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Álgebra Linear Aula 02
Determinante
Para aproveitar 100% dessa aula vocês precisam saber:
ü Matrizes ü Equação do 1º grau ü Equação do 2º grau
Como representamos o determinante de uma matriz?
Colocando os elementos de uma matriz entre duas barras verticais.
Exemplos:
0421
0421
=⇒⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛= ADetA
355102041
355102041
=⇒⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
= BDetB
Como calculamos o determinante de uma matriz quadrada?
à Se for uma matriz de ordem 1, então o determinante é o próprio elemento da matriz.
Exemplo: ( ) 44det4 −=−=⇒−= AA
à Se for uma matriz de ordem 2, então o determinante é a diferença entre o produto dos elementos da diagonal principal e o produto dos elementos da diagonal secundária.
Exemplo:
0132
det0132
=⇒⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛= AA
31.30.2 −=−
Exercício
(UF-PI) Sejam
Se det A = 4 e det B = 2, então, x + y é igual a: a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −=
1121 yx
Beyx
A
Solução
3x = 6 x = 2
424)(2
421
det
=+⇒=−−
=−
=
yxyxyx
A
2
211
det
=−
==
yx
yxB
⇒⎩⎨⎧
=−
=+⇒
⎩⎨⎧
=−
=+
242
242
yxyx
yxyx x - y = 2
2 - y = 2 y = 0
Logo, x + y = 2 + 0 = 2
Resposta: letra A.
à Se for uma matriz de ordem 3, então o determinante é calculado através da Regra de Sarrus.
Exemplo: det A = 10 – 4 + 0 + 6 + 0 – 12 det A = 0
Exercício
(Cefet-MG) O(s) valor(es) de x para que
é (ou são):
a) -1 b) 1 c) 3 d) -1 e 1 e) -1 e 3
83210
21−=
−−
−
xx
x
Solução
-2 + 6x -2x -2x2 =-8
-2x2 + 4x +6 = 0
As raízes são -1 e 3.
Resposta: letra E.
83210
21−=
−−
−
xx
x8
3210
21−=
−−
−
xx
x 1 x
2
0 -2 x
6x -2 0 -2x2 -2x 0
Propriedades dos Determinantes
Casos em que um determinante é igual a ZERO:
• Quando todos os elementos de uma fila são nulos
Ex: 1) 0000892531=−
2) 01605802501=
Uma fila pode ser uma linha ou uma coluna
• Quando possui duas filas paralelas iguais ou proporcionais
3) 0
918092123180921
=
−
−
π
4) 0884201693
=−−
31 LL =
31 C.C2 =
Casos em que um determinante é igual a ZERO:
• Quando uma das filas é a combinação linear de outras filas paralelas.
5)
6)
09114053961=
0
0957877097130531
=
−−
321 LLL =+
321 CC.C2 =+
Casos em que um determinante é igual a ZERO:
Outras propriedades:
• det(A)=det(At)
Ex: 1)
2)
612189432
=−= 612189342
=−=
,10 Se =
tsrzyxcba
10 então =
tzcsybrxa
1)
2)
Ex:
• O determinante de uma matriz triangular é igual ao produto dos elementos da diagonal principal
=
797035002
427.3.2 =
=
−
2000530068500872
602.3.5.2 −=−
Outras propriedades:
1) Ex:
• Quando trocamos a posição de duas filas paralelas, o determinante troca de sinal
315189352
=−= 318153925
−=−=
2) ,5 Se =
tsrzyxcba
5 então −=
cbazyxtsr
Outras propriedades:
Ex: 1)
2)
69432= 306.5
94.532.5
==
,10 Se =
tsrzyxcba
7010.7.7.7.7 então ==
tsrzyxcba
• Se uma fila for multiplicada por um no, então o determinante também fica multiplicado por esse no
Outras propriedades:
• det(k.A)=kn.det(A), onde n é a ordem de A
1)
2)
69432= 1506.5
9.53.54.52.5 2 ==
=
=
det(2.A) então 5,det(A) com 3x3 éA Se
=2.det(A)
Ex:
Outras propriedades:
3 405.8 =
• det(A.B)=detA.detB
Ex: .3214
B e 7523
A Sejam ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
det(A.B)? valeQuanto
11011.10det(A.B) ==
Outras propriedades:
11detA = 10detB =
• det(A-1)=1/detA
Ex:
:iaConsequênc IA.A-1 =det(I))det(A.A-1 =⇒
1)(Adet(A).det -1 =⇒
/detA1)det(A-1 =⇒
:é 9352
A de inversa da tedeterminan O ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
1/3/detA1)det(A-1 ==
Para calcular determinantes de ordem superior a 3...
