Upload
bero2403
View
31
Download
0
Embed Size (px)
DESCRIPTION
ECUACIONES
Citation preview
TRABAJO COLABORATIVO 3
MARIA VERONICA BONILLA CODIGO: 24031525
GRUPO: 100412_2
TutorVICTOR MANUEL BOHORQUEZ
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNADESCUELA DE CIENCAS BASICAS, TECNOLOGIA E INGENIERIA
ECUACIONES DIFERENCIALES JULIO DE 2014
TRABAJO COLABORATIVO No. 3
1. Resolver el problema de valor inicial a través del método de series de potencias:
3 y } - {y} ^ {´} + left (x+1 right ) y=1; y left (0 right ) = {y} ^ {´} left (0 right ) = ¿
paso 1: y=∑n=0
00
cn xn❑⇒y1=∑
n=1
00
ncn xn−1❑
⇒y} sum from {n=2} to {0} {n left (n-1 right ) cn ¿
paso2 :3∑n=2
00
n (n−1 ) cn xn−1+ ( x+1 )∑n=0
00
cnxn=1
paso3 :∑n=0
00
(n+2 ) (n+1 )cn+2xn−¿∑n=0
00
(n+1 ) cn+¿1 xn+∑n=0
00
cn xn+1+∑n=0
00
cn xn=1¿¿
paso4 : [3 (2 ) (1 ) c2−c1+c0 ] 3∑n=0
00
(n+2 ) cn+2 xn−¿∑n=1
00
(n+1 ) cn+2x+¿¿
∑n=1
00
cn−1 x2n+∑
n=1
00
cn xn=16c2−c1+c0−1=0 ,¿−(n+1 )cn+1cn−1
+cn¿ xn=0
Paso 5 : 3 (n+2 ) (n+1 ) cn+2−(n+1 ) cn+1+cn−1+cn=0
paso6 :cn+ 2=(n+1 ) cn+1
cn−¿ cn
3 (n+2 ) (n+1 )¿
paso7 :c3=2c2−¿
c0−¿c1
18=¿ ¿¿¿
¿
paso8 :c3=¿
c1−¿c0+1−3 c
0−3 c
1548=
−4c0+154
¿ ¿
Paso 9
n2 , c4=3c32
−c1−¿ c2
36=¿¿¿¿
c4=−4c0+2c1+1−18c1+3c1−3+3c0
18∗36
c4=23 c1+c0−2
648
Paso 10
c5=4c4
−c2−¿c3
3(5)(4 )¿
¿4 ¿¿¿
c5=−23c1−c0+2−27c1−27−27c0+12c0+6 c1−3
9720
Paso 11
c0+c2 x ,=(c¿¿1−c0+2)
6x2+
(−4 c¿¿0−2c1+1)54
x3 ¿¿
+(−23 c¿¿1−c0−2)
648x4+
(44c¿¿1−38c0−32) x5
9720¿¿
y (0 )=c0+ (0 )❑⇒
c0=0
y´ (0 )=c1+(0 )=0❑⇒
c1=0
y ( x )=16x2+ 1
54x3− 1
324x 4− 4
1215x5
y=0
y´=13x+ 1
18x2− x
3
81− 4
243x4
y´=0
2. Hallar el radio de convergencia de la siguiente serie:
∑n=1
00 ( x−4 )n
n4
lim ¿n→1|an+1
an |=lim ¿n→∞| (x−4 )n+1
(n+1 )4∗n4
( x−4 )n |= lim ¿n→∞|( nn+1 )4
∗(x−4)|
¿ lim ¿n→∞|an+1an |=¿ lim ¿n→∞| n
nnn+
1N
|X=lim ¿ n→∞|x−4|
= lim ¿N→∞ 1
1+1N
X lim ¿N→∞|x−4|
= ( 11+0 )|x−4|
¿|x−4|
|x−4|<1
r=1
Observamos que el radio de convergencia es 1
3. 3. Hallar la solución general de la siguiente ecuación como una serie de potencial alrededor del punto x=0:y} -y=¿
y´=∑n=0
00
cn xn y´=∑
n=1
00
ncn xn−1
y´=∑n=0
00
cn xny} = sum from {n=2} to {00} {{c left (c-1 right ) c} rsub {n}} {x} ^ {n-2} ¿∑
n=2
00
c (c−1)cnxn−2−∑
n=0
00
cn xn=0
∑n=d
❑
(c+1 ) (n+2 )cn+2 xn=0
∑ [ (n+1 ) (n+2 ) cn+2¿−cn] xn=0¿
(n+1 ) (n+2 )cn+2=0
