AOGM, skripta

ANALIZA I OBRADA

GEODETSKIH MJERENJA

skripta za učenje

Analiza i obrada geodetskih mjerenja

2

Ova skripta sadržava sve što je prof. Rožić naveo u katalogu izvornika i nastavnog sadržaja, a odnosi se na TEORIJSKI sadržaj predmeta, ne EMPIRIJSKI, iz literature: Feil, L: Teorija pogrešaka i račun izjednačenja – prvi dio Feil, L: Teorija pogrešaka i račun izjednačenja – drugi dio Rožić, N.: Računska obrada geodetskih mjerenja PREDAVANJA u PDF-u Rožić, N.: Računska obrada geodetskih mjerenja (PLAVA KNJIGA) Obavljena je supstitucija postojećih stručnih termina i oznaka sukladno uputama prof. Rožića. Potrebno je proučiti algoritme i stručnu terminologiju pripadnih algoritama iz: Rožić, N.: Računska obrada geodetskih mjerenja (PLAVA KNJIGA) jer nisu sadržani u skripti. Sretno!


3

Sadržaj:

1. TEORIJA POGREŠAKA .................................................................................................................. 5

1.1. Uvod u teoriju pogrešaka .......................................................................................................................... 5

1.2. Vrste pogrešaka ......................................................................................................................................... 6

1.3. Razdioba vjerojatnosti – zakonitost skupnog ponašanja slučajnih pogrešaka ............................................ 7

1.4. Pouzdanost mjerenja ................................................................................................................................. 9

1.5. Kriterij za ocjenu točnosti ........................................................................................................................ 10

1.6. Gaussov zakon pogrešaka ........................................................................................................................ 16

1.7. Korelacija mjerenja.................................................................................................................................. 17

1.8. Zakon o prirastu pogrešaka ..................................................................................................................... 17

1.9. Opća načela izjednačenja ....................................................................................................................... 24

1.9.1. Postupak izjednačenja .......................................................................................................................... 24

1.10. Metoda najmanjih kvadrata ................................................................................................................ 25

1.11. Cholesky - općenito ............................................................................................................................... 27

2. IZJEDNAČENJE DIREKTNIH MJERENJA ............................................................................... 28

2.1. Uvod ........................................................................................................................................................ 28

2.2. Izjednačenje jedne tražene veličine („klasična direktna mjerenja“) ......................................................... 28

2.3. Izjednačenje višestruko mjerenog vektora .............................................................................................. 32

2.4. Dvostruka mjerenja ................................................................................................................................. 34

3. IZJEDNAČENJE REGULARNIH POSREDNIH MJERENJA .................................................. 37

3.1. Uvod ........................................................................................................................................................ 37

3.2. Određivanje najvjerojatnijih vrijednosti nepoznanica ............................................................................. 37

3.3. Kontrole .................................................................................................................................................. 40

3.4. Ocjene točnosti ....................................................................................................................................... 42

3.5. Redukcija jednadžbi popravaka metodom Gaussa ................................................................................... 48

3.6. Zajedničko izjednačenje pravaca i duljina (raznorodne jedinice mjere) ................................................... 48


4

3.7. Primjena izjednačenja posrednih mjerenja .............................................................................................. 50

4. IZJEDNAČENJE UVJETNIH MJERENJA .................................................................................. 56

4.1. Uvod ........................................................................................................................................................ 56

4.2. Određivanje najvjerojatnijih vrijednosti mjerenja ................................................................................... 56

4.3. Kontrole pri izjednačenju uvjetnih mjerenja ............................................................................................ 59

4.4. Ocjene točnosti ....................................................................................................................................... 61

4.5. Primjeri ................................................................................................................................................... 63

5. IZJEDNAČENJE SINGULARNIH POSREDNIH MJERENJA ................................................. 67

5.1. Uvod ........................................................................................................................................................ 67

5.2. Svojstvene vrijednosti i svojstveni vektori ............................................................................................... 69

5.3. Opća inverzija .......................................................................................................................................... 71

5.4. Defekt konfiguracije ................................................................................................................................ 72

5.5. Defekt datuma ........................................................................................................................................ 72

5.6. Helmertova transformacija ...................................................................................................................... 72

5.7. Izjednačenje slobodnih mreža ................................................................................................................. 73

5.8. Primjeri ................................................................................................................................................... 75

6. LITERATURA ............................................................................................................................... 78


5

1. TEORIJA POGREŠAKA

1.1. Uvod u teoriju pogrešaka

MJERENA VELIČINA je mjerenjem dobiven podatak, rezultat je niza elementarnih operacija (npr.

postavljanje stativa i instrumenta, centriranje, horizontiranje, očitavanje…) od kojih su samo neke

opažanje.

MJERENJE je posljedica opažanja, a geodetski podaci većinom su dobiveni mjerenjem.

MJERNI PROCES je složeni slijed postupaka kojima se obavlja međusobno uspoređivanje

geometrijskih ili fizikalnih veličina, pri čemu se vrijednost (kvantiteta) nepoznate veličine određuje

neposrednim usporedbama s „mjerilom“ mjernog uređaja (instrument).

Mjerni proces je podložan promjenama.

Mjerenjem je nemoguće odrediti pravu/istinitu vrijednost neke veličine, već njenu procjenu.

Matematički gledano, mjerenja su varijable.

REALIZACIJA MJERNOG PROCESA (REZULTAT mjernog procesa: direktno mjerenje)

MJERE SE:

geometrijske veličine (pravci, duljine, visinske razlike)

fizikalne veličine (ubrzanje sile teže, geomagnetski elementi, temperatura zraka…)

MJERI SE:

na topografskoj površini Zemlje (nekontrolirani uvjeti)

u laboratoriju (kontrolirani uvjeti)

KVALITETA MJERENJA: različita (sukladno promjenama)

INSTRUMENTARIJ: različit

METODE: ponavljanje, direktno, indirektno mjerenje, kombinirano

STRUČNJAK

OKOLIŠ: prirodne sile

Mjerni proces nije moguće ponoviti na identičan način. Posljedica toga je da je podatak mjerenja

uvijek različit!

Razlike između rezultata mjerenog procesa (L), tj. podataka mjerenjem određenih veličina, zovu se

POGREŠKE mjerenja.

Razlike između podataka mjerenja te veličine (L) i PRAVE vrijednosti neke veličine (λ) jesu PRAVE

POGREŠKE (ε) i nije ih moguće odrediti. (mogli bismo ih odrediti ako unaprijed znamo vrijednost

veličine koju želimo odrediti, a u stvarnosti toga nema)

↓

mjerenim procesom nije moguće odrediti tzv. pravu/istinitu vrijednost (λ) veličina koje su

nepoznate, ali u određenim slučajevima mogu biti poznate tzv. KVAZI-PRAVE vrijednosti nekih

veličina (npr. mjerenjem visoke točnosti)

Osnovni zadatak teorije pogrešaka je izučavanje pogrešaka mjerenja i njihovih karakteristika.

Postupci izjednačenja su posebni postupci računske obrade podataka geodetskih mjerenja, uobličeni

u formu matematičkih algoritama sa ciljem određivanja jednoznačnih vrijednosti mjerenih veličina i

njihove kvalitete. Oni omogućuju eliminiranje slučajnih pogrešaka iz podataka mjerenja.


6

1.2. Vrste pogrešaka

1.2.1. Grube pogreške

Uzroci: nepažnja, umor, previd, nemarnost, nestručnost…

Eliminacija: mjerenja koja znatnije odstupaju ne uzimaju se u obzir

Veličinu grube pogreške uvjetovati će tražena točnost

Karakteristike: veliki iznos, različiti predznak, različiti iznos

Kao jedan od kriterija njihove identifikacije često se koristi granična pogreška tzv. dozvoljeno

odstupanje.

Moguće ih je u potpunosti eliminirati.

1.2.2. Sistematske pogreške

Uzrok: nesavršenost instrumentarija, stručnjak, utjecaj okoliša

Uzrokovane su određenim sistemom koji se, ukoliko je poznat, može prikazati nekom funkcijom.

Mogu se u potpunosti eliminirati uvođenjem stanovitih korekcija.

Malog su iznosa.

Mogu biti:

konstantnog iznosa i predznaka, i tada imaju svojstvo kumuliranja (konstantna pogreška)

varijabilnog iznosa i konstantnog predznaka

varijabilnog iznosa i predznaka, te one mogu biti prividno prekrivene

Mogućnosti eliminiranja sistematskih pogrešaka:

idealan slučaj: poznat je sustav koji dovodi do pojave sistematskih pogrešaka i moguće ga je

modelirati matematičkom funkcijom. Tada je moguća eliminacija u punom iznosu.

prihvatljiv slučaj: poznat je sustav, ali nije moguće jednostavno modeliranje

nepovoljan slučaj: nije poznat sustav

Prije postupka izjednačenja pretpostavka je da su eliminirane sve sistematske pogreške.

1.2.3. Slučajne pogreške

Eliminiramo ih postupkom izjednačenja.

Razlike u mjerenjima su rezultat pogrešaka mjerenja čiji se uzroci i zakonitosti ne mogu izraziti

određenom funkcijom. Drugim riječima, nije poznat sustav.

Slučajne pogreške su promjenjivog iznosa i predznaka, rezultat su „čistog slučaja“. Nije moguće

njihovo neposredno eliminiranje. Ne nastaju po određenim matematičkim zakonima.

Povezane su sa STOHASTIČKIM MODELOM.

Utjecaj i karakter slučajnih pogrešaka se može izučavati iz njihovog kolektivnog ponašanja, iz

pripadne razdiobe vjerojatnosti.

Slučajne pogreške se označavaju kao slučajne varijable. Iz toga slijedi da su mjerenja također slučajne

varijable.

Hipotetski (teorijski) one su prave pogreške.


