โครงงานคณิตศาสตร เรื่อง การประยุกต ของอัตราส วนทองคํา จัด ... · บทคัดย

โครงงานคณตศาสตร

เรอง การประยกตของอตราสวนทองคา

จดทาโดย

1.เดกชาย ภมภทร วฒนกลจรส ชนมธยมศกษาปท 3/11

2.เดกชาย สรภพ ภกดนอก ชนมธยมศกษาปท 3/11

3.เดกชาย อภนนท อศรางกร ณ อยธยา ชนมธยมศกษาปท 3/11

4.เดกชาย อภวชญ จรยานเคราะห ชนมธยมศกษาปท 3/11

โรงเรยนวดสทธวราราม เขตสาทร กรงเทพมหานคร

รายงานฉบบนเปนสวนหนงของโครงงานคณตศาสตร

รายวชา ค20205 เพมพนประสบการณ 5

ระดบชนมธยมศกษาปท 3

โครงงานคณตศาสตร

เรอง การประยกตของอตราสวนทองคา

จดทาโดย





ครทปรกษา ครบณฑต ขาพนดง

บทคดยอ

สาขาวชา คณตศาสตร

ชอโครงงาน การประยกตของอตราสวนทองคา

ชอผจดทาโครงงาน





โรงเรยน วดสทธวราราม

เขตสาทร กรงเทพมหานคร

ครท�ปรกษา ครบณฑต ขาพนดง

โครงงานนมมาไดเพอใหคนควาและตอยอดทางความรในวชาคณตศาสตร และ วชาศลปะ ม

วตถประสงคเพอใหเขาใจในหลกของการออกแบบ รจกสงเกต การวเคราะห และการนาไปใชของ

อตราสวนทองคา การสารวจตามสถานทตางๆในชวตประจาวน ซงจะตองมความสงสยในสงตางๆ วา

สงนนเปนไปตามเงอนไขหรอไม แลวจงนามาวเคราะห มความสามารถสรางสรรคภาพกราฟกขนได

จรง โดย การใชโปรแกรมการออกแบบภาพกราฟก อาทเชน The Geometer’s Sketchpad และ

Adobe illustrator เปนตน มการสรางภาพทหลากหลายและตองเปนไปตามขอกาหนดซงเปนความ

ทาทายยง การสรางสรรคภาพจรงรวมกน เปนการระดมความคดและฝกการทางานรวมกนเปนกลม

จนไดผลออกเปนงานทสมาชกภายในกลมรวมแรงรวมใจกนทา ทงนการดาเนนของโครงงานเปนไป

ดวยความเรยบรอยและไดผลงานทตรงตามเปาหมายทวางไว ตรงจดประสงคในการทางานอยาง

ครบถวนสมบรณ

กตตกรรมประกาศ

การสรางสรรคผลงานศลปะ ผลงานภาพกราฟก และ การสารวจตามสถานทในชวตประจาวน

ภายใตหวขอโครงงาน การประยกตของอตราสวนทองคานน ไดดาเนนการจนประสบผลสาเรจ ลลวง

ไปดวยด มาจากการรวมมอรวมใจของสมาชกภายในกลม และโครงงานนจะสาเรจไมไดเลย หากไมได

รบความชวยเหลอจากหลายฝาย

ขอขอบพระคณ คณคร บณฑต ขาพนดง ซงกรณาสละเวลาใหความรและคาแนะนา เพอนาไป

ปรบปรง ตลอดการจดทาโครงงาน

ขอขอบพระคณ โรงเรยนวดสทธวราราม ทเออเฟอสถานทในการทาโครงงาน

ขอขอบคณ เพอนๆสมาชกในกลมทไดใหความชวยเหลอในการทาโครงงานเปนอยางด

ทายสดน ขอกราบขอบพระคณ คณพอและคณแม ทเปนกาลงใจและมอบโอกาสทางการศกษาอนลา

คายงกวาสงอนใด

คณะผจดทา

สารบญ

หนา

บทคดยอ………………………………………………………………………………………………………………………………ก

กตตกรรมประกาศ…………………………………………………………………………………………………………………ข

สารบญ…………………………………………………………………………………………………………………………………ค

สารบญภาพ…………………………………………………………………………………………………………………………..ง

1 บทนา…………………………………………………………………………………………………………………………..…1

1.1 ทมาและความสาคญของโครงงาน……………………………………………………………………….……….1

1.2 วตถประสงค………………………………………………………………………………………………………….…..1

1.3 ขอตกลงเบองตน………………………………………………………………………………………………………..1

1.4 ประโยชนทคาดวาจะไดรบ………………………………………………………………………………………….2

2 โครงงานและโครงงานทเกยวของ………………….………………………………………………………………….3

2.1 อตราสวนทองคา………………………………………………………………………………………………………..3

2.2 โปรแกรม The Geometer’s sketchpad………………………………………………………………….12

2.3 โปรแกรม Adobe illustrator…………………………………………………………..………………………15

3 อปกรณและวธดาเนนการทาโครงงาน…………………………………………………………………………….19

3.1 อปกรณและโปรแกรมทตองมในการทาโครงงาน………………………………………………………….19

3.2 วธการดาเนนงาน…..…………………………………………………………………………………………………19

4 ผลการทดลองและวเคราะหผล……………………………………………………………………………………...22

4.1 สรางสรรคภายใตหวขอ: ทดลองสรางสรรคภาพอยางอสระ…………………………………………..22

4.2 สรางสรรคภายใตหวขอ: สรางสรรคภาพเปนไปตามกาหนดหวขอ………………………………….23

สารบญ (ตอ)

หนา

4.3 สรางสรรคภายใตหวขอ: การสรางสรรคภาพโดยการดดแปลง……………………………………….25

4.4 สรางสรรคภายใตหวขอ: การสรางสรรคภาพโดยใชเฉพาะเสนและสขาวดา…………………..…26

4.5 สรางสรรคภายใตหวขอ: การสรางสรรคภาพโดยใชเสนโคงและส…………………………………..29

4.6 สรางสรรคภายใตหวขอ: ภาพสามมต………………………………………………………………………….31

4.7 สรปแนวคดการออกแบบ………………………………………………………………………………………….34

4.8 ผลงานการสรางสรรคทไดรบการคดเลอก ภายใตหวขอ THE BEST……………………………….35

4.9 ภาพพเศษ……………………………………………………………………………………………………………….37

4.10 การสารวจสงแวดลอมในชวตประจาวน…………………………………………………………………….38

4.11 การสรางสรรคผลงานจรงบนกระดาษ A1 200 แกรม…………………………………………………43

5 สรป อภปรายผลการทดลองและขอเสนอแนะ………………………………………………….……………..44

5.1 สรปผลการสรางสรรคภาพกราฟกโดยใชอตราสวนทองคา…………………………………………….44

5.2 สรปผลการสารวจ สงแวดลอมรอบตวในชวตประจาวน………………………………………………..44

5.3 สรปผลการสรางสรรคภาพจรงบนกระดาษ………………………………………………………………….44

5.4 ขอเสนอแนะและแนวทางการพฒนาตอ………………………………………………………………………45

5.5 ปญหาและอปสรรค……………………………………………………………………………………….…………45

บรรณานกรม……………………………………………………………………………………………………………………….46

ภาคผนวก ก………………………………………………………………………………………………………………………..47

สารบญภาพ

หนา

ภาพท 2.1 สเหลยมทองคา (Golden rectangle)................................................................................4

ภาพท 2.2 สเหลยมทองคากบลาดบเลขฟโบนกช……...........................................................................5

ภาพท 2.3 เดอะวทรเวยนแมน (the Vitruvian Man)..........................................................................5

ภาพท 2.4 สดสวนตนฉบบตาม Jan Tschichold……………………………………………………………………….6

ภาพท 2.5 วหารพารเธนอน ในกรงเอเธนส ประเทศกรซ…………………………………………………………….6

ภาพท 2.6 “โมนาลซา” (Mona Lisa)……………………………………………………………………………………….7

ภาพท 2.7 ภาพวาดของรางกาย ของมนษยในรปดาวหาแฉก……………………………………………………….8

ภาพท 2.8 การแบงสวนของเสนตามอตราสวนทองคา………………………………………………………………..9

ภาพท 2.9 สามเหลยมทองคา………………………………………………………………………………………………..10

ภาพท 2.10 ภาพแสดงอตราสวนของรปหาเหลยม……………………………………………………………………10

ภาพท 2.11 รปดาวหาแฉกส………………………………………………………………………………………………….11

ภาพท 2.12 อตราสวนทองคาในรปหาเหลยม………………………………………………………………………….12

ภาพท 2.13 การสรางสวนของเสนตรงใหเทากบเสนตรงทกาหนดให………………………………………….13

ภาพท 2.14 การระบายส………………………………………………………………………………………………………13

ภาพท 2.15 การสรางรปสามเหลยมมมฉาก…………………………………………………………………………….14

ภาพท 2.16 ตวอยางภาพแสดงถงขนตอนการสรางสเหลยมทองคา……………………………………………18

ภาพท 4.1 งานครงท 1 ภาพ 1………………………………………………………………………………………………22

ภาพท 4.2 งานครงท 1 ภาพ 2……………………………………………………………………………………………….22

ภาพท 4.3 งานครงท 2 ภาพ 1……………………………………………………………………………………………….23

สารบญภาพ (ตอ)

