ANALIZA SISTEMA U KOMPLEKSNOM DOMENU

LAPLASOVA TRANSFORMACIJA (LT)

LT je moćan alat za analizu i sintezu linearnih stacionarnih sistema.

Vrste LT: dvostrana i jednostrana

DVOSTRANA LAPLASOVA TRANSFORMACIJA

Dvostrana LT = granice su i (ima teorijski značaj)

Jednostrana LT = granice su 0 i (ima praktični značaj)

 f t - original

 s j - kompleksna promenljiva

F s - kompleksni lik

Eksponencijaln član ste

u LT ima ulogu da oslabi (priguši) funkciju ( )f t

Integral bez člana ste

:

za ( ) ( ), 1f t h t dt

ne postoji konačna vrednost integrala!

Integral sa članom ste

(LT):

0

( ) ( ), ( ) ( ) 1 1/stef t h t F s h t dt s

L - postoji L

Laplasova transformacija ne postoji za neke funkcije.

Primer. Funkcije tt ,

2te ne poseduju Laplasovu transformaciju.

Funkcije za koje ne postoju LT retko se sreću u praksi.

Primer. Odrediti Laplasovu transformaciju sledeće kauzalne funkcije (funkcije koja traje za pozitivno vreme):

( ) ( )atf t e h t

t

1

t

1

t

1

a>0

t

1

a<0

0!!!!!

( ) ( )

)

0

(

0

00

1( ) ( ) ( )

1

t

at at st a s t a j t

t

t

t

j

t

a

t

t

F s e h t e h t e dt e dt ea s

e ea j

L

Ako je 0a onda je ( ) 0ae ,

( )0 1ae

01 1

( ) 11

F sa j a j s a

, 0a

Ako je 0a onda je ( )ae ,

( )0 1ae

11

( )F sa j

nedefinisano!!!

Oblast konvergencije LT: Re0a s aa

Primer. Laplasova transformacija nekauzalne funkcije (funkcije koja traje za negativno vreme)

( ) ( )atf t e h t

0!!!!!0

0

0

( )

10 0

1( ) ( )

1 1 1,

a j tat st t j ta

t t

t

F s e h t e dt e dt e ea j

a j a j s aa

t

-1

t

-1

Oblast konvergencije: Re0a s aa

ZAKLJUČAK: U prvom i drugom primeru, za dve različite funkcije, dobijene su iste vrednosti Laplasove transformacije, ali oblasti konvergencije se razlikuju

Funkcija Laplasova transformacija Oblast konvergencije

( ) ( )atf t e h t 1

s a Re s a

( ) ( )atf t e h t 1

s a Re s a

LAPLASOVA TRANSFORMACIJA TIPIČNIH FUNKCIJA Jedinična impulsna funkcija

0

0( )( ) ( ) 1,st st s

ts t e t e e st d

L

( ) ( ) ,1t s s

( ) ( ) ,st st s

tt t e dt e e s

( ) ,st e s

Jedinična odskočna funkcija

0 0

( ) ( ) , R1

( e 0)st

st st

s

eH s h t e dt eh t

sdt s

s

L

( ) ( ) 1 , Re 0/h H s st s

Jedinična nagibna funkcija

0 00

2 2

0 0

0 0

0 0

2

0, 0 0

2

, 0

22

( ) ( )

0 0

( )

1R

10 0 , e

tst st

st st

t

t t

t tst st t j t t j t

t t

t t

t t

te eR s th t e dt te dt dt

s s

te e t e e e e

s s s s

e e e e

s s

t

s

r

ss ss

L

0

2( ) ( ) 1 , Re 0/r t R s ss

Eksponencijalna funkcija (videti prethodni primer)

( )

0

1, R( e) at st s a tat e e dt ee h t

s adt s a

L

Sinusna (kosinusna) funkcija

0 0

0 0

0 0

0

0

0

0 0

0 0

2 2

0

( ) cos ( ) cos ( )

cos

1

2

1 1

2 2

1 1 1

2

, Re 0

st

st

j t j t st

s j t s j t

F s t h t t h t e dt

t e dt

e e e dt

e dt e dt

s j s j

ss

s

L

( )f t ( ) ( )f tF s h t L Oblast konvergencije

( )t 1 s

( )h t 1

s Re 0s

( )r t 2

1

s Re 0s

ate

1

s a Re s a

0cos( )t 2 2

0

s

s Re 0s

DIJAGRAM NULA I POLOVA KOMPLEKSNOG LIKA LT

Za većinu realnih kontinualnih funkcija ( )f t , njihovi kompleksni likovi ( )F s mogu se

predstavi u sledećoj formi:

(s)( )

( )

m

n

BF s

A s

Nule kompleksnog lika LT su koreni polinoma ( )mB s :

0 , 1,2,) .( ,im s s z i mB

Polovi kompleksnog lika LT su koreni polinoma ( )nA s

0 , 1,2,) .( ,in s s p i nA

Napomena. Ukoliko su koreni polinoma kompleksni oni se javljaju u parovima sa

jednakim realnim delovima ( ,i jz a jb ili ,i jp a jb )

