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apuntes de maquinas electricas
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INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERÍA MECÁNICA Y ELÉCTRICA
UNIDAD CULHUACÁN
“CONVERSION DE LA ENERGIA”
Raúl Ibarra Quevedo
Miguel A. Serrano L
P R E F A C I O
El presente Libro esta escrito siguiendo una filosofía cuyas características son las siguientes:
Proporcionar un conocimiento razonablemente completo de los distintos Principios y técnicas
utilizadas en el curso.
Presentar la Teoría a manera de preguntas, problemas y sus respectivas respuestas en forma
detallada.
Presentar cuestiones complementarias a fin de que el alumno compruebe / complemente su
enseñanza. Para ello solo se dan respuestas a cuestiones complementarias seleccionadas y así el
estudiante ya vaya adquiriendo confianza en si mismo.
Complementar textos clásicos del Modelado y Simulación a nivel de Ingeniaría Profesional.
Fungir como un texto de CONVERSION DE LA ENERGIA.
Aquí se enfatizó por un lado ensanchar el campo del texto, incluyendo una introducción a muchos
temas teórico-prácticos asociados al control, y por otro lado presentar dichos temas en forma
simplificada y fundamental, de esta forma podrán, ser fácilmente comprendidos y aplicados.
El curso aquí citado forma las bases para la práctica de la Teoría de Control y de la Ingeniería de
Control. Este último se ha extendido hasta abarcar muchos nuevos temas y técnicas.
IV
Servir de enlace (y suavizar lo mejor posible) el paso del estudio de la Física-Matemática hacia el
campo de los sistemas de Control Automático.
VERANO 1998
Raúl Ibarra Quevedo.
Miguel A. Serrano L.
C O N T E N I D O
PAG.
PREFACIO IV
CAPITULO I (PREGUNTAS)
FUENTES DE ENERGIA Y TRANSDUCTORES
Temas:
Qué es energía 1
Principales fuentes de energía 1
Definición de transductor 2
Clasificación de los sistemas de conversión de energía 2
Ejemplos de transductores 3
Preguntas complementarias 5
ELECTROMAGNETISMO Y CIRCUITOS MAGNETICOS
Temas:
Campo magnético 6
Electromagnetismo 6
Componentes de un circuito magnético 7
Permitividad y Permeabilidad 8
Ley de Faraday 9
Fenómeno de Histéresis 10
Magnetismo y Magnetita 10
Líneas de Fuerza 10
Principio de Funcionamiento del Motor 11
Ley de Lenz 12
Fuerza, fem, coerciva, contraelectromotriz, magnetomotriz 13
Remanencia y retentividad 14
Principio de Oersted 14
VI
Función de transferencia (F. T.) 14
Sistema lineal 15
Diamagnetismo, ferromagnetismo y paramagnetismo 15
Regla de la mano izquierda y de la derecha 16
Principio de conmutador 17
Flujo magnético en un solenoide 18
Tabla de entradas simple en Laplace 20
Nomenclatura empleada 22
Formulario 23
Tabla de conversión de cantidades eléctricas y magnéticas 24
Factores de conversión 24
Problemas resueltos 25
Preguntas complementarias 32
Problemas complementarios 34
Observaciones 35
RECONOCIMIENTO
Preguntas propuestas 37
Problemas propuestos 40
Solución a preguntas propuestas 42
Solución a problemas propuestos 49
ANALOGIAS
Temas:
Analogía 52
Tipos de analogías 53
Leyes de kirchhoff 55
Principio de D’Alembert 55
Introducción de la metodología para analogías 56
Analogías eléctricas 59
Elementos de la metodología 60
Principio de dualidad especial 61
Aclaraciones 64
Problemas resueltos 65
VII
Números Adimensionales 88
Problemas complementarios 122
RECONOCIMIENTO
Preguntas propuestas 136
Problemas propuestos 137
Solución a preguntas propuestas 141
Solución a problemas propuestas 147
Problemas complementarios 165
DIAGRAMAS A BLOQUES
Temas:
Utilidad y obtención de los diagramas a bloques 175
Concepto de F.T. 175
Ventajas de los diagramas a bloques 176
Álgebra de bloques 176
Metodología para obtener la F.T. 180
Problemas resueltos 181
Tabla de fundamentos de diagramas a bloques 185
Como formar diagramas a bloques 186
Problemas resueltos 186
Tabla de formulas de reducción para diagramas a bloques 193
Tabla de síntesis de fórmulas 194
Como reducir diagramas a bloques 194
Problemas resueltos 195
Metodología para diagramas a bloques de una red eléctrica dada 205
Problemas resueltos 206
Preguntas complementarias 258
Problemas complementarios 259
Observaciones 272
VIII
GRAFICAS DE FLUJO DE SEÑALES DE LOS SISTEMAS LINEALES
Introducción 274
Definiciones 274
Ejemplos 277
VARIABLES DE ESTADO
Su representación 279
Ejemplo 279
Obtención de las ecuaciones de estado de sistemas dinámicos 282
COMPUTADORA ANALOGICA
Ejercicio 284
Método para representar en componente analógica a la F.T. 285
Ejemplos 285
TEOREMAS BASICOS
APENDICE A
Teorema de Thevenin y Teorema de Norton 288
Ejemplos 290
APENDICE B
Teorema de superposición 295
Ejemplos 295
APENDICE C
Teorema de intercambio de fuentes 303
Ejemplos 303
APENDICE D
Divisor de corriente y de voltaje 309
Ejemplos 311
Problemas complementarios 316
Respuestas a problemas complementarios 319
IX
APENDICE E
Factores de conversión 320
APENDICE F
Regla del puente o de Le Quir Mangue 323
NOTAS 327
X
C A P I T U L O I
PREGUNTAS ¿Que es energía?
Energía es la capacidad de producir trabajo. La energía se manifiesta en diversas formas tales como energía de movimiento, energía calorífica, energía nuclear, energía atómica, energía química, energía eléctrica, energía mecánica, etc.
¿Qué queremos decir cuando mencionamos energía eléctrica?
La energía eléctrica es la propiedad que tiene la electricidad de producir
trabajo en condiciones apropiadas. La energía eléctrica puede ser cinética, cuando
es debida a la materia en movimiento; o potencial, cuando es a causa de la posición
de la materia o de su forma. ¿Que es una fuente de energía?
Son los procesos por los cuales el hombre obtiene energía. ¿Dé ejemplos de fuente de energía?
Energía Eólica (debida al viento)
Energía Hidráulica (Debida a caídas de agua).
Energía Solar.
Energía Mental.
Energía Geotérmica (debida al interior de la tierra)
Energía Luminosa. fusión
Energía debida a procesos radiactivos fisión ¿Qué es un transductor o conversor de energía?
Es un aparato que transforma energía de un tipo a otro.
¿Qué es un transductor ó conversor de energía?
Es un aparato que transforma energía de un tipo a otro. Es un aparato por medio del cual la energía pueda fluir de uno o más sistemas de transmisión a otro u otros sistemas de transmisión. La energ1a puede ser de cualquier forma tal como eléctrica, mecánica o acústica.
¿Qué es un sistema?
Es una combinación de partes para obtener un fin. ¿Qué es un subsistema?
Es una parte del sistema. ¿Dé ejemplos de sistemas y subsistema?
Si consideramos al hombre como un sistema entonces sus subsistemas serán el sistema nervioso, el sistema circulatorio, consideramos por mencionar algunos ...pero si consideramos el circulatorio como un sistema, entonces algunos subsistemas serían las venas, las arterias, etc. En conclusión, un sistema puede tener subsistemas y dichos subsistemas pueden formar sistemas.
¿Cuál es la importancia de las fuentes de energía?
Son importantes ya que de ellas puede obtenerse energía eléctrica, dicha energía eléctrica es importante ya que es indispensable para el desarrollo de un país.
¿Cuáles son alguno s método s de conversi6n de la energía?
Algunos de ellos son:
a) Mecánicos b) Químicos c) Magnetohidrodinámicos d) Termoeléctricos e) Fotoeléctricos f) etc.
La energía eléctrica puede obtenerse de cualquier otro tipo de energía, haga un diagrama que ilustre lo dicho. Respuesta:
La figura anterior muestra que la energía eléctrica puede obtenerse de cualquier energía y que de la energía eléctrica puede obtenerse cualquier otro tipo de energía.
De las razones por las cuales la energía suministrada por las principales fuentes de energía
aprovechables son transformadas a energía eléctrica.
Todas las clases de energía se pueden obtener de la energía eléctrica, ésta es la más
manejable.
Se distribuye fácilmente y su generación es relativamente fácil, razón por la cual es la más
importante.
De ejemplos de transductores.
Ventilador, refrigerador, teléfono, etc. Clasifique los sistemas de conversión de energía electromecánica por su utilización como
suministro de información.
Como sistema de control se dividen en bucle abierto (cuando no hay un control sobre la
salida) y en bucle cerrado (cuando existe un control sobre la salida de acuerdo a lo que
entra).
¿Qué se entiende por planta, referencia y control?
Planta: es un elemento sobre el que se va a actuar. Referencia: indica lo que se quiere obtener a la salida. Control: es un elemento adicional es un dispositivo y es empleado para variar / regular las
características del dispositivo
PREGUNTAS COMPLEMENTARIAS
1) ¿Qué se entiende por fuente?
2) ¿Qué otros tipos, además de los mencionados con anterioridad, cono ce
de fuentes de energía?
3) ¿Cuál es el sign ificado d el término “ magnetohidrodinámico” ?
4) ¿Imagínese que de improviso todo s los trabajadores de la Comisión
Federal de Electricidad se pusieran en hu elga, puede entonces e l lector
de manera, vislumbrar la importancia de la energía eléctrica? Explique.
5) Haga una clasificac ión d e las fuentes de energía?
6) Investigue un p roceso indu strial para obtener energía eléctrica.
7) Clasifique los s istemas de conversión d e energía electromecánica
basándo se en su utili zación como suministro de potencia.
8) Uno d e los principales ejemplos de los transductores electromecánicos
son los motores. De otros ejemplos.
ELECTROMAGNETISMO & CIRCUITOS MAGNETICOS
¿Qué es un circuito magnético?
La región que produce un imán tiene una propiedad peculiar, que existe
solamente mientras el imán esta presente. Esta propiedad de la región circundante al
imán es donde existirá una fuerza sobre cualquier pieza de material magnético si
esta es colocada en el espacio próximo al imán. Esta propiedad o condición del
espacio alrededor del imán es llamado campo magnético. (Podemos decir de lo
anterior que campo magnético es la región que circunda a un imán o electroimán y a
través de la cual actúan fuerzas magnéticas). Si un imán es cubierto por una hoja de
papel y encima de este se esparcen limaduras de hierro se acomodarán (orientarán
en curvas definidas extendidas de polo a polo del imán. La presencia de esta
propiedad (campo magnético) en el espacio circundante al imán, puede demostrarse
por medio de una brújula.
¿Cuál es la importancia del campo magnético?
Es la base y es un medio que nos sirve de enlace entre algunas energías para
obtener energía eléctrica y viceversa.
Gráficamente:
¿Qué es el electromagnetismo?
Es el estudio de fenómenos magnéticos originados por cargas eléctricas en
movimiento.
Cualquier energía energía eléctrica
Magnético
Campo
¿Como se puede produ cir un campo magnético?
Una corriente eléctrica genera un campo magnético concéntrico al pasar por un
conductor.
¿Qué es un circuito magnético?
Es la trayectoria completa recorrida por las líneas de fuerza magnética.
¿Cuáles son las características del campo magnético?
(Característica es la descripción por medio de tablas, curvas, gráficas, símbolos o
palabras de la capacidad de un dispositivo para producir ciertos resultados).
Algunas características del campo magnético son:
9El campo magnético siempre es cerrado.
9El campo magnético tiende a ser circular.
9La intensidad del campo magnético es máxima cuando se esta próximo a los
polos magnéticos.
9Etc.
¿De que consta un circuito magnético?
Un circuito magnético consta de:
9Fuerza magnetomotriz: fmm
9Flujo magnético: Ø
φfmm
P
1:aReluctanci ==ℜ−
9Permeabilidad: µ
ℜ=− 1 P :Permeancia
Gráficamente:
fig. Sistema electromagnético
Donde:
fmm : Es la fuerza de magnetización de un electroimán la cual
depende de la intensidad de la corriente que circula por
las bobinas del imán y de su numero de vueltas. Ø : El flujo magnético de una bobina indica las líneas de
fuerza magnética producidas por la corriente en la bobina.
R : La reluctancia es la oposición al flujo de las líneas de
fuerza magnética.
P : La permeancia es la propiedad que posee una sustancia de
permitir el paso del flujo magnético ) R
1 (P = .
La permeancia depende de las dimensiones y clase de las
dimensiones y clase del material magnético empleado.
µ : Es una medida que indica cuanto mejor que el aire es un
material para permitir el paso del flujo magnético.
¿Que es la permitividad, " Permitividad ó constante dieléctrica:
Es la propiedad de un material dieléctrico que determina cuanta energía
electrostática puede almacenar por unidad de volumen cuando se le aplica un
voltaje. La permeabili dad ¿qu e valores puede tener?
La permeabilidad del aire es considerada como la unidad. En los materiales
ferromagnéticos la permeabilidad es hasta 5,000 o más y varía según la intensidad
magnética debido a la saturación del material. En las sustancias paramagnéticas la
permeabilidad es esencialmente independiente de la intensidad magnética.
Diga algunas propiedades del campo magnético.
9Están orientadas las líneas de fuerza magnética de norte a sur.
9Posee líneas de fuerza magnética.
9Tiene un polo norte y un polo sur.
9Etc.
Enuncie la ley de Faraday y concluya con su ecuación
Faraday encontró que cuando un conductor pasa por un campo magnético y dicho
conductor corta las líneas de fuerza magnética en forma tal que se establezca entre
los extremos del conductor una diferencia de potencial a la que llamó fuerza
electromotriz (f.e.m.) por inducci6n. Dicha F.E.M.inducida es igual a la rapidez de
variación del flujo magnético (o sea el flujo cortado al tiempo empleado).
Matemáticamente:
:esconductor un Para = td
d-
td
d-
λφ =
:sconductore N"" Para = td
d N -
td
d N-
λφ =
Donde:
El signo negativo es debido a la ley de Lenz.
N es el número de conductores que cortan el flujo magnético. Hs el
enlazamiento de flujo.
Ø : es el flujo magnético.
E : es la F.E.M.inducida.
Explique la razón por la que en los circuitos magnéticos se usan núcleos de hierro de
láminas.
La razón de que se empleen núcleos hechos de laminas de hierro es para reducir al
mínimo las perdidas debido a las corrientes eddy (también llamadas corrientes de
remolino de foucault).
Las corrientes de remolino son las corrientes circulantes que establecen que se
establecen en la masa metálica del conductor debido a la variación de los campos
magnéticos. Tales corrientes son indeseables porque son perdidas de energía y
provocan el calentamiento. En los transformadores se reducen al mínimo empleando
núcleos hechos de láminas de hierro.
Explique el fenómeno llamado HISTERESIS.
Histéresis es la pérdida de energía en forma de calor en un núcleo de hierro debido
al trabajo efectuado por la fuerza magnetizadora al mover las moléculas del material
con cada cambio del campo magnético.
La fuerza magnetizadora es la fuerza que produce la magnetización de un material.
La figura anterior representa un ciclo de histéresis.
¿Qué es magnetismo y magnetita?
Magnetismo: es la propiedad de ciertas sustancias de atraer pedazos de hierro,
acero y otros metales.
Magnetita: es una sustancia que consiste principalmente en un oxido magnético
de hierro y que es encontrada ya magnetizada en un estado natural. Es
conocida también con el nombre de piedra imán.
¿Qué son las líneas de fuerza? Las líneas imaginarias de un campo magnético o electrostático. Es un método para
indicar la intensidad de un campo y fue concebido por Faraday y se usa por su
conveniencia en el estudio de los campos magnéticos y electrostáticos. Cuando se
usa como unidad del flujo magnético la línea de fuerza es (a veces) llamada Maxwell.
Explique el funcionamiento del motor.
Al colocar un conductor dentro de un campo magnético (fig. A) y por dicho
conductor circula una corriente eléctrica (que por el principio de OERSTED va a
producir un campo magnético proporcional a la intensidad de la corriente eléctrica) va
existir, pues, una interacción de campos (principio de motor) como puede verse en la
figura A.
Figura A. Principio del motor.
Como sabemos que las características del campo magnético son las del ser cerrado
y tendencia a circular, entonces el flujo magnético resultante será el mostrado por la
figura B.
Fig. B. Campo resultante
Fig. C. Rotación del motor
Nótese que F1 y F2 son las fuerzas que producirán el par necesario para obtener
como resultado la rotación del motor, -
como se muestra en la fig. C.
Explique los dos puntos más importantes del ciclo de histéresis
FIGURA MOSTRANDO UN CICLO DE HISTÉRESIS
Cuando un material ha sido sometido a una fuerza de magnetización significa que
sus moléculas fueron orientadas, pero al cesar la fuerza de magnetización no todas
las moléculas regresan a su posición original. Todas aquellas moléculas que no
regresan a su posición original causan el efecto del punto de remanencia.
Cuando un material es sometido a una fuerza de magnetización, dicha fuerza
va a orientar a las moléculas pero llegará un momento en que todas las moléculas
estarán ya orientadas, entonces por mas que se aumente la fuerza de magnetización
no habrá cambio en el material internamente, a dicho estado se le conoce como
punto de saturación.
¿Qué dice la ley de Lenz?
La ley de Lenz dice “a toda fuerza F.E.M.(fuerza electromotriz) inducida establece
una corriente cuyo campo magnético se opone a cualquier cambio en el campo
magnético que produce esta inducción.
¿Cómo se define matemáticamente la Fuerza de Lorentz?
B x Vq qE :como define se matemática formaEn +=F
La figura anterior muestra dos placas metálicas, se establece un campo eléctrico y se
aplica entre ellas una diferencia de potencial. Si la placa inferior es positiva, el campo
eléctrico estará dirigido hacia arriba. Perpendicularmente al plano del papel se
establece un campo magnético cuyas líneas de fuerza penetran al plano del dibujo.
Se introduce por la parte superior derecha del espacio en que actúan los campos
cruzados en una carga positiva q, con velocidad v .
Si actúa simultáneamente ambos campos, sobre la partícula actuará una fuerza
resultante de acuerdo a la fórmula matemática ya escrita anteriormente.
Diga el sign ificado d e cada uno d e los s igu ientes términos: a)Fuerza; b)Fuerza
coerciva; c)Fuerza Contraelectromotriz, d)Fuerza de Magnetización, e) Fuerza
Electromotriz y f) Fuerza magnetomotriz.
FUERZA: Es cualquier agente o medio físico capaz de modificar el movimiento de un
cuerpo.
FUERZA ELECTROMOTRIZ: Es la fuerza que hace mover a los electrones dentro
de un conductor y establece una corriente eléctrica.
FUERZA COERCIVA: Es la fuerza de magnetización o fuerza magnetizadora que
debe ser aplicada en dirección opuesta para desmagnetizar un cuerpo.
FUERZA CONTRAELECTROMOTRIZ: Es el voltaje originado en un circuito
inductivo por la inducción producida por el paso de la corriente continua, pulsante o
alterna.
FUERZA MAGNETOMOTRIZ: Es la fuerza de magnetización de un electroimán la
cual depende de la intensidad de la corriente (en Amperes) que pasa a través de las
bobinas del imán y el número de vueltas que contiene este electroimán.
¿Cuáles son los materiales s intetizados?
Son materiales sólidos (muy duros) cuyos espacios interatómicos son reducidos al
mínimo.
¿Qué es remanencia y retentividad?
La remanencia es la densidad de flujo que permanece en un material magnético
después de haber sufrido la fuerza de magnetización. Por otro lado la retentividad es
la densidad de flujo que permanece en un material después de haber aplicado y
removido una fuerza magnética suficiente para causar la saturación del material. La
retentividad puede ser considerada como el valor máximo de la remanencia.
¿Cuál es el principio de OERSTED?
El principio de OERSTED relaciona campo magnético a partir de la corriente
(nótese que la ley de Faraday relaciona corriente a partir del campo magnético), y
nos dice que el campo magnético es proporcional a la intensidad de la corriente que
fluye en el conductor.
Defina la función d e transferencia.
La función de transferencia es una expresión matemática compuesta de
parámetros pasivos que nos rige el comportamiento de un sistema. En general toda
función de transferencia debe representar un sistema físico realizable.
En forma gráfica tenemos:
R
C
entrada
salida T. F. :es ncia transferedefunción La ==
R C
¿Cuando se dice que un sistema es lineal?
Se dice que un sistema es lineal si cumple con los principios de superposición y
linealidad. El principio de linealidad dice que a toda entrada corresponde una y solo
una salida. El principio de superposición dice que si tenemos más de una entrada,
es decir una entrada compuesta de R1 + R2 + R3 +...+ Rn a la salida se deberá tener:
C1 + C2 + C3 +...+Cn, donde C1 es la respuesta ala de R1 C2 es la respuesta a la
entrada de solo R2 Cn es la respuesta a la única entrada Rn.
¿Como es la fuerza entre condu ctores que llevan corr ientes en la misma
direcc ión y sentido y magnitud?
Es una fuerza de atracción. Si los conductores condujeran corriente en sentidos
opuestos existirá una fuerza de repulsión.
La magnetización es la propiedad qu e adqu ieren ciertas sustancias en
presencia del campo magnético, pero a la vez lo modifican. ¿Como se
clasifican d ichas sustancias?
Esas sustancias se clasifican en: diamagnéticas, ferromagnéticas, y paramagnéticas.
Diamagnéticas .- Son materiales como el Bismuto y el Antimonio que tienen una
permeabilidad menor que 1, es decir, menor que la del vacío. Al acercarse estos
materiales a un imán son ligeramente repelidos. Las sustancias diamagnéticas
tienden a colocarse en un ángulo recto con las líneas de fuerza magnética, en vez de
en línea con ellas, como sucede con las sustancias ferromagnéticas.
Paramagnéticas .- Son sustancias que tienen una permeabilidad magnética mayor
que la del vacío y son esencialmente independientes a la fuerza magnetizadora
aplicada. En los materiales ferromagnéticos la permeabilidad varía con la fuerza
aplicada.
Las sustancias ferromagnéticas llegan a magnetizarse fuertemente con el campo y
en la misma dirección. Ejem. el hierro.
Las sustancias ferromagnéticas tienen alta permeabilidad y su densidad de flujo no
varía linealmente con la intensidad magnética.
Mencione las reglas que rigen a los s istemas electromecánicos.
1ª REGLA DE LA MANO IZQUIERDA
2ª REGLA DE LA MANO DERECHA
Diga si va a girar la bobina para cada caso de las figuras siguientes. En base a su
respuesta diga el principio del motor (conmutador).
Figura No. 1 Figura No. 2
Respuesta:
Si tomamos la regla de la mano izquierda para conocer si va a existir movimiento,
tenemos que la figura
No. 1 la bobina ó espira no va a sufrir movimiento alguno.
En la figura No. 2 la bobina si se va a mover y su sentido será en sentido contrario a
las manecillas del reloj.
Donde: Pulgar: µ Medio: 1 Indice: B F = (B X 1) L
Donde: Pulgar: µ Medio: ( Indice: B F = ( µ µ X B)
En base a la respuesta anterior el principio del conmutador es:
9Un motor es un instrumento que transforma energía eléctrica en energía
mecánica.
9Un motor eléctrico consta de un estator o inductor y de una bobina ó inducido
que es capaz de girar alrededor de un eje.
9Existe un conmutador que es el encargado de cambiar la dirección de la
corriente en el inducido ó bobina.
9El funcionamiento del motor eléctrico es el siguiente: a) La corriente circula a
través de la bobina por lo que se forma un campo magnético y la transforma en
un electroimán con sus polos perfectamente establecidos. b) la bobina gira
alrededor de su eje hasta que los polos de el electroimán se colocan frente al
polo sur estator, esto es el polo norte del electroimán se colocan frente a las
polaridades opuestas al estator, esto es el polo norte del electroimán se coloca
frente al polo sur del estator. c) La bobina se mantiene en esta posición hasta
que la corriente es invertida por el conmutador. d) al cambiar la dirección de la
corriente (sentido) el polo norte de la bobina se transforma en polo sur y es
repelido por el polo sur del estator. Y el devanado o bobina vuelve a girar. Las
polaridades entonces se disponen unas frente a las del signo contrario
nuevamente. e) La corriente vuelve a ser invertida nuevamente y la bobina gira
hasta que deje de invertirse la corriente o cese su paso a través del inducido
Ilustrando un solenide
Figura mostrando el campo magnético que se produce en un solenoide.
Respuesta:
Un conductor eléctrico enrollado en forma de espiral ó hélice (bobina) y que lleve
corriente, recibe el nombre de solenoide. Si aun solenoide se le introduce un núcleo
de hierro se convierte en electroimán.
Es posible determinar la polaridad de un solenoide o electroimán debido a la relación
que existe entre la dirección en que fluye la corriente por las espiras de la bobina y la
dirección en que se extienden las líneas de fuerza magnética. Se coge el solenoide o
electroimán en la mano izquierda como se ilustra en la figura numero 1 siguiente, de
tal modo, que las puntas de los dedos apunten en la dirección en que fluye la
corriente por las bobinas.
Entonces el dedo pulgar extendido señalara el polo norte del solenoide. La regla
anterior es llamada “regla de la mano izquierda para Solenoide y electroimanes”.
