Analitik GeometriProf. Dr. Salim YÜCE

3. Baskı

Prof. Dr.

ANALİTİK GEOMETRİ

ISBN 978-605-318-811-7DOI 10.14527/9786053188117

Kitap içeriğinin tüm sorumluluğu yazarlarına aittir.

© 2017, PEGEM AKADEMİ

Bu kitabın basım, yayım ve satış hakları Pegem Akademi Yay. Eğt. Dan. Hizm. Tic. Ltd. Şti.ye ait-tir. Anılan kuruluşun izni alınmadan kitabın tümü ya da bölümleri, kapak tasarımı; mekanik, elekt-ronik, fotokopi, manyetik, kayıt ya da başka yöntemlerle çoğaltılamaz, basılamaz, dağıtılamaz. Bu kitap T.C. Kültür Bakanlığı bandrolü ile satılmaktadır. Okuyucularımızın bandrolü olmayan ki-taplar hakkında yayınevimize bilgi vermesini ve bandrolsüz yayınları satın almamasını diliyoruz.

Pegem Akademi Yayıncılık, 1998 yılından bugüne uluslararası düzeyde düzenli faaliyet yürüten uluslararası akademik bir yayınevidir. Yayımladığı kitaplar; Yükseköğretim Kurulunca ta-nınan yükseköğretim kurumlarının kataloglarında yer almaktadır. Dünyadaki en büyük çevri-miçi kamu erişim kataloğu olan WorldCat ve ayrıca Türkiye’de kurulan Turcademy.com ve Pegemindeks.net tarafından yayınları taranmaktadır, indekslenmektedir. Aynı alanda farklı yazar-lara ait 1000’in üzerinde yayını bulunmaktadır. Pegem Akademi Yayınları ile ilgili detaylı bilgilere http://pegem.net adresinden ulaşılabilmektedir.

1. Baskı: Mart 2017, Ankara3. Baskı: Ekim 2017, Ankara

Yayın-Proje: Özlem SağlamDizgi-Grafik Tasarım: Ayşe Nur Yıldırım

Kapak Tasarımı: Pegem Akademi

Baskı: Ay-bay Kırtasiye İnşaat Gıda Pazarlama ve Ticaret Limited ŞirketiÇetinemeç Bulvarı 1314.Cadde No:37A-B

0312 472 58 55

Yayıncı Sertifika No: 14749Matbaa Sertifika No: 33365

İletişim

Karanfil 2 Sokak No: 45 Kızılay / ANKARAYayınevi: 0312 430 67 50 - 430 67 51

Yayınevi Belgeç: 0312 435 44 60Dağıtım: 0312 434 54 24 - 434 54 08

Dağıtım Belgeç: 0312 431 37 38Hazırlık Kursları: 0312 419 05 60

İnternet: www.pegem.netE-ileti: pegem@pegem.net

İçindekiler

iii

iii

ÖN SÖZ

Bana olan sevgi, güven ve yardımları ile her zaman yanımda olan başta sevgili annem, babam, eşim, çocuklarım ve kardeşlerim

bu kitabın geçek yazarlarıdır. Bu nedenle hepsinin adına bu kitabı annem Ayşe YÜCE ve babam Muzaffer YÜCE’ye ithaf ediyorum.

Ayrıca, başta 15 Temmuz şehitlerimiz olmak üzere vatan uğruna canlarını feda eden, bizler huzur içinde yaşayalım diye

sevdiklerini yetim bırakan tüm şehitlerimize ve halen görev yapan güvenlik kuvvetlerimiz personeline selam olsun.

Bu kitap, üniversitelerin Matematik, Matematik Mühendisliği, Matematik Bilgisayar, İstatistik, Matematik Öğretmenliği bölümlerinde ve bazı bölümlerin servis dersi olarak okutulan lisans düzeyinde “Analitik Geometri” derslerine yardımcı olması amacı ile hazırlanmıştır. Bu bağlamda, kitabın birinci bölümünde; Afin ve Öklid uzayları ve koordinat sistemleri tanıtılmış, ayrıca 3-4-7 boyutta vektörel ve karma çarpım ile bunların geometrik yorumları verilmiş, ikinci bölümde; Koordinat dönüşümleri ile !2 ve !3 de dönme verilmiş, üçüncü bölümde; 3-boyutlu uzayda doğru, dördüncü bölümde; uzayda düzlem incelenmiş, beşinci bölümde genel konikler ve altıncı ise 2 inci dereceden eğriler olan kuadrikler verilmiştir. Yedinci bölümde özel yüzeyler tanıtılarak bazıları için matlab çizimleri verilmiş, sekizinci ve son bölümde Projektif düzlem ve uzay tanıtılarak, Projektif düzlem ve uzayda Analitik Geometri bilgileri yeniden ele alınmıştır.

