Alyk Fylla Ergasias Alg Evang

8/18/2019 Alyk Fylla Ergasias Alg Evang

1/118


2/118


3/118

Συμμετέχοντες σε ετήσια βάση:

Κώστας Γαβρίλης Σχολικός σύμβουλος Δ΄Αθήνας

Παναγιώτα Αργύρη ΠΠΛ Ευαγγελικής Σχολής Σμύρνης

Πέτρος Αρμάος 6ο ΓΕΛ Καλλιθέας

Αντωνία Αρμάου Ελληνογαλλική Σχολή Jeanne d ́Arc

Γιάννης Γιώτης 2ο ΓΕΛ Αργυρούπολης

Μυρτώ Καλαφάτη Ιδιωτική Εκπαίδευση

Χρήστος Καννάβης 2ο ΣΔΕ Φυλακών Κορυδαλλού

Μαρία Κυλιάδου 2ο Γυμνάσιο Αγ. Δημητρίου «Δημήτρης Γληνός»

Αμαλία Μανιατοπούλου Ιδιωτική Εκπαίδευση

Νίκος Μαυρογιάννης ΠΠΛ Ευαγγελικής Σχολής Σμύρνης

Λεμονιά Ραχιώτου 5ο ΓΕΛ Λαμίας

Αποστόλης Σίδερης 3ο ΓΕΛ Αλίμου

Πόπη Σιώπη ΠΠΛ Ευαγγελικής Σχολής Σμύρνης

Αποστόλης Σπύρου 1ο ΓΕΛ Δάφνης

Ειρήνη Σπύρου 1ο ΓΕΛ Αγ. Δημητρίου

Σωτήρης Στόγιας Ιδιωτική Εκπαίδευση

Άλκης Τζελέπης ΠΠΛ Ευαγγελικής Σχολής Σμύρνης

Αναστασία Φανέλη 6ο ΓΕΛ Περιστερίου «Καβάφειο»

Σωτήρης Χασάπης ΠΠΛ Ευαγγελικής Σχολής Σμύρνης


4/118

Εργαστήριο Άλγεβρας Πρότυπου Πειραματικού Λυκείου Ευαγγελικής Σχολής Σμύρνης Σελίδα 2


5/118

ΠΡΟΛΕΓΟΜΕΝΑ

Το σχολικό έτος 2014-2015 ένα από τα θέματα που απασχόλησαν το Εργαστήριο

Άλγεβρας ήταν ή διδασκαλία Άλγεβρας για 'Ολους .

Πίσω από αυτό το τίτλο βρίσκεται η έγνοια και η συνακόλουθη προσπάθεια όλα τα

παιδιά να μπορέσουν να προσεγγίσουν το μορφωτικό αγαθό της Άλγεβρας. Εστιάσαμε τηνπροσπάθεια μας στην υποστήριξη της διδασκαλίας της Άλγεβρας της Α΄Τάξης σε τρεις

τάξεις ισάριθμων Λυκείων: 5ο Λαμίας, 3ο Αλίμου, 2ο Αργυρούπολης όπου, αντίστοιχα,

δίδαξαν οι εκπαιδευτικοί Λεμονιά Ραχιώτου (Διευθύντρια), Αποστόλης Σίδερης και

Γιάννης Γιώτης.

Ένα από τα βασικά υλικά που χρησιμοποιήθηκαν ήταν τα φύλλα εργασίας που

εκπονήθηκαν και συζητήθηκαν στο Εργαστήριο. Στα φύλλα αυτά καλύπτονται οι βασικές

έννοιες και δεξιότητες ενώ πιο σύνθετες δεξιότητες-ασκήσεις καλύφθηκαν με πρωτοβουλία

των διδασκόντων.

Το όλο εχγείρημα παρουσιάτηκε στην 3η Ετήσια Ημερίδα του Εργαστηρίου που

πραγματοποιήθηκε στο Ίδρυμα Ευγενίδου (29-6-2015) υλικά της οποίας μπορούν να

βρεθούν στο Ιστολόγιο του Εργαστηρίου ( http://algebrateacherlab.blogspot.gr ).

Ελπίζοντας ότι τα φύλλα αυτά θα είναι χρήσιμα τα παραδίδουμε στην εκπαιδευτική

κοινότητα.

Σεπτέμβριος 2015



6/118



7/118

Περιεχόμενα Σελ .

Σύνολα 7

Πιθανότητες 11

Δυνάμεις 14

Ισότητα 18

Ταυτότητες 24

Διάταξη πραγματικών αριθμών 27

Διαστήματα 29

Απόλυτη τιμή πραγματικών αριθμών 34

Απόλυτη τιμή και πράξεις 39Απόλυτη τιμή και διάταξη 42

Τετραγωνική ρίζα πραγματικών αριθμών 46

Ρίζες πραγματικών αριθμών 50

Εξισώσεις 1ου βαθμού 54

Η εξίσωση x ν =α 57

Εξισώσεις 2ου βαθμού 61

Τύποι του Vieta 67

Ανισώσεις 1ου βαθμού 71

Ανισώσεις 2ου βαθμού 76

Αριθμητική πρόοδος 83

Γεωμετρική πρόοδος 89

Η έννοια της Συνάρτησης 97

Γραφική παράσταση Συνάρτησης 103

Η Συνάρτηση f(x)=αx+β 106

Μελέτη της Συνάρτησης f(x)=αx2 110

Μελέτη της Συνάρτησης f(x)=αx2 +βx +γ 113



8/118



9/118

Σύνολα

Συντάκτες: Στόγιας Σωτήρης, Λέλα Λυμπεροπούλου



10/118

ΓΝΩΣΤΙΚΟ

ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΟ:

Σύνολα αριθμών . Τοποθέτηση αριθμών πάνω στον

άξονα .

Πυκνότητα ΤΑΞΗ:

A ΛΥΚΕΙΟΥΤΜΗΜΑ: ΔΙΑΡΚΕΙΑ: 1 δ. ώρα ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: / /

Φύλλο εργασίας Πραγματικών Αριθμών Μέρος 1

ο

Μια κυκλική ρόδα, με διάμετρο 1cm, κινείται επάνω σε έναν άξονα με μονάδα 1cm. Σε ένα σημείο της

έχει μια γραφίδα Γ που αφήνει σημάδι όταν ακουμπά στον άξονα. Η γραφίδα αφήνει σημάδι στο 0.

1. Κατασκευάστε έναν άξονα με μονάδα 1cm και βαθμολογήστε τον στα σημεία που ακουμπά η γραφίδα

Γ, όταν γνωρίζετε ότι περνάει από το 0.

2. Πάνω στον ίδιο άξονα τοποθετείστε τα σημεία: √ 3, -3.14, , 1.333…, 53 , 3.14,√ 48

3 ,63 , συν 30

ο , 2 ,

√ 3 + √ 483 , √ 3 ∙√ 48

3 , √ 3 + 53 ,

53 3.14.

