้นรูปดวยแมพิมพ

ดังกลาว ซึ่งสามารถทําใหบริษัทที่ใชวัสดุและกระบวนการขึ้นรูปนี้ประหยัดและไดผลิตภาพมากขึ้น ใน

กระบวนการผลิตที่มีปริมาณการผลิตจํานวนมาก ดังนั้นในแตละป จะมีของเสียที่เกิดจากกระบวนการพบัขึน้

รูปโดยเกิดการแตกราวบริเวณที่พับขึ้นรูปประมาณ 160,000 ชิ้นตอป ซึ่งหากสามารถลดไดกวา 20% จะทําให

สามารถลดชิ้นงานที่เสียหายเหลือเพียง 32,000 ชิ้นตอปเทานั้น ซึ่งคิดเปนมูลคาที่ไดกลับคืนมาประมาณ

1,024,000 บาท ขึ้นอยูกับปริมาณการผลิต ซ่ึงคาดวาในปหนา ปริมาณการผลิตจะเพิ่มขึ้นอีกกวา 20% ซึ่งผลที่

33

ไดรับก็จะเพิ่มขึ้นอีกดวย และในการเพิ่มทักษะในการออกแบบนี้ วิศวกรออกแบบสามารถกําจัดของเสียจาก

กระบวนการพับขึ้นรูปได ซึ่งจะไดผลิตภาพที่สูงมากกวาการประเมินเบื้องตน

34

บทที่ 6 วิจารณผลการดําเนินงาน

ในการทดสอบแรงดึงของวัสดุที่นํามาทดสอบ จะพบวามีขอมูลที่ไมตอเนื่อง เนื่องจากการติดตั้ง

อุปกรณวัดในระหวางการทดสอบ (extensometer) ไมสามารถติดตั้งเพื่อตรวจวัดความกวางของชิ้นงานได

ตลอดเวลา ดังนั้น ในระหวางการดึงอุปกรณออก จึงมีการคลาดเคลื่อนของขอมูลอยูบาง

ในการปรับปรุงตัวแปรในการคํานวณ คาที่ใชในการปรับปรุงเกิดจากการทดลองคํานวณหลายๆ

ครั้ง ซึ่งไมไดเกิดจากการวัดจริงจากชิ้นงาน ดังนั้นหากตองการผลที่แมนยํามากขึ้น จะตองทําการตรวจวัดหา

ความไมตอเนื่องของชิ้นงานทดสอบดวยเครื่องมือที่สามารถขยายภาพไดดวยกําลังที่สูงมาก แลวนําคาที่

ไดมาเปนตัวแปรตั้งตนในการทดลองคํานวณ จะทําใหคาที่เกิดจากการทดลองคํานวณมีความใกลเคียงกับ

คาที่ไดจากการตรวจวัดมากยิ่งขึ้น

35

เอกสารอางอิง

[1.] A.L.Gurson. “Continuum Theory of Ductile Rupture by Void Nucleation and Growth: Part I –

Yield Criteria and Flow Rules for Porous Ductile Media.” Journal of Engineering Materials and

Technology (1977).

[2.] DONG Xiang-huai CHEN Zhi-ying. “Comparison of GTN Damage Models for Sheet Metal

Forming.” J. Shanghai Jiaotong Univ. (Sci.) 13 (2008): 739–743.

[3.] Dong Xianghuai Chen Zhiying. “The GTN damage model based on Hill’48 anisotropic yield

criterion and its application in sheet metal forming.” Computational Materials Science (2009):

1013–1021.

[4.] J.Jackiewicz. “Use of a modified Gurson model approach for the simulation of ductile fracture

by growth and coalescence of microvoids under low, medium and high stress triaxiality

loadings.” Engineering Fracture Mechanics (2010).

[5.] M. Rakin et al. “Prediction of ductile fracture initiation using micromechanical analysis.”

Engineering Fracture Mechanics 71 (2004): 813–827.

[6.] MSC.Marc. Theory and User Information, p. 483-485. 2010.

[7.] N. Vajragupta. Experimental and numerical damage curve derivation. AACHEN: IEHK, 2007.

[8.] P.J.Sanchez. “On some topics for the numerical simulation of ductile fracture.” International

Journal of Plasticity 24 (2008): 1008–1038.

