Anexa_1c

227

ANEXA 1

TRANSFORMATA LAPLACE A.1.1. DEFINIII Transformata Laplace bilateral )(sF a unei funcii )(tf de variabil real este

+

= dtetfsF st)()( ,

unde js += reprezint o variabil complex. Transformata nu are sens dect dac integrala converge cel puin ctre o distribuie. Domeniul de convergen se poate caracteriza prin

12 }Re{

METODE DE ANALIZ N CIRCUITE ELECTRICE COMPLEXE

228

Integrala lui Bromwich

+

= dtesF

jtf st)(

21)(

efectueaz transformata Laplace invers, restituind funcia original, pentru orice drum de integrare aflat n domeniul de convergen. n fiecare punct de discontinuitate 0t se va considera

[ ])()(21)( 000 + += tftftf .

A.1.2. CORESPONDENE UZUALE n continuare, se indic o coresponden dintre cteva funcii original uzuale i transformatele lor Laplace, precizndu-se domeniul de convergen.

Original Transformat Domeniu de convergen )(t 1 ),( +

)(t s1

),0(

atet )( as +1

),Re( a

tt sin)( 22 +s

),0(

tt cos)( 22 +s

s

),0(

tat sh)( 22 asa

( ),Rea

tat ch)( 22 ass

( ),Rea

tet at cos)( 22)( +++

asas

),( a

tet at sin)( 22)(

++ as

),( a

)cos()( +tt 22 sincos

+

ss

),0(

)sin()( +tt 22 cossin

++

ss

),0(

ANEXA 1. Transformata Laplace

229

)(!

tntn

1ns

),0(

tsin )1(12 2 +ss 0

tcos )1(2 2 +s 0 1 )(2 js 0

Corespondenele uzuale sunt bilaterale. A.1.3. FORMULELE LUI HEAVISIDE n analiza circuitelor electrice, apare frecvent necesitatea calculului funciei original ce corespunde unei imagini de forma

)()()(

sNsMsF = ,

n care )(sM este un polinom n s de gradul m , iar )(sN este un polinom n s de gradul mn > . Dac rdcinile ks , ale ecuaiei 0)( =sN , sunt simple, atunci unde

kss

k sNsN

=

=dd)(/ .

Dac rdcinile ks sunt simple, dar )()( ssPsN = , atunci

unde

kss

k sPsP

=

=dd)(/ .

Pentru situaiile n care exist rdcini js cu ordinul de multiplicitate jm , pentru ecuaia 0)( =sN , se folosete formula general a lui Heaviside:

. . )()(

sNsM ,

)()(

1/

tsn

k k

k kesNsM

=

,)(

)()0()0(

)()( 1

1/

tsn

k kk

k kesPs

sMPM

ssPsM

=+ . .


230

n care rn este numrul de rdcini distincte, iar coeficienii kja sunt calculabili cu relaia:

[ ] =

)()(ddlim

!)(1 sFss

tkma j

j

j

j

mjkm

km

ssjkj .

A.1.4. TEOREME Exist mai multe teoreme ale transformatei Laplace, dintre care primele trei prezentate mai jos sunt fundamentale. 1. Teorema liniaritii, consecin direct a liniaritii integralei, se exprim prin relaia n care ka sunt constante, iar 2. Teorema derivatei, pentru transformata Laplace unilateral, se exprim astfel: existnd i relaii care exprim transformata Laplace a derivatei de ordinul k a unei funii original )(tf . 3. Teorema integralei, pentru transformata Laplace unilateral, se exprim astfel: 4. Teorema valorii iniiale afirm c )(lim)(lim

0ssFtf

st = ,

,)!1(

)()()(

1

1

1

tsn

j

km

kkj

jr j

ektta

sNsM

=

= . .

,)()(11==

n

jkk

n

kkk sFatfa

. .

).()( sFtf kk . .

,)0()(dd

fssFtf

. .

.)(d)(0 s

sFft

. .


231

n cazul cnd )(tf nu prezint discontinuitate n origine. Dac funcia )(tf este continu sau nu, exist relaia )0()(lim + = fssFs . 5. Teorema valorii finale are expresia matematic )(lim)(lim

0ssFtf

st = ,

dac aceste limite exist. 6. Teorema translaiei transformatei are expresia general iar n particular 7. Teorema translaiei originalului se exprim astfel: 8. Teorema asemnrii are expresia 9. Teorema funciilor periodice se refer la cazul n care funcia original este periodic, cu perioada T , caz n care se obine 10. Teorema integrrii imaginii, cu expresia 11. Teorema produselor imaginilor exprimabil n forma

.1)(

jste tj

. .

.)()( sFetf s+ . .

,)()( asFtfe at + . .

.)(asaFatf

. .

.d)(1

1)()(0 +=T

stsT tetfe

Ttftf . .

.d)()(

s

ssFttf

. .

)()(d)()( 210

21 sFsFtfft

. .


232

)0( = LiEL sLZL = I UL

sCZc

1=s

uE CC)0( =

I

UC

12. Teorema produselor originalelor, cu expresia matematic n care c este o constant real mai mare dect abscisa de convergen a integralei ce definete transformata Laplace. A.1.5. SCHEME OPERAIONALE Relaiile caracteristice elementelor de circuit au fost prezentate n cap. 1, pentru un regim variabil oarecare. innd cont de proprietile transformatei Laplace, se pot obine uor forme operaionale ale acestor relaii, apoi se pot asocia, pentru 0>t , scheme formale numite scheme operaionale, aa dup cum se indic n tabelul urmtor.

Elementul de circuit

Relaia caracteristic operaional

Schema operaional a elementului de circuit

)()( sEsU =

)()( 0 sIsI =

)()( sRIsUR =

)0()()( = LissLIsUL

susI

sCsU CC

)0()(1)( =

)0()()0()()(

11

22222

++=

MissMIiLsIsLsU

,d)()(2

1)()( 2121 +

jc

jc

ppsFpFj

tftf . .

I

U

E

I

U

I0 i

u

i0

i

u

e

R i

uR

RZR = I

UR

L i

uL

i

uC

C

*

L1 i1

L2 i2

u2

*

M *

)0(11 iL 1sL I1 )0(2 Mi

*

sM

U2

)0(22 iL 1sL I2 )0(1 Mi


233

Documents

Anexa_1c