7

1.3. Razdioba vjerojatnosti – zakonitost skupnog ponašanja slučajnih

pogrešaka

Slučajne pogreške, odnosno mjerenja, distribuirana su najčešće prema kontinuiranoj normalnoj

razdiobi vjerojatnosti. Osnova svakog stohastičkog modela mjerenja je razdioba vjerojatnosti, a

pretpostavlja veći broj mjerenja.

Ako se u n obavljenih mjerenja neki rezultat x pojavi f puta, tada se f naziva frekvencija ili

učestalost, a veličina f/n se naziva relativna frekvencija.

Raspon unutar kojega se kreću mjerene veličine može se podijeliti na razrede. Broj mjerenja unutar

razreda biti će frekvencija tog razreda, a ako se podijeli s ukupnim brojem mjerenja, onda će biti

relativna frekvencija razreda.


8

HISTOGRAM je graf koji prikazuje razdiobu frekvencija.

↓

osnovica pravokutnika predstavlja veličinu razreda

visina pravokutnika predstavlja relativnu frekvenciju

Slika 1.3.1 Histogram

Povećanjem broja mjerenja, relativne frekvencije u pojedinim razredima poprimiti će stabilne

vrijednosti.

Teorijski slučaj: Kada broj mjerenja poraste do beskonačnosti (n→ ), a mjerenja su oslobođena

sistematskih pogrešaka, srednja vrijednost ̅ prelazi u pravu vrijednost (λ), v→ε.

Kada broj mjerenja poraste do beskonačnosti, relativne

frekvencije u razredima prelaze u vjerojatnost. Tada histogram

poprima oblik kontinuirane glatke krivulje. Funkcija koja

definira krivulju je: funkcija gustoće vjerojatnosti pogrešaka

f(ε). Površina ispod krivulje predstavlja vjerojatnost.

Funkcija gustoće vjerojatnosti pogrešaka definira teorijski

zakon skupnog ponašanja pravih pogrešaka, odnosno slučajnih

pogrešaka, uz uvjet da su sve grube i sistematske pogreške

prethodno eliminirane. Ona definira zakonitost distribucije

(razdiobu) teorijskih relativnih frekvencija pogrešaka, odnosno

teorijskih vjerojatnosti pogrešaka.

Slika 1.3.2. Funkcija gustoće vjerojatnosti pogrešaka f(ε)

Funkcija gustoće vjerojatnosti pogrešaka omogućuje

određivanje vjerojatnosti uz koju će neka pogreška poprimiti

vrijednost unutar nekog proizvoljno zadanog intervala, npr.

intervala (a,b).

Slika 1.3.3. Funkcija gustoće vjerojatnosti koja određuje

vjerojatnost slučajne varijable za neku vrijednost

Pomoću funkcije gustoće vjerojatnosti f(ε) definirana je funkcija razdiobe vjerojatnosti pogrešaka

F(ε). Ona određuje vjerojatnost da neka pogreška neće poprimiti vrijednost veću od neke zadane

granične vrijednosti.

Danijela

Sticky Note

sirinu razreda

Danijela

Highlight


9

Slika 1.3.4. Funkcija razdiobe vjerojatnosti mjerenja

1.4. Pouzdanost mjerenja

Neophodno je posjedovati mjeru kvalitete kojom će se procijeniti sama kvaliteta mjerenja sukladno

pogreškama sadržanim u mjerenjima.

Mjere kvalitete, odnosno kriteriji, su:

1.4.1. Točnost

Točnost je stupanj ili razina podudaranja ili približavanja nekog mjerenja njegovoj pravoj vrijednosti.

Iskazuje vanjsku pouzdanost mjerenja.

Na mjeru točnosti utječu slučajne i ostale (neeliminirane) sistematske pogreške.

Što je veća točnost, mjerenja su pouzdanija.

Ako pak ne postoje ostale sistematske pogreške, odnosno ako su eliminirane, mjera točnosti biti će

standardna devijacija. Tada je kriterij točnosti istovjetan kriteriju preciznosti.

1.4.2. Preciznost

Preciznost je stupanj /razina međusobnog podudaranja podataka mjerenja pri ponovljenom mjerenju

jedne te iste nepoznate veličine. Na mjeru preciznosti utječu samo slučajne pogreške mjerenja.

Preciznost iskazuje unutarnju pouzdanost mjerenja.

Što je veća preciznost, mjerenja su pouzdanija.

Niska disperzija (raspršenost) pogrešaka =

visoka preciznost mjerenja

Visoka disperzija pogrešaka = niska preciznost

mjerenja

Danijela

Highlight

Danijela

Highlight

Danijela

Highlight


10

1.4.3. Sigurnost

Sigurnost je interval u kojem se očekuje neka pogreška mjerenja. Povezana je s određenom

vjerojatnošću. Npr. 90% sigurnost je interval u kojem će se, uz 90% vjerojatnosti pojaviti neka

pogreška mjerenja.

ZAKLJUČAK:

najučestalije za ocjenu pouzdanosti mjerenja koriste se kriteriji točnosti i preciznosti. Točnost ima

prednost pred preciznosti jer sukladno fizikalnom realitetu u podacima mjerenja su sadržane i

preostale sistematske pogreške koje se ne mogu eliminirati.

Slika 1.4.1. Grafički prikaz uzajamnog odnosa preciznosti i točnosti mjerenja

1.5. Kriterij za ocjenu točnosti

Mjerenja su opterećena pogreškama, te se zbog toga ispituje pouzdanost mjerenja pripadnom ocjenom

točnosti.

Određivanje vrijednosti mjera ili kriterija ocjene točnosti naziva se ocjena točnosti mjerenja.

Mjere ili kriteriji za ocjenu točnosti su:

1.5.1. Prava i najvjerojatnija pogreška

Danijela

Highlight


11

Aritmetička sredina eliminira veći broj slučajnih pogrešaka jer one imaju različite predznake.

Što je veći broj ponavljanja, manji je broj slučajnih pogrešaka.

Sistematske pogreške biti će sadržane u aritmetičkoj sredini.


12

Što se u teorijskom pogledu događa ako mjerenja L1, L2, …, Ln nisu isključivo slučajne varijable?

Npr. karakterističan slučaj nastaje, ako svako mjerenje osim slučajne pogreške sadrži fiksni iznos

sistematske pogreške (pogreška istog predznaka i apsolutne vrijednosti).

1.5.2. Standardno odstupanje / standardna devijacija ( (Fail: srednja pogreška (m))

Standardno odstupanje je korijen aritmetičke sredine sume kvadrata.

Slučaj: kada su poznate pogreške mjerenja (ε) i prava vrijednost veličine (λ):

Slučaj: kada su poznate procjene pogrešaka mjerenja v i nije poznata prava vrijednost veličine

koja se određuje mjerenjem (λ):

Broj prekobrojnih mjerenja (broj stupnjeva slobode ili redundancija): potrebno je barem jedno

mjerenje da se dobije elementarno saznanje o veličini koja se određuje mjerenjem. Svako naredno

mjerenje je prekobrojno: nf = n – 1


13

VARIJANCA MJERENJA ( je kvadrat standardne devijacije.

(Fail: kvadrat srednje pogreške (m2))

1.5.3. Prosječna pogreška (t)

Prosječna pogreška je aritmetička sredina apsolutnih vrijednosti pogrešaka.

Manje je osjetljiva na veće pogreške, manje je pouzdan kriterij točnosti.

Odnos prosječne pogreške t i standardnog odstupanja:

.

1.5.4. Vjerojatna pogreška (ρ)

Nalazi se u sredini svih apsolutnih vrijednosti pogrešaka, tako da je broj pogrešaka koje su veće od

vjerojatne, i one koje su manje, jednak.

Slučaj: kada su poznate procjene pogrešaka mjerenja v i kada je ukupan broj pogrešaka neparan,

vjerojatna pogreška jednaka je iznosu pogreške u sredini:

v1 v2 v3 v4 v5

Slučaj: kada je paran broj, pogreška je jednaka aritmetičkoj sredini središnjih pogrešaka:

v1 v2 v3 v4 v5 v6

Slučaj: kada su poznate ε:

P (-ρ < ε < +ρ) = 0,5

Odnos između vjerojatne pogreške i standardnog odstupanja:

.

1.5.5. Relativna pogreška (τ)

Relativna pogreška je omjer standardne devijacije i vrijednosti podataka mjerenja.

Često se izražava omjerom 1:N, gdje je N prirodni broj.

Npr: granična pogreška kada je s = 2mm, L = 2 km?

τ = 2 : 2 000 000 /:2

τ = 1: 1 000 000


14

1.5.6. Granična pogreška (∆)

Granična pogreška je vrijednost one pogreške koja međusobno razdvaja (razgraničava) slučajne i

grube pogreške. Definira se „intervalom pouzdanosti“ unutar kojih će biti sadržane pogreške određene

veličine uz neku unaprijed zadanu vrijednost.

U geodeziji interval pouzdanosti je

(

( – grube pogreške koje premašuju graničnu pogrešku imat će

vjerojatnost 0,0027

Pogreške izvan intervala se smatraju grubim pogreškama, te se ti podaci odbacuju.

1.5.7. Težine (p) i kofaktori (q) mjerenja

Uobičajeno je da se za ocjenu točnosti mjerenja koristi standardna devijacija (s).

Posljedica: mjerenja sa malim standardnim odstupanjima imaju visoku točnost, a mjerenja sa velikim

standardnim odstupanjem imaju malu točnost. Odnos standardnog odstupanja i točnosti je obrnuto

proporcionalan.

Rješenje: uvodi se kriterij točnosti koji je proporcionalan s točnošću - TEŽINA i definira se pomoću

standardnog odstupanja.

