ANÁLISIS COMBINATORIO

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CAPÍTULO 7

ANÁLISISCOMBINATORIO

7.1 FACTORIAL DE UN NÚMERO

Es el producto indicado de todos los números enteros desde la unidad hasta “n” inclusive. Se representa “n!” y se lee: “factorial de n”.

Por definición:

Ejemplos:

1) , o también:

2) , o también:

7.1.1 Propiedades de los factoriales

a)

Ejemplo:

b) y

Para encontrar un significado a 0! acorde a la definición, observa-mos lo siguiente: Para , en la primera propiedad:

, pero:

Para que esta expresión sea válida, convenimos en tomar .

c) ,

Ejemplo: Simplificar

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Álgebra Funda-mental

7.2. PRINCIPIO FUNDAMENTAL DEL CONTEOSi una acción puede efectuarse de n maneras diferentes, y si después de que esta acción ha sido efectuada de una de esas maneras, una se-gunda acción puede efectuarse de m maneras diferentes; entonces el número total de maneras diferentes en que las dos acciones pueden efectuarse siguiendo el orden mencionado es n m.

7.2.1 Consecuencias

a) Si una acción puede efectuarse de maneras diferentes, y una se-

gunda acción puede efectuarse de maneras diferentes, y una

tercera acción puede efectuarse de maneras diferentes, y así sucesivamente, entonces el número total de maneras diferentes en que pueden efectuarse todas estas acciones en el orden menciona-do es

b) Si “r” acciones pueden efectuarse sucesivamente de n maneras di-ferentes cada una, entonces el número total de maneras diferentes en que pueden efectuarse las r acciones sucesivamente es .

Ejemplos:

1) Hallar el número de enteros diferentes de tres cifras que pueden formarse con los dígitos 2, 3, 5, 7 en los casos siguientes:

a) No se permite la repetición.Primero trazamos tres líneas horizontales ,,, para indicar los tres lugares que deben llenarse. El primer lugar puede llenarse de cuatro formas distintas ya que la primera acción puede efec-tuarse con cualesquiera de los cuatro dígitos. Análogamente, el segundo lugar puede llenarse de tres formas distintas usando cada uno de los tres dígitos restantes. Habiendo llenado los dos primeros lugares, el tercer lugar puede llenarse de dos formas diferentes con cada uno de los dos dígitos restantes. Nuestros

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Análisis Combinatorio

tres lugares aparecen ahora como sigue: por lo tanto, por la primera consecuencia del principio fundamental del con-teo, el número pedido es el producto .

b) Se permite la repetición.Si se permite la repetición, los tres lugares aparecen como si-gue: y el número pedido es el producto .

2) ¿Cuántos enteros son pares en el ejemplo 1a?Para los números pares, el tercer lugar (las unidades) debe llenarse con el dígito 2, y esto sólo puede hacerse en una sola forma. Consi-derando los tres dígitos restantes, el primer lugar (las centenas) puede llenarse de tres formas diferentes, y el segundo lugar (las decenas) puede llenarse de dos formas. Por lo tanto, por la primera consecuencia del principio fundamental del conteo, el número total de enteros pares es .

7.3 VARIACIONES, COORDINACIONES O ARREGLOSSon los diferentes grupos que se pueden formar con una parte de los elementos de un conjunto dado.

7.3.1 Número de variaciones de “n” elementos de “r” en “r”Equivale a calcular el número de maneras en que podemos llenar “r” lugares cuando se tiene “n” objetos diferentes a nuestra disposición, lo cual se logra con:

;

Donde:

Son las variaciones de “n” elementos tomados de “r” en “r”.

Número de elementos disponibles.

Número de elementos que conforman un grupo.

Deducción de la fórmula:

El primer lugar puede llenarse de “n” formas diferentes, ya que en es-te punto todos los “n” objetos están disponibles.

El segundo lugar puede llenarse de formas diferentes con los objetos restantes.

Análogamente, el tercer lugar puede llenarse de formas diferen-tes, y así sucesivamente.

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Continuado este proceso, finalmente vemos que el lugar “r” puede lle-narse de formas diferentes. Entonces, por la prime-ra consecuencia del principio fundamental del conteo, el número total de formas está dada por la fórmula:

Multiplicando y dividiendo por :

En consecuencia, variaciones de “n” elementos tomados de “r” en “r” es igual a factorial de “n” entre factorial de .

