Al7ma20tepa0111 Sequence 04

1Squence 4 MA20

Sommaire

1. Prrequis2. Statistique descriptive3. Notion de probabilit4. Algorithmique 5. Synthse de la squence 6. Exercices dapprofondissement

Statistique descriptive Notion de probabilit

Squence 4

Cned Acadmie en ligne

3Squence 4 MA20

1 PrrequisStatistiques

Vocabulaire, reprsentation graphique

Une srie statistique porte sur un caractre (ge, poids, couleur, etc.) dont on a relev certaines moda-lits (10 ans, 15 ans, 20 ans, etc.).

Les donnes sont prsentes dans un tableau dans lequel on indique, pour chaque modalit du caractre,le nombre de fois o on a relev cette valeur. Ce nombre de fois sappelle leffectif.

On peut, en plus de ces effectifs, ou leur place, indiquer la proportion de chaque modalit dans lensembledes donnes. Cette proportion sappelle la frquence de la modalit.

savoir

Un sauteur la perche a relev ses performances au cours des six derniersmois :

Hauteur 5,40 5,50 5,55 5,60 5,65 5,70 5,75 5,80 5,90

Nb de sauts 1 1 1 4 8 6 2 1 1

Frquences 4 % 4 % 4 % 16 % 32 % 24 % 8 % 4 % 4 %

Le caractre tudi est la hauteur du saut.

Ses modalits sont 5,40 ; 5,50 ; 5,55 ; ; 5,90.

Les effectifs sont 1 ; 1 ; 1 ; 4 ; ; 1.

Leffectif de la modalit 5,65 est 8.

Les frquences sont 4 % ; 4 % ; 4 % ; 16 % ; ; 4 %.

La frquence de la modalit 5,65 est 32 %.

On a relev la couleur des 5000 vhicules passs un page dautoroute.

Couleur Blanc Gris Noir Rouge Bleu Jaune Autre

Nb de vhicules 1425 1550 1350 200 400 20 55

Frquences 28,5 % 31 % 27 % 4 % 8 % 0,4 % 1,1 %

AA

ExempleExemple

ExempleExemple


4 Squence 4 MA20

Le caractre tudi est la couleur du vhicule.

Ses modalits sont Blanc ; Gris ; Noir ; ; Autre.

Les effectifs sont 1425 ; 1550 ; ; 55.

Leffectif de la modalit Rouge est 200.

Les frquences sont 28,5 % ; 31 % ; ; 1,1 %.

La frquence de la modalit Bleu est 8 %.

Pour reprsenter ces sries statistiques on utilise habituellement des diagrammes en barres (ou btons) ou des diagrammes circulaires, les hauteurs des barres ou les angles des secteurs angulaires tant proportionnels aux effectifs ou aux frquences.

Pour reprsenter les caractres quantitatifs continus o les modalits sont regroupes par classe, on utilise aussi des histogrammes (diagrammes en rectangles), o les valeurs du caractre sont reprsentes en abscisse sur un axe gradu ; la base de chaque rectangle correspond lintervalle de chaque classe, laire des rectangles tant proportionnelle aux effectifs ou aux frquences (voir dans la suite du cours).

savoir

Reprsentons la srie des performances du sauteur la perche par un dia-gramme en btons.

ExempleExemple

1 4%

5,40

8%

16%

24%

32%

2

4

6

8

Effectifs Frquences

Hauteur5,50 5,60 5,70 5,80 5,90

1 4%

5,40

8%

16%

24%

32%

2

4

6

8

Effectifs Frquences

Hauteur5,50 5,60 5,70 5,80 5,90


5Squence 4 MA20

Reprsentons la srie des couleurs des 5000 vhicules, par un diagrammecirculaire.

Calcul des caractristiques

Pour rsumer une srie statistique portant sur un caractre quantitatif, on peut calculer son tendue, sa moyenne, sa mdiane.

savoir

Rsumons la srie des performances du sauteur la perche par son tendue, sa moyenne, sa mdiane.

Son tendue est 0,50 m ( 5 90 5 40 0 50, , , = ).

Sa moyenne est :

5 4 5 5 5 55 5 6 4 5 65 8 5 7 6 5 75 2 5 8, , , , , , , ,+ + + + + + + + 55 925

5 658,

, .=

Sa mdiane est 5,75 m (il y a autant de sauts infrieurs cette hauteur que de sauts suprieurs).

Rsumons la srie des couleurs des 5000 vhicules par son tendue, sa moyenne, sa mdiane.

La couleur ntant pas un caractre quantitatif, il ny a ni tendue, ni moyenne, ni mdiane.

ExempleExemple

BlancAutre

JauneBleu

Rouge

Gris

Noir

BlancAutre

JauneBleu

Rouge

Gris

Noir

ExempleExemple

ExempleExemple


6 Squence 4 MA20

Probabilits Notion de probabilit

Ce que veut dire : la probabilit dobtenir PILE en lanant une pice non truque est 12

;

savoir : si on lance une pice non truque, on a 1 chance sur 2 quelle tombe sur PILE.

Ce que veut dire : la probabilit dobtenir un DEUX en lanant un d non truqu est 16

;

savoir : si on lance un d non truqu, on a 1 chance sur 6 quil tombe sur un DEUX.

Se souvenir

BB


7Squence 4 MA20

Activits

Introduction

Dans de nombreuses disciplines scientifiques, biologie, physique, psychologie, conomie, archologie, etc. on a recours dsormais aux statistiques pour ta-blir certains rsultats.

Il en est de mme de plus en plus dans lenvironnement professionnel. Les ordi-nateurs et les calculs statistiques ont depuis longtemps envahi la finance, les cabinets dassurance, de gestion, les laboratoires danalyses mdicales, et mme lindustrie, travers, par exemple, le contrle qualit.

Au quotidien, nos mdias sont remplis de statistiques, visibles ou non, que ce soit propos de lconomie, de la politique, des faits de socit ou de la mto.

Il est donc indispensable au citoyen daujourdhui de comprendre ce que sont les statistiques pour comprendre ce que veulent rellement dire les informations quil reoit.

De mme il est indispensable qui exercera une activit dans les domaines de la gestion, de la sant ou du social, non seulement de comprendre, mais aussi de savoir utiliser les notions de base des statistiques.

Vous devriez avoir vu en collge une bonne partie de ce chapitre.

Pour vous remettre dans le bain, nous commencerons par des activits simples vous permettant de rviser vos connaissances..

Faites les consciencieusement, si possible sans aide.

AA

2 Statistique descriptive


8 Squence 4 MA20

tude dun caractre qualitatif

Dans un lyce, on a fait remplir en dbut danne aux 250 lves de seconde une fiche de renseignements.

On en a extrait deux.

a) Souhaits dorientation en fin de seconde.

Le graphique ci-contre indique les souhaits dorientation des 250 lves.

Compltez le tableau corres-pondant.

Orientation Effectif Frquence

ES

L

S

STG

Autres

Ne sait pas

Total

Quelle est lorientation souhaite la plus frquente (on lappelle le mode) ?

b) Code postal du domicile.

Le tableau ci-dessous indique les diffrents codes postaux du domicile des 250 lves.

Reprsentez ces donnes par un diagramme circulaire.

Code Postal Effectif

35330 9

35380 72

56140 24

56200 9

56380 90

56430 28

56803 6

56910 12

Total 250

Quel est le code postal le plus frquent (on lappelle le mode) ?

10

20

30

40

50

60

70

ES L S STG Autres NSP

Effectifs

10

20

30

40

50

60

70

ES L S STG Autres NSP

Effectifs


9Squence 4 MA20

Dans ces deux exemples, nous avons rencontr ltude de deux caractres lorientation et le code postal qui sont des caractres qualitatifs. Cela signifie quils ne reprsentent pas des quantits et quon ne peut donc pas faire dautre traitement que de les reprsenter (par exemple calculer une orienta-tion moyenne na pas de sens).

Pour reprsenter ces caractres on utilise habituellement des diagrammes en barres (ou btons, ou tuyaux dorgue), des diagrammes en bande, ou des diagrammes circulaires, les hauteurs des barres ou les angles des sec-teurs angulaires tant proportionnels aux effectifs ou aux frquences.

Lordre de prsentation des modalits na pas dimportance.

Nous rappelons aussi que lensemble des personnes ou objets tudis ici les lves de seconde dun lyce sappelle la population tudie, chaque per-sonne ou chaque objet tant un individu.Ce que lon tudie sappelle le caractre, et les diffrentes valeurs de ce carac-tre les modalits : STG est une modalit du caractre orientation , 56380 une modalit du caractre code postal .

Le nombre dindividus ayant une modalit prcise du caractre est leffectif de cette modalit. La somme de tous les effectifs, appel effectif total, donne la taille de la population.Souvent, en particulier pour comparer des populations de taille diffrente, on donne les frquences de chaque modalit plutt que les effectifs.La frquence dune modalit est la proportion que reprsente leffectif de cette modalit par rapport leffectif total. Elle sexprime aussi bien sous forme de fraction, dcriture dcimale que de pourcentage (qui est lui mme une fraction).

Pour lorientation, la modalit STG a pour effectif 55 sur un effectif total de 250.

Sa frquence est : 55250

que lon peut crire 1150

ou 0,22 ou 22100

ou enfin 22%.

CommentaireCommentaire

Un caractre qualitatif peut nanmoins sexprimer par des nombres,comme le code postal, mais ces nombres ne reprsentent pas des quantits, ce ne sont que des codages

Un caractre qualitatif peut nanmoins sexprimer par des nombres,comme le code postal, mais ces nombres ne reprsentent pas des quantits, ce ne sont que des codages

Dans diffrents mdias, on trouve des formes plus ou moins images des barres ou des disques ; il est alors prudent de vrifier ce qui est (ou devrait tre) proportionnel aux effectifs avant dinterprter le graphique.

Dans diffrents mdias, on trouve des formes plus ou moins images des barres ou des disques ; il est alors prudent de vrifier ce qui est (ou devrait tre) proportionnel aux effectifs avant dinterprter le graphique.

RappelRappel

ExempleExemple


10 Squence 4 MA20

tude dun caractre quantitatif

Taille de la famille Effectif Frquence

3 personnes

4 personnes

5 personnes

6 personnes 18

7 personnes 21

8 personnes

9 personnes

10 personnes 2

12 personnes 4

Total

b) Temps de parcours du domicile au lyce.Le tableau ci-dessous indique les diffrents temps de parcours (en minutes) du domicile au lyce pour les 250 lves.

Temps de parcours (en minutes) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Effectif 2 4 5 4 6 1 9 2 8 20 10 1 5

10

20

30

40

50

60

70

80

90

3

Effectifs

Taille dela famille

5 7 9 11 12

10

20

30

40

50

60

70

80

90

3

Effectifs

Taille dela famille

5 7 9 11 12

Revenons nos 250 lves de seconde.On extrait de la fiche de renseignements deux autres caractres.

a) Taille de la famille dans laquelle vit chaque lve.Le graphique ci-dessous indique la taille de la famille (enfants plus adultes) de chacun des 250 lves.Compltez le tableau correspondant, ci-contre.Calculez le nombre moyen de personnes par famille.Quel cart de taille y a-t-il entre les famillesles moins nombreuses et les familles les plusnombreuses (on lappelle ltendue) ?


