af de skriftlige prøver i matematik på stx og hf ved · bundet til matematik B. Denne forklaring underbygges ved at se på resultaterne for valghold contra studieretningshold: På

Evaluering af de

skriftlige prøver

i matematik

på stx og hf ved

sommereksamen 2009

Undervisningsministeriet

oktober 2009

2

Indhold Forord ...................................................................................................................................................... 3 Overvejelse og anbefalinger .................................................................................................................... 5 Den skriftlige prøve i matematik A på stx ............................................................................................... 7 Karakterfordeling ved eksamen .......................................................................................................... 7 Pointtal for enkeltopgaver .................................................................................................................. 8 Fordeling af pointtal opgjort efter opnået karakter ......................................................................... 11 Kønsforskelle i opnået resultat ......................................................................................................... 13 Hvilken betydning for karaktererne har det, at man anvender håndholdt CAS eller CAS på pc? .... 14 Anmeldelse af opgavesættet ............................................................................................................ 16 Klyngeanalyse af elevbesvarelserne .................................................................................................. 21 Censorernes evaluering af sættet stx‐A ............................................................................................ 22

B‐niveauerne ......................................................................................................................................... 25 Den skriftlige prøve i matematik B på stx ............................................................................................. 25 Karakterfordeling ved eksamen ........................................................................................................ 25 Pointtal for enkeltopgaver ................................................................................................................ 26 Fordeling af pointtal opgjort efter opnået karakter ......................................................................... 29 Kønsforskelle i opnået resultat ......................................................................................................... 31 Hvilken betydning for karaktererne har det, at man anvender håndholdt CAS eller CAS på pc? .... 32 Anmeldelse af sættet STX091‐MAB .................................................................................................. 33 Klyngeanalyser af elevbesvarelserne ................................................................................................ 38 Censorernes evaluering af eksamenssættet stx B ............................................................................ 39

Den skriftlige prøve i matematik B på hf ............................................................................................... 42 Karakterfordeling ved eksamen ........................................................................................................ 42 Pointtal for enkeltopgaver ................................................................................................................ 43 Fordeling af pointtal opgjort efter opnået karakter ......................................................................... 46 Kønsforskelle i opnået resultat ......................................................................................................... 48 Hvilken betydning for karaktererne har det, at man anvender håndholdt CAS eller CAS på pc? .... 49 Anmeldelse af sættet HFE091‐MAB .................................................................................................. 50 Klyngeanalyser af elevbesvarelserne ................................................................................................ 54 Censorernes evaluering af eksamenssættet hf B .............................................................................. 55

Sammenligning mellem stx B og hf B .................................................................................................... 58 Uddybende bemærkninger om opgaverne ....................................................................................... 61

Den skriftlige prøve i matematik C på hf ............................................................................................... 63 Karakterfordeling ved eksamen ........................................................................................................ 63 Pointtal for enkeltopgaver ................................................................................................................ 64 Fordeling af pointtal opgjort efter opnået karakter ......................................................................... 66 Kønsforskelle i opnået resultat ......................................................................................................... 69 Anmeldelse af opgavesættet hf C (2HF091‐MAC) ............................................................................ 69 Klyngeanalyser af elevbesvarelserne ................................................................................................ 73 Censorerne evaluering af opgavesættet hf C .................................................................................... 73

Bilag 1 .................................................................................................................................................... 76 Hierarkisk klyngeanalyse ................................................................................................................... 76

3

Forord To årgange gymnasieelever og tre årgange kursister på det 2‐årige hf har nu gennemført studenter‐ henholdsvis hf‐eksamen efter reformen i 2005. Skoleåret 2009‐10 anvendes bl.a. til at foretage juste‐ringer af læreplaner og til at skrive nye undervisningsvejledninger. Evalueringsrapporterne over de skriftlige prøver indgår sammen med de øvrige evalueringsrapporter i disse overvejelser.

Den foreliggende evalueringsrapport over resultaterne ved sommereksamen 2009 består i lighed med sidste års rapport af tre elementer:

− en kvalitativ analyse af opgavesættene set i relation til læreplanernes krav.

− en detaljeret analyse af, hvorledes eleverne og kursisterne har klaret de enkelte spørgsmål, hvorledes sammenhængen er mellem besvarelserne af de forskellige spørgsmål, og hvorle‐des sættene differentierer i top og bund.

− en detaljeret kortlægning af sættenes struktur ved hjælp af en række statistiske og grafiske værktøjer.

Den meget detaljerede gennemlysning af prøvesættene, som her foreligger, kan både anvendes af opgavekommissionerne og af censorer og lærere til at få en bedre forståelse af, hvordan en læreplan udmøntes i et prøvesæt, hvilke opgaver der hører til den lettere del, og hvilke der hører til den svæ‐rere del af det faglige stof, samt hvordan eleverne egentlig går til opgaverne.

Resultaterne på stx A, hf B og hf C lå mht. gennemsnit og karakterfordeling på samme niveau, som de plejer, mens dumpeprocenterne blev lidt lavere. Resultaterne på stx B lå igen i år på et niveau, der ikke var tilfredsstillende.

En væsentlig årsag til vanskelighederne på stx B er som anført i rapporten sidste år den betydelige ændring i populationen, der slutter med stx B som det højeste matematikniveau. Før reformen ud‐gjorde denne population ca. 3000, efter reformen er det ca. 8000. Tilgangen kommer fra den gruppe elever, der tidligere valgte sproglig linje, og skyldes for en vis del, at samfundsfag A og biologi A nu er bundet til matematik B. Denne forklaring underbygges ved at se på resultaterne for valghold contra studieretningshold: På stx A er resultaterne stort set er identiske, mens det på stx B går signifikant bedre på valgholdene end på studieretningsholdene.

I rapporten er der bl.a. lavet en sammenlignende analyse af stx B og hf B. Det er forskellige elevgrup‐per, og vi må også have med i billedet, at de to uddannelser har forskellig struktur og forskellige mål. Der arbejdes med et lidt højere abstraktionsniveau på stx, mens hf har stærkt fokus på det anvendel‐sesorienterede.

Men et særligt aspekt har måske fået for stor vægt i stx: Stx B er for nogle elever et afsæt til en op‐gradering fra B‐ til A‐niveau. Det drejer sig om 25‐30 % af de elever, der er på B‐holdene. Læreplanen for stx B er imidlertid i alt væsentligt skrevet som en læreplan fra 0 til B, og ikke som et modul på vej mod et A‐niveau. Dette bør i højere grad slå igennem i de skriftlige prøvesæt og i den daglige under‐visning: Hovedsigtet må være de knap 75%, der slutter med et B‐niveau.

For år tilbage havde vi en parallel historie på hf, hvor det daværende fællesfag i alt for høj grad tog sigte på at forberede tilvalgsfaget – med voldsomme dumpeprocenter til følge. Det er lykkedes at

4

”definere” hf C‐niveau som et fag, der er afrundet i sig selv, og dumpeprocenterne er bragt betyde‐ligt ned. Og det er samtidig lykkedes at holde et fint niveau på hf B.

Hvis man kaster et blik på elevernes point‐score, er det tankevækkende, at på hf B ligger en stor elevgruppe (10‐11%) i intervallet 36‐45 point, altså lige over, hvor de kan bestå. Men på stx B har vi en lige så stor elevgruppe (ca. 12%) i intervallet 26‐35 point, altså der, hvor man netop ikke når op over dumpegrænsen. Læst positivt fortæller dette, at man med relativt få justeringer af prøvesætte‐ne på stx B burde kunne få dumpeprocenten væsentlig ned uden at gøre det lettere at få høje karak‐terer.

Klyngeanalyserne viser i øvrigt, at arkitekturen i prøvesættene stort set er den rigtige – med en grup‐pe af opgaver, der kan differentiere i toppen, en gruppe solide opgaver, der skal klares for at opnå en middelkarakter, samt en gruppe opgaver, der kan sikre, at elever, der gør deres arbejde, kan bestå. Det er forholdet mellem antal spørgsmål i de forskellige kategorier, der for nogle niveauer skal juste‐res lidt. Dette fremgår i øvrigt også af censorernes kategorisering af de enkelte spørgsmål.

Et helt særligt problem er blevet afdækket gennem censorernes detaljerede indberetning: På stx B klarer drengene sig markant dårligere end pigerne. Ca. en tredjedel af drengene får enten ‐3 eller 00. Det er en stor andel, der lidt groft sagt stort set har spildt tiden. Evalueringsgruppen har ikke et ma‐teriale, der kan svare på dette, men anbefaler, at spørgsmålet undersøges nøjere.

Til grund for evalueringsgruppens analyse ligger de indberetninger og tilbagemeldinger, censorerne gav i forcensuren. Det er et værdifuldt materiale, og tak til censorerne for det.

Den kvalitative analyse af opgavesættene er Niels Grønbæk fra Matematisk Institut, KU, blevet bedt om at lave. Hensigten hermed har været at få et eksternt blik på disse prøvesæt, foretaget af en, som er uvildig både i forhold til opgavekommissionerne og til det daglige arbejde med at realisere lære‐planerne i undervisningen. Analysen er naturligvis drøftet i hele evalueringsgruppen og integreret i den øvrige del af rapporten.

Man kan med fordel have selve prøvesættene ved hånden, når man orienterer sig i rapporten. De findes på adressen: http://www.uvm.dk/Uddannelse/Gymnasiale%20uddannelser/Proever%20og%20eksamen/Centralt%20stillede%20skriftlige%20opgavesaet%20stx%20og%20hf.aspx

Evalueringsgruppen bestod af lektor Claus Jessen, Ørestad Gymnasium, lektor Morten Overgaard Nielsen, KVUC og lektor Niels Grønbæk, Institut for Matematiske Fag, Københavns Universitet for‐uden undertegnede. En stor tak til de tre. Endvidere tak til lektor Inge Henningsen, Institut for Ma‐tematiske Fag, Københavns Universitet, for udarbejdelse af klyngeanalyserne.

Bjørn Grøn, fagkonsulent

5

Overvejelse og anbefalinger Årets opgavesæt har – som altid – været særdeles gennemarbejdede og af høj kvalitet. Evaluerings‐gruppen vil i det følgende på baggrund af rapporten opsummere, hvad vi finder afgørende, at opga‐vekommissionerne inddrager i deres arbejde med udformningen af kommende prøvesæt.

I evalueringsrapporten er der forhold, der særligt springer i øjnene. Først og fremmest er der karak‐terfordelingerne, som på de forskellige matematikniveauer er faldet ret forskelligt ud. Det viser sig, at eleverne på stx B‐niveau klarer sig markant dårligere end på de øvrige niveauer. Her opnår ca. 4% af eleverne karakteren ‐3, og 22% opnår karakteren 00. Det betyder, at hver fjerde elev ikke har levet op til de faglige krav, denne prøve lægger op til. Man kan opstille flere hypoteser som forklaring på dette. Det er ikke evalueringsgruppens opgave at tage stilling hertil, men vi mener, at problemet med de lave karakterer er så betydningsfuldt, at det må løses.

For stx B er det åbenlyst, at der er et misforhold mellem de krav, der bliver stillet til eleverne ved den skriftlige prøve, og de krav, eleverne kan honorere. Opgavekommissionen for stx må derfor i særlig grad drøfte, hvorledes de skriftlige prøver på B‐niveau kan udformes, så de evaluerer læreplanens faglige mål og kernestof, og samtidig i højere grad matcher det elevgrundlag, der har gennemført undervisningen og derefter deltager i prøven.

Herudover er der en række forhold, som vi vil pege på. De er ikke alene rettet mod stx B, men kan generelt betragtes som anbefalinger til begge opgavekommissioner.

For stx A vurderer hovedparten af de skriftlige censorer, at opgavesættet har et for stort omfang. Dette gælder ikke for de øvrige niveauer. Evalueringsgruppen anbefaler, at fremtidige sæt udformes, så karakterdifferentieringen er baseret på matematiske kvalifikationer snarere end hurtighed.

For stx A‐sættet gælder, at det differentierer godt i toppen med ret så vanskelige opgaver, men at der er for mange opgaver, der adskiller 10‐eleven fra 12‐eleven. Sammenholdt med tidspresset med‐fører, at for få elever får 12 ved denne eksamen.

Opgavekommissionerne opfordres til i højere grad at målrette opgavetyperne på tre niveauer: opga‐ver med enkle problemstillinger, som elever på bestågrænsen kan løse; opgavetyper af mere kom‐pleks art, som middelelever kan løse; ret komplekse opgave, som kun de bedst elever vil kunne mag‐te. Naturligvis skal der være en rimelig balance mellem de tre opgavetyper, så en passende procent‐del kan bestå ved at løse de enkle opgavetyper, og en passende procentdel kan nå at løse også de vanskelige opgaver og derved få en høj karakter.

Opgavekommissionerne opfordres også til fortsat at arbejde med progressionen i opgavesættene. De enklere opgavetyper bør fortsat komme først i sættet, så de svagere elever ikke bruger uforholds‐mæssig lang tid på problemstillinger, som de alligevel ikke magter at håndtere og derved ikke får tid til at løse de opgaver, som egentlig var rettet mod dem.

De sproglige forskelle mellem stx B‐ og hf B‐sættet er mindsket, men abstraktionsniveauet på stx B forekommer fortsat til at være for højt. Evalueringsgruppen ser en tendens til, at der indgår vanskeli‐gere matematiske problemstillinger inden for samme kompetenceområder på stx B end på hf B.

