Apuntes_probabilidad

8/17/2019 Apuntes_probabilidad

1/23

1

APUNTES DE TEORÍA DE

PROBABILIDADES.

Profesores: Raúl Zhigley y Nathalie Castro.


2/23

2


3/23

Capı́tulo 1

Espacio de probabilidad.

La palabra probabilidad aparece en nuestro lenguaje ordinario en

multitud de ocasiones. Aśı, afirmaciones del tipo de que la probabilidad de

obtener dos seises al lanzar dos dados no cargados en uno entre 36, de que

hay una probabilidad ligeramente inferior a un medio de que un bebé re-

cién nacido sea varón y de que en los próximos dos años la probilidad de

curar el cáncer es pequeña, puede decirse de que expresan juicios de proba-

bilidad. Sin embargo, cada uno de los ejemplos anteriores se refieren a un

tipo diferente de juicio de probabilidad. El primero se refiere a un juicio de

probabilidad que podemos denominar clásico, en el que los posibles resulta-

dos son equiprobables. El segundo es una afirmación de tipo frecuentista y

se refiere a la frecuencia relativa con la que cierta propiedad aparece entre

los miembros de una clase determinada y el tercero constituye un ejemplo

de lo que podŕıamos llamar un juicio de credibilidad y es una medida del

3


4/23

4 CAP ́ ITULO 1. ESPACIO DE PROBABILIDAD.

grado de confianza que tenemos en la verdad de una cierta proposición o en

el acaecimiento de un suceso determinado.

Nuestro objetivo busca darle a la teoŕıa de probabilidad una concep-

ción matemática, según la teoŕıa axiomática definiendo, pues, la probabilidad

mediante unos axiomas que estén en concordancia con las tres filosof́ıas an-

teriormente expuestas y viendo la aplicación al mundo real de este modelo

matemático utilizaremos según los casos una concepción u otra.

1.1 Experimentos aleatorios.

La finalidad de todo experimento cient́ıfico es la obtención de infor-

mación de inteŕes acerca de cualquier parte de la naturaleza. Dentro de los

experimentos cient́ıficos hay algunos cuyo desarrollo es previsible con cer-

tidumbre y sus resultados están perfectamente determinados una vez fijadas

las condiciones del mismo: se conocen con el nombre de experimentos deter-

minı́sticos . Aśı por ejemplo, si se planea un experimento para averiguar el

espacio recorrido por un cuerpo en cáıda libre en el vaćıo al cabo de un cierto

tiempo t, se sabe que el espacio recorrido obedece a la ley x = 12

gt2 donde g

es la gravedad en el lugar expresado en m/seg2. Se ve entonces que fijado de

antemano el tiempo y el lugar le corresponde un espacio recorrido fijo.

Frente a estos experimentos que pueden realizarse en un contexto de

certidumbre aparecen los pueden realizarse en un contexto de incertidumbre.

A éstos se les llama experimentos o fen´ omenos aleatorios . Estos experimentos

naturales (f́ısicos, económicos, biológicos, demográficos, etc) o hipotéticos


5/23

1.1. EXPERIMENTOS ALEATORIOS. 5

se caracterizan porque su desarrollo no es previsible con certidumbre. La

imposibilidad de preveer este desarrollo puede, según los casos, tener diveras

causas entre las que destacan:

Las leyes que rigen el experimento no pueden ser bien conocidas sufi-

cientemente para ser formuladas matemáticamente.

El desarrollo del experimento es por esencia de naturaleza no deter-

mińıstico.

Los factores que influyen en el experimento son o muy numerosos o

demasiado dif́ıciles de apreciar, o incluso no medibles sin perturbar el

desarrollo del mismo.

Se dice entonces que el fenómeno depende del “azar”, sin intentar

aquı́ dar una definición matemática del azar.

Ejemplo 1.1. (Experimentos aleatorios)

E 1: tirar un dado y ver el n´ umero que aparece.

E 2: medir el tiempo de duraci´ on de una ampolleta.

E 3: tirar una moneda hasta que aparezca por primera vez cara y contar el

n´ umero de tiradas necesarias.

El objeto de estudio lo constituye lo que en términos genéricos hemos

llamado fenómenos o experimentos aleatorios, que como se ve resulta dif́ıcil

definir con precisíon. Por esta razón, en lugar de una definición, daremos una

serie de propiedades que suelen caracterizarlos; éstas son:


6/23


1. En las mismas condiciones iniciales pueden dar lugar a diferentes resul-

tados finales, en contraposición con los fenómenos determinı́sticos, los

cuales conducen siempre a los mismos efectos finales.

