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PESQUISA OPERACIONALDESENVOLVIMENTO E OTIMIZAO DE MODELOS MATEMTICOS POR MEIO DA

LINGUAGEM GAMS

UNESPAneirson Francisco da Silva- Doutorando-UNESP

Fernando Augusto Silva Marins, Dr- UNESPGuilherme Martin Silva

Paulo Roberto Marcondes de Andrade Lopes

O objetivo desta apostila fornecer conceitos matemticos sobre a estrutura da

linguagem de modelagem General Algebraic Modeling System GAMS. Aps a

leitura desta apostila o leitor estar apto a desenvolver e otimizar modelos lineares

e combinatrios utilizando a linguagem e o software GAMS.

A estrutura da apostila est definida primeiramente pela reviso da histria da

pesquisa operacional, e em seguida a explicao a respeito dos modelos lineares,

iniciando pelas particularidades desse modelo, teoria de redes DEA. Tambm so

abordados modelos de otimizao combinatria e problemas NP-HARD.

Captulo 1

1. A EVOLUO DA PESQUISA OPERACIONAL

O termo Pesquisa Operacional PO foi empregado pela primeira vez em 1939. A partir de

individualizada e batizada, tornou-se possvel fixar suas origens em pocas remotas da histria

da cincia e da sociedade.

1.1. O MTODO DA PESQUISA OPERACIONAL

A experimentao tomada no sentido restrito - isto , a manipulao fsica das variveis -

geralmente impossvel ou impraticvel quando se lida com organizaes governamentais,

militares ou industriais. Apesar disso, a experimentao s vezes possvel, particularmente no

caso de subsistemas, e desempenha papel importante na PO. Na maioria das vezes, entretanto, o

sistema global em estudo no pode ser submetido a um tratamento desta natureza. Quem

trabalha em pesquisa operacional geralmente obrigado a construir representaes do sistema e

do seu comportamento para se orientar durante a pesquisa. Os modelos em PO assumem a forma

de uma ou mais equaes ou inequaes para traduzir a condio de que algumas, ou todas as

variaes controladas s podem ser manipuladas dentro de limites. O conjunto destas equaes

constitui, ao mesmo tempo, um modelo de sistema e um modelo de deciso.

A soluo pode ser extrada do modelo mediante experimentao (isto , por simulao) ou

mediante anlise matemtica. Para alguns tipos de funo f (por exemplo, relaes algbricas

elementares), desde que as restries no sejam numerosas, a matemtica clssica fornece

instrumentos perfeitamente adequados para a determinao dos melhores valores das variveis

controladas. Por outro lado, a funo f pode consistir em um conjunto de regras de clculo (um

algoritmo) que nos permita medir a utilidade (U) do desempenho para qualquer conjunto de

valores das variveis controladas e no controladas.

Em alguns casos o comportamento do elemento humano que toma a deciso no pode ser

representado no modelo. Ocorre a necessidade do uso de simulaes que envolvero a

participao de seres humanos, sendo denominados jogos de operaes.

Introduo________________________________________________________________________ 4

A otimizao, portanto, produz a melhor soluo para o problema que foi modelado.

A correspondncia entre modelo e realidade ter de ser aferida (testada) e a soluo avaliada.

Isto , teremos de comparar seu desempenho com o da poltica ou procedimento que ela ir

substituir. Os resultados da pesquisa devem ser implantados. nesta fase que se faz o teste e a

avaliao final da pesquisa; proporcionando, pois, ao especialista as maiores e melhores

oportunidades de aprender.

Cinco fases num projeto de PO:

1. Formulao do problema

2. Construo do modelo

3. Obteno da soluo

4. Teste do modelo e avaliao da soluo

5. Implantao e acompanhamento da soluo (manuteno)

As vantagens e desvantagens da utilizao de modelos foram assim definidas:

Vantagens

a) Emerge sob a forma grfica, para representar a realidade aprendida em

determinado momento;

b) Simplifica a visualizao da amplitude das variveis sem alterar a essncia;

c) Ajuda a identificar vrias relaes possveis entre os elementos da realidade;

d) Possibilita compreender relaes complexas;

e) Serve como base para estabelecer e aprimorar parmetros.

Desvantagens

f) Limitaes na identificao de todas as variveis relevantes que influenciam em

determinada situao;

g) Problemas na definio das propriedades a serem mensuradas e na especificao

de procedimentos para tal;

h) Dificuldades no entendimento entre os provedores e os usurios da informao.

Introduo________________________________________________________________________ 5

A representao simplificada de um problema prtico por meio de um modelo matemtico

permite que sobre ele se aplique tcnicas e mtodos que facilitam a obteno de uma soluo.

1.2. O IMPACTO DA PESQUISA OPERACIONAL

A Pesquisa Operacional tem tido um grande impacto crescente na administrao de empresas

nos anos recentes. Tanto o nmero quanto a variedade de suas aplicaes continuam a crescer

rapidamente. Algumas de suas tcnicas envolvem idias sofisticadas em cincias polticas,

matemtica, economia, teoria da probabilidade e estatstica. Como tambm sendo usada

amplamente em outros tipos de organizaes, inclusive negcios e indstria.

Muitas indstrias, inclusive a de aviao e msseis, automveis, comunicaes, computadores,

energia eltrica, eletrnica, alimentos, metalrgica, minerao, papel, petrleo e transporte, tm

feito uso extensivo da pesquisa operacional. Mesmo instituies financeiras, agncias

governamentais e hospitais tm aumentado rapidamente o uso que fazem da pesquisa

operacional.

Vejamos alguns dos problemas que tm sido resolvidos por tcnicas particulares de pesquisa

operacional:

PROGRAMAO LINEAR: tem sido usada com sucesso na soluo de problemas relativos alocao de pessoal, mistura de materiais, distribuio, transporte, carteira de

investimento, avaliao da eficincia;

PROGRAMAO DINMICA: tem sido aplicada tambm com sucesso a reas como planejamento de despesas de publicidade, distribuio do esforo de vendas e

programao de produo;

TEORIA DAS FILAS: tem tido aplicao na soluo de problemas relativos a congestionamento de trfego, mquinas de servios sujeitas quebra, determinao do

nvel de uma fora de servio, programao do trfego areo, projetos de represas,

programao de produo e operao de hospitais;

PROGRAMAO INTEIRA: que uma forma de programao linear onde as variveis podem apenas apresentar nmeros inteiros. Tem sido utilizada na resoluo de

problemas de investimento dentre outros;

Introduo________________________________________________________________________ 6

PROGRAMAO MISTA: que uma forma de programao linear onde as variveis podem assumir valores binrios, inteiros e contnuos, este modelo tambm definido como

otimizao combinatria, enquadrando-se em problemas de dificuldades no polinomiais

NP-HARD;

PROGRAMAO NO LINEAR: modelo matemtico onde a funo objetivo, as restries ou ambas, apresentam no linearidade em seus coeficientes.

PROGRAMAO MULTIOBJETIVO: uma forma de programao linear e no linear onde se analisa mltiplas funes objetivos;

GOAL PROGRAMMING: que uma extenso dos modelos de programao multiobjetivo, contendo vrios modelos especficos para cada problema de deciso;

Outras tcnicas de pesquisa operacional, tais como teoria de estoque, teoria dos jogos,

teoria dos grafos e simulao, tambm tem sido aplicadas com sucesso a(em) diversos contextos.

Captulo 2

2. ESTRUTURAO E OTIMIZAO DE MODELOS LINEARES ESTACIONRIOS

O anexo A contempla a linguagem de modelagem GAMS. Abordando as principais funes e a

estrutura dessa linguagem de modelagem, mostrando suas principais vantagens. O anexo B

contempla as principais linguagens de modelagens, abordando as principais vantagens da

linguagem GAMS em relao s demais linguagens.

Vamos iniciar a modelagem do problema do Giapetto pela linguagem GAMS. A linguagem GAMS

requer que o problema seja traduzido na forma algortmica.

1- Giapetto fabrica dois tipos de brinquedos de madeira. Soldados e trens. Um soldado

vendido por R$ 27,00 e usa R$ 10,00 de matria prima. Cada soldado que fabricado

tem um custo adicional de R$ 14,00 relativo mo de obra. Um trem vendido por R$

21,00 e gasta R$ 90,00. O custo de mo de obra adicional para cada trem de R$

10,00. A fabricao destes brinquedos requer dois tipos de mo de obra: Carpintaria e

Acabamento. Um soldado necessita de 2 horas para acabamento e 1 para carpintaria.

Um trem necessita de 1 hora para acabamento e 1 hora de carpintaria. Cada semana,

Giapetto pode obter qualquer quantidade de matria prima, mas tem a disposio at

100 horas de acabamento e 80 de carpintaria. A demanda por trens ilimitada, mas a

venda de soldados de no mximo 40 por semana. Giapetto quer maximizar seu lucro

dirio. Formular o modelo matemtico que poderia ser usado por Giapetto para

maximizar seu lucro semanal.

1 passo: Modelar o problema. Vamos descrever as variveis do problema, o que na linguagem

GAMS chamada de (SETS ) numa traduo pode-se chamar de ndices ou conjuntos.

ndices:

Xi,j: Quantidade a ser produzida do produto i utilizando os recursos j. O GAMS um software

orientado ao objeto, logo temos que declarar esses objetos que no caso so os i produtos e os j

recursos.

Estruturao e otimizao de modelos lineares estacionrios________________________________ 8

2 passo: Definir os parmetros (PARAMETER) do modelo: Neste caso sabemos a margem de

contribuio unitria por produto i. Portanto, necessrio esse parmetro que estar ligado ao

ndice i. Vamos chamar este parmetro de MCi. Outro parmetro com relao disponibilidade

dos recursos, sendo este parmetro ligado ao ndice j. Vamos chamar este parmetro de Aj.

Finalmente, devemos criar um parmetro que mostre o consumo unitrio de cada recurso por

produto, sendo este parmetro pertencente aos ndices i e j. Neste caso na linguagem GAMS deve

ser criado uma Tabela (TABLE), que vamos chamar de R i, j.

3 passo: Definir as variveis de deciso: Temos uma deciso que saber o valor da margem de

contribuio, vamos definir essa varivel de Xi. Na linguagem GAMS necessrio informar uma

varivel que vai definir a funo objetivo, neste caso chamaremos de Z, que vai definir os valores

timos de produo de cada produto.

4 passo: Definir as equaes (EQUATIONS): as equaes so definidas por meio do nmero de

restries mais a funo objetivo. A primeira equao vai definir o valor da margem de

contribuio, portanto chamaremos a mesma de margem. A segunda equao vai determinar o

quanto ser consumido por recurso j vamos chamar essa equao de consumo. E a ltima

equao definir o limite mximo de demanda do produto soldado. Agora podemos resolver o

problema do Amigo Giapetto.

