Concurso de Longitud de Arco-terminado (2)

7/24/2019 Concurso de Longitud de Arco-terminado (2)

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Ao De La Diversifcacin Productiva YFortalecimiento De La Educacin

CALCULO II

COCU!"O DE A!CO

FACUL#AD$ In%enier&a

CE#!O$ Universidad Privada

Del orte

O'(!E DE LA A"I)A#U!A$ CALCULO II

"E'E"#!E ACAD*'ICO$ +,-./II

CICLO ACAD*'ICO$ III

DOCE#E$ CAVERO CHUQUIVIGUEL.0O!)E

I#E)!A#E"$

C1ILO PE!EY!A )O2ALOOLI3A AL(U!4UE4UE 0A4UELIE'E!CEDE"!O'E!O A!AUCO AA F!A"1E"CA"A'AIE)O C1U4UI3I)UEL I3OE'A!IA"O#O'AYO! CO4UIC1E 5A#E!IEPA#!ICIA

2E)A!!A PE!EY!A 0EAE#1 DELPILA!

FACULTAD DE INGENIERA 1


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PERU-2015

!E"U'E

Para empezar, con esa !n"es!#ac!$n, se %&!ere 'ar a conocer, ( por )o anocompren'er )as apro*!mac!ones %&e p&e'en presenar c!eras )on#!&'es en &nconc&rso 'e arco, e) c&a), nos +ar enen'er 'e manera apro*!ma'a )asme'!'as 'e ca'a &na 'e )as )on#!&'es, %&e p&e'e ))e#ar a poseer &na'eerm!na'a c&r"a Por )o ano, a) momeno 'e +acer )as '!.erenescomparac!ones 'e ca'a )on#!&', po'remos 'arnos c&ena 'espe/an'o ca'a&na 'e n&esras '&'as presena'as en &n pro)ema %&e s&e)e s&ce'er en )a

"!'a co!'!ana

As!m!smo, #rac!as a )as comparac!ones en &n conc&rso 'e arco oser"aremos)as .$rm&)as para conocer )as .&nc!ones, )as c&a)es sa!s.a#an )as n con'!c!ones%&e se p&e'an 'ar, para )o c&a) se en'r %&e ca)c&)ar )a )on#!&' %&e se po'ra'ar en &na #rca, en ase a eso, e) e)emeno %&e res&)e #ana'or ser a%&e)%&e en#a )a )on#!&' 'e arco ms pe%&e3a Grac!as a esas a"er!#&ac!ones, seconr!&(e 'e manera aser!"a a) enen'!m!eno, para )os es&'!anes 'e!n#en!era (4o carreras anes a )as c&a)es )es p&e'a ser"!r 'e m&c+a a(&'a paras& conoc!m!eno en e) p)ano e'&ca!"o



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FACULTAD DE INGENIERA

DEDICA#O!IA

E) presene raa/o es 'e'!ca'o a DI67 por%&ees 8) %&!en )e 'a )a sa!'&ra necesar!a a n&esropro.esor para ransm!!rnos 'e s&s conoc!m!enos( as! conr!&!r a n&esra .ormac!$n pro.es!ona), An&esros pa'res por 'arnos )os rec&rsos ( e)

apo(o necesar!o para po'er )o#rar n&esrasmeas ( a o'os )os es&'!anes &n!"ers!ar!os %&ese es.&erzan para c&)m!nar s& carrera a pesar 'e)as '!c&)a'es por )as %&e p&e'an pasar


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6DICE

Inro'&cc!$n9999999999999999999999999999999999999999999 5

11 Den!c!$n999999999999999999999999999999999999999999 5

12E/emp)os99999999999999999999999999999999999999999999 :

1 E/erc!c!os Res&e)os99999999999999999999999999999999999 ;

1< E/erc!c!os Prop&esos999999999999999999999999999999999999 ;

Cap&)o II 15 An)!s!s e !nerpreac!$n 'e)pro)ema99999999999999999999999999 =

1>C6NCLU7I6NE7999999999999999999999999999999999999999 =

1: REFERENCIA79999999999999999999999999999999999999999 10

1;

