Apostila - Resist en CIA Dos Materiais - Parte II

Resistência dos Materiais – Parte II

RESISTÊNCIA DOS

MATERIAIS

(PARTE II)

Prof. Glauco José de Oliveira Rodrigues

CENTRO UNIVERSITÁRIO AUGUSTO MOTTA


i

Índice

1. TORÇÃO ____________________________________________________________________________2

1.1. TORÇÃO DE BARRA CIRCULAR _________________________________________________________2 1.2. TORÇÃO DE BARRA CIRCULAR VAZADA _________________________________________________5 1.3. TORÇÃO EM SEÇÕES NÃO CIRCULARES __________________________________________________6 1.4. TORÇÃO EM SEÇÕES DE PAREDES FINAS _________________________________________________8

2. ENERGIA DE DEFORMAÇÃO: APLICAÇÃO AO CÁLCULO DE DESL OCAMENTOS________9

2.1. INTRODUÇÃO ________________________________________________________________________9 2.2. TRABALHO EXTERNO DE DEFORMAÇÃO – O TEOREMA DE CLAPEYRON ______________________10 2.3. ESTADO TRIPLO DE TENSÕES _________________________________________________________12 2.4. COEFICIENTE DE POISSON____________________________________________________________12 2.5. LEI DE HOOKE GENERALIZADA _______________________________________________________13 2.6. TRABALHO INTERNO DE DEFORMAÇÃO . ENERGIA DE DEFORMAÇÃO (UI) _____________________15 2.7. TRABALHO INTERNO NA FLEXÃO (M)___________________________________________________16 2.8. TRABALHO INTERNO NA SOLICITAÇÃO AXIAL (N) ________________________________________17 2.9. TRABALHO INTERNO NO CISALHAMENTO (V) ____________________________________________18 2.10. TRABALHO INTERNO NA TORÇÃO (T)__________________________________________________19 2.11. ENERGIA INTERNA TOTAL (UI): ______________________________________________________20

3. O TEOREMA DE CASTIGLIANO _____________________________________________________30

3.1. INTRODUÇÃO _______________________________________________________________________30 3.2. COEFICIENTES DE INFLUÊNCIA ________________________________________________________30 3.3. DEMONSTRAÇÃO DO TEOREMA DE CASTIGLIANO _________________________________________31 3.4. OBSERVAÇÕES _____________________________________________________________________32 3.5. EXPRESSÃO DO TEOREMA DE CASTIGLIANO APLICÁVEL AOS PÓRTICOS PLANOS _______________33 3.6. DETERMINAÇÃO DOS DESLOCAMENTOS MÁXIMOS NAS VIGAS FUNDAMENTAIS ________________34

4. LINHA ELÁSTICA DE VIGAS FLETIDAS ______________________________________________43

4.1. INTRODUÇÃO _______________________________________________________________________43 4.2. PROCESSO DA INTEGRAÇÃO DA EQUAÇÃO DIFERENCIAL DA LINHA ELÁSTICA __________________43 4.3. CONDIÇÕES DE CONTORNO DEVIDAS AOS APOIOS _________________________________________44 4.4. CÁLCULO DE DESLOCAMENTOS EM VIGAS ATRAVÉS DA ANALOGIA DE MOHR __________________48

Bibliografia Recomendada:

� Resistência dos Materiais – Beer / Russel – 3a edição – Ed. Makron Books

� Resistência dos Materiais – R. C. Hibbeler – 5a edição – Ed. Pearson / Prentice Hall


2

1. TORÇÃO

1.1. TORÇÃO DE BARRA CIRCULAR

Considere-se uma barra de seção transversal circular sofrendo torção por pelos momentos torçores de módulo T, mesma direção e sentidos contrários, que atuam em suas extremidades como mostrado na figura abaixo.

Uma barra carregada desse modo está sob torção pura. Pode-se demonstrar que as seções transversais da barra circular giram como corpos rígidos, em torno do eixo longitudinal, cujos raios permanecem retos e as seções continuam circulares se o ângulo total de torção for pequeno.

Considera-se ainda que nestas circunstâncias não haverá variação do comprimento da barra.

Durante a torção, haverá rotação em torno do eixo longitudinal, de uma extremidade da barra em

relação à outra. Considera-se então que uma extremidade da barra gira num ângulo φφφφ em relação à outra extremidade, como na figura anterior. Ao mesmo tempo, uma linha longitudinal na superfície da barra, tal como nn, gira num pequeno ângulo para a posição nn’. Como conseqüência, um elemento retangular na superfície da barra, tal como o que se vê na figura entre as duas seções transversais, na distância dx, sofre um distorção.

Na figura ao lado, esse elemento aparece novamente sobre um disco, isolado do restante da barra. A configuração inicial do elemento está designada por abdc. Durante a torção, a seção transversal da direita gira, e os pontos b e d movem-se para b’ e d’, respectivamente.

O comprimento do elemento não varia durante esta rotação, porém os ângulos dos vértices não continuam retos. Vê-se, então, que o elemento está em estado de cisalhamento puro e que o valor da deformação de cisalhamento, γγγγ, é igual ao decréscimo do ângulo bab’.

Para um ângulo muito pequeno podemos escrever que: γ =bb

ab

'

A distância bb’ é o comprimento de um pequeno arco de raio r, subtendido pelo ângulo dφ, que é o ângulo de rotação de uma seção transversal em relação à outra. Então bb’ = rdφ. A distância ab é igual a dx, comprimento do elemento.

Com esses valores na equação anterior temos: γφ

=rd

dx (a)


3

Quando um eixo está sujeito à torção pura, a taxa de variação dφ do ângulo de torção é constante ao longo do comprimento dx da barra. Esta constante é o ângulo de torção por unidade de comprimento que será designado por θ. Então, θ = φ/L, onde L é o comprimento da barra.

Da Eq.(a), vem: γ θφ

= =rr

L (b)

As tensões de cisalhamento, τ, que agem nos lados do elemento têm os sentidos vistos na primeira figura. No caso de material linearmente elástico, a intensidade da tensão de cisalhamento é pode ser definida pela Lei de Hooke Generalizada da seguinte forma:

τ γ θ= =G Gr (c)

As Eqs. (b) e (c) relacionam as deformações e tensões na superfície do eixo com o ângulo de torção por unidade de comprimento.

O estado de tensão no interior do eixo pode ser determinado de modo análogo ao que foi feito para a superfície. Como os raios das seções transversais permanecem retos e sem distorção durante a torção, vê-se que é válida a discussão precedente, feita para um elemento abcd da superfície lateral como, também, para um elemento semelhante, situado na superfície de um cilindro interior de raio ρρρρ, visto na figura ao lado.

Assim, este elemento está também, em torção pura e tanto a deformação como a tensão de cisalhamento podem ser calculadas pelas expressões seguintes:

ρθτρθγ G== ; (d)

Estas equações mostram que a deformação e a tensão de cisalhamento variam linearmente com o raio ρρρρ, tendo seus valores máximos na superfície do eixo. A distribuição da tensão está representada na anterior pelo diagrama triangular de tensões.

As tensões de cisalhamento, dadas pela Eq. (d/2), agem no plano da seção transversal e são acompanhadas por tensões de cisalhamento iguais, que atuam em planos longitudinais do eixo. Isto resulta do fato de sempre haver tensões de cisalhamento iguais atuando em planos ortogonais. Se o material for mais fraco ao cisalhamento longitudinal do que ao lateral (por exemplo, madeira), as primeiras fissuras no eixo aparecerão na superfície, na direção longitudinal.

O estado de cisalhamento puro na superfície do eixo é equivalente a tensões iguais de tração e compressão em um elemento a 45º. Se um material mais fraco à tração do que ao cisalhamento for torcido, a falha ocorrerá por tração ao longo de uma hélice com inclinação de 45° em relação ao eixo. Este tipo de falha pode facilmente ser demonstrado pela torção de um pedaço de giz.


4

Será estabelecida agora a relação entre o torque (momento de torção), T, aplicado e o ângulo de torção que ele ocasiona. A resultante das tensões de cisalhamento deve ser estaticamente equivalente ao torque total, T. A força de cisalhamento que atua num elemento de área dA (hachurado na figura abaixo) é τdA, e o momento desta força em torno da linha de centro da barra é τρdA.

Substituindo o valor ρθτ G= na equação do momento, vê-se que este momento infinitesimal

causado pela força sobre a área dA é igual a Gθ ρ2dA.