0

40

.

:asujeito

. Z

,

""

,

2

JI

SOLDADO

n

ijiji

iii

X

X

AXR

XMCMax

A Tabela 2.1 mostra alguns comandos bsicos da linguagem GAMS

Tabela 2.1- Comandos bsicos em linguagem GAMS


Smbolo Significado

G Define uma inequao de sinal maior ou igual

L Define uma inequao de sinal de menor ou igual

E Define uma equao (X= n)

So fixadores de ndices

Tambm um fixador de ndices

PROD Expresso para produto de uma srie

SUM Expresso para somatrio

Model Descreve o modelo estudado

Solve Descreve a utilizao de um solver especfico

Display Recurso utilizado para calcular o primal e o dual

A Tabela 2.2 mostra as funes padro de GAMS.

Tabela 2.2- Funes padro em GAMS

Nome Descrio Definio Nmero de Argumentos

ABS Valor absoluto |ARG| 1

ARCTAN Arco Tangente Arctan (arg); resultado em

radianos

1

CEIL Funo teto Maior inteiro arg 1

COS Cosseno Cos (arg) argumento em

radianos

1

ERRORF Funo erro Integral de distribuio normal

padro

1

EXP Exponencial earg 1

FLOOR Funo piso Maior inteiro arg 1


Nome Descrio Definio Nmero de Argumentos

LOG Logaritmo

natural

Log do arg na base e 1

Log10 Logaritmo

comum

Log de arg na base 10 1

MAPVAL Funo

mapeamento

Atribuiu nmeros a valores

especiais

1

MAX Maior valor Max (arg1, arg2,...,argn) >1

MIN Menor valor Min (arg1, arg2,..,argn) >1

MOD Resto arg1-trunc(arg1/arg2) x arg3 2

Normal Randmica

normal

Nmero aleatrio distribudo

normalmente com argumento

arg1 e desvio padro arg2

2*

POWER Potncia inteira

ROUND Arredondamento

SIGN Sinal

SIN Seno Sem (arg); arg em radianos

SQR Quadrado arg x arg 1

SQRT Raiz quadrada 1

TRUNC Truncamento Sign (arg) x floor (abs(arg)) 1

UNIFORM Randmica

uniforme

Nmero aleatrio distribudo

uniformemente entre arg1 e arg2

2*

A Figura 1.1 mostra os processos para obteno do modelo do Giapetto em linguagem GAMS.

Clicando em F9 obtido a soluo para este modelo. A soluo tima para este modelo seria.

Produzir 20 soldados e 60 trens gerando um lucro mximo de R$ 180,00 reais. O GAMS oferece

algumas estatsticas referentes ao tamanho do modelo, como se pode ver abaixo no caso do


modelo Giapetto. As contagens de BLOCKS se refere ao nmero de equaes genricas e

variveis. As contagens de SINGLE se refere as linhas e colunas individuais que esto sendo

geradas na instancia particular do modelo. Para os modelos no lineares, so fornecidas outras

estatsticas para descrever o grau de no linearidade do problema (BROOKE et al., 1997).


Figura 1.1- Modelo Giapetto em linguagem GAMS.

2- O Senhor Martins dono de uma oficina muito movimentada na cidade de

Guaratinguet- SP. Ele querendo maximizar seus retornos e tambm, visando

realizao de novos investimentos na sua oficina. Resolveu procurar voc/SA, para

fazer um planejamento da sua produo, visando maximizao do lucro, e

identificar possveis reas para realizao de novos investimentos. Os dados da

empresa esto logo abaixo:

Tipo de Mquina Produto

1

Produto 2 Produto 3 Tempo

disponvel

Torno 5 3 5 400

Fresa 8 4 0 500

Furadeira 2 5 3 300

Lucro 20 15 18

Demanda Semanal

mxima

40 50 20

Uma oficina mecnica deseja alocar o tempo ocioso disponvel em suas mquinas para a

produo de trs produtos. A Tabela abaixo mostra as informaes sobre as necessidades de

horas de mquina para produzir uma unidade de cada produto, assim como a

disponibilidade das mquinas, o lucro dos produtos e a demanda mxima existente no

mercado. Deseja-se o esquema semanal de produo de lucro mximo.

Resolvendo o exemplo do senhor Martins.

1 passo: Descrever os ndices.

i, j Os objetos so os i produtos e j recursos

2 passo: Descrever os parmetros.


Ri, j: Consumo unitrios por produto i de cada recurso j.

Aj: Quantidade disponvel do recurso j.

Di: Demanda mxima por produto i.

Li: Lucro unitrio por produto i.

3 passo: Descrever as variveis de deciso.

Xi: Define a produo do produto i.

Z: Expresso da funo objetivo.

4 passo: Descrever as equaes.

Margem: Define o lucro mximo

Consumoj: Define o consumo por produto i do recurso j.

Dprodutosi: Define a demanda mxima por produto i.

5 passo: Construo do modelo matemtico.

0X

DXDprodutos

A.XRconsumo

:asujeito

.XLMax Z

JI,

iii

n

ijiji,j

n

iii


Figura 1.2: Modelo matemtico exemplo 2 em linguagem GAMS.

Soluo tima: Produzir 40 unidades do produto 1, 32 unidades do produto 2 e 20 unidades do

produto 3. Gerando um lucro mximo de R$ 1.640,00.

Soluo Dual: Produto 1 R$ 14,00, produto 3 R$ 9,00 e Furadeira R$ 3,00. Interpretao

econmica do dual. Se a oficina aumentasse a demanda do produto 1 em uma unidade o lucro

aumentaria em R$ 14,00. Se a usina aumentasse a demanda em uma unidade do produto 2, o

lucro aumentaria em R$ 9,00. Se o tempo disponvel de utilizao da furadeira fosse aumentada

em uma hora o lucro aumentaria em R$ 3,00.

Desenvolva e otimize os modelos dos problemas descritos a seguir utilizando-se do

software GAMS.

1 Uma indstria fabrica dois tipos de papel e para isso utiliza somente uma mquina. Devido a

certas restries de matria prima, no se pode diariamente produzir mais do que 4 tons de

papel do tipo A, nem mais do que 6 tons do tipo B. Requer-se 1 hora da mquina para produzir 1

ton. de papel do tipo A e 1 hora para produzir 1 ton. de papel do tipo B. O lucro por ton.

produzida de R$ 2,00 para o papel do tipo A e de R$ 5,00 para o papel do tipo B. O tempo de

utilizao da mquina de 8 horas/dia. Elaborar o plano timo de produo.

2 Uma pequena indstria usa trs tipos de matrias primas, P, Q, R para a fabricao de dois

produtos A e B. As matrias primas em disponibilidade na fbrica so:

20 unidades de P;

12 unidades de Q; e

16 unidades de R.

Por razes tecnolgicas, uma unidade do produto A necessita respectivamente de 2, 2 e 4

unidades de matrias primas P, Q e R. Para o produto B esses coeficientes tcnicos so 4, 2 e 0,

respectivamente. O fabricante sabe que o lucro na produo de A de 0,5 unidades monetrias e

de B de 1 unidade monetria. Qual o lucro mximo e quais as quantidades produzidas das

mercadorias A e B para se obter o lucro mximo?


3 Uma companhia de investimento dispe de R$ 100.000,00 para investir em aes e letras

imobilirias.

Sua poltica de aplicao consiste em:

Empregar, no mximo, 50% do disponvel em aes; e

Empregar, no mximo, 60% do disponvel em letras imobilirias.

Atravs de uma pesquisa de mercado, a companhia verificou que deveria empregar, no mximo,

40% do disponvel, na diferena entre o dobro da quantidade investida em aes e a quantidade

investida em letras; e empregar, no mximo, 1% do disponvel na soma da oitava parte investida

em aes com a quinta parte investida em letras.

As aes produzem uma rentabilidade de 5% ao ms e as letras 4% ao ms. Qual o investimento

timo?

4 Uma fbrica de canetas quer saber do Departamento de Engenharia quantas canetas de cada

tipo (standard, luxo e esferogrfica) devero ser produzidas, para que o lucro da empresa seja

mximo.

INFORMAES:

a) Do departamento de Produo

Produes mximas mensais possveis para cada um dos tipos de canetas (isto ,

produzir-se s um tipo):

Standard 15.000

Luxo 10.000

Esferogrfica 20.000

b) Do Departamento de Vendas

Mximo de vendas mensais para cada um dos tipos:

Standard 12.000

Luxo 8.000

Esferogrfica 30.000

c) Do Departamento de Contabilidade

Lucro unitrio para cada tipo:


Standard R$ 0,70

Luxo R$ 0,50

Esferogrfica R$ 0,30

5 Uma fbrica de automveis e caminhes possui os seguintes departamentos;

1. Estamparia de pranchas metlicas;

2. Montagem de motores;

3. Montagem de automveis; e

4. Montagem de caminhes.

O departamento 1 deve estampar, no mnimo por ms, as pranchas necessrias para 25.000

automveis ou 35.000 caminhes, ou as correspondentes combinaes de automveis e

caminhes.

O departamento 2 deve no mnimo por ms, montar 33.333 motores de automveis e 16.667

motores de caminhes ou as correspondentes combinaes de motores de automvel e

caminho.

O departamento 3 pode montar e terminar 40.000 automveis e o departamento 4, mensalmente

25.000 caminhes (ambos utilizando sua capacidade mxima).

Com o constante aumento do combustvel, a fbrica sabe que o prejuzo na fabricao de um

automvel de R$ 500,00 e na fabricao de um caminho de R$ 200,00. Qual a quantidade de

automveis e caminhes a ser produzida a fim de que a fbrica tenha o menor prejuzo possvel,

dadas as condies atuais do mercado?

6 Uma indstria de aparelhos eletrodomsticos tem equipamento para produzir geladeiras,

mquinas de lavar e foges.

O regime de operao da indstria de 45 horas semanais. Seu equipamento pode fabricar, por

hora, 50 geladeiras ou 25 mquinas de lavar ou 75 foges.

Uma pesquisa de mercado revelou que a demanda semanal de 1.000 geladeiras, 500 mquinas

de lavar e 1.500 foges.


A geladeira proporciona, por cada unidade vendida, um lucro de R$ 40,00; a mquina de lavar R$

120,00 e o fogo um lucro de R$ 30,00.

Qual seria o modelo matemtico da indstria que permitiria o lucro mximo semanal ?

