ALI_U3_MCE_10

Álgebra linealUnidad 3. DeterminantesActividad 1. Menores y cofactores de un

determinante

Menores y cofactores

Instrucciones:

Retoma el problema trabajado durante las unidades 1 y 2: Sustancias que funcionan como

superproteínas. Lee el siguiente caso y resuelve lo que se solicita con base en la matriz de datos del

problema.

Un grupo de ingenieros en biotecnología realizaron una investigación para crear una sustancia que

funcionara como una superproteína en un tipo especial de microorganismos que habita cerca de una

zona petrolera.

El objetivo es hacer dichos microorganismos más resistentes y, en el caso de que existiera algún derrame

petrolero cerca de la zona, utilizarlos para la limpieza de dicho derrame. Durante la investigación, se

presentaron muchas dificultades, ya que se tenían previstos tres proyectos diferentes, los cuales

resultaron un rotundo fracaso. En cada uno de los proyectos se desarrolló una sustancia diferente, al

realizar las pruebas con dichas sustancias, estas no mejoraron a los microorganismos como se esperaba,

de esta manera, los frascos que contenían las sustancias respectivas de cada proyecto fueron vaciados a

un mismo contenedor con capacidad de m litros, el cual se encontraba completamente limpio.

Los ingenieros tomaron una muestra de la sustancia que resultó de la combinación de las tres que se

vaciaron al contenedor y observaron los resultados, luego de ponerla en el microscopio. Esta muestra era

producto de un accidente científico.

Después de esto, cada grupo hizo una marca al recipiente que contenía su respectiva sustancia, esto,

con el objeto de tener en cuenta la medida que utilizaron y relacionarlo con el resultado que se obtuvo.

De esta manera, volvieron a utilizar la misma medida que vaciaron al contenedor para formar una nueva

sustancia, la probaron y el resultado fue exactamente el mismo que el que había en el contenedor.

Todos se dieron cuenta de que nadie sabía exactamente cuánto fue lo que depositó de su respectiva

sustancia, pero tenían el recipiente en el que señalaron la medida.

2

Educación Superior Abierta y a Distancia • Ciencias de la Salud, Biológicas y Ambientales

1


determinante

Para saber las cantidades exactas, sugirieron formar un sistema de tres ecuaciones y con este

procedimiento encontrarían los valores exactos de los recipientes de cada uno de los grupos, de esta

manera, realizaron las siguientes pruebas.

1. Utilizaron 2 vasos de la primera sustancia, 2 vasos de la segunda y un vaso más de la tercera,

obteniendo 4.5 litros de la sustancia final.

2. Utilizaron 4 vasos de la primera sustancia, 6 vasos de la segunda y 3 vasos más de la tercera,

obteniendo 12 litros.

Nota: Para encontrar lo que se pide, supongan que en las primeras dos pruebas (la del accidente y la

repetición del mismo) se colocaron 6 vasos de la primer sustancia, 9 vasos de la segunda y 7 vasos de la

tercera.

Sistema de Ecuaciones1) 2S1 +2 S2 + S3 = 4.52) 4 S1 +6 S2 + 3 S3 = 123) 6 S1 + 9 S2 + 7 S3 = m

Representación matricial

2 2 1 4.5 2 2 1 | 4.5A = 4 6 3 B = 12 A|B = 4 6 3 | 12

6 9 7 m 6 9 7 | m

Método de Gauss

2 2 1 | 4.5A|B = 4 6 3 | 12

6 9 7 | m

Comenzamos por formar la Matriz aumentada, tomando los coeficientes de las letras y los resultados de las ecuaciones:

2 2 1 | 4.54 6 3 | 12

2


2


determinante

6 9 7 | m

Vamos a reducirla mediante operaciones por renglón, hasta obtener una matriz triangular superior, puesto que en esto consiste el método de eliminación de Gauss.

