Apostila_Algebra_Matlab.pdf

MATLAB

Guia de utilização ��

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MATLAB – Programa de Engenharia de Processos/NDTR/UNIT pág. 2

CONTEÚDO Prefácio _____________________________________________________________ 3 1. Conceitos Básicos de Matrizes e Vetores ________________________________ 4 1.1. Operações entre matrizes_____________________________________________ 5 1.2. Algumas propriedades fundamentais das matrizes _________________________ 6 1.3. Algumas propriedades fundamentais de operações entre matrizes _____________ 9 1.4. Valores característicos e vetores característicos de matrizes quadradas _________ 9 2. Introdução ao Matlab_______________________________________________ 11 2.1. Utilizando strings__________________________________________________ 12 3. Utilizando funções matemáticas elementares____________________________ 13 4. Trabalhando com vetores e matrizes __________________________________ 13 4.1. Construindo vetores________________________________________________ 14 4.3. Construindo matrizes_______________________________________________ 16 4.4. Manipulando vetores e matrizes ______________________________________ 16 4.5. Comparando vetores e matrizes_______________________________________ 18 4.6. Realizando operações matriciais ______________________________________ 19 4.7. Utilizando matrizes especiais ________________________________________ 19 4.8. Ordenando matrizes________________________________________________ 20 4.9. Utilizando matrizes multidimensionais _________________________________ 20 4.10. Utilizando listas __________________________________________________ 21 4.11. Utilizando estruturas ______________________________________________ 22 4.12. Utilizando matrizes esparsas ________________________________________ 22 5. Analisando dados __________________________________________________ 23 6. Trabalhando com polinômios ________________________________________ 24 7. Confeccionando gráficos ____________________________________________ 25 7.1. Gráficos bidimensionais ____________________________________________ 25 7.2. Gráficos tridimensionais ____________________________________________ 28 8. Trabalhando com tempo ____________________________________________ 30 9. Obtendo modelos empíricos__________________________________________ 31 9.1. Regressão linear___________________________________________________ 31 10. Iniciando um programa ____________________________________________ 32 11. Utilizando comandos de fluxo e operadores lógicos _____________________ 33 11.1. Utilizando a função for ___________________________________________ 33 11.2. Utilizando a função while_________________________________________ 34 11.3. Utilizando a função if-else-end _________________________________ 35 12. Resolvendo um sistema de equações algébricas_________________________ 36 13. Resolvendo um sistema de equações diferenciais _______________________ 37 14. Como saber mais sobre o MATLAB?_________________________________ 38 15. Exercícios resolvidos ______________________________________________ 39 Exercícios___________________________________________________________ 42


Prefácio

O objetivo deste guia é apresentar ao usuário iniciante do MATLAB noções básicas de

utilização deste aplicativo. Inicialmente, é realizada uma rápida revisão dos conceitos de

Álgebra Matricial. Em seguida, é feita uma breve descrição do software, onde são

apresentadas as principais características e potencialidades do aplicativo.

Posteriormente, separados em itens, são descritos alguns comandos importantes para a

utilização do MATLAB. Noções de programação em MATLAB também são

apresentadas neste guia, bem como os comandos empregados na resolução de

sistemas de equações não lineares e de equações diferenciais ordinárias. Sugestões

para consultas futuras e alguns exercícios de fixação são apresentados ao final do texto.

MATLAB (MATrix LABoratory) é um “software” interativo de alta performance voltado

para o cálculo numérico e científico.. O MATLAB integra análise numérica, cálculo com

matrizes, processamento de sinais e construção de gráficos em ambiente fácil de usar

onde problemas e soluções podem ser expressos como eles são escritos na matemática

ou na forma de uma linguagem de programação. No MATLAB o elemento básico de

informação é uma matriz que não requer dimensionamento, dispensando tarefas como

declaração de variáveis, alocação de memória, utilização de ponteiros, permitindo a

resolução de muitos problemas numéricos em apenas uma fração do tempo que se

gastaria para escrever um programa semelhante em linguagem Fortran, Basic ou C. A

potencialidade do software está muito além do que será mostrado neste guia. Trata-se

de um ambiente de alto nível que possui ferramentas avançadas de análise e

visualização de dados. Mais do que um aplicativo, o MATLAB também possui

características de linguagem de programação.

As funções matemáticas já existentes no MATLAB são otimizadas, programadas em

linguagem MATLAB e estão agrupadas de acordo com a área de interesse em

toolboxes. Assim, o usuário tem acesso aos arquivos das funções matemáticas o que

possibilita a realização de alterações nas rotinas já existentes. Todavia, vale ressaltar

que estas alterações são desaconselháveis e só devem ser realizadas como última

alternativa.

Aracaju, 10 de Fevereiro de 2005

Alexandre F. Santos

Montserrat Fortuny


1. Conceitos Básicos de Matrizes e Vetores

Os cálculos/operações assim como conceitos envolvendo matrizes e vetores constituem

a base dos métodos numéricos que tratam da solução de sistemas lineares e não

lineares de equações algébricas ou diferenciais. A representação destes sistemas em

termos matriciais/vetoriais é extremamente mais compacta e é corrente na literatura

técnica. Como visa-se neste capítulo apresentar os conceitos básicos deste assunto

especialmente relacionados com aplicações em Engenharia de Processos, os

elementos de matrizes e vetores serão em princípio números ou variáveis reais a não

ser quando explicitamente especificados como complexos.

Uma matriz é um arranjo retangular de números em m linhas e n colunas, mxn, sendo

representada como A (letras maiúsculas em negrito) pertencente a �mxn, isto é:

A ∈ �mxn. O elemento da linha i e coluna j de A é representado por aij (correspondente

letra minúscula com o sub-índice ij ) ou (A)ij . A matriz completa é geralmente escrita na

forma: A=

��

�

�

��

�

�

mnm2m1

2n2221

1n1211

aaa

aaaaaa

�

��

�

�

, ou em forma mais compacta por A= (aij ), com

i=1,...,m e j =1,...,n.

Se duas matrizes A e B apresentam o mesmo número de linhas e o mesmo número de

colunas são ditas do mesmo tipo.

Se A= (aij ) é tal que aij = 0 para todo i e j então a matriz A é dita nula e é representada

por 0.

Se n=m a matriz A é dita quadrada.

Se n=m e aij = aji para i,j =1,...,n a matriz quadrada A é dita simétrica.

Exemplo: M=

��

�

�

��

�

�

402053

231

note que a matriz simétrica M tem sua própria imagem refletida através da diagonal

principal.


Se n=1 tem-se um vetor coluna ou simplesmente vetor designado por v (letra minúscula

em negrito) e representado por: v=

��

�

�

��

�

�

m

2

1

v

vv

� ∈ �m.

Se m=1 tem-se um vetor linha designado por vT (letra minúscula em negrito com o

sobre-índice T de transposto) e representada por: vT = (v1 v2 v3 ... vn) ∈ �1xn.

Se m=n=1 tem-se um escalar (real) � (letra minúscula grega), ou seja: � ∈�.

A matriz A ∈ �mxn pode ser parcionada por:

a) colunas na forma:

A = ( )n21 aaa � onde aj =

��

�

�

��

�

�

mj

2j

1j

a

aa

�∈ �m para j=1,...,n são os n vetores colunas da

matriz A;

b) linhas na forma:

A=

��

�

�

��

�

�

Tm

T2

T1

a

aa

� onde T

ia = ( )ini2i1 aaa � ∈ �1xn, para i=1,...,m são os m vetores linhas

da matriz A.

1.1. Operações entre matrizes

As operações de adição ou subtração são definidas apenas para matrizes do mesmo

tipo, assim se A e B são matrizes (m x n ) então a matriz C , também (m x n ), soma ou

subtração de A com B, representada por C = A ± B, tem como termo geral :

cij = aij ± bij para i = 1, ... ,m e j = 1, ... ,n .

Se � é um escalar qualquer, a matriz �A é uma matriz cujo termo geral é �aij.

A operação de multiplicação de matrizes A⋅⋅⋅⋅B�só é definida se o número de colunas de A

(primeira parcela do produto) for igual ao número de linhas de B (segunda parcela do

produto). Assim, temos:

C=A⋅⋅⋅⋅B, onde A é (m,n) , B é (n,p) e C é (m,p) que apresenta como termo geral:


�=

⋅=n

1jjkijik bac , para i=1, ..., m e k=1,...,p.

É importante ressaltar que a lei de comutatividade não é satisfeita pelo produto entre

matrizes, ou seja, em qualquer caso temos a seguinte regra geral: A⋅⋅⋅⋅B � B⋅⋅⋅⋅A.

A operação de transposição de uma matriz A (m,n) consiste em trocar as linhas pelas

colunas de A; esta nova matriz é chamada de matriz transposta de A, representada por

AT, e é uma matriz (n,m) cujo termo da linha j e coluna i é a ijTij aa = , para j=1,...,n e

i=1,...,m. Se a matriz A é simétrica, então: A = AT.

1.2. Algumas propriedades fundamentais das matrizes

As propriedades que serão descritas a seguir aplicam-se exclusivamente a matrizes

quadradas (n,n) e a vetores coluna (n,1) e a vetores linha (1,n).

Define-se como matriz unitária ou matriz identidade a matriz I cujo elemento geral é:

( )�

≠=

=δ=jiquesempre0

jiseapenas1ijijI , onde δij é chamado de delta de Kronecker, deste

modo a matriz identidade é uma matriz diagonal cujos termos da diagonal são todos

unitários, assim: I=

��

�

�

��

�

�

100

010001

�

��

�

�

, entendendo-se como matriz diagonal uma matriz

quadrada em que apenas os elementos da diagonal (também chamada de diagonal

principal) são não nulos. Uma matriz diagonal é um caso particular de matrizes dita

esparsas, que são matrizes que apresentam um grande número de elementos nulos,

sendo os elementos não nulos mais a exceção do que a regra.