7 Um sapateiro faz 6 sapatos por hora, se fizer somente sapatos, e 5 cintos por hora, se fizer

somente cintos. Ele gasta 2 unidades de couro para fabricar uma unidade de sapato e uma

unidade de couro para fabricar uma unidade de cinto. Sabendo-se que o total disponvel de couro

de 6 unidades e que o lucro unitrio por sapato de 5 unidades monetrias e o do cinto de 2

unidades monetrias, pede-se: o modelo do sistema de produo do sapateiro, se o objetivo

maximizar seu lucro por hora.

8 Um vendedor de frutas pode transportar 800 caixas de frutas para sua regio de vendas. Ele

necessita transportar 200 caixas com laranjas, tendo um lucro de 20 u.m. por caixa, pelo menos

100 caixas com pssegos a 10 u.m. de lucro por caixa e no mximo 200 caixas com tangerinas a

30 u.m de lucro por caixa. Construir o modelo matemtico que permita ao vendedor carregar o

caminho de modo a obter o lucro mximo.

9 Uma rede de televiso local tem o seguinte problema: foi descoberto que o programa A com

20 minutos de msica e 1 minuto de propaganda chama a ateno de 30.000 telespectadores,

enquanto o programa B com 10 minutos de msica e 1 minuto de propaganda chama a ateno

de 10.000 telespectadores. NO decorrer de uma semana, o patrocinador insiste no uso de no

mnimo, 5 minutos para sua propaganda e que no h verba para mais de 80 minutos de msica.

Quantas vezes por semana cada programa devem ser levadas ao ar para obter o nmero mximo

de telespectadores? Construa o modelo do sistema.

10 Um fazendeiro est estudando a diviso de sua propriedade nas seguintes atividades

produtivas.


A (Arrendamento) Destinar certa quantidade de alqueires para a plantao de cana de acar, a

uma usina local, que se encarrega da atividade e paga pelo aluguel da terra $ 300,00 por alqueire

por ano.

P (Pecuria) Usar outra parte para criao de gado de corte. A recuperao das pastagens

requer adubao (100 kg / Alq) e irrigao (100.000 l de gua / Alq) por ano. O lucro estimado

nessa atividade de $ 400,00 / Alq no ano.

S (Plantio de Soja) Usar uma terceira parte para o plantio de soja. Essa cultura requer 200 kg

por alqueire de adubos e 200.000 l de gua / Alq para irrigao por ano. O lucro estimado nessa

atividade de $ 500,00 por alqueire no ano.

Disponibilidade de recursos por ano:

12.750.000 l de gua;

14.000 kg de adubo; e

100 alqueires de terra.

Quanto alqueire dever destinar a cada atividade para proporcionar o melhor retorno?

Captulo 3

3. DESENVOLVIMENTO E OTIMIZAO DE MODELOS LINEARES PRTICOS POR MEIO DO GAMS

comum durante o desenvolvimento de modelos matemticos nos depararmos com problemas onde h

limites de demanda para determinados produtos. Como exemplo, iremos modelar um problema em

linguagem GAMS. Os dados esto dispostos abaixo. O Quadro 3.1 refere-se aos recursos disponveis na

fazenda para realizao das atividades leiteiras e de corte.

Quadro 3.1- Recursos disponveis

Abreviatura RESTRIES

AT rea total disponvel para a atividade leiteira ha/ano

TR Custo da terra (devendo ser considerado o custo de oportunidade e o custo de manuteno adubao, reforma de pasto, limpeza e destoca) R$/ano

BE Custo e despesas com benfeitorias (considerando-se a depreciao, o custo de oportunidade eo custo de manuteno) R$/ano

MI Custo e despesas com mquinas e implementos (considerando-se a depreciao, o custo deoportunidade e o custo de manuteno) R$/ano

EQ Custo e despesas com equipamentos (considerando-se a depreciao, o custo deoportunidade e o custo de manuteno) R$/ano

RE Custo e despesas com reprodutores (considerando-se a depreciao e o custo deoportunidade) R$/ano

AL Custo e despesas com alimentao (considerando-se o gasto com concentrados, suplementose forrageiras e o custo alternativo) R$/ano

PV Custo e despesas com produtos veterinrios (considerando-se o gasto e o custo alternativo) R$/ano

IA Custo e despesas com inseminao artificial (considerando-se o gasto e o custo alternativo) R$/ano

TE Custo e despesas com transferncia de embries (considerando-se o gasto e o custoalternativo) R$/ano

DA Gastos com despesas administrativas (considerando-se tambm o custo alternativo) R$/ano

MK Gastos com marketing e propaganda (considerando-se tambm o custo alternativo) R$/ano

MO Custo e despesas com mo-de-obra (considerando-se o gasto efetivo, os encargos pagos e ocusto alternativo) R$/ano

A Tabela 3.1 mostra os recursos disponveis e o consumo por categoria de animal para o ano de 2004.

Desenvolvimento e Otimizao de Modelos Lineares Prticos Por Meio do GAMS______________ 21Tabela 3.1- Consumo anual por animal.

RestriesRECURSOS

DISPONVEIS UnidadesRECURSOS CONSUMIDOS POR

CATEGORIA

Bezerras Bezerros Novilhas Vacas Touro

AT 196,50 ha/ano 0,09 0,09 0,25 0,35 0,42

TR 39.493,39 R$/ano 43,37 32,81 66,12 88,78 1535,85

BE 9.894,38 R$/ano 4,07 3,08 3,16 68,26 10,99

MI 51.601,87 R$/ano 70,83 53,59 45,25 276,01 57,34

EQ 13.605,94 R$/ano 3,73 2,83 2,17 99,14 15,12

RE 2.432,04 R$/ano 10,35 7,83 6,59 0,94 0,00

AL 235.063,69 R$/ano 161,32 122,07 393,56 1239,10 261,18

PV 19.243,82 R$/ano 42,26 31,98 27,62 73,10 21,38

IA 3.923,65 R$/ano 16,69 12,63 10,64 1,52 0,00

TE 7.240,00 R$/ano 30,81 23,31 19,63 2,81 0,00

DA 35.535,30 R$/ano 34,14 25,83 19,83 214,86 78,97

MK 18.089,05 R$/ano 69,52 52,60 51,92 5,61 80,40

MO 51.729,07 R$/ano 42,60 32,23 28,87 316,79 114,95RO Oramento disponvel: R$ 487.852,20

Essa Tabela foi obtida por meio de rateio, considerando o consumo efetivo de recursos e o tempo de

permanncia de cada categoria animal na propriedade. Para garantir a sustentabilidade econmica da

produo de leite e da produo animais da Fazenda , foram inseridas restries adicionais as

quantidades mximas e mnimas que cada categoria animal deveria possuir, conforme apresentado na

Tabela 3,2. Esses valores so baseados na taxa de lotao histrica da fazenda no ano de 2003.

Tabela 3.2- Categorias de animais

Categoria Qtde Mxima Qtde MnimaX1 95 39

X2 135 53

X3 170 60

X4 200 100

X5 12 -

O oramento disponvel de R$ 487.852,20. O objetivo maximizar a quantidade de animais. Formule o

modelo utilizando-se da linguagem GAMS.

Desenvolvimento e Otimizao de Modelos Lineares Prticos Por Meio do GAMS______________ 22ndices:

i associado s categorias de animais (Bezerras, Bezerros, Novilhas, Vacas e Touros).

j associado s categorias dos recursos (AT, TR, BE, MI, EQ, RE, AL, PV, IA, TE, DA, MK, MO,RO).

Parmetros:

Pj: associado ao ndice j define os limites mximos de cada recurso.

Ri, j: associado ao consumo unitrio do recurso j por categoria de animal i.

Variveis:

Xi: Quantidade por categoria de animal.

Z: Associada ao clculo da funo objetivo.

Equaes:

Animais define a funo objetivo

AJ: Calcula o quanto a ser utilizado do recurso j por categoria de animal i.

maxbezerrai: mximo de bezerras.

minbezerrai: mnimo de bezerras.

maxbezerrosi: mximo de bezerros.

minbezerrosi: mnimo de bezerros.

maxnovilhasi: mximo de novilhas.

minnovilhasi: mnimo de novilhas.

maxvacasi: mximo de vacas

minvacasi: mnimo de vacas.

mintouroi: mnimo de touro.

maxtouroi: mximo de touro.

Vamos introduzir outro comando na linguagem GAMS denominado SCALAR neste caso esse comando vai

representar uma constante que no est ligado a nenhum ndice.

Desenvolvimento e Otimizao de Modelos Lineares Prticos Por Meio do GAMS______________ 23

0X

9Xmintouro

12Xmaxtouro

100Xminvacas

200Xmaxvacas

60Xsminnovilha

170Xsmaxnovilha

53"Xminbezerro

135"Xmaxbezerro

39"Xminbezerra

95"Xmaxbezerra

.

:a sujeito

Zanimais

ji,

touro""i

touro""i

vacas""i

vacas""i

novilhas""i

novilhas""i

bezerros"i

bezerros"i

bezerras"i

bezerras"i

j

n

iiji,

n

ii

PXR

X

Para este modelo temos um problema de programao inteira. Este assunto ser discutido nos prximos

captulos. Portanto, resolveremos o mesmo por meio da otimizao linear contnua.

A Figura 3.1 mostra o modelo em linguagem GAMS. A soluo tima no inteira seria: bezerras= 39,

bezerros= 132,33, novilhas= 132,172, vacas= 127,773 e touro= 8,71. Utilizando 486.350,05 do

oramento.


Figura 3.1- Modelo agricultura em GAMS.

Os e as (estes pontos ) so indexadores de ndices na linguagem GAMS.

Exemplo 4: Alocao de tarefas.

Uma empresa de correios deseja estabelecer o nmero de funcionrios de horrios integral que deve

contratar para iniciar suas atividades. Para faz-lo, recebeu uma matriz da empresa com o nmero

mnimo de funcionrios por dia da semana. Estas informaes se encontram na Tabela 3.3. O

Desenvolvimento e Otimizao de Modelos Lineares Prticos Por Meio do GAMS______________ 25sindicato dos empregados de franqueadores dos correios mantm um acordo sindical que

determina que cada empregado deve trabalhar cinco dias consecutivos e folgar em seguida dois

dias, e que as franquias devem ter apenas empregados com horrio integral. Desenvolva e otimize o

modelo de maneira a determinar o nmero total de empregados que a franquia deve contratar e o

nmero de empregados por dia, utilizando a linguagem de modelagem GAMS.

Tabela 3.3- Dados do problema da empresa correios.

