AREAS

Si la func ión es pos i t i va en un in te rva lo [a , b ] en tonces la grá f ica de la

func ión es tá por enc ima de l e je de absc isas . E l área de la función v iene

dada por :

Para ha l la r e l área segui remos los s igu ientes pasos :

1º Se ca lcu lan los puntos de corte con e l e je OX, hac iendo f ( x ) = 0 y

reso lv iendo la ecuac ión .

2º E l área es igua l a la in tegral def in ida de la función que t iene como

l ími tes de in tegrac ión los pun tos de cor te .

Ejemplos1. Calcu lar e l á rea de l rec in to l im i tado por l a curva y = 4x − x 2 y e l e je OX.

En p r imer lugar ha l lamos los pun tos de cor te con e l e je OX para

representa r la curva y conocer los l ím i tes de in tegrac ión .

En segundo lugar se ca lcu la la in tegra l :

2. Hal la r e l á rea de la reg ión de l p lano encer rada por la curva y = ln x ent re

e l punto de cor te con e l e je OX y e l pun to de absc isa x = e .

En pr imer lugar ca lcu lamos e l punto de cor te con e l e je de absc isas .

2. La función es negat ivaSi la func ión es negat iva en un in te rva lo [a , b ] en tonces la grá f ica de la

func ión es tá por deba jo de l e je de absc isas . E l área de la función v iene

dada por un v iene dada por :

Ejemplos1. Calcu lar e l á rea de l rec in to l im i tado por l a curva y = x 2 − 4x y e l e je OX.

2. Hal la r e l á rea l im i tada por l a curva y = cos x y e l e je Ox ent re π/2 y

3π/2 .

3. La función toma va lores posi t ivos y negat ivosEn ese caso e l e l rec in to t i ene zonas por enc ima y por debajo de l e je de

absc isas . Para ca lcu lar e l área de la función segui remos los s igu ien tes

pasos :

1º Se ca lcu lan los pun tos de cor te con con e l e je OX, hac iendo f ( x ) = 0 y

reso lv iendo la ecuac ión .

2º Se ordenan de menor a mayor las ra íces , que serán los l ím i tes de

in tegrac ión .

3º E l área es igua l a la suma de las integrales def in idas en va lo r abso lu to

de cada in terva lo .

Ejemplos1. Calcu lar e l á rea de las reg iones de l p lano l im i tada por la curva f ( x ) = x 3

− 6x 2 + 8x y e l e je OX.

El á rea , por razones de s imet r ía , se puede escr ib i r :

2. Calcu lar e l á rea de l c í rcu lo de rad io r .

Par t imos de la ecuac ión de la c i r cun fe renc ia x ² + y ² = r ² .

E l á rea de l c í r cu lo es cuat ro veces e l á rea de l p r imer cuadran te .

Ca lcu lamos la in tegra l indef in ida por cambio de var iab le .

Ha l lamos los nuevos l ími tes de in tegrac ión .

E l á rea comprend ida en t re dos func iones es igua l a l área de la func ión que

es tá s i tuada por enc ima menos e l á rea de la func ión que es tá s i tuada por

debajo .

Ejemplos1. Calcu lar e l á rea l im i tada por l a curva y = x 2 -5x + 6 y l a rec ta y = 2x .

En p r imer lugar ha l lamos los pun tos de cor te de las dos func iones para

conocer los l ími tes de in tegrac ión.

De x = 1 a x = 6 , la rec ta queda por enc ima de la parábola .

2.Calcu lar e l á rea l im i tada por l a parábola y 2 = 4x y la rec ta y = x .

De x = o a x = 4 , la parábo la queda por enc ima de la rec ta .

3.Calcu lar e l á rea l im i tada por l as g ráf icas de las func iones 3y =x 2 e y =

−x 2 + 4x .

En p r imer lugar representamos las parábo las a par t i r de l vér t i ce y los

pun tos de cor te con los e jes .

Ha l lamos también los pun tos de cor te de las func iones , que nos darán los

l ími tes de in tegrac ión.

4. Calcu la e l área de la f igura p lana l im i tada por las parábo las y= x 2 − 2x , y

= −x 2 + 4x .

Representamos las parábolas a par t i r de l vér t i ce y los puntos de cor te con

los e jes .

5.Hal la r e l á rea de de la reg ión l im i tada por las func iones :

y = sen x , y = cos x , x = 0 .

