anril kontinu seragam

Daftar Isi7. KEKONTINUAN DAN KEKONTINUAN SERAGAM

ANALISIS REAL(Semester I Tahun 2011-2012)

Hendra Gunawan∗

∗Dosen FMIPA - ITBE-mail: [email protected].

October 10, 2011

Hendra Gunawan ANALISIS REAL


7.1 Kekontinuan7.2 Kekontinuan Seragam7.3 Kekontinuan per Komponen dan secara Gabungan




Pemahaman yang baik tentang fungsi kontinu merupakan hal yangpenting dalam analisis. Dalam optimisasi, misalnya, eksistensi nilaiekstrim dijamin bila kita mengetahui bahwa fungsi objektifnyakontinu pada suatu domain yang kompak.




Fungsi Kontinu

Misal D ⊆ Rn, f : D → Rm, dan x0 ∈ D. Fungsi f dikatakankontinu di x0 apabila untuk setiap ε > 0 terdapat δ > 0 sedemikiansehingga untuk x ∈ D dengan ‖x− x0‖ < δ berlaku‖f(x)− f(x0)‖ < ε.Selanjutnya, fungsi f dikatakan kontinu pada D apabila f kontinudi setiap titik di D.

Catat bahwa nilai δ secara umum bergantung pada ε dan x0.Dalam hal x0 merupakan titik akumulasi dari D, f kontinu di x0

apabila (i) f terdefinisi di x0, (ii) limx→x0

f(x) ada, dan (iii)

limx→x0

f(x) = f(x0). Dalam hal x0 ∈ D tapi bukan titik akumulasi

dari D (yakni, x0 merupakan titik terisolasi dari D), maka fotomatis kontinu di x0.




Proposisi 1

Jika x0 merupakan titik akumulasi dari D, maka ketiga pernyataanberikut ekuivalen:(i) f kontinu di x0.(ii) lim

x→x0

f(x) = f(x0).

(iii) Untuk setiap barisan 〈xk〉 di D dengan limk→∞

xk = x0, berlaku

limk→∞

f(xk) = f(x0).




Contoh 2

(a) Fungsi polinom, fungsi trigonometri, fungsi nilai mutlak, fungsieksponensial, dan fungsi logaritma merupakan fungsi kontinu padadaerah definisinya.(b) Fungsi karakteristik Q, yakni χQ, merupakan fungsi yang tidakkontinu di mana-mana.




Contoh 3

Misalkan f : (0, 1] → R didefinisikan sebagai

f (x) =

{0, x /∈ Q1q , x = p

q ,

di mana p dan q bilangan bulat yang relatif prima (yakni,FPB(p, q) = 1). Maka, f tidak kontinu di setiap bilanganrasional, tetapi kontinu di setiap bilangan irasional.




Contoh 4

Misalkan f : (0, 1) → R dengan f (x) = 1x , dan x0 ∈ (0, 1).

Diberikan ε > 0, dapat dipilih δ = min{ x02 ,

εx20

2 }, sehingga jika

|x − x0| < δ maka |f (x)− f (x0)| = |x−x0|xx0

< ε.Perhatikan di sini δ bergantung pada ε dan x0, dan bila x0

mendekati 0, nilai δ menjadi semakin kecil untuk ε yang sama.(Dapat ditunjukkan bahwa memang tidak ada δ yang hanyabergantung pada ε dan berlaku untuk x0 ∈ (0, 1) sembarang.)




Fungsi f yang bernilai real dan terdefinisi pada (a, b) ⊆ Rdikatakan mempunyai diskontinuitas loncat di x0 ∈ (a, b) apabila iamempunyai limit kanan dan limit kiri di x0 tetapi tidak sama.

Sebagai contoh, fungsi monoton hanya mempunyai diskontinuitasloncat (dan, jika f (a) dan f (b) terdefinisi, maka banyaknya titikdiskontinuitas terhitung).




Contoh 5

Misalkan f : R → R dengan

f (x) =

{0, x = 0,

sin 1x , x 6= 0.

Maka, f tidak kontinu di 0, tapi 0 bukan merupakan titikdiskontinuitas loncat.




Proposisi 6

Misalkan D ⊆ Rn dan f, g : D → Rm kontinu di x0 ∈ D. Maka(i) f + g kontinu di x0.(ii) αf kontinu di x0 untuk setiap α ∈ R.(iii) Jika m = 1, maka fg kontinu di x0.(iv) Jika m = 1 dan g(x) 6= 0 untuk setiap x ∈ D, maka f

g kontinudi x0.(v) f · g : D → R kontinu di x0.




Fungsi Komposisi

Misalkan D ⊆ Rn, E ⊆ Rm, f : D → E dan g : E → Rk . Fungsikomposisi dari g dengan f didefinisikan sebagai g ◦ f : D → Rk

dengang ◦ f(x) = g(f(x)).

Proposisi 7Jika f kontinu di x0 ∈ D dan g kontinu di f(x0), maka g ◦ fkontinu di x0.




Proposisi 8

Fungsi ‖ · ‖ : x 7→ ‖x‖ dari Rn ke R merupakan fungsi yang kontinu.

Akibat 9Jika f : D → Rm kontinu di x0 ∈ D, maka terdapat M > 0 dansuatu lingkungan-δ dari x0 sedemikian sehingga ‖f(x)‖ ≤ M untukx ∈ D ∩ B(x0, δ).