11Squence 4 MA20


Effectif 4 2 3 1 10 14 40 20 6 10 3 4 8


Effectif 10 10 2 11 1 3 1 4 1 1 1 1 2

Quel est le temps de parcours moyen ?

Quel cart y a-t-il entre le temps de parcours le plus long et le plus court (on lappelle ltendue) ?

Regroupez ces donnes par tranches (on dit aussi classes) de 10 min (attention aux bornes des intervalles).

Temps [0 ; 10[ [10 ; 20[ [20 ; 30[ [30 ; 40[ [40 ; 50[ [50 ; 60[ [60 ; 70[ [70 ; 80[ [80 ; 90]

Effectif

Quel temps de parcours moyen obtient-on avec les donnes ainsi groupes ?

Reprsentez ces donnes sur le graphique ci-dessous.

10Tempsde parcours

Surface pourun effectif de 10

2 0 30 40 50 60 70 80 90

Dans ces deux exemples, nous avons rencontr ltude de deux caractres la taille des familles et le temps de parcours qui sont des caractres quantita-tifs. Cela signifie quils reprsentent des quantits.On pourra, en plus de reprsentations, faire un certains nombre de calculs signi-ficatifs (par exemple la taille moyenne, lcart entre le temps le plus long et le temps le plus court).



12 Squence 4 MA20

On distingue deux types de caractres quantitatifs :

les caractres quantitatifs discrets (ou valeurs discontinues), o les modalits ne prennent que quelques valeurs numriques prcises (comme pour la taille des familles),

les caractres quantitatifs continus, o les modalits peuvent prendre, en thorie, toutes les valeurs numriques dun intervalle (comme pour le temps de parcours).

Pour reprsenter les caractres quantitatifs discrets on utilise habituellement des diagrammes en btons, o les valeurs du caractre sont reprsentes en abscisse sur un axe gradu, la hauteur des btons tant proportionnelle aux effectifs ou aux frquences.

Pour reprsenter les caractres quantitatifs continus on utilise habituellement des histogrammes (diagrammes en rectangles), o les valeurs du caractre sont reprsentes en abscisse sur un axe gradu ; la base de chaque rectangle correspond lintervalle de chaque classe, laire des rectangles tant pro-portionnelle aux effectifs ou aux frquences.

Regroupez diffremment les donnes de lexercice prcdent dans le tableau ci-dessous.

Temps de parcours (en minutes) [0 ; 5[ [5 ; 10[ [10 ; 20[ [20 ; 50[ [50 ; 90]

Effectif

Reprsentez ces donnes par lhistogramme ci-dessous.

Lorsque les classes ont mme amplitude (ctait le cas dans lexer-cice ci-dessus) les rectangles de lhistogramme ont tous la mme largeur. Leurs aires tant proportionnelles aux effectifs, leurs hau-teurs le sont aussi. On peut alors lire les effectifs sur un axe vertical virtuel .

Mais lorsque les classes sont damplitudes diffrentes, les rectangles ont des largeurs diffrentes. Leurs aires tant toujours proportionnelles aux effectifs, leurs hauteurs ne reprsentent plus rien. On ne peut plus lire les effectifs sur un axe vertical.

Lorsque les classes ont mme amplitude (ctait le cas dans lexer-cice ci-dessus) les rectangles de lhistogramme ont tous la mme largeur. Leurs aires tant proportionnelles aux effectifs, leurs hau-teurs le sont aussi. On peut alors lire les effectifs sur un axe vertical virtuel .

Mais lorsque les classes sont damplitudes diffrentes, les rectangles ont des largeurs diffrentes. Leurs aires tant toujours proportionnelles aux effectifs, leurs hauteurs ne reprsentent plus rien. On ne peut plus lire les effectifs sur un axe vertical.

ExempleExemple


13Squence 4 MA20

10Tempsde parcours

Surface pourun effectif de 10

2 0 30 40 50 60 70 80 90

c) Temps de parcours du domicile au lyce : effectifs cumuls croissants.Reprenons les donnes sur les temps de parcours, une fois regroupes par classes de 10 min. Soit :

Temps [0 ; 10[ [10 ; 20[ [20 ; 30[ [30 ; 40[ [40 ; 50[ [50 ; 60[ [60 ; 70[ [70 ; 80[ [80 ; 90]

Effectif 61 90 84 5 5 2 1 0 2

Construisons maintenant le tableau des effectifs cumuls croissants. On obtient :

Temps < 0 < 10 < 20 < 30 < 40

Effectif 0 61

Temps < 50 < 60 < 70 < 80 90

Effectif 240 + 5 = 245 245 + 2 = 247 247 +1= 248 248 + 0 = 248 248 + 2 = 250

Pour chaque temps correspondant une borne de lune des tranches, on indique le nombre dlves dont le temps de parcours est infrieur (ou strictement inf-rieur, a dpend des intervalles choisis) ce temps.

Pour t = 10 : il y a 61 lves dans la classe [0 ; 10[ , donc 61 lves dont le temps de parcours est infrieur 10 minutes.

Pour t = 20 : il y a 61 lves dans la classe [0 ; 10[ et 90 lves dans la classe [10 ; 20[, donc 151 lves dont le temps de parcours est infrieur 20 minutes.

Pour t = 30 : il y a 151 lves dont le temps de parcours est infrieur 20 minu-tes et 84 lves dans la classe [20 ; 30[ , donc 235 lves dont le temps de par-cours est infrieur 30 minutes.

61 90 151+ =61 90 151+ = 151 84 235+ =151 84 235+ = 235 5 240+ =235 5 240+ =


14 Squence 4 MA20

et ainsi de suite.

Leffectif cumul de la dernire valeur (ici 90 minutes) est ncessairement leffec-tif total, cest--dire 250.

Pour des raisons de reprsentation graphique (voir ci-aprs), on peut mettre une premire colonne correspondant la toute premire valeur de la premire classe. Leffectif cumul correspondant est ncessairement 0 (aucun lve na un temps de parcours infrieur au plus petit temps relev ! ).

Faisons maintenons une reprsentation graphique de ce tableau des effectifs cumuls croissants.

Pour ce faire, on place sur un graphique les points dont les coordonnes sont les deux valeurs de chaque colonne : les modalits du caractre (ici les temps) en abscisse, les effectifs cumuls en ordonne.

On relie alors chaque point par un segment de droite (voir graphique ci-des-sous).

10

20Tempsde parcours

Effectifscumuls

20 26 30 40 50 60 70 80 90

40

50

100

150

200

250


15Squence 4 MA20

Ce choix (de relier les points par des segments de droite) revient considrer que les valeurs du caractre sont rgulirement distribues lintrieur de chaque classe.

Par exemple, on a reprsent les points de coordonnes 30 ;235 et 40 ;240 ,( ) ( )ce qui signifie quil y a 5 ( 240 - 235 ) temps de parcours dans la classe [30 ; 40[ (ici on la savait dj, mais parfois on peut avoir un tableau deffectifs cumuls sans avoir le tableau des effectifs).

Relier ces deux points par un segment de droite revient faire comme si ces 5 temps taient rpartis rgulirement dans lintervalle [30 ; 40[ : par exemple comme si on avait 30, 32, 34, 36, 38.

Ce nest videmment pas forcment vrai (ici on sait que cest faux car on connait le tableau dtaill des temps de parcours, mais souvent on ne le sait pas si lon a directement les regroupements par classe sans avoir le tableau dtaill).

Cette ide de rgularit entre chaque point connu permet de faire des extra-polations (cest--dire des sortes de dductions partir de donnes partielles) sur les valeurs du caractre, bien sr si lon na pas le tableau dtaill de ces valeurs.

Par exemple on a extrapol, sur le graphique, le 200me temps de parcours. On a trouv quil tait denviron 26 minutes. Bien sr, avec le tableau dtaill des valeurs, on sait que ce 200me temps est de 25 minutes, mais si lon navait que le tableau des regroupements par classe, on nen saurait rien.

Ce type de graphique est appel polygone des effectifs cumuls crois-sants.

A partir du deuxime regroupement par classes damplitudes ingales (voir exemple du b) ), construire le tableau des effectifs cumuls croissants, puis le graphique correspondant (polygone des effectifs cumuls croissants).

A laide de ce graphique, extrapoler le 200me temps de parcours.

Comparer avec la valeur extrapole ci-dessus.

Cours Une caractristique de position, la moyenne

a) Calcul de la moyenne

Pour caractriser une srie statistique, on peut la rsumer par une (ou des) caractristique(s).

La plus simple, et qui positionne la srie, est la moyenne.

Supposons donne une srie statistique caractre quantitatif discret.

On note x ix les valeurs du caractre, n i les effectifs et f if les frquences correspon-dants.

ExempleExemple

BB


16 Squence 4 MA20

Valeurs du caractre x1 x2 ... ...

Effectif n1 n2 ... ...

Frquence f1 f2 ... ...

Dfinition

La moyenne de la srie est la valeur du caractre calcule par :

xn x n x n x

n n nf x f xp p

p=

+ + +

+ + += + +

1 1 2 2

1 21 1 2 2

...

....... .+ f xp p

Chaque frquence se calcule par : fn

n n nii

p=

+ + +1 2 ...ce qui justifie lgalit

ci-dessus.

La notation x , qui se lit x barre , est une notation habituelle pour une xmoyenne. On reprend la lettre gnrique utilise pour noter les valeurs du carac-tre (ici x ) et on met une barre au-dessus.xAvec le signe de sommation (la lettre grecque , qui se lit sigma , signifie que

lon veut calculer une somme) la moyenne scrit : x

n x

n

f xi i

i

p

ii

p i ii

p= =

=

=

=

1

1

1.

On note souvent, car on lutilise souvent, leffectif total par une lettre.

Par exemple : N nii

p=

=

1

. On peut alors crire la moyenne :

x

n x

N Nn x

i ii

p

i ii

p= =

=

=

1

1

1.

Vous devez bien comprendre toutes ces faons diffrentes dcrire la mme chose.

xpxp

npnp

fpfp

ImportantImportant

Il est important de comprendre que N x , cest dire la moyenne, multiplie par leffectif total, donne lade la srie.

Proprit

Il est important de comprendre que N x , cest dire la moyenne, multiplie par leffectif total, donne la somme de toutes les valeursde la srie.


17Squence 4 MA20

Cela provient directement du calcul : xN

n xi ii

p=

=

11

, et nous servira souvent.

En effet, en multipliant par N les deux termes de lgalit prcdente, on Nobtient :

N x NN

n xi ii

p =

=

11

soit N x n xi ii

p =

=

1

qui est bien la somme de toutes les

valeurs de la srie.

Dans lactivit , le temps total de trajet des 250 lves pour venir au lyce est : 250 18 4 4600 =, min.On peut vrifier que lon trouverait la mme chose en ajoutant tous les temps de trajet des 250 lves : 0 1 1 4 2 5 3 4 90 1 4600 + + + + + =... min.

A vrifier vous-mme, par exemple en regardant le calcul du temps de parcours moyen fait dans lactivit 2.

Dans le cas dun caractre quantitatif continu, donn sous forme de classes, on prend le centre de chaque classe comme valeur du caractre pour calculer la moyenne.

