INSTITUCION EDUCATIVA TECNICO INDUSTRIAL LUZ HAYDEE

GUERRERO MOLINA

ACTIVIDADES DE MATEMTÁTICAS

FUNCIÓN LINEAL

Una función lineal es una función cuyo dominio son todos los números reales, cuyo codo minio también todos los números reales, y cuya expresión analítica es un polinomio de primer grado.

La función lineal se define por la ecuación f(x) = mx + b ó y = mx + b llamada ecuación canónica,

en donde m es la pendiente de la recta y b es el intercepto con el eje Y. Por ejemplo, son funciones lineales f(x) = 3x + 2 g(x) = - x + 7 h(x) = 4 (en esta m = 0 por lo que 0x no se pone en la ecuación).

Esta es la gráfica de la función lineal y = 3x + 2 Vemos que m = 3 y b = 2 (de la forma y = mx + b)

Este número m se llama pendiente de la recta y es la relación entre la altura y la base, aquí vemos

que por cada unidad recorrida en x la recta sube 3 unidades en y por lo que la pendiente es m = 3. & b es el intercepto de la recta con el eje Y (donde la recta se cruza con el eje Y)

Este número m se llama pendiente de la recta y es la relación entre la altura y la base, aquí vemos que por cada unidad recorrida en x la recta sube 3 unidades en y por lo que la pendiente es m = 3. & b es el intercepto de la recta con el eje Y (donde la recta se cruza con el eje Y) Volvamos al ejemplo de las funciones lineales

f(x) = 3x+2 Si x es 3, entonces f (3) = 3*3+2 = 11

Si x es 4, entonces f (4) = 3*4+2 = 14

Si x es 5, entonces f (5) = 3*5+2 = 17

Cada vez que la x se incrementa en 1 unidad, el resultado, esto es, f(x), se incrementa en 3

unidades. Si el valor de la pendiente es positivo la función es Creciente. Preste atención en que los

valores de x y de f(x) NO SON PROPORCIONALES.

Lo que son proporcionales son los incrementos.

g(x) = -3x+7 Si x= 0, entonces g (0) = -3*(0) +7 = 0+7 = 7

Si x= 1, entonces g (1) = -3*(1) +7 = -3+7 = 4

Si x= 2, entonces g (2) = -3*(2) +7 = -6+7 = 1

Cada vez que la x se incrementa en 1 unidad, el resultado, esto es, g(x), disminuye en 3 unidades.

Si el valor de la pendiente es negativo la función es Decreciente.

h(x) = 4 Si x= 0 , entonces h(0) = 4

Si x= 98 entonces h(98) = 4Cada vez que la x se incrementa en 1 unidad, el resultado, esto es,

h(x), NO aumenta. Es la función constante. Su gráfica es una recta paralela al eje X.

Cada vez que la x se incrementa en 1 unidad, el resultado, esto es, h(x), NO aumenta. Es la

función constante. Su gráfica es una recta paralela al eje X.

Esta es la representación grafica de los tres tipos de funciones descritas.

Esta es la representación gráfica de los tres tipos de funciones descritas.Graficar :

1.Y = x + 1 tabular y graficar

X

Y

2. Y = X+3

X

Y

1. Definición y ejemplo

Una función cuadrática (o parabólica) es una función polifónica de segundo grado. Es decir, tiene la forma

Siendo a≠0a≠0.

Esta forma de escribir la función se denomina forma general.

La gráfica de una función cuadrática siempre es una parábola.

Ejemplo

Las parábolas tienen forma de ∪∪ (si a>0a>0) o

de ∩∩ (si a<0a<0).

Además de la orientación, el coeficiente a es la causa de la

amplitud de la función: cuanto mayor es |a||a|, más rápido crece

(o decrece) la parábola, por lo que es más cerrada.

2. Vértice

Las funciones cuadráticas tienen un máximo (si a<0a<0) o un

mínimo (si a>0a>0). Este punto es el vértice de la parábola.

La primera coordenada del vértice es

Y la segunda coordenada es su imagen:

Ejemplo

Calculamos el vértice de la función

Identificamos los coeficientes:

Como aa es negativo, la parábola tiene forma de ∩∩. El vértice

es un máximo.