2. Todos los resultados posibles se conocen por anticipado.

3. No se puede predecir el resultado en cada experiencia particular.

4. En general, pueden repetirse en las mismas condiciones indefinida-

mente.

5. Si uno de estos experimentos se repite bajo condiciones completamente

idénticas un número determinado n de veces, y anotamos el número, ni

de veces que aparece un determinado resultado, el cociente ni/n tiende

a estabilizarse, cuando n aumenta, en un valor fijo.

1.2 Espacio muestral y sucesos.

Definición 1.2. Al realizar un experimento aleatorio, se obtiene el conjunto

de todos los posibles resultados de éste al que llamaremos espacio muestral.

Usualmente, denotamos por Ω el espacio muestral, por ω los elementos de Ω

y por lo tanto escribimos ω ∈ Ω.

Ejemplo 1.3. De los experimentos aleatorios E 1, E 2 y E 3 dados en el ejem-

plo anterior, se tienen los espacios muestrales que corresponden a contin-

uaci´ on:

Ω1 = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

Ω2 = {t : t ≥ 0}

Ω2 = {1, 2,...,i,...} = N


7/23

1.2. ESPACIO MUESTRAL Y SUCESOS. 7

Definición 1.4. Se llama suceso a cualquier subconjunto del espacio mues-

tral. Se utilizan letras may´ usculas, las primeras del alfabeto, para designar

sucesos.

Ejemplo 1.5. Sea A = “sacar un n´ umero par al tirar un dado” = {2, 4, 6}.

Claramente A es un suceso ya que es un subconjunto de Ω1.

Sea E un experimento aleatorio y sea A un suceso. Entonces al realizar

este experimento sólo caben dos alternativas: “ocurre el suceso A” o “no

ocurre el suceso A”. De acuerdo a lo anterior se definen otros tipos de sucesos:

Suceso seguro: es aquel que siempre ocurre. Es fácil ver que el suceso

seguro y espacio muestral son lo mismo (para que sea seguro debe tener

todos los resultados del experimento).

Suceso imposible: es aquel que nunca ocurre. Se designa con la letra

φ.

Suceso contrario al suceso A: sea A un suceso. El suceso contrario

de A es aquel que ocurre cuando A no ocurre. Se designa por Ac.

Inclusión de sucesos: se dice que el suceso A está incluı́do en el suceso

B y se escribe A ⊂ B si cada vez que ocurre A ocurre B.

Igualdad de suceso: dos sucesos son iguales, y se escribe A = Bcuando A ⊂ B y B ⊂ A.

Intersección de sucesos: el suceso A ∩ B es el suceso que ocurre

cuando A y B ocurren simultáneamente.


8/23


Sucesos incompatibles: se dice que A y B son sucesos incompatibles

si no pueden ocurrir simultámente, es decir A ∩ B = φ. También se

denominan sucesos mutuamente excluyentes.

Unión de sucesos: el suceso unión de A con B es el suceso que ocurre

cuando A o B o ambos simultáneamente ocurren. Se escribe A ∪ B.

Sucesos exhaustivos: se dice que A y B son exhaustivos si la unión

de ambos es igual al espacio muestral, es decir A ∪ B = Ω.

Si Ω es infinito, la noción de sucesos se aplicará a una clase particular de

subconjuntos privilegeados, clase que designaremos por Q. Las proposiciones

A ∈ Q y A es un suceso, son por definición equivalentes.

La restricción a esta clase Q proviene de la teoŕıa de la medida y su

justificación queda fuera del alcance de este curso. Sin embargo, esta clase

llamada σ-´ algebra contendrá todos los conjuntos que se pueden construir.

Definición 1.6. Dado el espacio muestral Ω, una clase Q tiene estructura

de σ-´ algebra si y s´ olo si:

1. Ω ∈ Q.

2. ∀A ∈ Q entonces Ac ∈ Q.

3. Si A1, A2,... ∈ Q entonces ∞

i=1

Ai ∈ Q.

Lo que significa que la σ-álgebra es cerrada para uniones numerables,

intersecciones numerables, diferencias y complementarios.