[9.] Rolf Mahnken. “Theoretical, numerical and identification aspects of a new model class for

ductile damage.” International Journal of Plasticity (2002): 801-813.

[10.] U. Prahl, S. Munstermann, W. Bleck V. Uthaisangsuk. “Experimental and numerical failure

criterion for formability prediction in sheet metal forming.” Computational Materials Science

43 (2008): 43-50.

[11.] Ulrich Prahl, Wolfgang Bleck V. Uthaisangsuk. “Characterisation of formability behaviour of

multiphase steels by micromechanical modeling.” International Journal of Fracture Mechanics

157 (2009): 55–69.

36

ภาคผนวก

37

ภาคผนวก ก. การคํานวณหาตัวแปรสมการ Power Law

การคํานวณหาคา K และ n จากขอมูลของการทดสอบ Tensile Test

กราฟความเคน – ความเครียด (Stress – Strain Curve)

- Engineering Stress – Engineering Strain

- True Stress – True Strain

การคํานวณหาคา True Stress – True Strain

)1ln( EngTrue

)1( EngEngTrue

โดยที ่ EngEng , คือ Engineering Stress และ Engineering Strain ตามลําดับ

TrueTrue , คือ True Stress และ True Strain ตามลําดับ

การหาคา K และ n จากขอมูลการทดสอบแรงดึง

เมื่อนําคาที่ไดจากการทดสอบแรงดึงมาคํานวณและ Plot ลงในกราฟ True Stress และ True Strain

ซึ่งหากทําการ Plot ลงในกราฟ Logarithmic แลวจะเห็นวามีชวงที่เปนเสนตรงอยูซ่ึงสามารถใชสมการ

เสนตรงเขาไป Fit ได ดังสมการดานลาง

)ln(,),ln(),ln()ln()ln()ln(

KcnmxycmxynK

K n

สมการที่ใชในการคํานวณหาสัมประสิทธ์ิของสมการเสนตรง cm, สามารถใช Least Square Line

มาคํานวณหาคาที่ได error ของขอมูลนอยที่สุด ซึ่งสุดทายแลวหลังจากแปลงเปนสมการ Matrix โดย

y

xy

c

m

nx

xx

'

2

โดยที่ 'n คือ จํานวนของขอมูลที่นํามาคํานวณ

เมื่อคํานวณคา cm, มาไดแลวจะไดวา

ceK

mn

Eng

True

38

เมื่อนําขอมูลทั้งหมดมาเปรียบเทียบกันจะไดลักษณะกราฟดังรูป

ทั้งนี้ จากกราฟและคาที่ไดจากการคํานวณทั้ง K และ n จะขึ้นอยูกับจํานวนของขอมูลท่ีตองการนํามาคิด

คํานวณ ซ่ึงสามารถกําหนดไดจากชวงของ strain ที่สนใจ

สมการอางอิง

การเปลี่ยน Engineering Stress – Strain เปน True Stress – Strain

การคํานวณ True Strain:

1lnlnln0

0

0

EngTrue

L

LL

L

L

การคํานวณ True Stress: พิจารณาวัสดุวามีปริมาตรคงที่ (Constant Volume) นั่นคือ

10

0

000

0

00

EngEngTrue

True

Eng

L

LL

A

P

L

L

A

P

A

P

A

P

ALLA

โดยที ่ 00 ,LA คือ พื้นที่หนาตัดและความยาวเดิมของชิ้นงานกอนดึง

LA, คือ พื้นที่หนาตัดและความยาวเดิมของชิ้นงานหลัง

L คือ ความยาวที่เปล่ียนไปจากเดิมเทากับ 0LL

39

Least Square Line สําหรับ Linear Equation

cmxy

2'

1

0222

0222

0

222

)()(2

)(

)(

2

2

2

2

22

22222

222

22

cnxmy

xcxmxy

cmxyc

r

xcmxxym

r

c

r

m

r

cmxcxmcymxyyr

cmxycmxyr

cmxyr

cmxyr

จากสมการ 1 และ 2 จัดรูปไดเปน

y

xy

c

m

nx

xx

'

2

สามารถใชการแกสมการโดย Matrix Operation ได