( )mB s i ( )nA s su polinomi kompleksne promenljives

n , m su redovi odgovarajućih polinoma

Vrednost funkcije u nuli

Neka je , ( ) 0, ( ) 0i j n i m iz p A z B p . Tada važi:

( ) 0( ) 0

( ) ( )

m ii

n i n i

B zF z

A z A z , Nule se mogu nalaziti u oblast konvergencije LT

Vrednost funkcije u polu ( ) ( )

( )( ) 0

m i m ii

n i

B p B pF p

A p , Polovi leže van oblasti konvergencije LT

Faktorizovani zapis

1 0 1 1

1 0

1 1

( ) ( )( )

( )( )

( ) ( )

m

n

i

m m

m

m m i i

n nn

m n

i

i

i

i

iz zs sB s b s b s b

p

F sA s a s a s a

b

s s p

Ka

Primer: 2

2 8 2( 4) ( 4)( ) 2

8 12 2 6 2 6

s s sF s

s s s s s s

Dijagram nula i polova

S-ravan je ravan koju određuju realni i imaginarni deo kompleksne promenljive.

Dijagram nula i polova kompleksnog lika dobija se ucrtavanjem nula i polova u s-ravni pomoću simbola "o" i "x".

Leva poluravan s-ravni

Desna poluravan s-ravni

Imaginarna osa - granica između poluravni

„leva poluravan“

„desna poluravan“

x

x

x x

Primer. Odrediti Laplasovu transformaciju sledeće funkcije i nacrtati njene nule i polove

2 5t te h tf t e h t

Rešenje.

2 6( )

1 1,

2Re 2 Re

66

t tf t e h t e h t

s ss s

L L L

1

2

(s)2 8( ) ,

2 6Re max 2, 6

( )2

BsF s

s s A ss

nula: 1

1

(s) 2 8

4

0B s

z

polovi: 2

1 22 6

( ) ( ) 2 6 0

,

X s A s s s

p p

-2

-6 x x

Oblast konverg. LT

Primer. Odrediti Laplasovu transformaciju funkcije 0cos( ) f t t h t i nacrtati

njene nule i polove ( )F s za 0 0.5 /rad s .

0 0

0 0

0

0

0 0

0 0

2 2

0

1( ) cos ( )

2

1 1

2 2

1 1 1

2

, Re 0

j t j tst st

s j t s j t

F s t h t e dt e e e dt

e dt e dt

s j s j

ss

s

Za 0 0.5 /rad s

2 2( )

0.5

sF s

s

1 0z , 1 0.5p j , 2 0.5p j

X

X

JEDNOSTRANA LAPLASOVA TRANSFORMACIJA

Buduće ponašanje neke promenljive sistema, ( )f t , iskazuje se u odnosu na neki

usvojeni početni trenutak vremena (najčešće 0t ).

Stanje linearnih sistema u trenutku 0t , neposredno pre trenutka 0t , iskazuje se

pomoću početnog uslova promenljive (0 )f .

Jednostrana Laplasova transformacija (donja granica je

0t )

1

0

( ) ( ) ( ) stF s f t f t e dt

L

Napomena. Donja granica 0t omogućava da se obuhvate početni uslovi promenljivih.

Napomena. Ako funkcija ( )f t ne sadrži impulsnu funkciju ( )t , onda se donja granica

0t , može zameniti sa 0t ili 0t .

t

t

OSOBINE JEDNOSTRANE LAPLASOVE TRANSFORMACIJE

Redni broj

f t , 0t F s

1. ( )af t ( )aF s

2. 1 2 3( ) ( ) ( ) ...f t f t f t 1 2 3( ) ( ) ( ) ...F s F s F s

3. ( )n

n

d f t

dt

1

11

(0 )( )

knn k

kk

n d fs

ds F s

t

Napomena. Drugi član ne postoji kod dvostrane LT.

4. 0 0

( )

t t

nf t dt ( )n

F s

s, 0,1,2,...n

5. ( ) atf t e ( )F s a

6. ( )f t a ( )ase F s

7. ( )nt f t ( )

( 1)n

n

n

d F s

ds

8. 1 2 1 2

0

( ) ( )

t

f f f f t d 1 2( ) ( )F s F s

9. lim ( )t

f t

0lim ( )s

sF s

,

Uslovi: Re 0ip i/ili

0ip je jednostruki pol,

gde ip označava polove ( )F s

10. 0

lim ( )t

f t

lim ( )s

sF s

TABILCA LAPLASOVE TRANSFORMACIJE

Redni broj

f t , 0t F s

1. ( )t 1

2. ( )h t 1

s

3. ( )h t , zakašnjanjena ( )h t 1 ses

4. ( ) ( )s t th t 2

1

s

5. 1

( 1)!

nt

n

, n je prirodan broj

1ns

6. ( ) ( )h t h t , pravougaoni impuls 1

(1 )se ss

7. ate, eksponencijalna funkcija

1

s a

8. 1

(1 )atea

1

( )s s a

9. atte 2

1

( )s a

10. 1

( 1)!

n att e

n

, n je prirodan broj

1

( )ns a

11. sin t 2 2s

12. cos t 2 2

s

s

13. 2

1(1 cos )t

2 2

1

( )s s

14. sinate t 2 2( )s a

15. cosate t 2 2( )

s a

s a

INVERZNA LAPLASOVA TRANSFORMACIJA (ILT)

( ) ( )f t F s direktna Laplasova transformacija

0

( ) ( ) ( ) stF s f t f t e dt

L

( ) ( )F s f t inverzna Laplasova transformacija

-1( ) ( ) ( )

j

st

j

f t F s F s e ds

L

Zahteva integraciju kompleksne funkcije.