Remarque

Le choix des classes pour le regroupement aura donc une influence sur la valeur calcule de la moyenne.

Si nous prenons les temps de parcours de lactivit , nous avons vu que la moyenne calcule aprs regroupement par classes de 10 minutes est diffrente de celle calcule avec les donnes brutes : 18 minutes au lieu de 18,4 minutes.

Nous avons fait un deuxime regroupement : calculons la moyenne obtenue aprs ce regroupement.

Ce regroupement donne :

Temps de parcours (en minutes) [0 ; 5[ [5 ; 10[ [10 ; 20[ [20 ; 30[ [30 ; 90]

Effectif 21 40 90 84 15

Pour calculer le temps de parcours moyen avec les donnes groupes ainsi, on calcule le temps de parcours total des 250 lves en prenant pour chaque classe la valeur centrale, et on divise ce total par 250 :

Total 4702,= + + + + =2 5 21 7 5 40 15 90 25 84 60 15, , 55.

Moyenne minutes.= =4702 5

25018 81

,,

Enfin, faisons un regroupement par classes de 30 minutes et calculons la moyenne.


ExempleExemple


ExempleExemple


18 Squence 4 MA20

Ce regroupement donne :

Temps de parcours (en minutes) [0 ; 30[ [30 ; 60[ [60 ; 90]

Effectif 235 12 3

Pour calculer le temps de parcours moyen avec les donnes groupes ainsi, on calcule le temps de parcours total des 250 lves en prenant pour chaque classe la valeur centrale, et on divise ce total par 250 :

Total 4290.= + + =15 235 45 12 75 3

Moyenne minutes.= =4290250

17 16,

Vous pouvez constater que ces moyennes sont toutes diffrentes.

b) Proprits de la moyenne

Supposons donne une srie statistique caractre quantitatif.

On note xi les valeurs du caractre (ou les centres des classes), x la moyenne.

Thorme

Si toutes les valeurs du caractre sont multiplies (ou divises) par une constante a, sans changer les effectifs, la moyenne est elle-mme multiplie (ou divise) par a.

Si on ajoute (ou retranche) une mme constante b toutes les valeurs du caractre, sans changer les effectifs, la moyenne est elle-mme augmente (ou diminue) de b.

Cela est assez naturel et rsulte simplement du calcul dune moyenne.

Si lon a multipli les valeurs par a la nouvelle moyenne, que lon notera a mvaut :

mn x n x n x

n n n

np p

p=

+ + +

+ + +=

1 1 2 2

1 2

a a a a...

...

( 11 1 2 2

1 2

x n x n x

n n np p

p

+ + +

+ + +

...

...

)

mn x n x n x

n n nxp p

p=

+ + +

+ + += a a

( )1 1 2 2

1 2

...

....

Si lon a ajout b toutes les valeurs, la nouvelle moyenne, que lon notera b Mvaut :

Mn x n x n x

n n np p

=

+ + + + + +

+ + +1 1 2 2

1 2

( ) ( ) ( )b b b...

... pp

Mn x n x n x n n n

np p p

=

+ + + + + + +

+

( ) ( )1 1 2 2 1 2

1

... ...b b b

nn np2 + +...



19Squence 4 MA20

Mn x n x n x

n n n

n np p

p=

+ + +

+ + ++

+ +( ) (1 1 2 2

1 2

1 2...

...

....

...

+

+ + += +

n

n n nxp

p

).

bb

1 2

Si nous prenons les temps de parcours de lactivit , et si nous supposons que tous les lves font laller et le retour chaque jour, nous pouvons calculer leur temps de trajet quotidien, en multipliant les temps par 2, et mme hebdomadaire (en comptant 5 jours de classe par semaine) en les multipliant par 10.

Temps de parcours (en min) 0 1 2 3 4 5 6 7

Dure trajet quotidien 0 2 4 6 8 10 12 14

Dure trajet hebdomadaire 0 10 20 30 40 50 60 70

Effectif (inchang) 2 4 5 4 6 1 9 2

Le temps de trajet quotidien moyen sera obtenu directement en multipliant par 2 la moyenne trouve lactivit :

dure moyenne du trajet quotidien = =2 18 4 36 8, , min.

Le temps de trajet hebdomadaire moyen sera obtenu directement en multipliant par 10 la moyenne trouve lactivit :

dure moyenne du trajet hebdomadaire = =10 18 4 184, min.

De mme, on peut calculer le temps scolaire journalier (trajet aller retour et temps de prsence au lyce) de chaque lve. Pour cela il faut multiplier par 2 les temps donns dans lactivit , et ajouter 9 heures (de 8h 17h) de prsence, soit 540 minutes.

Temps de parcours (en min) 0 1 2 3 4 5 6 7

Temps scolaire quotidien 540 542 544 546 548 550 552 554

Effectif (inchang) 2 4 5 4 6 1 9 2

Le temps scolaire quotidien moyen sera obtenu directement en multipliant par 2 la moyenne trouve lactivit et en ajoutant 540 :

temps scolaire journalier moyen = + =2 18 4 540 576 8, , min.

Supposons que lon sintresse un caractre quantitatif pour une popu-

lation deffectif total N. Supposons que cette population soit partage en deux Ngroupes, lun deffectif p pour lequel la moyenne du caractre estp m1 , et lautre deffectif q (avecq p q N+ = ) pour lequel la moyenne du caractre est m2 .

On note x la moyenne du caractre pour la population entire.

Thorme

Si une population deffectif total N est partage en deux grou-

pes, lun deffectif p de moyennem1 , lautre deffectif q (avec

p q N+ = ) et de moyennem2 , la moyenne de la population

entire est : xp m q m

N=

+ 1 2 .

ExempleExemple


20 Squence 4 MA20

Cela rsulte du fait que p m 1 est la somme de toutes les valeurs du caractre pour le premier groupe, et que q m 2 est la somme de toutes les valeurs du ca-ractre pour le deuxime groupe.p m q m + 1 2 est donc la somme de toutes les valeurs du caractre pour la po-pulation totale.

La moyenne sobtient en divisant cette somme par leffectif total N.

Revenons nos 250 lves de seconde, dont 138 sont des filles et 112 des garons.

La fiche de renseignements nous a donn la taille de chaque lve et nous avons calcul que la taille moyenne des filles est 1,66 m, et la taille moyenne des gar-ons 1,72 m.

Calculons la taille moyenne des 250 lves.

Le total des tailles des filles est : 1 66 138 229 08, , = .

Le total des tailles des garons est : 1 72 112 192 64, , = .

Le total des tailles des 250 lves est : 1 66 138 1 72 112 229 08 192 64 421 72, , , , , + = + = .

La taille moyenne des 250 lves est donc :

1 66 138 1 72 112250

421 72250

1 68688, , ,

, +

= = soit environ 1,69 m.

Moyenne lague .

Lorsquune des modalits dune srie statistique parat non significative, ou erro-ne, on ne tient pas compte de cette valeur pour calculer la moyenne. On dit alors que lon calcule une moyenne lague.

Dfinition

On appelle moyenne lague dune srie statistique, une moyenne cal-cule sans tenir compte des valeurs aberrantes de cette srie.

On a relev les tailles de 80 lves de seconde. On a obtenu le tableau sui-vant :

Taille en m 1,60 1,63 1,68 1,70 1,72 1,75 1,78 1,85 3,86

Effectif 1 6 8 17 10 14 12 9 3

Calculer la moyenne de cette srie, ou une moyenne lague si ncessaire.

On a relev les salaires mensuels de 80 salaris dune entreprise. On a obtenu le tableau suivant :

Salaire en 1600 1630 1680 1700 1720 1750 1780 1850 3860

Effectif 1 6 8 17 10 14 12 9 3


ExempleExemple

ExempleExemple


21Squence 4 MA20

Calculer la moyenne de cette srie, ou une moyenne lague si ncessaire.

Rponses.

Dans cette srie, on voit tout de suite que la dernire modalit est incohrente. En effet elle ne peut en aucun cas correspondre une taille dlve. On va donc ici la ngliger, et calculer une moyenne lague.

On aura donc une taille moyenne de : 1 60 1 1 63 6 1 85 9

1 6 9133 4, , , , + + +

+ + +=

......

3377

1 73 , m.

Dans cette srie, par contre, la dernire modalit nest pas du tout incohrente. En effet elle peut tout fait correspondre un salaire mensuel, et le fait que ce salaire soit le double du prcdent nest pas du tout aberrant dans une chelle de rmunrations.

On aura donc un salaire mensuel moyen de :

1600 1 1630 6 1850 9 3860 31 6

+ + + +

+ + +

...

... 99 3145010

801812 63

+= , .

c) Utilisation dune calculatrice ou dun logiciel (tableur)

Les calculs faits dans le cours sont dvelopps pour vous permettre de com-prendre les notions.

Mais dans la pratique, y compris dans les exercices et les devoirs (sauf avis contraire), vous effectuerez ces calculs laide de votre calculatrice ou dun ordi-nateur.

Calculer une moyenne, une mdiane, reprsenter une srie laide dune cal-culatrice TI 82 Stats.fr (les procdures sont identiques ou trs voisines pour les autres modles de TI).

Il faut dabord saisir les donnes (ici,celles de lactivit sur la taille desfamilles des 250 lves de seconde).

Appuyer sur la touche stats , puis choi-sir le menu EDIT , suivi de entrer .

Sur lcran apparat alors lditeur de listes, dans lequel on se dplace avec les touches .On tape chaque valeur du caractre ( xi ) dans une colonne (par exemple L1 ), et chaque effectif ou frquence ( ni ) dans une autre colonne (par exemple L2 ).

Pour effacer une liste complte, on place le curseur sur le haut de la colonne (par exemple L1 ), on tape sur la touche annul , suivie de entrer .

SaisieSaisie

EffacementEffacement


22 Squence 4 MA20

Appuyer de nouveau sur la touche stats , puis choisir le menu CALC ,

suivi de entrer .

Sur lcran apparat alors lindication Stats 1-Var et le curseur clignote.

Taper alors L1 , L2 pour indiquer, dans lordre, la liste des valeurs et celle des effectifs.

(touches 2nde des touches 1 et 2 , et touche situe au-dessus de la touche 7 ).

Appuyer sur entrer , et apparat lcran la liste des paramtres de la srie statisti-que :moyenne ( x ), somme de toutes les valeurs (x), effectif total (n), mdiane (Med), quartiles (Q1, Q3), etc.

On peut reprsenter une srie statistique par un histogramme ou par un dia-gramme en bote aprs avoir saisi les donnes.

Appuyer sur la touche graph stats(touche 2nde de la touche f(x) ), puis sur entrer (ce qui slectionne le dessin n1 : Graph1).

On place le curseur sur ON que lon valide par entrer , puis sur le type de graphique ou que lon valide par entrer . On renseigne alors la ligne ListeX avec L1 , pour indiquer la liste des valeurs, et la ligne Effectifsavec L2 , pour indiquer la liste des effectifs.

On affiche alors le (ou les) graphique(s) en appuyant sur la touche graphe .

Calculer une moyenne, une mdiane, reprsenter une srie laide dune cal-culatrice Casio GRAPH 25 (les procdures sont identiques ou trs voisines pour les autres modles de Casio).

Il faut dabord saisir les donnes.