หนา

ภาพท 4.4 งานครงท 2 ภาพ 2……………………………………………………………………………………………....23

ภาพท 4.5 งานครงท 2 ภาพ 3……………………………………………………………………………………………….24

ภาพท 4.6 งานครงท 2 ภาพ 4……………………………………………………………………………………………….24

ภาพท 4.7 งานครงท 3 ภาพตนฉบบ……………………………………………………………………………………….25

ภาพท 4.8 งานครงท 3 ภาพ 1……………………………………………………………………………………………….25

ภาพท 4.9 งานครงท 3 ภาพ 2…………………………………………………………………….………………………..26

ภาพท 4.10 งานครงท 4 ภาพ 1……………………………………………………………………………………………..26

ภาพท 4.11 งานครงท 4 ภาพ 2……………………………………………………………………………………………..27

ภาพท 4.12 งานครงท 4 ภาพ 3……………………………………………………………………………………………..27

ภาพท 4.13 งานครงท 4 ภาพ 4……………………………………………………………………………………………..28

ภาพท 4.14 งานครงท 4 ภาพ 5……………………………………………………………………………………………..28

ภาพท 4.15 งานครงท 5 ภาพ 1……………………………………………………………………………………………..29

ภาพท 4.16 งานครงท 5 ภาพ 2……………………………………………………………………………………………..29

ภาพท 4.17 งานครงท 5 ภาพ 3……………………………………………………………………………………………..30

ภาพท 4.18 งานครงท 5 ภาพ 4…………………………………………………………………………………………….30

ภาพท 4.19 งานครงท 6 ภาพ 1…………………………………………………………………………………………….31

ภาพท 4.20 งานครงท 6 ภาพ 2…………………………………………………………………………………………….31

ภาพท 4.21 งานครงท 6 ภาพ 3…………………………………………………………………………………………….32

ภาพท 4.22 งานครงท 6 ภาพ 4…………………………………………………………………………………………….33


หนา

ภาพท 4.23 งานครงท 6 ภาพ 5……………………………………………………………………………………………..33

ภาพท 4.24 THE BEST (FIRST)……………………………………………………………………………………………..35

ภาพท 4.25 THE BEST (SECOND)………………………………………………………………………………………..36

ภาพท 4.26 ภาพพเศษ ภาพ 1………………………………………………………………………………………………37

ภาพท 4.27 ภาพพเศษ ภาพ 2………………………………………………………………………………………………37

ภาพท 4.28 ภาพจากการสารวจ 1…………………………………………………………………………………………38

ภาพท 4.29 ภาพแสดงการวเคราะหภาพสารวจ 1…………………………………………………………………..38


ภาพท 4.31 ภาพแสดงการวเคราะหภาพสารวจ 2……………………………………………………………………39


ภาพท 4.33 ภาพแสดงการวเคราะหภาพสารวจ 3…………………………………………………………………..40


ภาพท 4.35 ภาพแสดงการวเคราะหภาพสารวจ 4……………………………………………………………………41

ภาพท 4.36 ภาพจากการสารวจ 5……………………………………………………………………………………….. 42

ภาพท 4.37 ภาพแสดงการวเคราะหภาพสารวจ……………………………………………………………………….42

ภาพท 4.38 ภาพ THE BEST (FIRST) เมอนาไปวาดจรงในกระดาษ A1……………………………………….43

ภาพท ก.1 ภาพตนฉบบกอนการสรางลวดลาย…………………………………………………………………..…….51

ภาพท ก.2 ภาพหลงการสรางลวดลาย…………………………………………………………………………………….51


หนา

ภาพท ก.3 เสนและอกษร……………………………………………………………………………………………………..52

ภาพท ก.4 อกษรไปอยตามแนวเสน……………………………………………………………………………………….52

บทท 1

บทนา

ทมาและความสาคญของโครงงาน

ปจจบนนโลกเรามการพฒนาดานคณตศาสตร และ ศลปะทเปนการสรางสรรคผลงานท

งดงามโดยใชอตราสวนทองคา เปนอตราสวนทนกคณตศาสตร นกวศวกร สถาปนก ไดทากลาวถง

และใชอตราสวนทองคาในการออกแบบสงตางๆ และเปนอตราสวนทสบทอดกนมาอยางยาวนาน

และถกใชอยางแพรหลายในวงการศลปะ

วตถประสงค

1.เพอศกษาคนควาเกยวกบอตราสวนทองคาในชวตประจาวนและการประยกตใชในดาน

ตางๆอาทเชนดานศลปะ

2.เพอนาความร เรอง อตราสวนทองคาไปออกแบบลวดลายโดยใชโปรแกรม The

Geometer’s Sketchpad และ illustrator

ขอตกลงเบองตน

ดานเนอหา

ศกษาอตราสวนทองคาในชวตประจาวนและศลปกรรม ดวย โปรแกรม The Geometer's

Sketchpad และ illustrator ในการสรางและนาเสนอ และสถานทตางๆทประยกตจากอตราสวน

ทองคา

ดานเวลา

ใชเวลา 8 สปดาห (ตงแต 8 กรกฎาคม ถง 31 สงหาคม 2557)

ดานสถานท

ทบานของสมาชก และ สถานทตางๆทสมาชกพบในชวตประจาวน

ดานประชากร

4 คน ในการดาเนนงานและสารวจ

ประโยชนทคาดวาจะไดรบ

สามารถบอกความสาคญของอตราสวนทองคาไดและสามารถนามาประยกตในดานการ

ออกแบบและศลปะได

บทท 2

โครงงานและโครงงานทเกยวของ

ในการจดทาโครงงานคณตศาสตรน กลมของขาพเจาได สรางสรรคภาพลวดลาย โดยใช

โปรแกรม The Geometer’s Sketchpad และ Adobe illustrator และ สารวจสถานทตางๆใน

ชวตประจาวน

เอกสารทเกยวของ

1.อตราสวนทองคา

อตราสวนทองคา (Golden Ratio) หรอ ฟาย (Φ, Phi) คอ อตราสวนของจานวน 2 จานวน

กบ ผลลพธตอจานวนทใหญกวา สามารถเขยนในรปแบบพชคณตไดเมอ a>b>0

� + �

�=

�

�= �

เมอ ฟาย (�) แทนอตราสวนทองคา มคาคอ

� = ��√�

�= 1.6180339887..

ศลปนและสถาปนกในสมยทศวรรษท 20 ไดสรางสรรคผลงานตามอตราสวนทองคา โดยสวน

ใหญในรปของสเหลยมทองคา โดยเชอวาเปนอตราสวนทงดงาม นกคณตศาสตรตงแตสมยยคลดได

ศกษาคณสมบตของอตราสวนทองคาในรปของสเหลยมผนผาทมอตราสวนดานยาวตอดานสนเทากบ

อตราสวนทองคา หรอ Phi ความพเศษของสเหลยมผนผาทองคากคอ หากแบงเปนสเหลยมผนผา

ทองคาออกเปนสองสวน โดยสวนแรกเปนสเหลยมจตรสและสวนทสองเปนสเหลยมผนผา จะพบวา

สเหลยมผนผาอนเลกนนเปนสเหลยมผนผาทองคา ซงหากแบงสเหลยมผนผาทองคานดวยวธการเดม

สเหลยมทเกดขนใหมกยงคงเปนสเหลยมผนผาทองคาเหมอนเดม

ภาพท 2.1 สเหลยมทองคา (Golden rectangle)

อตราสวนทองคาไดจดประกายนกคดของทกอาชพอยางท ไม มเลขตวไหนทาได ใน

ประวตศาสตรของคณตศาสตร การศกษาอตราสวนทองคา พบวา สงตางๆทมอยในธรรมชาตตาง

เกยวของกบคาน อาท อตราสวนของความยาวสวนตางๆบนรางกายมนษย อตราสวนความกวางและ

ความยาวของฟนซหนาของมนษย การเจรญเตบโตของดอกไมและสตวเปนตน

การคานวณ

จานวน 2 จานวนจะเปนอตราสวนทองคา กตอเมอ

� + �

�=

�

�= �

� + �

�=

�

�+

�

�

= 1 +�

�

φ + 1 =��

�� − � − 1 = 0

จากสมการแทนดวย ��±√��

��

φ = ��√�

�= 1.6180339887..

และ � = ��√�

�= −0.6180339887..

