Approfondissementschainesdenohoetudede3msrchesale.tt

→ e'tude de la marche histoire sur Z ,neo parsmitre peco ,1)

To = temps d'

the inte I

DoCt = Int I ] =Cn

p" ' Cl - p )

r.

Nec Cn = n- ieme nbre de GANon

= ( in) .

Po CI et o ] = ft si p

> 1k

apt sips 42.

↳ fonctiongeherstice de Ta :

Gtk) = ⇐°

Pct = k ) zk = EC at A< as ,]

=§ ? Cn p" '

Chp)" intr

= Cpa )⇐ a Cpa - p) E) =# G- Fpi)

2¥22or cgi -E. agn =

"IFI taT .

The wee Kfz ?Si k > 1 :

Gq G) = EC as ,It ]

Affirmation : Gq Cal = (Gqk))

kHk > I

.

Gq G) = §! PC The = n ] I

= ⇐-

PCI = k+2m ] zktzm ←" fat oumains le pas+ parte .

.

.§.

.

p*p:{shehata.rs#rsiE!.s*ldgmins:ftpeignntgY:...n2mztI

↳ .

# ← in chemin slteignmt

I ;

ten temps ki.am .

i÷÷..meansft 2ms

On decouple 6 chemin en le moreen Ck=3 )

- ✓ uh.Compte's pardes nombredeaton

.

Coma'ssont mi,ma

,mz ,

ilya

Cme x Cma x Cms possibilities park chemin .

# { chemins dteignmtkou temps ↳ xcmax . . . xcmk.

2mi- k forgot: premiere)= ¥m±

. . - tank

Goelz) = §-

pmtk g- pm # chemins ok z2m+k(en temps 2mi- k}

= ⇐ m€+m÷iP"% -

p)" im"&

. . . cmkpmktcp.rs/mkz2mrktB

= §? -- - §! Cm

, pm't '

Cr - p )m' 22Mt'

. . . Cmh

pmhttq.pjmkzzmkta.cm?Cmpmt'Cr.pYEm*)k=fG,kDk.

D. [ The <to ] = Ef Acth )) = Gtk (B)

= C⇐ ④ CT.⇐ as 3 ) !

= (#Ksi peng

1sisi les O .

B. [ Ik <to] = (Cpt )'si p

> 92 ( argument desymitrie :

siCXnlne.ryaparanetre4I@ipskC.xn).

a promote the) .

→ ensemble des e' tits visite'sparXn

.

•pI → on the int n' impale gud enter KEZ area probtbi life I .

*) ( Xn , NEIN y = Z area probbi lite'I

.

Encore plus fort :Hk EZ

,# f n I Xn = kg = to Nec probBi life

⇒ (**) Tous les e'tits sont visite's infiniment .

÷ :÷i÷¥÷÷÷÷:⇒ on doit repasser parn' import gud HA k fixe

( recurrence)me infinite

' de fois .

• p< £ ( le as p L est symitigue)Tous les e'tAs k s O sont visite's

.

Si k s o,k est visite' par Nn )new area probBil ite

'

(pp)h

.

I mn¥nXn s k g⇐ f Tk s tog .

µ.

¥÷÷ ::S:& :ms.

.

" m:*

thn.. . .

%Fs?

- -.

{ Xn ,

NEIN G = E- o,MD area n histoire qui

suit me loi

gdomitiguedeparanetref.pt)PC Msk ) = k

;Pcn. D= PCM> k] - Bens. htD

Tout etd- ne peut etre visite= http)

"

( t - Fp) .

go'on nbre fini defois . ⇒ transience .

- - - - -- - -

- -- -

- -

•chats complimentsires :

E. [The ],

k s B, p ska ( Tk c to presque

sirement )

Gq G) = Eoc Has +as)ztk ] = E. Cath ]

Gig G) = Eo [The ztk

- a]

Eoctk ] = Gtk (2--1) .= ( Gogh )

"

(2=1)

⇐k Gat

'

! g) Gj Ca) = k 6%6) = k Efta]I

↳G) = t-ET.pe211

- p )z'

or:c. I . ftp.L.mn.. - Ift)G÷ (1) = ÷ ;

E. Ok ] =2% ,

sip> Me .

Eo [The] = to si p- Ma .

on Ateint p . s .

tout nivea,

mais en des temps tis longs .

I

•Si

p>£ : on tend p . s

. vers too .

as ne visite Ogi on nbre fini de fois .

Vo = card { NEIN l X. = O g < to sous D? si p> 42 .

E. CV. ] ?

V. = V. Can)n⇐N )⇐ I t A

-↳t< + •' Vo (Hn head)

9

temps n - oou-Tot-inffnzdlxn-og.tempsderetour.ECVo] a B t E.CA#s+asVoCCXni-Tot)ncn ) ) .

f proprietedenakoufarte .

=At P

.exo] E. [ Vo] .

premier pas← ⇒emirpas vers khat

I¥£ a.return ensuite enonecprob- ft

'K

"s

Do onto] = f- + £951 = Ftp - ftp. .

E. [ Vo ] = A + I E.[Vo )Lp

Eoc Vo) x ( t -f) = I → Eo [Vo ] = ftp.g . .

autre argument possible : co later E.C# visite de 0 want to ]

q

C toujours si p >Ig : Ty <to ).

