Applicazioni a barre e travi - Politecnico di Torinocorsiadistanza.polito.it/on-line/CMM/pdf/U10_L3_bn.pdf · concentrati; il teorema di Clapeyron: Il teorema di Castigliano: k j

Comportamento meccanico dei materiali Applicazioni a barre e travi

© 2006 Politecnico di Torino 1

Lavoro, energia

2

Applicazioni a barre e travi

PremessaIl teorema di Castigliano - metodoIl teorema di Castigliano - applicazioneL’equazione dei lavori virtuali - metodoIl lavoro virtuale interno per le travi




4

L’applicazione del teorema di Castigliano a una struttura semplice (una struttura reticolare composta di aste caricate a trazione o a compressione) ci permetterà di mettere in evidenza il gioco della sovrapposizione degli effetti, la composizione dei termini dell’energia, i modi di calcolo degli spostamenti nei punti desiderati.

Seguirà il calcolo tramite l’applicazione dell’equazione dei lavori virtuali.

Uno sguardo generale (1/3)



5

Caratteristica di questa struttura, e di tutte lealtre prese in esame in questa lezione, è la “determinazione statica”, cioè il fatto di poter innanzitutto trovare gli sforzi in ogni elemento della struttura tramite le equazioni di equilibrio.

Questo fatto non è contingente, cioè legato al particolare esempio prescelto, ma è invece essenziale in quanto si deve esprimerel’energia interna del sistema in funzione dei carichi (forze, momenti) applicati alla struttura.


6

Si metterà in evidenza che sia il teorema di Castigliano sia l’equazione dei lavori virtuali permettono il “calcolo selettivo” degli spostamenti, cioè un calcolo che non richiede la conoscenza di nessun spostamento oltre a quello desiderato.





8

∑∑η=k j

kjkj FF21L

{ } { }TP P

P

1F u

2∑=∫V

dVU

Per semplicità di calcolo, consideriamo una struttura su cui sono applicati solo carichi concentrati; il teorema di Clapeyron:

Il teorema di Castigliano: kj

jkjk

uFFL

=η=∂∂ ∑

Metodo (1/2)



9

Applicato in questa forma il teorema di Castigliano richiederebbe il calcolo preliminare degli e quindi si ridurrebbe a una verifica banale di una proprietà della “derivata di forma omogenea”.

Poiché invece: L =

si può derivare lo scalare energia potenziale elastica:

kjη

∫V

dVU

( )kk

k FFLu

∂∂

=∂∂

= ∫V dVU

Metodo (2/2)




11

Forza F1 nel nodo 1, in direzione verticale:

Struttura reticolare caricata con F1

123

45

a

a a

F1

12

Questa è una struttura composta di aste incernierate agli estremi, ciascuna atta a sopportare solo carichi assiali, passanti per i centri delle cerniere.È una struttura semplice, che permette di calcolare tramite le equazioni di equilibrio non solo le reazioni vincolari ma anche i carichi sopportati da tutte le aste.

Commenti



13

Reazioni vincolari

2F1

2F1

2F1

123

45

a a

F1

F1

2F1

Le reazioni vincolari, calcolate tramite le equazioni di equilibrio, e la forza sull’asta 2-3:

14

Tramite un sezionamento del nodo 1 , le forze dalle aste al nodo:

Forze sul nodo 1

F1

F1

F12123

45F1

2F1

2F1 F1



15

Quindi le forze sulle aste 1-4 e 1-2:

Forze sulle aste

123

45F1

2F1

2F1 F1

F12

F1 F1

F12

16

L’equilibrio del nodo 4 :

Forze sul nodo 4

F1

F1F12

123

45F1

2F1

2F1 F1

F12



17

Quindi le forze sulle aste 2-4 e 4-5:

Forze sulle aste

123

45F1

2F1

2F1 F1

F1

F1

F1

F1

18

Forze sui nodi 5 e 2

Equilibrio del nodo 5 e verifica del nodo 2:

F12

F12

13

45

F12F1

2F1 F1

2

F1

2F1 F1

F1



19

Forze su tutte le aste (forze che i nodi esercitano sulle aste):

Forze su tute le aste dovute a F1

123

45F1

2F1

2F1 F1

F1

F1

F1

F12

2F1

F12

20

Forza F2 nel nodo 2, in direzione verticale:

Struttura reticolare caricata con F2

123

45

a

a a

F2



21

Le reazioni vincolari, calcolate tramite le equazioni di equilibrio, e la forza sull’asta 2-3:

Reazioni vincolari

F2

F2

F2

123

45

a a

F2

F2

F2

22

Le aste 1-2, 1-4, 2-4, 4-5 sono scariche:

Forze su nodi e aste (1/3)

123

45

F2



23


Equilibrio del nodo 5 e verifica del nodo 2:

F22

F22 F2 F2

123

45F2

F2

F2

F2

24

Forze su tutte le aste (forze che i nodi esercitano sulle aste):