La primera coordenada del vértice es

Calculamos la segunda coordenada:

Por tanto, el vértice es el punto

Gráfica:

3. Puntos de corte con los ejes

Una parábola siempre corta el eje de ordenadas (eje Y) en un punto. Como esto ocurre cuando x=0x=0, se trata del

punto (0,c)(0,c) puesto que f(0)=cf(0)=c.

Una función corta al eje de abscisas cuando y=0y=0. Por tanto,

para hallar estos puntos de corte, tenemos que resolver una ecuación cuadrática:

Como una ecuación cuadrática puede tener una, dos o ninguna solución, puede haber uno, dos o ningún punto de corte con el eje X.

Recordamos la fórmula que necesitamos:

Ejemplo

Calculamos los puntos de corte de la función

Los coeficientes de la ecuación son a=1a=1, b=0b=0 y c=−1c=−1.

Eje Y:

El punto de corte con el eje Y es (0,−1)(0,−1).

Eje X:

FORMULA GENERAL

Resolvemos la ecuación de segundo grado:

Hay dos soluciones: x=1x=1 y x=−1x=−1.

La segunda coordenada es 00.

Por tanto, tenemos los puntos de corte

Gráfica:

4. Formas factorizada y canónica

La forma factorizada de una función cuadrática es

donde aa es el coeficiente principal (visto

anteriormente); x1x1 y x2x2 son las soluciones de la

ecuación ax2+bx+c=0ax2+bx+c=0.

Si la ecuación ax2+bx+c=0ax2+bx+c=0 no tiene

soluciones, no podemos factorizar la función. Si la ecuación sólo tiene una solución, x1x1, la forma

factorizada es f(x)=a(x−x1)2f(x)=a(x−x1)2.

Ejemplo

En el ejemplo anterior vimos que los puntos de corte con el eje X de la función f(x)=x2−1f(x)=x2−1 son (1,0)(1,0) y (−1,0)(−1,0). Por tanto, la forma factorizada de esta función es

La forma canónica de una función cuadrática es

donde aa es el coeficiente principal visto ya; hh es la primera

coordenada del vértice y kk es la segunda.

Ejemplo

Vimos en un ejemplo que el vértice de la función f(x)=−2x2+3f(x)=−2x2+3 es (3/4,9/8)(3/4,9/8). Por tanto,

su forma canónica es

5. Intersección de dos parábolas

Podemos preguntarnos si las gráficas de dos funciones se cortan entre sí. Para resolver esta pregunta, tenemos que igualar las funciones y resolver la ecuación resultante.

Ejemplo

Calculamos la intersección de las siguientes parábolas:

Igualamos ambas funciones y resolvemos la ecuación:

Las soluciones de la ecuación son x=1x=1 y x=−1x=−1.

La segunda coordenada se obtiene calculando la imagen:

Por tanto, los puntos de corte son (1,0)(1,0) y (−1,0)(−1,0).

Gráfica:

6. Problemas resueltos

Problema 1

Calcular el vértice de la siguiente función parabólica:

Solución

Problema 2

Determinar los puntos de corte y el vértice de la siguiente función:

Solución

Problema 3

Determinar los puntos de corte y el vértice de la siguiente función:

Solución

Problema 4

Determinar los puntos de corte de la parábola

Y el vértice de la parábola

Solución

Problema 5

Escribir la siguiente función en las formas factor izada y canónica:

Solución

Problema 6

Calcular los puntos de intersección de las siguientes funciones:

Objetivos:

1. Identificar las propiedades de un número complejo

2. Simplificar raíces negativas i

3. Simplificar potencias de i

4. Identificar y aplicar las operaciones con números complejos.

5. Simplificar expresiones con números complejos

Introducción

Si x 2 = -1entonces x = ± -1. Esta ecuación no tiene solución en el conjunto de

los números reales ya que si n en un número par x n ≥ 0 para todo número real.

En esta lección se comenzará el estudio de números no reales que provienen de

una raíz par de un número negativo.