Dans le menu gnral, slectionner licne STAT (ou LIST ), et appuyer sur ENTER .

Sur lcran apparat alors lditeur de listes, dans lequel on se dplace avec les touches .

CalculCalcul

GraphiquesGraphiques

SaisieSaisie


23Squence 4 MA20

On tape chaque valeur du caractre ( xi ), suivi de ENTER , dans une colonne (par exemple List 1 ), et chaque effectif ou frquence ( ni ), suivi de ENTER , dans une autre colonne (par exemple List 2 ).

Pour effacer une liste complte, on place le curseur sur un lment de la liste, on slectionne DEL-A (touche F4 ), suivie de YES .

En bas de lditeur de listes se trouve un menu droulant horizontal.

On active le sous-menu CALC en appuyant sur la touche F2 , puis le menu SET .

On renseigne alors la ligne 1Var Xlist avec List 1 , pour indiquer la liste des valeurs, et la ligne 1Var Freq avec List 2 , pour indiquer la liste des effectifs.

Taper alors EXIT .

Slectionner enfin le menu 1 VAR en appuyant sur la touche F1 .Apparat lcran la liste des paramtres de la srie statistique :moyenne ( x ), somme de toutes les valeurs (x), effectif total (n), mdiane (Med), etc.

On peut reprsenter une srie statistique par un histogramme ou par un dia-gramme en bote aprs avoir saisi les donnes.

Dans lditeur de listes on active le sous-menu GRPH en appuyant sur la touche F1 , puis le menu SET .

On renseigne alors la ligne Graph Typeavec le type de graphique souhait, en vali-dant une des options du menu horizontal du bas de lcran, puis la ligne XList avec List 1 , pour indiquer la liste des valeurs, et

la ligne Frequency avec List 2 , pour indi-quer la liste des effectifs.

On valide lcran (ou on QUIT ).

On affiche alors le graphique en validant GRPH , puis GPH1 .

Calculer une moyenne, une mdiane, reprsenter une srie laide dun tableur.

Il faut dabord saisir les donnes, que lon met dans deux colonnes, une pour les va-leurs du caractre (par exemple la colonne A), une pour les effectifs (ou frquences) correspondants (par exemple la colonne B). Ici il y a 10 valeurs.

Pour les calculs, on utilise les fonctions statistiques prsentes dans la plupart des tableurs, cest dire :

EffacementEffacement

CalculsCalculs


SaisieSaisie

CalculsCalculs


24 Squence 4 MA20

MOYENNE, MEDIANE, QUARTILE, FREQUENCE, SOMME, MIN, MAX, lorsque les valeurs de la srie sont toutes numres dans une colonne (cest dire que les effectifs sont tous gaux 1).

Sinon, dans le cas o les valeurs sont regroupes avec leur effectif (ou frquence) dans une deuxime colonne, il faut faire les calculs intermdiaires avec le ta-bleur.

On calcule dans la colonne C les produits des valeurs (colonne A) par leur effec-tif (colonne B) en crivant dans la cel-lule C2 : =A2*B2 , et en tirant la formule vers le bas jusqu la dernire valeur.

Dans deux cellules libres (par exemple B12 et C12) on calcule les sommes des colonnes B et C (effectif total et som-me de toutes les valeurs) en crivant : =SOMME(B2 :B11) et =SOMME(C2 :C11).

La moyenne sobtient alors en divisant la somme des valeurs par leffectif total, en crivant dans une cellule libre (par exemple C13) : =C12/B12.

On peut reprsenter une srie statisti-que par un histogramme ou par un dia-gramme en bote aprs avoir saisi les donnes, lorsque les valeurs de la srie sont toutes numres dans une colonne (cest dire que les effectifs sont tous gaux 1).

On utilise alors lassistant graphique.

Sinon, dans le cas o les valeurs sont regroupes avec leur effectif (ou frquence) cest plus difficile.

Dautres caractristiques de position, la mdiane, les quartiles

a) Mdiane dune srie statistique.

Supposons donne une srie statistique caractre quantitatif, les valeurs du caractre tant ranges par ordre croissant (ou dcroissant).

Dfinition

La mdiane de la srie est une valeur du caractre qui partage la srie en deux groupes (lun des valeurs infrieures la mdiane, lautre des valeurssuprieures) de mme effectif.

Cela signifie que 50 % de la population a une valeur du caractre infrieure la mdiane, et que 50 % de la population a une valeur du caractre sup-rieure cette mdiane.

MoyenneMoyenne




25Squence 4 MA20

Dans lune des classes de seconde prcdemment voques, on a relev la taille des lves, et obtenu :

cm150 155 160 162 163 165 166 167 168 170 173 174 176 178 179

Effectif 1 1 2 1 2 3 1 2 1 1 2 1 1 3 1

Dterminez la mdiane de cette srie.

Dans une autre classe de seconde, on a aussi relev la taille des lves, et obtenu :

cm157 159 162 163 164 165 166 167 169 171 173 176 177 178 180

Effectif 1 2 2 1 3 3 1 3 1 2 2 4 5 1 3

Dterminez la mdiane de cette srie.

Rponses.

Dans cette srie, nous avons 23 donnes classes par ordre croissant. Si nous prenons la 12me valeur, cest--dire ici 167, nous aurons bien partag la srie en deux parties de mme effectif.

La mdiane de cette srie est donc 167 cm.

Dans cette srie, nous avons 34 donnes classes par ordre croissant. Si nous prenons une valeur comprise entre la 17me et la 18me valeur, cest--dire ici entre 169 et 171, nous aurons bien partag la srie en deux parties de mme effectif.

On peut prendre la valeur situe au milieu, 170.

La mdiane de cette srie sera donc 170 cm.

Quand le caractre est quantitatif discret, et que leffectif est impair, la

mdiane est une valeur de la srie. Cest la valeur centrale, pour laquelle il y a

exactement N 12

valeurs infrieures et N 12

valeurs suprieures.

Quand le caractre est quantitatif discret, et que leffectif est pair, la mdiane nest pas une valeur de la srie. On peut prendre pour mdiane nim-porte quelle valeur entre les deux valeurs centrales. On prendr souvent la demi-somme de ces deux valeurs.e

Remarque

b) Quartiles dune srie statistique.

Supposons donne une srie statistique caractre quantitatif, les valeurs du caractre tant ranges par ordre croissant (ou dcroissant).

ExempleExemple


26 Squence 4 MA20

Dfinition

Les quartiles de la srie sont trois valeurs du caractre qui partagent la srie en quatre groupes de mme effectif.

On les note souvent Q1, Q2 et Q3 par ordre croissant, et Q2 est lamdiane.

Cela signifie que 25% de la population a une valeur du caractre infrieure Q1, 25% de la population une valeur du caractre comprise entre Q1 et la mdiane, 25% une valeur comprise entre la mdiane et Q3, et 25% une valeur suprieure Q3.

Reprenons les deux exemples ci-dessus.

Pour la premire srie les quartiles sont :

Q1 = 163 Q2 = 167 = Mdiane Q 3 = 174

Pour la deuxime srie les quartiles sont :

Q1 = 164 Q2 = 170 = Mdiane Q3 = 177

Comme pour la mdiane, la dtermination des quartiles est parfois sujette discus-sion quant au choix de la valeur choisir.

En ralit, la prcision nest pas fondamentale : ce qui compte cest de dcouper lapopulation en deux ou quatre parties de mme effectif, environ.

Remarque

Lorsque leffectif total est trs grand (plusieurs centaines de donnes), la prci-sion na pas dimportance (par exemple pour les 250 lves, on peut dcouper la population en quatre groupes de 62, 63, 63 et 62 personnes, ou 63, 62, 62 et 63 personnes, sans que cela change grand-chose.Par contre, lorsque leffectif total est faible, cette prcision semble plus impor-tante ; en ralit, il faut comprendre que faire des statistiques sur un petit nom-bre de valeurs nest pas trs intressant, en particulier dcouper un petit effectif en quatre groupes reprsentatifs na pas beaucoup de sens.Cest le cas de nos deux exemples ci-dessus.

c) Dtermination graphique de la mdiane ou des quartiles dune srie statistique.

Supposons donne une srie statistique caractre quantitatif continu, les valeurs du caractre tant ranges en classes par ordre croissant (ou dcroissant).

On peut dterminer facilement dans quelle classes se trouve la mdiane (ou un quartile), mais si leffectif de cette classe est important, on ne saura pas bien comment dterminer plus prcisment cette mdiane.


ExempleExemple



27Squence 4 MA20

On peut alors utiliser une mthode graphique pour donner une valeur plus signi-ficative.

Pour cela on utilise le polygone des effectifs cumuls (croissants ou dcrois-sants), dfini lactivit , et on dtermine, par extrapolation, la valeur du carac-tre correspondant la moiti (ou un quart, ou trois quarts) de leffectif total.

On considre que cette valeur est une bonne approximation de la mdiane (ou du premier quartile, ou du troisime quartile).

Reprenons les temps de parcours de lactivit , aprs regroupement par classes de 10 minutes.

Construisons le polygone des effectifs cumuls croissants, correspondant au tableau ci-dessous.

minutes)Effectif

Effectif cumul croissant

Cest dire nombre dlves dont le temps de parcours est :

0 infrieur 0 min

[0 ; 10[ 61 61 infrieur 10 min

[10 ; 20[ 90 151 infrieur 20 min

[20 ; 30[ 84 235 infrieur 30 min

[30 ; 40[ 5 240 infrieur 40 min

[40 ; 50[ 5 245 infrieur 50 min

[50 ; 60[ 2 247 infrieur 60 min

[60 ; 70[ 1 248 infrieur 70 min

[70 ; 80[ 0 248 infrieur 80 min

[80 ; 90] 2 250 infrieur 90 min

On commence le graphique (voir page suivante) par un effectif de 0 pour une abscisse de 0 min car il ny a aucun lve dont le temps de parcours soit infrieur 0 minutes.

On poursuit par un effectif de 61 pour 10 minutes. Puis un effectif de 151 pour 20 minutes, et ainsi de suite.

On relie ensuite ces points pour construire le polygone.

On repre, en ordonnes, le quart et la moiti de leffectif, et on lit, en abscisses, les valeurs approximatives du premier quartile et de la mdiane :

ExempleExemple


28 Squence 4 MA20

20

Tempsde parcours

Effectifscumuls

M

25%

50%

Q1 30 40 50 60 70 80 90

40

50

100

150

200

250

On trouve par exemple : Q ; Mdiane .1 10 1 17 ,

Un quart des lves a un temps de parcours infrieur 10,1 min, la moiti un temps de parcours infrieur 17 min.

On voit sur cet exemple que Q1, correspondant 25% de la population, correspond un effectif virtuel de 62,5 lves.On lit Q .1 10 1 ,Si lon avait pris la 62me valeur on aurait eu : Q ,1 10=si lon avait pris la 63me valeur on aurait eu : Q1 10= galement.

La diffrence est sans signification pour ce type de renseignement.

De mme la mdiane relle , cest dire la valeur entre les 125me et 126me

donnes, est 19 minutes alors que sur le graphique, on a lu une valeur mdiane de17 minutes. Cela est d au regroupement par classes.