Der har i mange år været tradition for, at opgavesættet hver gang testede eleverne i hele kernestof‐fet og kom ud i mange kroge. De skriftlige censorer bemærker, at dette også gælder årets sæt. Man‐

6

ge skriftlige censorer giver udtryk for, at der er for mange forskellige problemstillinger i sættet. En mulig løsning på dette er at acceptere, at det ikke altid er nødvendigt at berøre alle emner.

Evalueringsgruppen har undersøgt, om der er forskel i niveauet for de elever, der har anvendt hånd‐holdt CAS‐værktøj og computer. Her er ingen nævneværdig forskel – selv ikke helhedsindtrykket er forskellig for de to grupper.

Evalueringsgruppen har også undersøgt kønsforskelle. Her er der meget markante forskelle – særligt på stx‐B. Drengene klarer sig betydeligt dårligere end pigerne her ‐ mest udtalt ved at uforholdsmæs‐sigt mange drenge kun opnår dumpekarakterer. Det gjaldt ved årets eksamen, at 5% af drengene opnåede en karakter på ‐3 og ca. 28% en karakter på 00, mens af pigerne opnåede ca. 3% karakteren ‐3 og 19% karakteren 00.

Evalueringsgruppen har ingen mulighed for at afdække årsagerne til denne forskel, men finder, at det er særdeles vigtigt at få den belyst den nærmere. Er der i matematikundervisningen på stx B‐niveau en kønsbarriere, der spænder ben for drengene? Er det strukturen i undervisningen, er det den an‐vendte pædagogik, er det de tilbudte fag, eller er det lærergruppen, der ikke matcher drengene? Er det et problem, der er mere generelt, end vores analyse afslører. Vi kan registrere, at det er et stort problem, dels at drengene er i undertal i gymnasiet, og dels at de i matematik B klarer sig markant dårligere end pigerne. Denne problemstilling bør underkastes en kvalificeret analyse.

7

Den skriftlige prøve i matematik A på stx

Karakterfordeling ved eksamen Ved sommereksamen blev der af de skriftlige censorer indtastet resultater fra 9042 elever, der var til skriftlig prøve i matematik A på stx. Deres karakterer fordelte sig som vist i tabellen:

Stx matematik A

Karakter ‐3 00 02 4 7 10 12

Frekvens (%) 0,9 12,1 6,4 19,1 32,2 22,5 6,8

Fordelingen kan illustreres med følgende diagram:

Karakterfordelingen for de elever, der bestod eksamen, er således:

Karakterfordelingen for de elever, der bestod eksamen, afviger kun lidt fra den ”ideelle” fordeling på 10%, 25%, 30%, 25%, 10% til karaktererne 02, 4, 7, 10, 12.

0

5

10

15

20

25

30

35

‐3 00 02 4 7 10 12

Procen

t

Matematik stx‐A ‐ sommer 2009Karakterfordeling for alle (9042 elever)

Gennemsnit 6,18

0

5

10

15

20

25

30

35

40

02 4 7 10 12

Procen

t

Matematik stx‐A ‐ sommer 2009Karakterfordeling for beståede

8

Evalueringsgruppen bemærker desuden, at 13,5% af de elever, der deltager i den skriftlige prøve, ikke opnår en bestå‐karakter. Dette er et betydeligt fald fra 2008, hvor 18,0% ikke bestod.

Det skal her bemærkes, at en afgørende faktor har været den nye omregningsskala.

Pointtal for enkeltopgaver Alle førstecensorerne blev bedt om at indsende resultaterne af deres pointtildeling for de fem første elever på karakterlisterne for de hold, de rettede. Forcensuren bygger på pointtal for 2222 elever. Dette materiale danner udgangspunkt for en nærmere analyse af, hvordan eleverne klarede den stillede prøve. Hvis man anvender samme pointskala som anvendtes ved censormødet, får man en karakterfordeling ved forcensuren, der ligger meget tæt op ad karakterfordelingen ved eksamen. Dette indikerer, at forcensuren giver et meget retvisende billede af hele populationen.

Fordelingen af de samlede pointtal, som eleverne opnår ved prøven, fremgår af følgende diagram:

0

5

10

15

20

25

30

35

‐3 00 02 4 7 10 12

Proced

nt

Sammenligning karakterfordeling eksamen og forcensur stx A sommer 2009

Eksamen

Forcensur

9

Herved ses, at pointfordelingen vokser nogenlunde jævnt op til ca. 85 point (svarende til midt i inter‐vallet for karakteren 7). Kvartilsættet for pointfordelingen er (55, 80, 98). Dette viser, at opgavesæt‐tet har givet mange elever god mulighed for at besvare mange af de stillede enkeltspørgsmål, så de fleste elever har kunnet opnå et passende pointtal, idet medianen er 80. Den øvre kvartil på 98 viser, at der er en del elever, der opnår høje pointtal, men pointfordelingen afslører også, at der er under 10%, der opnår karakteren 12.

Ud fra forcensuren kan man også se, hvordan eleverne klarede de enkelte opgaver og delspørgsmål i opgavesættet. Dette ses i følgende diagram:

0,0

1,0

2,0

3,0

4,0

5,0

6,0

7,0

8,0

0 ‐5

6 ‐1

011

‐15

16 ‐20

21 ‐25

26 ‐30

31 ‐35

36 ‐40

41 ‐45

46 ‐50

51 ‐55

56 ‐60

61 ‐65

66 ‐70

71 ‐75

76 ‐80

81 ‐85

86 ‐90

91 ‐95

95‐1

0010

0‐10

510

5‐11

011

0‐11

511

5‐12

012

0‐12

5

Procen

t

Opnået totalpoint

Stx A forcensur sommer 2009 Pointfordeling (2222 elever)

10

Der er stor variation i pointtildelingerne til de enkelte opgaver. I opgave 1, 6a, 7a, 8a, 8b, 9a, 11a og 13a opnår over 50% af eleverne 5 point. I opgave 6c, 15a og 16a opnår over 50% af eleverne 0 point.

Der er en tendens til, at de sidste opgaver i sættet klares lidt dårligere (opgave 14b, 15a og 16a). Op‐gave 15a og 16a må vurderes til at være vanskeligere end sættets øvrige opgaver.

0 0,25 0,5 0,75 1

1

2

3

4

5

6a

6b

6c

7a

7b

8a

8b

9a

9b

10a

10b

11a

12a

13a

13b

14a

14b

15a

16a

Helhedsindtryk

Stx A ‐ forcensur 2009 (2222 elever)Fordeling af pointtal i de enkelte opgaver

0 Point

1 Point

2 Point

3 Point

4 Point

5 Point

11

I opgaverne uden hjælpemidler er det specielt én opgave, der klares dårligere end de øvrige. Det er opgave 5 – to integrationsopgaver (den ene integration ved substitution) – hvor 13% af eleverne opnår 5 point, men til gengæld kun 18% opnår 0 point. Som det er typisk for opgaver, hvori indgår to spørgsmål, er der stor spredning i pointene.

Vurderingen af helhedsindtrykket er pointmæssigt helt anderledes end bedømmelsen af de enkelte opgaver. I helhedsindtrykket er der igen i år meget få elever, der opnår fuldt pointtal. Evaluerings‐gruppen undrer sig igen over dette.

Fordeling af pointtal opgjort efter opnået karakter For at skabe overblik over, hvilke opgaver elever på forskellige niveauer kan besvare, bringes her en grafisk fremlæggelse af de gennemsnitlige pointtal i opgaverne opdelt efter den opnåede karakter:

012345

1 2 3 4 5 6a 6b 6c 7a 7b 8a 8b 9a 9b 10a

10b

11a

12a

13a

13b

14a

14b

15a

16a

Helhe

dsindtryk

Gennemsnitlig pointtal pr. opgave for elever med karakter ‐3

012345

1 2 3 4 5 6a 6b 6c 7a 7b 8a 8b 9a 9b 10a

10b

11a

12a

13a

13b

14a

14b

15a

16a

Helhe

dsindtryk

Gennemsnitlig pointtal pr. opgave for elever med karakter 00

12

012345

1 2 3 4 5 6a 6b 6c 7a 7b 8a 8b 9a 9b 10a

10b

11a

12a

13a

13b

14a

14b

15a

16a

Helhe

dsindtryk


0

1

2

3

4

5

1 2 3 4 5 6a 6b 6c 7a 7b 8a 8b 9a 9b 10a

10b

11a

12a

13a

13b

14a

14b

15a

16a

Helhe

dsindtryk


012345

1 2 3 4 5 6a 6b 6c 7a 7b 8a 8b 9a 9b 10a

10b

11a

12a

13a

13b

14a

14b

15a

16a

Helhe

dsindtryk


13

Hvis man betragter 4‐eleven, kan man se, at der er en stribe opgaver, som giver over 3 point i gen‐nemsnit. Dette drejer sig om opgave 1 (ortogonale vektorer), opgave 6a (ligning for kugle), opgave 7a (tangentligning), 8a og 8b (potensmodel), 9a og 9b (trigonometri), 10a (sumkurve) og 11a (rumfanget af omdrejningslegeme). For 4‐eleven er der god spredning i pointhøsten.

For 10‐eleven er det tydeligt, at det er opgave 6c (plans røringspunkt med kugle), 15a (argumentati‐on for lige store arealer) og 16a (differentialligning om indre temperatur), der udløser færrest point. Dette viser, at sættet giver mulighed for tydelig differentiering også i toppen. For 12‐eleven er det imidlertid bemærkelsesværdigt, at der i gennemsnit kun opnås 3,3 point i opgave 15a.

Kønsforskelle i opnået resultat I datamaterialet er udgør de kvindelige eksaminander 51,4%, de mandlige 43,1% og i 5,5% af tilfæl‐dene har den skriftlige censor ikke kunnet afgøre køn ud fra navn. Der er således en lille overvægt af kvindelige eksaminander i datamaterialet.

0

1

2

3

4

51 2 3 4 5 6a 6b 6c 7a 7b 8a 8b 9a 9b 10a

10b

11a

12a

13a

13b

14a

14b

15a

16a

Helhe

dsindtryk


012345

1 2 3 4 5 6a 6b 6c 7a 7b 8a 8b 9a 9b 10a

10b

11a

12a

13a

13b

14a

14b

15a

16a

Helhe

dsindtryk


14

Betragter man karakterfordelingen i forhold til køn, er den største forskel, at 15,4% af de mandlige eksaminander dumpede, mens det drejede sig om 10,3% af de kvindelige. Derudover er der ingen markante forskelle mellem kønnene.

Hvilken betydning for karaktererne har det, at man anvender håndholdt CAS eller CAS på pc? Ved forcensuren har censorer i 2009 oplyst, om eleverne har anvendt CAS på pc eller håndholdt CAS. Dette giver mulighed for at vurdere, om typen af CAS‐værktøj har indflydelse på karakteren. Det skal bemærkes, at censorerne for 27% af eleverne ikke har kunnet vurdere, om eleven har anvendt det ene eller andet værktøj, eller har konstateret, at begge typer værktøj er anvendt.

Derudover kan det noteres, at der er forholdsmæssigt mange, der anvender håndholdt CAS‐værktøj i forhold til at anvende pc.

Umiddelbart antyder sammenligningen, at der er en lidt større andel af brugerne af pc, der opnår topkaraktererne 10 og 12. Men udsvingene er forholdsvis små som følgende diagram illustrerer:

0

5

10

15

20

25

30

35

‐3 00 02 4 7 10 12

Procen

tKarakterfordeling efter køn stx A

sommer 2009 (forcensur, 2222 elever)

Kvinder (51,4%)

Mænd (43,1%)

15

Det er blevet undersøgt, hvordan sammenhængen mellem køn, brug af type af CAS‐værktøj og karak‐terer hænger sammen. Her må udsvingene imidlertid konstateres at være så begrænsede så det ikke er muligt at drage konklusioner.

0

5

10

15

20

25

30

35

‐3 00 02 4 7 10 12

Procen

t

Sammenligning af karakterer på stx A mellem elever, der har anvendt håndholdt CAS‐værktøj, med elever,

der har anvendt pc (forcensur, 2222 elever)

Anvendt håndholdt (50,5%)

Anvendt pc (22,5%)

05

101520253035

‐3 00 02 4 7 10 12

Procen

t

Sammenligning karakterer for kvinder og mænd, der har brugt håndholdt CAS (2222 elever)

Kvinder

Mænd

16

I tilknytning til brugen af CAS på pc skal bemærkes, at populationen samlet set kun er på 499 elever. Det er således vanskeligt, at gennemskue de små udsving, der er.

Anmeldelse af opgavesættet Skrevet af lektor Niels Grønbæk, Institut for Matematiske Fag, Københavns Universitet

Generelle bemærkninger

Sættet omhandler alle væsentlige aspekter af kernestoffet.

CAS værktøjer indgår essentielt til løsninger i mange opgaver. Enkelte er beregningsmæssigt utilgæn‐gelige uden CAS‐værktøj, mens andre sagtens kan løses i hånden. For en traditionel opgave som op‐gave 11 består CAS‐delen i indtastning af funktionsudtryk samt et enkelt applikationskald. I alle til‐fælde afprøves CAS‐kompetencerne inden for kategorierne ”beregn værdi” og ”løs ligning”, omend eleven kan have benyttet fx visualiseringer til egen støtte. Det kunne være interessant med opgave‐typer, der mere eksplicit sigtede mod bestemte CAS‐kompetencer på forskellige kompleksitetsni‐veauer. Man kunne fx overveje en opgaveform, hvor eleven skulle beskrive fremgangsmåder uden at foretage beregninger under prøvedelen ”uden hjælpemidler”, mens beregningskompetencerne af‐prøvedes i andre opgaver. Se også bemærkning til opgave 14.