En pr imer lugar ha l lamos e l punto de in tersecc ión de las func iones :

La gráf ica de l coseno queda por enc ima de la g rá f ica de l seno en e l

in te rva lo de in tegrac ión.

Ejercic ios apl icac iones de la integral . Áreas1. Ha l la r e l á rea l im i tada por la rec ta x + y = 10, e l e je OX y las o rdenadas

de x = 2 y x = 8 .

2 . Ca lcu lar e l á rea de l rec in to l im i tado por l a curva y = 9 − x 2 y e l e je OX.

3. Ca lcu lar e l á rea de l t r iángu lo de vér t ices A(3 , 0 ) , B (6, 3 ) , C (8 , 0 ) .

4 . Ca lcu lar e l á rea l im i tada por las g ráf icas de las func iones y 2 = 4x e y

= x 2 .

5 . Ca lcu lar e l á rea l im i tada por l a curva xy = 36, e l e je OX y las rec tas : x =

6 , x = 12 .

6 . Ca lcu lar e l á rea l im i tada por l a curva y = 2 (1 − x 2 ) y la rec ta y = −1.

7. Ca lcu lar e l á rea de l rec in to l im i tado por l a parábola y = x 2 + 2 y la rec ta

que pasa por los puntos (−1 , 0 ) y (1 , 4 ) .

8 . Ha l la r e l á rea l im i tada por la rec ta , e l e je de absc isas y las

ordenadas cor respondien tes a x = 0 y x = 4 .

9 . Ca lcu lar e l á rea l im i tada por l a curva y = 6x 2 − 3x 3 y e l e je de absc isas .

10 . Ha l la r e l á rea de la reg ión de l p lano l im i tada por l as curvas y = ln x ,

y = 2 y los e jes coordenados.

11 . Ca lcu lar e l á rea de la reg ión de l p lano l im i tada por e l c í r cu lo x 2 +y 2 =9.

12 . Ha l la r e l á rea de una e l i pse de semie jes a y b .

13 . Calcular el área de la región del plano limitada por la curva: f(x) = |x2 − 4x + 3| y el eje OX.

14 . Hallar el área de la figura limitada por: y = x2, y = x, x = 0, x = 2

15 . Ha l la r e l á rea de l rec in to p lano y l im i tado por l a parábo la y = 4x − x 2

y las tangentes a la curva en los puntos de in tersecc ión con e l e je OX.

Ejercic ios resueltos de apl icaciones de la in tegra l . Áreas1Hal la r e l á rea l im i tada por la rec ta x + y = 10, e l e je OX y las o rdenadas de

x = 2 y x = 8 .

2Calcu lar e l á rea de l rec in to l im i tado por l a curva y = 9 − x 2 y e l e je OX.

En p r imer lugar ha l lamos los pun tos de cor te con e l e je OX para

representa r la curva y conocer los l ím i tes de in tegrac ión .

Como la parábola es s imét r i ca respecto a l e je OY, e l á rea será igua l a l

dob le de l á rea comprend ida en t re x = 0 y x = 3 .

Ca lcu lar e l á rea de l t r iángu lo de vér t ices A(3 , 0 ) , B (6, 3 ) , C (8 , 0 ) .

Ecuac ión de la rec ta que pasa por AB:

Ecuac ión de la rec ta que pasa por BC:

4Calcu lar e l á rea l im i tada por l as g ráf icas de las func iones y 2 = 4x e y = x 2 .

5Calcu lar e l á rea l im i tada por la curva xy = 36 , e l e je OX y las rec tas : x = 6 ,

x = 12 .

·

6Calcu lar e l á rea l im i tada por l a curva y = 2 (1 − x 2 ) y la rec ta y = −1.

7Calcu lar e l á rea de l rec in to l im i tado por l a parábola y = x 2 + 2 y la rec ta

que pasa por los puntos (−1 , 0 ) y (1 , 4 ) .

8

Hal la r e l á rea l im i tada por la rec ta , e l e je de absc isas y las

ordenadas cor respondien tes a x = 0 y x = 4 .

9Calcu lar e l á rea l im i tada por l a curva y = 6x 2 − 3x 3 y e l e je de absc isas .

10Hal la r e l á rea de la reg ión de l p lano l im i tada por l as curvas y = ln x , y = 2 y

los e jes coordenados.

Ca lcu lamos e l punto de cor te de la curva y la rec ta y = 2 .

