Apostila_MF 30Abr05 - HP-12c

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Administração Regional do SENAC no Estado de São Paulo.

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Vinícius Victor Barbosa

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André Aparecido da Silva

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Anísio Costa Castelo Branco

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Arnaldo Célio Freire Silva

Alexandre Francisco Zanata

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Alessandra Riccagni Rosas

SENAC-SP 2004

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Senac São Paulo

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Matemática FinanceiraMatemática FinanceiraMatemática FinanceiraMatemática Financeira com HP 12C com HP 12C com HP 12C com HP 12C

SUMÁRIOSUMÁRIOSUMÁRIOSUMÁRIO 1. Operações matemáticas básicas.......................................................................................................... 3

1.1 Potência...................................................................................................................................................3 1.2 Regra de três ..........................................................................................................................................3 1.3 Porcentagem ..........................................................................................................................................4

2. Funções básicas da HP-12C................................................................................................................... 6 2.1 Tecla [ON] ...............................................................................................................................................6 2.2 Tecla [ . ] ..................................................................................................................................................6 2.3 Testes de funcionamento.....................................................................................................................7

2.3.1 Teste nº 1 (usando as tecla [ON] e [x]) ......................................................................................7 2.3.2 Teste nº 2 (usando as tecla [ON] e [+])......................................................................................8 2.3.3 Teste nº 3 (usando as teclas [ON] e [:]) .....................................................................................8

2.4 Teclado ....................................................................................................................................................9 2.4.1 A tecla [f] .........................................................................................................................................9 2.4.2 Tecla [g].........................................................................................................................................10 2.4.3 Teclado branco ............................................................................................................................10

2.5 Limpeza de registro .............................................................................................................................10 2.5.1 Limpeza total (usando as teclas [ON] e [-]) ............................................................................11 2.5.2 Limpeza do visor ..........................................................................................................................11 2.5.3 Limpeza dos registros estatísticos (“ 0 ” a “ 6 ”)...................................................................11 2.5.4 Limpeza de program....................................................................................................................12 2.5.5 Limpeza dos registros financeiros ...........................................................................................12 2.5.6 Limpeza de todos os registros ..................................................................................................12

2.6 Tecla [CHS] ou CHANGE SIGNAL.....................................................................................................13 2.7 Tecla [STO] ou (STORE)......................................................................................................................13 2.8 Tecla [RCL] ou (RECOLL).....................................................................................................................13 2.9 Tecla [YX]................................................................................................................................................14

2.9.1 Potenciação..................................................................................................................................14 2.9.2 Radiciação ....................................................................................................................................14

2.10 Tecla [1/x]............................................................................................................................................14 2.11 Tecla [%T] e [x><y]............................................................................................................................15 2.12 Tecla [∆∆∆∆%]...........................................................................................................................................16 2.13 Tecla [%]..............................................................................................................................................17 2.14 Cálculo em cadeia .............................................................................................................................17

3. Fundamentos da matemática financeira ........................................................................................... 18 3.1 Conceitos básicos ...............................................................................................................................18 3.2 Definições e terminologias básicas.................................................................................................18 3.3 Diagrama de fluxo de caixa ...............................................................................................................20 3.4 Apresentação das taxas ....................................................................................................................20 3.5 Regimes de capitalização ..................................................................................................................20

4. Juros simples .......................................................................................................................................... 22 4.1 Operações de juros simples ..............................................................................................................22 4.2 Juros exato e juros comercial ..........................................................................................................27 4.3 Exercícios sobre juros simples .........................................................................................................28 4.4 Exercícios de reforços........................................................................................................................30

Senac São PauloSenac São PauloSenac São PauloSenac São Paulo


5. Juros compostos .................................................................................................................................... 34 5.1 Conceitos de juros compostos..........................................................................................................34 5.2 Valor futuro (FV) ou montante (M)....................................................................................................35 5.3 Diferença entre os juros simples e juros compostos ...................................................................35 5.4 Função “C” na HP 12C, teclas [STO] e [EEX]..................................................................................36 5.5 Valor presente (PV) ou capital (C) ....................................................................................................37 5.6 Prazo (n).................................................................................................................................................38 5.7 Função [FRAC] e [INTG]......................................................................................................................39 5.8 Taxas equivalentes a juros compostos ...........................................................................................40 5.9 Exercícios sobre juros compostos ...................................................................................................41 5.10 Exercícios de reforços......................................................................................................................41

6. Operações com taxas de juros............................................................................................................ 45 6.1 Taxas equivalentes:.............................................................................................................................45

6.1.1 Programa para taxa equivalente com HP 12C .......................................................................46 6.2 Taxa over equivalente: .......................................................................................................................47 6.3 Taxa acumulada de juros (com taxas variáveis) ...........................................................................48 6.4 Taxa média de juros ............................................................................................................................49 6.5 Taxa real de juros ................................................................................................................................49 6.6 Exercícios sobre taxas juros .............................................................................................................50

7. Descontos................................................................................................................................................ 52 7.1 Desconto racional simples ou “por dentro”...................................................................................52 7.2.Desconto bancário, ou comercial ou “por fora”...........................................................................52 7.3 Operações com um conjunto de títulos: .........................................................................................54

7.3.1 Prazo Médio de um conjunto de títulos...................................................................................55 7.4 Desconto composto ............................................................................................................................56

7.4.1 Relação em taxas de desconto simples e composto ...........................................................57 7.5 Exercícios sobre desconto ................................................................................................................58

8. Séries uniformes de pagamentos ....................................................................................................... 59 8.1 Valor presente de uma série de pagamento “postecipada” ......................................................59 8.2 Valor da prestação de uma série “postecipada”..........................................................................60 8.3 Número de prestações de uma série uniforme de pagamento “postecipada”......................60 8.4 Cálculo da taxa de uma série de pagamento uniforme “postecipada”....................................61 8.5 Série uniforme de pagamentos “antecipados”.............................................................................61

8.5.1 Fórmulas para série de pagamentos antecipados................................................................61 8.5.1.1 Fórmula do valor presente ......................................................................................................61 8.5.1.2 Fórmula da prestação..............................................................................................................61

8.6 Valor futuro de uma série uniforme .................................................................................................62 8.7 Exercício sobre séries de uniforme de pagamentos ....................................................................62

9. Sistemas de amortização de empréstimos e financiamentos....................................................... 64 9.1 Sistema de amortização constante (sac) .......................................................................................64 9.2 Sistema price (ou francês) de amortização ...................................................................................64

10. Aplicabilidade da matemática financeira ......................................................................................... 66 10.1 Certificado de depósito bancário (CDB) recibo de deposito bancário (RDB) .......................66 10.2 Taxa interna de retorno (IRR) e valor presente líquido (NPV) ..................................................70 10.3 Valor da prestação de leasing ........................................................................................................71 10.4 Formação do preço de venda pelo conceito do valor atual......................................................72

11. Referências Bibliográficas................................................................................................................... 73

Senac Senac Senac Senac SSSSão Pauloão Pauloão Pauloão Paulo 3333


1111 Operações matemáticas básicasOperações matemáticas básicasOperações matemáticas básicasOperações matemáticas básicas

1.1 Potência1.1 Potência1.1 Potência1.1 Potência

a) (-12)2 = 144

b) (2)5 = 32

c) (-2)4 = 16

d) (+5) + (-4)5 – (-100-35) = - 884

e) (150)/(-2) + [2*(40-20)2] = 725

1.2 Regra de três1.2 Regra de três1.2 Regra de três1.2 Regra de três

Regra de três é a operação que nos permite, dadas duas grandezas, direta ou

inversamente proporcionais e variando-se o valor delas, determinar a variação da outra

grandeza. Pode ser: simples ou composta.

1) Com 100 kg de trigo pode-se fazer 85 kg de farinha. Que quantidade de farinha pode

obter com 480 kg de trigo?

R. : 408 g

2) Oito eletricistas podem fazer a instalação de uma casa em 3 dias. Quantos dias 6

eletricistas para fazer o mesmo serviço.

R. : 4 dias



3) Se 15m de certo tecido custam $ 90,00 quanto custarão 32m deste tecido?

R.: $ 192,00

4) Na extremidade de uma mola é colocado um corpo de massa de 10kg e verifica-se

que o comprimento da mola é de 42cm. Se colocarmos um peso de 15kg na

extremidade dessa mola, qual será o comprimento da mola?

R.: 63 cm

5) Ao participar de um treino de formula 1 para disputa da pole position, um

competidor, imprimindo velocidade de 200km/h faz o percurso em 18segundos. Se

sua velocidade fosse 240km/h, qual o tempo que ele teria gastado no percurso?

R.: 15 segundos

1.3 Porcentagem1.3 Porcentagem1.3 Porcentagem1.3 Porcentagem

1) Uma multa de $ 800,00 reais sobre um valor de $ 8.000,00 reais corresponde a

quantos % sobre o valor?

R.: 10%

2) O Sr. Manoel tem aplicado na poupança $ 4.500.00, e no mês de janeiro vai ter um

rendimento de 1,2%. Qual será o novo saldo da poupança do sr Manoel?

R.: $ 4.554,00

3) Dos 350 candidatos que prestaram um concurso, 28 foram aprovados. Qual a taxa

percentual de aprovados?

R.: 8%



4) Uma pesquisa foi realizada para verificar a audiência de televisão do horário nobre

(20h ás 22h). Foram entrevistadas 1640 residências e verificou-se 45% dessas

residências tinham a sua televisão ligada no canal A, quantas residências estavam

com a televisão ligada nesse canal?

R.: 738

5) Um prejuízo de 40 mil reais sobre o valor 200 mil representa % de prejuízo?

R.: 20%

6) O preço de um aparelho de som é de R$ 150,00. Para pagamentos a vista é feito um

desconto de 30%. Nessas condições:

a) Qual a quantia que corresponde ao desconto?

R.: $ 45,00

b) Qual o preço a vista desse aparelho de som?

R.: $ 105,00

7) Transforme estas porcentagens em decimais, a saber:

a) 25,2% b) 100,25% c) 101,26% d) 85,25% e) 75,29% f) 555,33%

8) Transforme os números decimais em porcentagem:

a) 0,01 b) 0,055 c) 0,065 d) 0,125 e) 0,1565 f) 0,1765



2222 Funções básicas dFunções básicas dFunções básicas dFunções básicas da HPa HPa HPa HP----12C12C12C12C

Neste capítulo serão abordadas as principais funções da calculadora HP-12C, ou seja,

os conceitos básicos relevantes ao desenvolvimento da matemática financeira com a

utilização deste equipamento.

2.1 Tecla [ON]2.1 Tecla [ON]2.1 Tecla [ON]2.1 Tecla [ON]

Tem a função de ligar e desligar a calculadora, porém, se a calculadora permanecer

ligada sem uso, será desligada automaticamente entre sete e oito minutos

aproximadamente.

2.2 Tecla [ . ]2.2 Tecla [ . ]2.2 Tecla [ . ]2.2 Tecla [ . ]

Esta tecla permite que a calculadora opere em dois padrões de moeda, o brasileiro e

padrão dólardólardólardólar. Vamos considerar o seguinte exemplo:

R$ 1.425,56 (padrão brasileiro)

US$ 1,425.56 (padrão dólar)

Esta conversão pode ser efetuada da seguinte forma:

a) mantenha a calculadora desligada;

b) pressione a tecla [.] e segure;

c) pressione a tecla [ON] e solte.

Se a calculadora estiver no padrão brasileiro passara para o padrão do dólar e vice-

versa.



2.3 Testes de funcionamento2.3 Testes de funcionamento2.3 Testes de funcionamento2.3 Testes de funcionamento

A calculadora HP-12C possui três testes de verificação quanto ao seu funcionamento,

uma espécie de controle de qualidade, que permite ao usuário uma maior confiabilidade

do produto.

2.3.1 Teste nº 1 (usando as tecla [ON] e [x])2.3.1 Teste nº 1 (usando as tecla [ON] e [x])2.3.1 Teste nº 1 (usando as tecla [ON] e [x])2.3.1 Teste nº 1 (usando as tecla [ON] e [x])

Procedimentos:

1) mantenha calculadora desligada;

2) pressione a tecla [ON] e segure;

3) pressione a tecla [x] e segure;

4) solte a tecla [ON];

5) solte a tecla [x].

Ao final do procedimento aparecerá no visor a palavra “running” piscando, significando

que a calculadora está executando o TESTE Nº 1. E em alguns segundos aparecerá no

visor o seguinte:

Se aparecer a mensagem “ERRO 9” significa que a calculadora precisa de reparos, mas

se o resultado for exatamente aquele obtido no TESTE Nº 1. Logo, a calculadora estará

pronta para o uso.

��



2.3.2 Teste nº 2 (usando as tecla [ON] e [+])2.3.2 Teste nº 2 (usando as tecla [ON] e [+])2.3.2 Teste nº 2 (usando as tecla [ON] e [+])2.3.2 Teste nº 2 (usando as tecla [ON] e [+])

Procedimento:

1) mantenha a calculadora desligada;


3) pressione a tecla [+] e segure;


5) solte a tecla [+];

6) pressione e solte qualquer tecla, exceto a tecla [ON].

Na verdade o TESTE Nº 2 é muito semelhante ao TESTE Nº 1, diverge na duração de

execução, que é indeterminado, portanto, para completar o teste é necessário cumprir o

procedimento nº “6”, logo após aparecerá o seguinte:

Se você pressionar a tecla [ON] o teste será interrompido.

2.3.3 Teste nº 3 (usando as teclas [ON] e [:])2.3.3 Teste nº 3 (usando as teclas [ON] e [:])2.3.3 Teste nº 3 (usando as teclas [ON] e [:])2.3.3 Teste nº 3 (usando as teclas [ON] e [:])

Procedimento:



3) pressione a tecla [:] e segure;


5) solte a tecla [:].

��



6) Pressione todas as teclas da esquerda para direita, de cima para baixo, ou

seja, a 1ª tecla a ser pressionada será a tecla [n] e a última será a tecla [+].

Lembre-se, se devem pressionar todas as teclas inclusive a tecla [ON] e a

tecla [enter] será pressionada duas vezes, tanto na linha três, bem como

na linha quatro.

Após o procedimento concluído, aparecerá no visor o nº “12”, assim como nos testes

anteriores, a calculadora estará pronta para o uso. Mas se procedimento não for

realizado corretamente, aparece à expressão “ERRO 9”. Neste caso a calculadora

necessita de conserto.

2.4 Teclado2.4 Teclado2.4 Teclado2.4 Teclado

O teclado da calculadora HP-12C é multiuso, ou seja, uma mesma tecla poderá ser

utilizada de três maneiras.

2.4.1 A tecla [f]2.4.1 A tecla [f]2.4.1 A tecla [f]2.4.1 A tecla [f]

A tecla [f] (amarelo) possui duas funções básicas:

�� 1ª função: pressionado a tecla ou prefixo [f] poderemos acessar todas as

funções em amarelo da calculadora;

�� 2ª função: pressionado a tecla ou prefixo [f] seguida de um número, será

apresentado à quantidade casas decimais a ser mostrada no visor.



Veja o exemplo:

Digite o número 2,428571435 e siga os procedimentos:

Procedimento (teclas) Visor

[f] e [9] 2,428571435 [f] e [8] 2,42857144 [f] e [7] 2,4285714 [f] e [6] 2,428571 [f] e [5] 2,42857 [f] e [4] 2,4286 [f] e [3] 2,429 [f] e [2] 2,43 [f] e [1] 2,4 [f] e [0] 2, [f] e [9] 2,428571435

2.4.2 Tecla [g]2.4.2 Tecla [g]2.4.2 Tecla [g]2.4.2 Tecla [g]

Através da tecla ou prefixo [g] é possível acessar todas as funções em AZUL.

2.4.3 2.4.3 2.4.3 2.4.3 Teclado brancoTeclado brancoTeclado brancoTeclado branco

Todas as teclas possuem em sua superfície informações em branco, na verdade tudo o

que é mostrado em branco nas teclas, não necessita de função auxiliar, como vimos

para funções em amarelo e azul.

2.5 Limpeza de registro2.5 Limpeza de registro2.5 Limpeza de registro2.5 Limpeza de registro

Apresentaremos as principais formas de executar a limpeza dos registros ou

informações, que são armazenadas no teclado ou memórias da calculadora.



2.5.1 Limpeza total (usando as teclas [ON] e [2.5.1 Limpeza total (usando as teclas [ON] e [2.5.1 Limpeza total (usando as teclas [ON] e [2.5.1 Limpeza total (usando as teclas [ON] e [----])])])])

Procedimento:



3) pressione a tecla [-] e segure;


5) solte a tecla [-].

Após a execução desta seqüência de procedimentos, deve aparecer a expressão “PR

ERROR” indicado que todos os dados armazenados nos registros inclusive os programas

foram apagados. Portanto, é preciso tomar muito cuidado ao executar este

procedimento.

2.5.2 Limpeza do visor2.5.2 Limpeza do visor2.5.2 Limpeza do visor2.5.2 Limpeza do visor

A utilização desta função é muito simples, basta pressionar a tecla [CLx] e o visor será

limpo.

2.5.3 Limpeza dos registros estatísticos (“ 0 ” a “ 6 ”)2.5.3 Limpeza dos registros estatísticos (“ 0 ” a “ 6 ”)2.5.3 Limpeza dos registros estatísticos (“ 0 ” a “ 6 ”)2.5.3 Limpeza dos registros estatísticos (“ 0 ” a “ 6 ”)

Com a seqüência de teclas [f] [�] estaremos processando a limpeza dos registros

estatísticos, ou seja, estaremos limpando os registros armazenados nas teclas [1], [2],

[3], [4], [5] e [6].



2.5.4 Limpeza de program2.5.4 Limpeza de program2.5.4 Limpeza de program2.5.4 Limpeza de program

Procedimento:

1) pressionar [f] [P/R] para entrar no modo de programação;

2) pressionar [f] [PRGM] para limpar o programa;

3) pressionar [f] [P/R] ou [ON] para sair do modo de programação.