Geralmente, uma matriz diagonal D=

��

�

�

��

�

�

n

2

1

d00

0d000d

�

��

�

�

, é representada na forma mais

compacta: D= diag ( )n21 ddd � .

Note que toda matriz diagonal é simétrica.

Uma propriedade muito importante da matriz identidade é: I⋅⋅⋅⋅A = A⋅⋅⋅⋅I = A, isto é, a matriz

identidade pré-multiplicada ou pós-multiplicada por qualquer matriz quadrada de mesma

dimensão não altera o valor de elemento algum desta matriz.


As matrizes triangulares são matrizes que apresentam todos os elementos sob (ou

sobre) a diagonal nulos, podendo assumir as seguintes classificações:

matriz triangular superior ou matriz U , com Uij =0 se i>j

matriz triangular inferior ou matriz L , com Lij =0 se j>i

Exemplo: U=

��

�

�

��

�

�

−−200330

312

Exemplo: L=

��

�

�

��

�

�

−217039

005

Matriz U é triangular superior Matriz L é triangular inferior

O traço de uma matriz quadrada A é a soma dos elementos de sua diagonal, isto é:

�=

=n

1iiia)(rt A

Uma matriz quadrada A pode receber as seguintes classificações quando inserida em

uma forma quadrática como se segue: f(x) = xT��A��

1- Positiva definida se xT��A�� > 0 para todo vetor x �0 (isto é, não nulo).

2- Positiva semidefinida se xT��A�� 0 para todo vetor x.

3- Negativa definida se xT��A�� < 0 para todo vetor x �0.

4- Negativa semidefinida se xT��A�� 0 para todo vetor x.

5- Indefinida se xT��A�� assume tanto valores positivos quanto negativos.

O determinante de uma matriz A é um escalar obtido através da soma de todos os

produtos possíveis envolvendo um elemento de cada linha e cada coluna da matriz, com

o sinal positivo ou negativo conforme o número de permutações dos índices seja par ou

ímpar. Sua obtenção e sua representação, apesar de ser um dos conceitos mais

preliminares envolvendo matrizes, não são tarefas triviais e o conceito de determinante

será utilizado nestas notas apenas como base de outras propriedades de matrizes

quadradas. Assim, o determinante de A designado por det(A) pode ser representado

por: n21 in,i2,i1, aaa)det( ⋅⋅⋅⋅⋅⋅±=�A ou então através do conceito de cofator do

elemento ij da matriz A (representado por Aij) que é o determinante da matriz obtida

cancelando a linha i e a coluna j da matriz A com o sinal mais ou menos conforme i+j

seja par ou ímpar, assim:


)det()1(A ijji

ij Λ⋅−= +

onde Λij representa a matriz quadrada (n-1, n-1) obtida pela eliminação da linha i e a

coluna j de A. Tem-se então:

�=

⋅=n

1jijij Aa)det(A

Na prática, entretanto é praticamente impossível calcular o determinante de matrizes

através destas regras gerais por envolver um número muito grande de termos (na

realidade n!, assim mesmo com matrizes relativamente pequenas como com n=10 tem-

se 3 milhões de termos). Felizmente, para os nossos propósitos, apenas as regras a

seguir serão suficientes:

1- O determinante de uma matriz A mantém-se inalterado se somarem-se a todos os

elementos de qualquer linha (ou coluna) os correspondentes elementos de uma outra

linha (ou coluna) multiplicados pela mesma constante �;

2- se aij é o único elemento não nulo da linha i ou da coluna j então: ijij Aa)det( ⋅=A

3- A= ��

��

�

dcba

então: cbdadcba

)det( ⋅−⋅=��

��

�=A

Da regra (1)verifica-se que se det(A) = 0, então A apresenta duas linhas (ou colunas)

proporcionais entre si. De uma forma mais geral, pode-se afirmar que uma linha (ou

coluna) de A pode ser escrita como combinação linear de alguma(s) linha(s) (ou

colunas) da mesma matriz. Da regra (2) demonstra-se que se A for uma matriz

triangular então det(A) é simplesmente o produto dos elementos de sua diagonal.

Se det(A) = 0 diz-se que a matriz A é singular, e caso det(A) � 0, então A é dita regular.

Se C=A⋅⋅⋅⋅B, então det(C)= det(A)⋅⋅⋅⋅det(B).

Se B = AT então det(B)= det(A), isto é det (AT) = det (A).

A matriz adjunta de uma matriz A corresponde à transposta da matriz obtida

substituindo cada elemento da matriz A pelo seu correspondente cofator, isto é, se Ã é a

matriz adjunta de A então o elemento da linha i e coluna j de Ã é Aji. A propriedade mais

importante da matriz adjunta diz respeito ao produto:

A⋅⋅⋅⋅Ã=Ã⋅⋅⋅⋅A = det(A)⋅⋅⋅⋅I.

Se det(A)�0 (A é regular) define-se a inversa de A como:

AA

A~

)det(11 ⋅=− que tem como propriedade:

A⋅⋅⋅⋅A-1 = A-1⋅⋅⋅⋅A = I que existe apenas se det(A) � 0.


Note que )det(

1)det( 1

AA =−

Exemplo: Considere a seguinte matriz (2x2):

A= ��

��

�

dcba

, assim, seus cofatores são: �

=−=−==aA;bAcA;dA

2221

1211 , permitindo determinar a

matriz adjunta: Ã = ��

��

�

−−acbd

, note que:

A⋅⋅⋅⋅Ã=Ã⋅⋅⋅⋅A = ��

��

�⋅⋅−⋅

1001

)cbda( = det(A)⋅⋅⋅⋅I. � ��

��

�

−−

⋅⋅−⋅

=−

acbd

)cbda(11A , isto é,

para determinar a inversa de uma matriz (2x2) basta trocar os elementos da diagonal

principal, trocar o sinal dos elementos da diagonal secundária e dividir a matriz

resultante pelo determinante da matriz original.

Se A-1 = AT, isto é, a inversa da matriz é igual a sua transposta, então a matriz A é

chamada de matriz ortogonal e neste caso o det(A)=+1 ou -1.

1.3. Algumas propriedades fundamentais de operações entre matrizes

As leis de associação e de comutação são válidas para as operações de

adição/subtração, assim:

(A+B)+C = A+(B+C) e A+B = B+A.

São válidas também as leis de associação e de distribuição para a multiplicação, assim:

(AB)C = A(BC) ; A(B+C) = AB + AC e (A+B)C = AC + BC

Para a matriz transposta tem-se as seguintes propriedades:

(A+B)T = AT + BT e (AB)T = BT AT

e para a matriz inversa:

(AB)-1 = B-1 A-1 e (A-1)T= (AT)-1

1.4. Valores característicos e vetores característicos de matrizes quadradas

Dada uma matriz A pode-se determinar um escalar λ e um vetor v tal que a equação:

A��v = λ��v seja satisfeita, o escalar λ é chamado de valor característico ou autovalor da

matriz A e v é chamado de vetor característico ou auto vetor de A. A equação de

definição do valor e vetor característicos pode também ser escrita na forma:


(A −λ��I��v = 0, transformando-se assim em um sistema linear e homogêneo de

equações que apresenta solução apenas se a matriz (A −λ��I� for singular, isto é:

det (A −λ��I� =

��

�

�

��

�

�

λ−

λ−λ−

nnn2n1

2n2221

1n1211

aaa

aaaaaa

�

��

�

�

=p(λ)=0, que é o polinômio de grau n em

λ chamado de polinômio característico de A, cujas n raízes são os valores

característicos ou autovalores de A.

Verifica-se, pela expansão deste determinante, que o único termo de grau n e (n-1) em λ

é o correspondente ao produto da diagonal principal de A −λ��I, isto é :

(a11 λ)��(a22 λ)��(ann λ) sendo todos os demais termos de grau inferior a (n-1), além

disto como p(0)=det(A) o termo independente de λ em p(λ) é det(A), permirtindo assim

concluir que

p(λ) = ( λ)n +(a11 + a22 + . . . + ann) (-λ)n-1 +. . . +det(A)=0

Multiplicando-se membro a membro por (-1)n , tem-se:

p(λ) = λn (a11 + a22 + . . . + ann) λn-1 +. . . +(-1)n det(A)=0

(note que apesar de ter-se multiplicado membro a membro da expressão por (-1)n,

manteve-se a notação p(λ) para designar o polinômio característico, já que o mesmo

está igualado a zero sendo assim irrelevante seu sinal). Pela expressão de p(λ) deduz-

se que:

(a) λ1+λ2+. . . +λn = a11 + a22 + . . . + ann ou seja: �=

=λn

1ii )(tr A

(b) λ1��λ2 . . . λn = det(A) ou seja: )det(

n

1ii A=λ∏

=

(c) como p(λ) = det (A −λ��I�� se A for singular tem-se det(A)=0; desta forma

p(0)=det(A)=0, isto é, se A for singular λ=0 é necessariamente valor característico de A.

Exemplo: Encontre todos os autovalores da matriz A= ��

��

�

3113

Calculando p(λ) = det (A −λ��I��

det (A −λ��I�� det ��

��

�

λ−λ−

3113

= (3−λ)��(3−λ) − 1= λ2 ��λ

Solução do polinômio: λ=2 e λ=4 (autovalores de A).