O torque total T é dado pela integral desse momento elementar sobre toda a área da seção transversal, isto é:

T G dA G dA G J= = =∫∫ θρ θ ρ θ2 2 (e)

Onde J dA= ∫ρ2 é o momento de inércia polar da seção transversal circular. Para um círculo de

raio r e diâmetro d, o momento de inércia polar é: 322

44 drJ

ππ ==

Rearranjando a Eq. (e) temos que: θ =T

GJ

Mostrando que o ângulo de torção por unidade de comprimento, θ, é diretamente proporcional ao torque T e inversamente proporcional ao produto GJ, conhecido como módulo de rigidez à torção do eixo.

O ângulo total de torção, φ, igual a θL, substituindo na Eq.(e) θ por φ/L temos:

φ =TL

GJ

Esta equação é de grande utilidade na verificação experimental da teoria e tem sido confirmada por inúmeras experiências, que justificam as hipóteses feitas na sua dedução. Deve-se notar também que a torção é usada em experiências para determinação do módulo de elasticidade transversal, G, de vários materiais. Medindo-se o ângulo de torção produzido por um determinado torque no eixo, o valor de G pode facilmente ser calculado pela Eq. anterior

Entrando com θ, da Eq. (3.7), na Eq. (3.2), obtém-se uma expressão para o cálculo da tensão máxima de cisalhamento em eixos circulares sujeitos a torção:

Entrando com θ =T

GJ na equação θτ Gr= expressão para o cálculo da tensão máxima de

cisalhamento em eixos circulares sujeitos a torção:

τmá x

Tr

J. =

Mostrando que a tensão máxima de cisalhamento é diretamente proporcional ao torque, T, aplicado e inversamente proporcional ao momento de inércia polar da seção transversal.

A tensão de cisalhamento em qualquer ponto da seção transversal, numa distância ρ do centro pode então ser definida como:

τρ

=T

J


5

1.2. TORÇÃO DE BARRA CIRCULAR VAZADA

A tensão de cisalhamento numa barra de seção circular, como foi visto é máxima na superfície e nula no centro. Em conseqüência, grande parte do material trabalha com tensões bem inferiores à admissível. Se a redução de peso e a economia de material forem fatores importantes, é preferível usar eixos vazados.

A análise da torção de barras circulares vazadas baseia-se nas mesmas hipóteses levantadas anteriormente. Como os raios da seção transversal permanecem retos, as expressões para as tensões e deformações de cisalhamento deduzidas podem ser utilizadas.

É claro que a distância radial, ρ, que aparece naquelas expressões está limitada ao intervalo r1, r2 onde r1 é o raio interno e r2, o externo, da seção transversal do tubo, conforme a figura ao lado.

r1

r2

As relações entre o torque, T, aplicado e o ângulo de torção por unidade de comprimento, θ, podem ser encontradas nas, tomando-se os limites de integração como ρ = r1 e ρ = r2. Assim, a expressão T = GθJ ainda é válida, sendo J agora o momento de inércia polar da área da coroa circular:

)dd(32

)rr(2

J 41

42

41

42 −π=−π=

As equações básicas para θ, φ e τ podem ser empregadas desde que J seja calculado pela expressão acima.

Exemplo 1.1

Para a coluna da figura de diâmetro constante igual a 60 mm e cujos comprimentos estão em metros, pede-se:

� Calcular a tensão cisalhante em um ponto da seção à meia altura da base da coluna que dista 15 mm do centro de gravidade da seção;

� Calcular a tensão cisalhante máxima atuante.

Solução:

2

304×= πPJ ∴ 403.1272345 mmJP =

1503.1272345

103 6

××=τ ∴ MPa37.35=τ

3003.1272345

103 6

max ××=τ MPa74.70=τ

3kN


6

Exemplo 1.2

Considere a estrutura mostrada na figura abaixo, sujeita à torção pura, onde MPaBCAB

80== ττ :

Traçar o diagrama de momentos torçores e verificar se a estrutura atende ou falha.

Solução:

MParJ

TABAB

PAB 64100

32

200

101004

6

=∴××

×=∴= τπ

ττ

( ) MParJ

TBCBCBC

PBC 108250

4,924397930

10400250

32

480500

10400 6

44

6

=∴××=∴×−

×=∴= ττπ

ττ

O trecho AB atende, o trecho BC falha.

1.3. TORÇÃO EM SEÇÕES NÃO CIRCULARES

tW

T=maxτ e GJ

TL=θ

Onde:

Wt é o módulo de seção;

J é o momento de inércia polar da seção transversal.


7

Retangular J Wt

hb3β hb2α

No caso particular da seção transversal retangular, tem-se que:

maxτ , ocorre na metade do lado maior (h).

h/b 1,0 1,5 1,75 2,0 2,5 3,0 4,0 6,0 8,0 10,0 ∞

α 0,208 0,231 0,239 0,246 0,258 0,267 0,282 0,299 0,307 0,313 1/3

β 0,141 0,196 0,214 0,229 0,249 0,263 0,281 0,299 0,307 0,313 1/3

b

h


8

1.4. TORÇÃO EM SEÇÕES DE PAREDES FINAS

meA

T

2=τ

Onde:

e = espessura da parede

Am = Área do núcleo da seção

Exemplo 1.3

Calcular a tensão cisalhante máxima (T=20kNm)

( )MPa13,0

7797001002

1020 6

1 =××

=τ

( ) ←=××

= MPa21,0779700602

1020 6

2τ

( )MPa11,0

7797001202

1020 6

3 =××

=τ

( )MPa16,0

779700802

1020 6

4 =××

=τ

120mm

60mm

100mm

80mm

2

1

3

4

Am = 779700m2


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2. ENERGIA DE DEFORMAÇÃO: APLICAÇÃO AO CÁLCULO DE DESLOCAMENTOS

2.1. INTRODUÇÃO

Considere um corpo deformável, como por exemplo, uma barra de uma estrutura metálica, submetido à ação de uma carga externa estaticamente aplicada, isto é, com valor gradualmente crescente, sem a produção de impacto ou vibrações.

O conceito de carga estaticamente aplicada pode ser melhor entendido, se for imaginada uma viga que servirá de suporte para uma caixa d’água. Se esta caixa d’água for colocada vazia sobre esta viga e for sendo enchida com uma mangueira, pode-se dizer que, quando cheia, esta caixa d’água será uma carga estaticamente aplicada. Caso contrário, se a mesma for posicionada já cheia sobre a viga de suporte, não se pode dizer o mesmo, pois haverá a produção de impacto ou vibração na viga mencionada.

Durante o processo de deformação da viga, os pontos de aplicação das cargas se deslocam, à medida que estas cargas crescem. Como existe uma força (P), bem como um deslocamento (∆ ) segundo a linha de ação desta força, diz-se que houve a produção de um trabalho ( ∆= PW ), denominado Trabalho Externo (trabalho das cargas externas).

Simultaneamente à aplicação das cargas externas, e como conseqüência delas, são despertadas tensões internas no material, que correspondem a forças elementares internas (produto das tensões pelas áreas elementares dos pontos em que atuam), que se deslocam em virtude das deformações que sempre acompanham as tensões. Na figura temos, por exemplo, ( )dxdydF zz σ= .

Consequentemente ocorre produção de Trabalho Interno (trabalho dos esforços internos), originado do produto das forças elementares internas pelos deslocamentos mencionados anteriormente ( zz ddFW ∆= ). Este trabalho fica armazenado sob a forma de Energia de Deformação.

Em Resistência dos Materiais, os sistemas são considerados conservativos, ou seja, são desprezadas quaisquer formas de dissipação de energia, de tal forma que a energia de deformação depende, exclusivamente, dos estados inicial e final do processo de carregamento, e não de estados intermediários.


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Isto posto, segundo o Princípio da Conservação de Energia, podemos estabelecer que:

“Um sistema estrutural em equilíbrio conservativo está em equilíbrio, se a energia de deformação armazenada é igual a trabalho realizado pelas cargas externas”.

ei WU =

Nos estudos que se seguem, este princípio será aplicado às estruturas de comportamento linear, isto é, aquelas para as quais seja válida a Lei de Hooke (linearidade física, tensões diretamente proporcionais às deformações), sendo as cargas proporcionais aos deslocamentos (linearidade geométrica), caso em que se pode aplicar o Princípio da Superposição dos Efeitos (exceção feita ao cálculo da Energia de Deformação. Conforme se verá adiante, é uma função quadrática não linear).