Sættet er ganske omfattende, og jeg formoder, at en del elever har været i tidsnød. Der er i forvejen meget, der trækker i retning af at reducere matematik til beregning og udførelse af algoritmer, så jeg finder det betænkeligt, at differentieringen i toppen måske er sket på baggrund af hurtighed, snarere end på baggrund af indsigt. Og ærgerligt, da sættet indeholder opgaver (6c, 15, 16) som på fortrinlig vis differentierer i toppen ved netop indsigt.

Opgave 1 Udtrykke ortogonalitet vha. ska‐larprodukt. Beregne udtryk for skalarprodukt. Løse den fremkomne lineære ligning for ubekendt koordinat.

05

101520253035

‐3 00 02 4 7 10 12

Procen

t

Sammenligning karakterer for kvinder og mænd, der har brugt CAS

på pc (2222 elever)

Kvinder

Mænd

17

Opgave 2 Udregne kvadrat på 2‐leddet stør‐relse. Udregne to tals sum ganget samme to tals differens. Hæve minusparentes. Samle led.

Opgave 3 Kende det generiske udtryk. Indsætte konkrete værdier heri. Løse de to ikke‐lineære ligninger som fremkommer herved. Opskrive den konkrete forskrift herudfra.

Opgave 4 Ud fra orientering af grene, skæring med y‐akse, evt. skæring med x‐akse, at aflæse - Fortegn for 2. grads koefficient - Fortegn for 0. grads koefficient - Fortegn for diskriminant

Bemærkning: Denne opgave er enslydende med opgave fra stx B‐sættet. Opgave 5 Benytte linearitetsregler mv. til bestemmelse af stamfunktioner til 2. gradspolynomium. Genkende et udtryk som modtage‐ligt for substitutionsmetoden. Foretage substitutionen, inklusive ændring af grænser. Beregne det derved fremkomne integral.

Opgave 6 Ud fra koordinater til centrum og punkt på kugleflade at bestemme kuglens ligning. Identificere adspurgt vinkel mellem linje og plan på figur. Opstille udtryk for vinkel ved hjælp af skalarprodukt og trigonometri. Bestemme vinkel (vs. komplemen‐tærvinkel/supplementvinkel) Udtrykke røringspunkt som løsning til to ligninger med tre ubekendte. Løse denne ligning. Alternativt:

18

Beskrive røringspunktet geometrisk. Udtrykke dette som vektoridentitet. Indsætte værdier, herunder norme‐re normalvektoren for planen.

Bemærkninger: Første fremgangmåde vil i nogle værktøjer give en fejlmelding (a la ”2 ligninger med 3 ubekendte”) dvs. løs‐ningsstrategien ender blindt. Den alternative strategi kræver et vist mål af rumlig forestillingsevne. Jeg går ud fra at opgaven ikke er af standardtype, således at eleven blot kan anvende en indøvet strategi. Dette betyder at en vis originalitet er nødvendig. Opgavens to første spørgsmål berettiger til en placering tidligt i sættet, så alle elever får høstet deres mulige points her, mens det tredje er af en sværhedsgrad, der tilsiger en placering sidst i sættet, idet det må formodes at differentiere i toppen (og rent faktisk gjorde). Dette dilemma kan naturligvis løses på flere måder. Opgave 7 a) Indtaste funktionsudtryk for f. Kalde applikation til beregning af f ’(1). Indsætte i ligning for tangent. b) Anvende sammenhæng mellem monotoniforhold og fortegn for differentialkvotient. − Nulpunkt for differentialkvotient. − Indsætte mellemliggende værdier til bestemmelse af fortegn.

− Oversætte til monotoniforhold. − Alternativt til sidste to punkter: Bestemme monotoniintervaller‐nes type ud fra grafinspektion. Monotoniintervalendepunkter skal bestemmes sum nulpunkt(er) for differentialkvotient.

Bemærkning: Denne opgave er klassisk og løses lige så nemt i hånden som på CAS værktøj, for den, der har rutinen, jf. gene‐relle bemærkninger. Opgave 8 a) Ud fra opgivet funktionsudtryk at bestemme regressionstype Indtaste tabeldata i applikation. Sammenholde applikations output med modelbetegnelser. Nedfælde konkret modelligning. b) Indsætte konkrete data i den kon‐krete modelligning. Løse denne mht. uafhængig varia‐bel. Bemærkninger: ”bestemme” i 8b) bør være ”estimere” eller ”give et bud på” (model ~ virkelighed) Opgave 9 Tegne skitse af trekant (behøver ikke at være retvisende!).

19

Identificere adspurgte stykker på figur. Benytte cosinusrelation til bestem‐melse af modstående side. Benytte sinusrelation til bestemmel‐se af vinkel. Benytte retvinklet trigonometri til bestemmelse af højde. Indsætte det fundne i arealformel og beregne værdi.

Opgave 10 (Se stx B, opgave 11)

Opgave 11 Indsætte grænser og integrand i udtryk for volumen af omdrejnings‐legeme. Beregne værdi af integral i CAS‐værktøj.

Bemærkning: Samme bemærkning som til opgave 7. Regnearbejdet i hånden er dog lidt større her. Opgaven illustrerer, at hvis det overhovedet har været hensigten, er det vanskeligt at afprøve kompetencer i at regne i hånden i prø‐ven med hjælpemidler. Så måske skulle man melde klart ud og sørge for, at en opgavetype som denne ikke kan klares i hånden. Signalet heri ville være, at formålet med at kunne udføre integration mv. i hånden er et andet end at kunne løse opgaver af nærværende type. Hvad et sådant formål er, og hvordan det afprøves, er selvføl‐gelig ikke helt enkelt at afklare. Opgave 12 At indsætte konkrete variabelværdi‐er i differentialligning. Herved at kunne finde værdier af andre variable ved at løse den punktvise ligning. I ligningens kontekst at referere til, at væksthastighed er det samme som differentialkvotient. Bemærkning: Denne opgave afprøver elevens forståelse af at en ligning udtrykker en identitet mellem (variable) størrelser og ikke blot er en opfordring til at udføre en bestemt algoritme (”lave regnestykket, dvs. løse ligningen”). Dette er naturligvis en vigtig pointe og godt at få statueret. Opgaven handler derudover kun om elevens fortrolighed med matematikkonteksten ’differentialligningsmodel’ uden hensyn til, hvad der modelleres. Opgave 13 For en simpel geometrisk figur - Udtrykke omkreds og areal af figur som sum af delomkredse og delarealer.

20

- Opstille dette som formler for totalomkreds/‐areal på formen to funktioner af to variable.

- Eliminere en variabel under en bibetingelse, fx ved passende sol‐ve applikation.

Opgave 14 Relatere sproglig beskrivelse til geometrisk figur. Anvende Pythagoras’ sætning til opstilling af funktionsudtryk for vejlængder. Benytte pris = (antal enheder)⋅(en‐hedspris) til angivelse af funktions‐udtryk for samlet pris. Finde minimum, fx ved at bestemme nulpunkt for differentialkvotient i CAS‐værktøj kombineret med argu‐ment for, at dette stationære punkt er af ønsket slags.

Bemærkning: Denne opgaves løselighed er sårbar over for valget af CAS‐værktøj. Dette er et centralt aspekt af CAS‐anvendelse i sig selv, idet CAS‐kompetence bl.a. indebærer at råde over flere beregningstilgange og hertil hø‐rende løsningsstrategier. Imidlertid er der ikke noget i opgaven, der tilsiger én fremgangsmåde frem for en anden. Det er derfor antageligt tilfældigt ‐ og ikke et udtryk for formåen ‐ når en elev vælger den farbare til‐gang som sit første bud. Den således heldige elev kan vinde en betydelig fordel i form af tid. Det har måske givet denne opgave en utilsigtet ekstra vægt, at nærværende sæt differentierer i toppen ved netop tidspres. At denne type opgave optræder i en gymnastiksalsprøve, er derfor et kraftigt signal til lærerne om at træne netop dette aspekt af CAS‐beredskab med eleverne. Opgave 15 At kunne udtrykke arealer som inte‐graler, inklusive fortegn og integra‐tionsgrænser. Alternativt at bestemme integraler inklusive løsning af ligning til be‐stemmelse af integrationsgrænser for parametriseret familie af funkti‐oner. Herefter verificere identitet ved udregning af integraler. Alternativt at kunne argumentere ud fra symmetribetragtninger.

Bemærkning Vendingen ”gør rede for” ansporer til bløde ræsonnementer (modsat beregning) a la et symmetriargument. Imidlertid er de to områder ikke kongruente, så et evt. symmetriargument må fx bygge på at differensfunktio‐nen f ‐ g, som angiver de relevante arealer, er en ulige funktion. Men dette falder uden for kernestoffet. Opgave 16 At sammenholde sproglig beskrivel‐se med forelagt lineær differential‐

21

ligning (ikke på standard form). At sammenholde beskrivelse med begyndelsesbetingelse At indsætte forlagt funktionsudtryk som inhomogent led i DL. Bestemme løsningsværdi til implicit givent tidspunkt, herunder - At klassificere differentialligning, hvis CAS‐værktøjet ikke selv gør dette

- Løse begyndelsesværdiproblemet fuldstændigt

- Bestemme det implicit givne tids‐punkt ved løsning af ligning

- Indsætte fundet tidspunkt i løs‐ningsfunktionsudtrykket.

Bemærkninger: Mange forhold har medvirket til, at denne opgave differentierer i toppen: - Der er små drejninger i forhold til standardformulering. - Der er mange identifikationer, der skal være på plads, før man kan svare på spørgsmålet. - Sproget er ikke læsevenligt ‐ i.e. ”.. bestemt objekt..”, sammensatte sætninger osv. - Centrale oplysninger er ikke fremhævet, men findes i den løbende tekst.

Klyngeanalyse af elevbesvarelserne I en klyngeanalyse sammenlignes opgaverne ved hjælp af et statistisk afstandsmål på baggrund af de individuelt opnåede pointtal. Hvis alle elever individuelt har opnået ens pointtal i to opgaver, vil de to opgaver have afstand 0. Den maksimale afstand mellem to opgaver fås, hvis hver eneste elev har fået 0 i én af opgaverne og 5 i den anden. For en nærmere redegørelse, se bilag 1.

Mest markant er måske, at de individuelle afstande inden for de tre hovedklynger er små. Man kan fortolke dette som tre kompetenceprofiler. Den venstre klynge udgøres af spørgsmål, der kan besva‐

22

res med indøvede fremgangsmåder på et usofistikeret niveau. Midtklyngen handler om uindøvede (?, i.e. opgave 2) kompetencer samt kompetencer, der ikke er simpel udførelse af ukomplicerede fremgangmåder, mens højre klynge, opgaverne 6c, 15a og 16a, består af de tre mest krævende spørgsmål, altså kompetencer på et højt taksonomisk niveau, og som har differentieret i toppen.

Som i de andre sæt klynges delspørgsmål af de fleste af opgaverne med multiple spørgsmål sammen. Således optræder delspørgsmålene i opgaverne 9, 10, 13, 14 i primærklynger eller sekundærklynger med lille afstand, mens 7a og 7b, der ligesom de tilsvarende opgaver i hf B‐ og stx B‐sættene, adspør‐ger separate kompetencer, har stor afstand i klyngediagrammet. Endvidere bemærkes også i denne sammenhæng, at de opgaver, der har differentieret i toppen, klynges i en separat gruppe.

Censorernes evaluering af sættet stxA Censorerne, der rettede eksamensopgaver, blev bedt om at evaluere opgavesættet – både selve sættet og elevernes besvarelse. Det skete ved at besvare et spørgeskema. Der var 102 censorer i matematik A på stx, der besvarede spørgeskemaet. Her følger en oversigt over resultatet af denne evaluering.

Første spørgsmål drejede sig om arbejdsmængden i opgavesættet:

1. Hvordan vurderer du arbejdsmængden i sættet?

Svarene fordelte sig således:

For lille Passende For stor Arbejdsbyrden i prøven uden hjælpemidler:

28% 72% 0%

Arbejdsbyrden i prøven med hjælpemidler

0% 41% 59%

Her ses en tydelig tendens, idet censorerne oplever en skævdeling af de to delprøver. Arbejdsbyrden i første delprøve uden hjælpemidler og af en times varighed anses af flertallet at være passende, mens et en stor del anser den for at være for lille. Om vendt med delprøven med hjælpemidler af 4 timers varighed, hvor et flertal faktisk mener, at arbejdsbyrden er for stor. Ingen angiver, at arbejds‐byrden i denne delprøve var for lille. Dette svarer også til evalueringen baseret på forcensuren, som viser, at mange elever tilsyneladende havde tidsnød under anden delprøve.

