Apostila_algebra

Disciplina : Álgebra Linear - T3002A - Prof. Dr. Antonio Carlos da Cunha Migliano 1

Álgebra Linear 1. MATRIZES 1.1 Introdução

- Ordenam e simplificam - Fornecem novos métodos de resolução

Matriz é uma tabela de elementos dispostos em linhas e colunas. Exemplo: quando obtemos os dados referentes a altura, peso e idade de um grupo de quatro pessoas, podemos dispô-los na tabela:

Altura(m)

Massa(kg) Idade(anos)

Pessoa 1

a11 a12 a13

Pessoa 2

a21 a22 a23

Pessoa 3

a31 a32 a33

Pessoa 4

a41 a42 a43

Ao abstraírmos os significados das linhas e colunas, temos a matriz:

[ ]


Outros exemplos: 2 1 44 7 02 1 2

x

x

−

/ [ ]4 2 1 [ ]3x

Os elementos de uma matriz podem ser números(reais ou complexos)., funções, ou ainda outras matrizes. Representamos uma matriz de m linhas por n colunas por:

Amxn =

a a aa a a

a a a

n

n

m m mn

11 12 1

21 22 2

1 2

...

...

...! ! ! !

= [aij]mxn

Pode-se usar colchetes, parênteses ou duas barras:

1 35 8

ou

x y v

y2 5 7

5 0

NOTA! Para localizar um elemento de uma matriz, descreve-se a linha e a coluna (nesta ordem) em que ele está. Definição: Duas matrizes Amxn= [aij]mxn e Brxs = [bij]rxs são iguais A = B, se elas têm o mesmo número de linhas e colunas, isto é, m = r e n = s, e todos os seus elementos correspondentes são iguais : aij = bij . Exercícios:


1. Fornecer dois exemplos de matrizes iguais 2. Apresente uma matriz de dimensão 3x3 e identifique os seguintes elementos: a11, a22, a33, a21, a12 3. Faça uma tabela com dados de quatro colegas da sala (exemplos: dia de nascimento, mês, ano, tamanho do calçado). Represente esta tabela na forma de uma matriz. 1.2 Tipos de Matrizes Consideremos uma matriz com m linhas e n colunas que denotamos por Amxn: MATRIZ QUADRADA é aquela cujo número de linhas é igual ao número de colunas (m = n) Exemplos: NOTA! No caso de matrizes quadradas Amxn, costuma-se dizer que A é uma matriz de ordem m. MATRIZ NULA é aquela em que aij = 0, para todo i e j. Exemplos: MATRIZ-COLUNA é aquela que possui uma única coluna (n=1). Exemplos: MATRIZ-LINHA é aquela onde m = 1.


Exemplos: MATRIZ DIAGONAL é uma matriz quadrada (m = n) onde aij = 0, para i ≠≠≠≠ j, isto é, os elementos que não estão na diagonal são nulos. Exemplos: MATRIZ IDENTIDADE QUADRADA é aquela em que aii = 1 e aij = 0, para i ≠≠≠≠ j. Exemplos: MATRIZ TRIANGULAR SUPERIOR é a matriz quadrada onde todos os elementos abaixo da diagonal são nulos, isto é, m = n e aij = 0, para i > j . Exemplos: MATRIZ TRIANGULAR INFERIOR é a matriz quadrada onde todos os elementos acima da diagonal são nulos, isto é, m = n e aij = 0, para i < j .


Exemplos: MATRIZ SIMÉTRICA é aquela onde m = n e aij = aji. Exemplos: EXERCÍCIOS: Identificar o tipo de matriz: a) ( )0 b) 0 0 0

c)1 00 2

d)

1 0 0 02 2 0 02 2 3 02 2 2 4

e)1 00 1


1.3 Operações com Matrizes Naturalmente, temos a necessidade de efetuarmos certas operações com matrizes. Por exemplo, consideremos as tabelas, que descrevem a produção de grãos em dois anos consecutivos.