ILT se teško određuje na osnovu definicije.

Za praktično određivanje inverzne Laplasove transformacija koristimo tablicu Laplasove transformacije.

Ukoliko ( )F s nije tablični slučaj uprošćavanje ( )F s

Faktorizovani oblik funkcije:

1 0 1

1 0

1

( )( )

( )( )

( )

m

m

m i

nn

n

i

i

isb

Ks b s bB s

F sA s a s a s a

s p

z

( )F s se može predstaviti u obliku zbira prostijih racionalnih funkcija, tj. činioca.

Na primer:

1 0 1

1 1

( )( )

( )

m

m n

n n

b s b s b KKB sF s

A s s p s p s p s p

Broj i oblici činioca ( )F s funkcije zavise isključivo od karaktera polova ( )F s .

Razlikujemo četiri karakteristična slučaja:

1. Svi polovi ( )F s su realni i prosti

2. Postoje konjugovano kompleksni polovi, a ako postoje realni, oni su prosti

3. Funkcija ( )F s ima višestruke realne korene

4. Funkcija ( )F s ima višestruke konjugovano kompleksne polove (ne radi se).

1. Svi polovi funkcije ( )F s su realni i prosti

Pretpostavka: 1 0 1

n

n na s a s a s p s p

Razvoj funkcije

1 0 1

1 1

( )( )

( )

m

m n

n n

b s b s b KKB sF s

A s s p s p s p s p

Koeficijenti

( )

, 1,2, ,( )

i

i i

s p

B sK s p i n

A s

Inverzija

-1

1

( ) ( ) i

np t

i

i

F s f t K e

L

Primer. Odrediti inverznu Laplasovu transformaciju funkcije:

23 4 7( )

1 5 8

s sF s

s s s

realni i prosti polovi: 1 2 31, 5, 8p p p

Rešenje: 31 2( )1 5 8

KK KF s

s s s

2

1 1

1

3 4 7 31 ( )

5 8 14s

s

s sK s F s

s s

2

2 5

5

3 4 7 315 ( )

1 8 6s

s

s sK s F s

s s

2

3 8

8

3 4 7 1678 ( )

1 5 21s

s

s sK s F s

s s

5 83 31 167( )

14 6 21

t t tf t e e e

2. Postoje konjugovano kompleksni polovi, a ako postoje realni, oni su prosti

Pretpostavka:

1 0 1 1 3

n

n n

konjugovani

a s a s a s p s p s p s p

1p j

2 1p p j konjugovano kompleksni polovi,

43 , , ..., npp p su realni i prosti

Razvoj funkcije

1 0

1 1 3

3

3

3

1

3

1 1

1

( )( )

( )

m

m

n

n

n

n

n

K K

s p s p

b s b s bB sF s

A s s p s p s p s p

K K

s p s p

a jb a jb

s

K K

s p s pj s j

1

2 1

1

2 1

,

,

,

p j

p p j

K a jb

K K a jb

Koeficijenti *1

1 1 2 1,( )

( )s s

aB s

K s p j K K jA s

b a b

,

( )

, 3,4, ,( )

i

i i

s p

B sK s p i n

A s

Kompleksna funkcija

2 2

3 3

2 2( )

n ni i

i ii i

a s bK Ka jb a jbF s

s j s j s s s ss

2 22 2

3

( ) 2 2n

i

i i

s KF s a b

s ss s

Inverzija

-1

3

( ) ( ) 2 cos 2 sin i

ns tt t

i

i

F s f t e t e t K ea b

L

Primer. Odrediti inverznu Laplasovu transformaciju funkcije:

2

3 7)

32 32(

s sF

ss

ss

Rešenje:

2

2

1,3 32 2 1 10s j jss ps ,

3 3p , 4 3p

31 1 4

31 1 4( )( ) ( ) ( 3) ( 3 )1 1

pp p p

KK K KF s

s s s sj j

, 2 1K K

1

1

3 7( 1 )

( 1 ) ( 1 ) 3 3

19 42

1

19 42

17 70 1700

s j

sK s j

s j s j s s

jj a jb

19

170

42

170

a

b

1

1

2 1

19 42

170 170K K a jb j

3 3 2

3

3 7 13 ( )

152 2 3s

s

sK s F s

s s s

4 3 2

3

3 7 83 ( )