2. Introdução ao Matlab

No MATLAB os nomes das variáveis devem ser palavras únicas, sem a inclusão de

espaços e não devem conter acentos. As regras básicas para nomes de variáveis são

apresentadas na Tabela 2.1.

Tabela2.1: Regras básicas para nomes de variáveis no MATLAB. As variáveis são sensíveis a letras maiúsculas e

minúsculas Itens, itens e ITENS São entendidas como diferentes variáveis.

As variáveis podem possuir até 31 caracteres. Os caracteres além do 31º são ignorados.

Oquevoceachadestenomedevariavel Pode ser usado como nome de variável.

O nome da variável deve começar com uma letra, seguida de qualquer número, letra ou

sublinhado.

O_que_voce_acha_deste_nome e X51 podem ser utilizados como nome de variáveis.

Existem algumas variáveis especiais que o MATLAB utiliza que são apresentadas na

Tabela 2.2. Se o usuário redefine estas variáveis, o MATLAB passa a atribuir a nova

função às mesmas.

Tabela 2.2: Variáveis especiais utilizadas pelo MATLAB

Variável Significado Ans Variável padrão usada para resultados. Pi Razão entre o perímetro da circunferência e seu

diâmetro. Eps Precisão relativa da máquina. Inf Infinito

NaN nan Não numérico i j 1ji −==

Nargin Número de argumentos de entrada de uma função. Nargout Número de argumentos de saída de uma função. Realmin Menor número real positivo utilizável pela máquina. Realmax Maior número real positivo utilizável pela máquina.

Caso o usuário necessite apagar alguma variável da memória do MATLAB, isto pode ser

realizado utilizando-se o comando “clear”. Por exemplo:

» a=10; » a a = 10 » clear a » a ??? Undefined function or variable 'a'.

Se a necessidade do usuário for de apagar todas as variáveis que estão sendo

utilizadas deve-se utilizar o comando “clear all”. Se por outro lado, o usuário deseja a


listagem de todas as variáveis que estão sendo utilizadas, basta utilizar o comando

“who”. Por exemplo:

>> a=10; b=a; >> who Your variables are: a b >>

Todo o texto depois do sinal de porcentagem (%) é considerado comentário. Além disso,

pode-se colocar mais de um comando em uma linha, separando-os por vírgula ou ponto

e vírgula. A vírgula diz ao MATLAB para mostrar o resultado após executar o comando.

Já o ponto-e-vírgula dispensa a visualização. Por exemplo:

» a=10; b=20, % isto é um comentário b = 20 » a a = 10

Quando se deseja continuar o comando na próxima linha, o sinal utilizado pelo MATLAB

é representado por 3 pontos (...). Isso só funcionará se os pontos estiverem entre nomes

de variáveis e operações. Este comando não funciona para comentários. Ou seja:

>> a=10; b=20; >> c=a+... b c = 30 >>

O usuário pode interromper a execução do MATLAB, a qualquer momento,

pressionando o Crtl-c. Para limpar o workspace o usuário deve utilizar o comando

“clc”.

2.1. Utilizando strings

O MATLAB entende como strings o conjunto de caracteres (vetor de caracteres)

colocados entre aspas simples. Assim, para acessar uma parte da variável é necessário

listar a localização dos caracteres. Ou seja:

>> s='esta variavel e uma string' s = esta variavel e uma string >> >> s(6:13), % retirando a palavra variavel da string s ans = variavel >>


3. Utilizando funções matemáticas elementares A Tabela 3.1 apresenta uma listagem das principais funções matemáticas que o

MATLAB possui. Vale ressaltar que o MATLAB trabalha apenas com radianos (2π

radianos = 360º).

Tabela 3.1: Principais funções matemáticas utilizadas pelo MATLAB.

Função Significado acos(x) Arco coseno. acosh(x) Arco coseno hiperbólico. asin(x) Arco seno. asinh(x) Arco seno hiperbólico. atan(x) Arco tangente. atanh(x) Arco tangente hiperbólico. cos(x) Coseno cosh(x) Coseno hiperbólico. exp(x) Exponencial: ex

gcd(x,y) Máximo divisor comum entre os inteiros x e y. log(x) Logaritmo natural.

log10(x) Logaritmo na base 10. rem(x,y) Resto da divisão de x por y. round(x) Arredondamento para o número inteiro mais próximo. sign(x) Função sinal. Retorna o sinal do argumento x. sin(x) Seno sinh(x) Seno hiperbólico. sqrt(x) Raiz quadrada. tan(x) Tangente tanh(x) Tangente hiperbólica.

4. Trabalhando com vetores e matrizes O MATLAB foi desenvolvido especialmente para trabalhar com representações

matriciais. Desta forma, o usuário deve dar preferência para este tipo de representação

quanto estiver utilizando o MATLAB, já que isto significa a realização de cálculos com

maior eficiência.

O MATLAB manipula vetores de uma maneira simples e intuitiva. Considere que se

deseja calcular a função y = sen(x) em 0 <�x ≤ π. O primeiro passo é criar um vetor com

todos os valores de x para os quais se deseja calcular y. Uma vez definido o vetor,

calculam-se os valores correspondentes de y. Ou seja:

»x=[0 0.1*pi 0.2*pi 0.3*pi 0.4*pi 0.5*pi 0.6*pi 0.7*pi .8*pi .9*pi pi]

x =

Columns 1 through 7

0 0.3142 0.6283 0.9425 1.2566 1.5708 1.8850

Columns 8 through 11

2.1991 2.5133 2.8274 3.1416


» y=sin(x)

y =

Columns 1 through 7

0 0.3090 0.5878 0.8090 0.9511 1.0000 0.9511

Columns 8 through 11

0.8090 0.5878 0.3090 0.0000

Para se resgatar um determinado elemento do vetor, basta indicar entre parênteses a

localização do mesmo. Ou seja:

» x=[0 0.1*pi 0.2*pi 0.3*pi 0.4*pi 0.5*pi 0.6*pi 0.7*pi 0.8*pi 0.9*pi pi]; » x(1) ans = 0 » x(11) ans = 3.1416 »

Para ter acesso a blocos de componentes ao mesmo tempo, o MATLAB utiliza a

notação de dois pontos. Ou seja:

• componentes de x, do primeiro ao quinto elemento:

» x(1:5) ans = 0 0.3142 0.6283 0.9425 1.2566

• componentes de x, iniciando do sétimo e indo até o final:

» x(7:end) ans = 1.8850 2.1991 2.5133 2.8274 3.1416 »

• componentes de x, iniciando do terceiro, contanto regressivamente de um em um e

parando no primeiro:

» x(3:-1:1) ans = 0.6283 0.3142 0 »

4.1. Construindo vetores

Existem formas para construção de vetores que dispensam a tarefa de digitar termo a

termo. São elas:

• cria um vetor que começa em zero e vai até o valor π, incrementado 0,1*π:


» x=(0:0.1:1)*pi x = Columns 1 through 7 0 0.3142 0.6283 0.9425 1.2566 1.5708 1.8850 Columns 8 through 11 2.1991 2.5133 2.8274 3.1416 »

• cria um vetor que começa em zero e vai até o valor π com 11 elementos

utilizando a função linspace. Os argumentos desta função são:

linspace(primeiro_valor, ultimo_valor, numero_de_valores).

» » linspace(0,pi,11) ans = Columns 1 through 7 0 0.3142 0.6283 0.9425 1.2566 1.5708 1.8850 Columns 8 through 11 2.1991 2.5133 2.8274 3.1416

• cria um vetor em escala logarítmica que começa em 100 e vai até o valor 102 com

11 elementos utilizando a função logspace. Os argumentos desta função são:

logspace(primeiro_expoente, ultimo_expoente, numero_de_valores).

» » logspace(0,2,11) ans = Columns 1 through 7 1.0000 1.5849 2.5119 3.9811 6.3096 10.0000 15.8489 Columns 8 through 11 25.1189 39.8107 63.0957 100.0000

Até agora foram construídos apenas vetores linhas. Todavia, muitas vezes se faz

necessária a utilização de vetores colunas.

