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Análisis M
atemático 2
UN
A C
UID
AD
OSA
SELE
CC
IÓN
DE
EJE
RC
ICIO
S RE
SUE
LTOS
MA
RTÍN
MA
ULH
AR
DT
CA
PÍTULO
1
Geom
etría del Plano.
El plano y el espacio constituyen el lugar geom
étrico sobre el cual vamos a trabajar
en casi todo este libro y donde se aplican los
teoremas
integrales en
los cuales
culmina esta m
ateria. La descripción del plano en coordenadas polares constituye una
herramienta
fundamental
para resolver m
uchos problemas.
CO
NTE
NID
OS
1.Conjuntos de puntos en R
2.
2.Inecuaciones.
3.R
epresentación geométrica.
SE
CC
IÓN
I
Coordenadas Cartesianas.
Esta sección es extremadam
ente sencilla y no debería representar m
ayor dificultad para el lector. Trabajarem
os sólo aquellos problemas en los cuales el
lector pueda
tener alguna
dificultad. Si
el lector
considera
obvio su
conten
ido puede
pasar directam
ente a la siguiente sección.
2
Problemas.
1. Describir m
ediante un gráfico las regiones planas descriptas por :
(a) A
={(x,y)∈
R2:x 2−
2x+y 24
−y≤
16}
(b) B
={(x,y)∈
R2:5sinh(x)<
y<3cosh(x)}
(c) C
={(x,y)∈
R2:sen(x)<
12 }
Solución.
(a) Un sim
ple completam
iento de cuadrados permite
identificar claramente de que se trata. En efecto
x 2−
2x+y 24
−y
=(x−
1) 2+( y2
−1) 2−
2
Luego el conjunto A se describe por la inecuación
(x−1) 2+
( y2−
1) 2≤18
Para poder realizar el gráfico aproxim
ado conviene escribirla en la form
a
(x−1) 2
18+
(y−2) 2
72≤
1
lo cual se representa geométricam
ente por el interior y el borde de una elipse con centro en el punto P
=(1,2) y
semiejes
18 y 72.
-20-15
-10-5
05
1015
20
-10 -5 5 10
3
(b) Este ejercicio es muy sencillo una vez que uno
recuerda las definiciones de las funciones hiperbólicas. R
ecordamos que
sinh(x)=
ex−
e −x
2 cosh(x)=
ex+
e −x
2
D
e esta definición observamos que la ordenada de
la función sinh(x) está siempre debajo de la ordenada
de la función cosh(x) para cada abscisa. Pero a nosotros nos interesa averiguar, ¿para que abscisas
5sinh(x)<3cosh(x)?
Esto
es, luego
de sim
plificar los
“2 ” de
los denom
inadores,
5ex−
5e −x<3e
x+3e −x
e 2x<
4
x<ln(2) .
El gráfico del conjunto B resulta entonces :
-5-4
-3-2
-10
12
34
5
-10 -5 5 10
El área comprend
ida entre estas
dos funciones hasta x =
ln(2) es
el gráfico d
el conjunto B
(c) Este ítem es un poco m
ás interesante que los dos anteriores. Es preciso hallar los (x,y)∈
R2 tales que
sen(x)<
12 .
Supongam
os prim
ero que x∈
[0,2π]. Entonces,
salvo q
ue
π6≤
x≤
56 π se
verificará n
uestra
desigualdad. Es decir nuestra desigualdad se verifica
en [0, π6 )∪( 56 π,2π] y entonces puede parecer errónea-
mente que nuestra solución es una unión de intervalos. 4
Nuestra solución es el conjunto de los (x,y) que la
satisfacen, no los x que la satisfacen. Por lo cual nuestra solución será un subconjunto del plano, no de la recta. D
icho conjunto se describe analíticamente así :
C=
{(x,y):x∈...( −76
π, π6 )∪( 56 π, 136
π)∪( 176
π, 256π)∪
...}.
Su gráfico es el siguiente.