Dia da semana Nmero de funcionrios

Domingo 11

Segunda-feira 18

Tera-feira 12

Quarta-feira 15

Quinta-feira 14

Sexta-feira 14

Sbado 16

ndices:

n: associado ao nmero de funcionrios

s: associado aos dias da semana.

Parmetros:

Alocaos,n: associado ao nmero de funcionrios n requeridos no dia da semana s.

Funcionriosn: associado ao nmero mnimo de funcionrios n para trabalhar no dia da semana s.

Variveis:

Z associada funo objetivo.

Xs: nmero de funcionrios i contratados no dia da semana s.

Equaes:

Func: calcula a funo objetivo.

Alocadosn: calcula o nmero de funcionrios alocados em cada dia da semana s.

A Figura 3.2 mostra o resumo do modelo no GAMS. A soluo tima para o problema contratar 22,6666

funcionrios no total, sendo que seria contratado 5 funcionrios no domingo, 1,666 na segunda, 4.667 na

tera, 7,667 na quinta e 3.667 no sbado. Os totais de empregados disponveis por dia da semana esto

dispostos abaixo, sendo N1 nmero de funcionrios que iniciam a atividade no domingo e N7 o nmero

de funcionrios que iniciam a atividade no sbado. N1= 16.333, N2= 18, N3= 15, N4= 15, N5= 19 e N6=14

e N7= 16


0X

osfuncionari.alocacao alocados

:asujeito

X Zfunc.

ns,

ns

ns,n

ss

s

n

X

Figura 3.2- Modelo correios pelo GAMS.

Exemplo de deciso entre fazer ou comprar:

A turbo motores LTDA, uma fbrica de motores especiais, recebeu recentemente R$ 100.000,00 em

pedidos de seus trs tipos de motores. Cada motor necessita de um determinado nmero de horas de

trabalho no setor de montagem e acabamento. A turbo motores deseja determinar quantos motores

devem ser produzidos em sua fbrica e quantos devem ser produzidos de forma terceirizada para

Desenvolvimento e Otimizao de Modelos Lineares Prticos Por Meio do GAMS______________ 27atender demanda de pedidos. A Tabela 3.4 mostra as informaes referentes a esta empresa.

Tabela 3.4- Dados da empresa turbo motores.

Modelo 1 2 3 Disponibilidade

Demanda 3000 unid 2500 unid 550 unid

Montagem 1 h/unid 2h/unid 0,5 h/unid 6000 h

Acabamento 2.5 h/unid 1h/unid 4h/unid 10000h

Custo de

produo

R$ 50 R$ 90 R$ 120

Terceirizao R$ 65 R$ 92 R$ 140

ndices:

p: associado produo.

j: associado aos recursos.

Parmetros:

Aj: associado disponibilidade dos recursos j.

Produzirp,: associado ao consumo da recurso j pelo produto p.

Custop: associado ao custo de produo do produto p.

cust: associado ao custo de terceirizao t.

demandap,: associado a deciso unitria de produo e terceirizao.

demandasp: associado a demanda do produto p que pode ser fabricado ou terceirizado.

Variveis.

Z relacionado funo objetivo.

Mincp,: quantidade a ser produzida e terceirizada do produto p visando a obteno do menor custo.

Produzidop: quantidade a ser fabricada do produto p.

Terceirizadop: quantidade a ser terceirizada do produto p.

Equaes:

Customin: calcula o custo mnimo.

Consumop: calcula o consumo do recurso j pelo produto p.

Decisop,t: calcula a deciso entre produzir e terceirizar.

Desenvolvimento e Otimizao de Modelos Lineares Prticos Por Meio do GAMS______________ 28Modelo matemtico:

0zado terceiriproduzido, minc,

demandasoterceirzadproduzido

Aproduzido.produzir..consumo

:aSujeito

cus.doterceirizacusto.produzido Zcustomin.

ppp

jpjp,j

ptppp

p

t

A figura 3.3 resume o desenvolvimento desse modelo em GAMS.


Figura 3.3- Modelo de deciso de compra ou terceirizao em GAMS

Soluo tima: Produzir P1=3.000; P2= 500; P3= 500, terceirizando a produo de P2= 2.000. Gerando um

lucro mximo= R$ 43.900,00.

Captulo 4

4. DESENVOLVIMENTO E OTIMIZAO DE MODELOS DINMICOS

A maioria dos problemas de otimizao prticos so multiperodo ou dinmicos, e neste caso o

modelo matemtico torna-se mais complexo. Resolvamos o problema de estoque:

Uma empresa de barcos precisa determinar quantos veleiros devem ser produzidos durante

cada um dos 4 prximos trimestres. A demanda de cada um dos trimestres : primeiro

trimestre, 40 veleiros; segundo trimestre, 60 veleiros, terceiro trimestre, 75 veleiros, quarto

trimestre, 25 veleiros. A empresa quer atender a demanda prontamente. No incio do

primeiro trimestre, a empresa tem 10 veleiros em estoque. No incio de cada trimestre, a

empresa precisa decidir quantos veleiros devem ser produzidos durante o trimestre. Por

simplicidade, assume-se que os veleiros so fabricados durante um trimestre podem ser

usados para atender a demanda deste trimestre. Durante cada trimestre, a empresa pode

produzir at 40 veleiros com sua mo de obra regular a um custo de R$ 400,00 por veleiros.

Tendo de trabalhar com horas extras durante o trimestre, a empresa pode produzir veleiros

a mais a um custo total de R$ 450,00 por barco. No final de cada trimestre aps ter ocorrido

a produo e a demanda do trimestre ter sido atendida, um custo de transporte ou

armazenagem de R$ 20,00 por barco ocorre. Desenvolva o modelo matemtico por meio do

software GAMS.

Soluo:

ndices:

i: associado ao produto veleiro.

t: associado aos trimestres.

Na linguagem GAMS h outra funo chamada alias, esta funo permite a incluso de subndices

no modelo matemtico. Neste caso vamos criar 2 subndices, associados ao ndice principal t

t,textra: associado produo utilizando horas extras no trimestre t.

t,stoks: associado ao estoque do produto veleiro no trimestre t.

Desenvolvimento e Otimizao de Modelos Dinmicos____________________________________ 31

Parmetros:

Demandat: associado demanda requerida do produto i para cada trimestre t.

Producaot: associado produo mxima para o produto i para cada trimestre t.

Mt,i: associado produo do produto i usando a mo de obra normal no trimestre t.

Extratextra,i: associado produo do produto i utilizando horas extras no trimestre t.

Estocagemstoks,i: associado estocagem do produto i no trimestre t.

I0t,i,: associado ao estoque inicial do produto i no trimestre t.

Contrt: controle de estoque inicial.

Variveis:

Z funo objetivo.

produtoextrat,i: produo do produto i com mo de obra extra no trimestre t.

produtoestoquet,i: estoque do produto i no trimestre t.

Equaes:

Mincusto: calcula o custo mnimo da funo objetivo.

Limitet: calcula a produo do produto i no trimestre t.

fabricaot: calcula o limite fabricado em horas disponveis.

calculoestoquet: calcula a capacidade de estoque no trimestre t.

0 oqueprodutoest,raprodutoext,produtos

demandaoqueprodutoest

I0raprodutoextprodutooqueprodutoestoquecalculoest

producaoprodutofabricacao

demandaoqueprodutoestI0raprodutoextproduto.limite

:asujeito

estocagem.0quesprodutoestextra.raprodutoextM.produto

it,it,it,

ti1,-t

it,it,it,it,t

itit,t

iti1,-t,

iit,

iit,t

itextra, istoks,istoks,istoks,itextra,itextra,

it,it,it,

i

iii

it

Z

A Figura 4.1 mostra este modelo em linguagem GAMS.


Figura 4.1- Modelo dinmico de estoque em linguagem GAMS.

Soluo tima: produo utilizando horas normais: t1=40; t2= 40; t3= 40 e t4= 25.

Produo utilizando horas extras: t2= 10; t3= 35.

Estoques: t1= 10. Custo mnimo R$ 7.840,00

Exemplo 2: Fluxo de caixa multiperodo.

Uma empresa est construindo um novo restaurante que integrar a sua cadeia no prximo

ano. Para tal, necessita de um total de R$ 500.000,00 que ser pago construtora em duas

parcelas de R$ 150.000,00 ao final do 2 e 5 meses, e uma parcela de R$ 200.000,00 ao


trmino da construo no fim do 7 ms. A empresa dispe de 4 tipos de investimentos que

podem ser utilizados a fim de gerar caixa para quitar a construo de maneira a reduzir a

necessidade total de caixa. Informaes:

Investimento Aplicao

disponvel no

incio dos meses

Meses de durao

da aplicao

Retorno ao final do

investimento

Tipo A 1,2,3,4,5,6,7 1 1.5%

Tipo B 1,3,5 2 3.2%

Tipo C 1,4 3 4.5%

Tipo D 1 7 9%

Soluo:

ndices:

j: associado aos tipos de investimento.

m: associado aos meses.

a: associado s aplicaes disponveis.

Parmetros:

Investimentosj, a, m: associado a alocado do disponvel a no tipo de investimento j no ms m.

Dm: associado parcela a ser paga no ms m.

Variveis:

Z associada funo objetivo.

Utilizadoj, a: associada ao valor aplicado no tipo de investimento j do disponvel a.

Equaes:

Aplicaes: calcula a funo objetivo.

Clculom: calcula o valor aplicado em cada tipo de investimento.


0Utilizado

DUtilizado.tosInvestimen

:asujeito

UtilizadoDUtilizadoCUtilizadoBA UtilizadoMin Z..Aplicaes

aj,

n

aj,maj,ma,j,

1111

A Figura 4.2 contempla o modelo fluxo de caixa em linguagem GAMS.

Figura 4.2- Modelo fluxo de caixa em linguagem GAMS.


Exerccios propostos

Uma fbrica produz refrigeradores, freezers e fornos. A demanda mensal mdia destes produtos

, respectivamente, de 115.000, 58.000 e 48.000 unidades, e segue um esquema de mdias

mveis com perodo de 4, isto , a demanda de quatro meses consecutivos e constantes ao longo

do tempo. A demanda registrada nos ltimos trs meses foi seguinte:

Demanda mensal por (unidades)

Produto Julho Agosto Setembro

Refrigerador 125.000 108.000 136.000

Freezer 57.000 52.000 73.000

Forno 45.000 36.000 58.000

Para fabricar estes produtos, trs recursos bsicos so necessrios (MDO, MP e energia), cujos

consumos unitrios esto apresentados no quadro abaixo.