A maneira mais direta de construção de um vetor coluna é especificando elemento por

elemento e separando os valores com ponto e vírgula:

» a=[1; 2; 3] a = 1 2 3 »

Uma alternativa a esta proposta é transpor um vetor linha, já especificado,

transformando-o em um vetor coluna:

» a=1:3 a = 1 2 3 » b=a' b = 1 2 3 »


Além da forma de transposição vista anteriormente ( ‘ ), o MATLAB tem o recurso de

transposição pontuada ( .’). Este comando é interpretado como a transposição sem a

operação de conjugação complexa. Isto porque quando um vetor é complexo, o

operador de transposição ( ‘ ) nos dá a transposição do complexo conjugado, isto é, o

sinal da parte imaginária é mudado como parte da operação de transposição. Já o

operador de transposição pontuada ( .’) transpõe o vetor mas não o conjuga. Vale

ressaltar que para vetores reais estes operadores são equivalentes. Ou seja:

>> a=(-4)^.5; b=[a a a] b = 0.00 + 2.00i 0.00 + 2.00i 0.00 + 2.00i >> b=[a a a]' b = 0.00 - 2.00i 0.00 - 2.00i 0.00 - 2.00i >> b=[a a a].' b = 0.00 + 2.00i 0.00 + 2.00i 0.00 + 2.00i >>

4.3. Construindo matrizes

Para a construção de matrizes no MATLAB utilizam-se ponto e vírgula para separar os

elementos de uma linha da outra:

» g=[1 2 3 4; 5 6 7 8] g = 1 2 3 4 5 6 7 8 »

4.4. Manipulando vetores e matrizes

Considerando-se vetores ou matrizes, a adição, a subtração, a multiplicação e a divisão

por um escalar simplesmente aplica a operação a todos os elementos do vetor. Ou seja:

» g=[1 2 3 4; 5 6 7 8]; » 2*g-1 ans = 1 3 5 7 9 11 13 15 » g/2+1 ans = 1.5000 2.0000 2.5000 3.0000 3.5000 4.0000 4.5000 5.0000 »


Já as operações entre vetores e/ou matrizes não são tão simples. Quando dois vetores

ou matrizes possuem a mesma dimensão, a adição e a subtração são realizadas

elemento a elemento pelo MATLAB. Ou seja:

» g=[1 2 3 4; 5 6 7 8]; » h=[1 1 1 1; 2 2 2 2]; » g+h ans = 2 3 4 5 7 8 9 10 » g-h ans = 0 1 2 3 3 4 5 6 »

Quando se deseja multiplicar duas matrizes, elemento por elemento, deve-se utilizar o

símbolo de multiplicação escalar pontuada (.*). O ponto que precede o asterisco,

símbolo padrão de multiplicação, diz ao MATLAB para fazer a multiplicação elemento

por elemento. A multiplicação sem o ponto significa multiplicação matricial. Ou seja:

» g=[1 2; 5 6]; » h=[1 1; 2 2]; » g.*h ans = 1 2 10 12 » g*h ans = 5 5 17 17 »

Para a divisão de matrizes, elemento por elemento, deve-se utilizar o símbolo de divisão

escalar pontuada ./. Novamente o ponto que precede o símbolo padrão de divisão diz

ao MATLAB para fazer a divisão elemento por elemento. A divisão sem o ponto significa

divisão matricial. Ou seja:

» g=[1 2; 5 6]; » h=[1 8; 2 4]; » g./h ans = 1.0000 0.2500 2.5000 1.5000 » g/h ans = 0 0.5000 -0.6667 2.8333 »

É possível elevar cada elemento de uma matriz a uma dada potência. Para isto aplica-

se o operador .^n, onde n é potência que se deseja aplicar a cada elemento da matriz.

Ou seja:


» g=[1 2; 5 6]; » g.^2 ans = 1 4 25 36 »

A Tabela 4.4.1 fornece ainda a listagem de alguns comandos úteis de manipulação

matricial.

Tabela 4.4.1: Comandos úteis de manipulação matricial utilizados pelo MATLAB. Função Significado Exemplo

Considere em todos os exemplos: ��

��

�=

4321

A ; r=1

A(r,:) Fornece a submatriz de A cujas linhas são definidas pelo vetor r e que inclui todas as colunas.

»A(r,:) ans = 1 2

A(:,r) Fornece a submatriz de A cujas colunas são definidas pelo vetor r e que inclui todas as linhas.

» A(:,r) ans = 1 3

A(:) Fornece todos os elementos de A em um vetor coluna, percorrendo as colunas de A pela ordem crescente de seus índices.

» A(:) ans = 1 3 2 4

4.5. Comparando vetores e matrizes

Os comandos mais utilizados para comparação entre vetores e matrizes são listados na

Tabela 4.5.1.

Tabela 4.5.1: Comandos úteis de comparação entre vetores e matrizes. Função Significado Exemplo


��

�=

4321

A ; ��

��

�=

2561

B ; ��

��

�=

4321

C

isequal(A,B) Variável lógica: verdadeira se A e B são idênticos.

» isequal(A,B) ans = 0 » isequal(A,C) ans = 1 »

ismember(A,B) Variável lógica: verdadeira quando os elementos de A são também elementos de B.

» ismember(A,B) ans = 1 1 0 0 » ismember(A,C) ans = 1 1 1 1 »


4.6. Realizando operações matriciais

A Tabela 4.6.1 fornece as principais funções matriciais existentes no MATLAB.

Tabela 4.6.1: Principais funções matriciais existentes no MATLAB.

Função Significado Exemplo


��

�=

4321

A

det(A) Calcula o determinante da matriz A. » det(A) ans = -2 »

d=eig(A) [V,D]=eig(A)

Determina os autovalores e autovetores de A.

» d=eig(A) d = -0.3723 5.3723 » [V,D]=eig(A) V = -0.8246 -0.4160 0.5658 -0.9094 D = -0.3723 0 0 5.3723 »

inv(A) Calcula a matriz inversa da matriz » inv(A) ans = -2.0000 1.0000 1.5000 -0.5000 »

poly(A) Calcula a equação característica de A.

» poly(A) ans = 1.00 -5.00 -2.00 »

rank(A) Determina o número de linhas e colunas linearmente independentes de A.

» rank(A) ans = 2 »

svd(A) Calcula a decomposição em valores singulares.

» svd(A) ans = 5.4650 0.3660 »

4.7. Utilizando matrizes especiais

A Tabela 4.7.1 fornece algumas matrizes especiais existentes no MATLAB.

Tabela 4.7.1: Matrizes especiais existentes no MATLAB.

Função Significado Exemplo eye Matriz identidade. » eye(3)

ans = 1 0 0 0 1 0 0 0 1 »

ones

Matriz onde todos os elementos são iguais a 1.

» ones(2) ans = 1 1 1 1 »

rand Matriz com elementos aleatórios distribuídos entre 0 e 1.

» rand(2) ans = 0.9501 0.6068


0.2311 0.4860 »

randn Matriz com elementos aleatórios distribuídos que seguem a distribuição normal e têm média zero e variância igual a 1

» rand(3) ans = 0.8913 0.0185 0.6154 0.7621 0.8214 0.7919 0.4565 0.4447 0.9218 »

zeros Matriz onde todos os elementos são iguais a 0.

» zeros(2) ans = 0 0 0 0 »

4.8. Ordenando matrizes

A ordenação dos elementos de um vetor ou de uma matriz pode ser realizada utilizando

o comando “sort”. A utilização deste comando possibilita ainda o armazenamento da

localização original dos dados. Assim:

>> a=rand(1,3) a = 0.04389532534714 0.02718512299667 0.31268504808015 >> sort(a) ans = 0.02718512299667 0.04389532534714 0.31268504808015 >> a=rand(4,3) a = 0.01286257467300 0.03533832396916 0.01635493355000 0.38396728849430 0.61239548137302 0.19007458907973 0.68311596780460 0.60854036122399 0.58691847188467 0.09284246174092 0.01575981791975 0.05758108987829 >> [a_ordenado_l,ord]=sort(a(1,:)), % ordena a linha 1 de "a" a_ordenado_l = 0.01286257467300 0.01635493355000 0.03533832396916 ord = 1 3 2 >> [a_ordenado_c,ord]=sort(a(:,2)), % ordena a coluna 2 de "a" a_ordenado_c = 0.01575981791975 0.03533832396916 0.60854036122399 0.61239548137302 ord = 4 1 3 2

4.9. Utilizando matrizes multidimensionais

Para a utilização de matrizes multidimensionais são necessários 3 índices ao invés dos

2 adotados durante a utilização de matrizes bidimensionais. A Figura 4.8.1 mostra a

forma visual de interpretar matrizes multidimensionais.


Figura 4.8.1: Forma visual de interpretar matrizes multidimensionais. As matrizes multidimensionais podem ser construídas e manipuladas utilizando os

mesmos comandos apresentados para as matrizes bidimensionais, desta forma:

>> M = rand(2,4,3) M(:,:,1) = 0.49655244970310 0.82162916073534 0.81797434083925 0.34197061827022 0.89976917516961 0.64491038419384 0.66022755644160 0.28972589585624 M(:,:,2) = 0.34119356941488 0.72711321692968 0.83849604493808 0.37041355663212 0.53407901762660 0.30929015979096 0.56807246100778 0.70273991324038 M(:,:,3) = 0.54657115182911 0.69456724042555 0.79482108020093 0.52259034908071 0.44488020467291 0.62131013079541 0.95684344844488 0.88014220741133 >> M(1,1,1) ans = 0.49655244970310

4.10. Utilizando listas

As listas (ou disposição em células, cell arrays) são formas especiais de representar de

matrizes. Neste tipo de representação, cada elemento da matriz pode conter matrizes

com diferentes dimensões. O exemplo abaixo ilustra a criação de uma lista.

>> a=1:3; b=rand(2,2); c=1; d={a c}; >> lista={a b c d} lista = [1x3 double] [2x2 double] [1] {1x2 cell} >>

Para a manipulação dos elementos de uma lista também são utilizadas chaves e

parênteses como exemplificado abaixo.

>> a=1:3; b=rand(2,2); c=1; d={a c}; >> lista={a b c d}; >> lista{1} ans = 1 2 3 >> lista{1}(1,2) ans = 2 >>


4.11. Utilizando estruturas

As estruturas são matrizes especiais utilizadas pelo MATLAB para armazenar dados de

naturezas diferentes. As estruturas diferem das listas por possuírem nomes que

identificam a localização dos dados. O exemplo abaixo evidencia a utilização de

estruturas.

>> resultado.alunos='maria'; >> resultado.notas=[9 8.5]; >> resultado resultado = alunos: 'maria' notas: [9 8.50000000000000] >> resultado(2).alunos='joao'; >> resultado(2).notas=[10 7]; >> resultado resultado = 1x2 struct array with fields: alunos notas >> resultado.alunos ans = maria ans = joao >>

Uma outra forma de gerar estruturas é utilizando o comando ‘struct’.