u Método de Laplace ou u Desenvolvimento de um Determinante por
uma Linha ou por uma Coluna.
+ ! + !! + ! ++ ! + !! + ! +
Teorema de Laplace
Dada uma matriz quadrada de ordem n > 1, o determinante da matriz A será o número real que se obtém somando-se os produtos dos elementos de uma linha ou coluna qualquer pelos seus respectivos cofatores.
Esse teorema nos permite calcular o determinante de matrizes de ordem maior que 3.
Porém, antes vamos aprender os conceitos de Cofator.
O que é Cofator de uma matriz?
É o produto de (-1)i+j (sendo i e j o índice de um elemento) pelo determinante da matriz obtida quando eliminamos a linha e a coluna desse elemento.
Exemplo: Considerando a matriz
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
−
−−=
346120352
A
Vamos calcular os cofator c11.
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
−
−−=
346120352
A
C11 = (-1)1+1 .
C11 = 1.[-2 .(-3) - (-1). 4] = 6 + 4 = 10
3412
−
−−
C =c11 c12 c13c21 c22 c23c31 c32 c33
!
"
###
$
%
&&&
Matriz dos Cofatores
Vamos calcular os cofator c23.
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
−
−−=
346120352
A
C23 = (-1)2+3 .
C23 = -1.[2 .4 – 5 . 6] = -1. (8 - 30)= -1(-22) = 22
4652
C =c11 c12 c13c21 c22 c23c31 c32 c33
!
"
###
$
%
&&&
Matriz dos Cofatores
Teorema de Laplace Dada uma matriz quadrada de ordem n > 1,
o determinante da matriz A será o número real que se obtém somando-se os produtos dos elementos de uma linha ou coluna qualquer
pelos seus respectivos cofatores.
Exemplo: Considerando a matriz
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
−
−−=
346120352
A
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
−
−−=
346120352
A
C21 = (-1)2+1 . = -1.[5 .(-3) – 3 . 4] = 27
C22 = (-1)2+2 . = 1.[2 .(-3) - (3. 6)] = -24
C23 = (-1)2+3 . = -1.[2 . 4 - 5. 6)] = 22
3435−
3632−
4652
Vamos calcular o determinante usando a segunda linha.
Pelo Teorema de Laplace é:
det A = 27.0 + (-24).(-2) + 22.(-1) det A = 0 + 48 - 22 det A = 26.
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
−
−−=
346120352
A
Então, o cálculo do determinante da matriz
Inversão de Matrizes
Inversão de Matrizes – Se A é uma matriz quadrada de ordem n, dizemos que A é matriz inversível se existir uma matriz B tal que A.B = B.A = In.
D a d a u m a m a t r i z M inversível (não-singular), chama-se inversa de A, a matriz M-1 , que é única, tal que M. M-1 = M-1 .M = In.
Quando uma matriz M não é inversível, ela é dita matriz singular, cujo determinante é nulo. Logo, a matriz singular não tem inversa.
II ) (A-1)-1 = A
III ) I-1 = I (A matriz unidade é a sua própria inversa)
IV) (α.A)-1 = (1/α). A-1 , onde α ∈ IR e α ≠ 0
I ) (A + B)-1 = A-1 + B-1
V ) (A.B)-1 = B-1.A-1
Como calcular a Matriz Inversa ?
Há 3 processos:
Lembrando que M. M-1 = In.
Por meio de determinantes, temos:
( )t1 1M . M'detM
− =
M-1 é a matriz M invertida.
det M é o determinante da matriz M a inverter.
(M’)t é a matriz de cofatores transposta de M.