Censorerne blev også bedt om at vurdere sværhedsgraden af de enkelte delspørgsmål i prøven. Re‐sultatet fremgår af følgende diagram:

23

Det ses tydeligt, at der er en bred og passende fordeling af sværhedsgrad i opgaverne efter censo‐rernes vurdering. Der er en lang række spørgsmål, fx opg. 1, 4, 6a, 8a, 8b, 10a, som mange censorer‐ne vurderer, at elever på bestågrænsen (karakteren 02) burde kunne løse disse. Der er også en ræk‐ke opgaver, som censorerne vurderer så vanskelige, at kun de bedste elever (toppen) vil kunne løse

dem: opg. 5, 6c, 14,b, 15a, 16a. Resten af spørgsmålene (13 delspørgsmål) vurderes til en svær‐

hedsgrad, så middeleleverne (karakter 7) burde kunne løse dem. På denne måde er der variation i sættets sværhedsgrad. Man kan diskutere, om forholdet mellem antallet af spørgsmål på hvert ni‐veau er passende. Man skal fx opnå mindst 33% af fuldt pointtal for at bestå, men kun 25% af sættets spørgsmål vurderes at kunne løses af elever på bestågrænsen.

Censorernes samlede vurdering af sættets sværhedsgrad blev også undersøgt. Svarene fremgår her:

0% 20% 40% 60% 80% 100%

1

2

3

4

5

6a

6b

6c

7a

7b

8a

8b

9a

9b

10a

10b

11a

12a

13a

13b

14a

14b

15a

16a

Stx A 2009 ‐ censorernes vurdering af opgavernes sværhedsgrad

Bestågrænsen

Middel

Top

24

Hvordan vurderer du samlet sættets sværhedsgrad? For let: Passende: For svært: 2 72 28

Endelig blev censorerne spurgt, om prøven uden hjælpemidler tjener sit formål, og resultatet ses af dette diagram:

I hvilket omfang tjener prøven uden hjælpemidler sit formål? For ringe: Passende: I høj grad: 14 66 22

Censorerne kunne kommentere sættet. Disse kommentarer kan i sagens natur ikke opgøres, men her anføres i store træk censorernes holdninger. Der er ikke mange, der anfører emner, der mangler i dette prøvesæt. Enkelte nævner vektorer og enkelte nævner almindelig løsning af differentiallignin‐ger.

Der er også bred enighed om, at der ikke er opgaver, der ligger i yderkanten af kernestoffet. Og de fleste finder ikke enkelte del af kernestoffet overrepræsenteres i sættet. Men i spørgsmålet om, hvorvidt opgavesættet afspejler intensionerne med reformen, er der mere variation. Mange anfører, at det gør sættet i høj grad, hvor andre anfører, at der er for mange forskellige opgaver, som elever‐ne skal sætte sig ind i med manglende fordybelse til følge. Enkelte svarer, at det kan de ikke besvare, for de kender ikke selv intensionerne med gymnasiereformen.

Endelig skal censorerne kommentere anvendelsen af CAS i opgaverne med hjælpemidler. En del an‐fører, at mange elever overfører CAS‐notation til deres besvarelse og ikke benytter korrekt notation. En enkelt censor vurderer, at det er ”CAS der styrer eleverne og ikke eleverne der styrer CAS”.

25

Bniveauerne

Den skriftlige prøve i matematik B på stx

Karakterfordeling ved eksamen Ved sommereksamen blev der af de skriftlige censorer indtastet resultater fra 7800 elever, der var til skriftlig prøve i matematik B på stx. Deres karakterer fordelte sig som vist i tabellen:

Stx matematik B

Karakter ‐3 00 02 4 7 10 12

Frekvens (%) 3,8 22,0 9,2 18,4 26,1 16,7 3,7


Karakterfordelingen for de elever, der bestod eksamen, er således:

Karakterfordelingen for de elever, der bestod eksamen, afviger kun lidt fra den ”ideelle” fordeling på 10%, 25%, 30%, 25%, 10% til karaktererne 02, 4, 7, 10, 12. Der er dog markant få, der opnår karakte‐ren 12.

051015202530

‐3 00 02 4 7 10 12

Procen

t

Matematik stx‐B ‐ sommer 2009Karakterfordeling for alle (7800 elever)

Gennemsnit 4,75

0

10

20

30

40

02 4 7 10 12

Procen

t

Matematik stx‐B ‐ sommer 2009Karakterfordeling for beståede

26

Evalueringsgruppen bemærker, at 25,8% af de elever, der deltager i den skriftlige prøve, ikke opnår en bestå‐karakter. Dette er et fald på knap 3% i forhold til 2008. I evalueringsrapporten 2008 blev afdækket, at den høje dumpeprocent må ses i forhold til populationen, men der er fortsat plads til videreudvikling af eksamensopgaverne i relation til populationen.

Pointtal for enkeltopgaver Alle førstecensorerne blev bedt om at indsende resultaterne af deres pointtildeling for de første fem elever på hvert hold. Forcensuren bygger på pointtal for 2283 elever. Dette materiale danner ud‐gangspunkt for en nærmere analyse af, hvordan eleverne klarede den stillede prøve. Hvis man an‐vender samme pointskala, som anvendtes ved censormødet, får man en karakterfordeling ved for‐censuren, der ligger meget tæt op ad karakterfordelingen ved eksamen. Dette indikerer, at forcensu‐ren giver et meget retvisende billede af hele populationen.


0

5

10

15

20

25

30

‐3 00 02 4 7 10 12

Sammenligning karakterfordeling eksamen og forcensur stx B sommer 2009 (2283 elever)

Eksamensresultat

Forcensur

27

Pointfordelingen er jævnt stigende op mod 40 point (svarende til karakteren 02), hvorefter fordelin‐gen er ujævn frem til 80 point. En ret stor del af eleverne opnår meget få point. Ca. 19% af eleverne er opnår kun 25 point eller derunder. Forbavsende få elever opnår næsten fuldt pointtal, idet kun 1,3% opnår 95 point eller derover.

Kvartilsættet for pointfordelingen er (31, 52, 72). Den øvre kvartil ligger forholdsvist lavt, hvilket un‐derbygger at forholdsvis få opnår karaktererne 10 og 12.


0,0

1,0

2,0

3,0

4,0

5,0

6,0

7,0

8,0

0 ‐5

6 ‐10

11 ‐15

16 ‐20

21 ‐25

26 ‐30

31 ‐35

36 ‐40

41 ‐45

46 ‐50

51 ‐55

56 ‐60

61 ‐65

66 ‐70

71 ‐75

76 ‐80

81 ‐85

86 ‐90

91 ‐95

95‐100

Procen

t

Pointtal

Pointfordeling stx B ‐ forcensur 2009 (2283 elever)

28

De opgaver, som elever opnår flest point i, er 1, 4 og 6a. I disse spørgsmål opnår over halvdelen af eleverne fuldt pointtal (5 point). Opgave 1 en opgave i simpel differentiation, opgave 4 er en opgave i ensvinklede trekanter, mens opgave 6a er bestemmelse af a og b i en potensfunktion.

Særligt vanskelige for eleverne har opgaverne 3, 11b og 12a været, idet op mod halvdelen af elever‐ne ingen point opnår. Dog har det ikke været muligt at vurdere pointfordelingerne i de to valgfrie opgaver. Opgave 3 er en opgave i at bestemme stamfunktion, opgave 11b er en statistikopgave med to spørgsmål og 12a er en differentialregningsopgave, også med to spørgsmål.

Vurderingen af helhedsindtrykket er bemærkelsesværdigt, idet det igen er her, at færrest elever op‐når fuldt pointtal. Netop ved helhedsindtrykket er fordelingen af point meget jævnt, og det er ikke

0 0,25 0,5 0,75 1

1

2

3

4

5

6a

7a

7b

8a

8b

9a

9b

10a

11a

11b

12a

13a

14a,a

14a,b

14b,a

14b,b

Helhed

Stx‐B ‐ pointfordeling for enkeltopgaver forcensur 2009

0 point

1 point

2 point

3 point

4 point

5 point

29

tilfredsstillende, at så mange elever opnår så ringe resultat her. Evalueringsgruppen undrer sig atter i år over dette.

Tre opgaver ser ud til at være ”knald‐eller‐fald‐opgaver” – dvs. opgaver, hvor få procent opnår andet end 0 eller 5 point. Det drejer sig om opgave 1, 6a og 7b.


0

1

2

3

4

5

1 2 3 4 5 6a 7a 7b 8a 8b 9a 9b 10a

11a

11b

12a

13a

14a,a

14a,b

14b,a

14b,b

Helhe

d


0

1

2

3

4

5

1 2 3 4 5 6a 7a 7b 8a 8b 9a 9b 10a

11a

11b

12a

13a

14a,a

14a,b

14b,a

14b,b

Helhe

dGennemsnitlig pointtal pr. opgave for

elever med karakter 00

30

0

1

2

3

4

51 2 3 4 5 6a 7a 7b 8a 8b 9a 9b 10a

11a

11b

12a

13a

14a,a

14a,b

14b,a

14b,b

Helhe

d


0

1

2

3

4

5

1 2 3 4 5 6a 7a 7b 8a 8b 9a 9b 10a

11a

11b

12a

13a

14a,a

14a,b

14b,a

14b,b

Helhe

d


0

1

2

3

4

5

1 2 3 4 5 6a 7a 7b 8a 8b 9a 9b 10a

11a

11b

12a

13a

14a,a

14a,b

14b,a

14b,b

Helhe

d


31

Hvis man betragter 4‐eleven, kan man se, at der er fem opgaver, hvor gennemsnittet får over 3 point. Dette drejer sig om opgave 1 (differentiation), opgave 2 (udregning af forskrift for lineær funktion), opgave 4 (ensvinklede trekanter), opgave 6a (bestemmelse af a og b i potensfunktion) og 9a (trigo‐nometri). Det er bemærkelsesværdigt, at tre af disse opgaver findes i prøven uden hjælpemidler.

For 10‐eleven er det opgaverne fra og med 11b, der udløser færre point end de øvrige. Det betyder, at der er fem opgaver som 10‐eleven har vanskeligere ved at besvare. Det er altid væsentligt, at ek‐samenssæt indeholder opgaver, der kan differentiere i toppen, men her forekommer det voldsomt, at der er hele fem opgaver, der adskiller 10‐eleven fra et 12‐tal.

Kønsforskelle i opnået resultat I datamaterialet er udgør de kvindelige eksaminander 64,0%, de mandlige 33,2%, og i 2,8% af tilfæl‐dene har den skriftlige censor ikke kunnet afgøre køn ud fra navn. Der er således en betydelig over‐vægt af kvindelige eksaminander i datamaterialet.

0

1

2

3

4

51 2 3 4 5 6a 7a 7b 8a 8b 9a 9b 10a

11a

11b

12a

13a

14a,a

14a,b

14b,a

14b,b

Helhe

d


0

1

2

3

4

5

1 2 3 4 5 6a 7a 7b 8a 8b 9a 9b 10a

11a

11b

12a

13a

14a,a

14a,b

14b,a

14b,b

Helhe

d


32

Betragter man karakterfordelingen i forhold til køn, er den største forskel, at 32,7% af de mandlige eksaminander dumpede, mens det drejede sig om 21,7% af de kvindelige. Denne forskel giver natur‐ligvis også forskelle på de øvrige karakterer.

Alt i alt må det konkluderes, at der for den skriftlige eksamen stx B er en ganske markant kønsforskel, og det kunne være interessant at undersøge, hvad årsagerne er til den markante forskel.

Hvilken betydning for karaktererne har det, at man anvender håndholdt CAS eller CAS på pc? Ved forcensuren har censorer i 2009 oplyst, om eleverne har anvendt CAS på pc eller håndholdt CAS. Dette giver mulighed for at vurdere, om typen af CAS‐værktøj har indflydelse på karakteren. Det skal bemærkes, at censorerne for 22,6% af eleverne ikke har kunnet vurdere, om eleven har anvendt det ene eller andet værktøj, eller har konstateret, at begge typer værktøj er anvendt.

Derudover kan det noteres, at det er det håndholdte CAS‐værktøj, der har været dominerende ved eksamen på stx B‐niveau i maj 2009.

Umiddelbart antyder sammenligningen, at der er en lidt større andel af brugerne af pc, der opnår topkaraktererne 10 og 12. Men udsvingene er forholdsvis små som følgende diagram illustrerer:

0

5

10

15

20

25

30

‐3 00 02 4 7 10 12

Procen

t

Karakterfordeling efter køn stx B sommer 2009 (forcensur, 2283 elever)

Kvinder (64,0%)

Mænd (33,2%)

33

Da der er så stor forskel på eksamensresultaterne for mænd og kvinder på stx B sommer 2009, har det ikke været muligt at uddrage nogen konklusioner om sammenhænge mellem køn, anvendelse af håndholdt CAS eller CAS på pc, og karakterer.

Anmeldelse af sættet STX091MAB Skrevet af lektor Niels Grønbæk, Institut for Matematiske Fag, Københavns Universitet

Generelle bemærkninger

Sættet dækker kernestoffet og fordrer en ganske omfattende palet af kompetencer. I øvrigt er det ret inhomogent med en del indbyggede tærskler.

Øvrige generelle bemærkninger er henvist til sammenligningen med hf B‐sættet (se s. XX).

Opgave 1 Differentiere 2‐leddet polynomium (linearitets‐regler, afledet af poten‐ser).

Opgave 2 Bestemme hældningsko‐efficient og skæring med 2. akse ud fra to opgivne punkter. Fastlægge den tilhørende funktionsforskrift.

Opgave 3 Benytte linearitetsregler og stamfunktionskend‐skab til potenser.