Ejemplo:

Sean los elementos a, b, c, d. ¿Cuántas variaciones se pueden formar tomando las letras de dos en dos?

Aplicando la fórmula:

Los grupos son:ab, ac, ad, bc, bd , cd,

ba, ca, da, cb, db, dc.

Diferenciándose cada grupo ya sea en por lo menos una letra, ya sea en una diferente ordenación de ellas. Así, ab con ac se diferencian en una letra, ab con ba se diferencian en el orden.

7.3.2 PermutacionesSon los diferentes grupos que se pueden formar con todos los elemen-tos de un conjunto dado.

Donde: Son las permutaciones de “n” elementos.

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Ejemplo: Hallar el número de permutaciones de tres letras: a, b, c,

Los grupos son: abc, acb, bac, bca, cab, cba.

7.4 COMBINACIONES

Son cada uno de los diferentes grupos que pueden formarse tomando todos ó parte de los elementos de un conjunto, sin considerar el orden de los elementos tomados.

7.4.1 Número de combinaciones de “n” elementos tomados de “r” en “r”

Está dado por la fórmula: ,

Donde:

Son las combinaciones de “n” elementos tomados de “r” en “r”.


Número de elementos que conforman el grupo.

Deducción de la fórmula:

De cada combinación de “r” elementos diferentes podemos formar r! permutaciones. Por lo tanto, de todas las combinaciones podemos for-

mar un total de permutaciones que pueden igualarse a , o

sea, al número de variaciones de “n” elementos diferentes tomados de

“r” en “r”. Entonces: .

De donde:

En consecuencia, combinaciones de “n” elementos tomados de “r” en “r” es igual a factorial de “n” entre el producto de factorial de “r” y factorial de .Ejemplo: De cuántas maneras se pueden combinar cuatro elementos

tomados de dos en dos?

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Sean los elementos a, b, c y d.

Aplicando la fórmula:

Los grupos son: ab, ac, ad, bc, bd, cd.

7.4.2 Propiedades de las combinaciones

a) Combinaciones complementarias.- El número de combinaciones de “n” elementos tomados de en es igual al número de combinaciones de “n” elementos tomados de r en r .

Prueba:

Consecuencia:

Si se cumple que , luego ó .

Entonces, tomando combinaciones complementarias:

De donde: ó . ó .

b) Suma de combinaciones:

i)

Prueba:

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ii)

Prueba:

c) Degradación de índices: un número combinatorio se puede descom-poner en otro que tenga como índices superior e inferior una uni-dad menos que los originales, mediante la siguiente fórmula:

Prueba:

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d)

Prueba: a) b)

e)

Ejemplo: Hallar el valor de:

Como y son combinaciones complementarias, se

cumplirá

Reemplazando:

7.5 PERMUTACIONES CIRCULARES

Se denominan permutaciones circulares a las diferentes permutacio-nes que pueden formarse con n objetos distintos, donde no hay ni pri-mero ni último objeto, ya que todos forman un “círculo” (ó cualquier otra figura geométrica plana cerrada). El total de permutaciones circu-lares diferentes que pueden formarse con n objetos distintos, es

Ejemplo: ¿De cuántas maneras diferentes pueden sentarse nueve per-sonas alrededor de una mesa ovalada, si dos personas deter-minadas deben estar uno al lado del otro?

Se considera a las dos personas que se sentarán juntas como ocupando una sola posición. Entonces hay ocho personas que

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se sentarán alrededor de la mesa, que lo pueden hacer de 7! formas. Las dos personas juntas pueden ordenarse de 2! for-mas. Entonces, el número de ordenamientos con la condición dada es igual a 7! 2!.

7.6 PERMUTACIONES CON OBJETOS REPETIDOS

El número de permutaciones de n objetos de los cuales son iguales

entre sí, son iguales entre sí son iguales entre sí, que deno-

tamos , está dada por la expresión:

Ejemplos:

1) Las permutaciones a partir de las cuatro letras a, a, b, b, son aabb, abab, abba, baba, baab, bbaa. El número de estas permutaciones es:

2) El número de formas diferentes de permutar doce objetos iguales en todo, salvo el color, de los cuales tres son negros, cuatro son blancos y cinco son rojos es:

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PROBLEMAS RESUELTOS

1. Simplificar:

Solución:

Previamente descomponemos los factoriales:

Sustituyendo en la expresión dada:

Factorizando en el numerador y denominador:

Efectuando operaciones indicadas y simplificando

Simplificando términos en el numerador y denominador:

Factorizando n en el denominador:

Simplificando , queda

2. Calcular n en

Solución:

Factorizando las siguientes expresiones:

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Sustituyendo en la expresión dada:

Factorizando en el primer miembro de la igualdad:

De esta igualdad, se sigue que:

3. Calcular n en

Solución:

Desarrollando los factoriales hasta :

Hacemos , entonces se tiene:

Simplificando queda

4. Existen cinco carreteras entre las ciudades A y B, y cuatro carreteras en-tre las ciudades B y C. Hallar en número de formas diferentes en que una persona puede viajar de A y C, pasando por B.