Este procedimento se faz necessário, devido a grande dificuldade de elaboração de um

programa, ou seja, um programa não pode ser destruído sem a menor proteção.

2.5.5 Limpeza dos registros financeiros2.5.5 Limpeza dos registros financeiros2.5.5 Limpeza dos registros financeiros2.5.5 Limpeza dos registros financeiros

Registros Financeiros:

a) [n] prazo;

b) [ i ] taxa;

c) [PV] Present Value ou Valor Presente;

d) [PMT] Periodic Payment ou Prestação;

e) [FV] Future Value ou Valor Futuro.

A limpeza dos registros é feita através da seqüência de teclas [f] [FIN].

2.5.6 Limpeza de todos os registros2.5.6 Limpeza de todos os registros2.5.6 Limpeza de todos os registros2.5.6 Limpeza de todos os registros

Com seqüência de teclas [f] [REG] é possível apagar todos os registros, ou seja, de “ 0 ”

a “ 9 ”, e “.0 ” a “.9 ” e os registros financeiros, ficando apenas os programas sem

serem apagados.



2.6 Tecla [CHS] ou 2.6 Tecla [CHS] ou 2.6 Tecla [CHS] ou 2.6 Tecla [CHS] ou CHANGE SIGNALCHANGE SIGNALCHANGE SIGNALCHANGE SIGNAL

Esta tecla serve basicamente para trocar o sinal de um número, ou seja, trocar o sinal

negativo para o positivo e vice-versa.

2.7 Tecla [STO] ou (STORE)2.7 Tecla [STO] ou (STORE)2.7 Tecla [STO] ou (STORE)2.7 Tecla [STO] ou (STORE)

Esta serve para guardamos valores nas memórias. A HP possui 20 memórias diretas; “0”

a “9” = 10 e “.0” a “.9” = 10.

Considerar que o numero 145 deseja ser guardado na memória, e que decidimos guardar

na memória “5”. Como fazer?

Procedimento:

1) digite o número 145;

2) digite [STO];

3) digite [5].

2.8 Tecla [RCL] ou (RECOLL)2.8 Tecla [RCL] ou (RECOLL)2.8 Tecla [RCL] ou (RECOLL)2.8 Tecla [RCL] ou (RECOLL)

Esta tecla serve para recuperar os números guardados nas memórias. Vamos verificar

sua aplicação com base nos dados do item 1.7.

Procedimento:

1) digitar [RCL];

2) digitar [5].



2.9 Tecla [Y2.9 Tecla [Y2.9 Tecla [Y2.9 Tecla [YXXXX]]]]

Esta tecla pode ser utilizada tanto pra efetuarmos operações de potenciação e como de

radiciação.

2.9.1 Potenciação2.9.1 Potenciação2.9.1 Potenciação2.9.1 Potenciação

2.9.2 Radiciação2.9.2 Radiciação2.9.2 Radiciação2.9.2 Radiciação

2.10 Tecla [1/x]2.10 Tecla [1/x]2.10 Tecla [1/x]2.10 Tecla [1/x]

Esta tecla é normalmente utilizada para demonstrar o inverso de um número.

b) 1,05b) 1,05b) 1,05b) 1,056666

1,05 [ENTER] 6 [yx] 1,340096...1,340096...1,340096...1,340096...� �

a) 2a) 2a) 2a) 23333

2 [ENTER] 3 [yx] 8888�

c) 1,045 c) 1,045 c) 1,045 c) 1,045 270/360270/360270/360270/360

1,045 [ENTER] 270 [ENTER] 360 [:] [yx] 1,033564...1,033564...1,033564...1,033564...�

a) a) a) a) 9 = 9 = 9 = 9 = 912

9 [ENTER] 1 [ENTER] 2 [:] [yx] 3333�

b) b) b) b) 275 3333 = 27 = 27 = 27 = 27 35

27 [ENTER] 3 [ENTER] 5 [:] [yx] 7,224674...7,224674...7,224674...7,224674...�

c) c) c) c) ( , )1 0 630 + 360 360 360 360 = 1,6 = 1,6 = 1,6 = 1,6 36030

1,6 [ENTER] 360 [ENTER] 30 [:] [yx] 281,474977...281,474977...281,474977...281,474977...�

a) 1/8a) 1/8a) 1/8a) 1/8 8 [1/x] 0,1250,1250,1250,125�

b) 1,05b) 1,05b) 1,05b) 1,051

12

1,05 [ENTER] 12 [1/x] [yx] 1,00040741,00040741,00040741,0004074�



2.11 Tecla [%T] e [x><y]2.11 Tecla [%T] e [x><y]2.11 Tecla [%T] e [x><y]2.11 Tecla [%T] e [x><y]

A tecla [%T] é usada para calcular o percentual de um total, e a tecla [x><y] recupera o

valor base de cálculo.

a) Uma pessoa possui os seguintes gastos mensais:

• Moradia R$ 450,00

• Educação R$ 500,00

• Combustível R$ 150,00

• Alimentação R$ 200,00

• Lazer R$ 250,00

TotalTotalTotalTotal R$ 1.550,00 R$ 1.550,00 R$ 1.550,00 R$ 1.550,00

Determinar quanto representa percentualmente cada valor em relação ao total dos

gastos.

Solução:Solução:Solução:Solução:

1.550 [ENTER]

450 [%T] 29,03%

[x><y] 500 [%T] 32,26%

[x><y] 150 [%T] 9,68%

[x><y] 200 [%T] 12,90%

[x><y] 250 [%T] 16,13%

100,00%100,00%100,00%100,00%



2.12 Tecla [2.12 Tecla [2.12 Tecla [2.12 Tecla [∆∆∆∆%]%]%]%]

Esta tecla nos ajuda a calculamos a diferença percentual entre dois números.

a) Considere que um produto possui um preço de R$ 132,75 em jan/XX, em fev/XX

o preço desse produto passou para R$ 155,71. Qual foi o percentual de

aumento desse produto?

Dados:

Preço em jan/XX: R$ 132,75

Preço em fev/XX: R$ 155,71

Solução:

132,75 [ENTER]

155,71 [∆%]

17,30%17,30%17,30%17,30%

b) No mês de março/XX o preço do produto passou para R$ 141,00. Qual foi o

percentual de desconto?

Dados:

Preço fev/XX: R$ 155,71

Preço mar/XX: R$ 141,00

Solução

155,71 [ENTER]

141,00 [∆%]

----9,45%9,45%9,45%9,45%



2.13 Tecla [%]2.13 Tecla [%]2.13 Tecla [%]2.13 Tecla [%]

Esta tecla serve exclusivamente para o calculo de percentagem.

a) Calcular 5% de R$ 10.450,00

Solução:

10.450 [ENTER]

5 [%]

R$ 522,50R$ 522,50R$ 522,50R$ 522,50

2.14 C2.14 C2.14 C2.14 Cálculo em cadeiaálculo em cadeiaálculo em cadeiaálculo em cadeia

a)a)a)a) somasomasomasoma 25,82 + 1.852,25 + 156,68 = 2.034,75 25,82 [ENTER] 1852,25 [+] 156,68 [+] 2.034,752.034,752.034,752.034,75 [STO][STO][STO][STO] 1111

b)b)b)b) subtraçãosubtraçãosubtraçãosubtração 250 – 91,82 – 5,81 = 152,37 250 [ENTER] 91,82 [-] 5,81 [-] 152,37 152,37 152,37 152,37 [STO][STO][STO][STO] 2222

c)c)c)c) multiplicaçãomultiplicaçãomultiplicaçãomultiplicação 21 x 18,41 x 1,0562 = 408,34 21 [ENTER] 18,41 [x] 1,0562 [x] 408,34 408,34 408,34 408,34 [STO][STO][STO][STO] 3333

d)d)d)d) divisãodivisãodivisãodivisão 1.750,25 : 1,08 = 1.620,60 1.750,25 [ENTER] 1,08 [:] 1.620,60.620,60.620,60.620,60 [STO][STO][STO][STO] .5.5.5.5

e)e)e)e) adição, subtração, multiplicação e divisãoadição, subtração, multiplicação e divisãoadição, subtração, multiplicação e divisãoadição, subtração, multiplicação e divisão (memória 1) – (memória 2) x (memória 3) : (memória .5) [RCL] 1 [RCL] 2 [-] [RCL] 3 [x] [RCL] .5 [:] 474,30474,30474,30474,30

Observação:Observação:Observação:Observação: as demais funções e teclas da calculadora HP-12C serão demonstradas com aplicações práticas dos conceitos de matemática financeira.



3333 Fundamentos da matemática financeiraFundamentos da matemática financeiraFundamentos da matemática financeiraFundamentos da matemática financeira

3.1 Conceitos básicos3.1 Conceitos básicos3.1 Conceitos básicos3.1 Conceitos básicos

A matemática financeira tem como objetivo básico estudar a evolução do valor do

dinheiro no tempo. (prof. Carlos Shinodaprof. Carlos Shinodaprof. Carlos Shinodaprof. Carlos Shinoda).

A matemática financeira visa estudar as formas de evolução do dinheiro com tempo nas

aplicações e pagamentos de empréstimo (prof. Samuel Hazzan e Prof. Joséprof. Samuel Hazzan e Prof. Joséprof. Samuel Hazzan e Prof. Joséprof. Samuel Hazzan e Prof. José Nicolau Nicolau Nicolau Nicolau

PompeuPompeuPompeuPompeu).

A matemática financeira tem como objetivo principal à transformação e manuseio de

fluxos de caixa, com a aplicação das taxas de juros de cada período, para se levar em

conta o valor do dinheiro no tempo (prof. Abelardo de Lima Pucciniprof. Abelardo de Lima Pucciniprof. Abelardo de Lima Pucciniprof. Abelardo de Lima Puccini).

A matemática financeira tem como objetivo principal, estudar o valor do dinheiro em

função do tempo. (prof. Anísio Costa Castelo Brancoprof. Anísio Costa Castelo Brancoprof. Anísio Costa Castelo Brancoprof. Anísio Costa Castelo Branco).

3.2 Definições e terminologias básicas3.2 Definições e terminologias básicas3.2 Definições e terminologias básicas3.2 Definições e terminologias básicas

O valor inicial de uma operação financeira ou capital inicial pode ser expresso por:

( C )( C )( C )( C ) CAPITAL;

( PV )( PV )( PV )( PV ) VALOR PRESENTE ou PRESENT VALUE;

( P )( P )( P )( P ) PRINCIPAL.

Define-se como valor presente o volume de recurso financeiro aplicado ou emprestado

em uma determinada operação.



Algumas palavras ou expressões, também podem ser associadas a este conjunto de

definições apresentadas, como por exemplo: investimento inicial, valor aplicado, etc.

JURO ( JJJJ ): é a remuneração obtida a partir do capital de terceiros. Esta remuneração

pode ocorrer a partir de dois pontos de vista:

a) de quem pagar:de quem pagar:de quem pagar:de quem pagar: neste caso, o juro pode ser chamado de despesa financeira, custo,

prejuízo, etc.

b) de quem recebe:de quem recebe:de quem recebe:de quem recebe: podemos entender como sendo; rendimento, receita financeira,

ganho, etc.

TAXA ( iiii ): é o coeficiente obtido da relação dos juros ( JJJJ ) com o capital ( CCCC ), que pode

ser representado em forma percentual ou unitária. A terminologia “ i “ vem do inglês

interest, que significa juro.

PRAZO ou TEMPO ou PERÍODOS ( nnnn ): é o tempo necessário que um certo capital ( CCCC )

aplicado a uma taxa ( iiii ) necessita para produzir um montante ( MMMM ) . Neste caso, o

período pode ser inteiro ou fracionário, vejamos um exemplo:

a) período inteiro:período inteiro:período inteiro:período inteiro: 1 dia; 1 mês comercial ( 30 dias ), 1 ano comercial ( 360 dias ), etc.

b) período fracionário:período fracionário:período fracionário:período fracionário: 3,5 meses, 15,8 dias, 5 anos e dois meses, etc.

Podemos também considerar como período inteiro, quando usamos a expressão do tipo:

um período de 15 dias, um período de 30 dias, etc.

O valor futuro ou montante se refere ao valor presente acrescido do valor referente ao

juro oriundo da operação e pode ser expresso por:

( MMMM ) MONTANTE ( FVFVFVFV ) VALOR FUTURO ou FUTURE VALUE



3.3 Diagrama de fluxo de caixa3.3 Diagrama de fluxo de caixa3.3 Diagrama de fluxo de caixa3.3 Diagrama de fluxo de caixa

Definimos fluxo de caixa como a movimentação de recursos monetários (entradas e

saídas de caixa) de uma empresa ou de uma transação financeira em especial, dentro

de um período de tempo.

(+) entradas

tempo (n)

(-) saídas

3.4 Apresentação das taxas3.4 Apresentação das taxas3.4 Apresentação das taxas3.4 Apresentação das taxas

As taxas podem ser apresentadas de duas formas, a forma percentual e decimal ou

unitária, veja um exemplo.

EXEMPLO Nº 1:EXEMPLO Nº 1:EXEMPLO Nº 1:EXEMPLO Nº 1: Faça a transformação das seguintes taxas:

3.5 Regimes de capitalização3.5 Regimes de capitalização3.5 Regimes de capitalização3.5 Regimes de capitalização

Pode-se definir como regime de capitalização os métodos pelos quais os capitais são

remunerados. Os regimes de capitalização podem ser “SIMPLES” e “COMPOSTO” ou

método de capitalização linearlinearlinearlinear e exponencialexponencialexponencialexponencial, respectivamente. Conforme o exemplo:

Taxa percentual

Taxas decimal ou Unitária

25% 5%

1,5% 0,5%

0,025 0,02 0,0018 15

- � � � � � ��

�- � � � � ��

� � � ��



EXEMPLO Nº 2:EXEMPLO Nº 2:EXEMPLO Nº 2:EXEMPLO Nº 2: Seja um capital de R$ 1.000,00 aplicado a uma taxa de 10% a.m. durante

3 meses. Qual o valor acumulado no final de cada período pelos regimes de

capitalização simples e composta?

Regime de Capitalização Simples

nnnn Capital Capital Capital Capital

AplicadoAplicadoAplicadoAplicado Juros de cada períodoJuros de cada períodoJuros de cada períodoJuros de cada período

ValorValorValorValor AcumuladoAcumuladoAcumuladoAcumulado

1 R$ 1.000,00R$ 1.000,00R$ 1.000,00R$ 1.000,00 R$ 1.000,00 x 10% = R$ 100,00 R$ 1.000,00 + R$ 100,00 = R$ 1.100,00 2 R$ 1.000,00 R$ 1.000,00 x 10% = R$ 100,00 R$ 1.100,00 + R$ 100,00 = R$ 1.200,00 3 R$ 1.000,00 R$ 1.000,00 x 10% = R$ 100,00 R$ 1.200,00 + R$ 100,00 = R$ 1.300,00R$ 1.300,00R$ 1.300,00R$ 1.300,00

DIAGRAMA DE FLUXO DE CAIXA PARA O REGIME DE CAPITALIZAÇÃO SIMPLESDIAGRAMA DE FLUXO DE CAIXA PARA O REGIME DE CAPITALIZAÇÃO SIMPLESDIAGRAMA DE FLUXO DE CAIXA PARA O REGIME DE CAPITALIZAÇÃO SIMPLESDIAGRAMA DE FLUXO DE CAIXA PARA O REGIME DE CAPITALIZAÇÃO SIMPLES

M = R$ 1.300,00

C . i = R$ 100,00 C . i = R$ 100,00 C . i = R$ 100,00

C = R$ 1.000,00

Regime de Capitalização Composta

nnnn Capital Capital Capital Capital

AplicadoAplicadoAplicadoAplicado Juros de cada períodoJuros de cada períodoJuros de cada períodoJuros de cada período

ValorValorValorValor AcumuladoAcumuladoAcumuladoAcumulado

1 R$ 1.000,00R$ 1.000,00R$ 1.000,00R$ 1.000,00 R$ 1.000,00 x 10% = R$ 100,00 R$ 1.000,00 + R$ 100,00 = R$ 1.100,00 2 R$ 1.100,00 R$ 1.100,00 x 10% = R$ 110,00 R$ 1.100,00 + R$ 110,00 = R$ 1.210,00 3 R$ 1.210,00 R$ 1.210,00 x 10% = R$ 121,00 R$ 1.210,00 + R$ 121,00 = R$ 1.331,00 R$ 1.331,00 R$ 1.331,00 R$ 1.331,00

DIAGRAMA DE FLUXO DE CAIXA PARA OREGIME DE CAPITALIZAÇÃO CDIAGRAMA DE FLUXO DE CAIXA PARA OREGIME DE CAPITALIZAÇÃO CDIAGRAMA DE FLUXO DE CAIXA PARA OREGIME DE CAPITALIZAÇÃO CDIAGRAMA DE FLUXO DE CAIXA PARA OREGIME DE CAPITALIZAÇÃO COMPOSTAOMPOSTAOMPOSTAOMPOSTA

M = R$ 1.331,00

C . i = R$ 100,00 M1 . i = R$ 110,00 M2 . i = R$ 121,00

C = R$ 1.000,00



4444 Juros simplesJuros simplesJuros simplesJuros simples

Pode-se entender como juros simples, o sistema de capitalização linear, conforme foi

demonstrado no item 2.3 (regimes de capitalização).

No Brasil, a aplicabilidade dos sistemas de capitalização simples ocorre basicamente

nas situações em que os períodos não são inteiros.

4.1 Operações de juros simples4.1 Operações de juros simples4.1 Operações de juros simples4.1 Operações de juros simples

Serão apresentadas várias operações envolvendo juros simples, ou seja, cálculos de

juros, capital, taxa e montante. Para melhor facilitar a compreensão, as fórmulas serão

divididas em três grupos.