Mala težina = niska točnost

Velika težina = visoka točnost

Pomoću težine definira se i KOFAKTOR mjerenja, tzv. težinski koeficijent

Mali kofaktor = visoka točnost

Veliki kofaktor = niska točnost

1.5.8. Referentno standardno odstupanje / referentna standardna devijacija (so) i referentna varijanca

(so2)

(Fail: Referentna srednja pogreška ili srednja pogreška jedinične duljine)

U geodeziji se često javljaju mjerenja različitih točnosti. Ukoliko se kao kriterij točnosti mjerenja

koriste težine, odnosno mjerenja sa različitim težinama, tada se točnost mjerenja mora izraziti pomoću

jednog fiktivnog mjerenja (nepostojećeg), a to je REFERENTNO mjerenje. Referentno mjerenje je

ono mjerenje koje ima jediničnu težinu (p = 1).

Sukladno referentnom mjerenju odgovara i referentna varijanca (so2) i referentno standardno

odstupanje (so).


15

√

→ u nizu mjerenja u kojem će svakom mjerenju pripasti ista apsolutna

vrijednost prave pogreške ε1

√

→ u nizu mjerenja u kojem će svakom mjerenju pripasti ista apsolutna

vrijednost prave pogreške ε2

s1 : s2 =

√

√ → omjer za standardno odstupanje

ε1 : ε2 =

√

√ → omjer za prave pogreške

Referentnom standardnom odstupanju pripadati će prava pogreška εr i težina pr (pr = 1, ali se koristi

zbog dimenzija)

√

√

√ √ /

2

/ +

______________________________________

gdje je:

[

]

,

n

2

1

p0...0

0..

...

...

.p0

0...0p

kako je: √

√

√

√ i kako je

tada je:

/ √

√ √

√

→ konačno referentno standardno odstupanje


16

1.6. Gaussov zakon pogrešaka

Gauss izvodi funkciju gustoće vjerojatnosti pogrešaka koju naziva KRIVULJA POGREŠAKA.

Pošao je od hipoteze da srednja vrijednost pogrešaka, određena kao aritmetička sredina svih

pogrešaka, ima najvišu vjerojatnost.

Gaussov zakon pogrešaka

Nedostaci:

uvođenje hipoteze da je srednja vrijednost pogrešaka vrijednost s najvišom vjerojatnošću, u

odnosu na sve ostale vrijednosti pogrešaka.

uvođenje hipoteze da ukupni broj pogrešaka teži u beskonačnost

uvođenje hipoteze da su pogreške međusobno potpuno neovisne

Svojstva:

Površina ispod krivulje pogrešaka jednaka je 1, tj. vjerojatnost da će neka pogreška poprimiti

vrijednost u intervalu od iznosi 1, tj. 100%.

Krivulja je simetrična u odnosu na srednju vrijednost pogrešaka, pa je vjerojatnost pojave

negativnih i pozitivnih pogrešaka istog iznosa jednaka

Maksimalna ordinata krivulje pogrešaka odgovara

srednjoj vrijednosti pogrešaka (jednaka je nuli).

Srednja pogreška je najvjerojatnija vrijednost.


17

Vjerojatnosti po iznosu malih pogrešaka su vrlo visoke, a pogreške su u blizini srednje

vrijednosti pogrešaka. Vjerojatnosti po iznosu velikih pogrešaka su vrlo niske i nalaze se

najdalje od srednje vrijednosti pogrešaka.

1.7. Korelacija mjerenja

Gaussov zakon pogrešaka opisuje kolektivna svojstva slučajnih pogrešaka za veći broj mjerenja

(n→ ). Ograničavanjem broja mjerenja (slučaj u praksi), pogreške neće u potpunosti imati ta

svojstva.

Slučajne pogreške se sastoje od niza elementarnih pogrešaka mjerenja će biti opterećena

jednostranim utjecajem, što će izazvati korelaciju.

Korelacija mjerenja izaziva međusobnu ovisnost mjerenja. Ako ona ne postoji (ili je zanemariva),

mjerenja su međusobno neovisna. Mjerenja mogu biti matematički ili fizikalno korelirana.

1.8. Zakon o prirastu pogrešaka

Pojam prirasta pogrešaka označava pojavu prijenosa pogrešaka mjerenih veličina na traženu

veličinu, dok zakon o prirastu pogrešaka matematički utvrđuje oblik tog prijenosa.

Nepoznate veličine mogu se primjenom mjernog procesa odrediti DIREKTNO (neposredno) i

INDIREKTNO (posredno).

Direktno: moguća je direktna usporedba mjerila mjernog uređaja s veličinom koju treba odrediti.

Nepoznata veličina se mjeri više puta kako bi se otklonile grube i dio sistematskih pogrešaka.

Posljedica: određivanje najbolje procjene vrijednosti nepoznate veličine, podataka mjerenja

(izjednačenje) i kriterija točnosti

Indirektno: nepoznata veličina se funkcijski povezuje s određenim brojem veličina koje je moguće

direktno odrediti primjenom mjernog procesa.

Problemi: mjerenja su opterećena pogreškama, tako će i nepoznate veličine biti opterećene

pogreškama

Teorijski: Ako su L1, L2, …, Ln međusobno neovisne veličine direktno mjerene, s poznatim

standardnim odstupanjem s1, s2, …, sn tražena veličina F računa se kao funkcija mjerenih veličina Li (i

= 1, 2, …, n):

F=F(L1, L2, …, Ln)

Potrebno je odrediti standardno odstupanje tražene veličine sF.

Ukoliko su poznate prave pogreške veličina L1, L2, …, Ln tj. ε1, ε2, …, εn biti će:

λF = F(λ1, λ2, …, λn)

F + εF = F(L1 + ε1, L2 + ε2, …, Ln + εn)

Postavljena funkcija je nelinearna pa se linearizira razvojem u Taylorov red (zanemarujući kvadratne i

više članove reda, jer su zanemarivo mali)

( (

)

(

)

(

)

Danijela

Highlight

Danijela

Highlight


18

Zakon o prirastu pogrešaka je u matematičkom smislu totalni diferencijal funkcije neposredno ili

direktno određenih veličina. To je jedan od temeljnih zakona za određivanje kriterija točnosti

indirektno/posredno određenih veličina.

Zakon o prirastu pogrešaka definira prijenos (prirast) pogrešaka sa direktno mjerenih veličina na

posredno /indirektno mjerenje veličine koje su funkcije direktno mjerenih veličina!!

ZAKON O PRIRASTU POGREŠAKA, PRELASKOM SA POGREŠAKA NA KRITERIJE TOČNOSTI, POPRIMA 3

KARAKTERISTIČNE FORME:

1.8.1.Zakon o prirastu varijanci

Svaka veličina Li mjerena je n puta, za veličinu εn postoji n izraza.

Označivši vektore:

[

]

[

]

[

]

[

]

nalazi se:

(

teži nuli pri većem broju

mjerenja, pa se zanemari

kako je:

Zakon o prirastu pogrešaka

Skupivši sve koeficijente u vektor a, te varijance u matricu varijance – kovarijance Vll tj.


19

[

]

,

2

n

2

2

2

1

s0...0

0..

...

...

.s0

0...0s

konačno:

→ zakon o prirastu varijanci za jednu funkciju

Za više funkcija:

Uvođenjem približnih vrijednosti Loi i prikraćenih mjerenja li biti će:

Li = Loi + li

Fo = F(Lo1, Lo2, …, Lon) i lt = [l1, l2, …, ln]

nakon razvoja u Taylorov red:

F = Fo + atl

analogno, ako se radi o više funkcija:

[

], [

], A=

n

n

n

...

...

...

21

21

21

f = fo + Al

Vff = A Vll At → zakon o prirastu varijanci za više funkcija

vff =

2

2

2

sss

sss

sss


20

Vff je disperzijska matrica postavljenih funkcija ili matrica VARIJANCE-KOVARIJANCE funkcija

mjerenja

Glavna dijagonala: varijance (s2)

Ostali elementi: mješoviti produkti standardnih odstupanja (kovarijance)

** Ako su kovarijance = 0, između funkcija ne postoji ovisnost (korelacija) i obrnuto.

1.8.2. Zakon o prirastu težina i kofaktora

Ako se u matricu varijance-kovarijance uvrste težine uz pretpostavku neovisnih mjerenja.

2

2

2

2

1

2

2

2

2

2

2

2

1

2

n

2

1

1

1

1

p0...0

0..

...

...

.p0

0...0p

n

o

n

o

o

o

ll

s

s

s

s

s

s

s

s

s

s

P

kofaktor:

2

2

2

2

2

2

2

1

nn

22

11

q0...0

0..

...

...

.q0

0...0q

o

n

o

o

ll

s

s

s

s

s

s

Q

↓


21

→ zakon o prirastu težina za jednu funkciju

[

] →Gaussovi simboli

→ zakon o prirastu kofaktora za jednu funkciju

→Gaussovi simboli

Za slučaj više funkcija:

(

→ zakon o prirastu težina za više funkcija

→ zakon o prirastu kofaktora za više funkcija


22

1.8.2.1. Težine visinskih razlika u geometrijskom nivelmanu

mjereno je na ukupno n stajališta

pretpostavka: duljine vizura d su konstantne (nije ispunjena jer duljine vizura ovise o terenskim

uvjetima)

L – ukupna duljina vlaka

poznate su težine koje su jednake pi = pzi = ppi

ph = ?

funkcija:

h = h1 + h2 + … + hn

h = (z1 – p1) + (z2 – p2) + … + (zn – pn)

totalni diferencijal:

dh = dz1 – dp1 + dz2 – dp2 + … + dzn – dpn

vektor koeficijenata i matrica težina:

[

]

,

p

p

p

p

llPnnx

.

.

p0...0

0p.

...

...

.p0

0...0p

pn

zn

p1

z1

22


23

IPnnx

nnxp

p

p

p

p

ll 2222

1

/1

/1

.

.