ANE?679999999999999999999999999999999999999999999 10

FACULTAD DE INGENIERA


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I#!ODUCCI7$

Des'e s!empre, +emos en!'o )a noc!$n 'e )on#!&', ( s!empre nos +a parec!'om&( senc!))o me'!r o/eos, &san'o )os '!.erenes !nsr&menos 'e me'!c!$n o

s!mp)emene ca)c&)an'o '!c+as )on#!&'es &san'o .orm&)as senc!))as %&e noss!r"en s!camene para es!mar me'!'as 'e recas o c!rc&n.erenc!as@ 'emanera %&e a+ora en'remos )a opor&n!'a' 'e ca)c&)ar )on#!&'es pero esa"ez 'e se#menos c&r"os Uno 'e esos mo'os &!)!za'os es e) c)c&)o 'e )a'!sanc!a enre 'os p&nos &san'o )a .orm&)a %&e 'er!"a 'e) eorema 'eP!#oras

Esa .$rm&)a es B!) para )o#rar me'!r )a )on#!&' 'e arco, pero se 'ee ener enc&ena %&e para po'er rea)!zar ese c)c&)o, es necesar!o %&e )a c&r"a a'ems'e ser con!n&a en &n !ner"a)o cerra'o, sea am!n con!n&a s& 'er!"a'a en e)m!smo !ner"a)o a, Tam!n +a( %&e saer %&e, no o'as )as c&r"as !enen

)on#!&' n!a enre 'os 'e s&s p&nos@ s! &na c&r"a !ene )on#!&' n!a enre'os 'e s&s p&nos, se '!ce %&e es rec!ca)e enre esos 'os p&nos

A&n%&e +!s$r!camene .&eron &sa'os "ar!os mo'os para c&r"as especcas,)a ))e#a'a 'e) c)c&)ora/o cons!#o )a .$rm&)a #enera) para oener so)&c!onescerra'as para a)#&nos casos

https://es.wikipedia.org/wiki/C%C3%A1lculohttps://es.wikipedia.org/wiki/C%C3%A1lculo


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Para ca)c&)ar )a )on#!&' 'e &n arco 'e &na c&r"a p)ana ( e) rea 'e &nas&perc!e 'e re"o)&c!$n se &!)!za e) carcer 'e s&ma 'e )a !ne#ra) 'en!'a 7!&n rozo 'e c&r"a !ene &na )on#!&' 'e arco n!a, se '!ce %&e es rec!ca)e E)pro)ema 'e ca)c&)ar )a )on#!&' 'e &na c&r"a +a mo!"a'o raa/osmaem!cos m&( "ar!a'os A)#&nas conr!&c!ones empranas a) pro)ema se

'een a) maem!co +o)an's C+r!s!an &(#ens 1>2=-1>=5, e) !n"enor 'e)re)o/ 'e pn'&)o 6ro prec&rsor en e) raa/o sore c&r"as rec!ca)es .&e e)maem!co escocs Hames Gre#or( 1>;-1>:5 Amas persona)!'a'es .&eron!mporanes en )as pr!meras eapas 'e) 'esarro))o 'e) c)c&)o

CAPI#ULO I

'A!CO #EO!ICO

-8 Defnicin$

Lon#!&' pro"!ene 'e) "oca)o )a!no )on#!&'oJ ( s!#n!ca en Fs!ca)a '!sanc!a%&e &ne 'os p&nos, ( perm!e s& me'!c!$n para conocer s& a)&rac&an'o se raa 'e &na )on#!&' "er!ca)@ o s& anc+o, s! omamos en c&ena&na)on#!&' +or!zona) En #enera) se ))ama )on#!&' c&an'o me'!mos&na s&perc!ep)ana, a s& )ar#o, %&e es e) 'e ma(or e*ens!$n@ )a me'!'a menor

es e) anc+o

En #eomera, arco es c&a)%&!er c&r"acon!n&a %&e &ne 'os p&nos Tam!n, se'enom!na arco a &n se#meno 'e c!rc&n.erenc!a@ &n arco 'e c!rc&n.erenc!a%&e'a 'en!'o por res p&nos, o 'os p&nos e*remos ( e) ra'!o, o por )a)on#!&' 'e &na c&er'a( e) ra'!o