0

5

10

15

20

25

30

35

‐3 00 02 4 7 10 12

Procen

t

Sammenligning karakterer på stx B mellem elever, der har anvendt håndholdt CAS‐værktøj, med elever, der har anvendt pc

(forcensur, 2283 elever)


Anvendt pc (17,7%)

34

Fastlægge arbitrær kon‐stant ud fra opgivet punkt på grafen. Opgave 4 Identificere ensliggende sider ud fra retvisende figur. Opstille ligning af relevan‐te forhold mellem sider. Løse ligning.

Bemærkning: Opgavetypen er velegnet til sættet uden hjælpemidler til afprøvning af ræsonnementskompetencen. Opgave 5 Bestemme fortegn for 0., 2. grads led og diskrimi‐nant ud fra generel posi‐tion af parabel, dvs. ud fra − Orientering af parabel‐grene.

− Skæring med y‐akse. − Evt. skæring med x‐akse.

Bemærkninger: Der er tale om omvendt repræsentation i forhold til hf B‐sættet. Opgave 6 Kende til og gennemføre strategi til bestemmelse af de to parametre i det generiske udtryk for po‐tensudvikling, fx - Opstille to ligninger på baggrund af to konkrete funktionsværdier.

- Løse disse ligninger i hånden eller med solve‐applikation.

Indsætte fundne værdier til fastlæggelse af forskrif‐ten for en konkret po‐tensudvikling.

Opgave 7 Identificere modeltype ud fra sproglig beskrivelse (‘ % per år’). Indføre variabel‐ og pa‐rameterbetegnelser i generisk udtryk. Fastlægge modelparamet‐

35

re ud fra sprogligt opgivne data, herunder fastlæg‐gelse af nulpunkt for tid‐sakse. Opstille og forklare ligning til bestemmelse af for‐doblingskonstant. Løse denne ligning, fx som ”solve(1.071k=2);”.

Opgave 8 a) Identificere modeltype ud fra opgiven forskrift. Ændre nulpunkt for tids‐akse i tabel. Indtaste tabeldata i rele‐vant regressionsapplikati‐on. b) Fortolke hældningskoeffi‐cient i relation til model‐lens genstandsområde, i.e. a<0 betyder at W(t) falder med |a| per år. Oversætte sprogligt prog‐nosespørgsmål til indsæt‐telse i modelligning. Løse denne ligning.

Bemærkninger: Spørgsmål b) er egentlig to delspørgsmål, så pointene er her dyre for eleven. Opgave 9 Ud fra retvisende figur med stykkeangivelser og betegnelser. a) Indsætte i cosinusrelation med stumpvinkel. Løse den herved frem‐komne ligning i CAS‐værktøj (valg af rad/deg) fx ”fsolve(bc^2=5^2+7^2‐2*5*7*cos(114/180*Pi);”. Dette kræver ikke kend‐skab til kvadratrødder. Opstille relevant sinusre‐lation til bestemmelse af vinkel. Løse denne ligning i CAS‐værktøj. b) Identificere udenforlig‐gende højde som mod‐stående til supplement‐vinkel. Benytte retvinklet trigo‐nometri til bestemmelse

36

af højde, nu opfattet som katete. Opgave 10 Identificere funktionsud‐tryk og variable i relation til sproglig beskrivelse. Fortolke ’størst’ ved pa‐rablens toppunkt (pro‐blematisk, se bemærknin‐ger). Bestemme modelparab‐lens toppunkt vha. formel eller nulpunkt for diffe‐rentialkvotient. Oversætte sprogligt prog‐nosespørgsmål til model‐ligning og løse den frem‐komne ligning.

Bemærkninger: Spørgsmålet om ’størst befolkningstal’ er kunstigt og misledende da data indeholder svaret (som er forskelligt fra modellens). Spørgsmålet har høj indgangstærskel. For at kunne besvare det skal eleven først foretage en række afklaringer, som der ikke spørges efter. Figurens tidsakse har nulpunkt forskelligt fra funktionsudtrykkets. Er det en fælde, jf. også figurens ’?’. 2. gradspolynomiet er meget vanskelig at retfærdiggøre (umulig?) i den konkrete sammenhæng. Opgave 11 a) Omregne hyppigheder til frekvenser. Kumulere disse. Tegne sumkurve. b) Aflæse kvartilsæt fra sumkurve, alternativt − bestemme kvartilsæt vha. interpolation.

eller: − i regneark Fortolke ’mindst 21’ som komplementær frekvens. Aflæse denne.

Bemærkninger: Spørgsmål a) handler kun om tabellens data mens b) sammenholder model og det modellere‐de – god progression. I øvrigt kræves ingen kontekstforståelse. Opgave 12 Beregne differentialkvoti‐ent i relevant applikation, fx D(t‐>3.2*10^5+7*8*10^5

37

exp(.0154*t)(18); Fortolke M’(18) som vækstrate til tiden t=18. Udtrykke vækstraten i relation til modelstørrel‐ser, fx ’kl. 18 stiger bakte‐rietallet med 19.2⋅106 per time’.

Bemærkning: At bestemme en differentialkvotient ud fra en forskrift består med moderne CAS‐værktøjer stort set i at genta‐ge spørgsmålet i applikationens sprog, så kompetenceniveauet er forholdsvist uafhængigt af, hvor kompliceret funktionsudtrykket er. Graduering af sværhedsgraden af denne type opgaver vil derfor naturligt gå på udnyttel‐sen af CAS‐værktøjet (beregning af værdi for differentialkvotient uden funktionsforskrift undervejs) og forkla‐ring af beregningsresultater, hvilket også afspejles i nærværende opgave. Måske er det problematisk, men selvfølgelig formelt korrekt, at den øjeblikkelige ændringstakt udtrykkes i enheden per time. Opgave 13 Anvende sætning om fortegnsvariation for dif‐ferentialkvotient. Bestemme rødder i 4. gradspolynomium vha. CAS‐værktøj (kan dog gøres i hånden). Bestemme fortegnsvaria‐tion, fx ved indsættelse af x‐værdier mellem 0‐punkterne (i monotoniin‐tervallerne). Oversætte fortegnsvaria‐tion til monotoniforhold.

Bemærkninger: Drejning af typeopgave: differentialkvotienten f ’ er opgivet, mens f ikke er fastlagt. Herved kan eleven ikke støtte sig til fx graf for f fremstillet på CAS‐værktøj, hvilket må formodes at øge taksonominiveauet betragteligt. Opgave 14a Givet en parametriseret familie af funktioner a) Indsætte konkret parame‐terværdi (k=10). Plotte retvisende graf ved CAS‐værktøj eller i hån‐den (ikke vanskeligere i dette konkrete tilfælde). Bestemme areal for kon‐kret parameterværdi (herunder fortegnsover‐vejelser og bestemmelse af integrationsgrænser). Indse at arealet kan opfat‐tes som funktion af para‐meterværdien. Opstille ligning, der ud‐trykker dette.

38

Løse denne ligning mht. parameterværdien (der optræder som uafhængig variabel) for konkret vær‐di af areal. Opgave 14b Se også stx A‐sættet opg. 14

Bemærkninger: Opgave 14a skønnes at være væsentlig mere overkommelig end opgave 14b, både hvad angår omfang og sværhedsgrad. Der dette i overensstemmelse med hensigten med valgfrie opgaver? Fremgangsmåde, herunder valg af CAS‐værktøjets beregningsmetode, er kompliceret og har afgørende betyd‐ning for opgavens løsbarhed.

Klyngeanalyser af elevbesvarelserne I en klyngeanalyse sammenlignes opgaverne ved hjælp af et statistisk afstandsmål på baggrund af de individuelt opnåede pointtal. Hvis alle elever individuelt har opnået ens pointtal i to opgaver, vil de to opgaver have afstand 0. Den maksimale afstand mellem to opgaver fås, hvis hver eneste elev har fået 0 i én af opgaverne og 5 i den anden. For en nærmere redegørelse, se bilag 1.

39

Lignede forhold som for hf B‐sættet gør sig gældende. I dette sæt er der kun fire opgaver med del‐spørgsmål, og disse fire opgaver udgør hver sin primærklynge.

Den højre hovedklynge udgøres af spørgsmål, som har differentieret i toppen, mens klyngen bestå‐ende af opgaverne 1, 6, 4 udgøres af de opgaver, som er klaret af størstedelen af eleverne.

Endvidere noteres at opgaverne 5 og 10, som udgør en primærklynge, begge handler om parabler.

Censorernes evaluering af eksamenssættet stx B Censorerne, der rettede eksamensopgaver, blev bedt om at evaluere opgavesættet – både selve sættet og elevernes besvarelse. Det skete ved at besvare et spørgeskema. Der var 102 censorer i matematik B på stx, der besvarede spørgeskemaet. Her følger en oversigt over resultatet af denne evaluering.





27% 73% 0%


2% 85% 13%

Censorerne vurderede generelt set både prøven uden og prøven med hjælpemidler som passende i omfang hvad angår arbejdsbyrde. Der er dog en stor del censorer, der vurderer arbejdsbyrden ved prøven uden hjælpemidler for lille.


40

Det ses tydeligt, at censorerne vurderer langt de fleste opgaver, som værende opgaver, som middel‐eleven kan regne. Kun fire af de 19 spørgsmål vurderes at være opgaver, som eleverne på bestå‐niveau (karakter 02) kan løse. Det giver et problem, da de fire delspørgsmål kun giver 20 point ved maksimal pointgivning, og der kræves ca. 33 point for at bestå sættet. Dette kan muligvis forklare den høje dumpeprocent. Der er endnu færre opgaver – nemlig opgave 12a og 14a, som kun topele‐verne (karakter 12) vurderes at kunne klare.

Resten af opgaverne vurderes på som værende på samme niveau, hvor middeleleverne burde kunne løse dem. Så censorernes vurdering af opgavesættet er, at opgaverne er meget ens i niveau, og der ikke er så mange tilbud til de svage elever og ikke så mange opgaver til at differentiere i toppen. Når et opgavesæt konstrueres på denne måde, kan der ske det, at karaktergivningen mere afspejler ele‐vernes hurtighed til at løse middelsvære opgaver end deres faktiske matematiske kompetencer.


0% 20% 40% 60% 80% 100%

1

2

3

4

5

6a

7a

7b

8a

8b

9a

9b

10a

11a

11b

12a

13a

14a,a

14a,b

14b,a

14b,b

Stx B 2009 ‐ Censorernes vurdering af opgavernes sværhedsgrad

Bestå‐grænsen

Middel

Top

41


Her ses i tråd med vurderingen af enkeltopgaver, at censorerne vurderer opgavesættet som meget passende.



Censorerne kunne kommentere sættet. Disse kommentarer kan i sagens natur ikke opgøres, men her angives den overvejende holdning i kommentarerne. Censorerne mener i langt de fleste tilfælde, at der ikke er emner, der er overeksponerede ved prøven og heller ikke emner, der ikke testes. Opgave‐sættet vurderes som meget passende for niveauet.

Brugen af CAS fremhæves som et problem for mange, idet eleverne ukritisk anvender CAS‐terminologien i deres besvarelse og glemmer den korrekte notation. De fleste censorer vurderer, at sættet med sin vægt på det anvendelsesorienterede fint levet op til gymnasiereformens intentioner.

42

Den skriftlige prøve i matematik B på hf

Karakterfordeling ved eksamen Ved sommereksamen var 2812 kursister til skriftlig prøve i matematik B på hf. Deres karakterer for‐delte sig som vist i tabellen:

Hf matematik B

Karakter ‐3 00 02 4 7 10 12

Frekvens (%) 2,2 13,9 7,3 16,0 26,4 23,0 11,3


Karakterfordelingen for eleverne, der bestod eksamen, tager sig således ud:

Karakterfordelingen for de elever, der bestod eksamen, afviger kun lidt fra den ”ideelle” fordeling på 10%, 25%, 30%, 25%, 10% til karaktererne 02, 4, 7, 10, 12. Der er dog en mindre forskydning til højre så forholdsmæssigt flere får 10 og 12 i forhold til 02 og 4.

0

5

10

15

20

25

30

‐3 00 02 4 7 10 12

Procen

t

Matematik hf‐B ‐ sommer 2009Karakterfordeling for alle

Gennemsnit 6,22

05101520253035

02 4 7 10 12

Procen

t

Matematik hf‐B ‐ sommer 2009Karakterfordeling for beståede

43

Evalueringsgruppen bemærker, at 16,4% af de elever, der deltager i den skriftlige prøve hf‐B, ikke opnår en bestå‐karakter.

Pointtal for enkeltopgaver Alle førstecensorerne blev bedt om at indsende resultaterne af deres pointtildeling for de første fem elever på hvert hold. Forcensuren bygger på pointtal for 904 elever. Dette materiale danner ud‐gangspunkt for en nærmere analyse af, hvordan eleverne klarede den stillede prøve. Hvis man an‐vender samme pointskala, som anvendtes ved censormødet, får man en karakterfordeling ved for‐censuren, der ligger meget tæt op ad karakterfordelingen ved eksamen. Dette indikerer, at forcensu‐ren giver et meget retvisende billede af hele populationen.


0

5

10

15

20

25

30

‐3 00 02 4 7 10 12

Procen

t

Sammenligning karakterfordeling eksamen og forcensur hf B

Eksamen

Forcensur

44

Pointfordelingen er jævnt stigende op mod 30 point (svarende til karakteren 00), hvorefter fordelin‐gen er ujævn frem til 80 point. Ca. 11,6% af eleverne opnår 25 point eller derunder, mens ca. 6% opnår 96 point eller derover.