เพราะ φ เปนอตราสวนของผลบวกทาให φ ตองเปนคาบวก

อตราสวนทองคานนมความสมพนธกบลาดบเลขฟโบนกช (Fibonacci) กลาวคอ คา

อตราสวนทองคาจะเปนคาของอตราสวนระหวางคาลาดบเลขฟโบนกช 2 คาทมลาดบตดกน

ตวอยางเชน 1597:2584 มอตราสวนประมาณ 1:1.618

ภาพท 2.2 สเหลยมทองคากบลาดบเลขฟโบนกช

เดอะวทรเวยนแมน (the Vitruvian Man) เปนภาพวาดทมชอเสยงมากของ เลโอนารโด

ดาวนช เนองจากเปนภาพ ทแสดงออกถงความสามารถทางการวาดภาพ ทเปนศลปผนวกกบความร

ทางวทยาศาสตรของดาวนชในการกาหนดสดสวน ทางคณตศาสตรของรางกายมนษย โดยดาวนชได

นา Phi มาใหในกาหนดสดสวนตางๆ ของรางกาย จนไดภาพวาดของมนษยเพศชาย ทมรปราง

สมบรณแบบ และมสดสวนถกตองมากทสด ซงถอวาเปนผลงาน ทางดานกายวภาคศาสตร ทกาวลา

สมยมาก ซงในเวลาตอมา ไดกลายเปนหนงในสญลกษณ ทางวฒนธรรมของมนษยชาต

ภาพท 2.3 เดอะวทรเวยนแมน (the Vitruvian Man)

การออกแบบหนงสอ

ภาพท 2.4 สดสวนตนฉบบตาม Jan Tschichold

หนากระดาษมสดสวนเปน 2:3 ขอบกระดาษสดสวนเปน 1:1:2:3 พนทสาหรบขอความเปน

สดสวนทองคา

วหารพารเธนอน และ องคประกอบในดานหนาไดมาตงขอสงเกตวาเกยวของกบสเหลยมทองคา

ภาพท 2.5 วหารพารเธนอน ในกรงเอเธนส ประเทศกรซ

ภาพ “โมนาลซา” (Mona Lisa) เปนผลงานชนเอกของ เลโอนารโด ดา วนช จตรกรชาวอ

ตาเลยน ซงในขณะนตงแสดงอยทหองเดอะแกรนแกลเลอร ในพพธภณฑลฟว ประเทศฝรงเศส ใน

นาม “ลา โฌกงด” (La Joconde) โมนาลซาในภาพเปนภาพเหมอนของหญงสาวชอ “ลา จโอกอน

ดา” (La Gioconda) ภรรยาของฟรานเซสโก เดล จโอกอนดา ท เลโอนารโด วาดขนโดยใชเทคนค

การวาดภาพแบบสฟมาโต (sfumato) เพอใหโทนสของภาพออกมาดนมเบา

ภาพท 2.6 “โมนาลซา” (Mona Lisa)

การวาดภาพ

นกปรชญาในศตวรรษท 16 เชน Agrippa วาดรปคนผานรปดาวหาแฉกในวงกลม เปนนยวา

มความสมพนธกบอตราสวนทองคา

สาหรบสดยอดผลงานของเลโอนารโด คอภาพ The Last Supper หรออาหารคามอสดทาย

และภาพ โมนาลซา ซงวาดขนภายหลงจากทรจกกบลกาในป ค.ศ. 1496 แลว

The Last Supper มผอางวาพบสดสวนแหงสวรรคในรปรางของ โตะ ผนง และหนาตาง

สวนภาพ โมนาลซา อางกนวาวงใบหนาของเธอเปนสดสวนแหงสวรรค

สาหรบผทรจกกบสดสวนแหงสวรรคแลว และหากไดลองวดระยะตางๆ ในภาพอาหารคามอสดทาย ก

จะพบโดยไมยากวาไมมสวนใดทใกลเคยงกบคาฟายเลย

สวนในภาพ โมนาลซา มปญหาวาจะหาสดสวนแหงสวรรคจากบรเวณไหน เนองจากไมมรป

เลขาคณตใดๆ บนภาพ และหากจะวดวงใบหนากไมแนชดวาจะวดจากจดใดถงจดใด จงเปนการงายท

จะกลาวอางโดยขดเสนวดระยะไดตามใจชอบเพอใหตรงกบคาฟาย สดสวนแหงสวรรคบนวงใบหนา

เจาของรอยยมปรศนาจงดเลอนลอยพอสมควร ยงหากพจารณาในมมของการสรางงานศลปะ เลโอ

นารโดไมตองการสดสวนแหงสวรรคมาเปนตวชวยเลย เขาไดชอวาเปนเจาแหงการสรางภาพ

Perspective การวาดภาพมวๆ แบบ “สฟมาโต” ความสมบรณแบบในสดสวนของคนทเขาศกษากาย

วภาคมาอยางละเอยด และการถายทอดอารมณบนใบหนาบคคลในภาพ ผลงานของเลโอนารโดจงม

ชวตและสมจรง จนไดรบการยกยองใหเปนผลงานชนเอกแหงยคเรอเนซองซ

ในทางกลบกน ลกา พาซโอล ตองการความสามารถในการวาดภาพมมตแบบ Perspective

ของเลโอนารโดเพอชวยแสดงรปทรงเหลยมทเกยวของกบสดสวนแหงสวรรค

นบไดวาเลโอนารโดเปนคนแรกทวาดภาพแสดงมตความลกของรปทรงเหลยมใหเหนกนอยาง

แจมแจง ลกา ถงกบประกาศเกยรตคณสงสดของเลโอนารโดไวในหนงสอ The Divine Propotion วา

“ The most excellent painter in perspective , architect , musician , the man endowed

with all virtues , Leonado Da Vinci , who deduced and elaborated a series of diagrams

of regular solids. ”

การศกษาทางสถตใน 565 ผลงานศลปะของจตรกรทดท แตกตางกนดาเนนการในป ค.ศ.

1999 พบวาศลปนเหลานไมไดใชอตราสวนทองคา การศกษาสรปไดวา อตราเฉลยของทงสองดาน

ของภาพวาดการศกษา คอ 1.34 มคาเฉลยสาหรบศลปนแตละคนตงแต 1.04 (Goya) ท 1.46

(Bellini) ในขณะท Pablo Tosto จดทะเบยนกวา 350 ผลงานโดยศลปนทรจกกนดรวมกวา 100 ซง

มผาใบทมรปสเหลยมผนผาสทองและสดสวนราก -5, และอน ๆ ทมสดสวนเหมอนราก -2, 3, 4,

และ 6

ภาพท 2.7

ภาพวาดของรางกาย ของมนษยในรปดาวหาแฉก ทแสดง

ใหเหนความสมพนธ กบ อตราสวนทองคา

การแบงสวนของเสน

ขนตอนวธการดงตอไปน เปนการสรางทางเรขาคณต ทแบงสวนของเสนออกเปนสองสวน

สายทอตราสวนของเสนทยาว กบสวนของเสนทสน เปนอตราสวนทองคา :