Consumo unitrio

Produto MDO/ horas Material Kg Energia kWh

Refrigerador 1,4 17 25

Freezer 1,7 21 23

Forno 1,1 10 17

A fbrica dispe de 1.900 empregados na linha de produo, cada um dos quais trabalha 200

horas por ms. O custo de armazenamento mensal de uma unidade de cada produto R$ 10, R$ 13,

R$ 8, respectivamente. A disponibilidade mensal de energia 5,5 x 106 KW/h. A empresa poder

comprar at 3.850 ton/ ms de material, que poder ser armazenado a um custo mensal de R$

0,15kg. Desenvolva o modelo matemtico que permita determinar o plano timo de produo-

material-pessoal para os prximos 12 meses, de modo a garantir que todos os empregados

entrem em frias (1 ms) durante este perodo. Considere que no incio do ms de outubro no

existe estoque de produto acabado e que o estoque de matria-prima de 3.200 toneladas.

Captulo 5

5. DESENVOLVIMENTO E OTIMIZAO DE MODELOS INTEIROS

Supondo que a empresa X, tenha uma disponibilidade mxima de R$ 650 reais para realizar

vrios investimentos. A taxa mnima de atratividade requerida por esta empresa 10%,

para cada um dos projetos. Os projetos 1 a 6 so mutuamente excludentes, ou seja, a escolha

de um elimina os outros 5.

Aps a realizao dos clculos obtiveram os seguintes resultados

Projeto Investimento Inicial/(UM 1.000,00)

Valor Presente p/ I= 10% p/UM 1.000,00

1 R$ 150,00 R$ 500,00

2 R$ 160,00 R$ 515,00

3 R$ 170,00 R$ 555,00

4 R$ 210,00 R$ 530,00

5 R$ 180,00 R$ 565,00

6 R$ 240,00 R$ 595,00

7 R$ 200,00 R$ 500,00

8 R$ 150,00 R$ 400,00

9 R$ 70,00 R$ 30,00

10 R$ 250,00 R$ 350,00

11 R$ 150,00 R$ 300,00

Selecionar o portflio de projetos que maximize o valor presente desta empresa. Os recursos

disponveis so de R$ 650.

Soluo:

ndices:

p: associado aos projetos disponveis.

Parmetros:

Investimentop: capital disponvel para investir no projeto p.

Desenvolvimento e Otimizao de Modelos Inteiros______________________________________ 38

VPLp: Valor presente do projeto p.

Variveis:

Z: Funo objetivo

MAXVPLp: associado escolha do projeto p.

Modelo matemtico:

10,MaxVPL650toInvestimen.MAXVPL

1MAXVPL

:asujeito

VPL.MAXVPLMax Z

p

pp

6

p

p

n

pp

p


Figura 5.1- Modelo MIP1 em GAMS.

Soluo tima: Investir nos projetos: P1, P7, P8 e P11. Gerando um VPL mximo R$ 1.700,00.

Exemplo 2:

Uma indstria quer se expandir, construindo nova Fbrica ou em Itajub ou em

Guaratinguet. Tambm ser considerada a construo de um novo Depsito na cidade que

for selecionada para receber a nova Fbrica. O Valor Presente Lquido de cada alternativa

est na Tabela 5.1. A ltima coluna d o Capital Requerido para os investimentos, sendo o

capital total disponvel $25 milhes. Achar a combinao vivel de alternativas que

Maximize o Valor Presente Lquido Total.

Tabela 5.1- Dados para a construo da nova Fbrica.

Deciso Sim ou No VPL

Capital

Requerido

1 Fbrica em Itajub 7.000.000 20.000.000

2 Fbrica em Guaratinguet 5.000.000 15.000.000

3 Depsito em Itajub 4.000.000 12.000.000

4 Depsito em Guaratinguet 3.000.000 10.000.000


Soluo: Modelo Matemtico:

10,selecaoselecaoselecao

iaoramentrRestrio25.000.000capital.selecao

:asujeito

VPL.selecaoMax Z

ji,

deposito"",itajuba""fabrica"",itajuba""

n

ji,ji,ji,

n

ji,ji,ji,

A Figura 5.2 mostra este modelo em linguagem GAMS.


Figura 5.2- Modelo MIP2 em linguagem GAMS.

Soluo tima: Construir tudo em Guaratinguet. Gerando um VPL mximo de R$ 8.000.000,00.

Repare que utilizamos o solver MIP (CPLEX 12.1.0), sendo este solver o mais adequado para

resolver problemas mistos, binrios e inteiros.

Captulo 6

6. DESENVOLVIMENTO E OTIMIZAO DE MODELOS DE REDES

De forma geral, modelos de rede so utilizados em casos especiais de otimizao linear que so

mais bem analisados por meio de uma representao grfica.

Modelos de rede so diagramas compostos por uma coleo de vrtices ou ns ligados entre si

por um conjunto de arcos, conforme mostra a Figura 6.1. Os ns so os crculos e os arcos so as

retas de ligao.

Figura 6.1- Componentes de uma rede.

Os problemas modelados como redes geralmente apresentam nmeros associados aos ns e aos

arcos. Em problemas de transporte modelados como redes, por exemplo, os nmeros associados

aos ns podem representar a quantidade de produtos ofertados ou demanda pelo n, ao passo

que os valores dos arcos podem refletir os custos de transporte (ou tempo, ou distncia) entre

um n e o outro. Diversos problemas de tomada de deciso prticos esto categorizados como

problemas de Rede. Entre eles pode-se citar:

Problemas de transporte; Escala de Produo; Rede de Distribuio; Problemas de Menor Caminho; Problemas de fluxo mximo; Problemas de caminho crtico; Problemas de

rvores geradoras mnimas.

A Figura 6.2 contempla um exemplo de redes em problemas de transporte.

Desenvolvimento e Otimizao de modelos de redes______________________________________ 43

Figura 6.2- Exemplo de problemas de transporte.

Exemplo 1:

Uma empresa fabricante de bicicletas possui trs fbricas localizadas no Rio, em So Paulo e

em Belo Horizonte. A produo da empresa deve ser entregue em Recife, Salvador e Manaus.

Considerando os custos de transporte unitrios, a capacidade de produo das fbricas e a

demanda dos centros consumidores ilustrados na Tabela a seguir.

Determine quanto deve ser produzido e entregue por fbrica em cada centro consumidor, de

forma a minimizar os custos de transporte.

Fbrica/

ConsumidorRecife Salvador Manaus Capacidade

Rio 25 20 30 2000

SP 30 25 25 3000

BH 20 15 23 1500

Demanda 2000 2000 1000

Soluo:

ndices:

i: associado s fbricas

j: associado aos destinos.

Parmetros:

Custoi, j: associado ao envio da fbrica i para o destino j.


Capacidadei: associado capacidade mxima de armazenagem da fbrica i.

Demandasj: associado demanda requerida pelo destino j.

Variveis:

Z: funo objetivo.

Mincustoi, j: associada quantidade enviada da fbrica i para o destino j ao menor custo.

MODELO MATEMTICO:

0envio

Demandaenvio

capacidadeenvio

:asujeito

.custoenvio

ji,

jji,

jiji,

,ji,ji,

i

n

ji

Z

A Figura 6.3 mostra este modelo em GAMS.


Figura 6.3: Modelo Rede 1.


Este modelo pode ser representado por um formato de rede conforme contemplado pela Figura

6.4.

Figura 6.4- Modelo de rede do exemplo 1.

Em modelos de transporte as equaes devem estar equilibradas, isto , oferta total= demanda

total. Entretanto, podemos adotar um fluxo de balanceamento.

Hiptese do Problema Tipo de Restrio

Oferta > Demanda Entradas-Sadas Oferta ou demanda do nOferta < Demanda Entradas- Sadas Oferta ou Demanda do nOferta= Demanda Entradas-Sadas= Oferta ou demanda do n

Neste caso a oferta maior que a demanda.

A Figura 6.5 contempla este exemplo modelado em linguagem GAMS.


Figura 6.5- Exemplo de modelo de rede em transportes.


6.2 DESENVOLVIMENTO E OTIMIZAO DE MODELOS DE REDES EM PROBLEMAS

DE ESCALA DE PRODUO

Uma empresa fornece motores para um grande nmero de equipes de frmula 1. A

companhia detm uma srie de contratos de entregas futuras programadas para o prximo

ano. As entregas devero ocorrer trimestralmente, de acordo com as necessidades das

equipes. A Tabela a seguir resume por trimestre as entregas programadas, a capacidade

mxima de produo e o custo unitrio de produo. As entregas so feitas no final do

trimestre e os motores podem ser armazenados por quantos trimestres forem necessrios

ao custo de 0,015 milho de reais por trimestre. A diretoria deseja minimizar os custos

totais de produo (produo + armazenagem). Quantos e quando os motores pedidos

devem ser produzidos e entregues?

TrimestrePedidos

Contratados

Capacidade de

Produo

Custos unitrios em milhares de

reais

1 10 25 1,08

2 15 35 1,11

3 25 30 1,1

4 20 10 1,13

Para resolver este problema como um problema de transporte, precisamos primeiramente

determinar quais sero as fontes, os destinos e as variveis de deciso.

Soluo:

ndices:

i: associado produo dos motores.

j: associado entrega dos motores.

t: associado aos trimestres.

Parmetros:

Custoi, t: associado ao custo de produo.

Capacidadei: capacidade mxima de produo.

Contratosj, t: associado demanda dos motores em cada trimestre.


Demandasj, i, t: associado entrega do motor produzido no trimestre t a ser entregue nos

trimestres.

capacidadesp11i, t: associado entrega dos motores produzidos no trimestre t.

estoquest: associado ao custo de estoque no trimestre t.

estoquessi, t: associado ao estoque no trimestre t.

Variveis:

Z: funo objetivo.

Envioi, t: quantidade a ser enviada do motor produzido no trimestre t.

Stokt: associada ociosidade no trimestre t.

0stok

0envio

30stok

contratosdemandas.envio

capacidadeestoquess.stokcapacidade.envio

:asujeito

estoques.stok.custoenvio

t

ji,

t

tj, ti,j, ti,

t

n

ti ti,t ti, ti,

tt,

ti, ti,

n

t

i

n

t

n

ti

Z


Figura 6.6 - Exemplo de modelos de produo.

6.3 DESENVOLVIMENTO E OTIMIZAO DE MODELOS DE REDE DE DISTRIBUIO

Problemas que consideram mltiplas fontes, centros consumidores e locais intermedirios por

onde os produtos simplesmente passam so denominados de problemas de rede de distribuio.

Os problemas de transporte podem ser vistos como uma simplificao do problema de rede de

distribuio de custo mnimo, onde as localizaes intermedirias no existem.