NºNºNºNº 1º Grupo de Fórmulas1º Grupo de Fórmulas1º Grupo de Fórmulas1º Grupo de Fórmulas SignificadoSignificadoSignificadoSignificado 1 J = FV J = FV J = FV J = FV –––– PV PV PV PV Fórmula de juros 2 FV = PV + JFV = PV + JFV = PV + JFV = PV + J Fórmula do montante ou valor futuro 3 PV = FV PV = FV PV = FV PV = FV –––– J J J J Fórmula do capital ou valor presente

EXEMPLO Nº 3:EXEMPLO Nº 3:EXEMPLO Nº 3:EXEMPLO Nº 3: Qual o valor dos juros resultante de uma operação onde foi investido

um capital de R$ 1.250,18, e que gerou um montante de R$ 1.380,75?

Dados:

PV = R$ 1.250,18 FV = R$ 1.380,75 J = ?

Solução 1:Solução 1:Solução 1:Solução 1:

J = 1.380,75 – 1.250,18 J = R$ 130,57J = R$ 130,57J = R$ 130,57J = R$ 130,57

Solução 2: HPSolução 2: HPSolução 2: HPSolução 2: HP----12C 12C 12C 12C 1380,75 [ENTER] 1250,18 [-] R$ 130,57R$ 130,57R$ 130,57R$ 130,57�



EXEMPLO Nº 4:EXEMPLO Nº 4:EXEMPLO Nº 4:EXEMPLO Nº 4: Uma aplicação obteve um rendimento líquido de R$ 78,25 durante um

determinado tempo, qual foi o valor resgatado, sabendo-se que a importância aplicada

foi de R$ 1.568,78?

Dados:

J = R$ 78,25 PV = R$ 1.568,78 FV = ?


FV = 1.568,78 + 78,25 FV = R$ 1.647,03FV = R$ 1.647,03FV = R$ 1.647,03FV = R$ 1.647,03

EXEMPLO Nº 5:EXEMPLO Nº 5:EXEMPLO Nº 5:EXEMPLO Nº 5: Qual o valor do investimento de gerou um resgate de R$ 1.500,00,

sabendo-se que o rendimento deste investimento foi de R$ 378,25?

Dados:

FV = R$ 1.500,00 J = R$ 378,25? PV = ?


PV = 1.500,00 – 378,25 PV = R$ 1.121,75PV = R$ 1.121,75PV = R$ 1.121,75PV = R$ 1.121,75

NºNºNºNº 2º Grupo de Fórmulas2º Grupo de Fórmulas2º Grupo de Fórmulas2º Grupo de Fórmulas SignificadoSignificadoSignificadoSignificado 4 J = PV x i x nJ = PV x i x nJ = PV x i x nJ = PV x i x n Fórmula de juros simples 5 PV = J / i x nPV = J / i x nPV = J / i x nPV = J / i x n Fórmula do capital ou valor presente 6 i = J / PV x ni = J / PV x ni = J / PV x ni = J / PV x n Fórmula da Taxa 7 n =n =n =n = J / PV x i J / PV x i J / PV x i J / PV x i Fórmula do prazo

Solução 2: HPSolução 2: HPSolução 2: HPSolução 2: HP----12C12C12C12C 1568,78 [ENTER] 78,25 [+] R$ 1.647,03R$ 1.647,03R$ 1.647,03R$ 1.647,03

Solução 2: HP 12C Solução 2: HP 12C Solução 2: HP 12C Solução 2: HP 12C 1500 [ENTER] 378,25 [-] R$ 1.121,75R$ 1.121,75R$ 1.121,75R$ 1.121,75



EXEMPLO Nº 6:EXEMPLO Nº 6:EXEMPLO Nº 6:EXEMPLO Nº 6: Determine o juro obtido com um capital de R$ 1.250,23 durante 5 meses

com a taxa de 5,5% ao mês.

Dados:

PV = R$ 1.250,23 n = 5 meses ou 150 dias i = 5,5% a.m.

Solução1:Solução1:Solução1:Solução1:

J = 1.250,23 x ,055 x 5 J = R$ 3J = R$ 3J = R$ 3J = R$ 343,8143,8143,8143,81

EXEMPLO 7:EXEMPLO 7:EXEMPLO 7:EXEMPLO 7: Qual foi o capital que gerou rendimentos de R$ 342,96 durante 11 meses, a

uma taxa de 2,5% a.m?

Dados:

PV = ? i = 2,5% ao mês n = 11 meses J = R$ 342,96


PV = 342,96 / 0,025 x 11 PV = 342,96 / 0,275 PV = R$ 1.247,13PV = R$ 1.247,13PV = R$ 1.247,13PV = R$ 1.247,13

Solução 2: HPSolução 2: HPSolução 2: HPSolução 2: HP----12C12C12C12C 1250,23 [ENTER] 0,055 [x] 5 [x] R$ 343,81R$ 343,81R$ 343,81R$ 343,81

Solução 3: HPSolução 3: HPSolução 3: HPSolução 3: HP----12C12C12C12C 1250,23 [ENTER] 5,5 [%] 5 [x] R$ 343,81R$ 343,81R$ 343,81R$ 343,81�

Solução 4: HPSolução 4: HPSolução 4: HPSolução 4: HP----12C12C12C12C [f] FIN 1250,23 [CHS] [PV] 150 [n] 66 [i] [f] INT R$ 343,81R$ 343,81R$ 343,81R$ 343,81

Solução 2: HPSolução 2: HPSolução 2: HPSolução 2: HP----12C12C12C12C 342,96 [ENTER] 0,025 [ENTER] 11 [x] [:] R$ 1.247,13R$ 1.247,13R$ 1.247,13R$ 1.247,13



EXEMPLO Nº 8:EXEMPLO Nº 8:EXEMPLO Nº 8:EXEMPLO Nº 8: Pedro pagou ao Banco Exemplo S.A. a importância de R$ 2,14 de juros

por um dia de atraso sobre uma prestação de 537,17. Qual foi a taxa mensal de juro

aplicado pelo banco?

Dados:

J = R$ 2,14 n = 1 dia PV = R$ 537,17 i = ?


i = 2,14 / 537,17 x 1 i = 2,14 / 537,17 i = 0,003984 x 100 i = 0,3984% ao dia imensal = 0,3984 x 30 iiiimensal mensal mensal mensal = 11,95% ao mês= 11,95% ao mês= 11,95% ao mês= 11,95% ao mês

EXEMPLO Nº 9:EXEMPLO Nº 9:EXEMPLO Nº 9:EXEMPLO Nº 9: Durante quanto tempo foi aplicado um capital de R$ 1.500,00 que gerou

rendimentos de R$ 351,00 com uma taxa de 1,8% ao mês?

Dados:

n = ? PV = R$ 1.500,00 i = 1,8% ao mês J = R$ 351,00


n = 351 / 1.500 x 0,018 n = 351 / 27 n = 13 mesesn = 13 mesesn = 13 mesesn = 13 meses

NºNºNºNº 3º Grupo de Fórmulas3º Grupo de Fórmulas3º Grupo de Fórmulas3º Grupo de Fórmulas SignificadoSignificadoSignificadoSignificado 8 FV = PV (1 + i x n)FV = PV (1 + i x n)FV = PV (1 + i x n)FV = PV (1 + i x n) Fórmula do montante ou valor futuro 9 PV = FV / (1 + i x n)PV = FV / (1 + i x n)PV = FV / (1 + i x n)PV = FV / (1 + i x n) Fórmula do capital ou valor presente

10 iiii (ac)(ac)(ac)(ac) = { ( FV / PV ) = { ( FV / PV ) = { ( FV / PV ) = { ( FV / PV ) ––––1} x 1001} x 1001} x 1001} x 100 Fórmula da taxa acumulada

�� ! � " ! # $�� ! � " ! # $�� % � � $� &$�

� � ��

�� ' � ! � " ! # $�� ( �( � ! � " ! # $�� $� &$�� $�� $�� !" # $ �% ��



EXEMPLO Nº 10:EXEMPLO Nº 10:EXEMPLO Nº 10:EXEMPLO Nº 10: Qual o valor de resgate de uma aplicação de R$ 105.000,00 aplicados

em um CDB de 90 dias, a uma taxa de 1,92% ao mês.

Dados:

FV = ? PV = R$ 105.000,00 i = 1,92% ao mês n = 90 dias ou (3 meses)


FV = 105.000 (1 + 0,0192 x 3 ) FV = 105.000 ( 1 + 0,0576) FV = 105.000 ( 1,0576 ) FV = R$ 111.048,00FV = R$ 111.048,00FV = R$ 111.048,00FV = R$ 111.048,00

EXEMPLO Nº 11:EXEMPLO Nº 11:EXEMPLO Nº 11:EXEMPLO Nº 11: Determine o valor da aplicação em um Título de Renda Fixa, cujo valor

de resgate bruto foi de R$ 84.248,00 por um período de 3 meses, sabendo-se que a taxa

da aplicação foi de 1,77% ao mês.

Dados:

PV = ? FV = R$ 84.248,00 i = 1,77% ao mês. n = 3 meses


PV = 84.248 / ( 1 + 0,0177 x 3 ) PV = 84.248 / ( 1 + 0,0531 ) PV = 84.248 / ( 1,0531 ) PV = R$ 80.000,00PV = R$ 80.000,00PV = R$ 80.000,00PV = R$ 80.000,00

Solução 2: HPSolução 2: HPSolução 2: HPSolução 2: HP----12C12C12C12C 105000 [ENTER] 1 [ENTER] 0,0192 [ENTER] 3 [x] [+] [x] R$ 111.048,00R$ 111.048,00R$ 111.048,00R$ 111.048,00

��

�$�) *� �� + $� � , $�- � � � $��- � � ! � " ! # $�� $� ��$� �$�*� " � . $��& �� ' ( ) !' ' ��

Solução 4: HPSolução 4: HPSolução 4: HPSolução 4: HP----12C12C12C12C 105000 [ENTER] 1,92 [%] 3 [x] [+] R$ 111.048,00R$ 111.048,00R$ 111.048,00R$ 111.048,00

Solução 2: HPSolução 2: HPSolução 2: HPSolução 2: HP----12C12C12C12C 84248 [ENTER] 1 [ENTER] 0,0177 [ENTER] 3 [x] [+] [:] R$ 80.000,00R$ 80.000,00R$ 80.000,00R$ 80.000,00



EXEMPLO Nº 12:EXEMPLO Nº 12:EXEMPLO Nº 12:EXEMPLO Nº 12: Joaquim emprestou R$ 15,00 de Salim. Após seis meses, Salim

resolveu cobrar sua dívida. Joaquim efetuou um pagamento de R$ 23,75 a Salim. Qual foi

a taxa de juros acumulados nesta operação? Qual foi a taxa mensal de juros?

Dados:

PV = R$ 15,00 FV = R$ 23,75 n = 6 meses i(ac) = ? imensal = ?


i(ac) = {(23,75/15) –1} x 100 i(ac) = {1,5833 –1} x 100 i(ac) = 0,5833 x 100 iiii (ac)(ac)(ac)(ac) = 58,33% a.p. = 58,33% a.p. = 58,33% a.p. = 58,33% a.p. ou (ao semestre)ou (ao semestre)ou (ao semestre)ou (ao semestre) imensal = 58,33 : 6 iiiimensalmensalmensalmensal = 9,72% a.m.= 9,72% a.m.= 9,72% a.m.= 9,72% a.m.

4.2 Juros exato e juros comercial4.2 Juros exato e juros comercial4.2 Juros exato e juros comercial4.2 Juros exato e juros comercial

Quando falamos em juro exato, estamos na verdade nos referindo aos dias do

calendário, ou seja, devemos considerar a quantidade de dias existente em cada mês.

Como por exemplo: janeiro (31 dias), fevereiro (28 ou 29 dias), desta forma, um ano pode

ter 365 ou 366 dias.

No caso do juro comercial devemos considerar sempre um mês de 30 dias, e sendo

assim, um ano comercial vai ter sempre ter sempre 360 dias.

Solução 2: HPSolução 2: HPSolução 2: HPSolução 2: HP----12C12C12C12C 23,75 [ENTER] 15 [:] 1 [-] 100 [x] 58,33% a.p.58,33% a.p.58,33% a.p.58,33% a.p. 6 [:] 9,72% a.m.9,72% a.m.9,72% a.m.9,72% a.m.

Solução 3: HPSolução 3: HPSolução 3: HPSolução 3: HP----12C12C12C12C 15 [ENTER] 23,75 [∆%] 58,33% a.p.58,33% a.p.58,33% a.p.58,33% a.p. 6 [:] 9999,72% a.m.,72% a.m.,72% a.m.,72% a.m.



EXEMPLO Nº 13:EXEMPLO Nº 13:EXEMPLO Nº 13:EXEMPLO Nº 13: Uma prestação no valor de R$ 1.500,00 venceu em 01/02/01 sendo

quitada em 15/03/01, com a taxa de 60% ao ano. Determine os juros exato e comercial

pago nesta operação.

Dados:Dados:Dados:Dados:

PV = R$ 1.500,00 i = 60% ao ano Vencimento da Prestação: 01/02/01 Data do Pagamento: 15/03/01

Solução:Solução:Solução:Solução:

[f] 6 01.022001 [ENTER] 15.032001 [g] [∆DYS] 42 dias

a) J.E. = ( 1.500 x 0,6 x 42 )/ 365 = R$ 103,56

b) J.C. = ( 1.500 x 0,6 x 42 )/360 = R$ 105,00

Obs: espaço livre para o docente trabalhar com as funções de datasObs: espaço livre para o docente trabalhar com as funções de datasObs: espaço livre para o docente trabalhar com as funções de datasObs: espaço livre para o docente trabalhar com as funções de datas

4.3 Exercícios sobre juros simples4.3 Exercícios sobre juros simples4.3 Exercícios sobre juros simples4.3 Exercícios sobre juros simples

Considerar o ano comercial (360 dias)

1) Qual o valor dos juros correspondentes a um empréstimo de R$ 5.000,00, pelo prazo

de cinco meses, sabendo-se que a taxa cobrada é de 3,5% ao mês?

Resposta: R$ 875,00Resposta: R$ 875,00Resposta: R$ 875,00Resposta: R$ 875,00

2) Um capital de R$ 12.250,25, aplicado durante 9 meses, rende juros de R$ 2756,31.

Determine a taxa correspondente.

Resposta: 0,025 ou 2,5% ao mêsResposta: 0,025 ou 2,5% ao mêsResposta: 0,025 ou 2,5% ao mêsResposta: 0,025 ou 2,5% ao mês

Solução 2: HPSolução 2: HPSolução 2: HPSolução 2: HP----12C12C12C12C 1500 [ENTER] 0,6 [x] 42 [x] [365] [:] R$ 103,56R$ 103,56R$ 103,56R$ 103,56 1500 [ENTER] 0,6 [x] 42 [x] [360] [:] R$ 105,00R$ 105,00R$ 105,00R$ 105,00



3) Uma aplicação de R$ 13.000,00 pelo prazo de 180 dias obteve um rendimento de R$

1.147,25. Pergunte-se: Qual a taxa anual correspondente a essa aplicação?

Resposta: 0,049028%Resposta: 0,049028%Resposta: 0,049028%Resposta: 0,049028% ao dia ou 17,65% ao ano ao dia ou 17,65% ao ano ao dia ou 17,65% ao ano ao dia ou 17,65% ao ano

4) Sabendo-se que os juros de R$ 7.800,00 foram obtidos com uma aplicação de R$

9.750, à taxa de 8% ao trimestre, pede-se que calcule o prazo.

Resposta: 10 trimestres ou 2,5 anosResposta: 10 trimestres ou 2,5 anosResposta: 10 trimestres ou 2,5 anosResposta: 10 trimestres ou 2,5 anos

5) Qual o capital que, à taxa de 2,8% ao mês, rende juros de R$ 950,00 em um ano?

Resposta: R$ 2.827,38Resposta: R$ 2.827,38Resposta: R$ 2.827,38Resposta: R$ 2.827,38

6) Um empréstimo de R$ 21.749,41 é liquidado por R$ 27.612,29 no final de 152 dias.

Calcular a taxa mensal de juros.

Resposta: 5,32% ao mêsResposta: 5,32% ao mêsResposta: 5,32% ao mêsResposta: 5,32% ao mês

7) Calcular o valor dos juros e do montante de uma aplicação de R$ 21.150,00, feita de

3,64% ao mês, pelo prazo de 72 dias.

Resposta: J = R$ 1.847,66 e FV = R$ 22.997,66Resposta: J = R$ 1.847,66 e FV = R$ 22.997,66Resposta: J = R$ 1.847,66 e FV = R$ 22.997,66Resposta: J = R$ 1.847,66 e FV = R$ 22.997,66

8) Calcular o valor futuro da aplicação de um capital de R$ 7.565,01, pelo prazo de 12

meses, à taxa de 2,5% ao mês.


9) Determinar o valor presente de um título cujo valor de resgate é de R$ 56.737,59,

sabendo-se que a taxa de juros é 2,8% ao mês e que faltam 3 meses para o seu

vencimento.


10) Em quanto tempo um capital aplicado a 2,95% ao mês dobra o seu valor?

RespostaRespostaRespostaResposta: 33 meses e 27 dias: 33 meses e 27 dias: 33 meses e 27 dias: 33 meses e 27 dias



4.4 Exercícios de reforços4.4 Exercícios de reforços4.4 Exercícios de reforços4.4 Exercícios de reforços

OOOOS EXERCÍCIOS DE REFOS EXERCÍCIOS DE REFOS EXERCÍCIOS DE REFOS EXERCÍCIOS DE REFORÇOS TÊM COMO OBJETIRÇOS TÊM COMO OBJETIRÇOS TÊM COMO OBJETIRÇOS TÊM COMO OBJETIVO PRINCIPALVO PRINCIPALVO PRINCIPALVO PRINCIPAL, , , , COMPLEMENTAR OS EXEMCOMPLEMENTAR OS EXEMCOMPLEMENTAR OS EXEMCOMPLEMENTAR OS EXEMPLOS PLOS PLOS PLOS

APRESENTANDOS EM SALAPRESENTANDOS EM SALAPRESENTANDOS EM SALAPRESENTANDOS EM SALA DE AULA E OS EXERCA DE AULA E OS EXERCA DE AULA E OS EXERCA DE AULA E OS EXERCÍCIOS PRATICADOS PELÍCIOS PRATICADOS PELÍCIOS PRATICADOS PELÍCIOS PRATICADOS PELOS ALUNOSOS ALUNOSOS ALUNOSOS ALUNOS....