3. Χρησιμοποιώντας τις παρατηρήσεις σας από τις κατασκευές του ερωτήματος 2 χαρακτηρίστε με Σ

(σωστό) ή Λ (λάθος) τις παρακάτω προτάσεις:

Α. Ο αριθμός -3.14 είναι άρρητος

Β. Ο αριθμός√ 48

3 είναι ρητός

Γ. Ο αριθμός 2 είναι ρητός

Δ. Ο αριθμός 2 είναι πραγματικός

Ε. Ο αριθμός √ 3 + √ 483 είναι άρρητος

ΣΤ. Ο αριθμός -3.14+5

3

είναι άρρητος

Ζ. Ο αριθμός -3.14∙5 3 είναι ρητός

Η. Ο αριθμός √ 3 ∙ √ 483 είναι φυσικός

Θ. Ο αριθμός √ 3 ∙ √ 483 είναι πραγματικός

Ι. Δεν υπάρχει άλλος ρητός αριθμός ανάμεσα στους αριθμούς53 και

63

10

Γ



11/118

ΤΑΞΗ: Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΜΗΜΑ: ΔΙΑΡΚΕΙΑ: 1 δ. ώρα ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: / /

ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ ΜΑΘΗΤΗ:……………………………………………….

Φύλλο εργασίας Πραγματικών Αριθμών Μέρος 2ο

Δραστηριότητα 1η

Σας δίνονται οι παρακάτω αριθμοί

-2 , 4,1

2 ,

4

3− , 25 , -1 , 0.6 ,

14

3 , 2 ,

6

3 , 5 , 0.3 ,

3

2 , 17 , 4 ,

13

3

1.1. Όπως έχουμε αναφέρει στο προηγούμενο κεφάλαιο είναι ⊆ ⊆ ⊆ . Αφού εντοπίσετε ποιοι απότους παραπάνω αριθμούς είναι φυσικοί , ακέραιοι , ρητοί και άρρητοι , να τους τοποθετήσετε στο

παρακάτω διάγραμμα Venn και στη συνέχεια στον άξονα των πραγματικών αριθμών με την ίδια σειρά .

1.2. Μπορείτε να αναφέρετε έναν αριθμό o οποίος βρίσκεται μεταξύ των13

3 και

16

3;

……………………………………………………………………………………………………………

1.3. Μπορείτε να αναφέρετε έναν αριθμό o οποίος βρίσκεται μεταξύ των

13

3 και

14

3 ;



12/118

……………………………………………………………………………………………………………...

1.4. Μπορείτε να αναφέρετε δύο αριθμούς oι οποίοι βρίσκονται μεταξύ των13

3 και

14

3;

……………………………………………………………………………………………………………

1.5. Δώστε ανάλογο παράδειγμα με αριθμούς της επιλογής σας . 1.6. Εξηγήστε με ποιο κριτήριο επιλέξατε τους αριθμούς του προηγούμενου ερωτήματος .

1.7. Γενικεύοντας πόσους αριθμούς μπορείτε να βρείτε οι οποίοι βρίσκονται ανάμεσα στους δύο αριθμούςπου διαλέξατε ;

1.8. Πόσο εύκολο είναι να παρασταθούν όλοι αυτοί οι αριθμοί πάνω άξονα των πραγματικών αριθμών;

Δραστηριότητα 2η στον Η/Υ.

Εκτελέστε την δραστηριότητα του αρχείου Geogebra για εντοπισμό της θέσης δεκαδικών αριθμών πάνωστην αριθμογραμμή .



13/118

Πιθανότητες

Συντάκτης: Τζελέπης Άλκης



14/118


ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ ΜΑΘΗΤΗ: …………………………………………………

ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ στις Πιθανότητες

Σε ένα λούνα παρκ υπάρχει ο τροχός της τύχης που έχει έξι ίσους

κυκλικούς τομείς. Σε τρεις από αυτούς υπάρχει η ένδειξη «χάνεις»,

σε άλλους δύο υπάρχει η ένδειξη 3 € και σε έναν η ένδειξη 4 €.

Η συμμετοχή σε κάθε γύρο του τροχού είναι 2 €. Από τις έως τώρα

γνώσεις και εμπειρία σας να εκτιμήσετε:

1. την πιθανότητα σε μία προσπάθεια ο παίκτης να χάσει

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

2. την πιθανότητα σε μία προσπάθεια ο παίκτης να κερδίσει 3 €

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

3. την πιθανότητα σε μία προσπάθεια ο παίκτης να κερδίσει 4 €

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………….

4. αν ο παίκτης παίξει 30 φορές, πόσες φορές αναμένεται να χάσει

…………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………….

5. αν ο παίκτης παίξει 30 φορές, πόσες φορές αναμένεται να κερδίσει 3 €

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

6. αν ο παίκτης παίξει 30 φορές, πόσες φορές αναμένεται να κερδίσει 4 €

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

7. το συνολικό ποσό της συμμετοχής για 30 γυρίσματα του τροχού

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………….



15/118

8. ποιο ποσό αναμένεται να εισπράξει συνολικά αν παίξει 30 φορές

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

9. αν το παιχνίδι ευνοεί τον παίκτη ή τον ιδιοκτήτη

…………………………………………………………………………………………………….………………………………………………………………………………………………………….……

10. Να απαντήσετε αν είναι Σωστές ή Λάθος οι παρακάτω προτάσεις (με αιτιολόγηση):

α) «αν γυρίσουμε τον τροχό 6 συνεχόμενες φορές θα χάσουμε 3 φορές, θα κερδίσουμε από 3 € δύο

φορές και 4 € μία φορά»

β) «αν γυρίσουμε τον τροχό 10 φορές δεν είναι δυνατόν να χάσουμε και τις 10 φορές»

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

11. Να συμπληρώσετε τα κενά στην παρακάτω πρόταση: «αν επαναλάβουμε το πείραμα 1000 (ή 10000, ή

100000 ή όσο περισσότερες φορές μπορούμε), τότε η πιθανότητα να χάσουμε είναι ……, η πιθανότητα

να κερδίσουμε 3 € είναι …… και η πιθανότητα να κερδίσουμε 4 € είναι ……»

Ας προσπαθήσουμε να απαντήσουμε στις παρακάτω ερωτήσεις:

Πώς θα ορίζατε την έννοια της πιθανότητας;

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

Ποιες τιμές μπορεί να πάρει η πιθανότητα ενός ενδεχομένου;

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

Ο τροχός: http://www.shodor.org/interactivate/activities/BasicSpinner/


http://www.shodor.org/interactivate/activities/BasicSpinner/http://www.shodor.org/interactivate/activities/BasicSpinner/http://www.shodor.org/interactivate/activities/BasicSpinner/


16/118

Δυνάμεις

Συντάκτες: Ροϊδούλα Κιούφτη, Μαυρογιάννης Νίκος



17/118



ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ στις Δυνάμεις

Αν έχουμε το γινόμενο α ⋅α το γράφουμε για συντομία 2α (διαβάζεται «άλφα στο τετράγωνο»). Όμοια αντίγια α ⋅ α ⋅ α γράφουμε 3α (διαβάζεται «άλφα στον κύβο») αντί για α ⋅ α ⋅ α ⋅ α γράφουμε 4α (διαβάζεται«άλφα στην τετάρτη») κ. ο. κ.

1. Να γράψετε με σύμβολα το «άλφα στην πέμπτη»: ………………….

2. Να γράψετε με σύμβολα το «βήτα στην εβδόμη»: ………………….

3. Να γράψετε με συντομία το α ⋅ α ⋅ α ⋅ α ⋅ α ⋅ α ⋅ α : ………………….4. Να γράψετε με συντομία το x x x x x x x x x x⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ : …………….5. Να συμπληρώσετε τις ισότητες γράφοντας το τελικό αποτέλεσμα:

32 = …….. 23 = …….. ( )3

2− = ……… ( )2

3− = ………31 = ……… 13 = …………

Γενικά αντί γιαέ

...ν ϕορ ς

α ⋅ α ⋅ α ⋅ α

γράφουμε να . Δηλαδή:

έ

...ν

ν ϕορ ς

α = α ⋅ α ⋅α ⋅ α

Το να λέγεται ν-οστή δύναμη του α . Το α λέγεται βάση της δύναμης και το ν εκθέτης.