512 2 3s

s

sK s F s

s s s

3

3

3 3

1 1 3

( ) 2 cos 2 sin

1 82 cos 2 sin

15 51

19 42 1 8cos sin

85 85 15 51

19 42

170 11

701

i

ns tt t

i

i

t t t t

t t t t

f t e t e t K e

e t e t e e

e t e t e e

a b

ALTERNATIVA: Metode neodređenih koeficijenata

2

3 2

2

2 2 2

3 7( )

5 8 9 4 6 9 6

2

3 32 2 3

2 3 3

3

s As B C DF s

A C D s B C D s D A C s D B C

s

s

s

ss s ss s

s s

s

3 25 8 9 4 6 9 6 3 7A C D s B C D s D A C s D B C s

sistem jednačina:

0

5 0

9 4 8 3

9 6 6 7

A C D

B C D

A C D

B C D

19

85A ,

61

85B ,

1

15C ,

8

51D

2 2

2 2

2 2

2 22 2

1 19 61

85 1 1

61

19 19

85 1 1

421

19 19

8

1 1 8 1

15 3 51 3

1 1 8 1

15 3 51 3

1 1 8 1

15 1 1

19 1 42 1

85 851 1 1

5 3 51 3

1 1 8 1

15 3 51 31

( )s s

s s

s s

s

s

s

s

s

s

s

s

s s

F s

s

1 1

2 2

1 1

3

2

3

2

19 1 42 1

85 851 1 1 1

19 4

1 1 8 1

15 3 51 3

1 8

15

2cos si

5

(

n5 8

)

18 5

t t t t

s

s

s s

e

sf t

e et e t

LL L L

3. Funkcija ( )F s ima višestruke realne korene

Pretpostavka: 3

1 10 4n n

n sa s ps a a sp ps

1 2 3p p p - realan pol višestrukosti 3

4p , … , np - realni i jednostruki polovi

Razvoj funkcije

1

1

1311 12

3 2

11

0

4

1

3

4

4

( )

n

n

n

m

m

s p ss p

KK K

s ps p s p

p

KK

s p s p

b s b s bF s

Koeficijenti (višestrukost 3)

1

11 1

31 ( )

0! ( )s p

B sK s p

A s

,

1

12 1

31 ( )

1! ( )s p

d B sK s p

ds A s

1

2

1 1

3

3 2

1 ( )

2! ( )s p

d B sK s p

ds A s

Opšta formula (višestrukost )

1

1

1 ( ), 1,2, ,

1 ! ( )i

j

ij ij

s p

d B sK s p j

j ds A s

Inverzija

1 1 1 1

11 12 13

4

21( )

2

np t p t p t p t

i

i

f t K e K e K e Kt et

Primer. Odrediti inverznu Laplasovu transformaciju funkcije:

3

4 9( )

2 3

sF s

s s

Rešenje:

1311 12 4

3 2( )

2 32 2

KK K KF s

s ss s

3

112

2

4 92 ( ) 1

3ss

sK s F s

s

3

12 2

22

32 ( ) 3

3ss

dK s F s

ds s

2

3

13 2

2

12 ( ) 3

2s

dK s F s

ds

4 33

3

4 93 ( ) 3

2s

s

sK s F s

s

3 2

1 3 3 3( )

2 32 2F s

s ss s

2 2 2 2 31( ) 3 3 3

2

t t t tf t t e te e e

ALTERNATIVA: Metode neodređenih koeficijenata

3 3 2

3 2

3

4 9( ) ( )

2 32 3 2 2

7 6 5 16 12 3 6 12 8

2 3

s A B C DF s F s

s ss s s s

C D s B C D s A B C D s A B C D

s s

3 27 6 5 16 12

3 6 12 8 4 9

C D s B C D s A B C D s

A B C D s

sistem jednačina:

0

7 6 0

5 16 12 4

3 6 12 8 9

C D

B C D

A B C D

A B C D

1, 3,

3, 3

A B

C D

PRIMENA JEDNOSTRANE LAPLASOVE TRANSFORMACIJE NA REŠAVANJE LINEARNIH DIFERENCIJALNIH JEDNAČINA SA KONSTANTNIM KOEFICIJENTIMA

Odrediti opšte rešenje diferencijalne jednačine

0 0

( ) ( )k kn m

k kk kk k

d y t d u ta b

dt dt

Rešenje: Primenjujemo jednostranu Laplasovu transformaciju.

0 0

( ) ( )/

k kn m

k kk kk k

d y t d u ta b

dt dt

L

Pravilo:

1 2 (1) ( 2) ( 1)(0 ) (0( ) (0 ) (0 )(

))k

k

k kk k kd f ts f s f sfs F

ts f

d

Dobija se algebarska jednačina

(n 1)POLINOM KOJI ZAVISI OD POČETNIH

USLOVA (0 )

1

0

(

0

, , 0 )

( ) ( ) ( )n m

k k

k n k

k k

f f

a s Y s R s b s U s

1

0 0

( (( )) )n m

k k

nk k

k k

UY s a s b s ss R

0

00

0 0

( )(1

))( ) ( ( )

P

mk

k

kPn n

k k

k k

k k

Y Y

U s

b s

Y s Y s Y s

a s a

s

s

R

0( ) ( ) ( )PY s Y s Y s

1

0 0( ) ( )P Py t Y s Y s y t y t L

( )PY s - rešenje usled pobude

0 ( )Y s - rešenje usled početnih

uslova

OPŠTI POSTUPAK ODREĐIVANJA ODZIVA SISTEMA PRIMENOM LT

Diferencijalna jednačina

ODZIV y(t)

Algebarska jednačina

Rešenje Y(s)

Primer. Odrediti odziv sistema

2

2

( ) ( )7 12 ( ) ( ), (0) 2, (0) 4

d y t dy ty t u t y y

dt dt

( ) 2 ( )tu t e h t

Rešenje.

