Interpretacija programa

Krunoslav Puljić

2015/2016

Gramatika neograničenih produkcija

Kontekstno ovisna gramatika

Kontekstno neovisna

gramatika

Hijerarhija automata i gramatika

Regularna

gramatika

Turingov stroj

Linearno ograničeni automat

Potisni automat

Konačni

automat

Rekurzivno prebrojivi jezici

Kontekstno ovisni jezici

Kontekstno neovisni

jezici

Regularni

jezici

Leksička

analiza

Sintaksna

analiza

Semantička

analiza

Formalni jezici

• Znak – apstraktni pojam koji se ne definira

– 0, 1; a, b, c, d

• Abeceda – konačan skup znakova

– Binarna abeceda {0,1};

• Niz – konačan slijed znakova abecede pozicioniranih jedan do drugog

– Nizovi 001, 11010, 1100011 nad abecedom {0,1}

– Duljina niza |ω|

– Prazan niz ɛ

– Nadovezivanje nizova

Formalni jezici

• Formalni jezik - skup nizova nad abecedom

– Intuitivno: jezik je skup riječi

– Prazan skup L1 = { }

– Skup s jednim elementom: praznim nizom • L2 = { ɛ }

– Skup nizova u kojima je broj 0 i 1 paran

• L3 = { 00, 11, 0011, 1001, 1010, ... }

• L3 je zadan nad binarnom abecedom i nije konačan skup

– Skup svih mogućih nizova nad abecedom Σ

• L4 = Σ* = { ɛ, 0, 1, 00, 01, 10, 11, 000, 001, 010, ... }

• L4 nije konačan

Formalni jezici

• Operacije nad formalnim jezicima

– Unija L U N

– Presjek L ∩ N

– Razlika L – N

– Nadovezivanje L N

– Kartezijev produkt L

N

– Partitivni skup 2L – skup svih podskupova

– Kleeneov operator L*

– Kleeneov operator L+

– Komplement jezika Lc

Formalni jezici – Kleenov operator

• L2 = L L ; L3 = L L L

• L0 = { ɛ }; Li = Li-1 L

• L* = L0 U L1 U L2 U L3 U ...

• L+ = L1 U L2 U L3 U L4 U ...

Regularni jezici

• Jezik je regularan akko postoji konačni automat koji ga prihvaća – Za bilo koji regularan jezik moguće je izgraditi konačni

automat koji ga prihvaća

– Bilo koji konačni automat prihvaća jedan od regularnih jezika

• Regularni jezici su najjednostavniji jezici – ...jer je za njihovo prihvaćanje potrebno izgraditi

najjednostavniji automat – konačni

• Regularni izrazi – jednostavan način opisa regularnih jezika

Konačni automati

• Deterministički konačni automat (DKA) – Koristi se u leksičkoj analizi gotovo svih jezičnih procesora

• DKA se sastoji od konačnog skupa stanja i funkcije prijelaza – Funkcija prijelaza jednoznačno je određena znakom na

ulazu i stanjem u kojem se nalazi automat • Za pojedini znak i stanje postoji samo jedan prijelaz

– Jedno od stanja je početno stanje • Tu automat započinje svoj rad

– Ako DKA nakon pročitanih svih znakova niza x prijeđe u jedno od prihvatljivih (završnih) stanja, niz x se prihvaća

• Inače se ne prihvaća

DKA

• DKA prikazujemo dijagramom stanja ili tablicom prijelaza

DKA primjer

S

a Primjer:

Jezik L = { ɛ, a, a2, a3, ... } nad abecedom { a }

a*

Jezik L = { a, a2, a3, ... } nad abecedom { a }

a+

S2

a

S1

a

DKA

• DKA je uređena petorka (Q, ∑, δ, q0, F) gdje je

– Q – konačni skup stanja

– ∑ – konačan skup ulaznih znakova

– δ – funkcija prijelaza Q

∑ → Q

– q0 ∊ Q – početno stanje

– F ⊆ Q – skup prihvatljivih (završnih) stanja

DKA primjer

• Prikaz konačnog automata

pomoću usmjerenog grafa

• Koristi se i naziv dijagram

stanja

• Abeceda

D = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 }

• Jezik

L = { riječi “djeljive s 3” }

L = { ɛ, 0, 3, 6, 9, 12, 15, ... }

• dozvoljene vodeće nule

npr. 003

• L je podskup od D*

D

J S

1, 4, 7

2, 5, 8

0, 3, 6, 9

2, 5, 8

1, 4, 7

2, 5, 8

1, 4, 7

0, 3, 6, 9

0, 3, 6, 9

DKA primjer

Q = { S, J ,D }

∑ = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 }

Δ (J, 2) = S (npr.)

q0 = S

F = { S }

D

J S

1, 4, 7

2, 5, 8

0, 3, 6, 9

2, 5, 8

1, 4, 7

2, 5, 8

1, 4, 7

0, 3, 6, 9

0, 3, 6, 9

Sta

nje

Ulazni znak Oznaka prihvatljivosti

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

S S J D S J D S J D S 1

J J D S J D S J D S J 0

D D S J D S J D S J D 0

Prikaz konačnog

automata pomoću

tablice prijelaza D

J S

1, 4, 7

2, 5, 8

0, 3, 6, 9

2, 5, 8

1, 4, 7

2, 5, 8

1, 4, 7

0, 3, 6, 9

0, 3, 6, 9

Funkcija prijelaza δ

• novo stanje = δ (staro stanje, ulazni znak)

• δ : Q

∑ → Q

Proširenje funkcije δ

• Definira se i δ’ : Q

∑* → Q.

– Određuje stanje DKA nakon što je pročitan niz

(riječ) w.

– ∑* je skup svih mogućih nizova ulaznih

znakova

• w, x, y, z će označavati ulazne nizove iz ∑*

• a, b, c, ... , 0, 1, 2, ... će označavati ulazne znakove

• p, q, ... će označavati stanja

Proširenje funkcije δ

• δ’(q,w) određuje stanje DKA nakon što je u

stanju q pročitan niz ulaznih znakova w

• δ’(q,w) se definira ovako:

1) δ’(q, ε) = q, gdje je ε prazni niz

2) za bilo koji niz ulaznih znakova w i za bilo

koji ulazni znak a vrijedi:

• δ’(q, wa) = δ(δ’(q, w) , a), gdje je w∊Σ*, i a∊Σ

Proširenje funkcije δ

• (1) kaže da DKA ne može promijeniti

stanje, a da ne pročita barem jedan ulazni

znak

• (2) definira kako se računa stanje u koje

prelazi DKA čitanjem niza znakova wa

Proširenje funkcije δ

• Ako u (2) uvrstimo w= ε, dobije se

– δ’(q, a) = δ’(q, εa) = δ(δ’(q, ε),a) = δ(q, a)

– Ako ne razlikujemo ulazni znak a∊Σ i niz a∊Σ *

duljine |a|=1, funkcije δ i δ’ imaju jednaku

vrijednost za sve one argumente za koje su

obje strane definirane

• Zato koristimo samo jednu oznaku (δ) za obje

funkcije

Prihvaćanje niza

• DKA dka=(Q, ∑, δ, q0, F) prihvaća niz x ako je

δ(q0, x)=p ∊ F

• DKA prihvaća skup

–L(dka) = { x ∊ Σ * : δ(q0, x) ∊ F }

–L(dka) ⊆ Σ *

• Za sve nizove koji nisu u L(dka) kažemo da

ih DKA ne prihvaća

Model konačnog automata

• Dijelovi DKA:

– Konačna ulazna traka

– Glava za čitanje

– Upravljačka jedinica

• Upravljačka jedinica pamti samo stanje u kojem se

nalazi (nema druge memorije)