6. Να γράψετε την δύναμη με βάση x και εκθέτη 3:…………………………….

7. Να γράψετε την δύναμη με βάση p και εκθέτη 5:…………………………….

8. Να γράψετε ως μία δύναμη με βάση το α το γινόμενο ( ) ( )α ⋅ α ⋅ α ⋅ α ⋅ α ⋅ α ⋅ α ⋅ α ⋅ α ⋅ α ⋅ α ⋅ α : ……...

9. Να γράψετε ως μία δύναμη με βάση το α το γινόμενο α4 α5 : …………………….

10. Να γράψετε ως γινόμενο δύο δυνάμεων του α τη δύναμη α6 : ………………….….

11. Να γράψετε ως μία δύναμη με βάση το α το πηλίκο α ⋅ α ⋅ αα ⋅ α ⋅ α ⋅ α ⋅ α ⋅ α ⋅ α ⋅ α ⋅ α

: ……………

12. Να γράψετε ως μία δύναμη με βάση το α το πηλίκο α ⋅ α ⋅ α ⋅ α ⋅ α ⋅ α ⋅ α ⋅ α ⋅ α

α ⋅ α ⋅ α: ……………

13. Να γράψετε ως μία δύναμη με βάση το 0α ≠ το πηλίκο11

7

αα

: ………………….

14. Να γράψετε ως μία δύναμη του 0α ≠ το πηλίκο7

11

αα

: ………………………….

15. Για 0α ≠ βρείτε το11

11αα : ………………..



18/118

16. Να βρείτε ένα κανόνα για να γράφουμε ως μία δύναμη το γινόμενο ν µα ⋅α : ……………………

17. Για 0α ≠ να βρείτε ένα κανόνα για να γράφουμε ως μία δύναμη το πηλίκον

µ

αα

όταν το ν είναι

μεγαλύτερο από τοµ : …………………………………………

18. Για 0α ≠ να βρείτε ένα κανόνα για να γράφουμε με την βοήθεια μίας δύναμης το πηλίκον

µ

αα

όταν το ν

είναι μικρότερο από το µ : ………………………………………….

19. Για 0α ≠ να βρείτε ένα συμβολισμό για να γράφουμε ως μία δύναμη το πηλίκο ν

µ

αα

όταν το ν είναι

μικρότερο από το µ : ………………

20. Να συγκρίνετε τα1

να και

1 ν

α

: ……………………………………..

Μέχρι στιγμής έχουμε ορίσει το να όταν το ν είναι θετικός ακέραιος. Ορίζουμε ακόμη για 0α ≠ το 0α να

είναι το 1 και για ν θετικό ακέραιο το −να να είναι το 1να που είναι το ίδιο με το 1

ν

α . Έτσι:

1 1 ν

−νν

α = = α α

21. Βρείτε τα 32− = ……. 23− = ……3

3

2

=

……..

32

3

− =

……..

03

4

=

…………..

22. Να υπολογίσετε τις παραστάσεις:

1

21 22

− + =

………………………………………………………………….……………………..

(22)-1+20+03= ………………………………………………………………………………………..

Έχουμε πλέον ορίσει την δύναμη του α σε οποιοδήποτε ακέραιο εκθέτη. Απλώς αν ο εκθέτης είναι μικρότερος ή ίσος του μηδενός η δύναμη ορίζεται για 0α ≠ . Συνοψίζοντας έχουμε:

1 0 0

10

έ

... ί ό έ

ί ό έ

ν ϕορ ς

ν

−ν

α ⋅ α ⋅ ⋅ α αν ο ν ε ναι θετικ ς ακ ραιος

α = αν ν = και α ≠

αν ο ν ε ναιαρνητικ ς ακ ραιος και α ≠ α

Για τις δυνάμεις με ακέραιο εκθέτη επεκτείνονται οι ιδιότητες των δυνάμεων που έχουμε μάθει στο

Γυμνάσιο:

( )νµ µνα = α , ( )

µ µ ναβ = α α ,µ µ

µ

α α=

β β



19/118

23. Αν 3 27α = και 3 31β = τότε ( )3

αβ = …………………………………………..

24. Αν 3 11α = τότε 6α = …………………………………………………………….

25. Αν 4αβ = τότε 2 2α β = …………………………………………………………..

26. Αν 3 28α = και 3 14β = τότε3

α= β

……………………………………………

Μερικές φορές αντί για πολλά γράμματα χρησιμοποιούμε το ίδιο γράμμα αλλά με τόνους: , ', '', ''' α α α α κ. ο.

κ. Επίσης χρησιμοποιούμε το ίδιο γράμμα αλλά με δείκτες:1 2 3 , ,α α α κ. ο. κ. Οι δείκτες είναι ονόματα και

δεν πρέπει να συγχέονται με τις δυνάμεις.

27. Δίνεται ότι: α1=3, α2=-1, α3=6, α4=-5, α5=-4, α6=7 και α7=0. Να συμπληρωθούν οι ισότητες:

1 3α + α = …………………………………………………………………………………………

2 3 1

2 3 4

−α + α + α = ………………………………………………………………………………….

1 2 2 3 3 4+ + +α + α + α = ………………………………………………………………………………

Συμπλήρωμα:

Μερικές ερωτήσεις κατανόησης:

Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις με Σ αν είναι σωστές ή με Λ αν είναι λανθασμένες:

i. Ισχύει 5( 2) 0− > ……………………….

ii. Ισχύει 8( 3) 0− > ……………………….

iii. Ισχύει 83 0− > ………………………….

iv. Ισχύει 73 0− >

………………………….v. Ισχύει ( 4)( 3) 0−− > ………………………

vi. Ισχύει 03 0− > …………………………..

vii. Ισχύει ( 1) 0ν − > , αν ν άρτιος……………

viii. Ισχύει ( 1) 0ν − < , αν ν περιττός………….

ix. Ισχύει ( 1) 0ν − = , αν ν=0……………………

x. Αν 0α ≠ τότε ισχύει 2 0ν α > , για κάθε φυσικό αριθμό ν………….

xi. Αν 2α κ = τότε 32 8α κ + = + …………………..



20/118

Ισότητα

Συντάκτες: Σίδερης Αποστόλης, Κανάβης Χρήστος



21/118



ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ στην Ισότητα

Ποιο είναι πιο βαρύ ένα κιλό σίδερο ή ένα κιλό βαμβάκι;

Απάντηση: Είναι ίσα.

Ένα τούβλο ζυγίζει 1 Κιλό και μισό τούβλο. Πόσα κιλά ζυγίζουν τα δύο τούβλα;

Απάντηση:4 κιλά. Από την αρχική πρόταση προκύπτει πως αν αφαιρέσουμε μισό τούβλο από κάθε ζύγι, θα

βρούμε πως το μισό τούβλο ζυγίζει ένα κιλό.