FACULTAD DE INGENIERA >
http://deconceptos.com/matematica/distanciahttp://deconceptos.com/ciencias-sociales/longitudhttp://deconceptos.com/matematica/superficiehttps://es.wikipedia.org/wiki/Geometr%C3%ADahttps://es.wikipedia.org/wiki/Curvahttps://es.wikipedia.org/wiki/Punto_(geometr%C3%ADa)https://es.wikipedia.org/wiki/Circunferenciahttps://es.wikipedia.org/wiki/Cuerda_(geometr%C3%ADa)http://deconceptos.com/matematica/distanciahttp://deconceptos.com/ciencias-sociales/longitudhttp://deconceptos.com/matematica/superficiehttps://es.wikipedia.org/wiki/Geometr%C3%ADahttps://es.wikipedia.org/wiki/Curvahttps://es.wikipedia.org/wiki/Punto_(geometr%C3%ADa)https://es.wikipedia.org/wiki/Circunferenciahttps://es.wikipedia.org/wiki/Cuerda_(geometr%C3%ADa)


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En maem!ca, )a )on#!&' 'e arco, am!n ))ama'a rec!cac!$n 'e &na c&r"a,es )a me'!'a 'e )a '!sanc!ao cam!no recorr!'o a )o )ar#o 'e &na c&r"ao'!mens!$n )!nea)

+8 Calculo de la lon%itud del arco mediante inte%rales$

Para po'er enen'er )a )on#!&' 'e arco se po'ra pensar en a/&sar &n rozo 'ec&er'a a )a c&r"a 'e )a #&ra 1, ( 'esp&s me'!r )a c&er'a conra &na re#)aPero eso po'ra ser '!.c!) 'e +acer con m&c+a e*ac!&' s! se !ene &na c&r"acomp)!ca'a, pero s! )a c&r"a es &n po)#ono, se 'eerm!na con .ac!)!'a' s&)on#!&'@ s$)o se s&man )as )on#!&'es 'e )os se#menos 'e reca %&e .orman e)po)#ono 7e p&e'e &sar )a .$rm&)a 'e )a '!sanc!a para +a))ar )a '!sanc!a enre)os p&nos e*remos 'e ca'a se#meno 7e 'en!r )a )on#!&' 'e &na c&r"a#enera) apro*!mn'o)a pr!mero me'!ane &n po)#ono ( )&e#o oman'o &n )m!ec&an'o se !ncremena e) nBmero 'e se#menos 'e) po)#ono Ese proceso es.am!)!ar para e) caso 'e &n crc&)o, 'on'e )a c!rc&n.erenc!a es e) )m!e 'e)on#!&'es 'e po)#onos !nscr!os oser"ar )a #&ra 2

Fi%ura -

FACULTAD DE INGENIERA :
https://es.wikipedia.org/wiki/Matem%C3%A1ticahttps://es.wikipedia.org/wiki/Distanciahttps://es.wikipedia.org/wiki/Curvahttps://es.wikipedia.org/wiki/Matem%C3%A1ticahttps://es.wikipedia.org/wiki/Distanciahttps://es.wikipedia.org/wiki/Curva


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Fi%ura +

+8- Deduccin de la 9rmula :ara 9unciones de una varia;le$

En par!c&)ar, s! enemos 'os p&nos 'e) p)ano , )a)on#!&' 'e) se#meno AK es, se#Bn e) eorema 'e P!#oras,

FACULTAD DE INGENIERA ;


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An)o#amene, s! son p&nos 'e) espac!o

r!'!mens!ona), )a )on#!&' 'e) se#meno AK es

Comenzaremos con e) caso ms s!mp)e, )a #rca 'e &na .&nc!$n %&e es'er!"a)e ( !ene 'er!"a'a con!n&a Para ca)c&)ar )a )on#!&' 'e )a c&r"a,

apro*!mamos sa me'!ane )a )on#!&' 'e &na )nea po)!#ona) c&(os "r!cesson p&nos 'e )a c&r"a C

7! omamos &na par!c!$n ?>


10/29

Eso !mp)!ca %&e

Ese ar#&meno /&s!ca )a .$rm&)a para e) c)c&)o 'e )a )on#!&' 'e &na c&r"a'e )a s!#&!ene 'en!c!$n