/1

/1

1

= p

ntp

aIanxnnxnx

21

122221

n

pph

2 ,

duljina vlaka je određena preko vizura: L = 2nd /:d

.,, constpconstdL

Kpdpk

L

dpp

d

L

pp

h

hh

Težina visinske razlike obrnuto je proporcionalna duljini nivelmanske strane.

1.8.2.2. Težine visinskih razlika u trigonometrijskom nivelmanu

α – visinski kut

D – horizontalna duljina

l – visina signala

i – visina instrumenta

Težine duljine, visine instrumenta i

visine signala su vrlo male u odnosu na

težinu visinskog kuta, pa se mogu

zanemariti (pd = pl = pi = 0).

ph = ?


24

funkcija:

Dtgh

ililDtgh

ihldtgD

ihltg

;

)(

totalni diferencijal:

dDdh2cos

1

pretpostavka: α je malen → cosα ≈ 1

2

21

D

Kp

pK

p

D

p

Dddh

h

h

U trigonometrijskom nivelmanu srednja pogreška visinske razlike proporcionalna je duljini, dok je

težina visinske razlike obrnuto proporcionalna kvadratu duljine nivelmanske strane.

1.9. Opća načela izjednačenja

1.9.1. Postupak izjednačenja

Mjerenja nekih veličina, kao što su pravci, kutovi ili duljine, nisu samo zato obavljena da se pomoću

njih dobiju procjene tih veličina, već se koriste za određivanje drugih veličina. Te tražene veličine

funkcijski su povezane s mjerenim veličinama.

Opća relacija koja povezuje tražene i mjerene veličine naziva se MODEL. U našem slučaju

MATEMATIČKI MODEL.

Nakon postavljanja modela potrebno je ustanoviti minimalni broj elemenata kojim je model

jednoznačno određen. Broj tih elemenata jednak je NEOPHODNOM BROJU MJERENIH

VELIČINA, no.

Nakon što se ustanovi no, opažač odabire koje će elemente mjeriti. Potrebno je mjeriti VIŠE

ELEMENATA od MINIMALNOG BROJA, odnosno moraju postojati prekobrojne mjerene veličine

nf, zato što moramo voditi računa o mogućim pogreškama mjerenja.

Mora vrijediti:

0 of nnn , gdje je n broj svih mjerenih veličina

Kada postoji nf, može se formirati nekoliko kombinacija elemenata s neophodnim brojem mjerenih

veličina no.


25

Te kombinacije definiraju različite modele, ali se njihovi izlazni podaci odnose na iste veličine.

Između izlaznih podataka modela postojat će manje razlike koje nastaju zbog pogrešaka u mjerenjima.

POSLJEDICA: za ukupan broj svih mjerenih veličina n, model neće biti jednoznačno definiran.

Ova višeznačnost modela može se ukloniti tako da se umjesto vektora mjerenih veličina u model

uvrsti vektor korigiranih, odnosno popravljenih mjerenja.

Korekcijom svih mjerenih veličina no, jednoznačno će odrediti sve konačne rezultate dobivene

pomoću različitih modela.

VEKTOR POPRAVLJENIH MJERENJA zapravo je vektor izjednačenih vrijednosti mjerenih

veličina:

vll

gdje je:

l - vektor izjednačenih vrijednosti mjerenih veličina

l – vektor mjerenih veličina

v – vektor popravaka

3

.

.2

1

,

3

.

.2

1

,

.

.2

1

v

v

vv

L

L

Ll

nL

L

L

l

Vektor popravaka je nepoznat i treba ga izjednačenjem odrediti.

Samo će jedan vektor popravaka udovoljiti optimalnom rješenju. Za izbor optimalnog rješenja treba

utvrditi određen KRITERIJ.

U geodeziji taj kriterij je princip najmanjih kvadrata.

Postupak računanja vektora l po metodi najmanjih kvadrata naziva se RAČUN IZJEDNAČENJA.

1.10. Metoda najmanjih kvadrata

Izjednačenjem treba odrediti najbolje procjene, odnosno najvjerojatnije vrijednosti traženih veličina

(nepoznanica).

Konačne vrijednosti nepoznanica imati će najveće vjerojatnosti. Kada nepoznanice imaju najveću

vjerojatnost, pripadni popravci imati će također najveće vjerojatnosti.

Metoda najmanjih kvadrata eliminira VIŠEZNAČNOST modela!!

Diferencijalna vjerojatnost nekog popravka vi, uz pretpostavku εi = vi:

dvvvdP ii )()(

Primjenom Gaussovog zakona pogrešaka:

Danijela

Highlight


26

22

2

2

1)( i

iv

e

ii

v

Popravci će imati najveće vjerojatnosti kada je produkt pojedinih vjerojatnosti maksimalan:

dP(v1)*dP(v2)….dP(vn) → Max

ili

Maxnv

dn

nvvv

e

ivuvrstivši

Maxdvn

vdvvdvv

n

n

,

)22

2

...22

2

22

21

2

21(

)2(...

1

)(:

)(...)2

(*)1

(

2/

21

Ovaj izraz imati će max, kad je eksponent min:

Min

n

nvvv

22

2

...22

2

22

21

2

21

kako je: 2i

k

ip

slijedi:

Minpvvpv

Minn

vn

pvpvp

2

2...222

211

osnovni princip

izjednačenja

Nedostaci:

- hipoteza da se pogreške iste veličine javljaju jednako često kao pozitivne i kao negativne, a ona se u

praksi samo djelomično ostvaruje

- standardno odstupanje je dogovorena mjera točnosti, pa cijeli izvod poprima empirijski karakter

OPĆI PRINCIP IZJEDNAČENJA:

MinvQtvPvtv 1 (matrica P definira stohastički/slučajni model jer su mjerenja stohastičke ili

slučajne veličine koje pripadaju normalnoj razdiobi)

Danijela

Highlight

Danijela

Highlight


27

1.11. Cholesky - općenito

Postupak neodređenog rješavanja normalnih jednadžbi.

Invertiranje matrice koeficijentima normalnih jednadžbi.

Simetričnu matricu N rastavimo na trokutaste matrice:

kontrolaCetCNe

CetCCetC

CeeC

CtCN

.1

*

*

Ne - kontrolni vektor s početka

CtCe – novi kontrolni vektor

kontrolatCtCte

kontrolaCetCte

tCtetCte

ItCtC

.31)(*

.2

*

1)(

↓

dobit ćemo vektor jedinica

1)(

1)(*

1)(1

1)(1/*

tCCQ

tCICQ

tCCCCQ

CtCNQC

↓

prema ovom izrazu računa se Q!!

kontrola: eNeQ *

NOTA BENE: MATRIČNA ALGEBRA !! – naučiti za izvode!

AxyyAxAxy

baabba

AA

ABAB

ttttt

tttt

tt

ttt

)(

)(

)(

)(


28

2. IZJEDNAČENJE DIREKTNIH MJERENJA

2.1. Uvod

Matematički model direktnih mjerenja je polazište za pripremu podataka izmjere koji se uključuju u

matematički model posrednih mjerenja (tzv. primarna i tzv. sekundarna računska obrada geodetskih

mjerenja).

2.2. Izjednačenje jedne tražene veličine („klasična direktna mjere nja“)

2.2.1. Određivanje najvjerojatnijih vrijednosti nepoznanica

Jedna tražena veličina, nepoznanica, mjerena je neposredno n puta.

Postojat će niz mjerenja: L1, L2, …, Ln.

Sva su mjerenja međusobno neovisna.

Najvjerojatnija vrijednost nepoznanice x dobit će se ako se pojedinim mjerenjima Li dodaju

odgovarajući popravci vi tj.:

x = Li + vi Uvođenjem približne vrijednosti nepoznanice xo, odnosno x = xo + δx, biti će prikraćena

vrijednost nepoznanice:

δx = x – xo, odnosno prikraćene vrijednosti mjerenja:

-li = xo - Li

Iz toga slijedi jednadžba popravaka za i-to mjerenje: vi = δx – li. Za sva obavljena mjerenja sustav jednadžbi popravaka biti će:

v = δx e – l n,1 n,1 n,1


29

Sustavu jednadžbi popravaka općenito pripada odgovarajuća matrica težina P.

Popravke treba odrediti prema principu izjednačenja: vt P v → Min.

U pripadni izraz uvrstimo sustav jednadžbi popravaka:

Ovaj izraz imati će minimum ako je:

Konačno, tražena veličina (nepoznanica) je:

opća aritmetička sredina

Za neovisna mjerenja različite točnosti biti će P e = p (jer je matrica P dijagonalna). Tada je

nepoznanica težinska sredina:

Za neovisna mjerenja iste točnosti, matrica težina je jedinična matrica (P=I). Tada je nepoznanica

obična aritmetička sredina:

2.2.2. Kontrole pri izjednačenju 2.2.2.1. Kontrola najvjerojatnijih vrijednosti nepoznanica/popravaka Pomnoživši v = δx e – l slijeva sa e

t P dobije se:

slijedi iz e

t Pv = δx e

t P e - e

t P l =0 δx e

t P e = e

t P l

↓

δx et P e - e

t P l = 0

et Pv = 0 – kontrola računanja opće aritmetičke sredine

pt v = 0 – kontrola računanja težinske sredine

et v = 0 – kontrola računanja obične aritmetičke sredine

2.2.2.2. Kontrola izjednačenja Potrebno je kontrolirati veličinu v

t P v.