Ιδιότητες του =

1. Αν α β = τότε και αντίστροφα β α = συμβ. α β β α = ⇔ =

Ασκήσεις 1. Συμπληρώστε τα παρακάτω κλάσματα ώστε να ισχύει το ίσον:

α)12

17 17 17= +

β)

12

17 17 17−=

γ)12 7

17 17+= −

δ)

9

17 17−=

2. Αν α β = και β γ = τότε α γ =

συμβ. (α β = και β γ = )⇒ α γ =

3.α β

γ δ

=+

=

τότε α γ β δ + = +

συμβ. (α β = και γ δ = ) α γ β δ ⇒ + = +

Πόρισμα

α β

γ γ

=+

=

τότε α γ β γ + = +



22/118

συμβ. (α β = και γ δ = )α γ β γ ⇔ + = +

Συμπληρώστεα β

γ δ −

==

τότε…………….. συμβ………………


γ γ −

==

τότε…………….. συμβ………………

Ασκήσεις:2. Διατυπώστε τους κανόνες που περιγράφουν τις ιδιότητες του πίνακα 3. (μόνο το πρώτο κελί)

3. Παρατηρήστε ότι στον πίνακα 3 έχουμε χρησιμοποιήσει στη μια περίπτωση «⇒ » ενώ στην άλλη

« ⇔ » , γιατί;

4. Αποδείξτε ότι 3 5 5 3α α + = ⇔ = −

5. Αποδείξτε χρησιμοποιώντας τις ιδιότητες του πίνακα 3 την ιδιότητα του πίνακα 2.

4.α β

γ δ ⋅

==

τότε α γ β δ ⋅ = ⋅ συμβ. (α β = και γ δ = ) α γ β δ ⇒ ⋅ = ⋅

Πόρισμα

α β

γ γ ⋅

==

0γ ≠

τότε α γ β γ ⋅ = ⋅

συμβ. (α β = και 0γ ≠ ) α γ β γ ⇔ ⋅ = ⋅


γ δ ÷

==

, 0γ δ ≠

τότε…………….. συμβ………………


γ γ ÷

==

0γ ≠

τότε…………….. συμβ………………

Ασκήσεις:6. Διατυπώστε τους κανόνες που περιγράφουν τις ιδιότητες του πίνακα 4.

7. Παρατηρήστε ότι στον πίνακα 4 έχουμε χρησιμοποιήσει στη μια περίπτωση «⇒ » ενώ στην άλλη

« ⇔ » , γιατί;

8. Αποδείξτε το αντίστροφο του πορίσματος στον πίνακα 4, δηλαδή

(α γ β γ ⋅ = ⋅ και 0γ ≠ ) α β ⇒ =

9. Αποδείξτε την ισοδυναμία8

3 83

α α = ⇔ =

10. Αποδείξτε την ισοδυναμία 9 5 95

α

α = ⇔ = ⋅



23/118

11.α γ

α δ β γ β δ

= ⇔ ⋅ = ⋅ με , 0 β δ ≠

5. Αν 0α β ⋅ = τότε και αντίστροφα 0α = ή 0 β = συμβ. ( )0 0 0ήα β α β ⋅ = ⇔ = =

Αν 0α β ⋅ ≠ τότε και αντίστροφα 0α ≠ και 0 β ≠ συμβ. ( )0 0 0α β α καιβ ⋅ ≠ ⇔ ≠ ≠

Ασκήσεις

12. Αν ( ) ( )1 2 3 0 x y− ⋅ + = υπολογίστε τα , x y

13. Αν ( )3 0 x y⋅ + ≠ τι συμπεραίνουμε για τα , x y ;

Σχόλιο - Συζήτηση

Δίνεται η εξίσωση 2 x x= . Ακολουθούν δύο διαφορετικές λύσεις της: Α. 2 2 1 x x x x x= ⇔ = ⇔ = Β. ( )2 2 0 1 0 0 1 x x x x x x x ή x= ⇔ − = ⇔ − = ⇔ = = Σχολιάστε την ορθότητα ή μη των δύο λύσεων.

Γενικές ασκήσεις

14. Να γίνουν οι αναγωγές, όπου είναι δυνατόν:

α) 2 23x 4 4x 2x x− + − + = β) 3 2x x+ = γ) 3 2 2 2 3 2 2 22x y xy x y x y xy 4x yω − + ω + ω + − ω =

15. Γράψτε την παράσταση3

2 3 4 5 45

α β γ δ ζ − + + − − ώστε ο 2ος και 3ος όρος να είναι σε παρένθεση

με το + μπροστά ενώ οι δύο τελευταίοι όροι σε παρένθεση με το – μπροστά.

16. Γράψτε το x y− με τρείς τρόπους χρησιμοποιώντας πρόσημα και παρενθέσεις.

17. Αν 2α = − και 4 β = συμπληρώστε i) 3α = ii) 2α + = iii) 2α + = iv) 3 7α − + =

v) α β ⋅ = vi) 2 3α β − = vii)3α

β =

18. αν

2 3 2

3

α β

και

β γ δ

+ =

= − ποια σχέση συνδέει τα α, γ, δ;



24/118

19. Αν3 2 9

2 2

α β γ

α β γ

+ + =− + = −

τότε: 4 3α β γ + + =

20. Να κάνετε τις πράξεις,

( ) ( )) 2 5 6 3 3 7 3 4α + − − − − =

( )( )) 3 5 2 2 x x x β − − − =

( ) ( )1 1

) 3 3 1 4 22 3

x x x xγ + + − − − − =

2 2 1 2 4) 1 : 2

5 3 5 3 3δ

− − − =

21. Να γίνουν οι πράξεις: α) ( )( ) ( )5

2 3x y 3 x 1 y 2 4 xy 1

2

− + + + + − − + =

β)

x1

2x 1

+=

+ γ)

3y

21

3x2

−=

+

δ)

142 2

1 1

+ α − α− =

α + α −

22. Στη σχέση 3 4 9 x y− + = αντικαταστήστε τα , x y από τις σχέσεις 3 1 x α = − και 4 3 y α = − .Ακολούθως υπολογίστε το α .

23. Αν 2 1α β + = να βρείτε την τιμή της παράστασης ( ) ( )1 2 2α α β α Α = + + +

24. α) Α=3 2

a β − κάντε πράξεις

β) αν 5 xα = και x β = βρείτε το Α μόνο με τη βοήθεια του x.

25. Αν είναι3 2 5

α β γ= = και 20α + β + γ = να βρείτε τους αριθμούς , ,α β γ .

(Υπόδειξη: Θέτουμε3

α= λ ∈ )

Ερωτήσεις Κατανόησης

Α. Να χαρακτηρίσετε κάθε μία από τις παρακάτω προτάσεις ως Σωστή (Σ) ή Λάθος (Λ).

1. Αν α γ β δ + = + τότε ισχύει ότι α β και γ δ = =

2. Ανα γ

β δ =

τότε ισχύει ότι α γ και β δ = =



25/118

3. Αν α γ β γ ⋅ = ⋅ τότε ισχύει α β = .

4. Αν ( ) ( )α γ β α γ δ − ⋅ = − ⋅ τότε ισχύει ότι β δ =

5. Η ισότητα ( )( )1 2

21

x x x

x

− −= −

− ισχύει για όλους τους πραγματικούς αριθμούς.

6. Ισχύει η ισοδυναμία: ( ) ( )1 2 0 1 2 x x x ή x− ⋅ − ≠ ⇔ ≠ ≠ .

7. Αν 0 β ≠ και 0

α

β =

τότε 0α = .

8. Αν 1α β ⋅ = τότε 0 0α και β ≠ ≠ .