A) &sar )a noac!$n 'e Le!n!z para 'er!"a'as, se p&e'e escr!!r )a .$rm&)a 'e )a)on#!&' 'e arco

L=a

b

1+( dydx )2

dx

Pero en e) caso %&e &na c&r"a presene 'os .&nc!ones, para e))o a )a .orm&)a#enera) se en'r %&e acompa3ar por )a ora .&nc!$n, 'e esa manera se +arpos!)e enconrar )a apro*!mac!$n 'e )a c&r"a en ca'a &na 'e )os p&nos, a)

como se m&esra a con!n&ac!$n


Por lo tanto si C es la curva dada :or la %rJfca de una9uncin @$ B K a; !M @ = @B K ! Nue es deriva;le@ tiene derivada continua entonces la lon%itud de C estJdada :or la inte%ral$


11/29

x

f x

g

2

L=a

b

8 'todos anteriores al cJlculo$

8- Anti%Qedad

A ra"s 'e )a +!sor!a 'e )as maem!cas, #ran'es pensa'ores cons!'eraron!mpos!)e ca)c&)ar )a )on#!&' 'e &n arco !rre#&)ar A&n%&e Ar%&me'es+aa'esc&!ero &na apro*!mac!$n recan#&)arpara ca)c&)ar e) rea a/o &na c&r"acon &n mo'o 'e a#oam!eno, pocos cre(eron %&e .&era pos!)e %&e &nac&r"a &"!ese &na )on#!&' 'en!'a, como )as )neas recas Las pr!merasme'!c!ones se +!c!eron pos!)es, como (a es comBn en e) c)c&)o, a ra"s 'eapro*!mac!ones )os maem!cos 'e )a poca razaan &n po)#ono'enro 'e )ac&r"a, ( ca)c&)aan )a )on#!&' 'e )os )a'os 'e se para oener &n "a)orapro*!ma'o 'e )a )on#!&' 'e )a c&r"a !enras se &saan ms se#menos,'!sm!n&(en'o )a )on#!&' 'e ca'a &no, se oena &na apro*!mac!$n ca'a "ez

me/or

8+ "i%lo 50,e) C!c)o!'e'e C+r!sop+er Orenen 1>5;, ( )a Caenar!a'e Go.r!e'

Le!n!zen 1>=1

https://es.wikipedia.org/wiki/Arqu%C3%ADmedeshttps://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Aproximaci%C3%B3n_rectangular&action=edit&redlink=1https://es.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9todo_de_agotamientohttps://es.wikipedia.org/wiki/Pol%C3%ADgonohttps://es.wikipedia.org/wiki/Espiral_logar%C3%ADtmicahttps://es.wikipedia.org/wiki/Espiral_logar%C3%ADtmicahttps://es.wikipedia.org/wiki/Evangelista_Torricellihttps://es.wikipedia.org/wiki/1645https://es.wikipedia.org/wiki/John_Wallishttps://es.wikipedia.org/wiki/1650https://es.wikipedia.org/wiki/Cicloidehttps://es.wikipedia.org/wiki/Christopher_Wrenhttps://es.wikipedia.org/wiki/1658https://es.wikipedia.org/wiki/Catenariahttps://es.wikipedia.org/wiki/Gottfried_Leibnizhttps://es.wikipedia.org/wiki/Gottfried_Leibnizhttps://es.wikipedia.org/wiki/1691https://es.wikipedia.org/wiki/Arqu%C3%ADmedeshttps://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Aproximaci%C3%B3n_rectangular&action=edit&redlink=1https://es.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9todo_de_agotamientohttps://es.wikipedia.org/wiki/Pol%C3%ADgonohttps://es.wikipedia.org/wiki/Espiral_logar%C3%ADtmicahttps://es.wikipedia.org/wiki/Espiral_logar%C3%ADtmicahttps://es.wikipedia.org/wiki/Evangelista_Torricellihttps://es.wikipedia.org/wiki/1645https://es.wikipedia.org/wiki/John_Wallishttps://es.wikipedia.org/wiki/1650https://es.wikipedia.org/wiki/Cicloidehttps://es.wikipedia.org/wiki/Christopher_Wrenhttps://es.wikipedia.org/wiki/1658https://es.wikipedia.org/wiki/Catenariahttps://es.wikipedia.org/wiki/Gottfried_Leibnizhttps://es.wikipedia.org/wiki/Gottfried_Leibnizhttps://es.wikipedia.org/wiki/1691