Exemplo 1:

Uma montadora de tratores est iniciando as suas operaes no pas, construindo duas

fbricas: uma na Bahia e outra em So Paulo. A montadora est estudando a forma de

distribuio de seus carros para as diversas revendas, localizadas nos estados de Gois, Rio

de Janeiro, Minas Gerais, Paran, Santa Catarina e Rio Grande do Sul, que minimize o custo

total de distribuio. As capacidades instaladas de cada uma das fbricas, as demandas das

revendas, bem como os custos unitrios de transporte entre fbricas e revendas esto

evidenciadas na rede abaixo:


Figura 6.7- Diagrama de Rede do exemplo 1.

Neste problema a oferta maior que a demanda e, portanto, adota-se que as entradas- sadas oferta do n.

Soluo:

ndices:

i: associado aos ns de oferta.

j: associado aos ns de demanda.

Parmetros:

Capacidadei: associado capacidade mxima dos ns de oferta.

Demandaj: associado demanda mxima do destino j.

Custoi, j: associado ao custo de envio da origem i para o destino j.

Redei j: associado distribuio da origem i para o destino j.

Redesi, j: associado distribuio da rede.

Variveis:

Z: funo Objetivo.

Envioi, j: quantidade a ser enviada da origem i para o destino j.


Modelo:

0envio

Demandaredes.envio

capacidaderede.envio

:asujeito

.custoenvio

ji,

ijji,ji,

jiji,ji,

,ji,ji,

n

ji

Z

A Figura 6.8 mostra esse modelo em linguagem GAMS. Soluo tima:

Origem/Destino SC MG GO RJ RS PR

BA 200 150 150

SP 100 200 300

D 50 250

Custo mnimo R$ 28.000,00


Figura 6.8- Modelo distribuio em GAMS.

A varivel D uma adio de uma origem fictcia, pois a demanda maior que a oferta e, em

modelos de transporte a oferta total = demanda total. A leitura a seguinte: no foram enviadas

50 e 250 unidades para SC e RS respectivamente.

6.4 DESENVOLVIMENTO E OTIMIZAO DE PROBLEMAS DO MENOR CAMINHO

O problema do menor caminho representa um caso especial de problemas de redes, em que os

arcos significam a distncia entre dois pontos (vrtices ou ns). Quando desejamos achar a rota

que une estes pontos com distncia mnima entre as possveis rotas, temos um problema do tipo

do menor caminho.

Em problemas do menor caminho haver sempre dois tipos de vrtices especiais chamados de

origem e destino. Entre estes ns h ns intermedirios, que podem representar cidades que

conectam rodovias, subestaes em problemas de distribuio de energia, e assim por diante.

Exemplo 2:

A fbrica de artigos e decorao guia, localizada em Lambari, Minas Gerais, deve entregar

uma grande quantidade de peas na cidade de Baependi, localizada no mesmo estado. A

empresa quer saber qual o caminho que seu caminho de entregas deve percorrer para


minimizar a distncia total percorrida. A Figura 6.9 mostra as cidades e as respectivas

distncias.

Figura 6.9- Mapa rodovirio que liga as cidades de Lambari a Baependi

Soluo:

ndices:


j: associado aos ns de demanda.

Parmetros:

Distnciai, j: associado distncia da origem i para o destino j.

Circuitoi, j: associado rede entre a origem i para o destino j.

Circuito2i, j: associado rede entre a origem i para o destino j.



Cicloi, j: associado rede entre a origem i=lambari para o destino j.

Ciclosi, j: associado rede para o destino final.

Nosi: associado ao n especial da origem.

Nosj: associado ao n especial do destino final.

Variveis:

Z: funo Objetivo.


Envioi, j: quantidade a ser enviada da origem i para o destino j.

Modelo:

1;0envio0circuito4.envio

0circuito3.envio

0circuito2.envio

0circuito.envio

Nosciclo.envio

Nosciclo.envio

:asujeito

.distanciaenvio

ji,

iji,ji,

iji,ji,

iji,ji,

iji,ji,

ijji,ji,

jiji,ji,

,ji,ji,

n

ji

Z

A Figura 6.10 mostra esse modelo em GAMS.


Figura 6.10- Problema do menor caminho em GAMS.


6.5 DESENVOLVIMENTO E OTIMIZAO DE PROBLEMAS DE FLUXO MXIMO

O tipo de problema de fluxo mximo utilizado quando queremos maximizar a quantidade de

fluxo de um ponto de origem para um ponto de destino, sujeitos a restries de capacidade de

fluxo nos arcos.

Estes problemas geralmente envolvem um fluxo de materiais como gua, leo, gs, energia por

meio de uma rede de tubos ou cabos, porm, tambm podem representar o fluxo mnimo de

carros em uma malha rodoviria, de produtos em linha de produo, e assim por diante.

Exemplo:

Uma empresa distribuidora de gs deseja determinar a quantidade mxima de metros

cbicos por segundo de gs que pode bombear da estao de campos para o centro

consumidor do Rio de Janeiro, por meio da rede de gasodutos. A Figura 6.11 ilustra a

estrutura da rede de distribuio e apresenta a capacidade de fluxo mximo nos trechos em

metros cbicos por segundo.

Figura 6.11- Rede de gasodutos que ligam campos ao Rio de Janeiro.

Soluo:

ndices:


ii: associado aos ns de destino.

Parmetros:


Capacidadei, ii: associado capacidade mxima de fluxo de cada n.

Circuitoi,ii: associado ao circuito do n A.

Circuito2i,ii: associado ao circuito do n 1.

Circuito3i, ii associado ao circuito do n 2.

Circuito4i, ii: associado ao circuito do n 3.

Circuito5i, ii: associado ao circuito do n 4.

Circuito6i, ii: associado ao circuito do n B.

Variveis:

Z: funo Objetivo.

Envioi, ii: quantidade a ser enviada da origem i para o destino j.

envio

0circuito.envio

0circuito5.envio

0circuito4.envio

0circuito3.envio

0circuito2.envio

0circuito.envio

capacidadeenvio

:asujeito

envio

iii,

iii,iii,iii,

iii,iii,iii,

iii,iii,iii,

iii,iii,iii,

iii,iii,iii,

iii,iii,iii,

iii,iii,

"a",b""Z

A Figura 6.12 contempla esse modelo em linguagem GAMS.


Figura 6.12: Modelo fluxo mximo em GAMS.

Soluo tima:

Origem/destino A 1 2 3 4 B

A 40 20

1 20 20

2 20

3 20

4 40

B 60

Fluxo mximo BA= 60.

6.6 DESENVOLVIMENTO E OTIMIZAO DE PROBLEMAS DE ESCALA DE PRODUCAO COMO

MODELOS DE REDE POR MEIO DO GAMS

O caso dos problemas de escala de produo pode ser visto como problemas de transporte na

forma tradicional.

Exemplo:

A fbrica de eletrodomsticos Galctica deseja realizar o escalonamento de sua produo de

liquidificadores para os prximos quatro meses. A fbrica pode produzir mensalmente, em

jornada normal, 150.000 unidades a um custo unitrio de R$ 15. Por meio do pagamento de

horas extras, a capacidade mensal de produo da fbrica pode ser aumentada em 50.000

liquidificadores, a um custo de produo unitrio de R$ 22 (somente aos adicionais). Existe a

possibilidade de armazenagem ilimitada de unidades de um ms para o outro a um custo

unitrio mensal de R$ 3. Sabendo que as demandas de liquidificadores para os prximos


quatro meses so de 120.000, 200.000, 120.000 e 180.000, resolva o problema utilizando-se

da linguagem GAMS.

Do n Para o n Custo

1 A 15

1 E 0

2 A 22

3 B 15

3 E 0

4 E 0

4 B 22

5 C 15

5 E 0

6 C 22

6 E 0

T D 15

T E 0

8 D 22

8 E 0

A B 3

A C 3

C D 3

Os ns mpares so os ns de produo sem horas extras. As letras a, b, c e d referem-se

demanda por ms, o n E um n fictcio utilizado para equilibrar a oferta com a demanda.

Soluo:

ndices:


j: associado aos ns de destino.

Parmetros:


Custoi ,j: associado ao custo entre os ns de sada com os ns de entrada.

Cicloi,j: associado ao circuito entre os ns com o n fictcio.

Circuitoi, j: associado ao circuito do n A.

Circuito2i, j: associado ao circuito do n 1.

Circuito3i, j associado ao circuito do n b.

Circuito4i, j: associado ao circuito do n c.

Circuito5i, j: associado ao circuito do n e.

Variveis:

Z: funo Objetivo.

Envioi, ii: quantidade a ser enviada da origem i para o destino j.

envio

180000circuito5.envio




120000circuito.envio

demandaciclo.envio

:asujeito

custo.envio

ji,

ji,ji,

ji,ji,

ji,ji,

ji,ji,

ji,ji,

ji,ji,j

ji,ji,

i

Z

A Figura 6.13 contempla este modelo em linguagem GAMS.


Figura 6.13: Modelo de escala de produo formulado em GAMS.

A Tabela abaixo apresenta um plano de manuteno de uma estufa dinmica da Pintura a

P LTDA. Uma das aplicaes desse tipo de estufa curar a tinta p (de alta resistncia) que

aplicada em peas metlicas. Por meio de um processo eletromagntico, o p de tinta fica

impregnado na pea, que levada para dentro da estufa. Quando a pea entra na estufa a

uma temperatura de aproximadamente 200 graus, a tinta derrete e fica impregnada na

pea, num processo denominado cura da tinta. Em casos de produo de alto volume de

peas pequenas e mdias, produtos so fixados em gancheiras, que so transportados por

trilhos que passam dentro da estufa aquecida.

Atividade Descrio Predecessor

imediato

Tempo [hs]

A Desligar e desaquecer a estufa - 6

B Avaliar rolamentos danificados - 4

C Trocar rolamentos danificados B, A 7

D Avaliar e trocar resistncias danificadas A 8

E Limpar estufa internamente D 10

F Lubrificar trilho com grafite C 2

G Fazer inspeo final E, F 1

H Religar estufa G 2

Figura 6.14- Atividades de um projeto de manuteno


As atividades A e B no possuem atividades precedentes e, portanto, no h arestas de entrada. A

atividade C possui arestas como predecessores imediatos, as atividades A e B. A atividade D

possui como predecessor apenas a atividade A. As outras atividades so introduzidas na rede da

mesma forma. Os nmeros na construo da rede, algumas regras so levadas em considerao.