>> resultado=struct('alunos','maria','notas',[9 8.5]); >> resultado resultado = alunos: 'maria' notas: [9 8.50000000000000] >> resultado.notas ans = 9.00000000000000 8.50000000000000 >>

4.12. Utilizando matrizes esparsas

As matrizes esparsas são aquelas onde apenas alguns de seus elementos possuem

valores diferentes de zero. Neste caso, o armazenamento de toda a matriz representa

um desperdício de espaço de armazenagem e de poder computacional em operações

aritméticas com zeros. No MATLAB é possível considerar a esparticidade de uma matriz

utilizando os comandos “sparse” e “full”.

O comando “sparse” armazena os elementos não nulos da matriz original,

desconsiderando os elementos iguais a zero. Já o comando “full” rescreve a matriz

esparsa original. Ou seja:


>> clear all >> X=[1 0 5 6 0 0 0; 0 0 0 0 1 0 0] X = 1 0 5 6 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 >> >> >> S = sparse(X) S = (1,1) 1 (1,3) 5 (1,4) 6 (2,5) 1 >> whos Name Size Bytes Class S 2x7 80 sparse array X 2x7 112 double array Grand total is 18 elements using 192 bytes >> X2=full(S) X2 = 1 0 5 6 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 >> whos Name Size Bytes Class S 2x7 80 sparse array X 2x7 112 double array X2 2x7 112 double array Grand total is 32 elements using 304 bytes >> >>

5. Analisando dados

A análise de dados no MATLAB é feita utilizando-se matrizes orientadas por coluna. As

diversas variáveis são armazenadas em diferentes colunas e cada linha representa uma

observação diferente de cada variável. As principais funções de análise de dados são

apresentadas na Tabela 5.1

Tabela 5.1: Principais funções de análise de dados.

Função Significado Exemplo

Considere em todos os exemplos:

��

�

�

��

�

�

=987654

321

A

corrcoef(A) Coeficientes de correlação >>

corrcoef(A) ans = 1 1 1 1 1 1 1 1 1 »

cumprod(A)

Produto acumulativo das colunas de A.

» cumprod(A) ans = 1 2 3


4 10 18 28 80 162 »

cumsum(A) Soma acumulativa ao longo das colunas de A.

» cumsum(A) ans = 1 2 3 5 7 9 12 15 18 »

max(A) Máximo ao longo das colunas de A.

» max(A) ans = 7 8 9 »

mean(A) Média ao longo das colunas de A.

» mean(A) ans = 4 5 6 »

min(A) Mínimo ao longo das colunas de A.

» min(A) ans = 1 2 3 »

prod(A) Produto ao longo das colunas de A. » prod(A) ans = 28 80 162 »

std(A) Calcula o desvio padrão ao longo das colunas de A.

» std(A) ans = 3 3 3 »

sum(A) Soma os elementos ao longo das colunas de A.

» sum(A) ans = 12 15 18 »

6. Trabalhando com polinômios

No MATLAB, um polinômio é representado por um vetor linha contendo seus

coeficientes em ordem decrescente. Por exemplo, o polinômio x4 – 12.x3 + 25.x + 116 é

representado da seguinte forma:

» p=[1 -12 0 25 116] p = 1 -12 0 25 116 »

Vale ressaltar que os termos com coeficientes iguais a zero devem ser incluídos.

Através do uso do comando roots é possível encontrar as raízes de um dado

polinômio. Ou seja:

» p=[1 -12 0 25 116]; » r=roots(p) r = 11.7473 2.7028 -1.2251 + 1.4672i -1.2251 - 1.4672i »


Dadas as raízes do polinômio, também é possível construir o polinômio associado. Para

isto, é utilizado o comando poly:

» pp=poly(r) pp = 1.0000 -12.0000 0 25.0000 116.0000 »

A multiplicação de polinômios é realizada pelo comando “conv”. Desta forma,

considerando o produto de dois polinômios f1(x) = x3 + 2.x2 + 3.x + 4 e f2(x) = x3 + 4.x2 +

9.x + 16 temos:

» » f1=[1 2 3 4]; f2=[1 4 9 16]; » f3=conv(f1,f2) f3 = 1 6 20 50 75 84 64 »

O resultado desta operação é o polinômio f3(x) = x6 + 6.x5 + 20.x4 + 50.x3 + 75.x2 + 84.x

+ 64.

A função “deconv“ é utilizada para dividir um polinômio por outro. Considerando-se as

funções f3(x) e f2(x) anteriores, temos:

» [q,r]=deconv(f3,f2) q = 1 2 3 4 r = 0 0 0 0 0 0 0 »

Como resultado, o comando retorna o polinômio resultante q, que neste caso é a função

f1(x), e o resto da divisão r.

O MATLAB possui a função “polyder“ que é utilizada na obtenção de derivadas de

polinômios. Ou seja:

» » f1=[1 2 3 4]; » d=polyder(f1) d = 3 4 3 »

7. Confeccionando gráficos

7.1. Gráficos bidimensionais

Uma das funções que o MATLAB possui para elaboração de gráficos é a função

“fplot”. Este comando calcula a função a ser representada e certifica-se de que suas


propriedades estejam bem representadas. Como entrada, o “fplot” precisa da função

a ser representada (como variável string) e do domínio do gráfico. Ou seja: » f='2*exp(-x).*sin(x)'; » fplot(f,[0 8])

Outra função utilizada para confeccionar gráficos bidimensionais, onde f = f(x), é a

função “ezplot”. Esta função também tem como argumentos de entrada uma função

string e um intervalo de variação. Se f = f(x,y), o comando “ezplot” representa a função

considerando f(x,y)=0.

>> ezplot('x^3 + y^3 - 5*x*y + 1/5',[-3,3])

O comando mais comum utilizado para elaboração de gráficos bidimensionais no

MATLAB é o comando “plot“. Esse comando cria gráficos de vetores de dados em

eixos adequados e conecta os pontos a linhas retas. Por exemplo:

» x=linspace(0, 2*pi, 30); » y=sin(x); » plot(x,y)

É possível utilizar o comando “plot“ para traçar mais de um gráfico no mesmo sistema

de eixos. Ou seja:

» x=linspace(0, 2*pi, 30); » y=sin(x); » z=cos(x); » plot(x,y,x,z)

Durante a confecção de um gráfico no MATLAB , o usuário pode escolher a cor e o

estilo das linhas bem como o marcador utilizado. A Tabela 7.1 mostra os códigos

utilizados e o exemplo abaixo evidencia a utilização dos mesmos.

» x=linspace(0, 2*pi, 30); » y=sin(x); » z=cos(x); » plot(x,y,'b:p',x,z,'m+--')

O usuário pode ainda modificar a cor de fundo do gráfico utilizando o comando

“colordef“. Neste caso, sugere-se ao usuário consultar o help na área de trabalho do

MATLAB (» help colordef).

O comando “grid on“ adiciona linhas de grade ao gráfico nas posições dos eixos que

há marcadores. O comando “grid off“ remove as linhas de grade. Vale ressaltar que

o MATLAB começa sempre com “grid off“.


Tabela 7.1: Códigos para marcadores, cores e tipos de linha na confecção de gráficos no MATLAB.

Cores de linhas Marcadores Tipo de linha símbolo cor Símbolo Marcador Símbolo Tipo de linha

B azul . ponto - linha contínua G verde O círculo : linha pontilhada R vermelho x x -. traços e pontos C ciano + + -- linha tracejada M magenta * estrela Y amarelo s quadrado K preto d Losango W branco < triângulo para a esquerda

> triângulo para a direita

p pentagrama

h hexagrama

Para atribuir nomes aos eixos, pode ser utilizado os comandos comando “xlabel“ e

“ylabel“. O comando “title“ adiciona um título ao gráfico. Ou seja:

» x=linspace(0, 2*pi, 30); » y=sin(x); » plot(x,y,'r-.>') » grid on » xlabel('x') » ylabel('seno(x)') » title('gráfico') » grid off »

Para criar legendas no gráfico, o usuário pode utilizar os comandos “legend“ ou

“gtext“. Ou seja: » x=linspace(0, 2*pi, 30); » y=sin(x); » z=cos(x); » plot(x,y,x,z) » legend('seno(x)','coseno(x)') » legend off % retira a legenda » gtext('seno(x)') » gtext('coseno(x)') »

É possível criar uma janela com mais de um sistema de eixos. Para isto, é utilizado o

comando “subplot(m,n,p) “. Este comando subdivide a janela de gráficos em uma

matriz com m por n regiões. A variável p indica a localização do gráfico. Ou seja:

» x=linspace(0, 2*pi, 30); » y=sin(x); » z=cos(x); » a=2*sin(x).*cos(x); » b=sin(x)./(cos(x)+eps); » subplot(2,2,1) » plot(x,y) » axis([0 2*pi -1 1]) % define os valores: mínimos e máximos p/ x e y » title('seno(x)') » subplot(2,2,2) » plot(x,z), axis([0 2*pi -1 1]), title('coseno(x)') » subplot(2,2,3) » plot(x,a), axis([0 2*pi -1 1]), title('2.seno(x).coseno(x)') » subplot(2,2,4) » plot(x,b), axis([0 2*pi -20 20]), title('seno(x)/coseno(x)')


Além dos gráficos já elaborados, outros recursos gráficos bidimensionais são

disponíveis no MATLAB. São eles:

• gráfico tipo torta:

» a=[.05 .15 .5 .05 .05 .2]; pie(a) » pie(a, a==max(a)) % traça o gráfico separando a maior fatia »

• gráficos com escalas diferentes:

» » x=-2*pi:pi/10:2*pi; » y=sin(x); z=2*cos(x); » subplot(2,1,1),plot(x,y,x,z), title('escalas iguais'), » subplot(2,1,2),plotyy(x,y,x,z), title('escalas diferentes'), »

• gráficos de barras:

» x=-2.9:0.2:2.9; » y=exp(-x.*x); » subplot(2,2,1), bar(x,y), » subplot(2,2,2), bar3(x,y), » subplot(2,2,3), stairs(x,y), » subplot(2,2,4), barh(x,y), »

• gráfico com barras de erros:

» x=linspace(0,2,21); » y=erf(x); % y é a função erro de x » e=rand(size(x))/10; % contém valores de erros aleatórios » errorbar(x,y,e) »

• gráficos com pontos selecionados manualmente:

» x=linspace(-2*pi, 2*pi,60); » y=sin(x).^2./(x+eps); » plot(x,y) » [a,b]=ginput(5) % toma 5 pontos » hold on % Para escrever por cima do gráfico anterior » plot(a,b,'mo') » hold off % Libera o gráfico anterior para ser eliminado »

7.2. Gráficos tridimensionais

O comando “plot“ para gráficos bidimensionais é estendido para os tridimensionais

com o comando “plot3“. Este comando cria gráficos de linhas tridimensionais.