2.2. TRABALHO EXTERNO DE DEFORMAÇÃO – O TEOREMA DE CLAPEYRON

Conforme definido anteriormente, é o trabalho realizado pelas cargas externas no processo de deformação. Para sua determinação, considere a viga da figura abaixo:

Conforme se pode observar, sendo as cargas proporcionais aos deslocamentos (linearidade geométrica), pode-se escrever:

Pα=∆ , onde α é uma constante que evidencia a relação de proporcionalidade direta entre as cargas aplicadas e os respectivos deslocamentos.

dPd α=∆

Quando a carga P sofrer um acréscimo dP ao longo do seu processo de crescimento lento e gradual (carga estaticamente aplicada, vide exemplo da caixa d’água), o deslocamento a ela correspondente, ao longo da sua linha de ação, sofrerá um acréscimo ∆d , realizando-se neste instante o trabalho elementar:

( ) ( ) ( )2dPPdPdWdPdPPdWddPPdW eee ααα +=∴+=∴∆+=

∆


11

Desprezando-se o infinitésimo de ordem superior vem:

PdPdWe α=

Logo, o trabalho das cargas externas ao final do processo de deformação será:

∫ ==P

e

PPdPW

0

2

2αα

Daí o enunciado do Teorema de Clapeyron:

“O trabalho realizado por cargas agindo estaticamente, isto é, de forma lenta e gradual, é igual à metade da soma dos produtos dos valores finais das cargas pelos valores finais dos deslocamentos de seus

pontos de aplicação, segundo suas linhas de ação”.

Portanto:

P

∆=α

Temos:

∆= PWe 2

1

O que sugere que o trabalho total realizado durante o processo de deformação de uma estrutura, ou parte dela, corresponde à área hachurada do gráfico apresentado na figura mostrada a seguir, que, conforme se pode observar, corresponde a um triângulo.


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2.3. ESTADO TRIPLO DE TENSÕES

O estado triplo de tensões em um ponto infinitesimal (paralelepípedo elementar), caracteriza-se pela existência de tensões (normais e cisalhantes), oriundas de esforços solicitantes (Solicitação Axial – N, Momento Fletor – M, Força Cortante – V, e Momento Torçor – T) atuantes em mais de um plano de carregamento. Diz-se, neste caso, que qualquer ponto da seção transversal, no qual estes esforços solicitantes estejam sendo analisados estará submetido, de forma geral, a estado triplo de tensões, conforme mostram as figuras a seguir.

Pode-se observar o surgimento de tensões normais σ (perpendiculares às facetas do paralelepípedo elementar) e tangenciais τ (paralelas, ou seja, contidas no plano das facetas do paralelepípedo elementar).

2.4. COEFICIENTE DE POISSON

Considerando-se o paralelepípedo elementar da figura anterior, em estado triplo de tensões. Sejam

zyx εεε ,, as deformações lineares, e xzyzxy γγγ ,,

as deformações angulares (também denominadas distorções) do ponto considerado.

Ponto P

(ampliando)

dz

dx dy


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2zε

x

z

dx 2xε

2xε

xσ xσ

2zε

A figura anterior, que corresponde a uma vista lateral no plano xz do paralelepípedo elementar (ou de qualquer outras facetas ou planos do paralelepípedo elementar que se queira analisar), mostra a ação individual da tensão trativa xσ , bem como as deformações correspondentes, xε (alongamento) e zε

(encurtamento).

Pode-se então concluir que, para que um corpo (ou um ponto deste corpo) se deforme linearmente em uma dada direção cartesiana, por ação de uma correspondente tensão normal, com volume (massa) constante, é necessário que haja uma “compensação ortogonal”. Em outras palavras, do alongamento na direção x, decorre o encurtamento na direção z, que é ortogonal à anterior, e que também está contida no plano da tensão original.

Define-se então como Coeficiente de Poisson (ou Razão de Poisson) a constante que relaciona de maneira proporcional deformações lineares longitudinais, com suas deformações lineares transversais decorrentes. Esta relação de proporcionalidade se traduz matematicamente, pelos módulos de elasticidade longitudinal (E) e transversal (G), a partir da seguinte equação:

( )ν+=

12

EG

Onde ν , representa o Coeficiente de Poisson do material, que se define matematicamente como uma constante e, assim como E e G, é propriedade específica de cada material, determinada por meio de ensaios de laboratório.

2.5. LEI DE HOOKE GENERALIZADA

A partir do Coeficiente de Poisson definido anteriormente, podemos concluir que a Lei de Hooke, na sua forma mais clássica ( εσ E= ), nada mais é que a simplificação (ou particularização) de uma lei mais geral, para o caso de deformações de barras esbeltas nas seguintes condições:

Dimensões da seção transversal, insignificantes na presença do comprimento da mesma;

Solicitadas exclusivamente de forma axial (força normal N de tração ou compressão).


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Uma relação de proporcionalidade que faça a relação entre tensões e deformações, deve levar em conta os efeitos de encurtamento transversal em caso de alongamento (e vice e versa). Define-se então a Lei de Hooke Generalizada, aplicável diretamente às vigas prismáticas (que não possuem dimensões da seção transversal, insignificantes em relação ao seu comprimento), bem como despertam tensões normais provocadas por Momentos Fletores (M), além das provocadas pela força axial (N):

( )[ ]zyxx Eσσνσε +−= 1

( )[ ]zxyy Eσσνσε +−= 1

( )[ ]yxzz Eσσνσε +−= 1

Esta relação é extensiva às distorções (provocadas pelas tensões tangenciais τ ), porém de forma simplificada, uma vez que, em ensaios de laboratório, verificou-se que uma deformação angular ocorrida em um determinado plano de tensões, não influencia em distorções em planos ortogonais, tornando válidas as mesmas hipóteses simplificadoras da Lei de Hooke, em cada plano de observação ( γτ G= ):

Gxy

xy

τγ =

Gxz

xz

τγ = G

yzyz

τγ =

Com a observação da figura anterior, percebe-se que é inteiramente válido o Princípio da Reciprocidade das Tensões de Cisalhamento, ou seja, quando atuar uma tensão cisalhante perpendicularmente à aresta de um paralelepípedo elementar, atuará ortogonalmente à mesma aresta, em um plano ortogonal, tensão cisalhante de igual intensidade.


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2.6. TRABALHO INTERNO DE DEFORMAÇÃO. ENERGIA DE DEFORMAÇÃO (UI)

Considerando o paralelepípedo elementar em estado triplo de tensões, apresentado anteriormente. Baseando-se na definição de Trabalho Interno, podemos separar as parcelas deste devidas, respectivamente às tensões normais e tangenciais:

(a) Trabalho interno correspondente às tensões normais:

( ) dxdydzdU zzyyxxi

++=

222

εσεσεσσ

(b) Trabalho interno correspondente às tensões tangencias:

( ) dxdydzdU yzyzxzxzxyxyi

++=

222

γτγτγττ

Observa-se que o coeficiente ½, advém do Teorema de Clapeyron, definido anteriormente.

O trabalho elementar interno total será:

( ) ( ) ( )τσ iii dUdUdU +=

( ) ( )dxdydzdU yzyzxzxzxyxyzzyyxxi γτγτγτεσεσεσ +++++=2

1

Aplicando-se a Lei de Hooke Generalizada e considerando dxdydzdv = , temos:

( ) ( ) ( ) dvGEE

dU yzxzxyzxzyyxzyxi

+++++−++= 222222

2

1

2

1 τττσσσσσσυσσσ

( ) ( ) ( )∫∫

+++++−++==v

yzxzxyzxzyyxzyx

v

ii dvGEE

dUU 222222

2

1

2

1 τττσσσσσσυσσσ

Devido à natureza extremamente particular da ação dos efeitos mecânicos (M, N, V e T) sobre os componentes estruturais por eles solicitados, pode-se particularizar o cálculo da Energia de Deformação produzida por tais efeitos, quantificando-os da seguinte forma:


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2.7. TRABALHO INTERNO NA FLEXÃO (M)

Neste caso, tem-se:

0=====

=

yzxzxyzy

x yI

M

τττσσ

σ

Logo,

[ ] ∫=v

xMi dv

EU

2

2σ

[ ] ∫

=

vMi dv

I

yM

EU

2

22

2

1

[ ] ∫ ∫=l A

Mi dAydxEI

MU 2

2

2

2

1

Desdobra-se a integral de volume em duas integrais, respectivamente ao longo do comprimento (l ) e da superfície da seção transversal de área (A) e, observa-se que, no integrando ao longo de A, devem permanecer todas as grandezas que possam variar ao longo da seção transversal.