Ayrıca, Analitik Geometrinin temeli olan Lineer Cebir bilgileri EK-A bölümünde, Fen Edebiyat Fakültesi Matematik Bölümlerinin dışında okutulan Analitik Geometri derslerinde verilen !2 de doğru Ek-B bölümünde ve merkezil Konikler (çember, elips, hiperbol, parabol) EK-C bölümünde temel kavramlar olarak verilmiştir. Böylece EK bölümleri, liselerde okutulan Analitik Geometri derslerine yardımcı olacaktır.

Kitabın her bölümün içerisinde konuların daha iyi anlaşılması açısından örnekler çözülmüş ve gerekli bazı bölüm sonlarında alıştırmalar verilmiştir. Ayrıca bölüm dizinleri, bölümler arasında bağlantılar kurularak hazırlanmıştır. Örneğin, genel konik ve genel kuadriklerin merkezil hale getirilmesinde üçüncü bölümde anlatılan eksenlerin ötelenmesi ile döndürülmesi veya Ek-A kısmında anlatılan bir matrisin öz değer ve öz vektörleri kullanılmıştır.

AnalitikGeometri iv

Kitabın yazımını gerçeklemesinde emekleri için asistanlarım Mücahit AKBIYIK, Esra ERKAN, G. Yeliz ŞENTÜRK ve doktora öğrencim G. Kemal NALBANT nezdinde tüm geometri grubu asistanlarıma teşekkür ederim.

Ayrıca, belki de tüm akademik hayatımın başlangıcı sayabileceğim Matematik sevdamın başlamasına vesile olan lise Matematik öğretmenim Sayın Şükrü ADIGÜZEL ile akademik hayatımın her noktasında yanımda olan Hocam Sayın Prof. Dr. Nuri KURUOĞLU’na emekleri içinde teşekkür ederim.

İçindekiler

v

v

İÇİNDEKİLER

Ön Söz ...................................................................................................................... iii

1. Bölüm

Koordinat Sistemleri ve Vektörel Çarpımı

1.1. Afin Uzay ............................................................................................................ 2

1.2. Öklid Uzayı ......................................................................................................... 8

1.2.1. Öklid Çatısı ............................................................................................. 9

1.2.2. Öklid Koordinat Sistemi .................................................................... 10

1.3. E2 Öklid Uzayında Özel Koordinat Sistemleri ........................................... 10

1.3.1. Dik Koordinat Sistemi ........................................................................ 10

1.3.2. Eğik Koordinat Sistemi ...................................................................... 11

1.4. E2 Öklid Uzayında Özel Koordinat Sistemleri ........................................... 19

1.4.1. Dik Koordinat Sistemi ........................................................................ 19

1.4.2. Silindirik Koordinat Sistemi .............................................................. 20

1.4.3. Küresel Koordinat Sistemi ................................................................. 25

1.5. R3 Uzayında Vektörel Çarpım ve Karma Çarpım ...................................... 29

1.5.1. Vektörel Çarpım .................................................................................. 29

1.5.2. Karma Çarpım ..................................................................................... 31

1.5.3. R3 de Üç Vektörün Vektörel Çarpımı .............................................. 32

1.5.4. Jacobi Özdeşliği .................................................................................. 33

1.5.5. Lagrange Özdeşliği ............................................................................. 33

1.5.6. Vektörel Çarpımın Geometrik Yorumu ........................................... 35

AnalitikGeometri vi

1.5.7. Karma Çarpımın Geometrik Yorumu .............................................. 35

1.6. R4 4-Uzayında Vektörel Çarpım ................................................................... 37

1.7. R7 7-Uzayında Vektörel Çarpım ................................................................... 40

1.8. Alıştırmalar ...................................................................................................... 45

2. Bölüm

Koordinat Dönüşümleri

2.1. Öteleme ............................................................................................................ 48