Remarque


29Squence 4 MA20

Des caractristiques de dispersion, ltendue, lcart inter-quartile

Les caractristiques vues prcdemment (moyenne, mdiane, quartiles) permet-tent de positionner la srie statistique. On va voir maintenant comment ca-ractriser sa dispersion.

a) Ltendue dune srie statistique.Pour mesurer la dispersion dune srie, la premire caractristique, extrmement simple, que lon utilise est ltendue (que vous avez dj rencontre en col-lge).Supposons donne une srie statistique caractre quantitatif.On note xmax et xmin les valeurs maximale et minimale du caractre.

Dfinition

Ltendue dune srie statistique est gale : xmax xmin.

La signification de ltendue est vidente : cest lcart entre la plus petite et la plus grande valeur du caractre.

On peut le visualiser ainsi :

Prenons les temps de parcours de lactivit .

Vous avez dj calcul ltendue qui est de : 90 0 90 = min.

b) Lcart interquartile dune srie statistique.La deuxime caractristique que lon dfinit est lintervalle interquartile.

Supposons donne une srie statistique caractre quantitatif.On note Q1 et Q3 les premier et troisime quartiles.

Dfinition

Lintervalle interquartile est lintervalle : Q ; Q .1 3 Lcart interquartile est gal : Q Q .3 1

La signification de lintervalle interquartile est que les 50% centraux des valeurs de la srie se trouvent dans cet intervalle.

On peut le visualiser ainsi :


50%

X min X maxMdiane

tendue

50%50%

X min X maxMdiane

tendue

50%

ExempleExemple



30 Squence 4 MA20

50%

Q1 Q3X min X maxMdiane

cart interquartile

25%25%

Prenons les temps de parcours de lactivit .

Quel est lintervalle interquartile ?

On peut vrifier que Q ,1 10= et Q .3 23=

Lintervalle interquartile est donc lintervalle 10 23; . c) Rsum dune srie statistique par un indicateur de position et un de dispersionOn rsume souvent les sries statistiques en donnant un indicateur de position et un de dispersion.

Les couples choisis sont en gnral : la moyenne et ltendue ou la mdiane et lintervalle interquartile (vous verrez en classe de premire un autre couple pos-sible : moyenne et cart type).

Moyenne et tendue

On peut rsumer une srie statistique par le couple moyenne tendue.

Prenons les temps de parcours de lactivit .On peut rsumer cette srie en disant que le temps de parcours moyen est de 18,4 min, et que ltendue est de 90 min.

Ce couple moyenne tendue a linconvnient dtre sensible aux valeurs extr-mes, lesquelles peuvent parfois masquer les caractristiques principales desautres valeurs de la srie. Cest particulirement gnant lorsque quelques valeursne sont en fait que des valeurs parasites : erreurs de mesure, dfaillances dunappareil de mesure, erreurs de report ou cas atypiques par exemple.

Remarque

Prenons encore les temps de parcours de lactivit .

On peut penser que les temps de parcours suprieurs 45 minutes ne sont pas significatifs de la situation du lyce, et plutt dus des cas trs particuliers. De mme aussi pour le temps de 0 minute (le fils et la fille du proviseur ! ).

Si on enlve ces 7 personnes (deux 0 min, une 50 min, une 55, une 60 et deux 90 min), on obtient une srie o le temps moyen de parcours est de 17,5 min environ (au lieu de 18,4) et ltendue de 44 min seulement (au lieu de 90).

La diffrence est assez sensible, surtout sur ltendue.

Mdiane et intervalle interquartile.

On peut rsumer une srie statistique par le couple mdiane intervalle interquartile.

ExempleExemple

ExempleExemple

ExempleExemple


31Squence 4 MA20

Ce couple mdiane intervalle interquartile est souvent reprsent gra-phiquement par un diagramme en bote, appel parfois bote mousta-ches ou bote pattes .

correspondant :

Prenons toujours les temps de parcours de lactivit .

On peut rsumer cette srie en disant que le temps de parcours mdian est de 19 min, et que lcart interquartile est de 13 min, puisque Q ,1 10= et Q .3 23=

Ce couple mdiane intervalle interquartile a lavantage dtre peu sensible aux valeurs extrmes. On dit quil est robuste par rapport aux valeurs extr-mes.

Remarque

Prenons encore les temps de parcours de lactivit .

Si lon prend les 250 lves de seconde, on a vu ci-dessus que le temps de parcours mdian tait de 19 min, et que l cart interquartile tait de 13 min ( Q ,1 10= et Q3 23= ).

Si lon lague les sept valeurs extrmes dfinies ci-dessus au et si lon prend les 243 autres lves de seconde, on a un temps de parcours mdian de 19 min encore, et un cart interquartile de 13 min encore (mais avec Q ,1 9= etQ3 22= ).

Synthse du cours Moyenne dune srie statistique

Dfinition

La moyenne dune srie est la valeur du caractre calcule par :

xn x n x n x

n n nf x f xp p

p=

+ + +

+ + += + +

1 1 2 2

1 21 1 2 2

...

....... .+ f xp p



cart interquartile


cart interquartile

ExempleExemple

ExempleExemple

CC


32 Squence 4 MA20

Mdiane, quartiles dune srie statistique

Dfinition

La mdiane dune srie est une valeur du caractre qui partage la srie en deux groupes (lun des valeurs infrieures la mdiane, lautre des valeurssuprieures) de mme effectif.

Dfinition

Les quartiles dune srie sont trois valeurs du caractre qui partagent la srie en quatre groupes de mme effectif.On les note Q1, Q2 et Q3 par ordre croissant, et Q2 est la mdiane.

Exercices dapprentissage

On donne la srie statistique :

Caractre xi 12 15 19 20 25 26 27

Effectif ni 35 5 5 6 1 21 30

Si toutes les valeurs du caractre sont (ou divi-ses) par une , sans changer les effectifs, la moyenne est elle-mme (ou divise) par .

Si on (ou retranche) une mme toutes les valeurs du caractre, sans changer les effectifs, la moyenne est elle-mme (ou diminue) de .

Thorme

Si toutes les valeurs du caractre sont multiplies (ou divi-ses) par une constante a, sans changer les effectifs, la moyenne est elle-mme multiplie (ou divise) par a.

Si on ajoute (ou retranche) une mme constante b toutes les valeurs du caractre, sans changer les effectifs, la moyenne est elle-mme augmente (ou diminue) de b.

Si une population deffectif total N est partage en deux groupes, lun deffectif p de moyenne m1 , lautre deffectif q (avec p q N+ = ) et de moyenne m2 , la moyenne de la population entire est :

xp m q m

N=

+ 1 2 .

Thorme

Si une population deffectif total N est partage en deux groupes, lun deffectif p de moyenne m1 , lautre deffectif q (avec p q N+ = ) et de moyenne m2 , la moyenne de la population entire est :

xp m q m

N=

+ 1 2 .

DD

Exercice 1Exercice 1


33Squence 4 MA20

Cochez la ou les bonnes rponses.

La mdiane de cette srie est :

o a. 20 o b. 25 o c. 6 o d. 1

Le 3me quartile de cette srie, Q3, est :

o a. 26 o b. 21 o c. 30 o d. 27

0n donne la srie statistique suivante, o il manque deux effectifs, mais dont on sait que la moyenne est x = 12 :

Caractre xi 7 10 11 12 13 14 17

Effectif ni 1 4 ? 6 ? 4 1

Les effectifs manquant peuvent tre :

o a. gaux 5 o b. non-gaux o c. gaux o d. on ne sait pas

La moyenne des salaires mensuels dune entreprise est 1200 . On ajoute un salaire de 1250 .

La nouvelle moyenne x est :

o a. x = 1200 o b. x = 1250

o c. 1200 1250< 13 o b. x > 15 o c. 13 15<

34 Squence 4 MA20

Le trait de Nice attribuait en 2003 aux 25 pays de lUnion Europenne un nom-bre de votes au Conseil de lU. E. suivant le tableau ci-dessous :

Pays Votes Pays Votes Pays Votes Pays Votes Pays Votes

Allemagne 29 Espagne 27 Hongrie 12 Luxembourg 4 Royaume-Uni 29

Autriche 10 Estonie 4 Irlande 7 Malte 3 Slovaquie 7

Belgique 12 Finlande 7 Italie 29 Pays-Bas 13 Slovnie 4

Chypre 4 France 29 Lettonie 4 Pologne 27 Sude 10

Danemark 7 Grce 12 Lituanie 7 Portugal 12 Tchquie 12

On sintresse au caractre nombre de votes .

Faites un tableau indiquant pour chaque modalit de ce caractre le nombre de pays concerns (effectif), puis un graphique en btons.

Calculer le nombre moyen de votes par pays, ainsi que ltendue de cette srie.

On sait que les 19 pays les moins peupls dEurope ont une population moyenne (en 2003) de 2,19 millions dhabitants par pays, et que les 23 pays les plus peu-pls dEurope (sauf Russie) ont une population moyenne (en 2003) de 23,70 millions dhabitants par pays.

Calculer, avec ces donnes, la population moyenne de lensemble des 42 pays.

Une autre source dinformation nous donne le tableau suivant qui regroupe par tranche de population (en 2003) les 42 pays dEurope (Russie non comprise).

Population (en millions) [0 ; 5[ [5 ; 10[ [10 ; 20[ [20 ; 30[ [30 ; 50[ [50 ; 90]

Nombre de pays 19 8 7 1 3 4

Reprsenter ces donnes par un histogramme.

Calculer la population moyenne dun pays.

Comparer avec celle que lon a calcule la question prcdente.

En dduire une estimation de la population totale de ces 42 pays.

Construire lhistogramme des effectifs cumuls croissants et en dduire, gra-phiquement, une estimation de la mdiane de cette srie.

Le tableau suivant regroupe par superficie les 31 pays les plus tendus du monde.

Superficie (en millions de km) 0,9 1 1,1 1,2 1,3 1,6 1,8 1,9 2 2,1 2,3

Nombre de pays 2 2 3 3 3 2 1 1 1 1 1

Superficie (en millions de km) 2,4 2,5 2,7 2,8 3,3 7,7 8,5 9,6 10 17,1

Nombre de pays 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1

Dterminer la mdiane, lintervalle interquartile.

Reprsenter cette srie par un diagramme en bote.

Dterminer la superficie moyenne de ces 31 pays. Comparer avec la mdiane.





35Squence 4 MA20

Activits

Introduction

En physique, en chimie, en biologie ou dans dautres domaines, lorsque lon ra-lise une exprience connue dans des conditions bien prcises, en gnral, on sait par avance le rsultat que lon va obtenir : si lon suspend une masse connue un ressort connu, on peut prvoir lallongement de ce ressort ; si lon verse de lacide sur du calcaire, on obtient une effervescence etc.

On dit que ces expriences sont dterministes.Mais, dans certains cas, mme si lon connat parfaitement les lments de lex-prience, on ne peut nanmoins pas en prvoir le rsultat : si on lance en lair une pice de monnaie parfaitement connue, on ne sait pas si elle va tomber sur pile ou sur face ; si on fait rouler sur la table un d parfaitement connu et quilibr, on ne peut savoir sur quel numro il va sarrter etc.