Izlučivanjem δx iz prva dva člana, a iz zadnja dva člana lt P dobije se:

prva zagrada jednaka je 0, a druga je jednaka v. Slijedi:


30

2.2.2.3. Definitivna kontrola izjednačenja

xeL

2.2.3. Ocjena točnosti 2.2.3.1. Referentno standardno odstupanje λ – prava vrijednost

x – najvjerojatnija vrijednost

Uvođenjem približne vrijednosti nepoznanice xo, odnosno prikraćenih vrijednosti δλ, δx i li, može se

pisati sustav jednadžbi pravih pogrešaka:

→ sustav jednadžbi najvjerojatnijih pogrešaka

Oduzimanjem ovih dvaju sustava dobije se:

Pexv ...)(

Ovaj izraz se pomnoži slijeva s Pet:

PeexPvePe ttt )(

Kako je 0Pvet

Pee

Pex

t

t

Množimo izraz sa Pt , odnosno Pv t

PevxPvvPv

PexPvP

ttt

ttt

)(

)(

Zbrojivši ove izraze:

PevxPexPvvPvPvP tttttt )()(

Kako je 0Pveti 0Pev t

i PvPv tt izraz prelazi u oblik:

PexPvvP ttt

Kako je PePe tt dobije se:

PexPvvP ttt )(

U gornji izraz se uvrsti Pee

Pex

t

t

Plxev

Ple

...

...


31

Dobije se: Pee

PePvvP

t

ttt

2)(

Zadnji član Pee

Pet

t 2)( razvijemo:

Pee

ppppppppp

Pee

ppp

Pee

Pe

t

nnnnnn

t

nn

t

t

)...(2...

)...()(

1131312121

222

2

2

2

2

1

2

1

2

2211

2

Prave pogreške εi imaju slučajni karakter, pa za n mjerenja suma mješovitih produkata εi εj teži nuli.

Označivši još 2

0

22 sspp iiii

Posljednji izraz poprima oblik:

2

0

21

2

0

2

02

2

012

...

...)(s

ppp

spspsp

Pee

Pe

n

n

t

t

i uvrstimo ga u

Pee

PePvvP

t

ttt

2)( te dobijemo:

2

o

tt sPvvP

Pvvssn

nPn

P

n

P

t

ttt

2

0

2

0

2

0

2

00

*

*

referentno standardno odstupanje u neovisnim mjerenjima različite točnosti

standardno odstupanje u neovisnim mjerenjima iste točnosti

standardno odstupanje pojedinog mjerenja za neovisna mjerenja različite točnosti

standardno odstupanje pojedinog mjerenja za neovisna mjerenja iste točnosti

2.2.3.2. Standardno odstupanje nepoznanica Kofaktor nepoznanice određuje se primjenom zakona o prirastu kofaktora na funkciju nepoznanice:

ss

s

p

ss

n

vvs

n

Pvvs

n

Pvvs

i

i

i

t

t

t

1

1

1

1

0

0

0

2

0


32

težina opće težina težinske težina obične

aritmetičke sredine sredine aritmetičke sredine

Standardno odstupanje nepoznanica (nf = n-1):

standardno odstupanje opće aritmetičke sredine

standardno odstupanje težinske sredine

standardno odstupanje obične aritmetičke sredine

2.3. Izjednačenje višestruko mjerenog vektora


Jedan nepoznati vektor mjeren je neposredno n puta. Treba odrediti najvjerojatnije vrijednosti

elemenata traženog vektora x koji se sastoji iz u veličina. Ove veličine mogu biti međusobno

neovisne ili čak ovisne.

Uvođenjem vektora približnih vrijednosti x0 biti će vektor prikraćenih vrijednosti 0xxx .

Pretpostavlja se da postoje samo dva međusobno neovisna mjerenja nepoznatog vektora:

1. mjerenje: 1

1112

0,1

1,1 ;

1; QPV

sQL

uuu

2. mjerenje: 1

2222

0,2

1,2 ;

1; QPV

sQL

uuu

Q – matrica kofaktora

P – matrica težina

V – matrica kovarijance

na osnovi prikraćenih mjerenja:

202

101 ,

Lxl

Lxl

dobit će se odgovarajuće jednadžbe popravaka:

222

111

.....

....

Plxv

Plxv

Princip izjednačenja:


33

Diferenciranjem po x biti će:

Traženjem ekstrema:

Konačno je nepoznati vektor:

Ako je obavljeno n mjerenja:

2.3.2. Kontrole pri izjednačenju 2.3.2.1. Kontrola popravaka

2.3.2.2. Kontrola izjednačenja

2.3.2.3. Definitivna kontrola izjednačenja

2.3.3. Ocjena točnosti (nf = n-u)

2.3.3.1. Referentno standardno odstupanje

2.3.3.2. Točnost nepoznanica


34

Kofaktor nepoznanica određuje se primjenom zakona o prirastu kofaktora na funkciju nepoznanica:

↓

standardno odstupanje komponenata vektora

2.3.3.3. Točnost pojedinog mjerenja

2.4. Dvostruka mjerenja

To su direktna mjerenja u kojima se nepoznata veličina mjeri dva puta, ali obavezno u suprotnim

smjerovima. (uklanja se dio pogrešaka vezanih za smjer mjerenja)

Postoji samo jedno prekobrojno mjerenje. (broj mjerenja je 2)


2.4.2. Kontrole pri izjednačenju

vlvv

ve

tt

t

0

2.4.3. Ocjena točnosti Pri određivanju ocjene točnosti dvostrukih mjerenja postoji alternativa - ocjenu točnosti odrediti:

- pomoću popravaka mjerenja


35

- pomoću razlike dvostrukih mjerenja ili tzv. nesuglasice dvostrukih mjerenja (u teorijskom pogledu to

je prava pogreška mjerenja)

2.4.3.1. Pomoću popravaka mjerenja v

standardno odstupanje mjerenja

standardno odstupanje nepoznanice

2.4.3.2. Pomoću nesuglasice dvostrukih mjerenja d d = L2 – L1

2

||

2

||

244

22

)(

2

2

22

)(

2

2

)(2

1

)(2

1

2222

2

2

1

12221

2

12121

1

22122

12111

ds

ds

dddvvvv

dLLLLLv

dLLLLLv

LLLLxv

LLLLxv

x

t

2.4.3.3. Ocjenjivanje nizova dvostrukih mjerenja Dvostruko je mjereno n veličina. Neka je λi prava vrijednost neke veličine, koja je dvostruko mjerena.

Tada je:

2211

2211

222212122

212111111

____________________

.........................................

ll

LL

LL

LL

rrrrr

Razlika dvostrukih mjerenja di po karakteru je prava pogreška, a određuje se kao:


36

2121

2121

221222122

211121111

_____________________

...........................................

lld

LLd

LLd

LLd

rrrrr

222111

2

21

2

/

tttt dd

d

→0

2

2

2

1

2211 :/

ssn

dd

ndd

t

ttt

Zbog iste točnosti mjerenja u dva suprotna smjera, biti će s1 = s2 = s:

n

dds

n

dds

sn

dd

t

t

t

2

2

2

2

2

standardno odstupanje mjerenja

2.4.3.4. Standardno odstupanje najvjerojatnije vrijednosti

10

01

0

0

4

1

2

2

2

2

ss

sV

eVes

ll

ll

t

x

n

dds

ss

seVe

t

x

x

ll

t

2

1

2

1

2

22

2

standardno odstupanje najvjerojatnije vrijednosti neke veličine xi iz dvostrukih mjerenja


37

3. IZJEDNAČENJE REGULARNIH POSREDNIH MJERENJA

3.1. Uvod

Regularno izjednačenje nastupa u slučaju kada je za određivanje nepoznanica unaprijed ili „a priori“

definiran referentni okvir u kojem se one izjednačenjem određuju.

Obavljanjem geodetskih mjerenja položaji nepoznatih točaka određuju se relativno u odnosu na

položaje već poznatih točaka. Funkcije omogućuju određivanje apsolutnog položaja. Mjerenja su

relativne veličine (ne ovise o referentnom sustavu). Nepoznanice su apsolutne veličine jer su ovisne o

referentnom sustavu.

Osnovna teorijska pretpostavka: međusobna neovisnost mjerenja. To znači da je matrica P isključivo

DIJAGONALNA matrica !!!

3.2. Određivanje najvjerojatnijih vrijednosti nepoznanica

3.2.1. Formiranje jednadžbi popravaka

Svako izjednačeno mjerenje iLfunkcija je najvjerojatnijih (izjednačenih) vrijednosti nepoznanica, tj.

),...,2,1(,...);,,( nizyxFvLL iiii

iL- izjednačene vrijednosti nepoznanica

iL- mjerenja

iF- eksplicitno definirana matematička funkcija linearna ili nelinearna

Funkcija Fi je općenito nelinearna.


38

Veličine ai, bi i ci nazivaju se koeficijenti jednadžbi popravaka, a li je prikraćeno mjerenje.


39

v - vektor popravaka

A - matrica koeficijenata jednadžbi popravaka

x - vektor prikraćenih vrijednosti nepoznanica

l - vektor prikraćenih mjerenja

P – matrica težina

Za n posrednih mjerenja pomoću kojega se određuje u nepoznanica, biti će konačno:

nnnuunnPlxAv,1,1,,1,

...

3.2.2. Formiranje normalnih jednadžbi Popravke mjerenih veličina treba odrediti prema principu izjednačenja v

t P v → Min

3.2.3. Rješenje normalnih jednadžbi Ako se sustav normalnih jednadžbi pomnoži slijeva s inverznom matricom N

-1, dobit će se rješenje:

Rješavanje sustava normalnih jednadžbi obavlja se primjenom tzv. postupka „neodređenog“

rješavanja jednadžbi (temelji se na invertiranju matrice koeficijenata)

Ne invertira se direktno matrica koeficijenata normalnih jednadžbi N.

Postupak rješavanja normalnih jednadžbi: algoritmom Cholesky.


40

3.3. Kontrole

3.3.1. Kontrole sastava jednadžbi popravaka Ovisi o zadaći tj. funkciji mjerenja i nepoznanica. Veoma su opasne jer se otkrivaju tek nakon

obavljenog izjednačenja.