Fig. 2 REGLA DE LA MANO Fig. APLICANDO LA REGLA
IZQUIERDA PARA EL CAMPO - DE LA MANO IZQUIERDA A UN
MAGNETICO. ELECTROIMAN.
ENTRADAS SIMPLES EN LAPLACE
FUNCIONES BASICAS
EN DOMINIO DEL TIEMPO EN DOMINIO DE LAPLACE
]e -e[S
A F(s) bs-as-=
]e e21 [S
A F(s) bs-as-−=
22s
A w F(s)
w+=
s
sA F(s)
22 w+=
)e(S
A)e1(
Ts
A F(s) Ts-Ts-
2−−=
)e(S
2A)e1(
S
A F(s) as-bs-
2−−=
ENTRADAS SIMPLES EN LAPLACE
FUNCIONES BASICAS
EN DOMINIO DEL TIEMPO EN DOMINIO DE LAPLACE
tiempo.dominiodel elen
función la retarda que Notese
F(s) e-as
2S
1 F(s) =
S
A F(s)=
1 F(s)=
3S
2 F(s)=
bs
A F(s)
+=
VII) Función retardada F(t) Cualquier función F(t-a) Función f(t) retardada una constante f (t-a)=0 para 0<t<A
VII) Escalón (desplazamiento)
IX) Impulso unitario
X) Rampa Velocidad
XI) Parábola (Aceleración)
XII) Exponencial decreciente positiva
NOMENCLATURA EMPLEADA
Símbolos Cantidades Unidades
" : Longitud (=) m, metro
a : Área (=) m 2
M : Masa (=) Kg, Kilogramo.
t : Tiempo (=) s, segundo.
q : Carga (=) coul, coulomb.
i : Corriente (=) A, Ampere.
v, e: Voltaje (=) V, Volt.
F : Fuerza (=) N, Newton,
W : Energía (=) J, Joule.
P,p : Potencia (=) W, Watt.
Ø : Flujo magnético (=) Wb, Weber.
B : Densidad de flujo (=) Wb/m 2
H : Intensidad magnética (=) m
A vuelta
µ : Permeabilidad magnética (=) Wb/(A vuelta m)
µo : Permeabilidad del vació (=) 1.26 x 10 -6 N/A 2
La permeabilidad es aproximadamente igual a la permeabilidad del vació para casos prácticos.
µr : Permeabilidad relativa Sin unidades.
R, ℜ : Reluctancia (=) Wb
A vuelta
)OXMRGHHVODERQDGR
.,QGXFWDQFLDPDJQética (=) m
vueltaWb
P : Permeancia (=) A vuelta
Wb
fmm : Fuerza Magnetomotriz (=) A vuelta.
fem : fuerza Electromotriz (=) V, Volt.
R : Resistencia Eléctrica (=) 2KP
L : Inductancia Eléctrica (=) Hy, Henry.
G : Conductancia Eléctrica (=) , Mho.
I, i: Corriente Eléctrica (=) A, Amperes.
FORMULARIO
H µ A
Ø B == ...............................................(1)
fmm = N i = § H d
= N Ø = .L
p
1
A Ø
fmm ===ℜµ"
...........................................(4)
µ = µr µo ..................................................(5)
A N
N
22
"
µα =ℜ
= .........................................(6)
""
fmm
i N H == ..............................................(7)
r 2
i N B
πµ= Para un toroide (de radio medio r) ...................... (8)
TABLA DE CONVERSION DE CANTIDADES
ELECTRICAS Y MAGNETICAS
Cantidades Magnéticas Cantidades Eléctricas
Ø : Flujo magnético - - - - - - - i : Corriente.
fmm : Fuerza Magnetomotriz - - - fem : Fuerza Electromotriz.
ℜ : Reluctancia - - - - - - - - - R : Resistencia.
.,QGXFWDQFLD0DJQética L : Inductancia Eléctrica
P : Permeancia G : Conductancia.
∑ Hk: " k: (Ley circuital de ampere) - Σ Vk = 0 (Ley de
Kirchoff mallas).
∑ Øk = 0 : (Suma de flujos) - - - - ∑ i k = 0 (Ley de Kirchoff,
nodos).
FACTORES DE CONVERSION
Multiplicando por para tener
" en pulgadas 2.54 x 10 -2 " en metros
A en pulgadas cuadradas 6.452 x 10 -4 a en metros
cuadrados.
F en libras 4. 448 F en Newtons
W en pies-libra 1.356 W en Joules
P en caballos de potencia 746 P en Watts (1 H.P = 550 pie-lb/seg)
fmm en gilberts 0.796 fmm en A vuelta
fmm en pragilberts 10 -1 fmm en Gilberts
H en oersteds 79.6 H en A vuelta/m
H en A vuelta /pulgada 39.4 H en A vuelta/m
Ø en líneas o Maxwells 10 8 Ø en Webers
B en líneas por 15.50 x 10 -6 B en Wb/m 2
pulgada cuadrada 0.155 B en Gauss
B en Gauss 10 -4 B en Wb/m 2
PROBLEMAS
PROBLEMA 1
Obtener el circuito eléctrico equivalente del circuito magnético mostrado.
Se comportan en corto
circuito para c.c.
PROBLEMA 2
Un anillo de madera en forma de toroide tiene un radio medio de 30 cm. Es
embobinado con 600 vueltas uniformemente repartidas. El área de la sección
transversal del toroide es de 4 cm2. Una corriente de 2 A, circulan en el embobinado.
Suponga que se usa corriente directa. La permeabilidad del medio puede ser
FRQVLGHUDGDFRPRRFDOFXODU
a) la reluctancia de la estructura magnética,
b) La permeancia de la estructura magnética,
c) El gradiente de potencial magnético, algunas veces también llamado
intensidad magnética.
d) La densidad del flujo del campo magnético dentro del toroide.
e) El flujo total dentro del toroide.
|A N
R
N
A1
R fmm
Donde
22 µα
µ
φ
==
=
Σ=
R
SOLUCION
SOLUCION INCISO A R = ?
Formula R = A µ"
µ = permeabilidad del medio
A = área transversal
PIDEN
a) R = ?
b) P = ? d) B = ?
c) H = ? e) Ø = ?
La longitud del toroide (circunferencial) es π d = 2π r entonces la longitud media es π
(2) (30x10-2m) = 1 m = 1.885 metros.
R = A oµ"
= )m(4x10 m) aWb/A vuelt(1.26x10
m 885.1 24-6-
∴ R = 3.74x10 9 Wb
A vuelta
SOLUCION INCISO B P = ?
La permanencia es el reciproco de la reluctancia
m A vuelta
Wb 10 x 1.26 o
m A vueltaWb
10 x 4
m 10 x 4 cm 4A
1030R
c.c.A 2I
Vueltas 600N
:DATOS
6-
7-
24-2
2medio
=
=
==
=
==
−
µ
πµo
mx
MADERA
DE ANILLO
cm 30 r =
F.E.M.A 2 | =
2cm 4 al transversÁrea =
medida longitud = "
vueltas600 N =
P R
1 =
b)A vuelta/W( )1074.3(
19−X
∴ P = 2.674 x 1010 A vuelta
Wb
SOLUCION INCISO C M = ?
Formula H = m 1.885
)A (2 vueltas)600(
fmm
i N ==
""
∴ H 636.6 m
A vuelta
SOLUCION INCISO D B = ?
Formula B = =A
Ø µ H
En este caso
B = µ o H = (636.6 m
A vuelta) (1.26 x 10-6
m A vuelta
Wb)
∴ B = 802.116 x 10-6 Wb/m2
SOLUCION INCISO E Ø = ?
Formula
Ø = µ H A = B A = (802.116 x 10-6Wb/m2) (4 x 10-4 m2)
∴ Ø = 320.846 x 10-9 Wb
PROBLEMA 3
Se tiene un rectángulo de acero que tiene una permeabilidad con dimensiones
como se muestra en la figura siguiente. Un devanado de N vueltas lleva una
corriente constante de i amperes. Calcular:
a) El flujo eslabonado en el devanado.
b) La inductancia magnética.
c) La reluctancia.
d) El circuito equivalente.
SOLUCION
DATOS: FORMULA
µ r = N Ø = N( µ H A)
i
N
A pero H = "
i N
" = 2b + 2h
PIDEN
a) "Fℜ = ?
b) . "GFLUFXLWRHTXLYDOHQWH
SOLUCION INCISO A 1µ A) H
pero en este caso
H = "
i N =
2h 2b
i N
+
∴ h2b2
iA r o N 2
+µµ
ya que µ = µ r µ o
SOLUCION INCISO B
Formula
. ) 1
(2h b2
iA r oN
2
ii += µµλ
∴. 2h b2
r oA N 2
+µµ \DTXH UR
SOLUCION INCISO C
Formula ℜ = α
2N
A Ø
fmm == "
ℜ = 2
22
NA r o
2h b2N
N
µµα+=
∴ ℜ = A r o
2h b2
µµ+
SOLUCION INCISO D
De la figura numero 3 tenemos:
Fmm = N i
Nota: fem = - dt
N d
dt
N Ø d λ−=
PROBLEMA 4
En el circuito magnético del problema numero 2, determine el numero requerido
de vueltas de la bobina de excitación para establecer un flujo de 10-7 Wb, cuado una
corriente de 4 A, de corriente directa circula en la bobina.
DATOS:
i = 4 A Fórmula
Ø = 10-7 Wb Ø = BA = ("
i NA o A H)
µµ =
A = 4 x 10-4 m2
" = 1.885 m N = iA o
Ø
µ"
µ o = µ = 1.26 x 10 -6 m A vuelta
Wb 1c QIR
Comparando la ecuación 1c QIR
ℜ= fmm φ
φ
Para un toroide B = r 2
i N
πµ
Ø = BA = r 2
i N
πµ
A pero 2π r = "
π = µ o
∴ N = iA o
Ø
µ"
1c RIQ
Las ecuaciones QIR & RIQ son iguales indicado que es correcto.
Sustituyendo datos
A) (4 )m (4x10
m VueltaA
Wb (1.26x10
m) (1.885 Wb10
iA o
N
24-6-
7−
==µ
φ "
∴ N = 93.5 vueltas.
PROBLEMA 5
Obtener los circuitos eléctricos equivalentes de las estructuras magnéticas que dan
a continuación.
SOLUCION
Para la fig. 5.1 tenemos:
1) Las áreas son uniformes.
2) Hay dos mallas en el circuito equivalente.
3) El diagrama de flujo es
Entonces:
Los subíndices indican las trayectorias existentes.
Además: -1 -2-3
B1 = B2 + B3 Si las áreas son iguales
Para la figura si consideramos aérea no uniforme tenemos:
-3 -2 + -3
PREGUNTAS COMPLEMENTRARIAS
1) ¿Qué efecto tiene un aumento de la frecuencia sobre la corriente que circula
por la bobina?
2) ¿Explique brevemente el fenómeno de AUTOINDUCCION?
3) Si tenemos dos bobinas enrolladas sobre formas cilíndricas similares, pero
una tiene 10 vueltas de alambre y la otra 30 vueltas, ¿cuál de las dos bobinas
tiene mayor inductancia?
4) Defina brevemente las leyes o reglas que regulan la atracción y repulsión de
los polos de un imán. ¿cómo identificaría los polos Norte y Sur del imán con
ayuda de una brújula?
5) Si se tuvieran dos imanes idénticos sin marca alguna de polaridad, pero uno
de ellos no posee la propiedad de atraer materiales ferromagnéticos debido a
causas de fabricación. Diga como sabría cual es el imán falso, recuerde que
no tiene a su disposición ningún producto (como brújula, clavos, imán
polarizado, etc.) adicional.
6) ¿Qué significa el termino “ferromagnetismo”?
7) Explica la Ley de Ampere.
8) Diga el funcionamiento de un transformador en forma simple.
9) Investigue un método industrial para fabricar imanes.
10) Si el lector tuviera herramientas (ejemplo desarmadores martillos, pinzas,
etc.) imantadas ¿qué haría para desimantarlas?
11) Ilustre cinco diferentes trayectorias cerradas recorridas por las líneas de
fuerza magnética. (una trayectoria cerrada se ilustra como ejemplo en la
pagina No. 9.)
12) ¿Cuál es la inductancia combinada de tres bobinas conectadas en serie,
siendo los valores de ellas de 40, 50 y 150 microhenrios? ¿Si se conectaran
en paralelo cual seria su valor combinado?
13) ¿Cuál es la resistencia total de tres resistores de 40 ohms, 250 ohms y 150
ohms si se conectan en serie? Ahora se conectan en paralelo los tres
resistores ¿Cuál es la resistencia total?
14) ¿Cuál es la capacitancia total de tres capacitares de 40 microfaradios, 500
microfaradios y 15 microfaradios? Si se conectan en serie, si se conectan en
paralelo.
15) Investigue el lector como funciona un galvanómetro D’Arsonval.
PROBLEMAS COMPLEMENTRIOS
1) Un toroide de madera de una sección transversal uniforme en 3 pulg2 tiene una
circunferencia media de 20 pulg. La bobina en excitación tiene 2500 vueltas.
a) Determine el flujo producido por una corriente de dos amperes. Exprese
el flujo tanto en líneas como en Webers.
b) Determine el gradiente de potencial magnético en ampere-vuelta por
metro.
c) ¿Cuál es valor del flujo producido por una fuerza magnetizante de 10
Oersted?
d) ¿Qué valor de corriente directa es necesario para producir un flujo de 10-4
Webers?
2) La estructura mostrada en la figura que sigue, esta hecha de un material no
magnético cuya permeabilidad puede considerarse como µ o. Una corriente que
circula en la bobina de excitación, la cual tiene 100 vueltas.
a) dibuje una analogía eléctrica.
b) determine el flujo en los ramales de la estructura. Las reluctancias son:
segmento “BAFE” 4x 106 A vuelta/Wb: segmento “BE” 2 x 106 A
vuelta/Wb: segmento “BCDE” 4 x 106 A vuelta/Wb.
c) Si deseamos que exista un flujo de 2 x 10-4 Wb en el ramal “BCDE” ¿Cuál es
la corriente requerida par tal fin?
vueltas100 N =
OBSERVACIONES
Nota: Sobre la determinación del sentido del flujo magnético en los problemas
resueltos.
REGLA DE LA MANO DERECHA (convencional).
Para un alambre conductor de corriente convencional: si los dedos de la mano
derecha se colocan alrededor del alambre de forma que el pulgar apunte en la
dirección del flujo de la corriente, los otros dedos apuntaran en la dirección y sentido
del campo magnético producido por el alambre. Para el flujo de electrones (flujo
electrónico) se emplea la regla de mano izquierda.
REGLA DE LA MANO IZQUIERDA (electrónica)
Para un conductor portador de corriente electrónica: si los dedos de la mano
izquierda están dispuestos alrededor del conductor en forma tal que el pulgar este
orientado en la dirección del flujo electrónico, los dedos restantes indicarán el sentido
del campo magnético creado por el conductor. Para el flujo convencional de corriente
(opuesto al flujo electrónico), se utiliza la regla de mano derecha.
Flujo electrónico
Corriente producida por el movimiento de electrones libres hacia un electrodo
positivo. El sentido de flujo electrónico es opuesto al convencional de la corriente.
Gráficamente:
Las flechas indican la dirección del
flujo electrónico.
Símbolo de Símbolo del tubo
batería
Fig. Flujo Electrónico en la batería y en el tubo.
NOTA: Las flechas indican la dirección del flujo electrónico
PREGUNTAS
1) Explique porqué un alambre por el que fluye una corriente no se carga
electrónicamente o no permanece cargada después de que cesa la corriente.
2) Explique, cualitativamente, la resistividad y la resistencia. Además de
mencionar los factores que a ambas afectan. ¿Porqué se produce calor y que
efecto produce al calentar un conductor?
3) ¿Cómo se identificarían los polos de un imán permanente, no marcado,
teniendo: (a) otro imán marcado, y (b) solamente un pedazo de cordel? ¿Por
qué es mejor la prueba de repulsión para la polaridad que la de atracción?
4) Una barra de acero se frota de izquierda a derecha con el polo sur de un imán
permanente. ¿Cuál es la polaridad de los extremos derecho e izquierdo
después de la magnetización?
5) Si el área de la sección transversal y la longitud de un conductor se duplican,
¿Qué le sucede a su resistencia?
6) Exponga las características sobresalientes de un circuito en serie y explique
sus ventajas y desventajas. También explique la diferencia entre los circuitos
en serie y los circuitos en paralelo, además díganse las ventajas de los del
ultimo tipo.
* masa despreciable.
7) ¿Por qué decimos que la ley de joule es valida tanto para la corriente directa
como para la corriente alterna?.
8) Una barra de acero que a sido magnetizada por frotación por otro imán exhibe
un polo norte en cada extremo ¿Cómo a sido esto posible?
9) Enúnciese la “Ley de Ohm” para los circuitos magnéticos y defínanse cada
una de las cantidades.
10) Enumérense los factores de los cuales depende la reluctancia de un material y
escríbase su formula.
11) Si la F.M.M. se expresa en ampere-vuelta, ¿Qué factor sería necesario
aplicar para convertir la F.M.M. en Gilberts?
12) Si la ciencia esta basada en la naturaleza, enúnciese la Ley de Lenz, ¿En que
ley de la Naturaleza esta basada?
13) Enumérense las tres maneras que Faraday halló para incrementar la magnitud
de la corriente inducida (y la F.E.M.) al acercar un imán a una bobina
conectada a un galvanómetro. Véase figura siguiente:
Figura.
Descubrimiento de Faraday de la in- ducción electro-- magnética. BOBINA.
14) Si la fuerza magnetomotriz aplicada a un electroimán se duplica,
mientras que la reluctancia de su circuito magnético se reduce a la mitad,
¿cómo queda afectado el flujo total? (Supóngase que µ es constante).
15) Explíquese de dos maneras la ley de inducción de Faraday de tal forma que
BOBINA
ambas sean equivalentes entre si.
16) ¿Qué es inductancia? Explíquese la diferencia entre auto-inductancia e
inductancia mutua.
17) ¿De que dependía la dirección de la F.E.M.inducida en los experimentos de
Faraday?
18) ¿Por qué se produce una chispa cuando se abre bruscamente el circuito de
una bobina por la que esta circulando una corriente?
19) Dos alambres delgados y dos alambres gruesos se proyectan de las
terminales de un transformador sin estar marcados. ¿Cuál de esos pares de
alambres es indicado para llevar el alto voltaje?
20) Explique el funcionamiento de un galvanómetro de bobina móvil.
21) Describa el funcionamiento de un transformador en forma breve.
R E C O N O C I M I E N T O
PROBLEMAS
1) La intensidad de campo dentro de una armazón rectangular hueca, de
12 cm. por 12 cm. se halla que es de quinientos oersted. ¿Cuál es (a)
la intensidad de flujo y (b) el flujo total que pasa por dicho armazón?
2) Un aparato eléctrico toma corriente de 0, 0.5, 1.1, 1.8, 2.6 amperes
cuando el voltaje aplicado se incrementa desde 0 hasta 50 volt en diez
pasos. ¿Cumple este aparato con la ley de ohm? ¿Se puede decir que
es sistema es lineal?
3) Demuestre que para dos resistencias R1, R2 conectadas en paralelo, las
corrientes en los ramales (derivaciones) I1 e I2 se dividen de
acuerdo con la siguiente relación: I1/I2 = R2/R1.
4) Diga como es el campo magnético resultante a lo largo de todo el
alambre de la figura siguiente. En caso de existir fuerzas de atracción o
repulsión entre partes de alambre, indicarlas en forma clara.
Figura del problema (IV)
5) De los siguientes circuitos escriba la formula adecuada para calcular la
resistencia total, capacitancia total, inductancia total, tanto para arreglos en
serie como en paralelo.
6) La estructura mostrada en la figura siguiente, esta hecha de un material de
permeabilidad µ o. Una corriente de 8.4 amperes circula en la bobina de
excitación la cual tiene 10 vueltas. Determine el flujo de los ramales de la
estrucutura.
Las reluctancias son: segmento “BAFE” con 8 x 106 A vuelta/Wb;
Segmento “BE” con 3 x 105 A vuelta/wb segmento “BCDE” con 5 x 104 A
vuelta/Wb.
R E C O N O C I M I E N T O
SOLUCION A PREGUNTAS
Respuestas exc lusivamente
I) Porque el mismo numero de electrones que entra por un extremo sale por
el otro y, por consiguiente, el alambre permanece eléctricamente neutro.
II) La medida de oposición al flujo de electrones libres en un material dado es
la cantidad que se denomina resistividad. La resistencia de un material
dado, con área y longitudes conocidas, puede ser calculada en virtud de su
resistividad. Matemáticamente tenemos:
R = ρ A
L donde:
R es la resistencia en ohms,
ρ es la resistividad,
L es la longitud del alambre y
A es el área de su sección transversal.
Por otro lado la resistencia de un material genera energía en forma de calor debido a
las colisiones que ocurren entre los electrones libres y los atamos. A la inversa, si un
material de resistencia determinada es calentado, las condiciones aumentan y la
resistencia al flujo de la corriente eléctrica también aumenta.
III) Situé cerca del mismo, el polo norte de un imán identificado; el polo que
sea repelido es un polo norte; (b) suspenda el imán por su centro de forma
que pueda girar libremente, e identifíquese por el polo que señale hacia el
norte.
figura el imán suspendido siempre se orienta en la direcc ión
norte-sur.
La razón por la cual un imán o una brújula siempre se orientan en la dirección norte-
sur está en el hecho de que la tierra en si misma no es más que un imán gigante con
dos polos. Sin embargo, los polos magnéticos, no coinciden con los polos
geográficos de la tierra, estando localizado el polo norte magnético al norte del
Canadá, a casi 1500 millas del polo norte geográfico. El sur magnético esta en el
polo opuesto del globo, a la misma distancia del sur geográfico. Además, como los
polos del mismo signo se repelen y los polos opuestos se atraen el polo norte de una
brújula en realidad, apunta hacia el polo sur magnético, mientras que el polo sur
apunta hacia el polo norte magnético de la Tierra. Para evitar confusiones, el polo sur
magnético se le llama norte magnético y el polo norte magnético, sur magnético.
Pero todavía existe una discrepancia considerable entre el norte geográfico y el
magnético, en cada lugar específico de la Tierra, deben hacerse correcciones para
este error, que se conoce con el nombre de declinación. Debido que a cualquier
sustancia ferromagnética es atraída por los polos de un imán, pero solamente los
polos de los imanes rechazan a los polos de igual polaridad de otros imanes.
IV) El extremo de la derecha será el polo norte.
Gráficamente podemos considerar a la barra de acero compuesta por pequeños
imanes en posición arbitraria, entonces al estarla frotando de izquierda a derecha
con el polo sur del imán permanente, poco a poco orientara los diminutos imanes de
tal modo que el polo del extremo derecho será el polo norte. (Ver figura siguiente).
Antes de frotar la después de frotar la
Barra de acero con barra de acero con
El imán. El imán.
V) No cambia el valor; ya que R = ρ A
L ahora si nosotros duplicamos L y A
tenemos R = .A
L
A 2
L 2 ρρ = .
VI) En un circuito en serie la corriente es igual en todas sus partes y la suma
de todas las caídas de voltaje debe ser igual a la F.E.M. de la fuente. Un
circuito en serie o bien opera en todas sus partes, o no funciona en lo
absoluto. En un circuito en paralelo la corriente total se divide por un
numero de ramales (derivaciones) separadas y la corriente total que fluya
hacia los puntos de unión y sale de estos debe ser igual a la suma de las
corrientes en los ramales. La caída de voltaje a través de cada ramal es la
misma en todos e igual a la F.E.M. de la fuente. Un defecto o falla en
cualquiera de las derivaciones en paralelo inhabilita el resto del circuito.
VII) El efecto calorífico de una corriente no depende del tipo de la misma. La
Ley de Joule se define por H = I2 Rt donde H es el calor generado en
Joules, R es la resistencia del conductor, I es la corriente y t representa el
tiempo que dura la corriente. Nótese que el cuadrado de la corriente que
entra en la ley de Joule, permanece lo mismo, sea cual fuere la polaridad;
Así (+ I)2 = (- I) 2 = I2. La ley de Joule: “El calor total desarrollado en un
conductor es directamente proporcional a la resistencia, al cuadrado de la
corriente y al tiempo que dure el flujo de esta última”.
VIII) La barra ha sido frotada con el polo sur de un imán permanente desde el
centro hacia sus extremos, pero en un sentido y después en otro. Esto
produce polos norte “consecutivos” en ambos extremos. Una aplicación de
dichos imanes fue que se usaron como componentes importantes para
fabricar el primer órgano Hammon.
IX) La ley de Ohm para circuitos magnéticos dice: “ El flujo magnético total en
un circuito magnético es directamente proporcional a la fuerza
magnetomotriz e inversamente proporcional a la reluctancia del circuito”.
Matemáticamente:
o sea
ℜ
= f.m.m. φ
Donde: ℜ : es la reluctancia.
F.M.M. : es la fuerza magnetomotriz.
Ø : es el flujo magnético.
X) Reluctancia = áreapor dadpermeabili
) (circuito senda la de Longitud
A
µ"=ℜ Donde:
A = es el área transversal de la sección transversal del
camino magnético.
HVODSHUPHDELOLGDGGHOPHGLR ℜ = es la reluctancia.
" = es la magnitud de la longitud del camino magnético
/DUHOXFWDQFLDGHSHQGHGHORVIDFWRUHV$\ " .