Por definição dAyIA∫= 2 (momento de inércia em relação à linha neutra gerada pela flexão, ver

Mecânica);

[ ] dxEI

MU Mi ∫=

l

2

2

1


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2.8. TRABALHO INTERNO NA SOLICITAÇÃO AXIAL (N)

Neste caso, tem-se:

0=====

=

yzxzxyzy

x A

N

τττσσ

σ

Logo,

[ ] ∫=v

xNi dv

EU

2

2σ

[ ] ∫

=

vNi dv

A

N

EU

2

2

2

1

[ ] ∫ ∫=l A

Ni dAdxEA

NU

2

2

2

1

Desdobra-se a integral como no caso anterior, ou seja, mantendo na integral de comprimento as grandezas que veriam ao longo do comprimento e, na integral de área as grandezas que veriam ao longo da área de seção transversal.

Por definição, ∫=A

dAA (área da seção transversal);

[ ] dxEA

NU Ni ∫=

l

2

2

1


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2.9. TRABALHO INTERNO NO CISALHAMENTO (V)

Neste caso, tem-se:

0=====

=

yzxzzyx

exy

bI

Vm

ττσσσ

τ

Logo,

[ ] ∫=v

xy

Vi GU

2

2τ

[ ] dvIb

mV

GU e

vVi 22

22

2

1∫=

[ ] dAb

mdx

GI

VU

A

eVi ∫∫=

2

2

2

2

2

1

l

,

Mas: 2AiI =

Onde i é o raio de giração da seção transversal, podendo-se escrever:

[ ] dAb

m

Aidx

GA

VU

A

eVi ∫∫=

2

2

4

2 1

2

1

l

dAb

m

Aif

A

ec ∫=

2

2

4

1

Verifica-se que o fator (fc) é uma constante que somente depende da forma da seção transversal, denominado Fator de Cisalhamento. Portanto, pode-se escrever então:

[ ] dxGA

VfU c

Vi ∫=l

2

2

Exemplos de fatores de cisalhamento:

Forma da seção transversal fc

Retangular 6/5=1,2

Circular 10/9=1,1

Perfil “I” dt

A

w

d tw


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2.10. TRABALHO INTERNO NA TORÇÃO (T)

Neste caso, tem-se:

0=====

=

yzxzzyx

xy rJ

T

ττσσσ

τ

Logo,

[ ] ∫=v

xy

Ti GU

2

2τ

[ ] dvrJ

T

GU

vTi

22

2

2

1∫=

dArdxGJ

TU

A

T ∫∫= 22

2

2

1

l

Por definição, dArJ

A∫= 2

(momento de inércia em relação à linha neutra gerada pela flexão, ver Mecânica);

[ ] dxGJ

TU Ti ∫=

l

2

2

1

Exemplos de momento de inércia à torção (J) de algumas seções transversais:

Forma da seção transversal

J

−

4

44

132 D

dDπ

hb34

052,063,0

3

1

+−λ

λλ

b

h=λ

4

80

3a

b

h

d D

a a

a


20

2.11. ENERGIA INTERNA TOTAL (UI):

Para a ação simultânea de M, N, V e T, a expressão da energia interna é definida como sendo:

[ ] [ ] [ ] [ ]TiViNiMii UUUUU +++=

Ou seja,

dxGJ

Tdx

GA

Vfdx

EA

Ndx

EI

MU c

i ∫∫∫∫ +++=2222

2

1

22

1

2

1

E Módulo de elasticidade longitudinal do material (Módulo de Young);

G Módulo de elasticidade transversal do material (Módulo de Coulomb);

I Momento de inércia da seção em relação à linha neutra da flexão;

A Área da seção transversal;

J Momento de inércia à torção da seção transversal;

EI Rigidez à flexão (Rigidez flexional);

EA Rigidez axial (Rigidez longitudinal);

GA Rigidez ao cisalhamento (Rigidez transversal);

GJ Rigidez à torção (Rigidez torcional).

Em casos onde há predominância de atuação de um determinado efeito em detrimento de outro (por exemplo, em barras de treliças, o efeito predominante é a solicitação axial, seja de tração ou de compressão), a energia de deformação armazenada, será considerada de forma particular, conforme a ação, da forma mostrada na tabela a seguir:

As integrais são estendidas a todo comprimento da estrutura, podendo ser calculada membro a membro, conforme mostram os exemplos a seguir:


21

Exemplo 2.1

1. Calcular a energia de deformação armazenada na estrutura devida ao carregamento indicado no pórtico de seção constante da figura;

2. Calcular a translação vertical (flecha) da seção C, utilizando o “Princípio da Conservação da Energia”.

Solução:

As integrais serão realizadas barra a barra, considerando-se os inícios dos intervalos de integração, conforme indicado na figura acima. Não há necessidade de se estabelecer qualquer convenção de sinais, uma vez que as funções variáveis (M, N e V), aparecem elevadas ao quadrado na expressão da energia de deformação. Observe que não haverá o efeito da torção, uma vez que se trata de uma estrutura plana com cargas externas no seu próprio plano.

A partir da análise dos diagramas solicitantes, pode-se descrever a variação das solicitações ao longo de cada barra.

E = 2,1(108) kN/m2

3,0=ν


22

Barra M (kNm)

N (kN)

V (kN) ∫

BC 100x 0 100 ∫2

0

AB 200 100 0 ∫4

0

dxGA

Vfdx

EA

Ndx

EI

MU c

i ∫∫∫ ++=222

22

1

2

1

DM DN DV


23

Barra BC:

[ ]

[ ] ( )

[ ]

[ ]GAEI

U

xGA

x

EIU

dxGA

dxxEI

dxGA

dxEI

xU

dxGA

Vfdx

EI

MU

BCi

BCi

BCi

cBCi

12000

3

40000

2

100002,1

32

10000

100002

2,110000

2

1100

2

2,1100

2

1

22

1

2

0

2

0

3

2

0

22

0

2

0

22

0

2

22

+=

×+=

+=+=

+=

∫∫ ∫∫

∫∫

Barra AB:

[ ]

[ ] ( ) ( )

[ ]

[ ]EAEI

U

xEA

xEI

U

dxEA

dxEI

U

dxEA

Ndx

EI

MU

ABi

ABi

ABi

ABi

20000800002

10000

2

40000

100

2

1200

2

1

2

1

2

1

4

0

4

0

4

0

24

0

2

22

+=

+=

+=

+=

∫∫

∫∫

Energia total armazenada:

[ ] [ ]

GAEAEIU

GAEAEIEIU

UUU

i

i

BCiABii

1200020000

3

280000

1200020000

3

4000080000

++=

++

+=

+=

Cálculo da Rigidez:

( )

( ) ( )

( ) 3230769kN4,010,06,2

101,2

3,012

101,2

12

840000040,010,0101,2

112000kNm12

40,010,0101,2

8

8

8

23

8

=××=

+×=

+=

=×××=

=

×××=

GA

EG

kNEA

EI

ν

Logo;


24

839,3J0,8393kNm

0037,00023,08333,03230769

12000

8400000

20000

1120003

280000

==++=

++×

=

i

i

i

U

U

U

Pode-se observar que as parcelas da energia de deformação devidas à solicitação axial (2,3J) e ao cisalhamento (3,7J) representam, respectivamente, 0,27% e 0,44% da energia interna total armazenada no processo de deformação. Pode-se concluir então, que para estruturas planas em pórtico (assim como nas vigas), nas quais a solicitação predominante é a flexão, é bastante razoável que apenas a energia de deformação a ela correspondente necessita ser considerada.

Entretanto, em barras cujas seções transversais retangulares apresentam altura maior que 20% do respectivo vão, os efeitos de cisalhamento e de solicitação axial devem ser considerados.