Kvartilsættet for pointfordelingen er (42, 64, 82).


0,01,02,03,04,05,06,07,08,09,0

0 ‐5

6 ‐1

0

11 ‐15

16 ‐20

21 ‐25

26 ‐30

31 ‐35

36 ‐40

41 ‐45

46 ‐50

51 ‐55

56 ‐60

61 ‐65

66 ‐70

71 ‐75

76 ‐80

81 ‐85

86 ‐90

91 ‐95

95 ‐10

0

Procen

t

Pointtal

Pointfordeling hf B forcensur 2009 (904 elever)

45

I en fem opgaver opnår over halvdelen af eleverne fuldt 5 point. Det drejer sig om opgave 6a (tolk‐ning af konstanter i lineær model), 7a og 7b (trigonometri), 9b (potensregression) og 10a (areal vha. bestemt integral). Det er bemærkelsesværdigt, at der til denne gruppe ikke er nogen opgave fra prø‐ven uden hjælpemidler.

Særligt vanskelige for eleverne har opgaverne 2a (aflæsning af halveringskonstant), 4a (bestemmelse af stamfunktion) og 9c (procent‐procent i potensmodel) været, idet op mod halvdelen af eleverne ingen point opnår. Det har ikke været muligt at vurdere pointfordelingerne i de to valgfrie opgaver.

Vurderingen af helhedsindtrykket er bemærkelsesværdigt, idet det igen er her, at færrest elever op‐når fuldt pointtal. Netop ved helhedsindtrykket er fordelingen af point meget jævnt, og det er ikke

0 0,25 0,5 0,75 1

1a

2a

3a

4a

5a

6a

6b

7a

7b

8a

8b

9a

9b

9c

10a

11a

11b

12a,a

12a,b

12b,a

12b,b

Helhedsindtryk

Hf‐B Pointfordeling for enkeltopgaver forcensur 2009

(904 elever)

0 point

1 point

2 point

3 point

4 point

5 point

46

tilfredsstillende, at så mange elever opnår så ringe resultat her. Evalueringsgruppen undrer sig atter i år over dette.

Ingen opgaver ser ud til at være ”knald‐eller‐fald‐opgaver” – dvs. opgaver, hvor få procent opnår andet end 0 eller 5 point.


0

1

2

3

4

5

1a 2a 3a 4a 5a 6a 6b 7a 7b 8a 8b 9a 9b 9c 10a

11a

11b

12a,a

12a,b

12b,a

12b,b

Helhe

dsindtryk


0

1

2

3

4

5


11a

11b

12a,a

12a,b

12b,a

12b,b

Helhe

dsindtryk


47

012345


11a

11b

12a,a

12a,b

12b,a

12b,b

Helhe

dsindtryk


0

1

2

3

4

5


11a

11b

12a,a

12a,b

12b,a

12b,b

Helhe

dsindtryk


012345


11a

11b

12a,a

12a,b

12b,a

12b,b

Helhe

dsindtryk


48

Hvis man betragter 4‐eleven, er det bemærkelsesværdigt, at der er så stort udsving mellem pointtal‐lene pr. opgave. I opgaverne 6a, 6b, 7a og 7b opnås i gennemsnit over 3 point. Færrest point opnås i opgaverne 4a og 9c.

For 10‐eleven er det opgave 2a, 4a, 8b og 9c, der udløser færre point end de øvrige. Det betyder, at der er fire opgaver som 10‐eleven har vanskeligere ved at besvare, men som det fremgår af karakter‐statistikken, er det ikke et forhold, der medfører få topkarakterer.

Kønsforskelle i opnået resultat I datamaterialet er udgør de kvindelige eksaminander 52,5%, de mandlige 38,5%, og i 9% af tilfælde‐ne har den skriftlige censor ikke kunnet afgøre køn ud fra navn. Der er således en betydelig overvægt af kvindelige eksaminander i datamaterialet.

Betragter man karakterfordelingen i forhold til køn, er der næsten ingen forskel.

0

1

2

3

4


11a

11b

12a,a

12a,b

12b,a

12b,b

Helhe

dsindtryk


012345


11a

11b

12a,a

12a,b

12b,a

12b,b

Helhe

dsindtryk


49

Hvilken betydning for karaktererne har det, at man anvender håndholdt CAS eller CAS på pc? Ved forcensuren har censorer i 2009 oplyst, om eleverne har anvendt CAS på pc eller håndholdt CAS. Dette giver mulighed for at vurdere, om typen af CAS‐værktøj har indflydelse på karakteren. Det skal bemærkes, at censorerne for 19,1% af eleverne ikke har kunnet vurdere, om eleven har anvendt det ene eller andet værktøj, eller har konstateret, at begge typer værktøj er anvendt.

Derudover kan det noteres, at det er det håndholdte CAS‐værktøj, der har været stærkt domineren‐de ved eksamen på hf B‐niveau i maj 2009.

Sammenligning på nedenstående diagram viser udsving på karaktererne, men det er ikke muligt at aflæse noget system i udsvingene.

Det kan tilføjes, at det heller ikke har været muligt at uddrage nogen konklusioner om sammenhæn‐ge mellem køn, anvendelse af håndholdt CAS eller CAS på pc, og karakterer.

0

5

10

15

20

25

30

‐3 00 02 4 7 10 12

Procen

t

Karakterfordeling efter køn hf B (forcensur, 904 elever)

Kvinder (52,5%)

Mænd (38,5%)

0

5

10

15

20

25

30

‐3 00 02 4 7 10 12

Sammenligning karakterer på hf B mellem elever, der har anvendt håndholdt CAS‐værktøj, med elever, der har anvendt pc

(forcensur, 904 elever)


Anvendt pc (17,5 %)

50

Anmeldelse af sættet HFE091MAB Skrevet af lektor Niels Grønbæk, Institut for Matematiske Fag, Københavns Universitet

Generelle bemærkninger: Sættet afprøver alle væsentlige aspekter af kernestoffet med brug af et ganske omfattende arsenal af kompetencer. Den særlige kompetence at oversætte frem og tilbage mellem en sproglig beskrivel‐se af den matematikeksterne kontekst og dens matematikinterne formulering i form af identiteter, ligninger, funktionsforskrifter indgående variabelbetegnelser etc. afprøves i udstrakt grad. Dette øger nok sættets signalværdi om matematik i anvendelse eller måske mere præcist, matematik i kontekst, men får måske uforholdsmæssig megen betydning

Nogle spørgsmål er uklart formulerede (fx 6 og 9 som beskrevet nedenfor). Det er vanskeligt at vur‐dere, om dette reelt har haft betydning for kursisternes præstationer. Men det er uheldigt, da opga‐verne jo er eksemplariske for det daglige arbejde.

Opgave 1 Anvende standardfrem‐gangsmåde til bestemmelse af lineært funktionsudtryk ud fra to punkter på grafen, fx: - Indsætte i formel for hældningskoefficient.

- Beregne værdi. - Indsætte i lineært udtryk og beregne værdi af skæ‐ring med y‐akse.

Opgave 2 Se C‐sættet opgave 3

Opgave 3 Anvende linearitetsregler for differentiation. Anvende kendskab til diffe‐rentialkvotient for konstant, potens og logaritme.

Opgave 4 Anvende linearitetsregler for stamfunktionsbestem‐melse. Anvende kendskab til diffe‐rentialkvotient for 1. ordens potens og konstant Bestemme værdi af arbitrær konstant ud fra punkt på graf.

51

Opgave 5 Anvende sammenhæng mellem - Fortegn for 2. grads led og orientering af parabel‐grene

- Fortegn for konstantled og skæring med 2. akse

- Fortegn for diskriminant og evt. rødder

til klassifikation af parabler i generel position.

Bemærkning: I den tilsvarende stx‐opgave bedes eleverne om at bestemme fortegn ud fra grafer. Her skal graferne udpeges ud fra fortegn. Stx opgaven er herved mere avanceret. Der er angivet enheder på aksen. Irrelevant information. Er der en hensigt? God forståelsesopgave uden hjælpemidler. Opgave 6 Fortolke hældningskoeffici‐ent og konstant led i kon‐kret sammenhæng (model ‐> virkelighed). Indsætte årstal i model med henblik på prognose, her‐under justere 0‐punkt for tidsakse. Vurdere om modelværdi svarer til virkelighed, kon‐kret: Er 18 869 tilnærmel‐sesvis det samme som 20 410?

Bemærkninger: Formuleringen er upræcis. Er der tale om kumulation? f(x) = antal voldsanmeldelser i perioden [0,x] f(x) = antal voldsanmeldelser i perioden ]x‐1,x] Kommentaren som ønskes i 6b) er sofistikeret. Spørgsmålet kan ikke uden videre besvares ved blot at sammen‐ligne de to værdier. Man er faktisk nødt til at kende baggrunden for modellens tilblivelse, dvs. eleven skal afgø‐re om punktet (9 , 18 869) tilnærmelsesvist ligger på regressionslinjen, hvilket jo kræver kendskab til pålidelig‐hed af data. Grundlaget for en sådan vurdering er blot opgavetekstens uspecificerede ”med god tilnærmelse”.

52

Opgave 7 Bestemme sidelængde vha. sinusrelation. Identificere stykker til be‐regning af højde. Udføre beregningen. Generelt, identificere tre‐kantsstykker i relation til formler.

Opgave 8 Ud fra funktionsforskrift (3. grads polynomium) at be‐stemme data til fastlæggel‐se af tangentligning i opgi‐vet punkt. Indsætte i tangentligning. Bestemme funktionsudtryk for differentialkvotient. Finde dens nulpunkter. Bestemme fortegnsvariati‐on. Kombinere dette til fast‐læggelse af monotoniinter‐valler. Alternativt: ud fra grafisk inspektion at fastlægge type af monotoniintervaller, når disse er bestemt som oven‐for.

Opgave 9 a) Sammenholde tabeldata og variabelbetegnelser. Indtaste data i regressions‐applikation. Angive konkret funktions‐udtryk ud fra applikations‐output. b) Oversætte spørgsmål for‐muleret sprogligt i opgave‐konteksten til løsning af ligning f(x)=y0 for sprogligt angivet y0. Løse denne ligning. c) Anvende procentregning, dvs. - ’20 % større’ <=> multipli‐kation med 1.2

- A er p % større end B <=> A/B = (1+p/100) på kom‐

53

pleksitetsniveau A = f(x1) , B = f(x2).

Oversætte sproglig beskri‐velse til f(1.2x)/f(x). Evt. at godtgøre at resulta‐tet er uafhængigt af x. Bemærkning: Angående det sidste spørgsmål: På den ene side fordres ikke formelt, at eleven skal vide at svaret er uafhængigt af x. På den anden side giver spørgsmålet næppe mening uden denne viden. Hvordan honoreres den kursist, som eksplicit gør rede for uafhængigheden? Opgave 10 Udtrykke areal som integral ‐ inklusive fortegn, grænser og integrand. Beregne integral i hånden eller vha. CAS‐værktøj.

Opgave 11 a) Ud fra sproglig beskrivelse at vælge modeltype. Indføre variable med be‐tegnelser, herunder 0‐punkt for tidsakse. Opstille modelligning, her‐under at udregne tilskriv‐ningsfaktor (ud fra % ‐sats). b) Indføre betegnelse for til‐skrivning. Opstille parametriseret model. Opstille ligning der udtryk‐ker den ønskede vækst. Løse denne ligning mht. parameter. Omregne tilskrivningsfaktor til %.

54

Opgave 12a a) Sammenholde modelligning og sproglig beskrivelse. Indsætte sprogligt beskrev‐ne værdier i modelligning. Beregne værdi af afhængig variabel. Beregne værdi af uafhængig variabel vha. solve‐applikation, herunder at udvælge relevant løsning. b) Sammenholde formel for strækning med spørgsmålet ”hvor langt?” Indsætte i formel (der be‐står af integral som funktion af grænse). Beregne integral vha. CAS‐værktøj. Oversætte ’de næste 2 sekunder’ til ’s(t+2)‐s(t)’. Beregne denne differens.

Opgave 12b a) Identisk med 12a a) b) Kalde applikation til be‐stemmelse af differential‐kvotient. Angive sproglig beskrivelse af differentialkvotient ud‐trykt i modellens størrelser. Bemærkninger: - ”Bestem f ’(x)” består i CAS‐regi i et enkelt kald fx ”D(f)(x);”, hvilket stort set blot er at gentage spørgsmålet. Man kunne have afprøvet CAS‐kompetencen tydeligere ved i stedet at have spurgt efter en konkret værdi, fx f ’(5), som det er gjort i stx B‐sættet. Herved bliver forklaringsopgaven til sidst, se nedenfor, mere ligefrem.

- Den ledsagende modelbeskrivelse er blot anført som billedtekst. Dette understreger naturligvis staffageka‐rakteren, altså at der er tale om en iklædningsopgave, hvor modellens konkrete kontekst er irrelevant for op‐gavens løsning.

- Enheden m/s er anført uden parentes, mens enheden (A) er anført med parentes. - Den sproglige opgave at beskrive f ’(5) ‐ uden at denne værdi kræves beregnet ‐ er omfattende, hvis svaret skal være nogenlunde læsevenligt.