Las reluctancias en serie o en paralelo se combinan igualmente que las
resistencias.
aReluctancif.m.m.
magnético Flujo =
XI) Multiplicase por 1.2566.
XII) Se basa en la ley de la Conservación de la energía; la Ley de Lenz dice:
“La corriente establecida por F.E.M.inducida debida al movimiento de un
(circuito cerrado) conductor, tendrá una dirección tal, que su campo
magnético se opondrá al movimiento que causa la f.e.m.
XIII) Velocidad de movimiento, fuerza del imán y número de vueltas de la
bobina.
XIV) Se cuadruplica. Ya que si en la formula ℜ
= f.m.m. φ se duplica la F.M.M. y
la reluctancia se reduce a la mitad tenemos que: ℜ
=ℜ
= fmm 4
2
1fmm 2
φ
XV) Una fuerza electromotriz (F.E.M.) se induce en una bobina de alambre,
siempre que el numero de líneas de fuerza (flujo magnético) que
concatena con la bobina sea variable, la magnitud de la F.E.M. inducida es
proporcional a la velocidad que cambia el número de líneas de fuerza a
través de la bobina.
XVI) Una fuerza electromotriz (F.E.M.) se induce en cualquier conductor que se
este moviendo a través (cortando) de líneas de fuerza magnéticas; la
magnitud es proporcional al tipo de corte de líneas de fuerza.
Las dos formas anteriores son conocidas como las dos leyes de la
inducción.
XVII) Auto inductancia es la propiedad de un circuito eléctrico de ofrecer
oposición a cualquier cambio de /en la corriente que pasa por él
produciendo una F.E.M. cuando la circulación de la corriente sufre un
cambio.
Inductancia mutua es la inductancia producida por acoplamiento entre dos
circuitos inductivos entre los cuales existe inducción mutua.
Inductancia es la propiedad de un circuito eléctrico, o de dos circuitos
eléctricos vecinos, que determina una F.E.M. será inducida en uno de los
circuitos por un cambio de corriente en cualquiera de los dos circuitos.
XVIII) De que si el movimiento es hacia la bobina o separándose de la misma
(ver figura de la pagina. No. 38).
XIX) La inductancia de la bobina se opone a que se interrumpa la corriente que
por ella fluye, mediante la energía almacenada en su campo magnético, lo
que da la chispa como resultado.
XX) Los alambres delgados, ya que al aumentar el voltaje disminuye la
corriente. Reacuérdese que la potencia a la entrada y salida de un
transformador es la misma.
XXI) El galvanómetro D’Arsonval o de bobina móvil está específicamente
diseñada para registrar corrientes extremadamente pequeñas. El
funcionamiento se ilustra en la figura siguiente en ella se ve que la bobina
móvil está enrollada alrededor de una armadura ligera de aluminio y en
libertad de girar alrededor de un núcleo de hierro dulce. Un poderoso imán
permanente del tipo herradura suministra el campo magnético externo, el
cual se concentra alrededor de la armadura de la bobina móvil por medio
de unas piezas polares especialmente conformadas. La
bobina esta montada sobre chumaceras de joyas que presentan una fricción
mínima.
Cuando la corriente va a ser medida fluye por la bobina, su campo reacciona
con el imán, y la bobina experimenta una desviación, que esta de acuerdo con la
regla del motor de la mano derecha. La bobina y la aguja se detienen cuando la
fuerza ejercida sobre la bobina equilibrada a la torca restauradora gobernada por los
muelles filiformes. Como las fuerzas magnéticas son proporcionales a la corriente la
desviación que la bobina sufre es una medida de la corriente.
XXII) Un transformador consiste esencialmente por dos bobinas acopladas por la
inductancia mutua. Las bobinas están eléctricamente aisladas una de la
otra pero concatenadas por un flujo magnético común. En la figura
siguiente se ilustra un transformador con el enrollado primario conectado a
una fuente de C.A. las alternaciones de la corriente primaria establece en
el núcleo un campo magnético alternante, que continuamente esta
creciendo, decreciendo y produciéndose nuevamente en la dirección
opuesta. Este flujo alterno, induce un voltaje alterno en el enrollado
secundario, pudiendo suministrarle una corriente al circuito secundario
cerrado.
graduada). escala
la (de ceroposición
la sobre descansa te
nnormalme bobina la
de armadura la a da
-fija aguja La dora.
--restaura torcauna
de mediopor bobina
la de giro aloponen
sey también bobina
la a corriente la
conducen filiformes
muelles depar Un
Las variaciones del flujo, que producen la F.E.M. secundaria, también afectan al
enrollado primario (debido a su auto inductancia), y por la ley de Lenz, inducen en él
una fuerza contra-electromotriz (c.e.m.) que se opone al voltaje C.A. aplicando al
enrollado primario. El valor de esta c.e.m. o f.c.e.m. (fuerza contraelectromotriz) es
casi igual al voltaje aplicado, cuando no se esta sacando corriente del enrollado
secundario y, por consiguiente, una corriente muy pequeña fluye a través del
primario bajo condiciones de ausencia de carga. Dicha pequeña corriente es llamada
magnetizante debido a que ella magnetiza el núcleo.
LAMINADO NUCLEO
dor Transforma del Simbolo
T
R E C O N O C I M I E N T O
S O L U C I O N
PROBLEMAS
1) Datos:
Armazón hueca J permeabilidad del aire ≅ R Dimensiones: Armazón rectangular de 12 x 12 cm.
Intensidad de campo: H = 500 Oersteds.
Pídase
Densidad de flujo: B = ?
Flujo total = Ø = ?
B = H = (1.26x10-6) ( 79.6x500) = 50.148 m Wb/m2 ≅ Gauss
Ø = B A = 722 Wb ≅ 72 200 Maxwells
A = 144 x 10-4 m2 ∴ B = 50.148 m Wb/m2 ≅ 500 Gauss
∴ Ø = 722 Wb ≅ 72 200 Maxwells
2) Datos:
Aparato eléctrico
Tabulando tenemos:
I 0 0.5 1.1 1.8 2.6 (A)
V en diez pasos
No cumple con la ley de Ohm, para que cumpliera con la ley de Ohm debería
tener para diez voltajes para diez corrientes. Por lo tanto tampoco se puede
considerar como un sistema lineal.
3) Datos
Dos resistencias en paralelo R1 y R2
4) Datos
Sabemos que la fuerza magnética entre conductores que llevan corriente en
el mismo sentido es de atracción.
También sabemos que conductores que llevan corrientes antipara léelas (de
diferente sentido) la fuerza es de repulsión.
SE UTILIZA LA REGLA DE LA MANO DERECHA
A = Fuerza de repulsión
B = Fuerza de atracción
.demostrado queday
i i
i i V
i i
1
2
2
1
221112
21
ℜℜ=
ℜ=ℜ=+="
5) Fórmulas
A) RST = R1 + R2 + R3 B) RpT =
R
1
R
1
R
11
321
++
C) CsT =
C
1
C
1
C
11
321
++ D) CpT = C1 + C2 + C3
E) LsT = L1 + L2 + L3 F) LpT =
L
1
L
1
L
11
321
++
6) Circuito equivalente Es el de la figura siguiente: Donde:
/Wb.VueltaA 10 x 8 R 611 ==ℜ
/Wb.VueltaA 10 x 3 R 522 ==ℜ
/Wb.VueltaA 10 x 5 R 433 ==ℜ
Pero NI = F.M.M. = 84 A Vuelta = φ R
Las inductancias magnéticas son corto circuito a la corriente directa continua.
10 x 42.86 10 x 8
84
||
i N
36321
1 +=
ℜℜ+ℜ=φ ¨ wb 10.44 1 µφ =
Wb10 x 10.44 10 x 3 10 x 5
10 x 5
6-
54
4
123
3 2 +
=ℜ+ℜ
ℜ= φφ
wb 49 1. 2 µφ =
Wb10 x 10.44 10 x 5 10 x 3
10 x 3
6-
45
5
132
2 3 +
=ℜ+ℜ
ℜ= φφ ¨
wb 95 8. 3 µφ =
A N A L O G I A S
PREGUNTAS
¿Qué es analogía?
Es la representación de valores numéricos, por medio de variables físicas tales como
traslación, rotación, tensión y resistencia.
¿Qué es una analogía dinámica?
Son analogías que hacen posible la conversión de ecuaciones diferenciales para
sistemas mecánicos y acústicos (para estudiar el cuerpo humano se recurre a veces
también a dicha analogía dinámica) en ecuaciones eléctricas equivalente que se
representan por redes eléctricas. Ya con la red eléctrica se puede resolver por teoría
de los circuitos.
¿Para que se utili zan las analogías?
Para obtener el equivalente eléctrico de un sistema mecánico, acústico, humano,
etc., y resolver dicho equivalente eléctrico utilizando método de mallas o método de
nodos.
¿Cuál es la ventaja de representar un sistema acústico, mecánico, humano,
etc., es un equivalente eléctrico?
Se puede estudiar conveniente y cuidadosamente el comportamiento de un sistema
mecánico o acústico o humano complejo por medio de sus términos eléctricos
análogos, los cuales son mas baratos, fáciles de obtener y pudiendo cambiarlos
cuando se desee.
Así por ejemplo si se desea cambiar las masas de un sistema mecánico, se puede
obtener dicho efecto cualitativamente y cuantitativamente, variando los valores de los
capacitares (o inductores) que representan a dichas masas en el equivalente
eléctrico. Ahora bien, si este mismo efecto se deseara en el sistema mecánico,
hacerlo con igual precisión resultaría difícil y costoso.
¿Cuántos tipos de analogías ex isten?
Los tipos de analogías son:
directa TIPOS DE ROTACIONAL (lo que gira) inversa directa ANALOGIAS TRASLACIONAL (lo que se desplaza) inversa
¿Con qu e otros nombres se le cono ce a la analogía directa?
Analogía directa o analogía a base de mallas o analogía a base engranaje o analogía
tensión-fuerza o analogía voltaje-fuerza, o analogía tensión presión o analogía masa
inductiva o analogía de impedancia.
¿Con qu e otros nombres se le cono ce a la analogía inversa?
Analogía inversa o analogía corriente-presión o analogía corriente-fuerza o analogía
masa-capacitancia o analogía a base de nodos o analogía de movilidad.
¿Cuándo se debe emplear un tipo d e analogía?
Cada persona elige la analogía que desee, pero en general puede decirse, que en
los sistemas mecánicos se prefiere la analogía inversa* porque facilita notablemente
la visualización del circuito eléctrico equivalente a partir de la inspección del sistema
físico.
Para analizar transductores se recurre a menudo a la analogía directa.
Nótese que es menester realizar la conversión de una analogía directa a una
analogía inversa equivalente o viceversa, y para ello emplearemos el principio de
Dualidad Especial.
* La metodología para analogías se basa en esta característica típica de la
analogía inversa en relación con los sistemas mecánicos.
¿Cuándo se dice que un sistema eléctrico es análogo a otro sistema mecánico
por ejemplo?
Dos sistemas cualesquiera son análogos si y solo sí sus ecuaciones diferenciales de
movimiento son similares entre sí* (o matemáticamente iguales).
¿Cómo ob tenemos las analogías eléctricas equivalentes?
Las analogías eléctricas equivalentes se obtienen comparando las ecuaciones
diferenciales de movimiento para ambos sistemas.
¿Cómo pu eden construirse los c ircuitos eléctricos equivalentes?
Los circuitos eléctricos equivalentes se pueden construir usando las leyes de
Kirchhoff de voltaje y de corriente.
¿Qué conclusión infiere el lector de lo qu e se a dicho d e analogías?
Que los sistemas mecánicos, acústicos, humanos, etc., pueden representarse y
estudiarse por medio de sus circuitos eléctricos equivalentes, los cuales se
construyen más fácilmente que los modelos de los correspondientes sistemas
(mecánicos, acústicos, humanos, etc.); de aquí que sea mas conveniente tomar los
resultados experimentales de los circuitos eléctricos equivalentes, que de los propios
modelos mecánicos, acústicos, humanos, etc.
Además de que en muchos sistemas la analogía tensión-masa es la mas útil, pero en
sistemas complicados es difícil de utilizar.
* cuando esto ocurre, los términos correspondientes de las ecuaciones
diferenciales de movimiento también son análogos.
Además de que en muchos sistemas la analogía tensión-masa es la más útil, pero en
sistemas complicados, es difícil de utilizar.
¿Cuáles son las leyes de kirchho ff?
Ley de voltajes de kirchho ff : “En cualquier red, a suma algebraica de todas
las tensiones alrededor de un circuito cerrado cualquiera, es igual a cero”.
Ley de corr ientes de kirchho ff : “En cualquier circuito, la suma algebraica de
las intensidades de las corrientes alrededor de un nodo cualquiera, es igual a cero”.
¿Cuál es el principio de D’Alembert para sistemas traslacionales?
Aplicando las ecuaciones de equilibrio estático a un sistema dinámico se tiene que:
“para cualquier cuerpo la suma algebraica de fuerzas aplicadas exteriormente y las
fuerzas que reciben el movimiento es cero”.
¿Cuál es el principio de D’Alembert para sistemas rotacionales?
Aplicando las ecuaciones de equilibrio estático a un sistema dinámico rotacional se
establece que: “para cualquier cuerpo la suma algebraica de pares aplicados
exteriormente y los pares que resisten el movimiento alrededor de un eje será igual a
cero”.
METODOLOGIA PARA ANALOGIAS
INTRODUCCION
Ya se había mencionado la ventaja de representar circuitos mecánicos en su circuito
análogo: eléctrico, a continuación se muestra un ejemplo:
Ejemplo
Dos resortes están unidos entre si y a una masa “m” como se muestra en la figura
siguiente. Las superficies carecen de rozamiento. Si los resortes tienen
respectivamente constantes de fuerza k1 y k2: demostrar que la frecuencia de
oscilación de m es:
mkk
kkf
)(2
1
21
21
+=
π
La solución del problema anterior mediante un tratamiento físico es el siguiente:
F = K X 1 Æ XT = X 1 + X 2 F = k 1 X1 2 Æ X1 = F / k 1 F = k 2 X2 3 Æ X2 = F / k 2 Sustituyendo y en se tiene:
XT =
+=+
2121
11
kkF
k
F
k
F
Ahora igualando 1 y
X =
+=
21
11
kkF
K
F
∴ 21
21
kk
kkK
+=
1´
2
3
2 3 1
4
4
5
Sustituyendo en la ecuación m
kf
π2
1=
tenemos:
+=
mkk
kkf
1
2
1
21
21
π Hz
y queda demostrado.
La solución del problema anterior mediante un tratamiento donde se emplea un
circuito análogo-eléctrico es:
El sistema análogo eléctrico del sistema mecánico anterior es una conexión de dos
capacitores en paralelo.
donde
¨ 2121
111CC
kkkC
TT +=+==
Aplicamos Ley de Kirchhoff al circuito fig. (B)
0=+dt
diL
C
q VXELGDV FDídas)
donde q es el análogo del desplazamiento y q = q0 (carga conjunta debida a C1 y
C2)
De sustituyendo dt
dqi =
02
2
=+ qdt
d
LC
q
01
12 =
+= q
LCD
2
22
dt
dD =
5
1
1
k
1 K =
C
1
La solución de la ecuación diferencial anterior es de la forma:
tLC
BCostLC
ASentq11
)( += donde A y B son constantes por calcular.
Comparando BCosWntASenWnttq +=)(
vemos que fLC
Wn π21 == pero
21
11
kkCC T +==
L = m
∴ mkk
kkf
1
2
1
21
21
+
=π
lo que queda.
ANALOGÍAS ELECTRICAS
La siguiente tabla muestra las dos analogías eléctricas aplicadas a sistemas
mecánicos.
SISTEMA MÉCANICO SISTEMA ELÉCTRICO
NOMBRE REPRESENTACIÓN MECANICA
ANALOGÍA DIRECTA
ANALOGÍA INVERSA
Principio de D´ Alembert
Ley de Kirchhoff
de voltajes Ley de Kirchhoff
de corrientes
GRADO DE LIBERTAD MALLA NODO
Fricción (rozamiento)
Amortiguador
Fuerza
Velocidad
Corriente en una malla
Tensión en un nodo
Masa
Desplazamiento
Carga “q” Flujo
Eslabonado
Resorte
Elemento Acoplador
Elemento común a
dos mallas Elemento entre dos
Nodos
ELEMENTOS DE LA METODOLOGÍA
Para analizar un sistema mecánico es necesario realizar los pasos siguientes:
PASO No. 1.
Se elige una línea de referencia (y desplazamiento) cuya velocidad (y
GHVSOD]DPLHQWRUHSUHVHQWDWLYDVHDQXODHVGHFLU0 = (x0 = 0).
PASO No. 2.
Las posibles velocidades que existen se dibujan a partir de una línea paralela a la
línea 0 = 0 (se dibuja una línea paralela para cada diferente velocidad). Nótese que
si un elemento se puede desplazar implica que tiene desplazamiento e implica que
tiene velocidad.
PASO No. 3.
Siguiendo la disposición de los elementos (del sistema mecánico) se acomodan
respecto a tierra.
PASO No. 4.
Después de acomodar de una manera conveniente el resultado del paso No. 3,
obtenemos así el circuito auxiliar para la analogía inversa.
PASO No. 5.
El resultado del paso anterior se traduce en sus analogías inversas correspondientes
a cada elemento, para esto se hace uso de la tabla de analogías eléctricas.
PASO No. 6.
Ya con el circuito eléctrico de analogía inversa se puede analizar éste por el método
de nodos (se indican flujos y caídas).
En caso de que este muy complicado el circuito se continúa con la metodología.
PASO No. 7.
Si se desea el circuito eléctrico correspondiente a la analogía directa se usa el
principio de Dualidad Especial.
El principio de dualidad especial se emplea cuando en una red planar no existen
acoplamientos, es decir carece de inductancias mutuas.
El principio de dualidad general se utiliza cuando la red si tiene acoplamientos
magnéticos.
EL PRINCIPIO DE DUALIDAD ESPECIAL
PASO No. 8.
Vuelva a dibujar el circuito auxiliar para una analogía inversa (encontrado con
anterioridad). Después póngase en el centro de cada malla de dicho circuito (nodo) y
sitúe un punto (nodo) adicional, el de referencia, que de fuera de la red. Todos los
puntos (nodos) son numerados consecutivamente empezando por el punto (nodo) de
referencia.
PASO No. 9.
Trace líneas con un plumón amarillo de un nodo a otro, a través de los elementos,
pero sólo que cada línea atraviese un elemento a la vez. Continué con este proceso
hasta que se agote el número de trayectorias posibles a través de los elementos
individuales. Si por error atravesara un alambre de conexión que se supone esta en
corto circuito, el elemento dual es un circuito abierto).
PASO No. 10.
Apunte por separado los mismos puntos (nodos) numerados anteriormente,
separándolos un espacio en blanco entre sí.
PASO No. 12.
Si es necesario reacomodar de la manera más simple posible el resultado del paso
anterior. Se obtiene de esta manera el circuito auxiliar para la analogía directa.
PASO No. 13.
Del resultado del paso número 12, se traducen a los elementos en sus analogías
directas, para eso se hace uso de la tabla de analogías eléctricas.
PASO No. 14.
Se puede analizar el circuito eléctrico de analogía directa por el método de mallas.
Puede incluso aplicarse el Teorema de Thevenin, el Teorema de Norton, el Teorema
de Superposición, etc. (se indican en el circuito flujos y caídas).
PASO No. 15.
Para comprobar si todo lo que se ha realizado está bien hecho debe notarse que:
a) Al comparar los dos circuitos análogos debe cumplirse que:
I) Los elementos en serie de una analogía corresponden a elementos en
paralelo en la otra.
II) Elementos tipo resistencia se convierten en elementos tipo conductancia y
viceversa. Además de que los elementos tipo capacitancia se convierten en
elementos tipo conductancia y viceversa.
II) La suma de caídas en los elementos en serie en una analogía
corresponden a la suma de flujos en un nodo de la otra.
b) Al comparar el circuito análogo inverso con el sistema mecánico debe cumplirse
que:
I) En la mayoría de los casos las masas van a tierra en el circuito eléctrico de la
energía inversa.
c) Al comparar el circuito análogo directo con el sistema mecánico debe cumplirse
que:
I) Las velocidades que afectan a los elementos mecánicos, en su analogía
directa, dichas corrientes deben afectar a esos mismos elementos mecánicos
transformados.
ACLARACIONES.
9Nótese que solamente en la dualidad especial se puede cambiar una bobina
por un capacitor y viceversa. Y cambiar una resistencia por una conductancia.
9Nótese que el número de nodos es igual al número de mallas.
9Nótese que las fuentes conservan su polaridad.
9Nótese que si la fuente no tiene polaridad se debe a que la fuerza aplicada al
sistema mecánico es alternante en sentido.
9Nótese que es importante advertir que una red no es equivalente a la otra en
el sentido de que la puede sustituir.
9Nótese que se usa el Plumón amarillo con el fin de que no se confunda con el
lápiz o pluma empleada y con el fin de que resalte la gráfica de flujo del nuevo
circuito.
9Nótese que los pasos No. 14 indicar además las corrientes.
9Nótese que en el paso No. 6 indicar además el nodo base (tierra ó nodo de
referencia) y numerar los nodos.
9Nótese que aplicando la regla del puente de “LE QUIR MARGE” nos podemos
omitir los pasos 8, 9, 10, 11, 12 y 13 de la metodología (solo si es posible
aplicar dicha regla al circuito).
ANALOGÍAS
PROBLEMA 1
En acústica se emplea el resonador Helmholtz, el cual consiste en un recinto
acústico que tiene una pequeña abertura de dimensiones tales, que el recinto
resuena a una sola frecuencia determinada por la geometría del resonador. En la
figura siguiente se muestra el resonador Helmholtz y su analogía mecánica.
P = Presión
V = Volumen
Con abertura de radio “a”
y longitud “L”
Å RESONADOR HELMHOLTZ
9Nótese que la analogía mecánica representa un sistema
oscilatorio de un solo grado de libertad. (es decir, solo tendrá el circuito equivalente
en un nodo ó una malla).
9Nótese también que el sistema mecánico anterior se
puede representar de varias maneras como son:
APLICANDO LOS PASOS DE LA METODOLOGÍA.
TENEMOS:
PASO No. 3.
Como la fuerza esta aplicada respecto a tierra, y dicha fuerza actúa sobre una masa,
entonces dicha masa esta referida a tierra.
Entre la masa m y tierra existe un resorte (k)
Entre la masa m y tierra existe un amortiguamiento (D)
PASO No. 4.
No hubo necesidad de reacomodar el circuito anterior. Por ello el circuito auxiliar para
la analogía inversa es:
Nótese que la fuerza es alternante en sentido Æ que la fuente de corriente no tendrá
polaridad.
PASO No. 6.
Se puede analizar el circuito por el método de nodos.
PASO No. 7.
Aplicando el principio de dualidad especial para obtener la analogía eléctrica en
directa.
PASO No. 8.
Redibujamos el circuito auxiliar para analogía inversa.
PASO No. 9.
PASO No. 10.
PASO No. 11.
PASO No. 12. No es necesario.
PASO No. 13.
PASO No. 14.
Se puede analizar el circuito por método de mallas.
PASO No. 15.
Entre analogías.
| )
a ||)
|||) 3 caídas Æ 3 flujos que inciden al nodo 1
b |)
c |) En el circuito mecánico la velocidad DIHFWD k, m, D Æ que en analogía directa i(t) afecta
estos mismos elementos
PROBLEMA 2
Un sistema de masa-resorte con dos grados de libertad se muestra en la figura
siguiente, obtener los circuitos eléctricos equivalentes para este sistema. Además
representar el sistema mecánico en otras formas equivalentes.
Solución (como tiene 2 grados de libertad Æ 2 mallas ó 2 nodos).
La fuerza está aplicada respecto a tierra.
Pero la masa m1 también esta referida a tierra ya que sobre ella esta aplicada la
fuerza.
Entre la masa y tierra existen un resorte y un amortiguador.
Entre la masa m1 y la masa m2 notamos que están separadas por un resorte (k2) y un
amortiguador (D2), es decir de la masa m1, salen un resorte k2 y un amortiguador.
Los elementos k2 & D2 llegan a la masa m2
PASO No. 4.
No es necesario acomodar el circuito.
PASO No. 5.
PASO No. 6.
(Se escribe el circuito eléctrico indicando flujos y caídas)
El circuito eléctrico de analogía inversa se puede analizar utilizando el método de
nodos.
PASO No. 7.
Como el circuito es más fácil analizándolo por mallas continuamos con la
metodología.
EL PRINCIPIO DE DUALIDAD ESPECIAL.
PASO No. 8.
PASO No. 9. Plumón amarillo.
PASO No. 10.
PASO No. 11.
PASO No. 12. Reacomodando.
PASO No. 13.
Paso No. 13.
PASO No. 14. Se escribe el circuito eléctrico, indicando flujos y caídas.
PASO No. 15.
|)
ENTRE CIRCUITOS ANÁLOGOS |||)
|||)
ENTRE SISTEMA MECANICO Y ANÁLOGO INVERSO |)
ENTRE SISTEMA MECANICO Y ANÁLOGO DIRECTO
|) La velocidad 1 afecta a 5 elementos y en el análogo la corrientes I1(t) afecta a
5 elementos.
La velocidad 2 afecta a 3 elementos.
La I2(t) si afecta a 3 elementos.
