DEDUCCIÓN DE LAS ECUACIONES DE NAVIER STOKES Introducción Uno de los campos de la física más complicados de estudiar son los fluidos, el comportamiento de gases y líquidos en movimiento. Comprender, por ejemplo, los flujos de aire turbulento o los remolinos que se forman cuando el agua discurre por una tubería o la sangre por una arteria son de suma importancia, tanto para la ingeniería como para la medicina. Las ecuaciones que rigen la dinámica de fluidos son las conocidas como ecuaciones de Navier-Stokes, producto del francés constructor de puentes Claude-Louis Navier y del matemá-tico irlandés George Stokes. El primero en obtener estas ecuaciones fue el francés en una época (1822) en que no se comprendía muy bien cuál era la física de la situación que estaba matematizando. De hecho, lo único que hizo fue modificar unas ecuaciones ya existentes y obtenidas por el famoso matemático Euler, de modo que incluyesen las fuerzas existentes entre las moléculas del fluido. Aproximadamente 20 años después, Stokes justificó las ecuaciones del ingeniero francés deduciéndolas adecuadamente. A pesar de que las ecuaciones de Navier-Stokes son sólo una aproximación del comportamiento real de los fluidos, se utilizan para estudiar cualquier aspecto que tenga que ver con éstos; el problema es que si uno estudia el movimiento de un fluido con estas ecuaciones, es incapaz de prever si ese movimiento se va a mantener siempre o se va a complicar. Ecuaciones de Navier Stokes La segunda ley de Newton establece que la rapidez de cambio de momentum de una partícula de fluido es igual a la suma de las fuerzas que están actuando sobre el fluido. Rapidez de incremento Suma de las fuerzas que están actuando De momentum de una = sobre la partícula del fluido. Partícula de fluido Clasificándose las fuerzas en: Fuerzas Superficiales: la fuerza causada por la diferencia de presiones, la fuerza de viscosidad, la tensión superficial. Fuerzas Volumétricas: La fuerza de gravedad, la fuerza centrifuga, la fuerza coriolis y la fuerza electromagnética. Por lo que de acuerdo a la segunda ley de newton:

SmWidadvisfzapresionfzaam +++= cos... (1)

para el movimiento de un fluido la tensión superficial juega un papel poco importante siendo por ese motivo que no se toma en cuenta, Sm es todas las demas fuerzas volumétricas que podrían estar afectando el movimiento del fluido bajo una condición dada. utilizando el punto de vista lagrangiano, la velocidad “V” (y por tanto sus componentes vx, vy, y vz) en cada punto del fluido dependerá del punto de que se trate y del tiempo que se considere matemáticamente:

),,,(),,,(),,,(

3

2

1

tzyxfvtzyxfvtzyxfv

z

y

x

=

=

=

En un instante “t” determinado estas ecuaciones nos dan la velocidad del fluido en cada punto del espacio, es decir la configuración del flujo en ese instante; mientras que en un punto determinado (x, y, z) las mismas ecuaciones nos dan la variación de la velocidad con el tiempo en ese punto. Se tiene por tanto. (2a) (2b) (2c) y dividendo los dos miembros de las 3 ecuaciones anteriores por dt se tiene: (3a) (3b) (3c) Ya que: Ahora sabemos que:

dzzvdy

yvdx

xvdt

tvdv

dzzv

dyyv

dxxv

dttv

dv

dzzv

dyyv

dxxv

dttv

dv

zzzzz

yyyyy

xxxxx

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂=

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂=

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂=

zz

yz

xzzz

zy

yy

xyyy

zx

yx

xxxx

vzvv

yvv

xv

tv

dtdv

vzv

vyv

vxv

tv

dtdv

vzv

vyv

vxv

tv

dtdv

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂=

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂=

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂=

zyx vdtdzv

dtdyv

dtdx

=== ,, ,

zz

yy

xx a

dtdva

dtdv

adtdv

=== ,, ,

Por lo que: (4a) (4b) (4c) Consideremos ahora la siguiente figura, donde el punto A(x, y, z) se encuentra en el centro del elemento del fluido con un volumen dzdydx ,, .