9/23

1.3. FUNCI ́ ON DE PROBABILIDAD. 9

Ejemplo 1.7. Sea un experimiento aleatorio cuyo espacio muestral es el con-

junto Ω = {1, 2, 3, 4}. Consideremos como dos sucesos de interés los eventos

{2} y {2, 3, 4}. ¿Es posible determinar una σ-´ algebra que considere estos dos

sucesos?

Solución. Por definición, sabemos que Ω ∈ Q y por lo tanto, φ ∈ Q.

Luego, incluimos los sucesos de interés {2} y {2, 3, 4}. Por tanto, sus com-

plemetarios también deben pertenecer a la σ-álgebra, es decir {1, 3, 4} y {1}.

Luego, por la condición (3) deben inclúırse todas las uniones posibles y suscorrespondientes complementarios. Por ellos agregamos los sucesos {1, 2} y

{3, 4}.

Entonces el σ-álgebra resultante es:

Q = {Ω, φ, {2}, {2, 3, 4}, {1, 3, 4}, {1}, {1, 2}, {3, 4}}

Definición 1.8. Llamaremos espacio medible o espacio probabilizable a la

pareja (Ω, Q, donde Ω es el espacio muestral y Q es la familia de sucesos a los que nos interesa asignarle probabilidad.

1.3 Función de probabilidad.

Un elemento a considerar en relación con un experimento aleatorio es,

como dijimos, la probabilidad de los sucesos de la σ-álgebra de subconjuntos

del espacio muestral Ω.

Existen varias interpretaciones del concepto de probabilidad: aqúı par-

tiremos de unos axiomas como propiedades a cumplir por toda función de

probabilidad.


10/23


1.3.1 Axiomas de Kolgomorov.

Sea (Ω, Q) un espacio probabilizable. Definimos una función P, que va

a ser una medida normada sobre Q, mediante una aplicación de Q en R que

cumple los siguientes axiomas:

Axioma 1 ∀A ∈ Q, P(A) ≥ 0.

Axioma 2 P(Ω) = 1.

Axioma 3 ∀A1, A2, . . . ⊂ Q tal que Ai ∩ A j = φ, ∀i ̸= j son sucesos incom-

patibles, entonces:

P

∞i=1

Ai

=

∞i=1

P(Ai)

Observación 1.9. El tŕıo (Ω, Q,P) se denomina espacio de probabilidad.

1.3.2 Consecuencias de los axiomas.

Proposición 1.10. ∀A ∈ Q, P(Ac) = 1 − P(A).

Demostraci´ on. Sabemos que Ω = A∪̇Ac, entonces P(Ω) = P(A) +P(Ac) y por

tanto, P(Ac) = 1 − P(A).

Proposición 1.11. P(φ) = 0.

Demostraci´ on. Es claro que φ es el suceso complemento del espacio muestral.

Luego, por la proposición 1.10, P(φ) = 1 − P(Ω) = 0.


11/23


Proposición 1.12. ∀A, B ∈ Q, si A ⊂ B entonces P(A) ≤ P(B).

Demostraci´ on. Si A ⊂ B entonces B = A∪̇(B ∩ Ac) y por consecuencia del

axioma 3, P(B) = P(A) + P(B ∩ Ac). Como P(B ∩ Ac) ≥ 0 entonces P(B) ≥

P(A).

Proposición 1.13. ∀A ∈ Q, 0 ≤ P(A) ≤ 1.

Demostraci´ on.

Es claro que φ ⊂ A ⊂ Ω y por la proposición 1.12, 0 ≤P

(A) ≤1.

Proposición 1.14 (Regla de la adición). ∀A, B ∈ Q, se verifica que

P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)

Demostraci´ on. Podemos escribir A ∪ B = (A ∩ Bc) ∪̇(A ∩ B) ∪̇(B ∩ Ac). Por

tanto:

P(A ∪ B) = P(A ∩ Bc) + P(A ∩ B) + P(B ∩ Ac) (1.1)

Además,

A = (A ∩ Bc) ∪̇(A ∩ B) ⇒ P(A ∩ Bc) = P(A) − P(A ∩ B)

B = (B ∩ Ac) ∪̇(A ∩ B) ⇒ P(B ∩ Ac) = P(B) − P(A ∩ B)

Luego, sustituyendo en (1.1),

P(A ∪ B) = P(A) − P(A ∩ B) + P(A ∩ B) + P(B) − P(A ∩ B)

= P(A) + P(B) − P(A ∩ B)