– Upravljačka jedinica u stanju q pročita ulazni znak a s ulazne

trake, promijeni stanje u novo stanje δ(q, a) i pomakne glavu za

čitanje jedno mjesto u desno

– Ako je novo stanje prihvatljivo, onda DKA prihvaća do tada

pročitani niz (ali bez znaka na kojem je pozicionirana glava za

čitanje)

• Pomakom glave izvan krajnje desne pozicije, prihvaća se ili ne prihvaća cijeli

niz ispisan na traci, ovisno o stanju u kojem se DKA nalazi

Upravljačka jedinica

Stanje

a1 ... ai ... an-1 Ulazna traka

Glava za čitanje

Model konačnog automata

• Usporedba s Turingovim strojem (za sada)

– Traka je konačna

– Sa trake se samo čita (nema pisanja)

– Glava ide samo u desno

• Čitanje znaka “potroši” taj znak s trake

Primjeri...

• Q = {pp, nn, pn, np}

• Σ = {0, 1}

• q0 = pp

• F = {pp, nn}

• δ(pp,1)=pn, δ(pp,0)=np, δ(pn,1)=pp, δ(pn,0)=nn,

δ(np,1)=nn, δ(np,0)=pp, δ(nn,1)=np, δ(nn,0)=pn

• DKA prihvaća sve nizove nula i jedinica koji imaju:

– paran broj jedinica i paran broj nula, ili

– neparan broj jedinica i neparan broj nula

Primjeri...

• DKA s prethodnog slajda se može prikazati i dijagramom stanja i tablicom prijelaza

np

pn pp

0

nn

0

1

1

1

0

1

0

0 1

pp np pn 1

pn nn pp 0

np pp nn 0

nn pn np 1

Prihvaćanje niza

• Postupak prihvaćanja niza

Prihvaćanje niza

• Tablica prijelaza i dijagram stanja

olakšavaju postupak prihvaćanja niza

Zadatak

• Implemetirajte DKA

– Koristite C++

• Dev-C++ ili Visual Studio ili vi i gcc

• Python, Java itd.

– Neka abeceda bude {0,1}, tj. podskup int-ova (enum)

– Stanja označite malim slovima engleske abecede

{a,b,c, ... ,z}, tj. podskup char-ova

– Sami osmislite kako ćete unositi funkciju prijelaza

– Zadajte i početno stanje i skup završnih stanja

• Provjerite da se radi o stanjima, te javite grešku

• ili ih ubacite u skup stanja ako ih nema

Zadatak

• Implemetirajte DKA

– Implementirajte učitavanje DKA iz datoteke

Minimizacija DKA

• Za bilo koji DKA moguće je izgraditi

proizvoljno mnogo drugih DKA koji

prihvaćaju isti jezik

– Ideja: izgraditi DKA s što manjim brojem

stanja

• Teorem: minimalni DKA je jedinstven

Istovjetnost stanja DKA

• Stanje p DKA M=() je istovjetno stanju p’

DKA M’=() akko DKA M u stanju p

prihvaća isti skup nizova kao i DKA M’ u

stanju p’

– Za bilo koji niz w skupa * mora vrijediti:

δ(p,w) i δ’(p’,w) su oba završna ili oba

nezavršna stanja

Istovjetnost stanja DKA

• Relacija istovjetnosti je tranzitivna

– Da bismo smanjili broj stanja zadanog DKA,

grupa istovjetnih stanja se zamijeni jednim

jedinstvenim stanjem

• Primjer: neka su p4 i p5 istovjetna stanja

c d

p1 p1 p4 0

p2 p3 p5 1

p3 p5 p1 0

p4 p2 p3 1

p5 p2 p3 1

c d

p1 p1 X 0

p2 p3 X 1

p3 X p1 0

X p2 p3 1

X p2 p3 1 postaje

višak

Istovjetnost DKA

• DKA M i M’ su istovjetni akko su istovjetna

njihova početna stanja q0 i q0’