1. Determinar quanto renderá um capital de R$ 60.000,00 aplicado à taxa de 24% ao

ano, durante sete meses.


2. Um capital de R$ 28.000,00, aplicado durante 8 meses, rendeu juros de R$ 11.200,00.

Determinar a taxa anual.

Resposta: 60% ao ano.Resposta: 60% ao ano.Resposta: 60% ao ano.Resposta: 60% ao ano.

3. Durante 155 dias, certo capital gerou um montante de R$ 64.200,00. Sabendo-se que

a taxa de juros é de 4% ao mês, determinar o valor do capital aplicado.


4. Qual o valor dos juros contidos no montante de R$ 100.000,00, resultantes da

aplicação de certo capital à taxa de 42% ao ano, durante 13 meses?


5. Qual o valor a ser pago, no final de cinco meses e 18 dias, correspondente a um

empréstimo de R$ 125.000,00, sabendo-se que a taxa de juros é de 27% ao semestre?


6. Em quanto tempo um capital de R$ 800,00, aplicado à taxa de 0,1% ao dia, gera um

montante de R$ 1.000,00?

Resposta: R$ 250 dias ou 8,333 mesesResposta: R$ 250 dias ou 8,333 mesesResposta: R$ 250 dias ou 8,333 mesesResposta: R$ 250 dias ou 8,333 meses



7. Um capital de R$ 50.000,00 foi aplicado do dia 19/06/X1 e resgatado em 20/01/X2.

Sabendo-se que a taxa de juros da aplicação foi de 56% ao ano, calcular o valor dos

juros, considerando-se o número de dias efetivos entre as duas datas.


8. Uma empresa aplicou R$ 2.000,00 no dia 15/07/XX e resgatou essa aplicação no dia

21/07/XX por R$ 2.018,00. Qual foi a taxa mensal de rendimento proporcionada por

essa operação?

Resposta: 4,5% ao mês.Resposta: 4,5% ao mês.Resposta: 4,5% ao mês.Resposta: 4,5% ao mês.

9. Calcular o valor do capital que, aplicado à taxa de 50,4% ao ano, durante dois anos e

três meses, produz um montante de R$ 600.000,00.


10. Ao fim de quanto tempo o capital de R$ 40.000,00, aplicado à taxa de 5% ao mês,

produz R$ 18.600,00 de juros?

Resposta: 9,3 meses, ou 279 dias. Resposta: 9,3 meses, ou 279 dias. Resposta: 9,3 meses, ou 279 dias. Resposta: 9,3 meses, ou 279 dias.

11. Obteve-se um empréstimo de R$ 10.000,00, para ser liquidado por R$ 14.675,00 no

final de oito meses e meio. Qual a taxa de juros anual cobrada nessa operação?

Resposta: 66% ao ano.Resposta: 66% ao ano.Resposta: 66% ao ano.Resposta: 66% ao ano.

12. Em quanto tempo um capital aplicado a 48% ao ano dobra o seu valor?

Resposta: 2,0833 anos ou 25 meses.Resposta: 2,0833 anos ou 25 meses.Resposta: 2,0833 anos ou 25 meses.Resposta: 2,0833 anos ou 25 meses.

13. A que taxa de juros um capital aplicado durante 10 meses rende juros igual à ¼ do

seu valor?

Resposta: 2,5% Resposta: 2,5% Resposta: 2,5% Resposta: 2,5% ao mês.ao mês.ao mês.ao mês.



14. Um capital emprestado gerou R$ 96.720,00 de juros. Sabendo-se que o prazo da

aplicação foi de 13 meses e a taxa de juros de 6% ao mês, calcular o valor do

montante.


15. Em quantos dias um capital de R$ 270.420,00 produzirá juros de R$ 62.304,77 a uma

taxa de 5,4% ao mês?

Resposta: 128 dias.Resposta: 128 dias.Resposta: 128 dias.Resposta: 128 dias.

16. Determinar o capital necessário para produzir um montante de R$ 798.000,00 no final

de um ano e meio, aplicado a uma taxa de 15% ao trimestre.


17. A aplicação de R$ 35.600,00 gerou um montante de R$ 58.028,00 no final de nove

meses. Calcular a taxa anual.

Resposta: 84% ao ano. Resposta: 84% ao ano. Resposta: 84% ao ano. Resposta: 84% ao ano.

18. Certo capital aplicado gerou um montante de R$ 1.000,00. Sabendo-se que a taxa de

juros é de 5% ao mês e o prazo de oito meses, calcular o valor dos juros.


19. Determinar o montante correspondente a uma aplicação de R$ 450.000,00, por 225

dias, à taxa de 5,6% ao mês.


20. Calcular o valor do capital, que aplicado a uma taxa de 6,2% ao mês, por 174 dias,

produziu um montante de R$ 543.840,00.




21. Um título de renda prefixada foi adquirido por R$ 80.000,00 e resgatado por R$

117.760,00 no final de oito meses. Calcular a taxa mensal de juros.


22. Em que prazo uma aplicação de R$ 500.000,00 possibilita o resgate de R$ 614.000,00 à

taxa de 7,2% ao mês?

Resposta: 3,167 meses ou 95 dias.Resposta: 3,167 meses ou 95 dias.Resposta: 3,167 meses ou 95 dias.Resposta: 3,167 meses ou 95 dias.

23. A que taxa anual devo aplicar um capital de R$ 275.000,00 para obter juros de

177.320,00 no final de 186 dias?

Resposta: R$ 124,8% ao anoResposta: R$ 124,8% ao anoResposta: R$ 124,8% ao anoResposta: R$ 124,8% ao ano. . . .

A lista de exercícios de reforço, foi extraída do livro do professor José Dutra Vieira Sobrinho

(MATEMÁTICA FINANCEIRA, 5ª edição, Editora Atlas).



5555 Juros compostosJuros compostosJuros compostosJuros compostos

5.1 Conceitos de juros compostos5.1 Conceitos de juros compostos5.1 Conceitos de juros compostos5.1 Conceitos de juros compostos

Podemos entender os juros compostos, como sendo o que popularmente chamamos de

juros sobre juros. Mas na verdade os juros são calculados tomando como base o

montante, conforme estamos demostrando no diagrama de fluxo de caixa abaixo.

Observe novamente a demonstração do regime de capitalização composta.

Matematicamente, o cálculo a juros compostos é conhecido por cálculo exponencial de

juros.

Regime de Capitalização Composta

N Capital Aplicado Juros de cada período Valor

Acumulado ou Montante 1 R$ 1.000,00 R$ 1.000,00 x 10% = R$ 100,00 R$ 1.000,00 + R$ 100,00 = R$ 1.100,00 2 R$ 1.100,00 R$ 1.100,00 x 10% = R$ 110,00 R$ 1.100,00 + R$ 110,00 = R$ 1.210,00 3 R$ 1.210,00 R$ 1.210,00 x 10% = R$ 121,00 R$ 1.210,00 + R$ 121,00 = R$ 1.331,00

DIAGRAMA DE FLUXO DE CAIXA PARA O REGIME DE CAPITALIZAÇÃO COMPOSDIAGRAMA DE FLUXO DE CAIXA PARA O REGIME DE CAPITALIZAÇÃO COMPOSDIAGRAMA DE FLUXO DE CAIXA PARA O REGIME DE CAPITALIZAÇÃO COMPOSDIAGRAMA DE FLUXO DE CAIXA PARA O REGIME DE CAPITALIZAÇÃO COMPOSTATATATA

M = R$ 1.331,00

C . i = R$ 100,00 M1 . i = R$ 110,00 M2 . i = R$ 121,00

C = R$ 1.000,00



5.2 Valor futuro (FV) ou montante (M)5.2 Valor futuro (FV) ou montante (M)5.2 Valor futuro (FV) ou montante (M)5.2 Valor futuro (FV) ou montante (M)

EXEMPLO Nº 14:EXEMPLO Nº 14:EXEMPLO Nº 14:EXEMPLO Nº 14: Calcular o montante de um capital de R$ 5.000,00, aplicado à taxa de

4% ao mês, durante 5 meses.

Dados:

FV = ? PV = R$ 5.000,00 i = 4% ao mês n = 5 meses

5.3 Diferença entre os juros simples e juros compostos5.3 Diferença entre os juros simples e juros compostos5.3 Diferença entre os juros simples e juros compostos5.3 Diferença entre os juros simples e juros compostos

EXEMPLO Nº 15:EXEMPLO Nº 15:EXEMPLO Nº 15:EXEMPLO Nº 15: Calcular o montante de um capital de R$ 50.000,00, aplicado à taxa de

15% ao mês, para 29 dias, 30 dias e 31 dias, pelos regimes de juros simples e juros

compostos.

Juros Simples

a. n = 29 dias; FV = 50.000 (1 + 0,15 x 29 ) = R$ 57.250,00 ( J. Simples > J. Compostos )

30

b. n = 30 dias; FV = 50.000 (1 + 0,15 x 30 ) = R$ 57.500,00 ( J. Simples = J. Compostos )

30

c. n = 31 dias; FV = 50.000 (1 + 0,15 x 31 ) = R$ 57.750,00 ( J. Simples < J. Compostos )

30

* + �, �� + �-�� . ��/�0

Solução 1Solução 1Solução 1Solução 1 FV = 5.000 ( 1 + 0,04) 5

FV = 5.000 ( 1,04 ) 5

FV = 5.000 (1,216653...) FV = R$ 6.083,26FV = R$ 6.083,26FV = R$ 6.083,26FV = R$ 6.083,26

Solução Solução Solução Solução 2 : HP 12C2 : HP 12C2 : HP 12C2 : HP 12C 5000 [ENTER] 1 [ENTER] 0,04 [+] 5 [yx] [x] R$ 6.083,26

Solução 3 : HP 12CSolução 3 : HP 12CSolução 3 : HP 12CSolução 3 : HP 12C [f] FIN 5000 [CHS] [PV] 4 [i] 5 [n] [FV] R$ 6.083,26R$ 6.083,26R$ 6.083,26R$ 6.083,26



Juros CompostosJuros CompostosJuros CompostosJuros Compostos

a)a)a)a) n = 29 dias;n = 29 dias;n = 29 dias;n = 29 dias; FV = 50.000 (1 ,15) 29/30 = R$ 57.232,75

b)b)b)b) n = 30 dias;n = 30 dias;n = 30 dias;n = 30 dias; FV = 50.000 (1 ,15) 30/30 = R$ 57.500,00

c)c)c)c) n = 31 dias;n = 31 dias;n = 31 dias;n = 31 dias; FV = 50.000 (1 ,15) 31/30 = R$ 57.768,50

5.4 Função “C” na HP 12C, teclas [STO] e [EEX]5.4 Função “C” na HP 12C, teclas [STO] e [EEX]5.4 Função “C” na HP 12C, teclas [STO] e [EEX]5.4 Função “C” na HP 12C, teclas [STO] e [EEX]

Com a seqüência de teclas [STO] [EEX] aparecerá no visor da calculadora HP 12C a letra

“C”. Se a letra “C” não estiver aparecendo no visor, a HP-12C faz esse cálculo com base

na chamada “convenção linear”, em que os juros são calculados de acordo com o

regime de capitalização composta para períodos inteiros e de acordo com o regime de

capitalização simples para períodos fracionários. Vamos comprovar:

EXEMPLO Nº 16:EXEMPLO Nº 16:EXEMPLO Nº 16:EXEMPLO Nº 16: Calcular o valor futuro de uma aplicação de R$ 1.450.300,00, aplicado à

taxa de 15% ao ano, durante 3,5 anos.

Dados:

PV = R$ 1.450.300,00 i = 15% ao ano n = 3,5 anos.

Observe que existe uma diferença de R$ 5.777,83, vejamos o por quê?

Solução 1:Solução 1:Solução 1:Solução 1: FV = 1.450.300 (1 + 0,15) 3,5 R$ 2.365.376,56R$ 2.365.376,56R$ 2.365.376,56R$ 2.365.376,56

Usando a HP 12C com “C” no Usando a HP 12C com “C” no Usando a HP 12C com “C” no Usando a HP 12C com “C” no visor.visor.visor.visor. [f] FIN 1450300 [CHS] [PV] 15 [i] 3,5 [n] FV R$ 2.365.376,56R$ 2.365.376,56R$ 2.365.376,56R$ 2.365.376,56

Usando a HP 12C sem “C” no Usando a HP 12C sem “C” no Usando a HP 12C sem “C” no Usando a HP 12C sem “C” no visor.visor.visor.visor. [f] FIN 1450300 [CHS] [PV] 15 [i] 3,5 [n] FV R$ 2.371.154,39R$ 2.371.154,39R$ 2.371.154,39R$ 2.371.154,39



1º PASSO:1º PASSO:1º PASSO:1º PASSO: determinar o valor futuro para o período de 3 anos (período inteiroperíodo inteiroperíodo inteiroperíodo inteiro) pelo

regime de juros compostosjuros compostosjuros compostosjuros compostos.

FV (3 anos) = 1.450.300 (1,15) 3 = R$ 2.205.725,01

2º PASSO:2º PASSO:2º PASSO:2º PASSO: determinar o valor dos juros correspondentes a meio ano (período

fracionário) pelo regime de juros simples.

J (meio ano) = ( 2.205.725,01 x 0,15 x 180 ) / 360 = R$ 165.429,38

3º PASSO:3º PASSO:3º PASSO:3º PASSO: determinar o valor futuro total (3,5 anos)

FV (3,5 anos) = R$ 2.205.725,01 + R$ 165.429,38 = R$ 2.371.154,39

5.5 Valor presente (PV) ou capital (C)5.5 Valor presente (PV) ou capital (C)5.5 Valor presente (PV) ou capital (C)5.5 Valor presente (PV) ou capital (C)

EXEMPLO Nº 17:EXEMPLO Nº 17:EXEMPLO Nº 17:EXEMPLO Nº 17: No final de dois anos, o Sr. Carlos deverá efetuar um pagamento de R$

2.000,00 referente ao valor de um empréstimo contratado na data de hoje, mais os juros

devidos, correspondentes a uma taxa de 4% ao mês. Pergunta-se: Qual o valor

emprestado?

Dados:

FV = R$ 2.000,00 i = 4% ao mês n = 24 meses PV = ?

Solução 1:Solução 1:Solução 1:Solução 1: PV = 2.000 / (1 + 0,04) 24

PV = 2.000 / (1,04) 24

PV = 2.000 / 2,563304... PV = R$ 780,24PV = R$ 780,24PV = R$ 780,24PV = R$ 780,24

Solução 2:Solução 2:Solução 2:Solução 2: PV = 2.000 x 1 / (1 + 0,04) 24

PV = 2.000 x 1 / (1,04) 24

PV = 2.000 x 1 / 2,563304... PV = 2.000 x 0,390121...PV = 2.000 x 0,390121...PV = 2.000 x 0,390121...PV = 2.000 x 0,390121... PV = R$ 780,24PV = R$ 780,24PV = R$ 780,24PV = R$ 780,24

Solução 3: HPSolução 3: HPSolução 3: HPSolução 3: HP----12C12C12C12C 2000 [ENTER] 1 [ENTER] 0,04 [+] 24 [yx] [:] R$ 780,24R$ 780,24R$ 780,24R$ 780,24

Solução 4: HPSolução 4: HPSolução 4: HPSolução 4: HP----12C12C12C12C [f] FIN 2000 [CHS] [FV] 4 [i] 24 [n] PV R$ 780,24R$ 780,24R$ 780,24R$ 780,24

PV = FV / ( 1 + i ) PV = FV / ( 1 + i ) PV = FV / ( 1 + i ) PV = FV / ( 1 + i ) nnnn



5.6 Prazo (n)5.6 Prazo (n)5.6 Prazo (n)5.6 Prazo (n)

ou n =

EXEMPLO Nº 18:EXEMPLO Nº 18:EXEMPLO Nº 18:EXEMPLO Nº 18: Em que prazo um empréstimo de R$ 24.278,43 pode ser liquidado em

um único pagamento de R$ 41.524,33, sabendo-se que a taxa contratada é de 3% ao

mês.

Dados:

n = ?

PV = R$ 24.278,43

FV = R$ 41.524,33

i = 3% ao mês

nnnn ==== LN(FV) LN(PV)LN(1 i)

−+

LN( )LN(1 i)

FVPV+

Solução 1:Solução 1:Solução 1:Solução 1: n = LN(41.524,33) – LN(24.278,43) LN (1,03) n = 10,634035... – 10,097344... 0,029559... n = 0,536691...

0,029559... 0,029559... 0,029559... 0,029559... n = 18,n = 18,n = 18,n = 18,156731... meses156731... meses156731... meses156731... meses

Solução 2:Solução 2:Solução 2:Solução 2: n = {LN(41.524,33) / LN(24.278,43)} LN (1,03) n = LN (1,710338) LN (1,03) n = 0,536691...

0,029559... 0,029559... 0,029559... 0,029559... n = 18,156731... mesesn = 18,156731... mesesn = 18,156731... mesesn = 18,156731... meses

Solução 3: (HP 12C)Solução 3: (HP 12C)Solução 3: (HP 12C)Solução 3: (HP 12C) 41.524,33 [g] LN 24.278,43 [g] LN [-] 1,03 [g] LN [:] n = 18,1567n = 18,1567n = 18,1567n = 18,156731...31...31...31...

Solução 4: (HP 12C)Solução 4: (HP 12C)Solução 4: (HP 12C)Solução 4: (HP 12C) 41.524,33 [ENTER] 24.278,43 [:] [g] LN 1,03 [g] LN [:] n = 18,156731...n = 18,156731...n = 18,156731...n = 18,156731...