9. Για κάθε πραγματικό αριθμό x ισχύει:

2 2 x x− =

10. Για κάθε πραγματικούς αριθμούς α, β ισχύει: a β β α − = −



26/118

Ταυτότητες

Συντάκτης: Χασάπης Σωτήρης



27/118



ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ στις Ταυτότητες και στην Απόδειξη

Δραστηριότητα 1η .

Έχουμε δύο τετράγωνα με πλευρές α και β αντίστοιχα. Ένα τρίτο τετράγωνο έχει πλευρά α+β.

1. Να εξετάσετε αν τα δύο πρώτα τετράγωνα μαζί έχουν το ίδιο εμβαδόν με το τρίτο τετράγωνο

2. Ανοίξτε το «Ταυτότητα α+β.ggb», στο οποίο βλέπετε τα τρία τετράγωνα και δικαιολογήστε την απάντησή σας.

3. Μετακινήστε τα τετράγωνα, για να συγκρίνετε το συνολικό εμβαδόν των δύο πρώτων τετραγώνων με εκείνο του

τρίτου.

4.Μεταβάλετε τα μήκη των ευθυγράμμων τμημάτων α και β. Ισχύουν τα ίδια συμπεράσματα;

5.Μπορείτε τώρα να συγκρίνετε τις ποσότητες (α+ β)2 και 2 + 2 ;

6.Μπορείτε να βρείτε κατά πόσο υπολείπεται η μία ποσότητα από την άλλη; Αναζητήστε το στη γεωμετρική

ερμηνεία.

7.Με βάση τις παρατηρήσεις σας συμπληρώστε την ταυτότητα (α+ β)2 = α2+β2+.....και αποδείξτε την αλγεβρικά με

τη βοήθεια της επιμεριστικής ιδιότητας.


Χρησιμοποιώντας το αρχείο α+β3.ggb να εξετάσετε με όμοιο τρόπο με εκείνον της δραστηριότητας 1 αν ισχύει η

ισότητα: ( + )3 = 3 + 3 για οποιεσδήποτε τιμές των

α, β.



28/118

Διάταξη πραγματικών αριθμών

Συντάκτης: Σιώπη Πόπη



29/118



ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ στις Βασικές έννοιες της διάταξης στο σύνολο των πραγματικών αριθμών

Δραστηριότητα 1η:

Να συγκρίνετε τους αριθμούς α και β και να βρείτε το πρόσημο της διαφοράς τους σε κάθε μια από τις

παρακάτω περιπτώσεις:

α=12 , β=3

i) 12 …. 3 και 12-3 …..0

ii) 3 …. 12 και 3- 12 …..0

α=5 ,και β=-4

i) -4 …. 5 και -4 –5…. 0

ii) 5 …. -4 και 5 – (-4)…0

α=-20 , β=-8

i) -20 …. -8 και -20- (-8) ….0

ii) -8 …. -20 και -8- (-20) ….0

α) Υπάρχει σχέση μεταξύ της διάταξης των αριθμών α και β και του προσήμου της διαφοράς τους;

β) Τα προηγούμενα συμπεράσματά σας ισχύουν για οποιουσδήποτε πραγματικούς αριθμούς α και β;

γ) Τι θα συμβαίνει στην περίπτωση που οι αριθμοί α και β είναι ίσοι μεταξύ τους;

Να περιγράψετε αλγεβρικά τη σχέση της διάταξης μεταξύ δυο αριθμών α και β με το πρόσημο της

διαφοράς τους α-β .


Για τα προηγούμενα ζεύγη αριθμών α, β να προσδιορίσετε το πρόσημο του αθροίσματος, του γινομένου

και του πηλίκου τους .

α=12 , β=3

i) α + β

ii) α ⋅ β

iii)αβ

α=5 ,και β=-4

i) α + β

ii) α ⋅ β

iii)αβ

α=-20 , β=-8

i) α + β

ii) α ⋅ β

iii)αβ

α) Τι συμπεραίνετε για το πρόσημο του αθροίσματος, του γινομένου και του πηλίκου τους σε σχέση με το

πρόσημο των αριθμών α, β;β) Τα συμπεράσματά σας ισχύουν για οποιουσδήποτε πραγματικούς αριθμούς α και β;

γ) Τι συμβαίνει στην περίπτωση της διαφοράς α-β;

δ) Αν γνωρίζετε το πρόσημο α) του αθροίσματος, β) του γινομένου ή γ) του πηλίκου δυο αριθμών α και β ,

μπορείτε να προσδιορίσετε το πρόσημο των α και β; Εξηγείστε.

Να διατυπώσετε και να περιγράψετε αλγεβρικά τα προηγούμενα συμπεράσματά σας.



30/118


Με βάση τη θέση των αριθμών α,

β και γ στον άξονα του σχήματος,

να βρείτε το πρόσημο της

παράστασης = −(+4)

Να αιτιολογήσετε την απάντησήσας


Έστω ότι α και β είναι δυο πραγματικοί αριθμοί. Αν ≥ 0 > 0 ,

α) τι συμπεραίνετε για το πρόσημο του γινόμενου τους α. β ;

β) τι συμπεραίνετε για το πρόσημο του αθροίσματός τους α+ β;


: Ένας μαθητής κάνει το συλλογισμό «Κάθε αριθμός α είναι ομόσημος με τον εαυτό του. Άρα, το

γινόμενο . είναι πάντα θετικό ως γινόμενο ομόσημων ή μηδέν αν α=0, συνεπώς θα ισχύει (1).Οπότε, αν β είναι ένας άλλος πραγματικός αριθμός , τότε θα ισχύει (2). Από (1) και (2) θα ισχύει

(3) . Με βάση τις σχέσεις (1), (2) και (3) , θα ισχύει και η ανισότητα (4) για κάθε πραγματικό αριθμό χ».

Ένας άλλος συμμαθητής του υποστηρίζει ότι ο ισχυρισμός (4) δεν ισχύει πάντα. Ποιος έχει δίκιο;

Εφαρμογές

1) Να συμπληρώσετε τα κενά ώστε να προκύπτουν αληθείς ισχυρισμοί.

α) < 1 , τότε το πρόσημο της παράστασης 1 είναι …………….. β) 1 1 > να βρεθεί το πρόσημο της παράστασης: + 1

5) Να βρείτε τους πραγματικούς αριθμούς α και β για τους οποίους ισχύει

i) ( 2)2 + ( + 2)2 = 0 2 + (2 )2 > 0 2 + 2 2( ) + 2 = 0



31/118

Διαστήματα

Σ υντάκτης: Μαυρογιάννης Νίκος



32/118



Φύλλο Εργασίας στα διαστήματα


Δίπλα σε κάθε ένα διάστημα να γράψετε τις ανισοτικές σχέσεις που το περιγράφουν:

Διάστημα Ανισοτική σχέση που ισχύει για ταστοιχεία του x

( )2 5 ,

[ )2 5 ,

( ]2 5 ,

[ ]2 5 ,

( )2 ,+∞

[ )2 ,+∞

( )2 ,−∞

( ]2 ,−∞


Στο παρακάτω σχήμα:

Να γράψετε υπό μορφή διαστήματος:

α) Όλους τους αριθμούς που βρίσκονται από το σημείο Α συμπεριλαμβανομένου έως το σημείο Β

συμπεριλαμβανομένου.

β) Όλους τους αριθμούς που βρίσκονται από το σημείο Α μη συμπεριλαμβανομένου έως το σημείο Γ

συμπεριλαμβανομένου. γ) Όλους τους αριθμούς που βρίσκονται αριστερά του Α (μη συμπεριλαμβανομένου);

δ) Όλους τους αριθμούς που βρίσκονται δεξιά του Α συμπεριλαμβανομένου και αριστερά του Γ μη

συμπεριλαμβανομένου.