Ispitivanje istovjetnosti stanja

• Istovjetnost stanja p i q svodi se na

ispitivanje dva uvjeta:

– Uvjet podudarnosti: p F i q F ili p F i q F

– Uvjet napredovanja: a mora vrijediti da su

stanja δ(p,a) i δ(q,a) istovjetna

Pronalaženje istovjetnih stanja

• Primjer:

c d

p0 p0 p3 0

p1 p2 p5 0

p2 p2 p7 0

p3 p6 p7 0

p4 p1 p6 1

p5 p6 p5 0

p6 p6 p3 1

p7 p6 p3 0

Pronalaženje istovjetnih stanja

• Nekoliko algoritama

• Algoritam 1: gradimo tablicu (korak 1)

– Za sve ulazne znakove gradimo poseban

stupac

– Par stanja za koji ispitujemo istovjetnost

upisuje se u prvi redak

c d

p0, p7

c d

p0 p0 p3 0

p1 p2 p5 0

p2 p2 p7 0

p3 p6 p7 0

p4 p1 p6 1

p5 p6 p5 0

p6 p6 p3 1

p7 p6 p3 0

Pronalaženje istovjetnih stanja

• Nekoliko algoritama

• Algoritam 1: gradimo tablicu (korak 2)

– Uvjet podudarnosti ispituje se za sve parove

stanja koje upisujemo u retke tablice

• Ako par nije podudaran, početna stanja nisu

istovjetna

• Ako je par podudaran određujemo nove

parove stanja ovisno o znaku abecede

u stupcu

c d

p0, p7 p0, p6

p3

p0 i p7 su oba

nezavršna pa su

podudarna

c d

p0 p0 p3 0

p1 p2 p5 0

p2 p2 p7 0

p3 p6 p7 0

p4 p1 p6 1

p5 p6 p5 0

p6 p6 p3 1

p7 p6 p3 0

Pronalaženje istovjetnih stanja • Nekoliko algoritama

• Algoritam 1: gradimo tablicu (korak 3)

– Za novi par postoje tri mogućnosti:

• Dva ista stanja

– Nema akcije

• Dva različita stanja koja su se već pojavila

– Nema akcije

• Dva različita stanja koja se još nisu pojavila

– Ubacujemo novi redak u tablicu

c d

p0, p7 p0, p6 p3

p0, p6 ubačen novi

redak

c d

p0 p0 p3 0

p1 p2 p5 0

p2 p2 p7 0

p3 p6 p7 0

p4 p1 p6 1

p5 p6 p5 0

p6 p6 p3 1

p7 p6 p3 0

Pronalaženje istovjetnih stanja • Algoritam 1: gradimo tablicu (korak 4)

– Ako se u prethodnom koraku ne pojavi niti

jedan novi redak u tablici, onda je par stanja

zapisan u prvom retku tablice istovjetan

• Kao i svi ostali parovi stanja zapisani u ostalim

recima tablice

– Zbog uvjeta napredovanja

– Ako postoji novi redak, vraćamo se na

korak 2

c d

p0, p7 p0, p6 p3

p0, p6 Stanja nisu

podudarna pa niti

početni par nije

istovjetan. KRAJ.