1 2 3 columnas

2 2 1 | 4.5 14 6 3 | 12 2 renglones6 9 7 | m 3

El orden que usaremos será el siguiente: Celdas: 3,1 - 2,1 – 3,2

Comenzamos entonces por buscar el “0” en la celda 3,1; se recomienda trabajar con los renglones que tienen esta combinación es decir el renglón 3 con el renglón 1

Buscamos una operación entre los renglones 3 y 1, cuyo resultado nos trasforme en “0” la celda 3,1; entonces tenemos que:

-3R1 + R3 R3

2 2 1 | 4.5 2 2 1 | 4.54 6 3 | 12 = 4 6 3 | 126 9 7 | m 0 3 4 | -13.5+m

Ahora buscamos el “0” en la celda 2,1, y trabajaremos con los renglones 2 y 1


-2R1 + R2 R2

2 2 1 | 4.5 2 2 1 | 4.54 6 3 | 12 = 0 2 1 | 30 3 4 | -13.5+m 0 3 4 | -13.5+m

Ahora buscamos el “0” en la celda 3,2, y trabajaremos con los renglones 3 y 2


-2R3 + 3R2 R3

2 2 1 | 4.5 2 2 1 | 4.50 2 1 | 3 = 0 2 1 | 30 3 4 | -13.5+m 0 0 -5 | 36+m

2


3


determinante

Hemos llegado a la forma de Gauss, tal y como se aprecia, es una matriz triangular superior, por último, lo que tenemos que hacer es encontrar las soluciones del sistema de ecuaciones a partir de la matriz obtenida, para esto, asociamos a cada columna una variable, tenemos que:

Tomando el renglón 3 -5S3 = (36+m)S3 = (36+m)/-5 (siendo me cualquier número real cuyo resultado sea positivo y diferente de cero) (supongamos que m = -46)S3 = (36-46)/-5 = -10/-5S3 =2

Tomando el renglón 2 2S2 + S3 = 3S2 =(3 -S3)/2S2 = (3-2)/2 = ½S2 = 0.5

De la fila 1 tenemos que: 2S1 + 2S2 + S3 = 4.5 S1 = (4.5 -2S2 -S3)/2 = (4.5 – 2(0.5) – 2)/2 = (4.5 – 1 – 2)/2S1 = 0.75

Sustituyendo en nuestro sistema de ecuaciones tenemos que

1) 2 S1 2S2 + S3 = 4.52(0.75) +2(0.5) + 2 = 4.5

2) 4S1 +6S2 + 3S3 = 124(0.75) + 6(0.5) + 3(2) =12

3) 6S1 + 9S2 + 7S3 = m6(0.75) + 9(0.5) + 7(2) = 23

2


4


determinante

Instrucciones para la elaboración del trabajo:

Contacta a los integrantes de tu equipo y realicen la siguiente actividad.

Sistema de Ecuaciones4) 2S1 +2 S2 + S3 = 4.55) 4 S1 +6 S2 + 3 S3 = 126) 6 S1 + 9 S2 + 7 S3 = m

Representación matricial

2 2 1 4.5 2 2 1 | 4.5A = 4 6 3 B = 12 A|B = 4 6 3 | 12

6 9 7 m 6 9 7 | m

1. Obtengan cada uno de los menores del determinante asociado a la matriz de datos del problema.

Vamos a calcular los menores de una matriz de 3 X 3.

2 2 1 Sea la matriz A = 4 6 3 Calcula su determinante.

6 9 7

Indicamos los elementos de la matriz que corresponden a la definición, de la siguiente manera:a11= 2 a12= 2 a13= 1a21= 4 a22= 6 a23= 3a31= 6 a32= 9 a33= 7

Aplicamos la definición y encontramos el determinante de A como sigue:

2 2 1 6 3 4 3 4 6|A| = 4 6 3 = 2 -2 +1

6 9 7 9 7 6 7 6 9

2 2 1 2 1 2 1 2 2|A| = 4 6 3 = 4 -6 +3

6 9 7 9 7 6 7 6 9

2 2 1 2 1 2 1 2 2

2


5


determinante

|A| = 4 6 3 = 6 -9 +76 9 7 6 3 4 3 4 6

Resolvemos los determinantes de 2 x 2 para poder completar el determinante tal y como se muestra a continuación:

= 2[(6)(7)-(9)(3)] -2[(4)(7)-(6)(3)] +1[(4)(9)-(6)(6)]

= 2[(42)-(27)] -2[(28)-(18)] +1[(36)-(36)]

= 2[15] -2[10] +1[0]

= 30 -20 +0

= 10

= 4[(2)(7)-(9)(1)] -6[(2)(7)-(6)(1)] +3[(2)(9)-(6)(2)]

= 4[(14)-(9)] -6[(14)-(6)] +3[(18)-(12)]

= 4[5] -6[8] +3[6]

= 20 -48 +18

= -10

= 6[(2)(3)-(6)(1)] -9[(2)(3)-(4)(1)] +7[(2)(6)-(4)(2)]

= 6[(6)-(6)] -9[(6)-(4)] +7[(12)-(8)]

= 6[0] -9[2] +7[4]

= 0 -18 +28

= 10

Obteniendo los menores de cada uno quedaría:

m11 = 15 m12 = 10 m13 = 0m21 = 5 m22 = 8 m23 = 6m31= 0 m32 = 2 m33 = 4

2. Obtengan cada uno de los cofactores de dicho determinante.

Aij = (-1)i+j|aij|

A11 = (-1)1+1|m11| = (-1)2|15| = 15A12 = (-1)1+2|m12| = (-1)3|10| = -10A13 = (-1)1+3|m13| = (-1)4| 0 | = 0

2


6


determinante

A21 = (-1)2+1|m11| = (-1)3| 5 | = -5A22 = (-1)2+2|m12| = (-1)4| 8 | = 8A23 = (-1)2+3|m13| = (-1)5| 6 | = -6A31 = (-1)3+1|m11| = (-1)4| 0 | = 0A32 = (-1)3+2|m12| = (-1)5| 2 | = -2A33 = (-1)3+3|m13| = (-1)6| 4 | = 6

Trabajo individual:

Cada integrante deberá elegir una fila diferente y obtener el determinante a partir de dicha fila.

Método de expansión por cofactores

(como no pude trabajar por equipo hice las operaciones para las tres filas)

|A| = a11 A11 + a12 A12 + a13 A13

|A| = (2)(15) + (2)(-10) + (1)(0)|A| = 30 -20 +0|A| = 10

|A| = a21 A21 + a22 A22 + a23 A23

|A| = (4)(-5) + (6)(8) + (3)(-6)|A| = -20 +48 -18|A| = 10

|A| = a31 A31 + a32 A32 + a33 A33

|A| = (6)(0) + (9)(-2) + (7)(4)|A| = 0 -18 +28|A| = 10

Cada integrante deberá elegir una columna diferente y obtener el determinante a partir de dicha

columna.

(como no pude trabajar por equipo hice las operaciones para las tres columnas)

|A| = a11 A11 + a21 A21 + a31 A31

|A| = (2)(15) + (4)(-5) + (6)(0)|A| = 30 -20 +0|A| = 10

|A| = a12 A12 + a22 A22 + a32 A32

|A| = (2)(-10) + (6)(8) + (9)(-2)|A| = -20 +48 -18

2


7


determinante

|A| = 10

|A| = a13 A13 + a23 A23 + a33 A33

|A| = (1)(0) + (3)(-6) + (7)(4)|A| = 0 -18 +28|A| = 10

Trabajo en equipo:

3. Compartan y analicen con sus compañeros de equipo los procedimientos y resultados que obtuvieron

al trabajar individualmente con el determinante asociado a la matriz del problema: Sustancias que

funcionan como superproteínas.

4. Respondan la siguiente pregunta:

¿Los resultados que obtuvo cada uno fueron iguales o diferentes? Expliquen por qué.

Los resultados fueron iguales para todas las filas y todas las columnas, por lo tanto podemos decir que

esta correcto el procedimiento.

2


8

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