-5-2.5
02.5
57.5
1012.5
-3 -2 -1 1 2 3
5
CO
NTE
NID
OS
1.Curvas en coordenadas polares.
2.D
escripción de conjuntos en coordenadas polares.
SEC
CIÓ
N 2
Coordenadas Polares
Esta sección es la primera del libro que no debe
subestimarse.
El m
otivo de
la dificultad
es que
debemos pensar el plano de otra m
anera a como
estamos acostum
brados. Debem
os identificar un punto del plano no por sus proyecciones sobre los ejes, sino por su distancia al origen, lo cual nos sitúa en una circunferencia, y luego por el ángulo que se form
a entre el eje x y el rayo que sale desde el origen hacia el punto. Los ejercicios seleccionados tienen por objetivo fam
iliarizarnos con estas ideas.
6
Problemas.
1. Trazar aproximadam
ente las curvas en coordenadas polares dadas por :
(a) r=2 0
<θ
<π
(b) θ=
π6
(c) r=2
cos(θ),0
≤θ
≤π2 .
Solución.
(a)Recordam
os que las coordenadas cartesianas se obtienen de las polares por las fórm
ulas
x
=r
cos(θ)
y
=r
sen(θ)
de lo cual se obtiene elevando al cuadrado ambos
miem
bros de cada ecuación y sumando m
iembro a
miem
bro que
x 2+
y 2=r 2.
En
nuestro caso
r=2 ,
así que
se obtiene
la ecuación de una circunferencia de radio 2 .
x 2+
y 2=4 .
La
solución anterior
no es
la m
ejor para
desarrollar el pensamiento en coordenadas polares.
Incidentalmente hay una pérdida de la variación de θ
que no se está teniendo en cuenta. Lo que hicimos fue
pasar la ecuación que nos dieron en coordenadas polares a las coordenadas cartesianas. Veam
os como
llegar al mism
o resultado pensando en coordenadas polares.
U
na ecuación de la forma r=
f(θ) define al radio en función del ángulo de la m
isma m
anera que una ecuación de la form
a y=
f(x) define la ordenada para cada abscisa. Entonces r=
2 nos dice que el radio es 2 para cada 0
<θ
<π. El gráfico resulta el siguiente, don-
de el lector debe dirigir su atención a que el plano está siendo
pensado en
coorden
adas
polares
y no
cartesianas.
A lo largo del curso utilizarem
os el color amarillo
en los gráficos cuando el plano tenga las coordenadas 7
polares y conservaremos el clásico blanco para las
coordenadas cartesianas.
-3.2-2.4
-1.6-0.8
00.8
1.62.4
3.2
-1.6
-0.8
0.8
1.60.5π
π
1.5π
(b)D
e las ecuaciones
x=
rcos(θ)
y=
rsen(θ)
deducimos que, excepto que algún denom
inador se anule
tg(θ)=yx .
Luego introduciendo el valor de θ que nos han dado obtenem
os
tg( π6 )=13
=yx
o lo que es lo mism
o
y
=x3
.
Pero
si procedem
os así
estamos
nuevamente
pensando el
plano el
coordenadas cartesianas
y podríam
os nuevamente agregar puntos que en la curva
polar (en coordenadas polares) no estaban. Volviendo a m
editar en coordenadas polares θ=
π6 representa el
ángulo igual a una constante. Es decir, representa una sem
irrecta. Dicha sem
irrecta la vemos en el siguiente
gráfico.
8
-4.8-4
-3.2-2.4
-1.6-0.8
00.8
1.62.4
3.24
4.8
-2.4
-1.6
-0.8
0.8
1.6
2.40.5π
π
1.5π
(c)Este ítem
es el más interesante del ejercicio, porque
verdaderamente el radio depende del ángulo com
o indica la fórm
ula r=2
cos(θ) . Si pasamos de esta
ecuación a
la correspondiente
en cartesianas
teniendo en cuenta que x=
rcos(θ)
encontramos
x 2+y 2=
2x
x 2+y 2
o lo que es lo mism
o
x 2+
y 2=2x
que luego de un completam
iento de cuadrados
(x−
1) 2+y 2=
1.