Definición de Números Imaginarios

Definición:

- 1 = i

Normalmente simplificamos números con raíces negativas para que sean un

número real multiplicado por i.

Ejemplos 1. - 16 = 16 × - 1 = 16 i = 4 i

2. - 2 = 2 × - 1 = 2 i Note que la i se encuentra fuera del radical.

Definición

Un número imaginario tiene la forma b i donde b es un número real.

Potencias de i

Para simplificar potencias de i solamente tenemos que recordar que:

i2 =(-1)2= -1

(-1)n=1 si n es par.

(-1)n=-1 si n es impar.

Ejemplos: Expresar los siguientes sin una potencia. 1. i32 = (i2)16 = (-1)16 =1

2. i41 = (i2)20×i = (-1)20×i =1×i =i

3. i23 = (i2)11×i = (-1)11×i =-1×i =-i

Definición de Números Complejos

Definición

Un número complejo tiene la forma a+ b i donde a y b son números reales: a se conoce como la parte real

y b se conoce como la parte imaginaria.

Ejemplos :

1. 1 + i

2. 3 + 2 i

Para visualizar números complejos, se usa un plano de coordenadas con un eje horizontal

para las partes reales y un eje vertical para las partes imaginarias. Cada punto en ese plano

llamado el plano complejo corresponde a un número complejo. Mover el punto z en la

siguiente aplicación para visualizar números complejos:

Suma y Resta de Complejos

Para sumar dos complejos solo hay que sumar sus partes reales y sus partes

imaginarias

: ( a + b i ) + ( c + d i ) = ( a + c ) + ( b + d ) i

Ejemplos 1. ( 1 + 2 i ) + ( 3 + 4 i ) = ( 1 + 3 ) + ( 2 + 4 ) i = 4 + 6 i

2. ( 1 + 2 i ) + ( 3 - 4 i ) = ( 1 + 3 ) + ( 2 - 4 ) i = 4 - 2 i

3. ( 1 - 2 i ) + ( 3 - 4 i ) = ( 1 + 3 ) + ( -2 - 4 ) i = 4 - 6 i

4. ( -1 + 2 i ) + ( 3 + 4 i ) = ( - 1 + 3 ) + ( 2 + 4 ) i = 2 + 6 i

Para la resta de dos complejos restamos las partes reales y las partes

imaginarias ( a + b i ) - ( c + d i ) = ( a - c ) + ( b - d ) i

Ejemplo 1. ( 1 + 2 i ) - ( 3 + 4 i ) = ( 1 - 3 ) + ( 2 - 4 ) i = - 2 - 2 i

2. ( 1 + 2 i ) - ( 3 - 4 i ) = ( 1 - 3 ) + ( 2 + 4 ) i = - 2 + 6 i

3. ( 1 - 2 i ) - ( 3 - 4 i ) = ( 1 - 3 ) + ( - 2 + 4 ) i = - 2 + 2 i

4. ( - 1 + 2 i ) - ( 3 + 4 i ) = ( - 1 - 3 ) + ( 2 - 4 ) i = - 4 - 2 i

Producto de Complejos

El producto de dos números complejos se hace igual que el producto

de expresiones binomiales

Ejemplos

1. Hallar el producto: ( 1 + 2 i ) ⋅ ( 3 + 4 i )

Solución:

( 1 + 2 i ) ⋅ ( 3 + 4 i ) = 1⋅ ( 3 + 4 i ) + 2i⋅ ( 3 + 4 i ) = 3 + 4 i + 6 i + 8 i 2 = 3 + 10 i + 8 ( -1 ) = - 5 + 10 i

2. Hallar el producto: ( 2 + i ) ⋅ ( 2 + 5 i )

Solución:

( 2 + i ) ⋅ ( 2 + 5 i ) = 2⋅ ( 2 + 5 i ) + i⋅ ( 2 + 5 i ) = 4 + 10 i + 2 i + 5 i 2 = 4 + 12 i + 5 ( -1 ) = - 1 + 12 i

3. Hallar el producto: ( 2 - i ) ⋅ ( 4 + 3 i )

Solución:

( 2 - i ) ⋅ ( 4 + 3 i ) = 2⋅ ( 4 + 3 i ) - i⋅ ( 4 + 3 i ) = 8 + 6 i - 4 i - 3 i 2 = 8 + 2 i - 3 ( -1 ) = 11 - 3 i

Módulo de un Número Complejo.