2.1.1. Koordinat Sistemlerinin Ötelenmesi ................................................ 48

2.1.2. Noktanın (Vektöru ̈n) Ötelenmesi .................................................... 52

2.2. Dönme ............................................................................................................. 53

2.2.1. Eksenlerin Dönmesi ........................................................................... 53

2.2.2. Dönmenin Kompleks İfadesi ............................................................ 55

2.2.3. Noktanın Dönmesi ............................................................................. 60

2.2.4. Hiperbolik ve Parabolik Dönme ....................................................... 62

2.3. Öteleme ve Dönmeler .................................................................................... 62

2.4. Bir Noktanın Dik Koordinat Sistemi İle Eğik Koordinat Sistemindeki Koordinatları Arasındaki Bağıntılar ..................................... 64

2.5. Düzlemde Yansımalar .................................................................................... 68

2.5.1. Ox - Eksenine göre yansıma .............................................................. 70

2.5.2. Orijinden geçen ve eğimi t olan bir h doğrusuna göre yansıma ... 71

2.5.3. Kesişen İki Doğruya Göre Yansıma ................................................. 73

2.5.4. Orijinden Geçmeyen Bir k Doğrusuna Göre Yansıma .................. 77

2.5.5. Hiperbolik ve Parabolik Yansıma ..................................................... 79

2.6. Düzlemin Diğer Dönüşümleri ...................................................................... 80

2.6.1. Hareket ve Benzerlik Dönüşu ̈mü ...................................................... 80

2.6.2. Afin Dönüşümler ................................................................................ 82

İçindekiler

vii

2.6.3. İzüşümler .............................................................................................. 84 2.6.4. Projektif Dönüşümler ......................................................................... 88 2.6.5. Projektif Düzlemler ............................................................................ 90 2.6.6. Topolojik Dönüşümler ...................................................................... 92

2.7. R3 de Dönme ................................................................................................... 93 2.7.1. Olin-Rodrigues formu ̈lu ̈nu ̈n bir diğer ispatı ................................... 98

2.8. Alıştırmalar .................................................................................................... 101

3. Bölüm

Uzayda Doğru

3.1. İki Noktadan Geçen Doğru Denklemi ...................................................... 104

3.2. Bir Noktası ve Doğrultman Vektörü Verilen Doğrunun Denklemi ..... 106

3.3. Uzayda Bir Doğrunun Koordinat Eksenleri ile Yaptığı Açılar Cinsinden Denklemi .................................................................................... 107

3.4. Bir Noktanın Bir Doğruya Olan Uzaklığı ................................................. 110

3.5. Uzayda İki Doğrunun Birbirine Göre Durumları ................................... 112

3.6. Kesişen İki Doğru Arasındaki Açı .............................................................. 114

3.7. Kesim Noktasının ( nın) Bulunması ....................................................... 115

3.8. Aykırı Doğrular ............................................................................................ 116

3.9. R3 de Plücker Doğru Koordinatları .......................................................... 120

3.10. Alıştırmalar ................................................................................................. 124

4. Bölüm

Uzayda Düzlem

4.1. Doğrudaş Olmayan Üç Noktadan Geçen Du ̈zlem Denklemi ................ 128

4.2. Bir Noktadan Geçen ve Verilen Bir Doğrultuya Dik Olan Düzlem Denklemi ......................................................................................... 129

AnalitikGeometri viii

4.3. Bir Düzlemin Koordinat Eksenlerinden Ayırdığı Parçalar Cinsinden İfadesi .......................................................................................... 132

4.4. Verilen Bir Noktadan Geçen ve İki Doğrultuya Paralel Olan Düzlem Denklemi ........................................................................................ 135

4.5. Bir Doğru ve Dışındaki Bir Noktadan Geçen Bir Düzlemin Denklemi ........................................................................................................ 136

4.6. Kesişen İki Doğrunun Belirttiği Düzlem Denklemi ................................ 137

4.7. Bir Düzlemin Hesse Normal Formu .......................................................... 138

4.8. Özel Düzlemler ............................................................................................. 140