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A con!n&ac!$n se presenara a)#&nos e/emp)os 'e )on#!&' 'e arco

ERem:lo ,- a))e )a )on#!&' 'e arco 'e )a paro)a sem!cB!ca y2=x3 enre

)os p&nos 1, 1 (


13/29

Por cons!#&!ene,

L=4

9

1

4

u du=

4

92

3 u

3 /2 1

4

L 8

27 (1+ 9x4)3

2 1

4= 8

27 ((10 )3

2( 134)3

2)

L 8

27 10 10

1

813131

4= :,>:1 U

Eso !mp)!ca %&e, s! &na c&r"a !ene )a ec&ac!$n x=g (y ) ,c y d , y g '(y ) es

con!n&a, por ano a) !nercam!ar )os pape)es 'e x ( y en )a .$rm&)a 2 o

)a ec&ac!$n , se o!ene )a .$rm&)a s!#&!ene para s& )on#!&'

y

g

2dy1+

L=c

d

c

d

1+(

dy

dx)2

dY


O("E!3ACI7$

Pero en el caso Nue una curva :resente dos 9unciones :ara ello a la

9ormula %eneral se tendrJ Nue acom:aar :or la otra 9uncin de estamanera se SarJ :osi;le encontrar la a:roBimacin de la curva en cadauna de los :untos tal como se muestra a continuacin

x


14/29

ERem:lo ,+8 Enc&enre )a )on#!&' 'e) arco 'e )a c&r"a

y=x

4

8+

1

4x2; 1Q*Q2

"OLUCI7$

A) 'er!"ar )a .&nc!$n, se !ene %&e,

y x

3

2

x3

2

L&e#o,)a .orm&)a 'e )on#!&' 'e arco es,

L

a

b

1+(f ''(x ))2dx

L 1

2 1+(x32x32

2)

2

dx

L 1

2

(x

3

2+

x3

2 )dx

Por cons!#&!ene,

Lx

4

8

x2

4 |2

1

L(24

8

22

4)(14

8

12

4)

L(2

1

16

)

(1

8

2

8

)Por )o ano,

L 2,0>25 &



15/29

ERem:lo ,8 Enc&enre )a )on#!&' 'e) arco 'e )a c&r"a

y=2

3x3 @ 0Q*Q2


y '= x1

2

L&e#o, )a .orm&)a 'e )on#!&' 'e arco es,

L a

b

1+(f'(x ))2dx

L o

2 1+(x 12)2

dx

L o

2

1+x dx

L o

2

(1+x )

1

2

dx

A) !ne#rar )a .&nc!$n, oenemos %&e,

L(1+x )

3

2

3

2

|20

L ((1+2 )

3

2

3

2)

((1+0 )

3

2

3

2)L 3.46( 23 )



16/29

Por )o ano,

L 2:= &

CAPI#ULO II

Pro;lema de investi%acin

TCmo se realia el concurso de la lon%itud de arco entre dos o mJscurvasV

ENF6SUE 7e compr&ea %&e ca'a .&nc!$n c&mp)a con )as prop!e'a'esper!nenes, se +a))a ( compara )a )on#!&' 'e arco 'e ca'a .&nc!$n para'eerm!nar e) #ana'or 'e) conc&rso 'e )a )on#!&' 'e arcoPara rea)!zar e) conc&rso 'e )a )on#!&' 'e arco enre "ar!as .&nc!ones con!n&as. pr!mero ca'a &na 'e )as .&nc!ones 'ee c&mp)!r )as s!#&!enes prop!e'a'es

1 .00 ( .102 .*0 para 0Q*Q1 E) rea a/o )a #rca 'e . 'es'e 0 a 1 es !#&a) a 1

Por )o ano, e) e)emeno #ana'or 'e) conc&rso 'e )a )on#!&' 'e arco ser e)%&e en#a )a )on#!&' 'e arco ms pe%&e3a