Figura 1. Componentes de la presión en la dirección x Sea ),,( zyxfp = la presión en el punto A. Sobre las 6 caras del cubo actúa la fuerza debida a la presión por claridad en la figura solamente se han indicado las fuerzas debidas a la presión que actúan sobre las caras normales al eje x. La presión en la cara vertical izquierda será:

2dxxppdpp∂

∂−=+

y en la cara vertical derecha

2dx

xppdpp∂

∂+=+

ahora realizando la suma para obtener el diferencial de presión en la dirección x

dxxpdx

xppdx

xpp

∂

∂−=⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛∂

∂−−

∂

∂−

2)

2(

y sabiendo que la fuerza es igual a la presión por el área. Por lo que la fuerza que esta actuando en la dirección x debida a la presión es igual:

zz

yz

xzz

z

zy

yy

xyy

y

zx

yx

xxx

x

vzvv

yvv

xv

tva

vzv

vyv

vxv

tv

a

vzvv

yvv

xv

tva

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂=

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂=

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂=

(5a) (5b) (5c) el peso del fluido en este caso solamente actúa sobre el eje z siendo este la masa del fluido contenida en el cubo por la aceleración de la gravedad:

gdxdydzdW ρ−= El estado de los esfuerzos sobre un elemento de un fluido es definido en términos de la presión y las nueve componentes de los esfuerzos viscosos los cuales se muestran en la figura siguiente, los esfuerzos viscosos son indicados por τ. La notación de los subíndices τij es aplicado para indicar la dirección de los esfuerzos viscosos. Los subíndice i y j indican que la componente del esfuerzo actúa en la dirección j sobre una superficie normal a la dirección i. Ahora para obtener una fuerza viscosa por unidad de volumen, considérese el elemento de fluido con volumen dzdydx ,, . Por el momento si solo se toman los esfuerzos viscosos que actúan en la dirección x. Por lo que la fuerza en la dirección x es la suma de las componentes de los esfuerzos actuando en esa dirección sobre el elemento del fluido.

Figura 2. componentes de los esfuerzos en la dirección x

Por lo que el esfuerzo que esta actuando en las caras E,W es igual

dxx

dxx

dxx

xxxxxx

xxxx ∂

∂=⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛∂

∂−−

∂

∂+

τττ

ττ

21)

21(

en las caras N,S es:

dxdydzxppx ∂∂

−=

dxdydzyppy ∂∂

−=

dxdydzzppz ∂∂

−=

dyy

dyy

dyy

yxyxyx

yxyx ∂

∂=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂

∂−−

∂

∂+

τττ

ττ

21)

21(

y finalmente en las caras T,B:

dzz

dzz

dzz

zxzxzx

zxzx ∂

∂=⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛∂

∂−−

∂

∂+

τττ

ττ

21)

21(

pero si la fuerza es igual a la presión por el área, entonces la fuerza que esta actuando sobre el elemento del fluido en la dirección x esta dada por:

dzdydxz

dydxdzy

dxdydzx

f zxyxxxx ∂

∂+

∂

∂+

∂

∂=

τττ en la dirección x (6a)

dzdydxz

dydxdzy

dxdydzx

f zyyyxyx ∂

∂+

∂

∂+

∂

∂=

τττ en la dirección y (6b)

dzdydxz

dydxdzy

dxdydzx

f zzyzxzz ∂

∂+

∂

∂+

∂

∂=

τττ en la dirección z (6c).