33/118


Να αντιστοιχίσετε κάθε στοιχείο της Στήλης Α με ένα μόνο στοιχείο της στήλης Β.

Στήλη Α Στήλη Β

1. 0 2 x< < Α. [ )7, x ∈ − +∞

2. 0.5 x < Β.

3 8

10 10 x< ≤

3. 7 x− < Γ. ( ]0.15,2.13 x ∈

4.3

27

x− ≤ < Δ.3

2,7

x

∈ −

5. [ ]0.3,0.8 x ∈ Ε.

1,2

x ∈ −∞

6.10

,3

x ∈ −∞

ΣΤ.3

32,3

x

∈ −

7. [ )3, x ∈ +∞ Ζ. ( )0, 2 x ∈

8. 11 7 x− ≤ < − Η. [ )11, 7 x ∈ − −

9.15

2,13100

x< ≤ Θ. 3 x ≥

10. 5 1

23

x− < < I.10

3 x≥

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10


Να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα

Ανισότητα που ικανοποιεί ο

πραγματικός αριθμός x.

Διάστημα στο οποίο ανήκει ο

πραγματικός αριθμός x.

7 x < 7 x− ≥

32 3 x− ≤ ≤ − 1

02

x≥ ≥

0 x≤ ( 4, )∈ − +∞ x



34/118


Να εκφράσετε υπό μορφή ενός διαστήματος ή ένωσης διαστημάτων τις παρακάτω εκφράσεις:

Έκφραση για το x Σύνολο που περιγράφει την έκφραση: 3 2 x ή x≥ < − ( ) ( ), 2 3,−∞ − ∪ +∞

10 2 0 x ή x− ≤ < − ≥ [ ] [ )10, 2 0,− − ∪ +∞ 10 2 0 x ή x− ≤ < − < 10 0 x x− ≤ ………………………………………………………………………..

4. 0


35/118

Ανισοτική σχέση Διάστημα




Να γράψετε 20 αριθμούς του διαστήματος ( )0 1 , .


Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς;

[ ] [ ]2 4 2 4 , ,⊆ [ ] [ )2 4 2 4 , ,⊆ [ ] [ )2 4 2 , ,⊆ +∞ [ ] ( )2 4 5 , ,⊆ −∞ Σ



36/118

Απόλυτη τιμή πραγματικού αριθμού

Συντάκτες: Αρδαβάνη Πόπη, Καλογερία Ελισσάβετ, Τζελέπης Άλκης



37/118



Φύλλο Εργασίας στην Απόλυτη Τιμή Πραγματικού Αριθμού

ΜΕΡΟΣ 1ο

1) Πότε ισχύει κάθε μια από τις παρακάτω σχέσεις ανάμεσα στους αριθμούς α και – α;

i) α > -α …………….………….………

ii) α


38/118

Να γενικεύσετε τα ευρήματά σας

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………….

3)

Βρείτε στον άξονα τους πραγματικούς αριθμούς x, έτσι ώστε: • || = 2 • x 2 • να απέχουν από το μηδέν απόσταση μεγαλύτερη από 2 • |x| > 2 Τι παρατηρείτε;

……………………………………………………………………………………………………………

………………....................................................................................................................................

Να γενικεύσετε τα ευρήματά σας

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….…………………………………………

…………………………………………...………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………..

4)

i) Πώς θα ορίζατε την απόλυτη τιμή ενός πραγματικού αριθμού x ;

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………….

ii) Να διατυπώσετε λεκτικά τον ορισμό

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………………………………………..

5) Πώς θα ορίζατε την απόλυτη τιμή του πραγματικού αριθμού 2 ;……………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………

Ασκήσεις:

Να βρείτε τις τιμές των παραστάσεων:

)

= |

1|,

)

= 2|

1| + 1

, )

= |

1| + |

+ 2| ,

με

2 <

< 1

,δ)

= |

3|

| 4|, ε) = || +|| , ∙ 0

ΜΕΡΟΣ 2o

6)

Είναι προφανές ότι ισχύει || = | 0| Πώς θα ερμηνεύατε γεωμετρικά το | 2|;……………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………...................................

7) Πώς θα ορίζαμε την απόλυτη τιμή της διαφοράς δύο αριθμών α, β;

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………....................................



39/118

………………………………………………………………………………………

| | =

8) Να συγκρίνετε τις απόλυτες τιμές |

| … |

|

Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας: ……………………………………………...

..……………………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………………………

9) Θεωρούμε δύο πραγματικούς αριθμούς α και β που παριστάνονται πάνω στον άξονα με τα σημεία Α

και Β αντίστοιχα

Να συμπληρώσετε τις παρακάτω προτάσεις, δίνοντας τις απαραίτητες επεξηγήσεις:

• Το μήκος του διαστήματος [, ], είναι ……………………………………………………………...……………………………………………………………………………………………………………

διότι……………………………………………………………………………………..……………………

………………………………………………………………….….…………………………………………

……………………………………………………………………………………………………….

• Ο αριθμός που αντιστοιχεί στο μέσο Μ του τμήματος ΑΒ, είναι ο ………………………………….…………………………………………………………………………………………………………….

διότι ………………………………………………………………………………………………………....………………………………….……………………………………………………..……………………

………………………………………………………………………. και ονομάζεται κέντρο του [, ]

10)

Να διαβάσετε (λεκτικά) τις σχέσεις χωρίς να χρησιμοποιείτε την έκφραση

Απόλυτη Τιμή:

| 4| = 3 ..………………………………………………………………………………………………..

| + 4| = 3 …………………………………………………………………………………………………

| 4| < 3 …………………………………………………………………………………………………| 4| > 3………………………………………………………………………………………………….

| 4| > - 5 ………………………………………………………………………………………………..| + 4| < - 5 ……………………………….…………………………………………..…………..............

11) Μπορείτε να βρείτε τις τιμές του x που ικανοποιούν κάθε μία από τις επόμενες σχέσεις;

| 4| = 3 …………………………………………………………………………………………………| + 4| = 3 …………………………………………………………………………………………………| 4| < 3 …………………………………………………………………………………………………| 4| > 3 …………………………………………………………………………………………………



40/118

| 4| > - 5 ……………………………………..……………………………………………....................| + 4| < -5 ……………………………….…………………………………………………..……………

Ασκήσεις:

1. Θεωρούμε δύο πραγματικούς αριθμούς α και β που παριστάνονται πάνω στον άξονα με τα σημεία

Α και Β αντίστοιχα

α) Αν θέλετε να χωρίσετε το παραπάνω ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ σε τρία ίσα μέρη, να υπολογίσετε

πόσο θα είναι το μήκος του καθενός από αυτά

β) Να βρείτε τους αριθμούς γ και δ (συναρτήσει των α και β ), πο που αντιστοιχούν στα σημεία Μ

και Ν του ευθύγραμμου τμήματος ΑΒ, έτσι ώστε ΑΜ = ΜΝ = ΝΒ

Τι μπορείτε να συμπεράνετε τότε για τα μήκη των διαστημάτων [, ], [, ] και [, ];2. Η απόσταση ενός πραγματικού αριθμού x από το 1 δεν ξεπερνά τις 2 μονάδες.