Solución:

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: nº de formas diferentes en que una persona puede viajar de A a

: nº de formas diferentes en que una persona puede viajar de B a C=4

maneras

5. Encontrar el valor de r en

Solución:

Descomponiendo , se tiene:

Simplificando se obtiene , de donde se sigue que:

6. Encontrar r y n, si y

Solución:

De , se sigue que , luego

De , se sigue que ;

Desarrollando , queda ;

Probamos valores a partir de , se obtiene que cumple la igual-dad.

7. Calcular

Solución:

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8. Tres alumnos llegan a matricularse a un colegio que dispone de 8 aulas para dar cabida a los alumnos del segundo año de secundaria. ¿De cuán-tas maneras se les puede distribuir a los mencionados alumnos, de modo que siempre ocupen aulas diferentes?

Solución:

El número de maneras en que se pueden distribuir los tres alumnos en

ocho aulas está dado por

maneras

9. ¿Cuántas señales distintas se pueden hacer con tres banderas de colores diferentes, izando todas a la vez?

Solución:

El número de señales distintas con tres banderas distintas está dado por

señales.

10. ¿Cuántos números de cuatro cifras no repetidas pueden formarse con los dígitos: 0, 3, 5, 7.

Solución:Por el principio fundamental del conteo: números. Usando per-mutaciones sería :

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11. Calcular el valor de n que satisface la igualdad:

Solución:

ó

Se descarta el valor de , entonces .

12. Si , hallar el valor de n.

Solución:

Por propiedad de combinaciones complementarias, se tiene que , entonces .

13. Calcular n en :

Solución:

Agrupando términos en la forma siguiente:

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Identificando índices superiores:

14. Calcular el valor de r en:

Solución:

Degradando los índices:

Reemplazando estos equivalentes en la expresión dada

Factorizando:

15. ¿Cuántos comités de tres personas se pueden formar con seis de ellas?

Solución:

15


El número de personas está dado por:

16. ¿Durante cuántas noches se puede establecer una guardia de cuatro hombres tomadas de un grupo de 24, de tal manera que ninguna pare-ja de guardianes se repita?

Solución:

El número de parejas que se pueden formar está dada por:

17. Determinar una fórmula que permita calcular el número de triángulos que se pueden trazar por n puntos no colineales.

Solución:

El número de triángulos que se pueden formar está dado por:

18. Un matemático que concurre a una fiesta observó que al término de ésta hubieron 496 apretones de mano. ¿Cuántas personas habían en la fiesta?

Solución:

El número de apretones de mano está dado por: (condición del

problema)

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ó

Como n no puede ser negativo, entonces personas.

19. ¿De cuántas maneras puede escogerse un comité compuesto de tres hombres y dos mujeres, de un grupo de siete hombres y cinco muje-res?

Solución:

El número de maneras en que puede escogerse el comité está dado por:

20. En un estante existen cinco libros de Álgebra y siete de Geometría ¿De cuántas formas distintas pueden seleccionarse dos libros de Álgebra y cuatro de Geometría?

Solución:

El número de formas distintas de selección de los libros está dado por:

21. ¿De cuántas maneras se puede sentar un presidente junto con doce de sus ministros alrededor de una mesa redonda?

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Solución:

El presidente y los doce ministros conforman trece personas, que se pue-den sentar alrededor de la mesa redonda de maneras.

22. ¿De cuántas maneras se pueden sentar tres parejas alrededor de una mesa circular, si cada pareja debe estar junta?

Solución:

Se considera cada pareja que debe estar junta como ocupando una sola posición. Entonces hay tres parejas que se sentarán alrededor de la mesa y lo pueden hacer de:

formas.

Cada pareja puede ordenarse de 2! formas. Entonces, el número de orde-namientos con la condición dada es igual a maneras.

23. ¿De cuántas maneras se puede escribir el producto sin utilizar exponentes?