Solução 5: HPSolução 5: HPSolução 5: HPSolução 5: HP----12C12C12C12C [f] FIN 41524,33 [CHS] [FV] 24278,43 [PV] 3 [i] [n] 19 meses19 meses19 meses19 meses



5.7 Função [FRAC] e [INTG]5.7 Função [FRAC] e [INTG]5.7 Função [FRAC] e [INTG]5.7 Função [FRAC] e [INTG]

Através da função [FRAC] é possível eliminar a parte inteira de um número e manter a

parte a parte fracionária.

Através da função [INTG] é possível eliminar a parte fracionária de um número e manter

a parte inteira.

Vamos comprovar:

Tomando como base o EXEMPLO Nº 18EXEMPLO Nº 18EXEMPLO Nº 18EXEMPLO Nº 18, temos que o prazo foi de 18,156731... meses,

observe que existe uma parte fracionária, que neste caso representa a quantidade de

dias. Para calculamos a quantidade de dias, basta multiplicar a parte fracionária por 30

(mês comercial).

Solução Única.

Estando com o número 18,156731... no visor da calculadora HP 12C, observar o

procedimento a seguir:

[g] FRAC 30 [x]

4,701928 dias

no caso de dias, poderemos arredondar o número para maior, então poderemos dizer

que a resposta do EXEMPLO Nº 18EXEMPLO Nº 18EXEMPLO Nº 18EXEMPLO Nº 18, seja 18 meses e 5 dias.

Para o mesmo EXEMPLO Nº 18EXEMPLO Nº 18EXEMPLO Nº 18EXEMPLO Nº 18, poderemos eliminar a parte fracionária e ficar com a

parte inteira, fazendo a seqüência teclas: [g] INTG.



5.8 Taxas equivalentes a juros compostos5.8 Taxas equivalentes a juros compostos5.8 Taxas equivalentes a juros compostos5.8 Taxas equivalentes a juros compostos

EXEMPLO Nº 19:EXEMPLO Nº 19:EXEMPLO Nº 19:EXEMPLO Nº 19: A loja “Arrisca tudo” financia a venda de uma mercadoria no valor de

R$ 10.210,72, sem entrada, para pagamento em uma única prestação de R$ 14.520,68 no

final de 210 dias. Qual a taxa mensal cobrada pela loja?

Dados:

i = ?

PV = R$ 10.210,72

FV = R$ 14.520,68

n = 210 dias

i ={ ( )FV

PVQQ/QT – 1} x 100

Onde:Onde:Onde:Onde: QQ = Quanto eu QueroQQ = Quanto eu QueroQQ = Quanto eu QueroQQ = Quanto eu Quero QT = Quanto eu TenhoQT = Quanto eu TenhoQT = Quanto eu TenhoQT = Quanto eu Tenho

Solução 1:Solução 1:Solução 1:Solução 1: i = {(14.520,68 / 10.210,72 ) 30/210 – 1} x 100 i = {(1,422101...) 0,142857 – 1} x 100 i = {1,051592 – 1} x 100 i = {0,051592} x 100 i = 5,16% ao mês.i = 5,16% ao mês.i = 5,16% ao mês.i = 5,16% ao mês.

Solução 2: HPSolução 2: HPSolução 2: HPSolução 2: HP----12C12C12C12C 14520,68................................10210,72 [:] 30 [ENTER] 210 [:] [yx] 1 [-] 100 [x] 5,16% ao mês5,16% ao mês5,16% ao mês5,16% ao mês

Solução 3: HPSolução 3: HPSolução 3: HPSolução 3: HP----12C12C12C12C 10210,72 [CHS] [PV] 14520,68 [FV] 7 [n] [i] 5,16% ao mês.5,16% ao mês.5,16% ao mês.5,16% ao mês.



5.9 Exercícios sobre juros compostos5.9 Exercícios sobre juros compostos5.9 Exercícios sobre juros compostos5.9 Exercícios sobre juros compostos

1. Determinar o montante, no final de 10 meses, resultante da aplicação de um capital

de R$ 100.000,00 à taxa de 3,75% ao mês.


2. Uma pessoa empresta R$ 80.000,00 hoje para receber R$ 507.294,46 no final de dois

anos. Calcular as taxas mensal e anual desse empréstimo.

Resposta: 8% ao mês, ou 151,817% ao ano.Resposta: 8% ao mês, ou 151,817% ao ano.Resposta: 8% ao mês, ou 151,817% ao ano.Resposta: 8% ao mês, ou 151,817% ao ano.

3. Sabendo-se que a taxa trimestral de juros cobrada por uma instituição financeira é

de 12,486%, determinar qual o prazo em que um empréstimo de R$ 20.000,00 será

resgatado por R$ 36.018,23.

RespostRespostRespostResposta: 5 trimestres (ou 15 meses).a: 5 trimestres (ou 15 meses).a: 5 trimestres (ou 15 meses).a: 5 trimestres (ou 15 meses).

4. Quanto devo aplicar hoje, à taxa de 18,00% ao ano, para ter R$ 1.000.000,00 ao final

de 19 meses?


5.10 Exercícios de reforços5.10 Exercícios de reforços5.10 Exercícios de reforços5.10 Exercícios de reforços

1. Uma empresa obtém um empréstimo de R$ 700.000,00 que será liquidado, de uma só

vez, no final de dois anos. Sabendo-se que a taxa de juros é de 25% ao semestre,

calcular o valor pelo qual esse empréstimo deverá ser quitado.

Resposta: R$ 1.708.984,38Resposta: R$ 1.708.984,38Resposta: R$ 1.708.984,38Resposta: R$ 1.708.984,38

2. Em que prazo uma aplicação de 374.938,00, à taxa de 3,25% ao mês, gera um resgate

de R$ 500.000,00.

Resposta: 9 mesesResposta: 9 mesesResposta: 9 mesesResposta: 9 meses



3. Um terreno está sendo oferecido por R$ 4.500,00 à vista ou R$ 1.500,00 de entrada e

mais uma parcela de R$ 3.500,00, no final de 6 meses. Sabendo-se que no mercado a

taxa média para aplicação em títulos de renda prefixada gira em torno de 3,5% ao

mês (taxa líquida, isto é, com o Imposto de Renda já computado), determinar a

melhor opção para um interessado que possua recursos disponíveis para comprá-lo.

Resposta: A melhor opção é compráResposta: A melhor opção é compráResposta: A melhor opção é compráResposta: A melhor opção é comprá----lo a prazolo a prazolo a prazolo a prazo

4. A que taxa de juros um capital aplicado pose ser resgatado, no final de 17 meses,

pelo dobro do seu valor?


5. Em quanto tempo um capital pode produzir juros iguais a 50% do seu valor, se

aplicado a 3,755% ao mês.

Resposta: 11 meses.Resposta: 11 meses.Resposta: 11 meses.Resposta: 11 meses.

6. A aplicação de certo capital, à taxa de 69,588% ao ano, gerou um montante de R$

820.000,00 no final de 1 ano e 3 meses. Calcular o valor dos juros.


7. Qual é mais vantajoso: aplicar R$ 10.000,00 por 3 anos, a juros compostos de 3% ao

mês, ou aplicar esse mesmo valor, pelo mesmo prazo, a juros simples de 5% ao mês?

Resposta: Aplicar a juros compostos de 3% ao mês.Resposta: Aplicar a juros compostos de 3% ao mês.Resposta: Aplicar a juros compostos de 3% ao mês.Resposta: Aplicar a juros compostos de 3% ao mês.

8. No fim quanto tempo um capital, aplicado à taxa de 4% ao mês, quadruplica o seu

valor:

a) no regime de capitalização composta; (Resposta: 35,Resposta: 35,Resposta: 35,Resposta: 35,35 meses35 meses35 meses35 meses)

b) no regime de capitalização simples. (Resposta: 75 mesesResposta: 75 mesesResposta: 75 mesesResposta: 75 meses)



9. Qual o montante produzido pela aplicação de R$ 580,00, à taxa de 17,5% ao ano, pelo

prazo de 213 dias?

Resposta: 638,07Resposta: 638,07Resposta: 638,07Resposta: 638,07

10. Qual o valor do capital, que aplicado à taxa de 18% ao trimestre durante 181 dias,

produziu um montante de R$ 5.000,00?


11. A aplicação de R$ 211.009,90 proporcionou um resgate de R$ 322.033,58 no final de

seis meses. Determinar as taxas mensal e anual dessa operação.

Resposta: 7,3% ao mês e 132,91% Resposta: 7,3% ao mês e 132,91% Resposta: 7,3% ao mês e 132,91% Resposta: 7,3% ao mês e 132,91% ao ano. ao ano. ao ano. ao ano.

12. Certa aplicação rende 0,225% ao dias. Em que prazo um investidor poderá receber o

dobro da sua aplicação?

Resposta: 308,41dias ou 309 diasResposta: 308,41dias ou 309 diasResposta: 308,41dias ou 309 diasResposta: 308,41dias ou 309 dias

13. A aplicação de R$ 280,00 proporcionou um rendimento de R$ 240,00 no final de 208

dias. Determinar a taxa diária, mensal, trimestral e anual de juros.

Resposta: 0,2981% a.d; 9,3392% a.m; 30,7156% a.t. e 191,9505% a.a.Resposta: 0,2981% a.d; 9,3392% a.m; 30,7156% a.t. e 191,9505% a.a.Resposta: 0,2981% a.d; 9,3392% a.m; 30,7156% a.t. e 191,9505% a.a.Resposta: 0,2981% a.d; 9,3392% a.m; 30,7156% a.t. e 191,9505% a.a.

14. Em 154 dias uma aplicação rendeu 21,43%. Calcular as taxas mensal e anual

equivalente.

Resposta: 3,85% a.m. e 57,44% a.a.Resposta: 3,85% a.m. e 57,44% a.a.Resposta: 3,85% a.m. e 57,44% a.a.Resposta: 3,85% a.m. e 57,44% a.a.

15. Um banco cobra 20% a.a. de juros (além da correção monetária) numa operação de

capital de giro. Quanto cobrará para uma operação em 182 dias? (considerar o ano

como sendo 360 dias).

Resposta: 9,66% a.p.Resposta: 9,66% a.p.Resposta: 9,66% a.p.Resposta: 9,66% a.p.



16. Quanto uma pessoa resgatará no final de 93 dias se aplicar R$ 2.000,00 à taxa de 15%

ao ano? E qual a taxa mensal equivalente?

Resposta: R$ 2.073,53 e 1,17% a.m.Resposta: R$ 2.073,53 e 1,17% a.m.Resposta: R$ 2.073,53 e 1,17% a.m.Resposta: R$ 2.073,53 e 1,17% a.m.

17. Um certificado de Depósito Bancário (CDB) equivalente a 500 dólares rende juros de

15% ao ano. Sendo o seu prazo de 243 dias, calcular o valor de resgate (em dólar),

antes do Imposto de Renda.

Resposta: US$ 549,47Resposta: US$ 549,47Resposta: US$ 549,47Resposta: US$ 549,47

18. Qual foi a taxa mensal de juros apurada por um investidor, para uma aplicação de R$

10.000,00 efetuada no dia 13 de março de 2001, cujo valor de resgate em 08 de junho

de 2001 foi de R$ 10.968,42?

RRRResposta: 3,24% a.m.esposta: 3,24% a.m.esposta: 3,24% a.m.esposta: 3,24% a.m.

19. Qual é o número de dias necessário para que uma aplicação de R$ 1.000,00 produza

um valor de resgate de R$ 3.000,00, se a taxa de juros contratual for de 4,8% ao mês?

Resposta: 703 diasResposta: 703 diasResposta: 703 diasResposta: 703 dias

20. Um título de renda fixa é emitido com um prazo de dois meses e valor de resgate de

R$ 10.000,00. Determinar seu valor de emissão para que seja garantida ao investidor

uma rentabilidade de 10% ao ano, no regime de juros compostos.


Os exercícios dos itens 4.9 e 4.10 foram parcialmente extraídos e adaptados, do livro do

professor José Dutra Vieira SobrinhoJosé Dutra Vieira SobrinhoJosé Dutra Vieira SobrinhoJosé Dutra Vieira Sobrinho, Matemática Financeira, 5ª edição, Editora Atlas

e dos Professores Samuel HazzanSamuel HazzanSamuel HazzanSamuel Hazzan e José Nicolau PompeuJosé Nicolau PompeuJosé Nicolau PompeuJosé Nicolau Pompeu, Matemática Financeira –

métodos quantitativos, 4ª edição, Editora Atual.



6666 Operações com taxas de jurosOperações com taxas de jurosOperações com taxas de jurosOperações com taxas de juros

No mercado financeiro e nas operações bancárias e comerciais, a palavra taxa é

empregada de várias formas, ou seja, vários conceitos são abordados em várias

situações. Mostraremos as aplicabilidades das taxas de juros do pondo vista da

matemática financeira.

6.1 Taxas equivalentes:6.1 Taxas equivalentes:6.1 Taxas equivalentes:6.1 Taxas equivalentes:

As taxas são equivalentes se, quando aplicadas a um mesmo capital, por um mesmo

período, geram o mesmo rendimento.

Onde: i(EQ) = Taxa Equivalente; ic = Taxa Conhecida; QQ = Quanto eu Quero; QT = Quanto eu

Tenho.

EXEMPLO Nº 20:EXEMPLO Nº 20:EXEMPLO Nº 20:EXEMPLO Nº 20: Calcular a equivalência entre as taxas.

Taxa ConhecidaTaxa ConhecidaTaxa ConhecidaTaxa Conhecida Taxa Equivalente para:Taxa Equivalente para:Taxa Equivalente para:Taxa Equivalente para: a) 79,5856% ao ano 1 mês b) 28,59% ao trimestre 1 semestre c) 2,5% ao mês 105 dias d) 0,5% ao dia 1 ano e) 25% (ano comercial) 1 ano exato (base 365 dias)

i(eq) ={ ( 1 + ic)QQ/QT – 1} x 100


a) i(EQ) = { ( 1 + 0,7958) 30/360 – 1} x 100 = 5% ao mês5% ao mês5% ao mês5% ao mês

b) i(EQ) = { ( 1 + 0,2859) 180/90 – 1} x 100 = 65,35% ao semestre65,35% ao semestre65,35% ao semestre65,35% ao semestre

c) i(EQ) = { ( 1 + 0,025) 105/30 – 1} x 100 = 9,03% ao período9,03% ao período9,03% ao período9,03% ao período

d) i(EQ) = { ( 1 + 0,005) 360/1 – 1} x 100 = 502,26% ao ano502,26% ao ano502,26% ao ano502,26% ao ano

e) i(EQ) = { ( 1 + 0,25) 365/360 – 1} x 100 = 25,39% ao ano (exato)25,39% ao ano (exato)25,39% ao ano (exato)25,39% ao ano (exato)



6.1.1 Programa para taxa equivalente com HP 12C6.1.1 Programa para taxa equivalente com HP 12C6.1.1 Programa para taxa equivalente com HP 12C6.1.1 Programa para taxa equivalente com HP 12C [ f ] [ P/R ] [ f ] [ PRGM ] [ X<> Y] [ : ] [ X<> Y] [ 1 ] [ 0 ] [ 0 ] [ : ] [ 1 ] [ + ] [ x<>y ] [ yx ] [ 1 ] [ - ] [ 1 ] [ 0 ] [ 0 ] [ x ] [ f ] [ P/R ] UTILIZANDO O PROGRAMA 27 [ENTER] 360 [ENTER] 30 [R/S] 2,01% a.m.

Solução 2 (HP 12C)Solução 2 (HP 12C)Solução 2 (HP 12C)Solução 2 (HP 12C) a) 1,7958 [ENTER] 30 [ENTER] 360 [:] [YX] 1 [-] 100 [X] 5% ao mês5% ao mês5% ao mês5% ao mês b) 1,2859 [ENTER] 180 [ENTER] 90 [:] [YX] 1 [-] 100 [X] 65,35% ao trimestre65,35% ao trimestre65,35% ao trimestre65,35% ao trimestre c) 1,025 [ENTER] 105 [ENTER] 30 [:] [YX] 1 [-] 100 [X] 9,03% ao período9,03% ao período9,03% ao período9,03% ao período d) 1,005 [ENTER] 360 [ENTER] 1 [:] [YX] 1 [-] 100 [X] 502,26% ao ano502,26% ao ano502,26% ao ano502,26% ao ano e) 1,25 [ENTER] 365 [ENTER] 360 [:] [YX] 1 [-] 100 [X] 25,39% ao ano (exato)25,39% ao ano (exato)25,39% ao ano (exato)25,39% ao ano (exato)

Este programa foi extraído do livro do professor Carlos ShinodaCarlos ShinodaCarlos ShinodaCarlos Shinoda, matemática financeira para usuários do Excel, 2ª edição, editora Atlas.



6.2 Taxa over equivalente:6.2 Taxa over equivalente:6.2 Taxa over equivalente:6.2 Taxa over equivalente: A taxa over equivalente é uma taxa usada pelo mercado financeiro para determinar a

rentabilidade por dia útil, normalmente é multiplicada por 30 (conversão de mercado

financeiro). Nas empresas em geral, é utilizada para escolher a melhor taxa para

investimento.

Onde:Onde:Onde:Onde:

TOETOETOETOE ==== taxa over equivalentetaxa over equivalentetaxa over equivalentetaxa over equivalente iiiicccc ==== taxa de juros conhecidataxa de juros conhecidataxa de juros conhecidataxa de juros conhecida QQQQQQQQ ==== nº de dias efetivos da operaçãonº de dias efetivos da operaçãonº de dias efetivos da operaçãonº de dias efetivos da operação QT QT QT QT = = = = nº de dias referente à taxa conhecida ( inº de dias referente à taxa conhecida ( inº de dias referente à taxa conhecida ( inº de dias referente à taxa conhecida ( ic c c c )))) ndundundundu = = = = nº nº nº nº de dias úteis no período da operação.de dias úteis no período da operação.de dias úteis no período da operação.de dias úteis no período da operação.