PROBLEMA 3
Un filtro puede definirse como un dispositivo selectivo que transmite un
margen determinado de materia o energía, en tanto atenúa sustancialmente todos
los demás. Por tanto un filtro eléctrico es una red que transmite corrientes alternas de
frecuencias deseadas en tanto atenúa sustancialmente las demás frecuencias. Un
filtro acústico transmite solamente las frecuencias sonoras deseadas. Un filtro óptico
transmite los márgenes de longitud de onda deseados en los espectros visible,
ultravioleta e infrarrojo.
En acústica es común encontrar el llamado filtro acústico de paso bajo (ver
figura siguiente) el cual transmite todas las frecuencias por debajo de una frecuencia
de corte dada, y atenúa sustancialmente todas las demás. El equivalente eléctrico
del mencionado filtro se muestra a continuación en analogía directa. ¿Cuál es el
circuito eléctrico en analogía inversa.
FIG. FILTRO ACUSTICO DE PASO BAJO
donde M representa las inertancias en kg/m4
C representa las elasticidades en m5 / Newton.
P representa a las presiones acústicas.
ANALOGÍA ELÉCTRICA (directa)
SOLUCION
Como se nos pide el circuito dual, haremos nuestro circuito auxiliar para analogía
directa, que es:
PASO No. 8. De metodología
Nótese que no tenemos representaciones acústicas para sistemas eléctricos, por ello
fue que se dibujo igual.
Paso No. 9. En amarillo
Paso No. 10.
PASO NO. 11.
PASO No. 12. No es necesario acomodar.
PASO No. 13. Se cambian bobinas por capacitares y viceversa.
El circuito se puede analizar con el método de nodos.
PASO No. 14. Ç en rojo
PASO No. 15.
|)3
||)3
|||)3
PROBLEMA 4
Un circuito tiene las dimensiones eléctricas siguientes:
∫ =++ V(t) dt i C
1 i R
td
i dL
111
∫ =++ i(t) dt v L
1
R
v
dt
dvC
221
Obtener una red eléctrica para cada ecuación y después unir ambas redes en una
sola.
SOLUCION
APLICANDO FORMULAS:
a) LKV (Ley de kirchhoff de voltajes)
∫ =++= 0 F.Av -dt iC
1 i R
td
i dL LKV
F.Av = Fuente de alimentación de voltaje.
b) LKC (Ley de kirchhoff de corrientes)
0 F.Vc - td
vdC
R
V dt v
L
1 LKC =++= ∫
F.Ac = Fuentes de alimentación de corriente.
Tenemos que para la 1ra. ecuación el circuito eléctrico es:
Tenemos también que para la ecuación número 2 el circuito eléctrico será:
Finalmente si unimos los circuitos tendremos:
PROBLEMA 5
Utilizando las analogías tensión-fuerza y corriente-fuerza, dibujar los términos
eléctricos análogos de el sistema mecánico que se muestra en la figura siguiente.
El sistema mecánico anterior se puede representarse así:
ó también ó de la forma
ó bien
ó
SOLUCION
Para resolver el problema usaremos el equivalente mecánico mostrado
PASO NO. 1. (Aplicamos pasos de la metodología)
PASO No. 2.
PASO No. 3. De la masa m1 parte un y un y
llegan a la masa m2
Pero la masa m2 esta referida a tierra debido a que sobre ella actúa la fuerza F2(t)
(Con respecto a la tierra). Entre la masa
D2 m2 y tierra están un y un K2
PASO No. 4
REACOMODANDO.
CIRCUITO AUXILIAR PARA ANALOGIA INVERSA
PASO No. 5.
PASO No. 5.Ç
PASO No. 6
U1 = voltaje en el nodo 1
U2 = Voltaje en el nodo 2
El circuito se puede analizar método de nodos.
PASO No. 7.
Para encontrar la red dual usamos principio de dualidad especial.
PASO No. 8.
PASO No. 9. Plumón amarillo
PASO No. 10.
PASO No. 11.
PASO No. 12.
Reacomodando elementos
CIRCUITO AUXILIAR PARA ANALOGIA DIRECTA
PASO No. 13.
PASO No. 14.
El circuito se puede analizar por mallas.
PASO No. 15.
A) Comparando circuitos análogos eléctricos.
|)3
||)3
|||)3 debido a I1 existen 5 caídas existen 5 flujos
al nodo U1.
B) Comparando circuito análogo inverso con el sistema mecánico.
|)3
C) Comparando circuito análogo directo con sistema mecánico
|)3/DYHORFLGDG1 afecta a 5 elementos.
/DYHORFLGDG2 afecta a 5 elementos.
La corriente I1 afecta a 5 elementos
La corriente I2 afecta a 5 elementos
PROBLEMA 6
Estudiar El comportamiento del sistema que se muestra en la figura siguiente por
medio de sus términos eléctricos análogos. Los elementos mecánicos con k = 50
lb/pulg, D = 0.1 lb-seg/pulg, m = 0.05 lb-seg2/pulg. Fo = 5lb y w = 10
rad/seg. Se dispone de una inductancia L de 0.1 Hy y una fuente de tensión alterna
de frecuencia 100 rad/seg.
SOLUCION
Aplicando metodología tenemos:
PASO No. 1.
PASO No. 2.
PASO No. 3. [Nótese que el sistema tiene 2 grados de libertad
Æ 2 mallas o 2 nodos]
PASO No. 3.
CIRCUITO AUXILIAR PARA ANALOGIA INVERSA
PASO No. 4. No es necesario reacomodar elementos.
PASO No. 5.
PASO No. 6.
Se escribe el circuito eléctrico indicando flujos y caídas.
El circuito eléctrico de analogía inversa se puede analizar por método de nodos.
PASO No. 7
Como el circuito es más fácil analizarlo por mallas continuamos con la metodología.
PASO No. 8.
Como no existen acoplamientos podemos emplear “El Principio de Dualidad
Especial”
PASO No. 9. Plumón amarillo.
PASO No. 10
PASO No. 11.
PASO No.12.
Reacomodando.
CIRCUITO AUXILIAR
PARA ANALOGIA
DIRECTA.Æ
PASO No. 13.
PASO No. 14. Se escribe el circuito eléctrico indicando flujos y caídas.
El circuito se analiza por método de mallas.
PASO No. 15.
|)3
Entre circuitos análogos ||)3
|||)3
Entre sistema mecánico y análogo inverso |)3
Entre el sistema mecanico y análogo directo |)3
Ahora lo que debemos obtener es dado el sistema mecánico obtener un circuito
análogo-eléctrico-directo, es decir:
SISTEMA MECANICO
DIRECTA-ANALOGIA
Más sin embrago no hemos analizado el comportamiento del sistema como nos lo
indica el enunciado del problema.
Así pues, para analizar el comportamiento del sistema recurriremos a los números
adimensionales.
NUMEROS ADIMENSIONALES
Con el fin de que el sistema análogo eléctrico encontrado sea en verdad
completamente equivalente al sistema mecánico en cuestión; se emplea el análisis
adimensional para poder, de esta forma obtener, los factores de escala correctos,
tales que hagan los dos sistemas idénticos.
Así por ejemplo del análisis dimensional podemos tener algunos números
adimensionales siguientes:
a) De la ley Hooke
Tenemos F = kx en sistema inglés.
[lb] pulg
lb [lb]
=
[lb] = [lb]
Es decir, la ley de Hooke es dimensionalmente correcta.
Entonces si: F = Kx
l)dimensionaN( kx
F °=
Sustituyendo equivalente en analogía directa* tenemos:
q
C E
(1/C)(q)
F
kx
F ==
Número adimensional
qC E
kxF
=∴
* Se sustituye analogía directa porque nuestro circuito eléctrico está de esa
forma, pero puede también usarse la analogía inversa.
b) Una masa es dimensional igual a otra masa diferente, es decir:
m1 = m2 pulg
seg-lb
pulg
seg-lb 22
=
debido a que:
F= m a ¨ m = a
F
m [=] pulg/s
lb2
pulg
seg-lb ][ m
2
=∴
Si = m
m
2
1 (Numero adimensional)
Sustituyendo equivalente análogo-eléctrico-directo
L
L
m
m
2
1
2
1 = Número adimensional.
c) al inciso anterior se obtiene
k/1
1/k
C
C
k
k
2
1
1
2
2
1 ==
d) Se deja al lector la deducción, de una manera parecida a la anterior, de:
I) LC ico Weléctr k
m w =
II) L
CR
mk
D 22
=
Del análisis dimensional anterior, tenemos las siguientes relaciones entre el
sistema mecánico y el sistema eléctrico análogo.
)........(1 q
C E
k x
F =
(2) ........ L
C R
mk
D 22
=
....(3) LC W k
m W =
mecánico eléctrico
De (3) obtenemos el valor o el capacitor para el circuito eléctrico: (recordar que se
dispone de antemano de una bobina L = 1/10 hy).
Sustituyendo valores: C (0.1) 100 50
0.05 10 =
fd. 100 C µ=∴
De (2) L
C R
mk
D 22
=
Podemos obtener el valor del resistor necesitado. (Recordar que ya poseemos L =
1/10 Hy, C = 100 IG
Hy) (0.1
Fd) 10 x (100 R
pulg
seg-lb 0.05 lb/pulg) 50(
pulg
seg-lb 0.1
6-2
2
2
=
2 R Ω=∴
De (1) q
C E
kx
F =
Podemos obtener una expresión del desplazamiento (en función de términos
conocidos; del sistema mecánico concerniente a la masa que se desee analizar).
Sustituyendo datos:
q
C E
x50
5
k x
F ==
Vc
E
0.1
C
q
E
0.1 X
==∴
Donde Vc = Caída de voltaje en el condensador C.
E = Es la tensión aplicada.
Como K1 = k2 = k ; D1 = D2 = D
m1 = m2 = m ; Tendremos
Se puede analizar por mallas
Es obvio que los desplazamientos de las masas del sistema mecánico considerado
se pueden obtener cualitativa y cuantitativamente midiendo las caídas de tensión en
los correspondientes condensadores. Por consiguiente se puede estudiar
conveniente y cuidadosamente el comportamiento de un sistema mecánico complejo
por medio de sus términos eléctricos análogos, los cuales son baratos, fáciles de
cambiar y fáciles de obtener.
PROBLEMA 7
Empleando Dualidad Especial, encuentre la red dual de la siguiente red.
SOLUCION.
Aplicando Principio de Dualidad Especial tenemos:
PASO No. 8.
PASO No. 9 en amarillo CIRCUITO PARA ANALOGIA DIRECTA
PASO No. 10.
PASO No. 11
PASO No. 12. No es necesario acomodar.
Por lo tanto el Circuito “Auxiliar” para analogía inversa es:
PASO No. 13.
Se cambian bobinas por capacitares y viceversa.
Se cambian resistores por admitancias.
PASO No. 14
Se escribe el circuito eléctrico indicando flujos y caídas.
Se puede analizar por nodos.
NOTA:
Debe recordarse que para pasar de un circuito eléctrico dado a su circuito
eléctrico se emplea siempre “El principio de Dualidad Especial”.
PASO No. 15
|)3
Entre circuitos eléctricos análogos ||)3
|||)3
PROBLEMA 8
Obtenga la red dual de la red dada empleando el Principio de Dualidad Especial.
SOLUCION
Como tenemos 4 mallas independientes ello implica que en la red dual tenemos 4
nodos además del nodo base.
Aplicando Principio de Dualidad Especial (metodología).
PASO No. 8
PASO No. 9 en amarillo
PASO No. 10.
PASO No. 11
PASO No. 12
Reacomodando elementos.
CIRCUITO AUXILIAR PARA ANALOGIA INVERSA
Paso No. 13
Se cambian bobinas por capacitares y viceversa.
Se cambian resistores por conductancias.
Se puede utilizar método de nodos.
PASO No. 14. Se indican flujos y caídas
|)3
PASO No. 15. entre circuitos análogos-eléctricos ||)3
|||)3
PROBLEMA 9
El dispositivo de la figura siguiente muestra un sistema mecánico simple, formado
por una masa M1 que se desliza en una película de aceite B1 sobre otra masa M2. La
masa M1 esta también conectada a un resorte D que tiene su otro extremo a la
estructura rígida del sistema. Además la masa M2 se desliza a su vez en una película
de aceite B2 sobre la misma estructura. Solo es posible el movimiento rectilíneo en la
dirección del eje del resorte. Obtener del dispositivo anteriormente mencionado los
circuitos eléctricos análogos.
S O L U C I O N
Es importante hacer notar que una masa es idealmente rígida y todo lo que esté
conectada a ella representa elementos pasivos o generadores que tienen uno de sus
extremos con la misma velocidad que la masa; además a la masa se le considera
siempre como un segundo extremo de la tierra (excepto en algunos dispositivos ó
circuitos con transformador mecánico); y en cambio en los demás elementos pasivos
o generadores pueden tener movimiento en ambos extremos.
Nótese que el resorte tiene la misma velocidad en un extremo que la masa M1 por
estar conectada a ella, y de hecho podría estar conectada directamente al generador
ej.
En cambio, aunque la resistencia B1 tiene un extremo con la misma velocidad que M1
por estar conectada a ella, no podría conectarse directamente al generador (en el
sistema real).
APLICANDO METODOLOGIA.
El circuito mecánico del problema es equivalente, le generador puede ser de
cualquier tipo.
PASO No. 1.
PASO No. 2.
PASO No. 3.
CIRCUITO AUXILIAR PARA ANALOGIA INVERSA
Paso No. 4. no es necesario reacomodar elementos.
PASO No. 5
PASO No. 6.
Se escribe el circuito eléctrico indicando flujos y caídas.
El circuito se puede analizar con Método de Nodos.
PASO No. 7.
Como el circuito es más fácil analizarlo por mallas, continuamos con la metodología.
PRINCIPIO DE DUALIDAD ESPECIAL
PASO No. 8
PASO No. 9. En amarillo
PASO No. 10
CIRCUITO AUXILIAR PARA ANALOGIA-DIRECTA
PASO No. 11.
PASO No. 12. No es necesario Reacomodar.
PASO No. 13
El circuito se puede analizar por método de mallas.
PASO No. 14
Se escribe el circuito eléctrico indicando flujos y caídas.
El circuito se puede analizar por método de mallas.
PASO No. 15
|)3
Entre circuitos análogos eléctricos ||)3
|||)3
Entre circuito análogo-directo y el mecánico |)3
Entre el circuito análogo inverso y el mecánico |)3
PROBLEMA 10
Encontrar el equivalente mecánico del circuito eléctrico mostrado a continuación.
SOLUCION
1ro. Obtenemos el circuito eléctrico DUAL.
PASO No. 8.
PRINCIPIO DE DUALIDAD ESPECIAL Ç
PASO No. 9. En amarillo.
PASO No. 10.
PASO No. 11
CIRCUITO AUXILIAR PARA ANALOGIA INVERSA
PASO No. 12. No es necesario reacomodar.
PASO NO. 13. Se cambian bobinas por capacitares y viceversa.
Se cambian resistores por conductancias
Se cambian Fuentes de Voltaje por Fuentes de
Corriente.
PASO No. 14
Se puede analizar el circuito por método de nodos.
Se indican Flujos y Caídas.
|)3
PASO No. 15. Entre circuitos análogos-eléctricos ||)3
|||)3
Nótese que de la tabla de analogías eléctricas y del circuito análogo-inverso
podemos inferir:
* La fuerza [i(t)] actúa sobre una masa uno (C1)
** La masa uno tiene conectada en un extremo una amortiguador y el otro extremo
del amortiguador va a tierra; o bien la masa dos tiene fricción sobre la tierra.
*** Entre la masa uno y la masa dos se encuentra un resorte.
La masa dos tiene conectado un amortiguador y el otro extremo del amortiguador
esta conectado a tierra o bien la masa dos tiene fricción sobre la tierra.
De la masa dos se encuentra un resorte y el otro extremo.
Del resorte va a Tierra.
PASO No. 3.
Acomodando los elementos:
Finalmente el sistema mecánico es de las formas siguientes (todas ellas equivalentes
entre sí).
PASO No. 1.
PASO No. 2.
Para comprobar cada uno de los resultados anteriores se le ponen paso #1 y paso
#2.
Comprobado se usa el paso No. 15.
|)3
Entre circuitos análogos eléctricos ||)3
|||)3
Entre circuito analogía inversa y el sistema mecánico |)3
Entre el circuito analogía directa y el sistema mecánico |)3
PROBLEMA 11
En la figura siguiente se muestra un sistema masa-resorte de tres grados de
libertad. Utilizar la metodología para obtener la red en términos análogos eléctricos-
directa.
Todos los ejemplos anteriores son formas
de representar el sistema mecánico del
problema a estudiar.
SOLUCION
Aplicando metodología
PASO No. 1.
PASO No. 2.
PASO No. 3.
CIRCUITO AUXILIAR PARA ANALOGIA INVERSA
PASO No. 4. No es necesario reacomodar
PASO No. 5.
PASO No. 6.
Se escribe el circuito indicando flujos y caídas.
Se puede resolver el circuito con el método de nodos.
PASO No. 7. Aplicamos principio de Dualidad Especial para
obtener la analogía eléctrica-directa.
PASO No. 8. Redibujando el circuito auxiliar para analogía inversa tenemos:
PASO No. 9. Con Plumón amarillo.
PASO No. 9. Con Plumón amarillo.
PASO No. 10.
PASO No. 11.
PASO No. 12
Reacomodando elementos.
PASO No. 13.
Se traducen elementos mecánicos en sus analogías directas.
PASO No. 14.
Se indican flujos y caídas.
Si reacomodamos el resultado del paso 14 tenemos:
Ç RESULTADO FINAL Ç
SOLUCION
El sistema mecánico se puede representar también de la forma conocida.
Para encontrar el valor de m recurriremos a los números adimensionales (ver prob.
6). Para analogía directa son:
L
C R
mk
D ;
q
E c
k x
F ;
C
C
k
k ;
L
L
m
m 22
1
2
2
1
2
1
2
1 ====
------ C L W
m
k
Wn = F
Los números adimensionales anteriores son válidos para cualquier sistema
mecánico.
Entonces de F 1 aladimension número m
k Wn ===
Ö m
k Wn = Ö
(1.96)
20
nW
k m
22==
2seg-lb 5.2 m
pulgs. 5.2 m
==∴
PROBLEMA 13
Demostrar que los circuitos eléctricos que se muestran a continuación son
análogos entre sí, así como también lo son del sistema mecánico dado.
(B) (C)
(A)
SOLUCION
Nótese que no existe fuerza actuando sobre el sistema mecánico, no existirá
tampoco una fuente de alimentación en los circuitos análogos eléctricos.
OTRA FORMA DE REPRESENTAR EL MISMO SISTEMA MECANICO SON:
Aplicando Metodología tenemos:
PASO No. 1.
PASO No. 2.
Nótese que el sistema
tiene 2 grados de
libertad
PASO No. 3
Es importante notar que cuando no existe fuerza actuando sobre el sistema
mecánico, se acomodan los elementos empezando por el elemento más alejado de
la tierra. Recordando que a las masas no se les considera siempre con un extremo a
tierra en casi todos los casos (a excepción de algunos dispositivos con transformador
mecánico) en la analogía inversa.
CIRCUITO AUXILIAR PARA ANALOGIA INVERSA
PASO No. 4.
PASO No. 5.
PASO No. 6.
Para el análisis se puede utilizar Teoría de Circuitos
PASO No. 7. Para Obtener el equivalente eléctrico de analogía
directa empleamos Principio de Dualidad Especial.
PASO No. 8.
PASO No. 9. En Plumón amarillo.
PASO No. 10.
CIRCUITO AUXILIAR PARA ANALOGIA DIRECTA
PASO No. 12. No es necesario acomodar elementos.
PASO No. 13.
PASO No. 14.
En el circuito eléctrico se indican flujos y caídas. Reacomodando el circuito tenemos:
Nótese que no se indican flujos o corrientes eléctricas debido a que no existen
fuentes de voltaje.
Para el análisis del circuito se usa Teoría de Circuitos.
PASO No. 15.
|)3
(a) ||)3
|||)3
(b) |)3
(c) |)3
PROBLEMA 14
Obtenga el sistema mecánico del circuito equivalente dado. Además
represente dicho sistema mecánico de varias formas diferentes.
SOLUCION
Como el sistema mecánico es más fácil obtenerlo de la metodología inversa,
entonces obtendremos el circuito Dual.
PASO No. 8.
PASO No. 9. EN AMARILLO
PASO No. 10.
CIRCUITO AUXILIAR PARA ANALOGIA INVERSA
PASO No. 11.
PASO No. 12. No es necesario reacomodar
PASO No. 13.
Se cambian bobinas por capacitores y viceversa.
Se cambian resistencias por conductancias.
PASO No. 14. Se indican flujos y caídas.
El circuito se puede analizar por método de nodos.
PASO No. 15.
|)3
Entre circuitos análogos-eléctricos ||)3
|||)3
De la tabla de analogías eléctricas y del circuito anterior:
* Nótese que G12 representa un rozamiento entre la masa m1 y la
masa m2.
** La fuerza actúa sobre la masa uno (C1)
*** De la masa uno a tierra se encuentra un resorte y además un amortiguador (ó tal
vez rozamiento con tierra).
De la masa dos a tierra se encuentra un resorte.
PASO No. 3
Acomodando elementos:
PARA *
ó
PARA ** ó
PARA ***
ó
EL RESULTADO FINAL ES:
ó
FINALMENTE OTRAS FORMAS EQUIVALENTES SON:
Para comprobar cada uno de los resultados anteriores se le ponen pasos #1 y # 2. Y
después el #15.
PASO No. 1.
PASO No. 2
PASO No. 15
|)3
Entre circuitos análogos-eléctricos ||)3
|||)3
Entre circuito de analogía inversa y el sistema mecánico |)3
Entre circuito de analogía directa y el sistema mecánico |)3
PROBLEMA 15
La figura siguiente muestra un circuito eléctrico que tiene tres mallas y por
consiguiente fue extraído de un sistema mecánico de tres grados de libertad. Se pide
que se represente dicho sistema mecánico de por menos dos formas diferentes.
SOLUCION
Primero obtenemos el circuito dual debido a que el circuito eléctrico anterior está por
analogía directa.
PASO No. 8
PASO No. 9. En amarillo
PASO No. 10.
PASO No. 11
CIRCUITO AUXILIAR PARA ANALOGIA INVERSA
PASO No. 12.
No es necesario reacomodar, por lo tanto:
PASO No. 13.
Se cambian bobinas por capacitares y viceversa.
Se cambian resistores por conductancias.
PASO NO. 14.
Se indican flujos y caídas.
El circuito se puede analizar por método de nodos.
PASO No. 15.
|)3
Entre circuitos análogos-eléctricos ||)3
|||)3
De la tabla de analogías eléctricas y analizando el circuito eléctrico de la analogía
inversa vemos:
* La fuerza se aplica a la masa dos (C2)
** Entre la masa dos y la masa uno está un resorte L1.
*** Entre la masa uno y la masa tres está un rozamiento o bien
un amortiguador.
La masa uno tiene un rozamiento con tierra o tal véz un
amortiguador.
PASO No. 3.
Acomodando tenemos:
PARA *
ó
PARA **
ó
PARA ***
ó
PARA
ó
EL RESULTADO FINAL ES:
ó
Para comprobar cada uno de los resultados anteriores se le ponen pasos 1 y 2 y
después se comprueba todo lo anterior con el paso 15.
PASO No. 1.
PASO No. 2.
Nótese que las velocidades coinciden con las corrientes de malla del circuito de
analogía directa.
PASO No. 15
|)3
(a) ||)3 b) |)3 c) |)3
|||)3
PROBLEMAS COMPLEMENTARIOS
I) Obtener la red dual aplicando el Principio de Dualidad Especial de las siguientes
redes:
II) La red de inductores que se muestra en la siguiente figura está formada por un
inductor de 1 Henry en cada arista de un cubo, en donde los inductores se conectan
en los vértices del cubo, tal como se indica. Demuestre que con respecto a los
vértices “a” y “b”, la red es equivalente a la de (B) en la figura, cuando Leq = 5/6 H.
(Sugerencia: aproveche la simetría para resolver este problema en vez de escribir las
Leyes de Kirchhoff).
III) Si existe, encuentre la red dual del circuito dado.
IV) Considere la red sin inductancias mutuas mostrada. Se pide encontrar el circuito
eléctrico dual.
V) Demuestre la analogía entre el sistema mecánico y el circuito eléctrico-inverso.
(Sugerencia: siga los pasos de la metodología dada y considérese que para el paso
No. 3 “todas las masas o momentos de inercia (J) llevan en la mayoría de los casos
una terminal a tierra”.
Nótese que en el problema precedente las masas tienen un comportamiento análogo
a los momentos de inercia y que el par tiene un comportamiento análogo a la fuerza.
VI) Obtener circuitos análogos eléctricos de los sistemas mecánicos mostrados a
continuación:
(A)
(B)
Donde: (para “b”)
T(t) : Par o Torque.
W : Desplazamiento angular
J : Momento de Inercia.
B : Coeficiente de fricción viscosa.
W(t) : Velocidad angular.
* Nótese que el comportamiento de w(t) es análogo a un flujo de corriente o a un
potencial según la analogía, es decir es una velocidad en sistema mecánico.
4XHWVXFRPSRUWDPLHQWRHVDQálogo a un desplazamiento en sistema mecánico.
(Ver tabla de analogías eléctricas).