Να βρείτε την ελάχιστη και τη μέγιστη τιμή του x



41/118

Απόλυτη τιμή και πράξεις

ΣΥΝΤΑΚΤΕΣ: Γιώτης Γιάννης, Πετεινάρα Αλεξία



42/118

ΤΑΞΗ: Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΜΗΜΑ: ΔΙΑΡΚΕΙΑ: 1 δ. ώρα

ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: / /



1.1 Στον παρακάτω πίνακα Α, συμπληρώστε τις στήλες 1 έως 5.Πίνακας Α.

1 2 3 4 5 6 7

α β α⋅β |α| |β| Απόλυτο γινομένου

|α⋅β|

Γινόμενο

απολύτων

|α|⋅|β|

σύγκριση του |α⋅β|με το

|α|⋅|β|

Πρόσημο

των α, β

2 3

-2 -3

2 -5

-2 5

1.2 Συμπληρώστε τη στήλη 6 με ένα από τα σύμβολα «=», «».

Τι παρατηρείτε;……………………………………………………………………………………………..

1.3 Συμπληρώστε τη στήλη 7.

1.4 Συγκρίνοντας τα αποτελέσματα που καταγράψατε στη στήλη 6 με το πρόσημο των α, β που

συμπληρώσατε στη στήλη 7, νομίζετε ότι εξαρτάται το αποτέλεσμα της μίας στήλης από την άλλη;

Δικαιολογήστε την απάντησή σας ...............................................................................................................

1.5 Μπορείτε να γενικεύσετε τα συμπεράσματά σας; …………………………………………………….

1.6 Συμπληρώστε τα κενά: |α⋅β| … |α|⋅|β| για ……. α, β ∈R1.7 Πώς θα μπορούσαμε να αποδείξουμε την παραπάνω σχέση;

Α΄ΤΡΟΠΟΣ

Αν α0, άρα |α⋅β|=αβ=|α|⋅|β|

Β΄ΤΡΟΠΟΣ ΣΕΛ. 62 ΣΧΟΛ. ΒΙΒΛΙΟΥ



43/118


2.1 Στον παρακάτω πίνακα B. συμπληρώστε τις στήλες 1 έως 5.

Πίνακας Β.

1 2 3 4 5 6 7

Α β α+β |α| |β|

Απόλυτο τιμή του

αθροίσματος

|α+β|

Άθροισμα απολύτων

τιμών |α|+|β|

σύγκριση του

|α+β| με το |α|+|β| Πρόσημο

των α, β

-4 -6

4 6

-4 6

4 -6

2.2 Συμπληρώστε τη στήλη 6 με ένα από τα σύμβολα «=», «».

Τι παρατηρείτε; ……………………………………………………………………………………………

2.3 Συμπληρώστε τη στήλη 7.

2.4 Συγκρίνοντας τα αποτελέσματα που καταγράψατε στη στήλη 6 με το πρόσημο των α, β που

συμπληρώσατε στη στήλη 7, νομίζετε ότι εξαρτάται το αποτέλεσμα της μίας στήλης από την άλλη;

Δικαιολογήστε την απάντησή σας …………………………………………………………………………

2.5 Μπορείτε να γενικεύσετε τα συμπεράσματά σας; ……………………………………………………..2.6 Συμπληρώστε τα κενά: |α+β| … |α|+|β| για ……. α, β ∈R2.7 Πώς θα μπορούσαμε να αποδείξουμε την παραπάνω σχέση;

Α΄ΤΡΟΠΟΣ ΜΕ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ (ΒΛΕΠΕ ΠΙΝΑΚΑ)

Β΄ΤΡΟΠΟΣ ΣΕΛ. 63 ΣΧΟΛ. ΒΙΒΛΙΟΥ

2.8 Πότε ισχύει η ισότητα : |α +β| =|α| + |β|

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

1. Αν |α|= α και |β|> β να αποδείξετε ότι αβ≤0.

2. |α| ≤2 και |β| ≤3 να αποδειχθεί ότι α) |2α+3β| ≤13 β) |5α-2β+1| ≤17

3. Για κάθε πραγματικό αριθμό χ να αποδείξετε:

4. Άσκηση Β1,Β3/σελ.68



44/118

Απόλυτη τιμή και διάταξη

Συντάκτες: Αρμάος Πέτρος, Μανιατοπούλου Αμαλία



45/118



Φύλλο Εργασίας στην Απόλυτη Τιμή και Διάταξη

Σε ένα υπό κατασκευή κτίριο, ύψους 50 μέτρων από την επιφάνεια

του εδάφους, με υπόγεια βάθους 20 μέτρων από την επιφάνεια του

εδάφους, οι εργάτες μετακινούνται στο κατάλληλο ύψος με μία

πλατφόρμα επιβίβασης – αποβίβασης. Προκειμένου οι εργάτες να

γνωρίζουν σε ποιο σημείο βρίσκονται κάθε στιγμή, υπάρχει

ηλεκτρονική ένδειξη για το ύψος σε μέτρα σε σχέση με την

επιφάνεια του εδάφους, θετική όταν βρίσκονται πάνω από αυτή και

αρνητική όταν βρίσκονται κάτω από αυτή.

Α. Απαντήστε στις παρακάτω ερωτήσεις:

1. Αν γνωρίζουμε ότι η πλατφόρμα απέχει από την επιφάνεια του εδάφους απόσταση μικρότερη από 9 m,

μεταξύ ποιων υψών κινείται;

Απ.: ......................................................................................................................

2.

Αν γνωρίζουμε ότι η πλατφόρμα απέχει από την επιφάνεια του εδάφους

απόσταση μικρότερη από 7 m, μεταξύ ποιων υψών κινείται; Απ.: ......................................................................................................................

3.

Αν γνωρίζουμε ότι η πλατφόρμα απέχει από την επιφάνεια του εδάφους

απόσταση μεγαλύτερη από 9 m, ποια είναι τα επιτρεπτά ύψη κίνησης της πλατφόρμας;

Απ.: ......................................................................................................................

4.

Αν γνωρίζουμε ότι η πλατφόρμα απέχει από την επιφάνεια του εδάφους απόσταση

μεγαλύτερη από 7 m, ποια είναι τα επιτρεπτά ύψη κίνησης της πλατφόρμας;

Απ.: ......................................................................................................................

5. Η πλατφόρμα έχει τη δυνατότητα να κινείται κάθε φορά 5 μέτρα προς τα πάνω ή

προς τα κάτω από το προηγούμενο σημείο στάσης. Αν η πλατφόρμα έχει σταματήσει 2 m πάνω από την

επιφάνεια του εδάφους ποια είναι τα επιτρεπτά ύψη κίνησης στην επόμενη χρήση της.

Απ.: ......................................................................................................................

6. Η πλατφόρμα έχει τη δυνατότητα να κινείται κάθε φορά 5 μέτρα προς τα πάνω ή

προς τα κάτω από το προηγούμενο σημείο στάσης. Αν η πλατφόρμα έχει σταματήσει 2 m κάτω από την

επιφάνεια του εδάφους ποια είναι τα επιτρεπτά ύψη κίνησης στην επόμενη χρήση της.

Απ.: ......................................................................................................................



46/118

Β.

1. Nα μεταφέρετε την κίνηση της πλατφόρμας στον άξονα ψ΄ψ, συμβολίζοντας

με ψ τη θέση της πλατφόρμας.

2. Απαντήστε στις ερωτήσεις Α1- Α6 με αλγεβρικό τρόπο

Α1 : ( , 0) 9 9 9 9d x x x< ⇔ < ⇔ − < <

Α2 : ………………………………………………………………..