Por meio de operações elementares. A|I è I|A-1
EXEMPLO 1
Obtenha a matriz inversa das matrizes abaixo, pelos 3 processos.
3 6b)B
2 4
⎡ ⎤⎢ ⎥=⎢ ⎥⎣ ⎦
1 0 2
c)C 2 1 3
3 1 0
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
1 4 7
d)D 2 5 8
3 6 9
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
1 2a)A
3 4
⎡ ⎤⎢ ⎥=⎢ ⎥⎣ ⎦
SOLUÇÃO I
12A.A I− = ⇒ 1
21 2
.A I3 4
−⎡ ⎤⎢ ⎥ =⎢ ⎥⎣ ⎦2 x 2 2 x 2 2 x 2
1x z
Ay w
−⎡ ⎤⎢ ⎥=⎢ ⎥⎣ ⎦
1 2 x z 1 0.
3 4 y w 0 1
⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥= ⇒⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
x 2y z 2w 1 0
3x 4y 3z 4w 0 1
+ +⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥=⎢ ⎥ ⎢ ⎥+ +⎣ ⎦ ⎣ ⎦
AGORA É SÓ
RESOLVER OS
SISTEMAS
1 2 x z 1 0.
3 4 y w 0 1
⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥= ⇒⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
x 2y z 2w 1 0
3x 4y 3z 4w 0 1
+ +⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥=⎢ ⎥ ⎢ ⎥+ +⎣ ⎦ ⎣ ⎦
x 2y 1 z 2w 0
3x 4y 0 3z 4w 1
+ = + =⎧ ⎧⎪ ⎪⎨ ⎨⎪ ⎪+ = + =⎩ ⎩
y = 3/2
x = -2
w = -1/2
z = 1
1x z 2 1
Ay w 3/ 2 1/ 2
−−⎡ ⎤ ⎡ ⎤
⎢ ⎥ ⎢ ⎥= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎣ ⎦ ⎣ ⎦
SOLUÇÃO II
1 2A
3 4
⎡ ⎤⎢ ⎥=⎢ ⎥⎣ ⎦
1 2;detA 1.4 2.3 2
3 4= = − = −
( )t1 1M . M'detM
− = ( )t1 1A . A'detA
− =
1 111A ( 1) . 4 4+= − = 1 2
12A ( 1) . 3 3+= − = −2 1
21A ( 1) . 2 2+= − = − 2 222A ( 1) . 1 1+= − =
t4 3 4 2
A' (A')2 1 3 1
− −⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥= ⇒ =⎢ ⎥ ⎢ ⎥− −⎣ ⎦ ⎣ ⎦
14 2 2 11A .
2 3 1 3 / 2 1/ 2−
− −⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥= =
− ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− −⎣ ⎦ ⎣ ⎦
SOLUÇÃO III
1 2A
3 4
⎡ ⎤⎢ ⎥=⎢ ⎥⎣ ⎦
1 2 1 0
3 4 0 1
⎡ ⎤⎢ ⎥⇒⎢ ⎥⎣ ⎦
1 0 2 1
3 4 0 1
− −⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
L1 = 2.L1 - L2
L2 = L2 + 3.L1 1 0 2 1
0 4 6 2
− −⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦
L1 = - L1
L4 = L4 : 4
1 0 2 1
0 1 3 / 2 1/ 2
−⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦
PERCEBERAM QUE OS RESULTADOS NOS 3 PROCESSOS SÃO OS
MESMOS?
A-1
A|I è I|A-1
Bibliografias u STEINBRUCH , A. e WINTERLE, P. Álgebra Linear, Makron
Books, São Paulo, 1987; u BOLDRINI, J.L., COSTA, Sueli I. R., FIGUEIREDO, Vera Lucia,
Wetzler, Henry G. – Álgebra linear – 3a edição – Ed. Harbra – São Paulo SP - 1989.
u STEINBRUCH , A. e WINTERLE, P. Introdução a Álgebra Linear, Makron Books, São Paulo;
u KOLMAN, Bernard. Introdução à álgebra linear com aplicações. 8. ed. Rio de Janeiro: LTC Editora, 2006.