Cálculo da flecha em C:

Sob a ação da carga vertical de 100kN no nó C (extremidade em balanço), espera-se que o pórtico se deforme conforme indicado na figura abaixo. Será aplicado o Princípio da Conservação da Energia, em conjunto com o Teorema de Clapeyron, para a determinação da translação vertical (flecha) do ponto C (extremidade em balanço), cδ :

0,016786m

8393,01002

18393,0

2

12

1

=

=∴=∴=

=

c

ccie

ce

PUW

PW

δ

δδ

δ

cmc 7,1≅δ

Caso se optasse por desprezar os efeitos da solicitação axial e do cisalhamento, teríamos:

cδ


25

0,016666m

8333,01002

18333,0

2

1

=

=∴=

c

ccP

δ

δδ

cmc 7,1≅δ

O que comprova ser insignificante sobre o resultado final, a consideração ou não de outros efeitos, além dos correspondentes à flexão, no caso de pórticos planos, conforme anteriormente afirmado.

Observação:

Quando ocorrem várias cargas atuando simultaneamente na estrutura, não se pode, para fins de cálculo da Energia Interna de Deformação (Ui), aplicar o Princípio da Superposição de Efeitos.

Desta forma, a energia acumulada por ação simultânea das cargas não é igual à soma das energias acumuladas por ação acumulada de cada uma das cargas.

Isto decorre do fato de a Energia Interna de Deformação, não ser uma função linear das cargas, e sim uma função quadrática. Deste fato, decorre ainda que o cálculo de deslocamentos aplicando-se o Princípio da Conservação de Energia, da forma como apresentado anteriormente, está limitado aos casos em que apenas uma força P, se encontre aplicada à estrutura. Esta limitação deixa de existir quando se aplica o Teorema de Castigliano, que será visto adiante.


26

Exemplo 2.2

Calcular a Energia de Deformação armazenada na treliça da figura, após a atuação do carregamento horizontal de 150kN no nó B, e, em seguida, calcular a translação horizontal do nó C,sabendo-se que:

E=200GPa

ABC=ACD=1500mm2

ABD=2000mm2

Solução:

Trata-se de uma treliça, onde o único tipo de esforços que se manifesta é a solicitação axial. Desta forma, toda energia de deformação armazenada no processo, dependerá única e exclusivamente da solicitação axial. Como a solicitação axial é constante nas barras da treliça, não haverá necessidade de integrar como no caso anterior.

Reações de apoio:

Cálculo dos esforços nas barras pelo método dos nós:

B

C

D

α


27

NN

NsenN

H

BD

BDBD

04,163

92,0

1500150

0

=

=∴=−

=Σ

α

kNN

NNN

V

BC

BCBCBD

6,63

39,05,1620cos

0

=×=∴=−

=Σα

kNNCD 150=

[ ] [ ] [ ]BCiBDiCDii UUUU ++=

[ ] NmmEA

LNU

CD

CDCDCDi 45000

1500200000

1200150000

2

1

2

1 22

=××==

[ ] NmmEA

LNU

BC

BCBCBCi 4,3369

1500200000

50063600

2

1

2

1 22

=××==

mLBD 3,15,02,1 22 =+=

[ ] NmmEA

LNU

BD

BDBDBDi 7,43197

2000200000

1300163043

2

1

2

1 22

=××==

JNmmU

U

i

i

6,911,91567

7,431974,336945000

==++=

Cálculo da translação horizontal do nó C:

ei WU =

CHPδ

2

16,91 =

PCH

6,912×=δ

( )310150

6,912×=CHδ

mCH 001221,0=δ

mmCH 22,1=δ

α NBD

NBC

( ) 39,0cos92,038,674,25,0

2,1 0 =∴=∴=== αααα sentg


28

Exemplo 2.3

Determinar a Energia de Elástica devida à flexão da viga em balanço, supondo que ela seja submetida a uma carga uniformemente distribuída w. Considerar EI constante.

Solução:

Determina-se o momento interno na viga, definido a coordenada x com origem no lado esquerdo, lado este representado na figura abaixo:

2

22wx

M

xwxM

=

=

L

i

L

i

L

i

L

i

i

x

EI

wUdxx

EI

wU

dxxw

EIUdx

EI

wx

U

dxEI

MU

0

52

0

42

0

42

0

22

2

588

42

12

2

1

=∴=

=∴

=

=

∫

∫∫

∫

EI

LwU i 40

52

=


29

Exemplo 2.4

A barra tubular da figura abaixo, está engastada na parede e sujeita a dois momentos torçores (T), conforme mostrado abaixo. Determinar a energia de deformação nela armazenada em virtude da solicitação atuante. Adotar G=75GPa.

Solução:

Inicialmente, deve-se determinar o valor do momento torçor (T), atuante em cada trecho. Vale lembrar, que assim como a solicitação axial, o momento torçor costuma ser constante ao longo de cada trecho das barras.

Temos:

NmTNmT BCAB 15;40 ==

( ) ( ) 44444 363001211301603232

mmJJdDJJ BCAB =∴−=∴−== ππ

( )( ) ( )

( )( ) ( )

( ) ( )JUU

U

GJ

LT

GJ

LTU

dxGJ

TU

ii

i

BC

BCBC

AB

ABABi

i

4-4-4-

129

32

129

32

22

2

102.327771012397,0)2,2038(10

1036300121110752

1030015

1036300121110752

1075040

22

2

1

=∴+=×××+

×××=

+=

=

−

−

−

−

∫

A B

C


30

3. O Teorema de Castigliano

3.1. INTRODUÇÃO

O teorema a seguir estudado permite que se determine o deslocamento (translação ou rotação) de uma seção transversal de uma estrutura, em que se encontre aplicada uma carga concentrada (força ou momento).

Trata-se do 2º Teorema de Castigliano, a saber:

“A derivada parcial da energia de deformação de um sistema, relativamente a uma carga P concentrada, é igual ao deslocamento da seção de aplicação desta carga, segundo sua linha de ação.”

Para a demonstração deste teorema, considere o sistema abaixo, ao qual se aplica a superposição de efeitos indicada.

(a) Sistema dado, sendo 1δ e 2δ os deslocamentos (translações), correspondentes às cargas P1 e P2

atuando simultaneamente; (b) Carga P1 atuando com valor unitário (P1=1), isoladamente. Nas seções 1 e 2, os deslocamentos

são 11δ e 21δ ; (c) Carga P2 atuando com valor unitário (P2=1), isoladamente. Nas seções 1 e 2, os deslocamentos

são 12δ e 22δ .

Observa-se que, a fim de que a superposição indicada recomponha o sistema dado, as cargas P1 e P2 têm que ser aplicadas com os seus verdadeiros valores. Tendo sido aplicadas com seus valores unitários, os resultados parciais das fases (b) e (c), deverão ser multiplicados por P1 e P2 respectivamente.

Em outras palavras, aplicar uma carga de valor P tem o mesmo significado que aplicá-la com valor 1, multiplicando-se todos os resultados (reações de apoio, esforços solicitantes e deslocamentos) por P.

Observando-se a figura anterior, pode-se concluir que:

+=+=

2221212

2121111

PP

PP

δδδδδδ

3.2. COEFICIENTES DE INFLUÊNCIA

A partir da análise do sistema de equações apresentado anteriormente, pode-se definir o coeficiente ijδ , denominado coeficiente de influência ou coeficiente de elasticidade, que representa o

deslocamento da seção i, devido à ação de uma carga unitária aplicada na seção j.


31

Estes coeficientes são amplamente utilizados na determinação dos esforços seccionais para traçado de diagramas de esforços solicitantes em estruturas hiperestáticas, a partir da utilização do Método das Forças, visto na disciplina de Hiperestática (também denominada Análise Estrutural ou Teoria da Estruturas).

O Método das Forças assim como o Princípio dos Trabalhos Virtuais, também são fundamentados em critérios de trabalho e energia de deformação, assim como o Teorema de Castigliano.

3.3. DEMONSTRAÇÃO DO TEOREMA DE CASTIGLIANO

Calculemos, a seguir, o trabalho realizado pelas cargas em decorrência dos deslocamentos ocorridos. Para tanto, consideremos isoladamente as fases (b) e (c).

Considerando a ação isolada de P1 (fase (b)),

Sabendo-se que o deslocamento do ponto de aplicação da força será 111Pδ trabalho realizado pela carga P1=1, estaticamente aplicada (que implica na multiplicação por ½, conforme visto na demonstração do Teorema de Clapeyron) será:

( )11112

1PP δ

Aplicando-se em seguida a carga P2=1

O trabalho das cargas será constituído por:

( )2121 PP δ Parcela correspondente ao trabalho da carga P1 que já se encontrava aplicada desde a fase (b), não mais considerada como estaticamente aplicada (portanto, não multiplicada por ½). Observa-se ainda que, ao atuar a carga P2=1, o deslocamento do ponto de aplicação de P1 será 212Pδ ;

( )22222

1PP δ Parcela correspondente ao trabalho da carga P2 =1, estaticamente aplicada.