4.9. Bir Noktanın Bir Düzlem Üzerindeki Dik İzdüşümü ............................. 143

4.10. Bir Noktanın Bir Du ̈zleme Uzaklığı ......................................................... 146

4.11. Bir Doğru İle Bir Düzlemin Birbirine Göre Durumları ........................ 148

4.12. Bir Düzlem ile Bir Doğrunun Kesim Noktasının Bulunması .............. 150

4.13. Uzayda Bir Doğru ile Bir Düzlem Arasındaki Açı ................................. 153

4.14. İki Düzlemin Birbirine Göre Durumu .................................................... 154

4.15. İki Düzlem Arasındaki Açı ....................................................................... 156

4.16. Kesişen İki Düzlemin Arakesit Doğrusunun Bulunması ...................... 158

4.17. İki Düzlemin Açıortay Du ̈zleminin Denklemi ....................................... 160

4.18. Üç Düzlemin Birbirine Göre Durumu .................................................... 162

4.19. Aykırı İki Doğrunun Ortak Dikmesi ve En Kısa Uzaklık ..................... 169

4.20. Bir Doğrudan Geçen Düzlem Demeti ..................................................... 178

4.21. İzdüşüm ....................................................................................................... 180

4.21.1. Bir Noktanın Düzlem Üzerine Dik İzdüşümü ............................ 180

4.21.2. Bir Doğrunun Düzlem Üzerine Dik İzdüşümü .......................... 180

4.21.3. Bir Doğrunun Düzlem Üzerine Verilen Bir Doğruya Paralelel Olarak İzdüşümü ............................................................ 182

4.21.4. Bir Doğru Parçasının Bir Doğru Üzerindeki İzdüşümünün Uzunluğu ......................................................................................... 183

İçindekiler

ix

4.21.5. Bir Doğru Parçasının Bir Düzlem Üzerindeki İzdüşümünün Uzunluğu ......................................................................................... 185

4.22. Uzayda Yansıma ......................................................................................... 186

4.22.1. Uzayda Bir Noktanın Bir Düzleme Göre Yansıması ................. 186

4.22.2. Uzayda Bir Noktanın Bir Doğruya Göre Yansıması .................. 191

4.23. Alıştırmalar ................................................................................................. 194

5. Bölüm

Genel Konikler

5.1. Genel Konik Denklemi ................................................................................ 198

5.2. Koniklerin Standart Denklemi ................................................................... 199

5.3. Genel Konik Denkleminin Merkezil Hale Dönüştürülmesi ................... 199

5.3.1. Eksenlerin Ötelenmesi ..................................................................... 200

5.3.2. Eksenlerin Döndürülmesi ................................................................ 204

5.4. Koniklerin Sınıflandırılması ....................................................................... 206

5.4.1. Koniklerin Bir Başka Sınıflandırılması .......................................... 207

5.5. Matris Formunda Genel Konik Denklemi ................................................ 208

5.5.1. Koniklerin Sınıflandırılması ............................................................ 209

5.5.2. Merkezil Hale Dönüştürme ............................................................. 209

5.6. Bir Konik ile Bir Doğrunun Konumu ........................................................ 212

5.7. Bir Konik ile Bir Noktanın Konumu ......................................................... 214

5.8. Koniklerde Teğet .......................................................................................... 214

5.9. Koniklerin Elemanları ................................................................................. 219

5.9.1. Koniklerde Merkez ........................................................................... 220

5.9.2. Koniklerde Çap (Köşegen) .............................................................. 227

5.9.3. Koniklerde Eksen .............................................................................. 236

AnalitikGeometri x

5.9.4. Koniklerde Köşe (Tepe) Noktaları ................................................. 243

5.9.5. Koniklerde Asimptot ........................................................................ 248

5.9.6. Koniklerde Odak ve Doğrultman ................................................... 251

5.9.7. Koniklerde Kutup Noktası ve Kutup Doğrusu ............................. 274

5.10. Konik Aileleri .............................................................................................. 288

5.11. Koniklerin Parametrik ve Kutupsal Koordinatlarla Temsili ................ 300

5.11.1. Koniğin Parametrik Gösterimi ..................................................... 300

5.11.2. Koniğin Kutupsal Koordinatlarda Gösterimi ............................. 304

5.12. Alıştırmalar ................................................................................................. 307

6. Bölüm

Kuadrikler (2. Dereceden Yüzeyler)

6.1. Küre ................................................................................................................ 312

6.2. Elipsoid .......................................................................................................... 313

6.3. Tek Kanatlı Hiperboloid .............................................................................. 314

6.4. Çift Kanatlı Hiperboloid .............................................................................. 315