On parle alors dexpriences alatoires.Dans ce cas nous pourrons quand mme prvoir quels sont les rsultats pos-sibles (Pile ou Face pour la pice, 1, 2, 3, 4, 5 ou 6 pour le d), et essayer de prvoir quelle chance (ou risque) on a que ce soit un rsultat plutt quun autre qui se produise.

Voyons sur deux activits comment on peut procder, puis nous passerons au cours pour formaliser et approfondir.

Un d classique, parfaitement quilibr

On sapprte lancer un d classique, cubique, parfaitement quilibr, o les six faces sont numrotes de 1 6.

Quels rsultats peut-on avoir de ce lancer ? Peut-on prvoir avec quelle chance chacun dentre eux pourrait arriver ?

Rponses

Bien entendu, les rsultats possibles de ce lancer sont les numros 1, 2, 3, 4, 5 ou 6.

On pourrait aussi imaginer comme rsultat le fait que le d sarrte en quilibre sur une de ses artes : on dit alors quil est cass .

Pour simplifier lexemple, nous supposerons quil est rigoureusement impossible que le d sarrte autrement que sur lune de ses faces.

AA

3 Notion de probabilit


36 Squence 4 MA20

Nous navons donc que six rsultats possibles : n1, n2, n3, n4, n5 ou n6.

Dans cet exemple, le fait de lancer le d est une exprience alatoire (puisque son rsultat nest pas prvisible) qui na pas encore eu lieu.

Les rsultats possibles (n1, n2, n3, n4, n5 ou n6) sont appels les vne-ments lmentaires de cette exprience ou issues.

Puisque le d est parfaitement quilibr et que lon na aucun autre renseigne-ment, on peut penser que chaque numro a la mme chance darriver.

Comme il y en a 6, on pourra dire quil y a 1 chance sur 6 que le d tombe sur le n1, quil y a 1 chance sur 6 que le d tombe sur le n2, etc.

On pourrait aussi dire quil y a 10 chances sur 60 que le d tombe sur le n1, ou 5 chances sur 30.

Lide, intuitive, est que les 6 numros se rpartiraient quitablement si lon fai-sait 6 fois lexprience, ou 60 fois, ou 30 fois etc.

On va traduire ce nombre de chances par une fraction.

Le fait que le d tombe sur le n1 risque de se produire dans 1/6me

des cas, ou dans 10/60me des cas, ce qui est compatible avec le fait que : 1 6 10 60 5 30/ / / .= =

Le fait que le d tombe sur le n2 risque de se produire dans 1/6me des cas, etc.

Ce nombre, qui value la chance (ou le risque) quun rsultat (un vne-ment lmentaire) se produise est appel la probabilit de cet vnement.

On dira que la probabilit de lvnement lmentaire n1 est 16

.

Un d original, trs dsquilibr

On sapprte maintenant lancer un d beaucoup moins classique, ttradrique (cest dire quatre faces triangulaires) et trs dsquilibr (on a particulire-ment alourdi certains sommets du d pour quil tombe plus souvent sur certains numros).

Ses quatre faces sont numrotes de 1 4.

Quels rsultats peut-on avoir de ce lancer ?

Peut-on prvoir avec quelle chance chacun dentre eux pourrait arriver ?

Rponses

Bien entendu, les rsultats possibles de ce lancer sont les numros 1, 2, 3 ou 4.

On pourrait, l encore, imaginer comme rsultat le fait que le d sarrte en qui-libre sur une de ses artes, quil soit cass .

Pour simplifier lexemple, nous supposerons encore quil est rigoureusement impossible que le d sarrte autrement que sur lune de ses faces.

Nous navons donc que quatre rsultats possibles : n1, n2, n3 ou n4.




37Squence 4 MA20

Dans cet exemple, le fait de lancer le d est une exprience alatoire (puisque son rsultat nest pas prvisible) qui na pas encore eu lieu.

Les rsultats possibles (n1, n2, n3 ou n4) sont les vnements lmentai-res de cette exprience ou issues.

Puisque le d nest pas parfaitement quilibr, on na pas de raison de penser que chaque numro a la mme chance darriver.

Nayant pas dautre renseignement, on ne peut pas dterminer la chance darriver de chaque numro.

Information complmentaire pour pouvoir rpondre

On suppose maintenant que notre d a t test avant dtre vendu et que le test sur 5 000 lancers a donn les rsultats suivants :

Issues n1 n2 n3 n4

Nombre de fois o on la obtenue 495 505 1 010 2 990

Suite de la rponse

On peut donc supposer, vu le grand nombre de lancers effectus lors de ce test, que lon risque dobtenir, lorsquon lancera nous-mmes le d, les diffrents rsultats avec la mme frquence que celle observe dans le tableau.

On peut ainsi dire quil y a 495 chances sur 5 000 que le d tombe sur le n1, 505 chances sur 5 000 que le d tombe sur le n2, 1 010 chances sur 5 000 que le d tombe sur le n3 et 2 990 chances sur 5 000 que le d tombe sur le n4.

Lide, intuitive, est que les 4 numros se rpartiraient comme dans le tableau si lon refaisait 5 000 fois lexprience.

On va traduire ce nombre de chances par une fraction.

Le fait que le d tombe sur le n1 risque de se produire dans 495/5000 cas.




On dira que la probabilit de lvnement lmentaire n1 est 4955000

, celle

de lvnement lmentaire n2 est 5055000

, celle de lvnement lmentaire

n3 est 10105000

, et celle de lvnement lmentaire n4 est 29905000

.

Cette ide intuitive que lobservation dun grand nombre de cas permet de deviner la probabilit quun vnement se produise est aussi sous-jacente dans le premier exemple (d cubique bien quilibr).

Pour affirmer le fait que chaque vnement lmentaire a une probabilit de 16

,

on simagine ce qui se passerait si lon lanait le d un trs grand nombre de fois




38 Squence 4 MA20

(par exemple 6 000 fois) ; on aurait peu prs autant de fois chaque issue (ici environ 1 000 fois).

Car on sait trs bien que si on lance ce d 6 fois exactement, il y a trs peu de chances que lon obtienne exactement une fois chaque issue.

Cependant ces deux exemples sont assez diffrents dans leur faon dobtenir les probabilits de chaque issue :

pour le premier d, quilibr, un raisonnement sur lgalit des chances permet de conclure (mme si on peut avoir en tte ce qui se passerait si lon testait ce d en le lanant un grand nombre de fois),

pour le deuxime d, dsquilibr, aucun raisonnement ne suffit pour dtermi-ner les probabilits de chaque issue ; seul le tableau statistique du test permet de les dterminer.

Ce sont les deux principales faons de dfinir des probabilits : un raisonnement sur lexprience alatoire en question, une utilisation des frquences obtenues dans un tableau statistique.

Dans les deux exemples ci-dessus, nous pouvons remarquer deux choses :

les probabilits calcules sous forme de fractions sont toujours des nombres inf-rieurs 1 (on nimagine pas quun rsultat puisse avoir 7 chances sur 6 de se pro-

duire, donc une probabilit de 76

! )

en ajoutant les probabilits de toutes les issues possibles, on obtient exactement 1,

pour le d cubique, on a 16

16

16

16

16

16

;+ + + + + = 1

4955000

5055000

10105000

29905000

1+ + + = .

Remarque

Cours

Le langage des probabilits

a) Exprience alatoire, vnements lmentaires, univers

Dfinition

Une exprience alatoire est une exprience pour laquelle plusieurs issues sont possibles, sans que lon puisse prvoir celle qui se produira.

Les issues sont aussi appeles les vnements lmentaires, ou lesventualits.

BB


39Squence 4 MA20

Il est important, avant de commencer un exercice de probabilit, davoir bien compris lexprience alatoire dont on parle, et ses rsultats possibles (vne-ments lmentaires).

On veut lancer un d quatre faces et sintresser au numro obtenu.

Les vnements lmentaires sont : n1, n2, n3 et n4.

On veut lancer deux ds identiques quatre faces et sintresser aux deux numros obtenus.

Les vnements lmentaires sont :

(1 et 1), (1 et 2), (1 et 3), (1 et 4), (2 et 2), (2 et 3), (2 et 4), (3 et 3), (3 et 4) et (4 et 4), si lon ne peut pas distinguer les deux ds (sinon, avec deux ds distincts, (1 et 2) et (2 et 1) sont des issues diffrentes).

On veut lancer deux fois un d quatre faces et sintresser la somme des deux numros obtenus.

Les vnements lmentaires sont : 2, 3, 4, 5, 6, 7 et 8.

Dans lexemple lunivers de lexprience est : E = { n1 ; n2 ; n3 ; n4 }.

Dans lexemple lunivers de lexprience est :E = { (1 et 1) ; (1 et 2) ; (1 et 3) ; (1 et 4) ; (2 et 2) ; (2 et 3) ; (2 et 4) ; (3 et 3) ; (3 et 4) ; (4 et 4) }.

Dans lexemple dcrire lunivers de lexprience.

Vous remarquerez que lon note les ensembles avec des accolades, { et } , et que les issues sont spares par des points-virgules.

Remarque

b) vnements

Reprenons lexemple prcdent, o lon veut lancer deux ds identiques quatre faces et sintresser aux deux numros obtenus.

Au lieu de se demander si un rsultat prcis va se produire (aura-t-on le 1 et le 3 ?), on peut sintresser une possibilit plus large : aura-t-on deux numros impairs ?

Cela revient se demander si lon aura lune des issues (1 et 1), ou (1 et 3), ou (3 et 3).

Et donc, si lon aura lune des issues de lensemble : {(1 et 1) ; (1 et 3) ; (3 et 3)}.

Cet ensemble est caractristique du fait davoir deux numros impairs .

On dit que cest lvnement avoir deux numros impairs .


ExemplesExemples

Vocabulaire

On regroupe souvent toutes les issues dune exprience alatoire dans un mme ensemble, que lon appelle lunivers de lexprience.

Vocabulaire

On regroupe souvent toutes les issues dune exprience alatoire dans un mme ensemble, que lon appelle lunivers de lexprience.

ExemplesExemples


40 Squence 4 MA20

On peut de la mme faon dfinir dautres vnements, correspondant diff-rentes possibilits des issues : avoir un double , avoir deux numros dont la somme fasse 4 , avoir au moins un 1 , etc.

Chaque vnement pourra tre reprsent par lensemble de toutes les issues correspondantes :

{(1 et 1) ; (2 et 2) ; (3 et 3) ; (4 et 4)} est lvnement avoir un double ,

{(1 et 3) ; (2 et 2)} est lvnement avoir deux numros dont la somme fasse 4 ,

{(1 et 1) ; (1 et 2) ; (1 et 3) ; (1 et 4)} est lvnement avoir au moins un 1 .

On dit que ces issues sont les issues favorables lvnement (on devrait dire favorables ce quil se ralise).

On peut aussi considrer quun ensemble dissues quelconques reprsente un vnement, mme si lon ne peut pas le dcrire par une phrase :

{(1 et 1) ; (2 et 3) ; (2 et 4)} est un vnement.

Dfinition

On appelle vnement dune exprience alatoire, un ensemble dis-sues de cette exprience.Cest donc un sous-ensemble de lunivers.En gnral, un vnement traduit une possibilit que lon envisage pour le rsultat de lexprience.

Il est important de comprendre que, lorsque lexprience sera faite (on aura lanc nos deux ds), on pourra dire quun vnement est ralis si cest lUNE des issues qui le composent qui se ralise.