1. มสวนของเสน AB, BC สรางเสนตงฉาก BC ทจด B กบ BC ทมความยาวเปนครงหนง

ของ AB วาด AC ทดานตรงขามมมฉาก

2. วาดโคงดวย C ศนย และรศม BC โคงนตดกบดานตรงขามมมฉาก AC ทจด D

3. วาดโคงกบศนย และรศม AD โคงนตดสวนของเสนเดม AB ทจด S แบงเดมสวน AB

เปนสวนเสน AS และ SB ทมความยาวในอตราสวนทองคา

ภาพท 2.8 การแบงสวนของเสนตามอตราสวนทองคา

สามเหลยมทองคา

สามเหลยมทองคา สามารถจะมลกษณะเปนรปสามเหลยมหนาจว ABC กบสดสวน ทแบง

ครงมม C ไดสามเหลยม CXB ใหมซงเปนรปสามเหลยมคลายกบตนฉบบ

ถามม BCX = α แลว XCA = α เพราะแยกเปนสองสวนและ CAB = α เพราะ

รปสามเหลยมทคลายกน ; ABC = 2α จากสมมาตรหนาจวเดม และ BXC = 2α โดยความ

คลายคลงกน มมภายในรปสามเหลยมเพมขนถง 180 ° เพอให 5α = 180 ให α = 36 °

ดงนนมมของสามเหลยมทองคาจง 36°-72°-72° มมทเหลอสามเหลยมหนาจวปาน AXC (บางครง

เรยกวาแสงแดดสทอง หรอ Golden gnomon) 36°-36°-108 °

สมมตวา XB มความยาว 1 และทเราเรยก BC ระยะทาง φ เพราะหนาจวสามเหลยม

XC = XA และ BC = XC ดงนนเหลานยงมระยะทางใน φ ความยาว AC = AB จงเทากบφ

+ 1 แตสามเหลยม ABC เปนรปสามเหลยมคลายกบ CXB ดงนน AC / BC = BC / BX และ

อน AC ยงเทากบ φ^2 ดงนน φ2 = φ + 1, φ ยนยนวา เปนจรงตามอตราสวนทองคา

ในทานองเดยวกน อตราสวนของพนทของรปสามเหลยมขนาดใหญ AXC ทจะมขนาดเลก

CXB เทากบ φ ในขณะทอตราสวนผกผนจะเปน φ - 1

ภาพท 2.9 สามเหลยมทองคา

รปหาเหลยม

ในรปหาเหลยมปกต อตราสวนระหวางดานขาง และเสนทแยงมมเปน (เชน 1 / φ) ในขณะ

ทเสนทแยงมมตด แตละสวนอนๆ ในอตราสวนทองคา

อตราสวนระหวางความยาวของเสนทแยงมมกบความยาวดานของรปหาเหลยมดานเทาจะม

คาเทากบ Phi เสมอ

ภาพท 2.10 ภาพแสดงอตราสวนของรปหาเหลยม

รปดาวหาแฉก

ในรปดาวหาแฉกและรปหาเหลยม เราจะพบสดสวนแหงสวรรคปรากฏเตมไปหมด ดงรป

นอกจากนภายในตรงกลางรปดาวหาแฉกยงปรากฏรปหาเหลยมดานเทา ซงหากลากเสน

เชอมภายในกจะเกดรปดาวหาแฉกรปเลกทมสดสวนแหงสวรรคขนซาอก และเราสามารถสรางรปซาๆ

เชนนไปไดไมรจบ

ลกาไดขอให เลโอนารโด ดาวนช วาดภาพรปทรงเหลยมตางๆ ประกอบในหนงสอ The

Divine Propotion ของเขา โดย เลโอนารโด ดาวนช วาดไวราว 60 ภาพ จากแบบจาลองททาดวยไม

ขอเทจจรงทวา เลโอนารโด ดาวนช สนทกบลกาและไดวาดภาพประกอบในหนงสอ The

Divine Propotion ทาใหไมมขอกงขาวาเขารจกคนเคยกบสดสวนแหงสวรรคหรออตราสวนทองคาน

หรอเปลา

แตทอางวาเลโอนารโดใชสงดงกลาวในภาพวาดผลงานสดยอดของเขา “เดอะวทรเวยนแมน” ยงเปน

สงทตองพสจน

รปท 2.11 รปดาวหาแฉกสทแสดงถงความสมพนธ

กบอตราสวนทองคา

ทฤษฎบทของปโตเลม

คณสมบตอตราสวนทองคาของ รปหาเหลยม จะพสจนไดโดยใชทฤษฎบทของปโตเลม ไป

เปน รปสเหลยมขนมเปยกปน โดยการเอาจดหนงออก ถาดานยาวรปสเหลยมขนมเปยกปนและเสน

ทแยงมมเปน b, และดานสนเปน a แลวทฤษฎบทของปโตเลม ท �� = �� + �� ซงได

รปสามเหลยมทมดานตางๆ เปนลาดบทางกาวหนาทางเรขาคณต

ถาความยาวดานของรปสามเหลยมเปนรปแบบกาวหนาทางเรขาคณต (Geometry

progression) และอยในอตราสวน 1 : r : r2, ท r คอ อตราสวนทวไปแลวจะตองอยในชวง φ-1

<R<φ ซงเปนผลมาจากรปสามเหลยม ความไมเทาเทยมกน (ผลรวมของสองดานของสามเหลยม

จะตองมขนาดใหญกวาความยาวของดานทสาม) ถา r = φ แลวสนทงสองฝาย คอ 1 และ φ

แตผลรวมของพวกเขาคอ φ2, r<φ การคานวณทคลายกนแสดงใหเหนวา r> φ-1 รป

สามเหลยมทมดานในอตราสวน 1 : √φ : φ เปนสามเหลยมดานขวา (เพราะ 1 + φ = φ2) ท

รจกกนเปนรปสามเหลยมเคปเลอร

ภาพท 2.12 อตราสวนทองคาในรปหาเหลยม

สามารถคานวณได โดยใชทฤษฎบท ของ ปโตเลม

2.โปรแกรม The Geometer’s sketchpad

การใชงานเบองตน

การสรางสวนของเสนตรงทยาวเทากบความยาวของสวนของเสนตรงทกาหนดให

ให AB เปนสวนของเสนตรงทกาหนดให

1. กาหนดจดอสระใดๆ 1 จด บรเวณทวาง สมมตชอ จด C

2. เลอกจด C และสวนของเสนตรง AB -->ทเมนสราง

เลอกคาสง วงกลมทสรางจากจดศนยกลางและรศม

จะไดวงกลมทม C เปนจดศนยกลาง มรศมยาวเทากบสวนของเสนตรง AB

3. เลอกเสนวงกลม C -->ทเมนสราง

เลอกสรางจดบนเสนรอบวง สมมตชอจด D

จากนน ลากสวนของเสน ตรงเชอมระหวางจดศนยกลางกบ จดอสระD จะได สวนของเสนตรง CD

มความยาวเทากบสวนของเสนตรง AB ตามตองการ

4. ซอนสวนทไมตองการโดยเลอกวตถนนๆ แลว เลอกทเมนแสดงผล—> ซอนออบเจกต

ภาพท 2.13 การสรางสวนของเสนตรงใหเทากบเสนตรงทกาหนดให

การระบายส

การระบายสบรเวณภายในรปตางๆ ทเกดจากการสรางสามารถทาไดดงน

1. สรางรปสเหลยมใดๆ ขนมา 1 รป ตงชอเปนสเหลยม ABCD

2. เลอกทจด A, B, C และ D (โดยเรยงไปตามแนวเสน) เลอกทเมนสราง คาสงภายในรป

สเหลยม จะไดสบรเวณภายในรป

ภาพท 2.14 การระบายส

การสรางรปสามเหลยมมมฉาก

1. สรางสวนของเสนตรง AB

2. เลอกทจด A และสวนของเสนตรง AB ใชคาสงสรางเสนตง ฉาก จากเมนสราง

3. สรางจดอสระบนเสนตงฉากทไดตงชอเปนจด C

4. เชอมสวนของเสน ตรง AC และ สวนของเสนตรง BC

ภาพท 2.15 การสรางรปสามเหลยมมมฉาก

การแปลงทางเรขาคณต

การเลอนขนาน

1. สรางและเลอกรปเรขาคณตทตองการจะเลอนแบบตายตว

2 .สารวจโดยการลากรปตน แบบ หรอ สวนตางๆของรป ----> การแปลง ----> เลอนขนาน

แลวเลอกแบบของการเลอน แบบเชงขวหรอแบบสเหลยมมมฉาก

3. กาหนดการเลอนแบบอน ทาไดดงน สรางจด 2 จดใดๆ เพอกาหนดเปน เวกเตอรจากจดแรก

ไปยงจดทสอง คลกเลอก 2 จดนตามลาดบแลว

4. สารวจโดยการลากรปตนแบบ สวนตางๆของรป หรอจดทแสดงเวกเตอร

--->การแปลง ---> ระบเวกเตอร คลกเลอกรป

---> การแปลง ---> เลอนขนาน

หมน

การแปลงโดยวธหมนนแยกออกเปน 2 ชนดดงน

หมนดวยมมคงท เลอกจดศนยกลางของการหมนกอน แลวไปทเมนการแปลง เลอกระบจด

ศนยกลาง เลอกวตถตนแบบทจะทาการแปลง ไปทเมนการแปลง เลอก หมน จะเกดกลองขอความ

หมน เลอกมมคงท ใสคามมทตองการ กดปม หมน กจะไดวตถตามตองการ เชน หมนจด B รอบจด A

ดวยมม 30 องศาไดจด B′

หมนดวยมมทระบ เลอกจดศนยกลางของการหมนกอน แลวไปทเมนการแปลง เลอกระบจด

ศนยกลาง เลอกจด 3 จดททาใหเกดมมทตองจะหมนตามมมนน ไปทเมน การแปลง เลอกระบมม

เลอกวตถตนแบบทจะทาการแปลง ไปทเมนการแปลง เลอกหมน จะเกดกลองขอความหมน เลอกมม

ทระบ กดปมหมน กจะไดวตถตามตองการ เชน หมนจด E รอบจด D เทากบขนาดของมม A องศาได

จด E′

สะทอน เปนการสรางวตถทสะทอนกบวตถ ตนแบบผานเสนสะทอน เหมอนเรามองตวเองในกระจก

ดงนนวตถทไดจะมลกษณะเหมอนวตถตนแบบทกอยาง โดยเสนสะทอนเปนตวกาหนดระยะทางและ

ทศทาง วธการ คอตองมวตถตรง เลอกวตถตรง ไปเมนการแปลง เลอก ระบเสนสะทอน เลอกวตถ

ตนแบบ ไปทเมนการแปลง เลอกสะทอน กจะไดวตถตามตองการ

3.โปรแกรม Adobe illustrator

การใชงานเบองตน

เครองมอพนฐานของโปรแกรม มดงน

Selection tool เครองมอกลมนวาดวยเรองการเลอกวตถ ประกอบไปดวย

Selection tool (ลกศรสดา) ใชเลอกวตถทงชน

Direct-selection tool (ลกศรสขาว) ใชเลอก points หรอ path ของวตถ (กดคย Alt)

Magic wand tool (ไมเทาวเศษ) เปนเครองมอใหม ใชเลอกวตถทมสเดยวกน

Lasso tool ใชเลอกโดยการคลกเมาส Drag การใชงานเหมอนใน Photoshop (กดคย Alt

และ Shift)