Soal Latihan

1 Buktikan jika f : R → R kontinu pada R dan f (x) = 0 untuksetiap x ∈ Q, maka f = 0.

2 Berikan sebuah contoh fungsi pada R yang kontinu hanya disebuah titik.

3 Misalkan f : D → Rm kontinu di x0 ∈ D dan f(x0) 6= 0.Buktikan bahwa terdapat m > 0 dan suatu lingkungan-δ darix0 sedemikian sehingga ‖f(x)‖ ≥ m untuk setiapx ∈ D ∩ B(x0, δ).




Dalam hal tertentu, dapat terjadi nilai δ hanya bergantung pada ε,tidak pada x0. Sebagai contoh, fungsi g(x) = x2, x ∈ (0, 1),kontinu di x0 ∈ (0, 1) sembarang, dan untuk setiap ε > 0 dapatdipilih δ = ε

2 , sehingga jika x ∈ (0, 1) dan |x − x0| < δ, maka

|g(x)− g(x0)| = |x + x0|.|x − x0| < ε.

Fungsi semacam ini dikatakan kontinu seragam pada (0, 1).

Secara umum, f dikatakan kontinu seragam pada D apabila untuksetiap ε > 0 terdapat δ > 0 sedemikian sehingga untuk setiapx, y ∈ D dengan ‖x− y‖ < δ berlaku ‖f(x)− f(y)‖ < ε.




Contoh 11

Fungsi f (x) = x2 kontinu seragam pada (0, 1), bahkan pada (0, b)untuk b > 0 sembarang (lihat Soal Latihan 1). Namun demikian,fungsi ini tidak kontinu seragam pada (0,∞).Andai f (x) = x2 kontinu seragam pada (0,∞). Maka ada δ > 0sedemikian sehingga untuk setiap x , y ∈ (0,∞) dengan |x − y | < δberlaku |x2 − y2| < 2. Tinjau x = m + 1

m dan y = m, denganm > 1

δ . Maka, |x − y | < δ, tetapi

∣∣f (m +

1

m

)− f (m)

∣∣ ≥ 2.

bertentangan dengan pernyataan sebelumnya.




Contoh 12

Pada subbab sebelumnya, kita telah membahas bahwa f (x) = 1x

kontinu di setiap x0 ∈ (0, 1). Namun, diberikan ε > 0 sembarang,kita tidak dapat menemukan δ > 0 sedemikian sehingga untuksetiap x , y ∈ (0, 1) dengan |x − y | < δ berlaku | 1x −

1y | < ε.

Andai f (x) = 1x kontinu seragam pada (0, 1). Maka ada δ > 0

sedemikian sehingga untuk setiap x , y ∈ (0, 1) dengan |x − y | < δberlaku | 1x −

1y | < 1. Namun, untuk n ∈ N yang cukup besar,

x = 1n dan y = 1

n+1 memenuhi |x − y | < δ, tetapi | 1x −1y | =

= |n − (n + 1)| = 1, tidak sesuai dengan pernyataan sebelumnya.Jadi f (x) = 1

x tidak kontinu seragam pada (0, 1).




Contoh 13

Fungsi ‖ · ‖ : x 7→ ‖x‖ kontinu seragam pada Rm.




Soal Latihan

1 Buktikan bahwa f (x) = x2 kontinu seragam pada (0, b) untuksetiap b ∈ R.

2 Buktikan bahwa f (x) = 1x kontinu seragam pada (a,∞) untuk

setiap a > 0.

3 Buktikan bahwa f (x) = sin x kontinu seragam pada R.

4 Buktikan jika f, g : D → Rm kontinu seragam pada D, makaαf + βg kontinu seragam pada D untuk setiap α, β ∈ R.




Sebuah fungsi dua peubah, f (x , y), dapat dipandang sebagai suatufungsi dari x saja, atau y saja, atau x dan y bersama.

Misal D ⊆ Rn, E ⊆ Rm, dan f : D × E → Rk . Untuk x0 ∈ D, kitadefinsikan f(x0, ·) : E → Rk sebagai fungsi

f(x0, ·)(y) = f(x0, y), y ∈ E .

Serupa dengan itu, untuk y0 ∈ E , kita definsikan f(·, y0) : D → Rk

sebagai fungsi

f(·, y0)(x) = f(x, y0), x ∈ D.




Fungsi f dikatakan kontinu per komponen di (x0, y0) ∈ D × Eapabila fungsi f(x0, ·) kontinu di y0 dan fungsi f(·, y0) kontinu dix0.

Fungsi f dikatakan kontinu secara gabungan (atau, singkatnya,kontinu) di (x0, y0) apabila f kontinu di (x0, y0).

Jika f kontinu secara gabungan di (x0, y0), maka f kontinu perkomponen di (x0, y0); namun kebalikannya tidak berlaku.




Contoh 14

Misalkan f : R2 → R didefinisikan sebagai

f (x , y) =

{0, (x , y) = (0, 0)

2xyx2+y2 , (x , y) 6= (0, 0),

Maka, f kontinu per komponen di (0, 0) tetapi tidak kontinu(secara gabungan) di (0, 0) karena sepanjang garis y = mx ,fungsi f bernilai konstan 2m

1+m2 .




Soal Latihan

1 Selidiki apakah fungsi dua peubah berikut

f (x , y) =

{0, (x , y) = (0, 0)

xy2

x2+y4 , (x , y) 6= (0, 0),

kontinu atau hanya kontinu per komponen di (0, 0).


Documents

anril kontinu seragam