E l á rea es igua l a l área de l rec tángu lo OABC menos e l área ba jo la curva y

= ln x .

E l á rea de rec tángulo es base por a l tu ra .

E l á rea ba jo la curva y = ln x es :

11Calcu lar e l á rea de la reg ión de l p lano l im i tada por e l c í r cu lo x 2 + y 2 = 9 .

E l á rea de l c í r cu lo es cuat ro veces e l área encer rada en e l p r imer

cuadran te y los e jes de coordenadas.

Ha l lamos los nuevos l ími tes de in tegrac ión .

12Hal la r e l á rea de una e l i pse de semie jes a y b .

Por ser la e l ipse una curva s imét r i ca, e l á rea pedida será 4 veces e l á rea

encer rada en e l p r imer cuadran te y l os e jes de coordenadas.

Hal lamos los nuevos l ími tes de in tegrac ión .

13Calcu lar e l á rea de la reg ión de l p lano l im i tada por la curva: f ( x ) = |x 2 − 4x

+ 3 | y e l e je OX.

14Hal la r e l á rea de la f i gu ra l im i tada por : y = x 2 , y = x , x = 0 , x = 2

Puntos de cor te de la parábola y la rec ta y = x .

De x = 0 a x = 1 , la rec ta queda por enc ima de la parábola .

De x = 1 a x = 2 , la rec ta queda por deba jo de la parábola .

15Hal la r e l á rea de l rec in to p lano y l im i tado por l a parábo la y = 4x − x 2 y l as

tangentes a la curva en los pun tos de in tersecc ión con e l e je OX.

Puntos de in te rsecc ión:

Ecuac ión de la tangente a la parábola en e l pun to (0 , 0) :

Ecuac ión de la tangente a la parábola en e l pun to (4 , 0) :

Volumen El vo lumen de l cuerpo de revo luc ión engendrado a l g i ra r l a curva f (x )

a l rededor de l e je OX y l im i tado por x = a y x = b , v iene dado por :

Ejemplos1. Hal la r e l vo lumen engendrado por las super f ic ies l im i tadas por l as curvas

y las rec tas dadas a l g i ra r en to rno a l e je OX:

y = sen xx = 0x = π

2. Calcu lar e l vo lumen de l c i l i nd ro engendrado por e l rec tángu lo l im i tado

por las rec tas y = 2 , x = 1 y x = 4 , y e l e je OX a l g i ra r a l rededor de es te

e je .

3. Calcu lar e l vo lumen de la es fe ra de rad io r .

Par t imos de la ecuac ión de la c i r cun fe renc ia x ² + y ² = r ² .

G i rando un semic í rcu lo en to rno a l e je de absc isas se ob t iene una es fe ra .

4. Calcu lar e l vo lumen engendrado por la ro tac ión de l á rea l im i tada por la

parábo la y 2 = x y la rec ta x = 2 , a l rededor de l e je OY.

Como g i ra a l rededor de l e je OY, ap l icamos:

El vo lumen será la d i ferenc ia de l engendrado por la rec ta y e l engendrado

por la parábo la en t re los ex t remos y = −4 e y = 4 .

Como la parábola es s imét r i ca con respecto a l e je OX, e l vo lumen es igua l

a dos veces e l vo lumen engendrado en t re y = 0 e y = 4 .

5. Hal la r e l vo lumen de l e l ipso ide engendrado por la e l ipse 16x 2 + 25y 2 =

400 , a l g i rar :

1 A l rededor de su e je mayor .

2 Al rededor de su e je menor .

Como la e l ipse es s imét r i ca a l respecto de los dos e jes e l vo lumen es e l

dob le de l engendrado por la porc ión de e l i pse de l pr imer cuadran te en

ambos casos .

6. Calcu lar e l vo lumen engendrado a l g i ra r a l rededor de l e je OX e l rec in to

l im i tado por l as g ráf icas de y = 2x −x 2 , y = −x + 2 .

Puntos de in te rsecc ión en t re la parábola y la rec ta :

La parábo la es tá por enc ima de la rec ta en e l in te rva lo de in tegrac ión.

Ejercic ios de volúmenes de funcionesHal la r e l vo lumen de l t ronco de cono engendrado por la ro tac ión a l rededor

OX de l á rea l im i tada por y = 6 − x , y = 0 , x = 0 , x = 4 .