123

45

F2

F22

F2

F2

F2

F2



25

Sovrapposizione degli effetti

123

45

F1

F1

F1

F1

F12

(F1+F2)2

F22F1+F2

Sovrapponendo il caso F1 con il caso F2 le forze sulle aste sono date dalla somma dei due casi:

26

Travi di lunghezza l e forza assiale P, hanno energia elastica:

pertanto tenuto conto delle forze e delle lunghezze, scriviamo accanto a ciascuna asta la propria energia elastica…

Energia potenziale elastica (1/2)

lEAP

21Al

EA

P21V

EAP

AP

21V

21 2

2

2===σε



27

… dove si scrive per brevità:

Energia potenziale elastica (2/2)

EAl

21c =

123

45

F1F2

21Fc

21Fc22( ) 2

21 FFc22 +

21Fc

21Fc

( )221 FF2c +

L’energia totale èla somma delle energie parziali qui indicate per ogni asta.

28

Nella figura seguente si associano ad ogni asta le rispettive derivate rispetto a F2; la loro somma fornisce u2(F1,F2).

Lo spostamento verticale in 2 dovuto alla sola F1, u2(F1), si calcola derivando l’energia elastica rispetto a F2 e poi ponendo F2=0 (anche quando la forza F2 è nulla, per calcolare lo spostamento in 2 è necessario definirla, in modo da far comparire l’energia associata).

Calcolo degli spostamenti (1/4)



29


123

45

F1

0

0( )21 FFc24 +

0

0

( )21 FF2c2 +

u2(F1,F2)= ( )++ 21 FFc24 ( )21 FF2c2 +

Per F2=0 ⇒ u2(F1)= =( ) 1Fc424 + ( )222EAlF1 +

21η

30

Nella figura seguente si associano ad ogni asta le rispettive derivate rispetto a F1 ; la loro somma fornisce u1(F1,F2).

Lo spostamento verticale in 1 dovuto alla sola F1,u1(F1), si calcola derivando l’energia elastica rispetto a F1 e ponendo F2=0.




31


1

23

45

F1

1Fc2

14 2 c F( )21 FFc24 +

1Fc2

1Fc2

( )21 FF2c4 +

v1(F1)

u1(F1,F2)= ( ) ( )424cFF2Fc6 211 +++

11η

v1(F1)= =( ) 1Fc2814 + ( )724EAlF1 +Per F2=0 ⇒




33

=δεσ∫ ∑Vk,i

ikik dV

{ } { }∫ δΦV

T dVu

{ } { } +δ∫A nT dAut

+

lavoro virtuale interno

lavoro virtuale esterno delle tensioni sulla superficie A

{ } { }+δ+ ∑P

TP uF lavoro virtuale esterno delle

forze concentrate in punti P

lavoro virtuale esterno delle forze di volume

Equazione dei lavori virtuali (1/5)

uguale alla somma di

L’equazione dei lavori virtuali si scrive:

34

Metodo (2/5)

Dato un corpo elastico soggetto a carichi {F}A si vuole calcolare lo spostamento uP in una data direzione in un dato punto P …

{F}A

PuPAFA,i



35

Metodo (3/5)

… si pone allora una forza δFP in tale punto e nella direzione desiderata; questa forza genera un campo di spostamenti virtuali .

{F}A

δFP

PuPA

{ }APuδ

FA,iδuAP,i

{ }APuδ

36

Per il teorema di Betti-Maxwell, versione “estesa”, il lavoro esterno dei carichi {F}A per gli spostamenti indotti dalla forza virtuale èuguale al lavoro della forza virtuale per lo spostamento uPA prodotto dai carichi {F}A:

Metodo (4/5)

δFP

Consideriamo, per semplicità di formulazione, il caso in cui siano presenti solo forze esterne “concentrate”:

=σ∫ ∑Vk,i

ik dVikδε { }TF { }uδ

δFP uPA∑i

i,AF AP,iuδ{ }TF { }uδ ≡ =

{ }uδ



37

Metodo (5/5)

Ne segue la formulazione:

che per comodità di calcolo viene scritta dividendo ambo i membri per δFP,

che, vista la dipendenza lineare di da , equivale numericamente (concettualmente è un controsenso) a mettere in gioco deformazioni virtuali prodotte da un carico FP di valore unitario.

ikδε =σ∫ ∑Vk,i

ik dV δFP uPA

=σ∫ ∑Vk,i

ik dV 1 uPA( )( )P

ikFδ

δε

PFδikδε




39

Calcoliamo ora le espressioni del lavoro virtuale interno:

per le diverse caratteristiche di sollecitazione applicabili a barre (aste) e travi:

Forza assiale (o “normale”): Momento flettente:Forza di taglio:

Lavoro virtuale e caratteristiche (1/3)

∫ ∑σV

k,iik dVikδε

NMT

40

Le caratteristiche producono:

N ⇒ tensioni costanti sulla sezione:δN ⇒ deformazioni costanti sulla sezione: δεzz=δb

M ⇒ tensioni linearmente variabili …: σzz= myδM ⇒ deformazioni linearmente variabili:δεzz=δny

T ⇒ tensioni variabili sulla sezione …: τzy=…δT ⇒ tensioni variabili sulla sezione …: γzy=…