O tamanho da aresta no tem associao com as atividades; As atividades iniciadas no final da aresta no podem ser iniciadas antes das atividades que

so iniciadas no inicio da arestas;

As atividades so representadas exclusivamente pelo seu incio e trmino (evento inicial e final);

Ns no podem ser duplicados; Dois ns s podem ser conectados por uma nica aresta;

OBS: A funo objetivo neste caso o tempo total, logo definida por H+2, ou seja, o horrio de

trmino da ltima atividade. Com relao s atividades A e B, como no h nenhuma atividade

predecessora tem-se A=B= 0. Sobre a modelagem das atividades que possuem predecessoras,

como por exemplo, a atividade C, que tem a atividade A e B como predecessoras, tem-se:

4ou 4

6ou 6

BCBC

ACAC

A figura 6.15 mostra a modelagem em GAMS


Figura 6.15- Modelo CPM EM GAMS

Exerccios para diverso.


1) Anlise a rede abaixo e faa o que pedido.

Considere que os nmeros indicados em cada aresta significam o nmero de quilmetros

necessrios para um automvel percorrer a estrada entre duas cidades indicadas pelo ns

extremos das arestas observadas. Monte o modelo e determine a rota que um automvel deve

seguir para sair de Chapec e chegar a porto alegre, percorrendo a menor quantidade de

quilmetros possvel.

2) Considere a reconstruo de um armazm que ser feito. As atividades associadas so

apresentados na Tabela a seguir:

Atividad

e

Descrio Predecessor

imediato

Tempo

[dias]

A Demolir o armazm - 2

B Comprar materiais para atividade de

alvenaria

- 1

C Separar material reutilizvel A 1

D Escavao de fundaes A 2

E Preparao do acesso ao depsito A 1

F Fazer lista de outros materiais necessrios C 1


G Fazer fundaes de concreto B, D 2

H Fazer acesso E 1

I Levantar paredes de alvenaria B, G 8

J Nivelar cho e fazer o contra piso F, G 2

K Instalar fiao e sistema eltrico F, I 1

L Acabar paredes K, M, N 5

M Fazer telhado F, I 1

N Acabar piso de concreto J 5

O Montar calhas e tubulaes de escoamento F, M 1

P Limpar H, L, O 1

Crie a rede associada ao projeto de reconstruo e indique qual o menor tempo para realizao

do projeto. Qual o caminho crtico?

3) A pessoa responsvel pelo plano de atividade do armazm cometeu dois pequenos erros.

Ela introduziu duas relaes da precedncia imediata redundantes. Isso uma falha

conceitual e acontece nos planos de atividades mal feitos. Quais so as duas relaes de

precedncia que no deveriam ter sido colocadas no plano?

72

Captulo 7

7. DESENVOLVIMENTO E OTIMIZAO DE MODELOS DE OTIMIZAO COMBINATRIA

Neste tpico vamos comentar sobre problemas de dificuldade polinomial (P) e problemas de

dificuldade no polinomiais (NP).

Problemas polinomiais so problemas cujos algoritmos conhecidos fornecem solues que

podem ser obtidas por meio de uma funo polinomial de n tamanho de entrada, ou seja: f (n) =

O(nk) sendo que(k) uma constante. Problemas NP so problemas cujos algoritmos de soluo

conhecidos so baseados em enumerao, seja ela implcita ou no. De maneira geral, o nmero

de combinaes possveis assustadoramente grande, fazendo com que os algoritmos

enumerativos no consigam resolver problemas com grande nmero de entradas em tempo

hbil. So denominados algoritmos de tempo exponencial e, nestes contextos que se encaixam

os problemas de otimizao combinatria. Os problemas NP podem ser classificado, conforme

(COLIN, 2007):

Problemas NP - Completos: so problemas que possuem uma forte evidncia da no existncia de um algoritmo cujo tempo de soluo seja uma funo polinomial do

tamanho da entrada. So considerados os mais difceis da classe NP, e, se algum deles for

resolvido em tempo polinomial, ento todos os problemas NP tambm sero.

Quando se sabe que um problema de otimizao NP - difcil, tem-se a certeza de que nem

sempre a soluo tima ser encontrada. Portanto, tem se aplicado mtodos heursticos, como

por exemplo, algoritmos genticos, colnias de formigas, busca tabu, dentre outras. Abaixo

encontra-se o modelo do problema do Caixeiro-Viajante (CV), sendo este modelo de otimizao

combinatria.

Desenvolvimento e Otimizao de Modelos de otimizao combinatria_______________________73

0u,1,0subrotasSo

n)2,3,...,jn;3,...,2,ij;(i1-nnxuu

chegadadeRestrio

sadadeRestrio

:asujeito

.Min Z

j,

ji,ji

1,

1,

1 1,,

ji

n

jji

n

iji

n

i

n

jjiji

X

X

X

XC

As restries de sada e de chegada so binrias, e garantem que cada um dos xij seja 0 ou 1. As

restries de sada garantem que para cada cidade haver apenas uma rota de sada e,

analogamente uma chegada para as restries de chegada.

As restries de subrotas ou subcircuitos garantem que a soluo tima no contenha

subcircuitos.

Exemplo1:

PARA

Sede P1 P2 P3 P4

Sede 5 3.8 2.2 2.4

P1 5 2.6 3.1 5.1

P2 3.8 2.6 1.6 2.8

P3 2.2 3.1 1.6 2.3

DE

P4 2.4 5.1 2.8 2.3

A Figura 7.1 mostra a soluo deste problema por meio da linguagem GAMS.


,


Figura 7.1-Modelo caixeiro viajante em GAMS.

A Figura 7.2 mostra os caminhos a serem percorridos.


Figura 7.2-Modelo Caixeiro Viajante otimizado pelo GAMS.

OBS: com n vrtices h 2

)!1( n ciclos distintos.

Captulo 8

8. DESENVOLVIMENTO E OTIMIZAO DE MODELOS DE ANLISE POR ENVOLTRIA DE

DADOS

Em termos de programao matemtica, a anlise por envoltria de dados (DEA- Data

Envelopment Analysis), tambm chamada de anlise de fronteiras ou anlise de eficincia,

considerada uma tcnica relativamente nova. Ao mesmo tempo, tambm considerada um dos

sucessos recentes da programao linear. No DEA existem as chamadas DMU- Decision Making

Units, ou seja, as unidades tomadoras de deciso.

Em linhas gerais, a DEA avalia problemas com mltiplos recursos (usados para gerar produtos e

ou servios e mltiplas sadas para cada unidade) (COLIN, 2007). A capacidade com que as DMUs

conseguem gerar sadas para determinadas entradas define sua eficincia. Supe-se que as DMUs

menos eficientes podem melhorar sua eficincia at o limite das melhores unidades , cuja

eficincia de 100%. Mais especificamente, a DEA determina, segundo Colin (2007):

A melhor prtica- grupo das DMUs mais eficientes; As DMUs menos eficientes comparadas com as melhores prticas; A quantidade de recursos utilizados de forma improdutiva nas DMUs menos eficientes; Para cada uma das DMUs menos eficientes, o grupo das unidades de melhor prtica que

so mais parecidas com elas e que poderiam ser usadas como benchmarks.

Antes de prosseguir com o DEA, vamos entender alguns significados.

Eficcia Capacidade da unidade produtiva atingir as metas previamente estabelecidas; Produtividade Razo entre o que foi produzido e o que foi gasto para produzir. Ex.:

Peas/H.h;

Eficincia Conceito relativo que compara o que foi produzido com o que poderia ter sido produzido. Pode ser entendida como uma comparao entre as produtividades

observadas;

Desenvolvimento e Otimizao de modelos de anlise por envoltria de dados_________________ 81

Se uma unidade atingiu a meta, foi eficaz. Se conhecermos os recursos que a unidade dispunha

podemos avaliar se esta foi produtiva. Se soubermos quais foram os resultados da concorrncia

podemos avaliar a eficincia da unidade (SOARES DE MELLO, 2005)

O modelo DEA CCR (Charnes, Cooper e Rhodes, 1978) apresentado no modelo abaixo.

i , v

j,, u

nc,, k xv

yu

S.a.:

xv

yu

Max E

i

j

m

i

iki

s

j

jkj

m

i

ici

s

j

jcj

c

0

0

,,,,211

1

1

1

1

Onde: c o ndice da unidade que est sendo avaliada. O problema acima envolve a procura de

valores para u e v, que so os pesos, de modo que maximize a soma ponderada dos outputs

(output virtual) dividida pela soma ponderada dos inputs (input virtual) da DMU em estudo,

sujeita restrio de que esse quociente seja menor ou igual a 1, para todas as DMUs.

Esta funo est sujeita restrio de que, quando o mesmo conjunto de coeficientes de entrada

e sada (vis e ujs) for aplicado a todas as outras unidades de servios que esto sendo

comparadas, nenhuma unidade de servio exceder 100% de eficincia ou uma razo de 1,00..

Porm, o modelo acima no linear e sim um problema de programao fracionria. Entretanto,

o modelo linearizado descrito abaixo.

x, y. , , v u

n...,c, , k xv- yu

xv S.a.:

yuMax E

ij

m

i

iki

s

j

jkj

m

i

ici

s

j

jcj c

0

,,,210

1

11

1

1

Esta forma do problema conhecida como problema dos multiplicadores, como tambm so

chamados os pesos, uj e vi.


Exemplo 1:

Um hospital deseja avaliar sua eficincia em relao aos demais hospitais da cidade. A

Tabela abaixo contempla os dados de entrada e sada analisados

Hospital Entradas (x) Sadas (y)

CapitalMo de

obraJovens Adultos Idosos

1 5 14 9 4 16

2 8 15 5 7 10

3 7 12 4 9 13

Neste caso so 3 problemas de programao linear, uma para cada DMU.

A Figura 8.1 mostra a soluo deste modelos por meio do GAMS. Lembrando-os que


Figura 8.1- Modelo DEA em GAMS

Basicamente o que muda de um modelo para o outro a funo objetivo e a equao 4 (calculo

4). Vamos interpretar a soluo tima para o ltimo modelo. W2= 0,9 ; W3= 7.1% e V2= 8.3%.

Neste caso as sadas adultos e jovens so importantes para manter a eficincia mxima do

hospital 3. Deve-se conservar a mo de obra. A Figura 8.2 contempla um exemplo de como

modelar o dual de um problema de DEA.


Figura 8.2- Modelo primal e Dual de problemas de DEA.

Pelo GAMS tambm possvel rodar vrios modelos continuamente. Vamos mostrar um exemplo

tomando como base o exemplo exposto acima. A Figura 8.3 mostra este exemplo.


Figura 8.3: Modelo DEA GLOBAL.


Repare que inseriu-se mais uma varivel e tambm algumas equaes e, ao rodar o modelo, deve

ser informado apenas as equaes pertencentes ao modelo desejado.