Create tool เครองมอกลมนวาดวยการสรางวตถตางๆ ไมวาจะเปนเสน รปทรงตางๆ และ

ตวหนงสอ

Pen tool สรางเสน path อยางแมนยา โดยการใชแขน มผลทาใหวตถมจดนอย-นอยมาก

สวนเครองมอยอยจะเอาไวใชปรบแตง curved ไมวาจะเปนการเพมจด ลบจด หกแขนของ

แกนเสนสมผส (กดคย Alt)

Type tool ใชสรางตวหนงสอ ขอความตางๆ สวนเครองมอยอย กงายๆตามรป ใชพมพ

ตวหนงสอใหอยในกรอบบาง ทาตวอกษรวงตาม paths

Line segment tool สาหรบสรางเสนตรง

Basic shape tool สาหรบวาดรปทรงพนฐาน หลายเหลยม และวงกลม รปดาว และ flare

tool ใชสราง Affect lens-flare

Paintbrush tool แปรงทเอาไวสาหรบสรางเสน path โดยการ drag เมาสลากอยางอสระ

สามารถใช brush แบบพเศษ

Pencil tool จะคลายๆ paintbrush tool แตจะมเครองมอยอยใหเรยกใชในการแกไขเสน

ซงจะชวยในการปรบแตงแกไข และทาใหงานดด เรวขน

Transform tool เครองมอกลมนใชในการปรบแตงรปทรงของวตถ ไมวาจะเปนหมน เอยง บด กลบ

ดาน ยอ ขยาย

Rotate tool ใชในการหมนวตถ โดยการกาหนดจดหมนกอนแลวจงทาการหมน ซงสามารถ

กาหนดไดวาตองการหมนกองศา

Reflect tool ใชในการกลบดานของวตถ

Twist tool ใชในการบดวตถ โดยการกาหนดจดกอนแลวจงทาการบด ซงสามารถกาหนดได

วาตองการบดมากนอย

Scale tool ปรบยอขยายวตถ

Shear tool ใชเอยงวตถ

Reshape tool ใชเพมจด และดงยดวตถ

The warp tool ใชโนมวตถใหบดเบยว

Twirl tool ทาใหวตถบดตามจดทกาหนด

Pucker tool ดงดดจดใหเขาสจดศนยกลาง

Bloat tool ทาใหวตถแบออก

Scallop tool ดงวตถใหเขาศนยกลางพรอมกบสรางรอยหยก

Crystallize tool ขยายวตถใหออกจากศนยกลางพรอมกบสรางรอยหยก

Wrinkle tool สรางคลนใหวตถ

Free transform tool ยอ ขยาย หมน เอยง วตถ โดยอสระ

Special tool เปนเครองมอใหมทจดการเกยวกะ Symbol และ graph

Symbol tool ใชจดการเกยวกบ symbol ซงมเครองมอยอยมากมาย แตจะไมขอกลาวถง

เพราะเครองมอแตละชนมไอคอนทงายตอการเขาใจอยแลว

Graph tool ใชสราง graph ในรปแบบตางๆ

Paint color tool เปนกลมเครองมอทใชจดการเรองของส

Mesh tool ในการสราง point และมแกนในการควบคม (

Gradient tool เครองมอไลระดบส ซงมการไลระดบอยดวยกน 2 แบบ คอ Linear และ

Radial ใชการลากจากจดเรมตน และ สนสดทจดปลอยเมาส ในการควบคมการไลระดบของ

ส

Eyedropper tool หลอดดดส ใช copy สของวตถ สามารกาหนดไดดวยวาจะ copy

ลกษณะอยางไร อะไรบาง

Paint bucket tool สวนใหญจะใชควบคกบ eyedropper tool โดยใชเทสลงบนวตถ

Measure tool เครองมอวดขนาด

Blend tool เครองมอไลระดบการเปลยนรปรางและส สามารถควบคมการไลระดบได 3

ชนด

Auto trace tool ใชในการ trace จากภาพตนฉบบทเปน bitmap ไปเปน Vector ซงเปน

เครองมออานวยความสะดวกสาหรบคนขเกยจโดยเฉพาะ

View tool กลมเครองมอกลมนจะเนนทมมมองเปนหลก

Slice tool ใชเกยวกบการตดแบงภาพออกเปนสวนๆ ใชในงานเวบ

Scissors tool ใชคลกบรเวณ Outline ของวตถเพอกาหนดจดตด 2 จดเพอแยกวตถออก

จากกน

Knife tool ใช drag ลากผานวตถเพอแยกวตถออกจากกนเปน 2 สวน โดยจะทาการ close

paths ใหเราโดยอตโนมต

Hand tool ใชเลอนดบรเวณพนทการทางานบนหนาจอ

Page tool ใชกาหนด print size

Zoom tool ใชยอ และ ขยายพนทการทางาน

ตวอยางการสรางรปสเหลยมทองคาใน illustrator

.

ภาพท 2.16 ภาพแสดงถงขนตอนการสรางสเหลยมทองคา

โครงงานทเกยวของ

โครงงาน เครองมอวดความสวย ของ นายสหรฐ สระสงคราม และ นายปฏภาณ ศรมชย

นกศกษาชนปท 4 ซงเปนสวนหนงในหลกสตรวศวกรรมศาสตรบณฑต ภาควชาวศวกรรมคอมพวเตอร

คณะวศวกรรมศาสตร มหาวทยาลยขอนแกน พ.ศ. 2555 เพอใชวเคราะหความเหมาะสมของสดสวน

ใบหนาของบคคล โดยใชหลกการของอตราสวนทองคาเปรยบเทยบกบอตราสวนทไดจากใบหนา

บคคล โดยอตราสวนจากใบหนานนไดมาจากการทาการตรวจจบใบหนา ซงไดจากรปภาพทไดจาก

การจบภาพจากกลองวดโอ และตรวจหาตาแหนงบนใบหนาทจาเปนในการคานวณหาอตราสวนเพอ

เปรยบเทยบกบอตราสวนทองคา ซงโปรแกรมสามารถวเคราะหหาคาความเหมาะสมของสดสวน

ใบหนาบคคลและแสดงผลเปนคะแนนเตม 10 ตามความเหมาะสมของสดสวนใบหนาของแตละบคคล

บทท 3

อปกรณและวธการทาโครงงาน

1.อปกรณและโปรแกรมทตองมในการทาโครงงาน

ความตองการของระบบ

คอมพวเตอรทใชระบบปฏบตการ

Windows XP Service Pack 3 หรอ Windows 7 Service Pack 1 ขนไป

Mac OS X 10.6.8 ขนไป (แนะนา OS X 10.8)

หนวยความจาหลก หรอ แรม อยางนอย 1 GB

การแสดงผล 1024 x 768 (แนะนา 1280 x 800)