VII) Obtener las analogías de los sistemas mecánicos:
Sin fricción (A)
Sin fricción (B)
VII) En las figuras que se muestran, representan momentos torsionales con
amortiguamiento. Utilizando la metodología dada anteriormente y en base a los
problemas anteriores encuentre los circuitos eléctricos de analogía directa.
(A)
(B)
IX) Para uno de los sistemas mecánicos lineales mostrados en la figura que se
acompaña; a) Trace las analogías eléctricas en base de nodos y de mallas y b)
Represente los mismos sistemas mecánicos en más de una forma equivalente.
(A)
(B)
(C)
(D)
X) Una barra perfectamente rígida (rigidez k - SXHGHGLUDUHQXQSLYRWHFRPRVHmuestra en la figura que se acompaña; a) Trace las analogías eléctricas, en base de
mallas y de nodos. Supóngase que los desplazamientos son suficientemente
pequeños de suerte de suerte que pueden considerarse verticales y la rotación de la
barra rígida puede despreciarse.
XI) Demostrar que los sistemas eléctricos que se muestran en la figura adjunta son
análogos entre sí, así como también lo son de la estructura mecánica.
XII) Encontrar los circuitos análogos eléctricos del sistema mecánico mostrado:
(A) (B)
XIII) Un sistema mecánico rotacional se muestra en la figura que se acompaña.
Consiste de dos cilindros, uno dentro del otro. La fricción entre ellos es “B”. El cilindro
interior es sólido y tiene un momento de inercia J2; el cilindro exterior es hueco y su
momento de inercia es J1, los radios son r1 y r2 respectivamente. Se aplica un par
“T” como se muestra en la figura. Trace una analogía directa en base de mallas.
XIV) Trace las analogías eléctricas de los sistemas mecánicos siguientes:
(B)
(A)
(C) (D)
XV) Determinar los elementos del circuito eléctrico equivalente al sistema mecánico
que se muestra en la figura que se adjunta, utilizando la analogía de Tensión-Fuerza.
Los elementos mecánicos son: K1 = 10 lb/pulg; K2 = 100 lb/pulg;
D = 0.1 lb-seg/pulg; W1 = 10 lb; W2 = 100 lb; Fo. =10 lb y W = 10 rad/seg. Algunos
de los elementos eléctricos son C1 )G&2 )G<:R :)WDFWúa
tanto sobre W1 como sobre W2. (Nota: F(t) = Fo cos wt).
XVI) Utilizar el análisis dimensional para deducir las siguientes cantidades
adimensionales, las cuales relacionan sistemas mecánicos con sus correspondientes
sistemas eléctricos análogos:
L
C R
mK
D ; q / EC F/(Kx) ; (LC) Wo (m/K)W
2221/ 1/2 ===
XVII) Los elementos mecánicos del sistema que se muestra en la figura son: K = 100
lb/pulg, W = 10 lb y D = 0.01 lb-seg/pulg. Si se utiliza una inductancia L = 0.01 Henry
y las frecuencias eléctricas son 100 veces las frecuencias mecánicas, ¿Cuál será el
valor de los demás elementos del circuito eléctrico equivalente? (Sugerencia: tanto
para este problema como para el problema XV, utilice cantidades adimensionales,
recuerde problema No. 6 resuelto).
XVIII) Demostrar que los sistemas siguientes son análogos:
(b)
(a)
XIX) Dibuje el circuito análogo del sistema mecánico de la figura en analogía de
movilidad en analogía de impedancia.
Se supone que las masas están suspendidas en forma que solo es posible el
movimiento horizontal.
G: representa a cualquier generador del tipo que sea.
XX) Encuentre el sistema mecánico que tiene como circuito análogo eléctrico a:
XXI) La figura que muestra el circuito eléctrico, del modelo de Maxwell, que
representa el comportamiento de un sólido es la siguiente. Dibujar la representación
mecánica equivalente.
XXII) En viscoelastididad se representa el comportamiento de algunos materiales por
medio del modelo de Voigt. Del siguiente circuito eléctrico de analogía inversa,
obtenga el modelo mecánico de Voigt.
XXIII) Trace las analogías eléctricas del sistema mecánico rotacional mostrado en la
figura que se acompaña.
(Sugerencia: Los elementos de inercia y fricción de los engranes pueden
despreciarse, además de suponer rígidas las flechas, K Æ (Q WRGR VLVWHPDmecánico donde hay juego de engranes, conjuntos piñón cremallera o juegos de
cremallera deben ser considerados en el circuito eléctrico-análogo como
transformadores).
XXIV) Demostrar que los sistemas siguientes son análogos:
Flecha flexible
N1 : No. De dientes de rueda dentada
N2 : No. de dientes de rueda dentada 2.
(A) Sistema mecánico.
Flecha flexible.
(B) Analogía de mallas. Donde: E(t) ∼ T(t) I(t) ∼ w(t) L ∼ J etc.
Donde: (C) Analogía de nodos. I(t) ∼ T(t) e(t) ∼ w(t) c ∼ J etc. XXV) La figura siguiente muestra el circuito eléctrico equivalente de un sistema
acústico consistente en una serie de resonadores Helmholtz. Encontrar el circuito
eléctrico dual.
Ca
Ra
Ma ←
Ma: Inertancia acústica.
Ca: Capacitancia acústica.
Ra: Resistencia acústica. ANALOGIA DIRECTA
XXVI) Demostrar que el circuito eléctrico dado, es equivalente al sistema mecánico-
acústico, que se acompaña en la figura siguiente.
(a) Sistema mecánico
XXVII) En el filtro acústico de paso alto como el mostrado tiene un circuito eléctrico
equivalente. Encontrar el circuito eléctrico dual.
(A) Filtro Acústico (B) Analogía eléctrica
XXVIII) La figura siguiente muestra el sistema mecánico con el cual se puede
estudiar el cuerpo humano. Encontrar la analogía electrohumana en forma inversa.
Fig. del problema representación
mecánica del cuerpo humano.
XXIX) Para los circuitos eléctricos dados (que representa sistemas acústicos)
encuentre el circuito eléctrico dual.
(B) Analogía Acústica
(A) Sistema Eléctrico
XXX) Un micrófono piezoeléctrico (llamado también micrófono de cristal) es un
micrófono en el que la deformación de una placa piezoeléctrica por la acción de
ondas sonoras o vibraciones mecánicas o presión, genera la tensión de salida entre
lasa caras de la placa. Las placas mas generalmente utilizadas son las cerámicas de
cristales de sal de Rochelle o de titanio de bario. La figura siguiente muestra un
micrófono de este tipo y su analogía eléctrica en la forma directa. Se pide encontrar
el circuito eléctrico dual.
(B) Analogía eléctrica en
(A) Micrófono de cristal forma directa.
Donde: ZD : Impedancia del diafragma.
Zr : Impedancia del resorte.
Zc : Impedancia del cristal.
Zm : Impedancia mecánica del medio confinado.
METODOLOGIA PARA DIAGRAMAS A BLOQUES DE UNA RED ELECTRICA DADA
1º PASO Del circuito eléctrico identificar la F.T. que se desea 2º PASO Con la ley de ohm, establecer las ecuaciones siguientes:
1) Ecuaciones de los voltajes de los nodos.
Z)IV =(
2) Ecuación de la corriente de entrada.
)Z1
V (I =
3) Ecuación de la corriente de salida. 4) Ecuación de las posibles corrientes intermedias. 5) Ver que ninguna ecuación este repetida. Además debe existir tantas
ecuaciones como variables se tengan. 3º PASO Establecer diagramas de bloques que sean equivalentes a las ecuaciones anteriores:
1) Empezar con el elemento mas cercano a la entrada. 2) Seguir con el elemento mas cercanos a la entrada sin considerar el elemento
del inciso anterior. 3) Continuar con el elemento que este mas cercano a la entrada sin considerar
los elementos de los incisos anteriores. 4) Repetir e proceso anterior hasta llegar al elemento de salida.
4º PASO Unir todos los diagramas a bloques encontrados en el paso 3. 5º PASO. Aplicando álgebra de bloques reducir el diagrama a bloques del circuito eléctrico, hasta obtener la forma canónica o bien la Función de Transferencia. A continuación se muestra un problema y su solución aplicando la metodología anterior.
PROBLEMA Obtener la función de transferencia (F.T.) del voltaje de salida respecto al voltaje de entrada de la red eléctrica que se muestra:
SOLUCIÓN: Aplicando la metodología se tiene que: PASO 1: Con la ley de Ohm establecer:
1) Ecuación de voltajes de nodos: En este caso existen dos nodos
)()/1)(()(
)/1)(()(
222
1211
sVSCIsV
SCIIsV
s==−=
2) Ecuación de corrientes de entrada:
En este caso es:
1
101
)()(R
sVsVI
+=
3) Ecuación de corrientes de salida.
En este caso es: 2
12
)()(R
sVsVI s+=
4) No existen corrientes intermedias: no es necesario el paso iv. 5) Existen cinco variables (dos corrientes y tres voltajes) entonces se necesitan
cuatro ecuaciones mínimo.
máximo. ecs trtVtititV s 5))(),(),(),(),(( 1210 → PASO 2;
Hacer diagramas a bloques a ecuaciones, que incluyan a:
1) El elemento mas cercano a la entrada:
El elemento es : R1 la ecuación que lo contiene es:
11
)()(I
R
sVsV i0 =−
El diagrama a bloque es:
2) El elemento mas cercano a la entrada sin considerar R1. El elemento es: C1. La ecuación que lo contiene es:
)()/1)(( 1121 sVSCII =−
El diagrama a bloques es:
3) Elemento mas cercano a la entrada sin considerar a los elementos de los incisos anteriores:
El elemento es: R2. La ecuación que lo contiene es:
221 )/1/())()(( IRsVsV s =−
El diagrama a bloques es:
4) Elemento de salida: en este caso es capacitor C2. La ecuación que lo contiene es: )()()/1( 222 sVsVSCI s ==
El diagrama a bloques es:
PASO 3:
Unir todos los diagramas encontrados en el paso anterior.
PASO 4:
Aplicando álgebra de bloques reducir el diagrama a bloques del circuito eléctrico. Obtener la forma canónica y su F.T. Fasando el punto de toma I2 hacia la derecha:
El primer paso no fue necesario ya que el arreglo es planar. Entre pasos aplicar tanta veces sea posible las formulas 1 y 2 de la tabla III. El segundo paso, es localizar un arreglo que se asemeje a la formula canónica. Lo enmarcado lo indica. Nótese que se paso el punto de toma I2 a la línea: los bloques en serie se multiplican. El tercer paso es, ya localizada la forma canónica, poner la equivalencia de esta en su lugar.
En este caso 1:1
122
1 == H R C S
G
la formula es:
2222
22
11
1
11
)/1(1)/1(
1)(
RSCRSC
RSC
HG
GsG
+=
+=
+=
Entonces sustituyendo la formula canónica se tiene que hacer el arreglo de bloques es de la siguiente forma: Se aplica la metodología “como reducir diagramas a bloques”.
Se repite el paso dos, es decir se localiza una forma canónica, en este caso se obtiene si pasamos el punto de toma V1 hacia la derecha. Entonces queda:
Se recibe el paso tres, es decir, se sustituye la canónica por su equivalente. La canónica se muestra enmarcada en la figura anterior. En este caso
1221 )1(
1SCRSC
G+
=
2SCH = La formula es: 11
1
1)(
HG
GsG
+=
)1(1
)(
))1(/1(1))1(/1(
)(
2212
221
221
RSCSCSCsG
RSCSC
RSCSCsG
++=
+−+=
Entonces sustituyendo el equivalente de la canónica da:
Multiplicando los bloques en serie tendrá origen el siguiente diagrama a bloques:
Forma canónica de la red eléctrica. Resolviendo la canónica anterior, se tiene que:
22211 )1((1
SCRSCSCHG
++= y 221 RSCH +=
la formula es:
22211
22
22211
)1((1
1
)1((/1(1
)(
SCRSCSCR
RSCSCrSCSCR
GH
GsG
++++
++=+
=
221122
22122211
2222211
)1)(1(1
)(
1)1(1
)(
1))1((1
)(
RSCRSCSCRsG
RSCRSCRSCSCRsG
RSCSCRSCSCRsG
+++=
++++=
++++=
1)()(1
)(1122122211 ++++
=RCRCRCSCRRG
sG
Sustituyendo la canónica por su equivalente:
En ocasiones conviene representar la reducción de bloques en un solo bloque, por dentro del bloque se ordena en su forma descendente el polinomio de “s”. O sea:
Finalmente:
122211 )1)(1(1
)()(
RSCRSCRSCsV
sV
e
S
+++=
o también:
1)()(1
)()(
1222112211
2
++++=
RCRCRCSRCRCs
sV
sV
e
S
PROBLEMA Obtenga la F.T = QO(s)/Qi(s) del sistema hidráulico dado.
Fig. Sistema Hidráulico. C: representa la capacidad del tanque. h(t): representa la altura del liquido que varía con el tiempo. R: representa la oposición de la válvula (que tan abierta o cerrada este) al paso del flujo. q(t): representa al flujo.
SOLUCION
Las ecuaciones del sistema: )2.........(....................
)()(
)1.....().........()()(
0
0
R
sHsQ
sSCHsQsQi
=
+=
3 variables: )()(),(0 thy tq tq i con tres ecuaciones máximas y dos como mínimas Nótese la semejanza con la ley de ohm.
Considere voltaje análogo a altura H así R
HQ
R
Vi =↔=
Considere corriente análogo a el flujo Q Considere el tanque análogo a un capacitor Corriente en un capacitor es SCV, entonces su análogo es SHC. De ahí, ver Ec (2), el flujo que entra es igual a la que sale aunada a la que posee el tanque “análogo” Ley de Corriente de Kirchhoff. Ecuación :
)()()(
sHSC
sQsQ ti =−
Diagramas a bloques
)()(
0 sQR
sH =
Finalmente:
Multiplicando bloques en serie
Nótese que este diagrama a bloques es idéntico al problema anterior con
ello se comprueba que el sistema hidráulico es análogo al sistema
eléctrico.
Resolviendo el diagrama a bloques anterior, formula canónica, vemos
que:
1
1
)1(1
1
11
+=
+
=+
⇒==SCR
SCR
SCRGH1
G 1H
SCRG
SCRsQ
sQ
i +=
1
1
)(
)(0
PROBLEMA Un motor de c.d. (corriente directa) se muestra esquemáticamente en el diagrama que sigue. L y R representan la inductancia y la resistencia del circuito del inducido del motor y le voltaje Vb representan la fem (fuerza electromotriz) qu es proporcional a la velocidad del eje d/dt. El torque T generado por el motor es proporcional a la corriente en le inducido i. La inercia J representa la inercia combinada del inducido y la carga, y B es la fricción viscosa que actúa sobre el eje de salida. Determinar la función de transferencia entre el voltaje de entrada V y la posición angular del eje de salida.
Circuito del inducido Carga.
Fig. Diagrama esquemático del motor c-c
SOLUCIÓN
Se desea la F.T. ?)(
)( =sV
s θ
La ecuación del sistema son:
)1...().........()()( ssKsVdt
dKtV fbfb θθ =→=
Del circuito:
)2(..........).........()()(
sIRSL
sVtV b =+
−
Cuatro variables: )(),(),(),( tT tV ti tV b Mínimo 3 ecuaciones, máximo 9. El diagrama a bloque es: )()( ssKsV fb θ=
Ecuación
Diagrama a bloques
)()()(
sIRSL
sVsV b =+
−
)()( 2 s BJ
KtsI
SS
θ=+
=
El diagrama a bloques es:
Aplicando álgebra de bloques:
Aplicando canónica : sKfH BJRSL
KtG
SS
=++
=))(( 2
))(()(
))((1
))((2
2
2
SSft
SS
SS
BJRSLsKK
Kt
sKfBJRSL
Kt
BJRSL
Kt
GH1
G
+++=
++
+
++=+
)(sV
(s) θ⇒
En bloques:
También es costumbre representar la F.T. como un polinomio decreciente en el denominador, entonces:
JL
KKs
LJ
RBs
J
Bs
L
Rss
JLKt
sV
(s)
JLsKKL
Rss
J
Bs
JLKt
JL
JLsKKBJSLR
Kt
sV
(s)
tf
tf
ftSS
+++=
+
+
+
⇒
⇒
++=
222
2
2
/
)(
/
/
1
1
))(()(
θ
θ
Factorizando y agrupando:
++
++
=
JL
KK
LJ
RB
J
B
L
Rsss
JLKt
sV
(s)
tf0
/
)( 2
θ
En forma de bloque:
Nota: Para analizar sistemas se parte de la F.T. (Función de Transferencia) y se despeja la salida en función de la entrada. A continuación se propone una entrada adecuada a el análisis deseado y se obtiene la anti-transformada o transformada inversa de Laplace. Por ello es necesario usar formulas.
Se puede ver una parte en el apéndice. En vista de lo cual la F.T.
obtenida anteriormente debe factorizarse, a una forma parecida a:
))(( bsass
K
++
Donde a y b son constantes. En caso de a y b sean imaginarios, no se factoriza y entonces queda:
2)(/21( wswss
K
+++
PROBLEMA La fem inversa generada por el circuito del inducido de una maquina de c-c es proporcional a la velocidad angular de su eje, recordar problema procedente. Este principio se utiliza en el tacómetro de c.d. que se muestra esquemáticamente en la figura adyacente, donde Vb es el voltaje generado por el inducido, L es la inductancia del inducido, Ra es la resistencia del inducido y V0 es el voltaje de salida . si Kt es una constante de proporcionalidad entre Vb y la velocidad del eje d/dt, es decir, Vb = Kt (d/dt). Determinar la F.T. entre la posición del eje y el voltaje de salida V0. La carga se representa a la salida por una resistencia RL.
Fig. Principio del tacómetro.
SOLUCIÓN.
Se pide F.T. = ?)()(0 =
s
sV
Ecuaciones del sistema :
4 variables : )(),( tV i(t), (t), tV 0b Mínimo 3 ecuaciones Máximo 3 ecuaciones.
Diagrama a bloques es:
Aplicando álgebra de bloques : * Reducción de bloques en serie:
[ ] )3......(..........).........()(
)2.(..........).........()()(
)1()(
0
0
sVRLsI
sISLR
sVsV
..............(s)....... sKfsV
a
b
b
=
=+−= θ
*Reducción de forma canónica:
SLRRL
RL
SLR
RL
SLRL
RL
GH1
G
1H SLR
RLG
a
a
++=
+
+
+=+
=+
=
)1(1
;
1
11
* Reducción de bloques en serie:
factorizando, dividiendo numerador y denominador por Ra + Rb se tiene :
[ ]
SRR
RR
KfRS
(s)
sV
ba
ba
b
+
+
+=1
1
)(0
θ si
ba RR
La
+= y
ba
a
RR
KfRb
+=
Entonces:
+=
sa
Sbs
V
1)(0
θ
PROBLEMA Una ecuación diferencial que aproxima la dinámica rotacional de un vehículo rigido que se mueve en la atmósfera es el siguiente:
TNLdt
dJ =− θ2
2
Donde es el ángulo de posición del vehículo J es su inercia, N es el coeficiente de la fuerza normal, L es la distancia del centro de gravedad al centro de presión, y T es cualquier torque aplicado. Determinar la F.T. entre un torque que se aplica y el ángulo de posición del vehículo.
Fig. Cuerpo rígido moviéndose en la atmósfera terrestre.
SOLUCIÓN.
TNLdt
dJ =− θθ
2
2
2 variables: )(),( tT t θ
En Laplace Máximo 2 ecuaciones. TNLJs =−θ2 Mínimo 1 ecuación .
En bloques:
Pero: JNLs
J
NLJsT //11
22 −=
−=θ
Nótese como al variar la salida afecta el contenido del bloque.
PROBLEMA Un acelerómetro mecánico simple se muestra en la figura siguiente. La posición “y” de la masa “M” con respecto a la caja del acelerómetro es proporcional a la aceleración de la caja. ¿Cuál es la F.T. (Función de Transferencia) entre la aceración “A” de entrada (a = d2 x/ dt2 ) y la salida “y” ? sugerencia igualando la suma de las fuerzas que actúan sobre la masa M a la aceleración de esta, se tiene que: -B(dy / dt) –Ky = M (d2 x/ dt2 ) (y-x)
Fig. Acelerómetro mecánico simple.
SOLUCIÓN
;2
2
2
2
2
2
Maytd
dMx
td
dMy
td
dMKy
dt
dyB −=−=−− ya que ax
td
d =2
2
En Laplace:
MAyMsKyBsy −=−− 2 Arreglando:
[ ]KBsMsYKyBsyyMsMA ++=+++ 22 En forma de bloque:
)/()/(1
22 MKMBssKBsMs
M
A
y
++=
++=∴
PROBLEMA Sea el siguiente sistema hidráulico que se puede ver en la figura siguiente. En este sistema los dos tanques interactúan entre si, es decir existe efecto de carga ya que parte del liquido del segundo tanque se combina con el liquido del primero. De ahí que la F.T. no puede ser producción de las F.T. parciales . La F.T. que se pide es
)(/)(2 sQsQ
Fig . Sistema de nivel de liquido interactuados.
SOLUCIÓN.
Las ecuaciones son:
2222
22
2212221
1
121
1
211
11111
/)4(..............................)(
)(
)3....().........()()(
)2........(..........)()(
)(
)1.......().........()()(
RViR
sHsQ
SCViisHSCsQsQ
R
VVi
R
sHsHsQ
SCViisHSCsQsQ
=⇔=
+=⇔+=
−=⇔−=
+=⇔+=
Nótese la semejanza con la Ley de Ohm. RVi /= Considere voltaje análogo a la altura H(s) Considere corriente análogo a flujo Q(s) Considere al tanque análogo en capacitor Aplicando la metodología: PASO 1. La F.T. deseada es )(/)(2 sQsQ PASO 4. Son las ecuaciones anteriores (i), (ii), (iii) y (iv) PASO 3. Hacer diagramas a bloques para las ecuaciones anteriores.
1) El elemento más cercano a la entrada es tanque ⇒1C
H(s) V
rcondensado o valvula RR
sQi
⇔⇔
⇔ )(
⇒=−⇒+= )()()(
)()()( 11
1111 sH
SC
sQsQsHSCsQsQ
2) El elemento que sigue es 1R (válvula)
⇒=+⇔−= )()()()()(
)( 1211
211 sHsHsQ
R
sHsHsQ
3) El elemento que sigue es tanque 2C .
⇒=−)(
)()(2
2
21 sHSC
sQsQ
4) El elemento de salida, es válvula 2R .
⇒=2
22
)()(
RsH
sQ
PASO 4. Unir diagramas a bloques:
PASO 5. Aplicar álgebra de bloques:
Donde :
1
1
SCB
A
==
1
1
RD
C
==
2
1
SCF
E
==
2
1
RH
G
==
Sustituyendo valores:
O también:
Note 5 variables: )(),(),(),(),( tq th tq th tq 2211 Máximo 5 ecuaciones. Mínimo 4 ecuaciones. Finalmente :
[ ] [ ]
[ ] 11
111
)()(
2122112112
221121
2
++++
⇒+++
=
RCCRCRSCCRS
RSCRSCRSCsQ
sQ
Nota
Al comparar el diagrama a bloques del sistema hidráulico con el
diagrama a bloques del sistema eléctrico del problema se observa que
ambos sistemas a bloques son análogos, de ahí que tanto el sistema
eléctrico como el hidráulico son análogos entre sí.
Así para analizar el sistema hidráulico se recurre a su equivalente eléctrico, donde Q(s) es análogo a Ve(s), Q2(s) es análogo a Vs(s), es decir el flujo de agua se comporta cualitativamente como la hace el voltaje. En el sistema hidráulico el liquido que fluye puede ser agua, aceite, etc. Dos sistemas físicos son análogos entre si cuando sus diagramas a bloques son idénticos (sus F.T. son idénticas).
PROBLEMA El vibrómetro es un aparto que nos sirve para medir vibraciones, así en la figura siguiente se muestra el equivalente eléctrico del vibrómetro mecánico mas sencillo que puede existir. Encontrar de la analogía eléctrica la relación Vc (s) / E (s).
Fig. Vibrómetro mecánico simple y su analogía.
SOLUCIÓN
Aplicando metodología : PASO 1. se desea la F.T. = )(/)( sEsVC PASO 2.
1) Ecuación nodo de salida: )/1)(()( scsIsVC =
2) Ecuación corriente de entrada: )()()(
sISR
sVsE C =+−
3 variables: )(),( tV i(t), tp C Máximo 3 ecuaciones Mínimo 2 ecuaciones. Necesarias para diagrama a bloques.
PASO 3 * El elemento es una combinación de “R” y “L”
La ecuación es : )()()(
sISLR
sVsE C =+−
En forma de bloque:
*El elemento de salida es “c” La ecuación es: )()/1)(( sVSCsI C= En forma de bloque:
PASO 4. el diagrama a bloques es:
PASO 5. aplicando formula canónica:
[ ] ∴=+
= 1H SLRSC
G ;1
[ ]
[ ][ ] )(
)(1
11
11
1
1
1 2 sE
sV
SCRLCSSLRSCSLRSC
SLRSCGH
G c=++
=++
=
++
+=+
En forma de bloques:
O también:
Otra forma de resolver es: Si SLRz +=1 y SCz /12 = entonces:
Aplicando divisor de voltaje:
21
2
21
2
)()(
)()(ZZ
Z
sE
sV
ZZ
ZsEsV C
C +=⇒
+=
En bloque:
Sustituyendo valores:
[ ]SLRSCSLRSC
SCsE
sVC
++=
++=
11
1
1
)()(
Nótese que por ambos métodos da el mismo resultado.