c d

p0 p0 p3 0

p1 p2 p5 0

p2 p2 p7 0

p3 p6 p7 0

p4 p1 p6 1

p5 p6 p5 0

p6 p6 p3 1

p7 p6 p3 0

Pronalaženje istovjetnih stanja • Provjerimo eventualnu istovjetnost stanja

p0 i p1

c d

p0, p1 podudarna stanja

c d

p0 p0 p3 0

p1 p2 p5 0

p2 p2 p7 0

p3 p6 p7 0

p4 p1 p6 1

p5 p6 p5 0

p6 p6 p3 1

p7 p6 p3 0

c d

p0, p1 p0, p2 p3, p5

p0, p2 podudarna stanja

p3, p5

c d

p0, p1 p0, p2 p3, p5

p0, p2 p0, p2 p3, p7

p3, p5

p3, p7

Pronalaženje istovjetnih stanja • Provjerimo eventualnu istovjetnost stanja

p0 i p1

c d

p0 p0 p3 0

p1 p2 p5 0

p2 p2 p7 0

p3 p6 p7 0

p4 p1 p6 1

p5 p6 p5 0

p6 p6 p3 1

p7 p6 p3 0

c d

p0, p1 p0, p2 p3, p5

p0, p2 p0, p2 p3, p7

p3, p5 podudarna stanja

p3, p7

c d

p0, p1 p0, p2 p3, p5

p0, p2 p0, p2 p3, p7

p3, p5 p6 p5, p7

p3, p7

p5, p7

Pronalaženje istovjetnih stanja • Provjerimo eventualnu istovjetnost stanja

p0 i p1

• budući da nema novih redaka u tablici, par

stanja u prvom retku prvog stupca je

podudaran

– kao i parovi stanja u ostalim recima prvog stupca

c d

p0 p0 p3 0

p1 p2 p5 0

p2 p2 p7 0

p3 p6 p7 0

p4 p1 p6 1

p5 p6 p5 0

p6 p6 p3 1

p7 p6 p3 0

c d

p0, p1 p0, p2 p3, p5

p0, p2 p0, p2 p3, p7

p3, p5 p6 p5, p7

p3, p7 p6 p3, p7 podudarna stanja

p5, p7 p6 p3, p5 podudarna stanja

Pronalaženje istovjetnih stanja • p0 i p1 su istovjetna, kao i p0 i p2

– zbog tranzitivnosti i komutativnosti su sva tri

stanja istovjetna p0 ~ p1 ~ p2

• uvedimo za njih oznaku A

• p3 i p5 su istovjetna, kao i p5 i p7

– zato su sva tri stanja istovjetna p3 ~ p5 ~ p7

• uvedimo za njih oznaku B

c d

p0 p0 p3 0

p1 p2 p5 0

p2 p2 p7 0

p3 p6 p7 0

p4 p1 p6 1

p5 p6 p5 0

p6 p6 p3 1

p7 p6 p3 0

c d

p0, p1 p0, p2 p3, p5

p0, p2 p0, p2 p3, p7

p3, p5 p6 p5, p7

p3, p7 p6 p3, p7 podudarna stanja

p5, p7 p6 p3, p5 podudarna stanja

Pronalaženje istovjetnih stanja • p0 ~ p1 ~ p2

• uvedimo za njih oznaku A

• p3 ~ p5 ~ p7

• uvedimo za njih oznaku B

c d

p0 p0 p3 0

p1 p2 p5 0

p2 p2 p7 0

p3 p6 p7 0

p4 p1 p6 1

p5 p6 p5 0

p6 p6 p3 1

p7 p6 p3 0

c d

A A B 0

A A B 0

A A B 0

B p6 B 0

p4 A p6 1

B p6 B 0

p6 p6 B 1

B p6 B 0

c d

A A B 0

B p6 B 0

p4 A p6 1

p6 p6 B 1

Nedohvatljiva stanja

– Red ToDo; Skup D, Done;

– Ubaci q0 u ToDo i u D;

– Dok ToDo nije prazan radi:

• Skini stanje s pocetka reda

• Ubaci ga u Done

• Pogledaj do kuda možeš doći iz tog stanja

• Ubaci nova stanja (not Done) u ToDo

• Ubaci sva stanja u D

– http://web.studenti.math.pmf.unizg.hr/~nuno/

ip/2015/

Zadatak

• Implemetirajte funkciju koja provjerava da li DKA

prihvaća zadanu riječ

– Riječ = niz (polje, vektor) znakova abecede

• string?

• Primjenite DKA na nekoliko jednostavnih

primjera, te provjerite da li automat prihvaća

zadane riječi