Esto representa una circunferencia de radio 1 con centro en el punto P
=(1,0).
Pero ya discutim
os los inconvenientes del paso a la ligera de las coordenadas cartesianas a las polares sin tener en cuenta el dom
inio de variación de las variables en cuestión. Si calculam
os para distintos valores de θ el valor
de r
obtendremos,
por ejem
plo, que
si θ
=0,
r=2 . Si θ
=π6 ,
r=3 . Si θ
=π4 ,
r=2 .
E
l gráfico
qu
e resu
lta es
enton
ces la
semicircunferencia
siguiente donde
volvemos
a graficar en am
arillo puesto que el plano está siendo pensado en coordenadas polares.
Podés ver una solución on-line clickeando en el
siguiente aquí.
9
-2.4-2
-1.6-1.2
-0.8-0.4
00.4
0.81.2
1.62
2.4
-1.2
-0.8
-0.4
0.4
0.8
1.2
0.25π
0.5π
0.75π
π
1.25π
1.5π
1.75π
2. Describir m
ediante inecuaciones en coordenadas cartesianas
las regiones
planas descriptas,
en coordenadas polares, por
(a) 1
<r≤
2,π6
≤θ
<π3
(b) r≤
4sen(θ),
θ∈
[0,π] .
Solución.
(a)En
los casos
en que
haya que
pasar de
las coordenadas polares a las cartesianas realizar el gráfico
previamente
puede resultar
muy
útil
porque ya se tendrá una idea de como describirlo
en coordenadas cartesianas.
Si r varía entre 1 y 2 es evidente que se trata de un
anillo y si simultáneam
ente el ángulo varía entre π6 y π3el anillo se reduce a un sector circular.
-3-2.5
-2-1.5
-1-0.5
00.5
11.5
22.5
3
-2
-1.5
-1
-0.5
0.5 1 1.5 20.5π
π
1.5π
La descripción en coordenadas cartesianas es m
uy
sencilla ahora pues al ser r=x 2+
y 2 obtenemos
1
<x 2+
y 2≤4
10
y al ser tg(θ)=yx obtenem
os
tg( π6 )≤tg(θ)<
tg( π3 )
o sea
13
≤yx
<3
donde hem
os usado
que la
función tangente
es creciente en el intervalo considerado por lo cual se conserva la desigualdad. La respuesta es entonces el sistem
a de inecuaciones
1<
x 2+y 2≤
4x3
≤y<
3x
(b)Ya conocem
os esta idea del ejercicio 1 (c). De
r≤
4sen(θ)
obtenemos
x 2+y 2≤
4y
x 2+y 2
es decir
x 2+
(y−2) 2≤
4.
-6-5
-4-3
-2-1
01
23
45
6
-2.5
2.5
0.25π
0.5π
0.75π
π
1.25π
1.5π
1.75π
(3)D
escribir mediante inecuaciones en coordenadas
polares la región plana descripta por
R=
{(x,y)∈R
2:x 2+y 2−
2y≤0,
y>∣x∣}.
11
Solución.
El gráfico resulta sencillamente
-3.2-2.4
-1.6-0.8
00.8
1.62.4
3.2
-1.6
-0.8
0.8
1.6
La prim
era inecuación re-escrita
x 2+y 2≤
2y
se describe en coordenadas polares
r 2≤2
rsen(θ)
o simplificando
r≤2
sen(θ) .
Y la segunda define trivialm
ente la variación del ángulo
π4<
θ<
3π4.
La
respuesta final
es entonces
el sistem
a de
inecuaciones
{0
<r≤
2sen(θ)π4
<θ
<3π4
O
bsérvese que el punto (0,0)∉R por eso hem
os escrito en la prim
era inecuación 0<
r .
12