Solución:

El número de estas permutaciones es:

24. Diez personas se asignan para cuatro comités de dos, tres, una y cua-tro personas. ¿De cuántas formas se puede hacer esto?

Solución:

El número de formas que se puede hacer esto es:

25. Si cinco personas juegan póquer, ¿de cuántas formas cada persona re-cibe cinco cartas?

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Solución:

Si la baraja es de 52 cartas y cada persona recibe cinco cartas, es decir en total 25 cartas, por lo tanto quedan cartas sin repartir con-formando un grupo. El número de formas es:

PROBLEMAS PROPUESTOS

1. Simplificar

2. Hallar el valor de n sabiendo que:

3. Calcular n en:

4. Hay cinco líneas de omnibuses que viajan por la urbanización Santa Enma y la plaza Bolívar. ¿De cuántas maneras se puede ir de la men-cionada urbanización a la plaza Bolívar y regresar en una línea diferen-te.

5. Encontrar el valor de n si

6. Si el cuádruplo del número de variaciones de n objetos tomados de 3 en 3 es igual al quíntuplo del número de variaciones de objetos tomados de 3 en 3. Hallar n.

7. Calcular:

8. ¿Cuántos quintetos diferentes de baloncesto se puede formar, si hay siete jugadores disponibles para jugar en cualquier posición?

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9. ¿De cuántas maneras diferentes pueden sentarse siete personas en una banca?

10. ¿Cuántos números de cinco cifras no repetidas pueden formarse con los dígitos 3, 4, 5, 7, y 9?

11. Encontrar el valor de n si

12. Hallar el valor de n sabiendo que

13. Calcular n en:

14. Calcular n y r en la igualdad:

15. De catorce personas, ¿de cuántas maneras pueden seleccionarse 11 de ellas?

16. ¿De cuántas maneras distintas pueden salir de dos en dos los alumnos de una clase, no teniendo en cuenta si uno sale ó no a la derecha de su compañero? Los alumnos son 30.

17. Se tienen doce puntos coplanares tres de ellos no están situados en lí-nea recta. Encontrar el número de triángulos diferentes que pueden formarse usando estos puntos como vértices:

18. Hallar el número de personas que asistieron a una reunión, si al despe-dirse se contaron 78 apretones de mano.

19. Se va a escoger un comité de cinco alumnos entre siete de ellos del ni-vel 4 y seis del nivel 3. Calcular el número de tales comités, si deben contener exactamente tres alumnos del nivel 4.

20. ¿De cuántas maneras se puede seleccionar seis consonantes y dos vo-cales entre diez consonantes y cuatro vocales diferentes?

21. Una ama de casa invita a cuatro de sus amigas a cenar. ¿De cuántas maneras diferentes pueden ella y sus invitadas, colocarse alrededor de una mesa circular?

22. ¿De cuántas maneras se pueden sentar tres mujeres y dos varones al-rededor de una mesa redonda, si las mujeres deben estar juntas y los varones también juntos?

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23. ¿Cuántas permutaciones diferentes se pueden formar con las letras aabccc?

24. ¿De cuántas formas ocho personas se pueden dividir entre comités de tres, uno y cuatro personas, respectivamente.

25. Si tres personas juegan cartas y cada una recibe siete cartas de una baraja de 52 cartas, ¿de cuántas maneras es esto posible?

Respuestas:

1.

2.

3.

4. maneras

5.

6.

7.

8. quintetos

9. maneras

10. números

11.

12.

13.

14.

15. maneras

16. 435 maneras

17. 220 triángulos

18. 13 personas

19. 525 comités

20. 1260 mane-ras

21. 24 maneras

22. 12 maneras

23. 60 permuta-ciones

24. 280 formas

25. mane-

ras

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PROBLEMAS DE APLICACIÓN

1. Escribir el conjunto de todos los caminos posibles para ir de la ciudad A a la ciudad C, en el diagrama siguiente:

Solución:

: nº de formas diferentes para ir de la ciudad A a B.

: nº de formas diferentes para ir de la ciudad B a C.

: nº de formas diferentes para ir de la ciudad de A a C.

formas

2. a) Escribir el conjunto de todos los caminos posibles para ir de la ciudad M a la ciudad Q, en el diagrama siguiente:

BA C

1

2

3

4

5

NM P

1 2 3

Q

a b c

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b) ¿Se observa alguna similitud entre la respuesta a este problema y la del problema anterior?

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