3.3.2. Kontrola sastava normalnih jednadžbi U sustavu jednadžbi popravaka može se uvesti vektor kontrolnih veličina s, tj:

lAes

Za svaku jednadžbu popravaka biti će kontrolna veličina:

iiiii lcbas


41

Jednako se može uvesti i vektor kontrolnih veličina:

nNe

PlAPAeA tt

PsA

lAePA

t

t )(

PsAnNe t

Za svaku normalnu jednadžbu zbroj koeficijenata i apsolutnog člana mora biti jednak odgovarajućoj

komponenti vektora PsAt.

3.3.3. Kontrola rješavanja normalnih jednadžbi

sC

sCeCnCCe

sCeCnCCeCC

senCeCC

senNe

t

ttt

ttttt

tt

1

111

1111

1

)(

)()()(

)()()()(

/)(

3.3.4. Kontrola matrice kofaktora nepoznanica

ueIe

NeNe

eNNe

eQNe

eQNe

uu

t

t

tt

xx

tt

xx

t

,

1

1

)(

3.3.5. Kontrole računanja popravaka Ako se iz normalnih jednadžbi:

0 PlAPAxA tt

izluči PAt, dobije se

0

0)(

PvA

lAxPA

t

t

3.3.6. Kontrola izjednačenja – kontroliramo definiranje funkcija, sustava jednadžbi popravaka

Provodi se dvostrukim računanjem veličine Pvv t

a) na osnovu kontroliranih popravaka računa se veličina Pvvt

b)


42

PvlPvv

lAxPlnNxxPvv

pllPAxlPlAxPAxAxPvv

tt

ttt

ttttttt

)()(

3.3.7. Definitivna kontrola – najvažnija! U cijelosti potvrđuje ispravnost računanja! Ako nije zadovoljila moramo obaviti izjednačenje ispočetka.

,...),,( zyxFvLL

FvLL

iiii

3.4. Ocjene točnosti

3.4.1. Referentno standardno odstupanje

Osnovni kriterij ocjene točnosti jest standardno odstupanje: n

Pt

o

S obzirom da se izjednačenjem određuju najvjerojatnije vrijednosti, referentno standardno odstupanje

računa se pomoću najvjerojatnijih popravaka.

f

tt

on

Pvv

un

Pvvs

,

Za P=I odnosno mjerenja iste točnosti referentno standardno odstupanje postaje standardno odstupanje

pojedinog mjerenja:

f

t

on

vvss

Standardno odstupanje pojedinog mjerenja:

i

o

ip

ss

3.4.2. Standardna odstupanja nepoznanica Standardna odstupanja nepoznanica su funkcije standardnih odstupanja mjerenja. Zbog toga

nepoznanice treba prikazati kao funkcije mjerenja i primijeniti zakon o prirastu kofaktora.

PlANx

PlAn

nNx

t

t

1

1

Primjenom zakona o prirastu kofaktora dobiva se:

1

11

11

111

111 )()(

NQ

NNN

PANAN

PANPPAN

PANPPANQ

xx

t

t

ttt

xx

Matrica kofaktora nepoznanica jednaka je inverznoj matrici koeficijenata normalnih jednadžbi.


43

↓

standardna odstupanja nepoznanica

ili

jer

3.4.3. Standardno odstupanje funkcije nepoznanica

Uvođenjem približnih vrijednosti (xo, yo, zo)

I razvojem u Taylorov red:


44

Primjenom zakona o prirastu kofaktora:

Standardno odstupanje funkcije nepoznanica:

NOTA BENE: npr. funkcija izjednačenih nepoznanica biti će duljina između dvije nepoznate točke

3.4.4. Standardno odstupanje izjednačenih mjerenja Izjednačena vrijednost svakoga pojedinog mjerenja računa se po izrazu:

PlAAQfl

PlAQx

Axfl

zcybxaFvl

vll

t

xxo

t

xx

o

iiioii

)(

Zakon o prirastu kofaktora:

t

xx

t

xx

t

xxxx

t

xx

t

xx

t

xx

t

xx

tt

xx

t

xx

AAQQ

ANNAQ

ANQAQ

APAQAAQ

APAQPPAAQ

PAAQPPAAQQ

1

1

1 )()(

Kontrola:

tr(PQ ) = tr( )() xx

tt

xx PAQAtrAPAQ

= uItrNNtruu

,

1 )()(

gdje je u broj nepoznanica.

Kofaktori matrice Q mogu se pisati i razvijeno (za tri nepoznanice):

zziyziiyyixziixyiixxiii qcqcbqbqcaqbaqaq 222 222 elementi dijagonale


45

zzjiyzijjiyyjixzijjixyijjixxjiij qccqcbcbqbbqcacaqbabaqaaq )()()(

elementi van dijagonale

3.4.5. Standardno odstupanje položaja točke, nožišna krivulja i elipsa položajne točnosti Izjednačenjem po posrednim mjerenjima često se određuje položaj neke točke u ravnini na osnovi

mjerenih duljina ili pravaca. Tada je pored najvjerojatnijih vrijednosti koordinata poznata i pripadna

matrica kovarijance:

Elementi na glavnoj dijagonali matrice Vxx su standardna odstupanja određivanja položaja točke u

smjeru koordinatnih osi.

No, u mnogim zadacima u praksi potrebno je znati standardno odstupanje položaja točke u

povoljnom/proizvoljnom smjeru.

To standardno odstupanje može se izraziti rotacijom koordinatnog sustava, odnosno ortogonalnom

transformacijom.

Slika 3.4.4.1. Rotacija koordinatnog sustava


46

Gdje je M ortonomirana matrica

Mt – modalna matrica od Vxx

V - spektralna matrica.

Svojstvene vrijednosti matrice Qxx određuju se iz karakteristične jednadžbe:

Svojstvene vrijednosti λ1 i λ2 određuju smjerove u kojima standardna odstupanja točke postižu

maksimalnu, odnosno minimalnu vrijednost. Označivši ta standardna odstupanja položaja točke:

- min. točnost položaja točke – max. standardno odstupanje

- max. točnost položaja točke – min. standardno odstupanje

biti će, prema zakonu o prirastu pogrešaka ( i su neovisne funkcije), standardno odstupanje

položaja točke u nekom proizvoljnom smjeru:

)(sin)(cos 22222 BAsd


47

Slika 3.4.4.2. Nožišna krivulja i elipsa položajne točnosti (umjesto mx i my – sx i sy, umjesto mρ – sd)

Pomoću slike dobiva se:

Pomnoživši izraz )(sin)(cos 22222 BAsd sa

2

ds i uzimajući u obzir prethodne

oznake, biti će:

To je jednadžba nožišne krivulje.

Krivulja položajne točnosti (po Feilu: krivulja pogrešaka).

Ona se može aproksimirati elipsom:

gdje su A i B velika, odnosno mala poluos elipse.

Elipsa položajne točnosti (po Feilu: elipsa pogrešaka) je „invarijantna“ na promjenu koordinatnog

sustava, jer se svojstvene vrijednosti λ1 i λ2 ne mijenjaju rotacijom koordinatnog sustava.

Veličina naziva se standardno odstupanje položaja točke. Geometrijski to je

kružnica polumjera M opisana oko dobivenog položaja točke izjednačenjem.

Ova kružnica svakako je veća od kružnice položajne točnosti (po Feilu: kružnice pogrešaka) u koju

elipsa položajne točnosti prelazi kada je A=B, odnosno sx=sy.

R je srednja vrijednost pogreške točke.


48

Helmertova elipsa pogrešaka (položajne točnosti!) – on ju je nazvao srednja elipsa pogrešaka, a

pravilnije ju je zvati centralna elipsa pogrešaka. To je najmanja elipsa. 0,39 vjerojatnosti da će se

prava vrijednost položaja točke nalaziti u toj elipsi.

MOHLEova elipsa – srednja elipsa pogrešaka: 0,63 vjerojatnosti za pravu vrijednost položaja točke.

Intervalu odgovara 0,68 vjerojatnosti. Poluosi: √ √

3.5. Redukcija jednadžbi popravaka metodom Gaussa

U praksi se često nepoznanica z (orijentacija kuta kod unutarnjih pravaca!) eliminira iz jednadžbi

popravaka. Na taj se način nalaze reducirane jednadžbe popravaka.

Najčešće se to izvodi Gaussovim postupkom.

Jednadžbe popravaka su:

gdje je:

z – prikraćena nepoznanica kuta orijentacije.

Reducirane jednadžbe popravaka biti će:

gdje je:

3.6 . Zajedničko izjednačenje pravaca i duljina (raznorodne jedinice mjere)

U nekim se geodetskim problemima i zadaćama javlja potreba zajedničkog izjednačenja kutnih i

linearnih mjerenja, jer su funkcije istih nepoznanica. Karakteristični je primjer izjednačenje

triangulacijsko-trilateracijske mreže, tj. mreže u kojoj je položaj točaka istovremeno određen

presjekom pravac i presjekom duljina. Dio mjerenja su kutne veličine (pravci), a dio mjerenja linearne

veličine (duljine), Kako bi se dimenzionalno različita mjerenja mogla izjednačiti u okviru istog

izjednačenja, potrebo je obaviti njihovu homogenizaciju.

Homogenizacija se obavlja pravilnim određivanjem i pridruživanjem težina pripadnim kutnim i

linearnim mjerenjima. Pri zajedničkom izjednačenju kutnih i linearnih mjerenja, u pripadnom sustavu

jednadžbi popravaka

temeljem odgovarajućeg grupiranja mjerenja, mogu se razlučiti dva podsustava:

Prvi odgovara kutnim, a drugi linearnim mjerenjima.


49

Ako su sva kutna mjerenja ostvarena s istom točnošću (točnost je određena pripadnim standardnim

odstupanjem sk) težine mjerenja se uz povoljno definiranje konstante K (faktor proporcionalnosti)

određuju kao jedinične težine.