Produção de grãos(em milhares de toneladas) durante o primeiro ano soja feijão arroz milho

Região A 3000 200 400 600 Região B 700 350 700 100 Região C 1000 100 500 800

Produção de grãos(em milhares de toneladas) durante o segundo ano soja feijão arroz milho


Se quisermos montar uma tabela com a produção por produto e por região nos dois anos em conjunto, teremos que somar os elementos correspondentes das duas tabelas anteriores: 3000 200 400 600700 350 700 100

1000 100 500 800

5000 50 200 02000 100 300 300200 100 600 600

8000 250 600 6002700 450 1000 4003000 200 1100 1400

+

=

ou seja

Produção de grãos(em milhares de toneladas) durante os dois anos soja feijão arroz milho



Agora, existe uma possibilidade da produção do terceiro ano ser o triplo do produzido no primeiro ano em função das condições climáticas e financeiras. Assim, a estimativa para o próximo ano será:

Acabamos de efetuar, neste exemplo, duas operações com matrizes: soma e multiplicação por um número, que são definidas formalmente, a seguir. ADIÇÃO A soma de duas matrizes de mesma ordem, Amxn = [aij] e Bmxn = [bij], é uma matriz m x n, que denotaremos A + B, cujos elementos são somas dos elementos correspondentes de A e B. Isto é,

A + B = [ aij + bij]mxn Exemplo:

142

105

02

1

450

−

+ −

=

.....

.....

.....

.....

.....

.....

Propriedades: Dadas as matrizes A, B e C de mesma ordem mxn, temos: i. A + B = B + A, comutativa ii. A + ( B + C ) = ( A + B ) + C, associativa iii. A + 0 = A, onde 0 denota a matriz nula mxn

33000 200 400 600700 350 700 100

1000 100 500 800

9000 600 1200 18002100 1050 1000 4003000 300 1500 2400

.

=


MULTIPLICAÇÃO POR ESCALAR Seja Amxn = [aij]mxn e k um número, então definimos uma nova matriz

k . A = [k.aij]mxn Propriedades: Dadas matrizes A e B de mesma ordem m x n e números k, k1 e k2, temos: i. k(A + B) = kA + kB ii. (k1 + k2) A = k1A + k2B iii. 0. A = 0mxn iv. k1(k2A) = (k1k2)A TRANSPOSIÇÃO Dada uma matriz Amxn = [aij]mxn, podemos obter uma outra matriz A'= A'mxn = [bij]mxn, cujas linhas são as colunas de A, isto é, bij = aji. A' é denominada transposta de A. Exemplo:

Propriedades: i. Uma matriz é simétrica se, e somente se, ela é igual à sua

transposta, isto é, A = A'. Exemplo:1 33 2

.

ii. A'' = A . Isto é , a transposta da transposta de uma matriz é ela mesma.

iii. (A + B)' = A'+ B'. Em palavras, a transposta de uma soma é igual à soma das transpostas.

iv. (k A)'= kA', onde k é um escalar qualquer.

A e A

xx

= −

=

02

1

450 3 2

2 3............... '

.... .... .......... ...... ......


MULTIPLICAÇÃO DE MATRIZES Suponhamos que a seguinte matriz forneça as quantidades das vitaminas A, B e C obtidas em cada unidade dos alimentos I e II. A B C

Alimento I

Alimento II

4 3 05 0 1

Se ingerirmos 5 unidades do alimento I e 2 unidades do alimento II, quanto consumiremos de cada tipo de vitamina? Podemos representar o consumo dos alimentos I e II (nesta ordem) pela matriz "consumo":

[ ]5 2

A operação que vai nos fornecer a quantidade ingerida de cada vitamina é o "produto":

[ ]5 2 . 4 3 05 0 1

=[ 5.4+2.5 5.3+2.0 5.0+2.1 ] = [30 15 2]

[ ]1x2 . [ ]2x3 = [ ]1x3

Isto é, serão ingeridas 30 unidades de vitamina A, 15 de B e 2 de C.


Outro problema que poderemos considerar em relação aos dados anteriores é o seguinte: Se o custo dos alimentos depender somente do seu conteúdo vitamínico e soubermos que os preços por unidade de vitamina A, B e C são respectivamente, R$1,5 , R$3 e R$5 por unidade, quanto pagaríamos pela porção de alimento indicada anteriormente?