55

Det mest bemærkelsesværdige er, at de fleste opgaver med multiple spørgsmål optræder som pri‐mærklynger. Dette gælder således opgaverne 6, 7, 9a+9b og 11. En tolkning er, at i disse opgaver giver den overordnede problemstilling en fælles kompetenceramme. Dette er i overensstemmelse med, at de to delspørgsmål i opgave 8 placeres fjernt fra hinanden i klyngediagrammet. I denne op‐gave stilles to væsensforskellige spørgsmål til samme funktion. Tangentbestemmelse drejer sig om udførelse af en indøvet rutine, mens afklaring af monotoniforhold er en herfra adskilt rutine, og den kræver yderligere et ræsonnement.

Endvidere bemærkes, at opgaverne uden hjælpemidler optræder i begge hovedklynger og ligger for‐holdsvis spredt i klyngediagrammet. Det er derfor rimeligt at slutte, at de afprøver forskellige kompe‐tencer.

De opgaver, hvor færrest elever har opnået 5 points, 4, 8b og 9c, er tæt på hinanden i klyngedia‐grammet. Da de samtidigt er karakteriseret ved at mange elever har fået 0 points, er det sandsynlig‐vis disse opgaver, der har differentieret i toppen.

Censorernes evaluering af eksamenssættet hf B Censorerne, der rettede eksamensopgaver, blev bedt om at evaluere opgavesættet – både selve sættet og elevernes besvarelse. Det skete ved at besvare et spørgeskema. Der var 25 censorer i ma‐tematik B på hf, der besvarede spørgeskemaet. Her følger en oversigt over resultatet af denne evalu‐ering.




56


32% 68% 0%


4% 96% 0%

Censorerne vurderede generelt set både prøven uden og prøven med hjælpemidler som passende i omfan,g hvad angår arbejdsbyrde. Der er dog en stor del censorer, der vurderer arbejdsbyrden ved prøven uden hjælpemidler for lille. Igen andre censorer vurderede arbejdsbyrden til at være for stor.


Det ses tydeligt, at censorerne vurderer langt de fleste opgaver som værende opgaver, som middel‐eleven kan regne. Kun fire af de 19 spørgsmål vurderes at være opgaver, som eleverne på bestå‐niveau (karakter 02) kan løse.


0% 20% 40% 60% 80% 100%

1a

2a

3a

4a

5a

6a

6b

7a

7b

8a

8b

9a

9b

9c

10a

11a

11b

12a,a

12a,b

12b,a

12b,b

Matematik hf B 2009 ‐censorvurdering

Bestå‐grænsen

Middel

Top

57





58

Sammenligning mellem stx B og hf B Det er oplagt at sammenligne eksamenerne for de to B‐niveauer. Der er en stribe iøjnefaldende for‐skelle både på resultaterne og på opgaverne ved de to B‐niveau‐eksamener. Hvis man sammenligner karakterfordelingerne for den gennemsnitlige 02‐elev, får man følgende:

De mest markante forskelle er her:

• Over tre point for gennemsnitseleven med karakteren 02: o én opgave stx o tre opgaver hf

• Over to point for gennemsnitseleven: o seks opgaver stx o otte opgaver hf

• Under ét point for gennemsnitseleven: o fire opgaver stx o fem opgaver hf

0

1

2

3

4

5

1 2 3 4 5 6a 7a 7b 8a 8b 9a 9b 10a

11a

11b

12a

13a

14a,a

14a,b

14b,a

14b,b

Helhe

d

Gennemsnitlig pointtal pr. opgave stx B for elever med karakter 02

0

1

2

3

4

5


11a

11b

12a,a

12a,b

12b,a

12b,b

Helhe

d

Gennemsnitlig pointtal pr. opgave hf Bfor elever med karakter 02

59

Dog må vi konstatere, at det er vanskeligt at se meget markante forskelle. Forskellene er større, hvis vi betragter pointfordelingerne for de to eksamener:

De to fordelinger adskiller sig markant fra hinanden. Markant færre elever på hf end på stx opnår 35 point eller derunder (der skal ca. 32 point til at bestå). På hf er det 18,3%, mens det på stx er 31,5%. Særligt bemærkelsesværdigt er det, at der på hf er 3,1%, der får fra 31 til 35 point, mens det på stx er 6,7%. På stx B er der således en betydeligt større andel, der ligger lige under bestågrænsen. Med andre ord skulle der blot være to opgaver mere, som mange elever hentede point i, for at andelen af elever, der dumper på stx B, ville være betydeligt lavere.

Herudover kan følgende forskelle registreres:

0,01,02,03,04,05,06,07,08,0

0 ‐5

6 ‐10

11 ‐15

16 ‐20

21 ‐25

26 ‐30

31 ‐35

36 ‐40

41 ‐45

46 ‐50

51 ‐55

56 ‐60

61 ‐65

66 ‐70

71 ‐75

76 ‐80

81 ‐85

86 ‐90

91 ‐95

95‐100

Procen

t

Pointtal

Pointfordeling stx B ‐ forcensur 2009 (2283 elever)

0,01,02,03,04,05,06,07,08,0

0 ‐5

6 ‐10

11 ‐15

16 ‐20

21 ‐25

26 ‐30

31 ‐35

36 ‐40

41 ‐45

46 ‐50

51 ‐55

56 ‐60

61 ‐65

66 ‐70

71 ‐75

76 ‐80

81 ‐85

86 ‐90

91 ‐95

95 ‐100

Procen

t

Pointtal

Pointfordeling hf B forcensur 2009 (904 elever)

60

Dumpeprocenter

• stx B: 25,8% af alle, 32,7% af mænd • hf B: 16,4% af alle, 14,9% af mænd

To spørgsmål i én opgave

• stx B – 9 opgaver (heraf 2 i de valgfrie) 8b (lineær model), 9a+9b (trigonometri), 10a (andengradsmodel), 11a+11b (statistik), 12a (differentialregning), 14a‐a (areal vha. integralregning), 14b‐b (vejpris)

• hf B – 7 opgaver (heraf 4 i de valgfrie) 3 (differentiation), 6b (lineær model), 11a (eksponentiel model), 12a‐a + 12a‐b (løbe‐model), 12b‐a + 12b‐b (model strømbelastning‐vindhastighed)

Prøven uden hjælpemidler

• stx B: to af opgaverne (1 og 4) er blandt de opgaver, hvori eleverne får flest point • hf B: ingen af opgaverne er blandt de opgaver, hvori eleverne får flest point

Sproget i opgaverne

Der er igen i år en vis forskel i formuleringer i stx B‐ og hf‐B‐sættet. Forskellen er imidlertid ikke så markant som tidligere.

I opgave 8 i stx‐sættet står: Tabellen nedenfor viser… , mens der i opgave 9 i hf‐sættet blot står: Ta‐bellen viser…

Det faktum, at der i højere grad er to spørgsmål i én opgave i stx‐sættet, gør også formuleringerne vanskeligere, fordi sætningerne bliver meget lange, fx opgave 8b: Forklar betydningen af tallet a, og benyt modellen til at bestemme det år, hvor man kan forvente, at en maraton løbes på under 7200 sekunder, dvs. under 2 timer. I hf B‐sættet står to spørgsmål hver gang i hver sin sætning, fx opgave 11a: Opstil en model for udviklingen i skovarealet, når det antages, at det vokser med 0,3 % om året. Bestem skovarealet i 2089 ifølge denne model.

De to trigonometriopgaver har små, men betydningsfulde forskelle i sprogbrugen. Opgave 9a i stx‐sættet lyder:

• Bestem | | og ,

mens opgave 7a i hf‐sættet lyder:

• Bestem længden af siden BC

I stx‐sættet tages udgangspunkt i matematisk notation, men der i hf‐sættet tages udgangspunkt i sproglig forklaring. Det er umiddelbart små forskelle, men de er med til at give et samlet signal til eleverne.

Abstraktion i betegnelser

Regressionsopgaver er opgaver, der giver mange elever mulighed for at få mange point. På stx B er opgave 8 en regressionsopgave (lineær regression), men det på hf B er opgave 9 (potensregression).

61

På stx anvendes betegnelsen W(t), mens der på hf anvendes f(x).

I hf‐sættet anvendes v(x) i én af de valgfrie opgaver (12a), mens der i stx‐sættet anvendes M(t) i op‐gave 12.

Abstraktion i indhold

Vi kan af pointtildelingerne registrere, hvor følsomme elevbesvarelserne er over for indholdet i opga‐verne. Som nævnt er regressionsopgaver ofte opgaver, hvor mange elever kan hente mange point. Regressionsopgaven på stx B handlede om verdensrekorderne i maratonløb. Ingen tvivl om, at det er et emne, der når mange elever. Ulempen ved datamaterialet er imidlertid, at verdensrekorder selv‐sagt ikke slås kontinuerligt, dvs. at t‐værdierne her springer i år: 1981, 1984, 1985, 1988 osv. Man kan mene, at dette skal eleverne magte, men det giver en ekstra forhindring. Eleverne skal her både ju‐stere t‐værdien til antal år efter 1981, og de skal bemærke, at der er spring mellem årene: 0, 3, 4, 7 osv. Det kan overvejes, om der i sådanne tilfælde bør ydes hjælp, fx ved at antal år efter… er oplyst.

Opgave 10 i stx‐sættet om model for befolkningstal i Gedser kræver, at eleven formår at skelne mel‐lem repræsentationen på grafen og repræsentationen i funktionsforskriften.

Opgave 13 i stx‐sættet er det den afledede funktion, der er opgivet, hvor det almindeligvis er selve funktionen, der er opgivet. Eleven kan derfor ikke umiddelbart anvende standardfremgangsmåde.

I hf‐sættet er der i opgave 12b en model, der angiver sammenhængen mellem den tilladte strømbe‐lastning i en luftledning og vindhastigheden. Selve forståelsen af modellen kræver abstraktion, og særligt anden del af spørgsmål b, Gør rede for, hvad tallet f ’(5) fortæller, kræver i særlig grad ab‐straktion hos eleven.

Der er i de to sæts trigonometriopgaver forskel i abstraktion, dels som nævnt sprogligt, dels fordi højden i stx‐opgaven ligger uden for trekanten. Som for regressionsopgaver er trigonometriopgaver ofte opgaver, der giver mulighed for, at mange elever opnår mange point.

Uddybende bemærkninger om opgaverne Skrevet af lektor Niels Grønbæk, Institut for Matematiske Fag, Københavns Universitet

Stx‐sættet skønnes at være en del vanskeligere end det tilsvarende hf‐sæt. Da begge sæt har 19 spørgsmål og omhandler nogenlunde samme stofområder, er det opbygningen og en række forhold inden for de enkelte opgaver, der har vanskeliggjort stx‐sættet. En del af dette er allerede kommen‐teret ovenfor.

- Typisk har ellers ens opgaver fået en stramning i stx‐sættet, fx: o I opgave 5 (klassifikation af parabler) bedes stx‐eleverne om at bestemme fortegn

ud fra grafer. I hf‐sættet skal graferne udpeges ud fra fortegn. hf‐kursisten skal altså blot tjekke nogle forelagte grafer, mens stx‐eleverne må ræsonnere sig frem graf for graf. Opgaven er herved både mere omfattende og mere avanceret. I øvrigt er del‐sættet uden hjælpemidler nogenlunde af ens kaliber for de to sæt.

o Stx‐opgave 10 rejser nogle distraherende spørgsmål om modellens begrundelse. Hf‐modellerne er begrundede.

62

o Modellerne i stx‐opgaverne 10 og 12 er ikke fra standard biblioteket: lineær, ekspo‐nential‐, potens‐, ...

- De valgfrie opgaver er betydeligt sværere. o Hf‐opgaverne kan løses stort set ved blot at arbejde kontekstfrit med de opgivne

funktioner, som i øvrigt har traditionelle betegnelser. I stx‐sættet er man nødt til at arbejde eksplicit med opgavens genstandsområde, herunder selv at lave figurer, ind‐føre betegnelser og opstille funktionsudtryk.

o Hertil kommer et højere abstraktionsniveau, i.e. den variable integrationsgrænse i hf opgave 12a er blot den variable i standardformen for angivelse af stamfunktion, mens integrationsgrænsen i stx‐opgave 14a fastlægges ud fra en geometrisk betragt‐ning og dernæst optræder som en ubekendt i en ligning.

- Spørgsmålene i delsættet med hjælpemidler er i hf‐sættet fordelt på 7 opgaver og i stx‐sættet på 9 opgaver. Således skal stx‐eleven forholde sig til flere kontekster end hf‐kursisten. Klyngeanalyserne tyder på at dette har en effekt. For alle fire eksamenssæt er det åbenbart, at delspørgsmål af en opgave typisk falder i en primærklynge, vel at mærke når delspørgsmå‐lene relatere sig til samme overordnede tema. I de opgaver hvor delspørgsmål er separate, fx ved at handle om væsensforskellige aspekter af en funktion, ligger delspørgsmålene fjernt fra hinanden.

- Hf B‐sættet indeholder hf C‐gengangere, stx B‐sættet indeholder stx A‐gengangere. Dette kan næsten ikke undgå at trække i hver sin retning.