Α3 : ………………………………………………………………..

Α4 : ………………………………………………………………..

Α5 : ………………………………………………………………..

Α6 : ………………………………………………………………..

3. Γενίκευση: α) Αν x 0, τότε……………………………….

β) Αν x >θ με θ>0, τότε……………………………….

4.

Εργασία για το σπίτι: Να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα

Απόλυτη

τιμή

Ανισότητα Γεωμετρική ερμηνεία Διάστημα

3 x < -3


47/118

3 x ≥ −

2 1 x + < −

2 1 x + > −

https://drive.google.com/file/d/0BzRYPL76qa4ickdKUElndHVOTWs/view?usp=sharing


https://drive.google.com/file/d/0BzRYPL76qa4ickdKUElndHVOTWs/view?usp=sharinghttps://drive.google.com/file/d/0BzRYPL76qa4ickdKUElndHVOTWs/view?usp=sharinghttps://drive.google.com/file/d/0BzRYPL76qa4ickdKUElndHVOTWs/view?usp=sharing


48/118

Τετραγωνική ρίζα πραγματικού αριθμού

Συντάκτες: Αρμάου Αντωνία, Καλαφάτη Μυρτώ



49/118



Φύλλο Εργασίας στην τετραγωνική ρίζα πραγματικών αριθμών


1.1

• Θυμάστε τους τετράγωνους αριθμούς; • Ποιοι τετράγωνοι αριθμοί υπάρχουν μέχρι το 100;

• Το 144 είναι τετράγωνος αριθμός;

• Να εξηγήσετε πώς εξετάζουμε αν ένας αριθμός είναι τετράγωνος.

• Ξέρατε ότι…

1.2

• Ο κ. Ισίδωρος έχει ένα χωράφι σχήματος τετραγώνου με εμβαδόν 81 m2. Πρέπει να περιφράξει με σύρμα τη βορινή πλευρά του χωραφιού. Πόσα μέτρα σύρμα θα

πρέπει να αγοράσει;

Να λύσετε το παραπάνω πρόβλημα με τη βοήθεια εξίσωσης.

• Αν το χωράφι του κ. Ισίδωρου έχει εμβαδόν 27 m2, πόσα μέτρα σύρμα θα πρέπει να αγοράσει;

1.3

Να αποδειχθεί ότι για κάθε x 0≥ ισχύει: 2 1 0x x+ + ≥


2.1

Να εξηγήσετε γιατί δεν ορίζεται στους πραγματικούς αριθμούς η τετραγωνική ρίζα

του -1 και κατά συνέπεια οποιουδήποτε αρνητικού αριθμού.

2.2 Ορίζεται η 2( 3)− ;……….. Ισχύει ότι 2( 3) 3− = − ;………………………….


3.1



50/118

Να βρείτε τις ρίζες: 25 , ( )2

5− , 2α

Τι παρατηρείτε; 3.2

α) Να βρείτε το ανάπτυγμα )( 2

7 3−

β) Να βρείτε τη ρίζα του 16 6 7−

3.3α) Αν 0 x > , να απλοποιήσετε την παράσταση: 2 225 4 A x x x= − −

β) Αν 0 y < , να απλοποιήσετε την παράσταση: 2 236 9 2 B y y y= − +


4.1

Παρατηρώντας τον παρακάτω πίνακα να απλοποιήσετε τις ρίζες και να βρείτε τις

τιμές των παρακάτω παραστάσεων.

50 18 8Α = − − 3 32 128 18Β = − + 5 1 5 1Γ = − ⋅ +

32 50 98

2+ +∆ = ( 12 48 27) 3Ε = + −

4.2

Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω ισότητες με Σ (Σωστό) ή Λ (Λάθος) ;

• 3 4 6 2⋅ = ⋅

•

−

=

β α

β α

1

• α β α β ⋅ = ⋅ με

,α β ∈

• 2014 2014 2014⋅ =

4.3

Να εξετάσετε αν 100 36 64= + .Μπορείτε να βγάλετε κάποιο συμπέρασμα για το άθροισμα τετραγωνικών ριζών; Ισχύει κάτι ανάλογο για τη διαφορά τετραγωνικών ριζών; Δώστε ένα παράδειγμα.


Να μετατρέψετε τα παρακάτω κλάσματα σε ισοδύναμα με ρητό παρονομαστή:



51/118

2

12,

6

5 2,

1

3 4−



52/118

Ρίζες πραγματικών αριθμών

ΣΥΝΤΑΚΤΕΣ: Αργύρη Παναγιώτα, Ραχιώτου Λεμονιά



53/118

Φύλλο εργασίας

ΓΝΩΣΤΙΚΟ

ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΟ:

Νιοστές Ρίζες Πραγματικών Αριθμών

ΤΑΞΗ: ΤΜΗΜΑ: ΔΙΑΡΚΕΙΑ: 1 δ. ώρα ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: / /

ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ ΜΑΘΗΤΗ:……………………………………………………


Ερώτημα 1.1

Ποια είναι η πλευρά τετραγώνου με εμβαδόν 64;

Απάντηση:…………………………………………..

Άρα 64 =..........

Ποια είναι η πλευρά κύβου με όγκο 64;

Απάντηση:…………….............................................

Άρα 3 64 =......

Ερώτημα 1.2

Να γενικεύσετε τα συμπεράσματα σας συμπληρώνοντας τα κενά στην ακόλουθηπρόταση:

Η νιοστή ρίζα ενός μη αρνητικού αριθμού α συμβολίζεται με v a και είναι ο μη

αρνητικός αριθμός ..… που όταν υψωθεί στη .................δίνει τον...............


Ερώτημα 2.1

Να εξετάσετε αν ορίζονται οι παρακάτω ρίζες και στην περίπτωση που υπάρχουν να

υπολογιστούν.

( )5 2− 5 =……………. 5 2 5 = …………… ( )4 2− 4 = …………… 4 2 4 = …..…..

Εξετάστε ποιες από τις παρακάτω ισότητες αληθεύουν:

4 10000 = 10……………………. 4 10000− = -10 …………………………….

Ερώτημα 2.2

Να γενικεύσετε τα συμπεράσματα σας ,συμπληρώνοντας τις ακόλουθες προτάσεις

Αν ν άρτιος και α≥0 τότε ν aν=………..

Αν ν άρτιος και α∈ R τότε ν a ν =………



54/118

Αν ν περιττός και α‹0 τότε ν aν=………

Αν ν περιττός και α›0 τότε ν a ν =………


Ερώτημα 3.1 Να υπολογίσετε τις ακόλουθες παραστάσεις :

Α) 3 64 = …………………. 6 64 = …………………..

Β) 4 4⋅ = …………………... 4 16 = …………………..

Ερώτημα 3.2

Να γενικεύσετε τα συμπεράσματα σας ,συμπληρώνοντας την ακόλουθη ισότηταµ ν α =.....................

Ερώτημα 3.3 Να αποδείξετε τα συμπεράσματα σας , συμπληρώνοντας τις ακόλουθες ισότητες.

(µ ν α )μν = ..........................................................................

( µν α ) μν = ...........................................................................


Ερώτημα 4.1

Να απλοποιηθούν ακόλουθες παραστάσεις : 3 2

8 = ……………………………………. ( )6 48 = ………………………………….

Τι παρατηρείτε; ………………………………………………………………………

Ερώτημα 4.2

Να γεν

Documents

Alyk Fylla Ergasias Alg Evang