O trabalho total das cargas externas realizado, correspondente à ação simultânea das cargas será:

( ) ( ) ( )222221211111 2

1

2

1PPPPPPWe δδδ ++=


32

22222112

2111 2

1

2

1PPPPWe δδδ ++=

( )22222112

2111 2

2

1PPPPWe δδδ ++=

Mas, pelo Princípio da Conservação da Energia, sabemos que ie UW = , logo pode ser escrito:

( )22222112

2111 2

2

1PPPPU i δδδ ++=

Derivando-se a expressão da Energia de Deformação parcialmente, em relação às cargas P1 e P2, obtém-se o seguinte:

=+=∂∂

=+=∂∂

22221122

12121111

δδδ

δδδ

PPP

U

PPP

U

i

i

Conclui-se, portanto que, de maneira geral, tem-se que:

kk

i

P

U δ=∂∂

O que constitui a expressão do 2º Teorema de Castigliano.

3.4. OBSERVAÇÕES

(a) O Teorema de Castigliano permite que se calcule o deslocamento de uma seção da estrutura, onde ocorra uma carga concentrada; o deslocamento calculado será o que ocorre na direção da linha de ação desta carga. Quando se deseja obter o deslocamento de uma seção, em uma dada direção, e nenhuma carga se encontre aí concentradamente aplicada, basta que se suponha a existência de uma carga fictícia P , aplicada na direção na qual se deseja obter o valor do deslocamento. O valor desta carga será nulo, posto que ela não existe. Porém seus efeitos são incluídos no cálculo de Ui, após o que se calculará:

P

U i

∂∂=δ

Nesta expressão de δ , ocorrerão termos contendo P ; substituindo-se nestes termos o valor de

P , qual seja 0=P , obter-se-á a expressão de δ em função das demais cargas realmente existentes.


33

(b) Para aplicação do Teorema de Castigliano, o cálculo de Ui deverá ser efetuado, expressando-se literalmente a carga P, correspondente ao deslocamento procurado. Somente após a obtenção da derivada, é que se poderá substituir P, por seu valor numérico que, conforme visto no item (a), poderá assumir, inclusive, o valor nulo.

3.5. EXPRESSÃO DO TEOREMA DE CASTIGLIANO APLICÁVEL AOS PÓRTICOS PLANOS

Neste caso, sabendo-se que:

dxGJ

Tdx

GA

Vfdx

EA

Ndx

EI

MU c

i ∫∫∫∫ +++=2222

2

1

22

1

2

1

Tem-se que:

∂∂+

∂∂+

∂∂+

∂∂=

∂∂= ∫ ∫ ∫ ∫

l l l l

0 0 0 0

2222

2

1dx

GJ

T

Pdx

GA

V

PXdx

EA

N

Pdx

EI

M

PP

U iδ

Como os limites das integrais são constantes (integrais definidas), a operação de derivação pode ser aplicada sobre o integrando, ou seja:

∂∂+

∂∂+

∂∂+

∂∂= ∫ ∫ ∫ ∫ dx

GJ

T

Pdx

GA

V

Pfdx

EA

N

Pdx

EI

M

P c

2222

2

1δ

Como os esforços solicitantes (M, N, V e T) são proporcionais às cargas, podendo ser escritos como funções lineares destas, tem-se que:

dxP

TT

GJdx

P

VV

GA

fdx

P

NN

EAdx

P

MM

EIc

∂∂+

∂∂+

∂∂+

∂∂= ∫∫∫∫ 2

1

2

12

1

22

1

2

12

1

2

1δ

Ou, finalmente:

dxP

T

GJ

Tdx

P

V

GA

Vfdx

P

N

EA

Ndx

P

M

EI

Mc ∂

∂+∂∂+

∂∂+

∂∂= ∫∫∫∫δ


34

3.6. DETERMINAÇÃO DOS DESLOCAMENTOS MÁXIMOS NAS VIGAS FUNDAMENTAIS

Para determinação do deslocamento de uma seção em uma viga fundamental utilizando-se o Teorema de Castigliano, seja considerado o caso da viga com uma extremidade engastada e outra livre, com carga concentrada na extremidade livre, conforme mostra a figura a seguir, considerando-se apenas o efeito da flexão:

Conforme visto anteriormente, podemos considerar apenas o efeito da flexão para calcular a Energia de Deformação armazenada durante o processo de carregamento em vigas e pórticos planos. Desta forma temos que:

dxEI

MU i ∫=

2

2

1

No caso em estudo, têm-se que M=Px (lembrando-se sempre que não há necessidade de se convencionar sinal para o momento fletor, pois o mesmo se encontra elevado ao quadrado na expressão a utilizar no cálculo de δ ).

Logo:

EI

LPx

EI

Pdx

EI

xPU

LL

i 6322

1 32

0

32

0

22

=== ∫

Portanto, o deslocamento segundo a linha de ação de P, será:

EI

PL

P

U i

6

2 3

=∂

∂=δ

( )↓=EI

PL

3

3

δ (o sinal positivo significa que o deslocamento tem o mesmo sentido da carga

aplicada).

Determinar a flecha máxima para a viga bi – apoiada, com carregamento uniformemente distribuído ao longo de todo o vão, conforme mostra a figura abaixo, aplicando-se o Teorema de Castigliano, considerando-se apenas o efeito da flexão:


35

Conforme mencionado anteriormente, quando se deseja obter o deslocamento de uma seção na qual não se encontra aplicada nenhuma carga concentrada, deve-se supor uma carga concentrada fictícia P , e calcular a variação do momento fletor incluindo-se a referida carga fictícia. Em seguida, deve-se derivar este momento fletor em função da carga fictícia, para, finalmente, substituí-la pelo seu valor real, que neste caso será nulo.

Trecho M

P

M

∂∂

P

MM

∂∂

∫

AC 2

222

22

xq

xP

xqL

xqxx

PqL

−+=

=−+

x2

1 322

444x

qx

Px

qL −+ ∫2

0

L

BC 2

222x

qx

Px

qL −+ x2

1 322

444x

qx

Px

qL −+ ∫2

0

L

Sabendo-se que 0=P , tem-se que:

32

322

4444

0

4x

qqLxx

qxx

qL −=−+ e, pelo Teorema de Castigliano sabe-se que

dxP

M

EI

M

∂∂= ∫2

1δ

dxqxqLx

EIdxx

qqLx

EI

L LL

−=

−= ∫ ∫∫2

0

2

0

322

0

32

22

1

44

2δ (onde o fator multiplicador 2, significa que

os trechos AC e BC são iguais).

−=∴

−=∴

−=384

38

12848

1

86

1 44442

0

42

0

3 qLqLqLqL

EI

qxqLx

EI

LL

δδδ

( )↓=EI

qL

384

5 4

δ

De forma análoga, é possível determinar os deslocamentos para casos particulares de carregamentos de vigas fundamentais, apresentados na tabela a seguir:


36

Viga Deslocamento máximo

EI

PL

48

3

max −=δ

( )222max 6

abLEIL

Pba −−−=δ

EI

LM

243

20

max −=δ

EI

qL

384

5 4

max −=δ


37

Viga Deslocamento máximo

EI

PL

3

3

max −=δ

EI

PL

48

5 3

max −=δ

EI

LM

2

20

max −=δ

EI

qL

8

4

max −=δ


38

Exemplo 3.1

Determinar o deslocamento vertical do ponto C, da viga de aço mostrada na figura. Adotar E=200GPa e I=125(10-6)m4.

Solução:

Substituir a carga vertical de 5kN, por uma carga fictícia (literal) P e em seguida, calcular as reações de apoio, bem como os esforços seccionais (M1 e V1) em função desta carga P.