( ) 7 ( ) 12 ( ) 2 ( ) /ty t y t y t e h t L

2 2 1( ) (0 ) (0 ) 7 ( ) (0 ) 12 ( )

1s Y s sy y sY s y Y s

s s

2 3 2

( ) 7 ( ) 12 ( ) (0 ) 7 (0 ) (0 )1

ss Y s sY s Y s sy y y

s s

1

2

( )

3 27 12) ( ) (0 ) 7 (0 ) (0 )

1R s

ss s Y s sy y y

s s

2 2

ODZIVUSLED POBUDE ODZIV USLED POČETNIH USL A

0

OV

3 2( )

2 10( )

3 2

1 2 7 2 4( )

7

1 3 34

1 1

4

2 7 2

P

sY s

s

s s sY s

sY s

s s s

s s

s

s s

ss

Ukupni odziv:

0

3 22 12 13 2( )( )

1 3 4( )P

B ss s sY s

s s s s A sY sY s

1 2 3 40 0, 1, 3, 4,B s p p p p

( )1 3 4

A B C DY s

s s s s

3 2

0

2 12 13 2 1

1 3 4 6s

s s sA s

s s s s

3 2

1

2 12 13 2 11

1 3 4 6s

s s sB s

s s s s

3 2

3

2 12 13 2 173

1 3 4 6s

s s sC s

s s s s

3 2

4

2 12 13 2 74

1 3 4 6s

s s sD s

s s s s

3 41( ) 1 17 7 ( )

6

t t ty t e e e h t

FUNKCIJA PRENOSA LINEARNIH STACIONARNIH SISTEMA

DEFINICIJA FUNKCIJE PRENOSA PREKO IMPULSNOG ODZIVA SISTEMA

( )( ) ( )( ) ( )g t g tu uy d tt

/ L

( ) (( ) ( ) )() ) ( )( Uu g tt u G sy g t tt s L LL L

( ) ( ) ( )Y s G s U s

( )G s - Laplasova transformacija jediničnog impulsnog odziva sistema.

Lineran, kontinualan, stacionarn SISO sistem sa impulsnim odzivom

( )g t

Definicija. Funkcija prenosa linearnog, stacionarnog sistema definiše se kao Laplasov lik impulsnog odziva ( )g t sistema

( ) ( ) stG s g t e dt

Ukoliko je sistem kauzalan onda se prethodna definicija funkcije prenosa može zameniti sa

0

( ) ( ) stG s g t e dt

Funkcija prenosa predstavlja model sistema u kompleksnom domenu.

Poznajući funkciju prenosa možemo jednostavno odrediti odziv sistema na proizvoljnu pobudu:

( ) ( ) ( )Y s G s U s

DEFINICIJA FUNKCIJE PRENOSA PREKO ULAZNO-IZLAZNIH VELIČINA SISTEMA

Primenom LT na diferencijalnu jednačinu sistema sa nultim početnim uslovima:

-1

-1 1 0-1

-1

-1 0

( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( )

n n

nn n

m m

m mm

d y t d y t dy ta a a y t

dt dt dt

d u t d u tb b b u t

dt dt

/ L

dobija se algebarska jednačina:

1 1

1 1 0 1 1 0( ) ( )n n m m

n m ms a s a s a Y s b s b s b s b U s

Definišimo loličnik:

1

1 1 0

1

1 1 0

( ),

( )

m m

m m

n n

n

b s b s b s bY sG s n m

U s s a s a s a

Definicija. Funkcija prenosa linearnog, stacionarnog sistema definiše se kao odnos Laplasove transformacije izlazne i ulazne veličine, uz pretpostavku da su svi početni uslovi jednaki nuli.

KARAKTERISTIČNI POLINOM SISTEMA. RED SISTEMA

Funkcija prenosa sistema:

1

1 1 0

1

1 1 0

( )

( )

m m

m m m

n n

n n

b s b s b s b B sG s

s a s a s a A s

Karakteristični polinom sistema:

1

1 1 0

0

( ) ( ) , 1n

n n k

n n k n

k

f s A s s a s a s a a s a

Red sistema = n

NULE I POLOVI FUNKCIJE PRENOSA

1

1 1 0 0 1

1

1 1 0

0 1

( )

( )

( )

mms

m m k

m m k i

n nn nsn

ik

k i

isb sb s b s b s b

G ss a s a s a

pa s s

K

z

K - faktor pojačanja sistema

is z i is p - faktori polinoma u brojiocu i imeniocu funkcije prenosa

Nule prenosne funkcije ( iz ) odgovaraju korenima polinoma u brojiocu funkcije

prenosa.