[ ] [ ]30 15 21535

30 15 15 3 2 5 100.,

( , ) ( ) ( ) [ ]

= + + =

[ ] 1x3 . [ ] 3x1 = [ ]1x1

Ou seja, pagaríamos R$100 Sejam A = [aij]mxn e B = [brs]nxp. Definimos AB = [cuv]mxp onde

c a b a b a buv uk kv u kv un nv

k

n

= = + +

=∑ 1

1

...

Observações: i. Só podemos efetuar o produto de duas matrizes Amxn e Blxp se o

número de colunas da primeira for igual ao número de linhas da segunda, isto é, n = l. Além disso, a matriz-resultado C = AB será de ordem m x p.

ii. O elemento cij (i-ésima linha e j-ésima coluna da matriz produto) é obtido, multiplicando os elementos da i-ésima linha da primeira matriz pelos elementos correspondentes da j-ésima coluna da segunda matriz, e somando estes produtos.


Exemplos:

2 14 25 3

1 10 4

−

. =

1 10 4

2 14 25 3

−

=.

1 02 3

5 40 1

03

68

12

−

−

=.

Propriedades: i. Em geral AB≠≠≠≠BA ii. A I = IA = A iii. A (B+C)=AB+AC iv. (A+B)C=AC+BC v. (AB)C=A(BC) vi. (AB)'= B'A' vii. 0.A=0 e A.0 = 0


EXERCÍCIOS



2. SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES 2.1 Introdução A preocupação do homem foi sempre descrever a natureza para melhor entender os fenômenos físicos. Por exemplo, sabemos que o hidrogênio (H2) reage com o oxigênio (O2) para produzir a água ( H2O). Quanto de hidrogênio e oxigênio precisamos? Podemos descrever esta mudança do seguinte modo:

xH2 + yO2 →→→→ zH2O. Como os átomos não são modificados, o número de átomos de cada elemento no início e fim da reação deve ser igual ao número de átomos desse mesmo elemento, no fim da reação. Assim devemos ter para o hidrogênio 2x = 2z, e para o oxigênio, 2y = z. Portanto, as nossas incógnitas x, y e z devem satisfazer as equações:

2 2 02 0x zy z

− =− =

Para esse sistema de equações nós encontraremos muitas soluções distintas, e só teremos resolvido o sistema se expressarmos o conjunto de todas as soluções. Exemplo: S= { x=z, y=z/2, ∀∀∀∀ z ∈∈∈∈ R}. Desta forma, o nosso objetivo nessa aula é estudar um método para a resolução de sistemas lineares em geral.


Em primeiro lugar, precisamos aprender um método que possa substituir um sistema complexo de muitas incógnitas e constantes por um outro sistema simples e equivalente ao original. Veja esse exemplo:

( ) ........................ix x xx x xx x x

1 2 3

1 2 3

1 2 3

4 3 12 5 4 4

3 2 5

1 4 3 12 5 4 4

1 3 2 5

+ + =+ + =− − = − −

( ) ........................IIx x xx x xx x x

1 2 3

1 2 3

1 2 3

4 3 10 3 2 20 7 5 4

1 4 3 10 3 2 20 7 5 4

+ + =− − =− − =

− −− −

( ) / / ........................ / /IIIx x x

x x xx x x

1 2 3

1 2 3

1 2 3

4 3 10 2 3 2 3

0 7 5 4

1 4 3 10 1 2 3 2 3

0 7 5 4

+ + =+ + = −

− − =−

− −

( )/ // // /

......................../ // // /

IVx x xx x xx x x

1 2 3

1 2 3

1 2 3

0 1 3 11 30 2 3 2 30 0 1 3 2 3

1 0 1 3 11 30 1 2 3 2 3

0 0 1 3 2 3

+ + =+ + = −+ − = −

−− −

( )/ // / ........................

/ // /V

x x xx x x

x x x

1 2 3

1 2 3

1 2 3

0 1 3 11 30 2 3 2 3

0 0 2

1 0 1 3 11 30 1 2 3 2 3

0 0 1 2

+ + =+ + = −

+ + =−

( ) ........................VIx x xx x xx x x

1 2 3

1 2 3

1 2 3

0 0 30 0 20 0 2

1 0 0 30 1 0 20 0 1 2

+ + =+ + = −+ + =

−

ou ainda, xxx

1

2

3

32

2

== −=

Todas as equações ( I - VI) produzem sempre sistemas com o mesmo conjunto-solução.