( )

PVP

V

PV

M

BB

B

A

6,0310

630

042

6461810

0

+=∴+=

=××−×−+×

=∑

( )

( ) PVPPV

PVV

V

AA

BA

4,096,0312

02

64

0

+=∴+−+=

=−×−+

=∑

( )

( )

11

3111

112

11

4,0

9

14,09

04,0933

1

xP

M

xxPM

xPx

xM

=∂

∂

−+=

=+−

+

( )( )

22

22

22

6,0

6,0318

06,0318

xP

M

xPM

MxP

=∂

∂++=

=−++


39

Sabendo-se que P = 5kN e, aplicando-se o Teorema de Castigliano, e, tem-se que:

( ) ( ) 3111

3111

3111 9

111

9

154,09

9

14,09 xxMxxMxxPM −=∴−×+=∴−+=

( ) ( ) 222222 61856,03186,0318 xMxMxPM +=∴×++=∴++=

dxP

M

EI

M

∂∂= ∫δ

( ) ( )( )

2

4

0

221

6

0

1311 6,0618

4,09

111

dxEI

xxdx

EI

xxx

c ∫∫++

−=δ

( ) ( )∴×

= −66 1012510200

9,410cδ ( )↓== mmmc 4,160164,0δ


40

Exemplo 3.2

Calcular a translação do apoio D do pórtico da figura, considerando apenas o efeito da flexão. Adotar IAB=ICD=0,5(10-3)m4; IBC= (10-3)m4; E=2,1(105) MPa.

Solução:

Uma vez que não se encontra nenhuma carga concentrada em D, aí aplicaremos uma carga P fictícia na direção da translação procurada. Observa-se que a translação horizontal é a única possível de ocorrer, devido à natureza do apoio.

Por outro lado, como ao longo da barra AB existe uma descontinuidade no momento fletor, devida à aplicação da carga concentrada horizontal, o intervalo de integração deverá ser parcelado em A1 e 1B. Este procedimento deverá ser adotado, sempre que ocorra, ao longo de uma barra, modificação da natureza das cargas atuantes.

A figura a seguir, indica as reações de apoio, e o início de cada intervalo de integração. Ao contrário do capítulo anterior, neste caso é necessário utilizar a convenção de sinais para consideração dos momentos fletores, uma vez que os termos aqui não estão elevados ao quadrado. Será adotado como positivo, todo momento fletor marcado na parte “interna” do pórtico.


41

Barra M P

M

∂∂

P

MM

∂∂

∫

A1 ( )

xPx

xP

+=

=+

100

100

x

2

22

100

100

x

xPx

==+

∫3

0

1B

( ) ( )

300

300100100

3100100

+=

=+−+=

=−−+

xP

xxPx

xxP

x x

xxP

300

3002

==+

∫6

3

BC

( ) ( )

3005,376

5,373006600

5,3731006100

+−=

=−−+=

=−−+

xP

xP

xP

6 x

xP

2251800

180022536

−=+−

∫8

0

CD xP x 0

2

==xP

∫6

0

Sabendo-se que, 0=P e aplicando-se o Teorema de Castigliano, tem-se que:

dx

P

M

EI

M

∂∂= ∫δ

( ) ∫∫∫∫ +−++=6

0

8

0

6

3

3

0

2 01

22518001

3001

1001

dxEI

dxxEI

xdxEI

dxxEI CDBCABAB

Dδ

PHPH

H

kNVVV

V

kNVV

M

AA

AAD

DD

A

+=∴=−−

==∴=−

==∴=×−×

=

∑

∑

∑

1000100

0

5,370

0

5,37031008

0

P


42

8

0

28

0

6

3

23

0

3

2

2251800150

3

100x

EIx

EIx

EIx

EI BCBCABABD −++=δ

( ) ( ) ( )

BCBCABABD

BCBCABABD EIEIEIEIEIEIEIEI

7200144004050900

2

6422581800936150

3

27100 −++=∴−+−+×= δδ

( ) ( ) ( )( ) 0343,00471,010101,2

7200

105,0101,2

49503838

+=+= −−Dδ

mD 0814,0=δ

( )→= cmD 15,8δ


43

4. Linha Elástica de Vigas Fletidas

4.1. INTRODUÇÃO

Conforme estudado nos capítulos 9 e 10 anteriores, concluímos que os elementos estruturais planos (tais como pórticos e vigas), se deformam. Estas deformações provocam deslocamentos nas infinitas seções que compõe as barras e, traduzindo-se para um modelo simplificado unifilar, pode-se se dizer que, determinados “pontos”, das barras sofrem translações (e/ou rotações), devidas às deformações estruturais, decorrentes da ação dos carregamentos.

A partir do Princípio da Conservação de Energia, generalizado pelo Teorema de Castigliano, aprendemos a quantificar numericamente os deslocamentos, dando-se ênfase às translações.

Neste capítulo, são apresentados mais dois processos destinados à determinação destes deslocamentos. O primeiro deles, por intermédio da Integração da Equação Diferencial da Linha Elástica, preconiza a formulação de uma função que descreva, de forma analítica, o comportamento deformável de vigas, dadas condições de contorno, inerentes aos tipos de vínculos da estrutura (apoios). O segundo, baseado na observação análoga de efeitos mecânicos, daí a denominação Analogia de Mohr, tem como fundamento o conceito de viga real e viga conjugada.

4.2. PROCESSO DA INTEGRAÇÃO DA EQUAÇÃO DIFERENCIAL DA LINHA ELÁSTICA

A equação da linha elástica de uma viga fletida, em sua forma diferencial é dada por:

( )EI

xM

dx

yd =2

2

Onde M(x), corresponde à função que descreve o comportamento analítico do momento fletor, no trecho no qual se deseja escrever a equação da linha elástica. A equação da linha elástica do referido trecho, será a função y=f(x), solução da equação diferencial apresentada anteriormente.

E corresponde ao módulo de elasticidade do material com o qual é constituída a viga, e I, o momento de inércia da seção transversal.


44

Para a determinação da função y=f(x) que traduz a estrutura deformada, ou seja, a função que defina o deslocamento vertical de uma dada seção (ou ponto) como função de sua posição ao longo do eixo horizontal (eixo dos x), basta que se integre sucessivamente a equação diferencial de segunda ordem apresentada anteriormente. Haverá que se efetuar, portanto, duas integrações:

1ª Integração:

( )EI

xM

dx

dy

dx

d

dx

yd =

=2

2

( ) ( )dx

EI

xM

dx

dyd

EI

xM

dx

dy

dx

d =

∴=

( ) ( )11 Cdx

EI

xM

dx

dyCdx

EI

xM

dx

dyd +

=∴+

=

∫∫∫

2ª Integração:

( )

( )21

1

CdxCdxdxEI

xMydyy

dxCdxdxEI

xMdy

++

=∴=

+

=

∫ ∫ ∫∫

∫

C1 e C2, são constantes de integração (uma vez que se trata de integração indefinida), que são determinadas através das condições de contorno da viga, descritas pelos tipos de apoio da mesma.

4.3. CONDIÇÕES DE CONTORNO DEVIDAS AOS APOIOS

Descrição Representação Condições de Contorno

Extremidade Apoiada

( )verticaltranslaçãoy 0=

Extremidade Engastada

( )( )rotação

dx

dy

verticaltranslaçãoy

0

0

=

=

Continuidade de barra

dir

S

esq

S

dirS

esqS

dx

dy

dx

dy

yy

=

=

esq dir

S


45

Exemplo 4.1

Determinar a equação da linha elástica da viga em balanço da figura. Em seguida, utilizando a expressão determinada, calcule a flecha máxima na extremidade em balanço, comparando o resultado com o obtido pela tabela de cálculo de deslocamentos nas vigas fundamentais apresentada no capítulo 10.

Solução:

( ) ( ) mmmEI

PL4004,0

1025,2100,23

0,320

3 48

33

=∴=∴××××

×== − δδδ

xxM 20)( −=

( ) ( ) ( )xdx

ydEI

EI

x

dx

yd

EI

xM

dx

yd20

202

2

2

2

2

2

−=∴−=∴=

1ª Integração: ( ) ( ) 121020 Cx

dx

dyEIdxx

dx

dyEI +−=∴−= ∫ Eq.01

2ª Integração: ( )[ ] 21

3

12

3

1010 CxC

xEIydxCxEIy ++

−=∴+−= ∫ Eq.02

Condições de contorno:

Eq.01 (a rotação é nula no engaste)

( ) ( ) 900,31000,30 112 =∴+×−=×⇒== CCEIx

dx

dy

Eq.02 (a translação vertical é nula no engaste)

( ) 1800,3903

0,31000,30 22

3

−=∴+×+

×−=×⇒== CCEIxy

A equação da linha elástica será: EIEI

x

EI

xyx

xEIy

18090

3

10189

3

33

−+

−=∴−+

−=

Cálculo do deslocamento vertical da extremidade em balanço, utilizando-se a equação da linha elástica:

( )( ) ( )↓=∴=∴

××−=

−=∴−×+

×−==

− mmm

EIEIEIEIy

4004,01025,2100,2

180

180180090

3

010

48

3

δδδ

δδ

y

x

Dados:

E = 2,0 x 108 kN/m2

I=2,25 x 10-4m4

P=20kN

L=3,0m

y


46

Sugestão: Utilizando o processo da integração diferencial, escrever a equação da linha elástica, para os demais casos apresentados na tabela de deslocamentos de vigas fundamentais apresentados no capítulo 10.