recordando la ecuación establecida de acuerdo con la segunda ley de Newton

SmWidadvisfzapresionfzaam +++= cos... poniendo las componentes de cada fuerza para la dirección x y sabiendo que el diferencial de masa contenido en el volumen del fluido es igual:

dxdydzdw ρ=

( ) ( )

dxdydzSMdxdydzzyx

gdxdydzdxdydzxpv

zv

vyv

vxv

tv

dxdydz

xzxyxxx

zx

yx

xxx

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂

+−+⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛∂

∂−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂

τττ

ρρ

+

dividendo ambas partes de la ecuación entre el volumen diferencial ( )dxdydz la ecuación anterior nos queda:

xzxyxxx

xzx

yx

xxx SM

zyxg

xpv

zv

vyv

vxv

tv

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂+−

∂

∂−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂ τττρρ eje x

yzyyyxy

yzy

yy

xyy SM

zyxg

ypv

zv

vyv

vxv

tv

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂+−

∂

∂−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂ τττρρ eje y

zzzyzxz

zzz

yz

xzz SM

zyxg

zpv

zvv

yvv

xv

tv

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂+−

∂

∂−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂ τττρρ eje z

Esfuerzo Viscoso Ahora se determinará el esfuerzo viscoso que surge del movimiento cortante. Considérese primero el flujo cortante más simple que resulte posible, que es áquel entre dos planos paralelos según se muestra en la figura 3(a) . un elemento del fluido se deforma cuando la superficie superior se desliza respecto de su superficie inferior. Para un fluido newtoniano, en las superficies inferior y superior de un elemento de fluido se genera un esfuerzo cortante proporcionalmente al gradiente de velocidad y la viscosidad del fluido:

yux

xy ∂

∂= µτ

pero debe existir un esfuerzo complementario yxτ en las caras verticales del elemento de la figura 3(b) que es igual a xyτ , pues de lo contrario el movimiento de rotación del elemento sufriría una aceleración con una velocidad angular infinita al hacerse su tamaño infinitesimal. Una relación así debe cumplirse para cualquier dirección de los ejes como lo ejemplifica la figura 3(c):

zxxzzyyzyxxy ττττττ === ;; (a) (b) (c)

Figura 3. El movimiento de corte mas sencillo de (a) da origen a los esfuerzos

viscosos cortantes τxy y τyx que se muestran en (b). Si dicho movimiento esta en dirección y, los esfuerzos viscosos cortantes son los de (c)

Ahora considérese un flujo cortante en el cual las placas que lo limitan están orientadas en la dirección y. El esfuerzo cortante τxy en la superficie de este elemento es:

xyy

yx xv

τµτ =∂

∂=

cualquier combinación de los flujos que describe la figura 3(b) y (c) origina esfuerzos viscosos que son simplemente la suma de cada unas de estas contribuciones por separado:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂

∂+

∂

∂=

∂

∂+

∂

∂==

xv

yv

xv

yv yxyx

yxxy µµµττ

Este resultado es válido para el movimiento cortante o tangencial en el plano x, y de la figura 3. También deben cumplirse relaciones parecidas en los planos y,z y z,x. En un fluido newtoniano los esfuerzos viscosos son proporcional a la deformación. La tridimensional forma de la ley de viscosidad de newton para flujos comprensibles envuelve dos constantes de proporcionalidad: la µ, que es la viscosidad dinámica relativa a las deformaciones lineales por los esfuerzos y λ, que es una viscosidad relativa a la deformación volumétrica. Los nueve componentes de los esfuerzos viscosos, de las cuales 6 son independientes, que son:

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛∂

∂+

∂

∂==⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂

∂+

∂

∂==⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂

∂+

∂

∂==

zv

xv

yv

zv

xv

yv xz

xzzxzx

zyyzyx

yxxy µττµττµττ ;;

los otros 3 son los componentes normales a la superficie del fluido, de los cuales el esfuerzo τxx actua en un plano normal al eje x y esta dado por:

τ xx == 2µ∂vx∂x

"

#$

%

&'+λ

∂vx∂x

+∂vy∂y

+∂vz∂z

"

