Analisa Numerik

Matriks dan Komputasi

M AT R I K S

Matriks adalah suatu susunan angka atau bilangan,

variabel, atau parameter yang berbentuk empat persegi

dan biasanya ditutup dengan tanda kurung

K O N S E P M AT R I K S

Setiap bilangan pada matriks disebut elemen (unsur) matriks. Letak

suatu unsur matriks ditentukan oleh baris dan kolom di mana unsur

tersebut berada.

Suatu matriks dinyatakan dengan huruf kapital A , B , C ,. . . dan

seterusnya, sedangkan unsur matriks dinyatakan dengan huruf kecil

a, b , c , . . ., dan seterusnya.

Contoh :

a b

c d

Kolom ke 1

Kolom ke 2

baris ke 1 baris ke 2

A =

Matriks A mempunyai dua baris dan dua kolom. Oleh

karena itu kita katakan bahwa matriks A berordo 2 X 2

ditulis A2X2 atau (a22).

“Ordo suatu matriks ditentukan oleh banyaknya baris dan

banyaknya kolom dalam matriks tersebut.”

a b

c d

Kolom ke 1

Kolom ke 2

baris ke 1 baris ke 2

A =

Ke s a m a a n M a t r i k s

Matriks A dan matriks B dikatakan berordo sama atau berukuran sama

jika banyaknya baris dan banyaknya kolom pada matriks A sama

dengan banyaknya baris dan banyaknya kolom pada matriks B.

Contoh :

Matriks A berordo sama dengan matriks B, yaitu 2 x 3

a b c

d e f A =

a b c

d e f B = dan

M A C A M - M A C A M M AT R I K S

M AT R I K S B A R I S

Matriks Baris adalah matriks yang terdiri dari satu baris.

Contoh : A = ( 4 3 2 4 )

M AT R I K S KO L O M

Matriks Kolom adalah matriks yang terdiri dari satu kolom

Contoh : A =

4

5

-1

M AT R I K S P E R S E G I ATA U

M AT R I K S B U J U R S A N G K A R

Matriks Persegi atau matriks Bujur Sangkar adalah matriks yang

mempunyai jumlah baris = jumlah kolom

Contoh :

Contoh :

A =

4 5 -1

5 2 4

3 2 1

jumlah baris = jumlah kolom

M AT R I K S N O L

Matriks Nol adalah Suatu matriks yang setiap unsurnya 0

berordo m x n ,ditulis dengan huruf O

Contoh :

O2X3 =

0 0 0

0 0 0

0 0 0

MATRIKS SEGI TIGA

Matriks Segi Tiga adalah suatu matriks bujur sangkar yang

unsur-unsur dibawah atau diatas diagonal utama semuanya 0

(nol).

Contoh :

C = , D =

2 0 0 0

3 7 0 0

-9 0 8 0

4 1 -3 5

8 2 1 -3

0 6 5 4

0 0 3 7

0 0 0 9

M AT R I K S D I AG O N A L

Matriks Diagonal adalah suatu matriks bujur sangkar yang

semua unsurnya , kecuali unsur-unsur pada diagonal utama

adalah nol.

Contoh :

E =

5 0 0 0

0 7 0 0

0 0 -2 0

0 0 0 8

M AT R I K S S K A L A R

Matriks Skalar adalah matriks diagonal yang unsur-unsur pada

diagonal utama semuanya sama.

Contoh :

F =

7 0 0 0

0 7 0 0

0 0 7 0

0 0 0 7

M AT R I K S I D E N T I TA S ATA U

M AT R I K S S AT U A N

Matriks Identitas atau Matriks Satuan adalah matriks diagonal

yang unsur-unsur pada diagonal utama semuanya 1 (satu)

ditulis dengan huruf I.

Contoh :

I3 = , I4 =

1 0 0

0 1 0

0 0 1

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

I3 adalah matriks identitas ordo 3 dan I4 adalah matriks identitas ordo 4

M AT R I K S S I M E T R I S

Matriks Simetri adalah suatu matriks bujur sangkar yang

unsur pada baris ke-i kolom ke-j sama dengan unsur pada

baris ke-j kolom ke-i sehingga aij = aji.

Contoh : G =

Unsur pada baris ke-2 kolom ke-4 adalah 9 dan unsur pada baris

ke-4 kolom ke-2 juga

1 3 2 5

3 4 6 9

2 6 7 8

5 9 10 2

M AT R I K S M E N D ATA R

Matriks Mendatar adalah matriks yang banyaknya baris

kurang dari banyaknya kolom.

Contoh : H2X3 = 3 2 1

4 5 1

M AT R I K S T E G A K

Matriks Tegak adalah suatu matriks yang banyaknya baris lebih

dari banyaknya kolom.