12

2

2

k

k

k

ks

s

s

Kp

Ako su sva linearna mjerenja ostvarena s istom točnošću (točnost je određena pripadnim standardnim

odstupanjem sd) težine mjerenja se uz prethodno već definiranu vrijednost konstante K (K=sk2)

određene izrazom:

2

2

2

d

k

d

ds

s

s

Kp

Pomoću težina formiraju se matrice težina koje odgovaraju kutnim i linearnim mjerenjima

obuhvaćenim sustavima jednadžbi popravaka:

1

...

1

1

...

k

k

k

p

p

p

kxn

kn

kP

i

d

d

d

ddp

p

p

xnnd

P...

d

d

dndxnd

d

nkxnkk

nxn

p

p

pP

P

P

...

1

...

1

1

Pomoću tih matrica formira se matrica težina koja se pridružuje sustavu jednadžbi popravaka.

Ukoliko je svako pojedino kutno i linearno mjerenje određeno različitom točnošću, istovjetnim se

postupkom određuju pripadne težine, uz pogodno definirane konstante.

pa se sustavu jednadžbi popravaka pridružuje matrica težina:


50

3.7. Primjena izjednačenja posrednih mjerenja

**NOTA BENE:

VANJSKI PRAVAC – mjereni pravac sa dane točke na traženu točku.

UNUTARNJI PRAVAC – mjereni pravac sa tražene točke na danu točku

Navedeni pravci su JEDNOSTRANI.

OBOSTANI PRAVAC – ako je mjeren pravac sa dane točke na traženu točku i obrnuto.

kutovi nisu neposredno mjerene veličine, već funkcijski određeni preko pravaca:

često se u matematički model posrednih i uvjetnih mjerenja kao neposredno (direktno) uvode veličine

koje to nisu (teorijski nije ispravan, ali omogućava brže rješavanje geodetskih zadaća)


51


52


53


54

DRUGA KONTROLA:


55


56

4. IZJEDNAČENJE UVJETNIH MJERENJA

4.1. Uvod

Nepotrebne su nam informacije o referentnom koordinatnom sustavu za izjednačenje.

Položaj točaka određuje se nakon izjednačenja odgovarajućim analitičkim metodama.

Nedostatak uvjetnih mjerenja je nemogućnost određivanja nepoznanice u okviru izjednačenja.

4.2 . Određivanje najvjerojatnijih vrijednosti mjerenja

4.2.1. Formiranje uvjetnih jednadžbi

Svakom mjerenju treba dodati popravak, da bi se poništile nesuglasice u uvjetima i udovoljilo principu

izjednačenja vt P v.

Izjednačena vrijednost mjerenja jednaka je zbroju mjerene vrijednosti i popravaka:

iii vLL


57

Izjednačene vrijednosti mjerenja moraju zadovoljiti određene matematičke uvjete:

Postavljeni uvjeti mogu biti linearni ili nelinearni. Ako nisu linearni, treba ih linearizirati. Uvrstivši

iii vLL u gornji izraz, nakon razvoja u Taylorov red:

Označivši koeficijente uvjetnih jednadžbi:

i nesuglasice uvjeta:

konačno su linearne uvjetne jednadžbe:

Označivši nadalje:


58

4.2.2. Formiranje korelatnih jednadžbi

Popravci moraju udovoljiti princip izjednačenja i ukloniti sve nesuglasice u mjerenjima.

Lagrange-ova funkcija sadržava kao prvi član princip izjednačenja vtPv i sustav uvjetnih jednadžbi

pomnožen s nepoznatim faktorima (Lagrangeovi multiplikatori ili korelate).

Vektor korelata:

Lagrange-ova funkcija:

Ova funkcija imati će minimum kada je:

Transponiranjem i množenjem ovog izraza sa P

-1 = Q dobit će se sustav korelatnih jednadžbi:

v i k je nepoznato.

Broj korelatnih jednadžbi jednak je broju mjerenja.


59

4.2.3. Formiranje normalnih jednadžbi

Ako se u sustav linearnih uvjetnih jednadžbi uvrsti sustav korelatnih jednadžbi:

4.2.4. Rješavanje normalnih jednadžbi

Ako se sustav normalnih jednadžbi pomnoži slijeva s inverznom matricom N-1

, dobit će se rješenje

normalnih jednadžbi:

Prema tome, ponovno treba koristiti postupke neodređenog rješavanja normalnih jednadžbi.

Shema rješavanja normalnih jednadžbi prema algoritmu Choleskog:

4.3. Kontrole pri izjednačenju uvjetnih mjerenja

4.3.1. Kontrola sastava uvjetnih jednadžbi

Opći postupak za kontrolu sastava i lineariziranja uvjetnih jednadžbi u pojedinim zadacima

izjednačenja uvjetnih mjerenja ne postoji. Zbog toga treba pažljivo odabrati i sastavljati uvjete.


60

Ukoliko se u izjednačenje uključi i jedan ovisan uvjet, pripadna korelata biti će jednaka nuli. Za velike

sustave uvjetnih jednadžbi linearizacija se može kontrolirati pomoću fingiranih popravaka:

v' = 1 (dimenzija nesuglasice).

Fingirana „izjednačena“ mjerenja tada su: ''

iii vLL

Uvršetenjem u uvjetne jednadžbe i nakon razvoja u Taylorov red:

rjvL

vL

vL

LLLLLL n

n

jjj

njnj ,...,2,1,'....''),....,,(),...,,( 2

2

1

1

21

''

2

'

1

Neka je '''

2

'

1 ),...,,( jnj LLL

odnosno:

1

...

1

1

'

...

'

'

',

'

...

'

'

'2

1

nr

b

a

v

v

v

ev

Konačno je:

'' vAt

Kontrola se provodi tako da se u uvjetne jednadžbe uvrste vrijednosti ''

iii vLL . Na taj način

dobivene (fingirane) nesuglasice treba usporediti sa aa , bb itd…

4.3.2. Kontrola sastava normalnih jednadžbi

Vektor kontrolnih veličina uvjetnih jednadžbi:

Vektor kontrolnih veličina normalnih jednadžbi:

Kontrola se sastoji u tome da se pomoću vektora kontrolnih veličina uvjetnih jednadžbi računa vektor

AtQs koji mora biti jednak vektoru kontrolnih veličina normalnih jednadžbi. Zbroj koeficijenata

pojedine normalne jednadžbe jednak je odgovarajućoj komponenti vektora AtQs.

4.3.3. Kontrola rješavanja normalnih jednadžbi

sCeCC

sNe

tt

/)( 1


61

sC

sCCCe

sCCCeCC

t

tt

tttt

1

11

111

)(

)()(

)()()(

4.3.4. Kontrola računanja popravaka

→ iz 0

0

QAkA

Nk

t

4.3.5. Kontrola izjednačenja

Kontrola se provodi dvostrukim računanjem veličine vtPv.

a) na osnovi kontroliranih popravaka računa se veličina vtPv

b) Uvrstivši korelatne jednadžbe u veličinu vtPv:

4.3.6. Kontrola izjednačenih mjerenja = definitivna kontrola Sastoji se u ponovljenom formiranju postavljenih uvjeta pomoću izjednačenih mjerenja Li. Svi uvjeti

moraju biti potpuno zadovoljeni [ 0 ].

4.4 . Ocjene točnosti

4.4.1. Referentno standardno odstupanje

4.4.2. Standardno odstupanje pojedinog mjerenja

4.4.3. Standardno odstupanje izjednačenih mjerenja

)(0 vlll

l - vektor izjednačenih vrijednosti mjerenja

l0 – vektor približnih vrijednosti mjerenja

l – vektor prikraćenih vrijednosti mjerenja

v – vektor popravaka


62

Uvrštavanjem korelatnih jednadžbi

QAkv

rješenja normalnih jednadžbi odnosno korelata

1 Nk

te lineariziranjem nesuglasica:

lAt 0

u početni izraz dobiva se:

)( 0

1

0 lAQANlll t

Označivši:

0

1

000 QANll

Biti će:

lAQANIll t )( 1

00

Primjenom zakona o prirastu kofaktora dobiva se:

QAQANQQ

QAQANQAQANQAQANQQ

QAQANAQANQAQANQAQANQQ

QAANIQAQANIQ

AQANIQAQANIQ

t

ttt

tttt

tt

ttt

1

111

1111

11

11

)()(

)()(

Traženi kofaktori izjednačenih mjerenja nalaze se na glavnoj dijagonali matrice Q :

¸

Kontrola kofaktora:

Kako je PQ=I:

)()( 1

,

QANAtrtrIQPtr t

nn

odnosno:


63

4.5. Primjeri

Prilikom izjednačenja trigonometrijskih ili nivelmanskih mreža najčešće se koriste: figurni uvjeti,

uvjeti horizonta i sinusni uvjeti i stajališni uvjet. Svi uvjeti moraju biti međusobno neovisni, a uvjetne jednadžbe linearne.

** Zašto nije moguće postaviti uvjet horizonta ako su mjereni pravci?

Ako su na nekom stajalištu mjereni pravci, uvjet horizonta je uvijek zadovoljen!!

Ako se na gornjoj slici označe pravci sa L1, L2, L3 i L4

(L2-L1)+(L3-L2)+(L4-L3)+(L1-L4)=360°

L2-L1+L3-L2+L4-L3+L1-L4=360° 0 = 360°


64

FORMIRANJE SINUSNOG UVJETA:

Svaki član ovog izraza može se posebno linearizirati razvojem u Taylorov red:

Označivši:

Koeficijenti i su promjene logaritma sinusa pri promjeni kuta za 1'' (partes proporcionales).