12/23


Observación 1.15. Si consideramos ∀A, B y C ∈ Q, la proposici´ on 1.14 se

puede generalizar como:

P(A∪B∪C ) = P(A)+P(B)+P(C )−P(A∩B)−P(A∩C )−P(B∩C )+P(A∩B∩C )

Ejemplo 1.16. En una universidad se obtuvo la siguiente información: el

32 % de las chicas son rubias, de ojos azules o ambas cosas; el 20 % es de

ojos azules y el 17 % es rubia. Calcular la probabilidad de que:

1. Las chicas sean rubias y de ojos azules.

2. Las chicas tengan s´ olo cabello rubio.

3. Las chicas tengan s´ olo ojos azules.

4. Las chicas con ninguna de las dos caracteŕısticas.

Solución. Definimos los sucesos R: “las chicas son rubias” y A: “las

chicas tienen los ojos azules”. De la información entregada en el enunciado,podemos escribir: P(R ∪ A) = 0, 32; P(A) = 0, 20 y P(R) = 0, 17.

1. Para calcular P(R ∩ A), ocupamos la regla de adición dada en 1.14, es

decir:

P(R ∩ A) = P(R) + P(A) − P(R ∪ A) = 0, 17 + 0, 20 − 0, 32 = 0, 05.

2. Debemos calcular P(R ∩ Ac). Para esto realizamos la siguiente relación:

R = R ∩ Ω = R ∩ (A∪̇Ac

) = (R ∩ A) ∪̇(R ∩ Ac

)Luego, P(R) = P(R ∩ A) + P(R ∩ Ac) y por tanto:

P(R ∩ Ac) = P(R) − P(R ∩ A) = 0, 17 − 0, 05 = 0, 12.

3. Análogamente P(A ∩ Rc) = P(A) − P(R ∩ A) = 0, 20 − 0, 05 = 0, 15.


13/23


4. P(Rc ∩ Ac) = P(R ∪ A)c = 1 − P(R ∪ A) = 0, 68.

Ejemplo 1.17. Sean A, B,C sucesos definidos en un mismo espacio muestral

Ω. Se tienen los siguientes datos:

P(A) = 0, 6; P(B) = 0, 4; P(C ) = 0, 3; P(A ∩ B) = 0, 2;

P(A ∩ C ) = P(B ∩ C ) = 0, 1 y P(A ∩ B ∩ C ) = 0, 05.

Considere los sucesos D1 = A ∩ (B ∪ C ) y D2 = A ∩ Bc ∩ C c. Se pide

calcular las probabilidades de D1 y D2 y demostrar que ambos sucesos son

incompatibles o mutuamente excluyentes.

Solución. En primer lugar:

P(D1) = P(A ∩ (B ∪ C ))

= P((A ∩ B) ∪ (A ∩ C ))

= P(A ∩ B) + P(A ∩ C ) − P(A ∩ B ∩ C )

= 0, 2 + 0, 1 − 0, 05 = 0, 25

P(D2) = P(A ∩ Bc ∩ C c))

= P(A ∩ (B ∪ C )c)

= P(A) − P(A ∩ (B ∪ C ))

= P(A) − P((A ∩ B) ∪ (A ∩ C ))

= 0, 6 − 0, 25 = 0, 35

Luego para demostrar que D1 y D2 son incompatibles debemos com-


14/23


probar que la intersección de ambos sucesos es vaćıa. Es decir:

D1 ∩ D2 = [A ∩ (B ∪ C )] ∩ [A ∩ (Bc ∩ C c)]

= A ∩ [(B ∪ C ) ∩ (Bc ∩ C c)]

= A ∩ [(B ∪ C ) ∩ (B ∪ C )c]

= A ∩ φ = φ

Por lo tanto, D1 y D2 son sucesos incompatibles.

Ejemplo 1.18. Un segmento de recta de longitud L es dividido en tres partes

arbitrarias x, y,z . Encontrar la probabilidad de que los trozos permitan con-

struir un tri´ angulo.