Si cest lissue (2 et 2) qui se ralise, lvnement avoir un double sera ra-lis ;

si cest lissue (3 et 3) qui se ralise, lvnement avoir un double sera ra-lis ;

si cest lissue (1 et 2) qui se ralise, lvnement avoir un double ne sera pas ralis.

Pour lexprience de lexemple a) ci-dessus, dcrire par une phrase lv-nement : S = {6 ; 7 ; 8}.

Dans le mme exemple, dcrire par ses issues lvnement : I = avoir une somme impaire .

Rponses.

Lvnement : S = {6 ; 7 ; 8} peut se dcrire, par exemple, par la phrase : ob-tenir deux numros dont la somme est suprieure ou gale 6 .

Lvnement : I = avoir une somme impaire est lvnement : I = {3 ; 5 ; 7}


ExempleExemple

ExemplesExemples


41Squence 4 MA20

Reprenons lexemple prcdent.Parmi les ensembles dissues que lon peut fabriquer, donc les v-nements, il y en a deux particuliers.1 Lensemble form de toutes les issues, autrement dit lunivers, est un vnement :

E = { (1 et 1) ; (1 et 2) ; (1 et 3) ; (1 et 4) ; (2 et 2) ; (2 et 3) ; (2 et 4) ; (3 et 3) ; (3 et 4) ; (4 et 4) }.

Cet vnement est sr de se raliser, puisquil contient toutes les issues possibles.

On lappelle parfois lvnement certain.

On pourrait le traduire par avoir un rsultat, mais peu importe lequel .

2 Lensemble form daucune des issues est aussi considr comme un vnement. On le note avec un symbole particulier, , qui se lit ensemble vide .

= { }.Cet vnement ne peut pas se raliser, puisquil ne contient aucune des issues possibles.

On lappelle parfois lvnement impossible.

On pourrait le traduire par ne pas avoir de rsultat , ce qui est impossible, puisquon aura forcment un rsultat lorsquon aura lanc nos ds, ou par une proprit manifestement impossible : avoir au moins un 5 , avoir une somme gale 9 ou avoir un double 6 .

Dfinitions

Soit une exprience alatoire, dont les issues sont notes a1, a2, a3, , an(on suppose quil y a n issues).n

On appelle vnement certain lvnement constitu de toutes les issues de lexprience, cest dire lunivers : E = { a1, a2, a3, , an }.

On appelle vnement impossible lvnement constitu daucune issue de lexprience, cest dire lensemble vide : = { }.

c) Schmas illustrant les issues dune exprience alatoire

Il est souvent bien pratique de reprsenter lunivers dune exprience alatoire par un schma qui montre bien comment on peut obtenir les diffrentes issues.

Ces schmas nous seront de plus bien utiles par la suite.

On trouve principalement trois types de schma.

Cas particuliers


42 Squence 4 MA20

Les diagrammes en forme de patate , qui permettent de sparer diffrentes catgories dissues :

Ici on a reprsent lunivers de lexemple , en sparant les vne-ments lmentaires correspondant au fait dobtenir un double .

Les tableaux double entre, lorsque deux critres structurent les issues :

Ici on a reprsent luniversde lexemple , en faisant apparatre les issues qui sob-tiennent de deux faons (ca-ses grises), et quil faudrait diffrencier si lon pouvait distinguer les deux ds (par exemple avec deux couleurs diffrentes).

Les schmas en arbre qui montrent une sorte de chronologie du droulement de lexprience :

Ici on a reprsent lunivers de lexemple , en faisant apparatre les issues qui sobtiennent de deux faons (flches pointilles), et quil faudrait diffrencier si lon pouvait distinguer les deux ds (par exemple avec deux couleurs diffrentes).

Reprsenter lunivers de lexemple par un diagramme en patate et par un tableau double entre.

Rponse.

Par un diagramme en patate :

ExempleExemple(1 et 2)

(2 et 3)

(1 et 3) (1 et 4)

(2 et 4) (3 et 4)

(1 et 1)

(3 et 3)

(2 et 2)

(4 et 4)

(1 et 2)

(2 et 3)

(1 et 3) (1 et 4)

(2 et 4) (3 et 4)

(1 et 1)

(3 et 3)

(2 et 2)

(4 et 4)

ExempleExemple

ExempleExemple

1

(1;1)

2

1

Issues

2e d

1er d

(1;2)

3

(1;3)

4

(1;4)

1

(1;2)

2

2

(2;2)

3

(2;3)

4

(2;4)

1

(1;3)

2

3

(2;3)

3

(3;3)

4

(3;4)

1

(1;4)

2

4

(2;4)

3

(3;4)

4

(4;4)

1

(1;1)

2

1

Issues

2e d

1er d

(1;2)

3

(1;3)

4

(1;4)

1

(1;2)

2

2

(2;2)

3

(2;3)

4

(2;4)

1

(1;3)

2

3

(2;3)

3

(3;3)

4

(3;4)

1

(1;4)

2

4

(2;4)

3

(3;4)

4

(4;4)

ExempleExemple

3

8

2

7

54 6

3

8

2

7

54 6

1er d

2me d1 2 3 4

1 (1 et 1) (1 et 2) (1 et 3) (1 et 4)

2 (1 et 2) (2 et 2) (2 et 3) (2 et 4)

3 (1 et 3) (2 et 3) (3 et 3) (3 et 4)

4 (1 et 4) (2 et 4) (3 et 4) (4 et 4)


43Squence 4 MA20

Par un tableau double entre :

1er d

2me d1 2 3 4

1 2 3 4 5

2 3 4 5 6

3 4 5 6 7

4 5 6 7 8

Loi de probabilit

a) Probabilit dun vnement lmentaireReprenons les deux premiers exemples prcdents, au dbut du cours, et regar-dons quelle chance a-t-on que chacun des rsultats se produise.

Pour lexemple , o lon veut lancer un d quatre faces et sintresser au numro obtenu, les vnements lmentaires sont : n1, n2, n3 et n4.

Si le d est normal , on est dans le mme cas de figure que dans lactivit , et lon peut, en raisonnant sur lgalit des chances, admettre que chaque

issue a une chance sur quatre de se produire : on dira une probabilit de 14

.

Pour lexemple , o lon veut lancer deux ds identiques quatre faces et sin-tresser aux deux numros obtenus, les vnements lmentaires sont : (1 et 1), (1 et 2), (1 et 3), (1 et 4), (2 et 2), (2 et 3), (2 et 4), (3 et 3), (3 et 4) et (4 et 4).

Mais l, on ne peut pas raisonnablement supposer quil y a galit des chances, car on voit quil y a deux faons dobtenir le rsultat (1 et 2), suivant que le 1 est sur un d ou sur lautre, alors quil ny a quune faon dobtenir (1 et 1).

Comment calculer les chances de se produire de chaque issue ?

On va utiliser les schmas voqus prcdemment, en particulier un tableau double entre ou un schma en arbre.

Prenons le tableau.

Puisque chaque colonne cor-respond une issue pour le premier d, on peut dire quil y a galit de chance davoir une colonne plutt quune autre.

De mme pour les lignes puisquelles correspondent aux issues pour le deuxime d.

On peut ainsi admettre que toutes les cases du tableau ont la mme chance de se produire : soit une chance sur seize.

On peut alors en dduire la probabilit des diffrentes issues de lexprience alatoire :(1 et 1) correspond une case, on dira que sa probabilit est de

116

.

Il en est de mme pour toutes les issues doubles : (2 et 2), (3 et 3), (4 et 4).

1er d

2me d1 2 3 4

1 (1 et 1) (1 et 2) (1 et 3) (1 et 4)

2 (1 et 2) (2 et 2) (2 et 3) (2 et 4)

3 (1 et 3) (2 et 3) (3 et 3) (3 et 4)

4 (1 et 4) (2 et 4) (3 et 4) (4 et 4)


44 Squence 4 MA20

(1 et 2) correspond deux cases, on dira que sa probabilit est de 2

16.

Il en est de mme pour toutes les autres issues : (1 et 3), (1 et 4), (2 et 3), (2 et 4) et (3 et 4).

Dans dautres cas, comme dans lactivit , on a vu que ctait les donnes sta-tistiques qui permettaient de trouver la probabilit de chaque issue.

Remarque

Dfinitions

Lors dune exprience alatoire, dont les issues sont notes a1, a2, a3, , an,on peut attribuer chaque issue de cette exprience un nombre repr-sentant ses chances de se produire :

on dit que cest la probabilit de cette issue.

Lensemble des issues et de leurs probabilits constitue la loi de proba-bilit de lexprience alatoire.

On peut noter ces nombres avec des indices permettant de retrouver quelle issue chaque nombre correspond :

p1 est la probabilit de lissue a1, p2 est la probabilit de lissue a2, p3 est la pro-babilit de lissue a3, , pn est la probabilit de lissue an.On peut aussi noter ces nombres de manire fonctionnelle :

p1 = p(a1), p2 = p(a2), p3 = p(a3), , pn = p(an).

On a vu comme remarques la fin des activits et , que ces nombres sont ncessairement infrieurs 1 (et bien sr positifs), et que leur somme vaut 1. Ces proprits sont caractristiques des probabilits.

NotationNotation

Lors dune exprience alatoire, dont les issues sont notes a1, a2, a3, , an , la de chaque est un nombre :

pour nimporte quel indice i, 0 1 pi ou ( )i0 1 ( )p a ces probabilits vrifient :

p p p ... p1 2 3 1+ + + + =n (ou p p p p n( )+ ( )+ ( )+...+ ( )=1a a a a1 2 3 ).

Proprit

Lors dune exprience alatoire, dont les issues sont notes a1, a2, a3, , an , la probabilit de chaque issue est un nombre compris entre 0 et 1 :

pour nimporte quel indice i, 0 1 pi ou ( )i0 1 ( )p aDe plus, ces probabilits vrifient :

p p p ... p1 2 3 1+ + + + =n (ou p p p p n( )+ ( )+ ( )+...+ ( )=1a a a a1 2 3 ).


45Squence 4 MA20

Par exemple,

pour lexemple , o lon veut lancer deux ds identiques quatre faces et sin-tresser aux deux numros obtenus, les vnements lmentaires sont :

(1 et 1), (1 et 2), (1 et 3), (1 et 4), (2 et 2), (2 et 3), (2 et 4), (3 et 3), (3 et 4) et (4 et 4).

On a vu que : p p p p( et ) ( et ) ( et ) ( et )1 1 2 2 3 3 4 41

16= = = = (compris entre 0

et 1),

et que : p p p p p( et ) ( et ) ( et ) ( et ) (1 2 1 3 1 4 2 3 2= = = = et ) ( et )4 3 42

16= =p

(aussi entre 0 et 1).

De plus on a aussi :

p p p p p( et ) ( et ) ( et ) ( et ) (1 1 2 2 3 3 4 4 1+ + + + et ) ( et ) ( et )+

( et ) (

2 1 3 1 4

2 3 2

+ +

+ +

p p

p p eet ) ( et ) .4 3 4 41

166

216

1616

1+ = + = =p

, tablir la loi de probabilit (on pourra utiliser un tableau double entre).

Rponse.

Reprenons le tableau double en-tre de la page 107.