Exemplo 4.2

Determinar a equação da linha elástica da viga da figura e, em seguida, determinar o deslocamento vertical nas seções S1, S2 e C, a partir da equação determinada. E=2,0x107kN/m2.

Solução:

23

7 1280012

40,012,0100,2 kNmEI =

×××=

Trecho AB:

( ) xxM 4−=

( ) ( ) ( )xdx

ydEI

EI

x

dx

yd

EI

xM

dx

yd4

42

2

2

2

2

2

−=∴−=∴=

( ) 122 Cx

dx

dyEI +−=

Eq.01

213

3

2CxCxEIy ++

−= Eq.02


Eq.02 (a translação vertical é nula no apoio A)

( ) 0003

2000 221

3 =∴+×+

×−=×⇒== CCCEIxy

Eq.02 (a translação vertical é nula no apoio B)

( ) 240663

2060 11

3 =∴+×+

×−=×⇒== CCEIxy

y

x


47

A equação da linha elástica no trecho AB, será:

xxEIy 243

2 3 +

−=

EI

x

EI

xyAB

24

3

2 3

+

−=

Trecho BC:

( ) 24−=xM

( ) ( ) ( )2424

2

2

2

2

2

2

−=∴−=∴=dx

ydEI

EIdx

yd

EI

xM

dx

yd

( ) 324 Cxdx

dyEI +−=

Eq.03

( ) 43212 CxCxEIy ++−= Eq.04


Eq.03 (O valor da rotação na seção B é o mesmo, tanto pela esquerda, quanto pela direita )

( )0,6=

=

x

dx

dy

dx

dydiresq

O lado esquerdo da seção B, corresponde ao trecho AB, portanto, a rotação é dada pela Eq.01:

( ) ( ) 2422 21

2 +−=

∴+−=

x

dx

dyEICx

dx

dyEI

( ) ( ) 960,620,624242242424242 32

32

332 =∴×−×+=∴−+=∴+−=+− CCxxCCxx

Eq.04 (a translação vertical é nula no apoio B)

( ) ( ) 1440,6960,612060 442 −=∴+×+×−=×⇒== CCEIxy

A equação da linha elástica no trecho BC, será:

( ) 1449612 2 −+−= xxEIy

( )EI

xxyBC

1449612 2 −+−=

Cálculo dos deslocamentos das seções:

( )↑==×+

××−== mmmyS

x 33,300333,012800

0,224

128003

0,22 31

0,2

( )↑==×+

××−== mmmyS

x 17,400417,012800

0,424

128003

0,42 32

0,4

( ) ( )↓−=−=−×+×−== mmmyCx 25,1101125,0

12800

1440,8960,812 2

0,8


48

Linha Elástica:

4.4. CÁLCULO DE DESLOCAMENTOS EM VIGAS ATRAVÉS DA ANALOGIA DE MOHR

Conforme sugerido pelo título, consiste em um processo de analogia (comparação), entre a condição de carregamento de uma viga e a variação do momento fletor produzido ao longo do vão da viga.

Sugere-se que a linha elástica de uma viga, seja o diagrama de momentos fletores da sua viga conjugada, quando solicitada por um carregamento que tenha as características de seu diagrama de momentos fletores original, dividido por sua rigidez.

( )xM Variação do momento fletor (M) em uma viga;

( ) ( )dx

xdMxV = Variação do esforço cortante (V) em uma viga;

( ) ( ) ( )2

2

dx

xMd

dx

xdVxq == Carregamento que ocasiona M e V.

Comparando-se:

( )2

2

dx

yd

EI

xM = (equação diferencial da linha elástica) com ( ) ( )2

2

dx

xMdxq = (que descreve o

carregamento em uma viga em função da distribuição de momentos fletores), conclui-se que:

q(x) (carregamento) é análogo à ( )

EI

xM, assim como d2M(x) (derivada segunda do momento

fletor) é análogo a d2y (derivada segunda do deslocamento). Ou seja, ao carregarmos uma viga,

denominada viga conjugada, com ( )

EI

xM, que representa o diagrama de momentos fletores na sua

configuração original, os valores dos momentos fletores seccionais obtidos, equivalerão aos deslocamentos seccionais desta viga, em sua configuração original.

3,33mm 4,17mm

11,25mm

EI

x

EI

xyAB

24

3

2 3

+

−=

( )EI

xxyBC

1449612 2 −+−=

A B

C


49

Resumo:

Objetivo: Determinação de translações verticais (ou deslocamentos verticais) de determinadas seções de vigas, a partir do processo da Analogia de Mohr.

� Viga Real – Traçar o diagrama de momentos fletores (DMF), considerando sua forma, como o tipo de carregamento que atuará na viga conjugada;

� Viga Conjugada – Definição da Viga Conjugada em função de suas condições de apoio ou extremidade;

� Viga Conjugada – Aplicar o DMF da Viga Real (incluindo seu sinal), como carregamento, dividindo os valores pela rigidez flexional (EI) da viga;

� Para determinar o valor da translação vertical de uma determinada seção transversal da Viga Real, basta que se calcule o valor do momento fletor nesta mesma seção na Viga Conjugada, e se estará obtendo a translação procurada na Viga Real;

� O “espelho” do diagrama de momentos fletores da Viga Conjugada representa a linha elástica da Viga Real.

Viga Real Viga Conjugada

apoio extremo apoio extremo

extremidade em balanço engaste

engaste extremidade em balanço

rótula apoio interno

apoio interno rótula

Exemplo:

Viga Real

Viga Conjugada


50

Exemplo 4.3

Calcular a translação vertical da extremidade em balanço do Exemplo 11.1, utilizando-se o Processo da Analogia de Mohr.

Dados:

E = 2,0 x 108 kN/m2

I=2,25 x 10-4m4

−=∴×

−=

EIR

EIR

90

2

0,360

−=∴×=EI

MRM AA

1800,2

( )( )

××−= −48 1025,2100,2

180AM

( )↓=−= mmmM A 4004,0


51

Exemplo 4.4

Determinar o deslocamento vertical nas seções S1, S2 e C, do exemplo 11.2, utilizando-se a Analogia de Mohr. E=2,0x107kN/m2.

−=EI

q24

Determinação das reações de apoio na Viga Conjugada:

−=∴×

−=

EIR

EIR

72

2

0,624

11

−=∴×

−=EI

REI

R48

0,224

22

( )rótulaM esqB 0=∑

−=∴=∴=×−×EI

VR

VRV AAA

24

300,20,6 1

1

∑ = 0V

−=∴=−−+EI

VRRVV CCA

96021

0=∑ CM

00,10,40,8 21 =×−×−×+ RRVM AC

AC VRRM 84 21 −+=

( )↓=−=∴

−=∴

−= mmmMMEI

M CCC 25,1101125,012800

144144


52

Determinação dos momentos nas seções S1 e S2 da Viga Conjugada (equivalentes aos deslocamentos nas respectivas seções da Viga Real), pelo lado esquerdo:

−=×

−=

EI

EIR

8

2

0,23

24

'1

−=∴

××

−−

−=∴

××−×=EI

MEIEI

MRVM esqS

esqSA

esqS

67,420,2

3

182420,2

3

10,2 11

'11

( )↓=−=∴

−= mmmMEI

M esqS

esqS 333,3003333,0

67,4211 (espelho)

−=×

×−=

EI

EIR

32

2

0,43

242

"1

−=∴

××

−−

−=∴

××−×=EI

MEIEI

MRVM esqS

esqSA

esqS

33,530,4

3

1322440,4

3

10,4 11

"12

( )↓=−=∴

−= mmmMEI

M esqS

esqS 167,4004167,0

33,5311 (espelho)

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Apostila - Resist en CIA Dos Materiais - Parte II