2.2 Sistemas e Matrizes Um sistema de equações lineares com m equações e n incógnitas é um conjunto de equações do tipo:

a x a x a x ba x a x a x b

a x a x a x bm

n n

n n

m m mn n

11 1 12 2 1 1

21 1 22 2 2

1 1 2 2

2+ + + =+ + + =

+ + + =

......

...! ! ! !

com aij, 1≤≤≤≤ i ≥≥≥≥ m, 1≤≤≤≤ j ≥≥≥≥ n, números reais (ou complexos).

Uma solução do sistema acima é uma n-upla de números ( x1, x2, x3, ..., xn) que satisfaça simultaneamente estas m equações.

Dois sistemas de equações lineares são equivalentes se, e somente se toda solução de qualquer um dos sistemas também é solução do outro.

Podemos escrever o sistemas de equações numa forma matricial:

a a aa a a

a a a

xx

x

bb

b

n

n

m m mn n m

11 12 1

21 22 2

1 2

1

2

1

2

+ + ++ + +

+ + +

=

...

...

...

.! ! ! ! ! !

ou A . X = B onde

X

xx

xn

=

.

1

2!

e B

bb

bm

=

1

2!

A

a a aa a a

a a a

n

n

m m mn

=

+ + ++ + +

+ + +

11 12 1

21 22 2

1 2

...

...

...

.! ! ! !


Uma outra matriz que podemos associar ao sistema é:

a a a ba a a b

a a a b

n

n

m m mn m

11 12 1 1

21 22 2 2

1 2

......

...

.! ! ! !

que chamamos de matriz ampliada do sistema. Observe que no exemplo de simplificação de matriz trabalhamos com a matriz ampliada do sistema. 2.3 Operações Elementares São três as operações elementares sobre linhas de uma matriz. i) Permuta das i-ésima e j-ésima linhas: Li ↔↔↔↔ Lj; ii) Multiplicação da i-ésima linha por um escalar não nulo k Li ↔↔↔↔

Lj iii) Substituição da i-ésima linha pela i-ésima linha mais k vezes a

j-ésima linha: Li ↔↔↔↔ Li + kLj. Exemplos:

1 04 1

3 4

1 03 4

4 1−

−

→ −−

para L2 ↔↔↔↔ L3

1 04 1

3 4

1 012 33 4

−−

→ −−

para L2 ↔↔↔↔ 3 L2

1 04 1

3 4

1 04 1

1 4−

−

→ −−

para L3 ↔↔↔↔ L3 + 2L1


Se A e B são matrizes M x n, dizemos que B é linha equivalente a A, se B for obtida de A por meio de um número finito de operações elementares sobre as linhas de A.

Notação A →→→→ B ou A ∼∼∼∼ B Dois sistemas que possuem matrizes ampliadas equivalentes são equivalentes. Exercícios: Resolva o sistema de equações, escrevendo as matrizes ampliadas, associadas aos novos sistemas.

2 3 114 3 2 0

63 4

x y zx y zx y zx y z

− + =− + =+ + =+ + =


2.4 Forma Escada 2.4.1 Definição - Uma matriz m x n é linha reduzida à forma escada se : a) O primeiro elemento não nulo de uma linha não nula é 1.

Exemplos:

0 1 41 0 30 0 1

0 1 0 01 3 4 10 0 0 10 0 1 3

1 1 41 5 31 2 2

b) Cada coluna que contém o primeiro elemento não nulo de alguma

linha tem todos os seus outros elementos iguais a zero. Exemplos:

0 1 01 0 00 0 1

0 1 0 01 0 0 00 0 0 10 0 1 0

c) Toda linha nula ocorre abaixo de todas as linhas não nulas (isto é,

daquelas que possuem pelo menos um elemento não nulo). Exemplo:

0 1 0 01 0 0 00 0 0 10 0 0 0

d) Se as linhas 1,...., r são as linhas não nulas, e se o primeiro

elemento não nulo da linha i ocorre na coluna ki , então k1<k2<..<ki< ki+1<...<kr.