Outro tipo de modelo DEA que iremos ver nesta apostila conhecido por BCC (Banker, Charnes e

Cooper, 1984). No modelo DEA CCR h retornos de escalas constantes, vlido para unidades

operando em escala tima. No modelo BCC ou VRS, substitui o axioma da proporcionalidade pelo

axioma da convexidade linear, soma dos lambdas igual a 1. Fronteira cncava e linear por parte,

tambm chamado de retorno variveis de escala.

u

j, i. , , v u

k ,uyuxv

xv S.a.:

uyuMax E

ij

jjkj

j

iki

i

ici

jjjff

*

0

0*

1

*.

.1

1

00

As eficincias no modelo DEA BCC so maiores ou iguais as eficincias do modelo CCR. No modelo

CCR as eficincias independem da orientao; os outros resultados de DEA dependem da

orientao

No modelo BCC todos os resultados de DEA dependem da orientao. A Figura 8.4 mostra as

diferenas entre estes modelos.

Figura 8.4- Modelos DEA


A figura 8.5 contempla a soluo deste exemplo pelo modelo BCC ou (VRS).


Figura 8.5- Modelagem em GAMS modelo DEA BCC ou VRS

Neste exemplo foi necessrio acrescentar outro objetivo (sets) chamado u que vai pertencer a

varivel do modelo BCC.

Resolva os exerccios abaixo utilizando-se da linguagem de modelagem GAMS.

1)

Max

001,0 v,001,0w

0v145v

0v127v-w313w94w

0v158v-w310w75w

0v145v-w316w49w

:asujeito

w316w49w Z

kj

21

2121

2121

2121

21

Formule o problema dual dos hospitais. E resolva-o pelos dois mtodos.

2) O banco S/A est analisando a eficincia de suas agncias a Tabela abaixo mostra os dados

de entrada e sada analisados.

Recursos empregados (Entrada) Economia potencial (Sada)Agncias

menos produtivas

Caixa [pessoas]

Plataforma [pessoas]

Gerente [pessoas]

Despesas (excl. pessoal e aluguel) [$]

rea da agncia

[p2]Caixa Plata-

formaGerente Despesas

rea da

agnciaA1 10,0 5,0 1,0 652.566 3.818 4,5 1,8 0,3 222.928 1.304A3 3,0 2,5 1,0 468.637 1.728 1,9 1,6 0,7 295.989 1.133A4 4,0 2,5 1,0 350.477 1.941 2,3 1,4 0,7 189.745 1.051A5 9,0 7,0 1,0 1.059.526 5.640 0,7 1,9 0,1 367.020 1.899A6 3,0 2,5 1,0 235.974 2.200 1,6 1,4 0,6 122.474 1.556A8 4,5 3,5 1,0 353.235 1.350 1,5 1,3 0,3 10.526 40A9 3,5 2,0 1,0 341.994 2.346 1,2 0,7 0,4 116.716 976

A11 7,5 3,5 1,0 768.338 3.243 3,3 0,7 0,2 329.403 774A12 2,5 2,0 1,0 269.998 1.422 1,1 1,1 0,7 122.433 889A13 9,0 6,5 1,0 1.112.090 5.400 0,1 0,1 - 131.389 1.477


Recursos empregados (Entrada) Economia potencial (Sada)Agncias

menos produtivas

Caixa [pessoas]

Plataforma [pessoas]

Gerente [pessoas]

Despesas (excl. pessoal e aluguel) [$]

rea da agncia

[p2]Caixa Plata-

formaGerente Despesas

rea da

agnciaA14 3,5 4,0 1,0 433.868 1.700 0,7 2,0 0,4 81.024 502A15 2,0 2,0 1,0 253.902 1.486 1,1 1,3 0,7 135.920 961A18 4,0 2,5 1,0 571.090 1.420 2,0 0,8 0,4 206.693 361A20 7,0 4,0 1,0 666.133 3.180 3,0 1,5 0,4 280.853 1.176A22 7,5 3,5 1,0 929.668 1.865 5,2 1,5 0,3 496.072 605A26 3,5 3,0 1,0 411.922 3.092 1,0 1,0 0,3 112.147 1.491A27 5,5 5,5 1,0 545.976 2.781 1,9 3,1 0,3 188.394 960A28 6,0 5,0 1,0 914.990 2.187 1,8 1,6 - 233.870 60A29 7,0 4,0 1,0 568.054 6.686 1,7 0,9 0,2 176.227 3.669A30 15,0 13,0 1,0 1.402.615 9.963 4,0 6,1 0,3 551.272 5.377A31 5,5 6,0 1,0 679.451 3.133 0,8 2,7 0,1 94.692 824A32 3,0 2,0 1,0 367.828 1.637 0,9 0,6 0,5 107.934 480A33 17,5 18,0 1,0 3.191.789 8.000 3,3 10,6 0,2 2.510.589 2.016

Total 143,0 109,5 23,0 16.550.121 76.218 45,6 45,7 8,1 7.084.310 29.581Desenvolva e otimize os modelos desse problema. Avalie o dual e conclua quais so as melhores

agncias e o que deveria ser feito pelo banco para que as agncias no eficientes se tornem

eficientes.

3) Considere as 6 empresas do setor X listadas na Tabela a seguir

Empresa Receita Ativo EmpregadosA 800.331 1.487.845 4.478B 780.880 1.599.784 3.320C 1.582.624 3.886.613 4.176D 1.977.624 5.147.807 5.988E 3.105.444 5.299.049 6.646F 2.349.306 7.475.831 11.748

a- Utilize a DEA para classificar as empresas em termos de eficincia. Considere que as

entradas so definidas pelos ativos e empregados e que a sada seja definida pela receita.

Captulo 9

9 Aplicaes Reais

O prximo exemplo foi adaptado de Silva (2009). Uma usina deseja programar sua produo para

as prximas 5 semanas. Abaixo esto algumas informaes sobre esta usina.

Matria-Prima:

Prpria: 150.000 toneladas

Comprada: 100.00 toneladas.

Estas matrias-primas devem ser consumidas totalmente nestas 5 semanas.

Porcentagem de MP comprada por semana.

Semana 1: 100%

Semana 2: 100%

Semana 3: 100%

Semana 4: 80%

Semana 5: 90%

Porcentagem de MP prpria por semana.

Semana 1: 80%

Semana 2: 80%

Semana 3: 80%

Semana 4: 80%

Semana 5: 90%

Capacidade de transporte da frota prpria em toneladas:

Semana 1: 47250

Semana 2: 47250

Semana 3: 51975

Semana 4: 51975

Aplicaes reais___________________________________________________________________ 91

Semana 5: 51975

Capacidade de transporte da frota terceirizada em toneladas:

Semana 1: 37250

Semana 2: 27250

Semana 3: 19750

Semana 4: 14000

Semana 5: 15.000

Capacidade de transporte da frota terceirizada em toneladas:

Semana 1: 37250

Semana 2: 27250

Semana 3: 19750

Semana 4: 14000

Semana 5: 15.000

Capacidade de transporte da frota condomnio em toneladas:

Semana 1: 2250

Semana 2: 3250

Semana 3: 8750

Semana 4: 1400

Semana 5: 1000

Estes transportes so alocados na parte agrcola, pois estas matrias primas so colhidas no

campo. A Tabela abaixo mostra os nveis de moagem semanal, logo o total colhido na semana no

deve ser maior que a capacidade mxima de moagem e nem menor que a capacidade mnima.

Semana Moagem Mxima Moagem Mnima

1 40.00 30.200

2 42.000 31.600

3 45.000 32.500

4 50.000 33.000

5 55.000 36.000

Aplicaes reais___________________________________________________________________ 92

A Tabela a seguir contempla a capacidade de estocagem em toneladas.

Produto Estoque prprio Estoque terceirizado

A 15.000 10.00

C 3000 0

D 14.000 3.000

A Tabela a seguir aborda o custo logstico agrcola em R$/toneladas.

Semana Frota prpria Frota terceirizada Frota condomnio

1 10 8 9

2 12 10 11

3 9 11 12

4 8 10 8

5 10 8.7 8

A prxima tabela contempla o custo por processo. No caso desta usina somente um processo

pode ser utilizado por semana, logo essa uma restrio binria.

Processos Semana 1 Semana 2 Semana 3 Semana 4 Semana 5

Processo 1 7.3 6.74 6.26 6.26 6.26

Processo 2 12 10 11 11 11

Processo 3 9 11 12 12 12

Processo 4 8 10 8 8 8

Processo 5 10 8.7 8 8 8

A prxima Tabela mostra o rendimento por processo, ou seja, qual o nvel de produo do

produto x utilizando o processo y na semana z.

Rendimento Semana 1 Semana 2 Semana 3 Semana 4 Semana 5

A.proc10,11 0,20 0,22 0,19 0,13

B.proc10,23 0,12 0,10 0,23 0,06

C.proc10,06 0,19 0,23 0,07 0,25

Aplicaes reais___________________________________________________________________ 93

A.proc20,13 0,20 0,20 0,20 0,17

B.proc20,13 0,17 0,20 0,14 0,11

C.proc20,14 0,21 0,12 0,13 0,25

A.proc30,18 0,05 0,14 0,21 0,20

B.proc30,21 0,13 0,11 0,07 0,19

C.proc30,22 0,09 0,05 0,16 0,22

A.proc40,14 0,10 0,12 0,12 0,07

B.pro40,19 0,14 0,14 0,25 0,08

C.proc40,14 0,11 0,07 0,13 0,22

A.proc50,21 0,19 0,06 0,13 0,10

B.proc50,25 0,06 0,13 0,12 0,11

C.proc50,19 0,11 0,06 0,12 0,21

A prxima Tabela aborda o custo de estocagem em R$/toneladas. Nesta tabela disposto o custo

por produto no estoque, ou seja, eprop (estoque prprio) e eterc(estoque terceirizado).

Estoque Semana 1 Semana 2 Semana 3 Semana 4 Semana 5

A.eprop4,00 9,00 3,00 9,00 5,00

B.eprop4,00 3,00 10,00 9,00 5,00

C.eprop7,00 10,00 7,00 8,00 3,00

A.eterc5,00 4,00 9,00 3,00 4,00

B. eterc10,00 8,00 8,00 10,00 5,00

C. eterc3,00 9,00 5,00 4,00 6,00

A prxima Tabela contempla o custo por fonte de matria-prima.

Matria-Prima Semana 1 Semana 2 Semana 3 Semana 4 Semana 5

Prpria8.4 9 8.55 9.6 10

Comprada20 22 25 30 27

A Tabela a seguir mostra o preo de

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