Analogisieren…

Uni NürnbergJahrestagung GDM Berlin 2007Mutfried Hartmann

Analogisieren……am Beispiel des Satzes des Pythagoras

www.didmath.ewf.uni-erlangen.de/Vortrag/GDM

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Gliederung

• Kurze Übersicht über das Analogisieren

• Die Vielfältigkeit der räumlichen Analogien des Satzes von Pythagoras

• Zerlegungsbeweise des pythagoreischen Lehrsatzes mittels des Analogisierens entdecken

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Was ist Analogie?

• „…, analoge Dinge stimmen in gewissen Beziehungen zwischen ihren entsprechenden Teilen miteinander überein.“ (Polya 1967)

Was ist Analogisieren?

• Ein Vorgehen, welches sich bereits einmal bewährt hat, wird auf eine analoge Situation übertragen.

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Kurzer Überblick

• Heuristik– Archimedes, Pappos– Descartes, Leibniz

• Mathematikunterricht (Polya 1949)• Zentrales Lernziel (Winter 1972)• Verallgemeinerung (Deschauer 1999)• Kreative Begriffsbildung (Weth 2000)• Variation (Schupp 2002)• Analogisieren im Schulbuch (Zimmermann 2003)• Von Ebene zum Raum

– Dreieck-Tetraeder (Fritsch 1984, Neubrand 1985, Bubeck 2003)– Pythagoras am Tetraeder (Bubeck 1992)

• Phänomenfindung (Loska/Hartmann 2005)• MU Themenheft Analogisieren (Heinrich 2006)

– Computereinsatz (Schumann)

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Satz von Pappos

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Pythagoras in Vierecken

a² + c² = b² + d²

ab

cd

a² - c² = d² - b²

a b

cd

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Räumliche Analogien des rechtwinkligen Dreiecks

Pythagoras im Raum /Analoga des rechtwinkligen Dreiecks

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Räumliche Analogien des rechtwinkligen Dreiecks


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Räumliche Analoga des rechtwinkligen Dreiecks

Dreiecksprisma Faulhaber-Tetraeder

Schiefes TetraederBubeck-Tetraeder


Existieren in diesen Körpern auch irgendwelche

zum Satz des Pythagoras analoge Beziehungen?

Existieren in diesen Körpern auch irgendwelche

zum Satz des Pythagoras analoge Beziehungen?

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Dreiecksprisma

Pythagoras im Raum / Dreiecksprisma

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Faulhaber-Tetraeder

Pythagoras im Raum / Faulhaber-Tetraeder

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Faulhaber-Tetraeder

Johannes Faulhaber(1622)

Pythagoras im Raum / Faulhaber-Tetraeder

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Bubeck-Tetraeder (1992)

Pythagoras im Raum / Bubeck-Tetraeder

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Schiefes Tetraeder

Pythagoras im Raum / Schiefes Tetraeder

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Schiefes Tetraeder (Beweis)

Pythagoras im Raum / Schiefes Tetraeder

C² = A² + C‘² D² = A² + D‘²

B² = A² + C‘² + D‘²

Faulhaber

Dreiecksprisma

C² + D² = 2A² + C‘² + D‘²A² + B² = 2A² + C‘² + D‘²

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Auf Kantenlängen bezogene Analogien

Pythagoras im Raum / Kanten

a‘a‘²aa ²+ bb= ² b‘b‘² cc ² c‘c‘+ ²=+

ccaa ²a‘a‘² - = bb ²b‘b‘ ²c‘c‘=-² ²- a‘a‘aa bb b‘b‘- = +²² ² ²

bb b‘b‘ ccc‘c‘²²

-²

=²

-a‘a‘aa cc c‘c‘²²

+²+

²=

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Beispiel: Zerlegungsbeweise zum Satz des Pythagoras

Zerlegungsbeweise durch Analogisieren entdecken

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Wie findet man solche Zerlegungen?

Zerlegungsbeweise durch Analogisieren entdecken

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Analyse des Analogisierungsprozesses

Zerlegung der Katheten-quadrate


SonderfallSonderfall AllgemeinfallAllgemeinfall

SchnittführungSchnittführung AnalogeTeilstückeAnaloge

Teilstücke

Interpretation:Festlegung auf eine Beschreibungsmöglichkeit


ÜbertragungÜbertragung

Zerlegungsbeweise durch Analogisieren entdecken l

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2. Beispiel


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Analogisierungsmöglichkeiten der Schnittführung

2. Diagonale2. Diagonale

1. Diagonale 1. Diagonale


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C

c

d

C

c

d Verlängerung von Seite d Verlängerung von Seite d

Parallele zu c durch C Parallele zu c durch C


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C

c

C

c

Parallele zu d durch D Parallele zu d durch D

Parallele zu c durch C Parallele zu c durch C

d

D

d

D


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M

c

d

M

c

d Parallele zu d durch M Parallele zu d durch M

Parallele zu c durch M Parallele zu c durch M


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B

C E

D

c

d

B

C

E

D

Parallele zu d durch B und DParallele zu d durch B und D

Parallele zu c durch C und EParallele zu c durch C und E

c

d


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Analyse des Analogisierungsprozesses



SonderfallSonderfall AllgemeinfallAllgemeinfall

SchnittführungSchnittführung AnalogeTeilstückeAnaloge

Teilstücke

Zerlegung des Hypotenusen-

quadrats

Zerlegung des Hypotenusen-

quadrats



Abbildung der TeileAbbildung der Teile

unvollständigeLösung

unvollständigeLösung

endgültigeLösung

endgültigeLösung

ProbierenProbieren

ÜbertragungÜbertragung


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Analogisierung der Teileabbildung


Perigal

Ihre Lösung in der Hausaufgabe

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Beispiele von Studenten


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Bedeutung für den Unterricht

• Die Schüler haben die Möglichkeit, komplexe Zerlegungsmöglichkeiten selbst erfolgreich zu entdecken

• Die Schüler können dabei auch an Standardinhalten unmittelbar die Schlagkraft einer heuristischen Methode erfahren

• Die hohe Vielfalt der Entdeckungsmöglichkeiten machen das kreative Moment der Mathematik erfahrbar

• Präzises verbales Beschreiben wird geübt• Fachmathematische Begriffe, wie Verschiebung oder

Drehung, werden in einem sinnvollen Kontext wiederholt• Beweisbedürfnis wird geweckt


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Forderungen

• Analogisieren sollte– als Methode im Unterricht explizit thematisiert

werden– in Schulbüchern explizit berücksichtigt werden

• Weitere Möglichkeiten für das Analogisieren (insbesondere an Standardinhalten) sollten seitens der Mathematikdidaktik erschlossen werden

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Wie findet man solche Zerlegungen?

SchnittSchnitt

LageLage

2. Säule: Vernetzung – Entdecken durch Analogisieren

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