Ako je kut 90i ; i je pozitivan

Ako je kut 90i ; i je negativan

Izvod za partes proporcionales:

Nakon uvrštavanja u izraz

43429,0log10ln

1

*''

sinlog

''*sin*10ln

cossinlog)'sin(log

e

vctgLL

vL

LLL

iii

i

i

i

ii


65

Označivši nesuglasicu:

Konačno je uvjetna jednadžba:


66


67

5. IZJEDNAČENJE SINGULARNIH POSREDNIH MJERENJA

5.1. Uvod

RANG matrice (r) - broj međusobno neovisnih vektora

RANGDEFEKT / DEFEKT MATRICE (d) – broj međusobno ovisnih vektora

Kod POSREDNIH: neovisni stupčani vektori. U matematičkom smislu to znači da se niti jedna

nepoznanica ne može matematički izraziti linearnom kombinacijom preostalih nepoznanica

(nepoznanice su međusobno neovisne)

Temeljna razlika između singularnog i regularnog izjednačenja posrednih mjerenja je u

nedefiniranosti referentnog sustava u kojem se određuju nepoznanice. Matematički gledano to se

očituje u linearnom funkcijskom modelu, odnosno jednadžbama popravaka kao linearna ovisnost

stupčanih vektora matrice A (defekt ranga), odnosno linearna ovisnost nepoznanica.

Pošto se defekt ranga prenosi na matricu N, javlja se njena singularnost, te time i nemogućnost

primjene klasične inverzije. Zbog toga se izjednačenje zove singularno, a defekt ranga matrice A se

zove defekt datuma.

Referentni koordinatni sustav nije definiran kada nije poznat prostorni položaj njegovog ishodišta,

usmjerenja koordinatnih osi i mjerilo duž osi.

Kod singularnog izjednačenja, referentni sustav se određuje u sklopu izjednačenja.

Ako referentni sustav nije definiran (singularno), moguće ga je geometrijski dovesti u niz različitih

položaja u odnosu na geodetsku mrežu koristeći karakteristične stupnjeve slobode gibanja (translacija,

rotacija, mjerilo).

Ti stupnjevi ovise o: dimenzijama koordinatnog sustava, vrsti mjerenja u geodetskoj mreži…

Kako bi postavili funkcijski model za singularno izjednačenje, moramo barem približno odrediti

referentni sustav, a to se radi određivanjem približnih vrijednosti svih nepoznanica.


68

S obzirom na vrstu i karakter nepoznanica (geometrijske/fizikalne veličine), u pravilu su uvijek

poznati vrsta i svojstva referentnog sustava kojem padaju te broj neophodnih parametara koji

referentni sustav određuju, tzv. parametri datuma.


69

5.2. Svojstvene vrijednosti i svojstveni vektori

Za kvadratnu matricu A, dimenzije nxn, treba odrediti vektor s (različit od nule) i skalar λ tako da je:

sAs

Navedeni zadatak naziva se „problem svojstvene vrijednosti“.

nnnn

n

n

aaa

aaa

aaa

IA

sIA

...

...........

...

...

)(

0)(

21

22221

11211

- karakteristična matrica.

Izraz 0)( sIA ima rješenje 0s za:

0)det( IA - karakteristična jednadžba

Ta jednadžba ima n korijena, pa svaka kvadratna matrica, dimenzije nxn posjeduje n svojstvenih

vrijednosti λi (i=1,2,…,n).

Samo za ove korijene λi problem svojstvene vrijednosti imat će rješenja 0s . Vektori si (i=1,2,…,n)

nazivaju se svojstveni vektori. Svaka svojstvena vrijednost λi daje sistem homogenih jednadžbi kojima

se određuju vektori s.

Uvrštavanjem pojedinih korijena λi u izraz 0)( sIA nalazi odgovarajući vektor s':

0')( sIA

Karakteristična matrica )( IA je singularna, a njezin rang može biti različit.


70

Ako je rang jednak (n-1), svojstveni vektor s' neće biti određen po duljini, već samo s izvjesnim

faktorom proporcionalnosti.

Ako je s' neko rješenje, biti će također i rješenje k*s' (k je faktor proporcionalnosti).

Zbog toga se može uvesti uvjet da svojstveni vektor bude normiran na duljinu a:

''

'

ss

ss

t

Sve svojstvene vrijednosti tvorit će spektralnu matricu:

n

nn

2

1

,

a svojstveni vektori modalnu matricu:

nnn

ssss ...21,

„Problem svojstvene vrijednosti“ može se i definirati:

1

;detdet

SSA

trtrAA

SAS

SASiz

SSA

SSISSISS

t

ttt

:

;; 1

proizlazi:

ASS

ASS

t

1

(jer jetSS 1)

nadalje:

tSSA

SSA

SSA

11

111

11 /

(jer jetSS 1)

Konačno: spektralno rastavljanje matrice A: t

nnn

tt ssssssA ...222111

Dakle, matrica A se može rastaviti na sumu dijadnih produkata svojstvenih vektora, koji svi imaju

rang 1.


71

5.3. Opća inverzija


72

5.4. Defekt konfiguracije

Ova vrsta defekta nastaje kada obavljena mjerenja geometrijski nisu dostatna za određivanje svih

nepoznanica (koordinata) u mreži.

Ovaj problem nema praktično značenje ako je u mreži moguće ostvariti ponovljena mjerenja, čime će

ova vrsta defekta biti potpuno eliminirana.

5.5. Defekt datuma

Ako su za neku mrežu poznati samo podaci mjerenja, bez uključivanja apsolutnih veličina (datuma),

tada će broj stupnjeva slobode ovisiti o vrsti i dimenziji mreže.

PROBLEM: uklapanje točaka jedne mreže u neku drugu mrežu

RJEŠENJE: Helmertova transformacija.

5.6. Helmertova transformacija

Točke lokalne mreže treba uklopiti u neku drugu mrežu višeg reda. Ako postoji više od dviju

identičnih točaka u oba sustava, tada se parametri transformacije mogu odrediti izjednačenjem.

Dimenzije, struktura i pojedini elementi matrice G poznati su i određeni funkcijskim modelom

posrednih mjerenja kod Helmertove transformacije, primijenjene na istu geodetske mrežu na koju se

odnosi i matrica N.


73

t - broj točaka sadržan u geodetskoj mreži

gi' – svojstveni vektori matrice N

xior

, yior

, Hior

– približne koordinate točaka mreže, reducirane u odnosu na težište matrice

5.7. Izjednačenje slobodnih mreža

Slobodna mreža je mreža u kojoj ni za jednu točku nisu poznate koordinate odnosno nadmorske

visine. Međusobni položaji točaka su određeni samo na osnovi mjerenja, odnosno relativnih veličina.

Matrica N je singularna.

Klasičan postupak pri izjednačenju slobodnih mreža po posrednim mjerenjima sastoji se u tome da se

ukloni defekt mreže. Tako u mreži u kojoj su mjereni samo pravci, dvije točke proglasit će se danim

točkama s poznatim koordinatama. Ove točke neće biti popravljene po koordinatama, a standardna

odstupanja koordinata tih točaka biti će jednake nuli. Eliminacijom defekta mreže matrice

koeficijenata normalnih jednadžbi postat će regularna.

Izbor danih točaka je proizvoljan u postupku izjednačenja. Različitim izborom danih točaka dobit će se

različita rješenja normalnih jednadžbi. Zbog toga treba utvrditi koje su veličine ovisne odnosno

neovisne o izboru danih točaka. Neovisne su sve veličine koje se odnose na mjerenja: popravci v,

referentno standardno odstupanje i sve ocjene točnosti mjerenja.

Vektor rješenja x i pripadna matrica kofaktora Qxx ovise o izboru danih točaka.

Elipse položajne točnosti za pojedine točke mreže, također će ovisiti o izboru danih točaka.

Novi postupak izjednačenja u kojemu se sve točke mreže tretiraju kao nepoznate. svaka točka dobiva

popravke i računaju se standardna odstupanja koordinata. Ukoliko se radi o trigonometrijskoj mreži,

nepoznanice orijentacije treba eliminirati iz jednadžbi popravaka.


74

Sustav jednadžbi popravaka:

1,1,,1,*

nssnnlxAv …..P

Matrica A nije regularna po stupcima.

Normalne jednadžbe:

PlAnPAANnxN tt

sssss ;;0*

1,1,1,,

Matrica N je singularna (detN=0).

Normalne jednadžbe se rješavaju Moore-Penroseovom pseudoinverzijom N+.

Ako se vektori matrica A normiraju na duljinu 1, bit će sistem svojstvenih vektora, koji se označuje

matricom G.

Slijedi:

0xGt

Matrica G je jedan od mogućih grupa svojstvenih vektora.

Biti će po općoj inverziji (vidi poglavlje 5.3.)

nQx

GGGGNQ

GGMN

GGNM

xx

tt

xx

t

t

1

1

)(

Za kontrolu mora biti: AG = 0, Gt n = 0, jer je N G = 0. Također i Qxx G = 0.

Pri ocjeni točnosti, odnosno računanju referentnog standardnog odstupanja, biti će:

n – broj mjerenja

u – broj nepoznanica; u = s - d + broj eliminiranih nepoznanica orijentacije.


75

5.8. Primjeri


76


77

NOTA BENE:

NOTA BENE: Ako je riječ o 3D mreži u kojoj NISU mjerene duljine, matrica G će imati svih 7

stupaca! Odnosno sve stupnjeve slobode gibanja: 3 translacije, 3 rotacije i promjenu mjerila !!


78

6. LITERATURA

Feil, L: Teorija pogrešaka i račun izjednačenja – prvi dio

Feil, L: Teorija pogrešaka i račun izjednačenja – drugi dio

Rožić, N.: Računska obrada geodetskih mjerenja PREDAVANJA u PDF-u

Rožić, N.: Računska obrada geodetskih mjerenja (PLAVA KNJIGA)

Documents

AOGM, skripta