σzz= a



41

Le τzy compiono lavoro solo moltiplicate per le rispettive δγzy , mentre le tensioni normali a+mycompiono lavoro per le rispettive deformazioni δb+δny;ma

=

( )∫ +V

dVmya ( )ynb δ+δ

( )∫ +++V

dVmyamya bδ ynδ bδynδ

v. dopo “Forza assiale”v. dopo “Momento flettente”

termini misti


42

momento statico d’area

∫A dAy

Il lavoro dei termini misti:

è del tipo

Lavoro dei termini misti

( )∫ +V

dVmya bδynδ

V lk y dV k( )dl=∫ ∫ {

Poiché l’origine di y è presa sul baricentro della sezione, il momento statico è nullo.

Quindi il lavoro dei termini misti è nullo.



43

Lavoro della forza assiale (1/3)

dA

Dato un elemento di trave di spessore dz:

su cui le tensioni sono uniformemente distribuite.

dA

N

bdz

hN

A

dzσzz

44


Sistema di deformazioni virtuali prodotte dalla sollecitazione assiale δN dovuta a una forza “esploratrice” virtuale δFP:

ANN zz =σ→

EAN

ANN zzzz

δ=δε→

δ=δσ→δ

Sistema di tensioni equilibrato dovuto ai carichi reali:



45

Lavoro virtuale interno:

∫∫δ

=δ

=ll

dzEA

NNAdzEAN

AN

∫∫ ∑ σ=σV zzV

k,iik dVdVikδε zδε =


46

Lavoro del momento flettente (1/3)

y

zMx

dz

x

σzz

Dato un elemento di trave di spessore dz:



47


Sistema di tensioni equilibrato dovuto ai carichi reali:

yIM

Mx

xzzx =σ→

Sistema di deformazioni virtuali prodotte dal momento δMx dovuto a una forza “esploratrice”virtuale δFP :

yEIM

yIM

Mx

xzz

x

xzzx

δ=δε→

δ=δσ→δ

48


Lavoro virtuale interno:

∫∫ ∑ σ=σV zzV

k,iik dVdVikδε zδε =

( ) dzIxEMMdzdAy

IE

MMl

xxl A

22x

xx ∫∫ ∫δ

=δ

=



49

Lavoro della forza di taglio (1/4)

Dato un elemento di trave di spessore dzesploriamo il solo caso della sezione rettangolare:

T

dA

bdz

hz

Y

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=τ

2

2

zyh

y41bhT

23

50


La parte di lavoro virtuale dovuta alle τzy si calcola:

dove

∫ ∑σV

k,iik dVikδε = ∫ τ

V zy dVzyδγ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=τ

2

2

zyh

y41bhT

23

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

δ=δγ

2

2

zyh

y41bhT

23

G1



51

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛δ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ∫∫

+

−

2h

2h

2

22

Z

dybh

y41dzTTbh23

G1


Si calcola quindi:

con:

h158

32

5hh

h

y38

h

y516y

dyh

y8

h

y161dyh

y41

2h

2h

2

3

4

5

2h

2h

2

2

4

42h

2h

2

2

2

=−+=−+=

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+=⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

∫

∫∫

+

−

+

−

+

−

h158h

32

5hh

h

y28

h

y516y

2

3

4

52h

2h

=−+=−+= ∫+

−

52


Perciò, sostituendo nell’integrale complessivo:

∫ ∑σV

k,iik dVikδε = ∫ τ

V zy dVzyδγ dzA

TT56

G1

l∫δ

=



53

Quando trascurare il lavoro di taglio (1/4)

Il taglio produce gradiente di momento flettente, perciò non si dà la presenza della τ senza la presenza della σzz dotate di gradiente secondo z.

Le σzz danno luogo alla parte di lavoro virtuale interno corrispondente alla formula:

dove, Mx e δMx sono funzioni di z.

x xl

M Mdz

EIxδ

∫

54

F

z

M

M=F z


Il contributo del taglio all’energia o al lavoro virtuale complessivo è di norma trascurato.

Ne diamo qui una giustificazione empirica basata sui valori tipici di una mensola a sezione rettangolare. Calcoliamo lo spostamento nel punto di applicazione di F. T=F

δFl



55


Con:

l 32x x

l x x0

M M F F F F ldz z dz

EIx EI EI 3δ δ δ

= ⋅ =∫ ∫

Il lavoro virtuale dovuto alla flessione:

Il lavoro virtuale dovuto al taglio:

lAFF

56

G1dz

ATT

56

G1

zδ

=δ

∫

12hA

12hbI

23

x ==( )ν+=12EG

56


ovvero:

h88,0l ⋅>

Il contributo del momento diventa superiore a quello del taglio quando:

>δ

3l

EIFF 3

xl

AFF

56

G1 δ ( ) 78,0

56

412

hl 2

≡ν+

>⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

Cioè per una trave talmente tozza da renderne illegittima la descrizione tramite le ordinarie equazioni di flessione. Per l=10h il contributo della flessione è salito di 100 volte il contributo del taglio.

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