Solución. Los sucesos elementales se caracterizan por dos variables x e

y ya que z queda definido como Z = L − (x + y). Un evento elemental se

representa por un punto en el plano x0y donde x > 0, y > 0 y x + y < L. El

espacio de los eventos elementales Ω se representa de acuerdo a la figura ()

cuya área S Ω mide L2

2 . Las condiciones para que x, y e L − (x + y) formen

un triángulo son:

1. x + y ≥ L − (x + y) ⇒ x + y ≥ L2

2. x − y ≤ L − (x + y) ⇒ x ≤ L2

3. y − x ≤ L − (x + y) ⇒ y ≤ L2

La representación de esto último muestra la región A en la figura () cuya

área es S A = L2

8 . Por tanto concluimos que P(A) = S A

S Ω= 1

4.


15/23

1.4. PROBABILIDAD CONDICIONADA E INDEPENDIENCIA DE SUCESOS.15

1.4 Probabilidad condicionada e independiencia de

sucesos.

Hasta este punto hemos supuesto que toda la información antes de

realizar un experimento aleatorio,estaba contenida en el espacio muestral, y a

partir de aquı́ se calculaba la probabilidad de un suceso A. Suponiendo ahora

que tenemos una información adicional, se trata de ver como el conocimiento

de la ocurrencia de otro suceso B, no vaćıo, puede modificar la ocurrencia

del suceso A. Con este objetivo se define la probabilidad condicionada del

suceso A por el suceso B.

Ejemplo 1.19. Se llev´ o a cabo un sondeo de opini´ on entre electores de cuatro

distritos para comparar la cantidad de votantes que apoyan al candidato Z.

Se obtuvieron muestras aleatorias de 200 electores en cada uno de los cuatro

distritos con los resultados que se muestran en la siguiente tabla:

Opini´ on

Distrito1 2 3 4 Total

En favor de Z 76 53 59 48 236

En contra de Z 124 147 141 152 564

Total 200 200 200 200 800

Si se ha elegido un elector al azar y éste tiene una opini´ on a favor de Z,

¿cu´ al es la probabilidad de que este elector provenga del distrito 3?

Solución. Consideremos los sucesos:

A = “el elector pertenece al distrito 3”

B = “el elector está a favor del candidato Z”.


16/23


Si consideramos todos los electores sin excepción la probabilidad de pertener

al distrito 3 es P(A) = 200800 . El suceso A ∩ B se puede interpretar como

“un elector pertenece al distrito 3 y está a favor del candidato Z”. Luego,

P(A ∩ B) = 59800

. Sin embargo la pregunta plantea un dato conocido: se sabe

que el elector está a favor del candidato Z, y éstos son 236 electores en total

y de éstos un total de 59 son electores que pertenen al distrito 3. Por lo tanto

el suceso B seŕıa una condici´ on para calcular la probabilidad de A. Podemos

escribir estonces P(A|B), es decir, la probabilidad de que ocurra A sabiendo

que B ya ocurrió. Entonces:

P(A|B) = 59

236 =

59800236800

= P(A ∩ B)

P(B)

Definición 1.20. Sea (Ω, Q,P) un espacio probabiĺıstico y sea B ∈ Q un

suceso tal que P(B) > 0. LLamaremos probabilidad condicionada del suceso

A respecto a B, y lo escribiremos P

(A|B) a,

P(A|B) = P(A ∩ B)

P(B) (1.2)

Ejemplo 1.21. Un conjunto eléctrico consta de dos componentes, nombrados

A y B. Se sabe que la probabilidad de que falle A es 0,3; la probabilidad de

que falle B es 0,2 y la probabilidad de que fallen simult´ aneamente es 0,1.

Calcular:

La probabilidad de que falle A sabiendo de que ha fallado B.

La probabilidad de que no falle B si no ha fallado A.


17/23


Solución. Consideremos los sucesos:

A = “falla el componente A”

B = “falla el componente B”.

Luego de la información entregada, P(A) = 0, 3; P(B) = 0, 2; y P(A ∩ B) =

0, 1.

1. P(A|B) = P(A∩B)P(B)

= 0,10,2

= 0, 5

2. P

(B

c

|Ac

) =

P(Bc∩Ac)

P(Ac) =

1−P(B∪A)

1−P(A) =

0,6

0,7 = 0, 8571

Teorema 1.22 (Regla de la multiplicación). Si A y B son dos sucesos

de un espacio probabiĺıstico (Ω, Q,P) con P(A) > 0 y P(B) > 0. A partir de

(1.2) se tiene que:

P(A ∩ B) = P(A)P(B|A) y P(A ∩ B) = P(B)P(A|B) (1.3)

Observación 1.23. Si consideramos los sucesos A, B,C en un espacio prob-

abiĺıstico (Ω, Q,P), entonces el teorema anterior se generaliza como:

P(A ∩ B ∩ C ) = P(A)P(B|A)P(C |A ∩ B)

Ejemplo 1.24. Se lanza una moneda con probabilidad de 23

que el resultado

sea cara. Si aparece una cara, se extrae una pelota, aleatoriamente, de una

urna que contiene dos pelotas rojas y tres verdes. Si el resultado es sello se

extrae una pelota, de otra urna, que contiene dos rojas y dos verdes. ¿Cu´ al

es la probabilidad de extraer una pelota roja?


