Embed Size (px)
Citation preview
Antrian Khusus Poisson.
Model (M/M/1) : (GD/~/~)
Co
di
di
m
de
m
Pe
ja
n
( )np ρρ−= 1 , n = 0, 1, 2, … { }ρρ−
==1
nELs ; ρ
ρµλ
−=−=
1
2sq LL ;
1L ρqL
( )ρµλ −==1
ssW ; ( )ρµλ −
==1qW
ntoh :
Pada suatu fasilitas pencucian mobil, informasi yagn
kumpulkan menunjukkan kedatangan mobil ke pelayanan mengikuti
stribusi Poisson dengan rata-rata 4 per jam. Waktu pencucian
asing-masing mobil bervariasi dan mengikuti distribusi eksponensial
ngan rata-rata 10 menit per mobil. Fasilitas pelayanan tidak dapat
enangani lebih dari satu mobil dalam periode waktu tertentu.
nyelesaian :
Kasus ini merupakan antrian dengan model (M/M/1) : (GD/~/~).
Dik : λ = 4 mobil per jam; µ = 60/10 mobil per jam = 6 mobil per
m.
Jawab :
ρ = λ/µ = 2/3 (< 1) antrian ada pada steady-state.
{ } 23
213
2
1=
−=
−==
ρρnELs ; 3/43
22 =−=−=µλ
sq LL ;
4L
5.0
42===
λs
sL
W ; 31
43 ===
λq
qW
Teori Antrian, oleh Hotniar Siringoringo, hal. 1
Model (M/M/1) : (GD/N/~)
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=≠
+−
−
=+
1 ,11
1
1 ,1N
1
ρρρ
ρ
ρ
nN
np , n = 0, 1, 2, …, N
( ){ }⎧ +++− 111 ρρρ nNNNN
C
b
m
m
P
( )
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎨=
≠⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ +−−
=
1 ,111
1 ,2N
ρρρρ
ρ
N
sL
λeff = λ(1-pN); ( )µ
λµ
λ Ns
effsq
pLLL
−−=−=
1
( ) ( )N
sq
N
q
eff
qq p
LW
pLL
W−
=+=−
==1
1 W;1 s λµλλ
ontoh :
Gunakan contoh di atas dan dtambahkan dengan informasi
ahwa fasilitas hanya menyediakan ruangan menunggu yang dapat
enampung 4 mobil. Mobil lain yang tidak dapat memasuki ruang
enunggu akan mencari fasilitas pencucian lainnya.
enyelesaian :
Model antrian (M/M/1) : (GD/5/~)
Dik. : sama dengan yang di atas.
Jawab :
Teori Antrian, oleh Hotniar Siringoringo, hal. 2
( )( ) 0160401.032
321
321
11 5
151=
−
−=
−
−=
++n
Nnp ρρ
ρ
( ){ }( )( )
( ) ( )( ) ( )
( ) =⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −−
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ ×+×−
=−−
++−=
+
+ 56
65
1
1
32
3213
21
3253
26132
1111 n
N
NNs
NNL ρρρ
ρρρ
Model (M/M/c) : (GD/~/~)
λeff = λ(1-pN)= 4(1-0.0160401)= 3.9358396; ( )µ
λµλ N
seff
sqp
LLL−
−=−=1
( ) ( )N
sq
N
q
effWW
λλq
q pL
pLL
−=+=
−==
11 W;
1 s λµ
n⎧
( ) ( ) ( ) ccq
c
n
cn
pn
cnccn
n
pc
cpcc
L
ccnp
p
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
−=
−−=
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ −
+=
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨=
+
−−
=
≤≤
>−
∑
202
1
11
00
cn0 ,0!
,0p!c
n
!1
1!!
ρρ
ρρ
ρρρ
ρ
ρ
1qL
µλρ ; ; +==+= qsqqs WWWLL
⎧ n
( )
⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
=
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨=
≠
−
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
= ⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ −
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ +−⎟⎠⎞⎜
⎝⎛−
+
=
−
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎣
⎡ −
=+−+
≤≤
≤≤−
∑
∑
1c
1
1
0 1!
11
!
1c
11
01
!!
0
cn0 ,0!