El valor absoluto o módulo de un número corresponde a la distancia en el plano

complejo entre el punto y el origen del plano.

Ejemplos

1. | 1 + 3 i | = 1 2 + 3 2 = 10

2. | 2 - 3 i | = 2 2 + ( - 3 ) 2 = 13

3. | 4 - 3 i | = 4 2 + ( - 3 ) 2 = 25 = 5

Definición: Argumento: El argumento de un número complejo es el ángulo que

forma el semieje positivo de abscisas , con la semirrecta que une el origen de

coordenadas con su afijo. Dado el número z= a+bi, el argumento de z es: θ=tan-

1(ba)

Ejemplos

Calcular el argumento de z de los siguientes números complejos:

1. 4 + 2 i = → θ =tan- 1(24) → θ = 0.463647609000806

2. 5 + 3 i = → θ =tan- 1(35) → θ = 0.53704956699803

Conjugado de un Número Complejo

Para dividir dos números complejos necesitamos definir lo que es el conjugado

de un número complejo

Definición

Sea z un número complejo de la forma z = a + b i , llamaremos el conjugado de z al

número complejo de la forma z ¯ = a + b i ¯ = a - b i

Ejemplos

3 + 4 i ¯ = 3 - 4 i 2 - 5 i ¯ = 2 + 5 i

- 3 i ¯ = 3 i - 4 ¯ = - 4

Nota: Multiplicando un número complejo con su conjugado da el módulo

cuadrado.

1. ( 3 + 4 i ) ⋅ 3 + 4 i ¯ = 3 2 + 4 2

2. ( 3 - 5 i ) ⋅ 2 - 5 i ¯ = 3 2 + 5 2

3. ( a + b i ) ⋅ a + b i ¯ = a 2 + b 2

División de Complejos

Para el cociente de dos números complejos es necesario introducir una nueva

terminología, la cual es muy útil al momento de dividir números complejos, sin

embargo iniciemos viendo como seria la división de un complejo sobre un real.

Para dividir un complejo sobre un real se hace lo siguiente: a + b i r = a r + b r i.

Veamos el siguiente ejemplo:

Ejemplo

1. 2 + 3 i 2 = 2 2 + 3 2 i = 1 + 3 2 i

El conjugado nos permite cambiar dividir por un número complejo a multiplicar

por un número complejo y dividir por un número real:

Ejemplos

1. 1 + 2 i 3 + 4 i = 1 + 2 i 3 + 4 i · 3 - 4 i 3 - 4 i = ( 1 + 2 i ) ( 3 - 4 i ) ( 3 + 4 i ) ( 3 - 4 i ) = 3 - 4 i + 6 i - 8 i 2 9 -

16 i 2 = 3 - 4 i + 6 i - 8 ( -1 ) 9 - 16 ( -1 ) = 3 + 8 9 + 16 + 6 - 4 9 + 16 i = 11 25 + 2 25 i

2. 3 + i 1 - 6 i = 3 + i 1 - 6 i · 1 + 6 i 1 + 6 i = ( 3 + i ) ( 1 + 6 i ) ( 1 - 6 i ) ( 1 + 6 i ) = 3 + 18 i + i + 6 i 2 1 -

36 i 2 = 3 + 18 i + i + 6 ( -1 ) 1 - 36 ( -1 ) = 3 - 6 1 + 37 + 18 + 1 1 + 37 i = - 3 37 + 19 37 i

a + b i /c + d i

= ( a + b i ) ( c + d i ) / ( c + d i ) ( c + d i )

= ( a + b i ) ( c - d i ) /( c + d i ) ( c - d i )

= ( a c + b d ) . ( b c - a d )/( i c) 2 +( d )2

= ( a c + b d )( c) 2 +( d) 2 + ( b c - a d )/ c 2 + d 2 i