6.5. Eliptik Koni ................................................................................................... 316

6.6. Eliptik Paraboloid ......................................................................................... 317

6.7. Hiperbolik Paraboloid ................................................................................. 319

6.8. Eliptik Silindir ............................................................................................... 320

6.9. Parabolik Silindir .......................................................................................... 321

6.10. Hiperbolik Silindir ..................................................................................... 322

6.11. Kesişen Bir Çift Du ̈zlem ............................................................................ 323

6.12. Çakışık Bir Çift Du ̈zlem ............................................................................. 323

6.13. Genel Kuadrik Denklemi .......................................................................... 323

İçindekiler

xi

6.14. Kuadriklerin Merkezil Hale Dönu ̈ştu ̈ru ̈lmesi ........................................ 324

6.14.1. Öteleme ............................................................................................ 325

6.14.2. Dönme .............................................................................................. 326

6.15. Matris Formu ile Merkezil Hale Getirilme ............................................. 327

6.15.1. Sınıflandırma ................................................................................... 327

6.15.2. Öteleme ............................................................................................ 328

6.15.3. Dönme .............................................................................................. 329

6.16. Kuadrik Çiziminde İzlenecek Yollar ....................................................... 337

6.17. Alıştırmalar ................................................................................................. 361

7. Bölüm

Özel Yüzeyler

7.1. Silindir ............................................................................................................ 366

7.2. Koni ................................................................................................................ 371

7.2.1. Koninin Denklemi ............................................................................ 372

7.2.2. Koninin Vektörel Denklemi ............................................................ 374

7.3. Dönel Yüzeyler .............................................................................................. 375

7.4. Tor Yüzeyi (Dönme Toru) .......................................................................... 382

7.5. Paralel Hiperyu ̈zeyler ................................................................................... 384

8. Bölüm

Projektif Düzlem ve Projektif Uzay

8.1. Temel Kavramlar .......................................................................................... 392

8.1.1. Genişletilmiş Düzlem ....................................................................... 394

8.1.2. Projiktif Uzay ..................................................................................... 396

AnalitikGeometri xii

8.2. Düzlemde Homojen Koordinatlar ............................................................. 398

8.2.1. Düzlemin İdeal Noktaları ................................................................ 403

8.2.2. Düzlemde Bir Doğrunun Homojen Denklemi ............................. 405

8.3. Projektif Analitik Geometri ........................................................................ 412

8.3.1. Projektif Düzlemde Üç Projektif Noktanın Doğrudaşlığı ........... 412

8.3.2. Projektif Düzlemde Üç Projektif Doğrunun Noktadaşlığı .......... 413

8.3.3. İki Doğrunun Arakesit Noktasını Bulma ...................................... 414

8.3.4. Projektif Düzlemde İki Projektif Noktası Verilen Projektif Doğrunun Denklemi ........................................................................ 415

8.4. Projektif Düzlem Geometrileri ................................................................... 417

8.4.1. Projektif Düzlemin Hareket Dönüşu ̈mleri .................................... 423

8.4.2. Projektif Düzlemin Geometrileri .................................................... 424

8.5. Üç Boyutlu Uzayda Homojen Koordinatlar ............................................. 436

8.5.1. Genişletilmiş Düzlem Denklemi ..................................................... 438

8.5.2. Genişletilmiş Doğrunun İdeal Noktası .......................................... 439

Ek-A Lineer Cebir ................................................................................................ 443

Ek-B Düzlemde Doğru ........................................................................................ 465

Ek-C Merkezil Konikler ...................................................................................... 489

Kaynaklar .............................................................................................................. 585

Dizin ...................................................................................................................... 587

1. BÖLÜM

KOORDİNAT SİSTEMLERİ VE VEKTÖREL ÇARPIMI

Bu bölümde, afin koordinat sistemi, Öklid koordinat sistemi başta olmak

üzere kutupsal, silindirik ve küresel koordinat sistemleri tanıtıldı. Ayrıca 3-

boyutta, 4-boyutta ve 7-boyutta vektörel çarpım ve özellikleri ile geometrik

yorumları verildi.