Ca lcu lar e l vo lumen que engendra un t r i ángu lo de vér t ices A(3 , 0) , B(6, 3 ) ,

C(8 , 0 ) a l g i rar 360° a l rededor de l e je OX.

Ha l la r e l vo lumen de l t ronco de cono engendrado por e l t rapec io que l im i ta

e l e je de absc isas , la rec ta y = x + 2 y l as coordenadas cor respond ientes a

x = 4 y x = 10 , a l g i ra r a l rededor de OX.

Ca lcu lar e l vo lumen engendrado por una semionda de la s inuso ide y = sen

x , a l g i ra r a l rededor de l e je OX.

Ca lcu lar e l vo lumen engendrado a l g i ra r a l rededor de l e je OX e l rec in to

l im i tado por l as g ráf icas de y = 2x −x 2 , y = −x + 2 .

Ha l la r e l vo lumen de l cuerpo revo luc ión engendrado a l g i ra r a l rededor de l

e je OX, la reg ión dete rminada por la func ión f ( x ) = 1 /2 + cos x , e l e je de

absc isas y las rec tas x = 0 y x = π.

Ca lcu lar e l vo lumen de l cuerpo engendrado a l g i rar a l rededor de l e je OX e l

rec in to l im i tado por las gráf icas de y = 6x − x 2 , y = x .

Ha l la r e l vo lumen engendrado por e l c í rcu lo x 2 + y 2 − 4x = −3 a l g i rar

a l rededor de l e je OX.

Ha l la r e l vo lumen de la f i gu ra engendrada a l g i ra r la e l ipse

a l rededor de l e je OX.

Ejercic ios resueltos de volúmenes de funciones1Hal la r e l vo lumen de l t ronco de cono engendrado por la ro tac ión a l rededor

OX de l á rea l im i tada por y = 6 − x , y = 0 , x = 0 , x = 4 .

2Calcu lar e l vo lumen que engendra un t r i ángu lo de vér t ices A(3 , 0) , B(6, 3 ) ,

C(8 , 0 ) a l g i rar 360° a l rededor de l e je OX.

Ecuac ión de la rec ta que pasa por AB:

Ecuac ión de la rec ta que pasa por BC:

3Hal la r e l vo lumen de l t ronco de cono engendrado por e l t rapec io que l im i ta

e l e je de absc isas , la rec ta y = x + 2 y l as coordenadas cor respond ientes a

x = 4 y x = 10 , a l g i ra r a l rededor de OX.

4Calcu lar e l vo lumen engendrado por una semionda de la s inuso ide y = sen

x , a l g i ra r a l rededor de l e je OX.

5Calcu lar e l vo lumen engendrado a l g i ra r a l rededor de l e je OX e l rec in to

l im i tado por l as g ráf icas de y = 2x −x 2 , y = −x + 2 .

Puntos de in te rsecc ión en t re la parábola y la rec ta :

La parábo la es tá por enc ima de la rec ta en e l in te rva lo de in tegrac ión.

6Hal la r e l vo lumen de l cuerpo revo luc ión engendrado a l g i ra r a l rededor de l

e je OX, la reg ión dete rminada por la func ión f ( x ) = 1 /2 + cos x , e l e je de

absc isas y las rec tas x = 0 y x = π.

7Calcu lar e l vo lumen de l cuerpo engendrado a l g i rar a l rededor de l e je OX e l

rec in to l im i tado por las gráf icas de y = 6x − x 2 , i = x .

Puntos de in te rsecc ión:

La parábo la queda por enc ima de la rec ta en e l in te rva lo de in tegrac ión.

8Hal la r e l vo lumen engendrado por e l c í rcu lo x 2 + y 2 − 4x = −3 a l g i rar

a l rededor de l e je OX.

El cen t ro de la c i rcunfe renc ia es C(0, 1) y e l rad io r = 1 .

Puntos de cor te con e l e je OX:

9

Hal la r e l vo lumen de la f i gu ra engendrada a l g i ra r la e l ipse

a l rededor de l e je OX.

Por ser la e l ipse una curva s imét r i ca, e l vo lumen ped ido es 2 en veces e l

vo lumen engendrado por e l arco en t re x = 0 y x = a .

LONGITUD DE ARCOLa longi tud de l arco , de la curva f (x ) , comprend ido en t re las absc isas x =

a y x = b v iene dado por la in tegra l de f in ida :

Ejemplo

Hal la r la longi tud del arco de curva en e l i n terva lo [0 , 1 ] .