1

1 1 0

0 1

( ) 0mm

m m s

m m k

k i

ib s b s b s b b s s z

Polovi funkcije prenosa ( ip ) odgovaraju korenima polinoma u imeniocu funkcije

prenosa.

1

1 1 0

0 1

( )i

nnn n s

n k

k i

s a s a s a a s ps

UTICAJ SKRAĆIVANJA NULA I POLOVA SISTEMA NA NJEGOVO PONAŠANJE

Skraćivanje parova jednakih nula i polova je moguće ukoliko su oni locirani u levoj poluravni s-ravni.

Primer.

15 ( 10)( )

sG s

( 1) ( 10)s s 1

15( )

( 1)( 20)( 20)G s

s ss

- Nakon izvršenog skraćivanja nule i pola, broj polova redukovanog modela sistema

1( )G s se smanjuje za 1 u odnosu na originalni sistem ( )G s .

- Red modela redukovanog sistema 1( )G s se smanjuje za 1 (smanjuje se i broj početnih

uslova redukovanog modela).

- Odziv originalnog i redukovanog sistema na istu pobudu je isti.

- Međutim, odzive usled početnih uslova nema smisla porediti, pošto početni uslovi originalnog i redukovanog sistema više nisu isti.

PREDSTAVLJANJE POLOVA U KOMPLEKSNOJ RAVNI

Par konjugovano kompleksnih korena:

1,2

j

np j e

2 2

1,2

1,2arg ( / )

np

p arctg

1,2

cos( ) sin( )

cos sin

jj

n n

j j j

n n

n n

n n

p e e

e e e

j

j

2

1,2 1 cos,n np j

za 0 ( / 2 ) polovi se nalaze levo od Im-ose,

za 0 ( / 2 )desno od Im –ose,

za 0 ( 0 ) polovi se nalaze na Im-osi.

X

X

„s-ravan“

Položaja polova (X) u kompleksnoj ravni u zavisnosti od vrednosti relativnog

koeficijenta prigušenja za konstantno n

X

X

X

X X

X

X

X X X X X

Smer porasta

Smer porasta

Smer opadanja X

X

X

X

X

X

X X

X

X

Smer opadanja

X

X

X

X

X

X X X X X X X

FUNKCIJE PRENOSA NEKIH SISTEMA Čisto transportno kašnjenje

( ) ( ) ( ) ( ) ,( )s sy t u t Y s U s G s see

Diferencijator

( )( ) ( ) ( ) ( ,)

dy ty t Y s sU G ss s

dts

m > n ne može se fizički realizovati !

( )1

sG s

Ts

realni diferencijator n = m

Integrator

1

( ) ( ) ( ) ( ) , Re 01

( )

t

y t u t dt GY s Us

ss

s s

ULOGA PRENOSNE FUNKCIJE U ODREĐIVANJU ODZIVA SISTEMA

1. Odrediti Laplasov lik ulaznog signala

( )U s u t L

2. Odrediti odziv sistema u obliku

Y s G s U s

3. Naći inverznu Laplasovu transformaciju

1 1( ) ( ) ( ) ( )y t Y s G s U s L L

POVEZIVANJE SISTEMA

ELEMENTARNE TRANSFORMACIJE BLOKOVA

1. Paralelna veza dva sistema

1 1

1 2

1 2 1

( )

2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (( ) ) )(

U U G s

Y Y

Y S G s U s G G ss U s U sG s

2. Redna veza dva sistema

1

2

2

12 1

( )

2( ) ( ) ( ) ( ) (( ) ( ))

U G s

U

Y Y

Y S G s G s U s U sG s G s

3. Povratna sprega

( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) 1 ( )

( )

1 ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

G s

E s R s H s Y s

Y S G s E s G s R s G s H s Y s

Y S

G s

G s H s

G s H s G s R s

Y s R s

Funkcija spregnutog prenosa

( )

( )1 ( ) ( )

S

G sW s

G s H s

Funkcija povratnog prenosa

( ) ( )W s G s H s

PRAVILA ALGEBRE FUNKCIJA PRENOSA

Redna veza

Paralelna veza

Povratna

sprega

Premeštanje

bloka H iz

povratne

grane

Premeštanje

bloka H iz

direktne

grane

Premeštanje

tačke

račvanja

ispred

bloka G1

Premeštanje

tačke

račvanja

iza

bloka G2

Premeštanje

diskrimina-tora

ispred bloka

G1

Premeštanje

diskrimina-tora

iza bloka G2

Primer. Odrediti funkciju prenosa sistema sa slike:

a) primenom algebre blok dijagrama,

b) analitički

Rešenje. a) Čvor između blokova G3 i G4 može se premestiti iza bloka G4

Funkcija prenosa sistema iznosi

1 2 3 4

3 4 1 2 3 2 1 2 3 4 3

( )( )