⇐[ E Ayn ,of = ÷ I pmt' M -p)m x nbrede passagesen O

" o chemins du Chemin .

possiblesslteignmtIw temps 2MtI

.mx a.

Combienvwt E nbredepsssgesenoexcursions

de I'excursion?= Dm ?

negatives delongueur2mm

- O : ⑧ Do = IIlsemble que Dm -_Cm+1

.

Ma B : q D,=L

.

OUT

m=2 ⑨ ⑧ Da -_ 5

m=3

µ÷③ EEO 0¥99 9¥00Dz 14

.

Eneffet : Dm = nbredepoires ( me excursion de longueur Lm negative ,un des

passagesen O del

'excursion )

.

itpassage ero distingue ,

mine information que : µ⑧ + ⑥¥?2M$

⇒ Dm = [ Cm, Cma = Conte (egestion des nombre decathlon) .

MdtMz = MD

Ef # visite de Oasntt ] = { Dm pm"

cap )mM-O

=?.cm#pmt'Ct-p)m=LpmE.Cm+.CpG-pDmt&= apI@Cpcr.p)) - I]=÷c÷:÷ . .

""

÷is . is .

→ marche de'Aoire sur Zd>2 .

On fixed >2 ,et on s

' interesse si la marche desta're

Xn = g. + get . . . + q ai les pas f. C-Zd

,

sont independents identiguementdistribute

PCG = qi] = PCG = - ei] = Lg Vic

,d]

V-ns.tk.

(O.. . .

,hi

,. . .

O ) 116

%

Si D= 2, x, i

si d=3,,¥i% .

ftp.ITf. .

%%

:÷÷:÷÷÷:÷÷÷÷÷÷÷¥÷÷:÷:÷÷÷i÷÷÷÷

in questions : -loi de Xn

,

new?

-ensemble des e' fats visite's ? comportment de Xn torque n→ to?

k- Chek..

.. .. kd ) E Zd . BC Xn ⇐ k ) ?

Pow dteindre k au temps n ,it fat war fait :

Pet pas ter I n ⇐ pet PIT . . .t Pdtt Pd

-

Pi,

pas- ee

:VicEl

,dB

,Pit- Pi

-

=ki

pt-

d pas +ed

Pd-

pas -ed PosonsnPit.

-

.

PCX,k] = E nbre de Chemins area promotes CPI , Pi , .

. .Pdt

,Pd-)

n = net . . - t nd x probBil ite d'wide as chemins .

↳ eId )

n

PC Xn - k) =#y €,+ . . . + ndBt!P÷dd !Ht¥;YtPi: nisi .

apparition des coefficients multinomism⇐ on doit rdpatir les pas tei pom in paspossibles.

support de la loi Xn ?

=L Ck . . . - kd) area §! Kil s n et §!ki = n mod 2gas d = I :

n = O n- I n = I

•.. . .:÷: . .. . .:÷÷&i÷:÷ ..

• Vo = nbre de visite de ( O,. . .

,

o )=card { n E IN 1 Xn = ( o

,. . .

,

O ) } € IN*

UL tog .

Affirmation :Vo suit me loigdometique .

Tot = inf Ln> I I Xn = Co.. . .

,o )) C- IN

'

U Lt ogPCV.zki-D-PC-otci-oTPCV.zk3.tk#¥C V. s let 13£ PCToteto,

Voz kt I ]on faita mains2visits ,done on retourne en O

⑦ifI:&. It:p!:÷÷¥o . pair aIoT

= Pets to,# visits ns.pdtirdetempszk ]

b dindependents

=PC Tote to ] BC Vos k]-

PPC Vo z k ] = pk

' ' PCV. > I]-

A car on pot de O .

→ Vo suit me loigeemetigve .

cos p- B :

PC Voz k ] = A Hk ⇒ Vo = to.

cos p- B :

ECU. ] <to Crni por

toute loigeometigve nativist) .On ra pouroir charter

EC Vo ] !

alternative :* soit ECU. ] = to ⇒ Vo = to p . s .

* soit ECK ] <to ⇒ Vo < to p- s .

V. = §? #(xn = Co,o.. . .o))

ECU. ] = §

.

PC X. = Co , .. .

o)]

on doit Audie la se're de terme ge're'M BCXan = Co

,. . -

g))

2n !

2¥ § Find= und c

= Mit . .And

les mi socos ki se O ti

ni = 2mi,

Pits Pi-

= mi .

d.fixe'

: §% ,d anyvegente ou divergent ?ds. 3 d¥2

.

do:÷÷nE...:

'÷t÷%.!m¥m¥÷÷! him

.)--

- formula de Vandermark .

Itangs:&::& :::p:* :b:÷n:b:¥i.4. a = 7¥12 e'rave' en utilismtkformvle de Stirling

n grand : n ! a fee )"

rain.

Un,2 I -s §%r & compote comme End

,

= to.

E-[ Vo) = to si de 2 ⇒ V. = to p . s . si d =L .

Ceci impligue : -recurrence en O : lamarche histoire du plan visite O

one infinite defois-c'est assi voi por

tous les k£122.

Si d> 3 : un,d = 0(nd⇒⇒ Serie convergent

→ ECK] at as

→ nbre de n'sites fini ps .