Puisque chaque colonne correspond une issue pour le premier d, onpeut dire quil y a galit de chance davoir une colonne plutt quune autre.

De mme pour les lignes puisquelles correspondent aux issues pour le deuxime d.

On peut ainsi admettre que toutes les cases du tableau ont la mme chance de se produire : soit une chance sur seize.

On peut alors en dduire la probabilit des diffrentes issues de lexprience alatoire :

2 correspond une case, on peut dire que sa probabilit est de 116

.Il en est de mme pour lissue 8.

3 correspond deux cases, on peut dire que sa probabilit est de 216


4 correspond trois cases, on peut dire que sa probabilit est de 316


Enfin, 5 correspond quatre cases, donc sa probabilit est 416

.

b) quiprobabilit

Le cas particulier de lexemple , ou de lactivit , o toutes les issues ont la mme probabilit de se produire, est trs frquent.

ExempleExemple

1er d

2me d1 2 3 4

1 2 3 4 5

2 3 4 5 6

3 4 5 6 7

4 5 6 7 8


46 Squence 4 MA20

Cette situation quil faut apprendre reconnatre, amne des calculs relative-ment simples.

Dfinition

Lors dune exprience alatoire, si toutes les issues ont la mme chance de se produire, on dit quil y a quiprobabilit (ou que les issues sontquiprobables).Les proprits nonces ci-dessus nous montrent que chaque issue aura alors comme probabilit :

p1n

= , o n est le nombre dissues de lexprience.

Considrons une exprience alatoire, dont les issues sont notes a1, a2, a3, , an, et pour laquelle il y a quiprobabilit. On aura donc :p p p ... p1 2 3= = = = n et p p p ... p .1 2 3 1+ + + + =n

Donc : n p . =1 1 Ce qui donne bien : p p p ... p .1 2 31

= = = = =

n n

On veut tirer au hasard une date dans le calendrier dune anne non bissextile. Quelle est la probabilit de tomber sur Nol ?

Un restaurant propose un menu rapide compos dun plat principal et dun dessert.

Il offre le choix de trois plats principaux et de deux desserts.

Ne sachant que choisir, je dcide de tirer au hasard le plat principal, puis le des-sert pour composer mon menu.

Dcrire lunivers et la loi de probabilit de cette exprience alatoire.

Rponses.

Dans lnonc, lexpression au hasard signifie que toutes les dates ont la mme chance dtre tires.

On est alors en situation dquiprobabilit. La probabilit de tomber sur Nol est donc :

p(Nol) =1

365puisquil y a 365 issues possibles.

Cest dailleurs ce que lintuition nous suggre, et on aurait le mme rsultat pour nimporte quelle date, mme moins remarquable.

On peut reprsenter les diffrents menus (les issues) par un tableau double entre.Puisque chaque colonne correspond une issue pour le premier tirage, onpeut dire quil y a galit de chancedavoir une colonne plutt quune autrepuisque ce tirage est au hasard .

DmonstrationDmonstration

ExemplesExemples

Plat

Dessert1 2 3

1 (1 et 1) (2 et 1) (3 et 1)

2 (1 et 2) (2 et 2) (3 et 2)


47Squence 4 MA20

De mme pour les lignes puisquelles correspondent aux issues du deuxime tirage.

On peut ainsi admettre que toutes les cases du tableau ont la mme chance de se produire : il y a quiprobabilit, et il y a 6 issues possibles.

La probabilit de chaque menu est donc : 16

.

1

1

Issues

Dessert

Plat principal

2

(1et 2)(1et 1)

1

2

2

(2 et 2)(2 et 1)

1

3

2

(3 et 2)(3 et 1)

Un schma en arbre se prte aussi trs bien ce genre dexprience :

Remarque

c) Loi de probabilit dune exprience alatoire non quiprobable, mais base dquiprobabilit

Dans ces situations non quiprobables, pour dterminer la loi de probabilit dune exprience alatoire, il faut : se ramener une situation o il y a quiprobabilit, dterminer la probabilit de chaque issue possible de lexprience.

Dans une bote se trouvent trois boules vertes et une boule blanche, indiscerna-bles au toucher.

On en tire une au hasard, et sans la remettre dans la bote, on en tire une deuxi-me, encore au hasard. On note les couples de couleurs obtenues, en tenant comp-te de lordre de tirage.

Dcrire lunivers et la loi de probabilit de cette exprience alatoire.Les issues de cette exprience sont faciles dterminer. En notant V la couleur verte et B la couleur blanche, on trouve : (V,V), (V,B) et (B,V) car on ne peut pas tirer deux boules blanches.

Lunivers est donc : { (V,V) ; (V,B) ; (B,V) }.Mais ces issues ne sont pas quiprobables : on a certainement plus de chance dobtenir (V,V) que (V,B).

Pour se ramener une situation quiprobable, on va raisonner sur les boules (en les supposant toutes diffrentes) et non pas sur les couleurs. On peut par exem-ple imaginer que les boules sont numrotes.

ExempleExemple


48 Squence 4 MA20

On va reprsenter les diffrents tirages par un schma en arbre.

Puisque chaque tirage se fait au hasard , on peut dire quil y a galit de chance davoir une branche de larbre plutt quune autre. Il y a quiprobabi-lit des branches et il y en a 12. On peut maintenant calculer la probabilit de chaque issue de notre exprience.

Lissue (V,V) est obtenue avec 6 branches, sa probabilit est donc : 612

0 5= , .

Lissue (V,B) est obtenue avec 3 branches, sa probabilit est donc : 312

0 25= , .

Lissue (B,V) est obtenue avec 3 branches, sa probabilit est donc : 312

0 25= , .

d) Probabilit dun vnement quelconqueReprenons les exemples du dbut du cours, et regardons quelle chance on a quun certain vnement se ralise.

Pour lexemple , o lon veut lancer un d normal quatre faces et sin-tresser au numro obtenu, les vnements lmentaires sont : n1, n2, n3 et n4.

La loi de probabilit est : p(1) p(2) p(3) p(4)= = = =14

.

Considrons lvnement : avoir un n pair , que lon peut crire {2 ; 4}.

Quelle est la probabilit quil se produise ? Intuitivement, on voit que lon

a deux chances sur quatre quil se produise. On pourrait donc crire :

p( avoir un n pair ) =24

.

On peut remarquer que cet vnement est constitu de deux issues, et que lon a :

p( avoir un n pair ) p( {2 ; 4} ) p(2)= = ++ = + =p(4)14

14

24

.

Ceci traduit le fait que lvnement sera ralis si lune ou lautre des deux issues se ralise, ce qui nous donne comme probabilit que lvnement se ralise, la probabilit de la premire issue, plus celle de la seconde.

Pour lexemple , o lon veut lancer deux ds identiques quatre faces et sin-tresser aux deux numros obtenus, les issues sont :

V2

Issues

2e tirage

1er tirage

V3

V1

(V,V)

B

(V,B)(V,V)

V1 V3

V2

(V,V)

B

(V,B)(V,V)

V1 V2

V3

(V,V)

B

(V,B)(V,V)

V1 V2

B

(B,V)

V3

(B,V)(B,V)

V2

Issues

2e tirage

1er tirage

V3

V1

(V,V)

B

(V,B)(V,V)

V1 V3

V2

(V,V)

B

(V,B)(V,V)

V1 V2

V3

(V,V)

B

(V,B)(V,V)

V1 V2

B

(B,V)

V3

(B,V)(B,V)


49Squence 4 MA20

(1 et 1), (1 et 2), (1 et 3), (1 et 4), (2 et 2), (2 et 3), (2 et 4), (3 et 3), (3 et 4) et (4 et 4).

La loi de probabilit est : p(1 et 1) p(2 et 2) p(3 et 3) p(4 et 4)= = = =1

16,,

p(1 et 2) p(1 et 3) p(1 et 4) p(2 et 3) p(2= = = = et 4) p(3 et 4)= =2

16.

Considrons lvnement : avoir un double , que lon peut crire { (1 et 1) ; (2 et 2) ; (3 et 3) ; (4 et 4) }.

Quelle est la probabilit quil se produise ? Intuitivement, en regardant le tableau

double entre reprsentant les issues, on voit que lon a quatre chances sur

seize quil se produise. On pourrait donc crire : p( avoir un double ) .=4

16On peut remarquer que cet vnement est constitu de quatre issues, et que lon a : p( avoir un double ) p( {(1 et 1) ; (= 22 et 2) ; (3 et 3) ; (4 et 4)} )

p(= 11 et 1) p(2 et 2) p(3 et 3) p(4 et 4)+ + +

.= + + + =1

161

161

161

164

16

issues se ralise, ce qui nous donne comme probabilit que lvnement se ra-lise, la probabilit de la premire issue, plus celle de la seconde, plus celle de la troisime, plus celle de la quatrime.De mme, considrons lvnement : avoir deux numros dont la somme fasse 4 , que lon peut crire { (1 et 3) ; (2 et 2) }.

Quelle est la probabilit quil se produise ? Intuitivement, en regar-dant le tableau double entre reprsentant les issues, on voit que lon a trois chances sur seize quil se produise. On pourrait donc crire : p( avoir deux numros dont la somme fasse 4 ) .=

316

On peut remarquer ce cet vnement est constitu de deux issues, et que lon a : p( avoir deux numros dont la somme fasse 4 ) p( {(1 et 3) ; (2 et 2)} )=

= pp(1 et 3) p(2 et 2)

.

+

= + =2

161

163

16

Ceci traduit le fait que lvnement sera ralis si lune ou lautre des deux issues se ralise, ce qui nous donne comme probabilit que lvnement se ralise, la probabilit de la premire issue, plus celle de la seconde.

Ce procd se gnralise.

Lors dune exprience alatoire, la dun est la

des probabilits de qui composent cet vnement.

Proprit

Lors dune exprience alatoire, la probabilit dun vnement quelconque est la

somme des probabilits de toutes les issues qui composent cet vnement.


50 Squence 4 MA20

Par exemple,

pour lexemple , o lon veut lancer deux fois un d quatre faces et sintres-ser aux deux numros obtenus, sans tenir compte de lordre.

On considre lvnement avoir un double OU avoir deux numros dont la somme fasse 4 .

Cet vnement est constitu des issues : { (1 et 1) ; (1 et 3) ; (2 et 2) ; (3 et 3) ; (4 et 4)}.

Sa probabilit est :

p(1 et 1) p(1 et 3) p(2 et 2) p(3 et 3) p(4+ + + + et 4) .= + + + + =1

162

161

161

161

166

16

Pour lexprience de lexemple , calculer les probabilits des vnements :

S = {6 ; 7 ; 8} et I = {3 ; 5 ; 7}.

Rponse.

On a :

p(S) p(6) p(7) p(8) .= + + = + + =3

162

161

166

16

p(I) p(3) p(5) p(7) .= + + = + + =2

164

162

168

16

On a vu dans la partie b) que pour toute exprience alatoire, on a toujours deux vnements particuliers, lvnement certain (lunivers) et lvnement impossible (lensemble vide).Il est facile de calculer leur probabilit.

Cas particulier

Lunivers est constitu de toutes les issues possibles. Sa probabilit est donc la somme de toutes les probabilits

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Al7ma20tepa0111 Sequence 04