18/23


Solución. De lo expuesto en el planteamiento, vamos a considerar los

siguientes sucesos:

C = “se obtiene cara al lanzar una moneda”

S = “se obtiene sello al lanzar una moneda”

R = “se extrae una pelota de color rojo”

Luego de la información entregada, P(C ) = 23

; P(S ) = 13

; P(R|C ) = 25

;

P(R|S ) = 12

.

Para calcular la probabilidad de extraer una pelota de color rojo, escribimos:

P(R) = P(R ∩ Ω)

= P(R ∩ (C ∪̇S ))

= P((R ∩ C ) ∪̇(R ∩ S ))

= P(R ∩ C ) + P(R ∩ S )

Luego, aplicando la regla de la multiplicación, obtenemos:

P(R) = P(C )P(R|C ) + P(S )P(R|S )

= 2

3 ·

2

5 +

1

3 ·

1

2

= 13

30

Definición 1.25. Un suceso A es independiente de otro suceso B cuando

la probabilidad de A no depende de la ocurrencia o no de B. Es decir, A es

independiente de B śı y s ́olo śı P(A|B) = P(A).

Dada la definición anterior, se puede proponer lo siguiente:


19/23


Proposición 1.26. Dados dos sucesos A y B definidos en un espacio prob-

abiĺıstico, entonces:

1. Dos sucesos son independientes śı y s´ olo śı P(A ∩ B) = P(A)P(B).

2. Si A es independiente de B, B es independiente de A.

3. Si dos sucesos A y B son independientes, sus correspondientes comple-

mentarios también son independientes.

Demostraci´ on.

1. Por definicíon si dos sucesos son independientes, P(A|B) = P(A), en-

tonces P(A∩B)P(B)

= P(A), con P(B) > 0. Por lo tanto P(A ∩ B) =

P(A)P(B).

2. Si A es independiente de B entonces P(A|B) = P(A). Por lo anterior,

P(A ∩ B) = P(A)P(B). Si P(A) > 0, P(A∩B)P(A)

= P(B) lo que implica que

P(B|A) = P(B), es decir B es independiente de A.

3. Sabemos que P(Ac ∩ Bc) = P(A ∪ B)c y dadas las proposiciones 1.10 y

1.14, P(A ∪ B)c = 1 − P(A) − P(B) + P(A ∩ B). Dado que A y B son

independientes, entonces P(Ac ∩ Bc) = 1 −P(A) −P(B) +P(A)P(B) =

(1 − P(A))(1 − P(B)) = P(Ac)P(Bc).

Ejemplo 1.27. La probabilidad de aprobar alguna de las dos pruebas de

la asignatura Bioloǵıa es de 0,45. Considere adem´ as que la probabilidad de

aprobar la primera prueba es 0,40 y la de aprobar la segunda es 0,30. ¿Son

independientes entre śı la aprobaci´ on de las dos pruebas?


20/23


Solución. Vamos a considerar los siguientes sucesos:

F = “aprobar la primera prueba”

S = “aprobar la segunda prueba”

Luego de la información entregada, P(F ) = 0, 40; P(S ) = 0, 30 y P(F ∪ S ) =

0, 45.

Para verificar si los sucesos F y S son independientes debemos comprobar si

se cumple

P(F ∩ S ) = P(F )P(S ).

De la regla de la adición, P(F ∩ S ) = P(F ) + P(S ) − P(F ∪ S ) = 0, 25. Por

otro lado, P(F )P(S ) = 0, 12. Por tanto, la aprobación de ambas pruebas no

son independientes.

1.5 Teoremas de la probabilidad total y de Bayes.

Para calcular la probabilidad de un suceso, muchas veces es útil in-

corporar información previa o a priori de este suceso en relación con otros.

Los dos teoremas que se presentan en esta sección tratan de incorporar esta

información.