#$

%

&'

no mucho se conoce acerca de la segunda viscosidad porque su efecto es pequeño en la practica. Sin embargo para los gases una buena aproximación puede ser obtenida tomando el valor de λ = -2/3 µ , el termino que acompaña a λ es la deformación volumétrica que esta dada por el divergente de la velocidad. Para los líquidos los cuales son incompresibles la deformación volumétrica es cero y estos 3 esfuerzos viscosos se definen por:

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛∂

∂=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂

∂=⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛∂

∂=

zv

yv

xv z

zzy

yyx

xx µτµτµτ 2;2;2

volviendo a la ecuación en la dirección x y sustituyendo el valor de los esfuerzos viscosos por su correspondiente:

yzxy

xyyz

yy

yx

yy

SMyv

zv

zV

yv

y

yv

xv

xg

ypv

zv

vyv

vxv

tv

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂∂

+∂∂

∂∂

++⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∇−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂

∂

∂∂

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂∂

+∂

∂

∂∂

+−∂∂

−=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂

µµ

µρρ

.232

xzxyxx

xx SMyv

zv

zxv

yv

yV

xv

xg

xpa +⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂

∂+

∂

∂

∂

∂+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂

∂+

∂

∂

∂

∂+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∇−⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛∂

∂

∂

∂+−

∂

∂−= µµµρρ .

232

poniendo el valor de ax nos da la ecuación de Navier Stokes para el eje x en su forma general y siguiendo lo mismo obtenemos para los demás ejes (y,z) Para la dirección x (7a) Para la dirección y (7b) Para la dirección z (7c) para el caso de un fluido incomprensible con viscosidad constante y si ∇.V=0 las ecuaciones de Navier stokes se simplifican de la siguiente manera: en la dirección x:

xzx

yxxxz

xy

xx

xx

SMyv

zv

z

xv

yv

yxv

xg

xpv

zv

vyv

vxv

tv

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂

∂+

∂

∂

∂

∂

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂

∂+

∂

∂

∂

∂+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛∂

∂

∂

∂+−

∂

∂−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂

µ

µµρρ 2

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

∂∂

+∂

∂+

∂∂

∂∂

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂∂

+∂∂

+∂∂

+−∂∂

−=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂

zv

yv

xv

xzv

yv

xvg

xpv

zvv

yvv

xv

tv zyxxxx

xzx

yx

xxx µµρρ 2

2

2

2

2

2

( ) xxxzx

yx

xxx SMV

xvg

xpv

zv

vyv

vxv

tv

+∇∂

∂+∇+−

∂

∂−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂.2 µµρρ ; en la direc. x

xzxyx

xxz

xy

xx

xx

SMyv

zv

zxv

yv

y

Vxv

xg

xpv

zvv

yvv

xv

tv

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂∂

+∂∂

∂∂

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂

∂+

∂∂

∂∂

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∇−⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛∂∂

∂∂

+−∂∂

−=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂

µµ

µρρ .232

zyxz

zxzz

zy

zx

zz

SMVyv

yzv

yv

y

xv

zv

xg

zpv

zvv

yvv

xv

tv

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∇−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂

∂

∂

∂+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂

∂+

∂

∂

∂

∂

+⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛∂

∂+

∂

∂

∂

∂+−

∂

∂−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂

.232µµ

µρρ

entonces las ecuaciones de Navier Stokes en su forma simplificada quedarían:

xxxzx

yx

xxx SMvg

xpv

zv

vyv

vxv

tv

+∇+−∂

∂−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂ 2µρρ ; para la dirección x

yyzy

yy

xyy SMvgy

ypv

zv

vyv

vxv

tv

+∇+−∂

∂−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂ 2µρρ ; para la dirección y

zzzzz

yz

xzz SMvg

zpv

zvv

yvv

xv

tv

+∇+−∂

∂−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂ 2µρρ ; para la dirección x