» t=linspace(0,10*pi,1000); » plot3(sin(t),cos(t),t) »


O comando “meshgrid“ é utilizado para gerar matrizes x e y, contendo linhas e colunas

repetidas. Esse par de matrizes, x e y, pode ser então usado para calcular funções de

duas variáveis usando os recursos do MATLAB de matemática vetorial. Uma vez

estabelecidos os valores dos pontos a serem representados em um gráfico

tridimensional, o comando “mesh“ pode ser utilizado para gerar um gráfico de rede e o

comando “surf“ pode ser utilizado para gerar uma superfície. Já os comandos

“contour“ e “contour3“ geram as curvas de nível. Uma forma similar do comando

“contour“ é o comando “pcolor“ onde são utilizadas cores distintas para delimitar

regiões de alturas diferentes. Ou seja:

>> x=-3:0.1:3; y=x; [X,Y]=meshgrid(x,y); Z=X.^3 + Y.^3 - 5*X.*Y + 1/5; >> mesh(X,Y,Z) >> surf(X,Y,Z) >> contour(X,Y,Z,40) >> contour3(X,Y,Z,40) >> pcolor(X,Y,Z)

É possível para o usuário trocar as cores padrão utilizadas pelo MATLAB na confecção

de gráficos. Para isto, utiliza-se dos mapas de cores que são matrizes com três colunas.

Cada linha define uma cor particular, usando os números 0 a 1.

>> x=-3:0.1:3; y=x; [X,Y]=meshgrid(x,y); Z=X.^3 + Y.^3 - 5*X.*Y + 1/5; >> surf(X,Y,Z), colormap([1 1 1]) % branco >> surf(X,Y,Z), colormap([.5 .5 .5]) % cinza >>

O usuário pode ainda escolher um dos mapas de cores já existente no MATLAB (Tabela

7.2.1).

Tabela 7.2.1: Mapas de cores utilizadas pelo MATLAB.

Função Descrição do mapa de cores Hsv Escalar com cores saturadas. Hot Preto-vermelho-amarelo-branco Gray Escalar linear de tons de cinza. Bone Escala de tons de cinza levemente azulados. Copper Escala linear de tons acobreados. Pink Tons pastéis de rosa. White Mapa de cores totalmente branco. Flag Vermelho, branco, azul e preto alternados. Jet Uma variante do mapa hsv Prism Mapa de cores denominado “prisma”. Cool Tons de ciano e magenta. lines Mapa de cores que usa as mesmas cores do comando plot. colorcube Mapa de cores denominado “cubo colorido”. summer Tons de amarelo e verde. autumn Tons de vermelho e amarelo. winter Tons de azul e verde. spring Tons de magenta e amarelo.


>> x=-3:0.1:3; y=x; [X,Y]=meshgrid(x,y); Z=X.^3 + Y.^3 - 5*X.*Y + 1/5; >> surf(X,Y,Z), colormap([summer]) >> surf(X,Y,Z), colormap([hot])

Para acrescentar uma legenda no gráfico tridimensional, o usuário deve utilizar o

comando colorbar.

>> >> x=-3:0.1:3; y=x; [X,Y]=meshgrid(x,y); Z=X.^3 + Y.^3 - 5*X.*Y + 1/5; >> surf(X,Y,Z), colormap([winter]), colorbar >>

8. Trabalhando com tempo O MATLAB possui várias funções para manipular datas e horas. A função “clock“ , por

exemplo, fornece a data e a hora atuais em um vetor.

>> T=clock T = 1.0e+003 * 2.003 0.001 0.009 0.010 0.031 0.057 >>

Os elementos que retornam no vetor T ao se aplicar o comando “clock“ são: ano,mês,

dia do mês, hora, minutos e segundos. Já a função “date“ fornece a data atual como

um texto no formado dia-mês-ano. Ou seja:

>> date ans = 09-Jan-2003

Os comandos “tic“ e “toc“ podem ser utilizados para cronometrar uma operação. Ou

seja:

>> tic; plot(rand(5)); toc elapsed_time = 0.11000000000000

A função “cputime“ fornece o tempo, em segundos, da Unidade Central de

Processamento (CPU) usado pelo MATLAB desde o início da sessão corrente. Ou seja: >> to=cputime; plot(rand(5)); cputime-to ans = 0.11000000000058


9. Obtendo modelos empíricos O MATLAB possui funções que possibilitam a obtenção de diferentes modelos empíricos

tais como: modelos ARX, ARMAX, redes neuronais e ainda modelos obtidos via

regressão linear e não linear. Nesta apostila, a utilização da regressão linear é

exemplificada.

9.1. Regressão linear

O comando utilizado pelo MATLAB para a realização de regressão linear é denominado

“regress”. Para utilizar este comando o usuário deve fornecer a matriz com as

variáveis independes e um vetor com a variável dependente. Cada linha da matriz ou do

vetor deve corresponder a uma observação. Caso o modelo linear possua uma

constante, a matriz com as variáveis independentes deve possuir uma última coluna

com valores iguais a 1. O exemplo abaixo ilustra a utilização deste comando:

>> clear all >> x=[(100:200)'+randn(101,1) (300:400)'+randn(101,1) ones(101,1)]; >> % matriz com variaveis independentes >> P1=2; P2=1; P3=100; y=P1*x(:,1)+P2*x(:,2)+P3; y=y+randn(101,1); >> % vetor com variaveis dependentes >> [P,Pin,R,Rin,stat]=regress(y,x,0.05); >> P % parametros do modelo P = 1.93344230551157 1.06793100944515 86.20341131968449 >> Pin % intervalo de confiança para os parametros Pin = 1.0e+002 * 0.01813296312069 0.02053588298954 0.00947622221814 0.01188239797076 0.62069772941691 1.10337049697678 >> stat stat = 1.0e+005 * 0.00000999899004 4.85119348155784 0 >>

Os intervalos de confiança para os parâmetros do modelo foram calculados

considerando um nível de confiança igual a 95%. Isto porque usamos o valor 0,05 como

terceiro argumento de entrada para a função “regress”.

O 5o argumento de saída, neste caso denominado “stat”, fornece respectivamente: o

valor de R2, o resultado do teste de hipótese F (testa-se se todos os coeficientes do

modelo obtido são iguais a zero) e o p-valor associado a este teste. Durante a realização

do teste F assume-se a existência de uma constante no modelo. Neste caso, o modelo

obtido consegue descrever cerca de 99,9899% da variabilidade experimental e podemos


considerar, com grande segurança, que todos os coeficientes do modelo não são iguais

a zero.

Os erros verificados entre os valores preditos pelo modelo e os reais, bem como o

intervalo de confiança para estes valores são fornecidos através do 3o e do 4o

argumento de saída da função “regress”. Neste caso: “R” e “Rin”. Uma melhor

visualização desta informação pode ser obtida através do comando “rcoplot” como

exemplificado abaixo.

>> rcoplot(R, Rin)

Neste caso, todos os resíduos que não atingirem o valor zero são considerados outliers.

O MATLAB também possui funções destinadas à realização de regressões não lineares.

Neste caso, a soma dos quadrados dos resíduos, verificados entre os valores reais e

preditos pelo modelo, é minimizada utilizando um método de otimização Quasi Newton

(Levenberg-Marquardt). Para mais detalhes sugere-se a consulta ao comando

“nlinfit”. (“help nlinfit”).

10. Iniciando um programa Todos os comandos descritos anteriormente podem ser utilizados durante a elaboração

de um programa em MATLAB.

Antes de começar a programar, você deve escolher qual o diretório de trabalho. A

programação em MATLAB é realizada através da elaboração de arquivos tipo “m”.

Sendo assim, uma vez escolhido o diretório de trabalho, você deve abrir um arquivo “m”

seguindo o seguinte caminho: File � New� M-file. Neste arquivo deve ser escrito o

programa.

Uma vez escrita a rotina a ser executada, deve-se salvar o arquivo. Para “rodar” a rotina,

deve-se digitar o nome do arquivo tipo “m” no workspace do MATLAB.

O MATLAB possui diversas funções que são particularmente apropriadas para o uso em

arquivos tipo “m”. Estas funções são apresentadas na Tabela 10.1.