( ) 1

G G G GY sG s

U s G G H G G H G G G G H

b) Analitički

4 3 2 1 3 2 4 1

1 2 3 4 3 2 3 4

( ) /Y s G G G G U H Y H Y G H Y

G G G G U H Y G G G

2

4

YH

G3 4 1

1 2 3 4 1 2 3 4 3 2 3 2 3 4 1

G G H Y

G G G G U G G G G H Y G G H Y G G H Y

3 4 1 2 3 2 1 2 3 4 3

1 2 3 4

( ) 1Y s G G H G G H G G G G H

G G G G U

1 2 3 4

3 4 1 2 3 2 1 2 3 4 3

( )( )

( )

1

Y sG s

U s

G G G G

G G H G G H G G G G H

FUNKCIJA PRENOSA MULTIVARIJABILNIH SISTEMA

Posmatra se linearan, stacionaran sistem sa r ulaza i m izlaza, prikazan na slici

Sistem je linearan teorema superpozicije

1 1 2 2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )i i i ir rY s G s U s G s U s G s U s

0,

( )( )

( )

iij

j U k jk

Y sG s

U s

1 11 1 1

1

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

r

m m mr r

Y s G s G s U s

Y s G s G s U s

( ) ( ) ( )Y s G s U s

Matrica G s - matrica funkcija prenosa multivarijabilnog sistema

dim G s r p

broj vrsta G s = broj izlaza sistema

broj kolona G s = broj ulaza sistema

Primer. Odrediti matricu funkcija prenosa multivarijabilnog sistema prikazanog na slici pomoću: a) algebre blok dijagrama, b) analitički.

a) Algebra blok dijagrama

Prema definiciji matrica funkcija prenosa će biti u obliku

1

1 11 12

2

( )( ) ( ) ( )

( )

U sY s W s W s

U s

,

0,

( )( )

( )

iij

j U k jk

Y sW s

U s

11 3 411

21 2 3 4 1 2 3 4

( )( ) ( ) ( )( )

( )1 1

U sG s G s G sG sY

U sG G G G G G G G

2

1

111

1

112

2

0

0

( )( )

( )

( )( )

( )

U

U

Y sW s

U s

Y sW s

U s

b) Analitički

1 1 1 3 Y G U G X

4 2 2 1 X G U G Y - pomoćni signal

1 1 1 3 4 2 2 1Y G U G G U G Y

1 1 1 1 3 4 2 1 2 3 4 1Y GU G G G U G G G G Y

1 1 2 3 4 1 1 1 3 4 21Y G G G G GU G G G U

1 3 411 1 2 11 1 12 2

1 2 3 4 1 2 3 41 1

G G GGY U U W U W U

G G G G G G G G

ZAVISNOST ODZIVA SISTEMA OD RASPOREDA POLOVA I NULA FUNKCIJE PRENOSA

SISTEMA II REDA BEZ KONAČNIH NULA

Funkcija prenosa sistema II reda:

2

2 2( )

2 n

n

n

G ss s

Polovi funkcije prenosa:

2

1,2 1n np j

Nule funkcije prenosa:

ne postoje

X

X

Odskočni odziv sistema II reda sa konjugovano kompleksnim polovima:

2-1 -1

2 2

-1 0 1 20 1 22 2

1( ) ( )

2

, 1, 1, 22

n

n n

n

n n

s t W ss s s s

K K s KK K K

s s s

L L

L

2 2

2

2

2

( ) 1 cos 1 sin 1 ( )1

1 sin 1 ( ), cos1

n n

n

t t

n n

t

n

s t e e h t

eh t

Impulsni odziv sistema II reda

2

-1 2

2 2 2( ) sin 1

2 1

nt

n nn

n n

eg t t

s s

= L

UTICAJ POLOŽAJA POLOVA SISTEMA II REDA NA NJEGOV IMPULSNI ODZIV ( )g t

Oscilacije sa

rastućim amplitudama

X X X X

X X X X

X X X X

Oscilacije sa opadajućim amplitudama

Aperiodični opadajući

odziv

Aperiodični rastući odziv

konstantan odziv

Oscilacije sa konstantnim amplitudama

ODZIV SISTEMI DRUGOG REDA SA JEDNOM KONAČNOM NULOM

Sistem sa dva pola ima i jednu nulu u tački –z:

2

22( )( )

2 n

z

n

nG ss

Gs z s z

sz zs

2 2

2 2 2 2

( (

( )2 2

) )

n n

n n n

z

n

s

z

s

z

s s s s

G s G s

G s

1 1 ( ) ( )

( )

1 1 1)

)1

(

(

z z G s Gs

s t Gs

d

z dtt

s zs

s s t

s

L L

( ) ( ))1

(zsd

dt

zs t

tst

1. Uticaj izvoda d

dt:

U stacionarnom stanju je ( ) 0d

s tdt

Uticaj nule je zanemarljiv u

stacionarnom stanju!

Nula utiče na rad sistema samo u prelaznom režim tako što:

ubrzava rad sistema

povećava njegov preskok.

2. Uticaj nule z :

10 kad z

z Uticaj nule postaje manji ukoliko je se ona

udaljava od imaginarne ose.

Primer. Na slici su prikazani odskočni odzivi tri različita sistema, bez nule i sa konačnim nulama 1, 5z z .