Analitik Geometri

2

Afin Uzay

Tanım 1.1

A bir küme, V de üzerinde n boyutlu bir vektör uzayı olsun. Eğer

:

, ,

f A A V

P Q f P Q PQ

fonksiyonu,

A1. , ,P Q R A için , , ,f P Q f Q R f P R

A2. ,P A V için ,f P Q olacak şekilde bir tek Q A

noktası vardır.

özelliklerini sağlıyorsa A ’ya V vektör uzayı ile birleşen n -boyutlu afin

uzay denir. Burada A1 ve A2 özelliklerine afin aksiyomları denir. Ayrıca

boyA boyV n dir.

Vektör Uzayı ile Afin Uzayın Karşılaştırılması

i) V vektör uzayı vektörlerin bir kümesi iken, A afin uzayı ise nokta

kümesidir.

ii) V vektör uzayında 0 0 olacak şekilde 0 V vektörü

varken A afin uzayında bu özelliğe sahip bir nokta yoktur.

Afin Aksiyomlardan Çıkan Sonuçlar

i) A1 afin aksiyomu gereğince afin uzayda herhangi iki nokta bir vektör

belirtir.

Koordinat Sistemleri ve Vektörel Çarpım

3

ii) A2 afin aksiyomu gereğince afin uzayda bir nokta tesbit edilirse bu

uzaydaki bütün noktalar bir vektör belirtir.

Örnek 1.1

nV , n boyutlu standart reel vektör uzayı, nA sıralı n lilerin

kümesi olsun.

:

, ,

n n nf

P Q f P Q PQ Q P

fonksiyonunu tanımlayalım.

A1. Her , , nP Q R A için

, , = , .f P Q f Q R PQ QR Q P R Q R P PR f P R

A2. Her 1 2, ,..., n

n V , nP Q A için

olmak üzere

1 1 2 2 1 2, ,..., , ,...,n n nq p q p q p

yazılabilir. Buradan

1 1 1

2 2 2

n n n

q p

q p

q p

olmak üzere ,i ip

ler tek olduğundan iq ler tektir ve bir tek

1 2, ,..., n

nQ q q q vardır.

,f P Q Q P

Analitik Geometri

4

Sonuç

n kümesi,

n vektör uzayı ile birleşen n -boyutlu bir afin uzaydır.

1.1.1 Afin Çatı

Tanım 1.2

A ,V vektör uzayı ile birleşen n -boyutlu afin uzay olsun. 0 1, ,..., nP P P A

noktaları için 0 1 0 02, ,..., nP P P P P P vektör sistemi 0 iP P V V vektör

uzayının bir bazı (tabanı) ise 0 1, ,..., nP P P nokta 1n lisine A afin

uzayında bir afin çatı denir.

Burada 0P noktasına afin çatının başlangıç noktası, 0 1, ,..., nP P P noktalarına

da afin çatının uç noktaları denir.

Teorem 1.1

A , V vektör uzayı ile birleşen n -boyutlu afin uzay olsun. A afin uzayında

belli bir 0P A noktası tespit edildiğinde başlangıcı 0P A noktası olan bir

afin çatı vardır.

İspat

V , n boyutlu bir vektör uzayı olduğundan 1 2, ,..., n sistemi V nin

bir bazı olsun. 0P A noktası seçildiğinde A2aksiyomu gereğince;

Koordinat Sistemleri ve Vektörel Çarpım

5

1 0 1P P olacak şekilde bir tek 1P A ,

2 0 2P P olacak şekilde bir tek 2P A ,

0 n nP P olacak şekilde bir tek nP A

nokası vardır.

1 2, ,..., n sistemi V nin bir bazı olduğundan 0 1 0 2 0, ,..., nP P P P P P

sistemi de V nin bir bazıdır. O halde 0 1, ,..., nP P P sistemi başlangıç noktası

0P A noktası olan A ’da bir afin çatıdır.

1.1.2 Afin Koordinat Sistemi

Tanım 1.3

A ,V vektör uzayı ile birleşen n - boyutlu afin uzay ve 0 1, ,..., nP P P , A

da bir afin çatı olsun. V nin bir bazı 0 1 0 2 0, ,..., nP P P P P P ve P A noktası

için 0P P V vektörü olduğundan ia için 0 0

1

n

i

i

P P a P P

yazılabilir. Eğer 1 i n için

:i

i i

x A

P x P a

tanımlanırsa P A noktası için 1 2, ,..., nx P x P x P şeklinde bir

sıralı n li karşılık gelir.