Teorema 1.28 (Teorema de la probabilidad total). Sea {Ai}ni=1 una

colecci´ on completa de sucesos, es decir ˙∪n

i=1Ai = Ω sucesos exhaustivos y

Ai ∩ A j = φ, ∀i ̸ = j sucesos incompatibles, tales que P(Ai) ̸ = 0, ∀i =

1, 2, . . . , n y sea B un suceso cualquiera. Entonces se verifica:

P(B) =n

i=1

P(Ai)P(B|Ai) (1.4)


21/23

1.5. TEOREMAS DE LA PROBABILIDAD TOTAL Y DE BAYES. 21

Demostraci´ on. Podemos observar que: B = (A1∩B) ∪̇(A2∩B) ∪̇ . . . ∪̇(An∩B),

por lo tanto, P(B) =∑

ni=1 P(Ai ∩ B). Utilizando la regla de la multiplicación

vista en 1.3, entonces P(B) =∑n

i=1 P(Ai)P(B|Ai).

Teorema 1.29 (Teorema de Bayes). Sea {Ai}ni=1 una colecci´ on completa

de sucesos tales que P(Ai) ̸ = 0, ∀i ̸ = j y sea B un suceso cualquiera no

imposible, entonces se verifica que:

P(Ai|B) = P(Ai)P(B|Ai)∑n j=1 P(A j)P(B|A j)

∀i = 1, 2, . . . , n (1.5)

Demostraci´ on. Por definición de probabilidad condicional, podemos escribir:

P(Ai|B) = P(Ai∩B)

P(B) , ∀i = 1, 2, . . . , n. Mediante la regla de la multipli-

cación, el numerador de la expresión serı́a P(Ai ∩ B) = P(Ai)P(B|Ai),

∀i = 1, 2, . . . , n, mientras que utilizando el teorema 1.28, el denominador

es igual a P(B) = ∑n

j=1 P(A j)P(B|A j). Por lo tanto la expresión quedarı́a:

P(Ai|B) = P(Ai)P(B|Ai)∑n

j=1P(Aj)P(B|Aj)

, ∀i = 1, 2, . . . , n.

Observamos que en la fórmula de Bayes intervienen dos tipos de pro-

babilidades. Por una parte las probabilidades de los sucesos que constituyen

el sistema completo, P(Ai), ∀i = 1, 2, . . . , n que reciben el nombre de pro-

babilidades a priori , pues se obtiene sin información adicional. Y por otra

parte intervienen las probabilidades de B condicionadas a cada uno de los

sucesos del sistema completo, P(B|Ai), ∀i = 1, 2, . . . , n, que son cantidades

de apoyo llamadas verosimilitudes . Las cantidades obtenidas a partir de la

fórmula de Bayes P(Ai|B), ∀i = 1, 2, . . . , n reciben el nombre de probabili-

dades a posteriori , ya que se modifican las probabilidades de los sucesos Ai

como consecuencia de haber ocurrido el suceso B.


22/23


Figura 1.1: Ilustración de la colección completa de sucesos y el suceso B.

Ejemplo 1.30. Un médico posee un test para diagnosticar el c´ ancer. Me-

diante muchos reconocimientos se ha comprobado que la probabilidad de que

el test resulte positivo para una persona que padezca la enfermedad es de 0,95;

mientras que para una persona que no la tenga es 0,02. Supongamos que s´ oloel 1 % de la poblaci´ on est´ a enferma de c´ ancer. ¿Cuál es la probabilidad de

que una persona padezca c´ ancer si su test resulta positivo?

Solución. Definamos los sucesos:

E = “una persona padece cáncer”

T = “el test resulta positivo”

De la información entregada, P(E ) = 0, 01; P(E c) = 0, 99; P(T |E ) = 0, 95;

P(T |E c) = 0, 02

Podemos observar que lo conocido es que el test result ó ser positivo, por lo

tanto es una probabilidad a posteriori ya entregada. Por lo tanto aplicamos

el Teorema de Bayes:


23/23

1.5. TEOREMAS DE LA PROBABILIDAD TOTAL Y DE BAYES. 23

P(E |T ) = P(E )P(T |E )

P(E )P(T |E ) + P(E c)P(T |E c)

= 0, 01 · 0, 95

0, 01 · 0, 95 + 0, 99 · 0, 02

= 0, 324232

Documents

Apuntes_probabilidad