PROBLEMA En diagramas a bloques es común encontrar arreglos de este tipo mostrado a continuación. Así, que encontrar el bloque equivalente. Así se crean formulas, para utilizarse en reducción de bloques.
Fig. Arreglo de bloques común.
SOLUCIÓN
Pasando punto de toma “II” hacia delante, queda:
Forma canónica donde: 1H FH
EGG == ;
FHEG
EG
FH
EGFH
EG
GH
G
+=
+=
+ )1(11
Pasando punto de toma “I” hacia delante, nos da:
Donde [ ]FHEGD
CEGG
+=
Sustituyendo equivalente de la canónica:
[ ]
[ ]
[ ]
[ ][ ] FHEGQ´ BCEHFHEGBDAC
ACEG
sR
sC
BCEHBDQACQ
ACEG
EG
FHEG
BCEHFHEGBD
ACEGBCEHFHEGED
ACEG
GH
G
EG
FHEGH
CEHFHEGD
CEG
G
AG
+=+++
=∴
++=
+
+++
++=+
+=
++
=
)()(
´´1
1
En bloque:
PROBLEMA
Encuentre la función de transferencia (F.T.) del circuito eléctrico
mostrado. Nótese que consta de dos secciones RC acopladas mediante
un amplificador de ganancia K.
El amplificador tiene características casi ideales ya que la impedancia de entrada tiende a infinito y la impedancia de salida tiende a cero. Debido a las características del amplificador la sección R2C2 no hace el efecto de carga a la primera R1C1. Obtenga el diagrama a bloques del circuito que no caracteriza por ausencia de efecto de carga y observe las diferencias con los diagramas a bloques de los problemas y la F.T. deseada es E0(s) / Ei(s).
Fig. Mostrando eléctricamente la no existencia de efecto de carga.
SOLUCIÓN
Aplicando metodología: PASO 1. Se desea F.T. = E0(s) / Ei(s). PASO 2. 1)
)()(
1)()(
1)(
12
220
111
sKVsV
Cs
sIsE
Cs
IsV
=
=
=
2) 1
111
)()()(
R
sVsEsI
−=
3) 2
022
)()()(
R
sEsVsI
−=
4) No es necesario. 5) Número de variables = Número de ecuaciones. ( V,E ,VIIE 201211 ,,, ) = 6
6 Ecuaciones máximo. 5 Ecuaciones mínimo. PASO 3. ELEMENTO ECUACIÓN DIAGRAMA A BLOQUES.
1) Es (s)IR
sEsER 1
i =−⇒1
01
)()(
2) Es (s)VSC
1(s)IC 1
111 =
⇒
3) Es amplificador (s)V(s)KV 21 =⇒
4) Es (s)IR
(s)E-(s)VR 2
022 =⇒
2
5) Es (s)ESC
1(s)IC 0
222 =
⇒
Nótese que aplicando la metodología el diagrama a bloques queda en forma parecida a una “escalera continua” inclinada, y además va el diagrama de una ecuación a continuación del diagrama de otra ecuación, es decir los diagramas a bloques dan hilados.
PASO 4.
PASO 5. Note que son dos canónicas. 1ª Canónica 2ª Canónica
11
1RSC
G = 22
1RSC
G =
11 =H 12 =H
Sustituyendo:
)1)(1()(
)(
2211
0
RSCRSC
K
sE
sE
i ++=
El sistema ilustrado mediante la inserción del amplificador aislador entre circuitos para obtener características sin carga, es utilizada frecuentemente al combinar circuitos eléctricos. Otra forma de resolverlo es: Debido a que no existe efecto de carga la F.T. será el producto de las F.T. individuales.
P/ 1º Sección )()(
11
..1
1
11 sE
sV
RSCTFRC =
+=→
P/ Amplificador )()(
..1
2
sV
sVKTF ==→ Ver que da mismo resultado
P/ 2º Sección )()(
11
..2
0
11 sV
sE
RSCTFRC =
+=→
)1)(1(1
)()(
11
11
)()(
)()(
)()(
)()(
2211
0
1122
1
2
2
2
00
RSCRSCsE
sE
RSCK
RSCsE
sV
sV
sV
sV
sE
sE
sE
i
ii
++=∴
++==
PROBLEMA La figura siguiente muestra una red hidráulica, en donde el liquido cae al
tanque 1 y después al tanque 2, este sistema hidráulico es la analogía
del problema anterior, aquí la amplificación es unitaria, para tener una
amplificación mayor de la unidad ¿qué se le ocurre al lector adicionar al
sistema hidráulico?
Se pide encontrar el diagrama a bloques del sistema y compararlo con el diagrama del problema precedente. La F.T deseada es Q0´´ (s) / Q1´(s).
Fig. Analogía Hidráulica donde se muestra la no existencia del efecto de carga.
SOLUCIÓN
Las ecuaciones del sistema son:
1) 2
20
)()´´(
R
sHsQ RVi /=≈
2) 1
10
)()´(
R
sHsQ RVi /=≈
3) )()´()´( 1101 sHSCsQsQ +=
4) )()´´()( 2200 sHSCsQsQ += Ley de Kirchhoff de corrientes. Aplicando metodología:
PASO 1. )()´´(
..1
0
sq
sQTF =
PASO 2. )()()(
sHSC
sQsQ ti =− Las ecuaciones son las (I), (II), (III) y (IV) anteriores.
PASO 3. Diagrama a bloques para:
1) ⇔=−)(
)()(., 1
1
011 sH
SC
sQsQEcC
2) ⇔=⇔ )()(
. 01
11 sQ
R
sHEcR
3) ⇔=−⇔ )()()(
. 22
002 sH
SC
sQsQEcC
4) ⇔=⇔ )()(
. 02
22 sQ
R
sHEcR
Nótese esa especie de “escalera escalonada” debida a los diagramas a bloques y a las ecuaciones. 5 variables: 5 ecuaciones máximo. 4 ecuaciones mínimo. PASO 4. Diagrama a bloques es:
PASO 5. Álgebra a bloques:
Obsérvese que se forman dos canónicas en serie:
La 1ª Canónica La 2ª Canónica
1
1SC
G = 22
1RSC
G =
11 =H 12 =H
1111
1
11
1 RSCHG
G
+=
+
2222
2
11
1 RSCHG
G
+=
+
Sustituyendo equivalentes:
)1)(1(1
)()´´(
22111
0
RSCRSCsQ
sQ++
=∴
La no existencia de carga físicamente representa que está “idealmente acoplado”, es decir , existe un aprovechamiento al máximo “hablando sobre circuitos hidráulicos”. Así, el liquido del 1er tanque se transmite íntegramente al 2º tanque, ver figura, cuando no existe efecto de carga. Note K = 1, para K > 1 se necesitaría otro tanque que transmitiera en forma constante. El liquido del primer tanque se transmite una parte al segundo tanque y otra parte se combina con el liquido del segundo tanque, ver figura, cuando existe efecto de carga. “Hablando sobre circuitos eléctricos” todo el voltaje se amplifica “K” veces y se aplica a la segunda sección RC, ver figura, cuando no existe efecto de carga . notar que prob. y prob. tienen el mismo diagrama a bloque o misma F.T. ambos sistemas son análogos.
Cuando existe efecto de carga , ver fig , el elemento, G, común a ambas vallas está sujeto a una interacción o combinación de corrientes.
OTRO MÉTODO DE SOLUCIONAR PROBLEMA
*Cuando no existe efecto de carga, siempre se cumple que la F.T. total es igual al producto de las F.T individuales, es decir:
F.T. 1º Tanque 111
0
11
)´()´(
RSCsQ
sQ
+=
F.T. 2º Tanque 111
0
11
)´´()´´(
RSCsQ
sQ
+=
+
+
==∴22111
0
1
0
1
0
1
1
1
1
)´(
)´(
)´(
)´(
)´(
)´(
RSC
RSCsQ
sQ
sQ
sQ
sQ
sQ
Note K = 1
Obsérvese que da mismo resultado.
PROBLEMA. Demuestra la forma canónica, es decir partiendo de la froma canónica obtenga su equivalente.
Fig. Forma canónica ( canónica = “la más simple”)
SOLUCIÓN
La figura anterior muestra un sistema con retro alimentación no unitaria.
Del sistema anterior, es obvio que:
(C) B(s) H(s) C(s)
(B) C(s)G(s) E(s)
(A) EsBsR
===±± )()(
Se pide encontrar ?)(/)( =sRsC Sustituyendo (C) en (A) [ ] )()()()()()()( DsCsHsRsBsRsaE −−+ +=+−=⇒
Sustituyendo (D) en (B) [ ]
)()()()()()(
)()()()()()()(
sCsHsGsRsEsC
sCsHsRsGsGsEsC
+±=
+±==⇒−
−
[ ])()(1)()()()()()()( sHsGsCsRsGsGsHsCsC ±±=±=±
)()(1)(
)()(
sHsG
SG
sR
sC
±±=∴ l.q.q.d.
Para el caso:
Notar que el signo de R(s) solo afecta al numerador.
PROBLEMA. El principio de superpoción puede aplicarse a sistema lineales como son los diagramas a bloques. Del sistema de laso cerrado sometido a una perturbación encuentre:
a) La respuesta considerando solo la perturbación.
b) La respuesta no considerando la perturbación. c) La respuesta debida a perturbación y a la entrada.
Fig. Sistema lineal (Diagrama a bloques) sometido a una perturbación.
SOLUCIÓN
)()( 1 SC C Considerando solo la perturbación.
?)(0)(
=⇒=sR
sC
Se vuelve a escribir el diagrama, considerando a R(s) = 0 (se anula).
Note el cambio y ver que conserva signo.
Acomodando:
En vez del bloque –1, se podría poner –H(s) o –G(s).
Resolviendo forma canónica.
)(1 sGG = )()(1 sHsGH =
)()()(1)(
))()()((1)(
)()(
1 21
2
12
2
sHsGsG
sG
sHsGsG
sG
sN
sC
GH
G
+=
−−==
−∴
En bloque:
)()()()(1
)()(
)()()(1)(
)()(
21
20)(
21
2 sNsHsGsG
sGsC
sHsGsGsG
sNsC
sR +=⇒
+=
=
?)()(0)(
==SN
sC b con N(s) = 0
Rescribiendo el diagrama a bloques:
Note cambio de:
Cuando es positivo el signo se puede omitir bloque de +1, es decir:
Cuando es negativo el signo, se puede omitir el bloque de –1, basta solo con poner signo negativo al bloque adyacente cuando es posible. Resolviendo canónica : sHH & sGsGG )()()( 21 ==
)()(
11 21
21
sR
sC
HGG
GG
GH
G =+
=+
En bloque:
Despejando:
)()()()(1
)()()(
21
210)(
sRsHsGsG
sGsGsC
SN +=
=
La respuesta debida tanto a N(s) como R(s) es la respuesta total y por principio de superposición (ver apéndice “C” volumen 2) será la suma de respuestas individuales. Así:
)()()()(1
)()()()()(1
)()()()(
21
21
21
21
0)(
)(0)( sR
sHsGsG
sGsG
sHsGsG
sGsG sCsC
SR
SC SN +
++
===
+=
Factorizando:
( ))()()()()()(1
)()()( 1
21
21 sGsRsNsHsGsG
sGsGsC +
+=
PROBLEMA
Determinar, (a) la función de transferencia de lazo, (b) la razón de control, (c) la razón de error, (d) la razón de retroalimentación primaria, y (e) la ecuación característica para el sistema de control por retroalimentación y para lazo abierto, de la figura que se ilustra considera K1 y a K2 como constante.
Fig. Forma canónica.
SOLUCIÓN
De la forma canónica, se definen: )1( GH± = Ecuación característica *es el denominador de la F.t. igualado a cero. G = Función de transferencia directa ≡ F.T. hacia delante. H = Función de transferencia de retroalimentación. GH = Función de transferencia de lazo abierto o simplemente lazo. C / R = Función de transferencia de lazo cerrado ≡ razón de control.
E / R = Razón de error razón de señal impulsora ≡ GH=11
.
B / R = Razón de retroalimentación primaria ≡ HC
R
GH
GH =−1
Entonces:
a) DS
KKGHSK
DSS
KGH
+=⇒
+
= 212
1 )()(
b) [ ]21
1
21
1
21
1
/
)(1
)(1 KKDSS
K
R
C
KKDS
SK
DSS
SKKDSS
K
GH
G
R
G
−+=⇒
−+=
+−
+=−
=
c) 21211
11
1KKDS
DS
R
E
DS
KKGHR
E
−++=⇒
+−
=−
=
d) [ ] 21
21
21
21
KKDS
KK
R
B
KKDSS
SKK
R
B
−+=⇒
−+=
Lazo abierto es: 0=+ DS ; Lazo cerrado es: [ ] 021
2 =−+ KKDSS
PROBLEMA
Determinar la salida del diagrama de bloque debida a la acción de tres entradas simultaneas.
Fig. Sistemas sometido a una entrada y dos perturbaciones simultáneamente.
SOLUCIÓN
Empleando teorema de Superposición.
*Si ⇒== )(0)( 21 sNsN
Como son ←→+$ con signo “+” se puede o no agregar el bloque de
De ahí, que:
Se forma una canónica Donde G = G1 G2 H = H1 H2
2121
21
2
1
2121
21
2
1
1)(
0
0)(
10
0
)()(
1 HHGG
sRGGN
NsC
GGHH
GGN
N
sR
sC
GH
G
+=
==
⇒+
===
=+
∴
(CS) Es la salida del diagrama a bloques cuando solo existe la entrada R(s), es decir las perturbaciones N1 y N2 . Han sido anuladas. (ver teorema de superposición) . * Si N1(s) = 0 = R(s)
Acomodando y viendo que ←→+$ ⇔ no es
necesario.
Entonces:
Se forma una canónica: G(s) es la salida del sistema debida solamente a la acción de la perturbación N(s). * Si R(s) = 0 = N2 ⇔
Cambiando por su equivalente y acomodando.
Nótese que en diagrama a bloques multiplicar por un bloque de valor unitario no afecta. Resolviendo la canónica G = G2
H = G1H1H2
G(s) Es la salida que provoca la acción de únicamente la perturbación N1(s). Según teorema de superposición, la respuesta total es la suma de las salidas parciales:
2121
21
2121
11
2121
2121
0
0
0
0
0
0
1)(
1)(
1)(
)(
)()()()( 1
221
HHGG
sRGG
HHGG
sNG
HHGG
sNHGGsC
sCsCsCsC
T
N
N
R
N
R
NT
−+
−+
−=
++= =
=
=
=
=
=
Nótese que las salidas parciales tienen el mismo denominador, esto siempre pasa y sirve como “guía” para ver si el en desarrollo “vamos bien”. Del problema
)()()(1
)( 211112121
2 sNHGsRGsNHHGG
GsCT ++
−=∴
PROBLEMA
Encontrar las salidas C1 y C2 del arreglo de bloque no planar que se muestra a continuación.
Fig. Arreglo no planar de bloque.
SOLUCIÓN
Cálculo de C1 Aplicando teorema de Superposición:
0
00
0)(
)()(
2
2
2
1
1
11
==
==
+=
C
RC
RsC
sCsC
Si R1 = 0 = C2 ⇒
Acomodando:
Resolviendo la canónica G = -G1G3G4 H = G2
2431
431
1
22
1 )(10
0)()(
1GGGG
GGG
R
CsR
sC
GH
G−+−=
===
+
)(1
0
0)( 22431
431
1
21
sRGGGG
GGG
R
CsC −−=
==∴
Si R2 = C2 ⇒
Acomodando:
El bloque punteado de “-1” puede cambiar el signo al comparador, es decir:
Se forma una canónica: G = G1 H = G1G3 G4
⇒−
−=
−==
1432
431
1
21
1 )(110)(
0)()(
)(GGGG
GGG
GH
G
sR
sCsR
sC
⇒−
=
==
2431
11
1
21 1)(
0)(
0)()(GGGG
sRG
sR
sCsC
2431
2431
2431
111 1
)(1
)()(
GGGG
sRGGG
GGGG
sRGsC
−−+
−=
Nótese que tiene las respuestas parciales el mismo denominador; se tiene finalmente:
))()((1
)( 43212431
11 GGsRsR
GGGG
GsC −
−
Calculo de C2; *Aplicando teorema de superposición:
0
00
0)(
)()(
1
2
1
1
2
22
==
==
+=
C
RC
RsC
sCsC
Si R1 = 0 = C1 ⇒
Acomodando e intercambiando por se tiene:
Multiplicando la parte punteada por –1
Resolviendo la canónica : G = G4
H = G1 G2 G3
4321
4
1
12
4321
4
1
12
2 1)(
0
0)(
110
0)()(
GGGG
sRG
C
RsC
GGGG
G
GH
G
C
RsR
sC−
=
==∴
−=−
=
==
Si R2 = C1 ⇒
Acomodando:
Nótese que ahí no puede el –1 ser multiplicado por el comparador.
Resolviendo forma canónica: G = -G1 G2 G4 H = G3
3421
1421
1
12
3421
421
1
11
2 1)(
0
0)(
)(110
0)()(
GGGG
sRGGG
R
CsC
GGGG
GGG
GH
G
R
CsR
sC−
−=
==⇒
−+−
=+
=
==
Finalmente:
4321
1421
2431
411 1
)(1
)()(
GGGG
sRGGG
GGGG
GsRsC
−−+
−=
))()((1
)( 21124321
41 GGsRsR
GGGG
GsC −
−=
PROBLEMA
La siguiente igualdad muestra como se puede quitar un cero a un bloque. Muestre claramente la equivalencia de la formula:
Fig. Formula de diagrama a bloques para quitar un cero a un bloque.
Solución: Pariendo el diagrama a lazo abierto.
BS
AS
sR
sC
++=
)()(
Sumando +B y restando –B
)(1)(
1)()(
sCBS
BAsR
BS
BA
BS
BA
CS
BS
BS
BBAS
sR
sC
=
+−+∴
+−+=
+−+
++=
+−++=
Haciendo diagrama a bloques de la ultima ecuación:
)()()(1)( sCBS
BAsRsR
BS
BAsR =
+−+=
+−+
⇔+−
BS
BA sR )(
⇔++−
)()( sRBS
BA sR
Finalmente:
PROBLEMA
Transforme el bloque mostrado a un sistema de lazo cerrado con retroalimentación no unitaria de dos maneras distintas. También a un sistema de lazo cerrado con retroalimentación unitaria.
Fig. Bloque simple.
Solución:
ASsR
sC
+= 1
)()(
Dividiendo numerador y denominador por A
1
/1)()(
+=
A
SA
sR
sC Comparando con
=
+ R
C
GH
G
1 Se ve que
SH
AG
== /1
Entonces:
⇔+
→ sCAS
sR )(1
)(
Sistema de Lazo cerrado con retroalimentación no unitaria.
l.q.q.d.
Otro método:
Haciendo diagrama a bloques de esta ultima ecuación.
Sistema de lazo cerrado con retroalimentación diferente de 1.
Para hacer:
Con retroalimentación unitaria y lazo cerrado.
Partiremos de los dos resultados anteriores y aplicamos la formula:
Así:
Donde SG
AG
==
2
1 /1
Sistema de Lazo cerrado con retroalimentación unitaria. l.q.q.d.
De igual forma:
donde AG
SG
==
2
1 /1
Sistema de lazo cerrado con Retroalimentación desigual a 1
PROBLEMA
Reducir a la forma más simple el siguiente diagrama a bloques.
Fig. Diagrama a bloques con tres comparadores, uno de los cuales tiene tres entradas.
SOLUCIÓN
Primero descomponemos.
Este comparador con tres entradas, con formula #2 de tabla II.
Pasando punto de toma I hacia delante se forma una canónica, donde G = G2 G3 y H = H2
⇒+
=+ 231
32
11 HGG
GG
GH
G
Sustituyendo:
Pasando el comparador mas cercano a la entrada hacia delante ( y aplicando Formula #7 de tabla II)
Para simplificar es necesario usar la formula siguiente:
Entonces:
Sustituyendo:
Aplicando formula #5 de la tabla II.
Multiplicando con dos bloques que están en serie.
Resolviendo la formula canónica:
112232
32
13
1
232
32
232
31
13
1
232
32
)1(11
)1(1
1
1
1)1(
1
HGGHGG
GG
GH
G
G G
H
HGG
GG
HGG
GG
GH
G
GG
HH
HGG
GGG
+−+=
+
+
+
+
+=+
+−=
+=
Sustituyendo:
Aplicando formula #5 de tabla II se reduce a:
PROBLEMA
La F.T. es razón entre la salida y la entrada en forma simplificada, pues
bien: el denominador de la F.T. igualando a cero es conocido como la
ecuación característica. Dicha ecuación se utiliza en el criterio Routh. El
criterio de Routh nos permite determinar el número de raíces reales sin
resolver la ecuación característica son todas reales positivas.
Reducir el siguiente diagrama a bloques a la forma de lazo cerrado con
retroalimentación unitaria. Además encontrar la ecuación característica
del sistema (a) para lazo abierto y (b) para lazo cerrado.
Fig. Diagrama a bloques con comparador cuyas entradas son negativas.
SOLUCION
Aplicando la formula #12 de la tabla II se tiene que:
F.T. (lazo abierto) = ⇒++
+=)1)(3(
))(2(SS
KSGH Ecuación característica es:
0)1)(3( =++ SS
F.T. (lazo cerrado) )2()1)(3(
)1)(2(
132
1
32
1 ++++++−−=
+
++
++−
=+−
SKSS
SS
S
K
S
SS
S
GH
G
⇒ Ecuación característica es: 0)2()1)(3( =++++ SKSS
PROBLEMA Demuestre la 3ª formula de la tabla II.
Fig. Formula (Elementos o bloques intercambiándose con un punto de toma).
SOLUCION
Es necesario aclarar que: El criterio para demostrar una formula de diagramas a bloques o para “inventarla” es comparar la formula simplificada con su equivalente y comprobar que las salidas y entradas de ambas son idénticas. Así para demostrar la formula siguiente solo basta con comprobar que tanto la salida como la entrada del diagrama a bloques como de su simplificación sean iguales.
Ecuaciones. Ecuaciones.
21121
111
GGRGCC
GRC
===
2211
111
CGGR
CGR
==
Nótese que las ecuaciones de ambos diagramas a bloques son iguales,
entonces dicha equivalencia es valida.
PROBLEMA
Demuestre las dos primeras formulas de la tabla III Solución: 1ª Formula
DEMOSTRACION Sean dos bloques en serie:
La F.T. del 1º bloque es: 1GR
Z =
La F.T. del 2º bloque es: 2GZ
C =
Multiplicando ambas F.T.´s:
Se tiene : 21GGR
C
Z
C
R
Z ==
En bloque:
Es obvio que las F.T.´s individuales multiplicadas entres si es igual a la F.T. total combinada. Para “n” bloques en serie también se cumple:
n21 GY
C ; G
W
Y ; G
Z
W G
R
Z ==== 3;
nn21 GR
C
Y
C
W
Y
Z
W
R
ZGGGG ==
=
1.........3
l.q.q.d
2º Formula.
].........[
.......
n21
n21
GGGRC
RGGRRGC
+++=+++=
).....( n21
n21
GGGRC
RGGRRGC
+++=++=
Como ambas ecuaciones son iguales esta demostrado.
PREGUNTAS COMPLEMENTARIAS
1) De una nomenclatura de varios autores sobre como representar al
comparador.
2) Investigue cuantas señales como máximo admite de entrada un comparador. 3) Como se imagina el lector que es físicamente un comparador sumador o
punto sumador? 4) En diagrama a bloques se vieron las analogías de un capacitor, resistor, fem,
¿Cuál será el análogo hidráulico del un inductor? 5) Como los diagramas a bloques representan a sistemas lineales, es valido
aplicar el teorema de superposición de los mismos. Enuncie este teorema. 6) Como se imagina el lector un multiplicador o un bloque físicamente? 7) Indique el diagrama a bloques de un servomotor, aerovogenerador. Además
el diagrama a bloques de un sistema de control retroalimentado típico. 8) Indique los detectores de error más comunes, es decir, indique comparadores
en forma física. 9) Muestre el diagrama a bloques de : a) una T.V., b) un Transmisor, c) Un
radiorreceptor, d) Un servomecanismo de posición. 10) De el análogo térmico del resistor, inductor, capacitor, fuerza electromotriz. 11) Muestre el diagrama a bloques de un sistema de control de velocidad de un
motor. 12) De acuerdo a su acción de control se pueden clasificar los controles
automáticos industriales en: a) Controles de dos posiciones. b) Controles proporcionales. c) Controles integrales. d) Controles proporcionales e integrales. e) Controles proporcionales y derivativos. f) Controles proporcionales y derivativos e integrales.
Muestre mediante diagramas a bloques los controles anteriores.
13) Mostrar físicamente los controles del inciso XII. 14) Mediante diagramas a bloques indique el equivalente de un amplificador
operacional, mencione el funcionamiento de c/u de sus partes. 15) Para compensar sistemas, se emplean tres tipos de compensadores: a)
compensador de adelanto, b) compensador de atrasó y c) compensador de adelanto-atrasó. Ilustre físicamente dichos compensadores y adjunte su diagrama a bloques.
PROBLEMAS COMPLEMENTARIOS. 1) Aplicando la Metodología de la pagina 106, encuentre la F.T. a) Voltaje como
entrada y corriente como salida, b) Voltaje como salida y corriente como entrada. De los circuitos mostrados a continuación.