cn+2=c n(n+1)(n+2 )
n=0 , c2=c0
1 x2=c0
1 x2=c0
2
n=2 , c4=c2
3x 4=
c0
2x 3x 4=c0
4
n=3 , c5=c3
4 x5=
c1
3 x 4 x5=c1
5
n=4 , c6=c4
5 x 6=
c0
4 x5 x 6=c0
6
n=5 , c7=c5
6 x 7=
c1
5x 6 X 7=c1
7
∑n=0
00
Cn xn=C0+C1+C2 x
2+C3 x3+C4 x
4+C5 x5+C6 x
6+C7 x7
¿C0+C1 x+C0 x
2
21=C1
31x3+
C0 x4
41+C1 x
5
5+C6 x
6
6+C7 x
7
7
¿C2+C3 yC1¿C2−C3
4. Mediante las series de potencias podemos desarrollar las ecuaciones diferenciales en forma aproximada por medio de dos métodos: el método de general de solución por series de potencias donde se representa una función f en un intervalo de convergencia, permitiendo así encontrar la solución general y un segundo método donde permite resolver la ecuación diferencial con condiciones
iníciales haciendo uso de las series de Taylor. Usando el teorema de Taylor en el intervalo [0,1] para la ecuación diferencial Y’ = Y 2 − X con condición inicial Y(0) = 1 Identifique el tercero y cuarto término de la serie que permite la solución de la Ecuación diferencial.
y´= y2− x
y} = 2y {y} ^ {2} - ¿
y´} = {2yy} ^ {2} +2 {y} ^ {2 ¿
y=2 yy´ } +6 {y} ^ {´} {y} ^ {
Como el desarrollo gira en torno del del punto x=0 y la condición inicial es y(0) =1 se procede a realizar las sustitución en todas las derivadas. y´=12−0=1
y} =2 left (1 right ) * {1} ^ {2} -1=2-1= ¿
y´ } = 2 left (1 right ) left (1 right ) + {2(1)} ^ {2} =2+2=¿
y=2 (1 ) (4 )+6(1)(1)=8+6=1 4
Teniendo en cuenta el Teorema de Taylor obtendremos la siguiente serie
1+x+ 12 !x2+ 4
3 !x3+ 14
4 !x4… .. .
11−X
, X0= 0
CONCLUSIONES
Se aplicaron los conocimientos teóricos abordados en la unidad 3 tales como: Estudio de series y funciones especiales capitulo 1 2 y 3 del curso Ecuaciones Diferenciales.
La serie de Taylor es una función infinitamente derivable real o compleja definida en un intervalo abierto (a-r, a+r).
Al terminar este trabajo colaborativo se pudo adquirir muchos conocimientos teóricos sobre el estudio de series y funciones especiales con los cuales podemos resolver las inquietudes que se tenían sobre este tema
BIBLIOGRAFÍA
Gómez Narváez Ricardo, 2011. Módulo Ecuaciones diferenciales, Palmira Valle.
http://campus07.unadvirtual.org/moodle/mod/forum/discuss.php?d=63179
Liman M, Kells. (1968). Ecuaciones Diferenciales Elementales, Edición Del Castillo, S.A.