EXEMPLO Nº 21:EXEMPLO Nº 21:EXEMPLO Nº 21:EXEMPLO Nº 21: Calcular a taxa over equivalente para uma taxa de 80% ao ano, para

uma aplicação de 30 dias, considerando 19 dias úteis.

Dados:

ic = 80% QQ = 30 dias QT = 360 dias ndu = 19 dias

Solução 1Solução 1Solução 1Solução 1 TOE ={ [ ( 1 + 0,80) 30 / 360 ] 1 / 19 - 1 } x 3.000 TOE ={ [ ( 1 ,80) 0,083333.... ] 0,052632 - 1 } x 3.000 TOE ={ [ 1 ,050202... ] 0,052632 - 1 } x 3.000 TOE ={ 1 ,002581... - 1 } x 3.000 TOE = 0,002581... x 3.000 TOE = 7,74% ao mês.7,74% ao mês.7,74% ao mês.7,74% ao mês.

Solução 2: HPSolução 2: HPSolução 2: HPSolução 2: HP----12C12C12C12C 1 [ENTER] 0,8 [+] 30 [ENTER] 360 [:] [yx ] 19 [1/x] [yx] 1 [-] 3000 [x] 7,74% ao mês7,74% ao mês7,74% ao mês7,74% ao mês

Solução 3: HPSolução 3: HPSolução 3: HPSolução 3: HP----12C12C12C12C 100 [CHS] [PV] 80 [i] 30 [ENTER] 360 [:] [n]

[FV] 100 [-] (5,02% a.p) [i] 1 [ENTER] 19 [:] [n] [FV] 100 [-] (0,258134 % a.d.u.) 30 [x] (7,74% a.m)(7,74% a.m)(7,74% a.m)(7,74% a.m)

TOE ={ [( 1 + ic) QQ/QT ] 1/ ndu - 1} x 3.000



6.3 Taxa6.3 Taxa6.3 Taxa6.3 Taxa acumulada de juros (com taxas variáveis) acumulada de juros (com taxas variáveis) acumulada de juros (com taxas variáveis) acumulada de juros (com taxas variáveis)

A taxa acumulada de juros com taxas variáveis e normalmente utilizada em situações de

correções de contratos, como por exemplo atualização de alugueis, saldo devedor da

casa própria, etc.

EXEMPLO Nº 22:EXEMPLO Nº 22:EXEMPLO Nº 22:EXEMPLO Nº 22: Com base na tabela abaixo, calcular a variação do IGPM-FGV

acumulada durante os meses de jan/2001 a maio/2001.

Últimas variações dos índices de inflação:

IGPM+FGV INPC+IBGE IGPDI+FGV IPC+FIPE IPCA+IBGE Maio/2000 - -0,05 0,67 - 0,01 Junho/200 0,85 0,30 0,93 0,18 0,23 Julho/2000 1,57 1,39 2,26 1,40 1,61 Agosto/2000 2,39 1,21 1,82 1,55 1,31 Setembro/2000 1,16 0,43 0,69 0,27 0,23 Outubro/2000 0,38 0,16 0,37 0,01 0,14 Novembro/2000 0,29 0,29 0,39 -0,05 0,32 Dezembro/2000 0,63 0,55 0,76 0,25 0,59 Janeiro/2001 0,62 0,77 0,49 0,36 0,57 Fevereiro/2001 0,23 0,49 0,34 0,11 0,46 Março/2001 0,56 0,46 0,80 0,51 0,38 Abril/2001 1,00 0,84 1,13 0,61 0,58 Maio/2001 0,86 - - 0,17 - Acumulado no ano 3,31 2,60 2,79 1,79 2,00 Acumulado 12 meses 11,04 7,07 11,16 5,52 6,61

Dados: IGMP (jan/2001) = 0,62% IGMP (fev/2001) = 0,23% IGMP (mar/2001) = 0,56% IGMP (abr/2001) = 1,00%

IGMP (mai/2001) = 0,86%

i(ac) = [(1 + i1) x (1 + i2) x (1 + i3) ... (1 + in) – 1] x 100

�� /�, � /��. �� 0 � 1�� /��. �� 1�� /��. �� 0 1�� /��. �� 1�� /�� % 0 1�2��$�� /�, � /�� 0 � 1�� /�� 1�� /�� 0 1�� /�� 1�� /�� % 0 1�2��$�� /�, � �� 2��$�� /�, � � �� $�� /�, �� !� � $ �% � �1 � 2 3� 4 � ��

Solução 2: HPSolução 2: HPSolução 2: HPSolução 2: HP----12C12C12C12C 1 ,0062 [ENTER] 1,0023 [x] 1,0056 [x] 1,01 [x] 1,0086 [x] 1 [-] 100 [x] 3,31% ao período.3,31% ao período.3,31% ao período.3,31% ao período.



6.4 Taxa média de juros6.4 Taxa média de juros6.4 Taxa média de juros6.4 Taxa média de juros

A taxa média de juros tem como base teórica, o conceito de estatística da média

geométrica. É normalmente usada para calcular a média de um conjunto de taxas.

Onde, n = número de taxas analisadas.

EXEMPLO Nº 23:EXEMPLO Nº 23:EXEMPLO Nº 23:EXEMPLO Nº 23: Com base nos dados do EXEMPLO Nº 22, calcular a taxa média.

Dados:

IGMP (jan/2001) = 0,62% IGMP (fev/2001) = 0,23% IGMP (mar/2001) = 0,56% IGMP (abr/2001) = 1,00% IGMP (mai/2001) = 0,86%

6.5 Taxa real de juros6.5 Taxa real de juros6.5 Taxa real de juros6.5 Taxa real de juros

A taxa real juro nada mais é do que a apuração de ganho ou perda em relação a uma

taxa de inflação ou custo de oportunidade.

i(média) = {[(1 + i1) x (1 + i2) x (1 + i3) ... (1 + in) ] 1/ n – 1 }x 100

Solução 2: HPSolução 2: HPSolução 2: HPSolução 2: HP----12C12C12C12C 1 ,0062 [ENTER] 1,0023 [x] 1,0056 [x] 1,01 [x] 1,0086 [x] 5 [1/x] [yx] 1 [-] 100 [x] 0,65% ao mês.0,65% ao mês.0,65% ao mês.0,65% ao mês.

Solução 1:Solução 1:Solução 1:Solução 1: iiii (média(média(média(média )))) = = = = [(1 + 0,0062)x(1 + 0,0023)x(1 + 0,0056)x(1 + 0,01)x(1,0086)] 1 / 5 –1 x 100 iiii(média(média(média(média)))) = = = = [(1 ,0062) x (1,0023) x (1,0056) x (1,01) x (1,0086)] 1 / 5 –1 x 100 iiii(média(média(média(média)))) = = = = [1 ,033113... ] 0,2 –1 x 100 iiii(média(média(média(média)))) = = = = 0,0065... x 100 i(média) = 0,65% ao mês.

ir = [(1 + ijuros ) / ( 1 + iinflação )] – 1 x 100



EXEMPLO Nº 24:EXEMPLO Nº 24:EXEMPLO Nº 24:EXEMPLO Nº 24: Uma aplicação durante o ano de 2000 rendeu 9,5% ao ano, sabendo-se

que a taxa de inflação do período foi de 5,8% ao ano. Determine a taxa real de juro.

Dados:

ir = ?

ijuros = 9,5% ao ano

iinflação = 5,8% ao ano

6.6 Exercícios sobre taxas juros6.6 Exercícios sobre taxas juros6.6 Exercícios sobre taxas juros6.6 Exercícios sobre taxas juros

1. Determinar a taxa anual equivalente a 2% ao mês.

Reposta: 26,82% ao anoReposta: 26,82% ao anoReposta: 26,82% ao anoReposta: 26,82% ao ano

2. Determinar a taxa mensal equivalente a 60,103% ao ano.

Resposta: 4% ao mês.]Resposta: 4% ao mês.]Resposta: 4% ao mês.]Resposta: 4% ao mês.]

3. Determinar a taxa anual equivalente a 0,19442% ao dia.

Resposta: 101,22% ao ano.Resposta: 101,22% ao ano.Resposta: 101,22% ao ano.Resposta: 101,22% ao ano.

4. Determinar a taxa trimestral equivalente a 47,746% em dois anos.

Resposta: 5% ao trimestreResposta: 5% ao trimestreResposta: 5% ao trimestreResposta: 5% ao trimestre

5. Uma determinada revista de informações financeira apresentou as seguintes taxas

de CDI’s: Fev = 2,11%; Mar = 2,18%; Abr = 1,69%; Mai = 1,63%; Jun = 1,60% e Jul =

1,69% para o ano de 1998. Pergunta-se:

a) Qual a taxa média no período? (Resposta: 1,82% ao mêsResposta: 1,82% ao mêsResposta: 1,82% ao mêsResposta: 1,82% ao mês)

b) Qual a taxa acumulada no período? (Resposta: 11,41% ao períodoResposta: 11,41% ao períodoResposta: 11,41% ao períodoResposta: 11,41% ao período)

Solução 1:Solução 1:Solução 1:Solução 1: ir = [(1 + 0,095 ) / ( 1 + 0,058)] – 1 x 100 ir = [(1,095 ) / ( 1,058)] – 1 x 100 ir = [1,034972...] – 1 x 100 ir = 0,034972... x 100 ir = 3,50% ao ano.

Solução 2: HPSolução 2: HPSolução 2: HPSolução 2: HP----12C12C12C12C 1 [ENTER] 0,095 [+] 1 [ENTER] 0,058 [+] [:] 1 [-] 100 [x] 3,5% ao ano.3,5% ao ano.3,5% ao ano.3,5% ao ano.



6. Suponhamos que uma empresa contrate um financiamento de capital de giro no

valor de R$ 80.000,00 por 3 meses, tendo que pagar no final R$ 94.340,57. Qual a taxa

média desta aplicação?


7. O senhor “Dúvida”, pretende investir R$ 6.500.000,00 em uma aplicação no “Banco

dos Palmeirenses S/A” que paga 45,5% ao ano por 30 dias corridos e

correspondentes a 21 dias úteis, Suponha que o “Banco dos Corinthianos S/A”

pague 45% ao ano por 33 dias corridos e correspondentes a 22 dias úteis. Você foi

contratado como Gerente Financeiro(a), e encontra-se em período de experiência.

Na sua opinião, qual dos dois seria o melhor para o aplicador?

Resposta: Melhor taxa é do Banco dos CorinthianosResposta: Melhor taxa é do Banco dos CorinthianosResposta: Melhor taxa é do Banco dos CorinthianosResposta: Melhor taxa é do Banco dos Corinthianos

8. Se o preço de um produto de dezembro de 1998 foi de R$ 3.000,00 e em janeiro de

1999 foi de R$ 3.300,00, o índice de preço correspondente foi de:

Resposta: 10% ao período.Resposta: 10% ao período.Resposta: 10% ao período.Resposta: 10% ao período.

9. Suponha que no mês base o preço médio de uma cesta básica seja de R$ 50,00 e nos

três meses subseqüente seja R$ 60,00, R$ 75,00 e 88,50, respectivamente. Obter a

inflação acumulada.

Resposta: 77% ao período.Resposta: 77% ao período.Resposta: 77% ao período.Resposta: 77% ao período.

10. Um capital foi aplicado por 1 ano, à taxa de juros de 21% ao ano, e no mesmo

período a inflação foi de 19% ano. Qual a taxa real de juros?

Resposta: 1,68% ao ano.Resposta: 1,68% ao ano.Resposta: 1,68% ao ano.Resposta: 1,68% ao ano.



7777 DescontosDescontosDescontosDescontos

A operação desconto pode ser descrita como sendo o custo financeiro do dinheiro pago

em função da antecipação de recurso.

7.1 Desconto racional si7.1 Desconto racional si7.1 Desconto racional si7.1 Desconto racional simples ou “por dentro”mples ou “por dentro”mples ou “por dentro”mples ou “por dentro”

Onde:

DR = Desconto Racional; VN = Valor Nominal; VA = Valor Atual.

EXEMPLO Nº 25:EXEMPLO Nº 25:EXEMPLO Nº 25:EXEMPLO Nº 25: Um título de valor nominal R$ 25.000,00 é descontado 2 meses antes do

seu vencimento, à taxa de juros simples de 2,5% ao mês. Qual o desconto racional?

Dados:

VN = R$ 25.000,00 n = 2 meses i = 2,5% ao mês. DR = ?

7.2.Desconto bancário, ou comercial ou “por fora”7.2.Desconto bancário, ou comercial ou “por fora”7.2.Desconto bancário, ou comercial ou “por fora”7.2.Desconto bancário, ou comercial ou “por fora”

Onde:

DB = Desconto Bancário; VN = Valor Nominal; VL = Valor Líquido.

DR = VN DR = VN DR = VN DR = VN ---- VAVAVAVA

VA = VN / (1 + VA = VN / (1 + VA = VN / (1 + VA = VN / (1 + i . ni . ni . ni . n)))) DR = VN x i x n / (1 + DR = VN x i x n / (1 + DR = VN x i x n / (1 + DR = VN x i x n / (1 + i . ni . ni . ni . n))))

DB = VN . i . nDB = VN . i . nDB = VN . i . nDB = VN . i . n VL = VN VL = VN VL = VN VL = VN ---- DB DB DB DB

Solução 1Solução 1Solução 1Solução 1 DR = 25.000 x 0,025 x 2 (1 + 0,025 x 2) DR = 1.250 1,05 DR = R$ 1.190,48DR = R$ 1.190,48DR = R$ 1.190,48DR = R$ 1.190,48 VA = 25.000 – 1.190,48 VA VA VA VA = R$ 23.809,52= R$ 23.809,52= R$ 23.809,52= R$ 23.809,52



EXEMPLO Nº 26:EXEMPLO Nº 26:EXEMPLO Nº 26:EXEMPLO Nº 26: Um título de valor nominal R$ 25.000,00 é descontado 2 meses antes do

seu vencimento, à taxa de juros simples de 2,5% ao mês. Qual o desconto bancário?

Dados:

VN = R$ 25.000,00 n = 2 meses i = 2,5% ao mês. DR = ?

EXEMPLO Nº 27:EXEMPLO Nº 27:EXEMPLO Nº 27:EXEMPLO Nº 27: Uma duplicata no valor de R$ 25.000,00 é descontada em um banco 2

meses antes do seu vencimento, à taxa de desconto de 2,5% ao mês. Sabendo-se que o

banco cobra 1% a título de despesas administrativas e que o IOF é 0,0041% ao dia sobre

o valor do título, obter o valor recebido pelo portador do título. Uma outra alternativa

seria tomar um empréstimo com a taxa liquida de 2,8% ao mês. Qual a melhor opção?

Dados:

VN = R$ 25.000,00 n = 2 meses i = 2,5% ao mês iADM = 1% (IOF) = 0,0041% ao dia i= 2,8% a.m (empréstimo) VL = ? DB =? DIOF =? DADM =?

Se considerarmos que o PV seja R$ 23.438,50 e FV = 25.000,00, então teremos:

i = 25.000 – 23.438,50 = 1.561,50 = 3,12% ao mês 25.000 x 2 50.000

Ou seja, na verdade o empréstimo seria a melhor opção.

Solução 1Solução 1Solução 1Solução 1 DB = 25.000 x 0,025 x 2 DB = R$ 1.250,00DB = R$ 1.250,00DB = R$ 1.250,00DB = R$ 1.250,00 VL = 25.000 – 1.250 VL = R$ 23.750,00VL = R$ 23.750,00VL = R$ 23.750,00VL = R$ 23.750,00

Solução 1Solução 1Solução 1Solução 1

VL = VN – DB - DIOF -DADM

a) DB = 25.000 x ,025 x 2 = R$ 1.250,00R$ 1.250,00R$ 1.250,00R$ 1.250,00 b) DADM = 25.000 x 01 = R$ 250,00 c) DIOF = 25.000 x 0,000041 x 60 = R$ 61,50 VL = 25.000 – 1.250 – 250 – 61,50 VL = R$ 23.438,50VL = R$ 23.438,50VL = R$ 23.438,50VL = R$ 23.438,50



7.3 Operações com um conjunto de títulos:7.3 Operações com um conjunto de títulos:7.3 Operações com um conjunto de títulos:7.3 Operações com um conjunto de títulos:

EXEMPLO Nº 28:EXEMPLO Nº 28:EXEMPLO Nº 28:EXEMPLO Nº 28: Uma empresa apresenta o borderô de duplicatas abaixo, para serem

descontadas num banco à taxa de desconto bancário de 3% ao mês. Qual o valor líquido

recebido pela empresa?

Borderô de CobrançaBorderô de CobrançaBorderô de CobrançaBorderô de Cobrança

DuplicataDuplicataDuplicataDuplicata Valor (R$)Valor (R$)Valor (R$)Valor (R$) Prazo Prazo Prazo Prazo

(vencimento)(vencimento)(vencimento)(vencimento) A 2.000,00 30 dias B 4.000,00 65 dias C 8.000,00 82 dias

Solução 1

DPL nº A: DB = (2.000 x 0,03 x 30) / 30 = R$ 60,00

DPL nº B: DB = (4.000 x 0,03 x 65) / 30 = R$ 260,00

DPL nº C: DB = (8.000 x 0,03 x 82) / 30 = R$ 656,00

Total R$ 976,00Total R$ 976,00Total R$ 976,00Total R$ 976,00

Valor Líquido Recebido: R$ 14.000 – 976,00 = R$ 13.024,00



7.3.1 Prazo Médio de um conjunto de títulos7.3.1 Prazo Médio de um conjunto de títulos7.3.1 Prazo Médio de um conjunto de títulos7.3.1 Prazo Médio de um conjunto de títulos

EXEMPLO Nº 29:EXEMPLO Nº 29:EXEMPLO Nº 29:EXEMPLO Nº 29: Com base nos dados do EXEMPLO Nº 28, e utilizando-se do conceito

do prazo médio, achar o valor líquido.