2) Reduzca los siguientes diagramas a bloques.
3) Encuentre el equivalente del diagrama a bloques ilustrado a continuación.
4) Demuestre las siguientes formulas de reducción de diagramas a bloques.
5) Reduzca a la forma canónica los siguientes diagramas a bloques:
6) Encuentre la F.T. pedida para cada uno de los sistemas hidráulicos siguientes: Use bloques.
)1.( −viFig
)2.( −viFig
)()(
.. 0
sQ
sQTF
i
=
)()(
..0
1
sQ
sHTF =
)3.( −viFig
)5.( −viFig
)()´´(
.. 2
sQ
sQTF
A
=
)6.( −viFig
)7.( −viFig
7) De los sistemas hidráulicos anteriores , encuentre la misma F.T. pero a su
equivalente eléctrico análogo. Repita lo mismo para su equivalente mecánico.
8) Aplicando Teorema de superposición encuentre la salida total o salidas
totales indicadas en los diagramas a bloques ilustrados:
)()(
..0 sH
sHTF t=
)()(
..sQ
sHTF =
)1.( −viiiFig
)2.( −viiiFig
)3.( −viiiFig
)4.( −viiiFig
5.( −viiiFig
)6( −viiiFig
9) De los siguientes diagramas eléctricos mostrados, encontrar la F.T.
indicada utilizando diagramas a bloques.(Nota: Todas las corrientes
deben aparecer en el diagrama a bloques, de igual forma los voltajes,
etc.)
)1.( −ixFig
)()(
..0
1
sE
sETF =
)()(
.. 0
sE
sETF
i
=
)2.( −ixFig
)3.( −ixFig
)4.( −ixFig
)()(
.. 0
sV
sVTF =
)(
)(..
1
0
sV
sVTF =
)5.( −ixFig
)6.( −ixFig
)7.( −ixFig
)()(
..1
0
sE
sETF =
)()(
..0
1
sE
sETF =
)()(
..2
1
sV
sVTF =
)8.( −ixFig
10) Solamente obtenga el diagrama a bloques de las siguientes “figuras
eléctricas”. Recuerde que deben existir todos los elementos.
)()(
..2
1
sV
sVTF =
)5( −xFig
Recuerde que deben aparecer todos los elementos en el diagrama a
bloques del sistema.
)3( −xFig
)6( −xFig
OBSERVACIONES.
En diagramas a bloques, referentes a redes eléctricas es muy
conveniente escribir las ecuaciones directamente en Laplace. (Escribir
las ecuaciones integrodiferenciales de los elementos como función del
tiempo es precisamente perder el tiempo).
Nótese que dos secciones RC conectadas en paralelo o cascada de
manera que la 1ra sección o circuito es la entrada del segundo, la función
de transferencia total ya se vio que no es el producto:
+
+ 2221 1
11
1RSCRSC
La razón de esta discrepancia de resultados es que cuando se deduce la
F.T. de un circuito aislado, implícitamente se supone que la salida no
esta cargada o que la impedancia de carga es infinita, lo que significa
que no se toma potencia a la salida. Esa suposición existe en
diagramas a bloques.
Regresando a las dos secciones RC, al conectar la 2ª sección, notamos
que dicha sección si toma cierta cantidad de potencia, ya que presenta
una impedancia distinta a infinita a la 1ª sección. Debido a lo anterior se
concluye:
“Efecto de carga es sinónimo de acoplamiento perfecto”
“Ausencia de efecto de carga es sinónimo de acoplamiento perfecto”
“Circuitos de cualquier índole, siempre que no exista efecto de carga, la
F.T. total será el producto de las funciones de transferencia individuales”
GRAFICAS DE FLIJO DE SEÑALES DE LOS SISTEMAS LINEALES
Una grafica de flujo de señales es similar conceptualmente, a un
diagrama de bloques y están estrechamente relacionados.
Una grafica de flujo de señales de un sistema es más flexible y transmite
información relativa al flujo de señales y a la interacción entre diferentes
variables, con más detalles que un diagrama a bloques.
Esta técnica sirve para obtener un diagrama integral, debido a que se
puede tomar en cuenta condiciones iniciales, y puede ser usado para
simular en una computadora analógica el sistema que representa la
grafica de flujo de señales.
Los componentes de una grafica de flujo de señal son: nodos y ramas.
Los nodos representan a las variables en un sistema. Las ramas
conectan los diferentes nodos y de este modo muestran la interacción
entre las variables.
DEFINICIONES
1.- Nodo fuente: Si todas las ramas salen de un nodo y ninguna entra al
mismo se le llama nodo “fuente” o de entrada.
2.- Nodo de salida: Un nodo del cual no sale ninguna rama en un nodo
“sumidero” o de salida.
Ejemplo: Encontrar 040201 /,/,/ RC ,/RC RC RC 03 mediante un diagrama
de flujo con las siguientes ecuaciones:
)()()()()()()(
)()()()()(
)()()()()()()(
)()()()()()()(
0044443344
3332233
4423321122
3312210011
sRsHsCsHsCsGsC
sCsHsCsGsC
sCsHsCsHsCsGsC
sCsHsCsHsRsGsC
++=+=
+−=+−=
Una señal de entrada a un nodo es igual al producto de la transmitancia
de la rama y la señal donde se origina la rama.
3.- Trayectoria: 32321
43210
CCCCC
CCCCR
−−−−−−−−
Se permite tocar mas de una vez el mismo nodo.
4.- Trayectoria hacia delante: ningún nodo debe cruzarse más de una
vez, parte de un nodo de entrada y termina con un nodo de salida.
5.- Anillo de ningún alimentación: parte y termina en el mismo nodo.
6.-Anillo ajeno: No tiene ningún nodo común.
La transmitancia o ganancia hacia delante de una trayectoria se obtiene
al multiplicar las ganancias individuales que constituyen la trayectoria
hacia delante.
La ganancia (F.T.) de una grafica de flujo de señales se define como la
relación de las variables de salida y entrada.
Si
salida.de señalsC
entrada. de señalsR
==
)(
)(
La ganancia total de la G.F. será:
K
N
HKM
sR
sCsM ∆
∆== ∑
=1
1)()(
)(
Donde:
N = Nº de trayectorias hacia delante.
MK= Ganancia de la trayectoria k hacia delante.
∆ = 1- suma de ganancia de los anillos individuales.
+ Suma de los productos de las ganancias de los anillos ajenos tomados
dos a la vez.
- Suma de los productos de las ganancias de los anillos ajenos tomados
tres a la vez.
+Suma de los productos de las ganancias de los anillos ajenos tomados
cuatro a la vez.
- Así sucesivamente.
∆=∆K Para la parte de la grafica de flujo de señal que no tocan a la
trayectoria hacia delante.
Del ejemplo propuesto se tiene que:
N = 2
1) 43210 CCCCR −−−− cuya ganancia es :
)()()()( 342312011 sGsGsGsGM =
2) 40 CR − cuya ganancia es :
)(042 sGM =
Número de mallas (anillos) 6.
El anillo:
1) 121 CCC −− cuya ganancia es: )()( 211211 sHsGP −=
2) 1321 CCCC −−− cuya ganancia es: )()()( 31231221 sHsGsGP =
3) 232 CCC −− cuya ganancia es: )()( 322331 sHsGP −=
4) 2432 CCCC −−− cuya ganancia es: )()()( 42342341 sHsHsGP =
5) 33 CC − cuya ganancia es: )(3351 sHP =
6) 44 CC − cuya ganancia es: )(4461 sHP =
Anillos ajenos tomados dos a la vez:
Mallas no tocadas Producto de ganancias de
malla.
1 y 5 511112 PPP =
1 y 6 611122 PPP =
5 y 6 615132 PPP =
2 y 6 612142 PPP =
3 y 6 613152 PPP =
Anillos ajenos tomados 4 y 5 a la vez:
Se tienen anillos ajenos .
1, 5 y 6 64511113 PPPP =
No hay anillos tomados 4 y 5 a la vez.
Sustituyendo en:
)()()(1 61511161316121615161115111615141312111 PPPPPPPPPPPPPPPPPPP −++++++++++−=∆
11 =∆ La parte de la grafica de flujo hacia delante cruza todos los
nodos.
=∆2 Para la 2ª trayectoria la subgráfica tiene 4 anillos y los anillos 1 y 5
son ajenos.
)()(1 5111513121112 PPPPPP ++++−=∆
La ganancia será: ∆
∆+∆== 2211
0
4
)()(
)(MM
sR
sCsM
∆∆+∆ 2211 MM
Encontrar : ,/ 01 RC ,/ 02 RC 03 / RC
Calcular: ?)()(1 =
sV
sI
111111 sLR
V
sLR
V
sLR
VVI CC
+−
+=
+−=
SC
I
SC
I
C
IIVC
21
2
21 −=−=
22 R
VI C=
N = 1
1) 1IV − cuya ganancia es SLR
M+
=1
1
1
Malla 1. 11 IVI C −− ganancia )(
1
1 SLRSC +−
Malla 2. CC VIV −− 2 ganancia )
1
2SCR−
No hay anillos ajenos:
)()(1
)(1
11
)(1
112
21211212
2121 SLRSCR
RRCRRLSCRLS
SCRSLRSCSCRSLRSC +++++=+
++=
−
+−−=∆
El anillo dos no toca la trayectoria hacia delante luego:
SCR21
11+=∆
∆
+
+
=∆∆
=∆∆=== ∑
=
/1
111
211
111
SCRSLRM
M
R
CM
V
IK
N
KK
2121122
2
12
2121122
12
2
1
)(1
)()()(
1
RRCRRLSCLRS
SCR
SLRSCR
RRRRLSCLRSSLRSCR
SCR
V
I
+++++=
+++++
++
=
VARIABLES DE ESTADO
Representación.
La representación del funcionamiento de un sistema por medio de
variables de estado tiene un carácter muy general. Este método,
desarrollado en los últimos años, es interesante gracias a su
generalidad. Este permite en particular el estudio de sistemas que
comportan un gran número de variables y en cuyo caso, la resolución del
problema requiere la utilización de una computadora digital.
Para ilustrar el concepto de variables de estado, consideremos el circuito
eléctrico simple de la figura 1.
Donde:
e(t) : f.e.m. aplicada en función de
tiempo.
Variable de entrada.
S(t) : Tensión de salida resultante
aplicada
a una impedancia infinita.
X1(t) : Corriente resultante.
X2(t) : Q Carga eléctrica en el capacitor .
(Q = CV)
Si a un instante dado t > t0 si se requiere conocer el valor s(t) y es
necesario conocer:
e(t) durante el intervalo t0 – t, X1(t0) y X2(t0)
Las ecuaciones que describen el circuito son:
)1.(....................)(
)()(
)( 11
2
dt
tdXLtX R
C
tXte ++=
dt
tdXtX
)()( 2
1 =
Este sistema es de segundo orden, como puede verse claramente si
todo se expresa en función de X2(t).
A partir de (1) se puede obtener un sistema de dos ecuaciones de primer
orden con dos incógnitas, que pueden escribirse:
)2...().........(1
)(1
)()(
211 te
LtX
LCtX
L
R
dt
tdX +−−=
)()(
12 tX
dt
tdX =
Y además: )(1
)( 2 tXC
ts =
La relación de tal sistema implica el conocimiento de los valores de X1(t)
y X2(t) __________ X1(t0) y X2(t0) que dependen del estado del sistema
al instante t0 _____ estas son las variables de estado del sistema.
El funcionamiento del sistema puede ser descrito entonces utilizando tres
tipos de variables:
a) Las variables de entrada, que uno puede controlar (e(t))
b) Las variables de salida, que son variables dependientes [s(t)]
medibles, y que pueden ser expresadas en función de los
valores actuales de e(t) y x(t).
c) Las variables de estado [X1(t) y X2(t)], que son variables
dependientes medibles o no.
El sistema (s) puede escribirse en forma matricial:
)3........().........(0
1
)(
)(
01
1
)(
)(
2
1
2
1
teLtX
tX LCC
R
dt
tdXdt
tdX
+
−−=
[ ] )(0)(
)(10)(
2
1 te tX
tX
Cts +
=
Representación de un sistema de control a bloques.
Matemáticamente la representación general de un sistema es:
µ)()( tBxtAX += Ecuación de estado
µ)()( tDxtCY += Compuesta por variables de estado.
Donde:
=
nX
X
X
X 2
1
=
nµµµ
µ 2
1
=
nY
Y
Y
Y 2
1
Vector de estado Vector de entradas Vector de salidas
del sistema de al sistema de dimensión n
dimensión n. dimensión n.
n x n
tata
tatatA
tA
nnn
n
=
)(...........................).........(
)(.).........(.......).........(
)(
1
11211
Son matrices de coeficientes
variables y son de orden
r x m
tdtd
tdtd
tD
n x m
tctc
tctc
tC
r x n
tbtb
tbtb
tB
mrn
r
mnn
nn
nrn
r
=
=
=
)(.........)........(
)(.........)........(
)(
)(.........)........(
)(.........)........(
)(
)(.........)........(
)(.........)........(
)(
1
111
1
1
1
111
Los elementos de A(t) dependen de los parámetros de la planta.
Los elementos de B(t) muestran como cada variable de control
afectan las variables de la planta.
Los elementos C(t) muestran como las variables de salida están
relacionadas a las variables de estado.
Los elementos D(t) muestran como las variables de control
directamente afectan las variables de salida.
La característica básica de la respuesta de un sistema dinámico es
que un “comportamiento presente” se halla influenciado por su
“historia” o “comportamiento anterior”
De modo que no podemos describir su dinámica en términos de
relaciones instantáneas entre conjuntos de entradas y salidas. Es
necesario disponer de un conjunto de variables extras que
contengan la información de la historia pasada del sistema.
A este conjunto de variables se les denomina “variables de estado”
Las variables de estado son favorables de las entradas de si
misma. A las condiciones iniciales del sistema incluyendo la (s)
entrada (s) al mismo forman el llamado “Estado del sistema”.
Las variables de estado no son únicas.
Las variables de estado no son necesariamente cantidades físicas
asociadas al sistema.
Las variables de estado son una manera de modelar sistemas
como la F.T. o las ecuaciones del sistema.
OBTENCIÓN DE LAS ECUACIONES DE ESTADO DE SISTEMAS
DINAMICOS.
EJERCICIO.
Encontrar la representación de estado para un sistema (mecánico,
eléctrico, etc) definido por:
0........... 11
11 =+++ −−
−
x adt
dxax
dt
dxa
dt
xdnnn
n
n
n
Sea la asignación:
dtdx=
Y luego la ecuación 1 es equivalente
a las siguientes ecuaciones simultaneas
?1
43
32
21
==
===
−
n
nn
X
XX
XX
XX
XX
de 1 despejando dt
xdn
nn
n
nn xdt
xdXX
XX
XX
XX
XX
1
1
1
34
23
12
1
−
−
− ==
====
xadt
dxa
dt
xda
dt
xdX n
X
nn
n
n
n
n −−−== −−
−
1
11
1
1 ..........
1211 ................................. XaXaXaX nnnn −−−= −
Luego se puede escribir como la siguiente ecuación de estado.
AxX =
−−−−
=
−− nnnnn X
X
X
aaaaX
X
X
2
1
121
2
1
............
0............000
0............100
0............010
X A X
Donde
1) Determinar una representación de estado para:
=++
=))(()(
)(bsass
K
s
sXµ
)()())()(()( 222 sXasbasbsssbsasssK +++=++=µ
Se tiene n
nn
dt
ds =
dt
dxab
td
xdba
td
xdK +++= 2
2
3
3
)(µ
XXXX
XXX
XX
=====
=
123
12
1
?3
32
21
===
X
XX
XX
dt
dxab
dt
xdbaK
dt
xdX −+−== 2
2
3
3
3 )(µ
Luego en forma de matriz 233 )( abXXbaKX −+−= µ
µBAxX +=
+
+−−=
µ0
0
00
000
000
)(0
100
010
3
2
1
3
2
1
KX
X
X
baabX
X
X
Representación en Computadora Analógica.
X Kx
X -X Inversor
2
1
X
X )( 21 XX +− Sumador
X )(1
)(1
xs
xxdt −=−=− ∫ ρ Integrador
2
1
X
X )(
1)(
1)( 212121 XX
sXXdxXX +=+−=+− ∫ ρ
assasas
bssbsbsx
++++++=
22
12
22
12
µ
EJERCICIOS
1) Hacer µµµµ 3212
03
32123 bpbbpbpxapxaxapxpp
dt
d +++=+++→
2) Hacer polinomio 0)()()()( 3322112
03 =−+−+−+− µµµµ bxabxapbxapbxp
3) Despejar )(1
)(1
)(1
333222110 xabp
xabp
xabp
bx x −+−+−+= µµµµ
4) Hacer representación analógica, obtener los valores de X1, X2, X3
en función de X.
5) Encontrar X1, X2, X3 en función de X, X = X1 + B0 µ
)()(1
)(1
?
)(?
1112121112112
0110101
µµµ
µµµ
bxapxXxaXbp
XxaXbp
X X
bXXXbXbX X
−+=→−+=→−+
−=−=
−=⇒+=−−−==
)(
)(
2232
2223
1121
xabXX
bxapXX
xabXX
−+=−+=
−+=
µµ
µ
)(1
? 23223 xaXbp
X X +−−−== µ
Del sistema )( 01 µbXx +=
)()(
)(
0223122232
0112111121
babXXaxabXX
babXXaXabXX
−++−=−+=−++−=−+=
µµµµ
)( 033133 babXaX −+−= µ otro modo xabX
xabp
X
333
333 )(1
−=
−−=−
µ
µ
6) Representar en matrices µBAxx +=
µ
bab
bab
bab
X
X
X
a
a
a
X
X
X
−−−
+
−−−
=
033
022
011
3
2
1
3
2
1
3
2
1
00
10
01
TEOREMAS BÁSICOS
9Teorema de Thevenin.
9El teorema de Norton
9El teorema de superposición
9El teorema de intercambio de fuentes
9El divisor de voltajes
9El divisor de corriente
OBJETIVOS
Los teoremas son herramientas que nos facilitan el análisis de circuitos,
ya sean estos eléctricos o electrónicos. Así pues debido a su gran
importancia a continuación se presentan los teoremas más empleados
en la practica como son: El teorema de Thevenin, El teorema de Norton,
El Teorema de Superposición, El teorema de Intercambio de Fuentes.
Por otro lado también se dan El Divisor de Voltajes y el Divisor de
Corrientes; aún cuando los divisores no son propiamente dichos
teoremas, pero sin son de tanta utilidad como ellos.
APÉNDICE “ A “
EL TEOREMA DE THEVENIN
&
NORTON.
APLICACIÓN
Cuando el interés se fija en una parte de la red que se esta analizando,
el resto de ella puede sustituirse con ventaja por medio de una red
equivalente simple que se determina utilizando el Teorema de Thevenin
o Norton.
CONCEPTO
El teorema de Thevenin dice: que cualquier red lineal de dos terminales
pueden reemplazarse por una fuente de voltaje (VTH) igual a la tensión
en circuito abierto que aparece entre las terminales, en serie con la
impedancia (ZTH) de salida visto desde dos bornes”
El teorema de Norton dice que: cualquier red lineal de dos terminales
pueden reemplazarse por una fuente de corriente (In) de valor igual a la
corriente que circula cuando se corto circuitan las terminales, en paralelo
con la impedancia (Zn) de salida vista desde estos bornes.
METODOLOGÍA
Valida tanto para Thevenin como para Norton.
1. Para cualquier circuito, abrir terminales donde se
desea el equivalente de Norton o de Thevenin.
2. Calculo de Para obtener la impedancia de
Norton o de Thevenin se anulan todas las fuentes
posibles de la red activa y calcular la impedancia
que se “vea” desde las terminales de análisis.
3. Equivalente de Thevenin Calculo de VTH
Para obtener el voltaje de Thevenin, se calcula el
voltaje en las terminales de análisis Ese voltaje
calculado es VTH.
4. Equivalente de Norton . calculo de In. Para
obtener la corriente de Norton se cortocircuitan
las terminales de análisis y se
calcula la corriente que fluye por dicho corto. Esa
corriente calculada es In
5. La polaridad de VTH o de In se elige en forma tal
que la corriente en una impedancia que se
conecte en el circuito equivalente tenga el
mismo sentido que si dicha impedancia se
conectara en las terminales de análisis
del circuito digital.
6. Recordar que los teorema de Norton y de
Thevenin solo son aplicables a circuitos lineales
activos. Un circuito lineal activo es aquel arreglo
compuesto por resistores, inductores,
capacitores, fuentes de corriente reales, fuentes
de voltajes reales). Y que los circuitos de
Thevenin y de Norton son equivalentes entre si.
EJEMPLO 1
Hallar el circuito equivalente de Norton y de Thevenin en las terminales R
– A del circuito activo dado.
Fig. 1
SOLUCIÓN
Siguiendo la metodología tenemos:
1)
µ) Cálculo de ZTH = ZN
ohms Z
Z
ZZ NTH 52.1
3
35
===
319
568 =+
iµ) Equivalente de Norton iµ) Equivalente
Thevenin
Calculo de IN Calculo de VTH
aplicando teorema
Calculo de iI de
superposición
La corriente por la fuente es: Aplicando
Divisor de Voltaje:
AmpRt
vfifu 21.9
710
9
50 ===+
voltsVy 36
914
4
450 =
+=
Ii Se obtiene con Divisor de Corriente
THIRA VvoltsV ==+
−= 452
2)3650(
(diferente de 1) cdo 2E desigual 0
⇒ 01 =E
Ampi
i
I
I
631.2
21.952
2
=∴
=+
=
Calculo de
Ampi II 10220 ==
Ampiii IIIN 365.7=−=∴
Finalmente queda
AmpI N 365.7=
2)6
85(
)6/85(
++
+=
=−
VV TNAR
Volts
VVV
VoltsV
TNITNIITN
TNI
2.11
42.15
2.15
=−=−=∴
=
Quedando como:
TNN ZohmsZ == 52.1
VoltsVTN 2.11=
EJEMPLO 2
Encontrar el circuito equivalente de Norton y el de Thevenin en las
terminales U-L del circuito activo siguiente:
Figura 2.
SOLUCIÓN
Siguiendo la metodología tenemos:
i)
ii) Calculo de ZTH = ZN = jjj 10)55/()55( +++
Recordando que dos impedancias iguales en paralelo ocasionan el
efecto de una impedancia de valor mitad a una de ellas.
º69.78747.125.125.210)55(2/1 ∠=+=++== jjjZZ NTN
µ) Por facilidad de calculo primero conviene obtener el equivalente de
Thevenin y luego a partir de este obtener el equivalente de Norton.
En caso de que calculásemos IN serían dos mallas.
Calculo de VTH (se tiene una malla). A continuación calculando
equivalente de Norton.
EJEMPLO 3
Hallar el equivalente de Norton y el de Thevenin de la red mostrada, en
terminales 1-B.
SOLUCIÓN.
º44.63472.4155
)55(10 ∠=+
+=j
jjR
Este problema es más recomendable aplicar 1º Thevenin y comprobar
que son equivalentes los circuitos de Thevenin y Norton, aplicando
teorema de intercambio de fuentes podemos obtener el equivalente de
Norton.
Aplicando metodología:
1)
2) Calculo de ZTH y ZN
º52.1155.88º95.0957.47º464.2543
100040050)4001000(50
10204010)2040( 3
∠=−∠+∠=+−
−+++
+=
==
IB
THNIB
Z
j
j
j
j
ZZZ
3) Suponiendo que BIBI VVVV −⇒>
Aplicando divisor de voltaje.
º45176.04001050400100
20104010
º0503
∠=
−−−
+∠=
j
j
jVIB
Equivalente de Thevenin Equivalente de Norton.
º52.1155.88
º45176.0∠
∠==TN
TNN Z
VI
º40.33002.0 ∠=NI
º45176.0 ∠=TNV
NTN ZZ =∠= º52.1188.88
Aplicando divisor de voltaje (evitamos así las dos mallas).
º315.101611.19º9050º44.63472.455
º44.63472.4 ∠=∠∠++
∠==j
R en VoltajeVR
º315.119611.1º9010101 ∠=
∠== RR V
j
VI
Aprovechando simetría con el circuito anteriormente visto.
Tenemos:
º315.11611.19º90º315.101611.19 ∠=∠∠= VR
º685.789611.1º9010
´102 −∠=
∠== RR V
j
VI
º685.3377.221 −∠=+=∴ III N
Entonces el equivalente de Norton es:
THN
N
ZjZ
I
=+=−∠=
5.25.12
º685.3377.2
Aplicando teorema de intercambio de fuentes podemos obtener el
equivalente de Thevenin.
Nota: Se deja al lector calcular 1º el equivalente de Thevenin y vea la
simpleza del calculo.
º4531.35
)º69.78747.12)(º685.3377.2(
∠=∠−∠=
=
TN
TN
NNTN
V
V
ZIV
APÉNDICE B
EL TEOREMA DE SUPERPOSICIÓN.
APLICACIÓN
Cuando se desea una respuesta determinada en una red, que sea el
resultado de varias fuentes dependientes o independientes. Este
teorema describe las propiedades de HOMOGENEIDAD y de ADICIÓN
de las redes lineales.
CONCEPTO
El teorema de Superposición dice que: “dada una red con elementos
lineales únicamente y con más de un generador (también llamad
fuente), la corriente o voltaje en cualquier rama es igual a la suma
algebraica de las corrientes producidas por cada generador considerado
individualmente, cuando el resto de los generadores se reemplazan por
sus impedancias internas.