2

4( )

2 4W s

s s

,

2

14( )

2 4W s

s

s

s

,

2

0.8( )

2 4

5W

ss

s s

Bez nule

Sa nulom

Sa nulom

-1 -5

Odskočni odziv sistema

vreme

Dodatna nula:

1. ubrzava odziv sistema

2. povećava preskok

SISTEM NEMINIMALNE FAZE

Sistem koji ima nulu u desnoj poluravni s-ravni.

Javlja se PODBAČAJ u odskočnom odzivu. Primer. Na slici su prikazani odskočni odzivi sistema funkcije prenosa:

2

4 1( )

2 4

sG s

s s

i sistem neminimalne faze funkcije prenosa:

2

4 1( )

2 4

sG s

s s

Sistem neminimalne faze (podbačaj)

Odskočni odziv sistema

vreme

SISTEMI TREĆEG REDA SA DVA KONJUGOVANO KOMPLEKSNA I JEDNIM REALNIM POLOM

Primer. Posmatrajmo sistem 2. reda 1 2

4( )

2 4G s

s s

, i sistem 3. reda sa dva

kompleksna i jednim realnim polom

2 2

4( )

2( ) 4s ps

s s

pG

.

Odskočni odzivi sistema:

1 1 2 2

1 4 1 2( ) ( )

( 2 4) 2 4

sS s G s

s s s s s s s

2 2 22

1 4 1( ) ( )

2 4s 2( ) 4

As BS s G s

s s s ss s ps s

p C

p

2 2

2 22

2 2, ,

2 4 2 4

4

2 4

p p pC

p pA B

p p p p

Kada p

2

2

21

2 4p

p pA

p p

2

2

22

2 4p

pB

p p

2

40

2 4p

Cp p

2 12

1 2( ) ( )

2 4

0sS s S s

s s s s p

Uticaj polova koji su jako udaljeni od imaginarne ose na ponašanje sistema se može zanemariti.

Pol blizak imaginarnoj osi značajno utiče na ponašanje sistema.

Primer.

1 2

2 2

4( )

2 4

4( ) , 1, 5

2) 4(

p

G ss s

G s ps ss p

Sa dodatnim polom -1

Sa dodatnim polom -5

Bez dodatnog pola

-1 -5

Odskočni odziv sistema

vreme

Dodatni pol:

1. usporava odziv sistema,

2. smanjuje vrednost preskoka.

POLOVI I NULE ČIJI SE UTICAJ NA PRELAZNI PROCES MOŽE ZANEMARITI

Dominantni polovi - par konjugovano kompleksnih polova koji su najbliži imaginarnoj osi u s-ravni.

Polovi koji se mogu zanemariti – polovi sa velikom negativnim realnim delom koji je bar 6 puta veći od realnog dela dominantnih polova.

Dominantni polovi

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

Polovi koji se mogu zanemariti

Dipol - Pol i nula jednakih vrednosti.

Uticaj dipola na odziv je neznatan ukoliko se oni nalaze u levoj poluravni s-ravni.

Dipoli u funkciji prenosa se mogu „skratiti“.

Polovi i nule sa približno jednakim vrednostima mogu se aproksimativno smatrati dipolom.

X X

Potpuno skraćivanje pola i nule

X

Približno skraćivanje pola i nule

X X

X

Primer.

21(4

)4

2sG

ss

,

1,2 1 3s j

2

18( )

4

4G s

s

4.5s

2

2

12

2 4

18 4

4 4.5 2 4

4

2)

4(

s s

s s

G ss s

1,2 1 3s j ,

3 4.5s , 1 4z

2

3

38( )

10

4 10sG s

s

2 4 9.5s s

22

2 1

38 10

10 9.5 2

4

2)

4

42 4

(

s s

s

s s

sG s

*

*

o

*

Približno skraćivanje pola i nule

Odskočni odziv sistema za G1, G2 i G3

vreme

Napomena. Skraćivanje pola i nule može se izvesti samo ukoliko su prethodno ispunjeni sledeći uslovi:

1. Skraćeni pol mora biti lociran u levoj poluravni.

2. Za određivanje odziva usled početnih uslova treba koristiti „neskraćenu“ funkciju prenosa iz koje se može rekonstruisati diferencijalna jednačina.

3. Za određivanje odziva usled pobude sasvim je svejedno da li je izvršeno skraćivanje pola i nule u funkciji prenosa.

PREDNOSTI I OGRANIČENJA FUNKCIJE PRENOSA KAO MODELA SISTEMA

Prednosti:

1. Ne zavisi od oblika ulaznog signala.

2. U potpunosti opisuje U/I transformacije linearnih stacionarnih sistema.

3. Operacije nad funkcijama prenosa jednog složenog sistema su relativno jednostavne.

4. Iz funkcije prenosa mogu se dobiti tzv. frekventni modeli sistema.

Ograničenja:

1. Definiše se samo za linearne stacionarne sisteme.

2. Daje U/I zavisnost i ne pruža nikakvu informaciju o unutrašnjoj strukturi i ponašanju sistema.

3. Funkcija prenosa ne uzima u obzir početne uslove sistema.