โปรแกรมหลกทจาเปน

The Geometer’s Sketchpad

Adobe illustrator CS6 ขนไป

โปรแกรมทางเลอก

Adobe Photoshop CS6 ขนไป

Inkscape รน 0.48.5 ขนไป

2.วธการดาเนนงาน

ขนตอนแรก ปฏบตงานครงท 1 การทดลองสรางสรรคภาพอยางอสระ

สมาชกจะทดลองวาดลงในกระดาษ A4 แลวนามาสรางสรรคภาพอยางอสระตามหลกของ

อตราสวนทองคา

ขนตอนสอง ปฏบตงานครงท 2 การสรางสรรคภาพเปนไปตามกาหนดหวขอ

มการกาหนดหวขอ ขนมาดงน

1) ธรรมชาต 2) ความเรยบงาย 3) ความเปนเอกภาพ 4) สงมหศจรรยในเมองใหญ 5) โลโก สญลกษณ

6) ความเปลยนแปลง 7) การขดแยง 8) จารต-ประเพณ 9) กฎหมาย 10) ความฝน

11) ปญหาในสงคม 12) ความพอเพยง 13) ความสมดล 14) หนงสอ 15) ความร 16) ความด – ความ

ชว 17) ศาสนา 18) เทคโนโลย 19) ความงาม 20) ศวไลซ

เลอกหวขอดงกลาวแลวนามาสรางสรรคโดยใชสและลายเสน และเปนไปตามหลกของ

อตราสวนทองคา

ขนตอนสาม ปฏบตงานครงท 3 การสรางสรรคภาพโดยการดดแปลง จานวน 2 ภาพ

ในงานนควรใช Adobe Photoshop ดวย

1. เลอกภาพใดๆกไดทตองการ แตภาพนนตองมไดใชหลกของอตราสวนทองคา

2. ดดแปลงภาพดงกลาวอยางอสระ โดยตองใหเปนอตราสวนทองคา

ขนตอนส ปฏบตงานครงท 4 การสรางสรรคภาพโดยใชเฉพาะเสนและสขาวดา จานวน 2 ภาพ

สมาชกจะสรางสรรคภาพอยางอสระ แตตองใชเฉพาะเสน และ ลงสไดเพยง ขาว-ดา เทานน

และเปนไปตามหลกของอตราสวนทองคา

ขนตอนหา ปฏบตงานครงท 5 การสรางสรรคภาพโดยใชเสนโคงและสจานวน 2 ภาพ

สมาชกจะสรางสรรคภาพอยางอสระ เนนทเสนโคง และใชเฉพาะสตางๆเทานน และเปนไป

ตามหลกของอตราสวนทองคา

ขนตอนหก มอบหมายหนาทในการสารวจนอกสถานทในชวตประจาวน โดยแบงให 2 คนแรก ใน

สปดาหนนๆ สวนอก 2 คน ในสปดาหถดไป โดยมวธการดงน

1. ผสารวจเมอเดนทางออกนอกเคหสถาน สงเกตสงแวดลอมรอบตว พจารณา อาทเชน ปาย

สญลกษณตางๆ วา สงใดนาจะมาจากการสรางสรรคโดยใชหลกของอตราสวนทองคา

2. ผสารวจบนทกภาพดงกลาว ลงในโทรศพทมอถอ หรอ กลอง ของผสารวจ

ขนตอนเจด ปฏบตงานครงท 6 การสรางสรรคภาพโดยเปนรปทรง 3 มต จานวน 2 ภาพ

สมาชกจะสรางสรรคภาพอยางอสระ หรอ ตามหวขอในขนตอนทสองกได แตตองเปนรปทรง

สามมต โดยใชสตางๆและลายเสน และเปนไปตามหลกของอตราสวนทองคา

ขนตอนแปด ปฏบตงานครงท 7 สรปแนวคดการออกแบบ

สมาชกทกคนจะสรปแนวคดและหลกการออกแบบในการสรางสรรคภาพโดยรวม พรอม

อธบายการนาไปใชของอตราสวนทองคาในภาพตางๆ ลงในกระดาษ A4

ขนตอนเกา ปฏบตงานครงท 8 การรวมกนสรางสรรคภาพ

ในงานนทาทงกลม สรางสรรคภาพอยางอสระตามหลกของอตราสวนทองคา โดยใชกระดาษ

ขนาดอยางนอย A3 แลวลงสดวยสโปสเตอร สนา หรอ สไม

ขนตอนสบ การเขยนรายงาน

หลงจากปฏบตงานตามแผนเสรจแลว กดาเนนการเขยนรายงานพรอมสรปผล

บทท 4

ผลการทดลองและวเคราะหผล

1.สรางสรรคภายใตหวขอ: ทดลองสรางสรรคภาพอยางอสระ

ภาพท 4.1 งานครงท 1 ภาพ 1

เปนการสรางสรรคโดยการสรางเสนคดโดยอยทอตราสวนทองคาแลวสนสดทจดตรงขามของ

จดตดอตราสวนทองคา


เปนการสรางสรรคโดยการสะทอนสเหลยมผนผาทองคา จนไดครบเปน 4 ภาพดงรป

2.สรางสรรคภายใตหวขอ: สรางสรรคภาพเปนไปตามกาหนดหวขอ


หวขอทเลอกคอ ธรรมชาต การหมนของสเหลยมดานขนานกบมม 30*0,618 แลวสะทอน

ครงหนงและมการไลส


หวขอทเลอก คอ เทคโนโลย เปนการสรางสรรค โดยการเรยง code ของ Brainfuck ทได

ออกมาเปน "Hello World" อยบนเสนขดทไลจากจดตดของอตราสวนทองคาจนถงจดขอบลางขวา

และไลส


สรางสรรคภาพในหวขอ ความสมดล วงกลมแรกมเสนผานศนยกลางยาว 1.618 วงกลมตอๆไป

คณดวย 1.618 ไปจนครบ 4 ภาพ


สรางสรรคภาพในหวขอ ความสมดล วธการ คอ ใหวงกลมวงแรกมเสนผานศนยกลางยาว

1.618 ซ.ม. แลววงตอๆไปกใหคณ 1.618 ไปเรอยๆ จนครบ 4 ภาพ แลวนามา วางเรยงกน ดง

รป วงกลมยอยในแตละสวน ตอจากนน กทาหมนภาพรอบจด ทละ 90 องศา ใหไดทงหมดรวม

4 ภาพ

3.สรางสรรคภายใตหวขอ: การสรางสรรคภาพโดยการดดแปลง

ภาพท 4.7 งานครงท 3 ภาพตนฉบบ

เมอดดแปลงแลว ได 2 ภาพ


เปนการสรางสรรคเปนการเปลยนภาพใหขาวดาและเปลยนสดาเปนสแดงและใช Plastic

filter แลวยอภาพใหเลกลง 61.8% แลวหมนดวยขนาด 30*1.618


เปนการใช neon filter แลวลดขนาดของรปลง 61.8% และหมนภาพในอตราสวนของ 30 องศา

* 1.618

4.สรางสรรคภายใตหวขอ: การสรางสรรคภาพโดยใชเฉพาะเสนและสขาวดา

รปภาพท 4.10 งานครงท 4 ภาพ 1

เปนการสรางสรรคโดยการสรางรปหาเหลยม โดยมความยาวในแตละดานเปน 1 ซม. จากนนขยาย

1.618 เทา 2 ครง แลวนามาหมนดงรปแลวตกรอบเปนรปหาเหลยม


เปนการสรางสรรคโดยการสรางรปหาเหลยม ทมความยาวในแตละดานเปน 1 ซม.

ตอจากนนกทาการขยายภาพ 1.618 เทา 3 ครง แลวนามาเรยง ตอจากนนนามาหมนแลวเรยงดงรป



เปนการสรางเสนโคงเปนลวดลายตางๆโดยทจดควบคมอยทขอบของภาพและอตราสวน

ทองคากบจดกงกลาง


เปนการนาขดหอยมามาประยกตทาใหซอนกน โดยปกตเปนเสนโคงกทาใหเปนเสนตรง

5.สรางสรรคภายใตหวขอ: การสรางสรรคภาพโดยใชเสนโคงและส


เปนการลดขนาดวงกลมลง 61.8% และเลอนขนาน 61.8 pixels และหมนภาพทไดจากการ

เลอนขนานมาขยาย 161.8% แลวกสะทอน


เปนรปชวงลางของผหญงโดยทกระโปรงเรมจาก 1/3 ของดานบนแลวโคงมาทจดตดของ

อตราสวนทองคากบ 2/3 ของขอบซายกอนทจะโคงไปทจดตดดานขวาและโคงกบไปท 2/3 ของขอบ

บน ขามการโคงโดยทจดควบคมอยทอตราสวนทองคาและมการสะทอนเพอเปนขาอกดานหนง


เปนการสรางภเขาโดยทเรมจากจดกงกลางของดานซายไปและตงจดควบคมอยทจดตดของ

อตราสวนทองคาดานซายบนแลวจบลงตรงจดกงกลางขอบซาย มการไลสทพน


สรางรปครงวงกลมรศม 0.618 แลวสรางสวนของเสนตรงจากจดศนยกลางทดานลาง 1 ซม.

แลวขยายรปทงหมด 1.618 เทา จานวนทงหมด 4 เทา ทาใหมรปทงหมด 5 รปซอนกน แลวนามา

หมนใหได 4 รป

6.สรางสรรคภายใตหวขอ: ภาพสามมต


สรางสรรคโดยการสรางสเหลยมขนาด 26.18 เซนตเมตร ปรบใหมขนาดเลกลง 2 เทา หมน

45 องศา ทารปใหสมดล แลวทาใหเปนรปสามมต


ในการสรางสรรคภาพน สรางขนภายใตหวขอ ภาพสามมต ซงในทนเปนภาพ Isometric ท

นามาประยกตใชกบอตราสวนทองคา โดย รปสเหลยมดานขนาน ขนาดดานกวาง 0.618 ซม. ดาน

ยาว 1 ซม. และรปสเหลยมจตรส ยาว 1 ซม. แลวหมนรป 45 องศา ยาว 1.618 ซม. รป

สเหลยมจตรส ยาวดานละ 1 ซม. มความสง 0.618 ซม. แลวขยาย 1.618 เทา จานวน 2

ครง ไดสเหลยมจตรสทซอนกน 3 รป สดสวนเปน 1.618 จากซายไปขวายาวสดสวนเปน 1 รป

ตว L ชดขอบ ดานขางยาว 1.618 ซม. กวางภายใน 0.618 ซม. หนา 0.309 เอยง 45 องศา


เปนการใชเสนตรงแบบ Perspective อย ทจดตดดานลางซายและมการทาปรซมทรง

สเหลยมผนผาไวทดานซายลาง


เปนการใช Perspective แบบจดเดยวอยทตรงกลางและตงผนงไวทจดตดของอตราสวน

ทองคาและนาขอความ GEEK มาแปะตามสเหลยมคางหมทมดานคขนานระหวางขอบของรปและ

สเหลยมทเกดจากการตดกนของอตราสวนทองคา


เปนภาพสามมตทเกดจากรปสามเหลยมทนาไป Extrude หมน 168.1 องศา และนามา

สะทอน และเลอนขนาน เทาๆกน

7.สรปแนวคดการออกแบบ

อภวชญ จรยานเคราะห ไดสรปไวดงน

“หลกในทใชในการออกแบบ คอ จนตนาการสวนตวทไดรบจากสถานทตางๆ เชน จาก

โทรทศน ภาพยนตร หนงสอ นตยสาร สอสงพมพ นามาประยกตใชไดภาพในรปแบบทแตกตางกน

ออกไป ไดฝกฝนความคดจนตนาการของแตละบคคลไดมการพฒนามากขนกวาเดมและเปนพนฐาน

ในการตอยอดความคดในรปแบบอนๆดวย”