,0p!c
n
ρρ
ρρρ
ρρρ
ρ
ρ
c
n cc
cNc
c
n
n
c
ncN
c
c
n
n
pn
Nncccn
n
p
p Model (M/M/c) : (GD/N/~),
c ≤ N
Teori Antrian, oleh Hotniar Siringoringo, hal. 3
( )( )( ) ( )
( )
( )
( ) L
1c ;
effq
2
1102!1
1
1c ; !2
1
µλ
ρυ
ρρρρ
ρ
ρ
ρρ
+=−+=
≠⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
−=
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
=⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
−⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−−
−⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−
−−
+
=+−−
ccLL
pc
cL
qs
cc
cN
ccN
cN
cp
cc
c
ccNcNcq
Model (M/M/~) : (GD/N/~) Pelayanan Sendiri
{ }
0L ; 1
L ... 2, 1, 0, n ,!
q
s
===
====−
qs
nn
WW
nEn
ep
µ
ρρρ
Model (M/M/R) : (GD/K/K) R < K, Perawatan Mesin
( ) ( )1
0 10
Rn0 , 0
KnR , 0!
!Kn
!!
−
= +=−
≤≤⎟⎠⎞⎜
⎝⎛
≤≤−
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛
⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
+=
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=
∑ ∑R
n
K
RnRn
nKn
nKn
pnKn
pRnRR
nnn
RRnp
p
ρρ
ρ
ρ
( ) ( )
( ) Rp
KL pKL
LRRLLpRnL
sq
effqqs
K
Rnnq
11
;111
1 R ;
00
1
=⇒−
−=−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+−=
>⇒+=−+=−= ∑+=
ρρ
µ
λ
Teori Antrian, oleh Hotniar Siringoringo, hal. 4
Antrian Non-Poisson
{ } { } { }( )
{ }( )
{ }
( )
~)/~/(:)1/(M/E ; 12
1
~)/~(GD/ : (M/D/1) ; 12
; ; ;
~)/~(GD/ : (M/G/1) ; 12
var
m
2
22
GDmmL
L
LWtELL
LW
tEttEtEL
s
qqq
ss
s
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
++=
−+=
=−==
−+
+=
ρρρ
ρρρ
λλ
λ
λλλ
Antrian dengan Prioritas.
Model (Mi/Gi/1) : (NPRP/~/~)
( )kq
m
k
kq WW ∑
==
1 λλ
m
W
M
W
E
S
( ){ } { }( )
( )( )( ) ( ) ( ) ( ) { } ( ) ( )
kk
qkk
qk
qkkk
iiii
kq LtEWW
SS
ttEρλ
λ
+=+==−−
+
=−
=∑
ks
ks
kq
1
1
2
L ; W; L ; 112
var
odel (Mi/M/c) : (NPRP/~/~)
( ) { }( )( ) m..., 2, 1, k ,
11 1
0 =−−
=− kk
kq SS
E ξ
{ }( )( )
µλρ
ρρρµ
ξ
µλ
=
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡+−−
=
<==
∑
∑
−
=
−
=
,
1!
!1
1
k semuauntuk , 1S ; 0
1
0
0
1k0
c
n
nc
k
i
i
nccc
c
Teori Antrian, oleh Hotniar Siringoringo, hal. 5
Antrian seri.
Model 2 stasiun seri dengan kapasitas antrian nol
sistem
Stasiun 1 Stasiun 2input output
( ) ( )A
pppppL
Ap
AAAA
bs
b
ρρ
ρρρρρρ
45210
p ;2p ; 2p ; 2p ; 243
2111100100
2111
2100100
2
+=++++=
==+
===++=
Model k stasiun seri dengan kapasitas antrian tidak terbatas
Masing-masing stasiun dapat diperlakukan sebagai (M/Mi/1) :
(GD/~/~)
( ) ,...2,1,0ni ; 1 =−= nip ρρ
Jik
ser
un
iini
a bentuk seri diikuti dengan bentuk paralel (jaringan) setiap stasiun
i dapat diperlakukan sebagai (M/Mi/ci) : (GD/~/~), jika λ < ciµi,
tuk i = 1, 2, ...,k
Teori Antrian, oleh Hotniar Siringoringo, hal. 6