63

Den skriftlige prøve i matematik C på hf

Karakterfordeling ved eksamen Ved sommereksamen var 5942 kursister til skriftlig prøve i matematik C på hf. Deres karakterer for‐delte sig som vist i tabellen:

HF Matematik C

Karakter ‐3 00 02 4 7 10 12

Frekvens (%) 2,3 18,7 9,8 15,8 20,7 20,3 12,5


Karakterfordelingen for eleverne, der bestod eksamen, tager sig således ud:

0

5

10

15

20

25

‐3 00 02 4 7 10 12

Procen

t

Matematik hf‐C ‐ sommer 2009Karakterfordeling for alle

Gennemsnit 5,73

0

5

10

15

20

25

30

02 4 7 10 12

Procen

t

Matematik hf‐C ‐ sommer 2009Karakterfordeling for beståede

64

Karakterfordelingen for de elever, der bestod eksamen, afviger en smule fra den ”ideelle” fordeling på 10%, 25%, 30%, 25%, 10% til karaktererne 02, 4, 7, 10, 12, idet der er flere en 10% der får hen‐holdsvis 02 og særligt 12.

Evalueringsgruppen bemærker, at 21% af de elever, der deltager i den skriftlige prøve hf‐C, ikke op‐når en bestå‐karakter.

Pointtal for enkeltopgaver Alle førstecensorerne blev bedt om at indsende resultaterne af deres pointtildeling. Forcensuren bygger på pointtal for 1610 elever. Dette materiale danner udgangspunkt for en nærmere analyse af, hvordan eleverne klarede den stillede prøve. Hvis man anvender samme pointskala, som anvendtes ved censormødet, får man en karakterfordeling ved forcensuren, der ligger meget tæt op ad karak‐terfordelingen ved eksamen. Dette indikerer, at forcensuren giver et meget retvisende billede af hele populationen.


0

5

10

15

20

25

‐3 00 02 4 7 10 12

Procen

t

Sammenligning karakterfordeling eksamen og forcensur hf C

Eksamen

Forcensur

0,02,04,06,08,0

10,012,0

0 ‐5

6 ‐1

0

11 ‐15

16 ‐20

21 ‐25

26 ‐30

31 ‐35

36 ‐40

41 ‐45

46 ‐50

51 ‐55

56 ‐60

61 ‐65

66 ‐70

71 ‐75

Procen

t

Pointtal

Pointfordeling hf C forcensur 2009 (1610 elever)

65

Pointfordelingen er jævnt stigende op mod 30 point (svarende til karakteren 02), hvorefter fordelin‐gen er ujævn frem til 60 point. Ca. 23% af eleverne opnår 25 point eller derunder, mens ca. 10% op‐når 70 point eller derover.

Kvartilsættet for pointfordelingen er (27, 44, 62).


0,0 25,0 50,0 75,0 100,0

1a

2a

2b

2c

3a

4a

4b

5a

5b

6a

6b

7a

8a

8b

Helhedsindtryk

Hf‐C pointfordeling for enkeltopgaver forcensur 2009

(1619 elever)

0 Point

1 Point

2 Point

3 Point

4 Point

5 Point

66

Der er to opgaver, som eleverne klarer bemærkelsesværdigt godt. Det er opgave 1a (ensvinklede trekanter) og 8a (beregning af y‐værdi i potensmodel). Her opnår næsten ¾ af eleverne 5 point. Der‐udover opnår lidt over halvdelen af eleverne over 5 point i opgave 4a (retvinklet trekant).

Men der er stor variation i pointtildelingen, men kun i opgave 8b er det næsten halvdelen af elever‐ne, der opnår 0 point (8b er en opgave i procent‐procent beregning i forhold til en potensmodel).

Vurderingen af helhedsindtrykket er bemærkelsesværdigt, idet det igen er her, at færrest elever op‐når fuldt pointtal. Netop ved helhedsindtrykket er fordelingen af point meget jævnt, og det er ikke tilfredsstillende, at så mange elever opnår så ringe resultat her. Evalueringsgruppen undrer sig atter i år over dette.

Ingen opgaver ser ud til at være ”knald‐eller‐fald‐opgaver” – dvs. opgaver, hvor få procent opnår andet end 0 eller 5 point.


0

1

2

3

4

5

Point


67

0

1

2

3

4

5Po

int


0

1

2

3

4

5

Point


0

1

2

3

4

5

Point


68

0

1

2

3

4

5Po

int


0

1

2

3

4

5

Point


0

1

2

3

4

5

Point


69

Hvis man betragter 4‐eleven, er der ret store udsving mellem pointtallene pr. opgave. Bedst klares opgave 1a og 8c, hvor der gennemsnitlig tildeles over 4 point. Derefter følger opgave 4a og 7a, hvor den gennemsnitlige pointtildeling er over 3. Færrest point opnås i opgave 8c.

For 10‐eleven er det opgave 3a, 5b og 8b, der udløser lidt færre point end de øvrige. Udsvingene er dog små, og det bør overvejes, om opgaverne giver spredning nok i toppen.

Kønsforskelle i opnået resultat I datamaterialet er udgør de kvindelige eksaminander 55,4%, de mandlige 36,3%, og i 8,3% af tilfæl‐dene har den skriftlige censor ikke kunnet afgøre køn ud fra navn. Der er således en betydelig over‐vægt af kvindelige eksaminander i datamaterialet.

Betragter man karakterfordelingen i forhold til køn, er der igen i år tendens til at mændene i højere grad end kvinderne opnår topkaraktererne 10 og 12.

Anmeldelse af opgavesættet hf C (2HF091MAC) Generelle bemærkninger

Opgavesættet kommer fint rundt i kernestoffet og skønnes at være af passende omfang og svær‐hedsgrad. På nær de nedenfor anførte bemærkninger om model vs. virkelighed, er det et fint sæt.

0

5

10

15

20

25

30

‐3 00 02 4 7 10 12

Procen

t

Karakterfordeling efter køn hf C sommer 2009 (forcensur)

Kvinder (55,4%)

Mænd (36,3%)

70

Opgave 1 Identificere ensliggende sider på figur. Beregne sidelængder ud fra relevante sidelæng‐deforhold.

Bemærkning: Figuren indeholder ingen overflødige data. Dette er potentielt en løsningsanvisning. Opgave 2 Identificere tabeldata med variabelbetegnel‐ser. Bestemme lineær for‐skrift ud fra to opgivne funktionsværdier. Fortolke hældningskoef‐ficient og skæring med y‐akse i relation til mo‐delvariable. Foretage prognoser ud fra modellen, herunder at genidentificere vari‐able med modeldataty‐per.

Bemærkning: Ifølge konteksten lineær modellering af empiriske data er lineær regression den korrekte tilgang frem for be‐stemmelse af forskrift ud fra to opgivne funktionsværdier, der jo ikke har meget med modellering af data at gøre. Dette kan man selvfølgelig ikke forvente, at eleven bemærker, men da eksamensopgaverne er paradig‐matiske for det daglige arbejde, synes jeg, at man skal tilstræbe et klart modelleringsbegreb. Det nemmeste ville være at angive 3 punkter i stedet for 2. Dette falder dog uden for C‐niveau (men kunne være relevant på andre niveauer). Alternativt kan der tages højde for det i opgaveteksten, jf. UV‐vejledningen (min understreg‐ning): Figuren viser en række sammenhørende værdier af (x og y ...). Det oplyses, at sammenhængen kan beskrives ved en matematisk model af typen(:…) På illustrationen er markeret to punkter, som ligger på grafen, der illu‐strerer sammenhængen. Bestem a og b...

71

Opgave 3 Identificere afhæn‐gig/uafhængig variabel. Udvælge relevante graf‐punkter af formen (x1,y) og (x2,y/2). Relatere disse til halve‐ringskonstant. Beskrive hvorfor denne fremgangsmåde giver det ønskede svar.

Bemærkninger: Grafpunkter skal vælges med henblik på præcision, ikke alle valg er lige anvendelige. Opgaven stiller særlige krav til beskrivelse. En forklaring af begrebet halveringskonstant må indgå, hvis det ikke skal være ren adfærdsbeskrivelse. Opgave 4 Beregne længde af mod‐stående katete (at den‐ne tilfældigvis er højde i en ligebenet trekant er irrelevant for opgavens løsning). Beregne areal af retvink‐let trekant ud fra opgiv‐ne katetevinkel og hypo‐tenuse. Dernæst at beregne areal af tilhørende lige‐benet trekant.

Bemærkninger: Opgaveteksten skelner ikke klart mellem model og virkelighed. Omtalte højde og areal refererer til modellen, men omtales som virkelighed. Den tænksomme elev vil måske fundere over, om facaden udgøres af glasvæg‐gen, eller om den indrammende trekant hører med, hvorfra på jorden højden måles osv. Fx: ’Giv vha. model‐tegningen et bud på materialeforbruget til…’ Herved bliver den dobbelte hensigt - at hjælpe eleven til at fastholde, visualisere osv. - fortolkninger model vs. virkelighed med fotoet også tydeligere. Opgave 5 Identificere modeltype (diskret eksponentiel vækst) ud fra sproglig beskrivelse. Indføre variable for modellens data, herun‐der 0‐punkt for tidsakse. Opstille modelligning,

72

der beskriver sammen‐hæng mellem variable og parametre. At indsætte parameter‐værdi ud fra modeldata. Beregne prognoser. Sammenholde model og virkelighed. Er 44 118 tilnærmelses‐vist det samme som 19 046? Vurdering af modellens gyldighed efter 1999. Opgave 6 Beregne frekvenser ud fra hyppigheder. Tegne histogram ud fra datatabel. Aflæse fordelingsværdi‐er ud fra sumkurve. Angive komplementære fordelingsværdier, dvs. fortolke større‐lig‐værdier som 100 % ‐ (mindre‐lig‐værdier).

Opgave 7 Indsætte i og beregne værdier af formeludtryk. Løse formlens ligning mht. til andre variable. Alternativt: Indtaste formel i CAS‐værktøj og benytte rele‐vant solve‐applikation. Hvis flere løsninger, vælge løsning, der svarer til formlens kontekst.

73

Opgave 8 Tildele værdier til vari‐able ud fra sproglig be‐skrivelse. Se endvidere hf B, opga‐ve 9c.


Det mest bemærkelsesværdige er, at delspørgsmål klynges primært. I dette sæt er det meget udtalt. Endvidere bemærkes at opgaverne 3a og 8b, som begge handler om talforhold (halveringskonstant og procenter) optræder i samme primærklynge.

Censorerne evaluering af opgavesættet hf C Censorerne, der rettede eksamensopgaver, blev bedt om at evaluere opgavesættet – både selve sættet og elevernes besvarelse. Det skete ved at besvare et spørgeskema. Der var 35 censorer i ma‐

74

tematik C på hf, der besvarede spørgeskemaet. Her følger en oversigt over resultatet af denne evalu‐ering.




For lille Passende For stor 6% 94% 0%


Det ses tydeligt, at censorerne vurderer langt de fleste opgaver, som værende opgaver, som middel‐eleven kan regne.


0% 20% 40% 60% 80% 100%

1a

2a

2b

2c

3a

4a

4b

5a

5b

6a

6b

7a

8a

8b

Matematik 2009 ‐ hf C censorevaluering

Bestå‐grænsen Middel Top

75

Hvordan vurderer du samlet sættets sværhedsgrad? For let: Passende: For svært:

3 31 1


Censorerne kunne kommentere sættet. Disse kommentarer kan i sagens natur ikke opgøres, men her angives den overvejende holdning i kommentarerne. Censorerne er enige om, at sættet kommer godt rundt i pensum. Der er ikke områder, der er overeksponeret, og opgavesættet vurderes gene‐relt til at leve fuldt ud op til reformens intentioner.

76

Bilag 1

Hierarkisk klyngeanalyse I en hierarkisk klyngeanalyse undersøges, hvilke opgaver der ligner hinanden mht. individuelt opnåe‐de pointtal. Opgaverne grupperes hierarkisk således, at de to opgaver, hvis svarmønstre ligner hin‐anden mest, grupperes først. Dernæst foretages en ny sammenligning. Således fortsættes, så man sluttelig har en hierarkisk opdeling af spørgsmålene. Den konkrete procedure er som følger:

Antallet af besvarelser af et eksamenssæt benævnes N og antallet af spørgsmål i sættet benævnes n. Til hvert spørgsmål samt rubrikken helhedsvurdering associeres en streng bestående af samtlige til‐delte N pointtal (pointtal for besvarelse 1, …, pointtal for besvarelse N), så det samlede eksamenssæt er repræsenteret ved n punkter, nemlig 1 punkt for hvert spørgsmål, i et N‐dimensionalt rum. I dette rum sammenlignes spørgsmålene ved hjælp af et passende statistisk afstandsmål mellem de tilsva‐rende punkter. De to spørgsmål, som er nærmest hinanden, grupperes. Dernæst erstattes denne første gruppe af den N‐dimensionale streng, som fås ved at tage et passende gennemsnit af de to først grupperede spørgsmål, så der nu er n‐1 punkter. Med disse n‐1 punkter gentages proceduren, hvorved man får n‐2 punkter. Således fortsættes, til der er 2 punkter tilbage. Disse 2 punkter svarer til, at man har fået de oprindelige n spørgsmål delt i to grupper af spørgsmål, der inden for grupper‐ne ”ligner hinanden”, hvad angår overensstemmelse af besvarelser. Der er forskellige valgmulighe‐der for det statistiske afstandsmål. I den foreliggende analyse giver dette dog ikke anledning til for‐skellige grupperinger.

Documents

af de skriftlige prøver i matematik på stx og hf ved · bundet til matematik B. Denne forklaring underbygges ved at se på resultaterne for valghold contra studieretningshold: På