Solução 1:

PM = (2.000 x 30) + (4.000 x 65) + (8.000 x 82) 2.000 + 4.000 + 8.000

PM = 60.000 + 260.000 + 656.000 2000 + 4.000 + 8.000

PM = 976.000 14.000

PM = 69,714286 dias..PM = 69,714286 dias..PM = 69,714286 dias..PM = 69,714286 dias..

Assim temos:

DB = (14.000 x 0,03 x 69,714286...) / 30

DB = R$ 976,00DB = R$ 976,00DB = R$ 976,00DB = R$ 976,00

VL = 14.000 – 976,00 = R$ 13.024,00R$ 13.024,00R$ 13.024,00R$ 13.024,00

Pm = ( VNPm = ( VNPm = ( VNPm = ( VN1111 . n . n . n . n1111 + VN + VN + VN + VN2222 . n . n . n . n2222 + ... + VN + ... + VN + ... + VN + ... + VNnnnn . n . n . n . nnnnn )/ ( VN )/ ( VN )/ ( VN )/ ( VN1111 + VN + VN + VN + VN2222 + ... + VN + ... + VN + ... + VN + ... + VNn n n n ))))

Solução 2: HPSolução 2: HPSolução 2: HPSolução 2: HP----12C12C12C12C [f] � 30 [ENTER] 2.000 [�+] 65 [ENTER] 4.000 [�+] 82 [ENTER] 8.000 [�+] [g] [XW] 69,714286 dias69,714286 dias69,714286 dias69,714286 dias 0,03 [x] 14.000 [x] 30 [:] R$ 976,00R$ 976,00R$ 976,00R$ 976,00 [CHS] 14.000 [+] R$ 13.024,00R$ 13.024,00R$ 13.024,00R$ 13.024,00



7.4 Descont7.4 Descont7.4 Descont7.4 Desconto compostoo compostoo compostoo composto

O Desconto composto é aquele que a taxa de desconto incide sobre o montante ou valor

futuro.

e

Onde: DC = Desconto composto.

EXEMPLO Nº 30:EXEMPLO Nº 30:EXEMPLO Nº 30:EXEMPLO Nº 30: Uma duplicata no valor de R$ 18.000,00, 120 dias para o seu

vencimento, é descontada a uma taxa de 2,5% ao mês, de acordo com o conceito de

desconto composto. Calcular o valor líquido creditado na conta e o valor do desconto

concedido.

Dados:

FV= R$ 18.000,00 n = 120 dias (4 meses) i = 2,5% ao mês PV = ? DC = ?

PV = FV (1 – i)n

Solução 1Solução 1Solução 1Solução 1 PV = 18.000 (1 – 0,025) 4 PV = 18.000 (0,975) 4

PV = 18.000 x 0,903688 PV = R$ 16.266,38PV = R$ 16.266,38PV = R$ 16.266,38PV = R$ 16.266,38 DC = 18.000 – 16.266,38 DC = R$ 1.733,62DC = R$ 1.733,62DC = R$ 1.733,62DC = R$ 1.733,62

Solução 1: HPSolução 1: HPSolução 1: HPSolução 1: HP----12C12C12C12C 18.000 [ENTER] 1 [ENTER] 0,025 [-] 4 [yx] [x] R$ 16.266,38R$ 16.266,38R$ 16.266,38R$ 16.266,38 [CHS] 18.000 [+] R$ 1.733,62R$ 1.733,62R$ 1.733,62R$ 1.733,62

DC = FV -PV



7.4.1 Relação em taxas de desco7.4.1 Relação em taxas de desco7.4.1 Relação em taxas de desco7.4.1 Relação em taxas de desconto simples e compostonto simples e compostonto simples e compostonto simples e composto

EXEMPLO Nº 31: Efetuar o desconto de uma duplicata de R$ 100,00 na taxa de desconto

fixa de 5% ao mês e calcular a taxa real simples e composta.

Prazo em diasPrazo em diasPrazo em diasPrazo em dias Prazo em mesesPrazo em mesesPrazo em mesesPrazo em meses DescontoDescontoDescontoDesconto 30303030 60606060 90909090 120120120120 180180180180 10101010 12121212 15151515 19191919 20202020 Desconto 5 10 15 20 30 50 60 75 95 100

Líquido 95 90 85 80 70 50 40 25 5 0 Taxa mensal Taxa mensal Taxa mensal Taxa mensal

simplessimplessimplessimples 5,265,265,265,26 5,565,565,565,56 5,885,885,885,88 6,256,256,256,25 7,147,147,147,14 10,010,010,010,0 12,512,512,512,5 20,020,020,020,0 100,0100,0100,0100,0 0000

Taxa mensal Taxa mensal Taxa mensal Taxa mensal compostacompostacompostacomposta

5,265,265,265,26 5,415,415,415,41 5,575,575,575,57 5,745,745,745,74 6,126,126,126,12 7,187,187,187,18 7,937,937,937,93 9,689,689,689,68 17,117,117,117,1 0000

( )100x

QQQT

xliquido

descontosTaxaSimple

��

�

�

��

�

�

��

��

=

10011 xlíquido

descontotaTaxaCompos

QTQQ

��

�

�

��

�

�

−��

��

+=



7.5 Exercícios sobre desconto7.5 Exercícios sobre desconto7.5 Exercícios sobre desconto7.5 Exercícios sobre desconto

1. Qual o valor do desconto comercial simples de um título de R$ 2.000,00, com

vencimento para 90 dias, à taxa 2,5% ao mês?


2. Qual a taxa mensal de desconto utilizada numa operação a 120 dias cujo valor de

resgate é de R$ 1.000,00 e cujo valor atual é de R$ 880,00?

Resposta: 3% ao mês.Resposta: 3% ao mês.Resposta: 3% ao mês.Resposta: 3% ao mês.

3. Calcular o valor líquido de um conjunto de duplicas descontas a 5% ao mês

conforme o borderô a seguir:

A 5.000 15 dias B 3.500 35 dias C 1.500 65 dias Resposta: R$ 9.508,33Resposta: R$ 9.508,33Resposta: R$ 9.508,33Resposta: R$ 9.508,33

4. Uma duplicata de R$ 70.000,00, com 90 dias a decorrer até o seu vencimento, foi

descontada por um banco à taxa de 2,70% ao mês. Calcular o valor líquido entregue

ou creditado ao cliente:


5. Determinar quantos dias faltam para o vencimento de uma duplicata, no valor de R$

9.800,00 que sofreu um desconto de R$ 548,50, à taxa de 32% ao ano.

Resposta: 63 diasResposta: 63 diasResposta: 63 diasResposta: 63 dias

6. Calcular o valor do desconto composto concedido num Certificado de Depósito

Bancário, de valor de resgate igual a R$ 200.000,00, sabendo-se que faltam 90 dias

para o seu vencimento e que a taxa de desconto é de 3,8% ao mês.




8888 Séries uniformes de pagamentosSéries uniformes de pagamentosSéries uniformes de pagamentosSéries uniformes de pagamentos

Ate agora, estudamos situações envolvendo apenas dois pagamentos, ou seja, valor

futuro (FV) e valor presente (PV). Neste capítulo, estudaremos operações envolvendo

pagamentos periódicos. A série de pagamentos uniforme pode ser de dois tipos;

POSTECIPADA e ANTECIPADA:

8.1 Valor presente de uma série de pagamento “postecipada”8.1 Valor presente de uma série de pagamento “postecipada”8.1 Valor presente de uma série de pagamento “postecipada”8.1 Valor presente de uma série de pagamento “postecipada”

Onde: PMT = prestação ou pagamentos.

EXEMPLO Nº 32:EXEMPLO Nº 32:EXEMPLO Nº 32:EXEMPLO Nº 32: Determinaremos o valor de um financiamento a ser quitado através de

quatro pagamentos mensais de R$ 5.000,00, vencendo a primeira parcela a 30 dias da

liberação dos recursos, sendo de 5,5 a.m. a taxa contratual.

Dados:

PV = ? n = 4 meses i = 5,5% ao mês. PMT = R$ 5.000,00

PV = PMT PV = PMT PV = PMT PV = PMT ( )( ) .1 11+ −+

�

��

�

��

ii i

n

n


PV = 5.000 ( , )

( , ) . ,1 0 055 1

1 0 055 0 55

4

4

+ −+

�

��

�

��

PV = 5.000 ( , )

( , ) . ,1 055 1

1 055 0 055

4

4

−�

��

�

��

PV = 5.000 1 238825 1

1 238825 0 055, ...

, ... ,−�

��

�

��x

PV = 5.000 0 2388250 068135, ..., ...

�

��

�

��

PV = 5.000 [ ]3 505150, ... PV = R$ 17.525,75PV = R$ 17.525,75PV = R$ 17.525,75PV = R$ 17.525,75

Solução 3: HPSolução 3: HPSolução 3: HPSolução 3: HP---- 12C 12C 12C 12C

[f] FIN 5000 [CHS] PMT 4 [n] 5,5 [i] PV R$ 17.525,75R$ 17.525,75R$ 17.525,75R$ 17.525,75

Solução 2: HPSolução 2: HPSolução 2: HPSolução 2: HP----12121212CCCC

5.000 [ENTER] 1,055 [ENTER] 4 [yx] 1 [-] 1,055 [ENTER] 4 [yx] 0,055 [x] [:] [x] R$ 17.525,75R$ 17.525,75R$ 17.525,75R$ 17.525,75



8.2 Valor da prestação de uma série “postecipada”8.2 Valor da prestação de uma série “postecipada”8.2 Valor da prestação de uma série “postecipada”8.2 Valor da prestação de uma série “postecipada”

EXEMPLO Nº 33:EXEMPLO Nº 33:EXEMPLO Nº 33:EXEMPLO Nº 33: Um eletrodoméstico é vendido a vista por R$ 1.200,00. Qual deve ser o

valor da prestação na venda em três prestações mensais iguais e sem entrada, se o

custo financeiro do lojista é de 4% ao mês?

Dados:

PV = R$ 1.200,00 i = 4% ao mês n = 3 meses PMT = ?

8.3 Número de prestações de uma série uniforme de pagamento 8.3 Número de prestações de uma série uniforme de pagamento 8.3 Número de prestações de uma série uniforme de pagamento 8.3 Número de prestações de uma série uniforme de pagamento

“postecipada”“postecipada”“postecipada”“postecipada”

EXEMPLO Nº 34:EXEMPLO Nº 34:EXEMPLO Nº 34:EXEMPLO Nº 34: Com base nos dados do exemplo 32, achar o prazo da operação.

Dados:

PV = R$ 17.525,75 PMT = R$ 5.000 i = 5,5% ao mês

PMT = PV PMT = PV PMT = PV PMT = PV ( ) .( )

11 1

++ −

�

��

�

��

i ii

n

n

SoluçãoSoluçãoSoluçãoSolução 1 1 1 1

PMT = 1.200 ( , ) . ,( , )1 0 04 0 041 0 04 1

3

3

++ −

�

��

�

�� = R$ 432,42R$ 432,42R$ 432,42R$ 432,42

Solução 2: HPSolução 2: HPSolução 2: HPSolução 2: HP----12C12C12C12C [f] FIN 1.200 [PV] 3 [n] 4 [i] PMT R$ 432,42R$ 432,42R$ 432,42R$ 432,42

nnnn = = = = LN PV PMT iLN i

[ ( / ). ]( )

11

−+


nnnn = = = = ---- LN

LN[ ( . , / . ). , ]

( , )1 17 525 75 5000 0 055

1 0 055−

+

nnnn = = = = ---- LN

LN( , )

( , )0 80721675

1 055= 4 meses4 meses4 meses4 meses

Solução 2: HPSolução 2: HPSolução 2: HPSolução 2: HP----12C12C12C12C [f] FIN 17.525,75 [PV] 5.000 [CHS] [PMT] 5,5 [i] n 4 meses



8.4 Cálculo da taxa de uma série de pagamento uniforme 8.4 Cálculo da taxa de uma série de pagamento uniforme 8.4 Cálculo da taxa de uma série de pagamento uniforme 8.4 Cálculo da taxa de uma série de pagamento uniforme

“postecipada”“postecipada”“postecipada”“postecipada”

Para o cálculo da taxa de juros, aconselha-se usar somente a HP 12C, tendo em vista

que o cálculo algébrico é muito complexo.

EXEMPEXEMPEXEMPEXEMPLO Nº 35:LO Nº 35:LO Nº 35:LO Nº 35: Com base nos dados do EXEMPLO Nº 33, achar a taxa de juros.

Dados:

PV = R$ 1.200,00

n = 3 meses

PMT = R$ 432,42

i = ?

8.5 Série uniforme de pagamentos “antecipados”8.5 Série uniforme de pagamentos “antecipados”8.5 Série uniforme de pagamentos “antecipados”8.5 Série uniforme de pagamentos “antecipados”

Esta é uma metodologia aplicada em situações de financiamento com prestações ou

pagamentos iguais e com entrada.

8.5.1 Fórmulas para série de pagamentos antecipados8.5.1 Fórmulas para série de pagamentos antecipados8.5.1 Fórmulas para série de pagamentos antecipados8.5.1 Fórmulas para série de pagamentos antecipados

Na HP 12C, o procedimento é semelhante ao efetuado nas séries de pagamentos

postecipados, porém, a calculadora deve conte a expressão BEGIN no seu visor, para

tanto, basta pressionar a seqüência teclas [g] [BEG]

8.5.1.1 Fórmula do valor presente8.5.1.1 Fórmula do valor presente8.5.1.1 Fórmula do valor presente8.5.1.1 Fórmula do valor presente

8.5.1.2 Fórmula da prestação8.5.1.2 Fórmula da prestação8.5.1.2 Fórmula da prestação8.5.1.2 Fórmula da prestação

Solução 1: (HP 12C)Solução 1: (HP 12C)Solução 1: (HP 12C)Solução 1: (HP 12C) [f] FIN 1.200 [PV] 432,42 [CHS] [PMT] 3 [n] i 4% ao mês.4% ao mês.4% ao mês.4% ao mês.

PV = PMT PV = PMT PV = PMT PV = PMT 1 11

− +�

��

�

�� +

−( )( )

ii

x in

PMT = PV PMT = PV PMT = PV PMT = PV ( ) .( )11 1

1++ −

�

��

�

��

−i ii

n

n



8.6 Valor futuro de uma série uniforme8.6 Valor futuro de uma série uniforme8.6 Valor futuro de uma série uniforme8.6 Valor futuro de uma série uniforme

EXEMPLO Nº 36:EXEMPLO Nº 36:EXEMPLO Nº 36:EXEMPLO Nº 36: Qual é o montante que um poupador acumula em 12 meses, se ele

aplicar R$ 1.500,00, à taxa de 4,5% ao mês, no final de cada mês?

Dados:

PMT = R$ 1.500,00 i = 4,5% ao mês. n = 12 meses FV = ?

8.7 Exercício sobre séries de uniforme de pagamentos8.7 Exercício sobre séries de uniforme de pagamentos8.7 Exercício sobre séries de uniforme de pagamentos8.7 Exercício sobre séries de uniforme de pagamentos

1. Determinar o valor futuro de um investimento mensal de R$ 1.000,00, durante 5

meses, à taxa de 5% ao mês. (série postecipada).


2.2.2.2. Determine o valor do investimento necessário para garantir um recebimento anual

de R$ 10.000,00 no final de cada um dos próximos oito anos, sabendo-se que esse

investimento é remunerado com uma taxa de 10% ao ano, no regime de juros

compostos. Resposta: R$ 53.349,26Resposta: R$ 53.349,26Resposta: R$ 53.349,26Resposta: R$ 53.349,26

3.3.3.3. Determinar o valor das prestações mensais de um financiamento realizado com a

taxa efetiva de 2,5% ao mês, sabendo-se que o valor presente é R$ 1.000,00 e que o

prazo é de quatro meses. Resposta: R$ 265,82Resposta: R$ 265,82Resposta: R$ 265,82Resposta: R$ 265,82

FV = PMT FV = PMT FV = PMT FV = PMT ( )1 1+ −�

��

�

��

ii

n


FV = 1.500 ( , )

,1 0 045 1

0 045

12+ −�

��

�

��

FV = 1.500 0 695881

0 045,

,�

��

�

��

FV = 1.500 [ ]15 464032, FV = R$ 23.196,05FV = R$ 23.196,05FV = R$ 23.196,05FV = R$ 23.196,05

Solução 2: HPSolução 2: HPSolução 2: HPSolução 2: HP----12C12C12C12C [f] FIN 1.500 [CHS] [PMT] 4,5 [i] 12 [n] [FV] R$ 23.196,05R$ 23.196,05R$ 23.196,05R$ 23.196,05



4. Um automóvel custa a vista o valor de R$ 14.480,00, e pode ser financiado em 48

parcelas mensais e iguais, com a taxa de 1,8% ao mês. Determinar o valor das

prestações.


5. Paulo deseja presentear seu filho Marcos com um carro que hoje custa

aproximadamente R$ 13.000,00, desde que Marcos consiga aprovação no vestibular,

sabemos que a idade de Marcos hoje é de 12 anos, e se tudo correr bem com 18

anos ele estará ingressando na Faculdade. Quanto Paulo deverá economizar por

mês, considerando uma previsão de inflação de 7% ao ano.


6. No exercício nº 4, considere uma entrada de 20% e uma taxa de 1,5% ao mês para

recalcular o valor da prestação.


7. Uma loja “A” oferece uma televisão por R$ 630,00 em 3 vezes iguais (1 + 2) ou com

5% de desconto para pagamento avista. Na loja “B”, considerando o mesmo preço á

vista, a mesma televisão é comercializada em 24 pagamentos iguais de R$ 47,69 sem

entrada. Determine a taxa de juros praticados pelas lojas “A” e “B”.

Resposta: Loja A = 5,36% ao mês, Loja B = 6% ao mês.Resposta: Loja A = 5,36% ao mês, Loja B = 6% ao mês.Resposta: Loja A = 5,36% ao mês, Loja B = 6% ao mês.Resposta: Loja A = 5,36% ao mês, Loja B = 6% ao mês.