Tabela 10.1: Principais funções utilizadas em arquivos tipo “m”.

Variável Significado Disp(‘texto’) Mostra o texto escrito entre as aspas.

Input Solicita ao usuário que forneça algum dado de entrada. Pause Suspende a execução até que o usuário pressione alguma tecla.

Pause(n) Suspende a execução por n segundos. Exemplo: 1. Abra um arquivo novo tipo “m”;


2. Digite:

% Primeiro programa clear all %limpa toda a memória disp('Rodando programa ...'); n=input('Qual o valor final de x desejado?'); x=0:n; y=x.^2; plot(x,y); pause(2) xlabel('x'); ylabel ('y');

3. Salve o programa com o nome “prog1”;

4. Vá à área de trabalho do MATLAB e digite “prog1”.

A(s) primeira(s) linha(s) comentada(s) existente(s) no arquivo “.m” é(são) exibida(s) caso

o usuário utilize o comando help + nome do arquivo. Ou seja:

>> help prog1 Primeiro programa >>

11. Utilizando comandos de fluxo e operadores lógicos

11.1. Utilizando a função for

Os loops for possibilitam que uma série de comandos seja repetida por um número de

vezes fixo e predefinido. Vale ressaltar que o comando for não pode ser encerrado

atribuindo-se valores ao contador (no exemplo ‘n’) dentro do loop.

Exemplo: 1. Abra um arquivo novo tipo “m”;

2. Digite:

clear all for n=1:10 x(n)=n/2; n=10; % ao final do primeiro cálculo de x n = valor maximo end x



5. A resposta obtida será:

» prog2 x = Columns 1 through 7 0.5000 1.0000 1.5000 2.0000 2.5000 3.0000 3.5000


Columns 8 through 10 4.0000 4.5000 5.0000 »

Naturalmente, é possível a utilização de mais de uma estrutura for. Exemplo: 1. Abra um arquivo novo tipo “m”;

2. Digite:

clear all for n=1:5 for m=5:-1:1 A(n,m)=n^2+m^2; end disp(n) end A




» prog3 1 2 3 4 5 A = 2 5 10 17 26 5 8 13 20 29 10 13 18 25 34 17 20 25 32 41 26 29 34 41 50 »

11.2. Utilizando a função while

Os loops while executam um grupo de comandos um número indefinido de vezes. Exemplo: 1. Abra um arquivo novo tipo “m”;

2. Digite:

clear all n=1; while n<10 x(n)=1; n=n+1; end x





» prog4 x = 1 1 1 1 1 1 1 1 1

11.3. Utilizando a função if-else-end

Quando ações devem ser executados condicionalmente, com base em um teste

relacional, são utilizados comandos if-else-end. Como no comando for, é possível

utilizar vários comandos if-else-end simultaneamente.


2. Digite:

clear all macas=10; custo=macas*10; if macas>5 custo=0.8*custo; % desconto de 20% end custo




» prog5 custo = 200 »


2. Digite:

clear all m=5 if m==10; disp('m é igual a 10'); elseif m<10; disp('m é menor que 10'); else m~=10; disp('m é diferente de 10'); end





>> prog6 m = 5 m é menor que 10 >>

Observação importante: Como já mencionado anteriormente, o MATLAB é um

programa desenvolvido para trabalhar com matrizes. Sendo assim, quando se deseja

um loop onde o objetivo é calcular uma expressão diversas vezes, é mais eficiente

trabalhar utilizando notação matricial. Por exemplo: o prog2.m seria mais eficiente se o

loop fosse eliminado e a variável x fosse definida da seguinte forma: x=0.5*(1:10).

12. Resolvendo um sistema de equações algébricas No MATLAB a função utilizada para resolver sistemas de equações algébricas não

lineares é denominada “fsolve” e se localiza no toolbox de otimização. Para mais

detalhes a respeito desta função, sugere-se consultar o help digitando “help fsolve” na

página principal do MATLAB.

O método padrão, utilizado para resolução do sistema pelo comando “fsolve”, é o

Gauss-Newton com um método misto (quadrático e cúbico) de busca em linha. Caso o

usuário prefira, pode ser utilizado o método de Levenberg-Marquardt em alternativa ao

Gauss-Newton.

Exemplo: Considere o sistema de equações algébricas não lineares apresentado abaixo (12.1):

��

�

=−⋅+−

=−−⋅−

−

0ex2x

0exx22

1

x21

x21 (12.1)

Para resolver este sistema no MATLAB, realize as seguintes tarefas: 1. abra um novo arquivo “m” e escreva:

function F=fun1(x) F(1)=2*x(1)-x(2)-exp(-x(1)); F(2)=-x(1)+2*x(2)-exp(-x(2));

2. salve o arquivo como “fun1”;

3. abra um segundo arquivo “m” e escreva:

clear all x0=[-5 -5]; % estimativas iniciais para x(1) e x(2) options(1)=1; % p/ mostrar detalhes sobre o cálculo que será realizado x=fsolve('fun1',x0,options) % chamada da rotina que resolve o sistema

4. salve este segundo arquivo como “teste1”;


5. vá à área de trabalho do MATLAB e digite “teste1”. O programa retornará o seguinte

resultado:

» teste1 f-COUNT RESID STEP-SIZE GRAD/SD 3 47071.2 1 -9.41e+004 8 966.828 1 -1.81e+003 15 1.99465 3.85 5.6 20 0.000632051 0.895 -0.0867 25 1.39647e-015 0.998 -1.89e-009 Optimization Terminated Successfully x = 0.5671 0.5671

13. Resolvendo um sistema de equações diferenciais O MATLAB possui diversas funções destinadas à resolução de sistemas de equações

diferenciais ordinárias. Nesta apostila utilizaremos a função “ode23”. Para mais detalhes

a respeito destas funções, sugere-se consultar o help digitando “help ode23” na área de

trabalho do MATLAB.

O método padrão utilizado para resolução do sistema de equações diferenciais pelo

comando “ode23” é o Runge Kutta.

Exemplo: Considere o sistema de equações diferenciais apresentado por Simmons (1988)

descrito em 13.1:

��

��

⋅+⋅=

⋅+=

y2x3dtdy

y2xdtdx

(13.1)

Assuma as condições iniciais apresentadas pela equação (13.2):

t = 0: x = 2 y = 3 (13.2) Para resolver este sistema no MATLAB, realize as seguintes tarefas:

1. abra um novo arquivo “m” e escreva:

function [dy]=fun2(t,y) dy(1)=y(1)+2*y(2); dy(2)=3*y(1)+2*y(2); dy=[dy(1);dy(2)];

2. salve o arquivo como “fun2”;

3. abra um segundo arquivo “m” e escreva:


clear all yo=[2 3]; % condição inicial tspan=[0 1]; % intervalo no qual será realizada a integração [de 0 à 1] [t,y]=ode23('fun2',tspan,yo); plot(t,y); xlabel('tempo'); ylabel('variáveis x e y'); legend(['x(t)';'y(t)'])

4. salve este segundo arquivo como “teste2”;

5. vá à área de trabalho do MATLAB e digite “teste2”. O programa retornará como

resultado um gráfico apresentando a evolução das funções x(t) e y(t) de 0 a 1.

De acordo com Simmons (1988) o sistema apresentado (13.1) possui a solução analítica

descrita pela equação 13.3. Esta solução confere com a solução numérica apresentada

pelo programa.

��

�

⋅=

⋅=⋅

⋅

t4

t4

e3y

e2x (13.3)

SIMMONS, G. F., Cálculo com Geometria Analítica, Vol. 2, 1ª ed. São Paulo,McGraw-Hill, 1988

14. Como saber mais sobre o MATLAB? O MATLAB possui uma biblioteca com vários arquivos tipo pdf. Cada um destes

arquivos diz respeito a um toolbox do MATLAB. A seguir é apresentada uma listagem

com a indicação de qual arquivo deve ser consultado pelo usuário, se o mesmo

necessitar aprofundar seus conhecimentos sobre os tópicos apresentados nesta

apostila. Além disso, buscou-se adicionar alguns assuntos de interesse para

profissionais da engenharia que não são tratados neste material. Parte da literatura

citada foi utilizada para a confecção desta apostila.

Tabela 14.1: Arquivos pdf recomendados.

Assunto Arquivo pdf Comandos básicos de utilização, descrição do programa

getstart.pdf The Language of Technical Computing, Getting Started with

MATLAB, 136 páginas, 6a versão, 2000

Tratamento estatístico de dados (regressão linear, ANOVA, regressão não linear, matriz de correlação, planejamento fatorial, PCA)

stats_tb.pdf

Statistics Toolbox, 560 páginas, 3a

versão, 2000

Controle de processos usingcontrol.pdf Control System Toolbox, 591 páginas, 1a versão, 2000

Controle preditivo de processos mpc.pdf Model Predictive Control Toolbox, 250 páginas, 1a versão, 1998

Resolução de sistemas de equações diferenciais parciais

pde.pdf Partial Differential Equation Toolbox, 284 páginas, 1997


Redes neuronais nnet.pdf Neural Networks Toolbox,

846 páginas, 4a vesão, 2000

Identificação de processos (modelos ARX, ARMAX,)

ident.pdf System Identification Toolbox, 368 páginas,5a versão, 2000

Otimização optim_tb.pdf Optimization Toolbox,

330 páginas, 2a versão, 2000 Utilização simultânea do Excel e do MATLAB exlink.pdf Excel Link ,

74 páginas, versão 1.1.2, 1999

15. Exercícios resolvidos Exercício 1 - Dinâmica de Populações

Os arquivos-m a seguir contêm os comandos necessários para solucionar o problema

de dinâmica de populações. Para fácil utilização o código do arquivo deve ser gravado

no diretório do MATLAB com o nome runpop.m

Primeiramente vamos criar o que chamaremos de “programa principal”

(runpop.m),utilizaremos este nome pois este arquivo “chamará” o arquivo subseqüente

(pop.m) que funciona neste caso como “função”.