Contoh : K3x2 =

1 -8

4 1

9 1

Penulisan Matriks dengan Matlab

Contoh

Tuliskan matriks berikut: A(3,1) = 3;

A(3,2) = 0;

A(3,3) = 0;

A(3,4) = 0;

A(4,1) = 4;

A(4,2) = 0;

A(4,3) = 0;

A(4,4) = 0;

A =

Cara I:

A(1,1) = 1;

A(1,2) = 2;

A(1,3) = 3;

A(1,4) = 4;

A(2,1) = 2;

A(2,2) = 0;

A(2,3) = 0;

A(2,4) = 0;

Cara 2

A = [ 1 2 3 4; 2 0 0 0; 3 0 0 0; 4 0 0 0];

Cara 3 >> A = zeros(4); (Ket: semua elemen diisi dgn nol

>> r = 1:4;

>> A(:,1) = r'; (ket: % kolom pertama)

>> A(1,:) = r; (Ket: % baris pertama)

>> A

Cara 4 >> A = [1 2 3 4; 2 zeros(1,3); 3 zeros(1,3); 4 zeros(1,3)];

M AT R I K S T R A N S P O S ( notasi At ) Transpos A adalah matriks baru dimana elemen kolom pertama = elemen baris pertama matriks A, elemen kolom kedua = elemen baris kedua matriks A, elemen kolom ketiga = elemen baris ketiga matriks A.

Misal Matriks A =

Maka Transpos A adalah At =

Jadi jika ordo matriks A = 3x4 maka ordo matriks transpos adalah 4x3

1 -2 5 8

9 1 4 2

0 3 -2 -3

1 9 0

-2 1 3

5 4 -2

8 2 -3

Transpose dengan Matlab

Cari transpose Matriks:

Jawab

>> A = [3 8 -1; 5 2 0];

>>A

>> transpose (A)

Lihat apa yang terjadi

O P E R A S I M AT R I K S

P E N J U M L A H A N D A N

P E N G U R A N G A N 2 M AT R I K S

Dua matriks dapat dijumlahkan atau dikurangkan

jika ordonya sama.

Misal ordo matriks A = 2 x 3 dan ordo matriks B = 2 x

3, maka keduanya dapat dijumlahkan atau dikurangkan.

C ON TOH

Jika A = , dan B =

Maka A + B =

A - B = =

3 2 1

5 4 6

7 5 -3

-2 1 0

10 7 -2

3 5 6

3-7 2-5 1-(-3)

5-(-2) 4-1 6-0

-4 -3 4

7 3 6

Penjumlahan/Pengurangan dengan

Matlab

Diketahui:

Maka nilai C = A+B dan D = A – B adalah

P E R K A L I A N B I L A N G A N R E A L

D E N G A N M A T R I K S

Jika k adalah suatu bilangan Real (skalar) dan Matriks A = (aij), maka Matriks kA = (kaij) adalah suatu matriks yang di peroleh dengan mengalikan semua elemen matriks A dengan k.

Jadi, jika A = , maka : kA =

Contoh : Misal A = ,

maka 3A = 3 = =

7 5 -3

-2 1 0

a11 a12

a21 a22

ka11 ka12

ka21 ka22

7 5 -3

-2 1 0

3.7 3.5 3.(-3)

3.(-2) 3.1 3.0

21 15 -9

-6 3 0

Dengan Matlab

>> A = [7 5 -3; -2 1 0];

>> B = 3* A

Hasilnya:

B =

21 15 -9

-6 3 0

PERKALIAN MATRIKS DENGAN MATRIKS

(PERKALIAN 2 MATRIKS)

Matriks A yang berordo mxp dengan suatu matriks B yang

berordo pxn adalah matriks C yang berordo mxn.

A mxp.Bpxn = C mxn

Dalam perkalian matriks ini yang perlu diperhatikan adalah :

Banyaknya kolom pada matriks A harus sama dengan

banyaknya baris pada matriks B. Jika hal ini tidak dipenuhi,

maka hasil kali matriks tidak didefinisikan.

Secara umum jika A = >> ordo matriks 2x3

B = >> ordo matriks 3x2 C = A . B = >> ordo matriks 2x2

Dimana

a11 a12 a13

a21 a22 a23

b11 b12

b21 b22

b31 b32

c11 c12

c21 c22

c11 = a11b11+a12b21+a13b31

c12 = a11b12+a12b22+a13b32

c21 = a21b11+a22b21+a23b31

c22 = a21b12+a22b22+a23b32

Contoh Diketahui

A = I dan

Hitung A*B dan A/B!

Hasilnya:

>>A = eye(2); B = [1 2; 3 4];

>>C = A*B

C =

1 2

3 4

>> C = A/B

C =

-2.0000 1.0000

1.5000 -0.5000

Latihan

Diketahui:

Buatlah script untuk menghitung:

Transpose matriks A, B, dan X

A + B dan A – B

A x B, X x A, dan X x B

Hatur Nuhun