อภนนท อศรางกร ณ อยธยา ไดสรปไวดงน

“ในการออกแบบสงตางๆ เราตองคานงถงขอกาหนดหรอกรอบทเขาไดกาหนดไว เราจะได

ทาความเขาใจในสงนน เปนแนวทางการทางานทถกตอง หลกสาคญทใชในการออกแบบของฉน กคอ

ความเปนเอกภาพ ความสมดล และความกลมกลนซงเปนสงฉนไดใหความสาคญมาโดยตลอด และได

นาไปประยกตใชกบภาพตางๆ ไวแลว”

สรภพ ภกดนอก ไดสรปไวดงน

“การออกแบบโดยมหลกการ หมายถง การคด หรอจนตนาการตางๆ โดยใหมตนกาเนดของ

มนมาดวย แลวนามาดดแปลงในความคดของตนเองใหมความสวยงาม หรอ สงตางๆใหมนดขนจาก

เดม และยงชวยใหการฝกจนตนาการมการพฒนาขนเพอใหเกดความสรางสรรคในรปแบบตางๆอก

ดวย”

ภมภทร วฒนกลจรส ไดสรปไวดงน

“การออกแบบกเหมอนกบการถายทอดความคด จากตวเราสผลงานทเราสรางสรรค กอนอน

เราตองมจนตนาการกอน จงจะทาได เราตองศกษาหลกหรอเงอนไขของงานกอน ทาตามแนวปฏบต

ทเหลอเรากอสระ ปลดปลอยความเปนตวเราไดเตมท”

8.ผลงานการสรางสรรคทไดรบการคดเลอก ภายใตหวขอ THE BEST

ภาพทไดรบการคดเลอกทดทสด

ภาพท 4.24 THE BEST (FIRST)

ภาพทไดรบคดเลอกรองลงมา

ภาพท 4.25 THE BEST (SECOND)

9.ภาพพเศษ: เปนภาพทผสรางสรรคสรางเองเพอเปนภาพเสรม

ภาพท 4.26 ภาพพเศษ ภาพ 1

ภาพท 4.27 ภาพพเศษ ภาพ 2

10.การสารวจสงแวดลอมในชวตประจาวน

ภาพท 4.28 ภาพจากการสารวจ 1

ภาพท 4.29 ภาพแสดงการวเคราะหภาพสารวจ 1

Golden Ratio


ผสารวจดาเนนการวเคราะห

ภาพท 4.31 ภาพแสดงการวเคราะหภาพสารวจ 2

ขอสรป เปนอตราสวนทองคา



ภาพท 4.33 ภาพแสดงการวเคราะหภาพจากการสารวจ 3

ขอสรป ภาพบางสวนเปนอตราสวนทองคา ซงเปนเฉพาะในกรอบสเหลยมดงรป

ภาพท 4.34 ภาพจากสารวจ 4




ภาพท 4.36 ภาพจากสารวจ 5




11.การสรางสรรคผลงานจรงบนกระดาษ A1 200 แกรม

ในทนเราเลอก ภาพ THE BEST (FIRST) โดยใชสไมและสโปสเตอร

ภาพท 4.38 ภาพ THE BEST (FIRST) เมอนาไปวาดจรงในกระดาษ A1

บทท 5

สรป อภปรายผลการทดลองและขอเสนอแนะ

1.สรปผลการสรางสรรคภาพกราฟกโดยใชอตราสวนทองคา

จากการสรางสรรคภาพกราฟกโดยใชอตราสวนทองคานน มการกาหนดหวขอในแตละภาพ

ทหลากหลาย ทมความยาก-งาย แตกตางกนออกไป ตามความถนด แตโดยสวนใหญมงเนนให

สรางสรรคไดโดยอสระ เพยงแตกาหนดสงทตองมในผลงาน ทาใหผสรางสรรคสามารถใสความคด

จนตนาการ และการออกแบบของตนเองไดอยางเตมท จากการดาเนนงานนน เปนการนาโปรแกรม

ทางคอมพวเตอรมาใชในการสรางสรรค โปรแกรม The Geometer’s Sketchpad ผทเพงเรมตนใน

การออกแบบ เนองจากเปนโปรแกรมทออกแบบและตอบสนองมาใหผใช เขาใจไดโดยงาย อกทงเมน

คาสงเปนภาษาไทย สวนโปรแกรม Adobe illustrator เปนโปรแกรมสาหรบผทมความชานาญในการ

ออกแบบมาในระดบหนงแลว แตความสามารถของโปรแกรมดงกลาว สามารถสรางสรรคได

หลากหลายและเปนระดบขนสง ซงสาหรบผใชทเพงเรมตน มกจะไมเขาใจการใชงานของโปรแกรมน

ซงทาใหไมอาจสรางภาพดวยโปรแกรมนโดยงาย ซงตองใชเวลาศกษาจนพอชานาญจงจะสามารถ

สรางสรรคออกมาไดอยางมประสทธภาพ

2.สรปผลการสารวจ สงแวดลอมรอบตวในชวตประจาวน

จากการสารวจสงแวดลอมในชวตประจาวน ไมวาจะเปน ปาย โลโก ตราสนคา ตางๆ ใน

ชวตประจาวนนน จากการดาเนนงาน เราใชสเหลยมผนผาทองคา หรอ Golden rectangle ในการ

ตรวจสอบเบองตนวาสงเหลานนใชอตราสวนทองในการออกแบบหรอไม อาทเชน การพจารณาการ

เสนโคงในสเหลยมผนผาทองคาททบกนกบรปทสารวจ เปนตน ทาใหรวาในสงแวดลอมรอบตวเรานน

กมการออกแบบโดยใชอตราสวนทองคาทงโดยตงใจและไมไดตงใจ

3.สรปผลการสรางสรรคภาพจรงบนกระดาษ

จากการสรางสรรคผลงานจรงบนกระดาษอยางนอย A3 นน เราเลอกใชกระดาษ A1 200 แก

รม ในการวาดและลงสโดยสมาชกในกลมนนไดรวมกนสรางสรรคภาพทดทสดของแตละคนและไดรบ

การคดเลอกจนไดภาพทดทสดออกมา ซงเปนการฝกทกษะในการรวมกนคด รวมกนเสนอ และ แสดง

ความคดเหน จนทาใหไดผลงานทสาเรจลลวงไปดวยด

4.ขอเสนอแนะและแนวทางการพฒนาตอ

สรางโปรแกรมในการตรวจสอบวาภาพแตละภาพนนเปนอตราสวนทองคาหรอไม

สรางโมเดลศลปะ 3 มต ทเกยวของกบอตราสวนทองคา

ปรบปรงผลงานใหมความประณตมากยงขน

5.ปญหาและอปสรรค

การใชงานโปรแกรมทางดานการออกแบบกราฟกนน ในบางขนตอนตองใชโปรแกรมสาหรบ

ผทชานาญ ซงทาใหผทยงไมไดศกษาการใชงาน หรอ ผทเพงเรมตน ทาออกมาไดชากวา

เนองจากตองใชผทชานาญชแนะให

เนองจากมขนตอนมาก จงมเวลาทคอนขางจากดในการทางาน ทาใหผลงานจรงไมประณต

ตามการคาดหวงไว

ปญหาดานการแปลเอกสารตางประเทศ การแปลบางประโยคนนเรยบเรยงไมถกตอง จงตอง

มการปรบปรงหลายครง จงจะทาใหไดขอความทถกตองตามหลกภาษาไทย

บรรณานกรม

“Golden ratio –Wikipedia [Online]”. สบคนเมอวน ท 30 มถนายน 2557 จากเวบไซต :

http://en.wikipedia.org/wiki/Golden_ratio,

“The Golden Ratio [Online]” ศาสตรแหงการวดความสวยตามหลก'ดาวนช”.สบคนเมอวนท

30 มถนายน 2557 จาก เวบไซต: http://travel.truelife.com/detail/818648

“Golden Ratio [Online]”. สบคนเมอวนท 5 กรกฎาคม 2557 จาก เวบไซต:

http://mathworld.wolfram.com/GoldenRatio.html

ภาคผนวก ก

การใชงานโปรแกรม Inkscape

การใชงานโปรแกรม Inkscape โดยเบองตน

การเลอนมมมองภาพ

ในการทางานคณสามารถเลอนมมมองของภาพไดโดย วธตางๆดงน

1. กด Ctrl+ลกศร เพอเลอนมมมอง ตามทศทางของลกศร

2. เลอนภาพขน, ลง หรอกด Shift+เลอนเมาส เพอเลอนภาพไปทางซาย, ขวา

3. เลอนภาพทอยดานลางและขวาของหนาตางโปรแกรม

4. กดเมาสปมกลางแลวเลอนไปตามทศทางทตองการ คณสามารถปดมนลงไปได

การ Zoom เขา,ออก

การทางานใน Inkscape คณสามารถ Zoom เขา(ขยายมมมองภาพ) เพอเขาไปทางานใน

จดเลกๆได หรอคณจะ Zoom ออก (ยอมมมองมองภาพ) เพอดภาพรวมทงหมดของงานกได โดยม

วธ Zoom ภาพดงน

1. เครองหมาย + เพอ Zoom เขา, เครองหมาย – เพอ Zoom ออก

2. Ctrl+เมาสปมกลางหรอปมขวา เพอ Zoom เขา, Shift+เมาสปมกลางหรอปมขวา เพอ Zoom

ออก

3. Ctrl+เลอนเมาส

4 .ใชเครองมอ Zoom (รปแวนขยาย) ทอยบนแถบเครองมอ ทางดานซายของหนาตางโปรแกรม

หรอกด F3 เพอเลอกใชเครองมอ Zoom

5.ปรบทคาตวเลขทอยทางดานซายลางของโปรแกรม ซงมหนวยเปน %

สรางรปทรง

การสรางรปทรงใน Inkscape คณสามารถสรางไดดวยเครองมอท Inkscape ไดเตรยมไวให

แลว ซงจะอยในแถบเมนดานซายมอ สาหรบวธใชนน เพยงแคคณเลอกเครองมอ สาหรบสรางรปทรง

ทคณตองการ และคลกลงไปบนพนททางานแลวลาก คณกจะไดรปทรงตามทคณตองการ นอกจากนน

เครองมอเหลานยงมความสามารถในการปรบแตงเพอใชในการสรางรปทรงอนๆไดอกดวย โดยการ

ปรบแตงเครองมอเหลานสามารถปรบแตงไดท แถบเมนดานบน

การทางานใน Inkscape นนคณสามารถยอนกลบการกระทาครงลาสด (Undo) ไดดวย โดยกด

Ctrl+Z และยกเลกการยอนกลบการกระทา(Redo) ไดโดยกด Shift+Ctrl+Z

เคลอนยาย, ขยาย ,หมน

รปทรงทคณไดสรางขนใน Inkscape นนคณสามารถปรบแกไดตามตองการ เชน ยายตาแหนง, หมน

หรอยอ/ขยายกได โดยวธแกไขรปทรงนน คณจะตองทาการเลอกรปทรงทคณตองการกอน จากนนกด

F1 และแกไขดวยคาสงท Inkscape ไดเตรยมไวใหดงน

1. คลกคางทรปทรงแลวลาก เพอยายไปในตาแหนงทตองการ

2. Ctrl+ คลกคางทรปทรงแลวลาก เพอยายตาแหนงใหขนานในแนวตงหรอแนวนอน

3. คลกคางทลกศรในสวนมมของรปทรง เพอยอ/ขยายรปทรง

4. Ctrl+ คลกคางทลกศรในสวนมมของรปทรงแลวลาก เพอยอ/ขยายแบบเทากนในทกดาน

5. คลกซาทรปทรงทเลอกอกครง ลกศรจะโคงเพอใหเราหมนรปทรงได

6. Ctrl+หมนรปทรง จะทาใหหมนไดครงละ 15องศา

7. กดทลกศร เพอยายตาแหนงตามทศทางของลกศร

8. Alt+ลกศร เพอยายครงละ 1 พกเซล

9. <, > ยอ/ขยายรปทรง

10. Ctrl + <, > ยอ/ขยาย ครง1เทาตว

11. Alt + <, > ยอ/ขยาย ครงละ 1 พกเซล

12. [,] หมนรปทรง ครงละ 15องศา

13. Ctrl + [,] หมนรปทรง ครงละ 90องศา

14. Alt + [,] หมนรปทรงครง 1 พกเซล

การเลอกรปทรง

วธในการเลอกรปทรงตางๆใน Inkscape

1. คลกไปทรปทรงทตองการ เพอเลอกรปทรงทตองการ

2. Shift+คลก เพอคลกแลวเขาไปทคาสงหมนเลย (คลายการคลก2ครง)

3.คลกแลวลากครอบวตถทตองการ (ครอบไดมากกวาครงละ1ชน)

4. Shift+คลก เพอเลอกวตถชนตอๆไป

Group

คณสามารถจบเอารปทรงหลายๆรปทรง (ตงแต 2 ขนไป) มารวมกนเปน group ได ซง

ประโยชนของ group นนคอ คณสามารถเลอกรปทรงทอยใน group เดยวกนไดดวยการคลกเพยง

ครงเดยว และสามารถยาย ยอ/ขยาย หรอหมน พรอมๆกนไดอกดวย สาหรบวธการสง group นนคณ

จะตองเลอกรปทรงทจะทาเปน group กอน เมอเลอกไดแลวใหกด Ctrl + G รปทรงจะถก group

เขาไวดวยกน สวนการจะยกเลก group นนใหเลอก group ทตองการ จากนนกด Shift + Ctrl + G

รปทรงทรวมกนอยเปน group จะถกแยกออก

Fill และ Stroke

รปทรงตางๆใน Inkscape จะประกอบไปดวย Fill และ Stroke ซง Fill นนจะหมายถง

บรเวณทเปนสวนของรปทรง สวน Stroke นนคอ สวนของขอบของรปทรง ซงทง Fill และ Stroke

นนเราสามารถเปลยนคาของสและความโปรงใสไดโดยกด Shift + Ctrl + F เพอทาการเรยกหนาตาง

ปรบแตงคา Fill และ Stroke ขนมา ภายในหนาตางน คณสามารถปรบคาตางๆของ Fill และ Stroke

ไดทงหมด

ลาดบชนของรปทรง

รปทรงตางๆใน Inkscape จะถกเรยงลาดบชนเอาไว ซงตามปกตแลว จะถกเรยงลาดบตามเวลา

ของการสราง โดยรปทรงทสรางขนมากอนจะอยดานลาง แลวรปทรงทสรางทหลงจะอยดานบน ซง

ลาดบของรปทรงเหลานเราสามารถจดเรยงใหมได โดย

1. ปม Home เพอยายมาดานบนสด

2. ปม End เพอยายไปดานลางสด

3. ปม PageUp เพอยายไปดานบน 1 ระดบ

4. ปม PageDown เพอยายลงลาง 1 ระดบ

คณสามารถเลอกวตถโดยไลไปตามระดบไดโดยกด Tab เพอเลอกรปทรงทอยในระดบสงขนไป และ

Shift + Tab เพอเลอกรปทรงทอยในระดบตาลงมา

Selecting under

เปนวธทใชสาหรบเลอกรปทรงทถกซอนอยดานลาง ซงถาคณคลกเพอเลอกแบบปกต จะทา

ใหคณเลอกถกรปทรงทอยดานบน สาหรบวธทใชในการเลอกรปทรงทอยดานลางนน ใหคณกด Alt+

คลก จะเปนการเลอกไปทรปทรงทถกบงอย กรณทรปทรงซอนทบกนอยมากกวา 1ชนใหคณคลกซา

ไปอก จะเปนการเลอกรปทรงทอยในระดบทตากวาลงไปเรอยๆ

การสรางลวดลายดวยตวอกษร (Text to Pattern)

ภาพตนฉบบ

ภาพท ก.1 ภาพตนฉบบกอนการสรางลวดลาย

ภาพท ก.2 ภาพหลงการสรางลวดลาย

1. พมพตวหนงสอทตองการ จะนามาทาเปนลวดลาย ปรบสปรบขนาดใหเรยบรอย

2. เลอกตวอกษรทจะทาเปนลวดลาย จากนนกดท Edit > Object(s) to Pattern จะ

ทาใหตวอกษรทเราสรางขนมานน กลายเปนลวดลาย ซงจะถกเกบไวในระบบแลว

3. เมอสงแปลงตวอกษรใหกลายเปนลวดลายแลว คณสามารถยอหรอหมนลวดลายได

ดวยคาสง Edit path nodes or control handles หรอกดท F2 ซงจะทาให

ลวดลายทคณปรบเสรจแลว นาไปใชเปนลวดลายของวตถอนตอไปได

4. พมพตวอกษรท จะทาเปนขอความ

5. เลอกตวอกษรทเปนขอความ กดไปท Object > Fill and Stroke

6. ไปทแทบ Fill เลอกทไอคอน Pattern จากนนจะม Pull down เมนใหเลอก

ลวดลาย ใหเลอกไปจนพบกบลวดลายทไดสรางไว จากนนวตถของคณจะถกลงส

ดวยลวดลายทคณเลอก

การสรางอกษรบนเสน

ภาพท ก.3 เสนและอกษร

ภาพท ก.4 อกษรไปอยตามแนวเสน

1. สรางตวอกษร และ เสนทตองการใหตวอกษรไปตามเสน

2. เลอกวตถทง 2 ชน

3. ไปท Text > Put on Path

Documents

โครงงานคณิตศาสตร เรื่อง การประยุกต ของอัตราส วนทองคํา จัด ... · บทคัดย