8. Marcelo paga uma prestação de R$ 375,25 por mês por conta do financiamento de

seu apartamento, sabendo-se que a taxa do financiamento é 6,1678% ao ano e que o

valor do imóvel foi estimado pelo Agente Financeiro em R$ 50.000,00. Pergunta-se:

Em quantos meses foi financiado o apartamento de Marcelo?

Resposta: 220 meses. Resposta: 220 meses. Resposta: 220 meses. Resposta: 220 meses.



9999.... Sistemas de amortização de empréstimos e Sistemas de amortização de empréstimos e Sistemas de amortização de empréstimos e Sistemas de amortização de empréstimos e

financiamentosfinanciamentosfinanciamentosfinanciamentos

É comum verificarmos no mercado financeiro e nas operações bancárias, dúvidas

quanto ao tipo de metodologia empregada no processo de amortização dos

empréstimos e financiamentos. Estudaremos os sistemas mais adotados pelo mercado.

9.1 Sistema de amortização constante (sac)9.1 Sistema de amortização constante (sac)9.1 Sistema de amortização constante (sac)9.1 Sistema de amortização constante (sac)

Principal característica: o valor da amortização é constante.

EXEMPLO Nº 37:EXEMPLO Nº 37:EXEMPLO Nº 37:EXEMPLO Nº 37: Um produto de preço igual a R$ 1.500,00, foi financiado por 5 meses, a

taxa de 5% ao mês pelo sistema SACsistema SACsistema SACsistema SAC. Pede-se: Elabore a planilha de financiamento.

nnnn Saldo DevedorSaldo DevedorSaldo DevedorSaldo Devedor AmortizaçãoAmortizaçãoAmortizaçãoAmortização JurosJurosJurosJuros PrestaçãoPrestaçãoPrestaçãoPrestação 0 1.500,00 0,00 0,00 0,00 1 1.200,00 300,00 75,00 375,00 2 900,00 300,00 60,00 360,00 3 600,00 300,00 45,00 345,00 4 300,00 300,00 30,00 330,00 5 0,00 300,00 15,00 315,00

1.500,001.500,001.500,001.500,00 225,00225,00225,00225,00 1.725,001.725,001.725,001.725,00

9.2 Sistema price (ou francês) de amortização9.2 Sistema price (ou francês) de amortização9.2 Sistema price (ou francês) de amortização9.2 Sistema price (ou francês) de amortização

Principal característica: prestação constante.



EXEMPLO Nº 38:EXEMPLO Nº 38:EXEMPLO Nº 38:EXEMPLO Nº 38: Um produto de preço igual a R$ 1.500,00, foi financiado por 5 meses, a

taxa de 5% ao mês pelo Sistema PriceSistema PriceSistema PriceSistema Price. Pede-se: Elabore a planilha de financiamento.

nnnn Saldo DevedorSaldo DevedorSaldo DevedorSaldo Devedor AmortizaçãoAmortizaçãoAmortizaçãoAmortização JurosJurosJurosJuros PrestaçãoPrestaçãoPrestaçãoPrestação 0 1.500,00 0,00 0,00 0,00 1 1.228,54 271,46 75,00 346,46 2 943,51 285,03 61,43 346,46 3 644,23 299,28 47,18 346,46 4 329,98 314,25 32,21 346,46 -0,02 329,96 16,50 346,46

1.499,981.499,981.499,981.499,98 232,32232,32232,32232,32 1.732,301.732,301.732,301.732,30

Solução na HP 12C

[f] FIN

1.5001.5001.5001.500 [CHS] [PV] 5555 [i] 5555 [n] [PMT] = R$ 346,46R$ 346,46R$ 346,46R$ 346,46

1 [f] AMORT 75,0075,0075,0075,00 [x<>y] 271,46271,46271,46271,46 [RCL] [PV] ––––1.228,541.228,541.228,541.228,54

1 [f] AMORT 61,4361,4361,4361,43 [x<>y] 285,03285,03285,03285,03 [RCL] [PV] ---- 943,51 943,51 943,51 943,51

1 [f] AMORT 47,1847,1847,1847,18 [x<>y] 299,28299,28299,28299,28 [RCL] [PV] ---- 644,23 644,23 644,23 644,23

1 [f] AMORT 32,2132,2132,2132,21 [x<>y] 314,25314,25314,25314,25 [RCL] [PV] ---- 329,98 329,98 329,98 329,98

1 [f] AMORT 16,5016,5016,5016,50 [x<>y] 329,96329,96329,96329,96 [RCL] [PV] ---- 0,02 0,02 0,02 0,02



10101010 Aplicabilidade da matemática financeiraAplicabilidade da matemática financeiraAplicabilidade da matemática financeiraAplicabilidade da matemática financeira

10.1 Certificado de depósito bancário (CDB) recibo de deposito 10.1 Certificado de depósito bancário (CDB) recibo de deposito 10.1 Certificado de depósito bancário (CDB) recibo de deposito 10.1 Certificado de depósito bancário (CDB) recibo de deposito

bancário (RDB)bancário (RDB)bancário (RDB)bancário (RDB)

O CDB e RDB são títulos emitidos por bancos registrados na CETIP (Central de Custódia

e de Liquidação Financeira de Títulos), e utilizados para captação de recursos junto aos

investidores. Tais recursos são, posteriormente, repassados aos clientes nas operações

de financiamento tradicionais do mercado de crédito.

Pela legislação em vigor:

1 – CDB/RDB podem ser pré ou pós-fixados;

2 – CDB/RDB pré-fixados são emitidos com prazo mínimo de 30 dias corridos; os pós-

fixados com prazo mínimo de 120 dias corridos;

3 – O CDB é transferível por endosso nominativo e o RDB é intransferível;

4 – CDB/RDB são gravados a alíquota de 20% sobre o rendimento bruto para efeito de

imposto de renda retido na fonte por ocasião do resgate. Não incide IOF sobre os

rendimentos.

EXEMPLO Nº 39: EXEMPLO Nº 39: EXEMPLO Nº 39: EXEMPLO Nº 39: Sr Pedro aplicou $ 25.000,00 em CDB de 33 dias corridos e 22 dias

úteis, a taxa de 27% aa (base 360 dias). A alíquota do IR é de 20%, pergunta-se.

a) Montante Bruto

b) Rendimento Bruto

c) Imposto de Renda

d) Montante liquido

e) taxa efetiva liquida do período

f) a taxa over liquida no período



Dados:

FV = ? PV = R$ 25.000,00 I = 27% ao ano N = 33 dias corridos

B) Rendimento Bruto RB = FV – PV RB = $ 25.553,79 - $ 25.000,00 = $ 553,79

C) Imposto de Renda na Fonte IR = RB x Alíquota IR = $ 553,79 x 20% = $ 110,76

D) Montante Liquido FVL = FV – IR FVL = $ 25.553,79 – 110,76 = $ 25.443,03

E) Taxa Efetiva Liquida no Período

Ip = [(25.443,03 / 25.000,00) – 1] x 100 Ip = 1,7721 % a.p.

F) Taxa over liquida no período

Iover = [( 1 + ip)1/du - 1] x 3000 Iover = [ 1 + 0,017721)1/22 - 1] x 3000 Iover = 2,5105% a.m.o.

Fvl ip = - 1 x 100 Pv

Solução 2: HPSolução 2: HPSolução 2: HPSolução 2: HP----12C12C12C12C 25000 CHS PV 27 I 33 ENTER 360 ÷ NNNN FV R$ 25.553,79 (A)R$ 25.553,79 (A)R$ 25.553,79 (A)R$ 25.553,79 (A)

Resolução pela HP 12CResolução pela HP 12CResolução pela HP 12CResolução pela HP 12C 1 Enter 0,017721 Enter + 1 Enter 22 ÷ Yx 1 – 3000 x



ExercíciosExercíciosExercíciosExercícios

1. Dona Joana aplicou $ 20.000,00 em um CDB de 33 dias corridos e 18 dias úteis, a taxa

de 32% aa. No dia seguinte, ela verificou que a taxa anual do CDB para 30 dias

corridos e 19 dias úteis oferecia uma remuneração de 38,04% aa. Muita brava foi ao

gerente reclamar que havia perdido 6,04 pontos percentuais de taxa anual.

Suponhamos que você seja o gerente deste banco, que resposta você daria a Dona

Joana?

R.: A taxa será igual para os dois casos 3,39% já descontado o I.R.

2. Dona Sebastiana aplicou $ 300.000,00, num RDB pós-fixado, a taxa de TR + 13,20 aa,

para um período de 150 dias. O IR na fonte é de 20 % sobre o rendimento bruto. A

variação da TR é de 0,60%. Calcule:

a) Montante bruto = R.: $ 317.800,99

b) O rendimento bruto = R.: $17.800,99

c) O imposto de renda = R.: $ 3.560,20

d) Montante liquido = R.: $ 314.240,79

e) Taxa efetiva liquida no período. = R.: 4,75% a.p.

3. Uma empresa no ramo metalúrgico, pretende aplicar sobra de caixa de R$

5.000.000,00 em um CDB no Banco ZZZ S.A. que paga 17,5% ao ano (base 360 dias),

por 30 dias corridos e correspondentes há 21 dias úteis. Suponha que o Banco XXX

S.A. pague 17% ao ano (360 dias), 33 dias corridos e correspondentes há 22 dias

úteis. A alíquota de Imposto de Renda para os dois casos é de 20%.

a) Calcule o Valor Bruto dos dois casos

R.: Banco ZZZ $ 5.067.648,61

R.: Banco XXX $ 5.072.480,37



b) Calcule o Imposto de Renda

R.: Banco ZZZ $ 13.529,72

R.: Banco XXX $ 14.496,07

c) Taxa efetiva no período

R.: Banco ZZZ 1,0823% ap.

R.: Banco XXX 1,1597% ap.

d) Taxa Over Mensal

R.: Banco ZZZ 1,5383% a.m.o.

R.: Banco XXX 1,5727% a.m.o.



Neste capítulo, estaremos abordando a matemática financeira como ferramenta de

análise e toma de decisão.

10.2.Taxa interna de retorno (I10.2.Taxa interna de retorno (I10.2.Taxa interna de retorno (I10.2.Taxa interna de retorno (IRR) e valor presente líquido (NPV)RR) e valor presente líquido (NPV)RR) e valor presente líquido (NPV)RR) e valor presente líquido (NPV)

Este caso típico onde a calculadora HP 12C é muito útil, tendo em vista que o calculo da

taxa interna de retorno é muito complexo.

EXEMPLO Nº 40:EXEMPLO Nº 40:EXEMPLO Nº 40:EXEMPLO Nº 40: Determinar a IRR e NPV dos seguintes fluxos de caixa.

n Projeto nº 1 Projeto nº 2 0 R$ (50.000,00) R$ (50.000,00) 1 R$ 5.000,00 R$ 14.000,00 2 R$ 6.000,00 R$ 13.000,00 3 R$ 7.000,00 R$ 12.000,00 4 R$ 8.000,00 R$ 11.000,00 5 R$ 9.000,00 R$ 10.000,00 6 R$ 10.000,00 R$ 9.000,00 7 R$ 11.000,00 R$ 8.000,00 8 R$ 12.000,00 R$ 7.000,00 9 R$ 13.000,00 R$ 6.000,00 10 R$ 14.000,00 R$ 5.000,00 TIR 11,38% a.a. 17,04 a.a. C.OP 15% a.a. 15% a.a. VPL (7.926,68) 3.283,28

Solução na HP 12C (Projeto 2)Solução na HP 12C (Projeto 2)Solução na HP 12C (Projeto 2)Solução na HP 12C (Projeto 2) F FINF FINF FINF FIN 50.000 [CHS] [g] CF0 14.000 [g] CFj 13.000 [g] CFj 12.000 [g] CFj 11.000 [g] CFj 10.000 [g] CFj

9.000 [g] CFj 8.000 [g] CFj 7.000 [g] CFj 6.000 [g] CFj 5.000 [g] CFj [f] IRR 17,04% a.a.17,04% a.a.17,04% a.a.17,04% a.a. 15 [i] [f] NPV R$ 3.283,28R$ 3.283,28R$ 3.283,28R$ 3.283,28

Solução na HP 12C (Projeto 1)Solução na HP 12C (Projeto 1)Solução na HP 12C (Projeto 1)Solução na HP 12C (Projeto 1) F FINF FINF FINF FIN 50.000 [CHS] [g] CF0 5.000 [g] CFj 6.000 [g] CFj 7.000 [g] CFj 8.000 [g] CFj 9.000 [g] CFj

10.000 [g] CFj 11.000 [g] CFj 12.000 [g] CFj 13.000 [g] CFj 14.000 [g] CFj [f] IRR 11,38% a.a.11,38% a.a.11,38% a.a.11,38% a.a. 15 [i] [f] NPV R$ R$ R$ R$ ----7.926,687.926,687.926,687.926,68



10.3 Valor da prestação de leasing10.3 Valor da prestação de leasing10.3 Valor da prestação de leasing10.3 Valor da prestação de leasing

EXEMPLO Nº 41:EXEMPLO Nº 41:EXEMPLO Nº 41:EXEMPLO Nº 41: Uma empresa contrata uma operação de leasing de 24 meses, à taxa

de juros de 2,5% ao mês. Calcule o valor da contraprestação, sabendo-se que o valor do

ativo fixo é de R$ 50.000,00 e que o valor residual garantido final é de 1%.

Obs.:Obs.:Obs.:Obs.: Se financiarmos o valor de R$ 276,44 com a mesma taxa e prazo, encontraremos o

valor de R$ 15,46. Neste caso, basta adicionar ao valor da contraprestação sem valor

residual (R$ 15,46 + R$ 2.780,18 = R$ 2.795,64), para encontrar o valor da contraprestação

com valor residual incluso.

PMTPMTPMTPMTLLLL = = = = PVPV ir

i n−+

�

��

�

��

.( )1

. . . . ( ) .

( )1

1 1+

+ −�

��

�

��

i ii

n

n


PMTPMTPMTPMTLLLL = = = = 50 00050 000 0 011 0 025 24.

. ,( , )

−+

�

��

�

��

x . . . . ( , ) . ,

( , )1 0 025 0 025

1 0 025 1

24

24

++ −

�

��

�

��

PMTPMTPMTPMTLLLL = = = = [ ]50 000 276 44. ,− . . . . 0 0452180 808726,,

�

��

�

��

PMTPMTPMTPMTLLLL = = = = [ ]49 723 56. , . . . . [ ]0 055913, = R$ 2.780,18R$ 2.780,18R$ 2.780,18R$ 2.780,18

Solução 2: HPSolução 2: HPSolução 2: HPSolução 2: HP---- 2C 2C 2C 2C F FINF FINF FINF FIN 50.000 [CHS] [PV] [ENTER] 1 [%] [CHS] [FV] 2,5 [i] 24 [n] [PMT] R$ 2.780,18 (contraprestação R$ 2.780,18 (contraprestação R$ 2.780,18 (contraprestação R$ 2.780,18 (contraprestação sem valor residual)sem valor residual)sem valor residual)sem valor residual) 0 [FV] [PMT] R$ 2.795,64 (contraprestação com valor residual)R$ 2.795,64 (contraprestação com valor residual)R$ 2.795,64 (contraprestação com valor residual)R$ 2.795,64 (contraprestação com valor residual)



10.4 Formação do preç10.4 Formação do preç10.4 Formação do preç10.4 Formação do preço de venda pelo conceito do valor atualo de venda pelo conceito do valor atualo de venda pelo conceito do valor atualo de venda pelo conceito do valor atual

EXEMPLO Nº 42:EXEMPLO Nº 42:EXEMPLO Nº 42:EXEMPLO Nº 42: Calcular o preço de venda de um produto, considerando os seguintes

dados:

Custo Direto R$ 200,00 ICMS 18% IPI 10% PIS 0,65% Cofins 3% Margem de Contribuição 40%

Preço de Venda (PRV) = Preço de Venda (PRV) = Preço de Venda (PRV) = Preço de Venda (PRV) = )]

%1%

(1).[1(ipi

impostosmc

oCustoDiret

+−−


��

��

��

��

++++−−

=

10,0103,00065,010,018,0

1)04,01(

00,200

x

PRV

��

��

��

��

−=

10,13165,0

1)6,0(

00,200

x

PRV

��

��

��

��

−=

10,13165,0

1)6,0(

00,200

x

PRV

( )[ ]287727,01)6,0(00,200

−=

xPRV

[ ] ===427364,0200

712273,0)6,0(00,200

xPRV R$ 467,99R$ 467,99R$ 467,99R$ 467,99

Referências e Citações Finais:Referências e Citações Finais:Referências e Citações Finais:Referências e Citações Finais: Alguns exercícios desta apostila foram extraídos ou adaptados das seguintes obras. - Matemática Financeira para usuários do Excel, Professor Carlos Shinoda, 2ª edição, editora Atlas. - Matemática Financeira, Professor José Dutra Vieira Sobrinho, 5º edição, Editora Atlas.



11.11.11.11. ReReReReferências Bibliográficasferências Bibliográficasferências Bibliográficasferências Bibliográficas

ASSAF NETO, Alexandre. Matemática Financeira e suas aplicaçõesMatemática Financeira e suas aplicaçõesMatemática Financeira e suas aplicaçõesMatemática Financeira e suas aplicações. São Paulo: Atlas,

1992.

EWALD, Luiz Carlos. Apostila Matemática Financeira e Análise de InvestimentoApostila Matemática Financeira e Análise de InvestimentoApostila Matemática Financeira e Análise de InvestimentoApostila Matemática Financeira e Análise de Investimento. Rio

de Janeiro: Fundação Getúlio Vargas, 1999.

HAZZAN,Samuel,POMPEO, José Nicolau. Matemática financeiraMatemática financeiraMatemática financeiraMatemática financeira. 4ª edição.São Paulo:

Editora Atual, 1993.

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Apostila_MF 30Abr05 - HP-12c