��% leitura dos dados iniciais para um sistema de edo 2x2 %initial = [0 0.25]; clg %axis; initial(1) = input('Primeiro dado inicial da presa '); initial(2) = input('Segundo dado inicial do predador '); % Intervalo de tempo usado [ti,tf] ti = input('Tempo inicial '); tf = input('Tempo final '); % Constantes referentes a presa e ao predador %k1 = input('Taxa de nascimento da presa '); %k2 = input('Taxa de mortandade da presa '); %k3 = input('Taxa de nascimento do predador '); %k4 = input('Taxa de mortandade do predador '); k1 = 3. k2 = 0.002 k3 = 0.0006 k4 = 0.5 [x, num_y] = ode23('pop',ti,tf,initial); subplot(211), plot(x,num_y(:,1),'- g'),... title('Populacao da Presa'),xlabel('t'),grid,... subplot(212),plot(x,num_y(:,2),'- g'),... title('Populacao do Predador'),xlabel('t'),grid � �� function xf = pop (t,x) global k1 k2 k3 k4 k1=3.; k2=0.002; k3=0.0006; k4=0.5; xf(1)= k1*x(1)-k2*x(1)*x(2);


xf(2)= k3*x(1)*x(2)-k4*x(2); ��Agora que já criamos os arquivos necessários para a solução do problema, é só digitar

no prompt do MATLAB

�>> runpop serão pedidos alguns dados como população inicial de presa, predadores, tempo inicial

e final. Para os dados

População inicial da presa = 0,8

População inicial do predador = 0,2

Tempo Inicial = 0

Tempo Final = 50

O resultado será exibido graficamente, apresentando a relação entre crescimento da

presa em relação ao predator e vice-versa.

�Exemplo 2 - Trajetória de uma bola de tênis com “ top –spin ”

Os arquivos-m a seguir contém os comandos necessários para solucionar e

disponibilizar visualmente o problema da trajetória de tênis em diferentes casos.

Veja o código do programa principal que será salvo com o nome “tenis.m” (Preste

atenção no diretório onde estão sendo gravado os arquivos; se não quiser ter

problemas, salve todos os arquivos no diretório do MATLAB).

��% Problema para a trajetória de uma bola de tênis viajando no vácuo, % e no ar na presença de um spin (rotação) % tenisV = caso no vácuo % As 4 funções tenisA = caso no ar sem spin % utilizadas são : tenisAsp = caso no ar com rotação positiva % tenisAfs = caso no ar com rotação negativa % Variáveis que serão usadas pelas funções com os campos vetoriais global g alpha w etha % Inicializando as variáveis % Constantes básicas em unidades MKS clg g = 9.81; d = 0.063; m = 0.05; rho = 1.29; alpha = pi*d^2/(8*m)*rho; etha = 1; w = 20; % Condições iniciais h = 1; v0 = 25; theta = pi/180*15; xin = [0, h, v0*cos(theta), v0*sin(theta)]; % Tempo de vôo no vácuo tmaxid = (xin(4) + sqrt(xin(4)^2 + 2*g*xin(2)))/g; % solução no vácuo [tV, xV] = ode23('tenisV',0,tmaxid,xin); % solução no ar sem spin [tA, xA] = ode23('tenisA',0,tmaxid,xin); % solução com spin [tAsp, xAsp] = ode23('tenisAsp',0,tmaxid,xin);


% Preparando a saída gráfica do problema N = max(xV(:,1)); x =0:N/100:N; axis([0, max(xV(:,1)), 0 , max(xV(:,2))]) hold % comando que permite sobrepor os três gráficos (plots) seguintes %1 plot(x, spline(xV(:,1), xV(:,2), x), ':g'); %2 plot(x, spline(xA(:,1), xA(:,2), x), '-- g'); %3 plot(x, spline(xAsp(:,1), xAsp(:,2), x), '-w'); plot(xV(:,1), xV(:,2), ':g'); plot(xA(:,1), xA(:,2), '-- g'); plot(xAsp(:,1), xAsp(:,2), '-w'); ��Função que calcula o campo vetorial para a bola no vácuo. function xdot = tenisV(t,x) global g g=9.81; xdot(1) = x(3); xdot(2) = x(4); xdot(3) = 0; xdot(4) = -g; ��Função que calcula o campo vetorial para a bola no ar sem rotação.

function xdot = tenisA(t,x) %sem spin a constante de Magnus CM e ZERO. global g alpha v = sqrt(x(3)^2+x(4)^2); xdot(1) = x(3); xdot(2) = x(4); xdot(3) = -alpha*0.508*x(3)*v; xdot(4) = -g -alpha*0.508*x(4)*v; � ��Função que calcula o campo vetorial para a bola no ar com rotação. function xdot = tenisAsp(t,x) global g alpha w etha v = sqrt(x(3)^2+x(4)^2); % cálculo do campo levando em conta as constantes de arraste CD % e a de Magnus CM aux1 = (0.508 +1/(22.503 + 4.196*(v/w)^0.4))*alpha*v; aux2 = etha*w/(2.022*w + 0.981*v)*alpha*v; xdot(1) = x(3); xdot(2) = x(4); xdot(3) = -aux1*x(3) + aux2*x(4); xdot(4) = -g -aux1*x(4) - aux2*x(3); ��Agora que já criamos os arquivos necessários para a solução do problema, é só digitar

no prompt do MATLAB >> tenis Então obteremos um gráfico que ilustra a trajetória da bola de tênis nos 3 casos que

foram estudados:

1- A linha pontilhada indica a trajetória da bola no vácuo.

2- A linha tracejada indica a trajetória da bola no ar com rotação.

3- A linha contínua indica a trajetória da bola no ar com rotação.


Exercícios Série A 1) Considere os resultados experimentais apresentados na Tabela A:

Tabela A: Resultados experimentais. Experimento Concentrações: Ca e Cb

1 0,5 0,8 2 0,4 0,75

1.1) armazene os dados da Tabela A em uma matriz bidimensional;

1.2) armazene os dados da Tabela A em uma matriz multidimensional.

2) Crie uma matriz de dimensão 4x4 e a chame de A. (Sugestão: crie uma matriz com números

aleatórios).

2.1) apague a 2ª linha de A;

2.2) apague a 3ª coluna de A.

Série B 1) Represente graficamente as seguintes funções:

1. z = -x2 + 2.y2 onde –10< x <10, –10< y <10

2. z = -x2 + 2.y2 + 5.x.sen(y) onde –10< x <10, –10< y <10

Série C 1) Considere o seguinte problema: Uma indústria produtora de alumínio deseja conhecer a influência das variáveis razão

Al2O3/NaOH e temperatura de reação sobre o teor de Na2O presente na alumina. Utilizando os

dados operacionais disponíveis na Tabela C proponha um modelo linear que descreva o

processo.

Tabela C: Dados operacionais. Teor de Na2O (p/p) Al2O3/NaOH Temperatura de reação (oC)

0,43 0,647 77,1 0,39 0,638 78,3 0,44 0,651 76,0 0,42 0,648 77,9 0,43 0,640 74,1 0,42 0,643 74,6 0,41 0,643 76,0 0,46 0,651 73,3 0,42 0,650 78,6 0,40 0,639 78,7

Este problema é originalmente apresentado por: WERKEMA, M. C. C., AGUIAR, S., Análise de Regressão: Como entender o relacionamento entre as variáveis de um processo, 1ª ed. Belo Horizonte, Fundação Christiano Ottoni, 1996. Nesta apostila é utilizada uma versão simplificada do problema original.


Série D 1) Considere o reator bioquímico descrito na Figura D, onde x1 representa a biomassa presente

no reator e x2 o substrato. O reator possui um volume constante (Vr) uma vez que as vazões de

alimentação e de saída são iguais (F). A corrente de alimentação possui concentração de

substrato igual a x2i e uma concentração de biomassa igual a zero.

Figura D: Representação esquemática do reator bioquímico.

Bequette (1998) propõe o modelo descrito pela equação (D.1) para o processo:

( )

( )

��

�

��

=

⋅µ−−⋅=

⋅−µ=

r

12i2

2

11

VF

D

Yx

xxDdt

dx

xDdt

dx

(D.1)

onde Y é a relação constante entre as taxas de geração de biomassa e o consumo de

substrato e µ é o coeficiente de taxa de crescimento descrito pela equação (D.2).

2212m

2max

xkxkx

⋅++⋅µ=µ (D.2)

Descreva o comportamento das concentrações de biomassa e de substrato considerando um

tempo de integração de 30 horas (0<t<30), as condições iniciais descritas pela equação (D.3) e

os valores para os parâmetros descritos na Tabela D.

t = 0: x1 = 1 x2 = 1 (D.3)

Tabela D: Valores para os parâmetros do modelo (Bequette, 1998) Parâmetro Valor

µmax 0,53 h-1 km 0,12 g/L k1 0,4545 L/g Y 0,4 x2i 4 g/L D 0,3 h-1

BEQUETTE, B. W., Process Dynamics: Modeling, Analysis and Simulation, 1a ed. USA, Prentice- Hall PTR, 1998.

Documents

Apostila_Algebra_Matlab.pdf