ΠΡΟΟΔΟΙ

1

ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ

στην καθημερινή ζωή: η λέξη «ακολουθία» εκφράζει διαδοχικότητα ενός συνόλου

πραγμάτων ή γεγονότων σύμφωνα με μία συγκεκριμένη τάξη.

στα Μαθηματικά: έχει ακριβώς την ίδια σημασία.

Ακολουθία είναι μία συνάρτηση με πεδίο ορισμού όμως το σύνολο των θετικών

ακέραιων αριθμών

Συμβολισμός: που σημαίνει ότι έχουμε την ακολουθία (αν), όπου

είναι η τιμή

της ακολουθίας στο ν, δηλαδή η α(ν). Δηλαδή το ν εκφράζει την τάξη του όρου, ενώ

ο αν την τιμή του όρου.

Παράδειγμα: έστω η ακολουθία 22 1v . Στον όρο π.χ. 3 το ν=3 δηλώνει ότι

είναι ο τρίτος όρος της ακολουθίας ενώ το 2

3 2 3 1 19 είναι η τιμή του τρίτου

όρου.

Γραφική παράσταση ακολουθίας

Μία ακολουθία μπορεί να παρασταθεί γραφικά σ' ένα σύστημα συντεταγμένων όπως

και μία συνάρτηση.

Επειδή το πεδίο ορισμού της ακολουθίας είναι το σύνολο των θετικών ακεραίων, η

γραφική της παράσταση αποτελείται από σημεία με τετμημένες θετικούς ακέραιους

αριθμούς (βλέπε αναλυτικές σημειώσεις μαθήματος)

ΠΡΟΟΔΟΙ

Αριθμητική Πρόοδος

Μια ακολουθία λέγεται αριθμητική πρόοδος, όταν κάθε όρος της ακολουθίας

προκύπτει από τον προηγούμενο όρο, όταν προσθέσουμε τον ίδιο αριθμό.

Ο αριθμός αυτός συμβολίζεται με ω και ονομάζεται διαφορά της προόδου. Δηλαδή,

η ακολουθία ( ) είναι αριθμητική πρόοδος αν και μόνον αν ισχύει:

1 οπότε 1

Επομένως, για να βρούμε τη διαφορά ω μιας αριθμητικής προόδου, αρκεί από έναν

οποιοδήποτε όρο της να αφαιρέσουμε τον προηγούμενό του.

Παράδειγμα: στην αριθμητική πρόοδο 4, 8, 12, 16,. έχουμε 12 8 16 12 4

Αν ω=1 και α1=1 τότε η αριθμητική πρόοδος είναι το σύνολο των φυσικών αριθμών

{1,2,3,...} .

ΠΡΟΟΔΟΙ

2

Νιοστός όρος αριθμητικής προόδου

Από τον ορισμό της αριθμητικής προόδου έχουμε:

1

2 1

3 2 1 1

1

( ) 2

...

( 1)v

Έτσι, 1 ( 1)v

Δηλαδή, βρίσκουμε το νιοστό όρο μιας αριθμητικής προόδου, αν στον πρώτο όρο της

προσθέσουμε ν-1 φορές τη διαφορά ω.

Αριθμητικός Μέσος

Σε κάθε αριθμητική πρόοδο ισχύει η ιδιότητα:

Αν οι αριθμοί α,β,γ είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου, τότε το διπλάσιο του

μεσαίου όρου ισούται με το άθροισμα των δύο άλλων όρων, και αντίστροφα. Δηλαδή

2

Αντίστροφα: Αν 2 , τότε , δηλαδή

. Άρα , , είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου με λόγο

ω.

Ο αριθμός β με την ιδιότητα 2 ονομάζεται αριθμητικός μέσος των α και γ.

Άθροισμα όρων αριθμητικής προόδου

Το άθροισμα 1 2 ...S των ν πρώτων όρων μιας αριθμητικής προόδου

δίνεται από τον τύπο:

1( )

2S

ο οποίος αντικαθιστώντας τον όρο με 1 ( 1) γίνεται:

1 1 1[ ( 1) ] [2 ( 1) ]

2 2S

Γεωμετρική πρόοδος

Μια ακολουθία λέγεται γεωμετρική πρόοδος, όταν κάθε όρος της ακολουθίας

προκύπτει από τον προηγούμενο όρο αν τον πολλαπλασιάσουμε με έναν σταθερό

αριθμό λ, όπου λ διαφορετικό του μηδενός, δηλαδή

1 1, 0

Ο σταθερός αριθμός λ καλείται λόγος της γεωμετρικής προόδου και είναι:

11

.

Δηλαδή, για να βρούμε το λόγο λ μιας γεωμετρικής προόδου, αρκεί να διαιρέσουμε

οποιονδήποτε όρο της με τον προηγούμενό του.

Παρατήρηση: Αν 1 , έχουμε τη σταθερή ακολουθία , , ,...

ΠΡΟΟΔΟΙ

3

Παράδειγμα: η ακολουθία 1,3,9,27,81,... είναι γεωμετρική πρόοδος με πρώτο όρο

1 1 και λόγο 3 .

Νιοστός όρος γεωμετρικής προόδου

Επειδή 1 και αντίστοιχα

1 θα έχουμε επαγωγικά ότι

2

1 1 1 1....

ή 1

1

Άρα ο νιοστός όρος μιας γεωμετρικής προόδου δίνεται από τον τύπο: 1

1

Γεωμετρικός μέσος

Αν οι αριθμοί , , είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου, τότε το τετράγωνο

του μεσαίου όρου ισούται με το γινόμενο των δυο άλλων όρων, και αντίστροφα,

δηλαδή : 2 , 0

Άθροισμα ν πρώτων όρων γεωμετρικής προόδου

Έστω 1 ο πρώτος όρος της γεωμετρικής προόδου και λ ο λόγος της. Τότε για το

άθροισμα 1 2 ...S των ν πρώτων όρων της έχουμε:

1

1 2 1 1 1... ...S

Οπότε 2

1 1 1...S

και αφαιρώντας κατά μέλη προκύπτει:

1 11 1 1 1

1 1

( 1)1

1 1

1 1

S S S S

S

Επομένως, δείξαμε ότι το άθροισμα των ν πρώτων όρων μιας γεωμετρικής προόδου

δίνεται από τον τύπο:

1

1

1S

Παρατήρηση ** Η τιμή του όρου λ

ν, όταν το ν παίρνει πολύ μεγάλες τιμές, «πλησιάζει» το 0

όταν 1 .

Έτσι, το άθροισμα των άπειρων όρων της γεωμετρικής προόδου με 1 δίνεται

από τον τύπο:

1

1

1S

Πράγματι, αν έχουμε μια γεωμετρική πρόοδο με πρώτο όρο α1 και λόγο λ, όπου |λ|<1,

τότε επειδή 0 όταν το άθροισμα των ν πρώτων όρων της θα δίνεται

από τον τύπο:

1 1 1

0 1 1 1

1 1 1S