Esta última condição impõe a forma escada à matriz:


Isto significa que o número de zeros precedendo o primeiro elemento não nulo de uma linha aumenta a cada linha, até que sobrem somente linhas nulas, se houver. Exercícios: Defina se é forma escada ou não as seguintes matrizes:

a)1 0 0 00 1 1 00 0 1 0

−

segunda não é satisfeita

b)0 2 11 0 30 0 0

−

primeira e quarta não são satisfeitas

c)0 1 3 0 10 0 0 0 00 0 0 1 2

−

−

primeira e terceira não são satisfeitas

d) 0 1 3 0 20 0 0 1 20 0 0 0 0

−

É forma escada

2.4.2 Teorema - Toda matriz Amxn é linha equivalente a uma única matriz-linha reduzida à forma escada. 2.4.3 Definição - Dada a matriz Amxn, seja Bmxn a matriz-linha reduzida à forma escada linha equivalente a A. O posto de A, denotado por p, é o número de linhas não nulas de B. A nulidade de A é o número n-p. NOTA : Dada uma matriz A qualquer, para achar seu posto é necessário encontrar primeiro sua matriz-linha reduzida à forma escada, e depois contar suas linhas não nulas. O número encontrado é


o posto de A. A nulidade é a diferença entre o número de colunas de A e o posto. Exercícios: 1. Encontre o posto e a nulidade de A, onde

Ao

= −−

1 2 11 0 3 5

1 2 1 1

L2 = L2 + L1 e L3 = L3 - L1 1 2 1 00 2 4 5

0 4 0 1−

→

L2 = L2/2 1 2 1 0

0 1 2 5 20 4 0 1

/−

→

L1 = L1 - 2 x L2 e L3 = L3 +4 x L2 1 0 3 50 1 2 5 20 0 8 11

− −

→/

L3 = L3/8 1 0 3 50 1 2 5 20 0 1 11 8

− −

→//

L1 = L1 + 3 x L3 e L2 = L2 - 2 x L3 1 0 0 7 80 1 0 1 40 0 1 11 8

−−

///

O posto de A é 3 e a nulidade é 4-3 = 11. Esta é a matriz ampliada de um sistema.


2. Encontre o posto e a nulidade de A, onde

A =

−

−

2 1 31 4 2

1 5 14 16 8

Resposta: posto é 2, nulidade é 1. A matriz-linha reduzida à forma

escada é

1 0 14 90 1 1 90 0 00 0 0

//

.

2.5 Soluções de um Sistema de Equações Lineares Consideremos um sistema de m equações lineares com n incógnitas

a x a x a x ba x a x a x b

a x a x a x bm

n n

n n

m m mn n

11 1 12 2 1 1

21 1 22 2 2

1 1 2 2

2+ + + =+ + + =

+ + + =

......

...! ! ! !

cujos coeficientes aij e termos constantes bi são números reais (ou complexos). Este sistema pode ter: i) uma única solução:


X

xx

xn

=

.

1

2!

Neste caso, o sistema é denominado possível (compatível) e determinado. ii) infinitas soluções Neste caso, o sistema é denominado possível e indeterminado. iii) nenhuma solução. Neste caso, o sistema é denominado impossível ( incompatível). 2.5.1 Teoremas i) Um sistema de m equações e n incógnitas admite solução se, e

somente se o posto da matriz ampliada é igual ao posto da matriz dos coeficientes.

ii) Se as duas matrizes têm o mesmo posto p e p = n, a solução será única.

iii) Se as duas matrizes têm o mesmo posto p e p < n, podemos escolher n - p incógnitas, e as outras p incógnitas serão dadas em função destas. O grau de liberdade do sistema é dito ser n - p.


2.6 Exercícios 1. Resolva o sistema de equações, escrevendo as matrizes ampliadas,

associadas aos novos sistemas.

2 3 114 3 2 0

63 4

x y zx y z

x y zx y z

− + =− + =+ + =+ + =

2. Descreva todas as possíveis matrizes 2 x 2, que estão na forma

escada reduzida por linhas. 3. Reduza as matrizes à forma escada reduzida por linhas.

a)1 2 3 12 1 2 33 1 2 3

− −− ++

b) 0 1 3 2

2 1 4 32 3 2 1

−− +

−

c)

0 2 21 1 3

3 4 22 3 1

−−

4. Calcule o posto e a nulidade das matrizes da questão anterior.


3. DETERMINANTE E MATRIZ INVERSA

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