Algebrai törtek

A törtek értelmezési tartománya

Ha törtet látunk, mindig fel kell tennünk, hogy a számlálója nem 0. Ha 0 lenne, nem

tudnánk értelmezni a törtet. Pl. ha a tört , akkor csak akkor van értelme, ha .

Ha a tört , akkor viszont NEM , hanem az egész nevező, azaz

feladatok: SIII/139

Törtek egyszerűsítése, bővítése

Ha egy tört számlálóját és nevezőjét ugyanazzal a (nullától különböző) kifejezéssel/számmal megszorozzuk, értéke nem változik. (Ez nem triviális, mert ha a számlálóhoz és nevezőhöz ugyanazt a számot hozzáadjuk, az értéke változik.)

Ezt hívjuk a tört bővítésének. Így pl.

Vagy

Az egyszerűsítés lényegében ugyanezt jelenti. A tört számlálóját és nevezőjét ugyanazzal

a számmal vagy kifejezéssel osztjuk (x-szel osztani ugyanazt jelenti, mint -szel szorozni.

Ahhoz, hogy egy tört számlálóját és nevezőjét egy kifejezéssel osszuk, szükséges (feltéve, hogy egyszerűbb alakra hozás a célunk), hogy az adott kifejezés tényezőként szerepeljen a számlálóban és a nevezőben is. Pl. a

tört számlálójának és nevezőjének is tényezője az (a-b), tehát oszthatunk vele , így

-t kapunk.

Törtek szorzása

Két törtet úgy szorzunk össze, hogy a számlálóikat és a nevezőiket is összeszorozzuk. VIGYÁZAT! Ha több tagú a számláló vagy a nevező, akkor több tagú kifejezés szorzásáról van szó, adott esetben akár több tagú kifejezéssel. Több tag esetén az összeszorzásnál

zárójelezni kell a számlálót ill. nevezőt. Pl. . Nem

mindig érdemes a zárójelek felbontását elvégezni, van, amikor jobb szorzat alakban hagyni. Szintén figyelni kell az előjelekre.

Törtek osztása

Törtet törttel úgy osztunk, hogy a reciprokjával szorzunk. Ezzel visszavezettük a szorzásra.

Törtek összeadása/kivonása

Ahhoz, hogy két (vagy több) törtet össze tudjunk adni, közös nevezőre kell hoznunk őket. A közös nevezőre hozáshoz el kell döntenünk, hogy mi legyen a közös nevező. Az alábbi két szempontnak feleljen meg:

Legyen többszöröse mindegyik nevezőnek

Legyen minél kisebb, vagy kifejezéseknél egyszerűbb. Azaz a legkisebb közös többszörös a legalkalmasabb. Ha viszont ezt nehéz megtalálni,

biztosan jó lesz az összes nevező szorzata (mert az minden nevezőnek többszöröse).

A közös nevezőre hozásnál ez után meg kell állapítani minden törtnél, hogy mivel kell bővíteni. Ezt úgy kapjuk meg, hogy a kiválasztott közös nevezőt elosztjuk az adott nevezővel.

A bővítést elvégezzük, ezután olyan törteket kapunk, amelyek nevezői megegyeznek.

Ezután összevonhatjuk a törteket. Egy törtet kapunk, amelynek nevezője a közös nevező, a számlálója meg a számlálók összege.

VIGYÁZAT! Ha egy tört negatív előjellel szerepelt, akkor annak a törtnek a számlálóját zárójelben írjuk be az összegbe, és előtte szerepeljen a negatív előjel (a zárójelet aztán fel lehet bontani)!

feladatok: SIII./147. A bővítéskor hasznos a nevezetes azonosságok ismerete: SIII/148