METODOLOGÍA
Dada una red cualquiera que tenga n fuentes de voltaje y m fuentes de
corriente, ver figura 1. Al aplicar el teorema de superposición a las
fuentes de voltaje.
Figura Nº 1 Figura Nº2
1) Considerando primero a la fuente V1 de voltaje y cortocircuitándose
la fuente V2 hasta la, fuente Vn. No olvidando abrir todas las
fuentes de corriente que existen (Ver figura 2).
2) A continuación consideramos a la fuente V2 exclusivamente y
cortocircuitamos a V1, V2, V3, V4,.............Vn.
Además de abrir todas las fuentes de corriente que existen.
3) Repetimos el proceso anterior hasta llegar a la fuente de voltaje
Vn, o sea donde cortocircuitamos todas las fuentes de voltaje a
excepción de Vn y se abrieron todas las fuentes de corriente
existentes. (ver figura 3.)
Figura Nº 3 Figura Nº 4
4) Al aplicar el teorema de superposición a las fuentes de corriente
tenemos. Primeramente consideremos solo a la fuente de corriente
I1 y abrimos todas las demás fuentes de corriente. No olvidando
cortocircuitar todas las fuentes de voltaje existentes (ver figura 4).
5) A continuación se considera solamente a la fuente I2 y se abren las
fuentes de corriente I1, I2, I3, I4......In. además de cortocircuitar todas
las fuentes de voltaje en la red.
6) Se repite el proceso precedente así sucesivamente hasta llegar a
la fuente de corriente Im, es decir, hasta donde se cortocircuitaron
todas las fuentes de voltaje y se abrieron las fuentes de corriente
I1, I2, I3, .......Im-1 (ver figura 5).
Figura Nº 5.
7) Por ultimo se suman algebraicamente todos los resultados
obtenidos en los pasos anteriores, de esta manera se tiene la
respuesta de la red a dichas fuentes.
EJEMPLO 1
Obtener en el circuito mostrado, la intensidad de corriente por la
resistencia de 5 ohms debida a cada una de las fuentes de tensión, así
como la corriente que fluye por la resistencia de 5 ohms debido a ambos
generadores. Utilice el Teorema de Superposición.
Figura Nº 1.
SOLUCIÓN
Aplicando metodología tenemos:
Nótese que solo tiene fuentes de voltaje que los pasos v), vi) y vii no
proceden.
Aplicando teorema de Superposición:
i) Considerando en la fuente V1= 25 volts.
Corriente en la fuente = Amp ifv 681.54.22
254116225 =
+=
+=
Divisor de corriente
272.2)681.5(104
1 ==i debida a la fuente 1V
ii) y iii)
Considerando a la fuente V2 = Vn = 50 volts y n = 2
Aplicando ley de ohm y divisor de corriente simultáneamente tenemos
que:
+++
+
=
++=
68
52
2
22/1568
50
65
52
2ifi II
Amp i II 409.3=∴ debida a la fuente VVV n 502 ==
8) La corriente total que fluye en la resistencia de 5 ohms será la
suma algebraica de las corrientes obtenidas al considerar
independientemente a cada fuente.
Amp 5.081iii IIIohms =+=∴ 50
EJEMPLO 2
En la figura dada determinar las componentes de la tensión del nodo VA
debidas a cada una de las fuentes de corriente y además la tensión total
en dicho nodo V.
Figura Nº 2.
Aplicando metodología:
1) No procede.
2) No procede. Ya que no tiene fuentes de voltaje
3) No procede.
Aplicando el teorema de superposición a las fuentes de corriente
solamente:
4) Considerando solo a 1I ; ⇒=⇒= 00 21 II
3845.0923.1º31.11961.1102
2)10(j
j
jR +=∠=
+=
Aplicando divisor de corriente
RjR Ii
+++∠=
+∠+=
5.233.455
º010º3055
511
Entonces la tensión en el nodo A es:
)º31.11916.1(º377.14304.4)(1 ∠∠== RiVA
volts VA º344.8 −∠=∴ debido a 1I
5) Considerando solo a nII =2 ; 2=n
6) Implica que I2 desigual de 0 01 =⇒ I ⇒
Aplicando divisor de corriente.
)º05(º31.11961.1º305
º305º305
º30522 ∠
∠+∠∠=
+∠∠= I
Ri
º623.0153.42 ∠=i
Por lo tanto la tensión es:
)3845.0923.1(º623.0153.42 jRiVA +∠==
º05
º010
2
1
∠=∠=
I
I
3845.0923.1º31.11961.1
5.233.4º305
+=∠=+=∠
R
j
º93.1115.8 ∠=∴ AV debido a la fuente 2I
7) La tensión total debida a ambas fuentes de corriente será la suma
algebraica de los resultados anteriores:
º3044.8º93.1115.8´´ −∠+∠=±= AAA VVV
volts VA º3.445.16 ∠=∴
Ejemplo Nº 3.
Hallar en el circuito de la figura representada en la red dada, la
intensidad de corriente por la resistencia de 4 ohms debida a las fuentes.
Figura Nº 3.
º9050
º010
1
1
∠=∠=
V
I
SOLUCIÓN.
Aplicando metodología:
1) Considerando solo a º90501 ∠=V ⇒ 11 0 IV ⇒= se abre entonces:
⇔
º3927.12447429.14º3927.344594.3
º905
º3927.347514.52)2()4(
º448.661286.20896.47241.12
º185.20)5(º902)2()4(
º18.6057241.16836.44
7241.16896.0º198.688569.125
)2(525
∠=−∠
∠==
−∠==+−+
−∠=++−
∠−∠=−+
∠=+=+
+=∠+
==
Total
Total
Z
Vifv
ZjR
jjjR
jR
jj
jjR
Aplicando divisor de corriente (diferente de 1)
º3927.12447429.147241.16896.42
º90242
º90240 ∠=
++−∠=
++−∠=
jjif
Rji
º773.37158.640 ∠=ohmsi Debido a V1
del punto V hacia el punto Q.
2) Primeramente consideramos solo a la fuente I1 de corriente
00 11 =⇒=⇒ VI
º153.68857.125
105)2( ∠=
+=
j
jj
º454142.1)2()2( −∠=− j
Aplicando divisor de corriente
º94.60237.3´´40 ∠=ohmsi Debida a fuente I1
3) Por ultimo se suman algebraicamente todos los resultados obtenidos:
º94.60237.3º743.37158.6´ 404040 ∠−∠=−= ohmsohmsohmsTotal iii
º911.154885.340 ∠=∴ ohmsi
debida a otras fuentes. Con sentido del punto V hacia el punto Q.
APENDICE “ C”
EL TEOREMA DE INTERCAMBIO DE FUENTES
APLICACION: Cuando se tienen circuitos complicados se aplica el Teorema
de Intercambio de Fuentes con el fin de reducir el número de mallas, o bien el
número de nodos.
CONCEPTO: El teorema de intercambio de Fuentes dice que “si tenemos una
fuente de voltaje de valor E en serie con un cajón pasivo aislado magnéticamente
con impedancia Z puede intercambiarse por una fuente de corriente de valor I = E/Z
en paralelo con un cajón de admitancia I = 1/Z, y viceversa.
METODOLOGIA:
i) Dado una fuente de voltaje E en serie con una impedancia Z, ver figura no. 1,
es equivalente a una fuente de corriente de valor I = E/Z en paralelo con la
misma impedancia, ver figura no. 2.
ii) Dado una fuente de corriente en paralelo con una impedancia Z (ver figura
no. 2) es equivalente a una fuente de voltahe de valor E = I Z en serie con la
misma impedancia (ver figura no. 1).
Figura No. 1 Figura No. 2
iii) Las polaridades de las fuentes I y E se eligen de tal forma que la corriente en una
impedancia que se conectará imaginariamente al circuito en las terminales a-b
téngale mismo sentido en ambos casos.
Ejemplo No. 1
Aplicando el Teorema de Intercambio de Fuentes (T.I.F.), reduzca el arreglo
mostrado y obtenga el equivalente de Norton y el de Thevenin, a las terminales E-V.
Figura No. 1
SOLUCION
Aplicando el T.I.F. a la fuente de voltaje.
Aplicando el T.I.F. a las fuentes de corriente.
Sumando algebraicamente las fuentes de voltaje (Nótese que su “cis” es de “0° ”).
Entonces:
Aplicando el T.I.F. a la fuente de voltaje.
EQUIVALENTE DE NORTON PEDIDO
Aplicando el T.I.F. a la fuente de corriente
EQUIVALENTE DE THEVENIN PEDIDO
Ejemplo No. 2
En la figura siguiente la fuente de voltaje variable V2 se fija en el valor de
8.93 volts, mientras que la fuente V1 es de 10 Volts. Obtener la corriente por la
resistencia de 2 ohms aplicando el Teorema de Intercambio de Fuentes (T.I.F.).
Figura No. 2
SOLUCION
Aplicando el Teorema de Intercambio de Fuentes (T. I. F.) a la fuente V2 tenemos:
Aplicando el T.I.F. a la fuente de corriente:
Aplicando T.I.F. a la fuente de 7.144V.
Aplicando el T.I.F. a la fuente de corriente:
Sumando las fuentes de voltaje:
Nótese que el “cis”de las
fuentes es de 0° (solo así se
pueden sumar dichas fuentes.
Entonces la corriente pedida es:
A 2.84 i 2.6) (2
V 13.3 R / E i =∴
Ω+== En dirección del borde D
hacia el E.
Ejemplo No. 3.
Del arreglo dado, diga cual es la potencia disipada entre las terminales O-O’.
Figura No. 3
SOLUCION:
Aplicando El T.I.F. a las fuentes de voltaje de 10 V.
Pero:
Las 3 resistencias en paralelo dan un resultado de: 0.54
Las 2 fuentes de corriente da un resultado de: 25/3 A.
Entonces:
Aplicando El T.I.F. a las fuente de corriente:
y sumamos las dos
resistencias en serie y
REWHQHPRV
Entonces:
Aplicando El T.I.F. a fuentes de voltaje:
Pero: Sumando las resistenFLDVHQVHULHREWHQHPRV VXPDPRVODVIXHQWHVGHcorriente y obtenemos: 2.82 A.
Entonces:
De ahí que la potencia entre los puntos O-O’ será el producto I2 R o sea P = (2.82
A)2 (0.465 ohms) ∴ P = 3.69 Watts.
APENDICE “ D”
EL DIVISOR DE CORRIENTE
EL DIVISOR DE VOLTAJE.
APLICACIÓN: cuando se tiene un circuito sencillo alimentado por una sola
fuente de alimentación (ya sea de voltaje o de corriente) y se desea saber el voltaje o
corriente en un elemento o en una rama del circuito. Lo anterior se logra utilizando el
divisor de corriente o bien el divisor de voltaje.
CONCEPTO: El divisor de voltaje (=s) matemáticamente se define según
figura no. 1 como:
E R R R
R V
321
11 ++
=
E R R R
R V
321
22 ++
=
E R R R
R V
321
33 ++
=
Figura No. 1
El divisor de corriente (= s) matemáticamente se define según figura no. 2
como:
IR R
R I
21
21 +
=
IR R
R I
21
12 +
=
Figura No. 2.
METODOLOGIA:
i) En el divisor de voltaje (= s) nótese que: el numerador es la fuente de
voltaje multiplicada por la misma impedancia en donde se desea el voltaje… el
denominador es la suma de todas las impedancias de la única rama en la cual se
encuentra el elemento donde se desea su voltaje.
ii) En el divisor de corriente ( = s) veáse que: El numerador es la fuente de
corriente multiplicada por la impedancia opuesta (o diferente) de donde se desea
saber la corriente… El denominador es la suma de las impedancias de las dos
ramas.
Ejemplo No. 1
Demuestre las fórmulas dadas en la página anterior tanto del divisor de
voltaje como del divisor de corriente.
SOLUCION:
E R R R
R V
321
11 ++
= --------c
E R R R
R V
321
22 ++
= --------d
E R R R
R V
321
33 ++
= -------e
Fig. auxiliar no. 1
Nótese que V1 V2 V3 son caídas de voltaje. (“La caída va en el mismo sentido
que la corriente”).
Otra forma nemotécnica para saber cuando es caída o subida de potencia es:
(más alto)
Es decir subida va de –
hacia +. Ejemplo fuentes
Figura auxiliar No. 2 de voltaje y de corriente.
Las caídas van de + hacia -.
(menos alto)
Las corrientes siempre entran en un elemento pasivo por el terminal positivo. (ver
figura 4 #1).
De la figura auxiliar No. 1 podemos establecer:
a Ec. RIRI RI V VV E 332211321 ++=++=
Pero I1 = I2 = I3
De ec. A
E = I1 (R1 + R2 + R3)
Despejando I1 se tiene:
R R R
E I
3211 ++
=
Multiplicando por R1 tenemos:
R R R R
E V RI 1
321111 ++
==∴
De ec. A
E = I2(R1 + R2 + R3)
Rpor ndomultiplica R R R
E I 2
3212 ++
=
R R R
ER RI
321
222 ++
=
R R R
ER V
321
21 ++
=
De ec. A
)R RR(I E 3213 ++=
Rpor ndomultiplica RR R
EI 3
3213 ++
=
RR R
ERIR
321
333 ++
= RR R
ERV
321
33 ++
=∴
s)( corriente dedivisor delón Demostraci =
I R R
RI
21
21 +
=
I R R
RI
21
12 +
=
Fig. Auxiliar No. 3
2
2
1
121 R
V
R
VI I I anterior figura la De +=+=
VVV 21 ==
¨
+++=+=
2
2
1
1
2
2
1
121 R
R
R
RV
R
V
R
VIII
V I R R
R R
21
21 =+
1V es V Si
RIV I R R
R R111
21
21 ==+
I I R R
R R 2
21
21 =+
∴
2V es V Si
RIV I R R
R R212
21
21 ==+
I I R R
R R 2
21
21 =+
∴
El divisor de Corriente y el de Voltaje son válidos cuando las impedancias son
complejas. (Aquí para facilidad se consideró impedancias puramente resistivas).
Ejemplo No. 2
De la figura mostrada a) ¿Cual es la corriente que circularía por el elemento
de carga RL (conectado entre los puntos (I’-Q? Considere RL = 5 K E6LODIXHQWHde corriente se sustituye ahora por una fuente de voltaje de 10 mV y la polaridad se
conserva ¿Cuál es el voltaje en RL?
Fig. No. 2.
SOLUCION:
Inciso A) Aplicaremos el Divisor de corriente (=s)
IKL =
A 375x10 (1mA) 5k k 3
3k i 6-
KL =Ω+Ω
Ω=
Q hacia I' dedirección en A 375 i RL µ=∴
Inciso B)
Al hacer la sustitución el circuito es:
El voltaje en el resistor
de R6 es igual al voltaje
en el resistor de
3 Kohms.
Aplicando divisor de voltaje (=s)
10mV k 1k 1.87
k 1.875 VRL Ω+Ω
Ω=
Q hacia I' de vacaída la
mV 6.527V RL =∴
Ejemplo No. 3
Del circuito mostrado diga ¿Cual es la potencia que disipa en el resistor RA
que esta en los puntos U-L?
Aplicando el T.I.F. (teorema de intercambio de fuentes) y usando reglas de reducción
serie obtenemos el circuito equivalente:
Aplicando teorema de superposición:
Cuando 10 mA = 0 Q 1 volt dif 0 Q 3.636 mA = 0
Aplicando divisor de voltaje
k 1.1 100
100 VRA Ω+Ω
Ω=
mV 83.33 V' RA =∴
Cuando 10 mA dif 0 ¨
Aplicando divisor
de corriente:
mA 9.1666 mA) (10 100 1100
1100 i RA =
Ω+ΩΩ=
Entonces el voltaje sera:
∴Ω== ) mA)(100 (9.166 ))(R(i V ARARA
mV 916.66 V'RA =
Cuando 3.636 mA dif. de 0 ¨
Aplicando divisor de corriente:
De ahí que el voltaje será:
)mA)(100 (3.33 ))(R(i' V AA'''
RA Ω==
mV 333.33 V '''RA =∴
sumando resultados algebraicamente tenemos:
(-). es L quey (t) de es vque indica (-) signo el 500mV- VVVV '''Ra
''RA
'RARA =++=
La potencia será:
P mW 2.5 100
(500mv)
RA
)(V P
22RA ====
PROBLEMAS COMPLEMENTARIOS.
i) En la red mostrada encuentre los efectos producidos al cambiar el
UHVLVWRUGH SRUXQRGH (PSOHHVHWUDQVIRUPDFLón de “T Æ´
ii) Obtener el circuito equivalente de Thevenin y el de Norton en las terminals
U L del circuito activo de la figura siguiente.
iii) Calcular, en el circuito mostrado, la intenidad de corriente por la resistencia
GH XVHWUDQVIRUPDFLón “Æ T”.
L9(QFXHQWUH ODSRWHQFLDGH OD UHVLVWHQFLDGH GH ODUHGGDGD$SOLTXHHOteorema de superposición (T. de S.).
9(QFXHQWUHHOYROWDMHHQODUHVLVWHQFLDGH GHOFLUFXLWRVLJXLHQWH (Use el T.I.F.).
7) Hallar el circuito equivalente de Thevenin en las terminales A-Q del circuito
puente representado en la figura mostrada. b) Si en el mismo circuito la
UHVLVWHQFLDGH SRURWUDGH HVUHHPSOD]DGD Encuentre el cuircuito equivalente de Norton.
9LL 'HWHUPLQDU OD FRUULHQWH SRU OD UHVLVWHQFLD GH GH OD UHG VLJXLHQWHutilizando l teorema de teorema de superposición (T. de S.).
Viii) Encuentre los efectos causados al cerrar el interruptor de S de la figura dada.
T.I.F. = teorema de intercambio de fuentes.
iX) Empleando el teorema de intercambio de fuentes (T.I.F.) encuentre el voltaje en
HOUHVLVWRUGH TXHHVWDFRQHctado entre las terminales V-E.
X) En el circuito dado, la fuente de 20 volts entrega una corriente I, como
puede verse. Si la resistencia de 10 ohms se cambia por otra de 12 ohms, la
intensidad suministrada por la fuente pasa a ser I’.
Calcular la variación I = (I’ – I).
Xi) Encuentre los efectos causados al abrir el interruptor S del arreglo
siguiente.
xii) Utilizar el teorema de Thevenin en el circuito puente del arreglo mostrado
para hallar la desviación de un galvanómetro conectado a D-0 con una resistencia de
\XQDVHQVLELOLGDGGHPLFURDPSHUHVSRUPLOímetro.
RESPUESTA A PROBLEMAS.
COMPELMENTARIOS SELECCIONADOS.
Problema No. Respuesta
ii) ZTH = ZN
VTh = 6.29 Volts.
IN = 0.667 Amperes.
iii) I = 1.32 mA.
APENDICE E
FACTORES DE CONVERSION EN LOS SERVOMECANISMOS
Se multiplica Por Para obtener
Medida angular:
Grados 17.45 mils
Grados 60 minutos
Grados 1.745x10 -2 radianes
mils 5.730X10 -2 grados
mils 3.438 minutos
mils 1.000x10 -3 radianes
minutos 1.667x10 -2 grados
minutos 0.2909 mils
minutos 2.909x10 -4 radianes
radianes 57.30 grados
radianes 1.000x10 3 mils
radianes 3.438x10 3 minutos
Mil del ejército 6.400
1 revoluciones
Velocidad Angular:
grado/seg 1.745x10 -2 radianes/seg.
grado/seg 0.1667 rpm
grado/seg 2.778x10 -3 rps
radianes/seg 57.30 grados/seg
radianes/seg 9.549 rpm
radianes/seg 0.15192 rps
rpm 6.0 grad/seg
rpm 0.1047 radianes/seg
rpm 1.667x10 -2 rps
rps 360 radianes/seg
rps 6.283 radianes/seg
rps 60 rpm
Se multiplica: Por: Para obtener:
Amortiguamiento:
egradianes/s
lib-pie 20.11
rpm
lb-oz
rpm
pulg-oz 4.974x10 -2
rad/seg
lib-pie
rpm
pulg-oz 6.75x10 -3
egradianes/s
m-neutons
Inercia:
g-cm 2 10 -7 kg-m 2
g-cm 2 5.468x10 -3 oz-pulg 2
g-cm 2 7.372x10 -8 slug-pie 2
oz-pulg 1.829x10 -2 g-cm 2
oz-pulg 2 1.348x10 -5 slug-pie 2
slug-pie 2 1.357x10 7 g-cm 2
(lb-pie-seg 2) 7.419x10 4 oz-pulg 2
slug-pie 2 1.357 kg-m 2
lb-pulg 2 2.925x10 -4 kg-m 2
oz-cm 2 1.829x10 -5 kg-m 2
Torque:
pie-lb 1.383x10 4 g-cm
pie-lb 192 oz-pulg
g-cm 7.235x10 -3 pie-lb
g-cm 1.389x10 -2 oz-pulg
oz-pulg 5.208x10 -3 pie-lb
oz-pulg 72.01 g-cm
oz-pulg 7.0612x10 -3 newtons-m
Distancia:
cm 10 -2 m
pulg 2.5400 m
pie 0.30480 m
yd 0.91440 m
Km 103 m
millas 1609.4 m
Se multiplica: Por: Para obtener:
Velocidad:
pie-seg 0.30480 m/seg
millas/hr 0.44704 m/seg
nudos 1.152 millas/hr
Masa:
g 10 -3 Kg
slug 14.594 Kg
Fuerza y peso:
dinas 10 -5 newtons
librales 0.13826 newtons
lb(fuerza) 4.4482 newtons
Energía:
ergs 10 -7 joules
Kw/hr 3.6x10 6 joules
calorías 4.182 joules
pie/lb 1.356 joules
Btu 1055 joules
Potencia:
ergs/seg. 10 -7 watts
cal/seg 4.182 watts
Btu/hr 0.2930 watts
joules-seg 1.00 watts
hp 746 watts
pie-lb/seg 1.356 watts
Presión:
dinas/cm 2 10 -1 newton/m 2
psi 6.895x10 3 newton/m 2
atm 1.013x10 5 newton/m 2
cm Hg 1333 newton/m 2
Densidad:
g/cm 2 103 kg/m 3
lb/pies 16.018 kg/m 3
Vi) ZTH = 55.5
VTH = 0 volts
ZN = 55.4
IN = 1.557 mA.
Vii) I = 4.27 Amperes
x) I = -0.087 Amperes
Xii) Desviación de 19.5 cm.
APENDICE “ F”
“ REGLA DE LA MANO DERECHA”
Es muy importante hacer notar la REGLA DEL PUENTE de Le Quir Mangue, dicha
regla dice: “Si tenemos una estructura eléctrica, sin inductancias mutuas, que esté (o
que se puede poner) de la forma parecida al “puente” siguiente.
Entonces el circuito eléctrico dual será de la forma:
y viceversa.
Obsérvese: que al pasar de un circuito eléctrico a su dual.
9Las bobinas siempre se cambian por capacitares.
9Las resistencias se cambian por conductancias.
9Las fuentes de voltaje se cambian por fuentes de corriente pero conservando
la misma polaridad.
9Las fuentes de corriente se cambian por fuentes de voltaje pero conservando
la misma polaridad la fuente.
La regla de LE QUIR MANGUE la confirmamos repetidas ocasiones a lo largo de
todo el desarrollo.
1º. Es decri:
PROB.
PROB.
PROB.
Nótese que en los problemas anteriores donde se aplica la regla de LE QUIR
MANGUE que los elementos en serie pasan a colocarse en paralelo y así también
los elementos en paralelo pasan a colocarse en serie. Es decir:
PROB.
PROB.
• No importando el orden.
PROB.
Finalmente podemos decir que la regla del puente de “LE QUIR MANGUE” nos sirve
para “ahorrar” los pasos números 8, 9, 10, 11, 12, 13. La figura siguiente muestra la
mencionada regla dando su concepto en forma de bloques para poderse recordar
nemotécnicamente.
¨
(A)
ó
¨
(B)
FIG. MOSTRANDO EL CONCEPTO DE LA REGLA “Le Quir Mangue”
NOTAS:
B I B L I O G R A F I A
9B.C. KUO
Ed. Prentice-Hall
(1967)
AUTOMATIC CONTROL SYSTEMS
9K. OGATA
Ed. Prentice-Hall
(1977)
INGENIERIA DE CONTROL MODERNA
9J. MARKUS
Ed. Marcombo
(1978)
DICCIONARIO DE ELECTRONICA Y TECNICA NUCLEAR
9VARIOS AUTORES
Ed. ESIME-IPN
(1978-1979)
TEORIA DE CONTROL I (1° y 2° PARTE)
9COLECCIÓN DE SCHAUMS
(1978)
RETROALIMENTACION Y SISTEMAS DE CONTROL.
9S.A. DAVIS
Ed. Feisa
(1977)
RETROALIMENTACION Y SISTEMAS DE CONTROL
9COLECCION DE SCHAWMS
(1975)
MANUAL DE FORMULAS Y TABLES MATEMATICAS.
HARRISON Y BOLLINGER
Ed. Trillas
(1976)
CONTROLES AUTOMATICOS.
9GOURISCHANKAR
Ed. R.S.I.
(1975)
CONVERSION DE ENERGIA ELECTROMECANICA.
9COLECCION DE SCHAWMS
(1970)
VIBRACIONES MECANICAS.
9COLECCIÓN DE SCHAWMS
(1975)
TRANSFORMADA DE LAPLACE.