- "ea 9B= WBX , B Z /WB[WX Z B -

A) e"a)&ar )a .&nc!$n en *0 ( *1

7! *0, enonces .00

7! *1, enonces .10

FACULTAD DE INGENIERA 1>


17/29

A continuacin, se "er!ca %&e .* 0 para 0Q *Q 1

Lue%o, se "er!ca %&e e) reaA a/o )a #rca 'e . 'es'e 0 a 1 es !#&a) a 1&2

Para e))o, se &sa )a !ne#ra), 'on'e

A a

b

f(x)dx

A 0

1/2

4xdx+1 /2

1

(4x+4)dx

A 2*2|1/20 -2*2


18/29

A 214


19/29

A continuacin, se "er!ca %&e .* 0 para 0Q *Q 1

Eso se e"!'enc!a en )a #rca 'e )a .&nc!$n


Para e))o, se &s$ )a !ne#ra), 'on'e

A a

b

f(x)dx

A 0

1

(6x6x )dx

A *2W 2* |10A - 2 1&2


.* > W 12*

A) ap)!car )a .$rm&)a,

FACULTAD DE INGENIERA 1=


20/29

L a

b

1+[ f'' (x) ]2dx

7e o!ene %&e,

L 0

1

1+(612x)2

dx

A) ap)!car )a !ne#rac!$n por cam!o 'e "ar!a)e,

7ea & > W 12*@ enonces '& -12'*

7e !ene %&e,

L112

0

1

1+u2 du

A) &sar )a s&s!&c!$n r!#onomr!ca, oenemos %&e,

& #X@ enonces '& sec2X'X

L112

0

1

1+u2 du

L112

0

1

secsec d

A) +acer &so 'e )a !ne#rac!$n por pares, se !ene %&e

& secX '" secYX'X

'& anXZsecX " anX



21/29

L112

[sectan|1001

( sec2 1 )secd]

L

1

12

sectan

|1

0

+ 1

12

0

1

sec d 1

12

0

1

secd

A) reemp)azar L112

0

1

secsec d en )a ec&ac!$n aner!or, oenemos

%&e

L112

(sectan )|10L1

12

0

1

sec d

L124

[sectan+ln (tan+sec )]|10

L124

[(612x )1+(612x )2+ ln (612x+1+(612x)2)]|10

L -142(6+37 )637

37+ln - )n> 37

L -142


22/29




A a

b

f(x)dx

A 0

1

(12x 12x )dx

A


23/29

L a

b

1+[ f'' (x) ]2dx

7e o!ene %&e,

L 0

1

1+(24x36x )2

dx

L[ ,::; &

W "ea 9B=WB HWB

Primero, se e"a)Ba )a .&nc!$n en *0 ( *1

7! *0, enonces .00

7! *1, enonces .10

A continuacin, se "er!ca %&e .*0 para 0Q *Q 1






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COCLU"IO

Comparan'o )a )on#!&' 'e arco 'e ca'a &no 'e )os < e/erc!c!os aner!ores, sep&e'e e"!'enc!ar %&e )a .&nc!$n .* >* W >* 2presen$ )a menor )on#!&' 'earco@ por ano es .&nc!$n es )a #ana'ora 'e) conc&rso 'e )on#!&' 'e arco



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!EFE!ECIA"

https://ramojim.files.wordpress.com/2015/05/calculo-de-una-variable-1.pdf

https://bjglez.webs.ull.es/aplicaciones_de_la_integral.pdf

http://www.matematicaaplicada2.es/data/pdf/1323249486_576184243.pdf

"#E]A!# CJlculo de una varia;le s:tima edicin

FACULTAD DE INGENIERA 2>
https://ramojim.files.wordpress.com/2015/05/calculo-de-una-variable-1.pdfhttps://bjglez.webs.ull.es/aplicaciones_de_la_integral.pdfhttp://www.matematicaaplicada2.es/data/pdf/1323249486_576184243.pdfhttps://ramojim.files.wordpress.com/2015/05/calculo-de-una-variable-1.pdfhttps://bjglez.webs.ull.es/aplicaciones_de_la_integral.pdfhttp://www.matematicaaplicada2.es/data/pdf/1323249486_576184243.pdf


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AE


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EHEPL6 22

RE7UELT6

FACULTAD DE INGENIERA 2;


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PR6PUE7T6

Documents

Concurso de Longitud de Arco-terminado (2)